Bab 9 · Ruang Vektor Topologis

Himpunan Seimbang dan Himpunan Penyerap

Definisi 9.1.1.

Suatu himpunan $S$ di dalam ruang vektor disebut seimbang (atau melingkar) jika $\mathbb{D}S \subseteq S$ .

Notasi 9.1.2.

Misalkan $\mathbb{D}$ menyatakan cakram satuan tertutup pada bidang kompleks $\{z \in \mathbb{C}\colon \lvert z\rvert \le 1\}$ .

Proposisi 9.1.3.

Misalkan $B$ suatu subhimpunan seimbang dari sebuah ruang vektor. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah skalar sedemikian sehingga $\lvert\alpha \rvert\le \lvert\beta\rvert$ , maka $\alpha B \subseteq \beta B$ .

Akibat 9.1.4.

Jika $B$ suatu subhimpunan seimbang dari sebuah ruang vektor dan $\lvert\lambda \rvert=1$ , maka $\lambda B = B$ .

Definisi 9.1.5.

Jika $S$ suatu subhimpunan dari sebuah ruang vektor, maka himpunan $\mathbb{D}S$ adalah selubung seimbang dari $S$ .

Proposisi 9.1.6.

Misalkan $S$ suatu subhimpunan dari ruang vektor $V$ . Maka selubung seimbang dari $S$ adalah irisan semua subhimpunan seimbang dari $V$ yang memuat $S$ ; jadi, himpunan itu adalah subhimpunan seimbang terkecil dari $V$ yang memuat $S$ .

Definisi 9.1.7.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang vektor $V$ menyerap suatu subhimpunan $B \subseteq V$ jika terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $B \subseteq tA$ setiap kali $\lvert t\rvert \ge M$ . Himpunan $A$ bersifat menyerap (atau radial) jika himpunan itu menyerap setiap himpunan beranggota satu (secara ekuivalen, setiap himpunan hingga).

Jadi, secara longgar, suatu himpunan bersifat menyerap jika setiap vektor dalam ruang tersebut termuat dalam suatu hasil dilatasi yang sesuai dari himpunan itu.

Contoh 9.1.8.

Misalkan $B$ adalah gabungan sumbu- $x$ dan sumbu- $y$ dalam ruang vektor riil $\mathbb{R}^2$ . Maka $B$ seimbang, tetapi tidak konveks.

Contoh 9.1.9.

Dalam ruang vektor $\mathbb{C}$ , sebuah elips dengan salah satu fokusnya di titik asal merupakan contoh himpunan penyerap yang tidak seimbang.

Contoh 9.1.10.

Dalam ruang vektor $\mathbb{C}^2$ , himpunan $\mathbb{D}\times \{0\}$ seimbang, tetapi tidak menyerap.

Proposisi 9.1.11.

Suatu himpunan seimbang $B$ dalam ruang vektor $V$ bersifat menyerap jika dan hanya jika untuk setiap $x \in V$ terdapat skalar $\alpha \ne 0$ sedemikian sehingga $\alpha x \in B$ .

Filter

Dalam mempelajari ruang vektor topologis, penggunaan bahasa filter memudahkan kita mencirikan sifat-sifat topologis ruang-ruang tersebut. Bahasa ini merupakan sarana alternatif bagi jaring, tetapi sebagian besar ekuivalen dengannya, dan terutama berguna dalam situasi (nonmetrik) ketika barisan tidak lagi banyak membantu.

Secara kasar, sebuah filter adalah keluarga tak kosong dari himpunan-himpunan tak kosong yang tertutup terhadap irisan berhingga dan pengambilan superhimpunan.

Definisi 9.2.1.

Suatu keluarga tak kosong $\mathfrak{F}$ dari subhimpunan-subhimpunan tak kosong dari suatu himpunan $S$ disebut filter pada $S$ jika

$A$ , $B \in \mathfrak{F}$ mengakibatkan $A \cap B \in \mathfrak{F}$ , dan
jika $A \in \mathfrak{F}$ dan $A \subseteq B$ , maka $B \in \mathfrak{F}$ .

Contoh 9.2.2.

Salah satu contoh filter yang sederhana (dan, bagi keperluan kita, terpenting) adalah keluarga semua lingkungan suatu titik $a$ di sebuah ruang topologis. Keluarga ini adalah filter lingkungan pada $a$ . Filter ini akan dilambangkan dengan $\mathfrak{N}_a$ .

Definisi 9.2.3.

Suatu keluarga tak kosong $\mathfrak{B}$ yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan tak kosong dari himpunan $S$ disebut basis filter pada $S$ jika untuk setiap $A$ , $B \in \mathfrak{B}$ terdapat $C \in \mathfrak{B}$ sedemikian sehingga $C \subseteq A \cap B$ .

Kita mengatakan bahwa suatu subkeluarga $\mathfrak{B}$ dari filter $\mathfrak{F}$ adalah basis filter bagi $\mathfrak{F}$ jika setiap anggota $\mathfrak{F}$ memuat suatu anggota $\mathfrak{B}$ . (Penting untuk memeriksa bahwa setiap subkeluarga seperti itu memang merupakan basis filter.)

Contoh 9.2.4.

Setiap filter adalah basis filter.

Contoh 9.2.5.

Misalkan $a$ sebuah titik dalam ruang topologis. Setiap basis lingkungan pada $a$ adalah basis filter bagi filter $\mathfrak{N}_a$ yang terdiri atas semua lingkungan $a$ . Secara khusus, keluarga semua lingkungan terbuka dari $a$ adalah basis filter bagi $\mathfrak{N}_a$ .

Contoh 9.2.6.

Misalkan $\mathfrak{B}$ suatu basis filter pada himpunan $S$ . Maka keluarga $\mathfrak{F}$ yang terdiri atas semua himpunan yang memuat anggota $\mathfrak{B}$ adalah filter pada $S$ , dan $\mathfrak{B}$ adalah basis filter bagi $\mathfrak{F}$ . Filter ini akan kita sebut filter yang dibangkitkan oleh $\mathfrak{B}$ .

Definisi 9.2.7.

Suatu basis filter (khususnya, suatu filter) $\mathfrak{B}$ pada ruang topologis $X$ konvergen ke sebuah titik $a \in X$ jika setiap anggota $N$ dari $\mathfrak{N}_a$ , yaitu filter lingkungan pada $a$ , memuat suatu anggota $\mathfrak{B}$ . Dalam hal ini, kita menuliskan $\mathfrak{B} \rightarrow a$ .

Proposisi 9.2.8.

Suatu basis filter pada ruang topologis Hausdorff konvergen ke paling banyak satu titik.

Contoh 9.2.9.

Misalkan $(x_\lambda)$ sebuah jaring dalam himpunan $S$ dan $\mathfrak{F}$ keluarga semua $A \subseteq S$ sedemikian sehingga jaring $(x_\lambda)$ pada akhirnya berada di $A$ . Maka $\mathfrak{F}$ adalah filter pada $S$ . Kita akan menyebutnya filter yang dibangkitkan oleh jaring $(x_\lambda)$ .

Proposisi 9.2.10.

Misalkan $(x_\lambda)$ suatu jaring dalam ruang topologis $X$ , misalkan $\mathfrak{F}$ filter yang dibangkitkan oleh $(x_\lambda)$ , dan $a \in X$ . Maka $\mathfrak{F} \rightarrow a$ jika dan hanya jika $x_\lambda \rightarrow a$ .

Contoh 9.2.11.

Misalkan $\mathfrak{B}$ suatu basis filter pada himpunan $S$ . Misalkan $D$ himpunan semua pasangan terurut $(b,B)$ sedemikian sehingga $b \in B \in \mathfrak{B}$ . Untuk $(b_1,B_1)$ , $(b_2,B_2) \in D$ , definisikan $(b_1,B_1) \le (b_2,B_2)$ jika $B_2 \subseteq B_1$ . Ini membuat $D$ menjadi himpunan terarah. Sekarang bentuklah sebuah jaring dalam $S$ dengan mendefinisikan $x\colon D \rightarrow S\colon (b,B) \mapsto b$ yakni, tetapkan $x_\lambda = b$ untuk setiap $\lambda = (b,B) \in D$ . Maka $\bigl(x_\lambda\bigr)_{\lambda \in D}$ adalah sebuah jaring dalam $S$ . Jaring ini adalah jaring yang dibangkitkan oleh (atau didasarkan pada) basis filter $\mathfrak{B}$ .

Proposisi 9.2.12.

Misalkan $\mathfrak{B}$ suatu basis filter pada ruang topologis $X$ , misalkan $(x_\lambda)$ adalah jaring yang dibangkitkan oleh $\mathfrak{B}$ , dan misalkan $a \in X$ . Maka $x_\lambda \rightarrow a$ jika dan hanya jika $\mathfrak{B} \rightarrow a$ .

Topologi Kompatibel

Definisi 9.3.1.

Misalkan $\mathfrak{T}$ suatu topologi pada ruang vektor $X$ . Kita mengatakan bahwa $\mathfrak{T}$ kompatibel dengan struktur linear pada $X$ jika operasi penjumlahan $A\colon X \times X \rightarrow X\colon (x,y) \mapsto x + y$ dan perkalian skalar $M\colon \mathbb{K}\times X \rightarrow X\colon (\alpha,x) \mapsto \alpha x$ kontinu. (Di sini, $X \times X$ dan $\mathbb{K}\times X$ diperlengkapi dengan topologi hasil kali.)

Jika $X$ adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan topologi $\mathfrak{T}$ yang kompatibel dengan struktur linearnya, kita mengatakan bahwa pasangan $(X,\mathfrak{T})$ adalah suatu ruang vektor topologis. (Sebagaimana tentu Anda duga, kita hampir selalu akan tetap menggunakan singkatan baku yang tidak logis seperti “Misalkan $X$ suatu ruang vektor topologis …”.) Kita lambangkan dengan $\mathbf{TVS}$ kategori ruang-ruang vektor topologis dan pemetaan linear kontinu.

Contoh 9.3.2.

Misalkan $X$ ruang vektor tak nol. Topologi diskret pada $X$ tidak kompatibel dengan struktur linear pada $X$ .

Proposisi 9.3.3.

Misalkan $X$ ruang vektor topologis, $a \in X$ , dan $\alpha \in \mathbb{K}$ .

Pemetaan $T_a\colon x \mapsto x + a$ (translasi oleh $a$ ) dari $X$ ke dirinya sendiri merupakan suatu homeomorfisme.
Jika $\alpha \ne 0$ , pemetaan $x \mapsto \alpha x$ dari $X$ ke dirinya sendiri merupakan suatu homeomorfisme.

Akibat 9.3.4.

Suatu himpunan $U$ adalah lingkungan titik $x$ dalam ruang vektor topologis jika dan hanya jika $-x + U$ adalah lingkungan $\mathbf{0}$ .

Akibat 9.3.5.

Misalkan $\mathfrak{U}$ suatu basis filter bagi filter lingkungan di titik asal dalam ruang vektor topologis $X$ . Suatu subhimpunan $V$ dari $X$ terbuka jika dan hanya jika untuk setiap $x \in V$ terdapat $U \in \mathfrak{U}$ sedemikian sehingga $x + U \subseteq V$ .

Korolari sebelumnya menyatakan bahwa topologi suatu ruang vektor topologis sepenuhnya ditentukan oleh suatu basis filter bagi filter lingkungan di titik asal ruang tersebut. Basis filter semacam itu kita sebut basis lokal (bagi topologi tersebut).

Proposisi 9.3.6.

Jika $U$ adalah lingkungan titik asal dalam ruang vektor topologis dan $0 \ne \lambda \in \mathbb{K}$ , maka $\lambda U$ adalah lingkungan titik asal.

Proposisi 9.3.7.

Dalam ruang vektor topologis, setiap lingkungan $\mathbf{0}$ memuat suatu lingkungan seimbang dari $\mathbf{0}$ .

Proposisi 9.3.8.

Dalam ruang vektor topologis, setiap lingkungan $\mathbf{0}$ bersifat menyerap.

Proposisi 9.3.9.

Jika $V$ adalah lingkungan $\mathbf{0}$ dalam ruang vektor topologis, maka terdapat lingkungan $U$ dari $\mathbf{0}$ sedemikian sehingga $U + U \subseteq V$ .

Proposisi berikutnya merupakan (hampir) kebalikan dari ketiga proposisi sebelumnya.

Proposisi 9.3.10.

Misalkan $X$ ruang vektor dan $\mathfrak{U}$ suatu basis filter pada $X$ yang memenuhi syarat-syarat berikut:

setiap anggota $\mathfrak{U}$ seimbang;
setiap anggota $\mathfrak{U}$ bersifat menyerap; dan
untuk setiap $V \in \mathfrak{U}$ terdapat $U \in \mathfrak{U}$ sedemikian sehingga $U + U \subseteq V$ .

Maka terdapat topologi $\mathfrak{T}$ pada $X$ yang menjadikan $X$ suatu ruang vektor topologis dan $\mathfrak{U}$ suatu basis lokal bagi $\mathfrak{T}$ .

Contoh 9.3.11.

Dalam ruang linear bernorma, keluarga $\{C_r(\mathbf{0})\colon r > 0\}$ yang terdiri atas bola-bola tertutup berpusat di titik asal merupakan basis lokal bagi topologi pada ruang tersebut.

Contoh 9.3.12.

Misalkan $\Omega$ suatu subhimpunan terbuka tak kosong dari $\mathbb{R}^n$ . Untuk setiap subhimpunan kompak $K \subseteq \Omega$ dan setiap $\epsilon > 0$ , misalkan $U_{K,\epsilon} = \{ f \in \mathcal{C}(\Omega)\colon \lvert f(x)\rvert \le \epsilon \text{ jika } x \in K\}$ . Maka keluarga semua himpunan $U_{K,\epsilon}$ tersebut merupakan basis lokal bagi suatu topologi pada $\mathcal{C}(\Omega)$ . Topologi ini adalah topologi konvergensi seragam pada himpunan-himpunan kompak.

Proposisi 9.3.13.

Misalkan $A$ suatu subhimpunan dari ruang vektor topologis dan $0 \ne \alpha \in \mathbb{K}$ . Maka $\alpha \overline{A} = \overline{\alpha A}$ .

Proposisi 9.3.14.

Misalkan $S$ suatu himpunan dalam ruang vektor topologis.

Jika $S$ seimbang, demikian pula tutupannya.
Selubung seimbang dari $S$ mungkin tidak tertutup sekalipun $S$ sendiri tertutup.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk (b), misalkan $S$ adalah hiperbola di $\mathbb{R}^2$ yang persamaannya $xy = 1$ . ◻

Proposisi 9.3.15.

Jika $M$ merupakan subruang vektor dari suatu ruang vektor topologis, maka $\overline{M}$ juga merupakan subruang vektor.

Jelas bahwa setiap himpunan penyerap dalam ruang vektor topologis harus memuat titik asal. Namun, contoh berikut menunjukkan bahwa himpunan tersebut belum tentu memuat suatu lingkungan titik asal.

Contoh 9.3.16.

Dalam ruang vektor real $\mathbb{R}^2$ , himpunan $C_1\bigl((-1,0)\bigr) \cup C_1\bigl((1,0)\bigr) \cup \bigl(\{0\} \times [-1,1]\bigr)$ bersifat menyerap, tetapi bukan merupakan lingkungan titik asal.

Hasil berikut menyatakan bahwa dalam ruang vektor topologis, himpunan kompak dan himpunan tertutup dapat dipisahkan oleh himpunan terbuka jika keduanya saling lepas.

Proposisi 9.3.17.

Jika $K$ dan $C$ adalah dua subhimpunan tak kosong yang saling lepas dalam ruang vektor topologis $X$ , dengan $K$ kompak dan $C$ tertutup, maka terdapat lingkungan $V$ dari titik asal sedemikian sehingga $(K + V) \cap (C + V)~=~\emptyset$ .

Akibat 9.3.18.

Jika $K$ adalah subhimpunan kompak dari ruang vektor topologis Hausdorff $X$ dan $C$ adalah subhimpunan tertutup dari $X$ , maka $K + C$ tertutup di $X$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Misalkan $x \in (K + C)^c$ . Tinjau himpunan $x - K$ dan $C$ . ◻

Akibat 9.3.19.

Setiap anggota suatu basis lokal $\mathfrak{B}$ bagi ruang vektor topologis memuat tutupan suatu anggota $\mathfrak{B}$ .

Proposisi 9.3.20.

Misalkan $X$ ruang vektor topologis. Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.

$\{\mathbf{0}\}$ adalah himpunan tertutup di $X$ .
$\{x\}$ adalah himpunan tertutup untuk setiap $x \in X$ .
Untuk setiap $x \ne 0$ di $X$ , terdapat lingkungan titik asal yang tidak memuat $x$ .
$\bigcap \mathfrak{U} = \{0\}$ , dengan $\mathfrak{U}$ suatu basis lokal bagi $X$ .
$X$ adalah Hausdorff

Definisi 9.3.21.

Ruang topologis disebut regular jika titik-titik dan himpunan-himpunan tertutup dapat dipisahkan oleh himpunan terbuka; yaitu, jika $C$ adalah subhimpunan tertutup dari ruang tersebut dan $x$ adalah titik dari ruang tersebut yang tidak berada dalam $C$ , maka terdapat himpunan terbuka $U$ dan $V$ yang saling lepas sedemikian sehingga $C \subseteq U$ dan $x \in V$ .

Proposisi 9.3.22.

Setiap ruang vektor topologis Hausdorff bersifat regular.

Akibat 9.3.23.

Jika $X$ adalah ruang vektor topologis yang setiap titiknya merupakan himpunan tertutup, maka $X$ bersifat regular.

Proposisi 9.3.24.

Misalkan $X$ ruang vektor topologis Hausdorff. Jika $M$ adalah subruang dari $X$ dan $F$ adalah subruang vektor berdimensi hingga dari $X$ , maka $M + F$ tertutup di $X$ . (Khususnya, $F$ tertutup.)

Definisi 9.3.25.

Suatu subhimpunan $B$ dari ruang vektor topologis disebut terbatas jika untuk setiap lingkungan $U$ dari $\mathbf{0}$ dalam ruang tersebut terdapat $\alpha > 0$ sedemikian sehingga $B \subseteq \alpha U$ .

Proposisi 9.3.26.

Suatu subhimpunan dari ruang vektor topologis bersifat terbatas jika dan hanya jika diserap oleh setiap lingkungan $\mathbf{0}$ .

Proposisi 9.3.27.

Suatu subhimpunan $B$ dari ruang vektor topologis bersifat terbatas jika dan hanya jika $\alpha_n x_n \rightarrow\mathbf{0}$ kapan pun $(x_n)$ adalah barisan vektor dalam $B$ dan $(\alpha_n)$ adalah barisan skalar dalam $c_0$ .

Proposisi 9.3.28.

Jika suatu subhimpunan dari ruang vektor topologis bersifat terbatas, maka tutupannya juga terbatas.

Proposisi 9.3.29.

Jika subhimpunan $A$ dan $B$ dari ruang vektor topologis bersifat terbatas, maka $A \cup B$ juga terbatas.

Proposisi 9.3.30.

Jika subhimpunan $A$ dan $B$ dari ruang vektor topologis bersifat terbatas, maka $A + B$ juga terbatas.

Proposisi 9.3.31.

Setiap subhimpunan kompak dari ruang vektor topologis adalah terbatas.

Seperti halnya pada ruang linear bernorma, kita mengatakan bahwa pemetaan linear bersifat terbatas jika memetakan himpunan terbatas ke himpunan terbatas.

Definisi 9.3.32.

Suatu pemetaan linear $T\colon X \rightarrow Y$ antara ruang-ruang vektor topologis disebut terbatas jika $T^\rightarrow(B)$ merupakan subhimpunan terbatas dari $Y$ kapan pun $B$ merupakan subhimpunan terbatas dari $X$ .

Proposisi 9.3.33.

Setiap pemetaan linear kontinu antara ruang-ruang vektor topologis bersifat terbatas.

Definisi 9.3.34.

Suatu filter $\mathfrak{F}$ pada subhimpunan $A$ dari ruang vektor topologis $X$ adalah filter Cauchy jika untuk setiap lingkungan $U$ dari titik asal dalam $X$ terdapat $B \in \mathfrak{F}$ sedemikian sehingga $B - B \subseteq U\,.$

Proposisi 9.3.35.

Pada ruang vektor topologis, setiap filter yang konvergen merupakan filter Cauchy.

Definisi 9.3.36.

Suatu subhimpunan $A$ dari ruang vektor topologis $X$ disebut lengkap jika setiap filter Cauchy pada $A$ konvergen ke suatu titik di $A$ .

Proposisi 9.3.37.

Setiap subhimpunan lengkap dari ruang vektor topologis Hausdorff adalah tertutup.

Proposisi 9.3.38.

Jika $C$ merupakan subhimpunan tertutup dari suatu himpunan lengkap dalam ruang vektor topologis, maka $C$ lengkap.

Proposisi 9.3.39.

Suatu pemetaan linear $T\colon X \rightarrow Y$ antara ruang-ruang vektor topologis bersifat kontinu jika dan hanya jika pemetaan tersebut kontinu di nol.

Hasil Bagi

Konvensi 9.4.1.

Seperti halnya pada ruang Hilbert dan Banach, kata “subruang” dalam konteks ruang vektor topologis berarti subruang vektor tertutup.

Definisi 9.4.2.

Misalkan $M$ suatu subruang vektor dari ruang vektor topologis $X$ dan $\pi\colon X \rightarrow X/M \colon x \mapsto [x]$ adalah pemetaan hasil bagi yang biasa. Pada ruang vektor hasil bagi $X/M$ kita definisikan suatu topologi, yang kita sebut topologi hasil bagi, dengan menetapkan filter lingkungan di titik asal pada $X/M$ sebagai citra oleh $\pi$ dari filter lingkungan di titik asal pada $X$ . Artinya, kita menyatakan suatu subhimpunan $V$ dari $X/M$ sebagai lingkungan $\mathbf{0}$ jika, dan hanya jika, terdapat suatu lingkungan $U$ dari titik asal di $X$ sedemikian sehingga $V = \pi^{\rightarrow}(U)$ .

Proposisi 9.4.3.

Misalkan $M$ suatu subruang vektor dari ruang vektor topologis $X$ . Jika $X/M$ diberi topologi hasil bagi, maka pemetaan hasil bagi $\pi\colon X \rightarrow X/M$ merupakan pemetaan terbuka sekaligus kontinu.

Contoh 9.4.4.

Misalkan $M$ adalah sumbu $y$ dalam ruang vektor topologis $\mathbb{R}^2$ (dengan topologinya yang biasa). Identifikasikan $\mathbb{R}^2/M$ dengan sumbu $x$ . Meskipun pemetaan hasil bagi memetakan himpunan terbuka ke himpunan terbuka, hiperbola $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2\colon xy = 1\}$ menunjukkan bahwa $\pi$ tidak harus memetakan himpunan tertutup ke himpunan tertutup.

Proposisi 9.4.5.

Misalkan $M$ suatu subruang vektor dari ruang vektor topologis $X$ . Topologi hasil bagi pada $X/M$ adalah topologi terbesar yang membuat pemetaan hasil bagi kontinu.

Proposisi berikut menjamin bahwa topologi hasil bagi, sebagaimana didefinisikan di atas, menjadikan ruang vektor hasil bagi suatu ruang vektor topologis.

Proposisi 9.4.6.

Misalkan $M$ suatu subruang vektor dari ruang vektor topologis $X$ . Topologi hasil bagi pada $X/M$ kompatibel dengan operasi-operasi ruang vektor pada ruang tersebut.

Proposisi 9.4.7.

Jika $M$ suatu subruang vektor dari ruang vektor topologis $X$ , maka ruang hasil bagi $X/M$ bersifat Hausdorff jika dan hanya jika $M$ tertutup dalam $X$ .

Latihan 9.4.8.

Jelaskan pula bagaimana proposisi sebelumnya memungkinkan kita mengaitkan suatu ruang lain yang bersifat Hausdorff dengan suatu ruang vektor topologis non-Hausdorff.

Proposisi 9.4.9.

Misalkan $T\colon X \rightarrow Y$ suatu pemetaan linear antara ruang-ruang vektor topologis dan $M$ suatu subruang dari $X$ . Jika $M \subseteq \ker T$ , maka terdapat fungsi unik $\widetilde{T}\colon X/M \rightarrow Y$ sedemikian sehingga $T = \widetilde{T} \circ \pi$ (dengan $\pi$ adalah pemetaan hasil bagi). Fungsi $\widetilde{T}$ bersifat linear; fungsi ini kontinu jika dan hanya jika $T$ kontinu; fungsi ini terbuka jika dan hanya jika $T$ terbuka.

Ruang Konveks Lokal dan Seminorma

Proposisi 9.5.1.

Dalam suatu ruang vektor topologis, tutupan suatu himpunan konveks adalah konveks.

Proposisi 9.5.2.

Dalam suatu ruang vektor topologis, setiap lingkungan konveks dari $\mathbf{0}$ memuat suatu lingkungan seimbang dan konveks dari $\mathbf{0}$ .

Proposisi 9.5.3.

Suatu subhimpunan tertutup $C$ dari ruang vektor topologis bersifat konveks jika dan hanya jika $\frac12(x + y)$ termasuk dalam $C$ setiap kali $x$ dan $y$ juga demikian.

Proposisi 9.5.4.

Jika suatu subhimpunan dari ruang vektor topologis bersifat konveks, maka tutupan dan interiornya juga konveks.

Definisi 9.5.5.

Suatu ruang vektor topologis disebut konveks lokal jika ruang tersebut memiliki basis lokal yang terdiri atas himpunan-himpunan konveks. Untuk ringkasnya, suatu ruang vektor topologis yang konveks lokal cukup kita sebut sebagai ruang konveks lokal.

Proposisi 9.5.6.

Jika $p$ suatu seminorma pada ruang vektor, maka $p(\mathbf{0}) = 0$ .

Proposisi 9.5.7.

Jika $p$ suatu seminorma pada ruang vektor $V$ , maka $\lvert p(x) - p(y)\rvert \le p(x - y)$ untuk semua $x$ , $y \in V$ .

Akibat 9.5.8.

Jika $p$ suatu seminorma pada ruang vektor $V$ , maka $p(x) \ge 0$ untuk semua $x \in V$ .

Proposisi 9.5.9.

Jika $p$ suatu seminorma pada ruang vektor $V$ , maka $p^{\gets}(\{0\})$ adalah subruang vektor dari $V$ .

Definisi 9.5.10.

Misalkan $p$ suatu seminorma pada ruang vektor $V$ dan $\epsilon > 0$ . Himpunan $B_{p,\epsilon} := p^{\gets}\bigl([0,\epsilon)\bigr)$ kita sebut semibola terbuka berjari-jari $\epsilon$ di titik asal yang ditentukan oleh $p$ . Demikian pula, himpunan $C_{p,\epsilon} := p^{\gets}\bigl([0,\epsilon]\bigr)$ adalah semibola tertutup berjari-jari $\epsilon$ di titik asal yang ditentukan oleh $p$ . Untuk semibola terbuka dan tertutup berjari-jari satu yang ditentukan oleh $p$ , gunakan masing-masing notasi $B_p$ dan $C_p$ .

Proposisi 9.5.11.

Misalkan $\mathcal{P}$ suatu keluarga seminorma pada ruang vektor $V$ . Keluarga $\mathfrak{U}$ dari semua irisan hingga dari semibola-semibola terbuka di titik asal $V$ menginduksi suatu topologi (yang tidak harus Hausdorff) pada $V$ yang kompatibel dengan struktur linear $V$ dan yang terhadapnya $\mathfrak{U}$ merupakan suatu basis lokal.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Proposisi 9.3.10. ◻

Proposisi 9.5.12.

Misalkan $p$ seminorma pada ruang vektor topologis $X$ . Pernyataan berikut ekuivalen:

$B_p$ terbuka dalam $X$ ;
$p$ kontinu di titik asal; dan
$p$ kontinu.

Proposisi 9.5.13.

Jika $p$ dan $q$ merupakan seminorma kontinu pada suatu ruang vektor topologis, maka $p + q$ dan $\max\{p,q\}$ juga demikian.

Contoh 9.5.14.

Misalkan $N$ suatu subhimpunan yang bersifat menyerap, seimbang, dan konveks dari ruang vektor $V$ . Definisikan $\mu _{{}_{\scriptstyle{N}}}\colon V \rightarrow\mathbb{R}\colon x \mapsto \inf\{\lambda > 0\colon x \in \lambda N\}.$ Fungsi $\mu _{{}_{\scriptstyle{N}}}$ adalah seminorma pada $V$ . Fungsi ini disebut fungsional Minkowski dari $N$ .

Proposisi 9.5.15.

Jika $N$ suatu himpunan penyerap, seimbang, dan konveks dalam ruang vektor $V$ dan $\mu _{{}_{\scriptstyle{N}}}$ adalah fungsional Minkowski dari $N$ , maka $B_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}} \subseteq N \subseteq C_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}}$ dan fungsional-fungsional Minkowski yang dibangkitkan oleh ketiga himpunan $B_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}}$ , $N$ , dan $C_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}}$ semuanya identik.

Proposisi 9.5.16.

Jika $N$ suatu himpunan penyerap, seimbang, dan konveks dalam ruang vektor $V$ dan $\mu _{{}_{\scriptstyle{N}}}$ adalah fungsional Minkowski dari $N$ , maka $\mu _{{}_{\scriptstyle{N}}}$ kontinu jika dan hanya jika $N$ merupakan lingkungan nol; dalam hal ini $B_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}} = {N}^{\circ} \quad \text{dan} \quad C_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}} = \overline{N}.$

Akibat 9.5.17.

Misalkan $N$ suatu subhimpunan tertutup yang bersifat menyerap, seimbang, dan konveks dari ruang vektor topologis $X$ . Maka fungsional Minkowski $\mu _{{}_{\scriptstyle{N}}}$ adalah seminorma unik pada $X$ sedemikian sehingga $N = C_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}}$ .

Proposisi 9.5.18.

Misalkan $p$ suatu seminorma pada ruang vektor $V$ . Maka himpunan $B_p$ bersifat menyerap, seimbang, dan konveks. Selain itu, $p = \mu_{{}_{\scriptstyle{B_p}}}$ .

Definisi 9.5.19.

Suatu keluarga seminorma $\mathcal{P}$ pada ruang vektor $V$ disebut pemisah jika untuk setiap $x \in V$ dengan $x \ne \mathbf{0}$ terdapat $p \in \mathcal{P}$ sedemikian sehingga $p(x) \ne 0$ .

Proposisi 9.5.20.

Dalam suatu ruang vektor topologis Hausdorff, misalkan $\mathfrak{B}$ suatu basis lokal yang terdiri atas himpunan terbuka, seimbang, dan konveks. Maka $\{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}\colon N \in \mathfrak{B}\}$ adalah suatu keluarga seminorma pemisah pada ruang tersebut; setiap anggotanya kontinu, dan $N = B_{\mu_{{}_{\scriptstyle{\!N}}}}$ berlaku untuk setiap $N \in \mathfrak{B}$ .

Proposisi berikut memperlihatkan bagaimana banyak ruang konveks lokal yang paling penting muncul—dari suatu keluarga seminorma pemisah.

Proposisi 9.5.21.

Misalkan $\mathcal{P}$ suatu keluarga seminorma pemisah pada ruang vektor $V$ . Untuk setiap $p \in \mathcal{P}$ dan setiap $n \in \mathbb{N}$ , misalkan $U_{p,n} = p^{\gets}\bigl([0,\frac1n)\bigr)$ . Maka keluarga semua irisan hingga dari himpunan-himpunan $U_{p,n}$ membentuk suatu basis lokal yang seimbang dan konveks bagi suatu topologi pada $V$ yang menjadikan $V$ suatu ruang konveks lokal dan setiap seminorma dalam $\mathcal{P}$ kontinu.

Contoh 9.5.22.

Misalkan $X$ suatu ruang Hausdorff yang kompak lokal. Untuk setiap subhimpunan kompak tak kosong $K$ dari $X$ , definisikan $p_{{}_{\scriptstyle{K}}}\colon \mathcal{C}(X) \rightarrow\mathbb{R}\colon f \mapsto \sup\{\lvert f(x)\rvert\colon x \in K\}.$ Maka keluarga $\mathcal{P}$ dari semua $p_{{}_{\scriptstyle{K}}}$ , dengan $K$ suatu subhimpunan kompak tak kosong dari $X$ , merupakan suatu keluarga seminorma yang menjadikan $\mathcal{C}(X)$ suatu ruang konveks lokal.

Proposisi 9.5.23.

Suatu pemetaan linear $T\colon V \rightarrow W$ dari suatu ruang vektor topologis ke suatu ruang konveks lokal bersifat kontinu jika dan hanya jika $p \circ T$ merupakan seminorma kontinu pada $V$ untuk setiap seminorma kontinu $p$ pada $W$ .

Proposisi 9.5.24.

Misalkan $f$ suatu fungsional linear kontinu pada subruang $M$ dari ruang konveks lokal $X$ . Maka $f$ dapat diperluas menjadi suatu fungsional linear kontinu pada seluruh $X$ .

Bukti.

Proof. Lihat [8], Proposisi IV.5.13. ◻

Ruang Fréchet

Definisi 9.6.1.

Ruang topologis $(X,\mathfrak{T})$ disebut dapat dimetrikkan jika terdapat suatu metrik $d$ pada $X$ sedemikian sehingga topologi yang dibangkitkan oleh $d$ adalah $\mathfrak{T}$ .

Definisi 9.6.2.

Suatu metrik $d$ pada ruang vektor $V$ disebut invarian terhadap translasi jika $d(x,y) = d(x + a, y + a)$ untuk semua $x$ , $y$ , dan $a$ di $V$ .

Proposisi 9.6.3.

Misalkan $(X,\mathfrak{T})$ ruang vektor topologis Hausdorff yang memiliki basis lokal terhitung. Maka terdapat metrik invarian terhadap translasi $d$ pada $X$ yang membangkitkan topologi $\mathfrak{T}$ dan yang bola-bola terbukanya di titik asal seimbang. Jika $X$ ruang konveks lokal, maka $d$ dapat dipilih sedemikian sehingga, selain itu, bola-bola terbukanya konveks.

Bukti.

Proof. Lihat [47], Teorema 1.24. ◻

Contoh 9.6.4.

Misalkan $\{p_n\colon n \in \mathbb{N}\}$ suatu keluarga seminorma pemisah terhitung pada ruang vektor $X$ , dan misalkan $\mathfrak{T}$ topologi pada $X$ yang dijamin oleh Proposisi 9.5.21. Dalam hal ini kita dapat secara eksplisit mendefinisikan suatu metrik invarian terhadap translasi pada $X$ yang menginduksi topologi $\mathfrak{T}$ . Untuk setiap barisan $\bigl(\alpha_k\bigr) \in c_0$ dengan $\alpha_k>0$ untuk setiap $k\in\mathbb{N}$ , suatu metrik dengan sifat-sifat yang diinginkan diberikan oleh $d(x,y) = \max_{k \in \mathbb{N}}\biggl\{\frac{\alpha_k p_k(x-y)}{1 + p_k(x-y)}\biggr\}.$

Bukti.

Proof. Lihat [47], Catatan 1.38(c). ◻

Definisi 9.6.5.

Sebuah ruang Fréchet adalah ruang konveks lokal yang lengkap dan dapat dimetrikkan.

Notasi 9.6.6.

Misalkan $A$ dan $B$ subhimpunan suatu ruang topologis. Kita menulis $A\prec B$ jika $\overline{A} \subseteq {B}^{\circ}$ .

Proposisi 9.6.7.

Pernyataan berikut berlaku untuk subhimpunan $A$ , $B$ , dan $C$ dari suatu ruang topologis:

jika $A \prec B$ dan $B \prec C$ , maka $A \prec C$ ;
jika $A \prec C$ dan $B \prec C$ , maka $A \cup B \prec C$ ; dan
jika $A \prec B$ dan $A \prec C$ , maka $A \prec B \cap C$ .

Berikut adalah hasil standar dari topologi elementer.

Proposisi 9.6.8.

Misalkan $\Omega$ subhimpunan terbuka tak kosong dari $\mathbb{R}^n$ . Maka terdapat suatu barisan $(K_n)$ yang terdiri atas subhimpunan kompak tak kosong dari $\Omega$ sedemikian sehingga $K_i \prec K_j$ setiap kali $i < j$ dan .

Bukti.

Proof. Lihat [49], Lema 10.1. ◻

Contoh 9.6.9.

Misalkan $\Omega$ subhimpunan terbuka tak kosong dari suatu ruang Euklides $\mathbb{R}^n$ , dan misalkan $\mathcal{C}(\Omega)$ keluarga semua fungsi kontinu bernilai skalar pada $\Omega$ . Berdasarkan proposisi sebelumnya, kita dapat menuliskan $\Omega$ sebagai gabungan suatu koleksi terhitung himpunan kompak tak kosong $K_1$ , $K_2$ , …sedemikian sehingga $K_i \prec K_j$ setiap kali $i < j$ . Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ dan $f \in \mathcal{C}(\Omega)$ , misalkan $p_n(f) = \sup\{\lvert f(x)\rvert\colon x \in K_n\}$ seperti dalam Contoh 9.5.22. Menurut Proposisi 9.5.21, keluarga seminorma ini menjadikan $\mathcal{C}(\Omega)$ ruang konveks lokal. Misalkan $\mathfrak{T}$ topologi yang dihasilkan pada ruang ini. Berdasarkan Contoh 9.6.4, fungsi $d(f,g) = \max_{k \in \mathbb{N}}\frac{2^{-k}p_k(f-g)}{1 + p_k(f-g)}$ mendefinisikan suatu metrik pada $\mathcal{C}(\Omega)$ yang menginduksi topologi $\mathfrak{T}$ . Dengan metrik ini, $\mathcal{C}(\Omega)$ adalah ruang Fréchet.

Notasi 9.6.10.

Misalkan $\Omega$ subhimpunan terbuka dari suatu ruang Euklides $\mathbb{R}^n$ . Kita akan meninjau fungsi-fungsi bernilai skalar yang dapat didiferensialkan tak hingga pada $\Omega$ ; yakni fungsi pada $\Omega$ yang memiliki turunan untuk setiap orde di tiap titik $\Omega$ . Kita akan menyebut fungsi-fungsi demikian sebagai fungsi mulus pada $\Omega$ . Kelas semua fungsi mulus pada $\Omega$ dinotasikan dengan $\mathcal{C}^\infty(\Omega)$ .

Kelas penting lain yang akan kita tinjau adalah $\mathcal{C}_c^\infty(\Omega)$ , yaitu keluarga semua fungsi bernilai skalar pada $\Omega$ yang dapat didiferensialkan tak hingga dan memiliki tumpuan kompak; yakni fungsi yang bernilai nol di luar suatu subhimpunan kompak dari $\Omega$ . Fungsi-fungsi dalam keluarga ini sering disebut fungsi uji pada $\Omega$ . Notasi lain yang lebih singkat, yang lazim digunakan untuk keluarga ini adalah $\mathcal{D}(\Omega)$ .

Kita akan menaruh perhatian pada operator diferensial pada ruang $\mathcal{D}(\Omega)$ . Misalkan $\boldsymbol{\alpha }= (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ suatu multi-indeks, yaitu suatu tupel- $n$ bilangan bulat dengan setiap $\alpha_k \ge 0$ , dan misalkan $D^{\boldsymbol{\alpha}} = \biggl(\frac{\partial}{\partial x_1}\biggr)^{\alpha_1} \dots \biggl(\frac{\partial}{\partial x_n}\biggr)^{\alpha_n}.$ Yang dimaksud dengan orde operator diferensial $D^{\boldsymbol{\alpha}}$ adalah $\lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert := \sum_{k=1}^n \alpha_k$ . (Ketika $\lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert = 0$ , kita memahami $D^{\boldsymbol{\alpha}}(f) = f$ untuk setiap fungsi $f$ .) Notasi alternatif untuk $D^{\boldsymbol{\alpha}}f$ adalah $f^{(\boldsymbol{\alpha})}$ .

Contoh 9.6.11.

Pada keluarga $\mathcal{C}^\infty(\Omega)$ dari fungsi-fungsi mulus pada suatu subhimpunan terbuka $\Omega$ dari ruang Euklides $\mathbb{R}^n$ , definisikan keluarga seminorma $\{p_{{}_{\scriptstyle{K,j}}}\}$ . Untuk setiap subhimpunan kompak $K$ dari $\Omega$ dan setiap $j \in \mathbb{N}$ , misalkan $p_{{}_{\scriptstyle{K,j}}}(f) = \sup\{\lvert D^{\boldsymbol{\alpha}}f(x)\rvert\colon x \in K \text{ dan } \lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert \le j\}.$ Keluarga seminorma ini menjadikan $\mathcal{C}^\infty(\Omega)$ ruang Fréchet. Topologi yang dihasilkan pada $\mathcal{C}^\infty(\Omega)$ kadang-kadang disebut topologi konvergensi seragam pada himpunan-himpunan kompak bagi fungsi-fungsi tersebut dan semua turunannya.

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk melihat bahwa ruang ini dapat dimetrikkan, gunakan Contoh 9.6.4 dan Proposisi 9.6.8. ◻

Contoh 9.6.12.

Misalkan $n \in \mathbb{N}$ . Nyatakan dengan $\mathcal{S} = \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ ruang semua fungsi mulus $f$ yang didefinisikan pada seluruh $\mathbb{R}^n$ dan memenuhi $\lim_{\lVert x\rVert \rightarrow\infty}{\lVert x\rVert}^k \lvert D^{\boldsymbol{\alpha}}f(x)\rvert = 0$ untuk semua multi-indeks $\boldsymbol{\alpha }= (\alpha_1,\dots,\alpha_n) \in \mathbb{N}^n$ dan semua bilangan bulat $k \ge 0$ . Fungsi-fungsi demikian sering disebut sebagai fungsi dengan turunan yang menurun cepat, atau lebih singkat lagi, fungsi yang menurun cepat. Pada $\mathcal{S}$ kita gunakan topologi yang didefinisikan oleh seminorma-seminorma $p_{{}_{\scriptstyle{m,k}}}(f) := \sup_{\lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert \le m}\bigl\{\sup_{x \in \mathbb{R}^n} \{(1 + {\lVert x\rVert}^2)^k \lvert(D^{\boldsymbol{\alpha}}f)(x)\rvert\}\bigr\}$ untuk $k$ , $m = 0,1,2,\dots$ . Ruang yang dihasilkan adalah ruang Fréchet yang disebut ruang Schwartz dari $\mathbb{R}^n$ .

Bukti.

Petunjuk untuk bukti. Untuk bukti kelengkapan, lihat [49], Contoh IV, halaman 92–94. ◻

Proposisi 9.6.13.

Suatu fungsi uji $\psi$ pada $\mathbb{R}$ merupakan turunan dari fungsi uji lain jika dan hanya jika $\int_{-\infty}^\infty\psi = 0$ .

Proposisi 9.6.14.

Misalkan $F$ ruang Fréchet yang topologinya diinduksi oleh suatu metrik invarian terhadap translasi. Maka setiap subhimpunan terbatas dari $F$ memiliki diameter hingga.

Contoh 9.6.15.

Tinjau ruang Fréchet $\mathbb{R}$ dengan topologi yang diinduksi oleh metrik invarian terhadap translasi . Maka himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ memiliki diameter hingga, tetapi tidak terbatas.