Bab 10 · Distribusi

Limit Induktif

Definisi 10.1.1.

Misalkan $D$ suatu himpunan terarah terhadap pengurutan parsial $\le$ dan misalkan $\{A_i\colon i \in D\}$ suatu keluarga objek dalam suatu kategori $\mathbf{C}$ . Anggap bahwa untuk setiap $i$ , $j \in D$ dengan $i \le j$ terdapat suatu morfisme $\phi_{j,i}\colon A_i \rightarrow A_j$ yang memenuhi $\phi_{ki} = \phi_{kj}\phi_{ji}$ setiap kali $i \le j \le k$ dalam $D$ . Anggap pula bahwa $\phi_{ii}$ adalah pemetaan identitas pada $A_i$ untuk setiap $i \in D$ . Maka keluarga berindeks $\mathbf{A} = \bigl(A_i\bigr)_{i \in D}$ dari objek-objek bersama keluarga berindeks $\boldsymbol{\phi }= \bigl(\phi_{ji}\bigr)$ dari morfisme penghubung disebut suatu sistem terarah dalam $\mathbf{C}$ .

Definisi 10.1.2.

Misalkan pasangan $(\mathbf{A}, \boldsymbol{\phi})$ suatu sistem terarah (seperti di atas) dalam kategori $\mathbf{C}$ yang himpunan terarah dasarnya adalah $D$ . Suatu limit induktif (atau limit langsung) dari sistem $(\mathbf{A},\boldsymbol{\phi})$ adalah pasangan $(L,\boldsymbol{\mu})$ dengan $L$ suatu objek dalam $\mathbf{C}$ dan $\boldsymbol{\mu }= \bigl(\mu_i\bigr)_{i \in D}$ suatu keluarga morfisme $\mu_j\colon A_j \rightarrow L$ dalam $\mathbf{C}$ yang memenuhi

$\mu_i = \mu_j \phi_{ji}$ setiap kali $i \le j$ dalam $D$ , dan
jika $(M,\boldsymbol{\lambda})$ suatu pasangan dengan $M$ suatu objek dalam $\mathbf{C}$ dan $\boldsymbol{\lambda }= \bigl(\lambda_i\bigr)_{i \in D}$ adalah suatu keluarga berindeks morfisme $\lambda_j\colon A_j \rightarrow M$ dalam $\mathbf{C}$ yang memenuhi $\lambda_i = \lambda_j\phi_{ji}$ setiap kali $i \le j$ dalam $D$ , maka terdapat morfisme tunggal $\psi\colon L \rightarrow M$ sedemikian sehingga $\lambda_i = \psi\mu_i$ untuk setiap $i \in D$ .

Dengan penyalahgunaan bahasa yang lazim, biasanya kita mengatakan bahwa $L$ adalah limit induktif dari sistem $\mathbf{A} = (A_i)$ dan menulis $L = \underrightarrow{\lim} A_i$ .

Diagram sifat universal limit induktif bagi sistem berarah. Untuk i kurang dari atau sama dengan j, panah phi sub-j-i berjalan dari A sub-i ke A sub-j. Pemetaan mu sub-i dan mu sub-j menuju L, sedangkan lambda sub-i dan lambda sub-j menuju M, semuanya serasi dengan phi sub-j-i. Ada satu-satunya panah putus-putus psi dari L ke M; seluruh diagram komutatif, yakni lambda sub-i sama dengan psi setelah mu sub-i untuk setiap i. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Dalam suatu kategori (konkret) sebarang, limit induktif belum tentu ada. Namun, jika ada, limit tersebut tunggal.

Proposisi 10.1.3.

Limit induktif (jika ada dalam suatu kategori) bersifat tunggal (hingga isomorfisme).

Contoh 10.1.4.

Misalkan $S$ suatu objek tak kosong dalam kategori $\mathbf{SET}$ . Tinjau keluarga $\mathfrak{P}(S)$ dari semua himpunan bagian $S$ yang diarahkan oleh pengurutan parsial $\subseteq$ . Setiap kali $A \subseteq B \subseteq S$ , ambil morfisme penghubung $\iota_{{}_{\scriptstyle{BA}}}$ sebagai pemetaan inklusi dari $A$ ke $B$ . Maka $\mathfrak{P}(S)$ , bersama keluarga morfisme penghubung, membentuk suatu sistem terarah. Limit induktif dari sistem ini adalah $S$ .

Contoh 10.1.5.

Limit langsung ada dalam kategori $\mathbf{VEC}$ dari ruang vektor dan pemetaan linear.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $(\mathbf{V}, \boldsymbol{\phi})$ suatu sistem terarah dalam $\mathbf{VEC}$ (seperti dalam definisi 10.1.1) dan $D$ adalah himpunan terarah dasarnya. Misalkan $W=\bigoplus_{i\in D}V_i$ dan $\iota_i\colon V_i\rightarrow W$ inklusi kanonik. Tetapkan $N=\operatorname{span}\{\iota_i(u)-\iota_j(\phi_{ji}(u)): i\le j,\quad u\in V_i\}.$ Ambil $L=W/N$ dan $\mu_i=q\circ\iota_i$ , dengan $q\colon W\rightarrow W/N$ pemetaan hasil bagi, lalu verifikasikan sifat universalnya (lihat contoh 3.5.10 dan 3.6.10). ◻

Contoh 10.1.6.

Barisan $\mathbb{Z}\to^{\mathbf{1}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{3}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{4}} \dots$ (dengan $\mathbf{n} \colon \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ memenuhi $\mathbf{n}(1) = n$ ) merupakan suatu barisan induktif grup-grup Abelian yang limit induktifnya adalah himpunan $\mathbb{Q}$ dari bilangan rasional.

Contoh 10.1.7.

Barisan $\mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \dots$ merupakan suatu barisan induktif grup-grup Abelian yang limit induktifnya adalah himpunan bilangan rasional diadik.

Ruang- $LF$

Karena tujuan utama kita dalam bab ini adalah pengantar teori distribusi, mulai sekarang kita akan membatasi perhatian pada jenis limit induktif yang sangat sederhana—limit induktif ketat dari suatu barisan induktif. Secara khusus, kita akan tertarik pada limit induktif ketat dari barisan ruang Fréchet yang meningkat.

Ingat bahwa topologi lemah pada suatu himpunan $S$ diinduksi oleh suatu keluarga fungsi $f_\alpha \colon S \rightarrow X_\alpha$ yang memetakan ke ruang-ruang topologis. Topologi ini adalah topologi terlemah pada $S$ yang membuat semua fungsi tersebut kontinu (lihat latihan 4.6.2). Gagasan dualnya adalah topologi kuat, yakni topologi yang diinduksi oleh suatu keluarga fungsi yang memetakan dari ruang-ruang topologis $X_\alpha$ ke dalam $S$ . Topologi ini adalah topologi terkuat yang membuat semua fungsi tersebut kontinu. Salah satu topologi kuat yang telah kita jumpai adalah topologi hasil bagi (lihat proposisi 9.4.5). Contoh penting lainnya, yang akan kita perkenalkan berikutnya, adalah topologi limit induktif.

Definisi 10.2.1.

Suatu barisan induktif ketat adalah barisan $(X_i)$ ruang konveks lokal sedemikian sehingga untuk setiap $i \in \mathbb{N}$

$X_i$ adalah subruang tertutup dari $X_{i+1}$ dan
topologi $\mathfrak{T}_i$ pada $X_i$ adalah pembatasan topologi $\mathfrak{T}_{i+1}$ pada $X_i$ .

Ini, tentu saja, merupakan sistem terarah dengan morfisme penghubung $\phi_{ji}$ yang tidak lain adalah pemetaan inklusi dari $X_i$ ke $X_j$ untuk $i < j$ .

Yang disebut limit induktif ketat dari barisan ruang semacam itu adalah gabungannya $L = \bigcup_{i=1}^\infty X_i$ . Kita memberi $L$ topologi konveks lokal terbesar yang membuat semua pemetaan inklusi $\psi_i\colon X_i \rightarrow L$ kontinu. Inilah topologi limit induktif pada $L$ .

Proposisi 10.2.2.

Topologi limit induktif yang didefinisikan di atas ada.

Definisi 10.2.3.

Limit induktif ketat dari suatu barisan ruang Fréchet disebut ruang- $LF$ .

Contoh 10.2.4.

Ruang $\mathcal{D}(\Omega) = \mathcal{C}^\infty_c(\Omega)$ dari fungsi uji pada suatu himpunan terbuka $\Omega$ dalam ruang Euklides adalah ruang- $LF$ (lihat notasi 9.6.10).

Proposisi 10.2.5.

Setiap ruang- $LF$ lengkap.

Bukti.

Proof. Lihat [49], Teorema 13.1. ◻

Proposisi 10.2.6.

Misalkan $T\colon L \rightarrow Y$ suatu pemetaan linear dari ruang- $LF$ ke ruang konveks lokal. Andaikan bahwa $L = \underrightarrow{\lim}X_k$ dengan $(X_k)$ suatu barisan induktif ketat ruang Fréchet. Maka $T$ kontinu jika dan hanya jika pembatasannya $T\bigr|_{X_k}$ pada setiap $X_k$ kontinu.

Bukti.

Proof. Lihat [49], Proposisi 13.1, atau [8], Proposisi IV.5.7, atau [21], Teorema B.18(c). ◻

Perhatian.

François Treves, dalam bukunya yang ditulis dengan indah, Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, memperingatkan para pembacanya tentang suatu kekeliruan yang sangat sulit dikenali: orang mudah sekali menganggap bahwa jika $M$ adalah subruang vektor tertutup dari ruang- $LF$ $L = \underrightarrow{\lim}X_k$ , maka topologi yang diwarisi $M$ dari $L$ pasti sama dengan topologi limit induktif yang diperolehnya dari barisan induktif ketat ruang Fréchet $M \cap X_k$ . Ternyata hal ini tidak benar secara umum.

Proposisi 10.2.7.

Misalkan $T\colon L \rightarrow Y$ suatu pemetaan linear dari ruang- $LF$ ke ruang konveks lokal. Maka $T$ kontinu jika dan hanya jika pemetaan tersebut kontinu sekuensial.

Distribusi

Definisi 10.3.1.

Misalkan $\Omega$ suatu himpunan bagian terbuka tak kosong dari $\mathbb{R}^n$ . Suatu fungsi $f\colon \Omega \rightarrow\mathbb{R}$ disebut terintegralkan secara lokal jika $\int_K \lvert f\rvert\,d\mu < \infty$ untuk setiap himpunan bagian kompak $K$ dari $\Omega$ . (Di sini $\mu$ adalah ukuran Lebesgue berdimensi- $n$ yang biasa.) Keluarga semua fungsi tersebut pada $\Omega$ dinotasikan dengan $\mathrm{L_1^{loc}}({\Omega})$ .

Contoh 10.3.2.

Fungsi konstan $\mathbf{1}$ pada garis real terintegralkan secara lokal, meskipun fungsi ini jelas tidak terintegralkan.

Bahkan fungsi yang terintegralkan secara lokal tidak harus kontinu. Pada garis real, misalnya, fungsi karakteristik dari sebarang himpunan terukur Lebesgue terintegralkan secara lokal. Bayangkan betapa memudahkannya jika kita dapat membicarakan secara bermakna turunan dari sebarang fungsi demikian dan, lebih baik lagi, diperbolehkan menurunkannya sesering yang kita inginkan. — Selamat datang di dunia distribusi. Di sini

setiap fungsi yang terintegralkan secara lokal dapat dipandang sebagai suatu distribusi, dan
setiap distribusi dapat diturunkan tak berhingga kali, dan lebih lanjut,
semua aturan diferensiasi yang lazim dalam kalkulus dasar berlaku.

Definisi 10.3.3.

Misalkan $\Omega$ suatu himpunan bagian terbuka tak kosong dari $\mathbb{R}^n$ . Suatu distribusi adalah fungsional linear kontinu pada ruang fungsi uji $\mathcal{D}(\Omega) = \mathcal{C}^\infty_c(\Omega)$ pada $\Omega$ . Meskipun secara teknis fungsional demikian didefinisikan pada suatu ruang fungsi pada $\Omega$ , kita akan mengikuti kebiasaan longgar yang lazim dan menyebutnya sebagai distribusi pada $\Omega$ . Himpunan semua distribusi pada $\Omega$ , yaitu ruang dual dari $\mathcal{D}(\Omega)$ , akan dinotasikan dengan $\mathcal{D}^*(\Omega)$ .

Proposisi 10.3.4.

Misalkan $\Omega$ suatu himpunan bagian terbuka dari $\mathbb{R}^n$ . Suatu fungsional linear $L$ pada ruang fungsi uji $\mathcal{D}(\Omega)$ pada $\Omega$ adalah distribusi jika dan hanya jika $L(\phi_k) \rightarrow 0$ setiap kali $(\phi_k)$ merupakan barisan fungsi uji sedemikian sehingga $\phi_k^{(\boldsymbol{\alpha})} \rightarrow 0$ secara seragam untuk setiap multi-indeks $\boldsymbol{\alpha}$ dan terdapat suatu himpunan kompak $K \subseteq \Omega$ yang memuat tumpuan setiap $\phi_k$ .

Bukti.

Proof. Lihat [8], proposisi IV.5.21 atau [49], proposisi 21.1(b). ◻

Contoh 10.3.5.

Jika $\Omega$ suatu himpunan bagian terbuka tak kosong dari $\mathbb{R}^n$ dan $f$ suatu fungsi yang terintegralkan secara lokal pada $\Omega$ , maka pemetaan $L_f\colon \mathcal{D}(\Omega) \rightarrow\mathbb{K}\colon \phi \mapsto \int f\phi\,d\lambda$ merupakan suatu distribusi. Distribusi demikian disebut distribusi regular. Distribusi yang tidak regular disebut distribusi singular.

Catatan. Misalkan $u$ suatu distribusi dan $\phi$ suatu fungsi uji pada $\Omega$ . Notasi baku untuk $u(\phi)$ adalah $\langle u,\phi \rangle$ dan $\langle \phi,u \rangle$ . Kita juga menggunakan notasi $\tilde f$ untuk $L_f$ . Jadi, dalam contoh sebelumnya,

$\langle \tilde f,\phi \rangle = \langle \phi,\tilde f \rangle = \tilde f(\phi) = \langle L_f,\phi \rangle = \langle \phi,L_f \rangle = L_f(\phi)$ untuk $f \in \mathrm{L_1^{loc}}({\Omega})$ .

Contoh 10.3.6.

Jika $\mu$ suatu ukuran Borel regular pada himpunan bagian terbuka tak kosong $\Omega$ dari $\mathbb{R}^n$ dan $f$ suatu fungsi yang terintegralkan secara lokal terhadap ukuran tersebut pada $\Omega$ , maka pemetaan $L_\mu\colon \mathcal{D}(\Omega) \rightarrow\mathbb{R}\colon \phi \mapsto \int_\Omega f\phi \,d\mu$ merupakan suatu distribusi pada $\Omega$ .

Notasi 10.3.7.

Misalkan $a \in \mathbb{R}$ . Definisikan $\mu_a$ , yaitu ukuran Dirac yang terkonsentrasi di $a$ , pada himpunan-himpunan Borel dari $\mathbb{R}$ , dengan $\mu_a(B) = \begin{cases} 1, &\text{jika $a \in B$} \\ 0, &\text{jika $a \notin B$}. \end{cases}$ Distribusi yang bersesuaian kita notasikan dengan $\delta_a$ dan kita sebut distribusi delta Dirac di $a$ . Jadi, $\delta_a = L_{\mu_a}$ . Jika $a = 0$ , kita menulis $\delta$ untuk $\delta_0$ . Secara historis, distribusi $\delta$ telah menyandang nama yang terkenal menyesatkan (meskipun secara teknis tidak salah): fungsi delta Dirac.

Contoh 10.3.8.

Jika $\delta_a$ adalah distribusi delta Dirac di suatu titik $a \in \mathbb{R}$ dan $\phi$ suatu fungsi uji pada $\mathbb{R}$ , maka $\delta_a(\phi) = \phi(a)$ .

Notasi 10.3.9.

Misalkan $H$ menyatakan fungsi karakteristik interval $[0,\infty)$ . Fungsi ini adalah fungsi Heaviside. Distribusi yang bersesuaian, $\widetilde H = L_H$ , adalah distribusi Heaviside.

Contoh 10.3.10.

Jika $\widetilde{H}$ adalah distribusi Heaviside dan $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , maka $\widetilde{H}(\phi) = \int_0^\infty \phi$ .

Contoh 10.3.11.

Misalkan $f$ suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada $\mathbb{R}$ dan turunannya terintegralkan secara lokal. Maka $\begin{equation} \label{deriv_reg_distr} L_{f\,'}(\phi) = -L_f(\phi\,') \end{equation}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Integrasi parsial. ◻

Sekarang timbul sebuah pertanyaan penting: Bagaimana kita dapat mendefinisikan “turunan” suatu distribusi? Tentunya wajar jika kita menginginkan suatu distribusi regular berperilaku hampir sama dengan fungsi yang melahirkannya. Artinya, kita ingin turunan $(L_f)'$ dari suatu distribusi regular $L_f$ bersesuaian dengan distribusi regular yang timbul dari turunan fungsi $f$ . Dengan kata lain, yang kita inginkan adalah $(L_f)' = L_{f\,'}$ . Menurut contoh sebelumnya, ini menyarankan bahwa untuk fungsi $f$ yang dapat didiferensialkan yang turunannya terintegralkan secara lokal, kita seharusnya mendefinisikan $\begin{equation} \label{deriv_distr1} (L_f)'(\phi) = -L_f(\phi\,') \end{equation}$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ . Pengamatan bahwa ruas kanan persamaan 10.3.2 bermakna untuk distribusi apa pun memotivasi definisi berikut.

Definisi 10.3.12.

Misalkan $u$ suatu distribusi pada himpunan bagian terbuka tak kosong $\Omega$ dari $\mathbb{R}$ . Kita mendefinisikan $u\,'$ , yaitu turunan dari $u$ , dengan $u\,'(\phi) := -u(\phi\,')$ untuk setiap fungsi uji $\phi$ pada $\Omega$ . Kita juga menggunakan notasi $Du$ untuk turunan dari $u$ .

Contoh 10.3.13.

Distribusi Dirac $\delta$ adalah turunan dari distribusi Heaviside $\widetilde H$ .

Latihan 10.3.14.

Misalkan $S$ suatu fungsi signum (atau tanda) pada $\mathbb{R}$ ; artinya, misalkan $S = 2H - 1$ , dengan $H$ fungsi Heaviside. Misalkan pula $g$ suatu fungsi pada $\mathbb{R}$ sedemikian sehingga $g\colon x \mapsto -x - 3$ untuk $x < 0$ dan $g\colon x \mapsto x + 5$ untuk $x \ge 0$ .

Carilah konstanta $\alpha$ dan $\beta$ sedemikian sehingga ${\tilde g}' = \alpha \widetilde S + \beta \delta$ .
Carilah suatu fungsi $a$ pada $\mathbb{R}$ sedemikian sehingga ${\tilde a}' = \widetilde{S}$ .

Latihan 10.3.15.

Misalkan $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 - \lvert x\rvert, & \text{jika } \lvert x\rvert \le 1; \\ 0, & \text{selain itu.} \end{array} \right.$ Dengan menghitung kedua ruas persamaan 10.3.1 secara terpisah, tunjukkan bahwa persamaan itu benar secara klasik untuk setiap fungsi uji yang tumpuannya termuat dalam interval $[-1,1]$ .

Latihan 10.3.16.

Misalkan $f(x) = \chi_{{}_{\scriptstyle{(0,1)}}}$ untuk $x \in~\mathbb{R}$ dan $\phi \in \mathcal{D}\bigl((-1,1)\bigr)$ . Bandingkan nilai $L_{f\,'}(\phi)$ dan $\bigl(L_f\bigr)'(\phi)$ .

Latihan 10.3.17.

Misalkan $f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x, & \text{jika } 0 \le x \le 1; \\ x + 2, & \text{jika } 1 < x \le 2; \\ 0, & \text{selain itu.} \end{array} \right.$ Bandingkan nilai $L_{f\,'}(\phi)$ dan $\bigl(L_f\bigr)'(\phi)$ untuk suatu fungsi uji $\phi$ .

Latihan 10.3.18.

Misalkan $h(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x, & \text{jika } x < -1; \\ 1, & \text{jika } -1 \le x < 1; \\ 0, & \text{jika } x \ge 1. \end{array} \right.$ Carilah suatu fungsi $f$ yang terintegralkan secara lokal sedemikian sehingga ${\tilde f}\,' = \tilde h + 3\delta_1 - \delta_{-1}$ .

Definisi 10.3.12 dapat diperluas ke turunan parsial dari distribusi tanpa kesulitan.

Definisi 10.3.19.

Misalkan $u$ suatu distribusi pada suatu himpunan bagian terbuka tak kosong $\Omega$ dari $\mathbb{R}^n$ untuk suatu $n \ge 2$ dan $\boldsymbol{\alpha}$ suatu multi-indeks. Kita mendefinisikan operator diferensial $D^{\boldsymbol{\alpha}} = \bigl(\frac{\partial}{\partial x_1}\bigr)^{\alpha_1} \dots \bigl(\frac{\partial}{\partial x_n}\bigr)^{\alpha_n}$ berorde $\lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert$ yang bekerja pada $u$ dengan $D^{\boldsymbol{\alpha}}u(\phi) := (-1)^{\lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert}u\bigl(\phi^{(\boldsymbol{\alpha})})$ untuk setiap fungsi uji $\phi$ pada $\Omega$ . Notasi alternatif untuk $D^{\boldsymbol{\alpha}}u$ adalah $u^{(\boldsymbol{\alpha})}$ .

Latihan 10.3.20.

Suatu dipol (dengan momen listrik 1 di titik asal pada $\mathbb{R}$ ) dapat dipandang sebagai “limit” ketika $\epsilon \rightarrow 0^+$ dari suatu sistem $T_\epsilon$ yang terdiri atas dua muatan $-\frac1\epsilon$ dan $\frac1\epsilon$ yang masing-masing ditempatkan di $0$ dan $\epsilon$ . Tunjukkan bagaimana hal ini dapat mengarahkan kita untuk mendefinisikan dipol secara matematis sebagai $-\delta\,'$ . Petunjuk. Pandanglah $T_\epsilon$ sebagai distribusi $\frac1\epsilon \delta_\epsilon - \frac1\epsilon \delta$ .

Definisi 10.3.21.

Misalkan $X$ suatu ruang konveks lokal Hausdorff dan $X^*$ ruang dualnya, yaitu ruang semua fungsional linear kontinu pada $X$ . Untuk setiap $f \in X^*$ definisikan $p_f\colon X \rightarrow\mathbb{K}\colon x \mapsto \lvert f(x)\rvert.$ Jelas bahwa setiap $p_f$ merupakan seminorma pada $X$ . Seperti dalam kasus ruang linear bernorma, kita mendefinisikan topologi lemah pada $X$ , yang dinotasikan dengan $\sigma(X,X^*)$ , sebagai topologi lemah yang dibangkitkan oleh keluarga seminorma $\{p_f\colon f \in X^*\}$ pada $X$ . Demikian pula, untuk setiap $x \in X$ definisikan $p_x\colon X^* \rightarrow\mathbb{K}\colon f \mapsto \lvert f(x)\rvert.$ Sekali lagi, setiap $p_x$ merupakan seminorma pada $X^*$ , dan kita mendefinisikan topologi- $w^*$ pada $X^*$ , yang dinotasikan dengan $\sigma(X^*,X)$ , sebagai topologi lemah yang dibangkitkan oleh keluarga seminorma $\{p_x\colon x \in X\}$ pada $X^*$ .

Proposisi 10.3.22.

Jika ruang distribusi $\mathcal{D}^*(\Omega)$ pada subhimpunan terbuka $\Omega$ dari $\mathbb{R}^n$ diberi topologi- $w^*$ , maka suatu jaring $(u_\lambda)$ distribusi pada $\Omega$ konvergen ke distribusi $v$ pada $\Omega$ jika dan hanya jika $\left\langle u_\lambda, \phi\right\rangle \rightarrow\left\langle v, \phi\right\rangle$ untuk setiap fungsi uji $\phi$ pada $\Omega$ .

Proposisi 10.3.23.

Andaikan suatu jaring $(u_\lambda)$ distribusi konvergen ke distribusi $v$ . Maka ${u_\lambda}^{(\alpha)} \rightarrow v^{(\alpha)}$ untuk setiap multi-indeks $\alpha$ .

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 6.17; atau [54], Bab II, Seksi 3, Teorema; atau [21], Teorema 3.9; atau [28], Bab 8, Proposisi 2.4. ◻

Proposisi 10.3.24.

Jika $g$ , $f_k \in \mathrm{L_1^{loc}}({\Omega})$ untuk setiap $k$ (dengan $\Omega\overset{\,_\circ}{\subseteq}\mathbb{R}^n$ ) dan $f_k \rightarrow g$ secara seragam pada setiap subhimpunan kompak dari $\Omega$ , maka $\tilde f_k \rightarrow\tilde g$ .

Proposisi 10.3.25.

Jika $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n)$ , maka $\left(L_f\right)^{(\boldsymbol{\alpha})} = L_{f^{(\boldsymbol{\alpha})}}$ untuk setiap multi-indeks $\boldsymbol{\alpha}$ .

Latihan 10.3.26.

Jika $\delta$ bukan suatu fungsi pada $\mathbb{R}$ , lalu apa yang dimaksud orang ketika mereka menulis $\lim_{k \rightarrow\infty} \frac{k}{\pi(1+k^2x^2)} = \delta(x)\quad?$ Tunjukkan bahwa, jika ditafsirkan dengan tepat (sebagai suatu pernyataan tentang distribusi), ungkapan itu bahkan benar. Petunjuk. Jika $s_k(x) = k\,\pi^{-1}(1+k^2x^2)^{-1}$ dan $\phi$ suatu fungsi uji pada $\mathbb{R}$ , maka $\int_{-\infty}^\infty s_k\phi = \int_{-\infty}^\infty s_k\phi(0) + \int_{-\infty}^\infty s_k\eta$ dengan $\eta(x) = \phi(x) - \phi(0)$ . Tunjukkan bahwa $\int_{-\infty}^\infty s_k\eta \rightarrow 0$ ketika $k \rightarrow\infty$ .

Latihan 10.3.27.

Misalkan $f_n(x) = \sin nx$ untuk $n \in \mathbb{N}$ dan $x \in \mathbb{R}$ . Barisan $(f_n)$ tidak konvergen secara klasik; tetapi barisan itu konvergen secara distribusional (ke $0$ ). Nyatakan pernyataan ini dengan tepat, lalu buktikan. Petunjuk. Carilah antiturunannya.

Proposisi 10.3.28.

Jika $\phi$ suatu fungsi mulus pada $\mathbb{R}$ dengan tumpuan kompak, maka $\lim_{n \rightarrow\infty}\frac2\pi \int_{-\infty}^\infty \frac{n^3x}{\bigl(1 + n^2x^2\bigr)^2}\,\, \phi(x)\,dx = \phi'(0)\,.$

Latihan 10.3.29.

Berikan makna pada ungkapan $2\pi\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x-2\pi n) = 1 + 2\sum_{n = 1}^\infty \cos nx\,,$ dan tunjukkan bahwa, jika ditafsirkan dengan tepat, ungkapan itu benar. Petunjuk. Siapa pun yang cukup bejat untuk percaya bahwa $\delta(x)$ berarti sesuatu kemungkinan akan menafsirkan $\delta(x-a)$ sebagai hal yang sama dengan $\delta_a(x)$ . Anda dapat memulai proses merasionalisasikannya dengan menghitung deret Fourier fungsi $g$ yang didefinisikan oleh $g(x) = \frac1{4\pi}x^2 - \frac12 x$ pada $[0,2\pi]$ dan kemudian diperluas secara periodik ke $\mathbb{R}$ . Anda mungkin perlu mencari teorema tentang konvergensi titik demi titik dan seragam dari deret Fourier serta tentang pendiferensialan suku demi suku deret semacam itu.

Definisi 10.3.30.

Misalkan $\Omega$ suatu subhimpunan terbuka dari $\mathbb{R}^n$ , $u \in \mathcal{D}^*(\Omega)$ , dan $f \in \mathcal{C}^\infty(\Omega)$ . Definisikan $(fu)(\phi) := u(f\phi)$ untuk semua fungsi uji $\phi$ pada $\Omega$ . Secara ekuivalen, kita dapat menulis $\langle fu,\phi \rangle = \langle u,f\phi \rangle$ .

Proposisi 10.3.31.

Fungsional $fu$ dalam definisi sebelumnya merupakan distribusi pada $\Omega$ .

Bukti.

Proof. Lihat [47], halaman 159, Seksi 6.15. ◻

Konvolusi

Seksi ini dan Seksi 10.6 memberikan pengantar yang sangat singkat tentang konvolusi dan transformasi Fourier distribusi. Untuk banyak pembuktian, serta uraian yang lebih terperinci, pembaca dirujuk ke buku Functional Analysis karya Walter Rudin yang elegan [47].

Untuk menghindari munculnya terlalu banyak faktor berbentuk $\sqrt{2\pi}$ beserta kebalikannya dalam rumus-rumus, selama sisa bab ini kita akan mengintegralkan terhadap ukuran Lebesgue ternormalisasi $m$ pada $\mathbb{R}$ . Ukuran ini didefinisikan oleh $m(A) := \frac1{\sqrt{2\pi}}\lambda(A)$ untuk setiap subhimpunan terukur Lebesgue $A$ dari $\mathbb{R}$ (dengan $\lambda$ ukuran Lebesgue biasa pada $\mathbb{R}$ ).

Kita meninjau kembali beberapa fakta dasar dari analisis real mengenai konvolusi fungsi bernilai skalar. Ingat bahwa suatu fungsi bernilai kompleks atau real diperluas pada $\mathbb{R}$ disebut terintegralkan Lebesgue jika $\int_\mathbb{R}\lvert f\rvert\, dm < \infty$ (dengan $m$ ukuran Lebesgue ternormalisasi pada $\mathbb{R}$ ). Dengan $\mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ kita nyatakan ruang Banach semua kelas ekuivalensi fungsi terintegralkan Lebesgue pada $\mathbb{R}$ ; dua fungsi ekuivalen jika ukuran Lebesgue himpunan tempat keduanya berbeda adalah nol. Norma pada ruang Banach ini diberikan oleh ${\lVert f\rVert}_1 := \int_\mathbb{R}\lvert f\rvert\,dm.$

Proposisi 10.4.1.

Misalkan $f$ dan $g$ fungsi-fungsi terintegralkan Lebesgue pada $\mathbb{R}$ . Maka fungsi $y \mapsto f(x - y)g(y)$ termasuk dalam $\mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ untuk hampir setiap $x$ . Definisikan suatu fungsi $f \ast g$ dengan $(f \ast g)(x) := \int_\mathbb{R}f(x - y)g(y)\,dm(y)$ pada setiap titik tempat ruas kanan terdefinisi. Maka fungsi $f \ast g$ termasuk dalam $\mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ .

Bukti.

Proof. Lihat [26], Teorema 21.31. ◻

Definisi 10.4.2.

Fungsi $f \ast g$ yang didefinisikan di atas adalah konvolusi dari $f$ dan $g$ .

Proposisi 10.4.3.

Ruang Banach $\mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ dengan konvolusi merupakan aljabar Banach komutatif. Namun, aljabar ini tidak beridentitas.

Bukti.

Proof. Lihat [26], Teorema 21.34 dan 21.35. ◻

Definisi 10.4.4.

Untuk setiap $f$ dalam $\mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ , definisikan suatu fungsi $\hat f$ dengan $\hat f(x) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-itx}\,dm(t).$ Fungsi $\hat f$ adalah transformasi Fourier dari $f$ . Kadang-kadang kita menulis $\mathfrak Ff$ untuk $\hat f$ .

Teorema 10.4.5.

Jika $f \in \mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ , maka $\hat f \in \mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ .

Bukti.

Proof. Lihat [26], 21.39. ◻

Proposisi 10.4.6.

Transformasi Fourier $\mathfrak F\colon \mathrm{L_{1}}(\mathbb{R}) \rightarrow\mathcal{C}_0(\mathbb{R})\colon f \mapsto \hat f$ merupakan homomorfisme aljabar Banach. Kedua aljabar itu tidak beridentitas.

Untuk penerapan, segi paling berguna dari proposisi sebelumnya ialah bahwa transformasi Fourier mengubah konvolusi dalam $\mathrm{L_{1}}(\mathbb{R})$ menjadi perkalian titik demi titik dalam $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ ; yakni, $\widehat{f\ast g} =\hat f\hat g$ .

Berikutnya kita mendefinisikan apa yang dimaksud dengan mengambil konvolusi suatu distribusi dan suatu fungsi uji.

Notasi 10.4.7.

Untuk suatu titik $x \in \mathbb{R}$ dan suatu fungsi bernilai skalar $\phi$ pada $\mathbb{R}$ definisikan $\phi_x\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{K}\colon y \mapsto \phi(x - y).$

Proposisi 10.4.8.

Jika $\phi$ dan $\psi$ merupakan fungsi-fungsi bernilai skalar pada $\mathbb{R}$ dan $x \in \mathbb{R}$ , maka $(\phi + \psi)_x = \phi_x + \psi_x\,.$

Proposisi 10.4.9.

Untuk $u \in \mathcal{D}^*(\mathbb{R})$ dan $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , tetapkan $(u \ast \phi)(x) := \langle u,\phi_x \rangle$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$ . Maka $u \ast \phi \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ .

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 6.30(b). ◻

Definisi 10.4.10.

Ketika $u$ dan $\phi$ seperti dalam proposisi sebelumnya, fungsi $u \ast \phi$ adalah konvolusi dari $u$ dan $\phi$ .

Proposisi 10.4.11.

Jika $u$ dan $v$ merupakan distribusi pada $\mathbb{R}$ dan $\phi$ suatu fungsi uji pada $\mathbb{R}$ , maka $(u + v) \ast \phi = (u \ast \phi) + (v \ast \phi)\,.$

Proposisi 10.4.12.

Jika $u$ suatu distribusi pada $\mathbb{R}$ dan $\phi$ serta $\psi$ fungsi-fungsi uji pada $\mathbb{R}$ , maka $u \ast (\phi + \psi) = (u \ast \phi) + (u \ast \psi)\,.$

Contoh 10.4.13.

Jika $H$ fungsi Heaviside dan $\phi$ suatu fungsi uji pada $\mathbb{R}$ , maka $(\widetilde{H} \ast \phi)(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t)\,dt.$

Proposisi 10.4.14.

Jika $u \in \mathcal{D}^*(\mathbb{R})$ dan $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , maka $D^{\boldsymbol{\alpha}}(u \ast \phi) = (D^{\boldsymbol{\alpha}}u) \ast \phi = u \ast \bigl(D^{\boldsymbol{\alpha}}(\phi)\bigr).$

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 6.30(b). ◻

Proposisi 10.4.15.

Jika $u \in \mathcal{D}^*(\mathbb{R})$ dan $\phi$ , $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , maka $u \ast (\phi \ast \psi) = (u \ast \phi) \ast \psi.$

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 6.30(c). ◻

Proposisi 10.4.16.

Misalkan $u$ , $v \in \mathcal{D}^*(\mathbb{R})$ . Jika $u \ast \phi = v \ast \phi$ untuk semua $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ , maka $u = v$ .

Definisi 10.4.17.

Misalkan $\Omega$ suatu subhimpunan terbuka dari $\mathbb{R}^n$ dan $u \in \mathcal{D}^*(\mathbb{R}^n)$ . Kita mengatakan bahwa “ $u = 0$ pada $\Omega$ ” jika $u(\phi) = 0$ untuk setiap $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$ . Dengan semangat yang sama, kita mengatakan bahwa “dua distribusi $u$ dan $v$ sama pada $\Omega$ ” jika $u - v = 0$ pada $\Omega$ . Suatu titik $x \in \mathbb{R}^n$ termasuk dalam tumpuan dari $u$ jika tidak ada lingkungan terbuka bagi $x$ yang padanya $u = 0$ . Nyatakan tumpuan $u$ dengan $\mathop{\mathrm{supp}}u$ .

Contoh 10.4.18.

Tumpuan distribusi delta Dirac $\delta$ adalah $\{0\}$ .

Contoh 10.4.19.

Tumpuan distribusi Heaviside $\widetilde{H}$ adalah $[0,\infty)$ .

Catatan 10.4.20.

Andaikan suatu distribusi $u$ pada $\mathbb{R}^n$ memiliki tumpuan kompak. Maka dapat ditunjukkan bahwa $u$ memiliki perluasan unik menjadi fungsional linear kontinu pada $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n)$ , yakni keluarga semua fungsi mulus pada $\mathbb{R}^n$ . Dalam kondisi ini, kesimpulan Proposisi 10.4.9 tetap benar dan definisi berikut berlaku. Jika $u \in \mathcal{D}^*(\mathbb{R}^n)$ memiliki tumpuan kompak dan $\phi \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R}^n)$ , maka kesimpulan Proposisi 10.4.14 tetap benar. Selain itu, jika $\psi$ merupakan fungsi uji pada $\mathbb{R}^n$ , maka $u \ast \psi$ merupakan fungsi uji pada $\mathbb{R}^n$ dan kesimpulan 10.4.15 tetap berlaku. Untuk pembahasan dan verifikasi menyeluruh atas pernyataan-pernyataan ini, lihat [47], Teorema 6.24 dan 6.35.

Proposisi 10.4.21.

Jika $u$ dan $v$ merupakan distribusi pada $\mathbb{R}^n$ dan paling sedikit salah satunya memiliki tumpuan kompak, maka terdapat distribusi tunggal $u \ast v$ sedemikian sehingga $(u \ast v) \ast \phi = u \ast (v \ast \phi)$ untuk semua fungsi uji $\phi$ pada $\mathbb{R}^n$ .

Bukti.

Proof. Lihat [47], Definisi 6.36 dan seterusnya. ◻

Definisi 10.4.22.

Dalam proposisi sebelumnya, distribusi $u \ast v$ adalah konvolusi dari $u$ dan $v$ .

Contoh 10.4.23.

Jika $\delta$ distribusi delta Dirac, maka $\tilde 1 \ast \delta\,' = \tilde 0\,.$

Contoh 10.4.24.

Jika $\delta$ distribusi delta Dirac dan $H$ fungsi Heaviside, maka $\delta\,' \ast \widetilde{H} = \delta\,.$

Proposisi 10.4.25.

Jika $u$ dan $v$ merupakan distribusi pada $\mathbb{R}^n$ dan paling sedikit salah satunya memiliki tumpuan kompak, maka $u \ast v = v \ast u$ .

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 6.37(a). ◻

Latihan 10.4.26.

Buktikan proposisi sebelumnya dengan asumsi bahwa $u$ dan $v$ keduanya memiliki tumpuan kompak. Petunjuk. Gunakan $(u \ast v) \ast (\phi \ast \psi)$ , dengan $\phi$ dan $\psi$ fungsi-fungsi uji, sambil mengingat bahwa konvolusi fungsi bersifat komutatif.

Proposisi 10.4.27.

Jika $u$ dan $v$ merupakan distribusi pada $\mathbb{R}^n$ dan paling sedikit salah satunya memiliki tumpuan kompak, maka $\mathop{\mathrm{supp}}(u \ast v) \subseteq \mathop{\mathrm{supp}}u + \mathop{\mathrm{supp}}v.$

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 6.37(b). ◻

Proposisi 10.4.28.

Jika $u$ , $v$ , dan $w$ merupakan distribusi pada $\mathbb{R}^n$ dan paling sedikit dua di antaranya memiliki tumpuan kompak, maka $u \ast (v \ast w) = (u \ast v) \ast w.$

Contoh 10.4.29.

Ungkapan $\tilde 1 \ast \delta\,' \ast \widetilde{H}$ bersifat ambigu. Jadi, hipotesis mengenai tumpuan distribusi-distribusi dalam proposisi sebelumnya tidak dapat dihilangkan.

Proposisi 10.4.30.

Terhadap penjumlahan, perkalian skalar, dan konvolusi, keluarga semua distribusi pada $\mathbb{R}$ yang bertumpuan kompak merupakan aljabar komutatif beridentitas.

Solusi Distribusional untuk Persamaan Diferensial Biasa

Notasi 10.5.1.

Misalkan $\Omega$ suatu subhimpunan terbuka tak kosong dari $\mathbb{R}$ , $n \in \mathbb{N}$ , dan $a_0$ , $a_1$ , … $a_n \in \mathcal{C}^\infty(\Omega)$ . Kita meninjau operator diferensial (biasa) berikut: $L = \sum_{k=0}^n a_k(x)\frac{d^k}{dx^k}$ beserta persamaan diferensial (biasa) yang terkait dengannya, $\begin{equation} \label{eqn_ODE1} Lu = v \end{equation}$ dengan $u$ dan $v$ distribusi-distribusi pada $\Omega$ . Sehubungan dengan Persamaan 10.5.1, kita juga dapat meninjau dua variasi: persamaan $\begin{equation} \label{eqn_ODE2} \langle Lu, \phi\rangle = \langle v, \phi\rangle \end{equation}$ dengan $\phi$ suatu fungsi uji, dan persamaan $\begin{equation} \label{eqn_ODE3} \langle u, L^*\phi\rangle = \langle v, \phi\rangle \end{equation}$ dengan $\phi$ suatu fungsi uji dan $L^* := \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{d^k(a_k\phi)}{dx^k}$ merupakan adjoin formal dari $L$ .

Definisi 10.5.2.

Andaikan bahwa dalam persamaan-persamaan di atas distribusi $v$ diberikan. Jika terdapat distribusi regular $u$ yang memenuhi 10.5.1, kita mengatakan bahwa $u$ merupakan solusi klasik bagi persamaan diferensial itu. Jika $u$ merupakan distribusi regular yang bersesuaian dengan suatu fungsi yang tidak memenuhi 10.5.1 dalam pengertian klasik, tetapi memenuhi 10.5.2 untuk setiap fungsi uji $\phi$ , maka kita mengatakan bahwa $u$ merupakan solusi lemah bagi persamaan diferensial itu. Selanjutnya, jika $u$ merupakan distribusi singular yang memenuhi 10.5.3 untuk setiap fungsi uji $\phi$ , kita mengatakan bahwa $u$ merupakan solusi distribusional bagi persamaan diferensial itu. Keluarga solusi diperumum mencakup semua solusi klasik, lemah, dan distribusional.

Contoh 10.5.3.

Solusi diperumum bagi persamaan $\dfrac{du}{dx} = 0$ pada $\mathbb{R}$ hanyalah distribusi konstan (yakni, distribusi regular yang berasal dari fungsi konstan). Jadi, setiap solusi diperumum merupakan solusi klasik.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Andaikan $u$ suatu solusi diperumum bagi persamaan itu. Pilih suatu fungsi uji $\phi _{{}_{\scriptstyle{0}}}$ sedemikian sehingga $\int_\mathbb{R}\phi _{{}_{\scriptstyle{0}}} = 1$ . Misalkan $\phi$ suatu fungsi uji sebarang pada $\mathbb{R}$ . Definisikan $\psi(x) = \phi(x) - \phi _{{}_{\scriptstyle{0}}}(x)\int_\mathbb{R}\phi$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$ . Amati bahwa $\langle u,\psi \rangle = 0$ , lalu hitung $\langle u,\phi \rangle$ . ◻

Contoh 10.5.4.

Distribusi Heaviside adalah solusi lemah persamaan diferensial $x\dfrac{du}{dx}~=~0$ pada $\mathbb{R}$ . Tentu saja, distribusi-distribusi konstan merupakan solusi klasik.

Contoh 10.5.5.

Distribusi Dirac $\delta$ merupakan solusi distribusional bagi persamaan diferensial $x^2\dfrac{du}{dx} = 0$ pada $\mathbb{R}$ . (Distribusi Heaviside merupakan solusi lemah; dan distribusi-distribusi konstan merupakan solusi klasik.)

Contoh 10.5.6.

Untuk $p = 0,1,2,\dots$ , turunan ke- $p$ , $\dfrac{d^p\delta}{dx^p}$ , dari distribusi delta Dirac merupakan solusi bagi persamaan diferensial $x^{p+2}\dfrac{du}{dx} = 0$ pada $\mathbb{R}$ .

Latihan 10.5.7.

Carilah suatu solusi distribusional bagi persamaan diferensial $x \dfrac{du}{dx} + u = 0$ pada $\mathbb{R}$ .

Transformasi Fourier

Dalam 10.4.4, kita mendefinisikan transformasi Fourier suatu fungsi $\mathrm{L_{1}}\mathbb{R}$ . Cara ekuivalen untuk menyatakan definisi ini adalah melalui konvolusi: $(\mathfrak F f)(x) = (f \ast \varepsilon^x)(0)$ untuk $x \in \mathbb{R}$ , dengan $\varepsilon^x$ fungsi $t \mapsto e^{itx}$ .

Definisi 10.6.1.

Kita ingin memperluas transformasi yang berguna ini ke distribusi. Namun, ternyata ruang $\mathcal{D}^*(\mathbb{R})$ terlampau besar untuk mendukung definisi yang wajar baginya. Dengan memulai dari himpunan “fungsi uji” yang lebih besar, yakni fungsi-fungsi dalam ruang Schwartz $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ (yang memuat $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ sebagai subruang rapat), kita memperoleh ruang fungsional linear kontinu yang lebih kecil; pada ruang ini, untungnya, kita dapat mendefinisikan suatu transformasi Fourier secara alami.

Sebelum mendefinisikan transformasi Fourier pada distribusi, mari kita ingat kembali dua fakta penting dari analisis real mengenai transformasi Fourier yang bekerja pada fungsi mulus terintegralkan.

Proposisi 10.6.2.

Jika $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ , maka $f(x) = \int_\mathbb{R}\hat f \varepsilon^x\,dm\,.$

Proposisi 10.6.3.

Transformasi Fourier $\mathfrak F\colon \mathcal{S}(\mathbb{R}) \rightarrow\mathcal{S}(\mathbb{R})\colon f \mapsto \hat f$ merupakan isomorfisme ruang Fréchet (yakni, pemetaan linear kontinu bijektif dengan invers kontinu), dan untuk semua $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ serta $x \in \mathbb{R}$ , kita mempunyai $\mathfrak F^2f(x) = f(-x)$ , sehingga $\mathfrak F^4f = f$ .

Bukti.

Proof. Pembuktian kedua hasil sebelumnya, bersama banyak informasi lain tentang transformasi yang menarik ini dan beragam penerapannya pada persamaan diferensial biasa maupun parsial, dapat ditemukan di berbagai sumber. Beberapa yang segera terlintas adalah [7], Bab 7; [31], Bab 4, Seksi 11; [38], Seksi 11.3; [47], Bab 7; [49], Bab 25; dan [54], Bab VI. ◻

Definisi 10.6.4.

Fungsi inklusi $\iota\colon \mathcal{D}(\mathbb{R}) \rightarrow\mathcal{S}(\mathbb{R})$ bersifat kontinu. Maka pemetaan antara ruang-ruang dualnya $u\colon \mathcal{S}^*(\mathbb{R}) \rightarrow\mathcal{D}^*(\mathbb{R})\colon \tau \mapsto u_\tau = \tau \circ \iota$ merupakan isomorfisme ruang vektor dari $\mathcal{S}^*(\mathbb{R})$ ke suatu ruang distribusi pada $\mathbb{R}$ , yang kita sebut ruang distribusi tempered (sebagian penulis memilih frasa distribusi temperate). Lazimnya, fungsional linear $\tau$ dan $u_\tau$ di atas diidentifikasi. Jadi, $\mathcal{S}^*(\mathbb{R})$ sendiri dipandang sebagai ruang distribusi tempered.

Jika Anda kesulitan memverifikasi salah satu pernyataan dalam definisi sebelumnya, lihat Teorema 7.10 dan seterusnya dalam [47].

Contoh 10.6.5.

Setiap distribusi dengan tumpuan kompak merupakan distribusi tempered.

Definisi 10.6.6.

Definisikan transformasi Fourier $\hat u$ dari suatu distribusi tempered $u \in \mathcal{S}^*(\mathbb{R})$ dengan $\hat u(\phi) = u(\hat\phi)$ untuk semua $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ . Notasi $\mathfrak Fu$ merupakan alternatif bagi $\hat u$ .

Proposisi 10.6.7.

Jika $f \in \mathrm{L_{1}}\mathbb{R}$ , maka kita dapat memperlakukan $\tilde f$ sebagai distribusi tempered dan, dalam hal ini, $\hat{\tilde f} = \tilde{\hat f}\,.$

Contoh 10.6.8.

Transformasi Fourier fungsi delta Dirac diberikan oleh $\hat\delta = \tilde{\mathbf{1}}\,.$

Contoh 10.6.9.

Transformasi Fourier distribusi regular $\tilde{\mathbf{1}}$ diberikan oleh $\hat{\tilde{\mathbf{1}}} = \delta\,.$

Proposisi 10.6.3 memiliki generalisasi yang memuaskan bagi distribusi tempered.

Proposisi 10.6.10.

Transformasi Fourier $\mathfrak F\colon \mathcal{S}^*(\mathbb{R}) \rightarrow\mathcal{S}^*(\mathbb{R})$ merupakan pemetaan linear kontinu bijektif yang inversnya juga kontinu. Lebih lanjut, $\mathfrak F^4$ merupakan pemetaan identitas pada $\mathcal{S}^*(\mathbb{R})$ .

Kita akan kembali sejenak ke pembahasan transformasi Fourier dalam bab berikutnya.

Bab 10 · Distribusi

Limit Induktif

Ruang-LFLF

Distribusi

Konvolusi

Solusi Distribusional untuk Persamaan Diferensial Biasa

Transformasi Fourier

Ruang- $LF$