Konsep integrasi yang lebih luas — Fondasi Teori Ukuran

Ada berbagai konteks yang membuat pemberian nilai kepada integral suatu fungsi yang tidak sepenuhnya tercakup oleh definisi dasar dalam 122M menjadi berguna. Dalam bagian ini saya menawarkan beberapa cara untuk menetapkan nilai \(\pm\infty\) kepada integral fungsi bernilai real (133A), mengintegralkan fungsi bernilai kompleks (133C–133H), serta mendefinisikan integral atas dan integral bawah (133I–133L). Dalam §135 di bawah saya akan membahas pengembangan lebih lanjut dari gagasan-gagasan Bab 12.

133A Integral tak hingga

Lazimnya frasa ‘\(f\) terintegralkan’ dibatasi pada fungsi \(f\) yang dapat diberi integral berhingga \(\int f\) (sama seperti suatu deret disebut ‘dapat dijumlahkan’ hanya jika deret itu dapat diberi jumlah berhingga). Namun, untuk fungsi nonnegatif kadang-kadang lebih mudah menuliskan ‘\(\int f=\infty\)’ jika, dalam suatu pengertian, satu-satunya alasan \(f\) gagal terintegralkan adalah bahwa integralnya terlalu besar; yaitu, \(f\) didefinisikan hampir di mana-mana, terukur secara virtual terhadap \(\mu\), dan salah satu dari hal berikut berlaku:

\(\{x:x\in\dom f,\,f(x)\ge\epsilon\}\)

memuat suatu himpunan berukuran tak hingga untuk suatu \(\epsilon>0\), atau

\(\sup\{\int h:h\text{ sederhana},\,h\leae f\}=\infty\).

(Bandingkan 122J.) Dengan kaidah ini, kita tetap akan memperoleh

\(\int f_1+f_2=\int f_1+\int f_2\), \(\int cf=c\int f\)

kapan pun \(c\in\coint{0,\infty}\) dan \(f_1\), \(f_2\), \(f\) merupakan fungsi nonnegatif yang masing-masing memiliki \(\int f_1\), \(\int f_2\), \(\int f\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\).

Karena itu kita dapat mengulangi definisi 122M dan mengatakan bahwa

\(\int f_1-f_2=\int f_1-\int f_2\)

kapan pun \(f_1\), \(f_2\) merupakan fungsi bernilai real sedemikian sehingga \(\int f_1\), \(\int f_2\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\) dan tidak keduanya tak hingga; syarat terakhir diberlakukan untuk menghindari keharusan menghitung \(\infty-\infty\).

Kita tetap memiliki kaidah-kaidah

\(\int f+g=\int f+\int g\), \(\int(cf)=c\int f\), \(\int|f|\ge|\int f|\)

setidaknya ketika ruas kanan dapat ditafsirkan, dengan mengizinkan \(0\cdot\infty=0\), tetapi tanpa mengizinkan tafsiran apa pun bagi \(\infty-\infty\); dan \(\int f\le\int g\) kapan pun kedua integral terdefinisi dan \(f\leae g\). (Namun, tentu saja sekarang mungkin terdapat \(f\le g\) dan \(\int f=\int g=\pm\infty\) tanpa \(f\) dan \(g\) sama hampir di mana-mana.)

Tetapkan \(f^+(x)=\max(f(x),0)\), \(f^-(x)=\max(-f(x),0)\) untuk \(x\in\dom f\); maka

\(\int f=\infty\,\iff\,\int f^+=\infty\) dan \(f^-\) terintegralkan,

\(\int f=-\infty\,\iff\,f^+\) terintegralkan dan \(\int f^-=\infty\).

Untuk gagasan lebih lanjut dalam arah ini, lihat §135 di bawah.

133B Fungsi dengan nilai eksepsional

Juga lebih mudah jika kita mengizinkan sebagai fungsi ‘terintegralkan’ fungsi-fungsi \(f\) yang sesekali mengambil nilai bukan real – biasanya ketika suatu rumus untuk \(f(x)\) mengizinkan nilai ‘\(\infty\)’ berdasarkan suatu konvensi. Untuk fungsi seperti itu saya akan menuliskan \(\int f=\int\tilde f\) jika \(\int\tilde f\) terdefinisi, dengan

\(\dom\tilde f=\{x:x\in\dom f,\,f(x)\in\Bbb R\}\), \(\tilde f(x)=f(x)\) untuk \(x\in\dom\tilde f\).

Karena dalam konvensi ini saya tetap mengharuskan \(\tilde f\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\), himpunan \(\{x:x\in\dom f,\,f(x)\notin\Bbb R\}\) harus terabaikan.

133C Fungsi bernilai kompleks

Seluruh teori fungsi terukur dan terintegralkan yang dikembangkan sejauh ini dikhususkan bagi fungsi bernilai real. Tidak diperlukan gagasan baru yang berarti untuk menangani fungsi bernilai kompleks, tetapi barangkali sebaiknya saya menguraikan beberapa rinciannya, karena ada banyak penerapan di mana fungsi bernilai kompleks merupakan konteks kerja yang paling alami.

133D Definisi (a)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) subhimpunan-subhimpunan \(X\). Jika \(D\subseteq X\) dan \(f:D\to\Bbb C\) suatu fungsi, kita mengatakan bahwa \(f\) terukur jika bagian real dan bagian imajinernya \(\Real f\), \(\Imag f\) terukur dalam pengertian 121B–121C.

(b) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Jika \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\), kita mengatakan bahwa \(f\) terintegralkan jika bagian real dan bagian imajinernya terintegralkan, dan kemudian

\(\int f=\int\Real f+i\int\Imag f\).

(c) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(H\in\Sigma\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan \(X\). Maka \(\int_Hf\) adalah \(\int(f\restr H)d\mu_H\) jika ini terdefinisi dalam pengertian (b), dengan mengambil ukuran subruang \(\mu_H\) sebagaimana dalam 131A–131B.

133E Lema

(a) Jika \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(f\) serta \(g\) merupakan fungsi terukur bernilai kompleks dengan domain \(\dom f\), \(\dom g\subseteq X\), maka

(i) \(f+g:\dom f\cap\dom g\to\Bbb C\) terukur;

(ii) \(cf:\dom f\to\Bbb C\) terukur, untuk setiap \(c\in\Bbb C\);

(iii) \(f\times g:\dom f\cap\dom g\to\Bbb C\) terukur;

(iv) \(f/g:\{x:x\in\dom f\cap\dom g,\,g(x)\ne 0\}\to\Bbb C\) terukur;

(v) \(|f|:\dom f\to\Bbb R\) terukur.

(b) Jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\), maka \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) terukur, jika kita mengambil \(\dom f\) sebagai

\[\begin{aligned}\{x:x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}&\bigcap_{m\ge n}\dom f_m, \,\lim_{n\to\infty}f_n(x)\text{ ada dalam }\Bbb C\}\\ &=\dom(\lim_{n\to\infty}\Real f_n) \cap\dom(\lim_{n\to\infty}\Imag f_n).\\\end{aligned}\]

133F Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Jika \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi terintegralkan bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan koterabaikan dari \(X\), maka \(f+g\) dan \(cf\) terintegralkan, \(\int f+g=\int f+\int g\) dan \(\int cf=c\int f\), untuk setiap \(c\in\Bbb C\).

(b) Jika \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\), maka \(f\) terintegralkan jika dan hanya jika \(|f|\) terintegralkan dan \(f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\) , yaitu, \(\Real f\) dan \(\Imag f\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\).

133G Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\langle f_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) suatu barisan fungsi terintegralkan bernilai kompleks pada \(X\) sedemikian sehingga \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) ada dalam \(\Bbb C\) untuk hampir setiap \(x\in X\). Andaikan pula terdapat fungsi terintegralkan bernilai real \(g\) pada \(X\) sedemikian sehingga \(|f_n|\leae g\) untuk setiap \(n\). Maka \(f\) terintegralkan dan \(\lim_{n\to\infty}\int f_n\) ada serta sama dengan \(\int f\).

133H Korolari

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\ooint{a,b}\) suatu interval terbuka tak-kosong dalam \(\Bbb R\). Misalkan \(f:X\times\ooint{a,b}\to\Bbb C\) suatu fungsi sedemikian sehingga

(i) integral \(F(t)=\int f(x,t)dx\) terdefinisi untuk setiap \(t\in\ooint{a,b}\);

(ii) turunan parsial \(\pd{f}{t}\) dari \(f\) terhadap variabel kedua terdefinisi di setiap titik dalam \(X\times\ooint{a,b}\);

(iii) terdapat fungsi terintegralkan \(g:X\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga \(|\pd{f}{t}(x,t)|\le g(x)\) untuk setiap \(x\in X\), \(t\in\ooint{a,b}\).

Maka turunan \(F'(t)\) dan integral \(\biggerint\pd{f}{t}(x,t)dx\) ada untuk setiap \(t\in\ooint{a,b}\), dan keduanya sama.

133I Integral atas dan integral bawah

Sekarang saya kembali ke fungsi bernilai real. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Integral atasnya adalah

\(\overlineint f =\inf\{\int g:\int g\) terdefinisi dalam pengertian 133A dan \(f\leae g\}\),

dengan mengizinkan \(\infty\) untuk \(\inf\{\infty\}\) atau \(\inf\emptyset\) dan \(-\infty\) untuk \(\inf\Bbb R\). Demikian pula, integral bawah dari \(f\) adalah

\(\underlineint f =\sup\{\int g:\int g\) terdefinisi, \(f\geae g\}\),

dengan mengizinkan \(-\infty\) untuk \(\sup\{-\infty\}\) atau \(\sup\emptyset\) dan \(\infty\) untuk \(\sup\Bbb R\).

133J Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur.

(a) Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\).

(i) Jika \(\overline{\int}f\) berhingga, terdapat fungsi terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(f\leae g\) dan \(\int g=\overline{\int}f\). Dalam hal ini,

\(\{x:x\in\dom f\cap\dom g\), \(g(x)\le f(x)+g_0(x)\}\)

berukuran luar penuh untuk setiap fungsi terukur \(g_0:X\to\ooint{0,\infty}\).

(ii) Jika \(\underline{\int}f\) berhingga, terdapat fungsi terintegralkan \(h\) sedemikian sehingga \(h\leae f\) dan \(\int h=\underline{\int}f\). Dalam hal ini,

\(\{x:x\in\dom f\cap\dom h\), \(f(x)\le h(x)+h_0(x)\}\)

berukuran luar penuh untuk setiap fungsi terukur \(h_0:X\to\ooint{0,\infty}\).

(b) Untuk sembarang fungsi bernilai real \(f\), \(g\) yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan sembarang \(c\ge 0\),

(i) \(\underline{\int}f\le\overline{\int}f\),

(ii) \(\overline{\int}f+g\le\overline{\int}f+\overline{\int}g\),

(iii) \(\overline{\int}cf=c\overline{\int}f\),

(iv) \(\underline{\int}(-f)=-\overline{\int}f\),

(v) \(\underline{\int}f+g\ge\underline{\int}f+\underline{\int}g\),

(vi) \(\underline{\int}cf=c\underline{\int}f\)

kapan pun ruas kanan tidak melibatkan penjumlahan \(\infty\) dengan \(-\infty\).

(d) Suatu fungsi bernilai real \(f\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\) terintegralkan jika dan hanya jika

\(\overlineint f=\underlineint f=a\in\Bbb R\),

dan dalam hal ini \(\int f=a\).

(e) \(\mu^*A=\overline{\int}\chi A\) untuk setiap \(A\subseteq X\).

Bukti

(a)(i) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih fungsi \(g_n\) sedemikian sehingga \(f\leae g_n\) dan \(\int g_n\) terdefinisi serta paling besar \(2^{-n}+\overline{\int}f\); karena \(\overline{\int}f\le\int g_n\), \(\int g_n\) berhingga, sehingga \(g_n\) terintegralkan. Tetapkan \(h_n=\inf_{i\le n}g_i\) untuk setiap \(n\); maka \(h_n\) terintegralkan (karena \(|h_n-g_0|\le\sum_{i=0}^n|g_i-g_0|\) pada \(\bigcap_{i\le n}\dom g_i\)), dan \(f\leae h_n\), sehingga

\(\overlineint f\le\int h_n \le\int g_n\le 2^{-n}+\overlineint f\).

Menurut teorema B. Levi (123A), yang diterapkan pada \(\sequencen{-h_n}\), \(g(x)=\inf_{n\in\Bbb N}h_n(x)\in\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\), dan \(\int g=\inf_{n\in\Bbb N}\int h_n=\overline{\int}f\); juga, tentu saja, \(f\leae g\).

Sekarang ambil fungsi terukur \(g_0:X\to\ooint{0,\infty}\), dan tinjau himpunan

\(A=\{x:x\in\dom f\cap\dom g\), \(g(x)\le f(x)+g_0(x)\}\).

Jika \(A\) tidak berukuran luar penuh, terdapat himpunan terukur tak-terabaikan \(F\subseteq X\setminus A\). Karena \(g_0\) positif tegas, \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) dengan \(F_n=\{x:x\in F\), \(g_0(x)\ge 2^{-n}\}\), dan terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\mu F_n>0\). Tinjau fungsi \(g_1=g-2^{-n}\chi F_n\). Maka \(f\leae g_1\). Selain itu, \(\int g_1=\int g-2^{-n}\mu F_n\) lebih kecil secara tegas daripada \(\int g\), sehingga \(\overline{\int}f<\int g\).

(ii) Gunakan argumen serupa, atau gunakan (b-iv).

(b)(i) Jika \(\underline{\int}f=-\infty\) atau \(\overline{\int}f=\infty\), hal ini langsung. Jika tidak, hasilnya segera mengikuti fakta bahwa apabila \(g\leae f\leae h\), maka \(\int g\le\int h\) jika integral-integralnya terdefinisi (dalam arti luas).

(ii) Jika \(a>\overline{\int}f+\overline{\int}g\), baik \(\overline{\int}f\) maupun \(\overline{\int}g\) tidak mungkin \(\infty\), sehingga harus ada fungsi \(f_1\), \(g_1\) sedemikian sehingga \(f\leae f_1\), \(g\leae g_1\) dan \(\int f_1+\int g_1\le a\). Sekarang \(f+g\leae f_1+g_1\), sehingga

\( \overlineint f+g\le\int f_1+g_1\le a\).

Karena \(a\) sembarang, kita memperoleh hasilnya.

(iii)(\(\pmb{\alpha}\)) Jika \(c=0\), hal ini langsung. (\(\pmb{\beta}\)) Jika \(c>0\) dan \(a>c\overline{\int}f\), harus terdapat \(f_1\) sedemikian sehingga \(f\leae f_1\) dan \(c\int f_1\le a\). Sekarang \(cf\leae cf_1\) dan \(\int cf_1\le a\), sehingga \(\overline{\int}cf\le a\). Karena \(a\) sembarang, \(\overline{\int}cf\le c\overline{\int}f\). (\(\pmb{\gamma}\)) Masih dengan mengandaikan \(c>0\), kita juga memiliki

\(c\overlineint f=c\overlineint c^{-1}cf \le cc^{-1}\overlineint cf=\overlineint cf\),

sehingga diperoleh kesamaan.

(iv) Ini hanya karena \(\int(-f_1)=-\int f_1\) bagi setiap fungsi \(f_1\) yang salah satu integralnya terdefinisi.

(v)-(vi) Gunakan (iv) untuk mengubah \(\underline{\int}\) menjadi \(\overline{\int}\), lalu terapkan (ii) atau (iii).

(c) Pernyataan-pernyataan ini langsung dari definisi, karena (misalnya) jika \(g\leae h\) maka \(f\leae h\).

(d) Jika \(f\) terintegralkan, maka

\(\overlineint f=\int f=\underlineint f\)

menurut 122Od. Jika \(\overline{\int}f=\underline{\int}f=a\in\Bbb R\), maka, menurut (a), terdapat fungsi terintegralkan \(g\), \(h\) sedemikian sehingga \(g\leae f\leae h\) dan \(\int g=\int h=a\), sehingga \(g\eae h\), menurut 122Rc, \(g\eae f\eae h\), dan \(f\) terintegralkan, menurut 122Rb.

(e) Jika \(E\supseteq A\) terukur, maka

\(\mu E=\int\chi E\ge\overlineint\chi A\);

karena \(E\) sembarang, \(\mu^*A\ge\overline{\int}\chi A\). Jika \(\int g\) terdefinisi dan \(\chi A\leae g\), misalkan \(E\subseteq\dom g\) suatu himpunan terukur koterabaikan sedemikian sehingga \(g\restr E\) terukur, dan tetapkan \(F=\{x:x\in E\), \(g(x)\ge 1\}\). Maka \(A\setminus F\) terabaikan, sehingga \(\mu^*A\le\mu F\le\int g\); karena \(g\) sembarang, \(\mu^*A\le\overline{\int}\chi A\).

Catatan Saya harap rumus-rumus di sini mengingatkan Anda pada \(\limsup\), \(\liminf\).

133K Teorema konvergensi untuk integral atas

Kita memiliki versi-versi berikut dari teorema B. Levi dan Lema Fatou.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\).

(a) Jika, untuk setiap \(n\), \(f_n\leae f_{n+1}\), dan \(-\infty<\sup_{n\in\Bbb N}\overline{\int}f_n<\infty\), maka \(f(x)=\sup_{n\in\Bbb N}f_n(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\), dan \(\overline{\int}f=\sup_{n\in\Bbb N}\overline{\int}f_n\).

(b) Jika, untuk setiap \(n\), \(f_n\ge 0\) hampir di mana-mana, dan \(\liminf_{n\to\infty}\overline{\int}f_n<\infty\), maka \(f(x)=\liminf_{n\to\infty}f_n(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(x\in X\), dan \(\overline{\int}f\le\liminf_{n\to\infty}\overline{\int}f_n\).

Bukti

(a) Tetapkan \(c=\sup_{n\in\Bbb N}\overline{\int}f_n\). Untuk setiap \(n\), terdapat fungsi terintegralkan \(g_n\) sedemikian sehingga \(f_n\leae g_n\) dan \(\int g_n=\overline{\int}f_n\) (133J(a-i)). Tetapkan \(g'_n=\min(g_n,g_{n+1})\); maka \(g'_n\) terintegralkan dan \(f_n\leae g'_n\leae g_n\), sehingga

\(\overlineint f_n\le\int g'_n \le\int g_n=\overlineint f_n\)

dan \(g'_n\) harus sama dengan \(g_n\) hampir di mana-mana. Akibatnya \(g_n\leae g_{n+1}\) untuk setiap \(n\), sementara \(\sup_{n\in\Bbb N}\int g_n=c<\infty\). Menurut teorema B. Levi, \(g=\sup_{n\in\Bbb N}g_n\) terdefinisi sebagai fungsi bernilai real hampir di mana-mana dalam \(X\), dan \(\int g=c\). Sekarang tentu saja \(f(x)\) terdefinisi, dan tidak lebih besar daripada \(g(x)\), untuk setiap \(x\in\dom g\cap\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n\) sedemikian sehingga \(f_n(x)\le g_n(x)\) untuk setiap \(n\), yaitu untuk hampir setiap \(x\); sehingga \(\overline{\int}f\le\int g=c\). Di sisi lain, \(f_n\leae f\), sehingga \(\overline{\int}f_n\le\overline{\int}f\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\); akibatnya \(\overline{\int}f\) sekurang-kurangnya \(c\), dan karena itu sama dengan \(c\), sebagaimana diperlukan.

(b) Argumennya mengikuti argumen 123B. Tetapkan \(c=\liminf_{n\to\infty}\overline{\int}f_n\). Untuk setiap \(n\), tetapkan \(g_n=\inf_{m\ge n}f_m\); maka \(\overline{\int}g_n\le\inf_{m\ge n}\overline{\int}f_m\le c\). Kita memiliki \(g_n(x)\le g_{n+1}(x)\) untuk setiap \(x\in\dom g_n\), yaitu hampir di mana-mana, untuk setiap \(n\); sehingga, menurut (a),

\(\overlineint g =\sup_{n\in\Bbb N}\overlineint g_n\le c\),

dengan

\(g=\sup_{n\in\Bbb N}g_n\eae\liminf_{n\to\infty}f_n\),

dan \(\overline{\int}\liminf_{n\to\infty}f_n\le c\), sebagaimana diklaim.

133L

Hasil berikut berada pada tingkat yang kurang mendasar daripada hasil-hasil dalam 133J, tetapi tetap penting.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Andaikan \(h_1\), \(h_2\) merupakan fungsi nonnegatif yang terukur secara virtual dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Maka

\(\overlineint f\times(h_1+h_2) =\overlineint f\times h_1+\overlineint f\times h_2\),

dengan catatan bahwa di sini, untuk kali ini saja, kita dapat menafsirkan \(\infty+(-\infty)\) atau \((-\infty)+\infty\) sebagai \(\infty\) jika hal itu diperlukan pada ruas kanan.

Bukti

(a) Jika \(\overline{\int}f\times h_1=\infty\) atau \(\overline{\int}f\times h_2=\infty\), maka \(\overline{\int}f\times(h_1+h_2)=\infty\). Bukti. Jika tidak, terdapat \(g\) sedemikian sehingga \(f\times(h_1+h_2)\leae g\) dan \(\int g<\infty\). Dalam hal ini,

\(f\times h_1 \leae f^+\times h_1 \leae f^+\times(h_1+h_2) =(f\times(h_1+h_2))^+ \leae g^+\)

sehingga \(\overline{\int}f\times h_1\le\int g^+<\infty\). Demikian pula, \(\overline{\int}f\times h_2<\infty\); bertentangan dengan hipotesis kita. ∎ Jadi dalam kasus ini, berdasarkan kaidah lokal \(\infty+(-\infty)=(-\infty)+\infty=\infty\), kita memperoleh hasilnya.

(b) Sekarang andaikan integral atas \(\overline{\int}f\times h_1\) dan \(\overline{\int}f\times h_2\) keduanya lebih kecil daripada \(\infty\), sehingga jumlah keduanya dapat ditafsirkan menurut kaidah biasa. Menurut 133J(b-ii), \(\overline{\int}f\times(h_1+h_2) \le\overline{\int}f\times h_1+\overline{\int}f\times h_2<\infty\). Untuk arah sebaliknya, andaikan bahwa \(g\geae f\times(h_1+h_2)\) dan \(\int g<\infty\). Untuk \(i=1\), \(2\), tetapkan

\[\begin{aligned}g_i(x) &=\Bover{g(x)h_i(x)}{h_1(x)+h_2(x)} \text{ jika }x\in\dom g\cap\dom h_1\cap\dom h_2 \text{ dan }h_1(x)+h_2(x)>0,\\ &=0\text{ untuk titik-titik lain }x\in X.\\\end{aligned}\]

Maka, untuk kedua \(i\), \(g_i\) terukur secara virtual, \(g_i^+\leae g^+\) dan \(g_i\geae f\times h_i\); sementara \(g\geae g_1+g_2\). Bukti. Himpunan

\(H=\{x:x\in\dom f\cap\dom g\cap\dom h_1\cap\dom h_2\), \(g(x)\ge f(x)(h_1(x)+h_2(x))\}\)

bersifat koterabaikan, dan untuk \(x\in H\)

\[\begin{aligned}g(x) &=g_1(x)+g_2(x)\text{ jika }h_1(x)+h_2(x)>0,\\ &\ge 0=g_1(x)+g_2(x)\text{ jika }h_1(x)+h_2(x)=0. \text{ \Qed}\\\end{aligned}\]

Jadi

\(\overlineint f\times h_1+\overlineint f\times h_2 \le\int g_1+\int g_2 =\int g_1+g_2 \le\int g\)

(karena \(\int g_1\) dan \(\int g_2\) keduanya paling besar \(\int g^+<\infty\), sehingga kita dapat menjumlahkannya menurut kaidah biasa). Karena \(g\) sembarang, \(\overline{\int}f\times h_1+\overline{\int}f\times h_2 \le\overline{\int}f\times(h_1+h_2)\) dan harus berlaku kesamaan.

Latihan

133X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(f:X\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi terukur. Tunjukkan bahwa

\[\begin{aligned}\int fd\mu &=\sup_{n\in\Bbb N}2^{-n}\sum_{k=1}^{4^n}\mu\{x:f(x)\ge 2^{-n}k\}\\ &=\lim_{n\to\infty}2^{-n}\sum_{k=1}^{4^n}\mu\{x:f(x)\ge 2^{-n}k\}\\\end{aligned}\]

dalam \([0,\infty]\).

133Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan \(X\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(E\in\Sigma\), maka \(f\restr E\) terintegralkan terhadap \(\mu_E\) jika dan hanya jika \(\tilde f\) terintegralkan terhadap \(\mu\), dengan menuliskan \(\mu_E\) untuk ukuran subruang pada \(E\) dan \(\tilde f(x)=f(x)\) jika \(x\in E\cap\dom f\), \(0\) jika \(x\in X\setminus E\); dan dalam hal ini \(\int_Efd\mu_E=\int \tilde fd\mu\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(E\in\Sigma\) dan \(f\) didefinisikan hampir di mana-mana terhadap \(\mu\), maka \(f\restr E\) terintegralkan terhadap \(\mu_E\) jika dan hanya jika \(f\times\chi E\) terintegralkan terhadap \(\mu\), dan dalam hal ini \(\int_Ef=\int f\times\chi E\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\int_Ef=0\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), maka \(f=0\) hampir di mana-mana.

133Xc (c)

Andaikan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(G\) suatu subhimpunan terbuka dari \(\Bbb C\), yaitu himpunan sedemikian sehingga untuk setiap \(w\in G\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\{z:|z-w|<\delta\}\subseteq G\). Misalkan \(f:X\times G\to\Bbb C\) suatu fungsi, dan andaikan bahwa turunan \(\pd{f}{z}\) dari \(f\) terhadap variabel kedua ada untuk semua \(x\in X\), \(z\in G\). Andaikan pula bahwa (i) \(F(z)=\int f(x,z)dx\) ada untuk setiap \(z\in G\) (ii) terdapat fungsi terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(|\pd{f}{z}(x,z)|\le g(x)\) untuk setiap \(x\in X\), \(z\in G\). Tunjukkan bahwa turunan \(F'\) dari \(F\) ada di setiap titik dalam \(G\), dan \(F'(z)=\biggerint\pd{f}{z}(x,z)dx\) untuk setiap \(z\in G\). (Petunjuk\/: Anda perlu memeriksa bahwa \(|f(x,z)-f(x,w)|\le|z-w|g(x)\) kapan pun \(x\in X\), \(z\in G\), dan \(w\) dekat dengan \(z\).)

133Xd (>d) penting

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana pada \(\coint{0,\infty}\), yang seperti biasa dilengkapi dengan ukuran Lebesgue. Transformasi Laplace-nya adalah fungsi \(F\) yang didefinisikan dengan menuliskan

\(F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}f(x)dx\)

untuk semua bilangan kompleks \(s\) yang integralnya terdefinisi dalam \(\Bbb C\).

(i) Tunjukkan bahwa jika \(s\in\dom F\) dan \(\Real s'\ge\Real s\), maka \(s'\in\dom F\) (karena \(|e^{-s'x}e^{sx}|\le 1\) untuk semua \(x\)).

(ii) Tunjukkan bahwa \(F\) analitik (yaitu, terdiferensialkan sebagai fungsi variabel kompleks) pada interior domainnya. Petunjuk: 133Xc.

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(F\) terdefinisi di suatu titik, maka \(\lim_{\Real s\to\infty}F(s)=0\).

(iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\) memiliki transformasi Laplace \(F\), \(G\), maka transformasi Laplace dari \(f+g\) adalah \(F+G\), setidaknya pada \(\dom F\cap \dom G\).

133Xe (>e) penting

Misalkan \(f\) suatu fungsi terintegralkan bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), yang seperti biasa dilengkapi dengan ukuran Lebesgue. Transformasi Fourier-nya adalah fungsi \(\varhatf\) yang didefinisikan dengan

\(\varhatf(s)=\Bover{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-isx}f(x)dx\)

untuk semua \(s\) real.

(i) Tunjukkan bahwa \(\varhatf\) kontinu. Petunjuk: gunakan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue pada barisan-barisan berbentuk \(f_n(x)=e^{-is_nx}f(x)\).

(ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\) memiliki transformasi Fourier \(\varhatf\), \(\varhat g\), maka transformasi Fourier dari \(f+g\) adalah \(\varhatf+\varhat g\).

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(\int xf(x)dx\) ada, maka \(\varhatf\) terdiferensialkan, dengan \(\varhatf '(s)=-\Bover{i}{\sqrt{2\pi}}\int xe^{-isx}f(x)dx\) untuk setiap \(s\).

133Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai real yang masing-masing didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\). Andaikan terdapat fungsi terintegralkan bernilai real \(g\) sedemikian sehingga \(|f_n|\leae g\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa

\(\overlineint\liminf_{n\to\infty}f_n \le\liminf_{n\to\infty}\overlineint f_n\), \(\underlineint\limsup_{n\to\infty}f_n \ge\limsup_{n\to\infty}\underlineint f_n\).

133Y Latihan lanjutan (a)

Gunakan gagasan-gagasan 133C–133H untuk mengembangkan teori fungsi terukur dan terintegralkan yang mengambil nilai dalam \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 2\).

133Yb (b)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(Y\) suatu subhimpunan \(X\) dan \(f:Y\to\Bbb C\) suatu fungsi \(\Sigma_Y\)-terukur, dengan \(\Sigma_Y=\{E\cap Y:E\in\Sigma\}\). Tunjukkan bahwa terdapat fungsi \(\Sigma\)-terukur \(\tilde f:X\to\Bbb C\) yang memperluas \(f\). Petunjuk: 121I.

133Yc (c)

Misalkan \(f\) suatu fungsi terintegralkan bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^r\), yang seperti biasa dilengkapi dengan ukuran Lebesgue, dengan \(r\ge 1\). Transformasi Fourier-nya adalah fungsi \(\varhatf\) yang didefinisikan dengan

\(\varhatf(s)=\Bover{1}{{(\sqrt{2\pi})}^r} \int e^{-is\dotproduct x}f(x)dx\)

untuk semua \(s\in\BbbR^r\), dengan menuliskan \(s\dotproduct x\) untuk \(\sigma_1\xi_1+\ldots+\sigma_r\xi_r\) jika \(s=(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)\), \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\).

(i) Tunjukkan bahwa \(\varhatf\) kontinu.

(ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\) memiliki transformasi Fourier \(\varhatf\), \(\varhat g\), maka transformasi Fourier dari \(f+g\) adalah \(\varhatf+\varhat g\).

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(\int\|x\||f(x)|dx\) berhingga (dengan mengambil \(\|x\|=\sqrt{\xi_1^2+\ldots+\xi_r^2}\) jika \(x=(\xi_1,\dots,\xi_r)\)), maka \(\varhatf\) terdiferensialkan, dengan

\(\Pd{\varhatf}{\sigma_k}(s) =-\Bover{i}{{(\sqrt{2\pi})}^r}\int\xi_ke^{-is\dotproduct x}f(x)dx\)

untuk setiap \(s\in\BbbR^r\), \(k\le r\).

133Yd (d)

Ingat kembali definisi fungsi ‘kuasi-sederhana’ dari 122Yd. Tunjukkan bahwa untuk sembarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) dan sembarang fungsi bernilai real \(f\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X\),

\( \overlineint f=\inf\{\int g:g\) kuasi-sederhana, \(f\leae g\}\),

\( \underlineint f=\sup\{\int g:g\) kuasi-sederhana, \(f\geae g\}\),

dengan mengizinkan \(\infty\) untuk \(\inf\emptyset\) dan \(\sup\Bbb R\), serta \(-\infty\) untuk \(\inf\Bbb R\) dan \(\sup\emptyset\).

133Ye (e)

Nyatakan dan buktikan hasil serupa mengenai fungsi-fungsi ‘pseudo-sederhana’ dari 122Ye.

Catatan dan komentar

133 Catatan penutup untuk Bagian 133

Saya telah menguraikan bagian ini secara terperinci, meskipun di dalamnya tidak ada sesuatu yang sungguh-sungguh dapat disebut gagasan baru, karena bagian ini memberi kita kesempatan untuk meninjau kembali pekerjaan sebelumnya, dan karena manipulasi-manipulasi yang sekarang, saya harap, mulai tampak ‘jelas’ bagi Anda sebenarnya hanya dapat dibenarkan melalui teorema-teorema yang sulit; saya percaya bahwa setidaknya sesekali kita patut melihat kembali titik-titik tepat tempat pembenaran itu dituliskan.

Anda mungkin telah memperhatikan kemiripan antara hasil-hasil yang melibatkan ‘integral atas’, sebagaimana diuraikan di sini, dan hasil-hasil dalam §132 mengenai ‘ukuran luar’ (misalnya 132Ae dan 133Ka, atau 132Xe dan 133Kb). Kemiripan ini bukan kebetulan; semacam penjelasan dapat ditemukan dalam 252Ym di Jilid 2.