Prakata

Dalam karyanya yang elok, Hilbert Space Problem Book [24], Paul Halmos terkenal menekankan bahwa praktik aktif merupakan syarat mutlak untuk belajar matematika. Halmos tentu bukan satu-satunya yang meyakini hal itu. Kumpulan catatan ini merupakan pendamping berorientasi aktivitas untuk mempelajari analisis fungsional linear dan aljabar operator. Catatan ini dimaksudkan sebagai pendamping pedagogis bagi pemula, pengantar menuju beberapa gagasan utama dalam bidang analisis ini, kumpulan soal yang menurut saya berguna untuk mempelajari pokok bahasannya, serta daftar bacaan dan referensi beranotasi.

Sebagian besar hasil dalam pengantar analisis fungsional bersifat lugas dan dapat diperiksa oleh mahasiswa yang menelaahnya dengan saksama. Bahkan, itulah tujuan utama catatan ini—meyakinkan pemula bahwa bidang ini dapat dipelajari. Dalam materi berikut terdapat banyak penanda yang mengajak pembaca untuk berperan aktif: kata-kata seperti “proposisi”, “contoh”, “latihan”, dan “akibat”, jika tidak diikuti oleh bukti atau rujukan kepada suatu bukti, merupakan undangan untuk memeriksa pernyataan yang diajukan. Tentu saja, ada beberapa teorema yang, menurut saya, memerlukan waktu dan usaha pembuktian yang lebih besar daripada manfaat yang diperoleh. Dalam kasus seperti itu, apabila saya tidak dapat menyempurnakan bukti bakunya, saya memberikan rujukan alih-alih mengulang bukti tersebut.

Materi dalam catatan ini mencerminkan isi sebagian dari dua mata kuliah pascasarjana sepanjang tahun tentang beberapa topik dasar dalam analisis fungsional (linear) dan aljabar operator, yang telah berkali-kali saya ajarkan di Portland State University. Dalam mata kuliah tersebut, selain menggunakan catatan ini, saya meminta mahasiswa memilih sumber informasi lain—baik buku cetak maupun dokumen daring—yang sesuai dengan gaya belajar (dan anggaran) masing-masing. Prasyarat untuk mempelajari catatan ini cukup ringan; bahkan pengenalan sepintas terhadap aljabar linear, analisis real, dan topologi semestinya memadai. Dengan kata lain, istilah seperti ruang vektor, pemetaan linear, limit, ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue, himpunan terbuka, himpunan kompak, serta fungsi kontinu semestinya sudah tidak asing.

Karena analisis fungsional linear, setidaknya dalam suatu pengertian, dapat dipandang sebagai ‘aljabar linear berdimensi tak hingga’, bab pertama catatan ini dikhususkan bagi tinjauan (yang cukup ringkas) atas beberapa gagasan penting yang, dalam dunia angan-angan saya, dibawa pulang mahasiswa dari mata kuliah aljabar linear pertama mereka. Tiga wawasan utama yang dikembangkan dalam bab pertama adalah:

operator yang dapat didiagonalkan pada ruang vektor berdimensi hingga merupakan kombinasi linear dari proyeksi;
operator pada ruang hasil kali dalam kompleks berdimensi hingga dapat didiagonalkan secara uniter jika dan hanya jika operator itu normal; dan
dua operator normal pada ruang hasil kali dalam kompleks berdimensi hingga ekuivalen secara uniter jika dan hanya jika keduanya memiliki nilai-nilai eigen yang sama, masing-masing dengan multiplisitas yang sama.

Saya memandang hasil-hasil tersebut sangat mendasar karena wawasan luar biasa yang lahir dari berbagai upaya para ahli teori operator selama seabad terakhir untuk membawanya ke dalam ranah analisis fungsional, yakni menggeneralisasikannya ke kasus berdimensi tak hingga. Salah satu akibat penjelajahan yang subur dan luar biasa rumit ini ialah ditemukannya banyak hubungan yang mencengangkan, erat, dan kompleks antara teori operator dan bidang-bidang seperti teori fungsi variabel kompleks, topologi aljabar, serta aljabar homologis. Dalam bagian-bagian selanjutnya dari catatan ini, saya berusaha menelusuri kembali beberapa langkah tersebut. Kuliah yang menjadi dasar catatan ini berpuncak pada hasil menakjubkan Brown, Douglas, dan Fillmore yang pertama kali diterbitkan pada 1973 (lihat [6]). Bahkan sekarang, sebagian besar mahasiswa pascasarjana masih kesulitan menemukan uraian yang cukup mudah dicerna mengenai banyak materi latar yang diperlukan untuk mengembangkan materi indah ini. Sayangnya, penalaran transfinit yang serba informal dan masih cukup berhasil di ruang kuliah sangat sukar dialihkan ke kertas atau media elektronik. Akibatnya, catatan ini masih berada dalam keadaan yang sungguh belum selesai. Saya terus mengerjakannya; dan mungkin orang lain kelak akan menyelesaikan apa yang tidak saya selesaikan.

Jika materi aljabar linear dalam bab pertama terasa terlalu ringkas, uraian yang lebih santai dan lebih menyeluruh dapat ditemukan dalam catatan daring saya [17]. Demikian pula, materi latar tambahan tentang kalkulus lanjut, ruang metrik dan ruang topologis, integral Lebesgue, dan sebagainya dapat ditemukan dalam banyak sekali sumber, termasuk [15] dan [16].

Tentu terdapat sejumlah kelebihan dan kekurangan ketika sebuah dokumen diterbitkan secara elektronik. Salah satu kelebihannya ialah rujuk silang dapat diikuti dengan cepat melalui pranala. Menelusuri sebuah buku untuk mencari lema 3.14.8 dapat memakan waktu (terutama apabila seorang penulis menerapkan kebiasaan yang sepenuhnya logis tetapi sangat menjengkelkan, yakni memberi nomor secara terpisah kepada lema, proposisi, teorema, akibat, dan sebagainya). Kelebihan yang mungkin lebih penting ialah kemampuan untuk segera memperbaiki kesalahan, menambahkan bagian yang hilang, memperjelas argumen yang samar, dan membenahi ungkapan yang kurang baik. Kekurangan yang menyertainya ialah bahwa seorang pembaca yang kembali ke laman web setelah waktu singkat mungkin mendapati segala sesuatu (halaman, definisi, teorema, bagian) telah memperoleh nomor yang berbeda. (LaTeX adalah alat yang mengagumkan.) Saya akan mengubah tanggal pada halaman judul untuk memberi tahu pembaca kapan pembaruan tak sepele terakhir dilakukan (yakni pembaruan yang memengaruhi nomor atau rujuk silang).

Kekurangan paling serius dari kehidupan elektronik ialah ketidaklestariannya. Dalam kebanyakan kasus, ketika sebuah laman web menghilang, untuk segala keperluan praktis informasi di dalamnya turut menghilang. Karena alasan ini (dan karena saya ingin materi ini tersedia secara bebas bagi siapa pun yang menginginkannya), saya menggunakan lisensi “BerbagiSerupa” dari Creative Commons. Saya berharap siapa pun yang menganggap materi ini berguna akan memperbaiki yang keliru, menambahkan yang hilang, dan menyempurnakan yang canggung. Saya akan menyertakan berkas sumber LaTeX di situs web saya agar pemanfaatan dokumen ini, atau bagian-bagiannya, tidak mengharuskan pengetikan ulang tanpa henti. Mengenai teksnya sendiri, silakan kirim koreksi, saran, keluhan, dan komentar lain kepada penulis melalui $\textrm{erdman@pdx.edu}$

Huruf Yunani

Huruf Yunani: bentuk, nama, dan pelafalan
Huruf kapital	Huruf kecil	Nama dalam bahasa Inggris (perkiraan pelafalan)
A	$\alpha$	Alpha (AL-fuh)
B	$\beta$	Beta (BAY-tuh)
$\Gamma$	$\gamma$	Gamma (GAM-uh)
$\Delta$	$\delta$	Delta (DEL-tuh)
$E$	$\epsilon$ atau $\varepsilon$	Epsilon (EPP-suh-lon)
Z	$\zeta$	Zeta (ZAY-tuh)
H	$\eta$	Eta (AY-tuh)
$\Theta$	$\theta$	Theta (THAY-tuh)
I	$\iota$	Iota (eye-OH-tuh)
K	$\kappa$	Kappa (KAP-uh)
$\Lambda$	$\lambda$	Lambda (LAM-duh)
M	$\mu$	Mu (MYOO)
N	$\nu$	Nu (NOO)
$\Xi$	$\xi$	Xi (KSEE)
O	o	Omicron (OHM-ih-kron)
$\Pi$	$\pi$	Pi (PIE)
P	$\rho$	Rho (ROH)
$\Sigma$	$\sigma$	Sigma (SIG-muh)
T	$\tau$	Tau (TAU)
Y	$\upsilon$	Upsilon (OOP-suh-lon)
$\Phi$	$\phi$	Phi (FEE or FAHY)
X	$\chi$	Chi (KHAY)
$\Psi$	$\psi$	Psi (PSEE or PSAHY)
$\Omega$	$\omega$	Omega (oh-MAY-guh)

Font Fraktur

Dalam catatan ini digunakan font Fraktur (paling sering untuk keluarga himpunan dan keluarga operator). Padanan huruf Roman bagi setiap huruf diberikan di bawah ini. Ketika menulis dengan tangan atau menyajikan materi di papan tulis, biasanya paling baik menggantinya dengan huruf Latin kaligrafis.

Font Fraktur dan padanan huruf Latinnya
Fraktur	Fraktur	Roman
Huruf kapital	Huruf kecil	Huruf kecil
$\mathfrak A$	$\mathfrak a$	a
$\mathfrak B$	$\mathfrak b$	b
$\mathfrak C$	$\mathfrak c$	c
$\mathfrak D$	$\mathfrak d$	d
$\mathfrak E$	$\mathfrak e$	e
$\mathfrak F$	$\mathfrak f$	f
$\mathfrak G$	$\mathfrak g$	g
$\mathfrak H$	$\mathfrak h$	h
$\mathfrak I$	$\mathfrak i$	i
$\mathfrak J$	$\mathfrak j$	j
$\mathfrak K$	$\mathfrak k$	k
$\mathfrak L$	$\mathfrak l$	l
$\mathfrak M$	$\mathfrak m$	m
$\mathfrak N$	$\mathfrak n$	n
$\mathfrak O$	$\mathfrak o$	o
$\mathfrak P$	$\mathfrak p$	p
$\mathfrak Q$	$\mathfrak q$	q
$\mathfrak R$	$\mathfrak r$	r
$\mathfrak S$	$\mathfrak s$	s
$\mathfrak T$	$\mathfrak t$	t
$\mathfrak U$	$\mathfrak u$	u
$\mathfrak V$	$\mathfrak v$	v
$\mathfrak W$	$\mathfrak w$	w
$\mathfrak X$	$\mathfrak x$	x
$\mathfrak Y$	$\mathfrak y$	y
$\mathfrak Z$	$\mathfrak z$	z

Notasi untuk Himpunan Bilangan

Berikut adalah daftar notasi yang cukup baku untuk beberapa himpunan bilangan yang sering muncul dalam catatan ini:

Notasi untuk himpunan bilangan
Notasi	Arti
$\mathbb{C}$	himpunan bilangan kompleks
$\mathbb{R}$	himpunan bilangan real
$\mathbb{R}^n$	semua tupel-n bilangan real
$\mathbb{R}^{+}=\{x\in\mathbb{R}:x\geq0\}$	bilangan real tak negatif
$\mathbb{Q}$	himpunan bilangan rasional
$\mathbb{Q}^{+}=\{x\in\mathbb{Q}:x\geq0\}$	bilangan rasional tak negatif
$\mathbb{Z}$	himpunan bilangan bulat
$\mathbb{Z}^{+}=\{0,1,2,\ldots\}$	bilangan bulat tak negatif
$\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$	himpunan bilangan asli
$\mathbb{N}_n=\{1,2,3,\ldots,n\}$	n bilangan asli pertama
$[a,b]$	interval tertutup: a ≤ x ≤ b
$[a,b)$	interval: a ≤ x < b
$(a,b]$	interval: a < x ≤ b
$(a,b)$	interval terbuka: a < x < b
$[a,\infty)$	sinar: a ≤ x
$(a,\infty)$	sinar: a < x
$(-\infty,b]$	sinar: x ≤ b
$(-\infty,b)$	sinar: x < b
$\mathbb{D}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2<1\}$	cakram satuan terbuka
$\mathbb{T}=\mathbb{S}^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$	lingkaran satuan

Notasi untuk Fungsi

Fungsi sudah tidak asing sejak kalkulus dasar. Secara informal, suatu fungsi terdiri atas sepasang himpunan dan suatu “aturan” yang mengaitkan setiap anggota himpunan pertama (yaitu domain) dengan tepat satu anggota himpunan kedua (yaitu kodomain). Walaupun “definisi” informal ini tentu memadai untuk sebagian besar keperluan dan jarang menimbulkan kesalahpahaman, kadang-kadang perumusan yang lebih tepat tetap berguna. Perumusan itu diperoleh dengan mendefinisikan fungsi melalui suatu jenis khusus relasi antara dua himpunan.

Suatu fungsi $f$ adalah tripel terurut $(S,T,G)$ , dengan $S$ dan $T$ himpunan serta $G$ subhimpunan dari $S \times T$ yang memenuhi:

untuk setiap $s \in S$ terdapat $t \in T$ sedemikian sehingga $(s,t) \in G$ ; dan
jika $(s,t_1)$ dan $(s,t_2)$ termasuk dalam $G$ , maka $t_1 = t_2$ .

Dalam keadaan ini kita mengatakan bahwa $f$ adalah fungsi dari $S$ ke $T$ (atau bahwa $f$ memetakan $S$ ke $T$ ) dan menulis $f\colon S \rightarrow T$ . Himpunan $S$ adalah domain (atau ruang masukan) dari $f$ . Himpunan $T$ adalah kodomain (atau ruang sasaran, atau ruang keluaran) dari $f$ . Relasi $G$ adalah graf dari $f$ . Untuk menghindari penyebutan graf $G$ secara eksplisit, biasanya ungkapan “ $(x,y) \in G\,$ ” diganti dengan “ $y = f(x)$ ”; elemen $f(x)$ adalah citra $x$ di bawah $f$ . Dalam catatan ini (tetapi tidak di semua tempat), kata “transformasi”, “peta”, dan “pemetaan” digunakan sebagai sinonim “fungsi”. Domain $f$ dinotasikan dengan $\mathop{\mathrm{dom}}f$ .

Jika $S$ dan $T$ himpunan, keluarga semua fungsi yang berdomain $S$ dan berkodomain $T$ dinotasikan dengan $\mathcal{F}(S,T)$ .

Jika $f \colon S \rightarrow T$ dan $A\subseteq S$ , maka pembatasan $f$ pada $A$ , yang dinotasikan dengan $\bigl.f\bigr|_A$ , adalah pemetaan dari $A$ ke $T$ yang nilainya pada setiap $x$ di $A$ sama dengan $f(x)$ .

Jika $f\colon S \rightarrow T$ dan $A \subseteq S$ , maka $f^{\rightarrow} (A)$ , yaitu citra $A$ di bawah $f$ adalah $\{f(x)\colon x \in A\}$ . Lazim pula menulis $f(A)$ sebagai pengganti $f^{\rightarrow}(A)$ . Himpunan $f^{\rightarrow}(S)$ adalah jangkauan (atau citra) dari $f$ ; biasanya kita menulis $\mathop{\mathrm{ran}}f$ sebagai pengganti $f^{\rightarrow}(S)$ .

Jika $f\colon S \rightarrow T$ dan $B \subseteq T$ , maka $f^\gets (B)$ , yaitu pracitra $B$ di bawah $f$ (atau citra inversnya) adalah $\{x \in S\colon f(x) \in B\}$ . Dalam banyak buku, $f^{\gets}(B)$ dinotasikan dengan $f^{-1}(B)$ . Notasi ini dapat membingungkan karena menyiratkan bahwa fungsi $f$ memiliki invers, padahal belum tentu demikian.

Suatu fungsi $f\colon S \rightarrow T$ bersifat injektif (atau satu-satu) jika $f(x) = f(y)$ mengakibatkan $x = y$ untuk semua $x$ , $y \in S$ . Fungsi itu bersifat surjektif (atau onto) jika untuk setiap $t \in T$ terdapat $x \in S$ sedemikian sehingga $f(x) = t$ . Fungsi itu bersifat bijektif (atau merupakan korespondensi satu-satu) jika fungsi itu injektif sekaligus surjektif.

Sering kali berguna untuk memandang fungsi sebagai panah dalam diagram. Sebagai contoh, keadaan $j\colon R \rightarrow U$ , $f\colon R \rightarrow S$ , $k\colon S \rightarrow T$ , $h\colon U \rightarrow T$ dapat direpresentasikan oleh diagram berikut.

Diagram persegi dengan R di kiri atas, U di kanan atas, S di kiri bawah, dan T di kanan bawah. Panahnya adalah j dari R ke U, f dari R ke S, h dari U ke T, dan k dari S ke T. Diagram komutatif tepat ketika h setelah j sama dengan k setelah f. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Diagram itu dikatakan berkomutasi (atau disebut diagram komutatif) jika $h \circ j = k \circ f$ .

Diagram tidak harus berbentuk persegi panjang. Sebagai contoh,

Diagram segitiga dengan panah f dari R ke S, k dari S ke T, dan g langsung dari R ke T. Diagram komutatif tepat ketika g sama dengan k setelah f. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

adalah diagram komutatif jika $g = k \circ f$ .