Bab 15 · Teori Fredholm

Alternatif Fredholm

Pada tahun 1903, Erik Ivar Fredholm menerbitkan sebuah makalah rintisan tentang persamaan integral dalam jurnal Acta Mathematica. Di antara banyak hasil pentingnya terdapat teorema yang kini kita kenal sebagai alternatif Fredholm. Kita menyatakan suatu versi hasil ini dalam bahasa yang tersedia bagi Fredholm pada masa itu.

Proposisi 15.1.1.

Tetapkan $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ dan misalkan $k$ suatu fungsi kontinu bernilai kompleks pada persegi satuan $[0,1] \times [0,1]$ . Entah persamaan-persamaan tak homogen $\begin{align} \lambda f(s) &- \int_0^1 k(s,t)f(t)\,dt = g(s)\label{004011i} \text{ dan} \tag{1}\\ \overline{\lambda} h(s) &- \int_0^1 \overline{k(t,s)}h(t)\,dt = j(s)\label{004011ii} \tag{2} \end{align}$ memiliki solusi $f$ dan $h$ untuk setiap $g$ dan $j$ yang diberikan, masing-masing, dengan solusi-solusi tersebut tunggal; dalam hal ini persamaan homogen yang bersesuaian $\begin{align} \lambda f(s) &- \int_0^1 k(s,t)f(t)\,dt = 0\label{004011iii} \text{ dan} \tag{3}\\ \overline{\lambda} h(s) &- \int_0^1 \overline{k(t,s)}h(t)\,dt = 0\label{004011iv} \tag{4} \end{align}$ hanya memiliki solusi trivial; —atau—
persamaan homogen {3 dan {4 masing-masing memiliki sejumlah hingga (dan tak nol) solusi bebas linear yang sama banyaknya, yaitu $f_1,\dots,f_n$ dan $h_1,\dots,h_n$ , secara berturut-turut; dalam hal ini persamaan tak homogen {1 dan {2 memiliki solusi jika dan hanya jika $g$ dan $j$ memenuhi $\begin{align} \int_0^1 h_k(t)\overline{g(t)}\,dt &= 0\label{004011v} \text{ dan} \tag{5}\\ \int_0^1 j(t) \overline{f_k(t)}\,dt &= 0\label{004011vi} \tag{6} \end{align}$ untuk $k = 1, \dots, n$ .

Pada tahun 1906, David Hilbert telah menyadari bahwa pengintegralan itu sendiri sangat sedikit berkaitan dengan kebenaran hasil ini. Ia menemukan bahwa yang penting adalah kekompakan operator integral yang dihasilkan. (Pada awal abad ke- $20$ kekompakan disebut kontinuitas lengkap. Istilah ruang Hilbert telah digunakan sejak tahun 1911 sehubungan dengan ruang barisan $l_2$ . Baru pada tahun 1929 John von Neumann memperkenalkan gagasan—dan aksioma yang mendefinisikan—ruang Hilbert abstrak.) Jadi, berikut suatu versi yang agak lebih mutakhir dari alternatif Fredholm.

Proposisi 15.1.2.

Jika $K$ suatu operator kompak pada ruang Hilbert, $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ , dan $T = \lambda I - K$ , maka entah persamaan-persamaan tak homogen $\begin{align} Tf &= g\label{004031i} \text{ dan} \tag{1'}\\ T^* h &= j\label{004031ii} \tag{2'} \end{align}$ memiliki solusi $f$ dan $h$ untuk setiap $g$ dan $j$ yang diberikan, masing-masing, dengan solusi-solusi tersebut tunggal; dalam hal ini persamaan homogen yang bersesuaian $\begin{align} Tf &= 0\label{004031iii} \text{ dan} \tag{3'}\\ T^*h &= 0\label{004031iv} \tag{4'} \end{align}$ hanya memiliki solusi trivial; —atau—
persamaan homogen {3' dan {4' masing-masing memiliki sejumlah hingga (dan tak nol) solusi bebas linear yang sama banyaknya, yaitu $f_1,\dots,f_n$ dan $h_1,\dots,h_n$ , secara berturut-turut; dalam hal ini persamaan tak homogen {1' dan {2' memiliki solusi jika dan hanya jika $g$ dan $j$ memenuhi $\begin{align} h_k &\perp g\label{004031v} \text{ dan} \tag{5'}\\ j &\perp f_k\label{004031vi} \tag{6'} \end{align}$ untuk $k = 1, \dots, n$ .

Perhatikan bahwa dengan menggunakan beberapa fakta elementer mengenai kernel dan jangkauan operator serta keortogonalan dalam ruang Hilbert, kita dapat meringkas pernyataan dari 15.1.2 secara cukup banyak.

Proposisi 15.1.3.

Jika $T = \lambda I - K$ dengan $K$ suatu operator kompak pada ruang Hilbert dan $\lambda \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ , maka

$T$ injektif jika dan hanya jika bersifat surjektif,
$\mathop{\mathrm{ran}}T^* = (\ker T)^\perp$ , dan
$\dim\ker T = \dim \ker T^*$ .

Selain itu, syarat (1) dan (2) berlaku untuk $T^*$ maupun $T$ .

Alternatif Fredholm – lanjutan

Definisi 15.2.1.

Suatu operator $T$ pada ruang Banach disebut operator Riesz–Schauder jika dapat ditulis dalam bentuk $T = S + K$ dengan $S$ invertibel dan $K$ kompak.

Materi dalam bagian 4.4 dan definisi sebelumnya memungkinkan kita memperumum versi alternatif Fredholm yang diberikan dalam 15.1.3 ke ruang Banach.

Proposisi 15.2.2.

Jika $T$ suatu operator Riesz–Schauder pada ruang Banach, maka

$T$ injektif jika dan hanya jika bersifat surjektif,
$\mathop{\mathrm{ran}}T^* = (\ker T)^\perp$ , dan
$\dim\ker T = \dim \ker T^* < \infty$ .

Selain itu, syarat (1) dan (2) berlaku untuk $T^*$ maupun $T$ .

Proposisi 15.2.3.

Jika $M$ subruang tertutup dari ruang Banach $B$ , maka $M^\perp \cong (B/M)^*$ .

Bukti.

Proof. Lihat [8], halaman 89. ◻

Definisi 15.2.4.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ suatu pemetaan linear antara ruang vektor, maka kokernel pemetaan tersebut didefinisikan oleh $\mathop{\mathrm{coker}}T = W/ \mathop{\mathrm{ran}}T\,.$ Ingat bahwa kodimensi dari suatu subruang $U$ dalam ruang vektor $V$ adalah dimensi dari $V/U$ . Jadi, apabila $T$ suatu pemetaan linear, $\dim\mathop{\mathrm{coker}}T = \mathop{\mathrm{codim}}\mathop{\mathrm{ran}}T$ .

Dalam kategori $\mathbf{HIL}$ dari ruang Hilbert dan pemetaan linear kontinu, jangkauan suatu morfisme tidak harus menjadi objek kategori tersebut. Secara khusus, jangkauan suatu operator tidak harus tertutup.

Contoh 15.2.5.

Operator ruang Hilbert $T\colon l_2 \rightarrow l_2\colon (x_1,x_2,x_3,\dots) \mapsto (x_1, \tfrac12 x_2, \tfrac13 x_3, \dots)$ bersifat injektif, swaadjoin, kompak, dan kontraktif, tetapi jangkauannya, walaupun padat dalam $l_2$ , tidak mencakup seluruh $l_2$ .

Walaupun tidak langsung berkaitan dengan tujuan kita saat ini, inilah tempat yang tepat untuk mencatat fakta bahwa jumlah dua subruang tertutup dari suatu ruang Hilbert tidak harus tertutup.

Contoh 15.2.6.

Misalkan $T$ operator pada ruang Hilbert $l_2$ yang didefinisikan dalam contoh 15.2.5, $M = l_2 \oplus \{\mathbf{0}\}$ , dan $N$ graf dari $T$ . Maka $M$ dan $N$ keduanya merupakan subruang tertutup dari ruang Hilbert $l_2 \oplus l_2$ , tetapi $M + N$ tidak tertutup.

Bukti.

Proof. Verifikasi contoh 15.2.6 diperoleh dengan mudah dari hasil berikut dan contoh 15.2.5. ◻

Proposisi 15.2.7.

Misalkan $H$ suatu ruang Hilbert, $T \in \mathfrak{B}(H)$ , $M = H \oplus \{\mathbf{0}\}$ , dan $N$ merupakan graf dari $T$ . Maka

Himpunan $N$ merupakan subruang dari $H \oplus H$ .
Operator $T$ injektif jika dan hanya jika $M \cap N = \{\,(\mathbf{0},\mathbf{0})\,\}$ .
Jangkauan $T$ padat dalam $H$ jika dan hanya jika $M + N$ padat dalam $H \oplus H$ .
Operator $T$ surjektif jika dan hanya jika $M + N = H \oplus H$ .

Kabar baik bagi teori operator Fredholm adalah bahwa operator dengan kokernel berdimensi hingga secara otomatis mempunyai jangkauan tertutup.

Proposisi 15.2.8.

Jika suatu pemetaan linear terbatas $A\colon H \rightarrow K$ antara ruang Hilbert memiliki kokernel berdimensi hingga, maka $\mathop{\mathrm{ran}}A$ tertutup dalam $K$ .

Dalam Alternatif Fredholm IIIb 15.2.2, kita mengamati bahwa syarat (1) berlebih dan juga bahwa (2) berlaku untuk sebarang operator ruang Banach dengan jangkauan tertutup. Hal ini memungkinkan kita menyatakan kembali 15.2.2 secara lebih hemat.

Proposisi 15.2.9.

Jika $T$ suatu operator Riesz–Schauder pada ruang Banach, maka

$T$ mempunyai jangkauan tertutup dan
$\dim\ker T = \dim \ker T^* < \infty$ .

Operator Fredholm

Definisi 15.3.1.

Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert dan $\mathfrak{K}(H)$ merupakan ideal operator kompak di dalam aljabar- $C^*$ $\mathfrak{B}(H)$ . Maka aljabar hasil bagi (lihat proposisi 12.6.7) $\mathfrak{Q}(H) := \mathfrak{B}(H)/\mathfrak{K}(H)$ adalah aljabar Calkin. Seperti biasa, pemetaan hasil bagi dari $\mathfrak{B}(H)$ ke $\mathfrak{B}(H)/\mathfrak{K}(H)$ dilambangkan dengan $\pi$ , sehingga jika $T \in \mathfrak{B}(H)$ maka $\pi(T) = [T] = T + \mathfrak{K}(H)$ adalah elemen yang bersesuaian dengannya dalam aljabar Calkin. Suatu elemen $T \in \mathfrak{B}(H)$ adalah operator Fredholm jika $\pi(T)$ invertibel di dalam $\mathfrak{Q}(H)$ . Keluarga semua operator Fredholm pada $H$ dilambangkan dengan $\mathfrak{F}(H)$ .

Proposisi 15.3.2.

Jika $H$ ruang Hilbert, maka $\mathfrak{F}(H)$ merupakan subhimpunan terbuka swaadjoin dari $\mathfrak{B}(H)$ dan tertutup terhadap perturbasi kompak (yakni, jika $T$ Fredholm dan $K$ kompak, maka $T + K$ juga Fredholm).

Teorema 15.3.3.

Suatu operator ruang Hilbert bersifat Fredholm jika dan hanya jika kernel dan kokernelnya berdimensi hingga.

Bukti.

Proof. Lihat [1], teorema 3.3.2; [3], teorema I.8.3.6; [12], teorema 5.17; [27], teorema 2.1.4; atau [51], teorema 14.1.1. ◻

Menariknya, dimensi kernel dan kokernel suatu operator Fredholm bukanlah besaran yang sangat penting. Namun, selisih keduanya ternyata sangat penting.

Definisi 15.3.4.

Jika $T$ adalah operator Fredholm pada suatu ruang Hilbert, maka indeks Fredholm operator tersebut (atau cukup indeks) didefinisikan oleh $\mathop{\mathrm{ind}}T := \dim\ker T - \dim\mathop{\mathrm{coker}}T\,.$

Contoh 15.3.5.

Setiap operator ruang Hilbert yang invertibel bersifat Fredholm dengan indeks nol.

Contoh 15.3.6.

Indeks Fredholm dari operator geser unilateral adalah $-1$ .

Contoh 15.3.7.

Untuk pemetaan antar-ruang, kita memakai konvensi standar: pemetaan linear disebut Fredholm jika jangkauannya tertutup serta kernel dan kokernelnya berdimensi hingga. Dengan konvensi ini, setiap pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang vektor berdimensi hingga bersifat Fredholm dan $\mathop{\mathrm{ind}}T = \dim V - \dim W$ .

Contoh 15.3.8.

Jika $T$ adalah operator Fredholm pada suatu ruang Hilbert, maka $\mathop{\mathrm{ind}}T^* = -\mathop{\mathrm{ind}}T$ .

Contoh 15.3.9.

Indeks setiap operator Fredholm normal adalah $0$ .

Lema 15.3.10.

Misalkan $S\colon U \rightarrow V$ dan $T\colon V \rightarrow W$ adalah transformasi linear antara ruang-ruang vektor. Maka (terdapat pemetaan linear sedemikian sehingga) barisan berikut eksak. $\mathbf{0} \to \ker S \to \ker TS \to \ker T \to \mathop{\mathrm{coker}}S \to \mathop{\mathrm{coker}}TS \to \mathop{\mathrm{coker}}T \to \mathbf{0}\,.$

Lema 15.3.11.

Jika $V_0, V_1, \dots, V_n$ adalah ruang-ruang vektor berdimensi hingga dan barisan $\mathbf{0} \to V_0 \to V_1 \to \dots \to V_n \to \mathbf{0}$ eksak, maka $\sum_{k=0}^n (-1)^k \dim V_k = 0\,.$

Proposisi 15.3.12.

Misalkan $H$ ruang Hilbert berdimensi tak hingga. Maka himpunan $\mathfrak{F}(H)$ yang terdiri atas operator Fredholm pada $H$ merupakan semigrup terhadap komposisi dan fungsi indeks $\mathop{\mathrm{ind}}$ adalah epimorfisme dari $\mathfrak{F}(H)$ ke semigrup aditif bilangan bulat $\mathbb{Z}$ .

Bukti.

Proof. Petunjuk. Gunakan 15.3.10, 15.3.11, 15.3.5, 15.3.6, dan 15.3.8. ◻

Alternatif Fredholm – Penutup

Hasil berikut menyiratkan bahwa setiap operator Fredholm berindeks nol dapat ditulis sebagai jumlah suatu operator invertibel dan operator kompak.

Proposisi 15.4.1.

Jika $T$ adalah operator Fredholm berindeks nol pada suatu ruang Hilbert, maka terdapat isometri parsial berperingkat hingga $V$ sedemikian sehingga $T - V$ bersifat invertibel.

Bukti.

Proof. Lihat [41], lemma 3.3.14 atau [51], proposisi 14.1.3. ◻

Lema 15.4.2.

Jika $F$ adalah operator berperingkat hingga pada suatu ruang Hilbert, maka $I + F$ bersifat Fredholm dengan indeks nol.

Bukti.

Proof. Lihat [41], lemma 3.3.13 atau [51], lemma 14.1.4. ◻

Notasi 15.4.3.

Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert. Untuk setiap bilangan bulat $n$ , kita melambangkan keluarga semua operator Fredholm berindeks $n$ pada $H$ dengan $\mathfrak{F}_n(H)$ atau cukup $\mathfrak{F}_n$ .

Proposisi 15.4.4.

Untuk setiap ruang Hilbert berlaku $\mathfrak{F}_0 + \mathfrak{K} = \mathfrak{F}_0$ .

Bukti.

Proof. Lihat [12], lemma 5.20 atau [51], 14.1.5. ◻

Akibat 15.4.5.

Setiap operator Riesz–Schauder pada suatu ruang Hilbert bersifat Fredholm berindeks nol.

Bukti.

Proof. Ini segera mengikuti proposisi sebelumnya 15.4.4 dan contoh 15.3.5. ◻

Kita sebenarnya telah membuktikan hasil yang lebih kuat: versi terakhir (yang cukup umum) dari alternatif Fredholm.

Akibat 15.4.6.

Suatu operator ruang Hilbert merupakan operator Riesz–Schauder jika dan hanya jika operator itu merupakan operator Fredholm berindeks nol.

Bukti.

Proof. Proposisi 15.4.1 dan korolari 15.4.5. ◻

Proposisi 15.4.7.

Jika $T$ adalah operator Fredholm berindeks $n \in \mathbb{Z}$ pada ruang Hilbert $H$ dan $K$ operator kompak pada $H$ , maka $T + K$ juga merupakan operator Fredholm berindeks $n$ ; yakni, $\mathfrak{F}_n + \mathfrak{K} = \mathfrak{F}_n\,.$

Bukti.

Proof. Lihat [27], proposisi 2.1.6; [41], teorema 3.3.17; atau [51], proposisi 14.1.6. ◻

Proposisi 15.4.8.

Misalkan $H$ adalah ruang Hilbert. Maka $\mathfrak{F}_n(H)$ merupakan subhimpunan terbuka dari $\mathfrak{B}(H)$ untuk setiap bilangan bulat $n$ .

Bukti.

Proof. Lihat [51], proposisi 14.1.8. ◻

Definisi 15.4.9.

Suatu lintasan dalam ruang topologis $X$ adalah pemetaan kontinu dari interval $[0,1]$ ke $X$ . Dua titik $p$ dan $q$ dalam $X$ dikatakan terhubung oleh lintasan (atau homotop dalam $X$ ) jika terdapat lintasan $f\colon [0,1] \rightarrow X$ dalam $X$ sedemikian sehingga $f(0) = p$ dan $f(1) = q$ . Dalam hal ini kita menulis $p \sim_h q$ dalam $X$ (atau cukup $p \sim_h q$ ketika ruang $X$ jelas dari konteks).

Contoh 15.4.10.

Misalkan $a$ adalah elemen invertibel dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ dan $b$ adalah elemen $A$ sedemikian sehingga $\lVert a - b\rVert < \lVert a^{-1}\rVert^{-1}$ . Maka $a \sim_h b$ dalam $\mathop{\mathrm{inv}}(A)$ .

Bukti.

Petunjuk bukti. Terapkan korolari 8.1.31 pada titik-titik dalam ruas garis tertutup $[a,b]$ . ◻

Proposisi 15.4.11.

Relasi $\sim_h$ untuk ekuivalensi homotopi yang didefinisikan di atas merupakan suatu relasi ekuivalensi pada himpunan titik-titik suatu ruang topologis.

Definisi 15.4.12.

Jika $X$ adalah ruang topologis dan $\sim_h$ adalah relasi ekuivalensi homotopi, maka kelas-kelas ekuivalensi yang dihasilkan adalah komponen lintasan dari $X$ .

Proposisi berikut mengidentifikasi komponen-komponen lintasan himpunan operator Fredholm sebagai himpunan $\mathfrak{F}_n$ yang terdiri atas operator berindeks $n$ .

Proposisi 15.4.13.

Operator $S$ dan $T$ di dalam ruang operator Fredholm $\mathfrak{F}(H)$ pada ruang Hilbert $H$ bersifat homotop dalam $\mathfrak{F}(H)$ jika dan hanya jika keduanya memiliki indeks yang sama.

Bukti.

Proof. Lihat [51], korolari 14.1.9. ◻