Bab 7 · Operator Kompak

Definisi dan Sifat-Sifat Dasar

Kita akan melanjutkan pembahasan dari akhir Bab 5 dengan mempelajari kelas-kelas operator. Konteks kita akan sedikit lebih umum; dalam hal operator kompak, kita akan meninjau operator pada ruang Banach. Pertama, mari kita ingat kembali beberapa definisi dan fakta dasar dari kalkulus lanjut (atau mata kuliah pengantar analisis).

Definisi 7.1.1.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang metrik $M$ disebut terbatas total jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat suatu subhimpunan hingga $F$ dari $A$ sedemikian sehingga untuk setiap $a \in A$ terdapat titik $x \in F$ yang memenuhi $d(x,a) < \epsilon$ . Untuk ruang linear bernorma, definisi ini dapat dirumuskan kembali: Suatu subhimpunan $A$ dari ruang linear bernorma $V$ disebut terbatas total jika untuk setiap bola terbuka $B$ di sekitar nol dalam $V$ terdapat suatu subhimpunan hingga $F$ dari $A$ sedemikian sehingga $A \subseteq F + B$ . Hal ini memiliki parafrasa yang kurang lebih baku: Suatu ruang bersifat terbatas total jika dapat diawasi oleh sejumlah hingga polisi dengan jarak pandang sependek apa pun. (Sebagian penulis menyebut sifat ini prakompak.)

Proposisi 7.1.2.

Suatu ruang metrik bersifat kompak jika dan hanya jika ruang itu lengkap dan terbatas total.

Proposisi 7.1.3.

Suatu ruang metrik bersifat kompak jika dan hanya jika ruang itu lengkap dan terbatas total.

Definisi 7.1.4.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang topologis $X$ disebut kompak relatif jika tutupannya kompak.

Proposisi 7.1.5.

Dalam ruang metrik, setiap himpunan kompak relatif adalah terbatas total.

Dalam ruang metrik lengkap, kebalikannya berlaku.

Proposisi 7.1.6.

Dalam ruang metrik lengkap, setiap himpunan terbatas total adalah kompak relatif.

Proposisi 7.1.7.

Dalam ruang metrik, setiap himpunan terbatas total adalah separabel.

Teorema 7.1.8.

Misalkan $X$ ruang Hausdorff kompak. Suatu subhimpunan $\mathcal{F}$ dari $\mathcal{C}(X)$ terbatas total apabila subhimpunan itu terbatas (secara seragam) dan ekuikontinu.

Berikutnya kita akan membandingkan topologi lemah dan kuat pada ruang linear bernorma. Istilah topologi lemah akan merujuk pada topologi lemah biasa yang ditentukan oleh fungsional linear terbatas pada ruang tersebut sebagaimana didefinisikan dalam 6.2.7, sedangkan topologi kuat akan merujuk pada topologi norma pada ruang tersebut. Namun, perlu diingat bahwa kata “kuat” dalam konteks ruang linear bernorma, jika ditilik secara ketat, sesungguhnya mubazir. Kata itu digunakan semata-mata sebagai penegasan. Misalnya, banyak penulis akan menyatakan proposisi berikut sebagai: Setiap barisan yang konvergen secara lemah dalam ruang linear bernorma adalah terbatas.

Proposisi 7.1.9.

Setiap barisan yang konvergen secara lemah dalam ruang linear bernorma adalah terbatas secara kuat.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan prinsip keterbatasan seragam 6.7.5. ◻

Definisi 7.1.10.

Kita mengatakan bahwa suatu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ bersifat kontinu secara lemah jika pemetaan itu membawa jaring yang konvergen secara lemah ke jaring yang konvergen secara lemah.

Proposisi 7.1.11.

Setiap pemetaan linear yang kontinu (secara kuat) antara ruang-ruang linear bernorma bersifat kontinu secara lemah.

Definisi 7.1.12.

Suatu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang linear bernorma disebut kompak jika pemetaan itu membawa himpunan terbatas ke himpunan kompak relatif. Secara ekuivalen, $T$ bersifat kompak jika pemetaan itu memetakan bola satuan tertutup dalam $V$ ke suatu himpunan kompak relatif dalam $W$ . Keluarga semua pemetaan linear kompak dari $V$ ke $W$ dinotasikan dengan $\mathfrak{K}(V,W)$ ; dan kita tulis $\mathfrak{K}(V)$ untuk $\mathfrak{K}(V,V)$ .

Proposisi 7.1.13.

Setiap pemetaan linear kompak bersifat terbatas.

Proposisi 7.1.14.

Suatu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang linear bernorma bersifat kompak jika dan hanya jika pemetaan itu membawa setiap barisan terbatas dalam $V$ ke suatu barisan dalam $W$ yang memiliki subbarisan konvergen.

Contoh 7.1.15.

Setiap operator berperingkat hingga pada ruang Banach bersifat kompak.

Contoh 7.1.16.

Setiap fungsional linear terbatas pada ruang Banach $B$ merupakan pemetaan linear kompak dari $B$ ke $\mathbb{K}$ .

Contoh 7.1.17.

Misalkan $C$ ruang Banach $\mathcal{C}([0,1])$ dan $k \in \mathcal{C}([0,1] \times [0,1])$ . Untuk setiap $f \in C$ definisikan fungsi $Kf$ pada $[0,1]$ dengan $Kf(x) = \int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy\,.$ Maka operator integral $K$ merupakan operator kompak pada $C$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Gunakan teorema Arzelà-Ascoli 7.1.8. ◻

Contoh 7.1.18.

Misalkan $H$ ruang Hilbert $\mathrm{L_{2}}{[0,1]}$ yang terdiri atas (kelas-kelas ekuivalensi) fungsi yang terintegralkan kuadrat pada $[0,1]$ terhadap ukuran Lebesgue dan $k$ suatu fungsi yang terintegralkan kuadrat pada $[0,1] \times [0,1]$ . Untuk setiap $f \in H$ definisikan fungsi $Kf$ pada $[0,1]$ dengan $Kf(x) = \int_0^1 k(x,y)f(y)\,dy\,.$ Maka operator integral $K$ merupakan operator kompak pada $H$ .

Proposisi 7.1.19.

Suatu operator pada ruang Hilbert bersifat kompak jika dan hanya jika operator itu memetakan bola satuan tertutup dalam ruang tersebut ke suatu himpunan kompak.

Akibat 7.1.20.

Operator identitas pada ruang Hilbert berdimensi tak hingga tidak kompak. (Lihat contoh 6.2.6.)

Contoh 7.1.21.

Jika $B$ ruang Banach, keluarga $\mathfrak{B}(B)$ dari operator pada $B$ merupakan aljabar Banach beridentitas dan keluarga $\mathfrak{K}(B)$ dari operator kompak pada $B$ merupakan ideal tertutup dalam $\mathfrak{B}(B)$ . Jika $B$ berdimensi tak hingga, ideal $\mathfrak{K}(B)$ adalah sejati.

Proposisi 7.1.22.

Misalkan $T\colon B \rightarrow C$ suatu pemetaan linear terbatas antara ruang-ruang Banach. Maka $T$ bersifat kompak jika dan hanya jika $T^*$ bersifat kompak.

Definisi 7.1.23.

Suatu aljabar- $C^\ast$ adalah aljabar Banach $A$ dengan involusi yang memenuhi $\lVert a^*a\rVert = \lVert a\rVert^2$ untuk setiap $a \in A$ . Sifat norma ini biasanya disebut syarat- $C^*$ . Norma aljabar yang memenuhi syarat ini adalah norma- $C^*$ . Suatu subaljabar- $C^*$ dari aljabar- $C^*$ $A$ adalah subaljabar- $*\,$ tertutup dari $A$ .

Kita menyatakan kategori aljabar- $C^*$ dan homomorfisme- $*\,$ dengan $\mathbf{CSA}$ . Sepintas mungkin tampak aneh bahwa dalam kategori ini, yang objek-objeknya memiliki sifat aljabar sekaligus topologis, morfismenya hanya disyaratkan mempertahankan struktur aljabar. Namun, ternyata setiap morfisme dalam $\mathbf{CSA}$ secara otomatis kontinu—bahkan, kontraktif (lihat proposisi 12.3.16)—dan setiap morfisme injektif merupakan isometri (lihat proposisi 12.3.17). Jelas bahwa (seperti pada definisi 5.3.1) setiap morfisme bijektif dalam kategori ini merupakan isomorfisme. Dengan demikian, setiap homomorfisme- $*\,$ bijektif merupakan isomorfisme- $*\,$ isometrik.

Contoh 7.1.24.

Ruang vektor $\mathbb{C}$ dari bilangan kompleks, dengan perkalian bilangan kompleks biasa dan konjugasi kompleks $z \mapsto \overline{z}$ sebagai involusi, merupakan aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas.

Contoh 7.1.25.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak, aljabar $\mathcal{C}(X)$ dari fungsi kontinu bernilai kompleks pada $X$ merupakan aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas apabila involusinya diambil sebagai konjugasi kompleks.

Contoh 7.1.26.

Jika $X$ suatu ruang Hausdorff kompak lokal, aljabar Banach $\mathcal{C}_0(X) = \mathcal{C}_0(X,\mathbb{C})$ dari fungsi kontinu bernilai kompleks pada $X$ yang lenyap di tak hingga merupakan aljabar- $C^*$ komutatif (tidak mesti beridentitas) apabila involusinya diambil sebagai konjugasi kompleks.

Contoh 7.1.27.

Jika $(X,\mu)$ suatu ruang ukur, aljabar $\mathrm{L_{\infty}}(X,\mu)$ dari fungsi terukur bernilai kompleks yang terbatas secara esensial pada $X$ (sekali lagi dengan konjugasi kompleks sebagai involusi) merupakan aljabar- $C^*$ . (Secara teknis, tentu saja, anggota $\mathrm{L_{\infty}}(X,\mu)$ adalah kelas-kelas ekuivalensi fungsi yang berbeda pada himpunan-himpunan berukuran nol.)

Contoh 7.1.28.

Aljabar $\mathfrak{B}(H)$ dari operator linear terbatas pada ruang Hilbert $H$ merupakan aljabar- $C^*$ beridentitas. Keluarga $\mathfrak{K}(H)$ dari operator kompak merupakan ideal- $*\,$ tertutup dalam aljabar tersebut.

Contoh 7.1.29.

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, perhatikan bahwa himpunan $\mathbf M_n$ dari matriks bilangan kompleks berukuran $n \times n$ merupakan aljabar- $C^*$ beridentitas.

Proposisi 7.1.30.

Dalam ruang Hilbert $H$ , ideal $\mathfrak{K}(H)$ dari operator kompak merupakan tutupan ideal $\mathfrak{FR}(H)$ dari operator berperingkat hingga.

Selama kira-kira satu dasawarsa sebelum Perang Dunia Kedua, sejumlah matematikawan Polandia terkemuka berkumpul secara teratur di kedai kopi di Lwow untuk membahas hasil dan mengajukan masalah. Mula-mula mereka bertemu di Café Roma, kemudian di Scottish Café. Pada 1935 Stefan Banach menyediakan buku catatan berjilid tempat mereka dapat menuliskan masalah-masalah tersebut. Dari sinilah Scottish Book [37] yang kini terkenal bermula. Pada 6 November 1936, Stanislaw Mazur menuliskan Masalah 153, yang dikenal sebagai masalah aproksimasi; pada intinya masalah itu menanyakan apakah proposisi sebelumnya berlaku untuk ruang Banach. Dapatkah setiap operator kompak pada ruang Banach diaproksimasi dalam norma oleh operator berperingkat hingga? Sebagai hadiah bagi pemecah masalah ini, Mazur menawarkan seekor angsa hidup (tergolong salah satu hadiah paling murah hati yang dijanjikan dalam Scottish Book). Masalah tersebut tetap terbuka selama beberapa dasawarsa, hingga pada 1972 Per Enflo memberikan jawaban negatif, setelah berhasil menemukan ruang Banach refleksif separabel yang di dalamnya aproksimasi semacam itu gagal. Dalam sebuah upacara yang diadakan tahun itu di Warsawa, Enflo menerima angsa hidupnya dari Mazur sendiri. Hasil tersebut diterbitkan dalam Acta Mathematica [14] pada 1973.

Contoh 7.1.31.

Operator diagonal $\mathop{\mathrm{diag}}(1,\frac12,\frac13,\dots)$ merupakan operator kompak pada ruang Hilbert $l_2$ .

Isometri Parsial

Definisi 7.2.1.

Suatu elemen $v$ dari aljabar- $C^*$ $A$ disebut isometri parsial jika $v^*v$ merupakan proyeksi dalam $A$ . (Karena $v^*v$ selalu swaadjoin, cukup disyaratkan bahwa $v^*v$ idempoten.) Elemen $v^*v$ adalah proyeksi awal (atau tumpuan) dari $v$ , sedangkan $vv^*$ adalah proyeksi akhir (atau jangkauan) dari $v$ . (Sebagai konsekuensi langsung dari proposisi berikutnya, jika $v$ suatu isometri parsial, maka $vv^*$ memang merupakan proyeksi.)

Proposisi 7.2.2.

Jika $v$ suatu isometri parsial dalam aljabar- $C^*$ , maka

$vv^*v = v$ ; dan
$v^*$ merupakan isometri parsial.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $z = v - vv^*v$ dan tinjau $z^*z$ . ◻

Proposisi 7.2.3.

Misalkan $v$ suatu isometri parsial dalam aljabar- $C^*$ $A$ . Maka proyeksi awalnya $p$ adalah proyeksi terkecil (terhadap urutan parsial $\preceq$ pada $\mathcal{P}(A)$ ) sedemikian sehingga $vp = v$ , dan proyeksi akhirnya $q$ adalah proyeksi terkecil sedemikian sehingga $qv = v$ .

Proposisi 7.2.4.

Jika $V$ suatu isometri parsial pada ruang Hilbert $H$ (yakni, jika $V$ suatu isometri parsial dalam aljabar- $C^*$ $\mathfrak{B}(H)$ ), maka proyeksi awal $V^*V$ adalah proyeksi dari $H$ pada $(\ker V)^\perp$ , dan proyeksi akhir $VV^*$ adalah proyeksi dari $H$ pada $\mathop{\mathrm{ran}}V$ .

Berdasarkan hasil sebelumnya, $(\ker V)^\perp$ disebut ruang awal (atau tumpuan) dari $V$ , sedangkan $\mathop{\mathrm{ran}}V$ kadang-kadang disebut ruang akhir dari $V$ .

Proposisi 7.2.5.

Suatu operator pada ruang Hilbert merupakan isometri parsial jika dan hanya jika operator tersebut merupakan isometri pada komplemen ortogonal dari kernelnya.

Teorema 7.2.6.

Jika $T$ suatu operator pada ruang Hilbert $H$ , maka terdapat isometri parsial $V$ pada $H$ sedemikian sehingga

ruang awal $V$ adalah $(\ker T)^\perp$ ,
ruang akhir $V$ adalah $\overline{\mathop{\mathrm{ran}}T}$ , dan
$T = V\lvert T\rvert$ .

Dekomposisi $T$ ini unik dalam arti bahwa jika $T = V_0P$ dengan $V_0$ suatu isometri parsial dan $P$ suatu operator positif sedemikian sehingga $\ker V_0 = \ker P$ , maka $P = \lvert T\rvert$ dan $V_0 = V$ .

Bukti.

Proof. Lihat [8], VIII.3.11;[10], teorema I.8.1; [32], teorema 6.1.2;[39], teorema 2.3.4; atau [41], teorema 3.2.17. ◻

Akibat 7.2.7.

Jika $T$ adalah suatu operator invertibel pada suatu ruang Hilbert, maka isometri parsial dalam dekomposisi polar (lihat 7.2.6) bersifat uniter.

Proposisi 7.2.8.

Jika $T$ adalah suatu operator normal pada suatu ruang Hilbert $H$ , maka terdapat operator uniter $U$ pada $H$ yang berkomutasi dengan $T$ dan memenuhi $T = U\lvert T\rvert$ .

Bukti.

Proof. Lihat [41], proposisi 3.2.20. ◻

Latihan 7.2.9.

Misalkan $(S, \mathcal{A},\mu)$ suatu ruang ukur $\sigma$ -hingga dan $\phi \in L_\infty(\mu)$ . Tentukan dekomposisi polar dari operator perkalian $M_\phi$ (lihat contoh 5.2.15).

Operator Kelas Jejak

Mari kita mulai dengan meninjau beberapa sifat standar jejak suatu matriks $n \times n$ .

Definisi 7.3.1.

Misalkan $a = [a_{ij}] \in \mathbf M_n$ . Definisikan $\mathop{\mathrm{tr}}a$ , yaitu jejak dari $a$ , dengan $\mathop{\mathrm{tr}}a = \sum_{i = 1}^n a_{ii}.$

Proposisi 7.3.2.

Fungsi $\mathop{\mathrm{tr}}\colon \mathbf M_n \rightarrow\mathbb{C}$ bersifat linear.

Proposisi 7.3.3.

Jika $a$ , $b \in \mathbf M_n$ , maka $\mathop{\mathrm{tr}}(ab) = \mathop{\mathrm{tr}}(ba)$ .

Jejak bersifat invarian terhadap keserupaan. Dua matriks $n \times n$ , yaitu $a$ dan $b$ , disebut serupa jika terdapat matriks invertibel $s$ sedemikian sehingga $b = sas^{-1}$ .

Proposisi 7.3.4.

Matriks-matriks dalam $\mathbf M_n$ yang serupa mempunyai jejak yang sama.

Definisi 7.3.5.

Misalkan $H$ suatu ruang Hilbert separabel, $(e_n)$ suatu basis ortonormal bagi $H$ , dan $T$ suatu operator positif pada $H$ . Definisikan jejak dari $T$ dengan $\mathop{\mathrm{tr}}T:=\sum_{k=1}^\infty \langle Te_k,e_k \rangle.$ (Jejak tidak harus berhingga.)

Proposisi 7.3.6.

Jika $S$ dan $T$ merupakan operator positif pada suatu ruang Hilbert separabel dan $\alpha \ge 0$ , maka $\mathop{\mathrm{tr}}(S + T) = \mathop{\mathrm{tr}}S + \mathop{\mathrm{tr}}T$ dan $\mathop{\mathrm{tr}}(\alpha T) = \alpha \mathop{\mathrm{tr}}T.$

Proposisi 7.3.7.

Jika $T$ suatu operator pada ruang Hilbert separabel, maka $\mathop{\mathrm{tr}}(T^*T) = \mathop{\mathrm{tr}}(TT^*)$ .

Untuk menunjukkan bahwa definisi jejak operator positif yang diberikan di atas tidak bergantung pada basis ortonormal yang dipilih bagi ruang Hilbert tersebut, kita memerlukan suatu hasil (yang diberikan berikut ini) yang bergantung pada fakta yang muncul kemudian dalam catatan ini: setiap operator positif pada ruang Hilbert memiliki akar kuadrat (positif) (lihat contoh 11.5.7).

Proposisi 7.3.8.

Pada keluarga operator positif di suatu ruang Hilbert separabel $H$ , jejak bersifat invarian terhadap ekuivalensi uniter; yakni, jika $T$ operator positif dan $U$ uniter, maka $\mathop{\mathrm{tr}}T = \mathop{\mathrm{tr}}(UTU^*)$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Dalam proposisi sebelumnya, ambil $S = UT^{\frac12}$ . ◻

Proposisi 7.3.9.

Definisi jejak 7.3.5 dari suatu operator positif pada ruang Hilbert separabel tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal bagi ruang tersebut.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $(e^k)$ dan $(f^k)$ basis-basis ortonormal bagi ruang tersebut dan $T$ suatu operator positif pada ruang itu. Ambil $U$ sebagai operator uniter unik yang memenuhi $e^k = Uf^k$ untuk setiap $k \in \mathbb{N}$ . ◻

Definisi 7.3.10.

Misalkan $V$ suatu ruang vektor. Suatu subhimpunan $C$ dari $V$ disebut kerucut jika $\alpha C \subseteq C$ untuk setiap $\alpha \ge 0$ . Suatu kerucut $C$ dalam $V$ disebut proper jika $C \cap (-C) = \{\mathbf{0}\}$ .

Proposisi 7.3.11.

Suatu kerucut $C$ dalam ruang vektor bersifat konveks jika dan hanya jika $C + C \subseteq C$ .

Contoh 7.3.12.

Pada suatu ruang Hilbert separabel $H$ , keluarga semua operator positif dengan jejak hingga membentuk kerucut konveks proper dalam ruang vektor $\mathfrak{B}(H)$ .

Definisi 7.3.13.

Dalam ruang Hilbert separabel $H$ , subruang linear dari $\mathfrak{B}(H)$ yang direntang oleh operator-operator positif dengan jejak hingga adalah keluarga $\mathfrak{T}(H)$ dari operator kelas jejak pada $H$ .

Proposisi 7.3.14.

Misalkan $H$ ruang Hilbert separabel dengan basis ortonormal $(e_n)$ . Jika $T$ operator kelas jejak pada $H$ , maka $\mathop{\mathrm{tr}}T = \sum_{k=1}^\infty \langle Te_k,e_k \rangle$ dan deret di ruas kanan konvergen mutlak.

Operator Hilbert–Schmidt

Definisi 7.4.1.

Suatu operator $A$ pada ruang Hilbert separabel $H$ adalah operator Hilbert–Schmidt jika $A^*A$ termasuk kelas jejak; yakni, jika $\sum_{k=1}^\infty \lVert Ae_k\rVert^2 < \infty$ , dengan $(e_k)$ suatu basis ortonormal untuk $H$ . Keluarga semua operator Hilbert–Schmidt pada $H$ dinyatakan dengan $\mathfrak{HS}(H)$ .

Proposisi 7.4.2.

Jika $H$ ruang Hilbert separabel, maka keluarga operator Hilbert–Schmidt pada $H$ merupakan ideal dua sisi dalam $\mathfrak{B}(H)$ .

Contoh 7.4.3.

Keluarga operator Hilbert–Schmidt pada suatu ruang Hilbert $H$ dapat dijadikan ruang hasil kali dalam.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Polarisasi. Jika $A$ , $B \in \mathfrak{HS}(H)$ , tinjau $\sum_{k=0}^3 i^k \bigl(A + i^kB\bigr)^*(A + i^kB)$ . ◻

Contoh 7.4.4.

Hasil kali dalam yang didefinisikan dalam contoh sebelumnya menjadikan $\mathfrak{HS}(H)$ suatu ruang Hilbert.

Proposisi 7.4.5.

Pada ruang Hilbert separabel, setiap operator Hilbert–Schmidt bersifat kompak.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Jika $(e_k)$ suatu basis ortonormal untuk ruang Hilbert tersebut, tinjau operator $F_n := AP_n$ , dengan $P_n$ proyeksi pada rentang linear $\{e_1, \dots, e_n\}$ . ◻

Contoh 7.4.6.

Operator integral yang didefinisikan dalam contoh 7.1.18 merupakan operator Hilbert–Schmidt.

Contoh 7.4.7.

Operator Volterra yang didefinisikan dalam contoh 5.2.21 merupakan operator Hilbert–Schmidt.