Bab 11 · Teorema Gelfand–Naimark

Seperti pada Bab 8, dalam bab ini—dan untuk sisa catatan ini—kita mengasumsikan bahwa medan skalar kita adalah medan $\mathbb{C}$ bilangan kompleks.

Ideal-Ideal Maksimal dalam $\mathcal{C}(X)$

Proposisi 11.1.1.

Jika $J$ adalah ideal sejati dalam suatu aljabar Banach beridentitas, maka tutupannya juga merupakan ideal sejati.

Akibat 11.1.2.

Setiap ideal maksimal dalam aljabar Banach beridentitas bersifat tertutup.

Contoh 11.1.3.

Untuk setiap subhimpunan $C$ dari ruang topologis $X$ , himpunan $J_C := \bigl\{f \in \mathcal{C}(X)\colon f^{\rightarrow}(C) = \{0\}\,\bigr\}$ merupakan ideal dalam $\mathcal{C}(X)$ . Lebih lanjut, $J_C \supseteq J_D$ apabila $C~\subseteq~D~\subseteq~X$ . (Selanjutnya kita akan menulis $J_x$ untuk ideal $J_{\{x\}}$ .)

Proposisi 11.1.4.

Misalkan $X$ ruang topologis kompak dan $I$ ideal sejati dalam $\mathcal{C}(X)$ . Maka terdapat $x \in X$ sedemikian sehingga $I \subseteq J_x$ .

Proposisi 11.1.5.

Misalkan $x$ dan $y$ titik-titik dalam ruang Hausdorff kompak. Jika $J_x \subseteq J_y$ , maka $x = y$ .

Proposisi 11.1.6.

Misalkan $X$ ruang Hausdorff kompak. Subhimpunan $I$ dari $\mathcal{C}(X)$ merupakan ideal maksimal dalam $\mathcal{C}(X)$ jika dan hanya jika $I = J_x$ untuk suatu $x~\in~X$ .

Akibat 11.1.7.

Jika $X$ ruang Hausdorff kompak, maka pemetaan $x \mapsto J_x$ dari $X$ ke $\mathop{\mathrm{Max}}\,\mathcal{C}(X)$ adalah bijektif.

Kekompakan merupakan unsur penting dalam proposisi 11.1.6.

Contoh 11.1.8.

Dalam aljabar Banach $\mathcal{C}_b\bigl(\,(0,1)\,\bigr)$ yang terdiri atas fungsi kontinu terbatas pada interval $(0,1)$ terdapat ideal maksimal $I$ sedemikian sehingga untuk tidak ada titik $x \in (0,1)$ berlaku $I = J_x$ . Misalkan $I$ ideal maksimal yang memuat ideal $S$ dari semua fungsi $f$ dalam $\mathcal{C}_b\bigl(\,(0,1)\,\bigr)$ yang untuknya terdapat lingkungan $U_f$ dari $0$ dalam $\mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f(x) = 0$ untuk semua $x \in U_f \cap (0,1)$ .

Ruang Karakter

Definisi 11.2.1.

Suatu karakter (atau fungsional linear multiplikatif tak nol) pada aljabar $A$ adalah homomorfisme tak nol dari $A$ ke dalam $\mathbb{C}$ . Himpunan semua karakter pada $A$ dinotasikan dengan $\Delta A$ .

Proposisi 11.2.2.

Misalkan $A$ aljabar beridentitas dan $\phi \in \Delta A$ . Maka

$\phi(\mathbf{1}) = 1$ ;
jika $a \in \mathop{\mathrm{inv}}A$ , maka $\phi(a) \ne 0$ ;
jika $a$ nilpoten (yaitu, jika $a^n = 0$ untuk suatu $n \in \mathbb{N}$ ), maka $\phi(a) = 0$ ;
jika $a$ adalah idempoten (yaitu, jika $a^2 = a$ ), maka $\phi(a)$ adalah $0$ atau $1$ ; dan
$\phi(a) \in \sigma(a)$ untuk setiap $a \in A$ .

Kita catat sambil lalu bahwa bagian (e) dari proposisi sebelumnya tidak memberi kita cara mudah untuk menunjukkan bahwa spektrum $\sigma(a)$ dari suatu elemen aljabar tidak kosong. Hal ini bergantung pada pengetahuan bahwa $\Delta(A)$ tidak kosong.

Contoh 11.2.3.

Pemetaan identitas adalah satu-satunya karakter pada aljabar $\mathbb{C}$ .

Contoh 11.2.4.

Misalkan $A$ adalah aljabar matriks berukuran $2 \times 2$ , $a = \bigl[a_{ij}\bigr]$ , sedemikian sehingga $a_{12} = 0$ . Aljabar ini memiliki tepat dua karakter, yaitu $\phi(a) = a_{11}$ dan $\psi(a) = a_{22}$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tuliskan $\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix}$ sebagai kombinasi linear dari matriks-matriks $u = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $v = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , dan . Gunakan proposisi 11.2.2. ◻

Contoh 11.2.5.

Aljabar semua matriks $2 \times 2$ dengan entri bilangan kompleks tidak memiliki karakter.

Proposisi 11.2.6.

Misalkan $A$ aljabar beridentitas dan $\phi$ fungsional linear pada $A$ . Maka $\phi \in \Delta A$ jika dan hanya jika $\ker\phi$ tertutup terhadap perkalian dan $\phi(\mathbf{1}) = 1$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk arah sebaliknya, terapkan $\phi$ pada hasil kali $a - \phi(a)\mathbf{1}$ dan $b - \phi(b)\mathbf{1}$ untuk $a$ , $b \in A$ . ◻

Proposisi 11.2.7.

Setiap fungsional linear multiplikatif pada aljabar Banach beridentitas $A$ kontinu. Bahkan, jika $\phi \in \Delta(A)$ , maka $\phi$ merupakan kontraksi dan $\lVert\phi \rVert= 1$ .

Contoh 11.2.8.

Misalkan $X$ ruang topologis dan $x \in X$ . Kita mendefinisikan fungsional evaluasi di $x$ , yang dinotasikan dengan $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x$ , melalui $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x\colon \mathcal{C}(X) \rightarrow\mathbb{C}\colon f \mapsto f(x)\,.$ Fungsional ini merupakan karakter pada $\mathcal{C}(X)$ dan kernelnya adalah $J_x$ . Jika hanya ada satu ruang topologis yang sedang dibahas, kita sederhanakan notasi $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x$ menjadi $E_x$ . Jadi, khususnya, untuk $f \in \mathcal{C}(X)$ kita sering menulis $E_x(f)$ alih-alih $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x(f)$ yang lebih panjang.

Definisi 11.2.9.

Dalam proposisi 11.2.7 kita menemukan bahwa setiap karakter pada aljabar Banach beridentitas $A$ berada pada bola satuan dual $A^*$ . Karena itu kita dapat memberikan himpunan himpunan $\Delta A$ karakter pada $A$ dengan topologi- $w^*$ relatif yang diwarisinya dari $A^*$ . Topologi ini disebut topologi Gelfand pada $\Delta A$ , dan ruang topologis yang dihasilkan disebut ruang karakter (atau ruang pembawa, atau ruang struktur, atau ruang ideal maksimal, atau spektrum) dari $A$ .

Proposisi 11.2.10.

Ruang karakter dari aljabar Banach beridentitas merupakan ruang Hausdorff kompak.

Contoh 11.2.11.

Misalkan $l_1(\mathbb{Z})$ adalah keluarga semua barisan bilateral $(\dots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\dots)$ yang terjumlahkan mutlak; yaitu, yang memenuhi $\sum_{k=-\infty}^{\infty} \lvert a_k\rvert < \infty$ . Ini merupakan ruang Banach di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar titik demi titik, dengan norma $\lVert a\rVert = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \lvert a_k\rvert\,.$ Untuk $a$ , $b \in l_1(\mathbb{Z})$ definisikan $a \ast b$ sebagai barisan yang entri ke- $n$ -nya diberikan oleh $(a \ast b)_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_{n-k}\,b_k\,.$ Operasi $\ast$ disebut konvolusi. (Untuk melihat asal definisi ini, cobalah mengalikan deret pangkat $\sum_{-\infty}^{\infty}a_kz^k$ dan $\sum_{-\infty}^{\infty}b_kz^k$ .) Dengan operasi tambahan ini $l_1(\mathbb{Z})$ menjadi aljabar Banach komutatif beridentitas.

Ruang ideal maksimal dari aljabar Banach ini adalah (homeomorfik dengan) lingkaran satuan $\mathbb{T}$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk setiap $z \in \mathbb{T}$ definisikan $\psi_z\colon l_1(\mathbb{Z}) \rightarrow\mathbb{C}\colon a \mapsto \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k\,.$ Tunjukkan bahwa $\psi_z \in \Delta l_1(\mathbb{Z})$ . Kemudian tunjukkan bahwa pemetaan $\psi\colon \mathbb{T}\rightarrow\Delta l_1(\mathbb{Z})\colon z \mapsto \psi_z$ adalah suatu homeomorfisme. ◻

Proposisi 11.2.12.

Jika $\phi \in \Delta A$ dengan $A$ aljabar beridentitas, maka $\ker\phi$ merupakan ideal maksimal dalam $A$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Untuk menunjukkan kemaksimalan, misalkan $I$ ideal dalam $A$ yang memuat $\ker\phi$ secara sejati. Pilih $z \in I \setminus \ker\phi$ . Pertimbangkan elemen $x - \bigl(\phi(x)/\phi(z)\bigr)\,z$ , dengan $x$ elemen sebarang dari $A$ . ◻

Proposisi 11.2.13.

Suatu karakter pada aljabar beridentitas ditentukan sepenuhnya oleh kernelnya.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Misalkan $a$ elemen aljabar dan $\phi$ suatu karakter. Untuk berapa banyak bilangan kompleks $\lambda$ dapat $a^2 - \lambda a$ menjadi anggota kernel $\phi$ ? ◻

Akibat 11.2.14.

Jika $A$ aljabar beridentitas, maka pemetaan $\phi \mapsto \ker\phi$ dari $\Delta A$ ke $\mathop{\mathrm{Max}}A$ injektif.

Proposisi 11.2.15.

Misalkan $I$ ideal maksimal dalam aljabar Banach komutatif beridentitas $A$ . Maka terdapat karakter pada $A$ yang kernelnya adalah $I$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Gunakan korolari 8.1.43. Mengapa kita dapat memandang pemetaan hasil bagi sebagai suatu karakter? ◻

Akibat 11.2.16.

Jika $A$ aljabar Banach komutatif beridentitas, maka pemetaan $\phi \mapsto \ker\phi$ merupakan bijeksi dari $\Delta A$ ke $\mathop{\mathrm{Max}}A$ .

Definisi 11.2.17.

Misalkan $A$ aljabar Banach komutatif beridentitas. Berdasarkan korolari sebelumnya, kita dapat memberikan $\mathop{\mathrm{Max}}A$ suatu topologi yang membuatnya homeomorfik dengan ruang karakter $\Delta A$ . Inilah ruang ideal maksimal dari $A$ . Karena $\Delta A$ dan $\mathop{\mathrm{Max}}A$ homeomorfik, lazim untuk mengidentifikasi keduanya, sehingga $\Delta A$ sering disebut ruang ideal maksimal dari $A$ .

Definisi 11.2.18.

Misalkan $X$ ruang Hausdorff kompak dan $x \in X$ . Ingat bahwa dalam contoh 11.2.8 kita mendefinisikan $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x$ , yaitu fungsional evaluasi di $x$ , melalui $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x(f) := f(x)$ untuk setiap $f \in \mathcal{C}(X)$ . Pemetaan $E_{{}_{\scriptstyle{X}}} \colon X \rightarrow\Delta\mathcal{C}(X)\colon x \mapsto E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x$ adalah pemetaan evaluasi pada $X$ . Sebagaimana disebutkan sebelumnya, ketika hanya satu ruang topologis yang sedang dipertimbangkan, biasanya kita menyingkat $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}$ menjadi $E$ dan $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x$ menjadi $E_x$ .

Notasi 11.2.19.

Untuk menyatakan bahwa dua ruang topologis $X$ dan $Y$ homeomorfik, kita menulis $X \approx Y$ .

Proposisi 11.2.20.

Misalkan $X$ ruang Hausdorff kompak. Maka pemetaan evaluasi pada $X$ $E_{{}_{\scriptstyle{X}}} \colon X \rightarrow\Delta\mathcal{C}(X) \colon x \mapsto E_{{}_{\scriptstyle{X}}}x$ merupakan homeomorfisme. Jadi kita memiliki $X \approx \Delta\mathcal{C}(X) \approx \mathop{\mathrm{Max}}\mathcal{C}(X)\,.$ Lebih dari itu: bukan hanya setiap $E_{{}_{\scriptstyle{X}}}$ merupakan homeomorfisme antara ruang Hausdorff kompak, melainkan $E$ sendiri merupakan suatu ekuivalensi natural antara funktor—funktor identitas dan funktor $\Delta\mathcal{C}$ .

Identifikasi antara ruang Hausdorff kompak $X$ dan ruang karakternya serta ruang ideal maksimalnya begitu kuat sehingga banyak orang membicarakannya seolah-olah ketiganya benar-benar sama. Sangat lazim untuk mendengar, misalnya, bahwa “ideal maksimal dalam $\mathcal{C}(X)$ hanyalah titik-titik di $X$ ”. Walaupun secara harfiah tidak benar, ungkapan itu memang terdengar sedikit kurang mengintimidasi daripada “ideal maksimal dari $\mathcal{C}(X)$ adalah kernel fungsional evaluasi pada titik-titik $X$ ”.

Proposisi 11.2.21.

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang Hausdorff kompak dan $F \colon X \rightarrow Y$ kontinu. Ingat bahwa dalam contoh 2.2.9 kita mendefinisikan $\mathcal{C}(F)$ pada $\mathcal{C}(Y)$ melalui $\mathcal{C}(F)(g) = g \circ F$ untuk semua $g \in \mathcal{C}(Y)$ . Maka

$\mathcal{C}(F)$ memetakan $\mathcal{C}(Y)$ ke dalam $\mathcal{C}(X)$ .
Pemetaan $\mathcal{C}(F)$ merupakan homomorfisme aljabar Banach beridentitas yang kontraktif.
$\mathcal{C}(F)$ injektif jika dan hanya jika $F$ surjektif.
$\mathcal{C}(F)$ surjektif jika dan hanya jika $F$ injektif.
Jika $X$ homeomorfik dengan $Y$ , maka $\mathcal{C}(X)$ isomorfik secara isometrik dengan $\mathcal{C}(Y)$ .

Proposisi 11.2.22.

Misalkan $A$ dan $B$ aljabar Banach komutatif beridentitas dan $T\colon A \rightarrow B$ homomorfisme aljabar beridentitas. Definisikan $\Delta T$ pada $\Delta B$ melalui $\Delta T(\psi) = \psi \circ T$ untuk semua $\psi \in \Delta B$ . Maka

$\Delta T$ memetakan $\Delta B$ ke dalam $\Delta A$ .
Pemetaan $\Delta T\colon \Delta B \rightarrow\Delta A$ kontinu.
Jika $T$ surjektif, maka $\Delta T$ injektif.
Jika $T$ merupakan suatu isomorfisme (aljabar), maka $\Delta T$ merupakan homeomorfisme.
Jika $A$ dan $B$ isomorfik (secara aljabar), maka $\Delta A$ dan $\Delta B$ homeomorfik.

Akibat 11.2.23.

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang Hausdorff kompak. Jika $\mathcal{C}(X)$ dan $\mathcal{C}(Y)$ isomorfik secara aljabar, maka $X$ dan $Y$ homeomorfik.

Akibat 11.2.24.

Dua ruang Hausdorff kompak homeomorfik jika dan hanya jika aljabar fungsi kontinu bernilai kompleksnya isomorfik (secara aljabar).

Korolari 11.2.24 menimbulkan sekumpulan masalah yang sangat menarik. Korolari itu menyarankan bahwa untuk setiap sifat topologis ruang Hausdorff kompak $X$ seharusnya ada sifat aljabar yang bersesuaian dari aljabar $\mathcal{C}(X)$ , dan sebaliknya. Namun, korolari tersebut tidak memberikan resep yang dapat digunakan untuk menemukan korespondensi ini. Salah satu contoh yang sangat sederhana dari hasil semacam ini diberikan di bawah sebagai proposisi 11.2.26. Untuk pembahasan yang indah mengenai pertanyaan ini, lihat monograf Semadeni [48], khususnya tabel pada halaman 132–133.

Akibat 11.2.25.

Misalkan $X$ dan $Y$ ruang Hausdorff kompak. Jika $\mathcal{C}(X)$ dan $\mathcal{C}(Y)$ isomorfik secara aljabar, maka keduanya isomorfik secara isometrik.

Proposisi 11.2.26.

Ruang topologis $X$ terhubung jika dan hanya jika aljabar $\mathcal{C}(X)$ tidak memuat idempoten nontrivial.

(Idempoten trivial suatu aljabar adalah $\mathbf{0}$ dan $\mathbf{1}$ .)

Transformasi Gelfand

Definisi 11.3.1.

Misalkan $A$ aljabar Banach komutatif dan $a\in A$ . Definisikan $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} a\colon \Delta A \rightarrow\mathbb{C}\colon \phi \mapsto \phi(a)$ untuk setiap $\phi \in \Delta(A)$ . (Notasi alternatif: jika tidak menimbulkan kebingungan, kita sering menulis $\Gamma a$ atau $\widehat{a}$ untuk $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} a$ .) Pemetaan $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}}$ adalah transformasi Gelfand pada $A$ .

Karena $\Delta A \subseteq A^*$ , jelas bahwa $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} a$ hanyalah restriksi $a^{**}$ pada ruang karakter $A$ . Lebih lanjut, topologi Gelfand pada $\Delta A$ adalah topologi- $w^*$ relatif, yaitu topologi terlemah yang membuat $a^{**}$ kontinu pada $\Delta A$ untuk setiap $a \in A$ , sehingga $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} a$ merupakan fungsi kontinu pada $\Delta A$ . Jadi $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} \colon A \rightarrow\mathcal{C}(\Delta A)$ .

Sebagai ringkasan dan demi kemudahan, elemen $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} a = \Gamma a = \widehat{a}$ biasanya cukup disebut transformasi Gelfand dari $a$ —karena frasa transformasi Gelfand pada $A$ yang dievaluasi pada $a$ terasa janggal.

Definisi 11.3.2.

Kita mengatakan bahwa suatu keluarga fungsi $\mathcal{F}$ pada himpunan $S$ memisahkan titik-titik pada $S$ (atau merupakan keluarga fungsi pemisah pada $S$ ) jika untuk setiap pasangan elemen berbeda $x$ dan $y$ dari $S$ terdapat $f \in \mathcal{F}$ sedemikian sehingga $f(x) \ne f(y)$ .

Proposisi 11.3.3.

Misalkan $X$ ruang topologis kompak. Maka $\mathcal{C}(X)$ memisahkan titik-titik jika dan hanya jika $X$ Hausdorff.

Proposisi 11.3.4.

Jika $A$ aljabar Banach komutatif, maka $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}} \colon A \rightarrow\mathcal{C}(\Delta A)$ merupakan homomorfisme aljabar yang kontraktif dan jangkauan $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}}$ merupakan subaljabar pemisah dari $\mathcal{C}(\Delta A)$ . Jika, sebagai tambahan, $A$ beridentitas, maka $\Gamma$ bernorma satu, jangkauannya merupakan subaljabar beridentitas dari $\mathcal{C}(\Delta A)$ , dan pemetaan itu merupakan homomorfisme beridentitas.

Proposisi 11.3.5.

Misalkan $a$ elemen aljabar Banach komutatif beridentitas $A$ . Maka $a$ invertibel dalam $A$ jika dan hanya jika $\hat a$ invertibel dalam $\mathcal{C}(\Delta A)$ .

Proposisi 11.3.6.

Misalkan $A$ aljabar Banach komutatif beridentitas dan $a$ suatu elemen dari $A$ . Maka $\mathop{\mathrm{ran}}\hat a = \sigma(a)$ dan $\lVert\hat a\rVert_u~=~\rho(a)$ .

Definisi 11.3.7.

Suatu elemen $a$ dari aljabar Banach disebut kuasinilpoten jika $\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\lVert a^n\rVert^{1/n} = 0$ .

Proposisi 11.3.8.

Misalkan $a$ elemen aljabar Banach komutatif beridentitas $A$ . Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$a$ kuasinilpoten;
$\rho(a) = 0$ ;
$\sigma(a) = \{0\}$ ;
$\Gamma a = 0$ ;
$\phi(a) = 0$ untuk setiap $\phi \in \Delta A$ ;
$a \in \bigcap\mathop{\mathrm{Max}}A$ .

Definisi 11.3.9.

Suatu aljabar Banach disebut semisederhana jika tidak memiliki elemen kuasinilpoten tak nol.

Proposisi 11.3.10.

Misalkan $A$ aljabar Banach komutatif beridentitas. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$A$ semisederhana;
jika $\rho(a) = 0$ , maka $a = 0$ ;
jika $\sigma(a) = \{0\}$ , maka $a = 0$ ;
transformasi Gelfand $\Gamma_{{}_{\scriptstyle{A}}}$ merupakan monomorfisme (yaitu, homomorfisme injektif);
jika $\phi(a) = 0$ untuk setiap $\phi \in \Delta A$ , maka $a = 0$ ;
$\bigcap\mathop{\mathrm{Max}}A = \{0\}$ .

Proposisi 11.3.11.

Misalkan $A$ aljabar Banach komutatif beridentitas. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

$\|a^2\| = \|a\|^2$ untuk semua $a \in A$ ;
$\rho(a) = \|a\|$ untuk semua $a \in A$ ; dan
transformasi Gelfand merupakan isometri; yaitu, $\lVert\widehat{a}\rVert_u = \|a\|$ untuk semua $a \in A$ .

Contoh 11.3.12.

Transformasi Gelfand pada $l_1(\mathbb{Z})$ bukan isometri.

Ingat dari proposisi 11.2.20 bahwa ketika $X$ ruang Hausdorff kompak, pemetaan evaluasi $E_X$ mengidentifikasi ruang $X$ dengan ruang ideal maksimal aljabar Banach $\mathcal{C}(X)$ . Jadi menurut proposisi 11.2.21, pemetaan $\mathcal{C}E_X$ mengidentifikasi aljabar $\mathcal{C}(\Delta(\mathcal{C}(X)))$ fungsi kontinu pada ruang ideal maksimal ini dengan aljabar $\mathcal{C}(X)$ itu sendiri. Ternyata transformasi Gelfand pada aljabar $\mathcal{C}(X)$ hanyalah invers dari pemetaan identifikasi ini.

Contoh 11.3.13.

Misalkan $X$ ruang Hausdorff kompak. Maka transformasi Gelfand pada aljabar Banach $\mathcal{C}(X)$ merupakan isomorfisme isometrik. Bahkan, pada $\mathcal{C}(X)$ transformasi Gelfand adalah $(\mathcal{C}E_X)^{-1}$ .

Contoh 11.3.14.

Ruang ideal maksimal aljabar Banach $L_1(\mathbb{R})$ adalah $\mathbb{R}$ sendiri dan transformasi Gelfand pada $L_1(\mathbb{R})$ adalah transformasi Fourier.

Bukti.

Proof. Lihat [2], halaman 169–171. ◻

Fungsi $t \mapsto e^{it}$ merupakan bijeksi dari interval $[-\pi,\pi)$ ke lingkaran satuan $\mathbb{T}$ pada bidang kompleks. Salah satu akibatnya adalah kita tidak perlu membedakan antara

fungsi $2\pi$ -periodik pada $\mathbb{R}$ ,
semua fungsi pada $[-\pi,\pi)$ ,
fungsi $f$ pada $[-\pi,\pi]$ sedemikian sehingga $f(-\pi) = f(\pi)$ , dan
fungsi pada $\mathbb{T}$ .

Dalam kelanjutan, kita akan sering mengidentifikasi kelas-kelas fungsi ini tanpa penjelasan lebih lanjut.

Identifikasi lain yang berguna adalah antara lingkaran satuan $\mathbb{T}$ dalam $\mathbb{C}$ dan ruang ideal maksimal aljabar $l_1(\mathbb{Z})$ . Homeomorfisme $\psi$ antara dua ruang Hausdorff kompak ini didefinisikan dalam contoh 11.2.11. Dalam bekerja dengan transformasi Gelfand $\Gamma_a$ dari elemen $a \in l_1(\mathbb{Z})$ , sering secara teknis lebih mudah memperlakukannya sebagai fungsi, sebut saja $G_a$ , yang daerah asalnya adalah $\mathbb{T}$ , seperti ditunjukkan oleh diagram berikut.

Diagram segitiga yang mengidentifikasi transformasi Gelfand dengan fungsi pada lingkaran satuan. Homeomorfisme psi membawa lingkaran satuan T ke ruang ideal maksimal Delta l satu dari Z; fungsi G sub-a membawa T ke bilangan kompleks; transformasi Gelfand Gamma sub-a membawa Delta l satu dari Z ke bilangan kompleks. Segitiga komutatif: G sub-a sama dengan Gamma sub-a setelah psi. — Diagram sumber: John M. Erdman, CC BY-SA 4.0. Deskripsi aksesibilitas ditambahkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra; perubahan ini tidak menyiratkan dukungan.

Jadi untuk $a \in l_1(\mathbb{Z})$ dan $z \in \mathbb{T}$ berlaku $G_a(z) = \Gamma_a(\psi_z) = \psi_z(a) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k\,.$

Definisi 11.3.15.

Jika $f \in \mathcal{L}_1([-\pi,\pi))$ , maka deret Fourier untuk $f$ adalah deret $\sum_{n=-\infty}^\infty\widetilde{f}(n)\exp(int) \qquad -\pi \le t \le \pi$ dengan barisan $\widetilde{f}$ didefinisikan oleh $\widetilde{f}(n) = {\textstyle\frac1{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi f(t)\exp(-int)\,dt$ untuk semua $n \in \mathbb{Z}$ . Barisan dua arah tak hingga $\widetilde{f}$ adalah transformasi Fourier dari $f$ , dan bilangan $\widetilde{f}(n)$ adalah koefisien Fourier ke- $n$ dari $f$ . Jika $\widetilde{f} \in l_1(\mathbb{Z})$ , kita mengatakan bahwa $f$ memiliki deret Fourier yang konvergen mutlak. Himpunan semua fungsi kontinu pada $\mathbb{T}$ dengan deret Fourier yang konvergen mutlak dinotasikan dengan $\mathcal{A\,C}(\mathbb{T})$ .

Proposisi 11.3.16.

Jika $f$ fungsi kontinu $2\pi$ -periodik pada $\mathbb{R}$ yang transformasi Fouriernya nol, maka $f = 0$ .

Akibat 11.3.17.

Transformasi Fourier pada $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ injektif.

Proposisi 11.3.18.

Transformasi Fourier pada $\mathcal{C}(\mathbb{T})$ merupakan invers kiri dari transformasi Gelfand pada $l_1(\mathbb{Z})$ .

Proposisi 11.3.19.

Jangkauan transformasi Gelfand pada $l_1(\mathbb{Z})$ adalah aljabar Banach komutatif beridentitas $\mathcal{A\,C}(\mathbb{T})$ .

Proposisi 11.3.20.

Terdapat fungsi kontinu yang deret Fouriernya divergen di $0$ .

Bukti.

Proof. Lihat, misalnya, [26], latihan 18.45. ◻

Apa yang dikatakan hasil sebelumnya mengenai transformasi Gelfand $\Gamma\colon l_1(\mathbb{Z}) \rightarrow \mathcal{C}(\mathbb{T})$ ?

Misalkan suatu fungsi $f$ termasuk dalam $\mathcal{AC}(\mathbb{T})$ dan tidak pernah nol. Maka $1/f$ tentu kontinu pada $\mathbb{T}$ , tetapi apakah deret Fouriernya konvergen mutlak? Salah satu keberhasilan awal studi abstrak aljabar Banach adalah pembuktian yang sangat sederhana atas pertanyaan ini, yang mula-mula diberikan oleh Norbert Wiener. Bukti asli Wiener melalui perbandingan cukup sulit.

Teorema 11.3.21.

Misalkan $f$ fungsi kontinu pada $\mathbb{T}$ yang tidak pernah nol. Jika $f$ memiliki deret Fourier yang konvergen mutlak, maka kebalikannya $1/f$ juga demikian.

Contoh 11.3.22.

Transformasi Laplace juga dapat dipandang sebagai kasus khusus transformasi Gelfand. Untuk rinciannya, lihat [2], halaman 173–175.

Aljabar- $C^*$ Beridentitas

Proposisi 11.4.1.

Jika $a$ elemen suatu aljabar- $*\,$ , maka $\sigma(a^*) = \overline{\sigma(a)}$ .

Proposisi 11.4.2.

Dalam setiap aljabar- $C^*$ , involusi merupakan isometri. Artinya, $\lVert a^*\rVert = \lVert a\rVert$ untuk setiap elemen $a$ dalam aljabar.

Dalam definisi 3.5.24 tentang aljabar bernorma, kita memberikan syarat khusus bahwa elemen identitas dari aljabar bernorma beridentitas harus bernorma satu. Dalam aljabar- $C^*$ , syarat ini bersifat berlebihan.

Akibat 11.4.3.

Dalam aljabar- $C^*$ beridentitas, $\lVert\mathbf{1}\rVert = 1$ .

Akibat 11.4.4.

Setiap elemen uniter dalam aljabar- $C^*$ beridentitas bernorma satu.

Akibat 11.4.5.

Jika $a$ elemen aljabar- $C^*$ $A$ sedemikian sehingga $ab = \mathbf{0}$ untuk setiap $b \in A$ , maka $a = \mathbf{0}$ .

Proposisi 11.4.6.

Misalkan $a$ elemen normal dari aljabar- $C^*$ . Maka $\lVert a^2\rVert = {\lVert a\rVert}^2$ . Jika aljabar tersebut beridentitas, maka $\rho(a)~=~\lVert a\rVert$ .

Akibat 11.4.7.

Jika $p$ proyeksi tak nol dalam aljabar- $C^*$ , maka $\lVert p\rVert = 1$ .

Akibat 11.4.8.

Misalkan $a \in A$ , dengan $A$ suatu aljabar- $C^*$ komutatif. Maka $\lVert a^2\rVert = {\lVert a\rVert}^2$ dan, jika sebagai tambahan $A$ beridentitas, maka $\rho(a)~=~\lVert a\rVert$ .

Akibat 11.4.9.

Pada aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas $A$ , transformasi Gelfand $\Gamma$ merupakan isometri; yaitu, $\lVert\Gamma_a\rVert_u = \lVert\widehat{a}\rVert_u = \lVert a\rVert$ untuk setiap $a \in A$ .

Akibat 11.4.10.

Norma aljabar- $C^*$ beridentitas bersifat unik, dalam arti bahwa untuk aljabar beridentitas $A$ dengan involusi, terdapat paling banyak satu norma yang menjadikan $A$ sebuah aljabar- $C^*$ .

Proposisi 11.4.11.

Jika $a$ elemen swaadjoin dari aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\sigma(a) \subseteq \mathbb{R}$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Tuliskan $\lambda \in \sigma(a)$ dalam bentuk $\alpha + i\beta$ , dengan $\alpha$ , $\beta \in \mathbb{R}$ . Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ misalkan $b_n := a - \alpha \mathbf{1} + i n\beta\mathbf{1}$ . Tunjukkan bahwa untuk setiap $n$ skalar $i(n+1)\beta$ termasuk dalam spektrum $b_n$ dan karena itu ${\lvert i(n+1)\beta\rvert}^2 \le {\lVert a - \alpha\mathbf{1}\rVert}^2 + n^2\beta^2\,.$ ◻

Akibat 11.4.12.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas. Jika $a \in A$ swaadjoin, maka transformasi Gelfand $\widehat{a}$ bernilai real.

Akibat 11.4.13.

Setiap karakter pada aljabar- $C^*$ merupakan homomorfisme- $*\,$ .

Akibat 11.4.14.

Transformasi Gelfand pada aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas $A$ merupakan homomorfisme- $*\,$ beridentitas ke dalam $\mathcal{C}(\Delta A)$ .

Akibat 11.4.15.

Jangkauan transformasi Gelfand pada aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas $A$ merupakan subaljabar pemisah, swaadjoin, beridentitas dari $\mathcal{C}(\Delta A)$ .

Proposisi 11.4.16.

Jika $u$ elemen uniter dari aljabar- $C^*$ beridentitas, maka $\sigma(u) \subseteq \mathbb{T}$ .

Proposisi 11.4.17.

Transformasi Gelfand $\Gamma$ merupakan ekuivalensi natural antara funktor identitas dan funktor $\mathcal{C}\Delta$ pada kategori aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas dan homomorfisme- $*\,$ beridentitas.

Teorema Gelfand-Naimark

Kita mengingat kembali suatu teorema baku dari analisis real.

Teorema 11.5.1.

Misalkan $X$ ruang Hausdorff kompak. Setiap subaljabar- $*\,$ pemisah beridentitas dari $\mathcal{C}(X)$ rapat.

Bukti.

Proof. Lihat [12], teorema 2.40. ◻

Versi pertama dari teorema Gelfand-Naimark menyatakan bahwa setiap aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas adalah aljabar semua fungsi kontinu pada suatu ruang Hausdorff kompak. Tentu saja kata adalah dalam kalimat sebelumnya berarti isomorfik secara isometrik dan sebagai- $*$ dengan. Ruang Hausdorff kompak yang dimaksud adalah ruang karakter aljabar tersebut.

Teorema 11.5.2.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ komutatif beridentitas. Maka transformasi Gelfand $\Gamma_A\colon a \mapsto \widehat{a}$ merupakan isomorfisme- $*\,$ isometrik dari $A$ ke $\mathcal{C}(\Delta A)$ .

Definisi 11.5.3.

Misalkan $S$ subhimpunan tak kosong dari aljabar- $C^*$ $A$ . Irisan keluarga semua subaljabar- $C^*$ dari $A$ yang memuat $S$ disebut subaljabar- $C^*$ yang dibangkitkan oleh $S$ . Kita menotasikannya dengan $C^*(S)$ . (Mudah dilihat bahwa irisan suatu keluarga subaljabar- $C^*$ memang merupakan aljabar- $C^*$ .) Dalam beberapa kasus kita sedikit menyingkat notasi: misalnya, jika $a \in A$ kita menulis $C^*(a)$ untuk $C^*(\{a\})$ dan $C^*(\mathbf{1},a)$ untuk $C^*(\{\mathbf{1},a\})$ .

Proposisi 11.5.4.

Misalkan $S$ subhimpunan tak kosong dari aljabar- $C^*$ $A$ . Untuk setiap bilangan natural $n$ definisikan himpunan $W_n$ sebagai himpunan semua elemen $a$ dari $A$ yang untuknya terdapat $x_1$ , $x_2$ , …, $x_n$ dalam $S \cup S^*$ sedemikian sehingga $a = x_1x_2\cdots x_n$ . Misalkan $W = \bigcup_{n=1}^\infty W_n$ . Maka $C^*(S) = \overline{\mathop{\mathrm{span}}W}\,.$

Teorema 11.5.5.

Jika $a$ elemen normal dari aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ , maka aljabar- $C^*$ $\mathcal{C}(\sigma(a))$ isomorfik secara isometrik dan sebagai- $*$ dengan $C^*(\mathbf{1},a)$ .

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Gunakan transformasi Gelfand dari $a$ untuk mengidentifikasi ruang ideal maksimal $C^*(\mathbf{1},a)$ dengan spektrum $a$ . Terapkan funktor $\mathcal{C}$ . Komposisikan pemetaan yang dihasilkan dengan $\Gamma^{-1}$ , dengan $\Gamma$ transformasi Gelfand pada aljabar- $C^*$ $C^*(\mathbf{1},a)$ . ◻

Jika $\psi\colon \mathcal{C}(\sigma(a)) \rightarrow C^*(\mathbf{1},a)$ adalah isomorfisme- $*\,$ pada teorema sebelumnya dan $f$ merupakan fungsi kontinu pada spektrum $a$ , maka elemen $\psi(f)$ dalam aljabar $A$ biasanya dinotasikan dengan $f(a)$ . Operasi yang mengaitkan fungsi kontinu $f$ dengan elemen $f(a)$ dalam $A$ ini disebut kalkulus fungsional yang terkait dengan $a$ .

Contoh 11.5.6.

Misalkan pada teorema sebelumnya $\psi\colon \mathcal{C}(\sigma(a)) \rightarrow C^*(\mathbf{1},a)$ merealisasikan isomorfisme- $*\,$ isometrik. Maka citra di bawah $\psi$ dari fungsi konstan $\mathbf{1}$ pada spektrum $a$ adalah $\mathbf{1}_A$ , dan citra di bawah $\psi$ dari fungsi identitas $\lambda \mapsto \lambda$ pada spektrum $a$ adalah $a$ .

Contoh 11.5.7.

Misalkan $T$ operator normal pada ruang Hilbert $H$ yang spektrumnya termuat dalam $[0,\infty)$ . Misalkan $\psi\colon \mathcal{C}(\sigma(T)) \rightarrow C^*(I,T)$ merealisasikan isomorfisme- $*\,$ isometrik antara kedua aljabar- $C^*$ ini. Maka terdapat setidaknya satu operator $\sqrt T$ yang kuadratnya adalah $T$ . Memang, setiap kali $f$ fungsi kontinu pada spektrum operator normal $T$ , kita dapat secara bermakna membicarakan operator $f(T)$ .

Contoh 11.5.8.

Jika $N$ operator normal pada ruang Hilbert yang spektrumnya adalah $\{0,1\}$ , maka $N$ merupakan proyeksi ortogonal.

Contoh 11.5.9.

Jika $N$ operator normal pada ruang Hilbert yang spektrumnya termuat dalam lingkaran satuan $\mathbb{T}$ , maka $N$ merupakan operator uniter.

Proposisi 11.5.10.

Misalkan $a$ elemen swaadjoin dalam aljabar- $C^*$ beridentitas $A$ dan $f$ fungsi kontinu bernilai kompleks pada spektrum $a$ . Maka $\sigma(f(a)) = f^{\rightarrow}(\sigma(a))\,.$

Kalkulus fungsional memetakan fungsi kontinu ke fungsi kontinu dalam pengertian berikut.

Proposisi 11.5.11.

Misalkan $A$ aljabar- $C^*$ beridentitas, $K$ subhimpunan kompak tak kosong dari $\mathbb{R}$ , dan $f\colon K \rightarrow\mathbb{C}$ fungsi kontinu. Misalkan $\mathfrak{H}_K$ himpunan semua elemen swaadjoin dari $A$ yang spektrumnya merupakan subhimpunan dari $K$ . Maka fungsi $f\colon \mathfrak{H}_K \rightarrow A\colon h \mapsto f(h)$ kontinu.

Bukti.

Petunjuk pembuktian. Aproksimasi $f$ secara seragam dengan suatu polinom dan gunakan teorema pemetaan spektral 11.5.10 serta argumen $\epsilon$ dibagi $3$ . ◻

Bab 11 · Teorema Gelfand–Naimark

Ideal-Ideal Maksimal dalam 𝒞(X)\mathcal{C}(X)

Ruang Karakter

Transformasi Gelfand

Aljabar-C*C^* Beridentitas

Teorema Gelfand-Naimark

Ideal-Ideal Maksimal dalam $\mathcal{C}(X)$

Aljabar- $C^*$ Beridentitas