Bab 13 · Konstruksi Gelfand–Naimark–Segal

Fungsional Linear Positif

Definisi 13.1.1.

Misalkan $A$ suatu aljabar dengan involusi. Untuk setiap fungsional linear $\tau$ pada $A$ dan setiap $a \in A$ definisikan $\tau^\star(a) = \overline{\tau(a^*)}$ . Kita mengatakan bahwa $\tau$ bersifat Hermitian jika $\tau^\star = \tau$ . Perhatikan bahwa suatu fungsional linear $\tau\colon A \rightarrow\mathbb{C}$ bersifat Hermitian jika dan hanya jika mempertahankan involusi; yaitu, $\tau^\star = \tau$ jika dan hanya jika $\tau(a^*) = \overline{\tau(a)}$ untuk semua $a \in A$ .

Perhatian.

$\tau^\star$ yang didefinisikan di atas jangan dikacaukan dengan pemetaan adjoin biasa $\tau^*\colon \mathbb{C}^* \rightarrow A^*$ . Konteks (atau penggunaan kaca pembesar) semestinya memperjelas mana yang dimaksud.

Proposisi 13.1.2.

Suatu fungsional linear $\tau$ pada aljabar- $C^*$ $A$ bersifat Hermitian jika dan hanya jika $\tau(a)~\in~\mathbb{R}$ setiap kali $a$ swaadjoin.

Seperti halnya selalu terjadi pada pemetaan di antara ruang-ruang vektor terurut, pemetaan positif ialah pemetaan yang membawa elemen positif ke elemen positif.

Definisi 13.1.3.

Suatu fungsional linear $\tau$ pada aljabar- $C^*$ $A$ bersifat positif jika $\tau(a) \ge 0$ untuk setiap $a \in A$ yang memenuhi $a \ge \mathbf{0}$ .

Proposisi 13.1.4.

Setiap fungsional linear positif pada suatu aljabar- $C^*$ bersifat Hermitian.

Proposisi 13.1.5.

Keluarga fungsional linear positif merupakan suatu kerucut konveks proper dalam ruang vektor real semua fungsional linear Hermitian pada suatu aljabar- $C^*$ . Kerucut itu menginduksi suatu urutan parsial pada ruang vektor tersebut: $\tau_1 \le \tau_2$ setiap kali $\tau_2 - \tau_1$ bersifat positif.

Definisi 13.1.6.

Suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ adalah fungsional linear positif $\tau$ pada $A$ sedemikian sehingga $\lVert\tau \rVert= 1$ . Jika $A$ beridentitas, syarat ini ekuivalen dengan $\tau(\mathbf{1}_A) = 1$ .

Contoh 13.1.7.

Misalkan $x$ suatu vektor dalam ruang Hilbert $H$ . Definisikan $\omega_x:\mathfrak{B}(H) \rightarrow\mathbb{C}\colon T \mapsto \langle Tx,x \rangle\,.$ Maka $\omega_x$ merupakan fungsional linear positif pada $\mathfrak{B}(H)$ . Jika $x$ suatu vektor satuan, maka $\omega_x$ merupakan keadaan pada $\mathfrak{B}(H)$ . Suatu keadaan $\tau$ disebut keadaan vektor jika $\tau = \omega_x$ untuk suatu vektor satuan $x$ .

Proposisi 13.1.8.

Jika $\tau$ suatu fungsional linear positif pada aljabar- $C^*$ $A$ , maka $\lvert\tau(b^*a)\rvert^2 \le \tau(a^*a)\tau(b^*b)$ untuk semua $a$ , $b \in A$ .

Proposisi 13.1.9.

Suatu fungsional linear $\tau$ pada aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ bersifat positif jika dan hanya jika fungsional itu terbatas dan $\lVert\tau \rVert= \tau(\mathbf{1}_A)$ .

Bukti.

Proof. Lihat [32], halaman 256–257. ◻

Representasi

Definisi 13.2.1.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ . Suatu representasi dari $A$ adalah pasangan $(\pi,H)$ dengan $H$ ruang Hilbert dan $\pi \colon A \rightarrow\mathfrak{B}(H)$ suatu homomorfisme- $*\,$ . Biasanya cukup dikatakan bahwa $\pi$ merupakan representasi dari $A$ . Apabila kita ingin menekankan peran ruang Hilbert tertentu itu, kita mengatakan bahwa $\pi$ merupakan representasi dari $A$ pada $H$ . Bergantung pada konteks, kita dapat menulis $\pi_a$ atau $\pi(a)$ untuk operator ruang Hilbert yang merupakan citra elemen aljabar $a$ di bawah $\pi$ . Suatu representasi $\pi$ dari $A$ pada $H$ disebut tak terdegenerasi jika $\pi(A)H$ padat di $H$ .

Konvensi 13.2.2.

Kita menambahkan persyaratan berikut pada definisi sebelumnya: jika aljabar- $C^*$ $A$ beridentitas, maka suatu representasi dari $A$ harus berupa homomorfisme- $*\,$ beridentitas.

Definisi 13.2.3.

Suatu representasi $\pi$ dari aljabar- $C^*$ $A$ pada ruang Hilbert $H$ disebut setia jika representasi itu injektif. Jika terdapat suatu vektor $x \in H$ sedemikian sehingga $\pi^{\rightarrow}(A)x = \{\pi_a(x)\colon a \in A\}$ padat di $H$ , maka kita mengatakan bahwa representasi $\pi$ bersifat siklik dan bahwa $x$ merupakan vektor siklik bagi $\pi$ .

Contoh 13.2.4.

Misalkan $(S, \mathfrak{A}, \mu)$ suatu ruang ukur $\sigma$ -hingga dan $L_\infty = L_\infty(S, \mathfrak{A}, \mu)$ aljabar- $C^*$ dari fungsi-fungsi yang terbatas secara esensial dan terukur terhadap $\mu$ pada $S$ . Seperti yang kita lihat dalam contoh 5.2.15, untuk setiap $\phi \in L_\infty$ operator perkalian $M_\phi$ yang bersesuaian merupakan operator pada ruang Hilbert $L_2 = L_2(S, \mathfrak{A}, \mu)$ . Pemetaan $M\colon L_\infty \rightarrow\mathfrak{B}(L_2)\colon \phi \mapsto M_\phi$ merupakan representasi setia dari aljabar- $C^*$ $L_\infty$ pada ruang Hilbert $L_2$ .

Contoh 13.2.5.

Misalkan $\mathcal{C}([0,1])$ aljabar- $C^*$ dari fungsi-fungsi kontinu pada interval $[0,1]$ . Untuk setiap $\phi \in \mathcal{C}([0,1])$ , operator perkalian $M_\phi$ yang bersesuaian merupakan operator pada ruang Hilbert $L_2 = L_2([0,1])$ dari fungsi-fungsi pada $[0,1]$ yang terintegralkan kuadrat terhadap ukuran Lebesgue. Pemetaan $M\colon \mathcal{C}([0,1]) \rightarrow\mathfrak{B}(L_2)\colon \phi \mapsto M_\phi$ merupakan representasi setia dari aljabar- $C^*$ $\mathcal{C}([0,1])$ pada ruang Hilbert $L_2$ .

Contoh 13.2.6.

Andaikan $\pi$ suatu representasi dari aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ pada ruang Hilbert $H$ dan $x$ suatu vektor satuan dalam $H$ . Jika $\omega _x$ merupakan keadaan vektor yang bersesuaian pada $\mathfrak{B}(H)$ , maka $\omega_x \circ \pi$ merupakan keadaan pada $A$ .

Latihan 13.2.7.

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal. Carilah suatu representasi isometrik (dan karena itu setia) $(\pi,H)$ dari aljabar- $C^*$ $C_0(X)$ pada suatu ruang Hilbert $H$ .

Definisi 13.2.8.

Misalkan $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ . Maka $L_\rho := \{a \in A\colon \rho(a^*a) = 0\}$ disebut kernel kiri dari $\rho$ .

Ingat bahwa sebagai bagian dari pembuktian ketaksamaan Schwarz 13.1.8 bagi fungsional linear positif, kita telah memverifikasi hasil berikut.

Proposisi 13.2.9.

Jika $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ , maka $\langle a,b \rangle_0 := \rho(b^*a)$ mendefinisikan suatu hasil kali dalam semu pada $A$ .

Akibat 13.2.10.

Jika $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ , maka kernel kirinya $L_\rho$ merupakan suatu subruang vektor dari $A$ dan $\langle\,[a],[b]\,\rangle := \langle a,b \rangle_0$ mendefinisikan suatu hasil kali dalam pada ruang vektor hasil bagi $A/L_\rho$ .

Proposisi 13.2.11.

Misalkan $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ dan $a \in L_\rho$ . Maka $\rho(b^*a) = 0$ untuk setiap $b \in A$ .

Proposisi 13.2.12.

Jika $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ , maka kernel kirinya $L_\rho$ merupakan suatu ideal kiri tertutup dalam $A$ .

Konstruksi GNS dan Teorema Gelfand-Naimark Ketiga

Teorema berikut dikenal sebagai konstruksi Gelfand-Naimark-Segal (konstruksi GNS).

Teorema 13.3.1.

Misalkan $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ . Maka terdapat suatu representasi siklik $\pi_\rho$ dari $A$ pada ruang Hilbert $H_\rho$ dan suatu vektor satuan siklik $x_\rho$ untuk $\pi_\rho$ sedemikian sehingga $\rho = \omega_{x_\rho} \circ \pi_\rho$ .

Notasi 13.3.2.

Dalam pembahasan berikut, $\pi_\rho$ , $H_\rho$ , dan $x_\rho$ adalah representasi siklik, ruang Hilbert, dan vektor satuan siklik yang keberadaannya dijamin oleh konstruksi GNS ketika diterapkan pada suatu keadaan $\rho$ yang diberikan pada suatu aljabar- $C^*$ $A$ .

Proposisi 13.3.3.

Misalkan $\rho$ suatu keadaan pada aljabar- $C^*$ $A$ dan $\pi$ suatu representasi siklik dari $A$ pada ruang Hilbert $H$ sedemikian sehingga $\rho = \omega_x \circ \pi$ untuk suatu vektor satuan siklik $x$ bagi $\pi$ . Maka terdapat suatu pemetaan uniter $U$ dari $H_\rho$ ke $H$ sedemikian sehingga $x = Ux_\rho$ dan $\pi(a) = U \pi_\rho(a) U^*$ untuk semua $a \in A$ .

Definisi 13.3.4.

Misalkan $\{H_\lambda\colon \lambda \in \Lambda\}$ suatu keluarga ruang Hilbert. Nyatakan dengan $\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} H_\lambda$ himpunan semua fungsi $x\colon \Lambda \rightarrow\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} H_\lambda\colon \lambda \mapsto x_\lambda$ sedemikian sehingga $x_\lambda \in H_\lambda$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ dan $\displaystyle\sum\limits_{\lambda \in \Lambda} \lVert x_\lambda\rVert^2 < \infty$ . Pada $\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} H_\lambda$ , definisikan penjumlahan dan perkalian skalar secara titik demi titik; yaitu, $(x + y)_\lambda = x_\lambda + y_\lambda$ dan $(\alpha x)_\lambda = \alpha x_\lambda$ untuk semua $\lambda \in \Lambda$ , dan definisikan hasil kali dalam dengan $\langle x,y \rangle = \sum_{\lambda \in \Lambda} \langle x_\lambda,y_\lambda\rangle$ . Operasi-operasi ini terdefinisi dengan baik dan menjadikan $\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} H_\lambda$ suatu ruang Hilbert. Ruang ini adalah jumlah langsung dari ruang-ruang Hilbert $H_\lambda$ . Berbagai notasi untuk elemen-elemen jumlah langsung ini digunakan dalam literatur: $x$ , $(x_\lambda)$ , $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ , dan $\oplus_\lambda x_\lambda$ lazim digunakan.

Sekarang andaikan bahwa $\{T_\lambda\colon \lambda \in \Lambda\}$ suatu keluarga operator ruang Hilbert dengan $T_\lambda \in \mathfrak{B}(H_\lambda)$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ . Andaikan pula bahwa $\sup\{\lVert T_\lambda\rVert\colon \lambda \in \Lambda\} < \infty$ . Maka $T(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} = (T_\lambda x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ mendefinisikan suatu operator pada ruang Hilbert $\bigoplus_\lambda H_\lambda$ . Operator $T$ biasanya dinotasikan dengan $\bigoplus_\lambda T_\lambda$ dan disebut jumlah langsung dari operator-operator $T_\lambda$ .

Proposisi 13.3.5.

Pernyataan-pernyataan dalam definisi sebelumnya bahwa merupakan ruang Hilbert dan $\bigoplus_\lambda T_\lambda$ merupakan operator pada $\bigoplus\limits_{\lambda \in \Lambda} H_\lambda$ adalah benar.

Contoh 13.3.6.

Misalkan $A$ suatu aljabar- $C^*$ dan $\{\pi_\lambda\colon \lambda \in \Lambda\}$ suatu keluarga representasi dari $A$ pada ruang-ruang Hilbert $H_\lambda$ sedemikian sehingga $\pi_\lambda(a) \in \mathfrak{B}(H_\lambda)$ untuk setiap $\lambda \in \Lambda$ dan setiap $a \in A$ . Maka $\pi = \textstyle{ \bigoplus_\lambda \pi_\lambda\colon A \rightarrow \mathfrak{B}\bigl(\bigoplus_\lambda H_\lambda\bigr) \colon a \mapsto \bigoplus_\lambda \pi_\lambda(a)}$ merupakan representasi dari $A$ pada ruang Hilbert $\bigoplus_\lambda H_\lambda$ . Representasi ini adalah jumlah langsung dari representasi-representasi $\pi_\lambda$ .

Teorema 13.3.7.

Setiap aljabar- $C^*$ memiliki suatu representasi setia.

Bukti.

Proof. Lihat [3], Korolari II.6.4.10; [8], halaman 253; [11], Teorema 19.1; [18], Teorema 5.4.1; [32], halaman 281; atau [39], Teorema 3.4.1. ◻

Suatu perumusan ulang yang jelas dari teorema sebelumnya adalah versi ketiga dari teorema Gelfand-Naimark, yang menyatakan bahwa setiap aljabar- $C^*$ (pada hakikatnya) merupakan suatu aljabar operator ruang Hilbert.

Akibat 13.3.8.

Setiap aljabar- $C^*$ isomorfik- $*\,$ secara isometrik dengan suatu subaljabar- $C^*$ dari $\mathfrak{B}(H)$ untuk suatu ruang Hilbert $H$ .