Bab 14 · Aljabar Pengali

Modul Hilbert

Notasi 14.1.1.

Hasil kali dalam yang muncul sebelumnya dalam catatan ini dan yang dijumpai dalam buku teks dan monograf standar tentang ruang Hilbert, analisis fungsional, dan sebagainya, bersifat linear dalam variabel pertama dan linear konjugat dalam variabel kedua. Kebanyakan ahli aljabar operator kontemporer memilih bekerja dengan objek yang disebut modul Hilbert- $A$ kanan ( $A$ suatu aljabar- $C^*$ ). Untuk modul semacam itu, ternyata lebih mudah menggunakan “hasil kali dalam” yang linear dalam variabel kedua dan linear konjugat dalam variabel pertama. Walaupun perubahan konvensi ini mungkin menimbulkan sedikit rasa jengkel, secara matematis pengaruhnya kecil. Tentu saja, kita ingin ruang Hilbert menjadi contoh modul Hilbert- $\mathbb{C}$ . Agar hal ini mungkin, kita membekali ruang Hilbert, yang hasil kali dalamnya dinyatakan dengan $\langle\mathord{\cdot},\mathord{\cdot}\rangle$ , dengan “hasil kali dalam” baru yang didefinisikan oleh $\langle x\,\vert\,y\rangle := \langle y,x \rangle$ . “Hasil kali dalam” ini linear dalam variabel kedua dan linear konjugat dalam variabel pertama. Saya akan berusaha konsisten dalam menggunakan $\langle\mathord{\cdot},\mathord{\cdot}\rangle$ untuk hasil kali dalam standar dan $\langle\mathord{\cdot}\,\vert\,\mathord{\cdot}\rangle$ untuk hasil kali dalam yang linear dalam variabel keduanya.

Solusi lain (yang sangat umum) untuk persoalan ini adalah menetapkan bahwa hasil kali dalam selalu linear dalam variabel keduanya dan “mengoreksi” buku teks, monograf, dan makalah standar sesuai dengan ketetapan tersebut.

Konvensi 14.1.2.

Berdasarkan uraian sebelumnya, selanjutnya kita akan menggunakan kata “seskuilinear” untuk berarti salah satu di antara linear dalam variabel pertama dan linear konjugat dalam variabel kedua atau linear dalam variabel kedua dan linear konjugat dalam variabel pertama.

Definisi 14.1.3.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ tak nol. Suatu ruang vektor $V$ adalah modul- $A$ jika terdapat suatu pemetaan bilinear $B\colon V \times A \rightarrow V\colon (x,a) \mapsto xa$ sedemikian sehingga $x(ab) = (xa)b$ berlaku untuk semua $x \in V$ dan $a$ , $b \in A$ . Kita juga mensyaratkan bahwa $x \mathbf{1}_A = x$ untuk setiap $x \in V$ jika $A$ beridentitas. (Suatu fungsi dua variabel disebut bilinear jika fungsi itu linear dalam kedua variabelnya.)

Definisi 14.1.4.

Untuk memperjelas sebagian materi berikutnya, akan berguna untuk memiliki definisi formal berikut. Suatu ruang vektor (kompleks) adalah tripel $(V,+,M)$ dengan $(V,+)$ suatu grup Abel dan $M\colon \mathbb{C}\rightarrow\mathop{\mathrm{Hom}}(V,+)$ suatu homomorfisme gelanggang beridentitas. (Seperti dapat diduga, $\mathop{\mathrm{Hom}}(V,+)$ menyatakan gelanggang beridentitas dari endomorfisme grup $(V,+)$ .) Jadi, suatu aljabar adalah kuadruplet terurut $(A,+,M,\,\cdot\,)$ dengan $(A,+,M)$ suatu ruang vektor dan $\,\cdot\,\colon A \times A \rightarrow A \colon (a,b) \mapsto a \cdot b = ab$ suatu operasi biner pada $A$ yang memenuhi syarat-syarat dalam 2.1.12.

Latihan 14.1.5.

Pastikan bahwa definisi ruang vektor sebelumnya ekuivalen dengan definisi yang biasa Anda gunakan.

Definisi 14.1.6.

Misalkan $(A,+,M,\,\cdot\,)$ suatu aljabar (kompleks). Maka $A^{\textrm{op}}$ adalah aljabar $(A,+,M,*)$ dengan $a*b = b\cdot a$ untuk semua $a$ , $b \in A$ . Aljabar ini adalah aljabar lawan dari $A$ . Aljabar itu hanyalah $A$ dengan urutan perkalian dibalik. Jika $A$ dan $B$ adalah aljabar, maka setiap fungsi $f \colon A \rightarrow B$ dengan cara yang jelas menginduksi suatu fungsi dari $A$ ke $B^{\textrm{op}}$ (atau dari $A^{\textrm{op}}$ ke $B$ , atau dari $A^{\textrm{op}}$ ke $B^{\textrm{op}}$ ). Semua fungsi ini akan kita nyatakan cukup dengan $f$ .

Definisi 14.1.7.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar. Suatu fungsi $\phi\colon A \rightarrow B$ adalah suatu antihomomorfisme jika fungsi $\phi\colon A \rightarrow B^{\textrm{op}}$ merupakan suatu homomorfisme. Suatu antihomomorfisme bijektif adalah antiisomorfisme. Dalam contoh 4.5.5 kita menjumpai antiisomorfisme ruang Hilbert. Antiisomorfisme tersebut agak berbeda karena alih-alih membalik perkalian (yang tidak dimiliki ruang Hilbert), antiisomorfisme itu mengonjugatkan skalar. Dalam kedua kasus, antiisomorfisme bukanlah sesuatu yang sama sekali berbeda dari isomorfisme, melainkan justru sesuatu yang sangat serupa.

Gagasan modul- $A$ (dengan $A$ suatu aljabar) telah didefinisikan dalam 14.1.3. Anda mungkin lebih menyukai definisi alternatif berikut, yang lebih selaras dengan definisi ruang vektor dalam 14.1.4.

Definisi 14.1.8.

Misalkan $A$ suatu aljabar. Kuadruplet terurut $(V,+,M,\Phi)$ disebut modul- $A$ jika $(V,+,M)$ suatu ruang vektor dan $\Phi\colon A \rightarrow\mathfrak{L}(V)$ suatu homomorfisme aljabar. Jika $A$ beridentitas, kita juga mensyaratkan bahwa $\Phi$ beridentitas.

Latihan 14.1.9.

Periksa bahwa definisi modul- $A$ dalam 14.1.3 dan 14.1.8 ekuivalen.

Sekarang kita nyatakan secara tepat apa artinya, ketika $A$ suatu aljabar- $C^*$ , membekali modul- $A$ dengan hasil kali dalam bernilai- $A$ .

Definisi 14.1.10.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Suatu modul- $A$ hasil kali dalam semu adalah suatu modul- $A$ $V$ beserta pemetaan $\beta\colon V \times V \rightarrow A\colon (x,y) \mapsto \langle x\vert\, y\rangle$ yang linear dalam variabel keduanya dan memenuhi

$\langle x\vert\, ya\rangle = \langle x\vert\, y\rangle a$ ,
$\langle x\vert\, y\rangle = \langle y\vert\, x\rangle^*$ , dan
$\langle x\vert\, x\rangle \ge \mathbf{0}$

untuk semua $x$ , $y \in V$ dan $a \in A$ . Modul ini adalah suatu modul- $A$ hasil kali dalam (atau suatu modul pra-Hilbert- $A$ ) jika sebagai tambahan

$\langle x\vert\, x\rangle = \mathbf{0}$ mengakibatkan $x = \mathbf{0}$

untuk $x \in V$ . Kita akan menyebut pemetaan $\beta$ sebagai hasil kali dalam (semu) bernilai- $A$ pada $V$ .

Contoh 14.1.11.

Setiap ruang hasil kali dalam adalah modul- $\mathbb{C}$ hasil kali dalam.

Proposisi 14.1.12.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ suatu modul- $A$ hasil kali dalam semu. Hasil kali dalam semu $\langle\mathord{\cdot}\vert\,\mathord{\cdot}\rangle$ bersifat linear konjugat dalam variabel pertamanya, baik secara harfiah maupun dalam arti bahwa $\langle va \vert\, w\rangle = a^* \langle v \vert\, w\rangle$ untuk semua $v$ , $w \in V$ dan $a \in A$ .

Proposisi 14.1.13.

Misalkan $V$ suatu modul- $A$ hasil kali dalam dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Maka $\langle x\vert\, y \rangle^*\langle x\vert\, y \rangle \le \lVert\langle x\vert\, x \rangle\rVert\,\langle y\vert\, y \rangle$ untuk semua $x$ , $y \in V$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tunjukkan bahwa, tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengasumsikan bahwa $\lVert\langle x\vert\, x\rangle\rVert = 1$ . Pertimbangkan elemen positif $\langle xa - y\vert\, xa - y\rangle$ dengan $a = \langle x \vert\, y \rangle$ . Gunakan proposisi 12.5.21 dan 12.5.22. ◻

Definisi 14.1.14.

Untuk setiap elemen $v$ dari suatu modul- $A$ hasil kali dalam (dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ ), definisikan $\lVert v\rVert := \lVert\langle v \vert\, v \rangle\rVert^{1/2}.$

Proposisi 14.1.15.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ suatu modul- $A$ hasil kali dalam. Maka untuk semua $v$ , $w \in V$ $\lVert\langle v \vert\, w\rangle\rVert \le \lVert v\rVert\,\lVert w\rVert.$

Akibat 14.1.16.

Jika $v$ dan $w$ merupakan elemen suatu modul- $A$ hasil kali dalam (dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ ), maka $\lVert v + w\rVert \le \lVert v\rVert + \lVert w\rVert$ dan pemetaan $x \mapsto \lVert x\rVert$ merupakan norma pada $V$ .

Proposisi 14.1.17.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ suatu modul- $A$ hasil kali dalam, maka $\lVert va\rVert \le \lVert v\rVert\, \lVert a\rVert$ untuk semua $v \in V$ dan $a \in A$ .

Definisi 14.1.18.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ suatu modul- $A$ hasil kali dalam. Jika $V$ lengkap terhadap (metrik yang diinduksi oleh) norma yang didefinisikan dalam 14.1.14, maka $V$ adalah suatu modul Hilbert- $A$ .

Contoh 14.1.19.

Untuk $a$ dan $b$ dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ , definisikan $\langle a \vert\, b\rangle := a^*b\,.$ Maka $A$ sendiri merupakan modul Hilbert- $A$ . Setiap ideal kanan tertutup dalam $A$ juga merupakan modul Hilbert- $A$ .

Definisi 14.1.20.

Misalkan $V$ dan $W$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Suatu pemetaan $T\colon V \rightarrow W$ bersifat linear- $A$ jika pemetaan itu linear dan jika $T(va) = T(v)a$ berlaku untuk semua $v \in V$ dan $a \in A$ . Pemetaan $T$ adalah suatu morfisme modul Hilbert- $A$ jika pemetaan itu terbatas dan linear- $A$ .

Ingat dari 5.2.10 bahwa setiap operator ruang Hilbert memiliki adjoin. Hal ini tidak berlaku untuk modul Hilbert- $A$ .

Definisi 14.1.21.

Misalkan $V$ dan $W$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Suatu fungsi $T\colon V \rightarrow W$ bersifat dapat diadjoinkan jika terdapat suatu fungsi $T^*\colon W \rightarrow V$ yang memenuhi $\langle Tv \vert\, w \rangle = \langle v \vert\, T^*w \rangle$ untuk semua $v \in V$ dan $w \in W$ . Fungsi $T^*$ , jika ada, adalah adjoin dari $T$ . Nyatakan dengan $\mathfrak{L}(V,W)$ keluarga pemetaan yang dapat diadjoinkan dari $V$ ke $W$ . Kita menyingkat $\mathfrak{L}(V,V)$ menjadi $\mathfrak{L}(V)$ .

Proposisi 14.1.22.

Misalkan $V$ dan $W$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Jika suatu fungsi $T\colon V \rightarrow W$ dapat diadjoinkan, maka fungsi itu merupakan morfisme modul Hilbert- $A$ . Lebih lanjut, jika $T$ dapat diadjoinkan, maka adjoinnya juga dapat diadjoinkan dan $T^{**} = T$ .

Contoh 14.1.23.

Misalkan $X$ interval satuan $[0,1]$ dan $Y = \{0\}$ . Dengan topologi biasa, $X$ merupakan ruang Hausdorff kompak dan $Y$ suatu subruang dari $X$ . Misalkan $A$ adalah aljabar- $C^*$ $\mathcal{C}(X)$ dan $J_0$ adalah ideal $\{f \in A\colon f(0) = 0\}$ (lihat proposisi 11.1.6). Pandang $V = A$ dan $W = J_0$ sebagai modul-modul Hilbert- $A$ (lihat contoh 14.1.19). Maka pemetaan inklusi $\iota\colon W \rightarrow V$ merupakan morfisme modul Hilbert- $A$ yang tidak dapat diadjoinkan.

Proposisi 14.1.24.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Pasangan pemetaan $V \mapsto V$ , $T \mapsto T^*$ merupakan funktor kontravarian dari kategori modul Hilbert- $A$ dan pemetaan yang dapat diadjoinkan ke dirinya sendiri.

Proposisi 14.1.25.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ suatu modul Hilbert- $A$ . Maka $\mathfrak{L}(V)$ merupakan aljabar- $C^*$ beridentitas.

Notasi 14.1.26.

Misalkan $V$ dan $W$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Untuk $v \in V$ dan $w \in W$ , misalkan $\Theta_{v,w}\colon W \rightarrow V\colon x \mapsto v\langle w \vert\, x\rangle\,.$ (Bandingkan dengan 5.7.2.)

Proposisi 14.1.27.

Pemetaan $\Theta$ yang didefinisikan di atas bersifat seskuilinear.

Proposisi 14.1.28.

Misalkan $V$ dan $W$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Untuk setiap $v \in V$ dan $w \in W$ , pemetaan $\Theta_{v,w}$ dapat diadjoinkan dan $(\Theta_{v,w})^* = \Theta_{w,v}$ .

Proposisi berikut memperumum proposisi 5.7.7 dan 5.7.8.

Proposisi 14.1.29.

Misalkan $U$ , $V$ , $W$ , dan $Z$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Jika $S \in \mathfrak{L}(Z,W)$ dan $T \in \mathfrak{L}(V,U)$ , maka $T \Theta_{v,w} = \Theta_{Tv,w} \qquad \text{ dan } \qquad \Theta_{v,w} S = \Theta_{v,S^*w}$ untuk semua $v \in V$ dan $w \in W$ . $Z \to^S W \to^{\Theta_{v,w}} V \to^T U$

Proposisi 14.1.30.

Misalkan $U$ , $V$ , dan $W$ modul-modul Hilbert- $A$ dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Andaikan $u \in U$ ; $v$ , $v' \in V$ ; dan $w \in W$ . Maka $\Theta_{u,v}\Theta_{v',w} = \Theta_{u\langle v \vert\,v' \rangle, w} = \Theta_{u, w\langle v'\vert\,v \rangle}\,.$

Notasi 14.1.31.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ serta $W$ modul-modul Hilbert- $A$ . Kita nyatakan dengan $\mathfrak{K}(W,V)$ rentang linear tertutup dari $\{\Theta_{v,w}\colon v \in V \text{ dan } w \in W\}$ . Seperti biasa, kita menyingkat $\mathfrak{K}(V,V)$ menjadi $\mathfrak{K}(V)$ .

Proposisi 14.1.32.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $V$ suatu modul Hilbert- $A$ , maka $\mathfrak{K}(V)$ adalah ideal dalam aljabar- $C^*$ $\mathfrak{L}(V)$ .

Contoh berikut dimaksudkan sebagai pembenaran bagi praktik standar untuk mengidentifikasi suatu aljabar- $C^*$ $A$ dengan $\mathfrak{K}(A)$ .

Contoh 14.1.33.

Jika suatu aljabar- $C^*$ $A$ kita pandang sebagai modul- $A$ (lihat contoh 14.1.19), maka $\mathfrak{K}(A)\overset{\,{}_\ast}{\cong}A$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Seperti dalam akibat 12.3.3, untuk setiap $a \in A$ definisikan operator perkalian kiri $L_a\colon A \rightarrow A\colon x \mapsto ax$ . Tunjukkan bahwa setiap operator semacam itu dapat diadjoinkan dan bahwa pemetaan $L\colon A \rightarrow\mathfrak{L}(A) \colon a \mapsto L_a$ merupakan isomorfisme- $*\,$ ke suatu subaljabar- $C^*$ dari $\mathfrak{L}(A)$ . Kemudian verifikasikan bahwa $\mathfrak{K}(A)$ adalah tutupan citra oleh $L$ dari rentang linear hasil kali elemen-elemen $A$ . ◻

Contoh 14.1.34.

Misalkan $H$ suatu ruang Hilbert yang dipandang sebagai modul- $\mathbb{C}$ . Maka $\mathfrak{K}(H)$ (sebagaimana didefinisikan dalam 14.1.31) adalah ideal operator kompak pada $H$ (lihat proposisi 7.1.30).

Bukti.

Proof. Lihat [43], contoh 2.27. ◻

Contoh sebelumnya telah mendorong banyak peneliti, ketika menangani suatu modul Hilbert sebarang $V$ , menyebut elemen $\mathfrak{K}(V)$ sebagai operator kompak. Istilah ini meragukan karena operator semacam itu belum tentu kompak. (Sebagai contoh, jika suatu aljabar- $C^*$ beridentitas berdimensi tak hingga $A$ kita pandang sebagai modul- $A$ , maka $\Theta_{\mathbf{1},\mathbf{1}} = I_A$ , tetapi operator identitas pada $A$ tidak kompak—lihat contoh 7.1.20.)

Fakta bahwa modul Hilbert- $C^*$ hanya digunakan secara terbatas dalam catatan ini hendaknya tidak membuat Anda berpikir bahwa kajiannya sangat khusus dan/atau kurang penting. Sebaliknya, kajian tersebut sekarang merupakan bidang penelitian penting dan dinamis yang memiliki penerapan pada bidang-bidang yang beragam seperti teori- $K$ , aljabar- $C^*$ graf, grup kuantum, probabilitas kuantum, berkas vektor, geometri nonkomutatif, topologi aljabar dan topologi geometri, ruang dan aljabar operator, serta wavelet. Lihatlah laman web Michael Frank [20], Hilbert C*-modules and related subjects—a guided reference overview, tempat ia mencantumkan 1531 referensi (pada pembaruan 11.09.10) berupa buku, makalah, dan tesis tentang modul semacam itu dan mengelompokkannya menurut penerapan. Terdapat grafik menarik (pada halaman 9) yang menggambarkan pertumbuhan bidang matematika ini. Grafik tersebut mencakup materi dari upaya perintis pada tahun 1950-an dan awal 1960-an (0–2 makalah per tahun) hingga saat catatan ini ditulis (sekitar 100 makalah per tahun).

Ideal Esensial

Contoh 14.2.1.

Jika $A$ dan $B$ adalah aljabar- $C^*$ , maka $A$ (lebih tepatnya, $A \oplus \{\mathbf{0}\}$ ) merupakan ideal dalam $A \oplus B$ .

Konvensi 14.2.2.

Sebagaimana ditunjukkan oleh contoh sebelumnya, lazimnya $A$ dipandang sebagai subhimpunan dari $A \oplus B$ . Selanjutnya kita akan melakukan ini tanpa menyebutkannya lagi.

Notasi 14.2.3.

Untuk suatu elemen $c$ dari aljabar $A$ tetapkan $I_c := \biggl\{a_0c + cb_0 + \sum_{k=1}^p a_kcb_k \colon p \in \mathbb{N},\ a_0, \dots, a_p, b_0, \dots, b_p \in A\biggr\}$

Proposisi 14.2.4.

Jika $c$ merupakan elemen dari aljabar $A$ , maka $I_c$ merupakan ideal (aljabar) dalam $A$ .

Perhatikan bahwa dalam proposisi sebelumnya tidak dinyatakan bahwa ideal aljabar $I_c$ harus sejati. Sangat mungkin $I_c = A$ (misalnya, ketika $c$ merupakan elemen invertibel dari aljabar beridentitas).

Definisi 14.2.5.

Misalkan $c$ suatu elemen dari aljabar- $C^*$ $A$ . Definisikan $J_c$ , yakni ideal utama yang memuat $c$ , sebagai irisan dari keluarga semua ideal (tertutup) dalam $A$ yang memuat $c$ . Jelas bahwa $J_c$ merupakan ideal terkecil yang memuat $c$ .

Proposisi 14.2.6.

Dalam suatu aljabar- $C^*$ , tutupan suatu ideal aljabar merupakan ideal.

Contoh 14.2.7.

Tutupan suatu ideal aljabar sejati dalam aljabar- $C^*$ tidak harus merupakan ideal sejati. Sebagai contoh, $l_c$ , yaitu himpunan barisan bilangan kompleks yang pada akhirnya nol, padat dalam aljabar- $C^*$ $l_0 = \mathcal{C}_0(\mathbb{N})$ . (Namun, ingat proposisi 11.1.1.)

Proposisi 14.2.8.

Jika $c$ suatu elemen dari aljabar- $C^*$ , maka $J_c = \overline{I_c}$ .

Notasi 14.2.9.

Kita menggunakan suatu konvensi notasi standar. Jika $A$ dan $B$ merupakan subhimpunan tak kosong dari suatu aljabar, maka $AB$ berarti rentang linear dari hasil kali elemen-elemen dalam $A$ dan elemen-elemen dalam $B$ ; yaitu, $AB = \mathop{\mathrm{span}}\{ab \colon \text{$a \in A$ dan $b \in B$}\}$ . (Perhatikan bahwa dalam definisi 5.7.9 tidak ada bedanya apakah $AJ$ diartikan sebagai himpunan hasil kali elemen-elemen dalam $A$ dengan elemen-elemen dalam $J$ atau rentang dari himpunan tersebut.)

Proposisi 14.2.10.

Jika $I$ dan $J$ merupakan ideal dalam suatu aljabar- $C^*$ , maka $\overline{IJ} = I \cap J$ .

Suatu aljabar- $C^*$ tak beridentitas $A$ dapat dibenamkan sebagai ideal dalam aljabar- $C^*$ beridentitas melalui berbagai cara. Aljabar- $C^*$ beridentitas terkecil yang memuat $A$ adalah unitalisasinya $\widetilde{A}$ (lihat proposisi 12.3.4). Tentu saja tidak ada aljabar- $C^*$ beridentitas terbesar tempat $A$ dapat dibenamkan sebagai ideal, sebab jika $A$ dibenamkan sebagai ideal dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $B$ dan $C$ adalah sebarang aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $A$ merupakan ideal dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $B \oplus C$ yang lebih besar lagi. Alasan unitalisasi yang lebih besar ini tidak begitu menarik adalah karena irisan ideal $C$ dengan $A$ ialah $\{\mathbf{0}\}$ . Hal ini memotivasi definisi berikut.

Definisi 14.2.11.

Suatu ideal $J$ dalam aljabar- $C^*$ $A$ disebut esensial jika dan hanya jika $I \cap J \ne \mathbf{0}$ untuk setiap ideal tak nol $I$ dalam $A$ .

Contoh 14.2.12.

Suatu aljabar- $C^*$ $A$ merupakan ideal esensial dalam unitalisasinya $\widetilde{A}$ jika dan hanya jika $A$ tidak beridentitas.

Contoh 14.2.13.

Jika $H$ suatu ruang Hilbert, maka ideal operator kompak $\mathfrak{K}(H)$ merupakan ideal esensial dalam aljabar- $C^*$ $\mathfrak{B}(H)$ .

Definisi 14.2.14.

Misalkan $J$ suatu ideal dalam aljabar- $C^*$ $A$ . Kita mendefinisikan $J^\perp$ , yakni anihilator dari $J$ , sebagai $\bigl\{a \in A\colon Ja = \{\mathbf{0}\}\bigr\}$ .

Proposisi 14.2.15.

Jika $J$ suatu ideal dalam aljabar- $C^*$ , maka $J^\perp$ juga demikian.

Proposisi 14.2.16.

Suatu ideal $J$ dalam aljabar- $C^*$ $A$ bersifat esensial jika dan hanya jika $J^\perp = \{\mathbf{0}\}$ .

Proposisi 14.2.17.

Jika $J$ suatu ideal dalam aljabar- $C^*$ , maka $\bigl(J \oplus J^\perp\bigr)^\perp = \{\mathbf{0}\}$ .

Notasi 14.2.18.

Misalkan $f$ suatu fungsi bernilai kompleks (atau real) pada himpunan $S$ . Maka $Z_f := \{ s \in S\colon f(s) = 0\}.$ Ini adalah himpunan nol dari $f$ .

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ komutatif tak beridentitas. Menurut teorema Gelfand–Naimark kedua 12.3.14, terdapat suatu ruang Hausdorff kompak lokal tak kompak $X$ sedemikian sehingga $A = \mathcal{C}_0(X)$ . (Di sini, tentu saja, kita membolehkan diri melakukan penyalahgunaan bahasa yang lazim: secara harfiah, persamaan yang ditunjukkan itu seharusnya berupa isomorfisme- $*\,$ isometrik.) Sekarang misalkan $Y$ suatu ruang Hausdorff kompak yang memuat $X$ sebagai subhimpunan terbuka dan misalkan $B = \mathcal{C}(Y)$ . Maka $B$ suatu aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas. Pandang $A$ sebagai ideal dalam $B$ melalui pemetaan $\iota\colon A \rightarrow B\colon f \mapsto \widetilde{f}$ dengan $\widetilde{f}(y) = \left\{% \begin{array}{ll} f(y), & \text{jika } y \in X; \\ 0, & \text{selainnya.} \\ \end{array}% \right.$ Perhatikan bahwa himpunan tertutup $X^c$ adalah $\bigcap\{Z_{\widetilde{f}}\,\colon f \in \mathcal{C}_0(X)\}$ .

Proposisi 14.2.19.

Gunakan notasi seperti pada paragraf sebelumnya. Maka ideal $A$ bersifat esensial dalam $B$ jika dan hanya jika subhimpunan terbuka $X$ padat dalam $Y$ .

Dengan demikian, sifat esensial suatu ideal dalam konteks unitalisasi aljabar- $C^*$ komutatif tak beridentitas berkorespondensi secara tepat dengan sifat suatu subruang terbuka yang padat dalam konteks kompaktifikasi ruang Hausdorff kompak lokal tak kompak.

Kompaktifikasi dan Unitalisasi

Dalam definisi 12.3.6, objek yang keberadaannya dibuktikan dalam proposisi sebelumnya 12.3.4 kita sebut “unitalisasi” dari suatu aljabar- $C^*$ . Penyebutan seolah-olah tunggal tersebut jelas menyesatkan. Sebagaimana ruang topologis dapat memiliki banyak kompaktifikasi berbeda, suatu aljabar- $C^*$ dapat memiliki banyak unitalisasi. Jika $A$ merupakan aljabar- $C^*$ komutatif tak beridentitas, jelas dari akibat 12.6.15 bahwa unitalisasi $\widetilde{A}$ adalah unitalisasi terkecil yang mungkin dari $A$ . Demikian pula, dalam topologi, jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal tak kompak, maka kompaktifikasi satu titiknya jelas merupakan kompaktifikasi terkecil yang mungkin dari $X$ . Ingat bahwa dalam proposisi 12.3.19 kita membuktikan bahwa membangun unitalisasi terkecil dari $A$ “pada dasarnya” sama dengan membangun kompaktifikasi terkecil dari $X$ .

Kadang-kadang lebih nyaman (seperti, misalnya, pada paragraf sebelumnya) untuk mengambil suatu “unitalisasi” dari aljabar yang sudah beridentitas dan kadang-kadang lebih nyaman untuk mengambil suatu “kompaktifikasi” dari ruang yang sudah kompak. Karena tampaknya tidak ada istilah yang diterima secara universal, saya memperkenalkan bahasa berikut (jelas tidak standar, tetapi saya harap berguna).

Definisi 14.3.1.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ serta $X$ dan $Y$ ruang topologis Hausdorff. Kita mengatakan bahwa

$B$ merupakan suatu unitalisasi dari $A$ jika $B$ beridentitas dan $A$ ( $*\,$ -isomorfik dengan) suatu subaljabar- $C^*$ dari $B$ ;
$B$ merupakan suatu unitalisasi esensial dari $A$ jika $B$ beridentitas dan $A$ ( $*\,$ -isomorfik dengan) suatu ideal esensial dari $B$ ;
$Y$ merupakan suatu kompaktifikasi dari $X$ jika ruang itu kompak dan $X$ (homeomorfik dengan) suatu subruang dari $Y$ ; dan
$Y$ merupakan suatu kompaktifikasi esensial dari $X$ jika ruang itu kompak dan $X$ (homeomorfik dengan) suatu subruang padat dari $Y$ .

Kiranya beberapa kata perlu disampaikan mengenai bagian-bagian dalam tanda kurung pada definisi sebelumnya. Jarang terjadi bahwa suatu ruang topologis $X$ secara harfiah merupakan subhimpunan dari kompaktifikasi tertentu atas $X$ atau bahwa suatu aljabar- $C^*$ $A$ merupakan subhimpunan dari unitalisasi tertentu atas $A$ . Walaupun tentu benar bahwa sering kali lebih nyaman untuk memandang satu aljabar- $C^*$ sebagai subhimpunan dari aljabar lain ketika sebenarnya yang pertama hanya $*\,$ -isomorfik dengan subhimpunan dari yang kedua, ada pula keadaan ketika perincian menjadi lebih jelas jika pembenaman yang sesungguhnya ditentukan. Jika rincian perbedaan ini belum sepenuhnya akrab, dua definisi berikut dimaksudkan untuk membantu.

Definisi 14.3.2.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ . Kita mengatakan bahwa $A$ dibenamkan dalam $B$ jika terdapat suatu homomorfisme- $*\,$ injektif $\iota\colon A \rightarrow B$ ; yaitu, jika $A$ isomorfik- $*\,$ dengan suatu subaljabar- $C^*$ dari $B$ (lihat proposisi 12.6.9 dan 12.3.17). Homomorfisme- $*\,$ injektif $\iota$ merupakan suatu pembenaman dari $A$ ke dalam $B$ . Dalam situasi ini lazimnya $A$ dan jangkauan $\iota$ diperlakukan sebagai aljabar- $C^*$ yang identik. Pasangan $(B,\iota)$ merupakan suatu unitalisasi dari $A$ jika $B$ merupakan aljabar- $C^*$ beridentitas dan $\iota\colon A \rightarrow B$ merupakan suatu pembenaman. Unitalisasi $(B,\iota)$ bersifat esensial jika jangkauan $\iota$ merupakan ideal esensial dalam $B$ .

Definisi 14.3.3.

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang topologis Hausdorff. Kita mengatakan bahwa $X$ dibenamkan dalam $Y$ jika terdapat homeomorfisme $j$ dari $X$ ke suatu subruang dari $Y$ . Homeomorfisme $j$ merupakan suatu pembenaman dari $X$ ke dalam $Y$ . Seperti dalam aljabar- $C^*$ , lazimnya jangkauan $j$ diidentifikasi dengan ruang $X$ . Pasangan $(Y,j)$ merupakan suatu kompaktifikasi dari $X$ jika $Y$ suatu ruang Hausdorff kompak dan $j\colon X \rightarrow Y$ merupakan suatu pembenaman. Kompaktifikasi $(Y,j)$ bersifat esensial jika jangkauan $j$ padat dalam $Y$ .

Kita telah membahas unitalisasi terkecil dari suatu aljabar- $C^*$ dan kompaktifikasi terkecil dari suatu ruang Hausdorff kompak lokal. Sekarang, bagaimana dengan aljabar beridentitas terbesar, atau bahkan maksimal, yang memuat $A$ ? Jelas bahwa objek seperti itu tidak ada, sebab jika $B$ suatu aljabar beridentitas yang memuat $A$ , maka $B \oplus C$ juga demikian, dengan $C$ sebarang aljabar- $C^*$ beridentitas. Demikian pula, tidak ada ruang kompak terbesar yang memuat $X$ : jika $Y$ suatu ruang kompak yang memuat $X$ , maka gabungan saling lepas topologis $Y \uplus K$ juga demikian, dengan $K$ sebarang ruang kompak tak kosong. Namun, masuk akal untuk menanyakan apakah terdapat suatu unitalisasi esensial maksimal dari aljabar- $C^*$ atau suatu kompaktifikasi esensial maksimal dari ruang Hausdorff kompak lokal. Jawabannya adalah ya dalam kedua kasus. Kompaktifikasi Stone–Čech $\beta(X)$ yang terkenal bersifat maksimal di antara kompaktifikasi esensial dari ruang Hausdorff kompak lokal tak kompak $X$ . Perinciannya dapat ditemukan dalam sebarang buku teks topologi yang baik. Salah satu uraian standar yang mudah dibaca adalah [53], butir 19.3–19.12. Pendekatan yang lebih canggih menggunakan sebagian analisis fungsional—lihat, misalnya, [8], bab V, bagian 6. Ternyata terdapat pula unitalisasi esensial maksimal dari suatu aljabar- $C^*$ tak beridentitas $A$ —objek ini disebut aljabar pengali dari $A$ .

Kita mengatakan bahwa suatu unitalisasi esensial $M$ dari aljabar- $C^*$ $A$ bersifat maksimal jika setiap aljabar- $C^*$ yang memuat $A$ sebagai ideal esensial dapat dibenamkan dalam $M$ . Berikut pernyataan yang lebih formal.

Definisi 14.3.4.

Suatu unitalisasi esensial $(M,j)$ dari aljabar- $C^*$ $A$ disebut maksimal jika untuk setiap pembenaman $\iota\colon A \rightarrow B$ yang jangkauannya merupakan ideal esensial dalam $B$ , terdapat homomorfisme- $*\,$ $\phi\colon B \rightarrow M$ sedemikian sehingga $\phi \circ \iota = j$ .

Proposisi 14.3.5.

Dalam definisi sebelumnya, homomorfisme- $*\,$ $\phi$ , jika ada, harus injektif.

Proposisi 14.3.6.

Dalam definisi sebelumnya, homomorfisme- $*\,$ $\phi$ , jika ada, harus tunggal.

Bandingkan definisi berikut dengan 13.2.1.

Definisi 14.3.7.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ , dan $V$ modul Hilbert- $A$ . Pemetaan $\phi\colon B \rightarrow\mathfrak{L}(V)$ yang merupakan homomorfisme- $*\,$ disebut tak terdegenerasi jika $\phi^\rightarrow(B)\,V$ padat dalam $V$ .

Proposisi 14.3.8.

Misalkan $A$ , $B$ , dan $J$ aljabar- $C^*$ , $V$ suatu modul Hilbert- $B$ , serta $\iota\colon J \rightarrow A$ suatu homomorfisme- $*\,$ injektif yang jangkauannya merupakan ideal dalam $A$ . Jika $\phi\colon J \rightarrow\mathfrak{L}(V)$ suatu homomorfisme- $*\,$ tak terdegenerasi, maka terdapat perpanjangan tunggal dari $\phi$ menjadi homomorfisme- $*\,$ $\overline\phi\colon A \rightarrow \mathfrak{L}(V)$ yang memenuhi $\overline\phi \circ \iota = \phi$ .

Proposisi 14.3.9.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ tak nol, maka $(\mathfrak{L}(A),L)$ merupakan unitalisasi esensial maksimal dari $A$ . Unitalisasi ini tunggal dalam arti bahwa jika $(M,j)$ merupakan unitalisasi esensial maksimal lain dari $A$ , maka terdapat suatu isomorfisme- $*\,$ $\phi \colon M \rightarrow\mathfrak{L}(A)$ sedemikian sehingga $\phi \circ j = L$ .

Definisi 14.3.10.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Kita mendefinisikan aljabar pengali dari $A$ sebagai keluarga $\mathfrak{L}(A)$ operator yang dapat diadjoinkan pada $A$ . Mulai sekarang kita menyatakan keluarga ini dengan $M(A)$ .