Bab 3 · Ruang Linear Bernorma

Norma

Dalam dunia analisis, penghuni yang paling dominan adalah ruang fungsi, yakni ruang vektor yang terdiri atas fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks. Agar menarik bagi seorang analis, ruang semacam itu harus dilengkapi dengan suatu topologi. Sering kali topologi tersebut merupakan topologi metrik, yang pada gilirannya kerap berasal dari suatu norma (lihat proposisi 1.2.17).

Contoh 3.1.1.

Untuk $x = (x_1,\dots, x_n) \in \mathbb{K}^n$ , misalkan $\lVert x\rVert = \left(\sum_{k=1}^n {\lvert x_k\rvert}^2\right)^{1/2}$ . Ini adalah norma biasa (atau norma Euklides) pada $\mathbb{K}^n$ ; kecuali jika secara eksplisit dinyatakan sebaliknya, ketika dipandang sebagai ruang linear bernorma, $\mathbb{K}^n$ selalu dianggap memiliki norma ini. Jelas bahwa norma ini menginduksi metrik biasa (Euklides) pada $\mathbb{K}^n$ .

Contoh 3.1.2.

Untuk $x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{K}^n$ , misalkan $\lVert x\rVert_1 = \sum_{k=1}^n \lvert x_k\rvert$ . Mudah dilihat bahwa fungsi $x \mapsto \lVert x\rVert_1$ merupakan norma pada $\mathbb{K}^n$ . Norma ini kadang-kadang disebut norma- $1$ pada $\mathbb{K}^n$ . Norma ini menginduksi apa yang disebut metrik taksi pada $\mathbb{R}^2$ .

Dari enam contoh berikutnya, contoh terakhir adalah yang paling umum. Perhatikan bahwa semua contoh lainnya merupakan kasus khususnya atau subruang dari kasus-kasus khususnya.

Contoh 3.1.3.

Untuk $x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{K}^n$ , misalkan $\lVert x\rVert_\infty = \max\{\,\lvert x_k\rvert \colon 1 \le k \le n\}$ . Ini mendefinisikan suatu norma pada $\mathbb{K}^n$ ; norma tersebut adalah norma seragam pada $\mathbb{K}^n$ . Norma ini menginduksi metrik seragam pada $\mathbb{K}^n$ . Notasi alternatif untuk $\lVert x\rVert_\infty$ adalah $\lVert x\rVert_U$ .

Contoh 3.1.4.

Himpunan $l_\infty$ dari semua barisan bilangan kompleks yang terbatas jelas merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar titik demi titik. Untuk $x = (x_1,x_2,\dots) \in l_\infty$ , misalkan $\lVert x\rVert_\infty = \sup\{\,\lvert x_k\rvert \colon 1 \le k\}$ . Ini mendefinisikan suatu norma pada $l_\infty$ ; norma tersebut adalah norma seragam pada $l_\infty$ .

Contoh 3.1.5.

Salah satu subruang dari 3.1.4 adalah ruang $c$ yang terdiri atas semua barisan bilangan kompleks yang konvergen. Di bawah norma seragam, ruang ini merupakan ruang linear bernorma.

Contoh 3.1.6.

Di dalam $c$ terdapat ruang linear bernorma lain yang menarik, yaitu $c_{{}_{\scriptstyle{0}}}$ yakni ruang semua barisan bilangan kompleks yang konvergen ke nol (sekali lagi dengan norma seragam).

Contoh 3.1.7.

Misalkan $S$ suatu himpunan tak kosong. Jika $f$ merupakan fungsi bernilai $\mathbb{K}$ yang terbatas pada $S$ , misalkan $\lVert f\rVert_u := \sup\{\lvert f(x)\rvert \colon x \in S\}\,.$ Ini adalah norma pada ruang vektor $\mathcal{B}(S)$ dari semua fungsi skalar yang terbatas pada $S$ dan disebut norma seragam. Jelas bahwa norma ini menghasilkan metrik seragam pada $\mathcal{B}(S)$ . Perhatikan bahwa contoh 3.1.3 dan 3.1.4 merupakan kasus khusus dari contoh ini. (Ambil $S = \mathbb{N}_n := \{1,2,\dots,n\}$ atau $S = \mathbb{N}$ .)

Contoh 3.1.8.

Mudah untuk membuat perumuman yang cukup luas atas contoh sebelumnya dengan mengganti medan $\mathbb{K}$ dengan ruang linear bernorma sebarang. Maka, misalkan $S$ suatu himpunan tak kosong dan $V$ suatu ruang linear bernorma. Untuk $f$ dalam ruang vektor $\mathcal{B}(S,V)$ dari semua fungsi bernilai $V$ yang terbatas pada $S$ , misalkan $\lVert f\rVert_u := \sup\{\lVert f(x)\rVert \colon x \in S\}\,.$ Maka ini adalah suatu norma dan disebut norma seragam pada $\mathcal{B}(S,V)$ . (Mengapa kata “mudah” dalam kalimat pertama contoh ini tepat digunakan?)

Definisi 3.1.9.

Misalkan $S$ suatu himpunan, $V$ suatu ruang linear bernorma, dan $\mathcal{F}(S,V)$ ruang vektor dari semua fungsi bernilai $V$ pada $S$ . Perhatikan suatu barisan $(f_n)$ dari fungsi-fungsi dalam $\mathcal{F}(S,V)$ . Jika terdapat fungsi $g$ dalam $\mathcal{F}(S,V)$ sedemikian sehingga $\sup\{\lVert f_n(x) - g(x)\rVert\colon x \in S\} \rightarrow 0 \quad \text{ketika $n \rightarrow\infty$,}$ maka kita mengatakan bahwa barisan $(f_n)$ konvergen seragam ke $g$ dan menulis $f_n \rightarrow g \text{\,(unif)}$ . Fungsi $g$ adalah limit seragam dari barisan $(f_n)$ . Perhatikan bahwa jika $g$ dan semua $f_n$ termasuk dalam $\mathcal{B}(S,V)$ , maka konvergensi seragam $(f_n)$ ke $g$ tidak lain adalah konvergensi $(f_n)$ ke $g$ terhadap metrik seragam.

Ada banyak cara barisan fungsi dapat konvergen. Boleh dikatakan bahwa dua ragam konvergensi yang paling umum adalah konvergensi seragam, yang baru saja kita bahas, dan konvergensi titik demi titik.

Definisi 3.1.10.

Misalkan $S$ suatu himpunan, $V$ suatu ruang linear bernorma, dan $(f_n)$ suatu barisan dalam $\mathcal{F}(S,V)$ . Jika terdapat fungsi $g$ sedemikian sehingga $f_n(x) \rightarrow g(x) \qquad \text{untuk semua $x \in S$},$ maka $(f_n)$ konvergen titik demi titik ke $g$ . Dalam hal ini kita menulis $f_n \rightarrow g \text{\,(ptws)}.$ Fungsi $g$ adalah limit titik demi titik dari fungsi-fungsi $f_n$ .

Jika $(f_n)$ merupakan barisan naik dari fungsi-fungsi bernilai real (atau real diperluas) dan $f_n \rightarrow g \text{\,(ptws)}$ , kita menulis $f_n \uparrow g \text{\,(ptws)}$ . Dan jika $(f_n)$ menurun serta memiliki $g$ sebagai limit titik demi titik, kita menulis $f_n \downarrow g \text{\,(ptws)}$ .

Hubungan paling jelas antara kedua jenis konvergensi ini, yang dikenal dari setiap mata kuliah analisis real, adalah bahwa konvergensi seragam mengakibatkan konvergensi titik demi titik.

Proposisi 3.1.11.

Misalkan $S$ suatu himpunan dan $V$ suatu ruang linear bernorma. Jika barisan $(f_n)$ dalam $\mathcal{F}(S,V)$ konvergen seragam ke suatu fungsi $g$ dalam $\mathcal{F}(S,V)$ , maka $(f_n)$ konvergen titik demi titik ke $g$ .

Kebalikannya tidak benar.

Contoh 3.1.12.

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $f_n\colon [0,1] \rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto x^n$ . Maka barisan $(f_n)$ konvergen titik demi titik pada $[0,1]$ , tetapi tidak konvergen seragam.

Contoh 3.1.13.

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan setiap $x \in \mathbb{R}^+$ , misalkan $f_n(x) = \frac1n\, x$ . Maka pada setiap interval berbentuk $[0,a]$ dengan $a > 0$ , barisan $(f_n)$ konvergen seragam ke fungsi konstan $0$ . Pada interval $[0,\infty)$ , barisan itu konvergen titik demi titik ke $0$ , tetapi tidak konvergen seragam.

Ingat pula dari analisis real bahwa limit seragam dari fungsi-fungsi terbatas juga harus terbatas.

Proposisi 3.1.14.

Misalkan $S$ suatu himpunan, $V$ suatu ruang linear bernorma, $(f_n)$ suatu barisan dalam $\mathcal{B}(S,V)$ , dan $g$ suatu anggota $\mathcal{F}(S,V)$ . Jika $f_n \rightarrow g\text{\,(unif)}$ , maka $g$ terbatas.

Dan limit seragam dari fungsi-fungsi kontinu bersifat kontinu.

Proposisi 3.1.15.

Misalkan $X$ suatu ruang topologis, $V$ suatu ruang linear bernorma, $(f_n)$ suatu barisan fungsi kontinu bernilai $V$ pada $X$ , dan $g$ suatu anggota $\mathcal{F}(X,V)$ . Jika $f_n \rightarrow g\text{\,(unif)}$ , maka $g$ kontinu.

Proposisi 3.1.16.

Jika $x$ dan $y$ merupakan unsur dari suatu ruang vektor $V$ yang dilengkapi dengan norma $\lVert\mathord{\cdot}\rVert$ , maka $\left\lvert\,\lVert x\rVert - \lVert y\rVert\,\right\rvert \le \lVert x - y\rVert\,.$

Akibat 3.1.17.

Norma pada suatu ruang linear bernorma merupakan fungsi kontinu seragam.

Notasi 3.1.18.

Misalkan $M$ suatu ruang metrik, $a \in M$ , dan $r > 0$ . Kita menyatakan $\{x \in M\colon d(x,a) < r\}$ , yaitu bola terbuka berjari-jari $r$ yang berpusat di $a$ , dengan $B_r(a)$ . Demikian pula, kita menyatakan $\{x \in M\colon d(x,a) \le r\}$ , yaitu bola tertutup berjari-jari $r$ yang berpusat di $a$ , dengan $C_r(a)$ , dan $\{x \in M\colon d(x,a) = r\}$ , yaitu sfer berjari-jari $r$ yang berpusat di $a$ , dengan $S_r(a)$ . Jika ruang metrik tersebut memiliki titik yang ditandai sebagai nol (khususnya, jika ruang itu merupakan ruang linear bernorma), kita menggunakan $B_r$ , $C_r$ , dan $S_r$ masing-masing sebagai singkatan untuk $B_r(0)$ , $C_r(0)$ , dan $S_r(0)$ .

Proposisi 3.1.19.

Jika $V$ merupakan ruang linear bernorma, $x \in V$ , dan $r$ , $s > 0$ , maka

$B_r(\mathbf{0}) = -B_r(\mathbf{0})$ ;
$B_{rs}(\mathbf{0}) = rB_s(\mathbf{0})$ ;
$x + B_r(\mathbf{0}) = B_r(x)$ ; dan
$B_r(\mathbf{0}) + B_r(\mathbf{0}) = 2\,B_r(\mathbf{0})$ . (Apakah secara umum $A + A = 2A$ apabila $A$ merupakan subhimpunan dari suatu ruang vektor?)

Definisi 3.1.20.

Jika $a$ dan $b$ merupakan vektor dalam ruang vektor $V$ , maka ruas tertutup antara $a$ dan $b$ , yang dinotasikan dengan $[a,b]$ , adalah $\{(1 - t)a + tb \colon 0 \le t \le 1\}$ .

Perhatian.

Perhatikan bahwa terdapat sedikit pertentangan antara notasi untuk ruas tertutup ini, ketika diterapkan pada ruang vektor bilangan real $\mathbb{R}$ , dan notasi biasa untuk interval tertutup dalam $\mathbb{R}$ . Dalam $\mathbb{R}$ , ruas tertutup $[a,b]$ sama dengan interval tertutup $[a,b]$ asalkan $a \le b$ . Namun, jika $a > b$ , ruas tertutup $[a,b]$ sama dengan ruas $[b,a]$ dan memuat semua bilangan $c$ sedemikian sehingga $b \le c \le a$ , sedangkan interval tertutup $[a,b]$ kosong.

Definisi 3.1.21.

Subhimpunan $C$ dari suatu ruang vektor $V$ disebut konveks jika ruas tertutup $[a,b]$ termuat dalam $C$ setiap kali $a$ , $b \in C$ .

Contoh 3.1.22.

Dalam ruang linear bernorma, setiap bola terbuka merupakan himpunan konveks. Demikian pula setiap bola tertutup.

Proposisi 3.1.23.

Irisan suatu keluarga subhimpunan konveks dari ruang vektor bersifat konveks.

Definisi 3.1.24.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor. Ingat bahwa suatu kombinasi linear dari himpunan hingga $\{x_1, \dots, x_n\}$ yang terdiri atas vektor-vektor dalam $V$ adalah vektor berbentuk $\sum_{k=1}^n \alpha_k x_k$ , dengan $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \mathbb{R}$ . Jika $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$ , maka kombinasi linear tersebut trivial; jika setidaknya satu $\alpha_k$ tidak sama dengan nol, kombinasi linear tersebut nontrivial. Suatu kombinasi linear $\sum_{k=1}^n\alpha_k x_k$ dari vektor-vektor $x_1, \dots, x_n$ merupakan kombinasi konveks jika $\alpha_k \ge 0$ untuk setiap $k$ ( $1 \le k \le n$ ) dan jika $\sum_{k=1}^n \alpha_k = 1$ .

Definisi 3.1.25.

Misalkan $A$ suatu subhimpunan tak kosong dari ruang vektor $V$ . Kita mendefinisikan selubung konveks dari $A$ , yang dinotasikan dengan $\operatorname{co}(A)$ , sebagai subhimpunan konveks terkecil dari $V$ yang memuat $A$ .

Definisi sebelumnya seharusnya langsung menimbulkan kecurigaan. Bagaimana kita tahu bahwa ada subhimpunan konveks “terkecil” dari $V$ yang memuat $A$ ? Salah satu calon yang cukup jelas (mari kita sebut calon “abstrak”) untuk himpunan tersebut adalah irisan dari semua subhimpunan konveks dari $V$ yang memuat $A$ . (Tentu saja, ini juga mungkin tidak masuk akal—kecuali kita tahu bahwa terdapat setidaknya satu himpunan konveks dalam $V$ yang memuat $A$ dan bahwa irisan keluarga semua himpunan konveks yang memuat $A$ itu sendiri merupakan himpunan konveks yang memuat $A$ .) Calon masuk akal lainnya (yang akan kita sebut calon “konstruktif”) adalah himpunan semua kombinasi konveks dari unsur-unsur $A$ . (Namun, apakah ini suatu himpunan konveks? Dan apakah ini himpunan terkecil yang memuat $A$ ?) Akhirnya, sekalipun kedua pendekatan ini masuk akal, apakah keduanya merupakan definisi yang ekuivalen untuk selubung konveks? Dengan kata lain, apakah keduanya mendefinisikan himpunan yang sama, dan apakah himpunan itu memenuhi definisi 3.1.25?

Proposisi 3.1.26.

Definisi-definisi yang disarankan dalam paragraf sebelumnya, yang diberi nama “abstrak” dan “konstruktif”, masuk akal dan ekuivalen. Selain itu, himpunan yang dideskripsikan oleh keduanya memenuhi definisi selubung konveks yang diberikan dalam 3.1.25.

Proposisi 3.1.27.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ merupakan pemetaan linear antara ruang-ruang vektor dan $C$ merupakan subhimpunan konveks dari $V$ , maka $T^{\rightarrow}(C)$ merupakan subhimpunan konveks dari $W$ .

Proposisi 3.1.28.

Dalam ruang linear bernorma, tutupan setiap himpunan konveks bersifat konveks.

Proposisi 3.1.29.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma. Untuk setiap $a \in V$ , pemetaan $T_a\colon V \rightarrow V\colon x \mapsto x + a$ (yang disebut translasi oleh $a$ ) merupakan homeomorfisme.

Akibat 3.1.30.

Jika $U$ merupakan subhimpunan terbuka tak kosong dari ruang linear bernorma $V$ , maka $U - U$ memuat suatu lingkungan dari $0$ .

Proposisi 3.1.31.

Jika $(x_n)$ merupakan barisan dalam ruang linear bernorma dan $x_n \rightarrow a$ , maka $\displaystyle\frac1n\sum_{k=1}^nx_k~\rightarrow~a$ .

Dalam proposisi 1.2.15, kita menunjukkan bagaimana suatu hasil kali dalam pada ruang vektor menginduksi norma pada ruang tersebut. Wajar untuk bertanya apakah semua norma dapat dihasilkan dengan cara ini dari suatu hasil kali dalam. Jawabannya adalah tidak. Proposisi berikut memberikan syarat perlu dan cukup yang sangat sederhana agar suatu norma berasal dari hasil kali dalam.

Proposisi 3.1.32.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma. Terdapat hasil kali dalam pada $V$ yang menginduksi norma pada $V$ jika dan hanya jika norma tersebut memenuhi hukum jajaran genjang 1.2.26.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk membuktikan bahwa jika suatu norma memenuhi hukum jajaran genjang, maka norma itu diinduksi oleh hasil kali dalam, gunakan persamaan yang diberikan dalam identitas polarisasi (proposisi 1.2.28) sebagai definisi. Buktikan terlebih dahulu bahwa $\langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}$ untuk semua $x$ , $y\in V$ dan bahwa $\langle x,x \rangle > 0$ apabila $x \ne 0$ . Selanjutnya, untuk $z \in V$ sebarang, definisikan fungsi $f\colon V \rightarrow\mathbb{C}\colon x \mapsto \langle x,z \rangle$ . Buktikan bahwa $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) \qquad(\ast)$ untuk semua $x$ , $y \in V$ . Gunakan ini untuk membuktikan bahwa $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ untuk semua $x \in V$ dan $\alpha \in \mathbb{R}$ . (Mulailah dengan $\alpha$ berupa bilangan asli.) Kemudian tunjukkan bahwa $f$ aditif. (Jika $u$ dan $v$ merupakan unsur sebarang dari $V$ , ambil $x = u + v$ dan $y = u - v$ . Gunakan $(\ast)$ .) Terakhir, buktikan bahwa $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ untuk $\alpha$ kompleks dengan menunjukkan bahwa $f(ix) = i\,f(x)$ untuk semua $x \in V$ . ◻

Definisi 3.1.33.

Misalkan $(X,\mathfrak{T})$ suatu ruang topologis. Suatu keluarga $\mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{T}$ merupakan basis untuk $\mathfrak{T}$ jika setiap anggota $\mathfrak{T}$ merupakan gabungan anggota-anggota $\mathfrak{B}$ . Dengan kata lain, keluarga $\mathfrak{B}$ dari himpunan-himpunan terbuka merupakan basis untuk $\mathfrak{T}$ jika untuk setiap himpunan terbuka $U$ terdapat subkeluarga $\mathfrak{B}'$ dari $\mathfrak{B}$ sedemikian sehingga $U = \bigcup \mathfrak{B}'$ .

Contoh 3.1.34.

Pada bidang $\mathbb{R}^2$ dengan topologi biasa (Euklides), keluarga semua bola terbuka dalam ruang tersebut merupakan basis untuk topologinya, karena setiap himpunan terbuka dalam $\mathbb{R}^2$ dapat dinyatakan sebagai gabungan bola-bola terbuka. Bahkan, dalam ruang metrik mana pun, keluarga bola terbuka merupakan basis untuk suatu topologi pada ruang tersebut. Ini adalah topologi yang diinduksi oleh metrik.

Dalam praktiknya (misalnya dalam ruang metrik), sering kali lebih mudah menentukan suatu basis untuk topologi daripada menentukan topologi itu sendiri. Namun, penting untuk menyadari bahwa mungkin terdapat banyak basis yang berbeda untuk topologi yang sama. Setelah suatu basis tertentu dipilih, kita menyebut anggota-anggotanya himpunan terbuka dasar.

Kata “menginduksi” dipandang sebagai relasi transitif. Sebagai contoh, jika diberikan ruang hasil kali dalam $V$ , tidak seorang pun akan menyebut topologi pada $V$ yang diinduksi oleh metrik yang diinduksi oleh norma yang diinduksi oleh hasil kali dalam. Orang cukup menyebut topologi pada $V$ yang diinduksi oleh hasil kali dalam. Kadang-kadang digunakan “dibangkitkan oleh” sebagai pengganti “diinduksi oleh”.

Proposisi 3.1.35.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor dengan dua norma $\lVert\,\cdot\,\rVert_1$ dan $\lVert\,\cdot\,\rVert_2$ . Misalkan $\mathfrak{T}_k$ topologi pada $V$ yang diinduksi oleh $\lVert\,\cdot\,\rVert_k$ (untuk $k = 1,2$ ). Jika terdapat konstanta $\alpha > 0$ sedemikian sehingga $\lVert x\rVert_1 \le \alpha \lVert x\rVert_2$ untuk setiap $x \in V$ , maka $\mathfrak{T}_1 \subseteq \mathfrak{T}_2$ .

Definisi 3.1.36.

Dua norma pada ruang vektor $V$ disebut ekuivalen jika terdapat konstanta $\alpha$ , $\beta > 0$ sedemikian sehingga untuk semua $x \in V$ $\alpha\lVert x\rVert_1 \le \lVert x\rVert_2 \le \beta \lVert x\rVert_1\,.$

Proposisi 3.1.37.

Jika $\lVert\mathord{\cdot}\rVert_1$ dan $\lVert\mathord{\cdot}\rVert_2$ merupakan norma-norma ekuivalen pada ruang vektor $V$ , maka keduanya menginduksi topologi yang sama pada $V$ .

Proposisi 3.1.37 memberi kita syarat cukup yang mudah diperiksa agar dua norma menginduksi topologi yang identik pada ruang vektor. Jadi, misalnya, jika kita hendak menunjukkan bahwa suatu subhimpunan dari ruang linear bernorma bersifat terbuka, boleh jadi pembuktiannya dapat disederhanakan dengan mengganti norma yang diberikan dengan norma ekuivalen.

Demikian pula, andaikan kita hendak memeriksa bahwa suatu fungsi $f$ antara dua ruang linear bernorma bersifat kontinu. Karena kekontinuan didefinisikan dalam hal himpunan terbuka dan norma-norma ekuivalen menghasilkan himpunan-himpunan terbuka yang persis sama (lihat proposisi 3.1.37), kita bebas mengganti norma pada domain $f$ dan kodomain $f$ dengan norma ekuivalen mana pun yang kita kehendaki. Proses ini kadang-kadang dapat sangat menyederhanakan argumen. (Kemungkinan penyederhanaan ini, secara kebetulan, merupakan salah satu keuntungan utama menggunakan definisi topologis untuk kekontinuan sejak awal.)

Definisi 3.1.38.

Misalkan $x = (x_n)$ suatu barisan vektor dalam ruang linear bernorma $V$ . Deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty x_k$ disebut konvergen jika terdapat vektor $b \in V$ sedemikian sehingga $\lVert b - s_n\rVert \rightarrow 0$ ketika $n \rightarrow\infty$ , dengan $s_n = \sum_{k=1}^n x_k$ sebagai jumlah parsial $\text{ke-}n$ dari barisan $x$ . Deret tersebut disebut konvergen mutlak jika $\sum_{k=1}^\infty \lVert x_k\rVert < \infty$ .

Latihan 3.1.39.

Misalkan $l_1$ merupakan himpunan semua barisan $x = (x_n)$ dari bilangan kompleks sedemikian sehingga deret $\sum x_k$ konvergen mutlak. Jadikan $l_1$ ruang vektor dengan definisi penjumlahan dan perkalian skalar titik demi titik yang biasa. Untuk setiap $x \in l_1$ , definisikan $\begin{align*} \lVert x\rVert_1 &:= \sum_{k=1}^\infty \lvert x_k\rvert \\ &\text{dan}\\ \lVert x\rVert_\infty &:= \sup\{\lvert x_k\rvert\colon k \in \mathbb{N}\}. \end{align*}$ (Masing-masing adalah norma- $1$ dan norma seragam.) Tunjukkan bahwa $\lVert\mathord{\cdot}\rVert_1$ dan $\lVert\mathord{\cdot}\rVert_\infty$ keduanya merupakan norma pada $l_1$ . Kemudian buktikan atau sangkal:

Jika suatu barisan $(x^i)$ dari vektor-vektor dalam ruang linear bernorma $\bigl(l_1, \lVert\mathord{\cdot}\rVert_1\bigr)$ konvergen, maka barisan tersebut juga konvergen dalam $\bigl(l_1, \lVert\mathord{\cdot}\rVert_\infty\bigr)$ .
Jika suatu barisan $(x^i)$ dari vektor-vektor dalam ruang linear bernorma $\bigl(l_1, \lVert\mathord{\cdot}\rVert_\infty\bigr)$ konvergen, maka barisan tersebut juga konvergen dalam $\bigl(l_1, \lVert\mathord{\cdot}\rVert_1\bigr)$ .

Pemetaan Linear Terbatas

Para analis bekerja dengan objek-objek yang memiliki struktur aljabar sekaligus topologis. Pada bagian sebelumnya kita mengkaji ruang-ruang vektor yang dilengkapi dengan topologi yang berasal dari suatu norma. Jika ruang-ruang itu merupakan objek yang sedang dipertimbangkan, morfisme apakah yang kiranya paling menarik? Jawaban yang masuk akal, dan memang benar, adalah pemetaan yang melestarikan struktur topologis maupun aljabar; yakni, pemetaan linear kontinu. Kategori yang dihasilkan dinotasikan dengan $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ . Secara topologis, isomorfisme dalam kategori ini adalah homeomorfisme.

Berikut adalah suatu syarat yang sangat berguna yang, untuk pemetaan linear, ternyata ekuivalen dengan kekontinuan.

Definisi 3.2.1.

Suatu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang linear bernorma disebut terbatas jika $T(B)$ merupakan subhimpunan terbatas dari $W$ setiap kali $B$ merupakan subhimpunan terbatas dari $V$ . Dengan kata lain, pemetaan linear terbatas membawa himpunan terbatas ke himpunan terbatas. Kita menyatakan dengan $\mathfrak{B}(V,W)$ keluarga semua pemetaan linear terbatas dari $V$ ke $W$ . Pemetaan linear terbatas dari suatu ruang $V$ ke dirinya sendiri sering disebut suatu operator (linear terbatas). Keluarga semua operator pada ruang linear bernorma $V$ dinotasikan dengan $\mathfrak{B}(V)$ . Kelas ruang linear bernorma bersama pemetaan linear terbatas di antara ruang-ruang tersebut membentuk suatu kategori. Di bawah ini kita memeriksa bahwa kategori ini tidak lain adalah kategori $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ .

Perhatian.

Sangat penting untuk menyadari bahwa secara umum suatu pemetaan linear terbatas bukan fungsi terbatas dalam arti biasa dari suatu fungsi terbatas pada himpunan tertentu (lihat contoh 3.1.7 dan 3.1.8). Penggunaan kata “terbatas” dalam kedua arti yang bertentangan ini mungkin kurang menguntungkan, tetapi sudah mapan.

Contoh 3.2.2.

Pemetaan linear $T\colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto 3x$ merupakan pemetaan linear terbatas (karena memetakan subhimpunan terbatas dari $\mathbb{R}$ ke subhimpunan terbatas dari $\mathbb{R}$ ), tetapi jika dipandang hanya sebagai fungsi, $T$ tidak terbatas (karena jangkauannya bukan subhimpunan terbatas dari $\mathbb{R}$ ).

Pengamatan berikut dapat membantu mengurangi kebingungan.

Proposisi 3.2.3.

Suatu pemetaan linear, kecuali jika merupakan pemetaan konstan yang membawa setiap vektor ke nol, tidak mungkin merupakan fungsi terbatas.

Definisi 3.2.4.

Misalkan $(M,d)$ dan $(N,\rho)$ ruang-ruang metrik. Suatu fungsi $f \colon M \rightarrow N$ disebut kontinu seragam jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga $\rho(f(x),f(y)) < \epsilon$ setiap kali $x$ , $y \in M$ dan $d(x,y) < \delta$ .

Salah satu aspek linearitas yang paling mencolok adalah bahwa untuk pemetaan linear, konsep kekontinuan, kekontinuan di satu titik saja, dan kekontinuan seragam menyatu. Bahkan, semua konsep tersebut persis sama dengan keterbatasan.

Teorema 3.2.5.

Misalkan $T \colon V \rightarrow W$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang linear bernorma. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$T$ terbatas.
Citra bola satuan tertutup di bawah $T$ merupakan himpunan terbatas.
$T$ kontinu seragam pada $V$ .
$T$ kontinu pada $V$ .
$T$ kontinu di $\mathbf{0}$ .
Terdapat bilangan $M > 0$ sedemikian sehingga $\lVert Tx\rVert \le M\lVert x\rVert$ untuk semua $x \in V$ .

Proposisi 3.2.6.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ suatu pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang linear bernorma dengan domain bukan ruang nol. Maka keempat bilangan berikut ada dan bernilai sama.

$\sup\{\lVert Tx\rVert\colon \lVert x\rVert \le 1\}$
$\sup\{\lVert Tx\rVert\colon \lVert x\rVert = 1\}$
$\sup\{\lVert Tx\rVert\,\lVert x\rVert^{-1}\colon x \ne \mathbf{0}\}$
$\inf\{M > 0\colon \lVert Tx\rVert \le M\lVert x\rVert\ \text{ untuk semua $x \in V$}\}$

Definisi 3.2.7.

Jika $T$ merupakan pemetaan linear terbatas, maka $\lVert T\rVert$ , yang disebut norma (atau norma operator) dari $T$ , didefinisikan sebagai salah satu dari empat ungkapan dalam proposisi sebelumnya; untuk domain nol, nilainya ditetapkan nol.

Contoh 3.2.8.

Jika $V$ dan $W$ merupakan ruang-ruang linear bernorma, maka fungsi $\lVert\mathord{\cdot}\rVert\colon \mathfrak{B}(V,W) \rightarrow\mathbb{R} \colon T \mapsto \lVert T\rVert$ memang merupakan suatu norma.

Contoh 3.2.9.

Keluarga $\mathfrak{B}(V,W)$ dari semua pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang linear bernorma itu sendiri merupakan ruang linear bernorma di bawah norma operator yang didefinisikan di atas serta operasi penjumlahan dan perkalian skalar titik demi titik yang biasa. Yang khususnya penting adalah keluarga $V^* = \mathfrak{B}(V,\mathbb{K})$ dari anggota-anggota kontinu dalam $V^{\#}$ , yaitu fungsional linear kontinu, yang juga dikenal sebagai fungsional linear terbatas. Ingat bahwa dalam 1.2.37 kita mendefinisikan dual aljabar $V^{\#}$ dari ruang vektor $V$ . Yang lebih penting dalam pembahasan kita di sini adalah $V^*$ , yang disebut ruang dual dari $V$ . Untuk membedakannya dari dual aljabar dan dual urutan, ruang ini kadang-kadang disebut dual norma atau dual topologis dari $V$ . Perhatikan bahwa pembedaan ini tidak diperlukan dalam ruang berdimensi hingga karena di sana $V^* = V^{\#}$ (lihat 3.3.9).

Proposisi 3.2.10.

Keluarga $\mathfrak{B}(V,W)$ dari semua pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang linear bernorma bersifat lengkap (terhadap metrik yang diinduksi oleh normanya) setiap kali $W$ lengkap. Secara khusus, ruang dual dari setiap ruang linear bernorma bersifat lengkap.

Proposisi 3.2.11.

Misalkan $U$ , $V$ , dan $W$ ruang-ruang linear bernorma. Jika $S \in \mathfrak{B}(U,V)$ dan $T \in \mathfrak{B}(V,W)$ , maka $TS \in \mathfrak{B}(U,W)$ dan $\lVert TS\rVert \le \lVert T\rVert \lVert S\rVert$ .

Contoh 3.2.12.

Pada setiap ruang linear bernorma $V$ yang bukan ruang nol, operator identitas $\operatorname{id}_{V} = I_V =I\colon V \rightarrow V \colon v \mapsto v$ terbatas dan $\lVert I_V\rVert = 1$ . Operator nol $\mathbf{0}_V = \mathbf{0}\colon V \rightarrow V\colon v \mapsto \mathbf{0}$ juga terbatas dan $\lVert 0_V\rVert = 0$ .

Contoh 3.2.13.

Misalkan $T \colon \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}^3\colon (x,y) \mapsto (3x, x + 2y, x - 2y)$ . Maka $\lVert T\rVert = \sqrt{11}$ .

Banyak mahasiswa yang baru saja menyelesaikan mata kuliah kalkulus dasar merasa bahwa diferensiasi merupakan operasi yang “lebih baik” daripada integrasi—mungkin karena aturan integrasi tampak lebih rumit daripada aturan diferensiasi. Namun, ketika kita memandang keduanya sebagai pemetaan linear, yang benar justru sebaliknya.

Contoh 3.2.14.

Sebagai pemetaan linear pada ruang fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan pada $[0,1]$ (dengan norma seragam), integrasi terbatas; diferensiasi tidak terbatas (dan karena itu tidak kontinu di titik mana pun!).

Definisi 3.2.15.

Misalkan $f\colon V_1 \rightarrow V_2$ suatu fungsi antara ruang-ruang linear bernorma. Untuk $k = 1,2$ , misalkan $\lVert\mathord{\cdot}\rVert_k$ norma pada $V_k$ dan $d_k$ metrik pada $V_k$ yang diinduksi oleh $\lVert\mathord{\cdot}\rVert_k$ (lihat contoh 1.2.17). Maka $f$ merupakan isometri (atau suatu pemetaan isometrik) jika $d_2(f(x),f(y)) = d_1(x,y)$ untuk semua $x$ , $y \in V_1$ . Pemetaan itu dikatakan mempertahankan norma jika $\lVert f(x)\rVert_2 = \lVert x\rVert_1$ untuk semua $x \in V_1$ .

Sebelumnya dalam bagian ini kita telah membahas kategori $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ dari ruang linear bernorma dan pemetaan linear kontinu. Dalam kategori ini, isomorfisme melestarikan struktur topologis (selain struktur ruang vektor). Apa yang akan terjadi jika kita justru menghendaki isomorfisme melestarikan struktur metrik dari ruang-ruang linear bernorma; yakni, menjadi isometri? Mudah dilihat bahwa (dengan adanya linearitas) hal ini ekuivalen dengan meminta agar isomorfisme mempertahankan norma. Dalam kategori baru ini, yang dinotasikan dengan $\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ , morfismenya adalah pemetaan linear kontraktif, yaitu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang linear bernorma sedemikian sehingga $\lVert Tx\rVert \le \lVert x\rVert$ untuk semua $x \in V$ . Tampaknya tepat untuk menyebut $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ sebagai kategori topologis ruang linear bernorma dan $\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ sebagai kategori geometris ruang linear bernorma. Banyak penulis menggunakan istilah “isomorfisme” tanpa pengubah untuk isomorfisme dalam kategori topologis $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ dan “isomorfisme isometrik” untuk isomorfisme dalam kategori geometris $\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ . Dalam catatan ini kita akan berfokus pada kategori topologis. Teori isometrik ruang linear bernorma, meskipun penting, agak lebih khusus.

Latihan 3.2.16.

Periksalah pernyataan-pernyataan yang belum dibuktikan dalam paragraf sebelumnya. Secara khusus, buktikan bahwa

$\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ merupakan suatu kategori.
Suatu isomorfisme dalam $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ merupakan isomorfisme ruang vektor sekaligus homeomorfisme.
Suatu pemetaan linear antara ruang-ruang linear bernorma merupakan isometri jika dan hanya jika pemetaan tersebut mempertahankan norma.
$\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ merupakan suatu kategori.
Suatu isomorfisme dalam $\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ merupakan isometri sekaligus isomorfisme ruang vektor.
Kategori $\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ merupakan subkategori dari $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ dalam arti bahwa setiap morfisme kategori pertama termasuk dalam kategori kedua.

Ruang Berdimensi Hingga

Dalam bagian ini dicantumkan beberapa fakta baku dan berguna tentang ruang berdimensi hingga. Bukti hasil-hasil ini cukup mudah ditemukan. Lihat, misalnya, [4], Bagian 4.4; [8], Bagian III.3; [33], Bagian 2.4–5; atau [47], halaman 16–18.

Definisi 3.3.1.

Suatu barisan $(x_n)$ dalam ruang metrik disebut barisan Cauchy jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $d(x_m,x_n) < \epsilon$ apabila $m$ , $n \ge n_0$ . Syarat ini sering disingkat sebagai berikut: $d(x_m, x_n) \rightarrow 0$ ketika $m$ , $n \rightarrow\infty$ (atau $\lim_{m,n \rightarrow \infty}d(x_m,x_n) = 0$ ).

Definisi 3.3.2.

Suatu ruang metrik $M$ disebut lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam $M$ konvergen. (Untuk meninjau kembali fakta-fakta paling dasar tentang ruang metrik lengkap, lihat bagian pertama Bab 20 dalam catatan daring saya [16].)

Proposisi 3.3.3.

Jika $V$ adalah ruang linear bernorma berdimensi $n$ atas $\mathbb{K}$ , maka terdapat suatu pemetaan dari $V$ ke $\mathbb{K}^n$ yang sekaligus merupakan homeomorfisme dan isomorfisme ruang vektor.

Akibat 3.3.4.

Setiap ruang linear bernorma berdimensi hingga bersifat lengkap.

Akibat 3.3.5.

Setiap subruang vektor berdimensi hingga dari suatu ruang linear bernorma bersifat tertutup.

Akibat 3.3.6.

Sebarang dua norma pada suatu ruang vektor berdimensi hingga bersifat ekuivalen.

Definisi 3.3.7.

Subhimpunan $K$ dari ruang topologis $X$ disebut kompak jika setiap keluarga $\mathfrak{U}$ yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan terbuka dari $X$ dan gabungannya memuat $K$ memiliki subkeluarga hingga dari $\mathfrak{U}$ yang gabungannya memuat $K$ .

Proposisi 3.3.8.

Bola satuan tertutup dalam suatu ruang linear bernorma bersifat kompak jika dan hanya jika ruang tersebut berdimensi hingga.

Proposisi 3.3.9.

Jika $V$ dan $W$ adalah ruang-ruang linear bernorma dan $V$ berdimensi hingga, maka setiap pemetaan linear $T \colon V \rightarrow W$ bersifat kontinu.

Misalkan $T$ suatu pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang linear bernorma (yang mungkin berdimensi tak hingga). Sama seperti dalam kasus berdimensi hingga, kernel dan jangkauan $T$ merupakan objek yang sangat penting. Baik dalam kasus berdimensi hingga maupun tak hingga, keduanya merupakan subruang vektor dari ruang yang memuatnya. Selain itu, dalam kedua kasus tersebut kernel $T$ bersifat tertutup. (Di bawah suatu fungsi kontinu, pracitra himpunan tertutup bersifat tertutup.) Akan tetapi, terdapat perbedaan besar antara kedua kasus itu. Dalam kasus berdimensi hingga, jangkauan $T$ harus tertutup (berdasarkan 3.3.5). Seperti akan kita lihat dalam Contoh 5.2.14, pemetaan linear antara ruang-ruang berdimensi tak hingga tidak harus memiliki jangkauan tertutup.

Hasil Bagi Ruang Linear Bernorma

Definisi 3.4.1.

Misalkan $A$ adalah objek dalam suatu kategori konkret $\mathbf{C}$ . Suatu morfisme surjektif $A \to^\pi B$ dalam $\mathbf{C}$ disebut pemetaan hasil bagi untuk $A$ jika suatu fungsi $g\colon B \rightarrow C$ (dalam $\mathbf{SET}$ ) merupakan morfisme (dalam $\mathbf{C}$ ) setiap kali $g \circ \pi$ merupakan morfisme. Suatu objek $B$ dalam $\mathbf{C}$ disebut objek hasil bagi untuk $A$ jika merupakan citra suatu pemetaan hasil bagi untuk $A$ .

Contoh 3.4.2.

Dalam kategori $\mathbf{VEC}$ yang terdiri atas ruang-ruang vektor dan pemetaan-pemetaan linear, setiap pemetaan linear surjektif merupakan pemetaan hasil bagi.

Contoh 3.4.3.

Dalam kategori $\mathbf{TOP}$ , tidak setiap epimorfisme merupakan pemetaan hasil bagi.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tinjau pemetaan identitas pada bilangan real dengan topologi yang berbeda pada domain dan kodomainnya. ◻

Butir berikut, yang semestinya sudah dikenal dari aljabar linear, menunjukkan cara menghasilkan suatu objek hasil bagi tertentu dengan “mengambil hasil bagi oleh suatu subruang”.

Definisi 3.4.4.

Misalkan $M$ adalah subruang dari ruang vektor $V$ . Definisikan suatu relasi ekuivalensi $\sim$ pada $V$ dengan $x \sim y \qquad \text{jika dan hanya jika} \qquad y - x \in M.$ Untuk setiap $x \in V$ , misalkan $[x]$ adalah kelas ekuivalensi yang memuat $x$ . Misalkan $V/M$ adalah himpunan semua kelas ekuivalensi unsur-unsur $V$ . Untuk $[x]$ dan $[y]$ dalam $V/M$ , definisikan $[x] + [y] := [x+y]$ dan untuk $\alpha \in \mathbb{K}$ serta $[x] \in V/M$ , definisikan $\alpha[x] := [\alpha x].$ Terhadap operasi-operasi ini, $V/M$ menjadi ruang vektor. Ruang ini adalah ruang hasil bagi dari $V$ oleh $M$ . Notasi $V/M$ biasanya dibaca “ $V$ modulo $M$ ”. Pemetaan linear $\pi\colon V \rightarrow V/M\colon x \mapsto [x]$ disebut pemetaan hasil bagi.

Latihan 3.4.5.

Verifikasilah pernyataan-pernyataan dalam Definisi 3.4.4. Secara khusus, tunjukkan bahwa $\sim$ merupakan relasi ekuivalensi, bahwa penjumlahan dan perkalian skalar pada himpunan kelas-kelas ekuivalensi terdefinisi dengan baik, bahwa terhadap operasi-operasi ini $V/M$ merupakan ruang vektor, bahwa fungsi yang di sini disebut “pemetaan hasil bagi” memang merupakan pemetaan hasil bagi dalam pengertian 3.4.1, dan bahwa pemetaan hasil bagi ini bersifat linear.

Hasil berikut disebut teorema dasar hasil bagi atau teorema isomorfisme pertama untuk ruang-ruang vektor.

Teorema 3.4.6.

Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang-ruang vektor dan $M \preceq V$ . Jika $T \in \mathfrak{L}(V,W)$ dan $\ker T \supseteq M$ , maka terdapat tepat satu $\widetilde{T} \in \mathfrak{L}(V/M\,,W)$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Segitiga teorema dasar hasil bagi untuk ruang vektor. Pemetaan hasil bagi pi berjalan dari V ke V per M, pemetaan linear T dari V ke W, dan satu-satunya pemetaan linear T tilde dari V per M ke W. Segitiga komutatif: T sama dengan T tilde setelah pi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Selanjutnya, $\widetilde{T}$ injektif jika dan hanya jika $\ker T = M$ ; dan $\widetilde{T}$ surjektif jika dan hanya jika $T$ surjektif.

Akibat 3.4.7.

Jika $T\colon V \rightarrow W$ adalah pemetaan linear antara ruang-ruang vektor, maka $\mathop{\mathrm{ran}}T \cong V/\ker T$ .

Proposisi 3.4.8.

Misalkan $V$ adalah ruang linear bernorma dan $M$ adalah subruang tertutup dari $V$ . Maka pemetaan $\lVert\mathord{\cdot}\rVert \colon V/M \rightarrow\mathbb{R}\colon [x] \mapsto \inf\{\lVert u\rVert \colon u \sim x\}$ merupakan norma pada $V/M$ . Selanjutnya, pemetaan hasil bagi $\pi \colon V \rightarrow V/M \colon x \mapsto [x]$ merupakan surjeksi linear terbatas dengan $\lVert\pi \rVert\le 1$ .

Definisi 3.4.9.

Norma yang didefinisikan pada $V/M$ disebut norma hasil bagi pada $V/M$ . Terhadap norma ini $V/M$ merupakan ruang linear bernorma dan disebut ruang hasil bagi dari $V$ oleh $M$ . Ruang ini sering disebut sebagai “ $V$ modulo $M$ ”.

Teorema 3.4.10.

Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang-ruang linear bernorma dan $M$ adalah subruang tertutup dari $V$ . Jika $T$ merupakan pemetaan linear terbatas dari $V$ ke $W$ dan $\ker T \supseteq M$ , maka terdapat suatu pemetaan linear terbatas tunggal $\widetilde{T}\colon V/M \rightarrow W$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Segitiga teorema dasar hasil bagi untuk ruang linear bernorma. Pemetaan hasil bagi pi berjalan dari V ke V per M, pemetaan linear terbatas T dari V ke W, dan satu-satunya pemetaan linear terbatas T tilde dari V per M ke W. Segitiga komutatif: T sama dengan T tilde setelah pi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Selanjutnya: $\lVert\widetilde{T}\rVert = \lVert T\rVert$ ; $\widetilde{T}$ injektif jika dan hanya jika $\ker T = M$ ; dan $\widetilde{T}$ surjektif jika dan hanya jika $T$ surjektif.

Hasil Kali Ruang Linear Bernorma

Hasil kali dan koproduk, seperti hasil bagi, paling baik dideskripsikan dari segi apa yang dilakukannya.

Definisi 3.5.1.

Misalkan $A_1$ dan $A_2$ adalah objek-objek dalam suatu kategori $\mathbf{C}$ . Kita mengatakan bahwa tripel $(P,\pi_1,\pi_2)$ , dengan $P$ suatu objek dan $\pi_k\colon P \rightarrow A_k$ ( $k = 1,2$ ) morfisme-morfisme, merupakan suatu hasil kali dari $A_1$ dan $A_2$ jika untuk setiap objek $B$ dan setiap pasangan morfisme $f_k\colon B \rightarrow A_k$ ( $k = 1,2$ ) terdapat morfisme tunggal $f\colon B \rightarrow P$ sedemikian sehingga $f_k = \pi_k \circ f$ untuk $k = 1,2$ .

Sudah lazim untuk mengatakan, “Misalkan $P$ suatu hasil kali dari …” sebagai pengganti, “Misalkan $(P,\pi_1,\pi_2)$ suatu hasil kali dari …”. Hasil kali $A_1$ dan $A_2$ sering ditulis sebagai $A_1 \times A_2$ atau sebagai $\prod_{k = 1,2} A_k$ .

Dalam suatu kategori tertentu, hasil kali mungkin ada ataupun tidak. Merupakan fakta yang menarik dan dasar bahwa kapan pun hasil kali itu ada, hasil kali tersebut unik (hingga isomorfisme), sehingga kita dapat berbicara tanpa ambiguitas tentang hasil kali dua objek. Ketika kita mengatakan bahwa suatu objek kategori yang memenuhi satu atau beberapa syarat bersifat unik hingga isomorfisme, tentu saja kita bermaksud bahwa sebarang dua objek yang memenuhi syarat-syarat tersebut harus isomorfik. Kita akan sering menggunakan frasa “unik secara esensial” untuk “unik hingga isomorfisme”.

Proposisi 3.5.2.

Dalam sebarang kategori, hasil kali (jika ada) bersifat unik secara esensial.

Contoh 3.5.3.

Dalam kategori $\mathbf{SET}$ , hasil kali dua himpunan $A_1$ dan $A_2$ ada dan sesungguhnya merupakan hasil kali Kartesius biasa $A_1 \times A_2$ beserta proyeksi koordinat biasa $\pi_k\colon A_1 \times A_2 \rightarrow A_k \colon (a_1,a_2) \mapsto a_k$ .

Contoh 3.5.4.

Jika $V_1$ dan $V_2$ adalah ruang-ruang vektor, kita menjadikan hasil kali Kartesius $V_1 \times V_2$ suatu ruang vektor sebagai berikut. Definisikan penjumlahan dengan $(u,v) + (w,x) := (u + w, v + x)$ dan perkalian skalar dengan $\alpha (u,v) := (\alpha u, \alpha v) \,.$ Hal ini menjadikan $V_1 \times V_2$ suatu ruang vektor, dan ruang ini beserta proyeksi koordinat biasa $\pi_k\colon V_1 \times V_2 \rightarrow V_k \colon (v_1,v_2) \mapsto v_k$ ( $k = 1,2$ ) merupakan suatu hasil kali dalam kategori $\mathbf{VEC}$ . Ruang ini biasanya disebut jumlah langsung dari $V_1$ dan $V_2$ dan dinotasikan dengan $V_1 \oplus V_2$ .

Sering kali mungkin dan dikehendaki untuk mengambil hasil kali dari sebarang keluarga objek dalam suatu kategori. Berikut adalah perumuman Definisi 3.5.1.

Definisi 3.5.5.

Misalkan $\bigl(A_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ adalah suatu keluarga terindeks objek-objek dalam kategori $\mathbf{C}$ . Kita mengatakan bahwa objek $P$ beserta suatu keluarga terindeks $\bigl(\pi_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ dari morfisme-morfisme $\pi_\lambda\colon P \rightarrow A_\lambda$ merupakan hasil kali objek-objek $A_\lambda$ jika untuk setiap objek $B$ dan setiap keluarga terindeks $\bigl(f_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ dari morfisme-morfisme $f_\lambda\colon B \rightarrow A_\lambda$ terdapat pemetaan tunggal $g \colon B \rightarrow P$ sedemikian sehingga $f_\lambda = \pi_\lambda \circ g$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ .

Suatu kategori yang di dalamnya sebarang hasil kali ada disebut lengkap terhadap hasil kali. Banyak kategori yang kita jumpai dalam catatan ini lengkap terhadap hasil kali.

Definisi 3.5.6.

Misalkan $\bigl(S_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ adalah suatu keluarga terindeks himpunan. Hasil kali Kartesius dari keluarga terindeks tersebut, yang dinotasikan dengan $\prod_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda$ atau cukup $\prod S_\lambda$ , adalah himpunan semua fungsi $f \colon \Lambda \rightarrow\bigcup S_\lambda$ sedemikian sehingga $f(\lambda) \in S_\lambda$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ . Pemetaan-pemetaan $\pi_\lambda \colon \prod S_\lambda \rightarrow S_\lambda \colon f \mapsto f(\lambda)$ merupakan proyeksi koordinat kanonik. Dalam banyak kasus, notasi $f_\lambda$ lebih mudah digunakan daripada $f(\lambda)$ . (Lihat, misalnya, Contoh 3.5.8 di bawah.)

Contoh 3.5.7.

Suatu kasus khusus yang sangat penting dari definisi sebelumnya muncul ketika semua himpunan $S_\lambda$ identik: misalkan $S_\lambda = A$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ . Dalam hal ini, hasil kali Kartesius tersebut terdiri atas semua fungsi yang memetakan $\Lambda$ ke $A$ . Artinya, $\prod_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda = A^\Lambda$ . Perhatikan pula bahwa dalam kasus ini proyeksi koordinat merupakan pemetaan evaluasi. Untuk setiap $\lambda$ , proyeksi koordinat $\pi_\lambda$ membawa setiap titik $f$ dalam hasil kali tersebut (yaitu, setiap fungsi $f$ dari $\Lambda$ ke $A$ ) ke $f(\lambda)$ , nilainya pada $\lambda$ . Singkatnya, setiap proyeksi koordinat merupakan pemetaan evaluasi pada suatu titik.

Contoh 3.5.8.

Apakah $\mathbb{R}^n$ itu? Ruang ini hanyalah himpunan semua $n$ -tupel bilangan real. Artinya, ruang ini adalah himpunan fungsi dari $\mathbb{N}_n = \{1,2,\dots,n\}$ ke $\mathbb{R}$ . Dengan kata lain, $\mathbb{R}^n$ hanyalah singkatan untuk $\mathbb{R}^{\mathbb{N}_n}$ . Dalam $\mathbb{R}^n$ , biasanya orang menulis $x_j$ untuk koordinat ke- $j$ dari suatu vektor $x$ , bukan $x(j)$ .

Contoh 3.5.9.

Dalam kategori $\mathbf{SET}$ , hasil kali suatu keluarga terindeks himpunan ada dan sesungguhnya merupakan hasil kali Kartesius himpunan-himpunan tersebut beserta proyeksi koordinat kanonik.

Contoh 3.5.10.

Jika $\bigl(V_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ adalah suatu keluarga terindeks ruang-ruang vektor, kita menjadikan hasil kali Kartesius $\prod V_\lambda$ suatu ruang vektor sebagai berikut. Definisikan penjumlahan dan perkalian skalar secara titik demi titik: untuk $f$ , $g \in \prod V_\lambda$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ , $(f + g)(\lambda) := f(\lambda) + g(\lambda)$ dan $(\alpha f)(\lambda) := \alpha f(\lambda) \,.$ Hal ini menjadikan $\prod V_\lambda$ suatu ruang vektor, yang kadang-kadang disebut hasil kali langsung dari ruang-ruang $V_\lambda$ , dan ruang ini beserta proyeksi koordinat kanonik (yang tentu saja merupakan pemetaan linear) adalah suatu hasil kali dalam kategori $\mathbf{VEC}$ .

Contoh 3.5.11.

Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang-ruang linear bernorma. Pada hasil kali Kartesius $V \times W$ , definisikan $\begin{align*} \lVert(x,y)\rVert_2 &= \sqrt{\lVert x\rVert^2 + \lVert y\rVert^2}, \\ \lVert(x,y)\rVert_1 &= \lVert x\rVert + \lVert y\rVert, \\ &\text{dan}\\ \lVert(x,y)\rVert_u &= \max\{\lVert x\rVert, \lVert y\rVert\}\,. \end{align*}$ Yang pertama adalah norma Euklides (atau norma- $2$ ) pada $V \times W$ , yang kedua adalah norma- $1$ , dan yang terakhir adalah norma seragam. Memverifikasi bahwa ketiganya merupakan norma pada $V \times W$ sangat mirip dengan argumen yang diperlukan dalam Contoh 3.1.1, 3.1.2, dan 3.1.3. Fakta bahwa ketiganya merupakan norma-norma ekuivalen merupakan konsekuensi dari pertidaksamaan berikut dan Proposisi 3.1.37. $\lVert x\rVert + \lVert y\rVert \le \sqrt 2 \sqrt{\lVert x\rVert^2 + \lVert y\rVert^2} \le 2 \max\{\lVert x\rVert,\lVert y\rVert\} \le 2(\lVert x\rVert + \lVert y\rVert)$

Konvensi 3.5.12.

Dalam contoh sebelumnya, kita mendefinisikan tiga norma (ekuivalen) pada ruang hasil kali $V \times W$ . Kita akan mengambil yang kedua, $\lVert\;\;\rVert_1$ , sebagai norma hasil kali pada $V \times W$ . Jadi, kapan pun $V$ dan $W$ merupakan ruang-ruang linear bernorma, kecuali dinyatakan sebaliknya, kita akan memandang hasil kali $V \times W$ sebagai ruang linear bernorma terhadap norma ini. Biasanya kita cukup menulis $\lVert(x,y)\rVert$ , bukan $\lVert(x,y)\rVert_1$ . Hasil kali ruang-ruang linear bernorma $V$ dan $W$ biasanya dinotasikan dengan $V \oplus W$ dan disebut jumlah langsung dari $V$ dan $W$ . (Dalam kasus khusus $V = W = \mathbb{R}$ , metrik apakah yang diinduksi oleh norma hasil kali pada $\mathbb{R}^2$ ?)

Contoh 3.5.13.

Tunjukkan bahwa hasil kali $V \oplus W$ dari ruang-ruang linear bernorma memang merupakan suatu hasil kali dalam kategori $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ yang terdiri atas ruang-ruang linear bernorma dan pemetaan-pemetaan linear terbatas.

Proposisi 3.5.14.

Misalkan $\bigl((x_n,y_n)\bigr)$ adalah barisan dalam jumlah langsung $V \oplus W$ dari dua ruang linear bernorma. Buktikan bahwa $\bigl((x_n,y_n)\bigr)$ konvergen ke titik $(a,b)$ dalam $V \oplus W$ jika dan hanya jika $x_n \rightarrow a$ dalam $V$ dan $y_n \rightarrow b$ dalam $W$ .

Proposisi 3.5.15.

Penjumlahan merupakan operasi kontinu pada suatu ruang linear bernorma $V$ . Artinya, pemetaan $A \colon V \oplus V \rightarrow V \colon (x,y) \mapsto x + y$ bersifat kontinu.

Latihan 3.5.16.

Berikan bukti yang sangat singkat (tanpa $\epsilon$ , $\delta$ , ataupun himpunan terbuka) bahwa jika $(x_n)$ dan $(y_n)$ merupakan barisan-barisan dalam suatu ruang linear bernorma yang masing-masing konvergen ke $a$ dan $b$ , maka $x_n + y_n \rightarrow a + b$ .

Proposisi 3.5.17.

Perkalian skalar merupakan operasi kontinu pada suatu ruang linear bernorma $V$ , dalam arti bahwa pemetaan $S \colon \mathbb{K}\times V \rightarrow V \colon (\alpha,x) \mapsto \alpha x$ bersifat kontinu.

Proposisi 3.5.18.

Jika $B$ dan $C$ adalah subhimpunan-subhimpunan dari suatu ruang linear bernorma dan $\alpha$ adalah skalar, maka

$\overline{\alpha B} = \alpha \overline{B}$ ; dan
$\overline{B} + \overline{C} \subseteq \overline{B + C}$ .

Contoh 3.5.19.

Jika $B$ dan $C$ adalah subhimpunan-subhimpunan tertutup dari suatu ruang linear bernorma, tidak selalu berlaku bahwa $B + C$ tertutup (dan karena itu $\overline{B} + \overline{C}$ dan $\overline{B + C}$ tidak harus sama).

Proposisi 3.5.20.

Misalkan $C_1$ dan $C_2$ adalah subhimpunan-subhimpunan kompak dari suatu ruang linear bernorma $V$ . Maka

$C_1 \times C_2$ adalah subhimpunan kompak dari $V \times V$ , dan
$C_1 + C_2$ adalah subhimpunan kompak dari $V$ .

Contoh 3.5.21.

Misalkan $X$ suatu ruang topologis. Maka keluarga $\mathcal{C}(X)$ dari semua fungsi kontinu bernilai skalar pada $X$ merupakan suatu ruang vektor terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar biasa yang didefinisikan titik demi titik.

Contoh 3.5.22.

Misalkan $X$ suatu ruang topologis. Kita menotasikan dengan $\mathcal{C}_b(X)$ keluarga semua fungsi kontinu terbatas bernilai skalar pada $X$ . Keluarga ini merupakan ruang linear bernorma terhadap norma seragam. Bahkan, ruang ini merupakan subruang dari $\mathcal{B}(X)$ (lihat Contoh 3.1.7).

Contoh 3.5.23.

Jika $S$ adalah suatu himpunan dan $a \in S$ , maka fungsional evaluasi $E_a\colon \mathcal{B}(S) \rightarrow\mathbb{K}\colon f \mapsto f(a)$ merupakan fungsional linear terbatas pada ruang $\mathcal{B}(S)$ dari semua fungsi terbatas bernilai skalar pada $S$ . Jika $S$ kebetulan merupakan ruang topologis, kita juga dapat memandang $E_a$ sebagai anggota ruang dual dari $\mathcal{C}_b(S)$ . (Dalam kedua kasus tersebut, berapakah $\lVert E_a\rVert$ ?)

Definisi 3.5.24.

Misalkan $A$ adalah suatu aljabar yang padanya telah didefinisikan sebuah norma. Andaikan bahwa sebagai tambahan, sifat submultiplikatif $\lVert xy\rVert \le \lVert x\rVert\,\lVert y\rVert$ dipenuhi untuk semua $x$ , $y \in A$ . Maka $A$ merupakan suatu aljabar bernorma. Kita menetapkan satu syarat tambahan: jika aljabar $A$ beridentitas, maka $\lVert\mathbf{1}\rVert = 1\,.$ Dalam kasus ini, $A$ merupakan aljabar bernorma beridentitas.

Contoh 3.5.25.

Dalam Contoh 3.1.7, telah kita tunjukkan bahwa keluarga $\mathcal{B}(S)$ dari fungsi-fungsi terbatas bernilai skalar pada suatu himpunan $S$ merupakan ruang linear bernorma terhadap norma seragam. Keluarga ini juga merupakan aljabar bernorma komutatif beridentitas.

Proposisi 3.5.26.

Perkalian merupakan operasi kontinu pada suatu aljabar bernorma $V$ , dalam arti bahwa pemetaan $M \colon V \times V \rightarrow V \colon (x,y) \mapsto xy$ bersifat kontinu.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Jika Anda dapat membuktikan bahwa perkalian pada bilangan real bersifat kontinu, hampir pasti Anda juga dapat membuktikan bahwa perkalian bersifat kontinu pada sebarang aljabar bernorma. ◻

Contoh 3.5.27.

Keluarga $\mathcal{C}_b(X)$ dari fungsi-fungsi kontinu terbatas bernilai skalar pada suatu ruang topologis $X$ , terhadap operasi-operasi biasa yang didefinisikan titik demi titik dan norma seragam, merupakan aljabar bernorma komutatif beridentitas. (Lihat Contoh 3.5.22.)

Contoh 3.5.28.

Keluarga $\mathfrak{B}(V)$ dari semua operator (linear terbatas) pada suatu ruang linear bernorma bukan nol $V$ merupakan aljabar bernorma beridentitas. (Lihat 3.2.9 dan 3.2.10.)

Koproduk Ruang Linear Bernorma

Koproduk serupa dengan hasil kali—kecuali bahwa semua anak panah dibalik.

Definisi 3.6.1.

Misalkan $A_1$ dan $A_2$ adalah objek-objek dalam suatu kategori $\mathbf{C}$ . Tripel $(Q,\iota_1,\iota_2)$ , dengan $Q$ suatu objek dan $\iota_k\colon A_k \rightarrow Q$ morfisme untuk $k=1,2$ , disebut koproduk dari $A_1$ dan $A_2$ jika untuk setiap objek $B$ dan setiap pasangan morfisme $f_k\colon A_k \rightarrow B$ (k = 1,2) terdapat morfisme tunggal $f\colon Q \rightarrow B$ sedemikian sehingga $f_k = f \circ \iota_k$ untuk $k = 1,2$ .

Proposisi 3.6.2.

Dalam sebarang kategori, koproduk (jika ada) bersifat unik secara esensial.

Definisi 3.6.3.

Misalkan $A$ dan $B$ adalah himpunan-himpunan. Ketika $A$ dan $B$ saling lepas, kita sering menggunakan notasi $A \uplus B$ sebagai pengganti $A \cup B$ (untuk menekankan bahwa $A$ dan $B$ saling lepas). Ketika $C = A \uplus B$ , kita mengatakan bahwa $C$ merupakan gabungan saling lepas dari $A$ dan $B$ . Demikian pula, kita sering memilih untuk menulis gabungan dari suatu keluarga himpunan $\mathfrak{A}$ yang saling lepas berpasangan sebagai $\biguplus\mathfrak{A}$ . Notasi $\biguplus_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ juga dapat digunakan untuk menyatakan gabungan dari suatu keluarga terindeks saling lepas berpasangan $\{A_\lambda\colon \lambda \in \Lambda\}$ dari himpunan-himpunan. Ketika $C = \biguplus\mathfrak{A}$ atau $C = \biguplus_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ , kita mengatakan bahwa $C$ merupakan gabungan saling lepas dari keluarga yang bersesuaian.

Definisi 3.6.4.

Dalam definisi sebelumnya, kita memperkenalkan notasi $A \uplus B$ untuk gabungan dua himpunan saling lepas $A$ dan $B$ . Sekarang kita memperluas notasi ini dan memperbolehkan diri kita mengambil gabungan saling lepas dari himpunan $A$ dan $B$ sekalipun keduanya tidak saling lepas. Kita “membuat keduanya saling lepas” dengan mengidentifikasi (dengan cara yang jelas) himpunan $A$ dengan himpunan $A' = \{(a,1)\colon a \in A\}$ dan $B$ dengan himpunan $B' = \{(b,2)\colon b \in B\}$ . Kemudian kita menotasikan gabungan $A'$ dan $B'$ , yang memang saling lepas, dengan $A \uplus B$ dan menyebutnya gabungan saling lepas dari $A$ dan $B$ .

Secara umum, jika $\bigl(A_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ adalah suatu keluarga terindeks himpunan, gabungan saling lepasnya, , didefinisikan sebagai $\{(a,\lambda)\colon \lambda \in \Lambda, a \in A_\lambda\}$ .

Contoh 3.6.5.

Dalam kategori $\mathbf{SET}$ , koproduk dua himpunan $A_1$ dan $A_2$ ada dan merupakan gabungan saling lepas $A_1 \uplus A_2$ beserta pemetaan inklusi yang jelas $\iota_k\colon A_k \rightarrow A_1 \uplus A_2$ ( $k = 1,2$ ).

Menarik untuk mengamati bahwa meskipun hasil kali dan koproduk suatu koleksi hingga objek dalam kategori $\mathbf{SET}$ sangat berbeda, dalam kategori $\mathbf{VEC}$ yang lebih kompleks keduanya ternyata merupakan hal yang persis sama.

Contoh 3.6.6.

Jika $V_1$ dan $V_2$ adalah ruang-ruang vektor, jadikan hasil kali Kartesius $V_1 \times V_2$ suatu ruang vektor seperti dalam Contoh 3.5.4. Ruang ini beserta injeksi-injeksi yang jelas merupakan suatu koproduk dalam kategori $\mathbf{VEC}$ .

Sering kali mungkin dan dikehendaki untuk mengambil koproduk dari sebarang keluarga objek dalam suatu kategori. Berikut adalah perumuman Definisi 3.6.1.

Definisi 3.6.7.

Misalkan $\bigl(A_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ adalah suatu keluarga terindeks objek-objek dalam kategori $\mathbf{C}$ . Kita mengatakan bahwa objek $C$ beserta suatu keluarga terindeks $\bigl(\iota_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ dari morfisme-morfisme $\iota_\lambda\colon A_\lambda \rightarrow C$ merupakan koproduk dari objek-objek $A_\lambda$ jika untuk setiap objek $B$ dan setiap keluarga terindeks $\bigl(f_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ dari morfisme-morfisme $f_\lambda\colon A_\lambda \rightarrow B$ terdapat pemetaan tunggal $g \colon C \rightarrow B$ sedemikian sehingga $f_\lambda = g \circ \iota_\lambda$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ . Notasi biasa untuk koproduk objek-objek $A_\lambda$ adalah $\coprod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ .

Contoh 3.6.8.

Dalam kategori $\mathbf{SET}$ , koproduk suatu keluarga terindeks himpunan ada dan merupakan gabungan saling lepas himpunan-himpunan tersebut.

Definisi 3.6.9.

Misalkan $S$ suatu himpunan dan $V$ suatu ruang vektor. Tumpuan suatu fungsi $f \colon S \rightarrow V$ adalah $\{s \in S \colon f(s) \ne \mathbf{0}\}$ .

Contoh 3.6.10.

Jika $\bigl(V_\lambda\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ adalah suatu keluarga terindeks ruang-ruang vektor, kita menjadikan hasil kali Kartesius tersebut suatu ruang vektor seperti dalam Contoh 3.5.10. Himpunan fungsi $f$ dalam $\prod V_\lambda$ yang memiliki tumpuan hingga (yaitu, yang bernilai tak nol hanya pada berhingga banyak unsur domainnya) jelas merupakan subruang dari $\prod V_\lambda$ . Subruang ini adalah jumlah langsung dari ruang-ruang $V_\lambda$ . Ruang ini dinotasikan dengan $\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} V_\lambda$ . Ruang ini beserta pemetaan-pemetaan injektif yang jelas (yang bersifat linear) merupakan suatu koproduk dalam kategori $\mathbf{VEC}$ .

Latihan 3.6.11.

Apa saja koproduk dalam kategori $\mathbf{NLS_{\boldsymbol\infty}}$ ?

Latihan 3.6.12.

Tentukan hasil kali dan koproduk dua ruang $V$ dan $W$ dalam kategori $\mathbf{NLS_{\mathbf{1}}}$ yang terdiri atas ruang-ruang linear bernorma dan kontraksi-kontraksi linear.

Jaring

Jaring (kadang-kadang disebut barisan tergeneralisasi) berguna untuk mencirikan banyak sifat ruang topologis umum. Dalam ruang semacam itu, jaring pada dasarnya digunakan dengan cara yang sama seperti barisan digunakan dalam ruang metrik.

Definisi 3.7.1.

Himpunan terpraurut yang setiap pasangan elemennya memiliki batas atas disebut himpunan terarah.

Contoh 3.7.2.

Jika $S$ suatu himpunan, maka $\mathop{\mathrm{Fin}}S$ merupakan himpunan terarah terhadap inklusi $\subseteq$ .

Definisi 3.7.3.

Misalkan $S$ suatu himpunan dan $\Lambda$ suatu himpunan terarah. Pemetaan $x\colon \Lambda \rightarrow S$ disebut suatu jaring di $S$ (atau suatu jaring anggota-anggota $S$ ). Nilai $x$ di $\lambda \in \Lambda$ biasanya ditulis $x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}$ (alih-alih $x(\lambda)$ ), dan jaring $x$ sendiri sering dinotasikan dengan $\bigl(x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ atau cukup $\bigl(x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr)$ .

Contoh 3.7.4.

Contoh jaring yang paling jelas ialah barisan. Barisan merupakan fungsi yang domainnya adalah himpunan (terpraurut) $\mathbb{N}$ dari bilangan asli.

Definisi 3.7.5.

Suatu jaring $x = \bigl(x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr)$ dikatakan pada akhirnya memiliki suatu sifat tertentu jika terdapat $\lambda_0 \in \Lambda$ sedemikian sehingga $x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}$ memiliki sifat itu apabila $\lambda \ge \lambda_0$ ; dan jaring itu sering memiliki sifat tersebut jika untuk setiap $\lambda_0 \in \Lambda$ terdapat $\lambda \in \Lambda$ sedemikian sehingga $\lambda \ge \lambda_0$ dan $x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}$ memiliki sifat itu.

Definisi 3.7.6.

Suatu lingkungan dari sebuah titik dalam ruang topologis adalah sebarang himpunan yang memuat suatu himpunan terbuka yang memuat titik tersebut.

Definisi 3.7.7.

Suatu jaring $x$ dalam ruang topologis $X$ konvergen ke titik $a \in X$ jika jaring itu pada akhirnya berada dalam setiap lingkungan $a$ . Dalam hal ini $a$ adalah limit dari $x$ , dan kita menulis $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \to_{\lambda \in \Lambda}a$ atau cukup $x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} \rightarrow a$ . Jika limit bersifat unik, kita juga dapat menggunakan notasi $\lim_{\lambda \in \Lambda} x_{{}_{\scriptstyle{\lambda }}}= a$ atau, secara lebih sederhana, $\lim x_{{}_{\scriptstyle{\lambda }}}= a$ .

Titik $a$ di $X$ merupakan titik gugus dari jaring $x$ jika $x$ sering berada dalam setiap lingkungan $a$ .

Definisi 3.7.8.

Misalkan $(X,\mathfrak{T})$ suatu ruang topologis. Subkeluarga $\mathfrak{S} \subseteq \mathfrak{T}$ merupakan suatu subbasis untuk topologi $\mathfrak{T}$ jika keluarga semua irisan hingga dari anggota-anggota $\mathfrak{S}$ merupakan basis untuk $\mathfrak{T}$ .

Contoh 3.7.9.

Misalkan $X$ suatu ruang topologis dan $a \in X$ . Suatu basis bagi keluarga lingkungan titik $a$ adalah keluarga $\mathfrak{B}_a$ yang terdiri atas lingkungan-lingkungan $a$ dengan sifat bahwa setiap lingkungan $a$ memuat sekurang-kurangnya satu anggota $\mathfrak{B}_a$ . Secara umum, terdapat banyak pilihan basis lingkungan di suatu titik. Setelah basis semacam itu dipilih, kita menyebut anggota-anggotanya sebagai lingkungan dasar dari $a$ .

Misalkan $\mathfrak{B}_a$ suatu basis bagi keluarga lingkungan di $a$ . Urutkan $\mathfrak{B}_a$ berdasarkan relasi memuat (kebalikan dari inklusi); yakni, untuk $U$ , $V \in \mathfrak{B}_a$ , tetapkan $U \preceq V \text{ jika dan hanya jika } U \supseteq V\,.$ Dengan demikian, $\mathfrak{B}_a$ menjadi himpunan terarah. Sekarang (dengan menggunakan aksioma pilihan) pilih satu elemen $x_{{}_U}$ dari setiap himpunan $U \in \mathfrak{B}_a$ . Maka $(x_{{}_{\scriptstyle{U}}})$ merupakan jaring di $X$ dan $x_{{}_{\scriptstyle{U}}} \rightarrow a$ .

Dua proposisi berikut menjamin bahwa agar suatu jaring konvergen ke titik $a$ dalam ruang topologis, cukup jika jaring itu pada akhirnya berada dalam setiap lingkungan dasar (atau bahkan lingkungan subdasar) dari $a$ .

Proposisi 3.7.10.

Misalkan $\mathfrak{B}$ suatu basis bagi topologi pada ruang topologis $X$ dan $a$ suatu titik di $X$ . Suatu jaring $(x_\lambda)$ konvergen ke $a$ jika dan hanya jika jaring itu pada akhirnya berada dalam setiap lingkungan $a$ yang termasuk dalam $\mathfrak{B}$ .

Proposisi 3.7.11.

Misalkan $\mathfrak{S}$ suatu subbasis bagi topologi pada ruang topologis $X$ dan $a$ suatu titik di $X$ . Suatu jaring $(x_\lambda)$ konvergen ke $a$ jika dan hanya jika jaring itu pada akhirnya berada dalam setiap lingkungan $a$ yang termasuk dalam $\mathfrak{S}$ .

Contoh 3.7.12.

Misalkan $J = [a,b]$ suatu interval tetap pada garis real, $\mathbf{x} = (x_0,x_1,\dots,x_n)$ suatu $(n+1)$ -tupel titik-titik di $J$ , dan $\mathbf{t} = (t_1,\dots,t_n)$ suatu $n$ -tupel. Pasangan $(\mathbf{x};\mathbf{t})$ merupakan suatu partisi dengan pilihan dari interval $J$ jika:

$x_{k-1} < x_k$ untuk $1 \le k \le n$ ;
$t_k \in [x_{k-1},x_k]$ untuk $1 \le k \le n$ ;
$x_0 = a$ ; dan
$x_n = b$ .

Gagasannya ialah bahwa $\mathbf{x}$ mempartisi interval tersebut menjadi subinterval-subinterval dan $t_k$ adalah titik yang dipilih dari subinterval $\text{ke-}k$ . Jika $\mathbf{x} = (x_0,x_1,\dots,x_n)$ , maka $\{\mathbf{x}\}$ menyatakan himpunan $\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ . Misalkan $P = (\mathbf{x};\mathbf{s})$ dan $Q = (\mathbf{y};\mathbf{t})$ partisi-partisi (dengan pilihan) dari interval $J$ . Kita menulis $P \preccurlyeq Q$ dan mengatakan bahwa $Q$ merupakan suatu penghalusan dari $P$ jika $\{\mathbf{x}\} \subseteq \{\mathbf{y}\}$ . Terhadap relasi $\preccurlyeq$ , keluarga $\mathfrak{P}$ dari partisi-partisi dengan pilihan pada $J$ merupakan himpunan terarah (tetapi bukan terurut parsial).

Sekarang andaikan $f$ suatu fungsi terbatas pada interval $J$ dan $P = (\mathbf{x};\mathbf{t})$ suatu partisi $J$ menjadi $n$ subinterval. Misalkan $\Delta x_k := x_k - x_{k-1}$ untuk $1 \le k \le n$ . Lalu definisikan $S_f(P) := \sum_{k=1}^n f(t_k)\,\Delta x_k\,.$ Setiap jumlah $S_f(P)$ semacam itu merupakan suatu jumlah Riemann dari $f$ pada $J$ . Perhatikan bahwa karena $\mathfrak{P}$ merupakan himpunan terarah, $S_f$ adalah suatu jaring bilangan real. Jika jaring $S_f$ dari jumlah-jumlah Riemann konvergen, kita mengatakan bahwa fungsi $f$ dapat diintegralkan secara Riemann. Limit jaring $S_f$ (jika ada) merupakan integral Riemann dari $f$ pada interval $J$ dan dinotasikan dengan $\int_a^b f(x)\,dx$ .

Contoh 3.7.13.

Dalam ruang topologis $X$ dengan topologi indiskret (yang himpunan terbukanya hanya $X$ dan himpunan kosong), setiap jaring di ruang tersebut konvergen ke setiap titik di ruang itu.

Contoh 3.7.14.

Dalam ruang topologis $X$ dengan topologi diskret (yang setiap subhimpunan $X$ bersifat terbuka), suatu jaring di ruang tersebut konvergen jika dan hanya jika jaring itu pada akhirnya konstan.

Definisi 3.7.15.

Suatu ruang topologis Hausdorff adalah ruang yang setiap pasangan titik berbedanya dapat dipisahkan oleh himpunan-himpunan terbuka; yakni, untuk setiap pasangan titik berbeda $x$ dan $y$ di ruang tersebut, terdapat lingkungan terbuka dari $x$ dan $y$ yang saling lepas.

Seperti ditunjukkan oleh Contoh 3.7.13, jaring dalam ruang topologis umum tidak harus memiliki limit yang unik. Namun, suatu ruang tidak memerlukan asumsi yang terlalu membatasi untuk menyingkirkan patologi ini. Agar limit bersifat unik, cukup disyaratkan bahwa ruang itu Hausdorff. Menariknya, ternyata syarat ini juga perlu.

Proposisi 3.7.16.

Jika $X$ suatu ruang topologis, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$X$ bersifat Hausdorff.
Tidak ada jaring di $X$ yang dapat konvergen ke lebih dari satu titik.
Diagonal di $X \times X$ bersifat tertutup.

(Adapun diagonal dari suatu himpunan $S$ adalah $\{(s,s) \colon s \in S\} \subseteq S \times S$ .)

Contoh 3.7.17.

Ingat kembali dari kalkulus dasar bahwa jumlah parsial $\text{ke-}n$ dari suatu deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty x_k$ didefinisikan sebagai $s_n = \sum_{k=1}^n x_k$ . Deret tersebut dikatakan konvergen jika barisan $(s_n)$ dari jumlah-jumlah parsialnya konvergen dan, jika deret tersebut konvergen, jumlahnya adalah limit barisan $(s_n)$ dari jumlah-jumlah parsial. Jadi, sebagai contoh, deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}$ konvergen dan jumlahnya adalah $1$ .

Gagasan menjumlahkan suatu deret tak hingga sangat bergantung pada fakta bahwa jumlah-jumlah parsial deret tersebut terurut linear oleh inklusi. “Jumlah-jumlah parsial” dari suatu jaring bilangan tidak harus terurut parsial, sehingga kita memerlukan gagasan baru tentang “penjumlahan”, yang kadang-kadang disebut penjumlahan tak berurutan.

Notasi 3.7.18.

Jika $A$ suatu himpunan, kita notasikan dengan $\mathop{\mathrm{Fin}}A$ keluarga semua subhimpunan hingga dari $A$ . (Perhatikan bahwa keluarga ini merupakan himpunan terarah terhadap relasi $\subseteq$ .)

Definisi 3.7.19.

Misalkan $A \subseteq \mathbb{R}$ . Untuk setiap $F \in \mathop{\mathrm{Fin}}A$ , definisikan $S_F$ sebagai jumlah bilangan-bilangan dalam $F$ , yakni, $S_F = \sum F$ . Maka $S = \bigl(S_F\bigr)_{F \in \mathop{\mathrm{Fin}}A}$ merupakan jaring di $\mathbb{R}$ . Jika jaring ini konvergen, himpunan bilangan $A$ dikatakan dapat dijumlahkan; limit jaring tersebut merupakan jumlah dari $A$ dan dinotasikan dengan $\sum A$ .

Definisi 3.7.20.

Suatu jaring $(x_\lambda)$ dari bilangan real disebut menaik jika $\lambda \le \mu$ mengakibatkan $x_\lambda \le x_\mu$ . Suatu jaring bilangan real (atau kompleks) disebut terbatas jika citranya terbatas.

Contoh 3.7.21.

Misalkan $f(n) = 2^{-n}$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , dan definisikan $x \colon \mathop{\mathrm{Fin}}(\mathbb{N}) \rightarrow\mathbb{R}$ dengan $x(A) = \sum_{n \in A}f(n)$ .

Jaring $x$ menaik.
Jaring $x$ terbatas.
Jaring $x$ konvergen ke 1.
Himpunan bilangan $\{\frac12,\frac14,\frac18, \frac1{16},\dots\}$ dapat dijumlahkan dan jumlahnya adalah $1$ .

Contoh 3.7.22.

Dalam ruang metrik, setiap barisan konvergen bersifat terbatas. Berikan contoh yang menunjukkan bahwa suatu jaring konvergen dalam ruang metrik (bahkan di $\mathbb{R}$ ) tidak harus terbatas.

Dari kalkulus dasar kita telah mengenal bahwa barisan menaik yang terbatas di $\mathbb{R}$ bersifat konvergen. Contoh di atas merupakan kasus khusus dari pengamatan yang lebih umum: jaring menaik yang terbatas di $\mathbb{R}$ bersifat konvergen.

Proposisi 3.7.23.

Setiap jaring menaik yang terbatas $\bigl(x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}}\bigr)_{\lambda \in \Lambda}$ dari bilangan real bersifat konvergen dan $\lim x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}} = \sup\{x_{{}_{{\scriptstyle{\lambda}}}}\colon \lambda \in \Lambda\}\,.$

Contoh 3.7.24.

Misalkan $(x_k)$ suatu barisan bilangan real positif yang berbeda-beda dan $A = \{x_k \colon k \in \mathbb{N}\}$ . Maka $\sum A$ (sebagaimana didefinisikan di atas) sama dengan jumlah deret $\sum_{k=1}^\infty x_k$ .

Contoh 3.7.25.

Himpunan $\bigl\{\frac1k \colon k \in \mathbb{N}\bigr\}$ tidak dapat dijumlahkan dan deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty \frac1k$ tidak konvergen.

Contoh 3.7.26.

Himpunan $\bigl\{(-1)^k \frac1k\colon k \in \mathbb{N}\bigr\}$ tidak dapat dijumlahkan, tetapi deret tak hingga $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac1k$ memang konvergen.

Proposisi 3.7.27.

Setiap subhimpunan bilangan real yang dapat dijumlahkan bersifat terhitung.

Bukti.

Petunjuk pembuktian.. Jika $A$ suatu himpunan bilangan real yang dapat dijumlahkan dan $n \in \mathbb{N}$ , berapa banyak anggota $A$ yang dapat lebih besar daripada $1/n$ ? ◻

Dalam Proposisi 3.7.16, kita telah melihat satu contoh cara jaring mencirikan sifat topologis: suatu ruang bersifat Hausdorff jika dan hanya jika setiap jaring di ruang tersebut memiliki paling banyak satu limit. Berikut ini sifat topologis lain—kekontinuan di suatu titik—yang dapat dengan mudah dicirikan menggunakan jaring.

Proposisi 3.7.28.

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang-ruang topologis. Suatu fungsi $f\colon X \rightarrow Y$ kontinu di titik $a$ dalam $X$ jika dan hanya jika $f\bigl(x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr) \rightarrow f(a)$ di $Y$ setiap kali $\bigl(x_{{}_{\scriptstyle{\lambda}}}\bigr)$ merupakan jaring yang konvergen ke $a$ di $X$ .

Dalam ruang metrik, kita mencirikan tutupan dan interior himpunan menggunakan barisan. Untuk ruang topologis umum, kita harus mengganti barisan dengan jaring.

Dalam mendefinisikan istilah “interior” dan “tutupan”, kita memiliki pilihan serupa dengan pilihan ketika kita mendefinisikan “selubung konveks” dalam 3.1.25. Terdapat definisi ‘abstrak’ dan definisi ‘konstruktif’. Mungkin akan membantu jika Anda mengingat kembali Proposisi 3.1.26 dan paragraf yang mendahuluinya.

Definisi 3.7.29.

Untuk suatu himpunan $A$ dalam ruang topologis $X$ , interior himpunan tersebut adalah subhimpunan terbuka terbesar dari $X$ yang termuat dalam $A$ ; yakni, gabungan semua subhimpunan terbuka dari $X$ yang termuat dalam $A$ . Interior $A$ dinotasikan dengan ${A}^{\circ}$ .

Proposisi 3.7.30.

Definisi di atas bermakna. Lebih lanjut, suatu titik $a$ dalam ruang topologis $X$ berada dalam interior suatu subhimpunan $A$ dari $X$ jika dan hanya jika setiap jaring di $X$ yang konvergen ke $a$ pada akhirnya berada dalam $A$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Satu arah mudah. Untuk arah lainnya, gunakan Proposisi 3.7.10 dan jenis jaring yang dikonstruksi dalam Contoh 3.7.9. ◻

Definisi 3.7.31.

Untuk suatu himpunan $A$ dalam ruang topologis $X$ , tutupan himpunan tersebut adalah subhimpunan tertutup terkecil dari $X$ yang memuat $A$ ; yakni, irisan semua subhimpunan tertutup dari $X$ yang memuat $A$ . Tutupan $A$ dinotasikan dengan $\overline{A}$ .

Proposisi 3.7.32.

Definisi di atas bermakna. Lebih lanjut, suatu titik $b$ dalam ruang topologis $X$ termasuk dalam tutupan suatu subhimpunan $A$ dari $X$ jika dan hanya jika terdapat suatu jaring di $A$ yang konvergen ke $b$ .

Akibat 3.7.33.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang topologis bersifat tertutup jika dan hanya jika limit setiap jaring konvergen di $A$ termasuk dalam $A$ .

Teorema-Teorema Hahn–Banach

Perlu dikatakan sejak awal bahwa merujuk pada teorema Hahn–Banach seolah-olah hanya ada satu teorema sebenarnya agak menyesatkan. Seorang penulis yang menyatakan sedang menggunakan teorema Hahn–Banach mungkin menggunakan salah satu dari sekitar selusin versi teorema tersebut atau salah satu korolarinya. Apa kesamaan berbagai versi itu? Pada dasarnya, versi-versi tersebut menjamin bahwa ruang linear bernorma pada umumnya memiliki cukup banyak fungsional linear terbatas sehingga ruang dualnya menjadi alat yang berguna untuk mempelajari ruang itu sendiri. Artinya, versi-versi tersebut menjamin adanya teori dualitas yang menarik dan produktif. Di bawah ini kita membahas empat versi ‘teorema’ tersebut dan tiga korolarinya. Kita akan mengikuti praktik yang lazim: ketika dalam pembahasan selanjutnya kita menggunakan salah satu hasil ini, kita akan mengatakan bahwa kita menggunakan ‘teorema’ Hahn–Banach.

Seperti yang sering terjadi dalam matematika, pengaitan hasil-hasil ini dengan Hahn dan Banach agak ganjil. Tampaknya, gagasan-gagasan dasarnya mula-mula berasal dari Eduard Helly. Untuk sejarah menarik tentang hasil-hasil ‘Hahn–Banach’, lihat [29].

Sebagai catatan, dalam nama “Banach”, kedua huruf “a” dilafalkan seperti huruf “a” dalam kata Indonesia bapak, sedangkan “ch” kira-kira dilafalkan seperti kh; tekanan jatuh pada suku kata pertama (BAH-nakh).

Definisi 3.8.1.

Suatu fungsi bernilai real $f$ pada ruang vektor real $V$ merupakan suatu fungsional sublinear jika $f(x + y) \le f(x) + f(y)$ dan $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ untuk semua $x$ , $y \in V$ dan $\alpha \ge 0$ .

Contoh 3.8.2.

Suatu norma pada ruang vektor real merupakan fungsional sublinear.

Versi pertama teorema Hahn–Banach kita murni merupakan aljabar linear dan hanya berlaku untuk ruang vektor real. Versi ini memungkinkan kita memperpanjang fungsional linear tertentu pada ruang semacam itu dari subruang ke seluruh ruang.

Teorema 3.8.3.

Misalkan $M$ suatu subruang dari ruang vektor real $V$ dan $p$ suatu fungsional sublinear pada $V$ . Jika $f$ suatu fungsional linear pada $M$ sedemikian sehingga $f \le p$ pada $M$ , maka $f$ memiliki perpanjangan $g$ ke seluruh $V$ sedemikian sehingga $g \le p$ pada $V$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Dalam teorema ini, notasi $h \le p$ berarti bahwa $\mathop{\mathrm{dom}}h \subseteq \mathop{\mathrm{dom}}p = V$ dan bahwa $h(x) \le p(x)$ untuk semua $x \in \mathop{\mathrm{dom}}h$ . Dalam hal ini kita mengatakan bahwa $h$ didominasi oleh $p$ . Kita menulis $f \preccurlyeq g$ jika $g$ merupakan perpanjangan $f$ (yakni, jika $f(x) = g(x)$ untuk semua $x \in \mathop{\mathrm{dom}}f$ ).

Misalkan $\mathcal{S}$ keluarga semua fungsional linear bernilai real pada subruang-subruang $V$ yang merupakan perpanjangan $f$ dan didominasi oleh $p$ . Keluarga $\mathcal{S}$ terurut parsial oleh $\preccurlyeq$ . Gunakan lema Zorn untuk menghasilkan suatu elemen maksimal $g$ dari $\mathcal{S}$ . Pembuktian selesai jika Anda dapat menunjukkan bahwa $\mathop{\mathrm{dom}}{g} = V$ .

Untuk itu, andaikan demi kontradiksi bahwa terdapat vektor $c \in V$ yang tidak termasuk dalam $D = \mathop{\mathrm{dom}}{g}$ . Buktikan terlebih dahulu bahwa $\begin{equation} \label{eq_HBTI} g(y) - p(y - c) \le - g(x) + p(x + c) \end{equation}$ untuk semua $x$ , $y \in D$ . Simpulkan bahwa terdapat bilangan $\gamma$ yang terletak di antara supremum semua bilangan di ruas kiri 3.8.1 dan infimum semua bilangan di ruas kanan.

Misalkan $E$ rentang dari $D \cup \{c\}$ . Definisikan $h$ pada $E$ dengan $h(x + \alpha c) = g(x) + \alpha\gamma$ untuk $x \in D$ dan $\alpha \in \mathbb{R}$ . Sekarang tunjukkan bahwa $h \in \mathcal{S}$ . (Ambil $\alpha > 0$ dan tinjau secara terpisah $h(x + \alpha c)$ dan $h(x - \alpha c)$ .) ◻

Teorema berikutnya adalah versi Teorema 3.8.3 untuk ruang dengan skalar kompleks. Teorema ini kadang-kadang disebut teorema Bohnenblust–Sobczyk–Suhomlinov.

Teorema 3.8.4.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor kompleks, $p$ suatu seminorma pada $V$ , dan $M$ suatu subruang dari $V$ . Jika $f\colon M \rightarrow\mathbb{C}$ suatu fungsional linear sedemikian sehingga $\lvert f\rvert \le p$ , maka $f$ memiliki perpanjangan $g$ yang merupakan fungsional linear pada seluruh $V$ dan memenuhi $\lvert g\rvert \le p$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Hasil ini pada dasarnya merupakan korolar langsung dari versi real teorema Hahn–Banach yang diberikan di atas dalam 3.8.3. Misalkan $V_{\mathbb{R}}$ ruang vektor real yang terkait dengan $V$ (vektornya sama, tetapi hanya menggunakan $\mathbb{R}$ sebagai medan skalar). Perhatikan bahwa jika $u$ adalah bagian real dari $f$ (yakni, $u(x) = \Re(f(x))$ untuk setiap $x \in M$ ), maka $u$ merupakan fungsional $\mathbb{R}$ -linear pada $M$ (yakni, $u(x + y) = u(x) + u(y)$ dan $u(\alpha x) = \alpha u(x)$ untuk semua $x$ , $y \in M$ dan semua $\alpha \in \mathbb{R}$ ), serta $f(x) = u(x) - i\,u(ix)$ . Sebaliknya, jika $u$ suatu fungsional $\mathbb{R}$ -linear pada suatu ruang vektor, maka $f(x) := u(x) - i\,u(ix)$ mendefinisikan suatu fungsional linear (bernilai kompleks) pada ruang tersebut. Perhatikan juga bahwa jika $u$ merupakan bagian real dari $f$ , maka $\lvert u(x)\rvert \le p$ untuk semua $x$ jika dan hanya jika $\lvert f(x)\rvert \le p$ untuk semua $x$ . Dengan mengingat pengamatan-pengamatan ini, cukup terapkan 3.8.3 pada bagian real dari $f$ di $V_\mathbb{R}$ . ◻

Berikutnya mungkin merupakan versi teorema Hahn–Banach yang paling sering digunakan.

Teorema 3.8.5.

Misalkan $M$ suatu subruang vektor dari ruang linear bernorma (real atau kompleks) $V$ . Maka setiap fungsional linear kontinu $f$ pada $M$ memiliki perpanjangan $g$ ke seluruh $V$ sedemikian sehingga $\lVert g\rVert = \lVert f\rVert$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tinjau fungsi $p\colon V \rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto \lVert f\rVert \lVert x\rVert$ . ◻

Ketika membuktikan suatu teorema, kadang-kadang berguna untuk mempertimbangkan kemungkinan adanya pembuktian yang lebih “alami” atau bahkan lebih “jelas”. Sesekali kita memperoleh imbalan berupa penyederhanaan yang mencerahkan dan penjelasan yang lebih jernih atas materi yang rumit. Namun, kadang-kadang kita justru terkecoh.

Latihan 3.8.6.

Kawan Anda, Fred R. Dimm, mengira bahwa ia telah menemukan pembuktian langsung yang sangat sederhana untuk versi teorema Hahn–Banach yang diberikan dalam Teorema 3.8.5: Suatu fungsional linear kontinu $f$ yang didefinisikan pada subruang (linear) $M$ dari ruang linear bernorma $V$ dapat diperpanjang menjadi fungsional linear kontinu $g$ pada seluruh $V$ tanpa memperbesar normanya. Menurutnya, kita hanya perlu mengambil $N$ sebagai sebarang komplemen ruang vektor dari $M$ dan mengambil $B$ sebagai suatu basis (Hamel) untuk $N$ . Definisikan $g(e) = 0$ untuk setiap vektor $e \in B$ dan $g = f$ pada $M$ . Kemudian perpanjang $g$ secara linear ke seluruh $V$ . Tentunya, kata Fred, $g$ linear berdasarkan konstruksinya dan normanya tidak bertambah karena kita telah menjadikannya nol di tempat-tempat yang sebelumnya belum didefinisikan. Tunjukkan kepada Fred letak kekeliruannya.

Teorema 3.8.7.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma (real atau kompleks), $M$ suatu subruang vektor dari $V$ , dan andaikan $y \in V$ sedemikian sehingga $d := \mathop{\mathrm{dist}}(y,M) > 0$ . Maka terdapat fungsional $g \in V^*$ sedemikian sehingga $g^{\rightarrow}(M) = \{0\}$ , $g(y) = d$ , dan $\lVert g\rVert = 1$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $N := \mathop{\mathrm{span}}{(M \cup \{y\})}$ dan definisikan $f\colon N \rightarrow\mathbb{K}\colon x + \alpha y \mapsto \alpha d$ ( $x \in M$ , $\alpha \in \mathbb{K}$ ). ◻

Kasus khusus yang paling berguna dari teorema di atas adalah ketika $M = \{\mathbf{0}\}$ dan $y \ne \mathbf{0}$ . Hal ini memberi tahu kita bahwa satu-satunya cara agar $f(x)$ lenyap untuk setiap $f \in V^*$ adalah jika $x$ merupakan vektor nol.

Akibat 3.8.8.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma dan $x \in V$ . Jika $f(x) = 0$ untuk setiap $f \in V^*$ , maka $x = \mathbf{0}$ .

Definisi 3.8.9.

Suatu keluarga $\mathcal{G}(S)$ dari fungsi-fungsi bernilai skalar pada himpunan $S$ memisahkan titik-titik $S$ jika untuk setiap pasangan titik berbeda $x$ dan $y$ di $S$ , terdapat fungsi $f \in \mathcal{G}(S)$ sedemikian sehingga $f(x) \ne f(y)$ .

Akibat 3.8.10.

Jika $V$ suatu ruang linear bernorma, maka $V^*$ memisahkan titik-titik $V$ .

Akibat 3.8.11.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma dan $\mathbf{0} \ne x \in V$ . Maka terdapat $f \in V^*$ sedemikian sehingga $\lVert f\rVert = 1$ dan $f(x) = \lVert x\rVert$ .

Proposisi 3.8.12.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma, $\{x_1,\dots,x_n\}$ suatu subhimpunan yang bebas linear dari $V$ , dan $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ skalar-skalar. Maka terdapat $f$ dalam $V^*$ sedemikian sehingga $f(x_k) = \alpha_k$ untuk $1\le k \le n$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk $x = \sum_{k=1}^n \beta_k x_k$ , tetapkan $g(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \beta_k$ . ◻

Proposisi 3.8.13.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma dan $\mathbf{0} \ne x \in V$ . Maka $\lVert x\rVert = \max\{\lvert f(x)\rvert\colon f \in V^* \text{ dan } \lVert f\rVert \le 1\}\,.$

Penggunaan $\max$ alih-alih $\sup$ dalam proposisi di atas disengaja. Proposisi tersebut menyatakan bahwa terdapat $f$ dalam bola satuan tertutup dari $V^*$ sedemikian sehingga $f(x) = \lVert x\rVert$ .

Definisi 3.8.14.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang topologis $X$ disebut padat di $X$ jika $\overline{A} = X$ . Ruang $X$ disebut separabel jika ruang itu memuat suatu subhimpunan padat yang terhitung.

Contoh 3.8.15.

Ruang $\mathbb{K}^n$ bersifat separabel terhadap topologi biasa; yakni, topologi yang diinduksi oleh norma biasa tersebut. (Lihat 3.1.1, 1.2.17, dan 3.1.34.)

Contoh 3.8.16.

Dengan topologi diskret, garis real $\mathbb{R}$ tidak separabel.

Proposisi 3.8.17.

Misalkan $V$ suatu ruang linear bernorma. Jika $V^*$ separabel, maka $V$ juga separabel.