Bab 17 · Funktor K0 $\mathbf{K}_0$

Sekarang kita meninjau secara singkat apa yang disebut teori- $K$ untuk aljabar- $C^*$ . Barangkali pengantar terbaik untuk pokok bahasan ini adalah [45], yang beberapa bagian elementernya diikuti dengan cukup saksama dalam catatan ini. Pengantar lain yang sangat mudah dibaca adalah [51].

Diberikan suatu aljabar- $C^*$ $A$ , kita terutama akan memperhatikan dua grup yang dikenal sebagai $K_0(A)$ dan $K_1(A)$ . Bab ini membahas grup yang pertama, yakni grup proyeksi di $A$ dengan operasi penjumlahan. Tentu saja, jika kita ingin menjumlahkan proyeksi sembarang, kita langsung menghadapi kesulitan serius. Sebelumnya telah kita tunjukkan (dalam proposisi 5.5.6) bahwa agar proyeksi dapat dijumlahkan, proyeksi-proyeksi itu harus komutatif (dan hasil kalinya nol)! Penyelesaian dilema ini mencerminkan cara berpikir yang lazim dalam teori- $K$ secara umum. Jika dua proyeksi tidak komutatif, singkirkan penghalang yang mencegah keduanya menjadi komutatif. Jika tidak cukup ruang bagi keduanya untuk saling melewati, berilah keduanya lebih banyak ruang. Jangan bersikeras memandang keduanya sebagai makhluk yang mencoba hidup dalam dunia matriks $1 \times 1$ berentri di $A$ yang sesak tanpa harapan. Biarkan keduanya, misalnya, menjelajahi dunia matriks $2 \times 2$ yang jauh lebih lapang. Untuk mewujudkan gagasan ini secara teknis, kita mencari relasi ekuivalensi $\sim$ yang mengidentifikasi proyeksi $p$ di $A$ dengan matriks $\begin{bmatrix} p & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix}$ dan $\begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & p \end{bmatrix}$ . Sebagai motivasi heuristik saja—bukan sebagai konsekuensi suatu kongruensi perkalian yang telah dibuktikan—hambatan itu tampak hilang: jika $p$ dan $q$ proyeksi di $A$ , maka $\begin{aligned}pq &\sim \begin{bmatrix} p & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & q \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & q \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \\ &\sim qp\,.\end{aligned}$ Dalam gambaran heuristik ini, $p$ dan $q$ komutatif modulo relasi ekuivalensi $\sim$ , dan kita dapat mendefinisikan penjumlahan dengan sesuatu seperti $p \oplus q = \begin{bmatrix} p & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & q \end{bmatrix}$ .

Cukup jelas bahwa perangkat sederhana di atas tidak akan langsung menghasilkan sesuatu yang menyerupai grup Abelian, tetapi ini merupakan suatu permulaan. Jika Anda menduga bahwa pada akhirnya konstruksi $K_0(A)$ mungkin agak rumit, dugaan Anda sepenuhnya benar.

Relasi Ekuivalensi pada Proyeksi

Kita mendefinisikan beberapa relasi ekuivalensi, yang semuanya sesuai untuk proyeksi dalam aljabar- $C^*$ beridentitas.

Definisi 17.1.1.

Dalam suatu aljabar beridentitas, elemen $a$ dan $b$ disebut serupa jika terdapat elemen invertibel $s$ sedemikian sehingga $b = sas^{-1}$ . Dalam hal ini kita menulis $a \sim_s b$ .

Proposisi 17.1.2.

Relasi keserupaan $\sim_s$ yang didefinisikan di atas merupakan relasi ekuivalensi pada elemen-elemen suatu aljabar beridentitas.

Definisi 17.1.3.

Dalam suatu aljabar- $C^*$ , elemen $a$ dan $b$ disebut ekuivalen secara uniter jika terdapat suatu elemen uniter $u \in \widetilde{A}$ sedemikian sehingga $b = uau^*$ . Dalam hal ini kita menulis $a \sim_u b$ .

Proposisi 17.1.4.

Relasi ekuivalensi uniter $\sim_u$ yang didefinisikan di atas merupakan relasi ekuivalensi pada elemen-elemen suatu aljabar- $C^*$ .

Proposisi 17.1.5.

Elemen $a$ dan $b$ dari suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ ekuivalen secara uniter jika dan hanya jika terdapat elemen $u \in \mathfrak{U}(A)$ sedemikian sehingga $b = uau^*$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Andaikan terdapat $v \in \mathfrak{U}(\widetilde{A})$ sedemikian sehingga $b = vav^*$ . Berdasarkan proposisi 12.3.4, terdapat $u \in A$ dan $\alpha \in \mathbb{C}$ sedemikian sehingga $v = u + \alpha \mathbf{j}$ (dengan $\mathbf{j} = \mathbf{1}_{\widetilde{A}} - \mathbf{1}_A$ ). Tunjukkan bahwa $\lvert\alpha \rvert= 1$ , $u$ uniter, dan $b = uau^*$ .

Untuk arah sebaliknya, andaikan terdapat $u \in \mathfrak{U}(A)$ sedemikian sehingga $b = uau^*$ . Misalkan $v = u + \mathbf{j}$ . ◻

Proposisi 17.1.6.

Untuk setiap elemen invertibel $s$ dari suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, terdapat suatu elemen uniter $\omega(s)$ dalam aljabar tersebut sedemikian sehingga $s = \omega(s) \lvert s\rvert\,.$

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan Akibat 12.5.28. ◻

Proposisi 17.1.7.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, maka fungsi $\omega\colon \mathop{\mathrm{inv}}A \rightarrow\mathfrak{U}(A)$ yang didefinisikan dalam proposisi sebelumnya kontinu.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan proposisi 8.1.34 dan 11.5.11. ◻

Proposisi 17.1.8.

Misalkan $s = u\lvert s\rvert$ dekomposisi polar dari elemen invertibel $s$ dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ . Maka $u \sim_h s$ dalam $\mathop{\mathrm{inv}}A$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk $0 \le t \le 1$ , misalkan $c_t = u(t\lvert s\rvert + (1 - t)\mathbf{1})$ . Simpulkan dari proposisi 12.5.24 bahwa terdapat $\epsilon \in (0,1]$ sedemikian sehingga $\lvert s\rvert \ge \epsilon \mathbf{1}$ . Gunakan proposisi yang sama untuk menunjukkan bahwa $t\lvert s\rvert + (1 - t)\mathbf{1}$ invertibel untuk setiap $t \in [0,1]$ . ◻

Proposisi 17.1.9.

Misalkan $u$ dan $v$ elemen-elemen uniter dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ . Jika $u \sim_h v$ dalam $\mathop{\mathrm{inv}}A$ , maka $u \sim_h v$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ .

Proposisi 17.1.10.

Misalkan $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , dan $u_4$ elemen-elemen uniter dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ . Jika $u_1 \sim_h u_2$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ dan $u_3 \sim_h u_4$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ , maka $u_1u_3 \sim_h u_2u_4$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ .

Contoh 17.1.11.

Misalkan $h$ suatu elemen swaadjoin dari aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ . Maka $\exp(ih)$ uniter dan homotop dengan $\mathbf{1}$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Pertimbangkan lintasan $c\colon [0,1] \rightarrow\mathfrak{U}(A)\colon t \mapsto \exp(ith)$ . Gunakan proposisi 11.5.11. ◻

Notasi 17.1.12.

Jika $p$ dan $q$ proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ , kita menulis $p \sim q$ ( $p$ ekuivalen Murray–von Neumann dengan $q$ ) jika terdapat elemen $v \in A$ sedemikian sehingga $v^*v = p$ dan $vv^* = q$ . Perhatikan bahwa $v$ demikian secara otomatis merupakan isometri parsial. Kita akan menyebutnya isometri parsial yang merealisasikan ekuivalensi.

Proposisi 17.1.13.

Relasi ekuivalensi Murray–von Neumann $\sim$ merupakan relasi ekuivalensi pada keluarga $\mathcal{P}(A)$ dari proyeksi-proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ .

Proposisi 17.1.14.

Misalkan $a$ dan $b$ elemen-elemen swaadjoin dari suatu aljabar- $C^*$ beridentitas. Jika $a \sim_s b$ , maka $a \sim_u b$ . Bahkan, jika $b = sas^{-1}$ dan $s = u\lvert s\rvert$ adalah dekomposisi polar dari $s$ , maka $b = uau^*$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Andaikan terdapat elemen invertibel $s$ sedemikian sehingga $b = sas^{-1}$ . Misalkan $s = u\lvert s\rvert$ dekomposisi polar dari $s$ . Tunjukkan bahwa $a$ komutatif dengan ${\lvert s\rvert}^2$ , sehingga juga komutatif dengan setiap elemen dalam aljabar $C^*(\mathbf{1},{\lvert s\rvert}^2)$ . Secara khusus, $a$ komutatif dengan ${\lvert s\rvert}^{-1}$ . Dari sini diperoleh $uau^* = b$ . ◻

Proposisi 17.1.15.

Jika $p$ dan $q$ proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ , maka $p \sim_h q \implies p \sim_u q \implies p \sim q\,.$

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Dalam petunjuk ini $\mathbf{1} = \mathbf{1}_{\widetilde{A}}$ . Untuk implikasi pertama, tunjukkan bahwa tanpa mengurangi keumuman kita dapat mengandaikan $\lVert p - q\rVert < \frac12$ . Misalkan $s = pq + (\mathbf{1} - p)(\mathbf{1} - q)$ . Buktikan bahwa $p \sim_s q$ . Untuk itu, tuliskan $s - \mathbf{1}$ sebagai $p(q - p) + (\mathbf{1} - p)((\mathbf{1} - q) - (\mathbf{1} - p))$ dan gunakan akibat 8.1.30. Kemudian gunakan proposisi 17.1.14.

Untuk membuktikan implikasi kedua, perhatikan bahwa jika $upu^* = q$ untuk suatu elemen uniter dalam $\widetilde{A}$ , maka $up$ merupakan isometri parsial dalam $A$ . ◻

Secara umum, kebalikan dari implikasi kedua, $p \sim q \implies p \sim_u q$ , dalam proposisi sebelumnya tidak berlaku (lihat contoh 17.1.19 di bawah). Namun, untuk proyeksi $p$ dan $q$ dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, jika berlaku baik $p \sim q$ maupun $\mathbf{1} - p \sim \mathbf{1} - q$ , maka kita dapat menyimpulkan $p \sim_u q$ .

Proposisi 17.1.16.

Misalkan $p$ dan $q$ proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ . Maka $p \sim_u q$ jika dan hanya jika $p \sim q$ dan $\mathbf{1} - p \sim \mathbf{1} - q$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk arah sebaliknya, andaikan isometri parsial $v$ merealisasikan ekuivalensi $p \sim q$ dan $w$ merealisasikan $\mathbf{1} - p \sim \mathbf{1} - q$ . Pertimbangkan elemen $u = v + w + \mathbf{j}$ dalam $\widetilde{A}$ . ◻

Definisi 17.1.17.

Suatu elemen $s$ dari aljabar- $C^*$ beridentitas disebut isometri jika $s^*s = \mathbf{1}$ .

Latihan 17.1.18.

Jelaskan mengapa terminologi dalam definisi sebelumnya masuk akal.

Tidak sulit untuk melihat bahwa kebalikan dari implikasi kedua dalam proposisi 17.1.15 pada umumnya gagal.

Contoh 17.1.19.

Jika $p$ dan $q$ proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ , maka $p \sim q \,\,\,\,\nRightarrow p \sim_u q\,.$ Sebagai contoh, jika $s$ merupakan isometri tak uniter (seperti geser unilateral), maka $s^*s \sim ss^*$ , tetapi $s^*s \nsim_u ss^*$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Buktikan, dan ingatlah, bahwa tidak ada proyeksi tak nol yang dapat ekuivalen Murray–von Neumann dengan proyeksi nol. ◻

Catatan 17.1.20.

Kebalikan dari implikasi pertama, $p \sim_u q \implies p \sim_h q$ , dalam proposisi 17.1.15 juga tidak berlaku secara umum untuk proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ . Namun, contoh yang menggambarkan gejala ini tidak mudah ditemukan. Untuk melihat apa yang terlibat, lihat [45], contoh 2.2.9 dan 11.3.4.

Alangkah baiknya jika implikasi-implikasi dalam proposisi 17.1.15 dapat dibalik. Namun, seperti telah kita lihat, hal itu tidak terjadi. Salah satu cara menghadapi fakta yang membandel, sebagaimana dicatat pada awal bab ini, adalah memberi objek-objek matematika yang sedang kita kaji ruang yang lebih luas untuk bergerak. Beralihlah ke matriks. Proposisi 17.1.22 dan 17.1.28 merupakan contoh cara kerja teknik ini. Dalam arti tertentu, kita dapat membuat implikasi-implikasi dalam 17.1.15 berbalik arah.

Notasi 17.1.21.

Jika $a_1$ , $a_2$ , … $a_n$ elemen-elemen dari suatu aljabar- $C^*$ $A$ , maka $\mathop{\mathrm{diag}}(a_1,a_2,\dots,a_n)$ adalah matriks diagonal dalam $\mathbf{M}_{n}({A})$ yang diagonal utamanya terdiri atas elemen-elemen $a_1$ , …, $a_n$ . Notasi ini juga kita gunakan untuk matriks blok. Sebagai contoh, jika $a$ matriks $m \times m$ dan $b$ matriks $n \times n$ , maka $\mathop{\mathrm{diag}}(a,b)$ adalah matriks $(m+n) \times (m+n)$ $\begin{bmatrix} a & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & b \end{bmatrix}$ . (Tentu saja, $\mathbf{0}$ di sudut kanan atas matriks ini adalah matriks $m \times n$ yang semua entrinya nol, sedangkan $\mathbf{0}$ di sudut kiri bawah adalah matriks $n \times m$ yang setiap entrinya nol.)

Proposisi 17.1.22.

Misalkan $p$ dan $q$ proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ . Maka $p \sim q \implies \mathop{\mathrm{diag}}(p,\mathbf{0}) \sim_u \mathop{\mathrm{diag}}(q,\mathbf{0}) \text{ dalam $\mathbf{M}_{2}({A})$.}$

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $v$ isometri parsial dalam $A$ yang merealisasikan ekuivalensi Murray–von Neumann $p \sim q$ . Pertimbangkan matriks $u = \begin{bmatrix} v & \mathbf{1}_{\widetilde{A}} - q \\ \mathbf{1}_{\widetilde{A}} - p & v^* \end{bmatrix}$ . ◻

Ingat dari akibat 11.4.4 bahwa spektrum setiap elemen uniter dari suatu aljabar- $C^*$ beridentitas terletak pada lingkaran satuan. Hebatnya, jika spektrumnya bukan seluruh lingkaran, elemen itu homotop dengan $\mathbf{1}$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ .

Proposisi 17.1.23.

Misalkan $u$ suatu elemen uniter dalam aljabar- $C^*$ beridentitas. Jika $\sigma(u) \ne \mathbb{T}$ , maka $u \sim_h \mathbf{1}$ dalam $\mathfrak{U}(A)$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Pilih $\theta \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $\exp(i\theta) \notin \sigma(u)$ . Maka terdapat fungsi kontinu yang tunggal $\phi\colon \sigma(u) \rightarrow(\theta, \theta + 2\pi)\colon \exp(it) \mapsto t\,.$ Misalkan $h = \phi(u)$ dan gunakan contoh 17.1.11. ◻

Contoh 17.1.24.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \sim_h \begin{bmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{1} \end{bmatrix}$ dalam $\mathfrak{U}(\mathbf{M}_{2}({A}))$ .

Matriks $J = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{1} \\ \mathbf{1} & \mathbf{0} \end{bmatrix}$ sangat berguna jika dipakai bersama proposisi 17.1.10 untuk membentuk homotopi antara matriks-matriks dalam $\mathfrak{U}(A)$ . Dalam memeriksa beberapa contoh berikutnya, matriks ini sangat membantu. Perhatikan bahwa mengalikan matriks $2 \times 2$ dari kanan dengan $J$ menukar kolom-kolomnya; mengalikan dari kiri dengan $J$ menukar baris-barisnya; dan mengalikan dari kiri serta kanan dengan $J$ menukar elemen-elemen pada kedua diagonal.

Contoh 17.1.25.

Jika $u$ dan $v$ elemen-elemen uniter dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ , maka $\mathop{\mathrm{diag}}(u,v) \sim_h \mathop{\mathrm{diag}}(v,u)$ dalam $\mathfrak{U}(\mathbf{M}_{2}({A}))$ .

Contoh 17.1.26.

Jika $u$ dan $v$ elemen-elemen uniter dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ , maka $\mathop{\mathrm{diag}}(u,v) \sim_h \mathop{\mathrm{diag}}(uv, \mathbf{1})$ dalam $\mathfrak{U}(\mathbf{M}_{2}({A}))$ .

Contoh 17.1.27.

Jika $u$ dan $v$ elemen-elemen uniter dalam suatu aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ , maka $\mathop{\mathrm{diag}}(uv,\mathbf{1}) \sim_h \mathop{\mathrm{diag}}(vu, \mathbf{1})$ dalam $\mathfrak{U}(\mathbf{M}_{2}({A}))$ .

Proposisi 17.1.28.

Misalkan $p$ dan $q$ proyeksi dalam suatu aljabar- $C^*$ $A$ . Maka $p \sim_u q \implies \mathop{\mathrm{diag}}(p,\mathbf{0}) \sim_h \mathop{\mathrm{diag}}(q,\mathbf{0}) \text{ dalam $\mathfrak{P}(\mathbf{M}_{2}({A}))$.}$

Contoh 17.1.29.

Dua proyeksi dalam $\mathbf M_n$ ekuivalen Murray–von Neumann jika dan hanya jika keduanya memiliki teras yang sama, yang pada gilirannya ekuivalen dengan jangkauan keduanya berdimensi sama.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan proposisi 7.3.3–7.3.4 dan 7.2.4–7.2.5. ◻

Dalam contoh 8.1.13 kita memperkenalkan aljabar matriks $n \times n$ $\mathbf{M}_{n}({A})$ , dengan $A$ suatu aljabar. Jika $A$ suatu aljabar- $*\,$ dan $n \in \mathbb{N}$ , kita dapat memperlengkapi $\mathbf{M}_{n}({A})$ dengan involusi secara alami. Involusi itu didefinisikan, seperti yang dapat diduga, sebagai analog dari “transposisi konjugat”: jika $\mathbf{a} \in \mathbf{M}_{n}({A})$ , maka $\mathbf{a}^* = \bigl[a_{ij}\bigr]^* := \bigl[{a_{ji}}^*\bigr].$

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ , kita dapat memperkenalkan norma pada $\mathbf{M}_{n}({A})$ yang membuatnya juga menjadi aljabar- $C^*$ . Pilih representasi setia $\phi\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ dari $A$ , dengan $H$ suatu ruang Hilbert. Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ definisikan $\phi_n\colon \mathbf{M}_{n}({A}) \rightarrow\mathfrak{B}(H^n)\colon \bigl[a_{ij}\bigr] \mapsto \bigl[ \phi(a_{ij})\bigr]$ dengan $H^n$ jumlah langsung $n$ rangkap dari $H$ dengan dirinya sendiri. Kemudian definisikan norma suatu elemen $\mathbf{a} \in \mathbf{M}_{n}({A})$ sebagai norma operator $\phi_n(\mathbf{a}) \in \mathfrak{B}(H^n)$ . Yakni, $\lVert\mathbf{a}\rVert := \lVert\phi_n(\mathbf{a})\rVert$ .

Norma ini merupakan norma- $C^*$ pada $\mathbf{M}_{n}({A})$ . Norma tersebut tidak bergantung pada representasi khusus yang kita pilih berkat ketunggalan norma- $C^*$ (lihat akibat 12.3.10).

Proposisi 17.1.30.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $\mathbf{a} \in \mathbf{M}_{n}({A})$ . Maka $\max\{\lVert a_{ij}\rVert\colon 1 \le i,j \le n\} \le \lVert\mathbf{a}\rVert \le \sum_{i,j = 1}^n \lVert a_{ij}\rVert.$

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Karena setiap representasi setia merupakan isometri (lihat proposisi 12.3.17), Anda dapat menyederhanakan persoalan dengan memandang representasi $\phi\colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ yang dibahas di atas sebagai pemetaan inklusi.

Untuk ketaksamaan pertama, bagi $v \in H$ definisikan vektor $\mathbf{E}_j(v) \in H^n$ sebagai $n$ -tupel yang semua entrinya nol kecuali entri ke- $j$ , yang bernilai $v$ . Kemudian periksa bahwa $\lVert a_{ij}v\rVert \le \lVert\mathbf{a}\mathbf{E}_j(v)\rVert \le \lVert\mathbf{a}\rVert$ setiap kali $\mathbf{a} \in \mathbf{M}_{n}({A})$ , $v \in H$ , dan $\lVert v\rVert \le 1$ .

Untuk ketaksamaan kedua, tunjukkan bahwa ${\lVert\mathbf{a}\mathbf{v}\rVert}^2 \le \sum_{i=1}^n\biggl(\sum_{j=1}^n \lVert a_{ij}\rVert\biggr)^2 \le \biggl(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \lVert a_{ij}\rVert\biggr)^2$ setiap kali $\mathbf{a} \in \mathbf{M}_{n}({A})$ , $\mathbf{v} \in H^n$ , dan $\lVert\mathbf{v}\rVert \le 1$ . ◻

Semigrup Proyeksi

Notasi 17.2.1.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $n \in \mathbb{N}$ , kita menetapkan $\begin{align*} \mathcal{P}_n(A) &= \mathcal{P}(\mathbf{M}_{n}({A})) \quad\text{ dan} \\ \mathcal{P}_\infty(A) &= \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{P}_n(A). \end{align*}$

Sekarang kita memperluas ekuivalensi Murray–von Neumann ke matriks-matriks yang ukurannya berbeda.

Notasi 17.2.2.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ , misalkan $\mathbf{M}_{n,m}({A})$ menyatakan himpunan matriks $n \times m$ berentri dalam $A$ .

Selanjutnya kita memperluas ekuivalensi Murray–von Neumann ke matriks proyeksi yang ukurannya tidak harus sama.

Definisi 17.2.3.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ , $p \in \mathcal{P}_m(A)$ , dan $q \in \mathcal{P}_n(A)$ , kita menetapkan $p \sim q$ jika terdapat $v \in \mathbf{M}_{n,m}({A})$ sedemikian sehingga $v^*v = p \qquad\text{ dan } \qquad vv^* = q.$ Kita akan memperluas penggunaan nama ekuivalensi Murray–von Neumann untuk relasi baru ini pada $\mathcal{P}_\infty(A)$ .

Proposisi 17.2.4.

Relasi $\sim$ yang didefinisikan di atas merupakan relasi ekuivalensi pada $\mathcal{P}_\infty(A)$ .

Definisi 17.2.5.

Untuk setiap aljabar- $C^*$ $A$ , kita mendefinisikan operasi biner $\oplus$ pada $\mathcal{P}_\infty(A)$ dengan $p \oplus q = \mathop{\mathrm{diag}}(p,q)\,.$ Jadi, jika $p \in \mathcal{P}_m(A)$ dan $q \in \mathcal{P}_n(A)$ , maka $p \oplus q \in \mathcal{P}_{m+n}(A)$ .

Dalam proposisi berikut, $\mathbf{0}_n$ adalah identitas aditif dalam $\mathcal{P}_n(A)$ .

Proposisi 17.2.6.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $p \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Maka $p \sim p \oplus \mathbf{0}_n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ .

Proposisi 17.2.7.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $p$ , $p'$ , $q$ , $q' \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Jika $p \sim p'$ dan $q \sim q'$ , maka $p \oplus q \sim p' \oplus q'$ .

Proposisi 17.2.8.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Maka $p \oplus q \sim q \oplus p$ .

Proposisi 17.2.9.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_n(A)$ untuk suatu $n$ . Jika $p \perp q$ , maka $p + q$ suatu proyeksi dalam $\mathbf{M}_{n}({A})$ dan $p + q \sim p \oplus q$ .

Proposisi 17.2.10.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ , maka operasi $\oplus$ pada $\mathcal{P}_\infty(A)$ bersifat asosiatif secara ketat dan komutatif hanya hingga ekuivalensi Murray–von Neumann.

Notasi 17.2.11.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $p \in \mathcal{P}_\infty(A)$ , misalkan $[p\,]_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}}}}$ adalah kelas ekuivalensi yang memuat $p$ dan ditentukan oleh relasi ekuivalensi $\sim$ . Tetapkan pula $\mathcal{D}(A) := \{\,[p\,]_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}}}}\colon p \in \mathcal{P}_\infty(A)\,\}$ .

Definisi 17.2.12.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Definisikan operasi biner $+$ pada $\mathcal{D}(A)$ dengan $[p\,]_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}}}} + [q\,]_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}}}} := [p \oplus q\,]_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}}}}$ dengan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ .

Proposisi 17.2.13.

Operasi $+$ yang didefinisikan dalam 17.2.12 terdefinisi dengan baik dan menjadikan $\mathcal{D}(A)$ suatu semigrup komutatif.

Contoh 17.2.14.

Semigrup $\mathcal{D}(\mathbb{C})$ isomorfik dengan semigrup aditif bilangan bulat tak negatif; yaitu, $\mathcal{D}(\mathbb{C}) \cong \mathbb{Z}^+ = \{0,1,2,\dots\}\,.$

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan contoh 17.1.29. ◻

Contoh 17.2.15.

Jika $H$ suatu ruang Hilbert terpisahkan berdimensi tak hingga, maka $\mathcal{D}(\mathfrak{B}(H)) \cong \mathbb{Z}^+ \cup \{\infty\}.$ (Gunakan penjumlahan biasa pada $\mathbb{Z}^+$ dan tetapkan $n + \infty = \infty + n = \infty$ setiap kali $n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{\infty\}$ .)

Contoh 17.2.16.

Untuk aljabar- $C^*$ $\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}$ , kita mempunyai $\mathcal{D}(\mathbb{C}\oplus \mathbb{C}) \cong \mathbb{Z}^+ \oplus \mathbb{Z}^+\,.$

Konstruksi Grothendieck

Dalam konstruksi medan bilangan real, kita dapat menggunakan teknik yang sama untuk beralih dari (semigrup aditif) bilangan asli ke (grup aditif semua) bilangan bulat seperti yang kita gunakan untuk beralih dari (semigrup multiplikatif) bilangan bulat tak nol ke (grup multiplikatif semua) bilangan rasional tak nol. Teknik ini disebut konstruksi Grothendieck.

Definisi 17.3.1.

Misalkan $(S,+)$ suatu semigrup komutatif. Definisikan relasi $\sim$ pada $S \times S$ dengan $(a,b) \sim (c,d) \text{ jika terdapat $k \in S$ sedemikian sehingga } a + d + k = b + c + k.$

Proposisi 17.3.2.

Relasi $\sim$ yang didefinisikan di atas merupakan relasi ekuivalensi.

Notasi 17.3.3.

Untuk relasi ekuivalensi $\sim$ yang didefinisikan dalam 17.3.1, kelas ekuivalensi yang memuat pasangan $(a,b)$ akan dinotasikan dengan $\langle a,b \rangle$ , bukan dengan $[(a,b)]$ .

Definisi 17.3.4.

Misalkan $(S,+)$ suatu semigrup komutatif. Pada $G(S)$ , definisikan operasi biner (yang juga dinotasikan dengan $+$ ) sebagai berikut: $\langle a,b \rangle + \langle c,d \rangle := \langle a + c,b + d\rangle\,.$

Proposisi 17.3.5.

Operasi $+$ yang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik, dan di bawah operasi ini $G(S)$ menjadi grup Abelian.

Grup Abelian $(G(S),+)$ disebut grup Grothendieck dari $S$ .

Proposisi 17.3.6.

Untuk suatu semigrup $S$ dan sembarang $a \in S$ , definisikan pemetaan $\gamma_{{}_{\scriptstyle{S}}} \colon S \rightarrow G(S) \colon s \mapsto \langle s + a, a \rangle\,.$ Pemetaan $\gamma_{{}_{\scriptstyle{S}}}$ , yang disebut pemetaan Grothendieck, terdefinisi dengan baik dan merupakan homomorfisme semigrup.

Pernyataan bahwa pemetaan Grothendieck terdefinisi dengan baik berarti bahwa definisinya tidak bergantung pada pilihan $a$ . Kita sering hanya menulis $\gamma$ untuk $\gamma_{{}_{\scriptstyle{S}}}$ .

Contoh 17.3.7.

Baik $\mathbb{N}= \{1,2,3,\dots\}$ maupun $\mathbb{Z}^+ = \{0,1,2,\dots\}$ merupakan semigrup komutatif di bawah penjumlahan. Keduanya menghasilkan grup Grothendieck yang sama, $G(\mathbb{N}) = G(\mathbb{Z}^+) = \mathbb{Z}\,.$

Tidak ada yang menjamin bahwa grup Grothendieck dari suatu semigrup sembarang akan sangat menarik.

Contoh 17.3.8.

Misalkan $S$ semigrup aditif komutatif $\mathbb{Z}^+ \cup \{\infty\}$ . Maka $G(S) = \{\mathbf{0}\}$ .

Contoh 17.3.9.

Misalkan $\mathbb{Z}_0$ semigrup multiplikatif (komutatif) bilangan bulat tak nol. Maka $G(\mathbb{Z}_0) = \mathbb{Q}_0$ , yaitu grup multiplikatif Abelian dari bilangan rasional tak nol.

Proposisi 17.3.10.

Jika $S$ suatu semigrup komutatif, maka $G(S) = \{\gamma(s) - \gamma(t)\colon s,t \in S\}\,.$

Proposisi 17.3.11.

Jika $r$ , $s \in S$ , dengan $S$ suatu semigrup komutatif, maka $\gamma(r) = \gamma(s)$ jika dan hanya jika terdapat $t \in S$ sedemikian sehingga $r + t = s + t$ .

Definisi 17.3.12.

Suatu semigrup komutatif $S$ memiliki sifat pembatalan jika setiap kali $r$ , $s$ , $t \in S$ memenuhi $r + t = s + t$ , berlaku $r = s$ .

Akibat 17.3.13.

Misalkan $S$ suatu semigrup komutatif. Pemetaan Grothendieck $\gamma _{{}_{\scriptstyle{S}}}\colon S \rightarrow G(S)$ injektif jika dan hanya jika $S$ memiliki sifat pembatalan.

Proposisi berikut menyatakan sifat universal grup Grothendieck.

Proposisi 17.3.14.

Misalkan $S$ suatu semigrup (aditif) komutatif dan $G(S)$ grup Grothendieck-nya. Jika $H$ suatu grup Abelian dan $\phi\colon S \rightarrow H$ suatu pemetaan aditif, maka terdapat homomorfisme grup tunggal $\psi\colon G(S) \rightarrow H$ sedemikian sehingga diagram berikut komutatif.

Diagram sifat universal grup Grothendieck. Pemetaan gamma membawa semigrup S ke semigrup dasar G(S), pemetaan aditif phi membawa S ke semigrup dasar grup Abel H, dan panah putus-putus himpunan dasar psi membawa G(S) ke H; di tingkat grup terdapat satu-satunya homomorfisme putus-putus psi dari G(S) ke H. Segitiga komutatif: phi sama dengan psi setelah gamma. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Dalam diagram sebelumnya, $\lvert G(S)\rvert$ dan $\lvert H\rvert$ hanyalah $G(S)$ dan $H$ yang dipandang sebagai semigrup, sedangkan $\lvert\psi\rvert$ adalah homomorfisme semigrup yang bersesuaian. Dengan kata lain, funktor pelupa $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ “melupakan” hanya identitas dan invers, tetapi tidak operasi penjumlahan. Jadi, segitiga di sebelah kiri merupakan diagram komutatif dalam kategori semigrup dan homomorfisme semigrup.

Proposisi 17.3.15.

Misalkan $\phi\colon S \rightarrow T$ homomorfisme semigrup komutatif. Maka pemetaan $\gamma_{{}_{\scriptstyle{T}}} \circ \phi\colon S \rightarrow G(T)$ aditif. Berdasarkan proposisi 17.3.14, terdapat homomorfisme grup tunggal $G(\phi)\colon G(S) \rightarrow G(T)$ sedemikian sehingga diagram berikut komutatif.

Persegi funktorialitas konstruksi Grothendieck. Panah atas phi membawa S ke T; panah vertikal gamma sub-S dan gamma sub-T membawa keduanya ke G(S) dan G(T); panah bawah G(phi) membawa G(S) ke G(T). Persegi komutatif: gamma sub-T setelah phi sama dengan G(phi) setelah gamma sub-S. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Proposisi 17.3.16.

Pasangan pemetaan $S \mapsto G(S)$ , yang memetakan semigrup komutatif ke grup Grothendieck yang bersesuaian, dan $\phi \mapsto G(\phi)$ , yang memetakan homomorfisme semigrup ke homomorfisme-homomorfisme grup (sebagaimana didefinisikan dalam 17.3.15), merupakan funktor kovarian dari kategori semigrup komutatif dan homomorfisme semigrup ke kategori grup Abelian dan homomorfisme grup.

Salah satu keuntungan kecil dari penyertaan funktor pelupa yang agak bertele-tele dalam diagram 17.3.1 adalah bahwa hal itu memungkinkan kita memandang pemetaan Grothendieck $\gamma\colon S \mapsto \gamma_{{}_{\scriptstyle{S}}}$ sebagai transformasi alami antarfungtor.

Akibat 17.3.17.

Misalkan $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ funktor pelupa pada grup Abelian yang “melupakan” identitas dan invers, tetapi tidak operasi grup, seperti dalam 17.3.14. Maka $\lvert G(\mathord{\cdot})\rvert$ merupakan funktor kovarian dari kategori semigrup komutatif dan homomorfisme semigrup ke dirinya sendiri. Selanjutnya, pemetaan Grothendieck $\gamma\colon S \mapsto \gamma_{{}_{\scriptstyle{S}}}$ merupakan transformasi alami dari funktor identitas ke funktor $\lvert G(\mathord{\cdot})\rvert$ .

Persegi kealamian pemetaan Grothendieck setelah struktur grup dilupakan. Panah atas phi membawa S ke T; panah vertikal gamma sub-S dan gamma sub-T menuju semigrup dasar G(S) dan G(T); panah bawah adalah semigrup dasar G(phi). Persegi komutatif: gamma sub-T setelah phi sama dengan G(phi) setelah gamma sub-S. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Grup $\mathbf{K}_0$ untuk Aljabar- $C^*$ Beridentitas

Definisi 17.4.1.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas. Misalkan $K_0(A) := G(\mathcal{D}(A))$ , grup Grothendieck dari semigrup $\mathcal{D}(A)$ yang didefinisikan dalam 17.2.11 dan 17.2.12, dan definisikan $[\mathord{\cdot}]\colon \mathcal{P}_\infty(A) \rightarrow K_0(A) \colon p \mapsto \gamma_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}(A)}}}\bigl([p\,]_{\mathcal{D}}\bigr)\,.$

Proposisi berikut merupakan konsekuensi langsung dari definisi ini.

Proposisi 17.4.2.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Jika $p$ dan $q$ ekuivalen Murray–von Neumann, maka $[p\,] = [q\,]$ dalam $K_0(A)$ .

Definisi 17.4.3.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Kita mengatakan bahwa $p$ ekuivalen secara stabil dengan $q$ dan menulis $p \sim_{st} q$ jika terdapat proyeksi $r \in \mathcal{P}_\infty(A)$ sedemikian sehingga $p \oplus r \sim q \oplus r$ .

Proposisi 17.4.4.

Ekuivalensi stabil $\sim_{st}$ merupakan relasi ekuivalensi pada $\mathcal{P}_\infty(A)$ .

Proposisi 17.4.5.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Maka $p \sim_{st} q$ jika dan hanya jika $p \oplus \mathbf{1}_n \sim q \oplus \mathbf{1}_n$ untuk suatu $n \in \mathbb{N}$ .

Di sini, tentu saja, $\mathbf{1}_n$ adalah identitas perkalian dalam $\mathbf{M}_{n}({A})$ .

Proposisi 17.4.6.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\begin{align*} K_0(A) &= \{ [p\,] - [q\,]\colon p,q \in \mathcal{P}_\infty(A)\} \\ &= \{ [p\,] - [q\,]\colon p,q \in \mathcal{P}_n(A) \text{ untuk suatu $n \in \mathbb{N}$}\}\,. \end{align*}$

Proposisi 17.4.7.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Maka $[p \oplus q\,] = [p\,] + [q\,]$ .

Proposisi 17.4.8.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_n(A)$ . Jika $p \sim_h q$ dalam $\mathcal{P}_n(A)$ , maka $[p\,] = [q\,]$ .

Proposisi 17.4.9.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_n(A)$ . Jika $p \perp q$ dalam $\mathcal{P}_n(A)$ , maka $p + q \in \mathcal{P}_n(A)$ dan $[p + q\,] = [p\,] + [q\,]$ .

Proposisi 17.4.10.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas dan $p$ , $q \in \mathcal{P}_\infty(A)$ . Maka $[p\,] = [q\,]$ jika dan hanya jika $p \sim_{st} q$ .

Proposisi berikut menetapkan suatu sifat universal dari $K_0(A)$ ketika $A$ beridentitas. Di dalamnya, funktor pelupa $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ adalah funktor yang dijelaskan dalam proposisi 17.3.14.

Proposisi 17.4.11.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, $G$ grup Abelian, dan $\nu\colon \mathcal{P}_\infty(A) \rightarrow\lvert G\rvert$ homomorfisme semigrup yang memenuhi

$\nu(\mathbf{0}_A) = \mathbf{0}_G$ dan
jika $p \sim_h q$ dalam $\mathcal{P}_n(A)$ untuk suatu $n$ , maka $\nu(p) = \nu(q)$ .

Maka terdapat homomorfisme grup tunggal $\widetilde{\nu}\colon K_0(A) \rightarrow G$ sedemikian sehingga diagram berikut komutatif.

Diagram sifat universal K nol untuk aljabar C-bintang beridentitas A. Pemetaan kelas membawa P tak-hingga(A) ke semigrup dasar K nol(A), sedangkan nu membawanya ke semigrup dasar G. Panah putus-putus himpunan dasar nu tilde berasal dari satu-satunya homomorfisme grup putus-putus nu tilde dari K nol(A) ke G. Segitiga komutatif: nu sama dengan nu tilde setelah pemetaan kelas. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $\tau\colon \mathcal{D}(A) \rightarrow\lvert G\rvert\colon [p\,]_{{}_{\scriptstyle{\mathcal{D}}}} \mapsto \nu(p)$ . Periksa bahwa $\tau$ terdefinisi dengan baik dan merupakan homomorfisme semigrup. Kemudian gunakan proposisi 17.3.14. ◻

Definisi 17.4.12.

Homomorfisme- $*\,$ $\phi\colon A \rightarrow B$ di antara aljabar- $C^*$ diperluas, untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , menjadi homomorfisme- $*\,$ $\phi\colon \mathbf{M}_{n}({A}) \rightarrow\mathbf{M}_{n}({B})$ dan juga (karena homomorfisme- $*\,$ membawa proyeksi ke proyeksi) memiliki pembatasan berupa pemetaan $\phi$ dari $\mathcal{P}_\infty(A)$ ke $\mathcal{P}_\infty(B)$ . Untuk homomorfisme- $*\,$ $\phi$ semacam itu, definisikan $\nu\colon \mathcal{P}_\infty(A) \rightarrow K_0(B)\colon p \mapsto [\phi(p)]\,.$ Maka $\nu$ merupakan homomorfisme semigrup yang memenuhi syarat (a) dan (b) dalam proposisi 17.4.11, sehingga terdapat homomorfisme grup tunggal $K_0(\phi)\colon K_0(A) \rightarrow K_0(B)$ sedemikian sehingga $K_0(\phi)\bigl([p\,]\bigr) = \nu(p)$ untuk setiap $p \in \mathcal{P}_\infty(A)$ .

Proposisi 17.4.13.

Pasangan pemetaan $A \mapsto K_0(A)$ , $\phi \mapsto K_0(\phi)$ merupakan funktor kovarian dari kategori aljabar- $C^*$ beridentitas dan homomorfisme- $*\,$ ke kategori grup Abelian dan homomorfisme grup. Lebih lanjut, untuk semua homomorfisme- $*\,$ $\phi\colon A \rightarrow B$ di antara aljabar- $C^*$ beridentitas, diagram berikut komutatif.

Persegi funktorialitas K nol pada aljabar C-bintang beridentitas. Panah atas phi membawa P tak-hingga(A) ke P tak-hingga(B); panah vertikal adalah pemetaan kelas menuju K nol(A) dan K nol(B); panah bawah K nol(phi) membawa K nol(A) ke K nol(B). Persegi komutatif: K nol(phi) dari kelas p sama dengan kelas phi(p). — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Notasi 17.4.14.

Untuk aljabar- $C^*$ $A$ dan $B$ , misalkan $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ adalah keluarga semua homomorfisme- $*\,$ dari $A$ ke $B$ .

Definisi 17.4.15.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ serta $a \in A$ . Untuk $\phi$ , $\psi \in \mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ , misalkan $d_a(\phi,\psi) = \lVert\phi(a) - \psi(a)\rVert\,.$ Maka $d_a$ merupakan pseudometrik pada $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ . Topologi yang dibangkitkan oleh keluarga $\{d_a\colon a \in A\}$ adalah topologi norma-titik pada $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ . (Untuk setiap $a \in A$ , misalkan $\mathfrak{B}_a$ adalah keluarga bola terbuka dalam $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ yang dibangkitkan oleh pseudometrik $d_a$ . Keluarga $\bigcup\{\mathfrak{B}_a\colon a \in A\}$ merupakan subbasis bagi topologi norma-titik.)

Definisi 17.4.16.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ . Kita mengatakan bahwa homomorfisme- $*\,$ $\phi$ , $\psi\colon A \rightarrow B$ homotop, dan menulis $\phi \sim_h \psi$ , jika terdapat suatu fungsi $c\colon [0,1] \times A \rightarrow B\colon (t,a) \mapsto c_t(a)$ sedemikian sehingga

untuk setiap $t \in [0,1]$ , pemetaan $c_t\colon A \rightarrow B \colon a \mapsto c_t(a)$ merupakan homomorfisme- $*\,$ ,
untuk setiap $a \in A$ , pemetaan $c(a)\colon [0,1] \rightarrow B\colon t \mapsto c_t(a)$ merupakan lintasan (kontinu) dalam $B$ ,
$c_0 = \phi$ , dan
$c_1 = \psi$ .

Proposisi 17.4.17.

Dua homomorfisme- $*\,$ $\phi_0$ , $\phi_1\colon A \rightarrow B$ di antara aljabar- $C^*$ homotop jika dan hanya jika terdapat lintasan kontinu norma-titik dari $\phi_0$ ke $\phi_1$ dalam $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ .

Definisi 17.4.18.

Kita mengatakan bahwa aljabar- $C^*$ $A$ dan $B$ ekuivalen secara homotopi jika terdapat homomorfisme- $*\,$ $\phi\colon A \rightarrow B$ dan $\psi\colon B \rightarrow A$ sedemikian sehingga $\psi \circ \phi \sim_h \operatorname{id}_{A}$ dan $\phi \circ \psi \sim_h \operatorname{id}_{B}$ . Suatu aljabar- $C^*$ disebut kontraktibel jika ekuivalen secara homotopi dengan $\{\mathbf{0}\}$ .

Proposisi 17.4.19.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ beridentitas. Jika $\phi \sim_h \psi$ dalam $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ , maka $K_0(\phi) = K_0(\psi)$ .

Proposisi 17.4.20.

Jika aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ dan $B$ ekuivalen secara homotopi, maka $K_0(A) \cong K_0(B)$ .

Proposisi 17.4.21.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ beridentitas, maka barisan eksak terbelah

Barisan eksak terbelah untuk unitalisasi A. Ruang nol menuju A, lalu inklusi iota dari A ke A tilde, lalu pemetaan hasil bagi Q dari A tilde ke bilangan kompleks, lalu menuju ruang nol. Panah balik psi dari bilangan kompleks ke A tilde membelah Q, sehingga Q setelah psi sama dengan identitas pada bilangan kompleks. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

(lihat 12.3.4, Kasus 1, butir (7) ) menginduksi barisan eksak terbelah lainnya

Barisan eksak terbelah yang diperoleh setelah menerapkan funktor K nol. Ruang nol menuju K nol(A), lalu K nol(iota) menuju K nol(A tilde), lalu K nol(Q) menuju K nol dari bilangan kompleks, lalu menuju ruang nol. Panah balik K nol(psi) membelah K nol(Q), sehingga K nol(Q) setelah K nol(psi) adalah identitas. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Definisikan dua fungsi tambahan $\mu\colon \widetilde{A} \rightarrow A\colon a + \lambda \mathbf{j} \mapsto a$ dan $\psi' \colon \mathbb{C}\rightarrow\widetilde{A} \colon \lambda \mapsto \lambda \mathbf{j}\,.$ Kemudian periksa bahwa

$\mu \circ \iota = \operatorname{id}_{A}$ ,
$\iota \circ \mu + \psi' \circ Q = \operatorname{id}_{\widetilde{A}}$ ,
$Q \circ \iota = \mathbf{0}$ , dan
$Q \circ \psi' = \operatorname{id}_{\mathbb{C}}$ .

◻

Contoh 17.4.22.

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , $K_0(\mathbf M_n) \cong \mathbb{Z}$ .

Contoh 17.4.23.

Jika $H$ ruang Hilbert terpisahkan berdimensi tak hingga, maka $K_0(\mathfrak{B}(H)) \cong \mathbf{0}$ .

Definisi 17.4.24.

Ingat bahwa suatu ruang topologis $X$ disebut kontraktibel jika terdapat titik $a$ dalam ruang tersebut dan fungsi kontinu $f\colon [0,1] \times X \rightarrow X$ sedemikian sehingga $f(1,x) = x$ dan $f(0,x) = a$ untuk setiap $x \in X$ .

Contoh 17.4.25.

Jika $X$ ruang Hausdorff kompak yang kontraktibel, maka $K_0(\mathcal{C}(X)) \cong \mathbb{Z}$ .

$\mathbf{K}_0(A)$ —Kasus Tak Beridentitas

Definisi 17.5.1.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ tak beridentitas. Ingat bahwa barisan eksak terbelah 17.4.1 bagi unitalisasi $A$ menginduksi barisan eksak terbelah 17.4.2 di antara grup-grup $K_0$ yang bersesuaian. Definisikan $\pi:=Q,\qquad K_0(A) = \ker(K_0(\pi))\,.$

Proposisi 17.5.2.

Untuk aljabar- $C^*$ tak beridentitas $A$ , pemetaan $[\mathord{\cdot}] \colon \mathcal{P}_\infty(A) \rightarrow K_0(\widetilde{A})$ dapat dipandang sebagai pemetaan dari $\mathcal{P}_\infty(A)$ ke dalam $K_0(A)$ .

Proposisi 17.5.3.

Untuk aljabar- $C^*$ beridentitas maupun tak beridentitas, barisan $\mathbf{0} \to K_0(A) \to K_0(\widetilde{A}) \to K_0(\mathbb{C}) \to \mathbf{0}$ bersifat eksak.

Proposisi 17.5.4.

Untuk aljabar- $C^*$ beridentitas maupun tak beridentitas, grup $K_0(A)$ (isomorfik dengan) $\ker(K_0(\pi))$ .

Proposisi 17.5.5.

Jika $\phi\colon A \rightarrow B$ merupakan homomorfisme- $*\,$ di antara aljabar- $C^*$ , maka terdapat homomorfisme grup tunggal $K_0(\phi)$ yang membuat diagram berikut komutatif.

Tangga komutatif dua baris. Baris atas adalah K nol(A) menuju K nol(unitisasi A), lalu melalui K nol(pi sub-A) ke K nol(C); baris bawah mengganti A dengan B. Panah vertikalnya K nol(phi), K nol(phi tilde), dan identitas pada K nol(C). Kedua persegi komutatif; khususnya K nol(pi sub-B) setelah K nol(phi tilde) sama dengan K nol(pi sub-A), dan panah kiri membatasi K nol(phi) pada kernel yang menentukan K nol(A) dan K nol(B). — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Proposisi 17.5.6.

Pasangan pemetaan $A \mapsto K_0(A)$ , $\phi \mapsto K_0(\phi)$ merupakan funktor kovarian dari kategori $\mathbf{CSA}$ aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$ ke kategori grup Abelian dan homomorfisme grup.

Dalam proposisi 17.4.19 dan 17.4.20, kita menyatakan invariansi homotopi dari funktor $K_0$ untuk aljabar- $C^*$ beridentitas. Sekarang kita memperluas hasil tersebut ke sebarang aljabar- $C^*$ .

Proposisi 17.5.7.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ . Jika $\phi \sim_h \psi$ dalam $\mathop{\mathrm{Hom}}(A,B)$ , maka $K_0(\phi) = K_0(\psi)$ .

Proposisi 17.5.8.

Jika aljabar- $C^*$ $A$ dan $B$ ekuivalen secara homotopi, maka $K_0(A) \cong K_0(B)$ .

Definisi 17.5.9.

Misalkan $\pi:=Q$ dan $\lambda:=\psi$ adalah homomorfisme- $*\,$ yang berturut-turut berperan sebagai pemetaan hasil bagi dan penampang kanonik dalam barisan eksak terbelah 17.4.1 bagi unitalisasi suatu aljabar- $C^*$ $A$ . Definisikan pemetaan skalar $s\colon \widetilde{A} \rightarrow\widetilde{A}$ untuk $\widetilde{A}$ dengan $s := \lambda \circ \pi$ . Setiap anggota $\widetilde{A}$ dapat ditulis dalam bentuk $a + \alpha \mathbf{1}_{\widetilde{A}}$ untuk suatu $a \in A$ dan $\alpha \in \mathbb{C}$ . Perhatikan bahwa $s(a + \alpha \mathbf{1}_{\widetilde{A}}) = \alpha \mathbf{1}_{\widetilde{A}}$ dan bahwa $x - s(x) \in A$ untuk setiap $x \in \widetilde{A}$ . Untuk setiap bilangan asli $n$ , pemetaan skalar menginduksi pemetaan yang bersesuaian $s = s_n\colon \mathbf{M}_{n}({\widetilde{A}}) \rightarrow\mathbf{M}_{n}({\widetilde{A}})$ . Suatu elemen $x \in \mathbf{M}_{n}({\widetilde{A}})$ merupakan elemen skalar dari $\mathbf{M}_{n}({\widetilde{A}})$ jika $s(x) = x$ .

Proposisi 17.5.10.

Jika $A$ suatu aljabar- $C^*$ , maka $K_0(A) = \{\,[p\,] - [s(p)]\colon p \in \mathcal{P}_\infty(\widetilde{A})\}\,.$

Sifat Keeksakan dan Stabilitas Funktor $K_0$

Definisi 17.6.1.

Funktor kovarian $F$ dari kategori $\mathbf{A}$ ke kategori $\mathbf{B}$ disebut eksak terbelah jika membawa barisan eksak terbelah ke barisan eksak terbelah. Funktor tersebut disebut eksak separuh jika setiap kali barisan $\mathbf{0} \to A_1 \to^j A_2 \to^k A_3 \to \mathbf{0}$ eksak dalam $\mathbf{A}$ , maka $F(A_1) \to^{F(j)} F(A_2) \to^{F(k)} F(A_3)$ eksak dalam $\mathbf{B}$ .

Proposisi 17.6.2.

Funktor $K_0$ eksak separuh.

Proposisi 17.6.3.

Funktor $K_0$ eksak terbelah.

Proposisi 17.6.4.

Funktor $K_0$ mempertahankan jumlah langsung. Artinya, jika $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ , maka $K_0(A \oplus B) = K_0(A) \oplus K_0(B)$ .

Contoh 17.6.5.

Jika $A$ aljabar- $C^*$ , maka $K_0(\widetilde{A}) = K_0(A) \oplus \mathbb{Z}$ .

Meskipun eksak terbelah sekaligus eksak separuh, funktor $K_0$ tidak eksak. Masing-masing dari dua contoh berikut cukup untuk menunjukkan hal ini.

Contoh 17.6.6.

Barisan $\mathbf{0} \to \mathcal{C}_0\bigl((0,1)\bigr) \to^\iota \mathcal{C}\bigl([0,1]\bigr) \to^\psi \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\to \mathbf{0}$ dengan $\psi(f) = \bigl(f(0),f(1)\bigr)$ jelas eksak; tetapi $K_0(\psi)$ tidak surjektif.

Contoh 17.6.7.

Jika $H$ ruang Hilbert berdimensi tak hingga, barisan eksak $\mathbf{0} \to \mathfrak{K}(H) \to^\iota \mathfrak{B}(H) \to^\pi \mathfrak{Q}(H) \to \mathbf{0}$ yang terkait dengan aljabar Calkin $\mathfrak{Q}(H)$ bersifat eksak, tetapi $K_0(\iota)$ tidak injektif. (Contoh ini memerlukan fakta yang belum kita turunkan: $K_0(\mathfrak{K}(H)) \cong \mathbb{Z}$ ; untuk itu, lihat [45], Akibat 6.4.2.)

Berikutnya adalah sifat stabilitas penting dari funktor $K_0$ .

Proposisi 17.6.8.

Jika $A$ aljabar- $C^*$ , maka $K_0(A) \cong K_0(\mathbf{M}_{n}({A}))$ .

Limit Induktif

Dalam bagian 10.1, kita mendefinisikan limit induktif untuk sebarang kategori, dan dalam bagian 10.2, kita membatasi perhatian pada limit induktif ketat dari ruang vektor topologis konveks lokal, yang berguna dalam konteks teori distribusi. Dalam bagian ini, kita menelaah limit induktif dari barisan aljabar- $C^*$ .

Definisi 17.7.1.

Dalam sebarang kategori, suatu barisan induktif adalah pasangan $(A,\phi)$ , dengan $A = (A_j)$ barisan objek dan $\phi = (\phi_j)$ barisan morfisme sedemikian sehingga $\phi_j\colon A_j \rightarrow A_{j+1}$ untuk setiap $j$ . Suatu limit induktif (atau limit langsung) dari barisan $(A,\phi)$ adalah pasangan $(L,\mu)$ , dengan $L$ suatu objek dan $\mu = (\mu_n)$ barisan morfisme $\mu_j\colon A_j \rightarrow L$ yang memenuhi

$\mu_j = \mu_{j+1} \circ \phi_j$ untuk setiap $j \in \mathbb{N}$ , dan
jika $(M,\lambda)$ adalah pasangan dengan $M$ suatu objek dan $\lambda = (\lambda_j)$ suatu barisan morfisme $\lambda_j\colon A_j \rightarrow M$ yang memenuhi $\lambda_j = \lambda_{j+1} \circ \phi_j$ , maka terdapat morfisme tunggal $\psi\colon L \rightarrow M$ sedemikian sehingga $\lambda_j = \psi \circ \mu_j$ untuk setiap $j \in \mathbb{N}$ .

Dengan sedikit penyalahgunaan bahasa, biasanya kita mengatakan bahwa $L$ adalah limit induktif dari barisan $(A_j)$ dan menulis $L = \underrightarrow{\lim} A_j$ .

Diagram sifat universal limit induktif. Barisan berarah memuat A sub-j menuju A sub-j-plus-satu melalui phi sub-j. Masing-masing A sub-j memetakan ke L melalui mu sub-j dan ke M melalui lambda sub-j, dengan kesesuaian terhadap phi. Ada satu-satunya panah putus-putus psi dari L ke M; semua segitiga komutatif, yakni lambda sub-j sama dengan psi setelah mu sub-j untuk setiap j. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Proposisi 17.7.2.

Limit induktif dari barisan induktif (jika ada dalam suatu kategori) tunggal (hingga isomorfisme).

Proposisi 17.7.3.

Setiap barisan induktif $(A,\phi)$ dari aljabar- $C^*$ memiliki limit induktif. (Demikian pula setiap barisan induktif dari grup Abelian.)

Bukti.

Proof. Lihat [3], II.8.2.1; [45], proposisi 6.2.4; atau [51], lampiran L. ◻

Proposisi 17.7.4.

Jika $(L,\mu)$ merupakan limit induktif dari barisan induktif $(A,\phi)$ dari aljabar- $C^*$ , maka $L = \overline{\bigcup {\mu_n}^\rightarrow(A_n)}$ dan $\lVert\mu_m(a)\rVert = \lim_{n \rightarrow \infty}\lVert\phi_{n,m}(a)\rVert = \inf_{n \ge m}\lVert\phi_{n,m}(a)\rVert$ untuk semua $m \in \mathbb{N}$ dan $a \in A$ .

Bukti.

Proof. Lihat [45], proposisi 6.2.4. ◻

Definisi 17.7.5.

Suatu aljabar- $C^*$ berdimensi hingga secara aproksimatif (singkatnya aljabar-AF) adalah limit induktif dari suatu barisan aljabar- $C^*$ berdimensi hingga.

Contoh 17.7.6.

Jika $(A_n)$ merupakan barisan meningkat yang terdiri atas subaljabar- $C^*$ dari suatu aljabar- $C^*$ $D$ (dengan $\iota_n\colon A_n \rightarrow A_{n+1}$ pemetaan inklusi untuk setiap $n$ ), maka $(A,\iota)$ merupakan barisan induktif aljabar- $C^*$ yang limit induktifnya adalah $(B,j)$ , dengan $B = \overline{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}$ dan $j_n\colon A_n \rightarrow B$ pemetaan inklusi untuk setiap $n$ .

Contoh 17.7.7.

Barisan $\mathbf M_1 = \mathbb{C}\to^{\phi_1} \mathbf M_2 \to^{\phi_2} \mathbf M_3 \to^{\phi_3} \dots$ (dengan $\phi_n(a) = \mathop{\mathrm{diag}}(a,0)$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan $a \in \mathbf M_n$ ) merupakan barisan induktif aljabar- $C^*$ yang limit induktifnya adalah aljabar- $C^*$ $\mathfrak{K}(H)$ yang terdiri atas operator kompak pada ruang Hilbert terpisahkan berdimensi tak hingga $H$ .

Bukti.

Proof. Lihat [45], bagian 6.4. ◻

Contoh 17.7.8.

Barisan $\mathbb{Z}\to^{\mathbf{1}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{3}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{4}} \dots$ (dengan $\mathbf{n} \colon \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ memenuhi $\mathbf{n}(1) = n$ ) merupakan barisan induktif grup Abelian yang limit induktifnya adalah himpunan $\mathbb{Q}$ dari bilangan rasional.

Contoh 17.7.9.

Barisan $\mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \mathbb{Z}\to^{\mathbf{2}} \dots$ merupakan barisan induktif grup Abelian yang limit induktifnya adalah himpunan bilangan rasional diadik.

Hasil berikut disebut sifat kekontinuan $K_0$ .

Proposisi 17.7.10.

Jika $(A,\phi)$ barisan induktif aljabar- $C^*$ , maka $K_0\bigl(\,\underrightarrow{\lim}\, A_n\bigr) = \underrightarrow{\lim}\,K_0(A_n)\,.$

Bukti.

Proof. Lihat [45], teorema 6.3.2. ◻

Contoh 17.7.11.

Jika $H$ ruang Hilbert, maka $K_0(\mathfrak{K}(H)) \cong \mathbb{Z}$ .

Diagram Bratteli

Proposisi 17.8.1.

Homomorfisme- $*\,$ tak nol dari $M_k$ ke $M_n$ ada hanya jika $n \ge k$ ; dalam hal ini, semuanya tepat merupakan pemetaan berbentuk $\phi\colon a \mapsto u\,\mathop{\mathrm{diag}}(a, a, \dots, a, \mathbf{0})\, u^*$ dengan $u$ matriks uniter. Di sini terdapat $m$ salinan $a$ , dan $\mathbf{0}$ adalah matriks nol berukuran $r \times r$ , dengan $n = mk + r$ . Bilangan $m$ adalah multiplisitas dari $\phi$ .

Bukti.

Proof. Lihat [42], akibat 1.3. ◻

Contoh 17.8.2.

Contoh homomorfisme- $*\,$ dari $M_2$ ke $M_7$ adalah $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & d & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \mathop{\mathrm{diag}}(A,A, \mathbf{0})$ dengan $m = 2$ dan $r = 3$ .

Proposisi 17.8.3.

Setiap aljabar- $C^*$ berdimensi hingga $A$ isomorfik dengan jumlah langsung aljabar matriks $A \simeq M_{k_1} \oplus \dots \oplus M_{k_r}.$ Misalkan $A$ dan $B$ aljabar- $C^*$ berdimensi hingga, sehingga $A \simeq M_{k_1} \oplus \dots \oplus M_{k_r} \qquad \text{dan} \qquad B \simeq M_{n_1} \oplus \dots \oplus M_{n_s}$ dan misalkan $\phi\colon A \rightarrow B$ homomorfisme- $*\,$ beridentitas. Maka $\phi$ ditentukan (hingga ekuivalensi uniter dalam $B$ ) oleh matriks $s \times r$ $\mathbf{m} = \bigl[ m_{ij}\bigr]$ yang berentri bilangan bulat tak negatif sedemikian sehingga $\begin{equation} \label{0068117i} \mathbf{m}\, \mathbf{k} = \mathbf{n}. \end{equation}$ Di sini $\mathbf{k} = (k_1, \dots,k_r)$ , $\mathbf{n} = (n_1, \dots, n_s)$ , dan bilangan $m_{ij}$ adalah multiplisitas pemetaan

Rantai pemetaan yang menjelaskan multiplisitas m sub-i-j: aljabar matriks M sub-k-j masuk ke jumlah langsung A, lalu A dipetakan ke B melalui phi, lalu diproyeksikan ke komponen M sub-n-i. Multiplisitas m sub-i-j adalah multiplisitas komposit ini. Ini rantai berarah, bukan diagram komutatif bercabang. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Bukti.

Proof. Lihat [10], teorema III.1.1. ◻

Definisi 17.8.4.

Misalkan $\phi$ seperti dalam proposisi 17.8.3 sebelumnya. Suatu diagram Bratteli untuk $\phi$ terdiri atas dua baris (atau kolom) simpul yang diberi label $k_j$ dan $n_i$ , bersama $m_{ij}$ sisi yang menghubungkan $k_j$ ke $n_i$ (untuk $1 \le j \le r$ dan $1 \le i \le s$ ).

Contoh 17.8.5.

Misalkan $\phi\colon \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}\rightarrow M_4 \oplus M_3$ diberikan oleh $(\lambda, \mu) \mapsto \left( \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}\, , \, \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{bmatrix}\right)\, .$ Maka $m_{11} = 3$ , $m_{12} = 1$ , $m_{21} = 2$ , dan $m_{22} = 1$ . Perhatikan bahwa $\mathbf{m} \,\mathbf{k} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} = \mathbf{n}.$ Suatu diagram Bratteli untuk $\phi$ adalah

Diagram Bratteli untuk homomorfisme dari C ditambah C ke M empat ditambah M tiga. Dua simpul kiri sama-sama berlabel 1; simpul kanan berlabel 4 dan 3. Dari simpul 1 pertama ada tiga sisi ke 4 dan dua sisi ke 3; dari simpul 1 kedua ada satu sisi ke 4 dan satu sisi ke 3. Ini graf multiplisitas, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Contoh 17.8.6.

Misalkan $\phi\colon \mathbb{C}\oplus M_2 \rightarrow M_3 \oplus M_5 \oplus M_2$ diberikan oleh $(\lambda, b) \mapsto \left( \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}\, , \, \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix} \,,\, b \, \right).$ Maka $m_{11} = 1$ , $m_{12} = 1$ , $m_{21} = 1$ , $m_{22} = 2$ , $m_{31} = 0$ , dan $m_{32} = 1$ . Perhatikan bahwa $\mathbf{m} \,\mathbf{k} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\2 \end{bmatrix} = \mathbf{n}.$ Suatu diagram Bratteli untuk $\phi$ adalah

Diagram Bratteli dengan simpul kiri 1 dan 2 serta simpul kanan 3, 5, dan 2. Simpul 1 memiliki satu sisi ke 3 dan satu ke 5. Simpul 2 memiliki satu sisi ke 3, dua sisi ke 5, dan satu sisi ke 2. Ini graf multiplisitas, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Contoh 17.8.7.

Misalkan $\phi\colon M_3 \oplus M_2 \oplus M_2 \rightarrow M_9 \oplus M_7$ diberikan oleh

$(a,b,c) \mapsto \left( \begin{bmatrix} a & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & a & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix}\, , \, \begin{bmatrix} a & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & b & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & c \end{bmatrix}\, \right)\, .$ Maka $m_{11} = 2$ , $m_{12} = 0$ , $m_{13} = 0$ , $m_{21} = 1$ , $m_{22} = 1$ , dan $m_{23} = 1$ . Perhatikan bahwa kali ini terjadi sesuatu yang ganjil: kita mempunyai $\mathbf{m}\,\mathbf{k} \ne \mathbf{n}$ : $\mathbf{m} \,\mathbf{k} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 7 \end{bmatrix} \le \begin{bmatrix} 9 \\ 7 \end{bmatrix} = \mathbf{n}.$ Apa masalahnya di sini? Nah, hasil yang dinyatakan sebelumnya berlaku untuk homomorfisme- $*\,$ beridentitas, sedangkan $\phi$ ini tidak beridentitas. Secara umum, inilah hasil terbaik yang dapat kita harapkan: $\mathbf{m}\,\mathbf{k} \le \mathbf{n}$ .

Berikut diagram Bratteli yang dihasilkan untuk $\phi$ :

Diagram Bratteli untuk homomorfisme tak beridentitas dari M tiga ditambah M dua ditambah M dua ke M sembilan ditambah M tujuh. Dari simpul 3 ada dua sisi ke 9 dan satu sisi ke 7; masing-masing dari dua simpul 2 memiliki satu sisi ke 7 dan tidak memiliki sisi ke 9. Ini graf multiplisitas, bukan diagram komutatif; ketidakberidentitasan tampak dari dimensi yang tidak seluruhnya terpakai di simpul 9. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Contoh 17.8.8.

Jika $K$ himpunan Cantor, maka $\mathcal{C}(K)$ merupakan aljabar-AF. Untuk melihatnya, tuliskan $K$ sebagai irisan dari suatu keluarga menurun yang terdiri atas himpunan bagian tertutup $K_j$ , yang masing-masing terdiri atas $2^j$ subinterval tertutup yang saling lepas dari $[0,1]$ . Untuk setiap $j \ge 0$ , misalkan $A_j$ subaljabar yang terdiri atas fungsi-fungsi dalam $\mathcal{C}(K)$ yang konstan pada setiap interval penyusun $K_j$ . Jadi $A_j \simeq \mathbb{C}^{2^j}$ untuk setiap $j \ge 0$ . Pembenaman $\phi_j \colon A_j \rightarrow A_{j+1}\colon (a_1, a_2, \dots, a_{2^j}) \mapsto (a_1, a_1, a_2, a_2,\dots, a_{2^j}, a_{2^j})$ memecah setiap proyeksi minimal menjadi jumlah dua proyeksi minimal. Untuk $\phi_0$ , matriks $\mathbf{m}_0$ dari “multiplisitas parsial” yang bersesuaian adalah $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ; matriks $\mathbf{m}_1$ yang bersesuaian dengan $\phi_1$ adalah $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ; dan seterusnya. Jadi diagram Bratteli untuk limit induktif $\mathcal{C}(K) = \underrightarrow{\lim}A_j$ adalah:

Diagram Bratteli biner untuk limit induktif C(K), dengan K himpunan Cantor. Satu simpul awal berlabel 1 bercabang menjadi dua simpul 1; pada setiap tahap, setiap simpul 1 kembali bercabang ke dua simpul 1 pada tahap berikutnya, semuanya dengan satu sisi. Jumlah simpul menjadi dua pangkat j pada tahap j. Ini graf multiplisitas, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Contoh 17.8.9.

Berikut suatu contoh dari apa yang disebut aljabar CAR (CAR = Relasi Antikomutasi Kanonik). Untuk $j \ge 0$ , misalkan $A_j = % SOURCE-CORRECTION: CH17-C023 M_{2^{{}^{\scriptstyle{j}}}}$ dan $\phi_j\colon A_j \to A_{j+1}\colon \mathbf{a} \mapsto \begin{bmatrix} \mathbf{a} & 0 \\ 0 & \mathbf{a} \end{bmatrix}.$ “Matriks” multiplisitas $\mathbf{m}$ untuk setiap $\phi_j$ hanyalah matriks $1 \times 1$ $[2]$ . Kita melihat bahwa untuk setiap $j$ $\mathbf{m}\, \mathbf{k}(j) = [2]\,[2^j] = [2^{j+1}] = \mathbf{n}(j).$ Ini menghasilkan diagram Bratteli berikut

Diagram Bratteli pertama untuk aljabar CAR: satu rantai simpul berlabel 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Di antara setiap dua simpul berturutan terdapat dua sisi sejajar, sesuai multiplisitas 2. Ini graf multiplisitas, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

untuk limit induktif $C = \underrightarrow{\lim}A_j$ .

Namun, jangkauan $\phi_j$ termuat dalam subaljabar $B_{j+1} \simeq M_{2^j} \oplus M_{2^j}$ dari $A_{j+1}$ . (Ambil $B_0 = A_0 = \mathbb{C}$ .) Jadi, untuk $j \in \mathbb{N}$ , kita dapat memandang $\phi_j$ sebagai pemetaan dari $B_j$ ke $B_{j+1}$ : $\phi_j\colon(\mathbf{b}, \mathbf{c}) \mapsto \left(\begin{bmatrix} \mathbf{b} & 0 \\ 0 & \mathbf{c} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \mathbf{b} & 0 \\ 0 & \mathbf{c} \end{bmatrix} \right)\,.$ Sekarang matriks multiplisitas $\mathbf{m}$ untuk setiap $\phi_j$ adalah $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ , dan kita melihat bahwa untuk setiap $j$ $\mathbf{m}\, \mathbf{k}(j) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 2^{j-1} \\ 2^{j-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^j \\ 2^j \end{bmatrix} = \mathbf{n}(j).$ Karena $C = \underrightarrow{\lim}A_j = \underrightarrow{\lim}B_j$ , kita memperoleh diagram Bratteli kedua (yang cukup berbeda) untuk aljabar-AF $C$ .

Diagram Bratteli kedua untuk aljabar CAR. Satu simpul awal 1 bercabang ke dua simpul 1. Tahap-tahap berikutnya mempunyai dua simpul sejajar berlabel 1, lalu 2, 4, 8, 16, dan seterusnya; setiap simpul pada suatu tahap mempunyai satu sisi ke masing-masing dari dua simpul pada tahap berikutnya. Ini graf multiplisitas untuk matriks semua-satu dua kali dua, bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Contoh 17.8.10.

Ini adalah aljabar Fibonacci. Untuk $j \in \mathbb{N}$ , definisikan barisan $\bigl(p_j\bigr)$ dan $\bigl(q_j\bigr)$ dengan relasi rekursi yang dikenal: $\begin{align*} p_1 = &q_1 = 1, \\ p_{j+1} = &p_j + q_j, \text{ dan } \\ q_{j+1} &= p_j. \end{align*}$ Untuk semua $j \in \mathbb{N}$ , misalkan $A_j = M_{p_j} \oplus M_{q_j}$ dan

$\phi_j\colon A_j \rightarrow A_{j+1}\colon (a,b) \mapsto \left(\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}, a \right).$ Matriks multiplisitas $\mathbf{m}$ untuk setiap $\phi_j$ adalah $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , dan untuk setiap $j$ $\mathbf{m}\, \mathbf{k}(j) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} p_j \\ q_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_j + q_j \\ p_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{j+1} \\ q_{j+1} \end{bmatrix} = \mathbf{n}(j).$ Diagram Bratteli yang dihasilkan untuk $F = \underrightarrow{\lim}A_j$ adalah

Diagram Bratteli aljabar Fibonacci. Dimulai dari satu simpul 1 yang menuju dua simpul 1. Pada tahap berikutnya baris atas berlabel 1, 2, 3, 5, 8, dan seterusnya, sedangkan baris bawah berlabel 1, 1, 2, 3, 5, dan seterusnya. Setiap simpul atas memiliki satu sisi ke simpul atas dan satu ke simpul bawah tahap berikutnya; setiap simpul bawah hanya memiliki satu sisi ke simpul atas tahap berikutnya. Ini graf multiplisitas untuk matriks [[1,1],[1,0]], bukan diagram komutatif. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Bab 17 · Funktor K0𝑲0\mathbf{K}_0

Relasi Ekuivalensi pada Proyeksi

Semigrup Proyeksi

Konstruksi Grothendieck

Grup 𝑲0\mathbf{K}_0 untuk Aljabar-C*C^* Beridentitas

𝑲0(A)\mathbf{K}_0(A)—Kasus Tak Beridentitas

Sifat Keeksakan dan Stabilitas Funktor K0K_0

Limit Induktif

Diagram Bratteli

Bab 17 · Funktor K0 $\mathbf{K}_0$

Grup $\mathbf{K}_0$ untuk Aljabar- $C^*$ Beridentitas

$\mathbf{K}_0(A)$ —Kasus Tak Beridentitas

Sifat Keeksakan dan Stabilitas Funktor $K_0$