Bab 16 · Ekstensi

Operator Normal secara Esensial

Definisi 16.1.1.

Misalkan $T$ suatu operator pada ruang Hilbert $H$ . spektrum esensial dari $T$ , yang dinotasikan dengan $\sigma_e(T)$ , adalah spektrum citra $T$ dalam aljabar Calkin $\mathfrak{Q}(H)$ ; yaitu, $\sigma_e(T) = \sigma_{\mathfrak{Q}(H)}(\pi(T))\,.$

Proposisi 16.1.2.

Jika $T$ suatu operator pada ruang Hilbert $H$ , maka $\sigma_e(T) = \{\lambda \in \mathbb{C}\colon T - \lambda I \notin \mathfrak{F}(H)\}\,.$

Proposisi 16.1.3.

Spektrum esensial dari operator swaadjoin $T$ pada ruang Hilbert adalah gabungan titik-titik akumulasi spektrum $T$ dengan nilai-nilai eigen $T$ yang memiliki multiplisitas tak hingga. Anggota-anggota $\sigma(T) \setminus \sigma_e(T)$ adalah nilai-nilai eigen terisolasi dengan multiplisitas hingga.

Bukti.

Proof. Lihat [27], proposisi 2.2.2. ◻

Berikut dua teorema dari analisis fungsional klasik.

Teorema 16.1.4.

Jika $S$ dan $T$ merupakan operator pada suatu ruang Hilbert yang selisihnya kompak, maka spektrum keduanya sama, kecuali mungkin pada nilai-nilai eigen.

Teorema 16.1.5.

Misalkan $T$ suatu operator swaadjoin pada ruang Hilbert terpisahkan $H$ . Untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat operator $D$ yang dapat didiagonalkan sedemikian sehingga $T - D$ kompak dan $\lVert T - D\rVert < \epsilon$ .

Bukti.

Proof. Lihat [9], 38.1; [10], akibat II.4.2; atau [27], 2.2.5. ◻

Definisi 16.1.6.

Misalkan $H$ dan $K$ ruang-ruang Hilbert. Operator $S \in \mathfrak{B}(H)$ dan $T \in \mathfrak{B}(K)$ disebut ekuivalen uniter secara esensial (atau kompalen) jika terdapat pemetaan uniter $U\colon H \rightarrow K$ sedemikian sehingga $S - U^*TU$ merupakan operator kompak pada $H$ . (Kita memperluas definisi 1.2.43 dan 1.2.44 dengan cara yang jelas: $U \in \mathfrak{B}(H,K)$ disebut uniter jika $U^*U = I_H$ dan $UU^* = I_K$ ; dan $S$ serta $T$ disebut ekuivalen secara uniter jika terdapat pemetaan uniter $U\colon H \rightarrow K$ sedemikian sehingga $S = U^*TU$ .)

Proposisi 16.1.7.

Operator-operator swaadjoin $S$ dan $T$ pada ruang-ruang Hilbert terpisahkan berdimensi tak hingga ekuivalen uniter secara esensial jika dan hanya jika keduanya memiliki spektrum esensial yang sama.

Bukti.

Proof. Lihat [27], proposisi 2.2.4. ◻

Definisi 16.1.8.

Suatu operator ruang Hilbert $T$ disebut normal secara esensial jika komutator-nya $[T,T^*] := TT^* - T^*T$ kompak. Dengan kata lain: $T$ normal secara esensial jika citranya $\pi(T)$ merupakan elemen normal dari aljabar Calkin. Operator $T$ disebut swaadjoin secara esensial jika $T - T^*$ kompak; yakni, jika $\pi(T)$ swaadjoin dalam aljabar Calkin.

Contoh 16.1.9.

Operator geser unilateral $S$ (lihat contoh 5.2.11) normal secara esensial (tetapi tidak normal).

Operator Toeplitz

Definisi 16.2.1.

Misalkan $\zeta\colon \mathbb{T}\rightarrow\mathbb{T}\colon z \mapsto z$ merupakan fungsi identitas pada lingkaran satuan. Maka $\{\zeta^n\colon n \in \mathbb{Z}\}$ merupakan basis ortonormal bagi ruang Hilbert $L_2(\mathbb{T})$ yang terdiri atas (kelas-kelas ekuivalensi dari) fungsi-fungsi yang terintegralkan kuadrat pada $\mathbb{T}$ terhadap ukuran panjang busur (yang dinormalisasi secara sesuai). Kita menyatakan dengan $H^2$ subruang dari $L_2(\mathbb{T})$ yang merupakan rentang linear tertutup dari $\{\zeta^n\colon n \ge 0\}$ dan dengan $P_+$ proyeksi (ortogonal) pada $L_2(\mathbb{T})$ yang jangkauan (sekaligus kodomain)-nya adalah $H^2$ . Ruang $H^2$ merupakan contoh suatu ruang Hardy. Untuk setiap $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ kita mendefinisikan pemetaan $T_\phi$ dari ruang Hilbert $H^2$ ke dirinya sendiri dengan $T_\phi = P_+M_\phi$ (dengan $M_\phi$ operator perkalian yang didefinisikan dalam contoh 5.2.15). Operator demikian disebut operator Toeplitz dan $\phi$ disebut simbol-nya. Jelas bahwa $T_\phi$ merupakan operator pada $H^2$ dan $\lVert T_\phi\rVert \le \lVert\phi\rVert_\infty$ .

Contoh 16.2.2.

Operator Toeplitz $T_\zeta$ bertindak pada vektor-vektor basis $\zeta^n$ dari $H^2$ menurut $T_\zeta(\zeta^n) = \zeta^{n+1}$ , sehingga operator ini ekuivalen secara uniter dengan geser unilateral $S$ .

Proposisi 16.2.3.

Pemetaan $T\colon L_\infty(\mathbb{T}) \rightarrow\mathfrak{B}(H^2)\colon \phi \mapsto T_\phi$ bersifat positif, linear, dan melestarikan involusi.

Contoh 16.2.4.

Operator Toeplitz $T_\zeta$ dan $T_{\overline{\zeta}}$ menunjukkan bahwa pemetaan $T$ dalam proposisi sebelumnya bukan representasi dari $L_\infty(\mathbb{T})$ pada $\mathfrak{B}(H^2)$ . (Bandingkan dengan contoh 13.2.4.)

Notasi 16.2.5.

Misalkan $H^\infty := H^2 \cap L_\infty(\mathbb{T})$ . Ini merupakan contoh lain dari suatu ruang Hardy.

Proposisi 16.2.6.

Suatu fungsi terbatas secara esensial $\phi$ pada lingkaran satuan termasuk dalam $H^\infty$ jika dan hanya jika operator perkalian $M_\phi$ memetakan $H^2$ ke dalam $H^2$ .

Meskipun (seperti telah kita lihat dalam contoh 16.2.4) pemetaan $T$ yang didefinisikan dalam proposisi 16.2.3 pada umumnya tidak multiplikatif, pemetaan ini multiplikatif untuk suatu kelas fungsi yang luas.

Proposisi 16.2.7.

Jika $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ dan $\psi \in H^\infty$ , maka $T_{\phi\psi} = T_\phi T_\psi$ dan $T_{\overline{\psi }\phi} = T_{\overline{\psi}} T_\phi$ .

Proposisi 16.2.8.

Jika operator Toeplitz $T_\phi$ dengan simbol $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ invertibel, maka fungsi $\phi$ invertibel.

Bukti.

Proof. Lihat [12], proposisi 7.6. ◻

Teorema 16.2.9.

Jika $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ , maka $\sigma(\phi) \subseteq \sigma(T_\phi)$ dan $\rho(T_\phi) = \lVert T_\phi\rVert = \lVert\phi\rVert_\infty$ .

Bukti.

Proof. Lihat [12], akibat 7.7 atau [39], teorema 3.5.7. ◻

Akibat 16.2.10.

Pemetaan $T\colon L_\infty(\mathbb{T}) \rightarrow\mathfrak{B}(H^2)$ yang didefinisikan dalam proposisi 16.2.3 merupakan suatu isometri.

Proposisi 16.2.11.

Suatu operator Toeplitz $T_\phi$ dengan simbol $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ kompak jika dan hanya jika $\phi = \mathbf{0}$ .

Bukti.

Proof. Lihat [39], teorema 3.5.8. ◻

Proposisi 16.2.12.

Jika $\phi \in \mathcal{C}(\mathbb{T})$ dan $\psi \in L_\infty(\mathbb{T})$ , maka semikomutator $T_\phi T_\psi - T_{\phi\psi}$ dan $T_\psi T_\phi - T_{\psi\phi}$ bersifat kompak.

Bukti.

Proof. Lihat [1], proposisi 4.3.1; [10], akibat V.1.4; atau [39], lema 3.5.9. ◻

Akibat 16.2.13.

Setiap operator Toeplitz dengan simbol kontinu bersifat normal secara esensial.

Definisi 16.2.14.

Andaikan $H$ ruang Hilbert terpisahkan dengan basis $\{e_0, e_1, e_2, \dots\}$ dan $T$ suatu operator pada $H$ yang representasi matriks (tak hingga)-nya adalah $[t_{ij}]$ . Jika entri-entri dalam matriks ini hanya bergantung pada selisih indeks $i - j$ (yakni, jika setiap diagonal yang sejajar dengan diagonal utama merupakan barisan konstan), maka matriks tersebut disebut matriks Toeplitz.

Proposisi 16.2.15.

Misalkan $T$ suatu operator pada ruang Hilbert $H^2$ . Representasi matriks $T$ terhadap basis biasa $\{\zeta^n\colon n \ge 0\}$ merupakan matriks Toeplitz jika dan hanya jika $S^*TS = T$ (dengan $S$ geser unilateral).

Bukti.

Proof. Lihat [1], proposisi 4.2.3. ◻

Proposisi 16.2.16.

Jika $T_\phi$ suatu operator Toeplitz dengan simbol $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ , maka $S^*T_\phi S = T_\phi$ . Sebaliknya, jika $R$ suatu operator pada ruang Hilbert $H^2$ sedemikian sehingga $S^*RS = R$ , maka terdapat $\phi \in L_\infty(\mathbb{T})$ tunggal sedemikian sehingga $R = T_\phi$ .

Bukti.

Proof. Lihat [1], teorema 4.2.4. ◻

Definisi 16.2.17.

aljabar Toeplitz $\mathfrak{T}$ adalah subaljabar- $C^*$ dari $\mathfrak{B}(H^2)$ yang dibangkitkan oleh operator geser unilateral; yaitu, $\mathfrak{T} = C^*(S)$ .

Proposisi 16.2.18.

Himpunan $\mathfrak{K}(H^2)$ dari operator-operator kompak pada $H^2$ merupakan ideal dalam aljabar Toeplitz $\mathfrak{T}$ .

Proposisi 16.2.19.

Aljabar Toeplitz terdiri atas semua perturbasi kompak dari operator Toeplitz dengan simbol kontinu. Yaitu, $\mathfrak{T} = \{ T_\phi + K\colon \phi \in \mathcal{C}(\mathbb{T}) \text{ dan } K \in \mathfrak{K}(H^2)\} \,.$ Lebih lanjut, jika $T_\phi + K = T_\psi + L$ dengan $\phi$ , $\psi \in \mathcal{C}(\mathbb{T})$ dan $K$ , $L \in \mathfrak{K}(H^2)$ , maka $\phi = \psi$ dan $K = L$ .

Bukti.

Proof. Lihat [1], teorema 4.3.2 atau [10], teorema V.1.5. ◻

Proposisi 16.2.20.

Pemetaan $\pi \circ T\colon \mathcal{C}(\mathbb{T}) \rightarrow\mathfrak{Q}(H^2)\colon \phi \mapsto \pi(T_\phi)$ merupakan monomorfisme- $*\,$ beridentitas. Jadi pemetaan $\alpha\colon \mathcal{C}(\mathbb{T}) \rightarrow\mathfrak{T}/\mathfrak{K}(H^2)\colon \phi \mapsto \pi(T_\phi)$ menghasilkan isomorfisme antara aljabar- $C^*$ $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ dan $\mathfrak{T}/\mathfrak{K}(H^2)$ .

Bukti.

Proof. Lihat [27], proposisi 2.3.3 atau [39], teorema 3.5.11. ◻

Akibat 16.2.21.

Jika $\phi \in \mathcal{C}(\mathbb{T})$ , maka $\sigma_e(T_\phi) = \mathop{\mathrm{ran}}\phi$ .

Proposisi 16.2.22.

Barisan $\mathbf{0} \to \mathfrak{K}(H^2) \to \mathfrak{T} \to^\beta \mathcal{C}(\mathbb{T}) \to \mathbf{0}$ bersifat eksak. Barisan ini tidak terbelah.

Bukti.

Proof. Pemetaan $\beta$ didefinisikan oleh $\beta(R) := \alpha^{-1}\bigl(\pi(R)\bigr)$ untuk setiap $R \in \mathfrak{T}$ (dengan $\alpha$ isomorfisme yang didefinisikan dalam proposisi sebelumnya 16.2.20). Lihat [1], catatan 4.3.3; [10], teorema V.1.5; atau [27], halaman 35. ◻

Definisi 16.2.23.

Barisan eksak pendek dalam proposisi sebelumnya 16.2.22 adalah ekstensi Toeplitz dari $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ oleh $\mathfrak{K}(H^2)$ .

Catatan 16.2.24.

Suatu versi diagram ekstensi Toeplitz yang sering muncul kira-kira berbentuk seperti

Diagram ekstensi Toeplitz yang sering dipakai: ruang nol menuju aljabar operator kompak K(H pangkat dua), lalu menuju aljabar Toeplitz, lalu epimorfisme beta ke aljabar fungsi kontinu pada lingkaran satuan, lalu menuju ruang nol. Ada panah balik T dari aljabar fungsi itu ke aljabar Toeplitz, dengan beta setelah T sama dengan identitas. Namun T bukan homomorfisme bintang, sehingga diagram bukan ekstensi terbelah dalam kategori aljabar C-bintang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dengan $\beta$ seperti dalam 16.2.22 dan $T$ adalah pemetaan $\phi \mapsto T_\phi$ . Diagram ini dapat disalahtafsirkan. Diagram tersebut mungkin memberi kesan kepada pembaca yang kurang waspada bahwa ini adalah ekstensi terbelah, terutama karena memang benar bahwa $\beta \circ T = I_{\mathcal{C}(\mathbb{T})}$ . Masalahnya, tentu saja, bahwa diagram ini bukan diagram dalam kategori $\mathbf{CSA}$ dari aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$ . Kita telah melihat dalam contoh 16.2.4 bahwa pemetaan $T$ bukan homomorfisme- $*\,$ karena tidak selalu melestarikan perkalian. Elemen-elemen invertibel dalam $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ belum tentu terangkat menjadi elemen-elemen invertibel dalam aljabar Toeplitz $\mathfrak{T}$ ; jadi epimorfisme- $*\,$ $\beta$ tidak memiliki invers kanan dalam kategori $\mathbf{CSA}$ .

Sebagian penulis menangani masalah ini dengan mengatakan bahwa barisan (1) bersifat semiterbelah (lihat, misalnya, Arveson [1], halaman 112). Penulis lain meminjam istilah dari teori kategori, yang menggunakan kata “penampang” untuk berarti “memiliki invers kanan”. Davidson [10], misalnya, pada halaman 134 menyebut pemetaan $T$ sebagai “penampang kontinu”, sedangkan Douglas [12], pada halaman 179 menyebutnya “penampang silang isometrik”. Meskipun memang benar bahwa $\beta$ memiliki $T$ sebagai invers kanan dalam kategori $\mathbf{SET}$ dari himpunan dan pemetaan, bahkan juga dalam kategori ruang Banach dan pemetaan linear terbatas, pemetaan tersebut tidak memiliki invers kanan dalam $\mathbf{CSA}$ .

Proposisi 16.2.25.

Jika $\phi$ suatu fungsi dalam $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ , maka $T_\phi$ Fredholm jika dan hanya jika fungsi itu tidak pernah bernilai nol.

Bukti.

Proof. Lihat [1], halaman 112, akibat 1; [10], teorema V.1.6; [12], teorema 7.26; atau [39], akibat 3.5.12. ◻

Proposisi 16.2.26.

Jika $\phi$ elemen invertibel dari $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ , maka terdapat bilangan bulat $n$ tunggal sedemikian sehingga $\phi = \zeta^n \exp \psi$ untuk suatu $\psi \in \mathcal{C}(\mathbb{T})$ .

Bukti.

Proof. Lihat [1], proposisi 4.4.1 dan 4.4.2 atau [39], lema 3.5.14. ◻

Definisi 16.2.27.

Bilangan bulat yang keberadaannya dinyatakan dalam proposisi sebelumnya 16.2.26 adalah bilangan lilit dari fungsi invertibel $\phi \in \mathcal{C}(\mathbb{T})$ . Bilangan ini dinotasikan dengan $w(\phi)$ .

Teorema 16.2.28.

Jika $T_\phi$ suatu operator Toeplitz dengan simbol kontinu yang tidak pernah bernilai nol, maka operator ini merupakan operator Fredholm dan $\mathop{\mathrm{ind}}(T_\phi) = -w(\phi)\,.$

Bukti.

Proof. Bukti elementer dapat ditemukan dalam [1], teorema 4.4.3, dan [39]. Bagi pembaca yang memiliki sedikit latar belakang tentang homotopi kurva, proposisi 16.2.26, yang mengantar ke definisi bilangan lilit di atas, dapat dilewati. Merupakan fakta elementer dalam teori homotopi bahwa grup fundamental $\pi_1(\mathbb{C}\setminus \{0\})$ dari bidang kompleks berlubang bersifat siklik tak hingga. Terdapat isomorfisme $\tau$ dari $\pi_1(\mathbb{C}\setminus \{0\})$ ke $\mathbb{Z}$ yang mengaitkan bilangan bulat $+1$ dengan (kelas ekuivalensi yang memuat) fungsi $\zeta$ . Hal ini memungkinkan kita untuk mengaitkan setiap anggota invertibel $\phi$ dari $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ dengan bilangan bulat yang bersesuaian di bawah $\tau$ dengan kelas ekuivalensinya. Bilangan bulat ini kita sebut bilangan lilit dari $\phi$ . Definisi demikian memungkinkan pemberian bukti yang lebih singkat dan lebih anggun bagi teorema indeks Toeplitz. Untuk pembahasan dengan pendekatan ini, lihat [12], teorema 7.26, atau [27], teorema 2.3.2. Untuk latar belakang mengenai grup fundamental, lihat [36], bab dua; [50], lampiran A; atau [53], bagian 32 dan 33. ◻

Teorema 16.2.29.

Setiap isometri sejati (yakni, nonuniter) pada suatu ruang Hilbert merupakan jumlah langsung salinan-salinan geser unilateral, atau merupakan jumlah langsung suatu operator uniter bersama salinan-salinan geser tersebut.

Bukti.

Proof. Lihat [10], teorema V.2.1; [24], soal (dan solusi) 149; atau [39], teorema 3.5.17. ◻

Teorema 16.2.30.

Misalkan $v$ suatu isometri dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ . Maka terdapat homomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau$ tunggal dari aljabar Toeplitz $\mathfrak{T}$ ke $A$ sedemikian sehingga $\tau(T_\zeta) = v$ . Lebih lanjut, jika $vv^* \ne \mathbf{1}$ , maka $\tau$ merupakan suatu isometri.

Bukti.

Proof. Lihat [39], teorema 3.5.18, atau [10], teorema V.2.2. ◻

Penjumlahan Ekstensi

Proposisi 16.3.1.

Suatu operator ruang Hilbert $T$ bersifat swaadjoin secara esensial jika dan hanya jika operator itu merupakan perturbasi kompak dari suatu operator swaadjoin.

Proposisi 16.3.2.

Dua operator ruang Hilbert $T_1$ dan $T_2$ yang swaadjoin secara esensial ekuivalen uniter secara esensial jika dan hanya jika keduanya memiliki spektrum esensial yang sama.

Hasil yang analog tidak berlaku bagi operator normal secara esensial.

Contoh 16.3.3.

Operator Toeplitz $T_\zeta$ dan $T_{\zeta^2}$ bersifat normal secara esensial dengan spektrum esensial yang sama, tetapi keduanya tidak ekuivalen uniter secara esensial.

Definisi 16.3.4.

Sekarang kita membatasi perhatian pada suatu kelas khusus ekstensi. Jika $H$ merupakan ruang Hilbert dan $A$ merupakan aljabar- $C^*$ , kita mengatakan bahwa $(\mathfrak{E},\phi)$ adalah suatu ekstensi $\mathfrak{K} = \mathfrak{K}(H)$ oleh $A$ jika $\mathfrak{E}$ merupakan subaljabar- $C^*$ beridentitas dari $\mathfrak{B}(H)$ yang memuat $\mathfrak{K}$ dan $\phi$ merupakan homomorfisme- $*\,$ beridentitas sedemikian sehingga barisan $\begin{equation} \label{005431i} \mathbf{0} \to \mathfrak{K} \to^\iota \mathfrak{E} \to^\phi A \to \mathbf{0} \end{equation}$ (dengan $\iota$ pemetaan inklusi) eksak. Bahkan, kita hampir secara eksklusif akan memperhatikan kasus $A = \mathcal{C}(X)$ untuk suatu ruang metrik kompak $X$ . Kita mengatakan bahwa dua ekstensi $(\mathfrak{E},\phi)$ dan $(\mathfrak{E}\,',\phi\,')$ ekuivalen jika terdapat suatu isomorfisme $\psi\colon \mathfrak{E} \rightarrow\mathfrak{E}\,'$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Diagram ekuivalensi dua ekstensi K oleh A. Kedua baris eksak adalah nol menuju K melalui iota ke E atau E prima, lalu melalui phi atau phi prima ke A, lalu nol. Panah vertikal adalah pembatasan psi pada K, isomorfisme psi dari E ke E prima, dan identitas pada A. Kedua persegi komutatif, sehingga psi menyelaraskan penyertaan ideal K dan pemetaan hasil bagi ke A. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Perhatikan bahwa definisi ini sedikit berbeda dari ekuivalensi kuat pada 12.2.8. Keluarga semua kelas ekuivalensi ekstensi semacam ini kita lambangkan dengan $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ . Jika $A = \mathcal{C}(X)$ , kita menulis $\mathop{\mathrm{Ext}}X$ , bukan $\mathop{\mathrm{Ext}}\mathcal{C}(X)$ .

Definisi 16.3.5.

Jika $U\colon H_1 \rightarrow H_2$ merupakan pemetaan uniter di antara ruang-ruang Hilbert, maka pemetaan $\mathop{\mathrm{Ad}}_U\colon \mathfrak{B}(H_1) \rightarrow\mathfrak{B}(H_2)\colon T \mapsto UTU^*$ disebut konjugasi oleh $U$ .

Jelas bahwa $\mathop{\mathrm{Ad}}_U$ merupakan isomorfisme di antara aljabar- $C^*$ $\mathfrak{B}(H_1)$ dan $\mathfrak{B}(H_2)$ . Khususnya, jika $U$ merupakan operator uniter pada $H_1$ , maka $\mathop{\mathrm{Ad}}_U$ merupakan automorfisme dari $\mathfrak{K}(H_1)$ maupun $\mathfrak{B}(H_1)$ . Lebih lanjut, konjugasi merupakan satu-satunya automorfisme aljabar- $C^*$ $\mathfrak{K}(H)$ .

Proposisi 16.3.6.

Jika $H$ merupakan ruang Hilbert dan $\phi\colon \mathfrak{K}(H) \rightarrow\mathfrak{K}(H)$ merupakan suatu automorfisme, maka $\phi = \mathop{\mathrm{Ad}}_U$ untuk suatu operator uniter $U$ pada $H$ .

Bukti.

Proof. Lihat [10], lema V.6.1. ◻

Proposisi 16.3.7.

Jika $H$ merupakan ruang Hilbert dan $A$ merupakan aljabar- $C^*$ , maka ekstensi $(\mathfrak{E},\phi)$ dan $(\mathfrak{E}\,',\phi\,')$ dalam $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ ekuivalen jika dan hanya jika terdapat suatu operator uniter $U$ dalam $\mathfrak{B}(H)$ sedemikian sehingga $\mathfrak{E}\,' = U \mathfrak{E} U^*$ dan $\phi = \phi\,' \mathop{\mathrm{Ad}}_U$ .

Contoh 16.3.8.

Andaikan $T$ merupakan operator normal secara esensial pada suatu ruang Hilbert $H$ . Misalkan $\mathfrak{E}_T$ merupakan aljabar- $C^*$ beridentitas yang dibangkitkan oleh $T$ dan $\mathfrak{K}(H)$ . Karena $\pi(T)$ merupakan elemen normal aljabar Calkin, aljabar- $C^*$ beridentitas $\mathfrak{E}_T/\mathfrak{K}(H)$ yang dibangkitkannya bersifat komutatif. Jadi teorema spektral abstrak 11.5.5 memberi kita suatu isomorfisme aljabar- $C^*$ $\Psi\colon \mathcal{C}(\sigma_e(T)) \rightarrow\mathfrak{E}_T/\mathfrak{K}(H)$ . Misalkan $\phi_{{}_{\scriptstyle{T}}} = \Psi^{-1} \circ\pi\bigr|_{\mathfrak{E}_T}$ . Maka barisan $\mathbf{0} \to \mathfrak{K}(H) \to^\iota \mathfrak{E}_T \to^{\phi_{{}_{\scriptstyle{T}}}} \mathcal{C}(\sigma_e(T)) \to \mathbf{0}$ eksak. Ini adalah ekstensi $\mathfrak{K}(H)$ yang ditentukan oleh $T$ .

Proposisi 16.3.9.

Misalkan $T$ dan $T\,'$ operator normal secara esensial pada suatu ruang Hilbert $H$ . Kedua operator itu ekuivalen uniter secara esensial jika dan hanya jika ekstensi yang ditentukannya ekuivalen.

Proposisi 16.3.10.

Jika $\mathfrak{E}$ merupakan aljabar- $C^*$ sedemikian sehingga $\mathfrak{K}(H) \subseteq \mathfrak{E} \subseteq \mathfrak{B}(H)$ untuk suatu ruang Hilbert $H$ , $X$ merupakan subhimpunan kompak tak kosong dari $\mathbb{C}$ , dan $(\mathfrak{E},\phi)$ merupakan ekstensi $\mathfrak{K}(H)$ oleh $\mathcal{C}(X)$ , maka setiap elemen dari $\mathfrak{E}$ bersifat normal secara esensial.

Definisi 16.3.11.

Jika $\phi_1\colon A_1 \rightarrow B$ dan $\phi_2\colon A_2 \rightarrow B$ merupakan homomorfisme- $*\,$ beridentitas di antara aljabar- $C^*$ , maka suatu tarik balik $A_1$ dan $A_2$ sepanjang $\phi_1$ dan $\phi_2$ , yang dilambangkan dengan $(P,\pi_1,\pi_2)$ , adalah aljabar- $C^*$ $P$ beserta sepasang homomorfisme- $*\,$ beridentitas $\pi_1\colon P \rightarrow A_1$ dan $\pi_2\colon P \rightarrow A_2$ yang memenuhi dua syarat berikut:

diagram

Persegi tarik balik. P berada di kiri atas, A dua di kanan atas, A satu di kiri bawah, dan B di kanan bawah. Panahnya pi dua dari P ke A dua, pi satu dari P ke A satu, phi dua dari A dua ke B, dan phi satu dari A satu ke B. Persegi komutatif: phi dua setelah pi dua sama dengan phi satu setelah pi satu.
Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.
bersifat komutatif; dan
jika $\rho_1\colon Q \rightarrow A_1$ dan $\rho_2\colon Q \rightarrow A_2$ merupakan homomorfisme- $*\,$ beridentitas dari aljabar- $C^*$ sedemikian sehingga diagram

Persegi kerucut calon bagi tarik balik. Q berada di kiri atas, A dua di kanan atas, A satu di kiri bawah, dan B di kanan bawah. Panah rho dua dari Q ke A dua dan rho satu dari Q ke A satu memenuhi phi dua setelah rho dua sama dengan phi satu setelah rho satu, sehingga persegi komutatif.
Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.
bersifat komutatif, maka terdapat suatu homomorfisme- $*\,$ beridentitas tunggal $\Psi\colon Q \rightarrow P$ yang membuat diagram

Diagram sifat universal tarik balik. Persegi dasar terdiri atas P ke A dua melalui pi dua, P ke A satu melalui pi satu, lalu phi dua dan phi satu menuju B. Dari Q tersedia rho dua ke A dua dan rho satu ke A satu; ada satu-satunya panah putus-putus Psi dari Q ke P. Seluruh diagram komutatif: pi dua setelah Psi sama dengan rho dua, pi satu setelah Psi sama dengan rho satu, dan kedua rute menuju B sama.
Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.
komutatif.

Proposisi 16.3.12.

Misalkan $H$ ruang Hilbert, $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, dan $\tau\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ monomorfisme- $*\,$ beridentitas. Maka, hingga isomorfisme, terdapat tarik balik tunggal $(\mathfrak{E},\pi_1,\pi_2)$ dari $A$ dan $\mathfrak{B}(H)$ sepanjang $\tau$ dan $\pi$ sedemikian sehingga $(\mathfrak{E},\pi_2)$ merupakan ekstensi $\mathfrak{K}(H)$ oleh $A$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Dua baris eksak pendek yang merealisasikan ekstensi sebagai tarik balik. Baris atas: nol ke K(H) melalui iota ke E, lalu pi dua ke A, lalu nol. Baris bawah: nol ke K(H), lalu ke B(H), lalu pi ke aljabar Calkin Q(H), lalu nol. Panah vertikal adalah identitas pada K(H), pi satu dari E ke B(H), dan tau dari A ke Q(H). Kedua persegi komutatif; khususnya pi setelah pi satu sama dengan tau setelah pi dua. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Bukti.

Proof. (Sketsa.) Misalkan $\mathfrak{E} = \{T \oplus a \in \mathfrak{B}(H) \oplus A\colon \tau(a) = \pi(T)\}$ , $\pi_1\colon \mathfrak{E} \rightarrow\mathfrak{B}(H)\colon T \oplus a \mapsto T$ , dan $\pi_2\colon \mathfrak{E} \rightarrow A\colon T \oplus a \mapsto a$ . Ketunggalan (setiap tarik balik) dibuktikan memakai “omong kosong abstrak” yang biasa. ◻

Proposisi 16.3.13.

Misalkan $H$ ruang Hilbert, $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, dan $(\mathfrak{E},\phi)$ suatu ekstensi $\mathfrak{K}(H)$ oleh $A$ . Maka terdapat suatu monomorfisme- $*\,$ tunggal $\tau \colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ yang membuat diagram 16.3.3 komutatif.

Definisi 16.3.14.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas. Untuk $j=1,2$ , misalkan $\tau_j\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas. Kedua pemetaan ini ekuivalen secara uniter jika terdapat suatu operator uniter $U$ pada $H$ sedemikian sehingga $\tau_2 = \mathop{\mathrm{Ad}}_U \tau_1$ . Ekuivalensi uniter monomorfisme- $*\,$ beridentitas tentu merupakan suatu relasi ekuivalensi. Kelas ekuivalensi yang memuat $\tau_1$ dilambangkan dengan $[\tau_1]$ .

Proposisi 16.3.15.

Misalkan $H$ ruang Hilbert dan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas. Dua ekstensi $\mathfrak{K}(H)$ oleh $A$ ekuivalen jika dan hanya jika monomorfisme- $*\,$ beridentitas yang bersesuaian dengannya (lihat 16.3.13) ekuivalen secara uniter.

Akibat 16.3.16.

Jika $H$ ruang Hilbert dan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, terdapat suatu korespondensi satu-satu di antara kelas-kelas ekuivalensi ekstensi $\mathfrak{K}(H)$ oleh $A$ dan kelas-kelas ekuivalensi uniter monomorfisme- $*\,$ beridentitas dari $A$ ke aljabar Calkin $\mathfrak{Q}(H)$ .

Konvensi 16.3.17.

Berdasarkan akibat sebelumnya, kita akan memandang anggota $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ (atau $\mathop{\mathrm{Ext}}X$ ) sebagai kelas ekuivalensi ekstensi atau kelas ekuivalensi uniter monomorfisme- $*\,$ , mana pun yang paling sesuai pada saat itu.

Proposisi 16.3.18.

Setiap ruang Hilbert $H$ (yang separabel dan berdimensi tak hingga) isomorfik secara isometrik dengan $H \oplus H$ . Jadi aljabar- $C^*$ $\mathfrak{B}(H)$ dan $\mathfrak{B}(H \oplus H)$ isomorfik.

Definisi 16.3.19.

Misalkan $\tau_1$ , $\tau_2 \colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ merupakan monomorfisme- $*\,$ beridentitas (dengan $A$ aljabar- $C^*$ dan $H$ ruang Hilbert). Kita mendefinisikan suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau_1 \oplus \tau_2 \colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ melalui $(\tau_1 \oplus \tau_2)(a) := \rho\bigl(\tau_1(a) \oplus \tau_2(a)\bigr)$ untuk setiap $a \in A$ , dengan (seperti dalam Douglas[13]) $\nu$ isomorfisme yang ditetapkan dalam 16.3.18 dan $\rho$ pemetaan yang membuat diagram berikut komutatif.

Persegi panjang komutatif yang mendefinisikan rho. Baris atas membawa B(H) tambah langsung B(H) secara kanonik ke B(H tambah langsung H), lalu melalui isomorfisme nu ke B(H). Panah vertikal kiri adalah pi tambah langsung pi menuju Q(H) tambah langsung Q(H), dan panah vertikal kanan adalah pi menuju Q(H). Panah bawah rho menuju Q(H) dipilih agar komposit bawah sama dengan komposit atas lalu pi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Kemudian kita mendefinisikan operasi penjumlahan yang jelas pada $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ : $[\tau_1] + [\tau_2] := [\tau_1 \oplus \tau_2]$ untuk $[\tau_1]$ , $[\tau_2] \in \mathop{\mathrm{Ext}}A$ .

Proposisi 16.3.20.

Operasi penjumlahan (yang diberikan dalam 16.3.19) pada $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ terdefinisi dengan baik dan di bawah operasi ini $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ menjadi semigrup komutatif.

Definisi 16.3.21.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $\mathbf r\colon A \rightarrow \mathfrak{B}(H)$ representasi tak terdegenerasi dari $A$ pada suatu ruang Hilbert $H$ . Misalkan $P$ proyeksi ruang Hilbert dan $M$ jangkauan $P$ . Andaikan $P\mathbf r(a) - \mathbf r(a)P \in \mathfrak{K}(H)$ untuk setiap $a~\in~A$ . Lambangkan dengan $P_M$ proyeksi $P$ yang himpunan kodomainnya sama dengan jangkauannya; yaitu, $P_M\colon H \rightarrow M \colon x \mapsto Px$ . Maka untuk setiap $a \in A$ kita mendefinisikan operator Toeplitz abstrak $T_a \in \mathfrak{B}(M)$ bersimbol $a$ yang dikaitkan dengan pasangan $(\mathbf r,P)$ melalui $T_a = P_M\mathbf r(a)\bigr|_M$ .

Definisi 16.3.22.

Gunakan notasi seperti dalam definisi sebelumnya 16.3.21. Kemudian kita mendefinisikan ekstensi Toeplitz abstrak $\tau_P$ yang dikaitkan dengan pasangan $(\mathbf r,P)$ melalui $\tau_P\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(M)\colon a \mapsto \pi(T_a)\,.$

Perhatikan bahwa (monomorfisme- $*\,$ beridentitas yang dikaitkan dengan) ekstensi Toeplitz konkret yang didefinisikan dalam 16.2.23 merupakan contoh ekstensi Toeplitz abstrak, dan juga bahwa secara umum ekstensi Toeplitz abstrak tidak harus injektif.

Definisi 16.3.23.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $H$ ruang Hilbert. Dalam semangat [27], definisi 2.7.6, kita mengatakan bahwa suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ bersifat semiterbelah jika terdapat suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau\,'\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ sedemikian sehingga $\tau \oplus \tau'$ terbelah.

Proposisi 16.3.24.

Andaikan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $H$ ruang Hilbert. Maka suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ semiterbelah jika dan hanya jika ekuivalen secara uniter dengan suatu ekstensi Toeplitz abstrak.

Bukti.

Proof. Lihat [27], proposisi 2.7.10. ◻

Pemetaan Positif Lengkap

Dalam contoh 7.1.29 ditunjukkan bagaimana himpunan $\mathbf M_n$ semua matriks $n \times n$ atas bilangan kompleks dapat dijadikan aljabar- $C^*$ . Sekarang kita memperumum contoh itu ke aljabar $\mathbf{M}_{n}({A})$ semua matriks $n \times n$ yang unsur-unsurnya berasal dari aljabar- $C^*$ $A$ .

Contoh 16.4.1.

Dalam contoh 8.1.13 dinyatakan bahwa jika $A$ merupakan aljabar- $C^*$ , maka di bawah operasi aljabar biasa, himpunan $\mathbf{M}_{n}({A})$ semua matriks $n \times n$ yang unsur-unsurnya berasal dari $A$ merupakan suatu aljabar. Aljabar ini dapat dijadikan aljabar- $*\,$ dengan mengambil transposisi konjugat sebagai involusi. Artinya, definisikan $[ a_{ij}]^* := \bigl[ {a_{j\,i}}^*\bigr]$ dengan $a_{ij} \in A$ untuk $1 \le i,j \le n$ .

Misalkan $H$ ruang Hilbert. Untuk sementara, ruang itu tidak harus berdimensi tak hingga atau separabel. Lambangkan dengan $H^n$ jumlah langsung rangkap- $n$ -nya. Artinya, $H^n := \bigoplus_{k=1}^n H_k$ dengan $H_k = H$ untuk $k = 1, \dots, n$ . Misalkan $[T_{jk}] \in \mathbf M_n(\mathfrak{B}(H))$ . Untuk $\mathbf{x} = x_1 \oplus \dots \oplus x_n \in H^n$ , definisikan $\mathbf{T} \colon H^n \rightarrow H^n \colon \mathbf{x} \mapsto [T_{jk}] \mathbf{x} = \sum_{k=1}^n T_{1k}x_k \oplus \dots \oplus \sum_{k=1}^n T_{nk}x_k \,.$ Maka $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(H^n)$ . Lebih lanjut, pemetaan $\Psi \colon \mathbf M_n\bigl(\mathfrak{B}(H)\bigr) \rightarrow\mathfrak{B}(H^n) \colon [T_{jk}] \mapsto \mathbf{T}$ merupakan isomorfisme aljabar- $*\,$ . Gunakan $\Psi$ untuk memindahkan norma operator pada $\mathfrak{B}(H^n)$ ke $\mathbf M_n\bigl(\mathfrak{B}(H)\bigr)$ . Artinya, definisikan $\bigl\lVert\,[T_{jk}]\,\bigr\rVert := \lVert\mathbf{T}\rVert\,.$ Ini menjadikan $\mathbf M_n\bigl(\mathfrak{B}(H)\bigr)$ aljabar- $C^*$ yang isomorfik dengan $\mathfrak{B}(H^n)$ .

Sekarang andaikan $A$ aljabar- $C^*$ sebarang. Gunakan versi III Teorema Gelfand–Naimark pada 13.3.8. Dengan teorema ini, kita dapat mengidentifikasi $A$ dengan subaljabar- $C^*$ dari $\mathfrak{B}(H)$ untuk suatu ruang Hilbert $H$ dan, akibatnya, $\mathbf{M}_{n}({A})$ dengan suatu subaljabar- $C^*$ dari $\mathbf M_n\bigl(\mathfrak{B}(H)\bigr)$ . Dengan identifikasi ini, $\mathbf{M}_{n}({A})$ menjadi aljabar- $C^*$ . (Perhatikan bahwa menurut akibat 11.4.10, norma pada aljabar- $C^*$ bersifat tunggal; jadi jelas bahwa norma pada $\mathbf M_n(A)$ tidak bergantung pada cara khusus $A$ direpresentasikan sebagai subaljabar- $C^*$ dari operator pada suatu ruang Hilbert.)

Contoh 16.4.2.

Misalkan $k \in \mathbb{N}$ dan $A = \mathbf M_k$ . Maka untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , $\mathbf M_n(A) = \mathbf M_n(\mathbf M_k) \cong \mathbf M_{nk}\,.$ Isomorfismenya jelas: cukup hapus kurung siku bagian dalam. Sebagai contoh, isomorfisme dari $\mathbf M_2(\mathbf M_2)$ ke $\mathbf M_4$ diberikan oleh $\begin{bmatrix} {} & {} \\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \\*[25pt] \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} d_{11} & d_{12} \\ d_{21} & d_{22} \end{bmatrix} \\ {} & {} \end{bmatrix} \quad \mapsto \quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & b_{11} & b_{12} \\ a_{21} & a_{22} & b_{21} & b_{22} \\ c_{11} & c_{12} & d_{11} & d_{12} \\ c_{21} & c_{22} & d_{21} & d_{22} \end{bmatrix}$

Definisi 16.4.3.

Suatu pemetaan $\phi\colon A \rightarrow B$ di antara aljabar- $C^*$ disebut positif jika pemetaan itu membawa elemen positif ke elemen positif; yakni, jika $\phi(a) \in B^+$ setiap kali $a \in A^+$ .

Contoh 16.4.4.

Setiap homomorfisme- $*\,$ di antara aljabar- $C^*$ bersifat positif. (Lihat proposisi 12.5.19.)

Proposisi 16.4.5.

Setiap pemetaan linear positif di antara aljabar- $C^*$ bersifat terbatas.

Notasi 16.4.6.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ serta $n \in \mathbb{N}$ . Suatu pemetaan linear $\phi\colon A \rightarrow B$ menginduksi pemetaan linear $\phi^{(\,n)} := \phi \otimes \operatorname{id}_{\mathbf M_n}\colon A \otimes \mathbf M_n \rightarrow B \otimes \mathbf M_n$ . Seperti telah kita lihat, $A \otimes \mathbf M_n$ dapat diidentifikasi dengan $\mathbf M_n(A)$ . Jadi kita dapat memandang $\phi^{(\,n)}$ sebagai pemetaan dari $\mathbf M_n(A)$ ke $\mathbf M_n(B)$ yang didefinisikan oleh $\phi^{(\,n)}\big(\,[a_{jk}]\,\bigr) = \bigl[ \phi(a_{jk})\bigr]$ .

Mudah dilihat bahwa jika $\phi$ mempertahankan perkalian, maka setiap $\phi^{(\,n)}$ juga demikian, dan jika $\phi$ mempertahankan involusi, maka setiap $\phi^{(\,n)}$ juga demikian. Akan tetapi, kepositifan tidak selalu dipertahankan, sebagaimana ditunjukkan contoh 16.4.8 berikut.

Definisi 16.4.7.

Dalam $\mathbf M_n$ , unit matriks standar adalah matriks-matriks $e^{jk}$ ( $1 \le j,k \le n$ ) yang entri pada baris ke- $j$ dan kolom ke- $k$ bernilai $1$ , sedangkan semua entri lainnya bernilai $0$ .

Contoh 16.4.8.

Misalkan $A = \mathbf M_2$ . Maka $\phi\colon A \rightarrow A\colon a \mapsto a^t$ (dengan $a^t$ transposisi $a$ ) merupakan pemetaan positif. Pemetaan $\phi^{(2)}\colon \mathbf M_2(A) \rightarrow\mathbf M_2(A)$ tidak positif. Untuk melihatnya, misalkan $e^{11}$ , $e^{12}$ , $e^{21}$ , dan $e^{22}$ unit matriks standar untuk $A$ . Maka $\phi^{(2)}\left(\begin{bmatrix} e^{11} & e^{12} \\ e^{21} & e^{22} \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} \phi(e^{11}) & \phi(e^{12}) \\ \phi(e^{21}) & \phi(e^{22}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{11} & e^{21} \\ e^{12} & e^{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ yang tidak positif.

Definisi 16.4.9.

Suatu pemetaan linear $\phi\colon A \rightarrow B$ di antara aljabar- $C^*$ beridentitas disebut $n$ -positif (untuk $n \in \mathbb{N}$ ) jika $\phi^{(\,n)}$ positif. Pemetaan itu disebut positif lengkap jika bersifat $n$ -positif untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ .

Contoh 16.4.10.

Setiap homomorfisme- $*\,$ di antara aljabar- $C^*$ bersifat positif lengkap.

Proposisi 16.4.11.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $a \in A$ . Maka $\lVert a\rVert \le 1$ jika dan hanya jika $\begin{bmatrix} \mathbf{1} & a \\ a^* & \mathbf{1} \end{bmatrix}$ positif dalam $\mathbf M_2(A)$ .

Proposisi 16.4.12.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $a$ , $b \in A$ . Maka $a^*a \le b$ jika dan hanya jika $\begin{bmatrix} \mathbf{1} & a \\ a^* & b \end{bmatrix}$ positif dalam $\mathbf M_2(A)$ .

Proposisi 16.4.13.

Setiap pemetaan $2$ -positif beridentitas di antara aljabar- $C^*$ beridentitas bersifat kontraktif.

Proposisi 16.4.14.

Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ merupakan pemetaan $2$ -positif beridentitas di antara aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\bigl(\phi(a)\bigr)^*\phi(a) \le \phi(a^*a)$ untuk setiap $a \in A$ .

Definisi 16.4.15.

Mudah dilihat bahwa jika $\phi\colon A \rightarrow B$ merupakan pemetaan linear terbatas di antara aljabar- $C^*$ , maka $\phi^{(\,n)}$ terbatas untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ . Jika $\lVert\phi\rVert_{\mathrm{cb}} := \sup\{\lVert\phi^{(\,n)}\rVert \colon n \in \mathbb{N}\} < \infty$ , maka $\phi$ disebut terbatas lengkap.

Proposisi 16.4.16.

Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ merupakan pemetaan linear beridentitas dan positif lengkap di antara aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\phi$ terbatas lengkap dan $\lVert\phi(\mathbf{1})\rVert = \lVert\phi \rVert= \lVert\phi\rVert_{\mathrm{cb}}\,.$

Bukti.

Proof. Lihat [40]. ◻

Teorema 16.4.17.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, $H$ ruang Hilbert, dan $\phi\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ pemetaan linear beridentitas. Maka $\phi$ positif lengkap jika dan hanya jika terdapat suatu ruang Hilbert $H_0$ , suatu isometri $V\colon H \rightarrow H_0$ , dan suatu representasi tak terdegenerasi $\mathbf{r}\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H_0)$ sedemikian sehingga $\phi(a) = V^*\mathbf{r}(a)V$ untuk setiap $a \in A$ .

Bukti.

Proof. Lihat [27], teorema 3.1.3, atau [40], teorema 4.1. ◻

Notasi 16.4.18.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ , $f\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H_0)$ , dan $g\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ , dengan $H_0$ dan $H$ ruang Hilbert. Kita menulis $g \lesssim f$ jika terdapat suatu isometri $V\colon H \rightarrow H_0$ sedemikian sehingga $g(a) - V^*f(a)V \in \mathfrak{K}(H)$ untuk setiap $a \in A$ . Relasi $\lesssim$ merupakan praurutan, tetapi bukan urutan parsial; yakni, relasi itu refleksif dan transitif, tetapi tidak antisimetris.

Teorema 16.4.19.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas yang separabel, $\mathbf{r}\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H_0)$ representasi tak terdegenerasi, dan $\phi\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ pemetaan linear beridentitas dan positif lengkap (dengan $H$ dan $H_0$ ruang Hilbert). Jika $\phi(a) = \mathbf{0}$ setiap kali $\mathbf{r}(a) \in \mathfrak{K}(H_0)$ , maka $\phi \lesssim \mathbf{r}$ .

Bukti.

Proof. Buktinya panjang dan rumit, tetapi “elementer”. Lihat [27], bagian 3.5–3.6. ◻

Proposisi 16.4.20.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas yang separabel, $H$ ruang Hilbert, dan $\tau_1$ , $\tau_2 \colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ monomorfisme- $*\,$ beridentitas. Jika $\tau_2$ terbelah, maka $\tau_1 + \tau_2$ ekuivalen secara uniter dengan $\tau_1$ .

Bukti.

Proof. Lihat [27], teorema 3.4.7. ◻

Akibat 16.4.21.

Andaikan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas yang separabel, $H$ ruang Hilbert, dan $\tau \colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ monomorfisme- $*\,$ beridentitas yang terbelah. Maka $[\tau]$ merupakan identitas aditif dalam $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ .

Perhatikan bahwa suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ dari aljabar- $C^*$ beridentitas yang separabel ke aljabar Calkin dari suatu ruang Hilbert $H$ bersifat semiterbelah jika dan hanya jika $[\tau]$ mempunyai invers aditif dalam $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ . Proposisi berikut mengatakan bahwa hal ini terjadi jika dan hanya jika $\tau$ mempunyai suatu pengangkatan positif lengkap ke $\mathfrak{B}(H)$ .

Proposisi 16.4.22.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas yang separabel dan $H$ ruang Hilbert. Suatu monomorfisme- $*\,$ beridentitas $\tau\colon A \rightarrow\mathfrak{Q}(H)$ semiterbelah jika dan hanya jika terdapat suatu pemetaan linear beridentitas dan positif lengkap $\widetilde{\tau}\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ sedemikian sehingga diagram

Segitiga pengangkatan monomorfisme tau. Pemetaan tau tilde membawa A ke B(H), pemetaan hasil bagi pi membawa B(H) ke aljabar Calkin Q(H), dan tau membawa A langsung ke Q(H). Segitiga komutatif: pi setelah tau tilde sama dengan tau. Dalam proposisi ini tau tilde harus linear, beridentitas, dan positif lengkap. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

komutatif.

Bukti.

Proof. Lihat [27], teorema 3.1.5. ◻

Definisi 16.4.23.

Suatu aljabar- $C^*$ $A$ disebut nuklir jika untuk setiap aljabar- $C^*$ $B$ terdapat suatu norma- $C^*$ tunggal pada hasil kali tensor aljabaris $A \odot B$ .

Contoh 16.4.24.

Setiap aljabar- $C^*$ berdimensi hingga bersifat nuklir.

Bukti.

Proof. Lihat [39], teorema 6.3.9. ◻

Contoh 16.4.25.

Aljabar- $C^*$ $\mathbf M_n$ bersifat nuklir.

Bukti.

Proof. Lihat [3], II.9.4.2. ◻

Contoh 16.4.26.

Jika $H$ ruang Hilbert, maka aljabar- $C^*$ $\mathfrak{K}(H)$ dari operator kompak bersifat nuklir.

Bukti.

Proof. Lihat [39], contoh 6.3.2. ◻

Contoh 16.4.27.

Jika $X$ ruang Hausdorff kompak, maka aljabar- $C^*$ $\mathcal{C}(X)$ bersifat nuklir.

Bukti.

Proof. Lihat [40], proposisi 12.9. ◻

Contoh 16.4.28.

Setiap aljabar- $C^*$ komutatif bersifat nuklir.

Bukti.

Proof. Lihat [18], teorema 7.4.1, atau [51], teorema T.6.20. ◻

Kesimpulan hasil berikut dikenal sebagai sifat pengangkatan positif lengkap.

Proposisi 16.4.29.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, separabel, dan nuklir, serta $J$ suatu ideal separabel dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $B$ . Maka untuk setiap pemetaan positif lengkap $\phi\colon A \rightarrow B/J$ , terdapat suatu pemetaan positif lengkap $\widetilde{\phi}\colon A \rightarrow B$ yang membuat diagram

Segitiga sifat pengangkatan positif lengkap. Pemetaan phi tilde membawa A ke B, pemetaan hasil bagi kanonik membawa B ke B per J, dan phi membawa A langsung ke B per J. Segitiga komutatif: pemetaan hasil bagi setelah phi tilde sama dengan phi. Pemetaan phi dan pengangkatannya phi tilde positif lengkap. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

komutatif.

Bukti.

Proof. Lihat [27], teorema 3.3.6. ◻

Akibat 16.4.30.

Jika $A$ merupakan aljabar- $C^*$ beridentitas, separabel, dan nuklir, maka $\mathop{\mathrm{Ext}}A$ merupakan grup Abelian.