Bab 2 · Selingan Sangat Singkat tentang Bahasa Kategori

Dalam matematika kita mempelajari berbagai hal (objek) dan pemetaan tertentu di antara hal-hal tersebut (morfisme). Beberapa contohnya ialah himpunan dan fungsi, grup dan homomorfisme, ruang topologis dan pemetaan kontinu, ruang vektor dan transformasi linear, serta ruang Hilbert dan pemetaan linear terbatas. Contoh-contoh ini masing-masing berasal dari cabang matematika yang berbeda—teori himpunan, teori grup, topologi, aljabar linear, dan analisis fungsional. Namun, bidang-bidang yang berbeda ini memiliki banyak kesamaan: istilah seperti hasil kali, koproduk, subobjek, hasil bagi, tarik balik, isomorfisme, dan limit proyektif muncul dalam banyak bidang. Teori kategori merupakan upaya untuk menyatukan dan memformalkan sebagian konsep umum tersebut. Dalam arti tertentu, teori kategori mempelajari hal-hal yang sama-sama dimiliki oleh berbagai cabang matematika. Barangkali uraian yang lebih baik ialah: bahasa kategori memberi tahu kita “bagaimana sesuatu bekerja”, bukan “apa sesuatu itu”.

Catatan ini—dan memang setiap buku pada tingkat ini—menggunakan bahasa himpunan di mana-mana tanpa mensyaratkan kajian terperinci tentang teori himpunan aksiomatik. Demikian pula, kita akan dengan leluasa menggunakan bahasa kategori tanpa terlebih dahulu memulai kajian teori kategori yang memuaskan dari segi fondasi (teori kategori sendiri merupakan bidang penelitian yang luas dan penting). Kadang-kadang buku teks membuat bahkan bahasa kategori sulit dipelajari karena sangat mengandalkan latar belakang aljabar pembaca. Sebagaimana kebanyakan orang merasa nyaman menggunakan bahasa himpunan (terlepas dari apakah mereka pernah mengkaji teori himpunan secara serius), hampir setiap orang seharusnya mendapati bahwa bahasa kategori nyaman digunakan dan memberi pencerahan tanpa prasyarat yang rumit.

Bagi pembaca yang ingin mendalami pokok ini, saya merekomendasikan pengantar yang sangat ramah ke dunia kategori, yang terdapat sebagai Bab 3 dalam buku indah karya Semadeni [48]. Salah satu buku klasik yang ditulis oleh seorang pendiri bidang ini ialah [34]. Buku yang lebih baru ialah [35].

Dengan menunjukkan prinsip-prinsip pemersatu, bahasa kategori kerap memberikan wawasan mencolok tentang “cara sesuatu bekerja” dalam matematika. Yang sama pentingnya, kita menjadi lebih efisien karena tidak perlu mengulangi argumen yang pada hakikatnya sama dalam konteks yang hanya sedikit berbeda.

Untuk sementara, kita hanya akan mendefinisikan “objek”, “morfisme”, dan “funktor”, lalu memberikan beberapa contoh.

Objek dan Morfisme

Definisi 2.1.1.

Misalkan $\mathfrak{A}$ suatu kelas yang anggota-anggotanya kita sebut objek. Untuk setiap pasangan objek $(S,T)$ , kita kaitkan suatu kelas $\operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ yang anggota-anggotanya kita sebut morfisme (atau panah) dari $S$ ke $T$ . Kita mengasumsikan bahwa $\operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ dan $\operatorname{\mathfrak{Mor}}(U,V)$ saling lepas, kecuali jika $S = U$ dan $T = V$ .

Kita mengandaikan pula adanya operasi $\circ$ (disebut komposisi) yang mengaitkan setiap $\alpha \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ dan setiap $\beta \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(T,U)$ dengan suatu morfisme $\beta \circ \alpha \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,U)$ sedemikian rupa sehingga:

$\gamma \circ (\beta \circ \alpha) = (\gamma \circ \beta) \circ \alpha$ apabila $\alpha \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ , $\beta \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(T,U)$ , dan $\gamma \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(U,V)$ ;
untuk setiap objek $S$ terdapat morfisme $I_S \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,S)$ yang memenuhi $\alpha \circ I_S = \alpha$ apabila $\alpha \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ , dan $I_S \circ \beta = \beta$ apabila $\beta \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(R,S)$ .

Dalam keadaan ini, kelas $\mathfrak{A}$ bersama keluarga morfisme yang terkait merupakan suatu kategori.

Kita akan mencadangkan notasi $S \to^\alpha T$ untuk keadaan ketika $S$ dan $T$ merupakan objek dalam suatu kategori dan $\alpha$ adalah morfisme anggota $\operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ . Seperti halnya pada grup dan ruang vektor, kita biasanya menghilangkan simbol komposisi $\circ$ dan menulis $\beta\alpha$ untuk $\beta \circ \alpha$ .

Suatu kategori disebut kecil secara lokal jika $\operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ merupakan himpunan untuk setiap pasangan objek $S$ dan $T$ dalam kategori tersebut. Kategori itu disebut kecil jika, selain itu, kelas semua objeknya merupakan suatu himpunan. Dalam catatan ini, kategori-kategori yang kita minati akan bersifat kecil secara lokal.

Contoh 2.1.2.

Kategori $\mathbf{SET}$ memiliki himpunan sebagai objek dan fungsi (pemetaan) sebagai morfisme.

Contoh 2.1.3.

Kategori $\mathbf{AbGp}$ memiliki grup Abelian sebagai objek dan homomorfisme grup sebagai morfisme.

Contoh 2.1.4.

Kategori $\mathbf{VEC}$ memiliki ruang vektor sebagai objek dan transformasi linear sebagai morfisme.

Definisi 2.1.5.

Misalkan $\le$ suatu relasi pada himpunan tak kosong $S$ .

Jika relasi $\le$ bersifat refleksif (yakni, $x \le x$ untuk setiap $x \in S$ ) dan transitif (yakni, jika $x \le y$ dan $y \le z$ , maka $x \le z$ ), relasi itu disebut suatu praurutan.
Jika $\le$ merupakan praurutan dan juga bersifat antisimetris (yakni, jika $x \le y$ dan $y \le x$ , maka $x = y$ ), relasi itu disebut suatu urutan parsial.
Elemen $x$ dan $y$ dalam suatu himpunan yang telah diberi praurutan disebut dapat dibandingkan jika $x \le y$ atau $y \le x$ .
Jika $\le$ merupakan urutan parsial yang membuat setiap dua elemen dapat dibandingkan, relasi itu disebut suatu urutan linear (atau suatu urutan total).
Jika relasi $\le$ merupakan praurutan (berturut-turut, urutan parsial, urutan linear) pada $S$ , pasangan $(S,\le)$ disebut suatu himpunan terpraurut (berturut-turut, himpunan terurut parsial, himpunan terurut linear).
Subhimpunan terurut linear dari himpunan terurut parsial $(S,\le)$ disebut suatu rantai di $S$ .

Kita boleh menulis $b \ge a$ sebagai pengganti $a \le b$ . Notasi $a < b$ (atau, secara ekuivalen, $b > a$ ) berarti $a \le b$ dan $a \ne b$ .

Definisi 2.1.6.

Pemetaan $f\colon S \rightarrow T$ antara himpunan-himpunan terpraurut disebut pelestari urutan jika $x \le y$ di $S$ mengakibatkan $f(x) \le f(y)$ di $T$ .

Contoh 2.1.7.

Kategori $\mathbf{POSET}$ memiliki himpunan terurut parsial sebagai objek dan pemetaan pelestari urutan sebagai morfisme.

Notasi 2.1.8.

Misalkan $f \colon S \rightarrow T$ suatu fungsi antara himpunan. Untuk $A \subseteq S$ , kita mendefinisikan $f^{\rightarrow}(A) = \{f(x)\colon x \in A\}$ , dan untuk $B \subseteq T$ , kita mendefinisikan $f^{\gets}(B) = \{ x \in S\colon f(x) \in B\}$ . Kita mengatakan bahwa $f^{\rightarrow}(A)$ adalah citra $A$ di bawah $f$ dan bahwa $f^{\gets}(B)$ adalah pracitra (atau citra invers) $B$ di bawah $f$ . Kadang-kadang, untuk menghindari notasi yang berjejal, saya akan menyerah pada kebiasaan meragukan dengan menulis $f(A)$ sebagai pengganti $f^{\rightarrow}(A)$ .

Definisi 2.1.9.

Ingat bahwa keluarga $\mathfrak{T}$ yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan suatu himpunan $X$ disebut suatu topologi pada $X$ jika keluarga itu memuat himpunan kosong $\emptyset$ dan $X$ sendiri serta tertutup terhadap pembentukan gabungan ( $\bigcup\mathfrak{S} \in \mathfrak{T}$ apabila $\mathfrak{S} \subseteq \mathfrak{T}$ ) dan irisan hingga ( $\bigcap\mathfrak{F} \in \mathfrak{T}$ apabila $\mathfrak{F} \subseteq \mathfrak{T}$ dan $\mathfrak{F}$ berhingga). Himpunan tak kosong $X$ bersama suatu topologi pada $X$ disebut suatu ruang topologis. Jika $(X,\mathfrak{T})$ suatu ruang topologis, setiap anggota $\mathfrak{T}$ disebut suatu himpunan terbuka. Untuk menyatakan bahwa himpunan $U$ merupakan subhimpunan terbuka dari $X$ , kita sering menulis $U\overset{\,_\circ}{\subseteq}X$ . Komplemen dari suatu himpunan terbuka disebut suatu himpunan tertutup. Fungsi $f\colon X \rightarrow Y$ antara ruang-ruang topologis disebut kontinu jika pracitra setiap himpunan terbuka bersifat terbuka; yakni, jika $f^{\gets}(V)\overset{\,_\circ}{\subseteq}X$ apabila $V\overset{\,_\circ}{\subseteq}Y$ . (Jika Anda belum pernah menjumpai ruang topologis, lihat dua butir pertama dalam bagian pertama Bab 10 dan bagian pertama Bab 11 pada catatan daring saya [16].)

Contoh 2.1.10.

Setiap himpunan tak kosong $X$ memiliki topologi terkecil (terkasar); topologi itu terdiri tepat atas dua himpunan, $\emptyset$ dan $X$ . Topologi ini adalah topologi indiskret pada $X$ . (Perhatikan ejaan istilah bahasa Inggrisnya: terdapat kata lain dalam bahasa Inggris, “indiscreet”, yang bermakna sama sekali berbeda.) Himpunan $X$ juga memiliki topologi terbesar (terhalus), yang terdiri atas keluarga $\mathfrak{P}(X)$ dari semua subhimpunan $X$ . Topologi ini adalah topologi diskret pada $X$ .

Contoh 2.1.11.

Kategori $\mathbf{TOP}$ memiliki ruang topologis sebagai objek dan fungsi kontinu sebagai morfisme.

Definisi 2.1.12.

Misalkan $(A,+,M)$ suatu ruang vektor atas $\mathbb{K}$ yang dilengkapi dengan operasi biner lain $A \times A \rightarrow A$ , dengan $(x,y) \mapsto x \cdot y$ , sedemikian rupa sehingga $(A,+,\cdot\,)$ merupakan gelanggang. (Notasi $x \cdot y$ biasanya disingkat menjadi $xy$ .) Jika, selain itu, persamaan $\begin{equation} \label{eq_def_algebra} \alpha (xy) = (\alpha x)y = x(\alpha y) \end{equation}$ berlaku untuk semua $x$ , $y \in A$ dan $\alpha \in \mathbb{K}$ , maka $(A,+,M,\,\cdot\,)$ disebut suatu aljabar atas medan $\mathbb{K}$ (kadang-kadang disebut aljabar asosiatif linear). Seperti biasa, kita menyalahgunakan terminologi dengan menulis hal-hal seperti, “Misalkan $A$ suatu aljabar.” Kita mengatakan bahwa suatu aljabar $A$ beridentitas jika gelanggang yang mendasarinya $(A,+,\cdot\,)$ memiliki identitas perkalian; yakni, jika terdapat suatu elemen $\mathbf{1}_A \ne \mathbf{0}$ di $A$ sehingga $\mathbf{1}_A \cdot x = x \cdot \mathbf{1}_A = x$ untuk semua $x \in A$ . Aljabar itu disebut komutatif jika gelanggangnya komutatif; yakni, jika $xy = yx$ untuk semua $x$ , $y \in A$ .

Subhimpunan $B$ dari suatu aljabar $A$ disebut suatu subaljabar dari $A$ jika subhimpunan tersebut merupakan aljabar dengan operasi-operasi yang diwarisinya dari $A$ . Suatu subaljabar $B$ dari aljabar beridentitas $A$ disebut subaljabar beridentitas jika memuat identitas perkalian dari $A$ .

PERHATIAN. Agar menjadi subaljabar beridentitas, tidaklah cukup jika $B$ memiliki identitas perkaliannya sendiri; subaljabar itu harus memuat identitas dari $A$ . Jadi, suatu aljabar dapat sekaligus beridentitas dan merupakan subaljabar dari $A$ tanpa menjadi subaljabar beridentitas dari $A$ .

Pemetaan $f\colon A \rightarrow B$ antara aljabar-aljabar disebut suatu homomorfisme (aljabar) jika pemetaan itu merupakan pemetaan linear antara $A$ dan $B$ sebagai ruang vektor yang mempertahankan perkalian (yakni, $f(xy) = f(x)f(y)$ untuk semua $x$ , $y \in A$ ). Dengan kata lain, homomorfisme aljabar adalah homomorfisme gelanggang linear. Pemetaan itu disebut homomorfisme (aljabar) beridentitas jika mempertahankan identitas; yakni, jika $A$ dan $B$ keduanya merupakan aljabar beridentitas dan $f(\mathbf{1}_A) = \mathbf{1}_B$ . Kernel dari suatu homomorfisme aljabar $f\colon A \rightarrow B$ tentu saja adalah $\{a \in A \colon f(a) = \mathbf{0}\}$ .

Jika $f^{-1}$ ada dan juga merupakan homomorfisme aljabar, maka $f$ disebut suatu isomorfisme dari $A$ ke $B$ . Jika terdapat isomorfisme dari $A$ ke $B$ , maka $A$ dan $B$ disebut isomorfik.

Contoh 2.1.13.

Kategori $\mathbf{ALG}$ memiliki aljabar sebagai objek dan homomorfisme aljabar sebagai morfisme.

Contoh-contoh sebelumnya merupakan contoh kategori konkret—yakni, kategori yang objek-objeknya berupa himpunan (biasanya bersama struktur tambahan) dan morfisme-morfismenya berupa fungsi (biasanya dengan mempertahankan struktur tambahan tersebut). Dalam catatan ini, kategori-kategori yang kita minati bersifat konkret sekaligus kecil secara lokal. Berikut ini (bagi pembaca yang ingin tahu) adalah definisi yang lebih formal untuk kategori konkret.

Definisi 2.1.14.

Suatu kategori $\mathfrak{A}$ bersama fungsi $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ yang mengaitkan setiap objek $A$ di $\mathfrak{A}$ dengan suatu himpunan $\lvert A\rvert$ disebut suatu kategori konkret jika syarat-syarat berikut dipenuhi:

setiap morfisme $A \to^f B$ merupakan fungsi dari $\lvert A\rvert$ ke $\lvert B\rvert$ ;
setiap morfisme identitas $I_A$ di $\mathfrak{A}$ merupakan fungsi identitas pada $\lvert A\rvert$ ; dan
komposisi morfisme $A \to^f B$ dan $B \to^g C$ sama dengan komposisi fungsi $f\colon \lvert A\rvert \rightarrow\lvert B\rvert$ dan $g\colon \lvert B\rvert \rightarrow\lvert C\rvert$ .

Jika $A$ suatu objek dalam kategori konkret $\mathfrak{A}$ , maka $\lvert A\rvert$ disebut himpunan dasar dari $A$ .

Meskipun kategori-kategori yang kita minati dalam catatan ini memang merupakan kategori konkret, mungkin tetap menarik untuk melihat contoh kategori yang tidak disajikan secara konkret, yakni tanpa terlebih dahulu mewujudkan objek sebagai himpunan dan morfisme sebagai fungsi.

Contoh 2.1.15.

Misalkan $G$ suatu monoid (yakni, semigrup beridentitas). Tinjau suatu kategori $\mathbf{C}$ yang memiliki tepat satu objek, yang kita sebut $\star$ . Karena hanya ada satu objek, hanya ada satu keluarga morfisme $\operatorname{\mathfrak{Mor}}(\star,\star)$ , yang kita ambil sebagai $G$ . Komposisi morfisme didefinisikan sebagai perkalian monoid. Artinya, $a \circ b := ab$ untuk semua $a$ , $b \in G$ . Jelas bahwa komposisi bersifat asosiatif dan elemen identitas $G$ merupakan morfisme identitas. Jadi, $\mathbf{C}$ adalah suatu kategori.

Definisi 2.1.16.

Dalam setiap kategori konkret, kita akan menyebut morfisme injektif sebagai suatu monomorfisme dan morfisme surjektif sebagai suatu epimorfisme.

Perhatian.

Definisi-definisi di atas mencerminkan penggunaan asli istilah tersebut oleh Bourbaki dan merupakan definisi yang paling lazim dipakai oleh matematikawan di luar teori kategori itu sendiri; di dalam teori kategori, “monomorfisme” berarti “dapat dibatalkan dari kiri” dan “epimorfisme” berarti “dapat dibatalkan dari kanan”. (Perhatikan bahwa istilah injektif dan surjektif mungkin tidak bermakna jika diterapkan pada morfisme dalam kategori yang tidak konkret.)

Suatu morfisme $B \to^g C$ disebut dapat dibatalkan dari kiri jika, setiap kali morfisme $A \to^{f_1} B$ dan $A \to^{f_2} B$ memenuhi $gf_1 = gf_2$ , berlaku $f_1 = f_2$ . Mac Lane menyarankan agar morfisme yang dapat dibatalkan dari kiri disebut morfisme monik. Perbedaan antara morfisme monik dan monomorfisme ternyata kecil. Dalam catatan ini, hampir semua morfisme yang kita jumpai bersifat monik jika dan hanya jika merupakan monomorfisme. Sebagai latihan mudah, buktikan bahwa setiap morfisme injektif dalam suatu kategori (konkret) bersifat monik. Konversnya kadang-kadang gagal.

Dengan semangat yang sama, Mac Lane menyarankan agar suatu morfisme yang dapat dibatalkan dari kanan (yakni, suatu morfisme $A \to^f B$ sedemikian sehingga, apabila morfisme $B \to^{g_1} C$ dan $B \to^{g_2} C$ memenuhi $g_1f = g_2f$ , maka $g_1 = g_2$ ) disebut suatu morfisme epik. Sekali lagi, merupakan latihan mudah untuk menunjukkan bahwa dalam suatu kategori (konkret), setiap epimorfisme bersifat epik. Namun, konversnya gagal dalam beberapa kategori yang cukup umum.

Definisi 2.1.17.

Terminologi untuk invers morfisme dalam kategori pada dasarnya sama dengan terminologi untuk fungsi. Misalkan $A \to^\alpha B$ dan $B \to^\beta A$ merupakan morfisme dalam suatu kategori. Jika $\beta \circ \alpha = I_A$ , maka $\beta$ adalah suatu invers kiri dari $\alpha$ dan, secara ekuivalen, $\alpha$ adalah suatu invers kanan dari $\beta$ . Kita mengatakan bahwa morfisme $\alpha$ merupakan suatu isomorfisme (atau bersifat invertibel) jika terdapat morfisme $B \to^\beta A$ yang sekaligus merupakan invers kiri dan invers kanan dari $\alpha$ . Morfisme demikian dinotasikan dengan $\alpha^{-1}$ dan disebut invers dari $\alpha$ .

Proposisi 2.1.18.

Misalkan $A \to^\alpha B$ suatu morfisme dalam suatu kategori. Jika $\alpha$ memiliki invers kiri $\lambda$ dan invers kanan $\rho$ , maka $\lambda = \rho$ dan, akibatnya, $\alpha$ merupakan suatu isomorfisme.

Dalam setiap kategori konkret, kita dapat menanyakan apakah setiap morfisme bijektif (yakni, setiap pemetaan yang sekaligus merupakan monomorfisme dan epimorfisme) adalah suatu isomorfisme. Jawabannya sering kali merupakan ya yang mudah (seperti dalam $\mathbf{SET}$ , $\mathbf{AbGp}$ , dan $\mathbf{VEC}$ ) atau tidak yang mudah (misalnya, dalam kategori $\mathbf{POSET}$ yang terdiri atas himpunan terurut parsial dan pemetaan pelestari urutan). Namun, sesekali jawabannya ternyata berupa hasil yang menarik dan mendalam (lihat, misalnya, teorema pemetaan terbuka 6.3.4).

Contoh 2.1.19.

Dalam kategori $\mathbf{SET}$ , setiap morfisme bijektif merupakan suatu isomorfisme.

Contoh 2.1.20.

Kategori $\mathbf{LAT}$ memiliki kekisi sebagai objek dan homomorfisme kekisi sebagai morfisme. (Suatu kekisi adalah himpunan terurut parsial yang setiap pasangan elemennya memiliki infimum dan supremum, dan suatu homomorfisme kekisi adalah pemetaan antara kekisi-kekisi yang mempertahankan infimum dan supremum.) Dalam kategori ini, morfisme bijektif merupakan isomorfisme.

Contoh 2.1.21.

Suatu homeomorfisme adalah bijeksi kontinu $f$ antara ruang-ruang topologis yang inversnya $f^{-1}$ juga kontinu. Homeomorfisme merupakan isomorfisme dalam kategori $\mathbf{TOP}$ . Dalam kategori ini, tidak setiap bijeksi kontinu merupakan homeomorfisme.

Contoh 2.1.22.

Jika, dalam kategori $\mathbf{C}$ pada Contoh 2.1.15, monoid $G$ merupakan suatu grup, maka setiap morfisme dalam $\mathbf{C}$ merupakan suatu isomorfisme.

Funktor

Definisi 2.2.1.

Jika $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ merupakan kategori, suatu funktor kovarian $F$ dari $\mathbf{A}$ ke $\mathbf{B}$ (ditulis ${\mathbf{A}}\to^F{\mathbf{B}}$ ) adalah sepasang pemetaan: suatu pemetaan objek $F$ yang mengaitkan setiap objek $S$ dalam $\mathbf{A}$ dengan suatu objek $F(S)$ dalam $\mathbf{B}$ , dan suatu pemetaan morfisme (yang juga dinotasikan dengan $F$ ) yang mengaitkan setiap morfisme $f \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ dalam $\mathbf{A}$ dengan suatu morfisme $F(f) \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(F(S),F(T))$ dalam $\mathbf{B}$ , sedemikian rupa sehingga

$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ apabila $g \circ f$ terdefinisi dalam $\mathbf{A}$ ; dan
$F(\operatorname{id}_{S}) = \operatorname{id}_{F(S)}$ untuk setiap objek $S$ dalam $\mathbf{A}$ .

Definisi suatu funktor kontravarian ${\mathbf{A}}\to^F{\mathbf{B}}$ berbeda dari definisi sebelumnya hanya dalam dua hal. Pertama, pemetaan morfismenya mengaitkan setiap morfisme $f \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(S,T)$ dalam $\mathbf{A}$ dengan suatu morfisme $F(f) \in \operatorname{\mathfrak{Mor}}(F(T),F(S))$ dalam $\mathbf{B}$ . Kedua, syarat (a) di atas diganti dengan

$F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ apabila $g \circ f$ terdefinisi dalam $\mathbf{A}$ .

Contoh 2.2.2.

Suatu funktor pelupa adalah funktor yang memetakan objek dan morfisme dari suatu kategori $\mathbf{C}$ ke kategori $\mathbf{C}'$ yang memiliki struktur atau sifat lebih sedikit. Sebagai contoh, jika $V$ suatu ruang vektor, funktor $F$ yang “melupakan” operasi perkalian skalar pada ruang vektor akan memetakan $V$ ke kategori grup Abelian. (Grup Abelian $F(V)$ akan memiliki himpunan elemen yang sama dengan ruang vektor $V$ dan operasi penjumlahan yang sama, tetapi tidak memiliki perkalian skalar.) Suatu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ antara ruang-ruang vektor akan dibawa oleh funktor $F$ menjadi homomorfisme grup $F(T)$ antara grup-grup Abelian $F(V)$ dan $F(W)$ .

Funktor pelupa juga dapat “melupakan” sifat. Jika $G$ suatu objek dalam kategori grup Abelian, funktor yang “melupakan” komutativitas grup Abelian akan membawa $G$ ke kategori grup.

Pada bagian sebelumnya telah disebutkan bahwa semua kategori yang kita minati dalam catatan ini merupakan kategori konkret (kategori yang objek-objeknya berupa himpunan dengan struktur tambahan dan morfisme-morfismenya berupa pemetaan yang, dalam pengertian tertentu, mempertahankan struktur tambahan tersebut). Kita akan beberapa kali menggunakan jenis khusus funktor pelupa—funktor yang melupakan seluruh struktur objek kecuali himpunan dasarnya dan yang melupakan segala sifat morfisme yang mempertahankan struktur. Jika $A$ suatu objek dalam suatu kategori konkret $\mathbf{C}$ , kita menotasikan himpunan dasarnya dengan $\lvert A\rvert$ . Jika $A~\to^f~B$ suatu morfisme dalam $\mathbf{C}$ , kita menotasikan dengan $\lvert f\rvert$ pemetaan dari $\lvert A\rvert$ ke $\lvert B\rvert$ yang dipandang sekadar sebagai fungsi antara himpunan. Mudah dilihat bahwa $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ , yang membawa objek dalam $\mathbf{C}$ ke objek dalam $\mathbf{SET}$ (kategori himpunan dan pemetaan) serta morfisme dalam $\mathbf{C}$ ke morfisme dalam $\mathbf{SET}$ , merupakan suatu funktor kovarian.

Dalam kategori $\mathbf{VEC}$ yang terdiri atas ruang vektor dan pemetaan linear, misalnya, $\lvert\mathord{\cdot}\rvert$ membuat ruang vektor $V$ “melupakan” penjumlahan maupun perkalian skalarnya ( $\lvert V\rvert$ hanyalah suatu himpunan). Jika $T\colon V \rightarrow W$ suatu transformasi linear, maka $\lvert T\rvert\colon \lvert V\rvert \rightarrow\lvert W\rvert$ hanyalah pemetaan antara himpunan—pemetaan itu telah “melupakan” sifat mempertahankan operasi.

Definisi 2.2.3.

Suatu himpunan terurut parsial disebut lengkap secara urutan jika setiap subhimpunan tak kosong memiliki supremum (yakni, batas atas terkecil) dan infimum (batas bawah terbesar).

Definisi 2.2.4.

Misalkan $S$ suatu himpunan. Maka himpunan kuasa dari $S$ , yang dinotasikan dengan $\mathfrak{P}(S)$ , adalah keluarga semua subhimpunan $S$ .

Contoh 2.2.5.

Misalkan $S$ suatu himpunan tak kosong.

Himpunan kuasa $\mathfrak{P}(S)$ dari $S$ yang diurutkan secara parsial oleh $\subseteq$ bersifat lengkap secara urutan.
Kelas himpunan terurut parsial yang lengkap secara urutan beserta pemetaan pelestari urutan merupakan suatu kategori.
Untuk setiap fungsi $f$ antara himpunan, misalkan $\mathfrak{P}(f) = f^{\rightarrow}$ . Maka $\mathfrak{P}$ merupakan funktor kovarian dari kategori himpunan dan fungsi ke kategori himpunan terurut parsial yang lengkap secara urutan beserta pemetaan pelestari urutan.
Untuk setiap fungsi $f$ antara himpunan, misalkan $\mathfrak{P}(f) = f^{\gets}$ . Maka $\mathfrak{P}$ merupakan funktor kontravarian dari kategori himpunan dan fungsi ke kategori himpunan terurut parsial yang lengkap secara urutan beserta pemetaan pelestari urutan.

Definisi 2.2.6.

Misalkan $T\colon V \rightarrow W$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang vektor. Untuk setiap $g \in W^{\#}$ , misalkan $T^{\#}(g) = g\,T$ . Perhatikan bahwa $T^{\#}(g) \in V^{\#}$ . Pemetaan $T^{\#}$ dari ruang vektor $W^{\#}$ ke ruang vektor $V^{\#}$ disebut pemetaan adjoin (ruang vektor) dari $T$ .

Contoh 2.2.7.

Pasangan pemetaan $V \mapsto V^{\#}$ (yang membawa suatu ruang vektor ke dual aljabarnya) dan $T \mapsto T^{\#}$ (yang membawa suatu pemetaan linear ke dualnya) merupakan funktor kontravarian dari kategori $\mathbf{VEC}$ yang terdiri atas ruang vektor dan pemetaan linear ke kategori itu sendiri.

Contoh 2.2.8.

Jika $\mathbf{C}$ suatu kategori, definisikan $\mathbf{C^2}$ sebagai kategori yang objek-objeknya merupakan pasangan terurut objek dalam $\mathbf{C}$ dan morfisme-morfismenya merupakan pasangan terurut morfisme dalam $\mathbf{C}$ . Jadi, jika $A \to^f C$ dan $B \to^g D$ merupakan morfisme dalam $\mathbf{C}$ , maka $(A,B) \to^{(f,g)} (C,D)$ (dengan $(f,g)(a,b) = \bigl(f(a),g(b)\bigr)$ untuk semua $a \in A$ dan $b \in B$ apabila kategori tersebut konkret) merupakan morfisme dalam $\mathbf{C^2}$ . Komposisi morfisme didefinisikan dengan cara yang wajar: $(f,g) \circ (h,j) = (f \circ h, g \circ j)$ . Kita mendefinisikan funktor diagonal $\mathbf{C} \to^{\mathsf{D}} \mathbf{C^2}$ dengan $\mathsf{D}(A) := (A,A)$ dan $\mathsf{D}(f) := (f,f)$ . Ini merupakan funktor kovarian.

Contoh 2.2.9.

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang-ruang topologis dan $\phi\colon X \rightarrow Y$ kontinu. Definisikan $\mathcal{C} \phi$ pada $\mathcal{C}(Y)$ dengan $\mathcal{C} \phi(g) = g \circ \phi$ untuk semua $g \in \mathcal{C}(Y)$ . Maka pasangan pemetaan $X \mapsto \mathcal{C}(X)$ dan $\phi \mapsto \mathcal{C} \phi$ merupakan funktor kontravarian dari kategori $\mathbf{TOP}$ yang terdiri atas ruang topologis dan pemetaan kontinu ke kategori aljabar beridentitas dan homomorfisme aljabar beridentitas.