Bab 1 · Aljabar Linear dan Teorema Spektral

Dalam mata kuliah analisis tingkat awal, penekanan diberikan pada perilaku fungsi-fungsi individual (bernilai real atau kompleks). Dalam mata kuliah analisis fungsional, fokus beralih ke ruang-ruang fungsi tersebut dan kelas-kelas pemetaan tertentu di antara ruang-ruang itu. Ternyata uraian yang ringkas, mungkin terlampau menyederhanakan, tetapi jelas tidak menyesatkan, tentang materi tersebut ialah aljabar linear berdimensi tak hingga. Dari sudut pandang seorang analis, pencapaian terbesar aljabar linear sebagian besar berupa teorema-teorema tentang operator pada ruang vektor berdimensi hingga (terutama $\mathbb{R}^n$ dan $\mathbb{C}^n$ ). Akan tetapi, ruang vektor pemetaan bernilai skalar yang didefinisikan pada berbagai domain biasanya berdimensi tak hingga. Apakah proses memperumum hasil-hasil mengagumkan dari aljabar linear berdimensi hingga ke ranah berdimensi tak hingga dipandang sebagai rangkaian komplikasi abstrak yang sangat tidak menyenangkan atau sebagai sumber kaya wawasan menakjubkan, pertanyaan baru yang menarik, dan petunjuk yang menggugah menuju penerapan di bidang lain sepenuhnya bergantung pada orientasi seseorang terhadap matematika secara umum.

Berdasarkan uraian di atas, akan bermanfaat untuk memulai perjalanan kita ke wilayah baru ini dengan tinjauan singkat atas beberapa keberhasilan klasik aljabar linear. Tidak jarang mahasiswa yang berhasil menyelesaikan mata kuliah pengantar aljabar linear pada akhirnya hanya memiliki gagasan yang paling samar tentang pokok bahasan mata kuliah itu. Sebagian kesalahan mungkin terletak pada banyak buku dasar yang mencampuradukkan secara tidak semestinya dua pokok bahasan yang sangat berbeda, meskipun berkaitan erat: di satu pihak, kajian ruang vektor dan pemetaan linear di antaranya, dan di pihak lain, ruang hasil kali dalam beserta pemetaan linearnya. Ruang vektor tidak memiliki gagasan geometri/topologi tentang jarak, panjang, ketegaklurusan, himpunan terbuka, atau sudut antara vektor; yang ada hanyalah penjumlahan dan perkalian skalar. Ruang hasil kali dalam adalah ruang vektor yang dilengkapi struktur-struktur tambahan tersebut. Mari kita tinjau keduanya secara terpisah.

Ruang Vektor dan Dekomposisi Operator yang Dapat Didiagonalkan

Konvensi 1.1.1.

Dalam catatan ini semua ruang vektor akan diasumsikan sebagai ruang vektor atas medan $\mathbb{C}$ bilangan kompleks (dalam hal ini disebut ruang vektor kompleks) atau atas medan $\mathbb{R}$ bilangan real (dalam hal ini disebut ruang vektor real). Tidak ada medan lain yang akan muncul. Ketika $\mathbb{K}$ muncul, medan itu dapat dipandang sebagai $\mathbb{C}$ ataupun $\mathbb{R}$ . Suatu skalar adalah anggota $\mathbb{K}$ ; yaitu, suatu bilangan kompleks atau suatu bilangan real.

Definisi 1.1.2.

Tripel $(V,+,M)$ adalah ruang vektor atas $\mathbb{K}$ jika $(V,+)$ adalah grup Abelian dan $M\colon \mathbb{K}\rightarrow\mathop{\mathrm{Hom}}(V)$ adalah homomorfisme gelanggang beridentitas (dengan $\mathop{\mathrm{Hom}}(V)$ gelanggang homomorfisme grup pada $V$ ).

Untuk memeriksa arti istilah-istilah dalam definisi sebelumnya, lihat tiga bagian pertama dari bab pertama catatan aljabar linear saya [17].

Latihan 1.1.3.

Definisi ruang vektor yang ditemukan dalam banyak buku dasar kurang lebih sebagai berikut: suatu ruang vektor atas $\mathbb{K}$ adalah himpunan $V$ beserta operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

jika $x$ , $y \in V$ , maka $x + y \in V$ ;
$(x + y) + z = x + (y + z)$ untuk setiap $x$ , $y$ , $z \in V$ (asosiativitas);
terdapat $\mathbf{0} \in V$ sehingga $x + \mathbf{0} = x$ untuk setiap $x \in V$ (keberadaan identitas aditif);
untuk setiap $x\in V$ terdapat $-x \in V$ sehingga $x + (-x) = \mathbf{0}$ (keberadaan invers aditif);
$x + y = y + x$ untuk setiap $x$ , $y \in V$ (komutativitas);
jika $\alpha \in \mathbb{K}$ dan $x \in V$ , maka $\alpha x \in V$ ;
$\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$ untuk setiap $\alpha \in \mathbb{K}$ dan setiap $x$ , $y \in V$ ;
$(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x$ untuk setiap $\alpha$ , $\beta \in \mathbb{K}$ dan setiap $x \in V$ ;
$(\alpha\beta)x = \alpha(\beta x)$ untuk setiap $\alpha$ , $\beta \in \mathbb{K}$ dan setiap $x \in V$ ; dan
$1\,x = x$ untuk setiap $x \in V$ .

Buktikan bahwa definisi ini ekuivalen dengan definisi yang diberikan di atas dalam 1.1.2.

Definisi 1.1.4.

Subhimpunan $M$ dari ruang vektor $V$ adalah subruang vektor dari $V$ jika merupakan ruang vektor terhadap operasi yang diwarisinya dari $V$ .

Proposisi 1.1.5.

Subhimpunan tak kosong $M$ dari ruang vektor $V$ adalah subruang vektor dari $V$ jika dan hanya jika tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. (Artinya: jika $\mathbf{x}$ dan $\mathbf{y}$ termasuk dalam $M$ , maka $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ juga demikian; dan jika $\mathbf{x}$ termasuk dalam $M$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ , maka $\alpha \mathbf{x}$ termasuk dalam $M$ .)

Definisi 1.1.6.

Vektor $y$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $x_1$ , …, $x_n$ jika terdapat skalar $\alpha_1$ , …, $\alpha_n$ sehingga $y = \sum_{k=1}^n \alpha_k x_k$ . Kombinasi linear $\sum_{k=1}^n \alpha_k x_k$ disebut trivial jika semua koefisien $\alpha_1$ , …, $\alpha_n$ bernilai nol. Jika sekurang-kurangnya satu $\alpha_k$ tidak sama dengan nol, kombinasi linear itu disebut nontrivial.

Definisi 1.1.7.

Jika $A$ adalah subhimpunan tak kosong dari ruang vektor $V$ , maka $\mathop{\mathrm{span}}A$ , yaitu rentang dari $A$ , adalah himpunan semua kombinasi linear unsur-unsur $A$ . Himpunan ini juga sering disebut rentang linear dari $A$ .

Notasi 1.1.8.

Misalkan $A$ adalah himpunan yang merentang ruang vektor $V$ . Untuk setiap $x \in V$ terdapat himpunan hingga $S$ yang terdiri atas vektor-vektor dalam $A$ , dan untuk setiap unsur $e$ dalam $A$ terdapat skalar $x_e$ sehingga $x = \sum_{e \in S} x_e e$ . Jika kita sepakat menetapkan $x_e = 0$ apabila $e \in A \setminus S$ , kita dapat pula menulis $x = \sum_{e \in A} x_e e$ . Walaupun notasi ini mungkin memberi kesan bahwa kita menjumlahkan atas himpunan sembarang yang mungkin tak terhitung, kenyataannya semua kecuali sejumlah hingga suku bernilai nol, sehingga tidak timbul masalah “kekonvergenan”. Perlakukan $\sum_{e \in A} x_e e$ sebagai jumlah hingga. Asosiativitas dan komutativitas penjumlahan dalam $V$ membuat ekspresi tersebut tidak ambigu.

Definisi 1.1.9.

Subhimpunan $A$ dari suatu ruang vektor disebut bergantung linear jika vektor nol $\mathbf{0}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear nontrivial dari unsur-unsur $A$ ; yaitu, jika terdapat vektor $x_1, \dots, x_n \in A$ dan skalar $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ , yang tidak semuanya nol, sehingga $\sum_{k=1}^n \alpha_kx_k = \mathbf{0}$ . Subhimpunan suatu ruang vektor disebut bebas linear jika tidak bergantung linear.

Secara teknis, suatu himpunan vektorlah yang bergantung atau bebas linear. Meskipun demikian, istilah-istilah ini sering digunakan seolah-olah merupakan sifat vektornya sendiri. Sebagai contoh, jika $S = \{x_1, \dots, x_n\}$ adalah himpunan hingga vektor dalam suatu ruang vektor, pernyataan “himpunan $S$ bebas linear” dan “vektor-vektor $x_1$ , …, $x_n$ bebas linear” dapat digunakan secara bergantian.

Definisi 1.1.10.

Himpunan $B$ yang terdiri atas vektor-vektor dalam ruang vektor $V$ adalah basis Hamel untuk $V$ jika bebas linear dan merentang $V$ .

Konvensi 1.1.11.

Ruang vektor yang hanya memuat satu vektor, yaitu vektor nol, adalah ruang vektor trivial (atau nol). Terkait ruang ini terdapat sebuah pertanyaan teknis, meskipun tidak terlalu menarik. Apakah ruang ini memiliki basis Hamel? Dari definisi kebergantungan linear 1.1.9, jelas bahwa himpunan kosong $\emptyset$ bebas linear. Himpunan kosong tentu merupakan subhimpunan bebas linear maksimal dari ruang nol (suatu kondisi yang, untuk ruang nontrivial, ekuivalen dengan menjadi himpunan perentang yang bebas linear). Akan tetapi, sulit untuk berpendapat bahwa himpunan kosong merentang sesuatu. Jadi, semata-mata sebagai konvensi, kita akan mengatakan bahwa jawaban atas pertanyaan itu adalah ya. Ruang vektor nol memiliki basis Hamel, dan basis itu adalah himpunan kosong!

Dalam buku pengantar aljabar linear, himpunan perentang yang bebas linear hanya disebut basis. Di sini digunakan istilah basis Hamel untuk membedakannya dari basis ortonormal dan basis Schauder, istilah-istilah yang mengacu pada konsep yang lebih penting dalam analisis fungsional.

Proposisi 1.1.12.

Misalkan $B$ adalah basis Hamel untuk ruang vektor nontrivial $V$ . Maka setiap unsur dalam $V$ dapat ditulis secara tunggal sebagai kombinasi linear anggota-anggota $B$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Eksistensinya jelas. Sederhanakan pembuktian ketunggalan dengan menggunakan konvensi notasi yang disarankan dalam 1.1.8. ◻

Proposisi 1.1.13.

Misalkan $A$ adalah subhimpunan bebas linear dari ruang vektor $V$ . Maka terdapat basis Hamel untuk $V$ yang memuat $A$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tunjukkan terlebih dahulu bahwa, untuk ruang nontrivial, subhimpunan bebas linear dari $V$ adalah basis untuk $V$ jika dan hanya jika merupakan subhimpunan bebas linear maksimal. Kemudian urutkan keluarga subhimpunan bebas linear dari $V$ yang memuat $A$ berdasarkan inklusi dan terapkan lema Zorn. (Jika Anda belum mengenal lema Zorn, lihat Bagian 1.7 dalam catatan aljabar linear saya [17].) ◻

Akibat 1.1.14.

Setiap ruang vektor memiliki basis Hamel.

Definisi 1.1.15.

Misalkan $M$ dan $N$ adalah subruang dari ruang vektor $V$ . Jika $M \cap N = \{\mathbf{0}\}$ dan $M + N = V$ , maka $V$ adalah jumlah langsung (internal) dari $M$ dan $N$ . Dalam hal ini kita menulis $V = M \oplus N\,.$ Kita mengatakan bahwa $M$ dan $N$ adalah subruang vektor komplementer dan masing-masing merupakan komplemen (ruang vektor) dari yang lain. Kodimensi subruang $M$ adalah dimensi komplemennya $N$ .

Proposisi 1.1.16.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan andaikan $V = M \oplus N$ . Maka untuk setiap $v \in V$ terdapat vektor-vektor tunggal $m \in M$ dan $n \in N$ sehingga $v = m + n$ .

Contoh 1.1.17.

Misalkan $\mathcal{C} = \mathcal{C}[-1,1]$ adalah ruang vektor semua fungsi kontinu bernilai real pada interval $[-1,1]$ . Fungsi $f$ dalam $\mathcal{C}$ disebut genap jika $f(-x) = f(x)$ untuk semua $x \in [-1,1]$ ; fungsi itu disebut ganjil jika $f(-x) = -f(x)$ untuk semua $x \in [-1,1]$ . Misalkan $\mathcal{C}_o = \{f \in \mathcal{C}\colon f \text{ ganjil }\}$ dan $\mathcal{C}_e = \{f \in \mathcal{C}\colon f \text{ genap }\}$ . Maka $\mathcal{C} = \mathcal{C}_o \oplus \mathcal{C}_e$ .

Proposisi 1.1.18.

Jika $M$ adalah subruang dari ruang vektor $V$ , maka terdapat subruang $N$ dari $V$ sehingga $V = M \oplus N$ .

Lema 1.1.19.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dengan basis hingga tak kosong $\{e^1, \dots,e^n\}$ dan misalkan $v = \sum_{k=1}^n \alpha_k e^k$ adalah vektor dalam $V$ . Jika $p \in \mathbb{N}_n$ dan $\alpha_p \ne 0$ , maka $\{e^1, \dots,e^{p-1},v,e^{p+1}, \dots, e^n\}$ adalah basis untuk $V$ .

Proposisi 1.1.20.

Jika suatu basis untuk ruang vektor $V$ memuat $n$ unsur, maka setiap subhimpunan bebas linear dari $V$ yang memiliki $n$ unsur juga merupakan basis.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Andaikan $\{e^1,\dots,e^n\}$ adalah basis untuk $V$ dan $\{v^1, \dots,v^n\}$ bebas linear dalam $V$ . Mulailah dengan menggunakan lema 1.1.19 untuk menunjukkan bahwa (setelah mungkin menomori ulang $e^k$ ) himpunan $\{v^1, e^2, \dots, e^n\}$ adalah basis untuk $V$ . ◻

Akibat 1.1.21.

Jika ruang vektor $V$ memiliki basis hingga $B$ , maka setiap basis untuk $V$ berhingga dan memuat jumlah unsur yang sama dengan $B$ .

Definisi 1.1.22.

Suatu ruang vektor disebut berdimensi hingga jika memiliki basis hingga, dan dimensi ruang tersebut adalah banyaknya unsur dalam basis ini (dan dengan demikian dalam basis mana pun) untuk ruang itu. Dimensi ruang vektor berdimensi hingga $V$ dinotasikan dengan $\dim V$ . Berdasarkan konvensi yang dibuat di atas 1.1.11, ruang vektor nol berdimensi nol. Jika ruang tersebut tidak memiliki basis hingga, ruang itu disebut berdimensi tak hingga.

Definisi 1.1.23.

Fungsi $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang vektor (atas medan yang sama) disebut linear jika $T(u + v) = Tu + Tv$ untuk semua $u$ , $v \in V$ dan $T(\alpha v) = \alpha Tv$ untuk semua $\alpha \in \mathbb{K}$ dan $v \in V$ . Fungsi linear sering disebut transformasi linear atau pemetaan linear. Jika $V = W$ , kita mengatakan bahwa pemetaan linear $T$ adalah operator pada $V$ . Bergantung pada konteks, operator identitas $x \mapsto x$ pada $V$ dinotasikan dengan $\operatorname{id}_{V}$ atau $I_V$ atau cukup $I$ . Ingat bahwa jika $T\colon V \rightarrow W$ adalah pemetaan linear, maka kernel dari $T$ , yang dinotasikan dengan $\ker T$ , adalah $T^{\gets}(\{0\}) := \{x \in V\colon Tx = \mathbf{0}\}$ . Selain itu, jangkauan dari $T$ , yang dinotasikan dengan $\mathop{\mathrm{ran}}T$ , adalah $T^{\rightarrow}(V) := \{Tx\colon x \in V\}$ .

Proposisi 1.1.24.

Pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ bersifat injektif jika dan hanya jika kernelnya nol.

Proposisi 1.1.25.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ adalah pemetaan linear injektif antara ruang-ruang vektor. Jika $A$ adalah subhimpunan bebas linear dari $V$ , maka $T^\rightarrow(A)$ adalah subhimpunan bebas linear dari $W$ .

Proposisi 1.1.26.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ adalah pemetaan linear antara ruang-ruang vektor dan $A \subseteq V$ . Maka $T^\rightarrow(\mathop{\mathrm{span}}A) = \mathop{\mathrm{span}}T^\rightarrow(A)$ .

Proposisi 1.1.27.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ adalah pemetaan linear injektif antara ruang-ruang vektor. Jika $B$ adalah basis untuk subruang $U$ dari $V$ , maka $T^\rightarrow(B)$ adalah basis untuk $T^\rightarrow(U)$ .

Proposisi 1.1.28.

Dua ruang vektor berdimensi hingga isomorfik jika dan hanya jika keduanya memiliki dimensi yang sama.

Definisi 1.1.29.

Misalkan $T$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang vektor. Peringkat $T$ adalah dimensi jangkauan $T$ , sedangkan nulitas $T$ adalah dimensi kernel $T$ .

Proposisi 1.1.30.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ adalah pemetaan linear antara ruang-ruang vektor. Jika $V$ berdimensi hingga, maka $\operatorname{peringkat} T + \operatorname{nulitas} T = \dim V.$

Definisi 1.1.31.

Pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang vektor disebut invertibel (atau suatu isomorfisme) jika terdapat pemetaan linear $T^{-1}\colon W \rightarrow V$ sehingga $T^{-1}T = \operatorname{id}_{V}$ dan $TT^{-1} = \operatorname{id}_{W}$ . Dua ruang vektor $V$ dan $W$ disebut isomorfik jika terdapat isomorfisme dari $V$ ke $W$ .

Proposisi 1.1.32.

Pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang vektor invertibel jika dan hanya jika memiliki invers kiri sekaligus invers kanan.

Proposisi 1.1.33.

Pemetaan linear antara ruang-ruang vektor invertibel jika dan hanya jika bijektif.

Proposisi 1.1.34.

Misalkan $T$ operator pada ruang vektor berdimensi hingga. Ketiga pernyataan berikut ekuivalen:

$T$ adalah isomorfisme;
$T$ injektif; dan
$T$ surjektif.

Definisi 1.1.35.

Dua operator $R$ dan $T$ pada ruang vektor $V$ disebut serupa jika terdapat operator invertibel $S$ pada $V$ sehingga $R = STS^{-1}$ .

Proposisi 1.1.36.

Jika $V$ adalah ruang vektor, maka keserupaan merupakan relasi ekuivalensi pada $\mathfrak{L}(V)$ .

Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dengan basis terurut. Andaikan $V$ berdimensi $n$ dengan basis terurut $\{e^1,e^2, \dots,e^n\}$ dan $W$ berdimensi $m$ . Ingat dari pengantar aljabar linear bahwa jika $T\colon V \rightarrow W$ linear, maka representasi matriks $[T]$ (diambil terhadap basis terurut dalam $V$ dan $W$ ) adalah matriks $m \times n$ $[T]$ yang kolom ke- $k$ ( $1 \le k \le n$ ) adalah vektor kolom $Te^k$ dalam $W$ . Pokoknya ialah bahwa tindakan $T$ pada vektor $x$ dapat direpresentasikan sebagai perkalian $x$ oleh matriks $[T]$ ; yaitu, $Tx = [T]x.$ Persamaan ini mungkin memerlukan sedikit penafsiran. Ruas kiri adalah fungsi $T$ yang dievaluasi di $x$ , dengan hasil evaluasi dipandang sebagai vektor kolom dalam $W$ ; ruas kanan adalah matriks $m \times n$ yang dikalikan dengan matriks $n \times 1$ (yaitu vektor kolom). Jadi, kesamaan yang dinyatakan adalah kesamaan dua matriks $m \times 1$ (vektor kolom).

Definisi 1.1.37.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi hingga dan $B = \{e^1, \dots, e^n\}$ adalah basis untuk $V$ . Operator $T$ pada $V$ disebut diagonal jika terdapat skalar $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ sehingga $Te^k = \alpha_ke^k$ untuk setiap $k \in \mathbb{N}_n$ . Secara ekuivalen, $T$ diagonal jika representasi matriksnya $[T] = [T_{ij}]$ memiliki sifat bahwa $T_{ij} = 0$ apabila $i \ne j$ .

Menanyakan apakah operator tertentu pada suatu ruang vektor berdimensi hingga bersifat diagonal, secara tegas, tidak bermakna. Sebagaimana didefinisikan, sifat operator berupa kediagonalan jelas bukan konsep ruang vektor. Sifat ini hanya bermakna bagi ruang vektor yang basisnya telah ditentukan. Fakta penting ini, meskipun jelas, tampaknya luput dari perhatian dalam banyak mata kuliah pengantar aljabar linear, mungkin karena fiksasi yang agak berlebihan pada $\mathbb{R}^n$ dalam mata kuliah tersebut. Berikut sifat ruang vektor yang relevan.

Definisi 1.1.38.

Operator $T$ pada ruang vektor berdimensi hingga $V$ disebut dapat didiagonalkan jika terdapat basis untuk $V$ yang terhadapnya $T$ bersifat diagonal. Secara ekuivalen, operator pada ruang vektor berdimensi hingga dengan basis dapat didiagonalkan jika serupa dengan operator diagonal.

Definisi 1.1.39.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan andaikan $V = M \oplus N$ . Kita mengetahui dari 1.1.16 bahwa untuk setiap $\mathbf{v} \in V$ terdapat vektor-vektor tunggal $\mathbf{m} \in M$ dan $\mathbf{n} \in N$ sehingga $\mathbf{v} = \mathbf{m} + \mathbf{n}$ . Definisikan fungsi $E_{{}_{\scriptstyle{MN}}}\colon V \rightarrow V$ dengan $E_{{}_{\scriptstyle{MN}}}v = n$ . Fungsi $E_{{}_{\scriptstyle{MN}}}$ adalah proyeksi $V$ sepanjang $M$ ke $N$ . (Kita sering menulis $E$ untuk $E_{{}_{\scriptstyle{MN}}}$ . Namun ingat bahwa $E$ bergantung pada $M$ dan $N$ .)

Proposisi 1.1.40.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan andaikan $V = M \oplus N$ . Jika $E$ adalah proyeksi $V$ sepanjang $M$ ke $N$ , maka

$E$ linear;
$E^2 = E$ (yaitu, $E$ idempoten);
$\mathop{\mathrm{ran}}E = N$ ; dan
$\ker E = M$ .

Proposisi 1.1.41.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan andaikan $E\colon V \rightarrow V$ adalah fungsi yang memenuhi

$E$ linear, dan
$E^2 = E$ .

Maka $V = \ker E \oplus \mathop{\mathrm{ran}}E$ dan $E$ adalah proyeksi $V$ sepanjang $\ker E$ ke $\mathop{\mathrm{ran}}E$ .

Penting untuk dicatat bahwa konsekuensi langsung dari dua proposisi terakhir adalah bahwa fungsi $T\colon V \rightarrow V$ dari ruang vektor berdimensi hingga ke dirinya sendiri merupakan proyeksi jika dan hanya jika linear dan idempoten.

Proposisi 1.1.42.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ adalah transformasi linear antara ruang-ruang vektor. Maka

$T$ memiliki invers kiri jika dan hanya jika injektif; dan
$T$ memiliki invers kanan jika dan hanya jika surjektif.

Proposisi 1.1.43.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan andaikan $V = M \oplus N$ . Jika $E$ adalah proyeksi $V$ sepanjang $M$ ke $N$ , maka $I - E$ adalah proyeksi $V$ sepanjang $N$ ke $M$ .

Seperti baru saja kita lihat, jika $E$ adalah proyeksi pada ruang vektor $V$ , maka operator identitas pada $V$ dapat ditulis sebagai jumlah dua proyeksi $E$ dan $I - E$ yang jangkauannya membentuk dekomposisi jumlah langsung ruang tersebut, $V = \mathop{\mathrm{ran}}E \oplus \mathop{\mathrm{ran}} (I - E)$ . Kita dapat memperumum hal ini ke lebih dari dua proyeksi.

Definisi 1.1.44.

Andaikan pada ruang vektor $V$ terdapat operator-operator proyeksi $E_1$ , …, $E_n$ sehingga

$I_V = E_1 + E_2 + \dots + E_n$ dan
$E_iE_j = 0$ apabila $i \ne j$ .

Kita mengatakan bahwa $I_V = E_1 + E_2 + \dots + E_n$ adalah resolusi identitas.

Proposisi 1.1.45.

Jika $I_V = E_1 + E_2 + \dots + E_n$ adalah resolusi identitas pada ruang vektor $V$ , maka $V = \bigoplus_{k=1}^n \mathop{\mathrm{ran}}E_k$ .

Contoh 1.1.46.

Misalkan $P$ adalah bidang dalam $\mathbb{R}^3$ yang persamaannya $x - z = 0$ dan $L$ adalah garis yang persamaannya $y = 0$ dan $x = -z$ . Misalkan $E$ adalah proyeksi $\mathbb{R}^3$ sepanjang $L$ ke $P$ dan $F$ adalah proyeksi $\mathbb{R}^3$ sepanjang $P$ ke $L$ . Maka $[E] = \begin{bmatrix} \frac12 & 0 & \frac12 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac12 & 0 & \frac12 \end{bmatrix} \qquad \text{ dan } \qquad [F] = \begin{bmatrix} \frac12 & 0 & -\frac12 \\ 0 & 0 & 0 \\ -\frac12 & 0 & \frac12 \end{bmatrix}\,.$

Definisi 1.1.47.

Skalar $\lambda \in \mathbb{K}$ adalah nilai eigen dari operator $T$ pada ruang vektor $V$ jika $\ker(T - \lambda I_V)$ memuat vektor tak nol. Setiap vektor tersebut adalah vektor eigen dari $T$ yang berkaitan dengan $\lambda$ , dan $\ker(T - \lambda I_V)$ adalah ruang eigen dari $T$ yang berkaitan dengan $\lambda$ . Himpunan semua nilai eigen operator $T$ disebut spektrum titik dan dinotasikan dengan $\sigma_p(T)$ .

Jika $M$ adalah matriks $n \times n$ , maka $\det(M - \lambda I_n)$ (dengan $I_n$ matriks identitas $n \times n$ ) adalah polinomial dalam $\lambda$ berderajat $n$ . Inilah polinomial karakteristik dari $M$ . Cara baku untuk menghitung nilai-nilai eigen suatu operator $T$ pada ruang vektor berdimensi hingga adalah mencari akar-akar polinomial karakteristik dari representasi matriksnya. Sifat multiplikatif fungsi determinan dengan mudah mengakibatkan bahwa polinomial karakteristik operator $T$ pada ruang vektor $V$ tidak bergantung pada basis yang dipilih untuk $V$ dan, karena itu, tidak bergantung pada representasi matriks tertentu dari $T$ yang digunakan.

Contoh 1.1.48.

Nilai-nilai eigen operator pada (ruang vektor real) $\mathbb{R}^3$ yang representasi matriksnya adalah $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ialah $-2$ dan $+2$ , dengan nilai yang terakhir memiliki multiplisitas (aljabar maupun geometris) $2$ . Ruang eigen yang berkaitan dengan nilai eigen negatif dan positif, berturut-turut, adalah $\mathop{\mathrm{span}}\{(1,0,-1)\} \quad\text{dan}\quad \mathop{\mathrm{span}}\{(1,0,1), (0,1,0)\}.$

Proposisi 1.1.49.

Setiap operator pada ruang vektor kompleks berdimensi hingga memiliki nilai eigen.

Contoh 1.1.50.

Proposisi sebelumnya tidak berlaku untuk ruang real berdimensi hingga.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Pertimbangkan rotasi bidang. ◻

Fakta utama yang dinyatakan oleh versi ruang vektor berdimensi hingga dari teorema spektral ialah bahwa setiap operator yang dapat didiagonalkan pada ruang demikian dapat ditulis sebagai kombinasi linear operator-operator proyeksi, dengan koefisien kombinasi linear tersebut berupa nilai-nilai eigen operator dan jangkauan proyeksinya berupa ruang eigen yang bersesuaian. Jadi, jika $T$ adalah operator yang dapat didiagonalkan pada ruang vektor berdimensi hingga $V$ , maka $V$ memiliki basis yang terdiri atas vektor-vektor eigen dari $T$ .

Berikut pernyataan formal teorema tersebut.

Teorema 1.1.51.

Andaikan $T$ adalah operator yang dapat didiagonalkan pada ruang vektor berdimensi hingga $V$ . Misalkan $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ adalah nilai-nilai eigen (berbeda) dari $T$ . Maka terdapat resolusi identitas $I_V = E_1 + \dots + E_n$ , dengan untuk setiap $k$ jangkauan proyeksi $E_k$ merupakan ruang eigen yang berkaitan dengan $\lambda_k$ , dan selanjutnya $T = \lambda_1E_1 +\dots + \lambda_nE_n\,.$

Bukti.

Proof. Pembuktian teorema ini dapat ditemukan dalam [30] pada halaman 212. ◻

Contoh 1.1.52.

Misalkan $T$ adalah operator pada (ruang vektor real) $\mathbb{R}^2$ yang representasi matriksnya adalah $\begin{bmatrix} -7 & 8 \\ -16 & 17 \end{bmatrix}$ .

Polinomial karakteristik untuk $T$ adalah $c_{{}_{\scriptstyle{T}}}(\lambda) = \lambda^2 - 10\lambda + 9$ .

pt
Ruang eigen $M_1$ yang berkaitan dengan nilai eigen $1$ adalah $\mathop{\mathrm{span}}\{(1,1)\}$ .

pt
Ruang eigen $M_2$ yang berkaitan dengan nilai eigen $9$ adalah $\mathop{\mathrm{span}}\{(1,2)\}$ .

pt
Kita dapat menulis $T$ sebagai kombinasi linear operator-operator proyeksi. Secara khusus, $T = 1\cdot E_1 + 9\cdot E_2 \text{ dengan } [E_1] = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \text{ dan } [E_2] = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}\,.$

pt
Perhatikan bahwa jumlah $[E_1]$ dan $[E_2]$ adalah matriks identitas dan hasil kali keduanya adalah matriks nol.

pt
Matriks $S = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ mendiagonalkan $[T]$ . Artinya, $S^{-1}\,[T]\,S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$ .

pt
Matriks yang merepresentasikan $\sqrt T$ adalah $\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -4 & 5 \end{bmatrix}$ .

Latihan 1.1.53.

Misalkan $T$ adalah operator pada $\mathbb{R}^3$ yang representasi matriksnya $\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}.$

Tentukan polinomial karakteristik dan polinomial minimal dari $T$ .
Apa yang dapat disimpulkan dari bentuk polinomial minimal tersebut?
Tentukan matriks yang mendiagonalkan $T$ . Apa bentuk diagonal $T$ yang dihasilkan oleh matriks ini?
Tentukan (representasi matriks dari) $\sqrt T$ .

Definisi 1.1.54.

Operator ruang vektor $T$ disebut nilpoten jika $T^n = \mathbf{0}$ untuk suatu $n \in \mathbb{N}$ .

Operator pada ruang vektor berdimensi hingga tidak harus dapat didiagonalkan. Jika tidak, seberapa dekat operator itu dengan operator yang dapat didiagonalkan? Berikut salah satu jawabannya.

Teorema 1.1.55.

Misalkan $T$ adalah operator pada ruang vektor berdimensi hingga $V$ . Andaikan polinomial minimal untuk $T$ terfaktor sepenuhnya menjadi faktor-faktor linear $m_T(x) = (x - \lambda_1)^{r_1} \dots (x - \lambda_k)^{r_k}$ dengan $\lambda_1, \dots \lambda_k$ merupakan nilai-nilai eigen (berbeda) dari $T$ . Untuk setiap $j$ , misalkan $W_j = \ker(T - \lambda_jI)^{r_j}$ dan $E_j$ adalah proyeksi $V$ ke $W_j$ sepanjang $W_1 + \dots + W_{j-1} + W_{j+1} + \dots + W_k$ . Maka $V = W_1 \oplus W_2 \oplus \dots \oplus W_k,$ setiap $W_j$ invarian terhadap $T$ , dan $I_V = E_1 + \dots + E_k$ . Selanjutnya, operator $D = \lambda_1E_1 + \dots + \lambda_kE_k$ dapat didiagonalkan, operator $N = T - D$ nilpoten, dan $N$ berkomutasi dengan $D$ .

Bukti.

Proof. Lihat [30], halaman 222–223. ◻

Definisi 1.1.56.

Karena dalam teorema sebelumnya $T = D + N$ , dengan $D$ dapat didiagonalkan dan $N$ nilpoten, kita menyebut $D$ sebagai bagian yang dapat didiagonalkan dari $T$ , dan $N$ sebagai bagian nilpoten dari $T$ .

Latihan 1.1.57.

Misalkan $T$ adalah operator pada $\mathbb{R}^3$ yang representasi matriksnya $\begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}.$

Tentukan polinomial karakteristik dan polinomial minimal dari $T$ .
Tentukan ruang-ruang eigen dari $T$ .
Tentukan bagian yang dapat didiagonalkan $D$ dan bagian nilpoten $N$ dari $T$ .
Tentukan matriks yang mendiagonalkan $D$ . Apa bentuk diagonal dari $D$ yang dihasilkan oleh matriks ini?
Tunjukkan bahwa $D$ berkomutasi dengan $N$ .

Operator Normal pada Ruang Hasil Kali Dalam

Definisi 1.2.1.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor. Sebuah fungsi $s$ yang mengaitkan setiap pasangan vektor $x$ dan $y$ dalam $V$ dengan suatu skalar $s(x,y)$ adalah hasil kali dalam semu pada $V$ apabila untuk setiap $x$ , $y$ , $z \in V$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ keempat syarat berikut dipenuhi:

$s(x + y , z) = s(x,z) + s(y,z)$ ;
$s(\alpha x,y) = \alpha s(x,y)$ ;
$s(x,y) = \overline{s(y,x)}$ ; dan
$s(x,x) \ge 0$ .

Jika, selain itu, fungsi $s$ memenuhi

Untuk setiap $x$ tak nol dalam $V$ , berlaku $s(x,x) > 0$ .

maka $s$ adalah hasil kali dalam pada $V$ . Hasil kali dalam dua vektor $x$ dan $y$ biasanya akan kita tuliskan sebagai $\langle x,y \rangle$ , bukan $s(x,y)$ .

Garis atas pada (c) menyatakan konjugasi kompleks (sehingga berlebihan dalam kasus ruang vektor real). Syarat (a) dan (b) memperlihatkan bahwa hasil kali dalam semu bersifat linear dalam variabel pertamanya. Syarat (a) dan (b) dalam proposisi 1.2.3 menyatakan bahwa hasil kali dalam kompleks bersifat linear konjugat dalam variabel keduanya. Jika suatu fungsi bernilai skalar dengan dua variabel pada ruang hasil kali dalam semu kompleks bersifat linear dalam satu variabel dan linear konjugat dalam variabel lainnya, fungsi itu sering disebut seskuilinear. (Awalan “sesqui-” berarti “satu setengah”.) Istilah seskuilinear juga akan kita gunakan untuk fungsi bilinear pada ruang hasil kali dalam semu real. Secara bersama-sama, syarat (a)–(d) menyatakan bahwa hasil kali dalam semu itu merupakan bentuk seskuilinear semidefinit positif dan simetris konjugat; bersama dengan syarat ketat tambahan di atas, bentuk itu definit positif.

Notasi 1.2.2.

Jika $V$ adalah ruang vektor yang telah dilengkapi dengan hasil kali dalam semu dan $x \in V$ , kita memperkenalkan singkatan $\lVert x\rVert := \sqrt{s(x,x)}$ yang dibaca norma $x$ atau panjang $x$ . (Istilah yang agak optimistis ini dibenarkan, setidaknya ketika $s$ merupakan hasil kali dalam, oleh proposisi 1.2.15 di bawah.)

Proposisi 1.2.3.

Jika $x$ , $y$ , dan $z$ merupakan vektor dalam suatu ruang dengan hasil kali dalam semu $s$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ , maka

$s(x,y + z) = s(x,y) + s(x,z)$ ,
$s(x,\alpha y) = \overline{\alpha }s(x,y)$ , dan
jika $s$ merupakan hasil kali dalam, maka $s(x,x) = 0$ jika dan hanya jika $x = \mathbf{0}$ .

Contoh 1.2.4.

Untuk vektor $x = (x_1,x_2,\dots,x_n)$ dan $y = (y_1,y_2,\dots,y_n)$ yang termasuk dalam $\mathbb{K}^n$ , definisikan $\langle x,y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}\,.$ Maka $\mathbb{K}^n$ merupakan ruang hasil kali dalam.

Contoh 1.2.5.

Misalkan $l_2 = l_2(\mathbb{N})$ adalah himpunan semua barisan bilangan kompleks yang terjumlah secara kuadrat. (Suatu barisan $x = (x_k)_{k=1}^\infty$ disebut terjumlah secara kuadrat jika $\sum_{k=1}^\infty \lvert x_k\rvert^2 < \infty$ .) (Operasi ruang vektornya didefinisikan titik demi titik.) Untuk vektor $x = (x_1,x_2,\dots)$ dan $y = (y_1,y_2,\dots)$ dalam $l_2$ , definisikan $\langle x,y \rangle = \sum_{k=1}^\infty x_k \overline{y_k}\,.$ Maka $l_2$ merupakan ruang hasil kali dalam. (Antara lain, harus ditunjukkan bahwa deret dalam definisi di atas benar-benar konvergen.) Ruang serupa adalah $l_2(\mathbb{Z})$ , yakni himpunan semua barisan dua sisi yang terjumlah secara kuadrat $x = (\dots,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\dots)$ dengan hasil kali dalam yang sudah jelas.

Contoh 1.2.6.

Untuk $a < b$ , misalkan $\mathcal{C}([a,b])$ adalah keluarga semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada interval $[a,b]$ . Untuk setiap $f$ , $g \in \mathcal{C}([a,b])$ , definisikan $\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x) \overline{g(x)}\,dx.$ Maka $\mathcal{C}([a,b])$ merupakan ruang hasil kali dalam.

Berikut adalah fakta tunggal yang paling berguna mengenai hasil kali dalam semu. Fakta ini merupakan suatu ketaksamaan yang secara beragam dinisbatkan kepada Cauchy, Schwarz, Bunyakowsky, atau gabungan nama ketiganya.

Teorema 1.2.7.

Misalkan $s$ suatu hasil kali dalam semu yang didefinisikan pada ruang vektor $V$ . Maka ketaksamaan $\lvert s(x,y)\rvert \le \lVert x\rVert \,\lVert y\rVert.$ berlaku untuk semua vektor $x$ dan $y$ dalam $V$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tetapkan $x$ , $y \in V$ . Untuk setiap $\alpha \in \mathbb{K}$ , kita mengetahui bahwa $\begin{equation} \label{Schwarz_ineq} 0 \le s(x - \alpha y, x - \alpha y) . \end{equation}$ Uraikan ruas kanan 1.2.1 menjadi empat suku. Jika $s(y,x)=0$ , kesimpulannya langsung. Jika tidak, tuliskan $s(y,x)$ dalam bentuk polar: $s(y,x) = r e^{i\theta}$ , dengan $r > 0$ dan $\theta \in \mathbb{R}$ . Kemudian, dalam ketaksamaan yang diperoleh, tinjau $\alpha$ yang berbentuk $e^{-i\theta}t$ dengan $t \in \mathbb{R}$ . Perhatikan bahwa kini ruas kanan 1.2.1 merupakan polinom kuadrat dalam $t$ . Apa yang dapat Anda katakan tentang diskriminannya? ◻

Proposisi 1.2.8.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor dengan hasil kali dalam semu $s$ dan $z \in V$ . Maka $s(z,z) = 0$ jika dan hanya jika $s(z,y) = 0$ untuk semua $y \in V$ .

Proposisi 1.2.9.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor yang telah dilengkapi dengan hasil kali dalam semu $s$ . Maka himpunan $L := \{z \in V\colon s(z,z) = 0\}$ merupakan subruang vektor dari $V$ , dan ruang vektor hasil bagi $V/L$ dapat dijadikan ruang hasil kali dalam dengan mendefinisikan $\langle\, [x],[y]\, \rangle := s(x,y)$ untuk semua $[x]$ , $[y] \in V/L$ .

Proposisi berikut menunjukkan bahwa hasil kali dalam bersifat kontinu dalam variabel pertamanya. Simetri konjugat kemudian menjamin kekontinuan dalam variabel keduanya.

Proposisi 1.2.10.

Jika $(x_n)$ merupakan barisan dalam ruang hasil kali dalam $V$ yang konvergen ke suatu vektor $a \in V$ , maka $\langle x_n,y \rangle \rightarrow\langle a,y \rangle$ untuk setiap $y \in V$ .

Contoh 1.2.11.

Jika $(a_k)$ merupakan barisan bilangan real yang terjumlah secara kuadrat, maka deret $\sum_{k=1}^\infty k^{-1}a_k$ konvergen mutlak.

Latihan 1.2.12.

Misalkan $0 < a < b$ .

Jika $f$ dan $g$ merupakan fungsi kontinu bernilai real pada interval $[a,b]$ , maka $\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2 \le \int_a^b\bigl(f(x)\bigr)^2\,dx \cdot \int_a^b\bigl(g(x)\bigr)^2\,dx.$

pt
Gunakan bagian (a) untuk mencari bilangan $M$ dan $N$ (yang bergantung pada $a$ dan $b$ ) sedemikian sehingga $M(b-a) \le \ln\left(\frac ba\right) \le N(b-a).$

pt
Gunakan bagian (b) untuk menunjukkan bahwa $2.5 \le e \le 3$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk (b), cobalah $f(x) = \sqrt x$ dan $g(x) = \dfrac1{\sqrt x}$ . Kemudian cobalah $f(x) = \dfrac1x$ dan $g(x) = 1$ . Untuk (c), cobalah $a = 1$ dan $b = 3$ . Kemudian cobalah $a = 2$ dan $b = 5$ . ◻

Definisi 1.2.13.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor. Sebuah fungsi $\lVert\mathord{\cdot}\rVert \colon V \rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto \lVert x\rVert$ adalah norma pada $V$ jika

$\lVert x + y\rVert \le \lVert x\rVert + \lVert y\rVert$ untuk semua $x$ , $y \in V$ ;
$\lVert\alpha x\rVert = \lvert\alpha\rvert\,\lVert x\rVert$ untuk semua $x \in V$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ ; dan
jika $\lVert x\rVert = 0$ , maka $x = \mathbf{0}$ .

Ungkapan $\lVert x\rVert$ dapat dibaca sebagai “norma $x$ ” atau “panjang $x$ ”. Jika fungsi $\lVert\mathord{\cdot}\rVert$ memenuhi (a) dan (b) di atas (tetapi mungkin tidak memenuhi (c)), fungsi itu merupakan seminorma pada $V$ .

Ruang vektor yang telah dilengkapi dengan suatu norma disebut ruang linear bernorma (atau ruang vektor bernorma). Vektor dalam ruang linear bernorma yang normanya $1$ disebut vektor satuan.

Latihan 1.2.14.

Tunjukkan mengapa langsung jelas dari definisi bahwa $\lVert\mathbf{0}\rVert = 0$ dan bahwa norma (dan seminorma) hanya dapat mengambil nilai nonnegatif.

Setiap ruang hasil kali dalam merupakan ruang linear bernorma. Dalam bahasa yang lebih tepat, hasil kali dalam pada suatu ruang vektor menginduksi suatu norma pada ruang tersebut.

Proposisi 1.2.15.

Misalkan $V$ suatu ruang hasil kali dalam. Pemetaan $x \mapsto \lVert x\rVert$ pada $V$ yang didefinisikan dalam 1.2.2 merupakan norma pada $V$ .

Dan setiap ruang linear bernorma merupakan ruang metrik. Ingat kembali definisi berikut.

Definisi 1.2.16.

Misalkan $M$ suatu himpunan tak kosong. Sebuah fungsi $d \colon M \times M \rightarrow\mathbb{R}$ adalah metrik (atau fungsi jarak) pada $M$ jika untuk semua $x$ , $y$ , $z \in M$

$d(x,y) = d(y,x)$ ,
$d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)$ , ( ketaksamaan segitiga)
$d(x,x) = 0$ , dan
$d(x,y) = 0$ hanya jika $x = y$ .

Jika $d$ merupakan metrik pada himpunan $M$ , kita mengatakan bahwa pasangan $(M,d)$ merupakan ruang metrik. Notasi “ $d(x,y)$ ” dibaca “jarak antara $x$ dan $y$ ”. (Seperti biasa, kita mengganti perumusan yang benar “Misalkan $(M,d)$ suatu ruang metrik …” dengan ungkapan “Misalkan $M$ suatu ruang metrik …”.)

Jika $d \colon M \times M \rightarrow\mathbb{R}$ memenuhi syarat (1)–(3), tetapi tidak memenuhi (4), maka $d$ merupakan pseudometrik pada $M$ .

Seperti disebutkan di atas, setiap ruang linear bernorma merupakan ruang metrik. Secara lebih tepat, norma pada suatu ruang vektor menginduksi suatu metrik $d$ , yang didefinisikan oleh $d(x,y) = \lVert x - y\rVert$ . Dengan kata lain, jarak antara dua vektor adalah panjang selisih keduanya.

Segitiga vektor yang menggambarkan metrik terinduksi norma. Vektor x dan y berawal pada titik asal yang sama, sedangkan sisi berarah dari ujung y ke ujung x berlabel x dikurangi y. Panjang sisi penghubung itu adalah norma x dikurangi y, yaitu jarak antara x dan y. Ini ilustrasi geometris, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Jika tidak ada metrik lain yang ditentukan, kita selalu memandang ruang linear bernorma sebagai ruang metrik di bawah metrik terinduksi ini. Metrik tersebut disebut metrik yang diinduksi oleh norma.

Contoh 1.2.17.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma. Definisikan $d\colon V \times V \rightarrow\mathbb{R}$ dengan $d(x,y) = \lVert x - y\rVert$ . Maka $d$ merupakan metrik pada $V$ . Jika $V$ hanya merupakan ruang berseminorma, maka $d$ merupakan pseudometrik.

Definisi 1.2.18.

Vektor $x$ dan $y$ dalam ruang hasil kali dalam $V$ disebut ortogonal (atau tegak lurus) jika $\langle x,y \rangle = 0$ . Dalam hal ini kita menulis $x \perp y$ . Subhimpunan $A$ dan $B$ dari $V$ disebut ortogonal jika $a \perp b$ untuk setiap $a \in A$ dan $b \in B$ . Dalam hal ini kita menulis $A \perp B$ .

Definisi 1.2.19.

Jika $M$ dan $N$ merupakan subruang dari ruang hasil kali dalam $V$ , kita menggunakan notasi $V = M \oplus N$ untuk menyatakan bukan hanya bahwa $V$ merupakan jumlah langsung (ruang vektor) dari $M$ dan $N$ , melainkan juga bahwa $M$ dan $N$ ortogonal. Dengan demikian, kita mengatakan bahwa $V$ merupakan jumlah langsung ortogonal (internal) dari $M$ dan $N$ .

Proposisi 1.2.20.

Misalkan $a$ suatu vektor dalam ruang hasil kali dalam $V$ . Maka $a \perp x$ untuk setiap $x \in V$ jika dan hanya jika $a = 0$ .

Proposisi 1.2.21.

Dalam ruang hasil kali dalam, $x \perp y$ jika dan hanya jika $\lVert x + \alpha y\rVert = \lVert x - \alpha y\rVert$ untuk semua skalar $\alpha$ .

Proposisi 1.2.22.

Jika $x \perp y$ dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka $\lVert x + y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 + \lVert y\rVert^2\,.$

Definisi 1.2.23.

Misalkan $V$ dan $W$ merupakan ruang hasil kali dalam di atas medan skalar yang sama. Untuk $(v,w)$ dan $(v',w')$ dalam $V \times W$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ , definisikan $\begin{align*} (v,w) + (v',w') &= (v + v', w + w') \\ &\text{dan}\\ \alpha(v,w) &= (\alpha v,\alpha w)\,. \end{align*}$ Hasilnya adalah suatu ruang vektor, yaitu jumlah langsung (eksternal) dari $V$ dan $W$ . Untuk menjadikannya ruang hasil kali dalam, definisikan $\langle (v,w),(v',w') \rangle = \langle v,v' \rangle + \langle w,w' \rangle.$ Definisi ini menjadikan jumlah langsung $V$ dan $W$ suatu ruang hasil kali dalam. Ruang tersebut merupakan jumlah langsung dari $V$ dan $W$ yang ortogonal eksternal, dan dinotasikan dengan $V \oplus W$ .

Perhatikan bahwa notasi $\oplus$ yang sama digunakan baik untuk jumlah langsung internal maupun eksternal, serta baik untuk jumlah langsung ruang vektor (lihat definisi 1.1.15) maupun jumlah langsung ortogonal. Jadi, ketika melihat simbol $V \oplus W$ , penting untuk mengetahui kategori mana yang sedang kita gunakan: ruang vektor atau ruang hasil kali dalam. Hal ini khususnya penting karena kata “ortogonal” lazim dihilangkan sebagai pewatas “jumlah langsung”, bahkan ketika sifat ortogonal memang dimaksudkan.

Contoh 1.2.24.

Dalam $\mathbb{R}^2$ , misalkan $M$ adalah sumbu- $x$ dan $L$ adalah garis dengan persamaan $y = x$ . Jika $\mathbb{R}^2$ dipandang sebagai ruang vektor (real), penulisan $\mathbb{R}^2 = M \oplus L$ benar. Sebaliknya, jika $\mathbb{R}^2$ dipandang sebagai ruang hasil kali dalam (real), maka $\mathbb{R}^2 \ne M \oplus L$ (karena $M$ dan $L$ tidak tegak lurus).

Proposisi 1.2.25.

Misalkan $V$ suatu ruang hasil kali dalam. Hasil kali dalam pada $V$ , yang dipandang sebagai pemetaan dari $V \oplus V$ ke $\mathbb{K}$ , bersifat kontinu. Demikian pula normanya, yang dipandang sebagai pemetaan dari $V$ ke $\mathbb{R}$ .

Mengenai pembuktian proposisi di atas, perhatikan bahwa pemetaan $(v,v') \mapsto \lVert v\rVert + \lVert v'\rVert$ , $(v,v') \mapsto \sqrt{\lVert v\rVert^2 + \lVert v'\rVert^2}$ , dan $(v,v') \mapsto \max\{\lVert v\rVert, \lVert v'\rVert\}$ semuanya merupakan norma pada $V \oplus V$ . Norma manakah yang diinduksi oleh hasil kali dalam pada $V \oplus V$ ? Mengapa pilihan norma tidak berpengaruh ketika kita membuktikan bahwa hasil kali dalam tersebut kontinu?

Proposisi 1.2.26.

Jika $x$ dan $y$ merupakan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka $\lVert x + y\rVert^2 + \lVert x - y\rVert^2 = 2\lVert x\rVert^2 + 2\lVert y\rVert^2\,.$

Walaupun setiap hasil kali dalam menginduksi suatu norma, tidak setiap norma berasal dari hasil kali dalam.

Contoh 1.2.27.

Tidak ada hasil kali dalam pada ruang $\mathcal{C}([0,1])$ yang menginduksi norma seragam.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Gunakan proposisi sebelumnya. ◻

Proposisi 1.2.28.

Jika $x$ dan $y$ merupakan vektor dalam ruang hasil kali dalam kompleks, maka $\langle x,y \rangle = \tfrac14 (\lVert x + y\rVert^2 - \lVert x - y\rVert^2 + i\,\lVert x + iy\rVert^2 - i\,\lVert x - iy\rVert^2)\,.$

Apakah identitas yang benar untuk ruang hasil kali dalam real?

Notasi 1.2.29.

Misalkan $V$ suatu ruang hasil kali dalam, $x \in V$ , dan $A$ , $B \subseteq V$ . Jika $x \perp a$ untuk setiap $a \in A$ , kita menulis $x \perp A$ ; dan jika $a \perp b$ untuk setiap $a \in A$ dan $b \in B$ , kita menulis $A \perp B$ . Kita mendefinisikan $A^\perp$ , yaitu komplemen ortogonal dari $A$ , sebagai $\{x \in V\colon x \perp A\}$ . Karena frasa “komplemen ortogonal dari $A$ ” agak panjang, terutama jika digunakan berulang kali, simbol “ $A^\perp$ ” biasanya dilafalkan “A perp”. Kita menulis $A^{\perp\perp}$ untuk $\left(A^\perp\right)^\perp$ .

Proposisi 1.2.30.

Jika $A$ merupakan subhimpunan dari ruang hasil kali dalam $V$ , maka $A^\perp$ merupakan subruang linear tertutup dari $V$ .

Proposisi 1.2.31.

Jika $(v^k)$ merupakan barisan bebas linear dalam ruang hasil kali dalam $V$ , maka terdapat barisan ortonormal $(e^k)$ dalam $V$ sedemikian sehingga $\mathop{\mathrm{span}}\{v^1, \dots, v^n\} = \mathop{\mathrm{span}}\{e^1, \dots, e^n\}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ .

Akibat 1.2.32.

Jika $M$ merupakan subruang dari ruang hasil kali dalam berdimensi hingga $V$ , maka $V = M \oplus M^\perp$ .

Akan berguna untuk mengatakan bahwa suatu barisan pada akhirnya memiliki sifat tertentu atau bahwa barisan itu sering memiliki sifat tersebut.

Definisi 1.2.33.

Misalkan $(x_n)$ suatu barisan elemen dari himpunan $S$ dan $P$ suatu sifat yang mungkin dimiliki anggota $S$ . Kita mengatakan bahwa barisan $(x_n)$ pada akhirnya memiliki sifat $P$ jika terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $x_n$ memiliki sifat $P$ untuk setiap $n \ge n_0$ . (Cara lain untuk menyatakan hal yang sama: $x_n$ memiliki sifat $P$ untuk semua kecuali sejumlah hingga $n$ .)

Contoh 1.2.34.

Misalkan $l_c$ menyatakan ruang vektor yang terdiri atas semua barisan bilangan kompleks yang pada akhirnya nol; yaitu, himpunan semua barisan yang hanya memiliki sejumlah hingga entri tak nol. Barisan tersebut juga disebut barisan dengan bertumpuan hingga. Operasi ruang vektornya didefinisikan titik demi titik. Kita menjadikan ruang $l_c$ suatu ruang hasil kali dalam dengan mendefinisikan $\langle a,b \rangle = \langle\, (a_n),(b_n)\, \rangle := \sum_{k=1}^\infty a_k \overline{b_k}$ .

Definisi 1.2.35.

Misalkan $(x_n)$ suatu barisan elemen dari himpunan $S$ dan $P$ suatu sifat yang mungkin dimiliki anggota $S$ . Kita mengatakan bahwa barisan $(x_n)$ sering memiliki sifat $P$ jika untuk setiap $k \in \mathbb{N}$ terdapat $n \ge k$ sedemikian sehingga $x_n$ memiliki sifat $P$ . (Perumusan yang ekuivalen: $x_n$ memiliki sifat $P$ untuk tak hingga banyak nilai $n$ .)

Contoh 1.2.36.

Misalkan $V = l_2$ merupakan ruang hasil kali dalam semua barisan bilangan kompleks yang terjumlah secara kuadrat (lihat contoh 1.2.5) dan $M = l_c$ (lihat contoh 1.2.34). Maka kesimpulan 1.2.32 gagal.

Definisi 1.2.37.

Suatu fungsional linear pada ruang vektor $V$ adalah pemetaan linear dari $V$ ke medan skalarnya. Himpunan semua fungsional linear pada $V$ merupakan ruang dual (aljabar) dari $V$ . Kita akan menggunakan notasi $V^{\#}$ untuk ruang dual aljabar.

Teorema 1.2.38.

Jika $f \in V^{\#}$ dengan $V$ suatu ruang hasil kali dalam berdimensi hingga, maka terdapat vektor unik $a$ dalam $V$ sedemikian sehingga $f(x) = \langle x,a \rangle$ untuk semua $x$ dalam $V$ .

Sebentar lagi kita akan membuktikan (dalam Teorema 4.5.2) bahwa setiap fungsional linear kontinu pada ruang hasil kali dalam sebarang memiliki representasi di atas. Versi berdimensi hingga yang dinyatakan di sini merupakan kasus khusus, karena setiap pemetaan linear pada ruang hasil kali dalam berdimensi hingga bersifat kontinu (lihat Proposisi 3.3.9).

Definisi 1.2.39.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ suatu transformasi linear antara ruang hasil kali dalam kompleks. Jika terdapat fungsi $T^*\colon W \rightarrow V$ yang memenuhi $\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = \langle \mathbf{v},T^*\mathbf{w} \rangle$ untuk semua $\mathbf{v} \in V$ dan $\mathbf{w} \in W$ , maka $T^*$ merupakan adjoin (atau transpos konjugat, atau konjugat Hermitian) dari $T$ .

Proposisi 1.2.40.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ merupakan pemetaan linear antara ruang hasil kali dalam berdimensi hingga, maka $T^*$ ada.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Fungsional $\phi\colon V \times W \rightarrow\mathbb{C}\colon (v,w) \mapsto \langle Tv,w \rangle$ bersifat seskuilinear. Tetapkan $w \in W$ dan definisikan $\phi_w \colon V \rightarrow\mathbb{C}\colon v \mapsto \phi(v,w)$ . Maka $\phi_w \in V^{\#}$ . Gunakan teorema Riesz–Fréchet (1.2.38). ◻

Proposisi 1.2.41.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ merupakan pemetaan linear antara ruang hasil kali dalam berdimensi hingga, maka fungsi $T^*$ yang didefinisikan di atas bersifat linear dan $T^{**} = T$ .

Teorema 1.2.42.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ merupakan pemetaan linear antara ruang hasil kali dalam berdimensi hingga, maka $\ker T^* = (\mathop{\mathrm{ran}}T)^\perp \quad \text{ dan } \quad \mathop{\mathrm{ran}}T^* = (\ker T)^\perp\,.$

Definisi 1.2.43.

Suatu operator $U$ pada ruang hasil kali dalam disebut uniter jika $UU^* = U^*U = I$ , yaitu jika $U^* = U^{-1}$ .

Definisi 1.2.44.

Dua operator $R$ dan $T$ pada ruang hasil kali dalam $V$ disebut ekuivalen secara uniter jika terdapat operator uniter $U$ pada $V$ sedemikian sehingga $R = U^*TU$ .

Proposisi 1.2.45.

Jika $V$ merupakan ruang hasil kali dalam, maka ekuivalensi uniter memang merupakan relasi ekuivalensi pada $\mathfrak{L}(V)$ .

Definisi 1.2.46.

Suatu operator $T$ pada ruang hasil kali dalam berdimensi hingga $V$ disebut dapat didiagonalkan secara uniter jika terdapat basis ortonormal untuk $V$ yang terhadapnya $T$ bersifat diagonal. Secara ekuivalen, suatu operator pada ruang hasil kali dalam berdimensi hingga dengan basis dapat didiagonalkan secara uniter jika operator itu ekuivalen secara uniter dengan operator diagonal.

Definisi 1.2.47.

Suatu operator $T$ pada ruang hasil kali dalam disebut swaadjoin (atau Hermitian) jika $T^* = T$ .

Definisi 1.2.48.

Suatu proyeksi $P$ dalam ruang hasil kali dalam disebut proyeksi ortogonal jika proyeksi itu swaadjoin. Jika $M$ merupakan jangkauan suatu proyeksi ortogonal, kita akan menggunakan notasi $P_{{}_{\scriptstyle{M}}}$ untuk proyeksi tersebut, bukan notasi yang lebih rumit $E_{{}_{\scriptstyle{M^\perp M}}}$ .

Perhatian.

Proyeksi pada ruang vektor atau ruang linear bernorma bersifat linear dan idempoten, sedangkan proyeksi ortogonal pada ruang hasil kali dalam bersifat linear, idempoten, dan swaadjoin. Situasi yang sebenarnya langsung ini agak dirumitkan oleh kecenderungan umum untuk menyebut proyeksi ortogonal hanya sebagai “proyeksi”. Bahkan, kelak dalam catatan ini kita akan menggunakan konvensi tersebut. Dalam ruang hasil kali dalam, $\oplus$ biasanya menyatakan jumlah langsung ortogonal dan “proyeksi” biasanya berarti “proyeksi ortogonal”. Dalam banyak buku pengantar aljabar linear, seluruh pembahasan berlangsung dalam $\mathbb{R}^n$ , sehingga kadang sulit menentukan apakah pada suatu halaman tertentu penulis memperlakukan $\mathbb{R}^n$ sebagai ruang vektor atau sebagai ruang hasil kali dalam.

Proposisi 1.2.49.

Jika $P$ merupakan proyeksi ortogonal pada ruang hasil kali dalam $V$ , maka kita memperoleh dekomposisi jumlah langsung ortogonal $V = \ker P \oplus \mathop{\mathrm{ran}}P$ .

Definisi 1.2.50.

Jika $I_V = P_1 + P_2 + \dots + P_n$ merupakan resolusi identitas dalam suatu ruang hasil kali dalam $V$ dan setiap $P_k$ merupakan proyeksi ortogonal, kita mengatakan bahwa $I_V = P_1 + P_2 + \dots + P_n$ merupakan resolusi ortogonal dari identitas.

Proposisi 1.2.51.

Jika $I_V = P_1 + P_2 + \dots + P_n$ merupakan resolusi ortogonal dari identitas pada ruang hasil kali dalam $V$ , maka $V = \bigoplus_{k=1}^n \mathop{\mathrm{ran}}P_k$ .

Definisi 1.2.52.

Suatu operator $N$ pada ruang hasil kali dalam disebut normal jika $NN^* = N^*N$ .

Dua pencapaian besar aljabar linear adalah teorema spektral untuk operator pada ruang hasil kali dalam (kompleks) berdimensi hingga (lihat 1.2.53), yang memberikan syarat perlu dan cukup yang dapat dinyatakan secara sederhana agar suatu operator dapat didiagonalkan secara uniter, dan teorema 1.2.54, yang memberikan klasifikasi lengkap operator-operator tersebut.

Teorema 1.2.53.

Misalkan $T$ suatu operator pada ruang hasil kali dalam berdimensi hingga $V$ dengan nilai-nilai eigen (berbeda) $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ . Maka $T$ dapat didiagonalkan secara uniter jika dan hanya jika $T$ normal. Jika $T$ normal, maka terdapat resolusi ortogonal dari identitas $I_V = P_1 + \dots + P_n$ , dengan jangkauan proyeksi ortogonal $P_k$ untuk setiap $k$ merupakan ruang eigen yang berkaitan dengan $\lambda_k$ , dan selanjutnya $T = \lambda_1P_1 +\dots + \lambda_nP_n\,.$

Bukti.

Proof. Lihat [44], halaman 227. ◻

Teorema 1.2.54.

Dua operator normal pada ruang hasil kali dalam berdimensi hingga ekuivalen secara uniter jika dan hanya jika keduanya memiliki nilai-nilai eigen yang sama, masing-masing dengan multiplisitas yang sama; yaitu, jika dan hanya jika keduanya memiliki polinom karakteristik yang sama.

Bukti.

Proof. Lihat [30], halaman 357. ◻

Sebagian besar uraian selanjutnya dikhususkan untuk upaya yang sungguh tak sepele dalam mencari generalisasi yang tepat dari kedua hasil di atas ke ranah berdimensi tak hingga, serta bentang matematika menakjubkan yang mulai terlihat di sepanjang perjalanan tersebut.

Latihan 1.2.55.

Misalkan $N = \dfrac13\begin{bmatrix} 4+2i & 1-i & 1-i \\ 1-i & 4+2i & 1-i \\ 1-i & 1-i & 4+2i \end{bmatrix}$ .

Tunjukkan bahwa matriks $N$ bersifat normal.

pt
Dengan demikian, menurut teorema spektral, $N$ dapat dituliskan sebagai kombinasi linear proyeksi-proyeksi ortogonal. Tunjukkan secara eksplisit cara melakukannya (dan kerjakan perhitungannya).