Keterintegralan seragam — Fondasi Teori Ukuran

Topik berikut cukup khusus. Namun, karena alasan yang berlainan, topik ini sangat penting baik dalam teori probabilitas maupun dalam analisis fungsional, sehingga layak dibahas secara tuntas sejak awal.

246A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur.

246Aa (a)

Himpunan \(A\subseteq{\eusm L}^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika, untuk setiap \(\epsilon>0\), terdapat himpunan \(E\in\Sigma\) dengan ukuran berhingga dan bilangan \(M\ge 0\) sedemikian sehingga

\(\int(|f|-M\chi E)^+\le\epsilon\) untuk setiap \(f\in A\).

246Ab (b)

Himpunan \(A\subseteq L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika, untuk setiap \(\epsilon>0\), terdapat himpunan \(E\in\Sigma\) dengan ukuran berhingga dan bilangan \(M\ge 0\) sedemikian sehingga

\(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\).

246B Catatan

(a) Ingat rumus-rumus dari 241Ef: \(u^+=u\vee 0\), jadi \((u-v)^+=u-u\wedge v\).

246Bb (b)

Frasa ‘terintegralkan secara seragam’ sendiri tidak terlalu membantu. Namun, untuk setiap fungsi terintegralkan \(f\), terdapat fungsi-fungsi sederhana yang menghampiri \(f\) dalam norma \(\|\,\|_1\) (242M). Modulus fungsi sederhana tersebut dibatasi oleh fungsi berbentuk \(M\chi E\), dengan \(\mu E<\infty\); karena itu, setiap himpunan beranggota tunggal dalam \(\eusm L^1\) atau \(L^1\) terintegralkan secara seragam. Pada himpunan fungsi terintegralkan secara seragam yang umum, \(M\) dan \(E\) dapat dipilih sekaligus untuk seluruh anggota himpunan.

(c) Dari definisi, semestinya jelas bahwa \(A\subseteq\eusm L^1\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika \(\{f^{\ssbullet}:f\in A\}\subseteq L^1\) terintegralkan secara seragam.

246Bd (d)

Jika \(\mu X<\infty\) himpunan \(A\subseteq L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika

\(\inf_{M\ge 0}\sup_{u\in A}\int(|u|-Me)^+=0\)

jika dan hanya jika

\(\lim_{M\to\infty}\sup_{u\in A}\int(|u|-Me)^+=0\),

dengan \(e=\chi X^{\ssbullet}\in L^1(\mu)\). (Sebab jika \(\sup_{u\in A}\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\), maka \(\int(|u|-M'e)^+\le\epsilon\) untuk setiap \(M'\ge M\).) Demikian pula, \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika

\(\lim_{M\to\infty}\sup_{f\in A}\int(|f|-M\chi X)^+ =0\)

jika dan hanya jika

\(\inf_{M\ge 0}\sup_{f\in A}\int(|f|-M\chi X)^+=0\).

Peringatan! Beberapa penulis menggunakan frasa ‘terintegralkan secara seragam’ bagi himpunan yang memenuhi syarat-syarat dalam (d), bahkan ketika \(\mu\) tidak berhingga total.

246C

Kelas himpunan terintegralkan secara seragam dalam \(L^1\) atau \(\eusm L^1\) memiliki berbagai sifat kestabilan berikut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur dan \(A\) subhimpunan \(L^1(\mu)\) yang terintegralkan secara seragam.

(a) \(A\) terbatas dalam norma \(\|\,\|_1\).

(b) Setiap subhimpunan dari \(A\) terintegralkan secara seragam.

(d) Terdapat \(C\supseteq A\) yang terintegralkan secara seragam sedemikian sehingga \(C\) konveks dan tertutup dalam norma \(\|\,\|_1\), serta \(v\in C\) setiap kali \(u\in C\) dan \(|v|\le|u|\).

(e) Jika \(B\) adalah himpunan terintegralkan secara seragam lainnya dalam \(L^1\), maka \(A\cup B\) dan \(A+B=\{u+v:u\in A,\,v\in B\}\) juga terintegralkan secara seragam.

Bukti

Tuliskan \(\Sigma^f\) untuk \(\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\).

(a) Harus ada \(E\in\Sigma^f\), \(M\ge 0\) sehingga \(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le 1\) untuk setiap \(u\in A\); sekarang

\(\|u\|_1\le\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+ +\int M\chi E^{\ssbullet}\le 1+M\mu E\)

untuk setiap \(u\in A\), sehingga \(A\) terbatas.

(b) Ini langsung dari definisi 246Ab.

(c) Untuk \(\epsilon>0\), kita dapat memilih \(E\in\Sigma^f\) dan \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|a|\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\). Karena itu, \(\int(|v|-|a|M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(v\in aA\).

(d) Jika \(A\) kosong, ambil \(C=A\). Jika tidak, ambil

\(C=\{v:v\in L^1,\,\int(|v|-w)^+ \le\sup_{u\in A}\int(|u|-w)^+\) untuk setiap \(w\in L^1(\mu)\}\).

Jelas bahwa \(A\subseteq C\), dan \(C\) memenuhi definisi 246Ab karena \(A\) memenuhinya: cukup tinjau \(w\) berbentuk \(M\chi E^{\ssbullet}\), dengan \(E\in\Sigma^f\) dan \(M\ge 0\). Setiap fungsional

\(v\mapsto\int(|v|-w)^+:L^1(\mu)\to\Bbb R\)

kontinu dalam norma \(\|\,\|_1\) (karena operator \(v\mapsto|v|\), \(v\mapsto v-w\), \(v\mapsto v^+\), dan \(v\mapsto\int v\) semuanya kontinu), sehingga \(C\) tertutup. Jika \(|v'|\le|v|\) dan \(v\in C\), maka

\(\int(|v'|-w)^+\le\int(|v|-w)^+ \le\sup_{u\in A}\int(|u|-w)^+\)

untuk setiap \(w\), dan \(v'\in C\). Jika \(v=av_1+bv_2\) di mana \(v_1\), \(v_2\in C\), \(a\in[0,1]\) dan \(b=1-a\), maka \(|v|\le a|v_1|+b|v_2|\), jadi

\(|v|-w\le(a|v_1|-aw)+(b|v_2|-bw) \le(a|v_1|-aw)^++(b|v_2|-bw)^+\)

dan

\((|v|-w)^+\le a(|v_1|-w)^++b(|v_2|-w)^+\)

untuk setiap \(w\); oleh karena itu,

\[\begin{aligned}\int(|v|-w)^+ &\le a\int(|v_1|-w)^++b\int(|v_2|-w)^+\\ &\le(a+b)\sup_{u\in A}\int(|u|-w)^+ =\sup_{u\in A}\int(|u|-w)^+\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(w\), sehingga \(v\in C\).

Jadi \(C\) memiliki semua sifat yang disyaratkan.

(e) Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa \(A\cup B\) terintegralkan secara seragam. Bukti. Untuk \(\epsilon>0\), pilih \(M_1\), \(M_2\ge 0\) dan \(E_1\), \(E_2\in\Sigma^f\) sedemikian sehingga

\(\int(|u|-M_1\chi E_1^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\),

\(\int(|u|-M_2\chi E_2^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in B\).

Tetapkan \(M=\max(M_1,M_2)\) dan \(E=E_1\cup E_2\); maka \(\mu E<\infty\) dan

\(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\cup B\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(A\cup B\) terintegralkan secara seragam. ∎

Menurut (d), terdapat himpunan konveks terintegralkan secara seragam \(C\) yang memuat \(A\cup B\). Dalam hal ini \(A+B\subseteq 2C\), sehingga (b) dan (c) menunjukkan bahwa \(A+B\) juga terintegralkan secara seragam.

246D Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang probabilitas dan \(A\subseteq L^1(\mu)\) himpunan terintegralkan secara seragam. Maka terdapat himpunan konveks, tertutup dalam norma \(\|\,\|_1\), dan terintegralkan secara seragam, yakni \(C\subseteq L^1\), sedemikian sehingga \(A\subseteq C\), \(w\in C\) setiap kali \(v\in C\) dan \(|w|\le|v|\), dan \(Pv\in C\) setiap kali \(v\in C\) dan \(P\) adalah operator ekspektasi bersyarat yang terkait dengan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\).

246E Catatan (a)

Tentu saja 246D dapat dirumuskan dengan \(\eusm L^1\), bukan \(L^1\): jika \((X,\Sigma,\mu)\) ruang probabilitas dan \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam, maka terdapat himpunan terintegralkan secara seragam \(C\supseteq A\) sedemikian sehingga (i) \(af+(1-a)g\in C\) setiap kali \(f\), \(g\in C\) dan \(a\in[0,1]\) (ii) \(g\in C\) setiap kali \(f\in C\), \(g\in\eusm L^0(\mu)\) dan \(|g|\leae|f|\) (iii) \(f\in C\) setiap kali terdapat suatu barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(C\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int|f-f_n|=0\) (iv) \(g\in C\) setiap kali terdapat \(f\in C\) sedemikian hingga \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) terhadap suatu subaljabar-sigma dari \(\Sigma\).

246Eb (b)

Sebenarnya, 246D dapat diperluas dengan mudah; bukti di sana sudah menunjukkan bahwa \(T[C]\subseteq C\) setiap kali \(T:L^1(\mu)\to L^1(\mu)\) adalah operator linear yang melestarikan urutan, sehingga \(\|Tu\|_1\le\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\) dan \(\|Tu\|_{\infty}\le\|u\|_{\infty}\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\cap L^{\infty}(\mu)\) (246Yc). Seandainya teori operator pada ruang Riesz telah dibahas lebih jauh, pembahasan ini pun dapat dikembangkan lebih lanjut; misalnya, operator \(T\) dalam kalimat terakhir sebenarnya tidak perlu melestarikan urutan. Saya akan kembali ke masalah ini dalam Bab 37 pada volume berikutnya.

246Ec (c)

Selain itu, teorema utama pada bagian berikut akan menunjukkan bahwa untuk setiap ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\), \((Y,\Tau,\nu)\), \(T[A]\) terintegralkan secara seragam dalam \(L^1(\nu)\) setiap kali \(A\subseteq L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam dan \(T:L^1(\mu)\to L^1(\nu)\) adalah operator linear kontinu (247D).

246F

Kita memerlukan sebuah lema elementer yang belum dinyatakan sebelumnya.

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur. Maka untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\),

\(\|u\|_1\le 2\sup_{E\in\Sigma}|\int_Eu|\).

246G

Sekarang kita sampai pada beberapa pencirian alternatif yang mencolok bagi keterintegralan seragam.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur sembarang dan \(A\) subhimpunan tak kosong dari \(L^1(\mu)\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(A\) terintegralkan secara seragam;

(ii) \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\) untuk setiap \(\mu\)-atom \(F\in\Sigma\), dan untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(E\in\Sigma\), \(\delta>0\) sedemikian rupa sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(|\int_Fu|\le\epsilon\) setiap kali \(u\in A\), \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E)\le\delta\);

(iii) \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\) untuk setiap \(\mu\)-atom \(F\in\Sigma\), dan \(\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|=0\) setiap kali \(\sequencen{F_n}\) barisan saling lepas dalam \(\Sigma\);

(iv) \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\) untuk setiap \(\mu\)-atom \(F\in\Sigma\), dan \(\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|=0\) setiap kali \(\sequencen{F_n}\) barisan tak meningkat dalam \(\Sigma\) dengan irisan kosong.

Catatan Saya menggunakan frasa ‘\(\mu\)-atom’ untuk menekankan bahwa saya maksud atom dalam arti ruang ukur (211I).

Bukti

(a)(i)\(\Rightarrow\)(iv) Misalkan \(A\) terintegralkan secara seragam. Jelas bahwa jika \(F\in\Sigma\) adalah sebuah \(\mu\)-atom,

\(\sup_{u\in A}|\int_Fu| \le\sup_{u\in A}\|u\|_1<\infty\),

menurut 246Ca. Misalkan \(\sequencen{F_n}\) barisan tak meningkat dalam \(\Sigma\) dengan irisan kosong, dan misalkan \(\epsilon>0\). Ambil \(E\in\Sigma\), \(M\ge 0\) sedemikian rupa sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\bover12\epsilon\) setiap kali \(u\in A\). Untuk semua \(n\) yang cukup besar berlaku \(M\mu(F_n\cap E)\le\bover12\epsilon\), sehingga

\(|\int_{F_n}u|\le\int_{F_n}|u| \le\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^++\int_{F_n}M\chi E^{\ssbullet} \le\Bover{\epsilon}2+M\mu(F_n\cap E)\le\epsilon\)

untuk setiap \(u\in A\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|=0\), dan (iv) benar.

(b)(iv)\(\Rightarrow\)(iii) Misalkan (iv) benar. Maka tentu saja \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\) untuk setiap \(\mu\)-atom \(F\in\Sigma\). Andaikan, jika mungkin, bahwa \(\sequencen{F_n}\) barisan saling lepas dalam \(\Sigma\) sehingga

\(\epsilon =\limsup_{n\to\infty}\sup_{u\in A}\min(1,\bover13|\int_{F_n}u|) >0\).

Tetapkan \(H_n=\bigcup_{i\ge n}F_i\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\sequencen{H_n}\) tak meningkat dan beririsan kosong, serta \(\int_{H_n}u\to 0\) sebagai \(n\to\infty\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\). Pilih \(\sequence{i}{n_i}\), \(\sequence{i}{m_i}\), \(\sequence{i}{u_i}\) secara induktif sebagai berikut. Tetapkan \(n_0=0\). Setelah \(n_i\in\Bbb N\) dipilih, ambil \(m_i\ge n_i\), \(u_i\in A\) sedemikian sehingga \(|\int_{F_{m_i}}u_i|\ge 2\epsilon\). Ambil \(n_{i+1}>m_i\) sedemikian sehingga \(\int_{H_{n_{i+1}}}|u_i|\le\epsilon\). Lanjutkan.

Tetapkan \(G_k=\bigcup_{i\ge k}F_{m_i}\) untuk setiap \(k\). Maka \(\sequence{k}{G_k}\) barisan tak meningkat dalam \(\Sigma\) dengan irisan kosong. Tetapi \(F_{m_i}\subseteq G_i\subseteq F_{m_i}\cup H_{n_{i+1}}\), jadi

\(|\int_{G_i}u_i| \ge|\int_{F_{m_i}}u_i|-|\int_{G_i\setminus F_{m_i}}u_i| \ge 2\epsilon-\int_{H_{n_{i+1}}}|u_i| \ge\epsilon\)

untuk setiap \(i\); ini bertentangan dengan hipotesis (iv).

Ini berarti bahwa \(\lim_{n\to\infty}\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|\) harus nol, dan (iii) berlaku.

(c)(iii)\(\Rightarrow\)(ii) Kita tetap mempunyai \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\) untuk setiap \(\mu\)-atom \(F\). Andaikan terdapat \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga untuk setiap himpunan terukur \(E\) berukuran berhingga dan setiap \(\delta>0\) terdapat \(u\in A\), \(F\in\Sigma\) sedemikian rupa sehingga \(\mu(F\cap E)\le\delta\) dan \(|\int_Fu|\ge\epsilon\). Pilih barisan \(\sequencen{E_n}\) dari himpunan-himpunan berukuran berhingga, barisan \(\sequencen{G_n}\) dalam \(\Sigma\), barisan \(\sequencen{\delta_n}\) bilangan real positif tegas, dan barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\) sebagai berikut. Setelah \(u_k\), \(E_k\), \(\delta_k\) dipilih untuk \(k<n\), pilih \(u_n\in A\) dan \(G_n\in\Sigma\) sedemikian rupa sehingga \(\mu(G_n\cap\bigcup_{k<n}E_k)\le 2^{-n}\min(\{1\}\cup\{\delta_k:k<n\})\) dan \(|\int_{G_n}u_n|\ge\epsilon\); lalu pilih himpunan \(E_n\) berukuran berhingga dan \(\delta_n>0\) sedemikian sehingga \(\int_F|u_n|\le\bover12\epsilon\) setiap kali \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E_n)\le\delta_n\) (lihat 225A). Lanjutkan.

Setelah induksi selesai, tetapkan \(F_n=E_n\cap G_n\setminus\bigcup_{k>n}G_k\) untuk setiap \(n\); maka \(\sequencen{F_n}\) merupakan barisan saling lepas dalam \(\Sigma\). Berdasarkan pemilihan \(G_k\),

\(\mu(E_n\cap\bigcup_{k>n}G_k) \le\sum_{k=n+1}^{\infty}2^{-k}\delta_n\le\delta_n\),

sehingga \(\mu(E_n\cap(G_n\setminus F_n))\le\delta_n\) dan \(\int_{G_n\setminus F_n}|u_n|\le \bover12\epsilon\). Ini berarti bahwa \(|\int_{F_n}u_n|\ge|\int_{G_n}u_n|-\bover12\epsilon\ge\bover12\epsilon\). Tetapi ini bertentangan dengan hipotesis (iii).

(d)(ii)\(\Rightarrow\)(i) Misalkan (ii) berlaku dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(E\in\Sigma\), \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(|\int_Fu|\le\epsilon\) setiap kali \(u\in A\), \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E)\le\delta\). Sekarang \(\sup_{u\in A}\int_E|u|<\infty\). Bukti. Tuliskan \(\Cal I\) sebagai keluarga semua \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(F\subseteq E\) dan \(\sup_{u\in A}\int_F|u|\) berhingga. Jika \(F\subseteq E\) merupakan atom bagi \(\mu\), maka \(\sup_{u\in A}\int_F|u|=\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\), sehingga \(F\in\Cal I\). (Intinya adalah bahwa jika \(f:X\to\Bbb R\) adalah fungsi terukur sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\), maka salah satu dari \(F'=\{x:x\in F,\,f(x)\ge 0\}\), \(F''=\{x:x\in F,\,f(x)<0\}\) harus terabaikan, sehingga \(\int_F|u|\) adalah \(\int_{F'}u=\int_Fu\) atau \(-\int_{F''}u=-\int_Fu\).) Jika \(F\in\Sigma\), \(F\subseteq E\) dan \(\mu F\le\delta\) maka

\(\sup_{u\in A}\int_F|u| \le 2\sup_{u\in A,G\in\Sigma,G\subseteq F}|\int_Gu| \le 2\epsilon\)

(menurut 246F), sehingga \(F\in\Cal I\). Selanjutnya, jika \(F\), \(G\in\Cal I\), maka \(\sup_{u\in A}\int_{F\cup G}|u| \le\sup_{u\in A}\int_F|u|+\sup_{u\in A}\int_G|u|\) berhingga, jadi \(F\cup G\in \Cal I\). Akhirnya, jika \(\sequencen{F_n}\) sembarang barisan dalam \(\Cal I\), dan \(F=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\), terdapat \(n\in\Bbb N\) sehingga \(\mu(F\setminus\bigcup_{i\le n}F_i)\le\delta\); sekarang \(\bigcup_{i\le n}F_i\) dan \(F\setminus\bigcup_{i\le n}F_i\) keduanya termasuk dalam \(\Cal I\), jadi \(F\in\Cal I\).

Menurut 215Ab, terdapat \(F\in\Cal I\) sedemikian sehingga \(H\setminus F\) terabaikan untuk setiap \(H\in\Cal I\). Sekarang perhatikan bahwa \(E\setminus F\) tidak dapat memuat anggota \(\Cal I\) yang tidak terabaikan; khususnya, ia tidak dapat memuat atom ataupun himpunan tidak terabaikan yang berukuran kurang dari \(\delta\). Dengan demikian, ukuran pada subruang \(E\setminus F\) tak beratom, berhingga total, dan tidak mempunyai himpunan terukur yang tidak terabaikan dengan ukuran kurang dari \(\delta\); berdasarkan 215D, \(\mu(E\setminus F)=0\) dan baik \(E\setminus F\) maupun \(E\) termasuk dalam \(\Cal I\), sebagaimana diperlukan. ∎

Karena \(\int_{X\setminus E}|u|\le 2\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\), \(\gamma=\sup_{u\in A}\int|u|\) berhingga.

Tetapkan \(M=\gamma/\delta\). Jika \(u\in A\), nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\), dengan \(f:X\to\Bbb R\) terukur, dan pertimbangkan

\(F=\{x:f(x)\ge M\chi E(x)\}\).

Maka

\(M\mu(F\cap E)\le\int_Ff=\int_Fu\le\gamma\),

sehingga \(\mu(F\cap E)\le\gamma/M=\delta\). Oleh karena itu \(\int_Fu\le\epsilon\). Demikian pula, \(\int_{F'}(-u)\le\epsilon\), dengan \(F'=\{x:-f(x)\ge M\chi E(x)\}\). Ini berarti bahwa

\(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+ =\int(|f|-M\chi E)^+\le\int_{F\cup F'}|f| =\int_{F\cup F'}|u|\le 2\epsilon\)

untuk setiap \(u\in A\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(A\) terintegralkan secara seragam.

246H Catatan (a)

Seperti (i), syarat (ii)–(iv) dalam teorema ini tentu memiliki padanan langsung bagi anggota \(\eusm L^1\). Dengan demikian, himpunan tak kosong \(A\subseteq\eusm L^1\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika \(\sup_{f\in A}|\int_Ff|\) berhingga untuk setiap atom \(F\in\Sigma\) dan

baik untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(E\in\Sigma\), \(\delta>0\) sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(|\int_Ff|\le\epsilon\) setiap kali \(f\in A\), \(F\in\Sigma\) dan \(\mu(F\cap E)\le\delta\)

atau \(\lim_{n\to\infty}\sup_{f\in A}|\int_{F_n}f|=0\) untuk setiap barisan saling lepas \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Sigma\)

atau \(\lim_{n\to\infty}\sup_{f\in A}|\int_{F_n}f|=0\) untuk setiap barisan tak meningkat \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Sigma\) dengan irisan kosong.

246Hb (b)

Masih ada tak terhitung banyaknya ungkapan ekuivalen yang mencirikan keterintegralan seragam; setiap penulis memiliki pilihannya sendiri. Banyak di antaranya merupakan variasi atas (i)–(iv) dalam teorema ini, seperti pada 246I dan 246Yd–246Yf. Untuk syarat yang sama sekali berbeda, lihat Teorema 247C.

246I Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang probabilitas. Untuk \(f\in\eusm L^0(\mu)\), \(M\ge 0\), tetapkan \(F(f,M)=\{x:x\in\dom f,\,|f(x)|\ge M\}\). Maka himpunan tak kosong \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika

\(\lim_{M\to\infty}\sup_{f\in A}\int_{F(f,M)}|f|=0\).

Bukti

(a) Jika \(A\) memenuhi syarat tersebut, maka

\(\inf_{M\ge 0}\sup_{f\in A}\int(|f|-M\chi X)^+ \le\inf_{M\ge 0}\sup_{f\in A}\int_{F(f,M)}|f|=0\),

sehingga \(A\) terintegralkan secara seragam.

(b) Jika \(A\) terintegralkan secara seragam dan \(\epsilon>0\), terdapat \(M_0\ge 0\) sedemikian sehingga \(\int(|f|-M_0\chi X)^+\le\epsilon\) untuk setiap \(f\in A\); selain itu, \(\gamma=\sup_{f\in A}\int|f|\) berhingga (246Ca). Ambil sembarang \(M\ge M_0\max(1,(1+\gamma)/\epsilon)\). Jika \(f\in A\), maka

\(|f|\times\chi F(f,M) \le (|f|-M_0\chi X)^++M_0\chi F(f,M) \le (|f|-M_0\chi X)^++\Bover{\epsilon}{\gamma+1}|f|\)

di seluruh \(\dom f\), sehingga

\(\int_{F(f,M)}|f| \le\int(|f|-M_0\chi X)^++\Bover{\epsilon}{\gamma+1}\int|f| \le 2\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\lim_{M\to\infty}\sup_{f\in A}\int_{F(f,M)}|f|=0\).

246J

Langkah berikutnya ialah memaparkan beberapa kaitan penting antara keterintegralan seragam dan topologi konvergensi dalam ukuran yang dibahas dalam bagian sebelumnya.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur.

(a) Jika \(\sequencen{f_n}\) adalah barisan fungsi bernilai real pada \(X\) yang terintegralkan secara seragam dan \(f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)\) untuk hampir setiap \(x\in X\), maka \(f\) terintegralkan dan \(\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|=0\); akibatnya \(\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n\).

(b) Jika \(A\subseteq L^1=L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam, maka topologi norma pada \(L^1\) dan topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0=L^0(\mu)\) berimpit pada \(A\).

(c) Untuk setiap \(u\in L^1\) dan setiap barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(L^1\), pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(u=\lim_{n\to\infty}u_n\) dalam norma \(\|\,\|_1\);

(ii) \(\{u_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam dan \(\sequencen{u_n}\) konvergen ke \(u\) dalam ukuran.

(d) Jika \((X,\Sigma,\mu)\) semihingga dan \(A\subseteq L^1\) terintegralkan secara seragam, maka penutupan \(\overline{A}\) dari \(A\) dalam \(L^0\), untuk topologi konvergensi dalam ukuran, tetap merupakan subhimpunan \(L^1\) yang terintegralkan secara seragam.

Bukti

(a) Perhatikan dahulu bahwa karena \(\sup_{n\in\Bbb N}\int|f_n|<\infty\) (246Ca) dan \(|f|=\liminf_{n\to\infty}|f_n|\), Lemma Fatou memastikan bahwa \(|f|\) terintegralkan, dengan \(\int|f|\le\limsup_{n\to\infty}\int|f_n|\). Dengan segera diperoleh bahwa \(\{f_n-f:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam, karena merupakan jumlah dua himpunan terintegralkan secara seragam (246Cc, 246Ce).

Untuk \(\epsilon>0\), terdapat \(M\ge 0\), \(E\in\Sigma\) sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(\int(|f_n-f|-M\chi E)^+\le\epsilon\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Selain itu, \(|f_n-f|\wedge M\chi E\to 0\) hampir di mana-mana, sehingga

\[\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty}\int|f_n-f| &\le\limsup_{n\to\infty}\int(|f_n-f|-M\chi E)^+\\ &\qquad\qquad+\limsup_{n\to\infty}\int|f_n-f|\wedge M\chi E\\ &\le\epsilon,\\\end{aligned}\]

menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue. Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|=0\) dan \(\lim_{n\to\infty}\int f_n-f=0\).

(b) Misalkan \(\frak T_A\) dan \(\frak S_A\) berturut-turut adalah topologi pada \(A\) yang diinduksi oleh topologi norma pada \(L^1\) dan topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0\).

(i) Untuk \(\epsilon>0\), pilih \(F\in\Sigma\) dan \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(\mu F<\infty\) dan \(\int(|v|-M\chi F^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(v\in A\), dan pertimbangkan \(\bar\rho_F\), yang didefinisikan seperti di 245A. Kemudian untuk setiap \(f\), \(g\in\eusm L^0\),

\(|f-g|\le(|f|-M\chi F)^+ +(|g|-M\chi F)^++M(|f-g|\wedge \chi F)\)

di seluruh \(\dom f\cap \dom g\), sehingga

\(|u-v|\le(|u|-M\chi F^{\ssbullet})^+ +(|v|-M\chi F^{\ssbullet})^++M(|u-v|\wedge\chi F^{\ssbullet})\)

untuk semua \(u\), \(v\in L^0\). Akibatnya

\(\|u-v\|_1\le 2\epsilon+M\bar\rho_F(u,v)\)

untuk semua \(u\), \(v\in A\).

Artinya, untuk \(\epsilon>0\), kita dapat memilih \(F\) dan \(M\) sehingga, bagi \(u\), \(v\in A\),

\(\bar\rho_F(u,v) \le\Bover{\epsilon}{1+M}\Longrightarrow\|u-v\|_1\le 3\epsilon\).

Maka setiap subhimpunan dari \(A\) yang terbuka dalam \(\frak T_A\) juga terbuka dalam \(\frak S_A\) (2A3Ib).

(ii) Sebaliknya, kita mempunyai \(\bar\rho_F(u,v)\le\|u-v\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1\) dan setiap himpunan \(F\) berukuran berhingga, sehingga setiap subhimpunan dari \(A\) yang terbuka dalam \(\frak S_A\) terbuka dalam \(\frak T_A\).

(c) Jika \(\sequencen{u_n}\to u\) dalam norma \(\|\,\|_1\), maka \(A=\{u_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam. Bukti. Untuk \(\epsilon>0\), pilih \(m\) sedemikian rupa sehingga \(\|u_n-u\|_1\le\epsilon\) setiap kali \(n\ge m\). Tetapkan \(v=|u|+\sum_{i\le m}|u_i|\in L^1\), dan pilih \(M\ge 0\), \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E\) berhingga dan \(\int(v-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\). Maka, untuk \(w\in A\),

\((|w|-M\chi E^{\ssbullet})^+ \le(|w|-v)^++(v-M\chi E^{\ssbullet})^+\),

jadi

\(\int(|w|-M\chi E^{\ssbullet})^+ \le\|(|w|-v)^+\|_1+\int(v-M\chi E^{\ssbullet})^+ \le 2\epsilon\). ∎

Jadi, di bawah salah satu hipotesis, \(\{u_n:n\in\Bbb N\}\) dan \(A=\{u\}\cup\{u_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam. Karena itu, kedua topologi berimpit pada \(A\) (menurut (b)), dan \(\sequencen{u_n}\) konvergen ke \(u\) dalam satu topologi jika dan hanya jika ia konvergen ke \(u\) dalam topologi yang lain.

(d) Karena \(A\) terbatas dalam norma \(\|\,\|_1\) (246Ca) dan \(\mu\) semihingga, \(\overline{A}\subseteq L^1\) (245J(b-i)). Untuk \(\epsilon>0\), pilih \(M\ge 0\), \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\) dan \(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\). Sekarang peta \(u\mapsto|u|\), \(u\mapsto u-M\chi E^{\ssbullet}\), \(u\mapsto u^+:L^0\to L^0\) semuanya kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran (245D), sementara \(\{u:\|u\|_1\le\epsilon\}\) tertutup untuk topologi yang sama (245J lagi), sehingga \(\{u:u\in L^0,\,\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\}\) tertutup dan harus mencakup \(\overline{A}\). Dengan demikian \(\int(|u|-M\chi E^{\ssbullet})^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in\overline{A}\). Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\overline{A}\) terintegralkan secara seragam.

246K \(\eusm L^1\) dan \(L^1\) kompleks

Untuk \(u\in L^1_{\Bbb C}(\mu)\), \(\|u\|_1\le 4\sup_{F\in\Sigma}|\int_Fu|\).

(Sebenarnya, \(\|u\|_1\le\pi\sup_{F\in\Sigma}|\int_Fu|\); lihat 246Yl dan 252Yt.) Akibatnya, beberapa argumen dalam 246G perlu ditulis dengan konstanta berbeda, tetapi hasil-hasil sebagaimana dinyatakan tetap berlaku.

Latihan

246X Latihan dasar (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur dan \(A\) subhimpunan \(L^1=L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(A\) terintegralkan secara seragam; (ii) untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(w\ge 0\) di \(L^1\) sedemikian sehingga \(\int(|u|-w)^+\le\epsilon\) untuk setiap \(u\in A\); (iii) \(\sequencen{(|u_{n+1}|-\sup_{i\le n}|u_i|)^+}\to 0\) dalam \(L^1\) untuk setiap barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\). Petunjuk: untuk (ii) \(\Rightarrow\) (iii), tetapkan \(v_n=\sup_{i\le n}|u_i|\) dan perhatikan bahwa \(\sequencen{v_n\wedge w}\) konvergen dalam \(L^1\) untuk setiap \(w\ge 0\).

246Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur berhingga total. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(p>1\) dan \(M\ge 0\), himpunan \(\{f:f\in{\eusm L}^p(\mu),\,\|f\|_p\le M\}\) terintegralkan secara seragam. Petunjuk: \(\int(|f|-M\chi X)^+\le M^{1-p}\int|f|^p\).

246Xc (>c) penting

Misalkan \(\mu\) ukuran hitung pada \(\Bbb N\). Tunjukkan bahwa suatu himpunan \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)=\ell^1\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika (i) \(\sup_{f\in A}|f(n)|<\infty\) untuk setiap \(n\in \Bbb N\) (ii) untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(m\in\Bbb N\) sehingga \(\sum_{n=m}^{\infty}|f(n)|\le\epsilon\) untuk setiap \(f\in A\).

246Xd (d)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\mu\) ukuran hitung pada \(X\). Tunjukkan bahwa himpunan \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)=\ell^1(X)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika (i) \(\sup_{f\in A}|f(x)|<\infty\) untuk setiap \(x\in X\) (ii) untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat himpunan berhingga \(I\subseteq X\) sehingga \(\sum_{x\in X\setminus I}|f(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(f\in A\). Tunjukkan bahwa dalam hal ini \(A\) relatif kompak dalam topologi norma pada \(\ell^1(X)\).

246Xe (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur, \(\delta>0\), dan \(\Cal I\subseteq\Sigma\) suatu keluarga sedemikian sehingga (i) setiap atom termasuk dalam \(\Cal I\) (ii) \(E\in\Cal I\) setiap kali \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E\le\delta\) (iii) \(E\cup F\in\Cal I\) setiap kali \(E\), \(F\in\Cal I\) dan \(E\cap F=\emptyset\). Tunjukkan bahwa setiap himpunan berukuran berhingga termasuk dalam \(\Cal I\).

246Xf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, serta \(\phi:X\to Y\) fungsi pelestari ukuran melalui prapeta . Tunjukkan bahwa suatu himpunan \(A\subseteq\eusm L^1(\nu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika \(\{g\phi:g\in A\}\) terintegralkan secara seragam dalam \(\eusm L^1(\mu)\). Petunjuk: gunakan 246G untuk ‘jika’, 246A untuk ‘hanya jika’.

246Xg (>g) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^p=\eusm L^p(\mu)\) sedemikian sehingga \(\{|f_n|^p:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam dan \(f_n\to f\) hampir di mana-mana. Tunjukkan bahwa \(f\in\eusm L^p\) dan \(\lim_{n\to\infty}\int|f_n-f|^p=0\).

246Xh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur semihingga dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Misalkan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(L^p=L^p(\mu)\) dan \(u\in L^0(\mu)\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(u\in L^p\) dan \(\sequencen{u_n}\) konvergen ke \(u\) dalam norma \(\|\,\|_p\) (ii) \(\sequencen{u_n}\) konvergen dalam ukuran ke \(u\) dan \(\{|u_n|^p:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam. Petunjuk: 245Xl.

246Xi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur berhingga total, dan \(1\le p<r\le\infty\). Misalkan \(\sequencen{u_n}\) barisan yang terbatas dalam norma \(\|\,\|_r\) dalam \(L^r(\mu)\) dan konvergen dalam ukuran ke \(u\in L^0(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{u_n}\) konvergen ke \(u\) dalam norma \(\|\,\|_p\). Petunjuk: tunjukkan bahwa \(\{|u_n|^p:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam.

246Y Latihan lebih lanjut (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur berhingga total. Tunjukkan bahwa \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika terdapat fungsi konveks \(\phi:\coint{0,\infty}\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\lim_{a\to\infty}\phi(a)/a=\infty\) dan \(\sup_{f\in A}\int\phi(|f|)<\infty\).

246Yb (b)

Untuk setiap ruang metrik \((Z,\rho)\), misalkan \(\Cal C_Z\) keluarga subhimpunan tertutup dari \(Z\). Untuk \(F\), \(F'\in\Cal C_Z\setminus\{\emptyset\}\) tetapkan \(\tilde\rho(F,F')=\min(1,\max(\sup_{z\in F}\inf_{z'\in F'}\rho(z,z'), \sup_{z'\in F'}\inf_{z\in F}\rho(z,z')))\). Tunjukkan bahwa \(\tilde\rho\) merupakan metrik pada \(\Cal C_Z\setminus\{\emptyset\}\) (inilah metrik Hausdorff). Tunjukkan bahwa jika \((Z,\rho)\) lengkap, maka keluarga \(\Cal K_Z\setminus\{\emptyset\}\) dari subhimpunan kompak tak kosong dalam \(Z\) tertutup dalam metrik \(\tilde\rho\). Sekarang misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur sembarang dan ambil \(Z=L^1=L^1(\mu)\), \(\rho(z,z')=\|z-z'\|_1\) untuk \(z\), \(z'\in Z\). Tunjukkan bahwa keluarga subhimpunan tertutup tak kosong dalam \(L^1\) yang terintegralkan secara seragam merupakan subhimpunan tertutup dari \(\Cal C_Z\setminus\{\emptyset\}\) yang memuat \(\Cal K_Z\setminus\{\emptyset\}\).

246Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur berhingga total dan \(A\subseteq L^1(\mu)\) himpunan terintegralkan secara seragam. Tunjukkan bahwa terdapat himpunan terintegralkan secara seragam \(C\supseteq A\) sedemikian sehingga (i) \(C\) konveks dan tertutup dalam \(L^0(\mu)\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran (ii) jika \(u\in C\) dan \(|v|\le|u|\) maka \(v\in C\) (iii) jika \(T\) termasuk dalam himpunan \(\Cal T^+\) dari operator dari \(L^1(\mu)=M^{1,\infty}(\mu)\) ke dirinya sendiri, seperti yang dijelaskan dalam 244Xm, maka \(T[C]\subseteq C\).

246Yd (d)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa suatu himpunan \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\int_{F_n}f_n =0\) untuk setiap barisan saling lepas \(\sequencen{F_n}\) dari himpunan kompak dalam \(\Bbb R\) dan setiap barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(A\).

246Ye (e)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa himpunan \(A\subseteq\eusm L^1(\mu)\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\int_{G_n}f_n =0\) untuk setiap barisan saling lepas \(\sequencen{G_n}\) dari himpunan terbuka dalam \(\Bbb R\) dan setiap barisan \(\sequencen{f_n}\) dalam \(A\).

246Yf (f)

Ulangi 246Yd dan 246Ye untuk ukuran Lebesgue pada subhimpunan sembarang dari \(\BbbR^r\).

246Yg (g)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\sequencen{\nu_n}\) barisan fungsional aditif terhitung pada \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\nu E=\lim_{n\to\infty}\nu_nE\) terdefinisi untuk setiap \(E\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\nu_nF_n=0\) setiap kali \(\sequencen{F_n}\) barisan saling lepas dalam \(\Sigma\). Petunjuk: Andaikan sebaliknya. Dengan mengambil subbarisan yang sesuai, cukup tinjau kasus ketika \(|\nu_nF_i-\nu F_i|\le 2^{-n}\epsilon\) untuk \(i<n\), \(|\nu_nF_n|\ge 3\epsilon\), \(|\nu_nF_i|\le 2^{-i}\epsilon\) untuk \(i>n\). Tetapkan \(F=\bigcup_{i\in\Bbb N}F_{2i+1}\) dan tunjukkan bahwa \(|\nu_{2n+1}F-\nu_{2n}F|\ge\epsilon\) untuk setiap \(n\).

246Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(L^1=L^1(\mu)\) sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int_Fu_n\) terdefinisi untuk setiap \(F\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\{u_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam. Petunjuk: Andaikan tidak. Maka terdapat barisan saling lepas \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Sigma\) dan subbarisan \(\sequencen{u'_n}\) dari \(\sequencen{u_n}\) sehingga \(\inf_{n\in\Bbb N}|\int_{F_n}u'_n|=\epsilon>0\). Tetapi ini bertentangan dengan 246Yg.

246Yi (i)

Dalam 246Yg, tunjukkan bahwa \(\nu\) bersifat aditif terhitung. Petunjuk: Tetapkan \(\mu=\sum_{n=0}^{\infty}a_n|\nu_n|\) untuk suatu barisan \(\sequencen{a_n}\) bilangan positif tegas yang sesuai. Untuk setiap \(n\) pilih turunan Radon-Nikodým \(f_n\) dari \(\nu_n\) terhadap \(\mu\). Tunjukkan bahwa \(\{f_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam, sehingga \(\nu\) kontinu sejati. (Ini adalah teorema Vitali-Hahn-Saks.)

246Yj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur sembarang, dan \(A\subseteq L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(A\) terbatas dalam norma \(\|\,\|_1\); (ii) \(\sup_{u\in A}|\int_Fu|<\infty\) untuk setiap \(\mu\)-atom \(F\in\Sigma\) dan \(\limsup_{n\to\infty}\sup_{u\in A}|\int_{F_n}u|<\infty\) untuk setiap barisan saling lepas \(\sequencen{F_n}\) dari himpunan-himpunan terukur berukuran berhingga; (iii) \(\sup_{u\in A}|\int_Eu|<\infty\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Petunjuk: tunjukkan bahwa \(\sequencen{a_nu_n}\) terintegralkan secara seragam bila \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\) dalam \(\Bbb R\) dan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(A\).

246Yk (k)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur dan \(A\subseteq L^1(\mu)\) himpunan tak kosong. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(A\) terintegralkan secara seragam; (ii) setiap kali \(B\subseteq L^{\infty}(\mu)\) tidak kosong dan terarah ke bawah serta memiliki infimum \(0\) dalam \(L^{\infty}(\mu)\) maka \(\inf_{v\in B}\sup_{u\in A}|\int u\times v|=0\). Petunjuk: Untuk (i)\(\Rightarrow\)(ii), catat bahwa \(\inf_{v\in B}w\times v=0\) untuk setiap \(w\ge 0\) dalam \(L^0\). Untuk (ii)\(\Rightarrow\)(i), gunakan 246G(iv).

246Yl (l)

Tetapkan \(f(x)=e^{ix}\) untuk \(x\in[-\pi,\pi]\). Tunjukkan bahwa \(|\int_Ef|\le 2\) untuk setiap \(E\subseteq[-\pi,\pi]\).

Catatan dan komentar

246-notes Catatan penutup untuk Bagian 246

Sifat paling mencolok dari himpunan terintegralkan secara seragam saya tunda sampai bagian berikutnya: himpunan-himpunan itu relatif kompak secara lemah dalam \(L^1\). Pembuktiannya memerlukan beberapa gagasan yang tidak sederhana dari analisis fungsional dan topologi umum. Bagian ini memuat hasil-hasil yang pada dasarnya berangkat dari teori ukuran. Konsep, atau teknik, baru yang terpenting ialah ‘teorema barisan saling lepas’. Contoh khas terdapat pada syarat (iii) dalam 246G, yang mengaitkan keterintegralan seragam dengan perilaku fungsional pada barisan himpunan yang saling lepas. Variasinya diberikan dalam 246Yd–246Yf, sedangkan 246Yg–246Yj memuat hasil-hasil lain yang dapat dibuktikan dengan metode serupa. Hasil utama bagian berikutnya (247C) juga menggunakan barisan saling lepas dalam pembuktiannya; barisan demikian akan muncul beberapa kali lagi dalam Bab 35 pada volume berikutnya.

Frasa ‘terintegralkan secara seragam’ semestinya berarti kira-kira ‘dapat dihampiri secara seragam oleh fungsi sederhana’. Definisi 246A dapat diubah ke bentuk semacam itu, tetapi menurut saya bentuk tersebut tidak terlalu berguna. Sebaliknya, syarat (ii) dalam 246G kira-kira menyatakan sifat ‘kontinu sejati secara seragam’, jika anggota \(L^1\) dipandang sebagai fungsional kontinu sejati pada \(\Sigma\), seperti dalam 242I. (Lihat 246Yi.) Perhatikan bahwa dalam setiap pernyataan (ii)–(iv) dari 246G, atom-atom ukuran harus ditangani secara khusus karena tidak dikendalikan oleh syarat utamanya. Pada ruang ukur tak beratom, tentu terdapat penyederhanaan sebagaimana dalam 246Yd–246Yf.

Cara lain untuk membenarkan kata ‘seragam’ dalam ‘terintegralkan secara seragam’ ialah dengan meninjau fungsional \(\theta_w\), dengan \(w\ge 0\) dalam \(L^1\), yang didefinisikan oleh \(\theta_w(u)=\int(|u|-w)^+\) untuk \(u\in L^1\). Himpunan \(A\subseteq L^1\) terintegralkan secara seragam jika dan hanya jika \(\theta_w\to 0\) secara seragam pada \(A\) ketika \(w\) meningkat dalam \(L^1\) (246Xa). Jika sifat ini berlaku, kadang-kadang berguna bahwa sifat tersebut dapat diperlihatkan dengan unsur \(w\) yang dibangun langsung dari bahan yang tersedia (lihat (iii) dalam 246Xa). Selanjutnya, himpunan \(A_{w\epsilon}=\{u:\theta_w(u)\le\epsilon\}\) selalu konveks, tertutup dalam norma \(\|\,\|_1\), dan ‘solid’ (jika \(u\in A_{w\epsilon}\) dan \(|v|\le |u|\), maka \(v\in A_{w\epsilon}\)) (246Cd). Himpunan ini tertutup terhadap konvergensi titik demi titik dari barisan (246Ja), dan pada ruang ukur semihingga juga tertutup dalam topologi konvergensi dalam ukuran (246Jd). Pada ruang probabilitas, jika \(w\) konstan, himpunan ini tertutup terhadap ekspektasi bersyarat (246D) dan operator serupa (246Yc). Karena itu, kita dapat mengharapkan bahwa setiap himpunan terintegralkan secara seragam termuat dalam himpunan terintegralkan secara seragam yang tertutup terhadap beberapa jenis operasi.

Sifat ‘seragam’ lainnya tercantum dalam 246Yk. Norma \(\|\,\|_{\infty}\) tidak pernah kontinu terhadap urutan (dalam kasus-kasus yang menarik) sebagaimana norma \(\|\,\|_p\) lainnya (244Ye). Namun, subhimpunan terintegralkan secara seragam dari \(L^1\) menghasilkan seminorma-seminorma kontinu terhadap urutan yang menarik pada \(L^{\infty}\).

246J melengkapi hasil-hasil dari §245. Dalam catatan untuk bagian itu saya mengajukan pertanyaan berikut: jika \(\sequencen{f_n}\to f\) hampir di mana-mana, dengan cara apa \(\sequencen{\int f_n}\) dapat gagal konvergen ke \(\int f\)? Di sini diperoleh bahwa \(\sequencen{\int|f_n-f|}\to 0\) jika dan hanya jika \(\{f_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam. Hal ini memperjelas ungkapan ‘tidak ada bobot barisan yang hilang di tak hingga’. Secara umum, untuk barisan, konvergensi dalam norma \(\|\,\|_p\), dengan \(p\in\coint{1,\infty}\), adalah konvergensi dalam ukuran bagi barisan yang pangkat-\(p\)-nya terintegralkan secara seragam (246Xh).