Bab 6 · Ruang Banach

Transformasi Alami

Ingat bahwa jika $V$ suatu ruang linear bernorma, maka ruang dual $V^*$ adalah himpunan semua fungsional linear kontinu pada $V$ . Pada $V^*$ , penjumlahan dan perkalian skalar didefinisikan secara titik demi titik. Normanya adalah norma operator biasa: jika $f \in V^*$ , maka $\lVert f\rVert := \inf\{M > 0\colon \lvert f(x)\rvert \le M\lVert x\rVert\quad \text{untuk setiap $x \in V$}\} = \sup\{\lvert f(x)\rvert\colon \lVert x\rVert \le 1\}.$ Di bawah metrik yang diinduksi oleh norma ini, ruang dual $V^*$ lengkap dan karena itu merupakan ruang Banach.

Definisi 6.1.1.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ suatu pemetaan linear kontinu antara ruang-ruang linear bernorma, $T^*\colon W^* \rightarrow V^*$ didefinisikan seperti pada ruang vektor: $T^*(g) = g\,T$ untuk setiap $g \in W^*$ . Pemetaan $T^*$ disebut adjoin dari $T$ .

Contoh 6.1.2.

Adjoin $T^*$ dari suatu pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang linear bernorma $V$ dan $W$ sendiri merupakan pemetaan linear terbatas antara $W^*$ dan $V^*$ . Dalam kategori ruang linear bernorma dan pemetaan linear kontinu, pasangan pemetaan $V \mapsto V^*$ (pemetaan objek) dan $T \mapsto T^*$ (pemetaan morfisme) merupakan suatu funktor kontravarian dari $\mathbf{NLS_\infty}$ ke dirinya sendiri.

Perhatikan bahwa Definisi 6.1.1 berbeda dari definisi adjoin suatu pemetaan antara ruang-ruang Hilbert (lihat 5.2.10). Karena setiap ruang Hilbert merupakan ruang linear bernorma, hal ini dapat saja menimbulkan kebingungan. Ada baiknya kita meyakinkan diri tentang fakta sederhana berikut: karena anti-isomorfisme (dan akibatnya isomorfisme) antara ruang Hilbert dan dualnya yang diberikan oleh teorema Riesz–Fréchet (lihat 4.5.5 dan 4.5.10), adjoin ruang linear bernorma dari suatu pemetaan linear terbatas sangat mirip (meskipun tentu tidak identik) dengan adjoin ruang Hilbertnya.

Contoh 6.1.3.

Dual $V^{**}$ dari dual $V^*$ suatu ruang linear bernorma $V$ adalah dual kedua dari $V$ dan $T^{**} := \bigl(T^*\bigr)^*$ merupakan pemetaan linear terbatas dari $V^{**}$ ke $W^{**}$ . Pada kategori $\mathbf{BAN_{\boldsymbol\infty}}$ yang terdiri atas ruang Banach dan transformasi linear terbatas, funktor dual kedua mencakup pemetaan objek $B \mapsto B^{**}$ dan pemetaan morfisme $T \mapsto T^{**}$ . Funktor ini kovarian.

Definisi 6.1.4.

Misalkan $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ kategori, serta $F$ , $G \colon \mathbf{A} \rightarrow\mathbf{B}$ funktor kovarian. Suatu transformasi alami dari $F$ ke $G$ adalah pemetaan $\tau$ yang memasangkan kepada setiap objek $A$ dalam $\mathbf{A}$ suatu morfisme $\tau_A \colon F(A) \rightarrow G(A)$ dalam $\mathbf{B}$ sedemikian sehingga untuk setiap morfisme $\alpha \colon A \rightarrow A'$ dalam $\mathbf{A}$ , diagram berikut komutatif.

Persegi kealamian transformasi tau dari funktor F ke G. Objek-objeknya adalah F(A) di kiri atas, F(A prima) di kanan atas, G(A) di kiri bawah, dan G(A prima) di kanan bawah. Panah horizontal atas adalah F(alpha), panah horizontal bawah adalah G(alpha), sedangkan panah vertikalnya tau sub-A dan tau sub-A-prima. Persegi komutatif: tau sub-A-prima setelah F(alpha) sama dengan G(alpha) setelah tau sub-A. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Kita menyatakan transformasi semacam itu dengan $\tau \colon F \rightarrow G$ . (Definisi transformasi alami antara dua funktor kontravarian seharusnya jelas: cukup balikkan panah-panah horizontal dalam diagram sebelumnya.)

Suatu transformasi alami $\tau \colon F \rightarrow G$ disebut ekuivalensi alami jika setiap morfisme $\tau_A$ merupakan isomorfisme dalam $\mathbf{B}$ .

Definisi 6.1.5.

Jika $V$ suatu ruang linear bernorma, maka pemetaan $\tau_{{}_{\scriptstyle{V}}} \colon V \rightarrow V^{**} \colon x \mapsto x^{**}$ , dengan $x^{**}(f) = f(x)$ untuk setiap $f \in V^*$ , disebut pembenaman alami dari $V$ ke $V^{**}$ . (Tidak sepenuhnya jelas bahwa pemetaan ini injektif. Kita akan menunjukkannya dalam Proposisi 6.1.9.)

Contoh 6.1.6.

Dalam kategori $\mathbf{BAN_{\boldsymbol\infty}}$ yang terdiri atas ruang Banach dan transformasi linear terbatas, misalkan $I$ adalah funktor identitas dan $(\,\cdot\,)^{**}$ adalah funktor dual kedua. Maka pembenaman alami $\tau$ merupakan transformasi alami dari $I$ ke $(\,\cdot\,)^{**}$ .

Contoh 6.1.7.

Jelaskan secara tepat apa yang dimaksud ketika orang mengatakan bahwa isomorfisme $\mathcal{C}(X \uplus Y) \cong \mathcal{C}(X) \times \mathcal{C}(Y)$ merupakan ekuivalensi alami. Kategori-kategori yang terlibat adalah $\mathbf{CpH}$ (ruang Hausdorff kompak dan pemetaan kontinu) serta $\mathbf{BAN_\infty}$ (ruang Banach dan transformasi linear terbatas).

Contoh 6.1.8.

Pada kategori $\mathbf{CpH}$ yang terdiri atas ruang Hausdorff kompak dan pemetaan kontinu, misalkan $I$ funktor identitas dan $\mathcal{C}^*$ funktor yang memetakan ruang Hausdorff kompak $X$ ke ruang Banach $\mathcal{(}C(X))^*$ , serta memetakan suatu fungsi kontinu $\phi\colon X \rightarrow Y$ antara ruang-ruang Hausdorff kompak ke transformasi linear kontraktif $\mathcal{C}^*\phi = (\mathcal{C}\phi)^*$ . Definisikan pemetaan evaluasi $E$ dengan $E_X\colon X \rightarrow\mathcal{C}^*(X)\colon x \mapsto E_X(x)$ dengan $(E_X(x))(f) = f(x)$ untuk setiap $f \in \mathcal{C}(X)$ . (Notasi ini dapat merepotkan. Dalam praktik, biasanya orang menulis $E_x$ saja untuk $E_X(x)$ . Jadi kita memperoleh $E_x(f) = f(x)$ , yang tentu tampak lebih baik daripada $(E_X(x))(f) = f(x)$ . Dalam kebanyakan konteks, penyederhanaan notasi ini tampaknya tidak mungkin menimbulkan kebingungan.)

Perhatikan bahwa definisi ini memang bermakna. Jika $x \in X$ , maka $E_X(x)$ benar-benar merupakan anggota $\mathcal{C}^*(X)$ .
Tunjukkan bahwa pemetaan $E$ membuat diagram berikut komutatif:

Persegi kealamian pemetaan evaluasi. Panah atas adalah phi dari X ke Y; panah vertikal adalah E sub-X dari X ke C-bintang(X) dan E sub-Y dari Y ke C-bintang(Y); panah bawah adalah C-bintang(phi) dari C-bintang(X) ke C-bintang(Y). Persegi komutatif: C-bintang(phi) setelah E sub-X sama dengan E sub-Y setelah phi.
Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Contoh sebelumnya mungkin terasa agak mengecewakan. Tampaknya kita sedang berusaha membentuk suatu transformasi alami antara funktor identitas (pada $\mathbf{CpH}$ ) dan funktor $\mathcal{C}^*$ . Masalahnya, tentu saja, ialah kedua funktor tersebut memiliki kategori sasaran yang berbeda. Pertanyaan ini akan kita bahas kelak. Pemetaan evaluasi $E_X\colon X \rightarrow\mathcal{C}^*(X)$ tentu tidak surjektif. Perhatikan, misalnya, bahwa setiap fungsional berbentuk $E_X(x)$ mempertahankan perkalian (selain penjumlahan dan perkalian skalar). Salah satu akibatnya ialah bahwa semua fungsional semacam itu terletak pada sfer satuan $\mathcal{C}^*(X)$ . Dengan suatu topologi baru (yang disebut topologi lemah-bintang—lihat 6.2.7) pada $\mathcal{C}^*(X)$ , jangkauan $E_X$ ternyata merupakan ruang Hausdorff kompak yang secara alami ekuivalen dengan $X$ sendiri. Yang lebih luar biasa lagi, pada akhirnya kita akan menunjukkan bahwa jangkauan $E_X$ dapat dipandang sebagai ruang ideal maksimal dari aljabar $\mathcal{C}(X)$ . (Lihat 11.2.20.)

Proposisi 6.1.9.

Jika $V$ suatu ruang linear bernorma, maka pembenaman alami $\tau_{{}_{\scriptstyle{V}}} \colon V \rightarrow V^{**}\colon x \mapsto x^{**}$ (yang didefinisikan dalam 6.1.5) merupakan pemetaan linear isometrik.

Definisi 6.1.10.

Suatu ruang Banach $B$ disebut refleksif jika pembenaman alami $\tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}\colon B \rightarrow B^{**}$ (yang didefinisikan dalam proposisi sebelumnya) surjektif.

Contoh 6.1.6 menunjukkan bahwa dalam kategori ruang Banach dan pemetaan linear terbatas, pemetaan $\tau\colon B \mapsto \tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}$ merupakan transformasi alami dari funktor identitas ke funktor dual kedua. Dengan menggunakan teorema Hahn–Banach, kita dapat mengatakan lebih banyak.

Proposisi 6.1.11.

Dalam kategori ruang Banach refleksif dan pemetaan linear terbatas, pemetaan $\tau\colon B \mapsto \tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}$ merupakan ekuivalensi alami antara funktor identitas dan funktor dual kedua.

Contoh 6.1.12.

Setiap ruang Hilbert bersifat refleksif.

Latihan 6.1.13.

Misalkan $V$ dan $W$ ruang-ruang linear bernorma, $U$ subhimpunan konveks takkosong dari $V$ , dan $f \colon U \rightarrow W$ . Tanpa menggunakan bentuk apa pun dari teorema nilai rata-rata, tunjukkan bahwa jika $df = \mathbf{0}$ pada $U$ , maka $f$ konstan pada $U$ . (Untuk definisi $df$ , yaitu diferensial dari $f$ , lihat Bagian 13.1–2 dalam catatan saya [16].)

Contoh 6.1.14.

Misalkan $l_\infty$ ruang Banach dari semua barisan bilangan real yang terbatas, dan $c$ subruang $l_\infty$ yang terdiri atas semua barisan $x = (x_n)$ sedemikian sehingga $\lim_{n \rightarrow\infty} x_n$ ada. Definisikan $f\colon c \rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto \lim_{n\rightarrow\infty} x_n.$ Maka $f$ merupakan fungsional linear kontinu pada $c$ dan $\lVert f\rVert = 1$ . Berdasarkan teorema Hahn–Banach, $f$ memiliki perluasan ke $\widehat{f} \in {l_\infty}^*$ dengan $\lVert\widehat{f}\rVert = 1$ . Untuk setiap subhimpunan $A$ dari $\mathbb{N}$ , definisikan barisan $\bigl(x^A_n\bigr)$ dengan $x^A_n = \left\{% \begin{array}{ll} 1, & \text{jika } n \in A; \\ 0, & \text{jika } n \notin A. \\ \end{array}% \right.$ Selanjutnya, definisikan $\mu\colon \mathfrak{P}(\mathbb{N}) \rightarrow\mathbb{R}\colon A \mapsto \widehat{f}\bigl(x^A_n\bigr)$ . Maka $\mu$ merupakan fungsi himpunan aditif hingga, tetapi tidak aditif terhitung.

Teorema Alaoglu

Notasi 6.2.1.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma, $M \subseteq V$ , dan $F \subseteq V^\ast$ . Kita definisikan $\begin{align*} M^\perp &:= \{f \in V^*\colon f(x)=0 \text{ untuk setiap $x \in M$}\} \\ F_\perp &:= \{x \in V\colon f(x)=0 \text{ untuk setiap $f \in F$}\} \end{align*}$ $M^\perp$ dapat dibaca “M perp” atau “M perp atas”, sedangkan $F_\perp$ dibaca “F perp” atau “F perp bawah”. Himpunan $M^\perp$ adalah anihilator dari $M$ , dan $F_\perp$ adalah praanihilator dari $F$ .

Proposisi 6.2.2.

Misalkan $B$ suatu ruang Banach, $M \subseteq B$ , dan $F \subseteq B^*$ . Maka

Jika $M \subseteq N \subseteq B$ , maka $N^\perp \subseteq M^\perp$ .
Jika $F \subseteq G \subseteq B^*$ , maka $G_\perp \subseteq F_\perp$ .
$M^\perp$ merupakan subruang linear tertutup dari $B^*$ .
$F_\perp$ merupakan subruang linear tertutup dari $B$ .
$M \subseteq M^\perp{}_\perp$ .
$F \subseteq F_\perp{}^\perp$ .
$M^\perp{}_\perp = \bigvee M$ .
$M^\perp = B^*$ jika dan hanya jika $M \subseteq \{0\}$ .
$F_\perp = B$ jika dan hanya jika $F \subseteq \{0\}$ .
Jika $M$ suatu subruang linear dari $B$ , maka $M^\perp = \{0\}$ jika dan hanya jika $M$ padat dalam $B$ .
Jika $B$ refleksif, maka $F_\perp{}^\perp = \bigvee F$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk (k), tunjukkan bahwa $\tau(F_\perp) = F^\perp$ (dengan $\tau$ pembenaman alami) dan karena itu $F_\perp{}^\perp = F^\perp{}_\perp$ . ◻

Contoh 6.2.3.

Misalkan $B$ suatu ruang Banach yang tidak refleksif. Misalkan $F = \mathop{\mathrm{ran}}\tau$ (dengan $\tau$ pembenaman alami). Maka $F_\perp{}^\perp = B^{**} \ne \bigvee F$ , sehingga jelas bahwa {{\rm {(k) dalam proposisi sebelumnya tidak harus berlaku dalam kasus nonrefleksif.

Hasil berikut adalah analog ruang Banach dari teorema dasar aljabar linear 1.2.42 dan Proposisi 5.2.25.

Proposisi 6.2.4.

Misalkan $T \in \mathfrak{B}(B,C)$ , dengan $B$ dan $C$ ruang-ruang Banach. Maka

$\ker T^\ast = (\mathop{\mathrm{ran}}T)^\perp$ .
$\ker T = (\mathop{\mathrm{ran}}T^*)_\perp$ . pt
$\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T} = (\ker T^*)_\perp$ . pt
$\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T^*} \subseteq (\ker T)^\perp$ .

Contoh 6.2.5.

Suatu contoh operator ruang Banach $T$ yang membuat $\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T^*}$ dan $(\ker T)^\perp$ berbeda diberikan dalam Latihan 7, halaman 243 dari [4].

Contoh berikut tentu merupakan akibat langsung yang sepele dari Proposisi 3.3.8, tetapi cobalah memberikan pembuktian langsung yang sederhana.

Contoh 6.2.6.

Bola satuan tertutup dalam $l_2$ tidak kompak.

Topologi norma biasa pada ruang linear bernorma ternyata terlalu besar untuk beberapa penerapan. Seperti telah kita lihat, topologi ini memiliki begitu banyak himpunan terbuka sehingga bola satuan tertutup tidak kompak (kecuali dalam kasus berdimensi hingga). Di sisi lain, terlalu sedikit himpunan terbuka (sebagai contoh ekstrem, topologi indiskret) akan merusak teori dualitas karena tidak menyediakan cukup banyak fungsional linear kontinu. Topologi lemah-bintang (yang didefinisikan di bawah) pada dual suatu ruang linear bernorma ternyata tepat ukurannya. Topologi ini memiliki cukup banyak himpunan terbuka untuk menjamin teori dualitas yang kuat dan cukup sedikit himpunan terbuka untuk membuat bola satuan tertutup kompak (lihat teorema Alaoglu 6.2.9).

Definisi 6.2.7.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma. topologi lemah pada $V$ adalah topologi lemah yang diinduksi oleh unsur-unsur $V^*$ . (Jadi, topologi lemah pada ruang dual $V^*$ adalah topologi lemah yang diinduksi oleh unsur-unsur $V^{**}$ .) Ketika suatu jaring $(x_\lambda)$ konvergen secara lemah ke vektor $a$ dalam $V$ , kita menulis $x_\lambda \to^w a$ . topologi- $w^*$ (dibaca topologi lemah-bintang) pada ruang dual $V^*$ adalah topologi lemah yang diinduksi oleh unsur-unsur $\mathop{\mathrm{ran}}\tau$ , dengan $\tau$ pembenaman alami dari $V$ ke $V^{**}$ . Ketika suatu jaring $(f_\lambda)$ konvergen secara lemah-bintang ke vektor $g$ dalam $V^*$ , kita menulis $f_\lambda \to^{w^*} g$ . Perhatikan bahwa ketika suatu ruang Banach $B$ refleksif (khususnya, untuk ruang Hilbert), topologi lemah dan lemah-bintang pada $B^*$ identik.

Proposisi 6.2.8.

Misalkan $f \in V^*$ , dengan $V$ suatu ruang Banach. Untuk setiap $\epsilon > 0$ dan setiap subhimpunan hingga $F \subseteq V$ , definisikan $U(f;F;\epsilon) = \{g \in V^*\colon \lvert f(x) - g(x)\rvert < \epsilon \text{ untuk setiap $x \in F$}\}.$ Keluarga semua himpunan semacam itu merupakan basis bagi topologi- $w^*$ pada $V^*$ .

Hasil berikut, teorema Alaoglu, menyatakan kekompakan- $w^*$ dari bola satuan tertutup dalam dual suatu ruang linear bernorma $V$ dan merupakan salah satu teorema yang paling berguna dalam analisis fungsional. Karena itu, pada awalnya mungkin agak mengejutkan bahwa pembuktian lengkap yang dijelaskan secara cermat begitu sulit ditemukan. Pembuktian standar pada dasarnya sangat sederhana; intinya hanyalah mengenali bahwa anggota-anggota suatu keluarga $\mathcal{F}$ dari fungsi bernilai skalar dapat dipandang

sebagai fungsi yang didefinisikan pada hasil kali takterhitung dari subhimpunan kompak medan skalar; atau
sebagai anggota bola satuan tertutup dari $V^*$ .

Inti pembuktiannya adalah meyakinkan diri bahwa konvergensi suatu jaring fungsi semacam itu dalam ruang hasil kali tepat “sama” dengan konvergensi- $w^*$ jaring tersebut dalam bola satuan tertutup dari $V^*$ . Upaya untuk sekaligus mengidentifikasi dan membedakan dua himpunan fungsi ini menantang secara notasi. Jadi, saran terbaik saya ialah mengerjakannya sendiri sampai Anda melihat betapa cerdik, tetapi pada dasarnya sederhana, argumen tersebut.

Teorema 6.2.9.

Bola satuan tertutup dalam dual suatu ruang linear bernorma kompak dalam topologi- $w^*$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma, dan nyatakan dengan $[V^*]_1$ bola satuan tertutup dari ruang dualnya. Untuk setiap $x \in V$ , definisikan $D_x = \{\lambda \in \mathbb{K}\colon \lvert\lambda \rvert\le \lVert x\rVert\}$ . Hasil kali kompak berdasarkan teorema Tychonoff. Tinjau fungsi $\Phi\colon [V^*]_1 \rightarrow\mathbf P \colon f \mapsto \bigl(f(x)\bigr)_{x \in V}$ dengan $[V^*]_1$ dilengkapi topologi- $w^*$ dan $\mathbf P$ dilengkapi topologi hasil kali (lihat 4.6.4). Di sini kita menulis $\bigl(f(x)\bigr)_{x \in V}$ untuk keluarga bilangan terindeks (atau barisan tergeneralisasi), bukan notasi yang lebih lazim $\bigl(f_x\bigr)_{x \in V}$ . (Untuk pembahasan lebih lanjut tentang keluarga terindeks, lihat [16], Bagian 7.2.) Mudah dilihat bahwa $\Phi$ injektif. Untuk menunjukkan bahwa pemetaan itu kontinu, misalkan $\bigl(f_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ suatu jaring dalam $[V^*]_1$ dan $g$ suatu fungsi dalam $[V^*]_1$ sedemikian sehingga $f_\lambda \to^{w^*} g$ . Perhatikan bahwa hal ini terjadi jika dan hanya jika $\pi_x(f_\lambda) \rightarrow\pi_x(g)$ untuk setiap $x \in V$ (dengan $\pi_x$ proyeksi koordinat pada $\mathbf P$ —lihat 3.5.6). Terakhir, misalkan $\bigl(f_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ suatu jaring dalam $[V^*]_1$ sedemikian sehingga $\bigl(\Phi(f_\lambda)\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ konvergen dalam $\mathbf P$ . Tunjukkan bahwa jaring $\bigl(f_\lambda(x)\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ konvergen dalam $\mathbb{K}$ untuk setiap $x \in V$ . Misalkan $g(x) = \lim\limits_\lambda f_\lambda(x)$ untuk setiap $x \in V$ , lalu buktikan bahwa $g$ linear, $\lVert g\rVert \le 1$ , $f_\lambda \to^{w^*} g$ dalam $[V^*]_1$ , dan $\Phi(f_\lambda) \rightarrow\Phi(g)$ dalam $\mathbf P$ . ◻

Sepengetahuan saya, versi pembuktian standar ini yang paling ramah pembaca terdapat dalam [5], Teorema 15.11. Pembuktian yang jauh lebih singkat, jauh lebih mudah secara notasi, jauh lebih elegan, dan jauh kurang mencerahkan tersedia dalam [41], Teorema 2.5.2. Menurut saya, pembuktian itu kurang mencerahkan karena bergantung pada jaring universal. Suatu jaring dalam himpunan $S$ disebut universal jika untuk setiap subhimpunan $T$ dari $S$ , jaring tersebut pada akhirnya berada dalam $T$ atau pada akhirnya berada dalam komplemennya. Meskipun setiap jaring dapat dibuktikan memiliki subjaring universal, bahkan mencari satu contoh nontrivial dari jaring universal (yakni, jaring yang tidak pada akhirnya konstan) memerlukan aksioma pilihan.

Teorema Pemetaan Terbuka

Salah satu pertanyaan yang dapat (dan patut) diajukan tentang setiap kategori konkret ialah apakah setiap morfisme bijektif selalu merupakan isomorfisme. Dalam beberapa kategori jawabannya jelas ya (misalnya, dalam $\mathbf{VEC}$ ). Dalam kategori lain jawabannya jelas tidak (dalam $\mathbf{TOP}$ , misalnya, tinjau pemetaan identitas dari bilangan real bertopologi diskret ke bilangan real bertopologi biasa). Dalam kategori-kategori yang muncul dalam kajian analisis, aljabar sering menarik dengan penuh semangat ke satu arah, sementara topologi melawan dengan kuat dan menarik ke arah yang lain. Di sini pertanyaan tersebut dapat menjadi sangat menarik—dan jawabannya sama sekali tidak sepele. Dalam kategori $\mathbf{BAN_\infty}$ yang terdiri atas ruang Banach dan pemetaan linear kontinu, pertanyaan ini ternyata memiliki kedalaman yang menarik. Dalam kasus ini aljabar menang; jawabannya ya. Hal ini ternyata merupakan akibat langsung dari teorema pemetaan terbuka yang termasyhur. Ketika Anda menelaah pembuktian hasil berikut, perhatikan bahwa untuk pemetaan yang dibahas, kelengkapan domain dan kelengkapan kodomain sama-sama esensial—dan dengan alasan yang sangat berbeda.

Definisi 6.3.1.

Suatu pemetaan $f \colon X \rightarrow Y$ antara ruang-ruang topologis disebut terbuka jika memetakan himpunan terbuka ke himpunan terbuka; yaitu, $f$ merupakan pemetaan terbuka apabila $f^{\rightarrow}(U)$ terbuka dalam $Y$ setiap kali $U$ terbuka dalam $X$ .

Teorema pemetaan terbuka menyatakan bahwa surjeksi linear kontinu antara ruang-ruang Banach selalu merupakan pemetaan terbuka. Ada satu rincian teknis yang membuat pembuktian hasil ini agak rumit. Misalkan $T$ suatu pemetaan linear kontinu dari ruang Banach $B$ ke ruang linear bernorma $V$ , dan $R$ adalah citra oleh $T$ dari suatu bola terbuka di sekitar titik asal dalam $B$ . Kita perlu mengetahui bahwa jika tutupan $R$ memuat suatu bola terbuka di sekitar titik asal dalam $V$ , maka $R$ sendiri memuat bola yang sama. Akan memudahkan jika bagian informasi yang krusial ini kita pisahkan sebagai proposisi berikut.

Notasi 6.3.2.

Dalam ruang linear bernorma $V$ , kita menyatakan dengan $(V)_r$ bola terbuka di sekitar titik asal dalam $V$ yang berjari-jari $r$ .

Proposisi 6.3.3.

Misalkan $T\colon B \rightarrow V$ suatu pemetaan linear kontinu dari ruang Banach ke ruang linear bernorma. Jika $r$ , $s > 0$ dan $(V)_s \subseteq \overline{T\bigl(\,(B)_r\,\bigr)}$ , maka $(V)_s \subseteq T\bigl(\,(B)_r\,\bigr)$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Pertama, buktikan bahwa tanpa mengurangi keumuman kita dapat mengasumsikan $r = s = 1$ . Dengan demikian, hipotesis kita adalah $(V)_1 \subseteq \overline{T\bigl(\,(B)_1\,\bigr)}$ .

Misalkan $z \in (V)_1$ . Pembuktian selesai jika kita dapat menunjukkan bahwa $z \in T\bigl(\,(B)_1\,\bigr)$ . Pilih $\delta > 0$ sedemikian sehingga $\lVert z\rVert < 1 - \delta$ , dan misalkan $y = (1 - \delta)^{-1}z$ . Bangun suatu barisan $(v_k)_{k=0}^\infty$ dari vektor-vektor dalam $V$ yang memenuhi

$\lVert y - v_k\rVert < \delta^k$ untuk $k = 0,1,2,\dots$ ; dan
$v_k - v_{k-1} \in T\bigl(\,\delta^{k-1}(B)_1\,\bigr)$ untuk $k = 1,2,3,\dots$ .

Untuk melakukannya, mulailah dengan $v_0 = \mathbf{0}$ . Gunakan hipotesis untuk menyimpulkan bahwa $y - v_0 \in \overline{T\bigl(\,(B)_1\,\bigr)}$ dan karena itu terdapat vektor $w_0 \in T\bigl(\,(B)_1\,\bigr)$ sedemikian sehingga $\lVert(y - v_0) - w_0\rVert < \delta$ . Misalkan $v_1 = v_0 + w_0$ , lalu periksa bahwa (i) dan (ii) berlaku untuk $k = 1$ .

Kemudian cari $w_1 \in T\bigl(\,\delta (B)_1\,\bigr)$ sedemikian sehingga $\lVert(y - v_1) - w_1\rVert < \delta^2$ , dan misalkan $v_2 = v_1 + w_1$ . Periksa bahwa (i) dan (ii) berlaku untuk $k= 2$ . Lanjutkan secara induktif.

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , pilih vektor $u_n \in \delta^{n-1}(B)_1$ sedemikian sehingga $T(u_n) = v_n - v_{n-1}$ . Tunjukkan bahwa barisan $(u_n)$ dapat dijumlahkan (gunakan 4.2.2), dan misalkan $x = \sum_{n=1}^\infty u_n$ . Selesaikan pembuktian dengan menunjukkan bahwa $Tx = y$ dan bahwa $z \in T\bigl(\,(B)_1\,\bigr)$ . ◻

Teorema 6.3.4.

Setiap surjeksi linear terbatas antara ruang-ruang Banach merupakan pemetaan terbuka.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $T\colon B \rightarrow C$ suatu surjeksi linear terbatas antara ruang-ruang Banach. Mulailah dengan membuktikan klaim berikut: yang perlu kita tunjukkan hanyalah bahwa $T\bigl((B)_1\bigr)$ memuat suatu bola terbuka di sekitar titik asal dalam $C$ . Untuk sementara, misalkan kita mengetahui bahwa bola semacam itu ada. Namai bola itu $W$ . Diberikan suatu subhimpunan terbuka $U$ dari $B$ , kita ingin menunjukkan bahwa citranya oleh $T$ terbuka dalam $C$ . Untuk itu, ambil sebarang titik $y$ dalam $T(U)$ dan pilih $x$ dalam $U$ sedemikian sehingga $y = Tx$ . Karena $U - x$ merupakan lingkungan titik asal dalam $B$ , kita dapat mencari bilangan $r > 0$ sedemikian sehingga $r\,(B)_1 \subseteq U - x$ . Buktikan bahwa $T(U)$ terbuka dengan menunjukkan bahwa $y + rW \subseteq T(U)$ .

Untuk membuktikan klaim di atas, misalkan $V = T\bigl((B)_1\bigr)$ dan perhatikan bahwa karena $T$ surjektif, $C = T(B) = \bigcup_{k=1}^\infty k\overline{V}$ . Gunakan versi teorema kategori Baire yang menyatakan bahwa jika suatu ruang metrik lengkap takkosong merupakan gabungan suatu barisan himpunan tertutup, maka sekurang-kurangnya salah satu himpunan tersebut memiliki interior takkosong. (Lihat, misalnya, Teorema 29.3.21 dalam [16].) Pilih $k \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\bigl(k\overline{V}\bigr)^o \neq \emptyset$ . Dengan demikian, terdapat $y \in \overline{V}$ dan $r > 0$ sedemikian sehingga $y + (C)_r \subseteq k\overline{V}$ . Dari kekonveksan $k\overline{V}$ , tidak sulit melihat bahwa $(C)_r \subseteq k\overline{V}$ . (Tuliskan sebarang titik $z$ dalam $(C)_r$ sebagai $\frac12(y + z) + \frac12(-y + z)$ .) Sekarang diperoleh $(C)_{r/k} \subseteq \overline{V}$ . Gunakan Proposisi 6.3.3. ◻

Akibat 6.3.5.

Setiap bijeksi linear terbatas antara ruang-ruang Banach merupakan suatu isomorfisme.

Akibat 6.3.6.

Setiap surjeksi linear terbatas antara ruang-ruang Banach merupakan pemetaan hasil bagi dalam $\mathbf{BAN_\infty}$ .

Contoh 6.3.7.

Misalkan $\mathcal{C}_u$ himpunan fungsi kontinu bernilai real pada $[0,1]$ dengan norma seragam, dan $\mathcal{C}_1$ himpunan fungsi yang sama dengan norma $\mathrm{L_1}$ ( $\lVert f\rVert_1 = \int_0^1\lvert f\rvert\,d\lambda$ ). Maka pemetaan identitas $I\colon \mathcal{C}_u \rightarrow\mathcal{C}_1$ merupakan bijeksi linear kontinu, tetapi tidak terbuka. (Mengapa hal ini tidak bertentangan dengan teorema pemetaan terbuka?)

Contoh 6.3.8.

Misalkan $l$ himpunan barisan bilangan real yang pada akhirnya bernilai nol, $V$ adalah $l$ yang dilengkapi norma $l_1$ , dan $W$ adalah $l$ dengan norma seragam. Pemetaan identitas $I\colon V \rightarrow W$ merupakan bijeksi linear terbatas, tetapi bukan suatu isomorfisme.

Contoh 6.3.9.

Pemetaan $T\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}\colon (x,y) \mapsto x$ menunjukkan bahwa meskipun surjeksi linear terbatas antara ruang-ruang Banach memetakan himpunan terbuka ke himpunan terbuka, pemetaan tersebut tidak harus memetakan himpunan tertutup ke himpunan tertutup.

Proposisi 6.3.10.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor, dan misalkan $\lVert\cdot\rVert_1$ dan $\lVert\cdot\rVert_2$ adalah norma-norma pada $V$ dengan topologi masing-masing $\mathfrak{T}_1$ dan $\mathfrak{T}_2$ . Jika $V$ lengkap terhadap kedua norma dan jika $\mathfrak{T}_1 \supseteq \mathfrak{T}_2$ , maka $\mathfrak{T}_1 = \mathfrak{T}_2$ .

Latihan 6.3.11.

Apakah terdapat suatu barisan $(a_n)$ dari bilangan kompleks yang memenuhi syarat berikut: suatu barisan $(x_n)$ dalam $\mathbb{C}$ dapat dijumlahkan secara mutlak jika dan hanya jika $(a_nx_n)$ terbatas? Petunjuk. Tinjau $T\colon l_\infty \rightarrow l_1\colon (x_n) \mapsto (x_n/a_n)$ .

Contoh 6.3.12.

Misalkan $\mathcal{C}^2([a,b])$ keluarga semua fungsi bernilai real yang dua kali dapat didiferensialkan secara kontinu pada interval $[a,b]$ . Pandang keluarga ini sebagai ruang vektor dengan cara biasa. Untuk setiap $f \in \mathcal{C}^2([a,b])$ , definisikan $\lVert f\rVert = \lVert f\rVert_u + \lVert f'\rVert_u + \lVert f''\rVert_u\,.$ Ini memang suatu norma, dan dengan norma ini $\mathcal{C}^2([a,b])$ merupakan ruang Banach.

Contoh 6.3.13.

Misalkan $\mathcal{C}^2([a,b])$ ruang Banach yang diberikan dalam Contoh 6.3.12, dan misalkan $p_0$ dan $p_1$ merupakan anggota $\mathcal{C}([a,b])$ . Definisikan $T\colon C^2([a,b]) \rightarrow C([a,b])\colon f \mapsto f'' + p_1f' + p_0f.$ Maka $T$ merupakan pemetaan linear terbatas.

Latihan 6.3.14.

Tinjau suatu persamaan diferensial berbentuk $y'' + p_1\,y' + p_0\,y = q \qquad(\ast)$ dengan $p_0$ , $p_1$ , dan $q$ fungsi-fungsi bernilai real kontinu (yang tetap) pada interval $[a,b]$ . Nyatakan secara tepat, lalu buktikan, pernyataan bahwa solusi-solusi $(\ast)$ bergantung secara kontinu pada nilai awal. Anda boleh menggunakan tanpa bukti teorema standar berikut: untuk setiap titik $c$ dalam $[a,b]$ dan setiap pasangan bilangan real $a_0$ dan $a_1$ , terdapat solusi tunggal untuk $(\ast)$ sedemikian sehingga $y(c) = a_0$ dan $y'(c) = a_1$ . Petunjuk. Untuk $c \in [a,b]$ yang tetap, tinjau pemetaan $S\colon \mathcal{C}^2([a,b]) \rightarrow\mathcal{C}([a,b]) \times \mathbb{R}^2 \colon f \mapsto \bigl(Tf,f(c),f'(c)\bigr)$ dengan $\mathcal{C}^2([a,b])$ ruang Banach dari Contoh 6.3.12 dan $T$ pemetaan linear terbatas dari Contoh 6.3.13.

Definisi 6.3.15.

Suatu pemetaan linear terbatas $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang linear bernorma disebut terbatas jauh dari nol (atau terbatas dari bawah) jika terdapat bilangan $\delta > 0$ sedemikian sehingga $\lVert Tx\rVert \ge \delta\lVert x\rVert$ untuk setiap $x \in V$ . (Ingat bahwa kata “terbatas” memiliki satu arti ketika menerangkan suatu pemetaan linear dan arti yang sangat berbeda ketika diterapkan pada fungsi umum; demikian pula ungkapan “terbatas jauh dari nol”. Lihat Definisi 5.2.26.)

Proposisi 6.3.16.

Suatu pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang Banach bersifat terbatas jauh dari nol jika dan hanya jika pemetaan itu memiliki jangkauan tertutup dan kernel nol.

Teorema Graf Tertutup

Syarat perlu dan cukup yang sederhana agar suatu pemetaan linear $T\colon B \rightarrow C$ antara ruang-ruang Banach bersifat kontinu ialah grafnya tertutup. Dalam satu arah, hal ini hampir jelas. Kebalikannya disebut teorema graf tertutup. Ketika kita mensyaratkan graf $T$ “tertutup”, maksud kita ialah tertutup sebagai subhimpunan $B \times C$ dengan topologi hasil kali. Ingat (dari 4.6.8) bahwa topologi pada jumlah langsung $B \oplus C$ yang diinduksi oleh norma hasil kali sama dengan topologi hasil kali pada $B \times C$ .

Latihan 6.4.1.

Jika $T\colon B \rightarrow C$ suatu pemetaan linear kontinu antara ruang-ruang Banach, maka grafnya tertutup.

Teorema 6.4.2.

Misalkan $T\colon B \rightarrow C$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang Banach. Jika graf $T$ tertutup, maka $T$ kontinu.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $G = \{(x,Tx)\colon x \in B\}$ graf $T$ . Terapkan (Korolar 6.3.5 dari) teorema pemetaan terbuka pada pemetaan $\pi\colon G \rightarrow B\colon (x,Tx) \mapsto x\,.$ ◻

Proposisi berikut memberikan syarat perlu dan cukup yang sangat sederhana agar graf suatu pemetaan linear antara ruang-ruang Banach tertutup.

Proposisi 6.4.3.

Misalkan $T\colon B \rightarrow C$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang Banach. Maka $T$ kontinu jika dan hanya jika syarat berikut dipenuhi: $\text{jika $x_n \rightarrow 0$ dalam $B$ dan $Tx_n \rightarrow c$ dalam $C$, maka $c = 0$.}$

Proposisi 6.4.4.

Misalkan $T \colon B \rightarrow C$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang Banach sedemikian sehingga jika $x_n \rightarrow 0$ dalam $B$ , maka $(g \circ T)(x_n) \rightarrow 0$ untuk setiap $g \in C^*$ . Maka $T$ terbatas.

Proposisi 6.4.5.

Misalkan $T \colon B \rightarrow C$ suatu fungsi linear antara ruang-ruang Banach. Definisikan $T^*f = f \circ T$ untuk setiap $f \in C^*$ . Jika $T^*$ memetakan $C^*$ ke dalam $B^*$ , maka $T$ kontinu.

Definisi 6.4.6.

Suatu pemetaan linear $T$ dari ruang vektor ke ruang itu sendiri disebut idempoten jika $T^2 = T$ .

Proposisi 6.4.7.

Suatu pemetaan linear idempoten dari ruang Banach ke ruang itu sendiri kontinu jika dan hanya jika kernel dan jangkauannya tertutup.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk bagian “jika”, gunakan Proposisi 6.4.3. ◻

Proposisi berikut merupakan penerapan teorema graf tertutup yang berguna pada operator ruang Hilbert.

Proposisi 6.4.8.

Misalkan $H$ suatu ruang Hilbert, serta $S$ dan $T$ fungsi dari $H$ ke dirinya sendiri sedemikian sehingga $\langle Sx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle$ untuk setiap $x$ , $y \in H$ . Maka $S$ dan $T$ merupakan operator linear terbatas.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk membuktikan linearitas pemetaan $S$ , tinjau hasil kali dalam dari vektor-vektor $S(\alpha x + \beta y) - \alpha Sx - \beta Sy$ dan $z$ , dengan $x$ , $y$ , $z \in H$ dan $\alpha$ , $\beta \in \mathbb{K}$ . Untuk membuktikan kekontinuan $S$ , tunjukkan bahwa grafnya tertutup. ◻

Ingat bahwa dalam proposisi sebelumnya, operator $T$ adalah adjoin (ruang Hilbert) dari $S$ ; yaitu, $T = S^*$ .

Definisi 6.4.9.

Misalkan $a < b$ dalam $\mathbb{R}$ . Suatu fungsi $f\colon [a,b] \rightarrow\mathbb{R}$ disebut dapat didiferensialkan secara kontinu jika fungsi itu dapat didiferensialkan pada (suatu himpunan terbuka yang memuat) $[a,b]$ dan turunannya $f\,'$ kontinu pada $[a,b]$ . Himpunan semua fungsi bernilai real yang dapat didiferensialkan secara kontinu pada $[a,b]$ dinotasikan dengan $\mathcal{C}^1(\,[a,b]\,)$ .

Contoh 6.4.10.

Misalkan $D\colon \mathcal{C}^1(\,[0,1]\,) \rightarrow C(\,[0,1]\,)\colon f \mapsto f\,'$ , dengan baik $C^1(\,[0,1]\,)$ maupun $C(\,[0,1]\,)$ dilengkapi norma seragam. Pemetaan $D$ linear dan memiliki graf tertutup, tetapi tidak kontinu. (Mengapa hal ini tidak bertentangan dengan teorema graf tertutup? Apa yang dapat kita simpulkan tentang $\mathcal{C}^1(\,[0,1]\,)$ ?)

Proposisi 6.4.11.

Misalkan $S\colon A \rightarrow B$ dan $T\colon B \rightarrow C$ pemetaan linear antara ruang-ruang Banach, serta $T$ terbatas dan injektif. Maka $S$ terbatas jika dan hanya jika $TS$ terbatas.

Dualitas Ruang Banach

Konvensi 6.5.1.

Dalam konteks ruang Banach, kita menggunakan konvensi yang sama untuk pemakaian kata “subruang” seperti yang kita gunakan untuk ruang Hilbert. Kata “subruang” akan selalu berarti subruang vektor tertutup. Untuk menunjukkan bahwa $M$ adalah subruang dari suatu ruang Banach $B$ , kita menulis $M \preccurlyeq B$ .

Proposisi 6.5.2.

Jika $M$ adalah subruang dari suatu ruang Banach $B$ , maka ruang linear bernorma hasil bagi $B/M$ juga merupakan ruang Banach.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk menunjukkan bahwa $B/M$ lengkap, cukup ditunjukkan bahwa dari sebarang barisan Cauchy $(u_n)$ dalam $B/M$ kita dapat mengambil suatu subbarisan yang konvergen. Untuk itu, perhatikan bahwa jika $(u_n)$ adalah barisan Cauchy, maka untuk setiap $k \in \mathbb{N}$ terdapat $N_k \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\lVert u_n - u_m\rVert < 2^{-k}$ setiap kali $m$ , $n \ge N_k$ . Sekarang gunakan induksi. Pilih $n_1 = N_1$ . Setelah $n_1$ , $n_2$ , …, $n_k$ dipilih sedemikian sehingga $n_1 < n_2 < \dots < n_k$ dan $N_j \le n_j$ untuk $1 \le j \le k$ , pilih $n_{k+1} = \max\{N_{k+1}, n_k + 1\}$ . Dengan demikian diperoleh subbarisan $\bigl(u_{n_k}\bigr)$ yang memenuhi $\lVert u_{n_k} - u_{n_{k+1}}\rVert < 2^{-k}$ untuk setiap $k \in \mathbb{N}$ . Dari setiap kelas ekuivalensi $u_{n_k}$ , pilih suatu vektor $x_k$ dalam $B$ sedemikian sehingga $\lVert x_k - x_{k+1}\rVert < 2^{-k+1}$ . Kemudian Proposisi 4.2.2 menunjukkan bahwa barisan $(x_k - x_{k+1})$ dapat dijumlahkan. Dari sini, simpulkan bahwa barisan $(x_k)$ dan $\bigl(u_{n_k}\bigr)$ konvergen. (Rincian argumen ini dituliskan dengan baik dalam pembuktian Teorema 3.4.13 pada [4].) ◻

Proposisi 6.5.3.

Jika $J$ adalah ideal tertutup dalam suatu aljabar Banach $A$ , maka $A/J$ merupakan aljabar Banach.

Teorema 6.5.4.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar Banach dan $J$ ideal tertutup sejati dalam $A$ . Jika $\phi$ suatu homomorfisme dari $A$ ke $B$ dan $\ker\phi \supseteq J$ , maka terdapat homomorfisme tunggal $\widetilde{\phi}\colon A/J \rightarrow B$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Segitiga teorema hasil bagi fundamental. Pemetaan hasil bagi pi berjalan dari A ke A per J, homomorfisme phi dari A ke B, dan satu-satunya homomorfisme phi tilde dari A per J ke B. Segitiga komutatif: phi sama dengan phi tilde setelah pi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Selain itu, $\widetilde{\phi}$ injektif jika dan hanya jika $\ker\phi = J$ ; dan $\widetilde{\phi}$ surjektif jika dan hanya jika $\phi$ surjektif.

Proposisi 6.5.5.

Misalkan $J$ ideal tertutup sejati dalam suatu aljabar Banach komutatif beridentitas $A$ . Maka $J$ maksimal jika dan hanya jika $A/J$ adalah medan.

Proposisi berikut menyatakan syarat-syarat yang cukup sederhana agar suatu epimorfisme antara ruang Banach ternyata menjadi faktor dalam morfisme-morfisme lain. Sepintas lalu, kegunaan hasil semacam ini mungkin tampak agak meragukan. Namun, ketika membuktikan Proposisi 6.5.10, perhatikan bahwa inilah tepatnya yang Anda perlukan.

Proposisi 6.5.6.

Tinjau kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu. Jika $T\colon A \rightarrow C$ , $R\colon A \rightarrow B$ , $R$ surjektif, dan $\ker R \subseteq \ker T$ , maka terdapat $S\colon B \rightarrow C$ tunggal sedemikian sehingga $SR = T$ . Selain itu, $S$ injektif jika dan hanya jika $\ker R = \ker T$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tinjau diagram komutatif berikut. Gunakan teorema pemetaan terbuka.

Diagram pemfaktoran melalui B per kernel R. Dari A terdapat panah R ke B, pi ke B per kernel R, dan T ke C. Pemetaan terinduksi R tilde dari B per kernel R ke B dan T tilde dari B per kernel R ke C membuat kedua segitiga komutatif: R sama dengan R tilde setelah pi, dan T sama dengan T tilde setelah pi. Karena R tilde invertibel, pemetaan B ke C diperoleh sebagai T tilde setelah invers R tilde. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

◻

Menarik untuk diperhatikan bahwa hasil sebelumnya dapat dinyatakan dengan cara yang sedikit memperkuat klaim keunikannya. Sebagaimana dinyatakan, kesimpulannya ialah bahwa terdapat pemetaan linear terbatas $S$ tunggal sedemikian sehingga $SR = T$ . Tanpa kerja tambahan, kita dapat merumuskan ulang proposisi tersebut sebagai berikut.

Proposisi 6.5.7.

Tinjau kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu. Jika $T\colon A \rightarrow C$ , $R\colon A \rightarrow B$ , $R$ surjektif, dan $\ker R \subseteq \ker T$ , maka terdapat fungsi tunggal $S$ yang memetakan $B$ ke $C$ sedemikian sehingga $S\circ R = T$ . Fungsi $S$ harus terbatas dan linear. Selain itu, fungsi tersebut injektif jika dan hanya jika $\ker R = \ker T$ .

Apakah versi kedua hasil ini, yang lebih terperinci, layak dinyatakan? Menurut saya, jawabannya bergantung pada arah yang hendak dituju. Memilih versi yang lebih panjang hanya dengan alasan bahwa versi itu lebih umum tampaknya tidak menarik. Di pihak lain, andaikan kemudian kita memerlukan hasil berikut.

Proposisi 6.5.8.

Jika suatu pemetaan linear terbatas $T\colon A \rightarrow C$ antara ruang-ruang Banach dapat difaktorkan menjadi komposisi dua fungsi $T = f \circ R$ , dengan $R \in \mathfrak{B}(A,B)$ surjektif, maka $f \colon B \rightarrow C$ terbatas dan linear.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk menerapkan 6.5.7, yang diperlukan di sini hanyalah memperhatikan bahwa $f(0) = 0$ sehingga $\ker R \subseteq \ker T$ . ◻

Karena hasil sebelumnya merupakan akibat yang hampir langsung dari 6.5.7, ada baiknya versi yang lebih terperinci ini tersedia. Orang mungkin berpendapat bahwa meskipun 6.5.8 barangkali tidak sepenuhnya jelas dari pernyataan 6.5.6, hasil itu tentu jelas dari pembuktiannya, jadi untuk apa memakai versi yang lebih rumit? Hal-hal semacam ini tentu merupakan soal selera.

Definisi 6.5.9.

Suatu barisan ruang Banach dan pemetaan linear kontinu

Potongan barisan ruang Banach: elipsis menuju B sub-n minus satu, lalu panah T sub-n ke B sub-n, lalu panah T sub-n plus satu ke B sub-n plus satu, lalu elipsis. Barisan eksak di B sub-n bila jangkauan T sub-n sama dengan kernel T sub-n plus satu. Ini barisan berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dikatakan eksak di $B_n$ jika $\mathop{\mathrm{ran}}T_n = \ker T_{n+1}$ . Suatu barisan disebut eksak jika barisan tersebut eksak di setiap ruang Banach penyusunnya. Suatu barisan ruang Banach dan pemetaan linear kontinu berbentuk

Barisan eksak pendek dari ruang nol ke A melalui panah kanonik, dari A ke B melalui S, dari B ke C melalui T, lalu dari C ke ruang nol melalui panah kanonik. Eksak di A, B, dan C; khususnya jangkauan S sama dengan kernel T. Ini barisan berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

yang eksak di $A$ , $B$ , dan $C$ disebut barisan eksak pendek. (Di sini $\mathbf{0}$ menyatakan ruang Banach trivial berdimensi nol, dan panah-panah tanpa label adalah pemetaan yang jelas.)

Definisi-definisi sebelumnya diberikan untuk kategori $\mathbf{BAN_\infty}$ dari ruang Banach dan pemetaan linear kontinu. Tentu saja, gagasan tentang suatu barisan eksak bermakna dalam banyak situasi—misalnya, dalam kategori aljabar Banach, aljabar- $C^*$ , ruang Hilbert, ruang vektor, grup Abel, dan modul, di antara yang lainnya.

Proposisi 6.5.10.

Tinjau diagram berikut dalam kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu

Dua baris eksak pendek sejajar: nol ke A melalui j ke B melalui k ke C ke nol, dan nol ke A prima melalui j prima ke B prima melalui k prima ke C prima ke nol. Panah vertikal f dari A ke A prima dan g dari B ke B prima membuat persegi kiri komutatif; terdapat satu-satunya panah putus-putus h dari C ke C prima yang membuat persegi kanan komutatif, yaitu h setelah k sama dengan k prima setelah g. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Jika baris-barisnya eksak dan persegi kirinya komutatif, maka terdapat pemetaan linear kontinu $h\colon C \rightarrow C'$ tunggal yang membuat persegi kanannya komutatif.

Proposisi 6.5.11.

Andaikan dalam diagram ruang Banach dan pemetaan linear kontinu berikut

Diagram Lema Lima dengan dua baris eksak pendek: nol ke A melalui j ke B melalui k ke C ke nol, dan nol ke A prima melalui j prima ke B prima melalui k prima ke C prima ke nol. Panah vertikal f, g, dan h masing-masing menghubungkan A, B, dan C dengan versi primanya; kedua persegi komutatif, sehingga g setelah j sama dengan j prima setelah f dan h setelah k sama dengan k prima setelah g. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

baris-barisnya eksak dan persegi-perseginya komutatif. Maka pernyataan-pernyataan berikut berlaku.

Jika $g$ surjektif, maka $h$ juga surjektif.
Jika $f$ surjektif dan $\mathop{\mathrm{ran}}j \supseteq \ker g$ , maka $h$ injektif.
Jika $f$ dan $h$ surjektif, maka $g$ juga surjektif.
Jika $f$ dan $h$ injektif, maka $g$ juga injektif.

Ada banyak keuntungan bekerja dengan operator pada ruang Hilbert atau Banach yang memiliki jangkauan tertutup. Salah satu keuntungan langsung ialah bahwa kita memperoleh kembali kesederhanaan teorema dasar aljabar linear (1.2.42) dari versi-versi yang agak lebih rumit dalam Proposisi 5.2.25 dan Teorema 6.2.4. Di pihak lain, ada pula kerugiannya. Operator-operator itu tidak membentuk suatu kategori; komposisi dua operator berjangkauan tertutup dapat gagal memiliki jangkauan tertutup.

Proposisi 6.5.12.

Jika suatu pemetaan linear terbatas $T\colon B \rightarrow C$ antara dua ruang Banach memiliki jangkauan tertutup, maka adjoinnya $T^*$ juga demikian dan $\mathop{\mathrm{ran}}T^* = (\ker T)^\perp$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Simpulkan dari Proposisi 6.2.4(d) bahwa kita hanya perlu menunjukkan bahwa $(\ker T)^\perp \subseteq \mathop{\mathrm{ran}}T^*$ . Misalkan $f$ suatu fungsional sebarang dalam $(\ker T)^\perp$ . Yang harus dicari adalah suatu fungsional $g$ dalam $C^*$ sedemikian sehingga $f = T^*g$ . Untuk itu, gunakan teorema pemetaan terbuka untuk menunjukkan bahwa pemetaan $\widetilde{T}_\ast$ dalam diagram berikut invertibel. (Pemetaan $T_\ast\colon B \rightarrow\mathop{\mathrm{ran}}T$ dan $T$ sama persis, kecuali bahwa kodomainnya berbeda.)

Diagram pemfaktoran untuk operator T bintang bawah dari B ke jangkauan T. Dari B terdapat panah T bintang bawah ke jangkauan T, pi ke B per kernel T, dan f ke medan skalar K. Pemetaan terinduksi T bintang bawah tilde dari B per kernel T ke jangkauan T dan f tilde dari B per kernel T ke K membuat kedua segitiga komutatif. T bintang bawah tilde invertibel, sehingga f dapat dipindahkan ke fungsional pada jangkauan T. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Misalkan $g_0 := \widetilde{f}\,{\widetilde{T}_\ast}^{-1}$ . Gunakan teorema Hahn–Banach untuk menghasilkan $g$ yang diinginkan. ◻

Proposisi 6.5.13.

Dalam kategori $\mathbf{BAN_\infty}$ , jika barisan diagram visual dan transkrip $B$ dan $T$ memiliki jangkauan tertutup, maka diagram visual dan transkrip $B^*$ .

Barisan dua panah A menuju B melalui S, lalu B menuju C melalui T. Hipotesis menyatakan barisan ini eksak di B, yakni jangkauan S sama dengan kernel T. Ini barisan berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Barisan dual berarah terbalik: C bintang menuju B bintang melalui T bintang, lalu B bintang menuju A bintang melalui S bintang. Kesimpulannya, bila barisan asal eksak di B dan T berjangkauan tertutup, barisan dual ini eksak di B bintang. Ini barisan berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Definisi 6.5.14.

Suatu funktor dari kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu ke dirinya sendiri disebut eksak jika funktor tersebut membawa barisan eksak pendek ke barisan eksak pendek.

Contoh 6.5.15.

Funktor $B \mapsto B^*$ , $T \mapsto T^*$ (lihat 6.1.2) dari kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu ke dirinya sendiri bersifat eksak.

Contoh 6.5.16.

Misalkan $B$ suatu ruang Banach dan $\tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}\colon x \mapsto x^{**}$ pembenaman alami dari $B$ ke $B^{**}$ (lihat Definisi 6.1.5). Maka ruang hasil bagi $B^{**}/\mathop{\mathrm{ran}}\tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}$ merupakan ruang Banach.

Notasi 6.5.17.

Kita akan menyatakan dengan $\overline{B}$ ruang hasil bagi $B^{**}/\mathop{\mathrm{ran}}\tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}$ dalam contoh sebelumnya.

Proposisi 6.5.18.

Jika $T\colon B \rightarrow C$ suatu pemetaan linear kontinu antara ruang-ruang Banach, maka terdapat pemetaan linear kontinu tunggal $\overline{T}\colon \overline{B} \rightarrow\overline{C}$ sedemikian sehingga $\overline{T}(\phi + \mathop{\mathrm{ran}}\tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}) = (T^{**}\phi) + \mathop{\mathrm{ran}}\tau_{{}_{\scriptstyle{C}}}$ untuk setiap $\phi \in B^{**}$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Terapkan 6.5.10 pada diagram berikut:

Dua baris eksak pendek. Baris atas: nol ke B melalui tau sub-B ke B bintang-bintang melalui pi sub-B ke B garis-atas ke nol. Baris bawah mengganti B dengan C. Panah vertikalnya T, T bintang-bintang, dan satu-satunya panah putus-putus T garis-atas. Kedua persegi komutatif: T bintang-bintang setelah tau sub-B sama dengan tau sub-C setelah T, dan T garis-atas setelah pi sub-B sama dengan pi sub-C setelah T bintang-bintang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

◻

Contoh 6.5.19.

Pasangan pemetaan $B \mapsto \overline{B}$ , $T \mapsto \overline{T}$ dari kategori $\mathbf{BAN_\infty}$ ke dirinya sendiri merupakan suatu funktor kovarian eksak.

Proposisi 6.5.20.

Dalam kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu, jika barisan

Barisan eksak pendek ruang Banach: ruang nol menuju A, lalu pemetaan S dari A ke B, lalu pemetaan T dari B ke C, lalu C menuju ruang nol. Eksak berarti S injektif, T surjektif, dan jangkauan S sama dengan kernel T. Ini barisan berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

eksak, maka diagram berikut komutatif dan memiliki baris-baris serta kolom-kolom yang eksak.

Kisi tiga kali tiga yang diturunkan dari barisan eksak pendek A ke B ke C. Baris-barisnya adalah A menuju A bintang-bintang menuju A garis-atas, B menuju B bintang-bintang menuju B garis-atas, serta C menuju C bintang-bintang menuju C garis-atas. Kolom pertama memakai S lalu T; kolom kedua memakai S bintang-bintang lalu T bintang-bintang; kolom ketiga memakai S garis-atas lalu T garis-atas. Semua baris dan kolom eksak, dan keempat persegi kecil komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Akibat 6.5.21.

Setiap subruang dari suatu ruang Banach refleksif bersifat refleksif.

Akibat 6.5.22.

Jika $M$ suatu subruang dari ruang Banach refleksif $B$ , maka $B/M$ refleksif.

Akibat 6.5.23.

Misalkan $M$ suatu subruang dari ruang Banach $B$ . Jika $M$ dan $B/M$ keduanya refleksif, maka $B$ juga refleksif.

Definisi 6.5.24.

Misalkan $T \in \mathfrak{L}(B,C)$ , dengan $B$ dan $C$ ruang Banach. Definisikan $\mathop{\mathrm{coker}}T$ , yaitu kokernel dari $T$ , sebagai $C/\mathop{\mathrm{ran}}T$ .

Menentukan secara eksplisit dual dari suatu ruang Banach sering kali agak menantang. Berikut diberikan beberapa contoh penting. Namun, pertama-tama perlu disampaikan satu peringatan. Notasi untuk objek-objek dalam ruang linear bernorma yang terdiri atas barisan dapat menyesatkan. Ketika membahas kelengkapan ruang-ruang semacam itu, kita berhadapan dengan barisan dari barisan bilangan kompleks. Demi memudahkan pembaca (dan mungkin juga diri Anda sendiri sebulan kemudian, ketika Anda mencoba membaca sesuatu yang Anda tulis!), sebaiknya bedakan secara notasi antara barisan bilangan kompleks dan barisan dari barisan. Ada banyak cara untuk melakukannya: subskrip ganda, subskrip dan superskrip, notasi fungsional untuk barisan kompleks, dan sebagainya.

Notasi bermasalah lain yang muncul dalam ruang barisan adalah $\sum_{k=1}^\infty a_k \mathbf{e}^k$ , dengan $\mathbf{e}^k$ merupakan barisan yang bernilai $1$ pada koordinat ke- $k$ dan $0$ di semua koordinat lainnya. (Ingat bahwa dalam Contoh 4.4.10, kita menggunakan vektor-vektor ini sebagai basis ortonormal biasa (atau standar) untuk ruang Hilbert $l_2$ .) Tampaknya hampir tidak ada kebingungan yang timbul jika $\sum_{k=1}^\infty a_k \mathbf{e}^k$ dipandang hanya sebagai singkatan untuk barisan bilangan kompleks $(a_k) = (a_1,a_2,a_3,\dots)$ . Namun, jika seseorang hendak memperlakukannya secara harfiah sebagai deret tak hingga, diperlukan kehati-hatian. Dalam ruang $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ dan $l_1$ , tidak ada masalah. Deret itu memang merupakan limit, ketika $n$ membesar, dari $\sum_{k=1}^n a_k \mathbf{e}^k$ . (Mengapa?) Namun, dalam ruang $c$ dan $l_\infty$ , misalnya, terjadi kegagalan yang sangat buruk. Untuk melihat apa yang dapat terjadi, tinjau barisan konstan $(1,1,1,\dots)$ (yang merupakan anggota $c$ maupun $l_\infty$ ). Maka $\lim_{n \rightarrow\infty}\lVert(1,1,1,\dots) - \sum_{k=1}^n \mathbf{e}^k\rVert$ gagal mendekati nol dalam kedua kasus tersebut. Dalam $c$ maupun $l_\infty$ , limitnya adalah $1$ .

Contoh 6.5.25.

Ruang linear bernorma $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ (lihat 3.1.6) merupakan ruang Banach dan dualnya adalah $l_1$ (lihat 3.1.39).

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tinjau pemetaan $T\colon {c_{{}_{\scriptstyle{0}}}}^* \rightarrow l_1\colon f \mapsto \sum_{k=1}^\infty f(\mathbf{e}^k)\mathbf{e}^k$ . (Jangan lupa menunjukkan bahwa $T$ benar-benar memetakan ke $l_1$ .) Periksa bahwa $T$ merupakan isomorfisme isometrik. Untuk membuktikan bahwa $T$ surjektif, mulailah dengan suatu vektor $b \in l_1$ dan tinjau fungsi $f\colon c_{{}_{\scriptstyle{0}}} \rightarrow\mathbb{C}\colon a \mapsto \sum_{k=1}^\infty a_kb_k$ . ◻

Akibat 6.5.26.

Ruang $l_1$ merupakan suatu ruang Banach.

Menarik bahwa ternyata ruang $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ dan $c$ tidak isomorfik secara isometrik, meskipun ruang-ruang dualnya isomorfik secara isometrik. Perhitungan dual dari $c$ secara teknis sedikit lebih rumit daripada perhitungan ${c_{{}_{\scriptstyle{0}}}}^{\!*}$ . Mungkin berguna untuk meninjau basis Schauder bagi kedua ruang ini.

Definisi 6.5.27.

Suatu barisan $(\mathbf{e}^k)$ dari vektor-vektor dalam suatu ruang Banach $B$ disebut basis Schauder bagi ruang tersebut jika untuk setiap $x \in B$ terdapat barisan skalar $(\alpha_k)$ yang unik sedemikian sehingga $x = \sum_{k=1}^\infty \alpha_k \mathbf{e}^k$ .

Dua catatan mengenai definisi sebelumnya: Kata “unik” sangat penting; dan tidak benar bahwa setiap ruang Banach memiliki basis Schauder.

Contoh 6.5.28.

Suatu basis ortonormal dalam ruang Hilbert separabel merupakan basis Schauder bagi ruang tersebut. (Lihat Proposisi 4.4.12 dan 4.4.17.)

Contoh 6.5.29.

Kita memilih vektor-vektor yang disebut standar (atau biasa) sebagai vektor-vektor basis untuk $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ dengan cara yang sama seperti untuk $l_2$ (lihat 4.4.10). Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $\mathbf{e}^n$ adalah barisan dalam $l_2$ yang koordinat ke- $n$ -nya bernilai $1$ dan semua koordinat lainnya bernilai $0$ . Maka $\{\mathbf{e}^n\colon n \in \mathbb{N}\}$ merupakan basis Schauder bagi $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ .

Sepintas lalu, ruang $c$ dari semua barisan konvergen mungkin tampak jauh lebih besar daripada $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ , yang hanya memuat barisan-barisan yang konvergen ke nol. Lagi pula, untuk setiap vektor $x$ dalam $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ terdapat tak terhitung banyaknya vektor berbeda dalam $c$ (cukup tambahkan sebarang bilangan kompleks tak nol pada setiap suku barisan $x$ ). Mungkinkah $c$ , yang memuat tak terhitung banyaknya salinan dari koleksi anggota $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ yang tak terhitung, memiliki basis Schauder (yang mesti terhitung)? Setelah direnungkan, jawabannya adalah ya. Kita hanya perlu menambahkan satu elemen pada basis bagi $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ untuk menangani translasi.

Contoh 6.5.30.

Misalkan $\mathbf{e}^1$ , $\mathbf{e}^2$ , …seperti dalam Contoh 6.5.29 sebelumnya. Selain itu, nyatakan dengan $\mathbf{1}$ barisan konstan $(1,1,1,\dots)$ dalam $c$ . Maka $(\mathbf{1}, \mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2, \dots)$ merupakan basis Schauder bagi $c$ .

Contoh 6.5.31.

Ruang linear bernorma $c$ (lihat 3.1.5) merupakan ruang Banach dan dualnya adalah $l_1$ (lihat 3.1.39).

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Pertama-tama, perhatikan bahwa untuk setiap $f \in c^*$ , barisan $\bigl(f(\mathbf{e}^k)\bigr)$ dapat dijumlahkan secara mutlak dan, sebagai akibatnya, $\sum_{k=1}^\infty a_k f(\mathbf{e}^k)$ konvergen untuk setiap barisan $a = (a_1,a_2,\dots)$ dalam $c$ . Perhatikan pula bahwa setiap $a \in c$ dapat dituliskan sebagai $a = a_\infty \mathbf{1} + \sum_{k=1}^\infty (a_k -a_\infty)\mathbf{e}^k$ , dengan $a_\infty := \lim_{k \rightarrow\infty}a_k$ dan $\mathbf{1} := (1,1,1,\dots)$ . Gunakan hal ini untuk membuktikan bahwa untuk setiap $f \in c^*$ , $\lvert f(a)\rvert \le \biggl[ \lvert\beta_f\rvert + \sum_{k=1}^\infty \lvert f(\mathbf{e}^k)\rvert \biggr] {\lVert a\rVert}_\infty$ dengan $\beta_f := f(\mathbf{1}) - \sum_{k=1}^\infty f(\mathbf{e}^k)$ . Untuk $t = (t_0,t_1,t_2,\dots) \in l_1$ dan $a = (a_1,a_2,a_3,\dots) \in c$ , definisikan $S_t(a) := t_0 a_\infty + \sum_{k=1}^\infty t_ka_k$ dan periksa bahwa $S\colon t \mapsto S_t$ merupakan pemetaan linear kontinu dari $l_1$ ke $c^*$ . Selanjutnya, untuk $f \in c^*$ , definisikan $Tf := (\beta_f, f(\mathbf{e}^1), f(\mathbf{e}^2), \dots)$ dan tunjukkan bahwa $T\colon f \mapsto Tf$ merupakan isometri linear dari $c^*$ ke $l_1$ . Sekarang, untuk melihat bahwa $c^*$ dan $l_1$ isomorfik secara isometrik, cukup ditunjukkan bahwa $ST = \operatorname{id}_{c^*}$ dan $TS = \operatorname{id}_{l_1}$ . ◻

Definisi 6.5.32.

Suatu ruang topologis disebut kompak lokal jika setiap titik dalam ruang tersebut memiliki lingkungan kompak.

Notasi 6.5.33.

Misalkan $X$ suatu ruang kompak lokal. Suatu fungsi bernilai skalar $f$ pada $X$ termasuk dalam $\mathcal{C}_0(X)$ jika fungsi tersebut kontinu dan lenyap di tak hingga (yakni, jika untuk setiap bilangan $\epsilon > 0$ terdapat subhimpunan kompak dari $X$ yang di luarnya berlaku $\lvert f(x)\rvert < \epsilon$ ).

Contoh 6.5.34.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal, maka, terhadap operasi aljabar titik demi titik dan norma seragam, $\mathcal{C}_0(X)$ merupakan ruang Banach.

Kita mengingat kembali salah satu teorema terpenting dari analisis real.

Teorema 6.5.35.

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal. Jika $\phi$ suatu fungsional linear terbatas pada $\mathcal{C}_0(X)$ , maka terdapat ukuran Borel kompleks reguler $\mu$ yang unik pada $X$ sedemikian sehingga $\phi(f) = \int_X f\,d\mu$ untuk setiap $f \in \mathcal{C}_0(X)$ dan $\lVert\mu \rVert= \lVert\phi\rVert$ .

Bukti.

Proof. Teorema ini dan akibat berikutnya disajikan dengan baik dalam Lampiran C pada buku analisis fungsional karya Conway [8]. Lihat juga [19], Teorema 7.17; [26], Teorema 20.47 dan 20.48; [38], Teorema 9.16; dan [46], Teorema 6.19. ◻

Akibat 6.5.36.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal, maka $\bigl(\mathcal{C}_0(X)\,\bigr)^*$ isomorfik secara isometrik dengan $\textbf{M}(X)$ , ruang Banach dari semua ukuran Borel kompleks reguler pada $X$ .

Akibat 6.5.37.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal, maka $\textbf{M}(X)$ merupakan ruang Banach.

Dalam 6.1.1, kita mendefinisikan adjoin dari suatu operator linear antara ruang-ruang Banach, dan dalam 5.2.10, kita mendefinisikan adjoin dari suatu operator ruang Hilbert. Dalam kasus operator pada ruang Hilbert (yang juga merupakan ruang Banach), wajar untuk menanyakan hubungan apa, jika ada, di antara kedua “adjoin” ini. Keduanya tentu tidak dapat sama, karena yang pertama bekerja di antara ruang-ruang dual, sedangkan yang kedua di antara ruang-ruang semula. Dalam proposisi berikut, kita menggunakan antiisomorfisme $\psi$ yang didefinisikan dalam 4.5.1 (lihat 4.5.5) untuk menunjukkan bahwa kedua adjoin itu “pada hakikatnya” sama.

Proposisi 6.5.38.

Misalkan $T$ suatu operator pada ruang Hilbert $H$ dan $\psi$ antiisomorfisme yang didefinisikan dalam 4.5.1. Jika kita (untuk sementara) menyatakan dual ruang Banach dari $T$ dengan $T'\colon H^* \rightarrow H^*$ , maka $T' = \psi\, T^* \psi^{-1}$ . Artinya, diagram berikut komutatif.

Persegi yang membandingkan dua adjoin operator T pada ruang Hilbert H. Panah atas T prima berjalan dari H bintang ke H bintang; panah bawah T bintang dari H ke H; kedua panah vertikal psi adalah antiisomorfisme dari H ke H bintang. Persegi komutatif: T prima setelah psi sama dengan psi setelah T bintang, ekuivalen dengan T prima sama dengan psi, lalu T bintang, lalu invers psi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Definisi 6.5.39.

Misalkan $A$ suatu subhimpunan dari ruang Banach $B$ . Maka anihilator dari $A$ , yang dinotasikan dengan $A^\perp$ , adalah $\{f \in B^*\colon f(a) = 0 \text{ untuk setiap $a \in A$}\}$ .

Konflik notasi antara 1.2.29 dan 6.5.39 dapat menimbulkan kebingungan. Untuk melihat bahwa dalam ruang Hilbert, anihilator suatu subruang dan komplemen ortogonal subruang itu “pada hakikatnya” merupakan hal yang sama, gunakan antiisomorfisme isometrik $\psi$ antara $H$ dan $H^*$ yang dibahas dalam 4.5.5 untuk mengidentifikasi keduanya.

Proposisi 6.5.40.

Misalkan $M$ suatu subruang dari ruang Hilbert $H$ . Jika kita (untuk sementara) menyatakan anihilator dari $M$ dengan $M^a$ , maka $M^a = \psi^{\rightarrow}\bigl(M^\perp\bigr)$ .

Proyeksi dan Subruang Terkomplemen

Definisi 6.6.1.

Pemetaan linear terbatas dari suatu ruang Banach ke dirinya sendiri disebut proyeksi jika bersifat idempoten. Jika $E$ adalah pemetaan seperti itu, kita menyebutnya proyeksi pada $\mathop{\mathrm{ran}}E$ sepanjang $\ker E$ .

Perhatikan bahwa ini sudah pasti bukan hal yang sama dengan proyeksi di ruang Hilbert. Proyeksi ruang Hilbert adalah proyeksi ortogonal; yakni, proyeksi itu swaadjoin sekaligus idempoten. Jangkauan suatu proyeksi ruang Hilbert tegak lurus terhadap kernelnya. Karena istilah “ortogonal”, “swaadjoin”, dan “tegak lurus” tidak bermakna di ruang Banach, kita tidak akan mengharapkan kedua pengertian “proyeksi” itu identik. Namun, dalam kedua kasus tersebut proyeksi memang terbatas, linear, dan idempoten.

Definisi 6.6.2.

Misalkan $M$ subruang linear tertutup dari suatu ruang Banach $B$ . Jika terdapat subruang linear tertutup $N$ dari $B$ sedemikian sehingga $B = M \oplus N$ , maka kita mengatakan bahwa $M$ adalah subruang terkomplemen, bahwa $N$ adalah komplemen (ruang Banach)-nya, dan bahwa subruang $M$ dan $N$ bersifat komplementer.

Proposisi 6.6.3.

Misalkan $M$ dan $N$ subruang komplementer dari suatu ruang Banach $B$ . Jelas bahwa setiap elemen di $B$ dapat ditulis secara tunggal dalam bentuk $m + n$ untuk suatu $m \in M$ dan $n \in N$ . Definisikan pemetaan $E \colon B \rightarrow B$ dengan $E(m + n) = m$ untuk $m \in M$ dan $n \in N$ . Maka $E$ adalah proyeksi pada $M$ sepanjang $N$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Gunakan 6.4.7. ◻

Proposisi 6.6.4.

Jika $E$ adalah proyeksi pada suatu ruang Banach $B$ , maka kernel dan jangkauannya merupakan subruang-subruang komplementer dari $B$ .

Berikut ini merupakan akibat langsung dari dua proposisi sebelumnya.

Akibat 6.6.5.

Suatu subruang dari ruang Banach terkomplemen jika dan hanya jika subruang itu merupakan jangkauan suatu proyeksi.

Proposisi 6.6.6.

Misalkan $B$ ruang Banach. Jika $E \colon B \rightarrow B$ adalah proyeksi ke suatu subruang $M$ sepanjang subruang $N$ , maka $I - E$ adalah proyeksi ke $N$ sepanjang $M$ .

Proposisi 6.6.7.

Jika $M$ dan $N$ merupakan subruang komplementer dari suatu ruang Banach $B$ , maka $B/M$ dan $N$ isomorfik.

Proposisi 6.6.8.

Misalkan $T \colon B \rightarrow C$ pemetaan linear terbatas di antara ruang-ruang Banach. Jika $T$ injektif dan $\mathop{\mathrm{ran}}T$ terkomplemen, maka $T$ mempunyai invers kiri.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk petunjuk ini kita memperkenalkan notasi (yang agak rumit). Jika $f\colon X \rightarrow Y$ adalah fungsi di antara dua himpunan, kita definisikan $f_\bullet \colon X \rightarrow\mathop{\mathrm{ran}}f\colon x \mapsto f(x)$ . Artinya, $f_\bullet$ tepat merupakan fungsi yang sama dengan $f$ , kecuali bahwa kodomainnya adalah jangkauan $f$ .

Karena $\mathop{\mathrm{ran}}T$ terkomplemen, terdapat proyeksi $E$ dari $C$ ke $\mathop{\mathrm{ran}}T$ (menurut 6.6.5). Tunjukkan bahwa $T_\bullet$ mempunyai invers kontinu. Misalkan $S = {T_\bullet}^{-1}E_\bullet$ . ◻

Proposisi 6.6.9.

Misalkan $S \colon C \rightarrow B$ pemetaan linear terbatas di antara ruang-ruang Banach. Jika $S$ surjektif dan $\ker S$ terkomplemen, maka $S$ mempunyai invers kanan.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Karena $\ker S$ terkomplemen, terdapat $N \preccurlyeq C$ sedemikian sehingga $C = N \oplus \ker S$ . Tunjukkan bahwa pembatasan $S$ ke $N$ mempunyai invers kontinu dan komposisikan invers ini dengan pemetaan inklusi dari $N$ ke $C$ . ◻

Hasil berikut merupakan konvers dari kedua proposisi 6.6.8 dan 6.6.9.

Proposisi 6.6.10.

Misalkan $T \colon B \rightarrow C$ dan $S\colon C \rightarrow B$ pemetaan linear terbatas di antara ruang-ruang Banach. Jika $ST = \operatorname{id}_{B}$ , maka

$S$ surjektif;
$T$ injektif;
$TS$ merupakan proyeksi pada $\mathop{\mathrm{ran}}T$ sepanjang $\ker S$ ; dan
$C = \mathop{\mathrm{ran}}T \oplus \ker S$ .

Proposisi 6.6.11.

Jika dalam kategori $\mathbf{BAN_\infty}$ barisan

Barisan eksak pendek pertama: ruang nol menuju A, lalu j dari A ke B, lalu f dari B ke C, lalu C menuju ruang nol. Eksak berarti j injektif, f surjektif, dan jangkauan j sama dengan kernel f. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dan

Barisan eksak pendek kedua: ruang nol menuju C, lalu g dari C ke B, lalu p dari B ke D, lalu D menuju ruang nol. Eksak berarti g injektif, p surjektif, dan jangkauan g sama dengan kernel p. Bersama barisan sebelumnya, syarat f setelah g sama dengan identitas C menghasilkan isomorfisme p setelah j dari A ke D. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

eksak dan jika $fg = \operatorname{id}_{C}$ , maka $pj$ adalah isomorfisme dari $A$ pada $D$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Gunakan 6.6.10 untuk melihat bahwa $B = \ker p \oplus \mathop{\mathrm{ran}}j$ . Tinjau pemetaan $\bigl.p\bigr|_{\mathop{\mathrm{ran}}j}\,j_\bullet$ (notasi untuk $j_\bullet$ seperti dalam petunjuk untuk 6.6.8). ◻

Proposisi 6.6.12.

Jika dalam kategori $\mathbf{BAN_\infty}$ diagram

Dua baris eksak pendek sejajar. Baris atas adalah ruang nol menuju A melalui j ke B melalui f ke C lalu ruang nol; baris bawah mengganti A, B, dan C dengan A prima, B prima, dan C prima serta memakai j prima dan f prima. Panah vertikal S dari A ke A prima dan U dari B ke B prima membuat persegi kiri komutatif: U setelah j sama dengan j prima setelah S. Tidak ada panah vertikal pada C dalam diagram ini. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dan

Dua baris eksak pendek sejajar. Baris atas adalah ruang nol menuju C melalui g ke B melalui p ke D lalu ruang nol; baris bawah mengganti C, B, dan D dengan C prima, B prima, dan D prima serta memakai g prima dan p prima. Panah vertikal U dari B ke B prima dan T dari D ke D prima membuat persegi kanan komutatif: T setelah p sama dengan p prima setelah U. Tidak ada panah vertikal pada C dalam diagram ini. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

komutatif, jika baris-barisnya eksak, jika $fg = \operatorname{id}_{C}$ dan jika $f'g' = \operatorname{id}_{C'}$ , maka diagram

Persegi dengan A di kiri atas, D di kanan atas, A prima di kiri bawah, dan D prima di kanan bawah. Panah atas adalah komposit p setelah j dari A ke D; panah bawah adalah p prima setelah j prima dari A prima ke D prima; panah vertikalnya S dan T. Persegi komutatif: T setelah p setelah j sama dengan p prima setelah j prima setelah S. Kedua panah horizontal merupakan isomorfisme. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

komutatif dan pemetaan $pj$ serta $p'j'$ merupakan isomorfisme.

Dalam 6.1.2 dan 6.5.15 kita melihat bahwa dalam kategori ruang Banach dan pemetaan linear kontinu, funktor dualitas $B \mapsto B^*$ , $T \mapsto T^*$ merupakan funktor kontravarian eksak. Dan dalam 6.5.19 kita melihat bahwa dalam kategori yang sama pasangan pemetaan $B \mapsto \overline{B}$ , $T \mapsto \overline{T}$ merupakan funktor kovarian eksak. Dengan mengomposisikan kedua funktor ini diperoleh dua funktor kontravarian eksak baru, yang akan kita lambangkan dengan $F$ dan $G$ :

Empat panah satu langkah mendefinisikan dua funktor kontravarian. Funktor F membawa objek B ke dual dari B garis-atas dan membawa morfisme T ke dual dari T garis-atas. Funktor G membawa B ke hasil bagi bergaris-atas dari B bintang dan membawa T ke hasil bagi bergaris-atas dari T bintang. Tampilan ini mendaftarkan aksi kedua funktor pada objek dan morfisme; tidak menyatakan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Wajar untuk menanyakan hubungan antara ${\overline{B}}^{\,*}$ dan $\overline{B^*}$ . Proposisi berikut memberi tahu kita bukan hanya bahwa kedua ruang ini selalu isomorfik, melainkan bahwa keduanya isomorfik secara alami. Artinya, funktor $F$ dan $G$ ekuivalen secara alami.

Proposisi 6.6.13.

Jika $T \in \mathfrak{B}(B,C)$ , dengan $B$ dan $C$ ruang Banach, maka terdapat isomorfisme $\phi_{{}_{\scriptstyle{B}}} \colon {\overline{B}}^{\,*} \rightarrow\overline{B^*}$ dan $\phi_{{}_{\scriptstyle{C}}} \colon {\overline{C}}^{\,*} \rightarrow\overline{C^*}$ sedemikian sehingga ${\overline{T}}^{\,*} = {\phi_{{}_{\scriptstyle{B}}}}^{\!\!\!-1}\,\, \overline{T^*}\,\,\phi_{{}_{\scriptstyle{C}}}\,.$

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Karena funktor dualitas eksak (lihat 6.5.15), kita dapat mengambil dual dari diagram komutatif 6.5.2 untuk memperoleh diagram komutatif kedua dengan baris-baris eksak. Sekarang tuliskan diagram komutatif ketiga dengan mengganti setiap kemunculan $B$ dalam diagram 6.5.2 dengan $B^*$ . Periksa bahwa ${\tau_{{}_{\scriptstyle{B}}}}^{\!\!*}\,\tau_{{}_{\scriptstyle{B^*}}} = \operatorname{id}_{B^*}$ sehingga Anda dapat menggunakan proposisi 6.6.12 pada dua diagram terakhir dan dengan demikian memperoleh diagram komutatif

Persegi kealamian antara funktor F dan G. Panah horizontal atas adalah dual dari T garis-atas, dari dual C garis-atas ke dual B garis-atas; panah horizontal bawah adalah hasil bagi bergaris-atas dari T bintang, dari hasil bagi bergaris-atas C bintang ke hasil bagi bergaris-atas B bintang. Isomorfisme vertikal phi sub-C dan phi sub-B menghubungkan objek atas dengan objek bawah. Persegi komutatif: phi sub-B setelah dual T garis-atas sama dengan hasil bagi bergaris-atas T bintang setelah phi sub-C. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dengan $\phi_{{}_{\scriptstyle{B}}} := \pi_{{}_{\scriptstyle{B^*}}}\,{\pi_{{}_{\scriptstyle{B}}}}^{\!\!*}$ suatu isomorfisme. ◻

Akibat 6.6.14.

Suatu ruang Banach refleksif jika dan hanya jika dualnya refleksif.

Proposisi 6.6.15.

Setiap subruang berdimensi hingga dari suatu ruang Banach terkomplemen.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $F$ subruang berdimensi hingga dari suatu ruang Banach $B$ dan misalkan $\{\mathbf{e}^1, \dots, \mathbf{e}^n\}$ basis Hamel untuk $F$ . Maka untuk setiap $x \in F$ terdapat skalar-skalar tunggal $\alpha_1(x)$ , …, $\alpha_n(x)$ sedemikian sehingga $x = \sum_{k=1}^n \alpha_k(x)\mathbf{e}^k$ . Untuk setiap $1 \le k \le n$ verifikasi bahwa $\alpha_k$ merupakan fungsional linear terbatas, yang dapat diperluas ke seluruh $B$ . Misalkan $N$ adalah irisan kernel-kernel dari perluasan ini dan tunjukkan bahwa $B = F \oplus N$ . ◻

Definisi 6.6.16.

Ingat bahwa dalam 1.1.15 kita mendefinisikan kodimensi suatu subruang dari ruang vektor sebagai dimensi komplemen ruang vektornya (yang selalu ada menurut proposisi 1.1.18). Kita menggunakan istilah yang sama untuk ruang Banach: kodimensi dari sebarang subruang vektor suatu ruang Banach adalah dimensi komplemen ruang vektornya.

Untuk korolar berikut (dari proposisi 6.6.15), ingatlah konvensi 6.5.1 tentang penggunaan kata “subruang” dalam konteks ruang Banach.

Akibat 6.6.17.

Dalam suatu ruang Banach, setiap subruang berkodimensi hingga terkomplemen.

Misalkan $M$ subruang tak nol dari suatu ruang Banach $B$ . Tinjau dua sifat berikut dari pasangan $B$ dan $M$ .

Sifat P: Terdapat proyeksi bernorma $1$ dari $B$ ke $M$ .

Sifat E: Untuk setiap ruang Banach $C$ , setiap pemetaan linear terbatas dari $M$ ke $C$ dapat diperluas menjadi pemetaan linear terbatas dari $B$ ke $C$ tanpa memperbesar normanya.

Proposisi 6.6.18.

Untuk subruang tak nol $M$ dari suatu ruang Banach $B$ , sifat P dan E ekuivalen.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk menunjukkan bahwa E mengakibatkan P, mulailah dengan memperluas pemetaan identitas pada $M$ ke seluruh $B$ . ◻

Prinsip Keterbatasan Seragam

Definisi 6.7.1.

Misalkan $S$ suatu himpunan dan $V$ ruang linear bernorma. Suatu keluarga $\mathcal{F}$ dari fungsi-fungsi dari $S$ ke $V$ disebut terbatas titik demi titik jika untuk setiap $x \in S$ terdapat konstanta $M_x > 0$ sedemikian sehingga $\lVert f(x)\rVert \le M_x$ untuk setiap $f \in \mathcal{F}$ .

Definisi 6.7.2.

Misalkan $V$ dan $W$ ruang linear bernorma. Suatu keluarga $\mathcal{T}$ dari pemetaan linear terbatas dari $V$ ke $W$ disebut terbatas seragam jika terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $\lVert T\rVert \le M$ untuk setiap $T \in \mathcal{T}$ .

Latihan 6.7.3.

Misalkan $V$ dan $W$ ruang linear bernorma. Jika suatu keluarga $\mathcal{T}$ dari pemetaan linear terbatas dari $V$ ke $W$ terbatas seragam, maka keluarga itu terbatas titik demi titik.

Prinsip keterbatasan seragam adalah pernyataan bahwa konvers dari 6.7.3 berlaku apabila $V$ lengkap. Untuk membuktikannya kita akan menggunakan analog “lokal” dari pernyataan ini untuk fungsi-fungsi kontinu pada ruang metrik lengkap. Secara kasar, analog ini mengatakan bahwa jika suatu keluarga fungsi bernilai real pada ruang metrik lengkap terbatas titik demi titik, maka keluarga itu terbatas seragam pada suatu subhimpunan terbuka tak kosong dari ruang tersebut.

Proposisi 6.7.4.

Misalkan $M$ ruang metrik lengkap yang tak kosong dan $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}(M,\mathbb{R})$ . Jika untuk setiap $x \in M$ terdapat konstanta $N_x > 0$ sedemikian sehingga $\lvert f(x)\rvert \le N_x$ untuk setiap $f \in \mathcal{F}$ , maka terdapat himpunan terbuka tak kosong $U$ di $M$ dan bilangan $N > 0$ sedemikian sehingga $\lvert f(u)\rvert \le N$ untuk setiap $f \in \mathcal{F}$ dan setiap $u \in U$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk setiap bilangan asli $k$ , misalkan $A_k = \bigcap\{f^{\gets}\bigl(\,[-k,k]\,\bigr)\colon f \in \mathcal{F}\}$ . Gunakan versi yang sama dari teorema kategori Baire yang kita gunakan dalam membuktikan teorema pemetaan terbuka (6.3.4) untuk menyimpulkan bahwa untuk sedikitnya satu $n \in \mathbb{N}$ , himpunan $A_n$ mempunyai interior tak kosong. Misalkan $U = {A_n}^{\circ}$ . ◻

Teorema 6.7.5.

Misalkan $B$ ruang Banach dan $W$ ruang linear bernorma. Jika suatu keluarga $\mathfrak{T}$ dari pemetaan linear terbatas dari $B$ ke $W$ terbatas titik demi titik, maka keluarga itu terbatas seragam.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk setiap $T \in \mathfrak{T}$ , definisikan $f_{{}_{\scriptstyle{T}}}\colon B \rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto \lVert Tx\rVert.$ Gunakan proposisi sebelumnya untuk menunjukkan bahwa terdapat subhimpunan terbuka tak kosong $U$ dari $B$ dan konstanta $M > 0$ sedemikian sehingga $f_{{}_{\scriptstyle{T}}}(x) \le M$ untuk setiap $T \in \mathfrak{T}$ dan setiap $x \in U$ . Pilih titik $a \in B$ dan bilangan $r > 0$ sedemikian sehingga $\overline{B_r(a)} \subseteq U$ . Kemudian verifikasi bahwa $\lVert Ty\rVert \le r^{-1}\bigl(\, f_{{}_{\scriptstyle{T}}}(a + ry) + f_{{}_{\scriptstyle{T}}}(a)\,\bigr) \le 2Mr^{-1}$ untuk setiap $T \in \mathfrak{T}$ dan setiap $y \in B$ sedemikian sehingga $\lVert y\rVert \le 1$ . ◻

Teorema 6.7.6.

Misalkan $B$ ruang Banach, $W$ ruang linear bernorma, dan $(T_n)$ barisan pemetaan linear terbatas dari $B$ ke $W$ . Jika limit titik demi titik $\lim_{n \rightarrow\infty} T_nx$ ada untuk setiap $x$ di $B$ , maka pemetaan $S\colon B \rightarrow W\colon x \mapsto \lim_{n \rightarrow\infty} T_nx$ adalah pemetaan linear terbatas.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk setiap $x \in B$ , barisan $\bigl(\lVert T_nx\rVert\bigr)_{n=1}^\infty$ konvergen, dan karena itu terbatas. Gunakan 6.7.5. ◻

Definisi 6.7.7.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang linear bernorma $V$ disebut terbatas secara lemah ( $w$ -terbatas) jika $f^{\rightarrow}(A)$ adalah subhimpunan terbatas dari medan skalar $V$ untuk setiap $f \in V^*$ .

Proposisi 6.7.8.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang Hilbert $H$ terbatas secara lemah jika dan hanya jika untuk setiap $y \in H$ himpunan $\{\langle a,y \rangle \colon a \in A\}$ terbatas.

Proposisi sebelumnya kurang lebih sudah jelas. Proposisi berikutnya merupakan konsekuensi penting dari prinsip keterbatasan seragam.

Proposisi 6.7.9.

Suatu subhimpunan dari ruang linear bernorma terbatas secara lemah jika dan hanya jika subhimpunan itu terbatas.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Jika $A$ subhimpunan yang terbatas secara lemah dari ruang linear bernorma $V$ dan $f \in V^*$ , apa yang dapat Anda katakan tentang $\sup\{\lvert a^{**}(f)\rvert\colon a \in A\}$ ? ◻

Latihan 6.7.10.

Sahabat baik Anda, Fred R. Dimm, kembali memerlukan bantuan. Kali ini ia mencemaskan pernyataan (lihat 6.7.9) bahwa suatu subhimpunan ruang linear bernorma terbatas jika dan hanya jika subhimpunan itu terbatas secara lemah. Ia meninjau barisan $(a^n)$ dalam ruang Hilbert $l^2$ yang didefinisikan oleh $a^n = \sqrt{n}\,\mathbf{e}^n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , dengan $\{\mathbf{e}^n\colon n \in \mathbb{N}\}$ basis ortonormal biasa untuk $l_2$ (lihat contoh 4.4.10). Ia melihat bahwa barisan itu jelas tidak terbatas (dengan topologi biasa pada $l^2$ ). Namun, baginya barisan itu tampak terbatas secara lemah. Jika tidak, menurut argumennya, maka berdasarkan teorema Riesz-Fréchet 4.5.2 akan terdapat barisan $x$ dalam $l^2$ sedemikian sehingga himpunan $\{\lvert\langle a^n,x \rangle\rvert\colon n \in\mathbb{N}\}$ tidak terbatas. Baginya ini tampak tidak mungkin terjadi karena barisan semacam itu harus menurun lebih lambat daripada barisan $\bigl(n^{-1/2}\bigr)$ , yang sudah menurun terlalu lambat untuk menjadi anggota $l^2$ . Tenangkan Fred dengan menemukan barisan yang sesuai. Petunjuk: Gunakan barisan yang memiliki banyak nol.

Definisi 6.7.11.

Suatu barisan $(x_n)$ dalam ruang linear bernorma $V$ disebut Cauchy secara lemah jika barisan $(f(x_n))$ bersifat Cauchy untuk setiap $f$ dalam $V^*$ . Barisan tersebut konvergen secara lemah ke titik $a \in V$ jika $f(x_n) \rightarrow f(a)$ untuk setiap $f \in V^*$ (yakni, jika barisan itu konvergen dalam topologi lemah yang diinduksi oleh anggota-anggota $V^*$ ). Dalam hal ini kita tulis $x_n \to^w a$ . Ruang $V$ disebut lengkap sekuensial secara lemah jika setiap barisan Cauchy secara lemah di $V$ konvergen secara lemah.

Proposisi 6.7.12.

Dalam ruang linear bernorma, setiap barisan Cauchy secara lemah terbatas.

Proposisi 6.7.13.

Setiap ruang Banach refleksif lengkap sekuensial secara lemah.

Contoh 6.7.14.

Misalkan $f_n(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - nt, & \text{jika } 0 \le t \le \frac1n; \\ 0, & \text{jika } \frac1n < t \le 1. \end{array} \right.$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ . Barisan fungsi $(f_n)$ menunjukkan bahwa ruang Banach $\mathcal{C}([0,1])$ tidak lengkap sekuensial secara lemah.

Akibat 6.7.15.

Ruang Banach $\mathcal{C}([0,1])$ tidak refleksif.

Proposisi 6.7.16.

Misalkan $\mathcal{E}$ basis ortonormal untuk suatu ruang Hilbert $H$ dan $(x_n)$ suatu barisan di $H$ . Maka $x_n \to^w \mathbf{0}$ jika dan hanya jika $(x_n)$ terbatas dan $\langle x_n,e \rangle \rightarrow 0$ untuk setiap $e \in \mathcal{E}$ .

Definisi 6.7.17.

Misalkan $H$ ruang Hilbert. Suatu jaring $(T_\lambda)$ dalam $\mathfrak{B}(H)$ konvergen secara lemah (atau konvergen dalam topologi operator lemah) ke $S \in \mathfrak{B}(H)$ jika $\langle T_\lambda x,y \rangle \rightarrow\langle Sx,y \rangle$ untuk setiap $x$ , $y \in H$ . Dalam hal ini kita tulis $T_\lambda~\to^{\textbf{WOT}}~S$ .

Suatu keluarga $\mathfrak{T} \subseteq \mathfrak{B}(H)$ disebut terbatas secara lemah (atau terbatas dalam topologi operator lemah) jika untuk setiap $x$ , $y \in H$ terdapat konstanta positif $\alpha_{x,y}$ sedemikian sehingga $\lvert\langle Tx,y \rangle\rvert \le \alpha_{x,y}$ untuk setiap $T \in \mathfrak{T}$ .

Sayangnya definisi sebelumnya dapat menjadi sumber kebingungan. Karena $\mathfrak{B}(H)$ adalah ruang linear bernorma, ruang itu sudah mempunyai topologi “lemah” (lihat 6.2.7). Lalu, bagaimana menangani dua topologi berbeda pada $\mathfrak{B}(H)$ yang mempunyai nama sama? Sebagian penulis menyebut topologi yang baru saja didefinisikan sebagai topologi operator lemah, sehingga mencegah timbulnya kebingungan. Penulis lain berpendapat bahwa topologi lemah dalam pengertian ruang linear bernorma begitu jarang berguna dalam teori operator pada ruang Hilbert sehingga, kecuali diberi penjelas khusus, frasa topologi lemah dalam konteks operator ruang Hilbert seharusnya dipahami sebagai topologi yang baru saja didefinisikan. (Lihat, misalnya, komentar Halmos dalam dua paragraf sebelum Soal 108 di [24].) Demikian pula, kita sering melihat frasa suatu himpunan terbatas yang terdiri atas operator-operator ruang Hilbert. Kecuali diberi penjelas lain, yang dimaksud adalah bahwa himpunan tersebut terbatas seragam. Bagaimanapun juga, berhati-hatilah terhadap frasa-frasa ini ketika membaca.

Berikut ini konsekuensi penting dari prinsip keterbatasan seragam 6.7.5.

Proposisi 6.7.18.

Setiap keluarga operator ruang Hilbert yang terbatas dalam topologi operator lemah adalah terbatas seragam.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $\mathfrak{T}$ keluarga operator pada $H$ yang terbatas terhadap topologi operator lemah. Gunakan proposisi 6.7.9 untuk menunjukkan, bagi $y \in H$ yang tetap, bahwa $\{T^*y\colon T \in \mathfrak{T}\}$ adalah subhimpunan terbatas dari $H$ . Gunakan hal ini (dan 6.7.9 sekali lagi) untuk menunjukkan bahwa $\{Tx\colon \text{$T \in \mathfrak{T}$, $x \in H$, dan $\lVert x\rVert \le 1$}\}$ terbatas di $H$ . ◻

Seperti dinyatakan di atas, banyak penulis akan menyingkat pernyataan proposisi sebelumnya menjadi: Setiap keluarga operator ruang Hilbert yang terbatas secara lemah adalah terbatas.

Definisi 6.7.19.

Suatu jaring $(T_\lambda)$ dalam $\mathfrak{B}(H)$ konvergen secara kuat (atau konvergen dalam topologi operator kuat) ke $S \in \mathfrak{B}(H)$ jika $T_\lambda x \rightarrow Sx$ untuk setiap $x \in H$ . Dalam hal ini kita tulis $T_\lambda~\to^{\textbf{SOT}}~S$ .

Konvergensi norma biasa dari operator-operator dalam $\mathfrak{B}(H)$ sering disebut konvergensi seragam (atau konvergensi dalam topologi operator seragam). Artinya, kita tulis $T_\lambda \rightarrow S$ jika $\lVert S - T_\lambda\rVert\rightarrow 0$ .

Proposisi 6.7.20.

Misalkan $H$ ruang Hilbert, $(T_n)$ barisan dalam $\mathfrak{B}(H)$ , dan $B \in \mathfrak{B}(H)$ . Maka implikasi-implikasi berikut berlaku: $T_n \rightarrow B \quad \implies \quad T_n~\to^{\textbf{SOT}}~B \quad \implies \quad T_n~\to^{\textbf{WOT}}~B.$

Proposisi 6.7.21.

Misalkan $(S_n)$ dan $(T_n)$ barisan operator pada suatu ruang Hilbert $H$ .
Jika $S_n \to^{\textbf{WOT}} A$ dan $T_n \to^{\textbf{SOT}} B$ , maka $S_nT_n \to^{\textbf{WOT}} AB$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tuliskan $S_nT_n - AB$ sebagai $S_nT_n - S_nB + S_nB - AB$ . ◻

Contoh 6.7.22.

Dalam proposisi sebelumnya, hipotesis $T_n \to^{\textbf{SOT}} B$ tidak dapat diganti dengan $T_n~\to^{\textbf{WOT}}~B$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tinjau pangkat-pangkat operator geser unilateral. ◻