Bab 12 · Bertahan Tanpa Identitas

Unitalisasi Aljabar Banach

Definisi 12.1.1.

Misalkan $A$ suatu aljabar. Definisikan $A \bowtie \mathbb{C}$ sebagai himpunan $A \times \mathbb{C}$ yang penjumlahan dan perkalian skalarnya didefinisikan secara titik demi titik dan perkaliannya didefinisikan oleh $(a,\lambda)\cdot(b,\mu) = (ab + \mu a + \lambda b, \lambda\mu).$ Jika aljabar $A$ dilengkapi dengan suatu involusi, definisikan involusi pada $A \bowtie \mathbb{C}$ secara titik demi titik; yaitu, $(a,\lambda)^* := (a^*, \overline{\lambda})$ . (Notasi $A \bowtie \mathbb{C}$ tidak baku.)

Proposisi 12.1.2.

Jika $A$ suatu aljabar, maka $A \bowtie \mathbb{C}$ adalah aljabar beridentitas yang di dalamnya $A$ dibenamkan sebagai (yaitu, isomorfik dengan) suatu ideal sedemikian sehingga $(A \bowtie \mathbb{C})/A \cong \mathbb{C}$ . Identitas $A \bowtie \mathbb{C}$ adalah $(0,1)$ . Jika $A$ suatu aljabar- $*\,$ , maka $A \bowtie \mathbb{C}$ adalah aljabar- $*\,$ beridentitas yang di dalamnya $A$ merupakan ideal- $*\,$ sedemikian sehingga $(A \bowtie \mathbb{C})/A \cong \mathbb{C}$ .

Definisi 12.1.3.

Aljabar $A \bowtie \mathbb{C}$ adalah unitalisasi dari aljabar (atau aljabar- $*\,$ ) $A$ .

Notasi 12.1.4.

Dalam konstruksi sebelumnya, unsur-unsur aljabar $A \bowtie \mathbb{C}$ secara teknis adalah pasangan terurut $(a,\lambda)$ . Unsur-unsur itu biasanya ditulis secara berbeda. Misalkan $\iota\colon A \rightarrow A \bowtie \mathbb{C}\colon a \mapsto (a,0)$ dan $\pi\colon A \bowtie \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\colon (a,\lambda) \mapsto \lambda$ . Karena $(0,1)$ adalah identitas dalam $A \bowtie \mathbb{C}$ , diperoleh $\begin{align*} (a,\lambda) &= (a,0) + (\mathbf{0},\lambda) \\ &= \iota(a) + \lambda \mathbf{1}_{A \bowtie \mathbb{C}} \end{align*}$ Sudah lazim untuk memperlakukan $\iota$ sebagai pemetaan inklusi. Jadi, wajar untuk menulis $(a,\lambda)$ sebagai $a + \lambda \mathbf{1}_{A \bowtie \mathbb{C}}$ atau cukup sebagai $a + \lambda \mathbf{1}$ . Tampaknya tidak timbul ambiguitas dengan menghilangkan acuan pada identitas perkalian, sehingga notasi baku untuk pasangan $(a,\lambda)$ adalah $a + \lambda$ .

Definisi 12.1.5.

Misalkan $A$ suatu aljabar yang tak beridentitas. Definisikan spektrum suatu unsur $a \in A$ sebagai spektrum $a$ ketika dipandang sebagai unsur dari $A \bowtie \mathbb{C}$ ; yaitu, $\sigma_A(a) := \sigma_{A \bowtie \mathbb{C}}(a)$ .

Definisi 12.1.6.

Misalkan $A$ suatu aljabar bernorma (dengan atau tanpa involusi). Pada unitalisasi $A \bowtie \mathbb{C}$ dari $A$ , definisikan $\lVert(a,\lambda)\rVert := \lVert a\rVert + \lvert\lambda\rvert$ .

Proposisi 12.1.7.

Misalkan $A$ suatu aljabar bernorma. Pemetaan $(a,\lambda) \mapsto \lVert a\rVert + \lvert\lambda\rvert$ yang didefinisikan di atas adalah norma yang menjadikan $A \bowtie \mathbb{C}$ suatu aljabar bernorma. Jika $A$ suatu aljabar Banach (berturut-turut, aljabar Banach- $*\,$ ), maka $A \bowtie \mathbb{C}$ adalah aljabar Banach (berturut-turut, aljabar Banach- $*\,$ ). Aljabar Banach (atau aljabar Banach- $*\,$ ) yang dihasilkan adalah unitalisasi dari $A$ dan akan dinotasikan dengan $A_e$ .

Dengan definisi spektrum yang diperluas ini, banyak fakta terdahulu untuk aljabar Banach beridentitas tetap berlaku dalam tatanan yang lebih umum. Secara khusus, untuk rujukan selanjutnya, kita nyatakan kembali butir-butir 8.1.36, 8.1.41, 8.1.46, dan 8.1.50.

Proposisi 12.1.8.

Misalkan $a$ suatu unsur dari aljabar Banach $A$ . Maka spektrum $a$ kompak dan $\lvert\lambda \rvert\le \lVert a\rVert$ untuk setiap $\lambda \in \sigma(a)$ .

Proposisi 12.1.9.

Spektrum setiap unsur dari suatu aljabar Banach tidak kosong.

Proposisi 12.1.10.

Untuk setiap unsur $a$ dari suatu aljabar Banach, $\rho(a) \le \lVert a\rVert$ dan $\rho(a^n) = \bigr(\rho(a)\bigr)^n$ .

Teorema 12.1.11.

Jika $a$ suatu unsur dari aljabar Banach, maka $\rho(a) = \inf\bigl\{\lVert a^n\rVert^{1/n}\colon n \in \mathbb{N}\bigr\} = \lim_{n \rightarrow\infty} \lVert a^n\rVert^{1/n}.$

Definisi 12.1.12.

Misalkan $A$ suatu aljabar. Suatu ideal kiri $J$ dalam $A$ adalah ideal kiri modular jika terdapat suatu unsur $u$ dalam $A$ sedemikian sehingga $au - a \in J$ untuk setiap $a \in A$ . Unsur $u$ demikian disebut identitas kanan terhadap $J$ . Demikian pula, suatu ideal kanan $J$ dalam $A$ adalah ideal kanan modular jika terdapat suatu unsur $v$ dalam $A$ sedemikian sehingga $va - a \in J$ untuk setiap $a \in A$ . Unsur $v$ demikian disebut identitas kiri terhadap $J$ . Suatu ideal dua sisi $J$ adalah ideal modular jika terdapat suatu unsur $e$ yang sekaligus merupakan identitas kiri dan identitas kanan terhadap $J$ .

Proposisi 12.1.13.

Suatu ideal $J$ dalam suatu aljabar bersifat modular jika dan hanya jika ideal tersebut merupakan ideal kiri modular sekaligus ideal kanan modular.

Bukti.

Petunjuk untuk pembuktian. Tunjukkan bahwa jika $u$ suatu identitas kanan terhadap $J$ dan $v$ suatu identitas kiri terhadap $J$ , maka $vu$ sekaligus merupakan identitas kanan dan identitas kiri terhadap $J$ . ◻

Proposisi 12.1.14.

Suatu ideal $J$ dalam suatu aljabar $A$ bersifat modular jika dan hanya jika aljabar hasil bagi $A/J$ beridentitas.

Contoh 12.1.15.

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal. Untuk setiap $x \in X$ , ideal $J_x$ adalah ideal modular maksimal dalam aljabar- $C^*$ $\mathcal{C}_0(X)$ dari fungsi-fungsi kontinu bernilai kompleks pada $X$ .

Bukti.

Proof. Menurut versi lema Urysohn untuk ruang Hausdorff kompak lokal (lihat, misalnya, [16], teorema 17.2.10), terdapat suatu fungsi $g \in \mathcal{C}_0(X)$ sedemikian sehingga $g(x) = 1$ . Jadi, $J_x$ bersifat modular karena $g$ merupakan suatu identitas terhadap $J_x$ . Karena $\mathcal{C}_0(X) = J_x \oplus\,\, \mathop{\mathrm{span}}\{g\}$ , ideal $J_x$ mempunyai kodimensi $1$ dan oleh karena itu maksimal. ◻

Proposisi 12.1.16.

Jika $J$ suatu ideal modular sejati dalam aljabar Banach, maka penutupannya juga demikian.

Akibat 12.1.17.

Setiap ideal modular maksimal dalam suatu aljabar Banach tertutup.

Proposisi 12.1.18.

Setiap ideal modular sejati dalam suatu aljabar Banach termuat dalam suatu ideal modular maksimal.

Proposisi 12.1.19.

Misalkan $A$ suatu aljabar Banach komutatif dan $\phi \in \Delta A$ . Maka $\ker\phi$ adalah ideal modular maksimal dalam $A$ dan $A/\ker\phi$ adalah suatu medan. Lebih lanjut, setiap ideal modular maksimal merupakan kernel dari tepat satu karakter dalam $\Delta A$ .

Proposisi 12.1.20.

Setiap fungsional linear multiplikatif pada suatu aljabar Banach komutatif $A$ bersifat kontinu. Bahkan, setiap karakter bersifat kontraktif.

Contoh 12.1.21.

Misalkan $A_e$ unitalisasi dari suatu aljabar Banach komutatif $A$ (lihat proposisi 12.1.7). Definisikan $\phi_\infty\colon A_e \rightarrow\mathbb{C}\colon (a,\lambda) \mapsto \lambda\,.$ Maka $\phi_\infty$ adalah suatu karakter pada $A_e$ .

Proposisi 12.1.22.

Setiap karakter $\phi$ pada suatu aljabar Banach komutatif $A$ mempunyai perpanjangan tunggal menjadi suatu karakter $\phi_e$ pada unitalisasi $A_e$ dari $A$ . Selain itu, pembatasan pada $A$ dari sebarang karakter pada $A_e$ , dengan pengecualian yang jelas yaitu $\phi_\infty$ , adalah suatu karakter pada $A$ .

Proposisi 12.1.23.

Jika $A$ suatu aljabar Banach komutatif, maka

$\Delta A$ adalah ruang Hausdorff kompak lokal,
$\Delta A_e = \Delta A \cup \{\phi_\infty\}$ ,
$\Delta A_e$ adalah kompaktifikasi satu titik dari $\Delta A$ , dan
pemetaan $\phi \mapsto \phi_e$ adalah homeomorfisme dari $\Delta A$ ke $\Delta A_e \setminus \{\phi_\infty\}$ .

Jika $A$ beridentitas (sehingga $\Delta A$ kompak), maka $\phi_\infty$ adalah titik terisolasi dari $\Delta A_e$ .

Teorema 12.1.24.

Jika $A$ suatu aljabar Banach komutatif dengan ruang karakter yang tidak kosong, maka transformasi Gelfand $\Gamma = \Gamma_A\colon A \rightarrow\mathcal{C}_0(\Delta A)\colon a \mapsto \widehat{a} = \Gamma_a$ adalah suatu homomorfisme aljabar kontraktif dan $\rho(a) = \lVert\widehat{a}\rVert_u$ . Lebih lanjut, jika $A$ tidak beridentitas, maka $\sigma(a) = \mathop{\mathrm{ran}}\widehat{a} \cup \{0\}$ untuk setiap $a \in A$ .

Barisan Eksak dan Ekstensi

Prosedur yang cukup sederhana untuk unitalisasi aljabar Banach- $*\,$ (lihat 12.1.1 dan 12.1.6) tidak dapat diterapkan begitu saja pada aljabar- $C^*$ . Norma yang didefinisikan dalam 12.1.6 tidak memenuhi syarat- $C^*$ (definisi 7.1.23). Ternyata unitalisasi aljabar- $C^*$ sedikit lebih rumit. Sebelum menelaah perinciannya, kita melihat beberapa bahan persiapan mengenai barisan eksak dan ekstensi aljabar- $C^*$ .

Dalam dunia aljabar- $C^*$ , barisan eksak didefinisikan pada dasarnya dengan cara yang sama seperti barisan eksak aljabar Banach (lihat 6.5.9).

Definisi 12.2.1.

Suatu barisan aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$

Potongan barisan aljabar C-bintang: elipsis menuju A sub-n-minus-satu, lalu panah phi sub-n ke A sub-n, lalu panah phi sub-n-plus-satu ke A sub-n-plus-satu, lalu elipsis. Barisan eksak di A sub-n bila jangkauan phi sub-n sama dengan kernel phi sub-n-plus-satu. Ini barisan berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dikatakan eksak di $A_n$ jika $\mathop{\mathrm{ran}}\phi_n = \ker \phi_{n+1}$ . Suatu barisan disebut eksak jika barisan tersebut eksak di setiap aljabar- $C^*$ penyusunnya. Suatu barisan aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$ berbentuk

Barisan eksak pendek aljabar C-bintang: ruang nol menuju A, lalu phi dari A ke E, lalu psi dari E ke B, lalu B menuju ruang nol. Eksak berarti phi injektif, psi surjektif, dan jangkauan phi sama dengan kernel psi. Barisan terbelah bila ada homomorfisme xi dari B ke E dengan psi setelah xi sama dengan identitas B. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

adalah suatu barisan eksak pendek. (Di sini $\mathbf{0}$ menyatakan aljabar- $C^*$ trivial berdimensi $0$ , dan panah-panah tanpa label adalah homomorfisme- $*$ yang jelas.) Barisan eksak pendek aljabar- $C^*$ 12.2.1 adalah eksak terbelah jika terdapat suatu homomorfisme- $*\,$ $\xi\colon B \rightarrow E$ sedemikian sehingga $\psi\circ\xi = \operatorname{id}_{B}$ .

Definisi-definisi sebelumnya diberikan untuk kategori $\mathbf{CSA}$ dari aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$ . Tentu saja, tidak ada yang khusus mengenai kategori tertentu ini. Barisan eksak bermakna dalam banyak situasi, misalnya dalam berbagai kategori ruang Banach, aljabar Banach, ruang Hilbert, ruang vektor, grup Abel, modul, dan sebagainya.

Sering kali, dalam konteks aljabar- $C^*$ , barisan eksak 12.2.1 disebut suatu ekstensi. Sebagian penulis menyebutnya ekstensi $A$ oleh $B$ (misalnya, [51] dan [10]), sedangkan penulis lain mengatakan bahwa barisan itu merupakan ekstensi $B$ oleh $A$ ([39], [18], dan [3]). Dalam [18] dan [3], ekstensi didefinisikan sebagai barisan 12.2.1; dalam [51], ekstensi didefinisikan sebagai tripel terurut $(\phi,E,\psi)$ ; dan dalam [39] serta [10], ekstensi didefinisikan sebagai aljabar- $C^*$ $E$ itu sendiri. Terlepas dari definisi formalnya, umum dikatakan bahwa $E$ adalah ekstensi $A$ oleh $B$ (atau $B$ oleh $A$ ).

Konvensi 12.2.2.

Dalam suatu aljabar- $C^*$ , kata ideal akan selalu berarti suatu ideal- $*\,$ dua sisi tertutup (kecuali, tentu saja, jika yang sebaliknya dinyatakan secara eksplisit). Sebentar lagi akan kita tunjukkan (dalam proposisi 12.6.6) bahwa syarat agar suatu ideal dalam aljabar- $C^*$ bersifat swaadjoin sebenarnya berlebih. Suatu ideal aljabar dua sisi dari aljabar- $C^*$ yang tidak harus tertutup akan disebut ideal aljabar. Suatu ideal aljabar swaadjoin dari aljabar- $C^*$ akan disebut ideal- $\ast$ aljabar.

Bandingkan dua proposisi berikut dengan 6.5.10 dan 6.5.11 yang hampir identik.

Proposisi 12.2.3.

Tinjau diagram berikut dalam kategori aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- ${}^*$

Dua baris eksak pendek aljabar C-bintang: nol ke A melalui j ke B melalui k ke C ke nol, dan nol ke A prima melalui j prima ke B prima melalui k prima ke C prima ke nol. Panah vertikal f dari A ke A prima dan g dari B ke B prima membuat persegi kiri komutatif; terdapat satu-satunya panah putus-putus h dari C ke C prima yang membuat persegi kanan komutatif, yaitu h setelah k sama dengan k prima setelah g. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Jika baris-barisnya eksak dan persegi kirinya komutatif, maka terdapat homomorfisme- ${}^*$ $h\colon C \rightarrow C'$ tunggal yang membuat persegi kanannya komutatif.

Proposisi 12.2.4.

Andaikan dalam diagram aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- ${}^*$ berikut

Diagram Lema Lima untuk aljabar C-bintang, dengan dua baris eksak pendek: nol ke A melalui j ke B melalui k ke C ke nol, dan nol ke A prima melalui j prima ke B prima melalui k prima ke C prima ke nol. Panah vertikal f, g, dan h menghubungkan objek dengan versi primanya; kedua persegi komutatif, sehingga g setelah j sama dengan j prima setelah f dan h setelah k sama dengan k prima setelah g. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

baris-barisnya eksak dan persegi-perseginya komutatif. Buktikan hal-hal berikut.

Jika $g$ surjektif, maka $h$ juga surjektif.
Jika $f$ surjektif dan $g$ injektif, maka $h$ injektif.
Jika $f$ dan $h$ surjektif, maka $g$ juga surjektif.
Jika $f$ dan $h$ injektif, maka $g$ juga injektif.

Definisi 12.2.5.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ . Kita mendefinisikan jumlah langsung (eksternal) dari $A$ dan $B$ , yang dinotasikan dengan $A \oplus B$ , sebagai hasil kali Cartesius $A \times B$ dengan operasi-operasi aljabar yang didefinisikan secara titik demi titik dan norma yang diberikan oleh $\lVert(a,b)\rVert = \max\{\lVert a\rVert,\lVert b\rVert\}$ untuk semua $a \in A$ dan $b \in B$ . Notasi alternatif untuk unsur $(a,b)$ dalam $A \oplus B$ adalah $a \oplus b$ .

Contoh 12.2.6.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ . Maka jumlah langsung $A$ dan $B$ adalah suatu aljabar- $C^*$ dan barisan berikut adalah barisan eksak pendek terbelah:

Ekstensi jumlah langsung yang terbelah: ruang nol menuju A, lalu inklusi iota satu membawa a ke pasangan (a, nol) dalam A tambah langsung B, lalu proyeksi pi dua membawa pasangan ke B, lalu B menuju ruang nol. Barisan eksak dan terbelah oleh inklusi faktor B ke A tambah langsung B. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Pemetaan-pemetaan yang ditunjukkan di atas adalah pemetaan-pemetaan yang jelas: $\iota_1\colon A \rightarrow A \oplus B\colon a \mapsto (a,\mathbf{0}) \qquad \text{dan} \qquad \pi_2 \colon A \oplus B \rightarrow B: (a,b) \mapsto b\,.$ Ini adalah ekstensi jumlah langsung.

Proposisi 12.2.7.

Jika $A$ dan $B$ adalah aljabar- $C^*$ tak nol, maka jumlah langsungnya $A \oplus B$ merupakan produk dalam kategori $\mathbf{CSA}$ dari aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$ (lihat contoh 4.7.15). Jumlah langsung itu beridentitas jika dan hanya jika $A$ dan $B$ keduanya beridentitas.

Definisi 12.2.8.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ serta $E$ dan $E'$ merupakan ekstensi $A$ oleh $B$ . Ekstensi-ekstensi ini ekuivalen kuat jika terdapat suatu isomorfisme- ${}^*$ $\theta\colon E \rightarrow E'$ yang membuat diagram

Diagram ekuivalensi kuat dua ekstensi A oleh B. Baris atas dan bawah masing-masing adalah nol menuju A menuju E atau E prima menuju B menuju nol. Panah vertikal pada A dan B adalah identitas, sedangkan panah tengah adalah isomorfisme bintang theta dari E ke E prima. Kedua persegi komutatif, sehingga theta menghormati penyertaan A dan pemetaan hasil bagi ke B. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

komutatif.

Proposisi 12.2.9.

Dalam definisi sebelumnya, cukup disyaratkan bahwa $\theta$ merupakan suatu homomorfisme- ${}^*$ .

Proposisi 12.2.10.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ . Suatu ekstensi

Ekstensi umum A oleh B: ruang nol menuju A, lalu phi dari A ke E, lalu psi dari E ke B, lalu B menuju ruang nol. Barisan ini eksak. Pernyataan di sekitarnya mencirikan kapan ekstensi tersebut ekuivalen kuat dengan ekstensi jumlah langsung. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

ekuivalen kuat dengan ekstensi jumlah langsung $A \oplus B$ jika dan hanya jika terdapat
suatu homomorfisme- ${}^*$ $\nu\colon E \rightarrow A$ sedemikian sehingga $\nu\circ\phi = \operatorname{id}_{A}$ .

Proposisi 12.2.11.

Jika barisan-barisan aljabar- $C^*$

Barisan eksak pendek pertama dalam perbandingan ekstensi: ruang nol menuju A, lalu phi dari A ke E, lalu psi dari E ke B, lalu B menuju ruang nol. Barisan ini diasumsikan terbelah. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

dan

Barisan eksak pendek kedua dalam perbandingan ekstensi: ruang nol menuju A, lalu phi prima dari A ke E prima, lalu psi prima dari E prima ke B, lalu B menuju ruang nol. Jika barisan ini ekuivalen kuat dengan barisan pertama yang terbelah, barisan ini juga terbelah. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

ekuivalen kuat dan 12.2.2 terbelah, maka 12.2.3 juga terbelah.

Unitalisasi Aljabar- $C^*$

Proposisi 12.3.1.

Kernel dari suatu homomorfisme- $*\,$ $\phi\colon A \rightarrow B$ antara aljabar- $C^*$ adalah suatu ideal- $*\,$ tertutup dalam $A$ dan jangkauannya adalah suatu subaljabar- $*\,$ dari $B$ .

Proposisi 12.3.2.

Jika $a$ suatu unsur dalam aljabar- $C^*$ , maka $\begin{align*} \lVert a\rVert &= \sup\{\lVert xa\rVert\colon \lVert x\rVert \le 1\} \\ &= \sup\{\lVert ax\rVert\colon \lVert x\rVert \le 1\}. \end{align*}$

Akibat 12.3.3.

Jika $a$ suatu unsur dari aljabar- $C^*$ $A$ , operator $L_a$ , yang disebut perkalian kiri oleh $a$ dan didefinisikan oleh $L_a\colon A \rightarrow A\colon x \mapsto ax$ adalah suatu operator (linear terbatas) pada $A$ . Lebih lanjut, pemetaan $L\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(A)\colon a \mapsto L_a$ sekaligus merupakan isometri dan homomorfisme aljabar.

Proposisi 12.3.4.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Maka terdapat suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $\widetilde{A}$ yang di dalamnya $A$ dibenamkan sebagai suatu ideal sedemikian sehingga barisan

Barisan unitalisasi: ruang nol menuju aljabar C-bintang A, lalu A masuk ke unitalisasi A tilde, lalu A tilde dipetakan ke bilangan kompleks, lalu menuju ruang nol. Barisan eksak dan terbelah; A tertanam sebagai ideal dan hasil baginya isomorfik dengan bilangan kompleks. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

eksak terbelah. Jika $A$ beridentitas, maka barisan 12.3.1 ekuivalen kuat dengan ekstensi jumlah langsung, sehingga $\widetilde{A} \cong A \oplus \mathbb{C}$ . Jika $A$ tidak beridentitas, maka $\widetilde{A}$ tidak isomorfik dengan $A \oplus \mathbb{C}$ .

Bukti.

Petunjuk untuk pembuktian. Pembuktian hasil ini agak rumit. Setiap orang sebaiknya menelusuri semua perinciannya setidaknya sekali dalam hidupnya. Berikut ini adalah garis besar suatu pembuktian.

Perhatikan bahwa kita berbicara tentang unitalisasi dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ baik $A$ sudah memiliki unit (identitas perkalian) maupun belum. Kita membagi argumen menjadi dua kasus.

Kasus 1: aljabar $A$ beridentitas.

Pada aljabar $A \bowtie \mathbb{C}$ , definisikan $\lVert(a,\lambda)\rVert := \max\{\lVert a + \lambda \mathbf{1}_A\rVert, \lvert\lambda\rvert\}$ dan misalkan $\widetilde{A} := A \bowtie \mathbb{C}$ bersama dengan norma ini.
Buktikan bahwa pemetaan $(a,\lambda) \mapsto \lVert(a,\lambda)\rVert$ adalah norma pada $A \bowtie \mathbb{C}$ .
Buktikan bahwa norma ini adalah norma aljabar.
Tunjukkan bahwa norma ini, sesungguhnya, merupakan norma- $C^*$ pada $A \bowtie \mathbb{C}$ .
Amati bahwa norma ini merupakan perpanjangan dari norma pada $A$ .
Buktikan bahwa $A \bowtie \mathbb{C}$ adalah suatu aljabar- $C^*$ dengan memverifikasi kelengkapan ruang metrik yang diinduksi oleh norma sebelumnya.
Buktikan bahwa barisan

Barisan unitalisasi terbelah: ruang nol menuju A, inklusi iota dari A ke A tilde, panah hasil bagi Q dari A tilde ke bilangan kompleks, panah balik psi dari bilangan kompleks ke A tilde, lalu bilangan kompleks menuju ruang nol. Barisan ke arah kanan eksak dan Q setelah psi adalah identitas pada bilangan kompleks.
Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.
eksak terbelah (dengan $\iota\colon a \mapsto (a,0)$ , $Q\colon (a,\lambda) \mapsto \lambda$ , dan $\psi\colon \lambda \mapsto (0,\lambda)$ ).
Buktikan bahwa $\widetilde{A}\overset{\,{}_\ast}{\cong}A \oplus \mathbb{C}$ .

Kasus 2: aljabar $A$ tidak beridentitas.

Buktikan fakta sederhana berikut.

Lema 12.3.5.
Misalkan $A$ suatu aljabar dan $B$ suatu aljabar bernorma. Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ adalah homomorfisme aljabar, maka fungsi $a \mapsto \lVert a\rVert := \lVert\phi(a)\rVert$ adalah seminorma pada $A$ . Fungsi tersebut adalah norma jika $\phi$ injektif.
Ingat bahwa dalam 12.3.3 kita mendefinisikan operator $L_a$ , perkalian kiri oleh $a$ . Sekarang, misalkan $A^{\sharp} := \{ L_a + \lambda I_A \in \mathfrak{B}(A)\colon a \in A \text{ dan } \lambda \in \mathbb{C}\}$ dan tunjukkan bahwa $A^\sharp$ adalah suatu aljabar bernorma.
Jadikan $A^\sharp$ suatu aljabar- $*\,$ dengan mendefinisikan $(L_a + \lambda I_A)^* := L_{a^*} + \overline{\lambda }I_A$ untuk semua $a \in A$ dan $\lambda \in \mathbb{C}$ .
Definisikan $\phi\colon A \bowtie \mathbb{C}\rightarrow A^\sharp\colon (a,\lambda) \mapsto L_a + \lambda I_A$ dan verifikasikan bahwa $\phi$ adalah suatu homomorfisme- $*\,$ .
Buktikan bahwa $\phi$ injektif.
Gunakan (9) untuk melengkapi $A \bowtie \mathbb{C}$ dengan suatu norma yang menjadikannya aljabar bernorma beridentitas. Misalkan $\widetilde{A} := A \bowtie \mathbb{C}$ dengan norma yang ditarik balik oleh $\phi$ dari $A^\sharp$ .
Verifikasikan fakta-fakta berikut.
1. Pemetaan $\phi\colon \widetilde{A} \rightarrow A^\sharp$ adalah isomorfisme isometrik.
2. $\mathop{\mathrm{ran}}L$ adalah subaljabar tertutup dari $\mathop{\mathrm{ran}}\phi = A^\sharp \subseteq \mathfrak{B}(A)$ .
3. $I_A \notin \mathop{\mathrm{ran}}L$ .
Buktikan bahwa norma pada $\widetilde{A}$ memenuhi syarat- $C^*$ .
Buktikan bahwa $\widetilde{A}$ adalah suatu aljabar- $C^*$ beridentitas. (Untuk menunjukkan bahwa $\widetilde{A}$ lengkap, kita hanya perlu menunjukkan bahwa $A^\sharp$ lengkap. Untuk tujuan ini, misalkan $\bigl(\phi(a_n,\lambda_n)\bigr)_{n=1}^\infty$ suatu barisan Cauchy dalam $A^\sharp$ . Untuk menunjukkan bahwa barisan ini konvergen, cukup ditunjukkan bahwa barisan itu mempunyai suatu subbarisan konvergen. Dengan menunjukkan bahwa barisan $(\lambda_n)$ terbatas, kita dapat mengekstrak darinya suatu subbarisan konvergen $\bigl(\lambda_{n_k}\bigr)$ . Buktikan bahwa $(L_{a_{n_k}})$ konvergen.)
Buktikan bahwa barisan

Barisan unitalisasi untuk aljabar A yang tidak beridentitas: ruang nol menuju A, lalu A masuk ke A tilde, lalu A tilde dipetakan ke bilangan kompleks, lalu menuju ruang nol. Barisan eksak dan terbelah, tetapi A tilde tidak isomorfik dengan jumlah langsung A dan bilangan kompleks.
Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.
eksak terbelah.
Aljabar- $C^*$ $\widetilde{A}$ tidak isomorfik dengan $A \oplus \mathbb{C}$ .

◻

Definisi 12.3.6.

Aljabar- $C^*$ $\widetilde{A}$ yang dikonstruksi dalam proposisi sebelumnya adalah unitalisasi dari $A$ .

Perhatikan bahwa definisi spektrum yang diperluas dalam 12.1.5 berlaku untuk aljabar- $C^*$ karena penambahan identitas merupakan perkara aljabar murni dan sama bagi aljabar- $C^*$ seperti bagi aljabar Banach umum. Dengan demikian, banyak fakta terdahulu yang dinyatakan untuk aljabar- $C^*$ beridentitas tetap berlaku. Secara khusus, untuk rujukan selanjutnya, kita nyatakan kembali butir-butir 11.4.6, 11.4.8, 11.4.9, 11.4.10, 11.4.11, 11.4.12, dan 11.4.13.

Proposisi 12.3.7.

Misalkan $a$ suatu unsur normal dari suatu aljabar- $C^*$ . Maka $\lVert a^2\rVert = {\lVert a\rVert}^2$ dan karena itu $\rho(a)~=~\lVert a\rVert$ .

Akibat 12.3.8.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ komutatif, maka $\lVert a^2\rVert = {\lVert a\rVert}^2$ dan $\rho(a)~=~\lVert a\rVert$ untuk setiap $a \in A$ .

Akibat 12.3.9.

Pada suatu aljabar- $C^*$ komutatif $A$ , transformasi Gelfand $\Gamma$ adalah isometri; yaitu, $\lVert\Gamma_a\rVert_u = \lVert\widehat{a}\rVert_u = \lVert a\rVert$ untuk setiap $a \in A$ .

Akibat 12.3.10.

Norma suatu aljabar- $C^*$ bersifat tunggal dalam arti bahwa, jika diberikan suatu aljabar $A$ dengan involusi, paling banyak ada satu norma yang menjadikan $A$ suatu aljabar- $C^*$ .

Proposisi 12.3.11.

Jika $h$ suatu unsur swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ , maka $\sigma(h) \subseteq \mathbb{R}$ .

Proposisi 12.3.12.

Jika $a$ suatu unsur swaadjoin dalam suatu aljabar- $C^*$ , maka transformasi Gelfandnya $\widehat{a}$ bernilai real.

Proposisi 12.3.13.

Setiap karakter pada suatu aljabar- $C^*$ $A$ mempertahankan involusi; dengan demikian, transformasi Gelfand $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{\!\!A}}}$ adalah suatu homomorfisme- $*$ .

Akibat langsung dari hasil-hasil sebelumnya adalah versi kedua dari teorema Gelfand–Naimark, yang menyatakan bahwa setiap aljabar- $C^*$ komutatif (isomorfik- $*\,$ secara isometrik dengan) aljabar dari semua fungsi kontinu pada suatu ruang Hausdorff kompak lokal yang lenyap di tak hingga. Seperti halnya pada versi pertama teorema ini (lihat 11.5.2), ruang Hausdorff kompak lokal yang dimaksud adalah ruang karakter dari aljabar tersebut.

Teorema 12.3.14.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ komutatif. Maka transformasi Gelfand $\Gamma_A\colon a \mapsto \widehat{a}$ adalah suatu isomorfisme- $*\,$ isometrik dari $A$ pada $\mathcal{C}_0(\Delta A)$ .

Dari proposisi berikut, diperoleh bahwa proses unitalisasi bersifat funktorial.

Proposisi 12.3.15.

Setiap homomorfisme- $*$ $\phi\colon A \rightarrow B$ antara aljabar- $C^*$ mempunyai suatu perpanjangan tunggal menjadi homomorfisme- $*$ beridentitas $\widetilde{\phi}\colon \widetilde{A} \rightarrow\widetilde{B}$ antara unitalisasi masing-masing.

Berbeda dengan keadaan pada aljabar Banach umum, tidak ada perbedaan antara kategori topologis dan kategori geometris aljabar- $C^*$ . Salah satu aspek paling mengagumkan dari teori aljabar- $C^*$ adalah bahwa homomorfisme- $*$ antara aljabar-aljabar demikian secara otomatis kontinu—bahkan, kontraktif. Akibatnya, jika dua aljabar- $C^*$ isomorfik- $*$ secara aljabar, maka keduanya isomorfik secara isometrik.

Proposisi 12.3.16.

Setiap homomorfisme- $*$ antara aljabar- $C^*$ bersifat kontraktif.

Proposisi 12.3.17.

Setiap homomorfisme- $*$ injektif antara aljabar- $C^*$ adalah suatu isometri.

Proposisi 12.3.18.

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal dan $\widetilde{X} = X \cup \{\infty\}$ merupakan kompaktifikasi satu titiknya. Definisikan $\iota\colon \mathcal{C}_0(X) \rightarrow\,\mathcal{C}(\widetilde{X})\colon f \mapsto \widetilde{f}$ dengan $\widetilde{f}(x) = \left\{% \begin{array}{ll} f(x), & \text{jika } x \in X; \\ 0, & \text{jika } x = \infty. \\ \end{array}% \right.$ Definisikan pula $E_\infty$ pada $\mathcal{C}(\widetilde{X})$ dengan $E_\infty(g) = g(\infty)$ . Maka barisan $\mathbf{0} \to \mathcal{C}_0(X) \to^\iota \,\,\mathcal{C}(\widetilde{X}) \to^{E_\infty} \mathbb{C}\to \mathbf{0}$ eksak.

Dalam proposisi sebelumnya, kita menyebut $\widetilde{X}$ sebagai kompaktifikasi satu titik dari $X$ bahkan jika $X$ sejak awal kompak. Kebanyakan definisi kompaktifikasi mensyaratkan suatu ruang rapat dalam setiap kompaktifikasinya. (Lihat ulasan saya pada awal bagian 17.3 dari [16].) Sebelumnya kita telah menggunakan konvensi bahwa unitalisasi dari suatu aljabar beridentitas memperoleh suatu identitas perkalian baru. Demi konsistensi dengan pilihan ini, selanjutnya kita akan menganut konvensi bahwa kompaktifikasi satu titik dari suatu ruang kompak memperoleh suatu titik tambahan (terisolasi). (Lihat pula istilah yang kita perkenalkan dalam 14.3.1.)

Dari sudut pandang teorema Gelfand–Naimark (12.3.14), wawasan mendasar yang disarankan oleh proposisi berikut adalah bahwa unitalisasi suatu aljabar- $C^*$ komutatif, dalam arti tertentu, merupakan “hal yang sama” dengan kompaktifikasi satu titik dari suatu ruang Hausdorff kompak lokal.

Proposisi 12.3.19.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal, maka aljabar- $C^*$ beridentitas $\bigl(\mathcal{C}_0(X)\bigr)^\sim$ dan $\mathcal{C}(\widetilde{X})$ isomorfik- $*\,$ secara isometrik.

Bukti.

Proof. Definisikan $\theta\colon \bigl(\mathcal{C}_0(X)\bigr)^\sim \!\!\rightarrow\mathcal{C}(\widetilde{X})\colon (f,\lambda) \mapsto \widetilde{f} + \lambda \mathbf{1}_{\widetilde{X}}$ (dengan $\mathbf{1}_{\widetilde{X}}$ menyatakan fungsi konstan $1$ pada $\widetilde{X}$ ). Kemudian tinjau diagram

Diagram dua ekstensi yang membandingkan unitalisasi C nol(X) dengan C dari kompaktifikasi satu titik X tilde. Baris atas: nol ke C nol(X), lalu ke unitalisasinya, lalu ke bilangan kompleks, lalu nol. Baris bawah: nol ke C nol(X) melalui inklusi iota ke C(X tilde), lalu evaluasi di titik tak hingga E sub-tak-hingga ke bilangan kompleks, lalu nol. Panah vertikal pada kedua ujung adalah identitas dan panah tengah theta; kedua persegi komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Baris atas eksak menurut proposisi 12.3.4, baris bawah eksak menurut proposisi 12.3.18, dan diagram tersebut jelas komutatif. Pemeriksaan bahwa $\theta$ adalah suatu homomorfisme- $*\,$ bersifat rutin. Oleh karena itu, $\theta$ adalah suatu isomorfisme- $*\,$ isometrik menurut proposisi 12.2.9 dan korolari 12.3.17. ◻

Kuasi-Invers

Definisi 12.4.1.

Suatu elemen $b$ dari aljabar $A$ adalah kuasi-invers kiri bagi $a \in A$ jika $ba = a + b$ . Elemen tersebut adalah kuasi-invers kanan bagi $a$ jika $ab = a + b$ . Jika $b$ sekaligus merupakan kuasi-invers kiri dan kuasi-invers kanan bagi $a$ , maka $b$ adalah kuasi-invers bagi $a$ . Jika $a$ memiliki kuasi-invers, kita lambangkan kuasi-invers itu dengan $a'$ .

Proposisi 12.4.2.

Jika $b$ adalah kuasi-invers kiri bagi $a$ dalam aljabar $A$ dan $c$ adalah kuasi-invers kanan bagi $a$ dalam $A$ , maka $b = c$ .

Proposisi 12.4.3.

Misalkan $A$ aljabar beridentitas dan $a$ , $b \in A$ . Maka

$a'$ ada jika dan hanya jika $(\mathbf{1} - a)^{-1}$ ada; dan
$b^{-1}$ ada jika dan hanya jika $(\mathbf{1} - b)'$ ada.

Bukti.

Petunjuk bukti. Untuk arah sebaliknya pada (a), tinjau $a + c - ac$ , dengan $c = \mathbf{1} - (\mathbf{1} - a)^{-1}$ . ◻

Proposisi 12.4.4.

Suatu elemen $a$ dari aljabar Banach $A$ bersifat kuasi-invertibel jika dan hanya jika elemen itu bukan merupakan identitas terhadap ideal modular maksimal mana pun dalam $A$ .

Proposisi 12.4.5.

Misalkan $A$ aljabar Banach dan $a \in A$ . Jika $\rho(a) < 1$ , maka $a'$ ada dan $a' = -\sum_{k=1}^\infty a^k$ .

Proposisi 12.4.6.

Misalkan $A$ aljabar Banach dan $a \in A$ . Jika $\lVert a\rVert < 1$ , maka $a'$ ada dan $\frac{\lVert a\rVert}{1 + \lVert a\rVert} \le \lVert a'\rVert \le \frac{\lVert a\rVert}{1 - \lVert a\rVert}.$

Proposisi 12.4.7.

Misalkan $A$ aljabar Banach beridentitas dan $a \in A$ . Jika $\rho(\mathbf{1} - a) < 1$ , maka $a$ invertibel dalam $A$ .

Proposisi 12.4.8.

Misalkan $A$ aljabar Banach dan $a$ , $b \in A$ . Jika $b'$ ada dan $\lVert a\rVert < (1 + \lVert b'\rVert)^{-1}$ , maka $(a + b)'$ ada dan $\lVert(a + b)' - b'\rVert \le \frac{\lVert a\rVert\,(1 + \lVert b'\rVert)^2}{1 - \lVert a\rVert\,(1 + \lVert b'\rVert)}\,.$

Bukti.

Petunjuk bukti. Tunjukkan terlebih dahulu bahwa $u = (a - b'a)'$ ada dan bahwa $u + b' - ub'$ adalah kuasi-invers kiri bagi $a~+~b$ . ◻

Bandingkan hasil berikut dengan proposisi 8.1.33 dan 8.1.34.

Proposisi 12.4.9.

Himpunan $Q_A$ yang terdiri atas elemen-elemen kuasi-invertibel dari aljabar Banach $A$ adalah himpunan terbuka dalam $A$ , dan pemetaan $a \mapsto a'$ merupakan homeomorfisme dari $Q_A$ ke dirinya sendiri.

Notasi 12.4.10.

Jika $a$ dan $b$ adalah elemen dalam suatu aljabar, kita definisikan $a \circ b := a + b - ab$ .

Proposisi 12.4.11.

Jika $A$ aljabar, maka $Q_A$ merupakan grup terhadap $\circ$ .

Proposisi 12.4.12.

Jika $A$ aljabar Banach beridentitas dan $\mathop{\mathrm{inv}}A$ adalah himpunan elemen-elemen invertibelnya, maka $\Psi\colon Q_A \rightarrow\mathop{\mathrm{inv}}A\colon a \mapsto \mathbf{1} - a$ merupakan isomorfisme.

Definisi 12.4.13.

Jika $A$ aljabar dan $a \in A$ , kita definisikan spektrum-q dari $a$ dalam $A$ dengan $\breve{\sigma}_A(a) := \{\lambda \in \mathbb{C}\colon \lambda \ne 0 \text{ dan } \dfrac a\lambda \notin Q_A\}\cup\{0\}.$

Dalam aljabar beridentitas, definisi di atas “hampir” merupakan definisi yang biasa.

Proposisi 12.4.14.

Misalkan $A$ aljabar beridentitas dan $a \in A$ . Maka untuk setiap $\lambda \ne 0$ , berlaku $\lambda \in \sigma(a)$ jika dan hanya jika $\lambda \in \breve{\sigma}(a)$ .

Proposisi 12.4.15.

Jika aljabar $A$ tak beridentitas dan $a \in A$ , maka $\breve{\sigma}_A(a) = \breve{\sigma}_{\widetilde{A}}(a)$ , dengan $\widetilde{A}$ adalah unitalisasi dari $A$ .

Elemen Positif dalam Aljabar- $C^*$

Definisi 12.5.1.

Suatu elemen swaadjoin $a$ dari aljabar- $C^*$ $A$ disebut positif jika $\sigma(a) \subseteq [0,\infty)$ . Dalam hal ini kita tulis $a \ge \mathbf{0}$ . Kita lambangkan himpunan semua elemen positif dari $A$ dengan $A^+$ . Himpunan ini adalah kerucut positif dari $A$ . Untuk setiap himpunan bagian $B$ dari $A$ , misalkan $B^+ = B \cap A^+$ . Kita akan menggunakan kerucut positif untuk menginduksi suatu urutan parsial pada $A$ : kita tulis $a \le b$ apabila $b - a \in A^+$ .

Definisi 12.5.2.

Misalkan $\le$ suatu relasi pada himpunan tak kosong $S$ . Jika relasi $\le$ bersifat refleksif dan transitif, relasi tersebut adalah suatu praurutan. Jika $\le$ adalah praurutan dan juga antisimetris, relasi tersebut adalah suatu urutan parsial.

Suatu urutan parsial $\le$ pada ruang vektor riil $V$ kompatibel dengan (atau menghormati) operasi-operasi (penjumlahan dan perkalian skalar) pada $V$ jika untuk semua $x$ , $y$ , $z \in V$

$x \le y$ mengakibatkan $x+z \le y+z$ , dan
$x \le y$ , $\alpha \ge 0$ mengakibatkan $\alpha x \le \alpha y$ .

Suatu ruang vektor riil yang dilengkapi dengan urutan parsial yang kompatibel dengan operasi-operasi ruang vektor disebut ruang vektor terurut.

Definisi 12.5.3.

Misalkan $V$ ruang vektor. Suatu himpunan bagian $C$ dari $V$ adalah kerucut dalam $V$ jika $\alpha C \subseteq C$ untuk setiap $\alpha \ge 0$ . Suatu kerucut $C$ dalam $V$ disebut proper jika $C \cap (-C) = \{\mathbf{0}\}$ .

Proposisi 12.5.4.

Suatu kerucut $C$ dalam ruang vektor bersifat konveks jika dan hanya jika $C + C \subseteq C$ .

Contoh 12.5.5.

Jika $V$ ruang vektor terurut, maka himpunan $V^+ := \{x \in V \colon x \ge \mathbf{0}\}$ adalah kerucut konveks proper dalam $V$ . Himpunan ini adalah kerucut positif dari $V$ , dan anggota-anggotanya adalah elemen positif dari $V$ .

Proposisi 12.5.6.

Misalkan $V$ ruang vektor riil dan $C$ kerucut konveks proper dalam $V$ . Definisikan $x \le y$ jika $y - x \in C$ . Maka relasi $\le$ adalah urutan parsial pada $V$ dan kompatibel dengan operasi-operasi ruang vektor pada $V$ . Relasi ini adalah urutan parsial yang diinduksi oleh kerucut $C$ . Kerucut positif $V^+$ dari ruang vektor terurut yang dihasilkan tepat sama dengan $C$ .

Proposisi 12.5.7.

Jika $a$ adalah elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ beridentitas dan $t \in \mathbb{R}$ , maka

$a \ge \mathbf{0}$ apabila $\lVert a - t\mathbf{1}\rVert \le t$ ; dan
$\lVert a - t\mathbf{1}\rVert \le t$ apabila $\lVert a\rVert \le t$ dan $a \ge \mathbf{0}$ .

Contoh 12.5.8.

Kerucut positif dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ adalah kerucut konveks proper tertutup dalam ruang vektor riil $\mathfrak{H}(A)$ .

Proposisi 12.5.9.

Jika $a$ dan $b$ adalah elemen positif dari suatu aljabar- $C^*$ dan $ab = ba$ , maka $ab$ positif.

Proposisi 12.5.10.

Setiap elemen positif dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ memiliki akar pangkat $n$ positif yang tunggal ( $n \in \mathbb{N}$ ). Artinya, jika $a \in A^+$ , maka terdapat tepat satu $b \in A^+$ sedemikian sehingga $b^n = a$ .

Bukti.

Proof. Petunjuk. Bagian eksistensi merupakan penerapan sederhana kalkulus fungsional $C^*$ (yaitu, teorema spektral abstrak 11.5.5). Elemen $b$ yang diberikan oleh kalkulus fungsional bersifat positif dalam aljabar $C^*(\mathbf{1},a)$ . Jelaskan mengapa elemen itu juga positif dalam $A$ . Argumen keunikan memerlukan perhatian yang saksama. ◻

Teorema 12.5.11.

Jika $c$ adalah elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ , maka terdapat elemen-elemen positif $c^+$ dan $c^-$ dalam $A$ sedemikian sehingga $c = c^+ - c^-$ dan $c^+c^- = \mathbf{0}$ .

Lema 12.5.12.

Jika $c$ adalah elemen dari suatu aljabar- $C^*$ sedemikian sehingga $-c^*c \ge \mathbf{0}$ , maka $c = \mathbf{0}$ .

Proposisi 12.5.13.

Jika $a$ adalah elemen dari suatu aljabar- $C^*$ , maka $a^*a \ge \mathbf{0}$ .

Proposisi 12.5.14.

Jika $c$ adalah elemen dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ , maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$c \ge \mathbf{0}$ ;
terdapat $b \ge \mathbf{0}$ sedemikian sehingga $c = b^2$ ; dan
terdapat $a \in A$ sedemikian sehingga $c = a^*a$ ,

Contoh 12.5.15.

Jika $T$ operator pada ruang Hilbert $H$ , maka $T$ merupakan elemen positif dari aljabar- $C^*$ $\mathfrak{B}(H)$ jika dan hanya jika $\langle Tx,x \rangle \ge 0$ untuk setiap $x \in H$ .

Bukti.

Petunjuk bukti. Mudah untuk menunjukkan bahwa jika $T \ge \mathbf{0}$ dalam $\mathfrak{B}(H)$ , maka $\langle Tx,x \rangle \ge 0$ untuk setiap $x \in H$ : gunakan proposisi 12.5.14 untuk menuliskan $T$ sebagai $S^*S$ bagi suatu operator $S$ .

Sebaliknya, andaikan $\langle Tx,x \rangle \ge 0$ untuk setiap $x \in H$ . Mudah dilihat bahwa ini mengakibatkan $T$ swaadjoin. Gunakan teorema dekomposisi Jordan 12.5.11 untuk menuliskan $T$ sebagai $T^+ - T^-$ . Untuk sembarang $u \in H$ , misalkan $x = T^-u$ dan periksa bahwa $0 \le \langle Tx,x \rangle = -\langle (T^-)^3u,u \rangle$ . Sekarang $(T^-)^3$ adalah elemen positif dari $\mathfrak{B}(H)$ . (Mengapa?) Simpulkan bahwa $(T^-)^3 = \mathbf{0}$ dan karena itu $T^- = \mathbf{0}$ . (Untuk rincian tambahan, lihat [11], halaman 37.) ◻

Definisi 12.5.16.

Untuk sembarang elemen $a$ dari suatu aljabar- $C^*$ , kita definisikan $\lvert a\rvert$ sebagai $\sqrt{a^*a}$ .

Proposisi 12.5.17.

Jika $a$ adalah elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ , maka $\lvert a\rvert = a^+ + a^-\,.$

Contoh 12.5.18.

Nilai mutlak dalam suatu aljabar- $C^*$ tidak harus subaditif; yaitu, $\lvert a + b\rvert$ tidak harus lebih kecil daripada $\lvert a\rvert + \lvert b\rvert$ . Sebagai contoh, dalam $\mathbf{M}_{2}({\mathbb{C}})$ , ambil $a = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ dan $b = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ . Maka $\lvert a\rvert = a$ , $\lvert b\rvert = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ , dan $\lvert a + b\rvert = \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$ . Jika $\lvert a + b\rvert - \lvert a\rvert - \lvert b\rvert$ positif, maka, berdasarkan contoh 12.5.15, $\langle\,(\lvert a + b\rvert - \lvert a\rvert - \lvert b\rvert)\,x\,,\,x\,\rangle$ akan positif untuk setiap vektor $x \in \mathbb{C}^2$ . Namun, hal ini tidak benar untuk $x = (1,0)$ .

Proposisi 12.5.19.

Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ adalah homomorfisme- $*\,$ antara aljabar- $C^*$ , maka $\phi(a) \in B^+$ apabila $a \in A^+$ . Jika $\phi$ adalah isomorfisme- $*\,$ , maka $\phi(a) \in B^+$ jika dan hanya jika $a \in A^+$ .

Proposisi 12.5.20.

Misalkan $a$ elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ dan $f$ fungsi kontinu bernilai kompleks pada spektrum $a$ . Maka $f \ge \mathbf{0}$ dalam $\mathcal{C}(\sigma(a))$ jika dan hanya jika $f(a) \ge \mathbf{0}$ dalam $A$ .

Proposisi 12.5.21.

Jika $a$ adalah elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ , maka $\lVert a\rVert\,\mathbf{1}_{\widetilde{A}} \pm a \ge \mathbf{0}$ dalam $\widetilde{A}$ .

Proposisi 12.5.22.

Jika $a$ dan $b$ adalah elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ dan $a \le b$ , maka $x^*ax \le x^*bx$ untuk setiap $x \in A$ .

Proposisi 12.5.23.

Jika $a$ dan $b$ adalah elemen dari suatu aljabar- $C^*$ dengan $0 \le a \le b$ , maka $\lVert a\rVert \le \lVert b\rVert$ .

Proposisi 12.5.24.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $c \in A^+$ . Maka $c$ invertibel jika dan hanya jika $c \ge \epsilon\mathbf{1}$ untuk suatu $\epsilon > 0$ .

Proposisi 12.5.25.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $c \in A$ . Jika $c \ge \mathbf{1}$ , maka $c$ invertibel dan $\mathbf{0} \le c^{-1} \le \mathbf{1}$ .

Proposisi 12.5.26.

Jika $a$ adalah elemen positif yang invertibel dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $a^{-1}$ positif.

Selanjutnya kita tunjukkan bahwa notasi $a^{{\scriptscriptstyle{-\frac 12}}}$ tidak ambigu.

Proposisi 12.5.27.

Misalkan $a \in A^+$ , dengan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas. Jika $a$ invertibel, maka $a^{{\scriptscriptstyle{\frac 12}}}$ juga invertibel dan $\bigl(a^{{\scriptscriptstyle{\frac 12}}}\bigr)^{-1} = \bigl(a^{-1}\bigr)^{{\scriptscriptstyle{\frac 12}}}$ .

Akibat 12.5.28.

Jika $a$ adalah elemen invertibel dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\lvert a\rvert$ juga invertibel.

Proposisi 12.5.29.

Misalkan $a$ dan $b$ adalah elemen dari suatu aljabar- $C^*$ . Jika $\mathbf{0} \le a \le b$ dan $a$ invertibel, maka $b$ invertibel dan $b^{-1} \le a^{-1}$ .

Proposisi 12.5.30.

Jika $a$ dan $b$ adalah elemen dari suatu aljabar- $C^*$ dan $\mathbf{0} \le a \le b$ , maka $\sqrt a \le \sqrt b$ .

Contoh 12.5.31.

Misalkan $a$ dan $b$ elemen dari suatu aljabar- $C^*$ dengan $\mathbf{0} \le a \le b$ . Tidak selalu berlaku bahwa $a^2 \le b^2$ .

Bukti.

Petunjuk bukti. Dalam aljabar- $C^*$ $\mathbf M_2$ , misalkan $a = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ dan $b = a + \tfrac12 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ . ◻

Identitas Aproksimatif

Definisi 12.6.1.

Suatu identitas aproksimatif (atau unit aproksimatif) dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ adalah jaring menaik ${(e_\lambda)}_{\lambda \in \Lambda}$ yang terdiri atas elemen-elemen positif dari $A$ sedemikian sehingga $\lVert e_\lambda\rVert \le 1$ dan $ae_\lambda \rightarrow a$ (secara ekuivalen, $e_\lambda\, a \rightarrow a$ ) untuk setiap $a \in A$ . Jika jaring tersebut ternyata merupakan barisan, kita memperoleh identitas aproksimatif sekuensial. Dalam literatur, berhati-hatilah terhadap definisi yang beragam: banyak penulis menghilangkan syarat bahwa jaring tersebut menaik dan/atau bahwa jaring itu terbatas.

Contoh 12.6.2.

Misalkan $A = \mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ . Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $U_n = (-n,n)$ dan $e_n\colon \mathbb{R}\rightarrow[0,1]$ suatu fungsi dalam $A$ yang dukungannya termuat dalam $U_{n+1}$ dan sedemikian sehingga $e_n(x) = 1$ untuk setiap $x \in U_n$ . Maka $(e_n)$ adalah identitas aproksimatif (sekuensial) bagi $A$ .

Proposisi 12.6.3.

Jika $A$ adalah aljabar- $C^*$ , maka himpunan $\Lambda := \{a \in A^+\colon \lVert a\rVert < 1\}$ merupakan himpunan terarah (terhadap urutan yang diwarisinya dari $\mathfrak{H}(A)$ ).

Bukti.

Petunjuk bukti. Periksa bahwa fungsi $f\colon [0,1) \rightarrow\mathbb{R}^+\colon t \mapsto (1 - t)^{-1} - 1 = \frac t{1 - t}$ menginduksi isomorfisme urutan $f\colon \Lambda \rightarrow A^+$ . (Suatu isomorfisme urutan antara himpunan-himpunan terurut parsial adalah bijeksi yang mempertahankan urutan, yang inversnya juga mempertahankan urutan.) Bukti yang saksama untuk hasil ini melibatkan pemeriksaan terhadap cukup banyak rincian. ◻

Proposisi 12.6.4.

Jika $A$ adalah aljabar- $C^*$ , maka himpunan $\Lambda := \{a \in A^+\colon \lVert a\rVert < 1\}$ merupakan identitas aproksimatif bagi $A$ .

Akibat 12.6.5.

Setiap aljabar- $C^*$ $A$ memiliki identitas aproksimatif. Jika $A$ separabel, maka $A$ memiliki identitas aproksimatif sekuensial.

Proposisi 12.6.6.

Setiap ideal aljabar (dua sisi) tertutup dalam suatu aljabar- $C^*$ bersifat swaadjoin.

Proposisi 12.6.7.

Jika $J$ ideal dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ , maka $A/J$ adalah aljabar- $C^*$ .

Bukti.

Proof. Lihat [27], teorema 1.7.4, atau [10], halaman 13–14, atau [18], teorema 2.5.4. ◻

Contoh 12.6.8.

Jika $J$ ideal dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ , maka barisan $\mathbf{0} \to J \to A \to^\pi A/J \to \mathbf{0}$ adalah barisan eksak pendek.

Proposisi 12.6.9.

Jangkauan suatu homomorfisme- $*$ antara aljabar- $C^*$ bersifat tertutup (dan karena itu merupakan aljabar- $C^*$ ).

Definisi 12.6.10.

Suatu subaljabar- $C^*$ $B$ dari aljabar- $C^*$ $A$ disebut herediter jika $a \in B$ setiap kali $a \in A$ , $b \in B$ , dan $\mathbf{0} \le a \le b$ .

Proposisi 12.6.11.

Andaikan $x^*x \le a$ dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ . Maka terdapat $b \in A$ sedemikian sehingga $x = ba^{\frac14}$ dan $\lVert b\rVert \le {\lVert a\rVert}^\frac14$ .

Bukti.

Proof. Lihat [10], halaman 13. ◻

Proposisi 12.6.12.

Andaikan $J$ ideal dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ , $j \in J^+$ , dan $a^*a \le j$ . Maka $a \in J$ . Jadi, ideal-ideal dalam aljabar- $C^*$ bersifat herediter.

Teorema 12.6.13.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ dan $J$ ideal dalam $A$ .
Jika $\phi$ homomorfisme- $*\,$ dari $A$ ke $B$ dan $\ker\phi \supseteq J$ , maka terdapat tepat satu homomorfisme- $*\,$ $\widetilde\phi\colon A/J \rightarrow B$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Segitiga teorema hasil bagi untuk aljabar C-bintang. Pemetaan hasil bagi pi berjalan dari A ke A per J, homomorfisme bintang phi dari A ke B, dan satu-satunya homomorfisme bintang phi tilde dari A per J ke B. Segitiga komutatif: phi sama dengan phi tilde setelah pi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Selain itu, $\widetilde\phi$ injektif jika dan hanya jika $\ker\phi = J$ ; dan $\widetilde\phi$ surjektif jika dan hanya jika $\phi$ surjektif.

Akibat 12.6.14.

Jika $\mathbf{0} \to A \to^\phi E \to B \to \mathbf{0}$ adalah barisan eksak pendek dari aljabar- $C^*$ , maka $E/\mathop{\mathrm{ran}}\phi$ dan $B$ isomorfik- $*\,$ secara isometrik.

Akibat 12.6.15.

Setiap aljabar- $C^*$ $A$ memiliki kodimensi satu dalam unitalisasinya $\widetilde{A}$ ; yaitu, $\dim \widetilde{A}/A = 1$ .

Proposisi 12.6.16.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ , $B$ subaljabar- $C^*$ dari $A$ , dan $J$ ideal dalam $A$ . Maka $B/(B \cap J) \cong (B + J)/J\,.$

Misalkan $B$ subaljabar beridentitas dari suatu aljabar sembarang $A$ . Jelas bahwa jika suatu elemen $b \in B$ invertibel dalam $B$ , maka elemen itu juga invertibel dalam $A$ . Ternyata konversnya benar dalam aljabar- $C^*$ : jika $b$ invertibel dalam $A$ , maka inversnya terletak dalam $B$ . Hal ini biasanya dinyatakan dengan mengatakan bahwa setiap subaljabar- $C^*$ beridentitas dari suatu aljabar- $C^*$ bersifat tertutup terhadap invers.

Proposisi 12.6.17.

Misalkan $B$ subaljabar- $C^*$ beridentitas dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ . Jika $b \in \mathop{\mathrm{inv}}(A)$ , maka $b^{-1} \in B$ .

Akibat 12.6.18.

Misalkan $B$ subaljabar- $C^*$ beridentitas dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ dan $b \in B$ . Maka $\sigma_B(b) = \sigma_A(b)\,.$

Akibat 12.6.19.

Misalkan $\phi\colon A \rightarrow B$ adalah monomorfisme- $C^*$ beridentitas dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ dan $a \in A$ . Maka $\sigma(a) = \sigma(\phi(a))\,.$

Bab 12 · Bertahan Tanpa Identitas

Unitalisasi Aljabar Banach

Barisan Eksak dan Ekstensi

Unitalisasi Aljabar-C*C^*

Kuasi-Invers

Elemen Positif dalam Aljabar-C*C^*

Identitas Aproksimatif

Unitalisasi Aljabar- $C^*$

Elemen Positif dalam Aljabar- $C^*$