Bab 8 · Beberapa Teori Spektral

Dalam bab ini, untuk pertama kalinya kita akan menganggap, kecuali dinyatakan lain, bahwa ruang vektor dan aljabar berskalar kompleks, bukan real. Sebagian besar alasan untuk hal ini adalah perlunya menggunakan teorema Liouville 8.1.40 untuk membuktikan proposisi 8.1.41.

Spektrum

Definisi 8.1.1.

Suatu elemen $a$ dari aljabar beridentitas $A$ disebut invertibel kiri jika terdapat elemen $a_l$ dalam $A$ (disebut invers kiri dari $a$ ) sedemikian sehingga $a_l a = \mathbf{1}$ , dan disebut invertibel kanan jika terdapat elemen $a_r$ dalam $A$ (disebut invers kanan dari $a$ ) sedemikian sehingga $aa_r = \mathbf{1}$ . Elemen tersebut disebut invertibel jika elemen itu sekaligus invertibel kiri dan invertibel kanan. Himpunan semua elemen invertibel dari $A$ dinotasikan dengan $\mathop{\mathrm{inv}}A$ .

Suatu elemen dari aljabar beridentitas memiliki paling banyak satu invers perkalian. Bahkan, berlaku pernyataan yang lebih kuat berikut.

Proposisi 8.1.2.

Jika suatu elemen dari aljabar beridentitas memiliki invers kiri dan invers kanan, maka kedua invers tersebut sama (sehingga elemen itu invertibel).

Jika suatu elemen $a$ dari aljabar beridentitas invertibel, inversnya yang unik dinotasikan dengan $a^{-1}$ .

Proposisi 8.1.3.

Jika $a$ elemen invertibel dari suatu aljabar beridentitas, maka $a^{-1}$ juga invertibel dan $\bigl(a^{-1}\bigr)^{-1} = a\,.$

Proposisi 8.1.4.

Jika $a$ dan $b$ elemen-elemen invertibel dari suatu aljabar beridentitas, maka hasil kali $ab$ juga invertibel dan $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\,.$

Proposisi 8.1.5.

Jika $a$ dan $b$ elemen-elemen invertibel dari suatu aljabar beridentitas, maka $a^{-1} - b^{-1} = a^{-1}(b - a)b^{-1}\,.$

Proposisi 8.1.6.

Misalkan $a$ dan $b$ elemen-elemen dari suatu aljabar beridentitas. Jika $ab$ dan $ba$ keduanya invertibel, maka $a$ dan $b$ juga invertibel.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan proposisi 8.1.2. ◻

Akibat 8.1.7.

Misalkan $a$ elemen dari suatu aljabar- $*\,$ beridentitas. Maka $a$ invertibel jika dan hanya jika $a^*a$ dan $aa^*$ invertibel; dalam hal ini, $a^{-1} = \bigl(a^*a\bigr)^{-1}a^* = a^*\big(aa^*\bigr)^{-1}\,.$

Proposisi 8.1.8.

Misalkan $a$ dan $b$ elemen-elemen dari suatu aljabar beridentitas. Maka $\mathbf{1} - ab$ invertibel jika dan hanya jika $\mathbf{1} - ba$ invertibel.

Bukti.

Proof. Jika $\mathbf{1} - ab$ invertibel, maka $\mathbf{1} + b(\mathbf{1} - ab)^{-1}a$ adalah invers dari $\mathbf{1} - ba$ . ◻

Contoh 8.1.9.

Contoh paling sederhana dari aljabar kompleks ialah keluarga $\mathbb{C}$ dari bilangan kompleks. Aljabar ini beridentitas sekaligus komutatif.

Contoh 8.1.10.

Jika $X$ suatu ruang topologis tak kosong, maka keluarga $\mathcal{C}(X)$ dari semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada $X$ merupakan suatu aljabar di bawah operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian titik demi titik yang biasa. Aljabar ini beridentitas sekaligus komutatif.

Contoh 8.1.11.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal yang tidak kompak, maka (di bawah operasi titik demi titik) keluarga $\mathcal{C}_0(X)$ dari semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada $X$ yang lenyap di tak hingga merupakan aljabar komutatif. Namun, keluarga ini bukan suatu aljabar beridentitas.

Contoh 8.1.12.

Keluarga $\mathbf M_n$ dari matriks bilangan kompleks berukuran $n \times n$ merupakan aljabar beridentitas di bawah operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian matriks yang biasa. Aljabar ini tidak komutatif jika $n > 1$ .

Contoh 8.1.13.

Misalkan $A$ suatu aljabar. Jadikan keluarga $\mathbf{M}_{n}({A})$ dari matriks elemen $A$ berukuran $n \times n$ sebagai suatu aljabar dengan menggunakan aturan operasi matriks yang sama dengan aturan untuk $\mathbf M_n$ . Dengan demikian, $\mathbf M_n$ hanyalah $\mathbf{M}_{n}({\mathbb{C}})$ . Aljabar $\mathbf{M}_{n}({A})$ beridentitas jika dan hanya jika $A$ beridentitas.

Contoh 8.1.14.

Jika $V$ suatu ruang linear bernorma, maka $\mathfrak{B}(V)$ merupakan aljabar beridentitas. Jika $\dim V~>~1$ , aljabar tersebut tidak komutatif.

Definisi 8.1.15.

Misalkan $a$ elemen dari aljabar beridentitas $A$ . Maka spektrum dari $a$ , yang dinotasikan dengan $\sigma_A(a)$ atau cukup $\sigma(a)$ , adalah himpunan semua bilangan kompleks $\lambda$ sedemikian sehingga $a - \lambda\mathbf{1}$ tidak invertibel.

Contoh 8.1.16.

Jika $z$ suatu elemen dari aljabar bilangan kompleks $\mathbb{C}$ , maka $\sigma(z) = \{z\}$ .

Contoh 8.1.17.

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff kompak. Jika $f$ suatu elemen dari aljabar $\mathcal{C}(X)$ yang terdiri atas fungsi-fungsi kontinu bernilai kompleks pada $X$ , maka spektrum $f$ adalah jangkauannya.

Contoh 8.1.18.

Misalkan $X$ suatu ruang topologis sembarang. Jika $f$ suatu elemen dari aljabar $\mathcal{C}_b(X)$ yang terdiri atas fungsi-fungsi kontinu terbatas bernilai kompleks pada $X$ , maka spektrum $f$ adalah tutupan jangkauannya.

Contoh 8.1.19.

Misalkan $S$ suatu ruang ukur positif dan $f \in \mathrm{L_{\infty}}{S}$ suatu (kelas ekuivalensi) fungsi yang terbatas secara esensial pada $S$ . Maka spektrum $f$ adalah jangkauan esensialnya.

Contoh 8.1.20.

Keluarga $\mathbf M_3$ dari matriks bilangan kompleks berukuran $3 \times 3$ merupakan aljabar beridentitas di bawah operasi matriks yang biasa. Spektrum matriks $\begin{bmatrix} 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 \end{bmatrix}$ adalah $\{1,2\}$ .

Proposisi 8.1.21.

Misalkan $a$ suatu elemen dari aljabar beridentitas sedemikian sehingga $a^2 = \mathbf{1}$ . Maka salah satu dari hal berikut berlaku:

$a = \mathbf{1}$ , dan dalam hal ini $\sigma(a) = \{1\}$ ; atau
$a = -\mathbf{1}$ , dan dalam hal ini $\sigma(a) = \{-1\}$ ; atau
$\sigma(a) = \{-1,1\}$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Pada (c), untuk membuktikan $\sigma(a) \subseteq \{-1,1\}$ , tinjau $\displaystyle\frac1{1 - \lambda^2}(a + \lambda \mathbf 1).$ ◻

Proposisi 8.1.22.

Ingat bahwa suatu elemen $a$ dari aljabar disebut idempoten jika $a^2 = a$ . Misalkan $a$ suatu elemen idempoten dari aljabar beridentitas. Maka salah satu dari hal berikut berlaku:

$a = \mathbf{1}$ , dan dalam hal ini $\sigma(a) = \{1\}$ ; atau
$a = \mathbf{0}$ , dan dalam hal ini $\sigma(a) = \{0\}$ ; atau
$\sigma(a) = \{0,1\}$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Pada (c), untuk membuktikan $\sigma(a) \subseteq \{0,1\}$ , tinjau $\displaystyle\frac1{\lambda - \lambda^2}\bigl(a + (\lambda - 1)\mathbf{1}\bigr).$ ◻

Proposisi 8.1.23.

Misalkan $a$ suatu elemen invertibel dari aljabar beridentitas. Maka suatu bilangan kompleks tak nol $\lambda$ termasuk dalam spektrum $a$ jika dan hanya jika $1/\lambda$ termasuk dalam spektrum $a^{-1}$ .

Proposisi berikut merupakan akibat langsung dari proposisi 8.1.8.

Proposisi 8.1.24.

Jika $a$ dan $b$ elemen-elemen dari suatu aljabar beridentitas, maka, kecuali mungkin untuk $0$ , spektrum $ab$ dan spektrum $ba$ sama.

Definisi 8.1.25.

Suatu pemetaan $f \colon A \rightarrow B$ antara aljabar-aljabar Banach disebut homomorfisme (aljabar Banach) jika pemetaan tersebut sekaligus merupakan homomorfisme aljabar dan pemetaan kontinu antara $A$ dan $B$ . Kita menotasikan kategori aljabar Banach dan homomorfisme aljabar kontinu dengan $\mathbf{BALG}$ .

Proposisi 8.1.26.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar-aljabar Banach. Maka jumlah langsung dari $A$ dan $B$ , yang dinotasikan dengan $A \oplus B$ , didefinisikan sebagai himpunan $A \times B$ yang dilengkapi dengan operasi titik demi titik:

$(a,b) + (a',b') = (a + a',b + b')$ ;
$(a,b)\,(a',b') = (aa',bb')$ ;
$\alpha(a,b) = (\alpha a,\alpha b)$

untuk $a$ , $a' \in A$ , $b$ , $b' \in B$ , dan $\alpha \in \mathbb{C}$ . Seperti dalam 3.5.12, definisikan $\lVert(a,b)\rVert = \lVert a\rVert + \lVert b\rVert$ . Hal ini menjadikan $A \oplus B$ suatu aljabar Banach.

Latihan 8.1.27.

Identifikasi hasil kali dan koproduk (jika ada) dalam kategori $\mathbf{BALG}$ yang objeknya aljabar Banach dan morfismenya homomorfisme aljabar kontinu, serta dalam kategori yang objeknya aljabar Banach dan morfismenya homomorfisme aljabar kontraktif. (Di sini, kontraktif berarti $\lVert Tx\rVert \le \lVert x\rVert$ untuk setiap $x$ .)

Proposisi 8.1.28.

Dalam suatu aljabar Banach $A$ , operasi penjumlahan dan perkalian (yang dipandang sebagai pemetaan dari $A \oplus A$ ke $A$ ) bersifat kontinu, dan perkalian skalar (yang dipandang sebagai pemetaan dari $\mathbb{K}\oplus A$ ke $A$ ) juga bersifat kontinu.

Proposisi 8.1.29.

Misalkan $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas. Jika $\lVert a\rVert < 1$ , maka $\mathbf{1} - a \in \mathop{\mathrm{inv}}A$ dan $(\mathbf{1} - a)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty a^k$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Tunjukkan bahwa barisan $(\mathbf{1}, a, a^2, \dots)$ dapat dijumlahkan. (Dalam aljabar beridentitas kita mengartikan $a^0$ sebagai $\mathbf{1}$ .) ◻

Akibat 8.1.30.

Jika $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas dengan $\lVert\mathbf{1} - a\rVert < 1$ , maka $a$ invertibel dan $\lVert a^{-1}\rVert \le \frac{1}{1 - \lVert\mathbf{1} - a\rVert}\,.$

Akibat 8.1.31.

Misalkan $a$ suatu elemen invertibel dari aljabar Banach beridentitas $A$ dan $b \in A$ , serta $\lVert a - b\rVert < \lVert a^{-1}\rVert^{-1}$ . Maka $b$ invertibel dalam $A$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan korolari sebelumnya untuk menunjukkan bahwa $a^{-1}b$ invertibel. ◻

Akibat 8.1.32.

Jika $a$ termasuk dalam suatu aljabar Banach beridentitas dan $\lVert a\rVert < 1$ , maka $\lVert(\mathbf{1} - a)^{-1} - \mathbf{1}\rVert \le \frac{\lVert a\rVert}{1 - \lVert a\rVert}\,.$

Proposisi 8.1.33.

Jika $A$ aljabar Banach beridentitas, maka $\mathop{\mathrm{inv}}A\overset{\,_\circ}{\subseteq}A$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $a \in \mathop{\mathrm{inv}}A$ . Tunjukkan, untuk $h$ yang cukup kecil, bahwa $\mathbf{1} - a^{-1}h$ invertibel. ◻

Proposisi 8.1.34.

Misalkan $A$ aljabar Banach beridentitas. Pemetaan $a \mapsto a^{-1}$ dari $\mathop{\mathrm{inv}}A$ ke dirinya sendiri merupakan homeomorfisme.

Proposisi 8.1.35.

Misalkan $A$ aljabar Banach beridentitas. Pemetaan $r\colon a \mapsto a^{-1}$ dari $\mathop{\mathrm{inv}}A$ ke dirinya sendiri bersifat diferensiabel dan pada setiap elemen invertibel $a$ , berlaku $dr_a(h) = -a^{-1}ha^{-1}$ untuk setiap $h \in A$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk pengantar singkat mengenai diferensiasi pada ruang berdimensi tak hingga, lihat Bab 13 dari catatan saya [16] tentang Analisis Real. ◻

Proposisi 8.1.36.

Misalkan $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas $A$ . Maka spektrum $a$ kompak dan $\lvert\lambda \rvert\le \lVert a\rVert$ untuk setiap $\lambda \in \sigma(a)$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan teorema Heine-Borel. Untuk membuktikan bahwa spektrum tertutup, perhatikan bahwa $(\sigma(a))^c = f^\gets(\mathop{\mathrm{inv}}A)$ dengan $f(\lambda) = a - \lambda\mathbf 1$ untuk setiap bilangan kompleks $\lambda$ . Tunjukkan juga bahwa jika $\lvert\lambda \rvert> \lVert a\rVert$ , maka $\mathbf 1 - \lambda^{-1}a$ invertibel. ◻

Definisi 8.1.37.

Misalkan $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas. Pemetaan resolven untuk $a$ didefinisikan oleh $R_a \colon \mathbb{C}\setminus \sigma(a) \rightarrow A \colon \lambda \mapsto (a - \lambda\mathbf{1})^{-1}\,.$

Definisi 8.1.38.

Misalkan $U\overset{\,_\circ}{\subseteq}\mathbb{C}$ dan $A$ suatu aljabar Banach beridentitas. Suatu fungsi $f \colon U \rightarrow A$ bersifat analitik pada $U$ jika $f'(a) := \lim_{z \rightarrow a} \frac{f(z) - f(a)}{z - a}$ ada untuk setiap $a \in U$ . Suatu fungsi bernilai kompleks yang analitik pada seluruh $\mathbb{C}$ disebut fungsi entire.

Proposisi 8.1.39.

Untuk $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas $A$ dan $\phi$ suatu fungsional linear terbatas pada $A$ , misalkan $f := \phi \circ R_a \colon \mathbb{C}\setminus \sigma(a) \rightarrow\mathbb{C}$ . Maka

$f$ analitik pada domainnya; dan
$f(\lambda) \rightarrow 0$ ketika $\lvert\lambda \rvert\rightarrow\infty$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk (i), perhatikan bahwa dalam aljabar beridentitas $a^{-1} - b^{-1} = a^{-1}(b - a)b^{-1}$ . ◻

Teorema 8.1.40.

Setiap fungsi entire yang terbatas pada $\mathbb{C}$ bersifat konstan.

Bukti.

Komentar tentang bukti. Pembuktian teorema ini memerlukan sedikit latar belakang dalam teori fungsi analitik, yakni materi yang tidak dibahas dalam catatan ini. Teorema tersebut tentu dibahas dalam setiap mata kuliah pengantar tentang variabel kompleks. Sebagai contoh, bukti yang baik dapat ditemukan dalam [46], teorema 10.23. ◻

Proposisi 8.1.41.

Spektrum setiap elemen dari aljabar Banach beridentitas tidak kosong.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan argumen kontradiksi. Gunakan teorema Liouville 8.1.40 untuk menunjukkan bahwa $\phi \circ R_a$ konstan bagi setiap fungsional linear terbatas $\phi$ pada $A$ . Kemudian gunakan (salah satu versi) teorema Hahn-Banach untuk membuktikan bahwa $R_a$ konstan. Mengapa konstanta ini harus $0$ ? ◻

Catatan. Penting untuk diingat bahwa kita hanya bekerja dengan aljabar kompleks. Hasil ini salah untuk aljabar Banach real. Contoh tandingan sederhana adalah matriks $\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ yang dipandang sebagai elemen aljabar Banach (real) $M_2$ yang terdiri atas semua matriks $2 \times 2$ dengan entri bilangan real.

Teorema 8.1.42.

Jika $A$ aljabar Banach beridentitas yang setiap elemen taknolnya invertibel, maka $A$ isomorfik secara isometrik dengan $\mathbb{C}$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $B = \{ \lambda\mathbf{1}\colon \lambda \in \mathbb{C}\}$ . Gunakan proposisi sebelumnya 8.1.41 untuk menunjukkan bahwa $B = A$ . ◻

Pernyataan berikut merupakan konsekuensi langsung dari teorema Gelfand-Mazur 8.1.42 dan proposisi 6.5.5.

Akibat 8.1.43.

Jika $I$ ideal maksimal dalam aljabar Banach komutatif beridentitas $A$ , maka $A/I$ isomorfik secara isometrik dengan $\mathbb{C}$ .

Proposisi 8.1.44.

Misalkan $a$ suatu elemen dari aljabar beridentitas. Maka $\sigma(a^n) = [\sigma(a)]^n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ . (Notasi $[\sigma(a)]^n$ berarti $\{\lambda^n\colon \lambda \in \sigma(a)\}$ .)

Definisi 8.1.45.

Misalkan $a$ suatu elemen dari aljabar beridentitas. radius spektral dari $a$ , yang dinotasikan dengan $\rho(a)$ , didefinisikan sebagai $\sup\{\lvert\lambda\rvert\colon \lambda \in \sigma(a)\}$ .

Proposisi 8.1.46.

Jika $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas, maka $\rho(a) \le \lVert a\rVert$ dan $\rho(a^n) = \bigl(\rho(a)\bigr)^n$ .

Proposisi 8.1.47.

Misalkan $\phi\colon A \rightarrow B$ homomorfisme yang mempertahankan identitas di antara aljabar-aljabar beridentitas. Jika $a$ elemen invertibel dari $A$ , maka $\phi(a)$ invertibel dalam $B$ dan inversnya adalah $\phi(a^{-1})$ .

Akibat 8.1.48.

Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ homomorfisme yang mempertahankan identitas di antara aljabar-aljabar beridentitas, maka $\sigma(\phi(a)) \subseteq \sigma(a)$ untuk setiap $a \in A$ .

Akibat 8.1.49.

Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ homomorfisme yang mempertahankan identitas di antara aljabar-aljabar beridentitas, maka $\rho(\phi(a)) \le \rho(a)$ untuk setiap $a \in A$ .

Teorema 8.1.50.

Jika $a$ suatu elemen dari aljabar Banach beridentitas, maka $\rho(a) = \inf\bigl\{\lVert a^n\rVert^{1/n}\colon n \in \mathbb{N}\bigr\} = \lim_{n \rightarrow\infty} \lVert a^n\rVert^{1/n}\,.$

Latihan 8.1.51.

Dengan menggunakan rumus untuk operator Volterra $V$ dalam contoh 5.2.21 sebagai acuan, pada ruang Banach $\mathcal{C}([0,1])$ definisikan operator integral melalui rumus $Vf(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ .

Hitung spektrum operator $V$ . (Petunjuk. Tunjukkan bahwa $\lVert V^n\rVert \le (n!)^{-1}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan gunakan rumus radius spektral.)
Apa implikasi (a) terhadap kemungkinan memperoleh fungsi kontinu $f$ yang memenuhi persamaan integral $f(x) - \mu\int_0^xf(t)\,dt = h(x),$ dengan $\mu$ suatu skalar dan $h$ suatu fungsi kontinu yang diberikan pada $[0,1]$ ?
Gunakan gagasan dalam (b) dan uraian deret Neumann untuk $\mathbf{1} - \mu V$ (lihat proposisi 8.1.29) untuk menghitung secara eksplisit (dan dalam bentuk fungsi elementer) suatu solusi untuk persamaan integral $f(x) - {\textstyle \frac12}\int_0^xf(t)\,dt = e^x.$

Proposisi 8.1.52.

Misalkan $A$ aljabar Banach beridentitas dan $B$ subaljabar tertutup yang memuat $\mathbf{1}_A$ . Maka

$\mathop{\mathrm{inv}}B$ terbuka sekaligus tertutup dalam $B \cap \mathop{\mathrm{inv}}A$ ;
$\sigma_A(b) \subseteq \sigma_B(b)$ untuk setiap $b \in B$ ; dan
jika $b \in B$ dan $\sigma_A(b)$ tidak memiliki lubang (yakni, jika komplemennya dalam $\mathbb{C}$ terhubung), maka $\sigma_A(b) = \sigma_B(b)$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Tinjau fungsi $f_b\colon (\sigma_A(b))^c \rightarrow B \cap \mathop{\mathrm{inv}}A\colon \lambda \mapsto b - \lambda \mathbf{1}$ . ◻

Spektrum Operator Ruang Hilbert

Proposisi 8.2.1.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $T \in \mathfrak{B}(H)$ suatu operator swaadjoin. Pernyataan berikut ekuivalen:

$\sigma(T) \subseteq [0,\infty)$ ;
terdapat operator $S$ pada $H$ sedemikian sehingga $T = S^*S$ ; dan
$T$ positif.

Notasi 8.2.2.

Jika $A$ adalah himpunan bilangan kompleks, kita mendefinisikan $A^* := \{\overline{\lambda }\colon \lambda \in A\}$ . Hal ini dilakukan untuk menghindari kerancuan dengan tutupan himpunan $A$ .

Proposisi 8.2.3.

Jika $T$ suatu operator ruang Banach, maka $\sigma(T^*) = \sigma(T)$ , sedangkan jika operator tersebut merupakan operator ruang Hilbert, maka $\sigma(T^*) = (\sigma(T))^*$ .

Dalam ruang berdimensi hingga, hanya ada satu cara bagi suatu bilangan kompleks $\lambda$ untuk menjadi anggota spektrum suatu operator $T$ . Alasannya adalah bahwa hanya ada satu cara suatu operator, dalam hal ini $T - \lambda I$ , pada ruang berdimensi hingga dapat gagal menjadi invertibel (lihat paragraf sebelum definisi 1.1.35). Di sisi lain, ada beberapa cara bagi $\lambda$ untuk menjadi anggota spektrum suatu operator pada ruang berdimensi tak hingga—karena ada beberapa cara suatu operator dapat gagal menjadi invertibel. (Lihat, misalnya, proposisi 5.2.29.) Secara historis, hal ini telah melahirkan sejumlah usulan taksonomi spektrum suatu operator.

Definisi 8.2.4.

Misalkan $T$ suatu operator pada ruang Hilbert (atau Banach) $H$ . Suatu bilangan kompleks $\lambda$ termasuk dalam himpunan resolven dari $T$ jika $T - \lambda I$ invertibel. Himpunan resolven adalah komplemen dari spektrum $T$ . Himpunan bilangan kompleks $\lambda$ yang membuat $T - \lambda I$ tidak injektif disebut spektrum titik dari $T$ dan dinotasikan dengan $\sigma_p(T)$ . Anggota spektrum titik dari $T$ adalah nilai eigen dari $T$ . Himpunan bilangan kompleks $\lambda$ yang membuat $T - \lambda I$ tidak terbatas jauh dari nol disebut spektrum titik aproksimatif dari $T$ dan dinotasikan dengan $\sigma_{ap}(T)$ . Himpunan semua bilangan kompleks $\lambda$ sedemikian sehingga tutupan jangkauan $T - \lambda I$ merupakan subruang sejati dari $H$ disebut spektrum kompresi dari $T$ dan dinotasikan dengan $\sigma_c(T)$ . Adapun spektrum residual dari $T$ , yang kita notasikan dengan $\sigma_r(T)$ , adalah $\sigma_c(T) \setminus \sigma_p(T)$ .

Proposisi 8.2.5.

Jika $T$ suatu operator ruang Hilbert, maka $\sigma_p(T) \subseteq \sigma_{ap}(T) \subseteq \sigma(T)$ .

Proposisi 8.2.6.

Jika $T$ suatu operator ruang Hilbert, maka $\sigma(T) = \sigma_{ap}(T) \cup \sigma_c(T)$ .

Proposisi 8.2.7.

Jika $T$ suatu operator ruang Hilbert, maka $\sigma_p(T^*) = (\sigma_c(T))^*$ .

Akibat 8.2.8.

Jika $T$ suatu operator ruang Hilbert, maka $\sigma(T) = \sigma_{ap}(T) \cup (\sigma_{ap}(T^*))^*$ .

Teorema 8.2.9.

Jika $T$ suatu operator ruang Hilbert dan $p$ suatu polinomial, maka $\sigma(p(T)) = p(\sigma(T)).$

Teorema sebelumnya berlaku secara lebih umum untuk setiap fungsi analitik yang didefinisikan pada lingkungan spektrum $T$ . (Untuk pembuktiannya, lihat [8], bab VII, teorema 4.10.) Hasil tersebut juga berlaku untuk bagian-bagian spektrum.

Proposisi 8.2.10.

Jika $T$ suatu operator ruang Hilbert dan $p$ suatu polinomial, maka

$\sigma_p(p(T)) = p(\sigma_p(T))$ ,
$\sigma_{ap}(p(T)) = p(\sigma_{ap}(T))$ , dan
$\sigma_c(p(T)) = p(\sigma_c(T))$ ,

Proposisi 8.2.11.

Jika $T$ operator invertibel pada ruang Hilbert, maka $\sigma(T^{-1}) = (\sigma(T))^{-1}$ .

Definisi 8.2.12.

Seperti halnya pada ruang vektor, dua operator $R$ dan $T$ pada ruang Hilbert (atau Banach) $H$ dikatakan serupa jika terdapat operator invertibel $S$ pada $H$ sedemikian sehingga $R = STS^{-1}$ .

Proposisi 8.2.13.

Jika $S$ dan $T$ merupakan operator yang serupa pada ruang Hilbert, maka $\sigma(S) = \sigma(T)$ , $\sigma_p(S) = \sigma_p(T)$ , $\sigma_{ap}(S) = \sigma_{ap}(T)$ , dan $\sigma_c(S) = \sigma_c(T)$ .

Proposisi 8.2.14.

Jika $T$ merupakan operator normal pada ruang Hilbert, maka $\sigma_c(T) = \sigma_p(T)$ , sehingga $\sigma_r(T)~=~\emptyset$ .

Proposisi 8.2.15.

Jika $T$ merupakan operator pada ruang Hilbert, maka $\sigma_{ap}(T)$ tertutup.

Contoh 8.2.16.

Misalkan $D = \mathop{\mathrm{diag}}(a_1,a_2,a_3,\dots)$ merupakan operator diagonal pada ruang Hilbert dan misalkan $A = \{a_k\colon k\in\mathbb{N}\}$ . Maka

$\sigma_p(D) = \sigma_c(D) = A$ ,
$\sigma_{ap}(D) = \overline{A}$ , dan
$\sigma_r(D) = \emptyset$ .

Contoh 8.2.17.

Misalkan $S$ merupakan operator pergeseran unilateral pada $l_2$ (lihat contoh 5.2.11). Maka

$\sigma(S) = D$ ,
$\sigma_p(S) = \emptyset$ ,
$\sigma_{ap}(S) = C$ ,
$\sigma_c(S) = B$ ,
$\sigma(S^*) = D$ ,
$\sigma_p(S^*) = B$ ,
$\sigma_{ap}(S^*) = D$ , dan
$\sigma_c(S^*) = \emptyset$ .

di mana $B$ adalah cakram satuan terbuka, $D$ adalah cakram satuan tertutup, dan $C$ adalah lingkaran satuan pada bidang kompleks.

Contoh 8.2.18.

Misalkan $(S,\mathfrak{A}, \mu)$ merupakan ruang ukuran positif $\sigma$ -hingga, $\phi \in L_\infty(S,\mu)$ , dan $M_\phi$ merupakan operator perkalian yang bersesuaian pada ruang Hilbert $\mathrm{L_{2}}{S,\mu}$ (lihat contoh 5.2.15). Maka spektrum dan spektrum titik aproksimatif dari $M_\phi$ adalah jangkauan esensial $\phi$ , sedangkan spektrum titik dan spektrum kompresi dari $M_\phi$ adalah $\{\lambda \in \mathbb{C}\colon \mu(\phi^{\gets}(\{\lambda\})) > 0\}$ .