Bab 4 · Ruang Hilbert

Untuk fakta-fakta paling mendasar tentang ruang Hilbert, saya tidak dapat memikirkan pengantar yang lebih baik daripada dua bab pertama dari buku klasik Halmos [23]. Pengantar lain yang baik adalah [55]. Bab 3 dan 9 dari [33] serta bab 4 dari [22] mungkin juga berguna bagi Anda. Sebagai langkah awal menuju penjelajahan yang lebih serius atas seluk-beluk ruang Hilbert, lihat [8], [9], dan [25].

Definisi dan Contoh

Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam lengkap. Secara lebih terperinci:

Definisi 4.1.1.

Dalam proposisi 1.2.15 kita menunjukkan bagaimana hasil kali dalam pada suatu ruang vektor menginduksi norma pada ruang itu dan dalam proposisi 1.2.17 bagaimana norma tersebut selanjutnya menginduksi metrik. Jika suatu ruang hasil kali dalam lengkap terhadap metrik ini, ruang itu disebut ruang Hilbert. Demikian pula, ruang Banach adalah ruang linear bernorma lengkap dan aljabar Banach adalah aljabar bernorma lengkap.

Contoh 4.1.2.

Dengan hasil kali dalam yang didefinisikan dalam contoh 1.2.4, $\mathbb{K}^n$ merupakan ruang Hilbert.

Contoh 4.1.3.

Dengan hasil kali dalam yang diberikan dalam contoh 1.2.5, $l_2 = l_2(\mathbb{N})$ dan $l_2(\mathbb{Z})$ merupakan ruang Hilbert.

Contoh 4.1.4.

Dengan hasil kali dalam yang didefinisikan dalam contoh 1.2.6, $\mathcal{C}([a,b])$ bukan ruang Hilbert.

Contoh 4.1.5.

Misalkan $\mathcal{C}(X) = \mathcal{C}(X,\mathbb{C})$ adalah keluarga semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada ruang Hausdorff kompak $X$ . Dengan norma seragam $\lVert f\rVert_u := \sup\{\lvert f(x)\rvert\colon x \in X\}$ $\mathcal{C}(X)$ merupakan ruang Banach. Jika ruang $X$ tidak kompak, dengan cara yang sama kita dapat menjadikan $\mathcal{C}_b(X)$ , yakni himpunan semua fungsi kontinu bernilai kompleks yang terbatas pada $X$ sebagai ruang Banach. Jika medan skalarnya adalah $\mathbb{R}$ , kita akan menuliskan $\mathcal{C}(X,\mathbb{R})$ untuk keluarga fungsi kontinu bernilai real pada $X$ . Keluarga ini juga merupakan ruang Banach.

Contoh 4.1.6.

Ruang hasil kali dalam $l_c$ yang terdiri atas semua barisan $(a_n)$ bilangan kompleks yang pada akhirnya bernilai nol (lihat contoh 1.2.34) bukan ruang Hilbert.

Contoh 4.1.7.

Misalkan $\mu$ adalah ukuran positif pada suatu $\sigma$ -aljabar $\mathfrak{A}$ yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan dari himpunan $S$ . Jika Anda belum mengenal teori ukuran umum, pengantar singkat tentang ukuran Lebesgue pada garis real seharusnya memadai untuk contoh-contoh yang muncul dalam catatan ini. Suatu fungsi bernilai kompleks $f$ pada $S$ disebut terukur jika prapeta oleh $f$ dari setiap himpunan Borel (secara ekuivalen, setiap himpunan terbuka) di $\mathbb{C}$ termasuk dalam $\mathfrak{A}$ . Kita mendefinisikan relasi ekuivalensi $\sim$ pada keluarga fungsi terukur bernilai kompleks dengan menetapkan $f \sim g$ apabila $f$ dan $g$ berbeda pada suatu himpunan berukuran nol, yaitu apabila $\mu(\{x \in S\colon f(x) \ne g(x)\}) = 0$ . Kita menggunakan notasi konvensional dan menyatakan kelas ekuivalensi yang memuat $f$ dengan $f$ itu sendiri (alih-alih dengan sesuatu yang lebih logis seperti $[f]$ ). Keluarga (kelas-kelas ekuivalensi dari) fungsi terukur bernilai kompleks pada $S$ dinyatakan dengan $\mathcal{M}(S,\mu)$ . Suatu fungsi $f \in \mathcal{M}(S,\mu)$ disebut terintegralkan kuadrat jika $\int_S \lvert f(x)\rvert^2\,d\mu(x) < \infty$ . Keluarga (kelas-kelas ekuivalensi dari) fungsi terintegralkan kuadrat pada $S$ dinyatakan dengan $\mathrm{L_{2}}(S,\mu)$ . Untuk setiap $f$ , $g \in \mathrm{L_{2}}(S,\mu)$ , definisikan $\langle f,g \rangle := \int_S f(x) \overline{g(x)}\,d\mu(x)\,.$ Dengan hasil kali dalam ini (dan operasi ruang vektor titik demi titik yang sudah jelas), $\mathrm{L_{2}}(S,\mu)$ merupakan ruang Hilbert.

Contoh 4.1.8.

Gunakan notasi seperti dalam contoh sebelumnya. Suatu fungsi $f \in \mathcal{M}(S,\mu)$ disebut terintegralkan jika $\int_S \lvert f(x)\rvert\,d\mu(x) < \infty$ . Keluarga (kelas-kelas ekuivalensi dari) fungsi terintegralkan pada $S$ dinyatakan dengan $\mathrm{L_{1}}(S,\mu)$ . Untuk setiap $f \in \mathrm{L_{1}}(S,\mu)$ , definisikan ${\lVert f\rVert}_1 := \int_S \lvert f(x)\rvert\,d\mu(x)\,.$ Dengan norma ini (dan operasi ruang vektor titik demi titik yang sudah jelas), $\mathrm{L_{1}}(S,\mu)$ merupakan ruang Banach.

Definisi 4.1.9.

Jika $J$ adalah sembarang interval di $\mathbb{R}$ , suatu fungsi bernilai real (atau kompleks) $f$ pada $J$ disebut kontinu mutlak jika memenuhi syarat berikut: untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga jika $(a_1,b_1), \dots,(a_n,b_n)$
merupakan subinterval-subinterval tak kosong yang saling lepas dari $J$ dengan $\sum_{k=1}^n(b_k - a_k) < \delta$ ,
maka $\sum_{k=1}^n\lvert f(b_k) - f(a_k)\rvert~<~\epsilon$ .

Contoh 4.1.10.

Misalkan $\lambda$ adalah ukuran Lebesgue pada interval $[0,1]$ dan $H$ adalah himpunan semua fungsi kontinu mutlak pada $[0,1]$ sedemikian sehingga $f\,'$ termasuk dalam $\mathrm{L_{2}}([0,1],\lambda)$ dan $f(0) = 0$ . Untuk $f$ dan $g$ dalam $H$ , definisikan $\langle f,g \rangle = \int_0^1 f\,'(t)\overline{g\,'(t)}\,dt.$ Ini merupakan hasil kali dalam pada $H$ yang menjadikan $H$ ruang Hilbert.

Contoh 4.1.11.

Jika $H$ dan $K$ merupakan ruang Hilbert, jumlah langsung (ortogonal eksternal) keduanya $H \oplus K$ (sebagaimana didefinisikan dalam 1.2.23) juga merupakan ruang Hilbert.

Penjumlahan Tak Berurutan

Mendefinisikan penjumlahan tak berurutan dalam ruang linear bernorma tidak lebih sulit daripada dalam $\mathbb{R}$ . Kita memperumum definisi 3.7.19.

Definisi 4.2.1.

Misalkan $V$ adalah ruang linear bernorma dan $A \subseteq V$ . Untuk setiap $F \in \mathop{\mathrm{Fin}}A$ , definisikan $s_{{}_{\scriptstyle{F}}} = \sum F$ di mana $\sum F$ adalah jumlah dari vektor-vektor (yang berhingga banyaknya) dalam $F$ . Dengan demikian, $s = \bigl(s_{{}_{\scriptstyle{F}}}\bigr)_{F \in \mathop{\mathrm{Fin}}A}$ adalah jaring dalam $V$ . Jika jaring ini konvergen, himpunan $A$ disebut dapat dijumlahkan; limit jaring tersebut adalah jumlah dari $A$ dan dinyatakan dengan $\sum A$ . Jika $\{\lVert a\rVert\colon a \in A\}$ dapat dijumlahkan, kita mengatakan bahwa himpunan $A$ dapat dijumlahkan secara mutlak.

Untuk mengakomodasi jumlah yang memuat vektor yang sama lebih dari satu kali, kita perlu menggunakan keluarga vektor terindeks. Keluarga demikian memerlukan pendekatan yang sedikit berbeda. Misalkan, sebagai contoh, $A = \bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ dengan $I$ sebagai sembarang himpunan indeks. Maka untuk setiap $F \in \mathop{\mathrm{Fin}}I$ , $s_{{}_{\scriptstyle{F}}} = \sum_{i \in F}x_i .$ Seperti di atas, $s$ adalah jaring dalam $V$ . Jika jaring ini konvergen, $\bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ merupakan keluarga yang dapat dijumlahkan dan limitnya adalah jumlah keluarga terindeks tersebut, yang dinyatakan dengan $\sum_{i \in I} x_i$ . Cara lain untuk mengatakan bahwa $\bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ dapat dijumlahkan adalah dengan mengatakan bahwa “deret” $\sum_{i \in I}x_i$ konvergen atau bahwa “jumlah” $\sum_{i \in I}x_i$ ada. Suatu keluarga terindeks $\bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ dapat dijumlahkan secara mutlak jika keluarga terindeks $\bigl(\lVert x_i\rVert\bigr)_{i \in I}$ dapat dijumlahkan. Cara lain untuk mengatakan bahwa $\bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ dapat dijumlahkan secara mutlak adalah dengan mengatakan bahwa “deret” $\sum_{i \in I}x_i$ konvergen mutlak.

Seperti biasa, barisan diperlakukan sebagai kasus tersendiri. Misalkan $(a_k)$ adalah barisan dalam $V$ . Jika deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty a_k$ (yaitu, barisan jumlah parsial $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$ ) konvergen ke suatu vektor $b$ dalam $V$ , kita mengatakan bahwa barisan $(a_k)$ dapat dijumlahkan atau, secara ekuivalen, bahwa deret $\sum_{k=1}^\infty a_k$ merupakan deret konvergen. Vektor $b$ disebut jumlah deret $\sum_{k=1}^\infty a_k$ dan kita menulis $\sum_{k=1}^\infty a_k = b\,.$ Jelas bahwa syarat perlu dan cukup agar suatu deret $\sum_{k=1}^\infty a_k$ konvergen atau, secara ekuivalen, agar barisan $(a_k)$ dapat dijumlahkan, adalah adanya suatu vektor $b$ dalam $V$ sedemikian sehingga $\begin{equation} \label{cond_ser_conv} \biggl\lVert b - \sum_{k=1}^n a_k\biggr\rVert \rightarrow 0 \qquad \text{ketika} \qquad n \rightarrow\infty. \end{equation}$

Proposisi 4.2.2.

Suatu ruang linear bernorma $V$ lengkap jika dan hanya jika setiap barisan yang dapat dijumlahkan secara mutlak dalam $V$ dapat dijumlahkan.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $(x_n)$ adalah barisan Cauchy dalam suatu ruang linear bernorma tempat setiap barisan yang dapat dijumlahkan secara mutlak juga dapat dijumlahkan. Carilah suatu subbarisan $\bigl(x_{n_k}\bigr)$ dari $(x_n)$ sedemikian sehingga $\lVert x_n - x_m\rVert < 2^{-k}$ apabila $m$ , $n \ge n_k$ . Jika kita menetapkan $y_1 = x_{n_1}$ dan $y_j = x_{n_j} - x_{n_{j-1}}$ untuk $j > 1$ , maka $(y_j)$ dapat dijumlahkan secara mutlak. ◻

Proposisi 4.2.3.

Jika $\bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ dan $\bigl(y_i\bigr)_{i \in I}$ merupakan keluarga terindeks yang dapat dijumlahkan dalam suatu ruang linear bernorma dan $\alpha$ adalah skalar, maka $\bigl(\alpha x_i\bigr)_{i \in I}$ dan $\bigl(x_i + y_i\bigr)_{i \in I}$ dapat dijumlahkan; selain itu, $\sum_{i \in I} \alpha x_i = \alpha \, \sum_{i \in I} x_i$ dan $\sum_{i \in I} x_i + \sum_{i \in I} y_i = \sum_{i \in I} (x_i + y_i).$

Catatan 4.2.4.

Dalam buku teks sering dijumpai suatu versi dari “proposisi” berikut. pt

Jika $\sum_{i \in I}x_i = u$ dan $\sum_{i \in I}x_i = v$ dalam suatu ruang Hilbert (atau Banach), maka $u = v$ .

pt (Saya pernah melihat bukti sepanjang 6 baris untuk pernyataan ini.) Pernyataan ini merupakan konsekuensi sepele dari hasil yang mana?

Proposisi 4.2.5.

Jika $\bigl(x_i\bigr)_{i \in I}$ adalah keluarga terindeks vektor yang dapat dijumlahkan dalam ruang Hilbert $H$ dan $y$ adalah vektor dalam $H$ , maka $\bigl(\langle x_i,y \rangle\bigr)_{i \in I}$ adalah keluarga terindeks skalar yang dapat dijumlahkan dan $\sum_{i \in I}\langle x_i,y \rangle = \biggl < \sum_{i \in I} x_i, y \biggr >.$

Berikut ini merupakan perumuman dari contoh 4.1.3.

Contoh 4.2.6.

Misalkan $I$ adalah sembarang himpunan tak kosong dan $l^2(I)$ adalah himpunan semua fungsi bernilai kompleks $x$ pada $I$ sedemikian sehingga $\sum_{i \in I}\lvert x_i\rvert^2 < \infty$ . Untuk semua $x$ , $y \in l^2(I)$ , definisikan $\langle x,y \rangle = \sum_{i \in I}x(i)\overline{y(i)}.$

Jika $x \in l^2(I)$ , maka $x(i) = 0$ untuk semua indeks $i$ , kecuali mungkin indeks-indeks dalam suatu himpunan terhitung.
Pemetaan $(x,y) \mapsto \langle x,y \rangle$ merupakan hasil kali dalam pada ruang vektor $l^2(I)$ .
Ruang $l^2(I)$ merupakan ruang Hilbert.

Proposisi 4.2.7.

Misalkan $(x_n)$ adalah barisan dalam suatu ruang Hilbert. Jika barisan tersebut, ketika dipandang sebagai keluarga terindeks, dapat dijumlahkan, maka deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty x_k$ konvergen.

Contoh 4.2.8.

Kebalikan dari proposisi 4.2.7 tidak berlaku.

Jumlah langsung dari dua ruang Hilbert merupakan ruang Hilbert.

Proposisi 4.2.9.

Jika $H$ dan $K$ merupakan ruang Hilbert, maka jumlah langsung (ortogonal) keduanya (sebagaimana didefinisikan dalam 1.2.23) merupakan ruang Hilbert.

Kita juga dapat mengambil hasil kali lebih dari dua ruang Hilbert—bahkan hasil kali suatu keluarga tak hingga ruang Hilbert.

Proposisi 4.2.10.

Misalkan $\bigl(H_i\bigr)_{i \in I}$ adalah keluarga terindeks ruang Hilbert. Suatu fungsi $x\colon I \rightarrow\bigcup H_i$ termasuk dalam $H = \displaystyle\bigoplus_{i \in I}H_i$ jika $x(i) \in H_i$ untuk setiap $i$ dan jika $\sum_{i \in I}\lVert x(i)\rVert^2 < \infty$ . Mendefinisikan $\langle \mathord{\cdot}, \mathord{\cdot} \rangle$ pada $H$ dengan $\langle x, y \rangle := \sum_{i \in I} \langle x(i), y(i) \rangle$ menjadikan $H$ ruang Hilbert.

Definisi 4.2.11.

Ruang Hilbert yang didefinisikan dalam proposisi sebelumnya adalah jumlah langsung ortogonal (eksternal) dari ruang-ruang Hilbert $H_i$ .

Latihan 4.2.12.

Apakah jumlah langsung yang didefinisikan di atas (dengan morfisme yang sesuai) merupakan hasil kali dalam kategori $\mathbf{HSp}$ yang objeknya ruang Hilbert dan morfismenya pemetaan linear terbatas? Apakah jumlah langsung itu merupakan koproduk?

Geometri Ruang Hilbert

Konvensi 4.3.1.

Dalam konteks ruang Hilbert, kata “subruang” akan selalu berarti subruang vektor tertutup. Alasannya adalah bahwa kita ingin agar subruang dari suatu ruang Hilbert merupakan ruang Hilbert tersendiri; dengan kata lain, subruang dari suatu ruang Hilbert seharusnya merupakan subobjek dalam kategori ruang Hilbert (dan morfisme yang sesuai). Untuk menunjukkan bahwa $M$ adalah subruang dari $H$ , kita menulis $M \preccurlyeq H$ . Subruang vektor (yang tidak harus tertutup) dari suatu ruang Hilbert juga disebut subruang linear atau manifold linear.

Definisi 4.3.2.

Misalkan $A$ adalah subhimpunan tak kosong dari ruang Banach (atau Hilbert) $B$ . Kita mendefinisikan rentang linear tertutup dari $A$ (dinyatakan dengan $\bigvee A$ ) sebagai subruang terkecil dari $B$ yang memuat $A$ ; yaitu, irisan semua subruang dari $B$ yang memuat $A$ .

Seperti pada definisi 3.1.25, 3.7.29, dan 3.7.31, kita perlu menunjukkan bahwa definisi sebelumnya bermakna.

Proposisi 4.3.3.

Definisi sebelumnya bermakna. Lebih lanjut, suatu vektor berada dalam rentang linear tertutup dari $A$ jika dan hanya jika vektor itu termasuk dalam penutupan rentang linear dari $A$ .

Teorema 4.3.4.

Jika $C$ adalah subhimpunan konveks tertutup tak kosong dari suatu ruang Hilbert $H$ dan $a \in C^c$ , maka terdapat tepat satu $b \in C$ sedemikian sehingga $\lVert b - a\rVert \le \lVert x - a\rVert$ untuk setiap $x \in C$ .

Ilustrasi Teorema Vektor Peminimum. Titik a berada di luar himpunan konveks tertutup C, sedangkan b dan titik sembarang x berada pada C. Ruas dari a ke b dan dari a ke x menegaskan bahwa b adalah titik unik di C yang meminimumkan jarak dari a, sehingga jarak a ke b tidak melebihi jarak a ke x. Ini ilustrasi geometris, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk bagian eksistensi, misalkan $d = \inf\{\lVert x - a\rVert\colon x \in C\}$ . Pilih suatu barisan $(y_n)$ vektor dalam $C$ sedemikian sehingga $\lVert y_n - a\rVert \rightarrow d$ . Untuk membuktikan bahwa barisan $(y_n)$ adalah barisan Cauchy, terapkan hukum jajaran genjang 1.2.26 pada vektor $y_m - a$ dan $y_n - a$ untuk $m$ , $n \in \mathbb{N}$ . Bagian keunikan serupa: terapkan hukum jajaran genjang pada vektor $b - a$ dan $c - a$ , dengan $b$ dan $c$ sebagai dua vektor yang memenuhi kesimpulan teorema. ◻

Contoh 4.3.5.

Ruang vektor $\mathbb{R}^2$ dengan metrik seragam merupakan ruang Banach. Untuk melihat bahwa Teorema Vektor Peminimum tidak berlaku dalam ruang ini, ambillah $C$ sebagai bola satuan tertutup berpusat di titik asal dan $a$ sebagai titik $(2,0)$ .

Contoh 4.3.6.

Himpunan-himpunan $C_1 = \biggl\{f \in \mathcal{C}([0,1])\colon \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f = 1\biggr\} \qquad \text{dan} \qquad C_2 = \biggl\{f \in \mathrm{L_{1}}([0,1],\lambda)\colon \int_0^1f = 1\biggr\}$ merupakan contoh yang menunjukkan bahwa baik pernyataan eksistensi maupun pernyataan keunikan dalam Teorema Vektor Peminimum tidak harus berlaku dalam ruang Banach. (Simbol $\lambda$ menyatakan ukuran Lebesgue.)

Teorema 4.3.7.

Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert dan $M$ adalah subruang (linear tertutup) dari $H$ . Maka untuk setiap $x \in H$ terdapat tepat satu pasangan vektor $y \in M$ dan $z \in M^\perp$ sedemikian sehingga $x = y + z$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Asumsikan $x \notin M$ (jika tidak, hasilnya sepele). Jelaskan bagaimana kita mengetahui bahwa terdapat tepat satu vektor $y \in M$ sedemikian sehingga $\begin{equation} \lVert x - y\rVert \le \lVert x - m\rVert \end{equation}$ untuk semua $m \in M$ . Jelaskan mengapa, untuk bagian eksistensi dari bukti, cukup dibuktikan bahwa $x - y$ tegak lurus terhadap setiap vektor satuan $m \in M$ . Jelaskan mengapa benar bahwa untuk setiap vektor satuan $m \in M$ , $\begin{equation} \lVert x - y\rVert^2 \le \lVert x - (y + \lambda m)\rVert^2 \end{equation}$ di mana $\lambda := \langle x - y, m \rangle$ . ◻

Akibat 4.3.8.

Jika $M$ merupakan subruang dari suatu ruang Hilbert $H$ , maka $H = M \oplus M^\perp$ .

Contoh 4.3.9.

Hasil sebelumnya menyatakan bahwa setiap subruang dari suatu ruang Hilbert merupakan suku langsung. Hasil ini tidak harus benar jika $M$ hanya diasumsikan sebagai subruang linear dari ruang tersebut. Sebagai contoh, perhatikan bahwa $M = l_c$ (lihat contoh 4.1.6) adalah subruang linear dari ruang Hilbert $l_2$ (lihat contoh 4.1.3), tetapi $M^\perp = \{\mathbf{0}\}$ .

Akibat 4.3.10.

Suatu subruang vektor $A$ dari ruang Hilbert $H$ padat dalam $H$ jika dan hanya jika $A^\perp = \{0\}$ .

Proposisi 4.3.11.

Setiap subruang sejati dari suatu ruang Hilbert memiliki interior kosong.

Proposisi 4.3.12.

Jika suatu basis Hamel bagi ruang Hilbert tidak hingga, maka basis tersebut tak terhitung.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Andaikan basis tak hingga terhitungnya ialah $\{e^1, e^2, e^3, \dots \}$ . Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $M_n = \mathop{\mathrm{span}}\{e^1, e^2, \dots, e^n\}$ . Terapkan teorema kategori Baire (lihat [16], teorema 29.3.20) pada $\bigcup_{n=1}^\infty M_n$ dengan mengingat proposisi sebelumnya. ◻

Proposisi 4.3.13.

Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert. Maka pernyataan-pernyataan berikut berlaku:

jika $A \subseteq H$ , maka $A \subseteq A^{\perp\perp}$ ;
jika $A \subseteq B \subseteq H$ , maka $B^\perp \subseteq A^\perp$ ;
jika $M$ adalah subruang dari $H$ , maka $M = M^{\perp\perp}$ ; dan
jika $A \subseteq H$ , maka $\bigvee A = A^{\perp\perp}$ .

Proposisi 4.3.14.

Misalkan $M$ dan $N$ adalah subruang dari suatu ruang Hilbert. Maka

$(M + N)^\perp = (M \cup N)^\perp = M^\perp \cap N^\perp$ , dan
$(M \cap N)^\perp = \overline{M^\perp + N^\perp}$ .

Proposisi 4.3.15.

Misalkan $V$ adalah ruang linear bernorma. Terdapat hasil kali dalam pada $V$ yang menginduksi norma pada $V$ jika dan hanya jika norma tersebut memenuhi hukum jajaran genjang 1.2.26.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Kita mengatakan bahwa suatu hasil kali dalam $\langle \,\cdot\,\,,\,\cdot\, \rangle$ pada $V$ menginduksi norma $\lVert\,\cdot\,\rVert$ jika $\lVert x\rVert = \sqrt{\langle x,x \rangle}$ berlaku untuk setiap $x$ dalam $V$ . Untuk membuktikan bahwa jika suatu norma memenuhi hukum jajaran genjang, maka norma tersebut diinduksi oleh hasil kali dalam, gunakan persamaan dalam identitas polarisasi 1.2.28 sebagai definisi. Buktikan terlebih dahulu bahwa $\langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}$ untuk semua $x$ , $y\in V$ dan bahwa $\langle x,x \rangle > 0$ apabila $x \ne 0$ . Selanjutnya, untuk sembarang $z \in V$ , definisikan fungsi $f\colon V \rightarrow\mathbb{C}\colon x \mapsto \langle x,z \rangle$ . Buktikan bahwa $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) \qquad(\ast)$ untuk semua $x$ , $y \in V$ . Gunakan ini untuk membuktikan bahwa $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ untuk semua $x \in V$ dan $\alpha \in \mathbb{R}$ . (Mulailah dengan $\alpha$ berupa bilangan asli.) Kemudian tunjukkan bahwa $f$ aditif. (Jika $u$ dan $v$ adalah sembarang anggota $V$ , misalkan $x = u + v$ dan $y = u - v$ . Gunakan $(\ast)$ .) Terakhir, buktikan bahwa $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ untuk $\alpha$ kompleks dengan menunjukkan bahwa $f(ix) = i\,f(x)$ untuk semua $x \in V$ . ◻

Himpunan Ortonormal dan Basis

Definisi 4.4.1.

Suatu subhimpunan tak kosong $E$ dari ruang Hilbert bersifat ortonormal jika $e \perp f$ untuk setiap pasangan vektor berbeda $e$ dan $f$ di $E$ , dan $\lVert e\rVert = 1$ untuk setiap $e \in E$ .

Proposisi 4.4.2.

Dalam ruang hasil kali dalam, setiap himpunan ortonormal bebas linear.

Proposisi 4.4.3.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $E$ suatu subhimpunan ortonormal dari $H$ . Untuk setiap $x \in H$ , $\sum_{e \in E} \lVert\langle x,e \rangle\rVert^2 \le \lVert x\rVert^2\,.$

Akibat 4.4.4.

Jika $E$ subhimpunan ortonormal dari ruang Hilbert $H$ dan $x \in H$ , maka $\{e \in E\colon \langle x,e \rangle~\ne~0\}$ terhitung.

Proposisi 4.4.5.

Misalkan $E$ himpunan ortonormal dalam ruang Hilbert $H$ . Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.

$E$ adalah himpunan ortonormal maksimal.
Jika $x \perp E$ , maka $x = 0$ ( $E$ bersifat total).
$\bigvee E = H$ ( $E$ adalah himpunan ortonormal lengkap).
$\displaystyle x = \sum_{e \in E} \langle x,e \rangle e$ untuk semua $x \in H$ . (Ekspansi Fourier)
$\displaystyle\langle x,y \rangle = \sum_{e \in E} \langle x,e \rangle \langle e,y \rangle$ untuk semua $x,y \in H$ . (Identitas Parseval.)
$\displaystyle\lVert x\rVert^2 = \sum_{e \in E} \lvert\langle x,e \rangle\rvert^2$ untuk semua $x \in H$ . (Identitas Parseval.)

Definisi 4.4.6.

Jika $H$ ruang Hilbert, maka himpunan ortonormal $E$ yang memenuhi salah satu (dan karenanya semua) kondisi dalam proposisi 4.4.5 disebut basis ortonormal untuk $H$ (atau himpunan ortonormal lengkap dalam $H$ , atau basis ruang Hilbert untuk $H$ ). Perhatikan bahwa konsep ini sangat berbeda dari basis biasa (Hamel) untuk ruang vektor (lihat 1.1.10). Untuk ruang Hilbert, vektor-vektor basis harus memiliki panjang satu dan saling tegak lurus (kondisi yang tidak bermakna dalam ruang vektor); tetapi tidak disyaratkan bahwa setiap vektor dalam ruang tersebut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor basis.

Proposisi 4.4.7.

Jika $E$ subhimpunan ortonormal dari ruang Hilbert $H$ , maka terdapat basis ortonormal untuk $H$ yang memuat $E$ .

Akibat 4.4.8.

Setiap ruang Hilbert tak nol memiliki basis.

Proposisi 4.4.9.

Jika $E$ subhimpunan ortonormal dari ruang Hilbert $H$ dan $x \in H$ , maka $\{\langle x,e \rangle e: e \in E\}$ dapat dijumlahkan.

Contoh 4.4.10.

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $\mathbf{e}^n$ adalah barisan dalam $l_2$ yang koordinat ke- $n$ -nya bernilai $1$ dan semua koordinat lainnya bernilai $0$ . Maka $\{\mathbf{e}^n\colon n \in \mathbb{N}\}$ adalah basis ortonormal untuk $l_2$ . Basis ini disebut biasa (atau standar); basis tersebut adalah basis ortonormal untuk $l_2$ .

Latihan 4.4.11.

Suatu fungsi $f\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ berbentuk $f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^n (a_k \cos kt + b_k \sin kt)$ dengan $a_0, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ bilangan kompleks disebut polinom trigonometri.

Jelaskan mengapa fungsi bernilai kompleks yang $2\pi$ -periodik pada garis real $\mathbb{R}$ sering diidentifikasi dengan fungsi bernilai kompleks pada lingkaran satuan $\mathbb{T}$ .
Beberapa penulis menyebut polinom trigonometri sebagai fungsi berbentuk $f(t) = \sum_{k=-n}^n c_k e^{ikt}$ dengan $c_{-n}, \dots, c_{-1}, c_0, c_1, \dots, c_n$ bilangan kompleks. Jelaskan dengan cermat mengapa bentuk ini persis sama dengan definisi sebelumnya.
Jelaskan alasan penggunaan istilah polinom trigonometri.
Buktikan bahwa setiap fungsi kontinu yang $2\pi$ -periodik pada $\mathbb{R}$ merupakan limit seragam dari suatu barisan polinom trigonometri.

Proposisi 4.4.12.

Misalkan $E$ basis untuk ruang Hilbert $H$ dan $x \in H$ . Jika $x = \sum_{e \in E} \alpha_e e$ , maka $\alpha_e = \langle x,e \rangle$ untuk setiap $e \in E$ .

Proposisi 4.4.13.

Tinjau ruang Hilbert $\mathrm{L_{2}}([0,2\pi],\mathbb{C})$ yang terdiri atas (kelas-kelas ekuivalensi dari) fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan kuadrat pada $[0,2\pi]$ , dengan hasil kali dalam $\langle f,g \rangle = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x) \overline{g(x)}\,dx.$ Untuk setiap bilangan bulat $n$ (positif, negatif, atau nol), misalkan $\mathbf{e}^n(x) = e^{inx}$ untuk semua $x \in [0,2\pi]$ . Maka himpunan fungsi $\mathbf{e}^n$ untuk $n \in \mathbb{Z}$ merupakan basis ortonormal untuk $\mathrm{L_{2}}([0,2\pi],\mathbb{C})$ .

Contoh 4.4.14.

Jumlah deret tak hingga $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}$ adalah $\dfrac{\pi^2}6$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $f(x) = x$ untuk $0 \le x \le 2\pi$ . Pandang $f$ sebagai anggota $\mathrm{L_{2}}([0,2\pi])$ . Tentukan $\lVert f\rVert$ dengan dua cara. ◻

Proposisi berikut memungkinkan kita mendefinisikan gagasan dimensi ruang Hilbert. (Pada ruang berdimensi hingga, gagasan ini sama dengan konsep dalam ruang vektor.)

Proposisi 4.4.15.

Sebarang dua basis ortonormal dari suatu ruang Hilbert memiliki kardinalitas yang sama (artinya, keduanya berkorespondensi satu-satu).

Bukti.

Proof. Lihat [23], halaman 29, Teorema 1. ◻

Definisi 4.4.16.

Yang dimaksud dengan dimensi ruang Hilbert adalah kardinalitas dari sebarang basis ortonormal untuk ruang tersebut.

Proposisi 4.4.17.

Ruang Hilbert separabel jika dan hanya jika ruang tersebut memiliki basis ortonormal terhitung.

Bukti.

Proof. Lihat [33], halaman 171, Teorema 3.6-4. ◻

Teorema Riesz–Fréchet

Contoh 4.5.1.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $a \in H$ . Definisikan $\psi_a\colon H \rightarrow\mathbb{C}\colon x \mapsto \langle x,a \rangle$ . Maka $\psi_a \in H^*$ .

Sekarang kita menggeneralisasi teorema 1.2.38 ke ranah berdimensi tak hingga. Hasil ini kadang-kadang disebut Teorema Representasi Riesz (yang dapat menimbulkan kebingungan dengan hasil yang lebih substansial mengenai representasi fungsional linear tertentu sebagai ukuran) atau Teorema Representasi Riesz Kecil. Teorema ini menyatakan bahwa satu-satunya fungsional linear kontinu pada ruang Hilbert adalah fungsi $\psi_a$ yang didefinisikan dalam 4.5.1. Dengan kata lain, jika diberikan fungsional linear kontinu $f$ pada ruang Hilbert, terdapat vektor unik $a$ dalam ruang tersebut sehingga nilai $f$ pada vektor $x$ dapat dinyatakan hanya dengan mengambil hasil kali dalam $x$ dengan $a$ .

Teorema 4.5.2.

Jika $f \in H^*$ dengan $H$ ruang Hilbert, maka terdapat vektor unik $a$ dalam $H$ sehingga $f = \psi_a$ . Selain itu, $\lVert a\rVert = \lVert\psi_a\rVert$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk kasus $f \ne 0$ , pilih vektor satuan $z$ dalam $(\ker f)^\perp$ . Perhatikan bahwa untuk setiap $x \in H$ , vektor $x - \frac{f(x)}{f(z)}\,z$ termasuk dalam $\ker f$ . ◻

Akibat 4.5.3.

Kernel setiap fungsional linear terbatas tak nol pada ruang Hilbert memiliki kodimensi $1$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Yang dimaksud dengan kodimensi suatu subruang dari ruang Hilbert adalah dimensi komplemen ortogonalnya. Pernyataan ini sebenarnya merupakan akibat dari pembuktian Teorema Riesz–Fréchet. Dalam pembuktian tersebut kita mendapati bahwa vektor yang merepresentasikan fungsional linear terbatas $f$ merupakan kelipatan (tak nol) dari vektor satuan dalam $(\ker f)^\perp$ . Apa yang akan terjadi jika terdapat dua vektor bebas linear dalam $(\ker f)^\perp$ ? ◻

Definisi 4.5.4.

Ingat bahwa pemetaan $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang vektor kompleks bersifat linear konjugat jika $T(x + y) = Tx + Ty$ dan $T(\alpha x) = \overline{\alpha}\,Tx$ untuk semua $x$ , $y \in V$ dan $\alpha \in \mathbb{C}$ . Pemetaan linear konjugat yang bijektif disebut antiisomorfisme.

Contoh 4.5.5.

Untuk ruang Hilbert $H$ , pemetaan $\psi\colon H \rightarrow H^*\colon a \mapsto \psi_a$ yang didefinisikan dalam contoh 4.5.1 merupakan antiisomorfisme isometrik antara $H$ dan ruang dualnya.

Definisi 4.5.6.

Pemetaan linear konjugat $C\colon V \rightarrow V$ dari ruang vektor ke dirinya sendiri yang memenuhi $C^2 = \operatorname{id}_{V}$ disebut konjugasi pada $V$ .

Contoh 4.5.7.

Konjugasi kompleks $z \mapsto \overline{z}$ merupakan contoh konjugasi dalam ruang vektor $\mathbb{C}$ .

Contoh 4.5.8.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $E$ basis untuk $H$ . Maka pemetaan $x \mapsto \sum_{e \in E}\langle e,x \rangle e$ merupakan konjugasi dan isometri pada $H$ .

Istilah “antiisomorfisme” agak menyesatkan. Istilah tersebut mengesankan sesuatu yang sama sekali berbeda dari isomorfisme. Padahal, antiisomorfisme hampir sebaik isomorfisme. Pada intinya, proposisi berikut menyatakan bahwa ruang Hilbert dan ruang dualnya isomorfik karena keduanya antiisomorfik.

Proposisi 4.5.9.

Misalkan $H$ ruang Hilbert, $\psi\colon H \rightarrow H^*$ adalah antiisomorfisme yang didefinisikan dalam 4.5.1 (lihat 4.5.5), dan $C$ adalah konjugasi yang didefinisikan dalam 4.5.8. Maka komposisi $C \psi^{-1}$ merupakan isomorfisme isometrik dari $H^*$ ke $H$ .

Akibat 4.5.10.

Setiap ruang Hilbert isomorfik secara isometrik dengan ruang dualnya.

Proposisi 4.5.11.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $\psi\colon H \rightarrow H^*$ antiisomorfisme yang didefinisikan dalam 4.5.1 (lihat 4.5.5). Jika kita mendefinisikan $\langle f,g \rangle := \langle \psi^{-1}g, \psi^{-1}f \rangle$ untuk semua $f$ , $g \in H^*$ , maka $H^*$ menjadi ruang Hilbert yang isomorfik secara isometrik dengan $H$ . Norma yang dihasilkan pada $H^*$ adalah norma yang biasa digunakan.

Akibat 4.5.12.

Setiap ruang Hilbert bersifat refleksif.

Contoh 4.5.13.

Misalkan $H$ himpunan semua fungsi bernilai kompleks $f$ yang kontinu mutlak pada $[0,1]$ sedemikian sehingga $f(0) = 0$ dan $f' \in \mathrm{L_{2}}([0,1],\lambda)$ . Definisikan hasil kali dalam pada $H$ dengan $\langle f,g \rangle := \int_0^1 f'(t)\,\overline{g'(t)}\,dt.$ Kita telah mengetahui bahwa $H$ ruang Hilbert (lihat contoh 4.1.10). Tetapkan $t \in (0,1]$ . Definisikan $E_t\colon H \rightarrow\mathbb{C}\colon f \mapsto f(t).$ Maka $E_t$ merupakan fungsional linear terbatas pada $H$ . Berapakah $\lVert E_t\rVert$ ? Vektor $g$ manakah dalam $H$ yang merepresentasikan fungsional $E_t$ ?

Latihan 4.5.14.

Pada suatu sore, kawan Anda, Fred R. Dimm, datang membawa masalah. “Begini,” katanya, “Pada $\mathrm{L_{2}} = \mathrm{L_{2}}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , fungsional evaluasi $E_0$ , yang mengevaluasi setiap anggota $\mathrm{L_{2}}$ di $0$ , jelas merupakan fungsional linear terbatas. Jadi, menurut Teorema Representasi Riesz, seharusnya ada fungsi $g$ dalam $\mathrm{L_{2}}$ sedemikian sehingga $f(0) = \langle f,g \rangle = \int_{-\infty}^\infty fg$ untuk semua $f$ dalam $\mathrm{L_{2}}$ . Namun, itu adalah sifat ‘fungsi $\delta$ ’, yang katanya tidak ada. Di mana letak kesalahan saya?” Berilah Freddy nasihat (yang membantu).

Latihan 4.5.15.

Masih pada sore yang sama, Freddy kembali. Setelah mempertimbangkan nasihat yang Anda berikan (dalam soal sebelumnya), ia merevisi pertanyaannya dengan menjadikan domain $E_0$ sebagai himpunan fungsi bernilai real yang terbatas dan kontinu pada $\mathbb{R}$ . Dengan sabar Anda menjelaskan kepada Freddy bahwa sekarang setidaknya ada dua kekeliruan dalam caranya menggunakan ‘fungsi $\delta$ ’. Apakah kedua kekeliruan tersebut?

Latihan 4.5.16.

Mimpi buruk itu berlanjut. Sekarang pukul 23.00 dan Freddy kembali lagi. Kali ini (setelah, untungnya, menyerah soal fungsi $\delta$ ) ia ingin menerapkan teorema representasi pada fungsional “evaluasi pada nol” pada ruang $l_2(\mathbb{Z})$ . Dapatkah ia melakukannya? Jelaskan.

Topologi Kuat dan Lemah pada Ruang Hilbert

Kita mengingat kembali secara singkat definisi dan fakta-fakta penting mengenai topologi lemah. Untuk pengantar yang lebih terperinci mengenai kelas topologi ini, lihat buku teks topologi mana pun yang baik atau bagian 11.4 dari catatan saya [16].

Definisi 4.6.1.

Misalkan $S$ suatu himpunan, untuk setiap $\alpha \in A$ (dengan $A$ sebarang himpunan indeks) $X_\alpha$ merupakan ruang topologis, dan $f_\alpha \colon S \rightarrow X_\alpha$ untuk setiap $\alpha \in A$ . Misalkan $\mathfrak{S} = \{{f_\alpha}^\gets(U_\alpha) \colon U_\alpha\overset{\,_\circ}{\subseteq}X_\alpha \text{ dan } \alpha \in A\}\,.$ Gunakan keluarga $\mathfrak{S}$ sebagai subbasis bagi suatu topologi pada $S$ . Topologi ini disebut topologi lemah yang diinduksi oleh (atau ditentukan oleh) fungsi-fungsi $f_\alpha$ .

Proposisi 4.6.2.

Dalam topologi lemah (yang didefinisikan di atas) pada himpunan $S$ , setiap fungsi $f_\alpha$ kontinu; bahkan, topologi lemah adalah topologi paling lemah pada $S$ yang menjadikan fungsi-fungsi tersebut kontinu.

Proposisi 4.6.3.

Misalkan $X$ ruang topologis dengan topologi lemah yang ditentukan oleh keluarga fungsi $\mathcal{F}$ . Buktikan bahwa fungsi $g\colon W \rightarrow X$ , dengan $W$ ruang topologis, kontinu jika dan hanya jika $f \circ g$ kontinu untuk setiap $f \in \mathcal{F}$ .

Definisi 4.6.4.

Misalkan $\bigl(A_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ keluarga terindeks ruang topologis. Topologi lemah pada hasil kali Kartesius $\prod A_\lambda$ yang diinduksi oleh keluarga proyeksi koordinat $\pi_\lambda$ (lihat definisi 3.5.6) disebut topologi hasil kali.

Proposisi 4.6.5.

Hasil kali dari suatu keluarga ruang Hausdorff adalah Hausdorff.

Contoh 4.6.6.

Misalkan $Y$ ruang topologis dengan topologi lemah (lihat definisi 4.6.1) yang ditentukan oleh keluarga fungsi terindeks $(f_\alpha)_{\alpha \in A}$ , dengan sifat bahwa, untuk setiap $\alpha \in A$ , kodomain $f_\alpha$ berupa ruang topologis $X_\alpha$ . Maka jaring $\bigl(y_{{}_\lambda}\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ dalam $Y$ konvergen ke titik $a \in Y$ jika dan hanya jika $f_\alpha(y_{{}_\lambda})~\to_{\lambda \in \Lambda}~f_\alpha(a)$ untuk setiap $\alpha \in A$ .

Contoh 4.6.7.

Jika $Y = \prod_{\alpha \in A} X_\alpha$ adalah hasil kali dari ruang-ruang topologis tak kosong dengan topologi hasil kali (lihat definisi 4.6.4), maka suatu jaring $\bigl(y_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr)$ dalam $Y$ konvergen ke $a \in Y$ jika dan hanya jika $\bigl(y_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr)_\alpha \rightarrow a_\alpha$ untuk setiap $\alpha \in A$ .

Contoh 4.6.8.

Jika $V$ dan $W$ ruang linear bernorma, maka topologi hasil kali pada $V \times W$ sama dengan topologi yang diinduksi oleh norma hasil kali pada $V \oplus W$ .

Contoh berikut menggambarkan ketidakcukupan barisan ketika kita menangani ruang topologis umum.

Contoh 4.6.9.

Misalkan $\mathcal{F} = \mathcal{F}([0,1])$ adalah himpunan semua fungsi $f\colon [0,1] \rightarrow\mathbb{R}$ , dan beri $\mathcal{F}$ topologi hasil kali, yaitu topologi lemah yang ditentukan oleh fungsional-fungsional evaluasi $E_x\colon \mathcal{F} \rightarrow\mathbb{R}\colon f \mapsto f(x)$ dengan $x \in [0,1]$ . Jadi, lingkungan terbuka dasar dari suatu titik $g \in \mathcal{F}$ ditentukan oleh himpunan titik hingga $A \in \mathop{\mathrm{Fin}}[0,1]$ dan bilangan $\epsilon > 0$ : $U(g\,;\,A\,;\, \epsilon) := \{f \in \mathcal{F}\colon \lvert f(t) - g(t)\rvert < \epsilon \text{ untuk semua $t \in A$}\}.$ (Apa nama yang biasa digunakan untuk topologi ini?) Misalkan $\mathcal{G}$ himpunan semua fungsi dalam $\mathcal{F}$ yang bertumpuan hingga. Maka

fungsi konstan $\mathbf{1}$ termasuk dalam $\overline{\mathcal{G}}$ ,
terdapat jaring fungsi dalam $\mathcal{G}$ yang konvergen ke $\mathbf{1}$ , tetapi
tidak ada barisan dalam $\mathcal{G}$ yang konvergen ke $\mathbf{1}$ .

Definisi 4.6.10.

Jaring $(x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}})$ dalam ruang Hilbert $H$ dikatakan konvergen secara lemah ke titik $a$ dalam $H$ jika $\langle x{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}}, y \rangle \to \langle a,y \rangle$ untuk setiap $y \in H$ . Dalam hal ini kita menulis $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \to^w a$ . Dalam ruang Hilbert, suatu jaring dikatakan konvergen secara kuat (atau konvergen dalam norma) jika jaring tersebut konvergen terhadap topologi yang diinduksi oleh norma. Inilah jenis konvergensi yang biasa dalam ruang Hilbert. Jika kita ingin menekankan perbedaan di antara cara-cara konvergensi, kita dapat menulis $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \to^s a$ untuk konvergensi kuat.

Latihan 4.6.11.

Jelaskan mengapa topologi pada ruang Hilbert yang dibangkitkan oleh konvergensi lemah jaring sesungguhnya merupakan topologi lemah dalam pengertian topologis yang lazim.

Ketika kita mengatakan bahwa suatu subhimpunan dari ruang Hilbert $H$ bersifat tertutup secara lemah, maksudnya subhimpunan tersebut tertutup terhadap topologi lemah pada $H$ ; suatu himpunan bersifat kompak secara lemah jika kompak dalam topologi lemah pada $H$ ; dan seterusnya. Suatu fungsi $f\colon H \rightarrow H$ bersifat kontinu secara lemah jika kontinu sebagai pemetaan dari $H$ yang dilengkapi topologi lemah ke $H$ yang dilengkapi topologi lemah.

Latihan 4.6.12.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $(x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}})$ jaring dalam $H$ .

Jika $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \to^s a$ dalam $H$ , maka $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \to^w a$ dalam $H$ .
Topologi kuat (norma) pada $H$ lebih kuat (lebih besar) daripada topologi lemah.
Tunjukkan dengan contoh bahwa kebalikan dari (a) tidak berlaku.
Apakah norma pada $H$ kontinu secara lemah?
Jika $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \to^w a$ dalam $H$ dan jika $\lVert x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}}\rVert \to \lVert a\rVert$ , maka $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}}\to^s a$ dalam $H$ .
Jika pemetaan linear $T\colon H \rightarrow H$ kontinu (secara kuat), maka pemetaan tersebut kontinu secara lemah.

Latihan 4.6.13.

Misalkan $H$ ruang Hilbert berdimensi tak hingga. Tinjau subhimpunan-subhimpunan berikut dari $H$ :

bola satuan terbuka;
bola satuan tertutup;
sfer satuan;
subruang linear tertutup.

Tentukan untuk setiap himpunan tersebut apakah masing-masing bersifat: tertutup secara kuat, tertutup secara lemah, terbuka secara kuat, terbuka secara lemah, kompak secara kuat, kompak secara lemah. (Salah satu bagian terlalu sulit untuk saat ini: Teorema Alaoglu 6.2.9 akan menunjukkan bahwa bola satuan tertutup kompak secara lemah.)

Latihan 4.6.14.

Misalkan $\{e^n\colon n \in \mathbb{N}\}$ basis biasa untuk $l_2$ . Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $a_n = \sqrt n\, e^n$ . Manakah di antara pernyataan berikut yang benar?

$0$ adalah titik akumulasi lemah dari himpunan $\{a_n\colon n \in \mathbb{N}\}$ .
$0$ adalah titik gugus lemah dari barisan $(a_n)$ .
$0$ adalah limit lemah dari suatu subbarisan dari $(a_n)$ .

Morfisme Universal

Banyak bagian matematika melibatkan pembentukan objek baru dari objek yang sudah ada—misalnya hasil kali, koproduk, hasil bagi, pelengkapan, kompaktifikasi, dan unitalisasi. Sering kali suatu konstruksi dapat—dan sangat baik jika dapat—dicirikan melalui sebuah diagram yang menjelaskan apa yang “dilakukan” oleh objek hasil konstruksi, alih-alih menjelaskan apa objek itu atau bagaimana objek tersebut dibangun. Diagram semacam ini disebut diagram pemetaan universal, dan diagram itu menjelaskan sifat universal objek yang dibangun. Secara khusus, suatu konstruksi biasanya dapat dicirikan oleh adanya sebuah morfisme tunggal yang memiliki sifat tertentu. Karena morfisme ini beserta sifat yang bersesuaian dengannya mencirikan secara tunggal konstruksi tersebut, keduanya masing-masing disebut morfisme universal dan sifat universal. Definisi berikut merupakan salah satu cara untuk menjelaskan peran morfisme semacam itu. Jika ini pertama kalinya Anda menjumpai konsep universal, jangan khawatir karena sifatnya memang cukup abstrak. Menurut saya, tidak banyak orang yang langsung merasa nyaman dengan definisi ini sebelum menjumpai setidaknya setengah lusin contoh dalam berbagai konteks. (Ada definisi yang bahkan lebih teknis untuk konsep penting ini, misalnya objek awal atau objek terminal dalam kategori koma. Jika tertarik menelusurinya, carilah “universal property” di Wikipedia [52].)

Definisi 4.7.1.

Misalkan $\mathbf{A} \to^{\mathsf{F}} \mathbf{B}$ suatu funktor antara kategori $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ , dan misalkan $B$ suatu objek di $\mathbf{B}$ . Pasangan $(A,u)$ , dengan $A$ suatu objek di $\mathbf{A}$ dan $u$ suatu morfisme di $\mathbf{B}$ dari $B$ ke $\mathsf{F}(A)$ , disebut morfisme universal untuk $B$ (terhadap funktor $\mathsf{F}$ ) jika untuk setiap objek $A'$ di $\mathbf{A}$ dan setiap morfisme $B \to^f \mathsf{F}(A')$ di $\mathbf{B}$ terdapat sebuah morfisme tunggal $A \to^{\tilde f} A'$ di $\mathbf{A}$ sehingga diagram berikut komutatif.

Diagram sifat universal bagi funktor F. Ada panah u dari B ke F(A), panah f dari B ke F(A prima), dan panah putus-putus F(f tilde) dari F(A) ke F(A prima), yang berasal dari satu-satunya panah putus-putus f tilde dari A ke A prima. Segitiga komutatif: f sama dengan F(f tilde) setelah u. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Dalam konteks ini, objek $A$ sering disebut objek universal di $\mathbf{A}$ .

Berikut adalah contoh pertama sifat semacam itu.

Definisi 4.7.2.

Misalkan $F$ suatu objek dalam kategori konkret $\mathbf{C}$ , dan $\iota\colon S \rightarrow\lvert F\rvert$ suatu pemetaan inklusi yang domainnya merupakan himpunan tak kosong $S$ . Kita mengatakan bahwa objek $F$ bebas pada himpunan $S$ (atau bahwa $F$ adalah objek bebas yang dibangkitkan oleh $S$ ) jika untuk setiap objek $A$ di $\mathbf{C}$ dan setiap pemetaan $f\colon S \rightarrow\lvert A\rvert$ terdapat sebuah morfisme tunggal $\widetilde f_\iota\colon F \rightarrow A$ di $\mathbf{C}$ sehingga $\lvert\widetilde{f}_\iota\rvert \circ \iota = f$ .

Diagram objek bebas dalam kategori konkret. Inklusi iota membawa S ke himpunan dasar F, fungsi f membawa S ke himpunan dasar A, dan panah putus-putus himpunan dasar dari f tilde sub-iota membawa himpunan dasar F ke himpunan dasar A; di tingkat objek terdapat satu-satunya morfisme putus-putus f tilde sub-iota dari F ke A. Komutativitas menyatakan f sama dengan himpunan dasar f tilde sub-iota setelah iota. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Kita akan menaruh perhatian pada ruang vektor bebas, yaitu objek bebas dalam kategori $\mathbf{VEC}$ yang objeknya adalah ruang vektor dan morfismenya adalah pemetaan linear. Tentu saja, sekadar mendefinisikan suatu konsep tidak menjamin keberadaannya. Ternyata ruang vektor bebas memang ada pada setiap himpunan. (Lihat contoh 4.7.6.)

Latihan 4.7.3.

Dalam definisi sebelumnya, rujukan kepada funktor pelupa sering dihilangkan dan diagram yang menyertainya sering digambar sebagai berikut:

Versi ringkas diagram objek bebas: iota dari S ke F, f dari S ke A, dan satu-satunya panah putus-putus f tilde sub-iota dari F ke A. Segitiga komutatif karena f sama dengan f tilde sub-iota setelah iota. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Diagram ini tentu terlihat jauh lebih sederhana. Menurut Anda, mengapa saya memilih versi yang lebih rumit?

Proposisi 4.7.4.

Jika dua objek dalam suatu kategori konkret bebas pada himpunan yang sama, maka kedua objek tersebut isomorfik.

Definisi 4.7.5.

Misalkan $A$ subhimpunan dari himpunan tak kosong $S$ , dan misalkan $\mathbb{K}$ adalah $\mathbb{R}$ atau $\mathbb{C}$ . Definisikan $\chi _{{}_{\scriptstyle{A}}} \colon S \rightarrow\mathbb{K}$ , yaitu fungsi karakteristik dari $A$ , dengan $\chi_{{}_{\scriptstyle{A}}}(x) = \begin{cases} 1, &\text{jika $x \in A$} \\ 0, &\text{selain itu} \end{cases}$

Contoh 4.7.6.

Jika $S$ adalah sebarang himpunan tak kosong, maka terdapat ruang vektor $V$ atas $\mathbb{K}$ yang bebas pada $S$ . Ruang vektor ini unik (hingga isomorfisme).

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk himpunan $S$ , ambil $V$ sebagai himpunan semua fungsi bernilai $\mathbb{K}$ pada $S$ yang bertumpuan hingga. Definisikan penjumlahan dan perkalian skalar secara titik demi titik. Pemetaan $\iota\colon s \mapsto \chi _{{}_{\scriptstyle{\{s\}}}}$ yang membawa setiap unsur $s \in S$ ke fungsi karakteristik dari $\{s\}$ adalah injeksi yang diinginkan. Untuk membuktikan bahwa $V$ bebas pada $S$ , tunjukkan bahwa untuk setiap ruang vektor $W$ dan setiap fungsi $S~\to^{f}~\lvert W\rvert$ terdapat pemetaan linear tunggal $V \to^{\widetilde{f}} W$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Diagram ruang vektor bebas V pada S. Injeksi iota membawa S ke himpunan dasar V, fungsi f membawa S ke himpunan dasar W, dan panah putus-putus himpunan dasar f tilde membawa himpunan dasar V ke himpunan dasar W; di tingkat ruang vektor terdapat satu-satunya pemetaan linear putus-putus f tilde dari V ke W. Segitiga komutatif: f sama dengan himpunan dasar f tilde setelah iota. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

◻

Proposisi 4.7.7.

Setiap ruang vektor adalah bebas.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tentu saja, sebagian dari persoalannya adalah menentukan himpunan $S$ yang membuat ruang vektor tersebut bebas. ◻

Contoh 4.7.8.

Misalkan $S$ suatu himpunan tak kosong dan $S' = S \cup \{\mathbf{1}\}$ , dengan $\mathbf{1}$ suatu unsur yang tidak termasuk dalam $S$ . Sebuah kata dalam bahasa $S$ adalah suatu barisan $s$ berunsur di $S'$ yang akhirnya selalu bernilai $\mathbf{1}$ dan memenuhi syarat: jika $s_k = \mathbf{1}$ , maka $s_{k+1} = \mathbf{1}$ . Barisan konstan $(\mathbf{1}, \mathbf{1}, \mathbf{1}, \dots)$ disebut kata kosong. Misalkan $F$ adalah himpunan semua kata dalam bahasa $S$ . Andaikan $s = (s_1, \dots, s_m, \mathbf{1}, \mathbf{1}, \dots)$ dan $t = (t_1, \dots, t_n, \mathbf{1}, \mathbf{1}, \dots)$ adalah kata (dengan $s_1$ , …, $s_m$ , $t_1$ , …, $t_n \in S$ ). Definisikan $s \ast t := (s_1, \dots, s_m, t_1, \dots, t_n, \mathbf{1}, \mathbf{1}, \dots).$ Operasi ini disebut konkatenasi. Mudah dilihat bahwa himpunan $F$ dengan operasi konkatenasi merupakan monoid (semigrup dengan unsur identitas), dengan kata kosong sebagai unsur identitas. Inilah monoid bebas yang dibangkitkan oleh $S$ . Jika kata kosong dikeluarkan, kita memperoleh semigrup bebas yang dibangkitkan oleh $S$ . Diagram terkait adalah

Diagram sifat bebas untuk monoid atau semigrup F pada S. Inklusi iota membawa S ke himpunan dasar F, fungsi f membawa S ke himpunan dasar semigrup G, dan satu-satunya homomorfisme putus-putus f tilde dari F ke G menimbulkan panah pada himpunan dasar. Komutativitas menyatakan f sama dengan himpunan dasar f tilde setelah iota. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

di mana $\iota$ adalah injeksi yang jelas $s \mapsto (s,\mathbf{1}, \mathbf{1}, \dots)$ (biasanya diperlakukan sebagai pemetaan inklusi), $G$ adalah sebarang semigrup, $f\colon S \rightarrow G$ adalah sebarang fungsi, dan $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ adalah funktor pelupa dari kategori monoid dan homomorfisme (atau kategori semigrup dan homomorfisme) ke kategori $\mathbf{SET}$ .

Contoh 4.7.9.

Ingat kembali penyajian biasa untuk koproduk dua objek dalam suatu kategori dari definisi 3.6.1. Jika $A_1$ dan $A_2$ adalah dua objek dalam kategori $\mathbf{C}$ , maka sebuah koproduk dari $A_1$ dan $A_2$ adalah tripel $(Q,\iota_1,\iota_2)$ , dengan $Q$ suatu objek di $\mathbf{C}$ dan $A_k \to^{\iota_k} Q$ ( $k = 1,2$ ) morfisme di $\mathbf{C}$ , yang memenuhi syarat berikut: jika $B$ adalah sebarang objek di $\mathbf{C}$ dan $A_k \to^{f_k} B$ ( $k = 1$ , $2$ ) adalah sebarang morfisme di $\mathbf{C}$ , maka terdapat sebuah morfisme tunggal $Q \to^f B$ di $\mathbf{C}$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Diagram sifat universal koproduk Q dari A satu dan A dua. Panah inklusi iota satu dan iota dua masing-masing menuju Q; panah f satu dan f dua masing-masing menuju B. Ada satu-satunya panah f dari Q ke B, dan kedua segitiga komutatif: f setelah iota satu sama dengan f satu, serta f setelah iota dua sama dengan f dua. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Sekilas mungkin tidak jelas bahwa konstruksi ini bersifat universal dalam arti definisi 4.7.1. Untuk melihatnya, misalkan $\mathsf{D}$ adalah funktor diagonal dari kategori $\mathbf{C}$ ke kategori pasangan $\mathbf{C^2}$ (lihat contoh 2.2.8). Andaikan $(Q,\iota_1,\iota_2)$ adalah koproduk objek $A_1$ dan $A_2$ di $\mathbf{C}$ dalam pengertian di atas. Maka $A = (A_1,A_2)$ adalah objek di $\mathbf{C^2}$ , $A \to^{\iota} \mathsf{D}(Q)$ adalah morfisme di $\mathbf{C^2}$ , dan pasangan $(Q,\iota)$ bersifat universal dalam arti 4.7.1. Diagram yang bersesuaian dengan diagram 4.7.1 adalah

Diagram universalitas koproduk melalui funktor diagonal D. Panah iota membawa A, yaitu pasangan A satu dan A dua, ke D(Q); panah f membawa A ke D(B); panah putus-putus D(f tilde) membawa D(Q) ke D(B), berasal dari satu-satunya panah putus-putus f tilde dari Q ke B. Segitiga komutatif: f sama dengan D(f tilde) setelah iota. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

di mana $B$ adalah sebarang objek di $\mathbf{C}$ dan, untuk $k = 1,2$ , $A_k \to^{f_k} B$ adalah sebarang morfisme di $\mathbf{C}$ , sehingga $f = (f_1,f_2)$ merupakan morfisme di $\mathbf{C^2}$ .

Contoh 4.7.10.

Koproduk dua objek $H$ dan $K$ dalam kategori $\mathbf{HIL}$ , yaitu kategori ruang Hilbert dan pemetaan linear terbatas (dan, secara lebih umum, dalam kategori ruang hasil kali dalam dan pemetaan linear), adalah jumlah langsung ortogonal eksternalnya $H \oplus K$ (lihat 1.2.23).

Contoh 4.7.11.

Misalkan $A$ dan $B$ ruang Banach. Pada hasil kali Kartesius $A \times B$ , definisikan penjumlahan dan perkalian skalar secara titik demi titik. Untuk setiap $(a,b) \in A \times B$ , tetapkan $\lVert(a,b)\rVert = \max\{\lVert a\rVert,\lVert b\rVert\}$ . Dengan demikian, $A \times B$ menjadi ruang Banach yang dinotasikan dengan $A \oplus B$ dan disebut jumlah langsung dari $A$ dan $B$ . Jumlah langsung ini merupakan koproduk dalam kategori topologis $\mathbf{BAN_\infty}$ dari ruang Banach, tetapi bukan dalam kategori geometris yang bersesuaian, yaitu $\mathbf{BAN_1}$ .

Contoh 4.7.12.

Untuk membangun koproduk dalam kategori geometris $\mathbf{BAN_1}$ dari ruang Banach, definisikan operasi ruang vektor secara titik demi titik pada $A \times B$ , tetapi gunakan norma $\lVert(a,b)\rVert_1 = \lVert a\rVert + \lVert b\rVert$ untuk setiap $(a,b) \in A \times B$ .

Hampir setiap konsep dalam teori kategori memiliki konsep dual—konsep yang diperoleh dengan membalik arah semua panah. Sebagai contoh, kita dapat membalik semua panah dalam diagram 4.7.1.

Definisi 4.7.13.

Misalkan $\mathbf{A} \to^{\mathsf{F}} \mathbf{B}$ suatu funktor antara kategori $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ , dan misalkan $B$ suatu objek di $\mathbf{B}$ . Pasangan $(A,u)$ , dengan $A$ suatu objek di $\mathbf{A}$ dan $u$ suatu morfisme di $\mathbf{B}$ dari $\mathsf{F}(A)$ ke $B$ , disebut morfisme kouniversal untuk $B$ (terhadap $\mathsf{F}$ ) jika untuk setiap objek $A'$ di $\mathbf{A}$ dan setiap morfisme $\mathsf{F}(A') \to^f B$ di $\mathbf{B}$ terdapat sebuah morfisme tunggal $A' \to^{\tilde f} A$ di $\mathbf{A}$ sehingga diagram berikut komutatif.

Diagram sifat kouniversal bagi funktor F. Panah u berjalan dari F(A) ke B, panah f dari F(A prima) ke B, dan panah putus-putus F(f tilde) dari F(A prima) ke F(A), yang berasal dari satu-satunya panah putus-putus f tilde dari A prima ke A. Segitiga komutatif: f sama dengan u setelah F(f tilde). — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Sebagian penulis membalik konvensi ini dan menyebut morfisme dalam 4.7.1 kouniversal, sedangkan morfisme yang didefinisikan di sini disebut universal. Penulis lain, termasuk penulis buku ini, menyebut keduanya morfisme universal.

Konvensi 4.7.14.

Morfisme dari kedua jenis yang didefinisikan dalam 4.7.1 dan 4.7.13 akan disebut morfisme universal.

Contoh 4.7.15.

Ingat kembali pendekatan kategoris terhadap hasil kali dari definisi 3.5.1. Jika $A_1$ dan $A_2$ adalah dua objek dalam kategori $\mathbf{C}$ , maka sebuah hasil kali dari $A_1$ dan $A_2$ adalah tripel $(P,\pi_1,\pi_2)$ , dengan $P$ suatu objek di $\mathbf{C}$ dan $P \to^{\pi_k} A_k$ ( $k = 1,2$ ) morfisme di $\mathbf{C}$ , yang memenuhi syarat berikut: jika $B$ adalah sebarang objek di $\mathbf{C}$ dan $B \to^{f_k} A_k$ ( $k = 1,2$ ) adalah sebarang morfisme di $\mathbf{C}$ , maka terdapat sebuah morfisme tunggal $B \to^f P$ di $\mathbf{C}$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Diagram sifat universal hasil kali P dari A satu dan A dua. Panah proyeksi pi satu dan pi dua berjalan dari P ke masing-masing faktor. Dari objek B terdapat panah f satu ke A satu dan f dua ke A dua, serta satu-satunya panah f dari B ke P. Kedua segitiga komutatif: pi satu setelah f sama dengan f satu, dan pi dua setelah f sama dengan f dua. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Konstruksi ini bersifat (ko)universal dalam arti definisi 4.7.13.

Contoh 4.7.16.

Hasil kali dua objek $H$ dan $K$ dalam kategori $\mathbf{HIL}$ , yaitu kategori ruang Hilbert dan pemetaan linear terbatas (dan, secara lebih umum, dalam kategori ruang hasil kali dalam dan pemetaan linear), adalah jumlah langsung ortogonal eksternalnya $H \oplus K$ (lihat 1.2.23).

Contoh 4.7.17.

Jika $A$ dan $B$ adalah aljabar Banach, jumlah langsungnya $A \oplus B$ merupakan hasil kali dalam kategori topologis maupun geometris dari aljabar Banach, yaitu $\mathbf{BA_\infty}$ dan $\mathbf{BA_1}$ . Bandingkan dengan keadaan yang dibahas dalam contoh 4.7.11 dan 4.7.12.

Konstruksi universal dalam kategori apa pun menghasilkan objek yang unik hingga isomorfisme.

Proposisi 4.7.18.

Objek universal dalam suatu kategori pada hakikatnya unik.

Pelengkapan Ruang Hasil Kali Dalam

Sedikit tinjauan ulang tentang pelengkapan ruang metrik akan berguna di sini. Kadang-kadang kita mungkin tergoda untuk menganggap bahwa pelengkapan suatu ruang metrik $M$ adalah ruang metrik lengkap yang memiliki subhimpunan padat yang homeomorfik dengan $M$ . Masalah dengan pencirian ini adalah bahwa pencirian tersebut dapat menghasilkan dua “pelengkapan” ruang metrik yang bahkan tidak homeomorfik.

Contoh 4.8.1.

Misalkan $M$ adalah interval $(0,\infty)$ dengan metrik biasa. Terdapat dua ruang metrik lengkap $N_1$ dan $N_2$ sehingga

$N_1$ dan $N_2$ tidak homeomorfik,
$M$ homeomorfik dengan suatu subhimpunan padat dari $N_1$ , dan
$M$ homeomorfik dengan suatu subhimpunan padat dari $N_2$ .

Berikut adalah definisi yang tepat.

Definisi 4.8.2.

Misalkan $M$ dan $N$ ruang metrik. Kita mengatakan bahwa $N$ adalah pelengkapan dari $M$ jika $N$ lengkap dan $M$ isometrik dengan suatu subhimpunan padat dari $N$ .

Dalam konstruksi bilangan real dari bilangan rasional, salah satu pendekatan adalah memperlakukan himpunan bilangan rasional sebagai ruang metrik dan mendefinisikan himpunan bilangan real sebagai pelengkapannya. Salah satu cara baku untuk menghasilkan pelengkapan memakai kelas-kelas ekuivalensi barisan Cauchy bilangan rasional. Teknik ini berlaku pula untuk ruang metrik: cara elementer untuk melengkapi sebarang ruang metrik dimulai dengan mendefinisikan relasi ekuivalensi pada himpunan barisan Cauchy yang berunsur di ruang tersebut. Berikut adalah pendekatan yang sedikit kurang elementer, tetapi jauh lebih sederhana.

Proposisi 4.8.3.

Setiap ruang metrik $M$ isometrik dengan suatu subruang dari $\mathcal{B}(M)$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Jika $(M,d)$ adalah ruang metrik, tetapkan $a \in M$ . Untuk setiap $x \in M$ , definisikan $\phi_x\colon M \rightarrow\mathbb{R}$ dengan $\phi_x(u) = d(x,u) - d(u,a)$ . Tunjukkan terlebih dahulu bahwa $\phi_x \in \mathcal{B}(M)$ untuk setiap $x \in M$ . Kemudian tunjukkan bahwa $\phi\colon M \rightarrow\mathcal{B}(M)$ adalah isometri. ◻

Akibat 4.8.4.

Setiap ruang metrik mempunyai pelengkapan.

Proposisi berikut menunjukkan bahwa pelengkapan ruang metrik bersifat universal dalam arti definisi 4.7.1. Kategori yang dimaksud dalam hasil ini adalah kategori semua ruang metrik dan pemetaan kontinu seragam, beserta subkategorinya yang terdiri atas semua ruang metrik lengkap dan pemetaan kontinu seragam. Di sini, funktor pelupa $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ hanya melupakan kelengkapan objek (dan tidak mengubah morfisme).

Proposisi 4.8.5.

Misalkan $M$ ruang metrik dan $\overline{M}$ pelengkapannya. Jika $N$ ruang metrik lengkap dan $f\colon M \rightarrow N$ kontinu seragam, maka terdapat sebuah fungsi kontinu seragam tunggal $\overline{f}\colon \overline{M} \rightarrow N$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Diagram sifat universal pelengkapan ruang metrik M. Inklusi iota membawa M ke himpunan dasar pelengkapannya, fungsi f membawa M ke himpunan dasar ruang metrik lengkap N, dan panah putus-putus himpunan dasar f garis-atas membawa himpunan dasar pelengkapan M ke himpunan dasar N; di tingkat ruang metrik terdapat satu-satunya fungsi kontinu seragam putus-putus f garis-atas dari pelengkapan M ke N. Segitiga komutatif: f sama dengan f garis-atas setelah iota. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Akibat berikut dari proposisi 4.8.5 dan 4.7.18 memungkinkan kita berbicara tentang pelengkapan suatu ruang metrik.

Akibat 4.8.6.

Pelengkapan ruang metrik unik (hingga isometri).

Sekarang, bagaimana dengan pelengkapan ruang hasil kali dalam? Seperti telah kita lihat, setiap ruang hasil kali dalam adalah ruang metrik, sehingga ruang itu mempunyai pelengkapan (sebagai ruang metrik). Pertanyaannya: apakah pelengkapan ini merupakan ruang Hilbert? Jawabannya, dengan senang hati, adalah ya.

Teorema 4.8.7.

Misalkan $V$ ruang hasil kali dalam dan $H$ pelengkapannya sebagai ruang metrik. Maka terdapat hasil kali dalam pada $H$ yang

merupakan perpanjangan dari hasil kali dalam pada $V$ , dan
menginduksi metrik pada $H$ .