Produk berhingga — Fondasi Teori Ukuran

Konstruksi pertama yang perlu disusun adalah produk dari sepasang ruang ukur. Ternyata, bahkan untuk mencari metode kanonis yang dapat diterapkan secara universal, sudah terdapat kesulitan teknis yang cukup besar. Karena itu, saya perlu menguraikan dua konstruksi yang berkaitan tetapi berbeda, yaitu ukuran produk ‘primitif’ dan ‘c.l.d.’ (251C, 251F). Setelah mencantumkan sifat-sifat mendasar ukuran produk c.l.d (251I-251J), saya menguraikan identifikasi produk ukuran Lebesgue dengan dirinya sendiri (251N) dan pembahasan yang cukup menyeluruh tentang subruang (251O-251S).

251A Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) dua ruang ukur. Untuk \(A\subseteq X\times Y\), tetapkan

\(\theta A=\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n: E_n\in\Sigma,\,F_n\in\Tau\,\Forall \,n\in\Bbb N, \,A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\}\).

Catatan Dalam hasil kali \(\mu E_n\cdot\nu F_n\), \(0\cdot\infty\) harus diartikan sebagai \(0\), seperti dalam §135.

251B Lema

Dalam konteks 251A, \(\theta\) merupakan ukuran luar pada \(X\times Y\).

Bukti

(a) Dengan menetapkan \(E_n=F_n=\emptyset\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), kita melihat bahwa \(\theta\emptyset = 0\).

(b) Jika \(A\subseteq B\subseteq X\times Y\), maka setiap kali \(B\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\), kita juga mempunyai \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\); jadi \(\theta A\le\theta B\).

(c) Misalkan \(\sequencen{A_n}\) suatu barisan subhimpunan \(X\times Y\) dengan gabungan \(A\). Untuk setiap \(\epsilon>0\), bagi tiap \(n\in\Bbb N\) kita dapat memilih barisan \(\sequence{m}{E_{nm}}\) dalam \(\Sigma\) dan \(\sequence{m}{F_{nm}}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(A_n\subseteq\bigcup_{m\in\Bbb N}E_{nm}\times F_{nm}\) dan \(\sum_{m=0}^{\infty}\mu E_{nm}\cdot\nu F_{nm} \le\theta A_n+2^{-n}\epsilon\). Karena \(\Bbb N\times\Bbb N\) terhitung, terdapat bijeksi \(k\mapsto(n_k,m_k):\Bbb N\to\Bbb N\times\Bbb N\), dan sekarang

\(A\subseteq\bigcup_{n,m\in\Bbb N}E_{nm}\times F_{nm} =\bigcup_{k\in\Bbb N}E_{n_km_k}\times F_{n_km_k}\),

sehingga

\[\begin{aligned}\theta A&\le\sum_{k=0}^{\infty} \mu E_{n_km_k}\cdot\nu F_{n_km_k} =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\mu E_{nm}\cdot\nu F_{nm}\\ &\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta A_n+2^{-n}\epsilon =2\epsilon+\sum_{n=0}^{\infty}\theta A_n.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta A\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta A_n\).

Karena \(\sequencen{A_n}\) sebarang, \(\theta\) merupakan ukuran luar.

251C Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur. Yang saya maksud dengan ukuran produk primitif pada \(X\times Y\) adalah ukuran \(\lambda_0\) yang diperoleh melalui metode Carathéodory (113C) dari ukuran luar \(\theta\) yang didefinisikan dalam 251A.

Catatan Perlu saya kemukakan bahwa tidak ada kesepakatan umum mengenai ukuran mana yang seharusnya disebut sebagai ‘ukuran produk’ pada \(X\times Y\). Bahkan, dalam 251F di bawah ini saya akan memperkenalkan suatu ukuran alternatif, dan dalam catatan untuk bagian ini saya akan menyebutkan ukuran yang ketiga.

251D Definisi

Akan memudahkan jika suatu konstruksi alami bagi aljabar-\(\sigma\) diberi nama. Jika \(X\) dan \(Y\) adalah himpunan dengan aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma\subseteq\Cal PX\) dan \(\Tau\subseteq\Cal PY\), saya akan menuliskan \(\Sigma\tensorhat\Tau\) untuk aljabar-\(\sigma\) subhimpunan \(X\times Y\) yang dibangkitkan oleh \(\{E\times F:E\in\Sigma,\,F\in\Tau\}\).

251E Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur; misalkan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\), dan \(\Lambda\) domainnya. Maka \(\Sigma\tensorhat\Tau\subseteq\Lambda\) dan \(\lambda_0(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\) untuk semua \(E\in\Sigma\) dan \(F\in\Tau\).

Bukti

(a) Misalkan \(E\in\Sigma\) dan \(A\subseteq X\times Y\). Untuk setiap \(\epsilon>0\), terdapat barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma\) dan \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n\le\theta A+\epsilon\). Sekarang

\(A\cap(E\times Y) \subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n\cap E)\times F_n\), \(A\setminus(E\times Y) \subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n\setminus E)\times F_n\),

sehingga

\[\begin{aligned}\theta(A\cap(E\times Y))+\theta(A\setminus(E\times Y)) &\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu(E_n\cap E)\cdot\nu F_n +\sum_{n=0}^{\infty}\mu(E_n\setminus E)\cdot\nu F_n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n \le\theta A+\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta(A\cap(E\times Y))+\theta(A\setminus(E\times Y))\le\theta A\). Dan ini cukup untuk memastikan bahwa \(E\times Y\in\Lambda\) (lihat 113D).

(b) Dengan cara serupa, \(X\times F\in\Lambda\) untuk setiap \(F\in\Tau\), sehingga \(E\times F=(E\times Y)\cap(X\times F)\in\Lambda\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\).

Karena \(\Lambda\) merupakan aljabar-\(\sigma\), ia harus memuat aljabar-\(\sigma\) terkecil yang memuat semua produk \(E\times F\), yaitu \(\Lambda\supseteq\Sigma\tensorhat\Tau\).

(c) Ambil \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\). Kita mengetahui bahwa \(E\times F\in\Lambda\); dengan menetapkan \(E_0=E\), \(F_0=F\), \(E_n=F_n=\emptyset\) untuk \(n\ge 1\) dalam definisi \(\theta\), kita memperoleh

\(\lambda_0(E\times F) =\theta(E\times F)\le\mu E\cdot\nu F\).

Kita telah sampai pada gagasan utama konstruksi ini. Sesungguhnya, \(\theta(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\). Bukti. Misalkan \(E\times F\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\), dengan \(E_n\in\Sigma\) dan \(F_n\in\Tau\) untuk setiap \(n\). Tetapkan \(u=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n\). Jika \(u=\infty\) atau \(\mu E=0\) atau \(\nu F=0\), tentu saja \(\mu E\cdot\nu F\le u\). Jika tidak, tetapkan

\(I=\{n:n\in\Bbb N,\,\mu E_n=0\}\), \(J=\{n:n\in\Bbb N,\,\nu F_n=0\}\), \(K=\Bbb N\setminus(I\cup J)\),

\(E'=E\setminus\bigcup_{n\in I}E_n\), \(F'=F\setminus\bigcup_{n\in J}F_n\).

Maka \(\mu E'=\mu E\) dan \(\nu F'=\nu F\); \(E'\times F'\subseteq\bigcup_{n\in K}E_n\times F_n\); dan untuk \(n\in K\), \(\mu E_n<\infty\) dan \(\nu F_n<\infty\), karena \(\mu E_n\cdot\nu F_n\le u<\infty\) dan baik \(\mu E_n\) maupun \(\nu F_n\) tidak nol. Tetapkan

\(f_n=\nu F_n\chi E_n:X\to\Bbb R\)

jika \(n\in K\), dan \(f_n=\tbf{0}:X\to\Bbb R\) jika \(n\in I\cup J\). Maka \(f_n\) suatu fungsi sederhana dan \(\int f_n=\nu F_n\mu E_n\) untuk \(n\in K\), serta \(0\) jika tidak, sehingga

\(\sum_{n=0}^{\infty}\) \(\textfont3=\twelveex\int f_n(x)\mu(dx)\) \(=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n \le u\).

Menurut teorema B.Levi (123A), yang diterapkan pada \(\sequencen{\sum_{k=0}^nf_k}\), \(g=\sum_{n=0}^{\infty}f_n\) terintegralkan dan \(\int g\,d\mu\le u\). Tuliskan \(E''\) untuk \(\{x:x\in E',\,g(x)<\infty\}\), sehingga \(\mu E''=\mu E'=\mu E\). Sekarang ambil sebarang \(x\in E''\) dan tetapkan \(K_x=\{n:n\in K,\,x\in E_n\}\). Karena \(E'\times F'\subseteq\bigcup_{n\in K}E_n\times F_n\), \(F'\subseteq\bigcup_{n\in K_x}F_n\) dan

\(\nu F=\nu F'\le\sum_{n\in K_x}\nu F_n =\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)=g(x)\).

Jadi \(g(x)\ge\nu F\) untuk setiap \(x\in E''\). Kita mengasumsikan bahwa \(0<\mu E=\mu E''\) dan \(0<\nu F\), sehingga haruslah \(\nu F<\infty\), \(\mu E''<\infty\). Sekarang \(g\ge\nu F\chi E''\), sehingga

\(\mu E\cdot\nu F=\mu E''\cdot\nu F =\int\nu F\chi E''\le\int g\le u\) \(=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n\).

Karena \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) sebarang, \(\theta(E\times F)\ge\mu E\cdot\nu F\) dan \(\theta(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\). ∎

Jadi

\(\lambda_0(E\times F)=\theta(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\)

untuk semua \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\).

251F Definisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif yang didefinisikan dalam 251C. Yang saya maksud dengan ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\) adalah fungsi \(\lambda:\dom\lambda_0\to[0,\infty]\) yang didefinisikan dengan

\(\lambda W=\sup\{\lambda_0(W\cap(E\times F)):E\in\Sigma,\, F\in\Tau,\,\mu E<\infty,\,\nu F<\infty\}\)

untuk \(W\in\dom\lambda_0\).

251G Catatan

Sebaiknya segera saya tunjukkan bahwa \(\lambda\) merupakan suatu ukuran. Bukti. Tentu saja domainnya \(\Lambda=\dom\lambda_0\) merupakan aljabar-\(\sigma\), dan \(\lambda\emptyset=\lambda_0\emptyset=0\). Jika \(\sequencen{W_n}\) suatu barisan saling lepas dalam \(\Lambda\), maka untuk setiap \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) yang berukuran hingga, \(\lambda_0(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\cap(E\times F)) =\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_0(W_n\cap(E\times F)) \le\sum_{n=0}^{\infty}\lambda W_n\), sehingga \(\lambda(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n)\le\sum_{n=0}^{\infty}\lambda W_n\). Di pihak lain, jika \(a<\sum_{n=0}^{\infty}\lambda W_n\), kita dapat menemukan \(m\in\Bbb N\) dan \(a_0,\ldots,a_m\) sedemikian sehingga \(a\le\sum_{n=0}^ma_n\) dan \(a_n<\lambda W_n\) untuk setiap \(n\le m\); sekarang terdapat \(E_0,\ldots,E_m\in\Sigma\) dan \(F_0,\ldots,F_m\in\Tau\), semuanya berukuran hingga, sedemikian sehingga \(a_n\le\lambda_0(W_n\cap(E_n\times F_n))\) untuk setiap \(n\). Dengan menetapkan \(E=\bigcup_{n\le m}E_n\) dan \(F=\bigcup_{n\le m}F_n\), kita mempunyai \(\mu E<\infty\) dan \(\nu F<\infty\), sehingga \[\begin{aligned}\lambda(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n) &\ge\lambda_0(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\cap(E\times F)) =\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_0(W_n\cap(E\times F))\\ &\ge\sum_{n=0}^m\lambda_0(W_n\cap(E_n\times F_n)) \ge\sum_{n=0}^ma_n \ge a.\\\end{aligned}\] Karena \(a\) sebarang, \(\lambda(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n)\ge\sum_{n=0}^{\infty}\lambda W_n\) dan \(\lambda(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda W_n\). Karena \(\sequencen{W_n}\) sebarang, \(\lambda\) merupakan suatu ukuran. ∎

251H

Kita memerlukan suatu sifat sederhana dari ukuran \(\lambda_0\).

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) dua ruang ukur; misalkan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\), dan \(\Lambda\) domainnya. Jika \(H\subseteq X\times Y\) dan \(H\cap(E\times F)\in\Lambda\) setiap kali \(\mu E<\infty\) dan \(\nu F<\infty\), maka \(H\in\Lambda\).

Bukti

Misalkan \(\theta\) ukuran luar yang diuraikan dalam 251A. Misalkan \(A\subseteq X\times Y\) dan \(\theta A<\infty\). Ambil \(\epsilon>0\). Misalkan \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) berturut-turut barisan dalam \(\Sigma\), \(\Tau\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n\le\theta A+\epsilon\). Sekarang, untuk setiap \(n\), hasil kali ukuran \(\mu E_n\), \(\nu F_n\) berhingga, sehingga salah satunya nol atau keduanya berhingga. Jika \(\mu E_n=0\) atau \(\nu F_n=0\), tentu saja

\(\mu E_n\cdot\nu F_n=0 =\theta((E_n\times F_n)\cap H)+\theta((E_n\times F_n)\setminus H)\).

Jika \(\mu E_n<\infty\) dan \(\nu F_n<\infty\), maka

\[\begin{aligned}\mu E_n\cdot\nu F_n &=\lambda_0(E_n\times F_n)\\ &=\lambda_0((E_n\times F_n)\cap H)+\lambda_0((E_n\times F_n)\setminus H)\\ &=\theta((E_n\times F_n)\cap H)+\theta((E_n\times F_n)\setminus H).\\ \end{aligned}\]

Oleh karena itu, karena \(\theta\) suatu ukuran luar,

\[\begin{aligned}\theta(A\cap H)+\theta(A\setminus H) &\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta((E_n\times F_n)\cap H) +\sum_{n=0}^{\infty}\theta((E_n\times F_n)\setminus H)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n \le\theta A+\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\theta(A\cap H)+\theta (A\setminus H)\le\theta A\). Karena \(A\) sebarang, \(H\in\Lambda\).

251I

Sekarang untuk sifat-sifat mendasar dari ukuran produk c.l.d.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur; misalkan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\), dan \(\Lambda\) domainnya. Maka

(a) \(\Sigma\tensorhat\Tau\subseteq\Lambda\) dan \(\lambda(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\) setiap kali \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) dan \(\mu E\cdot\nu F<\infty\);

(b) untuk setiap \(W\in\Lambda\) terdapat \(V\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V\subseteq W\) dan \(\lambda V=\lambda W\);

(c) \((X\times Y,\Lambda,\lambda)\) lengkap dan ditentukan secara lokal, dan bahkan merupakan versi c.l.d. dari \((X\times Y,\Lambda,\lambda_0)\) sebagaimana diuraikan dalam 213D-213E; khususnya, \(\lambda W=\lambda_0W\) setiap kali \(\lambda_0W<\infty\);

(d) jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W>0\), maka terdapat \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\), \(\nu F<\infty\) dan \(\lambda(W\cap(E\times F))>0\);

(e) jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W<\infty\), maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(E_0,\ldots,E_n\in\Sigma\), \(F_0,\ldots,F_n\in\Tau\), semuanya berukuran hingga, sedemikian sehingga \(\lambda(W\symmdiff\bigcup_{i\le n}(E_i\times F_i))\le\epsilon\).

Bukti

Ambil \(\theta\) sebagai ukuran luar dari 251A dan \(\lambda_0\) sebagai ukuran produk primitif dari 251C. Tetapkan \(\Sigma^f=\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\) dan \(\Tau^f=\{F:F\in\Tau,\,\nu F<\infty\}\).

(a) Menurut 251E, \(\Sigma\tensorhat\Tau\subseteq\Lambda\). Jika \(E\in\Sigma\) dan \(F\in\Tau\) serta \(\mu E\cdot\nu F<\infty\), maka salah satu kemungkinan adalah \(\mu E\cdot\nu F=0\) dan \(\lambda(E\times F)=\lambda_0(E\times F)=0\), atau \(\mu E\) dan \(\nu F\) keduanya berhingga dan kembali \(\lambda(E\times F)=\lambda_0(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\).

(b)(i) Ambil sebarang \(a<\lambda W\). Maka terdapat \(E\in\Sigma^f\), \(F\in\Tau^f\) sedemikian sehingga \(\lambda_0(W\cap(E\times F))>a\) (251F); sekarang

\[\begin{aligned}\theta((E\times F)\setminus W) &=\lambda_0((E\times F)\setminus W)\\ &=\lambda_0(E\times F)-\lambda_0(W\cap(E\times F)) <\lambda_0(E\times F)-a.\\\end{aligned}\]

Misalkan \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) berturut-turut barisan dalam \(\Sigma\), \(\Tau\) sedemikian sehingga \((E\times F)\setminus W\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n \le\lambda_0(E\times F)-a\). Pertimbangkan

\(V=(E\times F)\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\in\Sigma\tensorhat\Tau\);

maka \(V\subseteq W\), dan

\[\begin{aligned}\lambda V=\lambda_0V &=\lambda_0(E\times F)-\lambda_0((E\times F)\setminus V)\\ &\ge\lambda_0(E\times F)-\lambda_0(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n)\\ &\text{(karena }(E\times F)\setminus V\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\text{)}\\ &\ge\lambda_0(E\times F)-\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n \ge a\\\end{aligned}\]

(berdasarkan pemilihan \(E_n\), \(F_n\)).

(ii) Jadi, untuk setiap \(a<\lambda W\) terdapat \(V\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V\subseteq W\) dan \(\lambda V\ge a\). Sekarang pilih barisan \(\sequencen{a_n}\) yang meningkat tegas menuju \(\lambda W\), dan bagi setiap \(a_n\) pilih \(V_n\) yang bersesuaian; maka \(V=\bigcup_{n\in\Bbb N}V_n\) termasuk dalam aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma\tensorhat\Tau\), termuat dalam \(W\), dan mempunyai ukuran sekurang- kurangnya \(\sup_{n\in\Bbb N}\lambda V_n\) dan paling banyak \(\lambda W\); jadi \(\lambda V=\lambda W\), sebagaimana diperlukan.

(c)(i) Jika \(H\subseteq X\times Y\) terabaikan terhadap \(\lambda\), terdapat \(W\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(H\subseteq W\) dan \(\lambda W=0\). Jika \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) berukuran hingga, \(\lambda_0(W\cap(E\times F))=0\); tetapi karena \(\lambda_0\) diperoleh dari ukuran luar \(\theta\) dengan metode Carathéodory, ia lengkap (212A), sehingga \(H\cap(E\times F)\in\Lambda\) dan \(\lambda_0(H\cap(E\times F))=0\). Karena \(E\) dan \(F\) sebarang, menurut 251H kita mempunyai \(H\in\Lambda\). Karena \(H\) sebarang, \(\lambda\) lengkap.

(ii) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W=\infty\), maka harus terdapat \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\), \(\nu F<\infty\) dan \(\lambda_0(W\cap(E\times F))>0\); sekarang

\(0<\lambda(W\cap(E\times F))\le\mu E\cdot\nu F<\infty\).

Jadi \(\lambda\) semihingga.

(iii) Jika \(H\subseteq X\times Y\) dan \(H\cap W\in\Lambda\) setiap kali \(\lambda W<\infty\), maka, khususnya, \(H\cap(E\times F)\in\Lambda\) setiap kali \(\mu E<\infty\) dan \(\nu F<\infty\); kembali menurut 251H, \(H\in\Lambda\). Jadi \(\lambda\) ditentukan secara lokal.

(iv) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda_0W<\infty\), terdapat barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma\), \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(W\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n\times F_n)\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n<\infty\). Tetapkan

\(I=\{n:\mu E_n=\infty\}\), \(J=\{n:\nu F_n=\infty\}\), \(K=\Bbb N\setminus (I\cup J)\);

maka \(\nu(\bigcup_{n\in I}F_n)=\mu(\bigcup_{n\in J}E_n)=0\), sehingga \(\lambda_0(W\setminus W')=0\), dengan

\(W'=W\cap\bigcup_{n\in K}(E_n\times F_n) \supseteq W\setminus((\bigcup_{n\in J}E_n\times Y) \cup(X\times\bigcup_{n\in I}F_n))\).

Sekarang tetapkan \(E'_n=\bigcup_{i\in K,i\le n}E_i\), \(F'_n=\bigcup_{i\in K,i\le n}F_i\) untuk setiap \(n\). Kita mempunyai \(W'=\bigcup_{n\in\Bbb N}W'\cap(E'_n\times F'_n)\), sehingga

\(\lambda W\le\lambda_0W=\lambda_0W'=\lim_{n\to\infty}\lambda_0(W'\cap(E'_n\times F'_n)) \le \lambda W' \le\lambda W\),

dan \(\lambda W=\lambda_0W\).

(v) Mengikuti terminologi 213D, kita tuliskan

\(\tilde\Lambda=\{W:W\subseteq X\times Y,\,W\cap V\in\Lambda\) setiap kali \(V\in\Lambda\) dan \(\lambda_0V<\infty\}\),

\(\tilde\lambda W =\sup\{\lambda_0(W\cap V):V\in\Lambda\), \(\lambda_0V<\infty\}\).

Karena \(\lambda_0(E\times F)<\infty\) setiap kali \(\mu E<\infty\) dan \(\nu F<\infty\), \(\tilde\Lambda\subseteq\Lambda\) dan \(\tilde\Lambda=\Lambda\).

Sekarang, untuk setiap \(W\in\Lambda\) kita mempunyai

\[\begin{aligned}\tilde\lambda W &=\sup\{\lambda_0(W\cap V):V\in\Lambda,\,\lambda_0V<\infty\}\\ &\ge\sup\{\lambda_0(W\cap (E\times F)):E\in\Sigma^f,\,F\in\Tau^f\}\\ &=\lambda W\\ &\ge\sup\{\lambda(W\cap V):V\in\Lambda,\,\lambda_0V<\infty\}\\ &=\sup\{\lambda_0(W\cap V):V\in\Lambda,\,\lambda_0V<\infty\},\\\end{aligned}\]

dengan menggunakan (iv) tepat di atas, sehingga \(\lambda=\tilde\lambda\) merupakan versi c.l.d. dari \(\lambda_0\).

(d) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W>0\), terdapat \(E\in\Sigma^f\) dan \(F\in\Tau^f\) sedemikian sehingga \(\lambda(W\cap(E\times F))=\lambda_0(W\cap(E\times F))>0\).

(e) Terdapat \(E\in\Sigma^f\), \(F\in\Tau^f\) sedemikian sehingga \(\lambda_0(W\cap(E\times F))\ge\lambda W-\bover13\epsilon\); tetapkan \(V_1=W\cap (E\times F)\); maka

\(\lambda(W\setminus V_1)=\lambda W-\lambda V_1 =\lambda W-\lambda_0V_1\le\Bover13\epsilon\).

Terdapat barisan \(\sequencen{E'_n}\) dalam \(\Sigma\), \(\sequencen{F'_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(V_1\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E'_n\times F'_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E'_n\cdot\nu F'_n\le\lambda_0V_1+\bover13\epsilon\). Dengan mengganti \(E'_n\), \(F'_n\) dengan \(E'_n\cap E\), \(F'_n\cap F\) jika perlu, kita dapat menganggap bahwa \(E'_n\in\Sigma^f\) dan \(F'_n\in\Tau^f\) untuk setiap \(n\). Tetapkan \(V_2=\bigcup_{n\in\Bbb N}E'_n\times F'_n\); maka

\(\lambda(V_2\setminus V_1) \le\lambda_0(V_2\setminus V_1) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E'_n\cdot\nu F'_n-\lambda_0V_1 \le\Bover13\epsilon\).

Misalkan \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=m+1}^{\infty}\mu E'_n\cdot\nu F'_n\le\bover13\epsilon\), dan tetapkan

\(V=\bigcup_{n=0}^mE'_n\times F'_n\).

Maka

\(\lambda(V_2\setminus V) \le\sum_{n=m+1}^{\infty}\mu E'_n\cdot\nu F'_n\le\Bover13\epsilon\).

Dengan menggabungkan semua ini, kita memperoleh \(W\symmdiff V\subseteq(W\setminus V_1)\cup(V_2\setminus V_1)\cup(V_2\setminus V)\), sehingga

\(\lambda(W\symmdiff V) \le\lambda(W\setminus V_1)+\lambda(V_2\setminus V_1)+\lambda(V_2\setminus V)\le\Bover13\epsilon+\Bover13\epsilon+\Bover13\epsilon=\epsilon\).

Dan \(V\) mempunyai bentuk yang disyaratkan.

251J Proposisi

Jika \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur semihingga dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\), maka \(\lambda(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\) untuk semua \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\).

251K \(\sigma\)-hingga ruang

Tentu saja sebagian besar ruang ukur yang padanya hasil-hasil ini akan kita terapkan bersifat \(\sigma\)-hingga, dan dalam kasus ini terdapat beberapa penyederhanaan yang berguna.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur \(\sigma\)-hingga. Maka ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\) sama dengan ukuran produk primitif, dan merupakan kelengkapan dari pembatasannya pada \(\Sigma\tensorhat\Tau\); selain itu, ukuran produk yang sama ini bersifat \(\sigma\)-hingga.

Bukti

Tuliskan \(\lambda_0\), \(\lambda\) untuk ukuran produk primitif dan c.l.d. seperti biasa, serta \(\Lambda\) untuk domain keduanya. Misalkan \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) barisan tak menurun dari himpunan-himpunan berukuran hingga yang masing-masing menutupi \(X\), \(Y\) (lihat 211D).

(a) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(\lambda(E_n\times F_n)=\mu E_n\cdot\nu F_n\) berhingga, menurut 251Ia. Karena \(X\times Y=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\), \(\lambda\) bersifat \(\sigma\)-hingga.

(b) Untuk sebarang \(W\in\Lambda\),

\(\lambda_0W=\lim_{n\to\infty}\lambda_0(W\cap(E_n\times F_n))=\lim_{n\to\infty}\lambda(W\cap(E_n\times F_n))=\lambda W\).

Jadi \(\lambda=\lambda_0\).

(c) Tuliskan \(\lambda_{\Cal B}\) untuk pembatasan \(\lambda=\lambda_0\) pada \(\Sigma\tensorhat\Tau\), dan \(\hat\lambda_{\Cal B}\) untuk kelengkapannya.

(i) Misalkan \(W\in\dom\hat\lambda_{\Cal B}\). Maka terdapat \(W'\), \(W''\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(W'\subseteq W\subseteq W''\) dan \(\lambda_{\Cal B}(W''\setminus W')=0\) (212C). Dalam hal ini, \(\lambda(W''\setminus W')=0\); karena \(\lambda\) lengkap, \(W\in\Lambda\) dan

\(\lambda W=\lambda W'=\lambda_{\Cal B}W' =\hat\lambda_{\Cal B}W\).

Jadi \(\lambda\) memperluas \(\hat\lambda_{\Cal B}\).

(ii) Jika \(W\in\Lambda\), maka terdapat \(V\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V\subseteq W\) dan \(\lambda(W\setminus V)=0\). Bukti. Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat \(V_n\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V_n\subseteq W\cap(E_n\times F_n)\) dan \(\lambda V_n=\lambda(W\cap(E_n\times F_n))\) (251Ib). Tetapi karena \(\lambda(E_n\times F_n)=\mu E_n\cdot\nu F_n\) berhingga, ini berarti \(\lambda(W\cap(E_n\times F_n)\setminus V_n)=0\). Jadi jika kita menetapkan \(V=\bigcup_{n\in\Bbb N}V_n\), kita memperoleh \(V\in\Sigma\tensorhat\Tau\), \(V\subseteq W\) dan

\(W\setminus V =\bigcup_{n\in\Bbb N}W\cap(E_n\times F_n)\setminus V \subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}W\cap(E_n\times F_n)\setminus V_n\)

terabaikan terhadap \(\lambda\). ∎

Demikian pula, terdapat \(V'\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V'\subseteq(X\times Y)\setminus W\) dan \(\lambda(((X\times Y)\setminus W)\setminus V')=0\). Dengan menetapkan \(V''=(X\times Y)\setminus V'\), \(V''\in\Sigma\tensorhat\Tau\), \(W\subseteq V''\) dan \(\lambda(V''\setminus W)=0\). Jadi

\(\lambda_{\Cal B}(V''\setminus V) =\lambda(V''\setminus V) =\lambda(V''\setminus W)+\lambda(W\setminus V)=0\),

dan \(W\) terukur terhadap \(\hat\lambda_{\Cal B}\), dengan \(\hat\lambda_{\Cal B}W=\lambda_{\Cal B}V=\lambda W\). Karena \(W\) sembarang, \(\hat\lambda_{\Cal B}=\lambda\).

251L

Hasil berikut sesuai ditempatkan di sini; saya memberinya tanda bintang karena hasil ini jarang digunakan (terdapat versi yang lebih penting dari gagasan yang sama dalam 254G) dan buktinya dapat dilewati sampai Anda memerlukannya.

Proposisi Misalkan \((X_1,\Sigma_1,\mu_1)\), \((X_2,\Sigma_2,\mu_2)\), \((Y_1,\Tau_1,\nu_1)\) dan \((Y_2,\Tau_2,\nu_2)\) ruang ukur \(\sigma\)-hingga; misalkan \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) ukuran produk masing-masing pada \(X_1\times Y_1\), \(X_2\times Y_2\). Andaikan \(f:X_1\to X_2\) dan \(g:Y_1\to Y_2\) adalah fungsi-fungsi pelestari ukuran melalui prapeta, dan \(h(x,y)=(f(x),g(y))\) untuk \(x\in X_1\), \(y\in Y_1\). Maka \(h\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta.

Bukti

Tuliskan \(\Lambda_1\), \(\Lambda_2\) untuk domain dari \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) masing-masing.

(a) Misalkan \(E\in\Sigma_2\) dan \(F\in\Tau_2\) berukuran hingga. Maka \(\lambda_1h^{-1}[W\cap(E\times F)]\) terdefinisi dan sama dengan \(\lambda_2(W\cap(E\times F))\) untuk setiap \(W\in\Lambda_2\). Bukti.

\[\begin{aligned}\lambda_1h^{-1}[E\times F] &=\lambda_1(f^{-1}[E]\times g^{-1}[F]) =\mu_1f^{-1}[E]\cdot\nu_1g^{-1}[F]\\ &=\mu_2E\cdot\nu_2F =\lambda_2(E\times F)\\\end{aligned}\]

menurut 251E/251J. ∎

(b) Ambil \(E_0\in\Sigma_2\) dan \(F_0\in\Tau_2\) berukuran hingga. Misalkan \(\tilde\lambda_1\), \(\tilde\lambda_2\) ukuran subruang masing-masing pada \(f^{-1}[E_0]\times g^{-1}[F_0]\) dan \(E_0\times F_0\). Tetapkan \(\tilde h=h\restr f^{-1}[E_0]\times g^{-1}[F_0]\), dan tuliskan \(\iota\) untuk pemetaan identitas dari \(E_0\times F_0\) ke \(X_2\times Y_2\); misalkan \(\lambda=\tilde\lambda_1\tilde h^{-1}\) dan \(\lambda'=\tilde\lambda_2\iota^{-1}\) merupakan ukuran citra pada \(X_2\times Y_2\). Maka (a) memberi tahu kita bahwa

\[\begin{aligned}\lambda(E\times F) &=\lambda_1(h^{-1}[(E\cap E_0)\times(F\cap F_0)])\\ &=\lambda_2((E\cap E_0)\times(F\cap F_0)) =\lambda'(E\times F)\\\end{aligned}\]

setiap kali \(E\in\Sigma_2\) dan \(F\in\Tau_2\). Menurut Teorema Kelas Monoton (136C), \(\lambda\) dan \(\lambda'\) berimpit pada \(\Sigma_2\tensorhat\Tau_2\), yaitu, \(\lambda_1(h^{-1}[W\cap(E_0\times F_0)])=\lambda_2(W\cap(E_0\times F_0))\) untuk setiap \(W\in\Sigma_2\tensorhat\Tau_2\).

Jika \(W\) sebarang anggota \(\Lambda_2\), terdapat \(W'\), \(W''\in\Sigma_2\tensorhat\Tau_2\) sedemikian sehingga \(W'\subseteq W\subseteq W''\) dan \(\lambda_2(W''\setminus W')=0\) (251K). Sekarang haruslah

\(h^{-1}[W'\cap(E_0\times F_0)] \subseteq h^{-1}[W\cap(E_0\times F_0)] \subseteq h^{-1}[W''\cap(E_0\times F_0)]\),

\(\lambda_1(h^{-1}[W''\cap(E_0\times F_0)]\setminus h^{-1}[W'\cap(E_0\times F_0)]) =\lambda_2((W''\setminus W')\cap(E_0\times F_0))=0\);

karena \(\lambda_1\) lengkap, \(\lambda_1h^{-1}[W\cap(E_0\times F_0)]\) terdefinisi dan sama dengan

\(\lambda_1h^{-1}[W'\cap(E_0\times F_0)] =\lambda_2(W'\cap(E_0\times F_0)) =\lambda_2(W\cap(E_0\times F_0))\).

(c) Sekarang misalkan \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) merupakan barisan tak menurun dari himpunan-himpunan berukuran hingga dengan gabungan masing-masing \(X_2\), \(Y_2\). Jika \(W\in\Lambda_2\),

\(\lambda_1h^{-1}[W] =\sup_{n\in\Bbb N}\lambda_1h^{-1}[W\cap(E_n\times F_n)] =\sup_{n\in\Bbb N}\lambda_2(W\cap(E_n\times F_n)) =\lambda_2W\).

Jadi \(h\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta, sebagaimana dinyatakan.

251M

Sudah waktunya saya memberikan beberapa contoh. Tentu saja contoh utamanya adalah ukuran Lebesgue. Dalam hal ini kita memperoleh satu-satunya hasil yang wajar. Saya berhenti sejenak untuk menguraikan contoh utama dari produk \(\Sigma\tensorhat\Tau\) yang diperkenalkan dalam 251D.

Proposisi Misalkan \(r\), \(s\ge 1\) bilangan bulat. Maka kita mempunyai bijeksi alami \(\phi:\BbbR^r\times\BbbR^s\to\BbbR^{r+s}\), yang didefinisikan dengan menetapkan

\(\phi((\xi_1,\ldots,\xi_r),(\eta_1,\ldots,\eta_s)) =(\xi_1,\ldots,\xi_r,\eta_1,\ldots,\eta_s)\)

untuk \(\xi_1,\ldots,\xi_r,\eta_1,\ldots,\eta_s\in\Bbb R\). Jika kita tuliskan \(\Cal B_r\), \(\Cal B_s\) dan \(\Cal B_{r+s}\) untuk aljabar-sigma Borel dari \(\BbbR^r\), \(\BbbR^s\) dan \(\BbbR^{r+s}\) masing-masing, maka \(\phi\) mengidentifikasi \(\Cal B_{r+s}\) dengan \(\Cal B_r\tensorhat\Cal B_s\).

Bukti

(a) Tuliskan \(\Cal B\) untuk aljabar-sigma \(\{\phi^{-1}[W]:W\in\Cal B_{r+s}\}\) yang disalin ke \(\BbbR^r\times\BbbR^s\) melalui bijeksi \(\phi\); yang hendak kita buktikan adalah \(\Cal B=\Cal B_r\tensorhat\Cal B_s\). Kita mempunyai pemetaan \(\pi_1:\BbbR^{r+s}\to\BbbR^r\), \(\pi_2:\BbbR^{r+s}\to\BbbR^s\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\pi_1(\phi(x,y))=x\), \(\pi_2(\phi(x,y))=y\). Setiap koordinat dari \(\pi_1\) kontinu, sehingga terukur Borel (121Db), jadi \(\pi_1^{-1}[E]\in\Cal B_{r+s}\) untuk setiap \(E\in\Cal B_r\), menurut 121K. Demikian pula, \(\pi_2^{-1}[F]\in\Cal B_{r+s}\) untuk setiap \(F\in\Cal B_s\). Jadi \(\phi[E\times F]=\pi_1^{-1}[E]\cap\pi_2^{-1}[F]\) termasuk dalam \(\Cal B_{r+s}\), yakni, \(E\times F\in\Cal B\), setiap kali \(E\in\Cal B_r\) dan \(F\in\Cal B_s\). Karena \(\Cal B\) merupakan aljabar-sigma, \(\Cal B_r\tensorhat\Cal B_s\subseteq\Cal B\).

(b) Sekarang periksa himpunan-himpunan berbentuk

\(\{(x,y):\xi_i\le\alpha\} =\{x:\xi_i\le\alpha\}\times\BbbR^s\),

\(\{(x,y):\eta_j\le\alpha\} =\BbbR^r\times\{y:\eta_j\le\alpha\}\)

untuk \(\alpha\in\Bbb R\), \(i\le r\) dan \(j\le s\), dengan mengambil \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\) dan \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_s)\). Semua himpunan ini termasuk dalam \(\Cal B_r\tensorhat\Cal B_s\). Tetapi aljabar-sigma yang dibangkitkannya tepat sama dengan \(\Cal B\), menurut 121J. Jadi \(\Cal B\subseteq\Cal B_r\tensorhat\Cal B_s\) dan \(\Cal B=\Cal B_r\tensorhat\Cal B_s\).

251N Teorema

Misalkan \(r\), \(s\ge 1\) bilangan bulat. Maka bijeksi \(\phi:\BbbR^r\times\BbbR^s\to\BbbR^{r+s}\) yang diuraikan dalam 251M mengidentifikasi ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^{r+s}\) dengan produk c.l.d. \(\lambda\) dari ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) dan ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^s\).

Bukti

Tuliskan \(\mu_r\), \(\mu_s\), \(\mu_{r+s}\) untuk ketiga versi ukuran Lebesgue, \(\mu^*_r\), \(\mu^*_s\) dan \(\mu^*_{r+s}\) untuk ukuran luar yang bersesuaian, dan \(\theta\) untuk ukuran luar pada \(\BbbR^r\times\BbbR^s\) yang diperoleh dari \(\mu_r\) dan \(\mu_s\) melalui rumus dalam 251A.

(a) Jika \(I\subseteq\BbbR^r\) dan \(J\subseteq \BbbR^s\) merupakan interval setengah terbuka, maka \(\phi[I\times J]\subseteq\BbbR^{r+s}\) juga merupakan interval setengah terbuka, dan

\(\mu_{r+s}(\phi[I\times J])=\mu_rI\cdot\mu_sJ\);

ini segera diperoleh dari definisi ukuran Lebesgue suatu interval. (Di sini saya berbicara tentang interval ‘setengah terbuka’, yaitu interval berbentuk \(\prod_{1\le j\le r}\coint{\alpha_j,\beta_j}\), karena saya menggunakannya dalam definisi ukuran Lebesgue dalam §115. Jika Anda lebih suka bekerja dengan interval terbuka atau interval tertutup, tidak ada perbedaan.) Perhatikan pula bahwa setiap interval setengah terbuka dalam \(\BbbR^{r+s}\) dapat dinyatakan sebagai \(\phi[I\times J]\) untuk \(I\), \(J\) yang sesuai.

(b) Untuk sebarang \(A\subseteq\BbbR^{r+s}\), \(\theta(\phi^{-1}[A])\le\mu^*_{r+s}(A)\). Bukti. Untuk sebarang \(\epsilon>0\), terdapat barisan \(\sequencen{K_n}\) dari interval setengah terbuka dalam \(\Bbb R^{r+s}\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}K_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu_{r+s}(K_n)\le\mu^*_{r+s}(A)+\epsilon\). Nyatakan setiap \(K_n\) sebagai \(\phi[I_n\times J_n]\), dengan \(I_n\) dan \(J_n\) interval setengah terbuka masing-masing dalam \(\BbbR^r\) dan \(\BbbR^s\); maka \(\phi^{-1}[A]\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n\times J_n\), sehingga

\(\theta(\phi^{-1}[A]) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu_rI_n\cdot\mu_sJ_n =\sum_{n=0}^{\infty}\mu_{r+s}(K_n)\le\mu^*_{r+s}(A)+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, kita memperoleh hasilnya. ∎

(c) Jika \(E\subseteq\BbbR^r\) dan \(F\subseteq\BbbR^s\) terukur, maka \(\mu^*_{r+s}(\phi[E\times F])\le\mu_rE\cdot\mu_sF\).

Bukti. (i) Pertama-tama tinjau kasus \(\mu_rE<\infty\), \(\mu_sF<\infty\). Dalam hal ini, untuk \(\epsilon>0\) yang diberikan, terdapat barisan \(\sequencen{I_n}\), \(\sequencen{J_n}\) dari interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(E\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n\), \(F\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}J_n\),

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu_rI_n\le\mu^*_rE+\epsilon =\mu_rE+\epsilon\),

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu_sJ_n\le\mu^*_sF+\epsilon=\mu_sF +\epsilon\).

Dengan demikian, \(E\times F\subseteq\bigcup_{m,n\in\Bbb N}I_m\times J_n\) dan \(\phi[E\times F]\subseteq\bigcup_{m,n\in\Bbb N}\phi[I_m\times J_n]\), sehingga

\[\begin{aligned}\mu^*_{r+s}(\phi[E\times F]) &\le\sum_{m,n=0}^{\infty}\mu_{r+s}(\phi[I_m\times J_n]) =\sum_{m,n=0}^{\infty}\mu_rI_m\cdot\mu_sJ_n\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\mu_rI_m\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\mu_sJ_n \le(\mu_rE+\epsilon)(\mu_sF+\epsilon).\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sembarang, kita memperoleh hasilnya.

(ii) Berikutnya, jika \(\mu_rE=0\), terdapat barisan \(\sequencen{F_n}\) dari himpunan berukuran hingga yang menutupi \(\BbbR^s\supseteq F\), sehingga

\(\mu^*_{r+s}(\phi[E\times F]) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*_{r+s}(\phi[E\times F_n]) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu_rE\cdot\mu_sF_n =0 =\mu_rE\cdot\mu_sF\).

Demikian pula, \(\mu^*_{r+s}(\phi[E\times F])\le\mu_rE\cdot\mu_sF\) jika \(\mu_sF=0\). Satu-satunya kasus yang tersisa adalah kasus ketika \(\mu_rE\), \(\mu_sF\) keduanya bernilai positif dan salah satunya tak hingga; tetapi dalam hal ini \(\mu_rE\cdot\mu_sF=\infty\), sehingga jelas \(\mu^*_{r+s}(\phi[E\times F])\le\mu_rE\cdot\mu_sF\). ∎

(d) Jika \(A\subseteq\BbbR^{r+s}\), maka \(\mu^*_{r+s}(A)\le\theta(\phi^{-1}[A])\). Bukti. Untuk \(\epsilon>0\) yang diberikan, terdapat barisan \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) dari himpunan terukur masing-masing dalam \(\BbbR^r\), \(\BbbR^s\) sedemikian sehingga \(\phi^{-1}[A]\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu_rE_n\cdot\mu_sF_n \le\theta(\phi^{-1}[A])+\epsilon\). Sekarang \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi[E_n\times F_n]\), sehingga

\(\mu^*_{r+s}(A) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*_{r+s}(\phi[E_n\times F_n]) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu_rE_n\cdot\mu_sF_n \le\theta(\phi^{-1}[A])+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, kita memperoleh hasilnya. ∎

(e) Dengan menggabungkan (b) dan (d), kita memperoleh \(\theta(\phi^{-1}[A])=\mu^*_{r+s}(A)\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R^{r+s}\). Jadi \(\theta\) pada \(\BbbR^r\times\BbbR^s\) berkorespondensi tepat dengan \(\mu^*_{r+s}\) pada \(\BbbR^{r+s}\). Maka ukuran-ukuran terkait \(\lambda_0\), \(\mu_{r+s}\) harus berkorespondensi dengan cara yang sama, dengan menuliskan \(\lambda_0\) untuk ukuran produk primitif. Tetapi 251K memberi tahu kita bahwa \(\lambda_0=\lambda\), sehingga kita memperoleh hasilnya.

251O

Sebenarnya, sebagian besar penerapan konstruksi di sini adalah pada subruang dari ruang Euklides, bukan pada keseluruhan produk \(\BbbR^r\times\BbbR^s\). Tidaklah terlalu sulit untuk menuliskan 251N agar menangani subruang sebarang, tetapi saya lebih memilih memberikan uraian yang lebih umum mengenai produk ukuran subruang, karena menurut saya uraian ini memperjelas metodenya. Saya mulai dengan hasil langsung tentang ruang yang dapat dilokalkan secara ketat.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat. Maka ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\) dapat dilokalkan secara ketat; selain itu, jika \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) dan \(\langle Y_j\rangle_{j\in J}\) merupakan dekomposisi dari \(X\) dan \(Y\) masing-masing, \(\langle X_i\times Y_j\rangle_{(i,j)\in I\times J}\) merupakan dekomposisi dari \(X\times Y\).

Bukti

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) dan \(\langle Y_j\rangle_{j\in J}\) dekomposisi dari \(X\), \(Y\) masing-masing. Maka \(\langle X_i\times Y_j\rangle_{(i,j)\in I\times J}\) merupakan partisi dari \(X\times Y\) menjadi himpunan-himpunan terukur yang berukuran hingga. Jika \(W\subseteq X\times Y\) dan \(\lambda W>0\), terdapat himpunan \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu E<\infty\), \(\nu F<\infty\) dan \(\lambda(W\cap(E\times F))>0\). Kita mengetahui bahwa \(\mu E=\sum_{i\in I}\mu(E\cap X_i)\) dan \(\nu F=\sum_{j\in J}\nu(F\cap Y_j)\), sehingga harus terdapat himpunan berhingga \(I_0\subseteq I\), \(J_0\subseteq J\) sedemikian sehingga

\(\mu E\cdot\nu F -(\sum_{i\in I_0}\mu(E\cap X_i))(\sum_{j\in J_0}\nu(F\cap Y_j)) <\lambda(W\cap(E\times F))\).

Dengan menetapkan \(E'=\bigcup_{i\in I_0}X_i\) dan \(F'=\bigcup_{j\in J_0}Y_j\) kita mempunyai

\(\lambda((E\times F)\setminus(E'\times F')) =\lambda(E\times F)-\lambda((E\cap E')\times(F\cap F'))<\lambda(W\cap(E\times F))\),

sehingga \(\lambda(W\cap(E'\times F'))>0\). Oleh karena itu harus terdapat \(i\in I_0\), \(j\in J_0\) sedemikian sehingga \(\lambda(W\cap(X_i\times Y_j))>0\).

Ini menunjukkan bahwa \(\{X_i\times Y_j:i\in I,\,j\in J\}\) memenuhi kriteria 213O, sehingga \(\lambda\), karena lengkap dan ditentukan secara lokal, harus dapat dilokalkan secara ketat. Karena \(\langle X_i\times Y_j\rangle_{(i,j)\in I\times J}\) menutupi \(X\times Y\), keluarga ini benar-benar merupakan dekomposisi dari \(X\times Y\) (213Ob).

251P Lema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Misalkan \(\lambda^*\) merupakan ukuran luar yang bersesuaian (132B). Maka

\(\lambda^*C=\sup\{\theta(C\cap(E\times F)):E\in\Sigma,\,F\in\Tau,\,\mu E<\infty,\,\nu F<\infty\}\)

untuk setiap \(C\subseteq X\times Y\), dengan \(\theta\) ukuran luar dari 251A.

Bukti

Tuliskan \(\Lambda\) untuk domain \(\lambda\), \(\Sigma^f\) untuk \(\{E:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty\}\), \(\Tau^f\) untuk \(\{F:F\in\Tau,\,\nu F<\infty\}\); tetapkan \(u=\sup\{\theta(C\cap(E\times F)):E\in\Sigma^f\), \(F\in\Tau^f\}\).

(a) Jika \(C\subseteq W\in\Lambda\), \(E\in\Sigma^f\) dan \(F\in\Tau^f\), maka

\[\begin{aligned}\theta(C\cap(E\times F)) &\le\theta(W\cap(E\times F)) =\lambda_0(W\cap(E\times F))\\ &\text{(dengan }\lambda_0\text{ ukuran produk primitif)}\\ &\le\lambda W.\\\end{aligned}\]

Karena \(E\) dan \(F\) sembarang, \(u\le\lambda W\); karena \(W\) sembarang, \(u\le\lambda^*C\).

(b) Jika \(u=\infty\), maka tentu saja \(\lambda^*C=u\). Jika tidak, misalkan \(\sequencen{E_n}\), \(\sequencen{F_n}\) merupakan barisan masing-masing dalam \(\Sigma^f\), \(\Tau^f\) sedemikian sehingga

\(u=\sup_{n\in\Bbb N}\theta(C\cap(E_n\times F_n))\).

Tinjau \(C'=C\setminus(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n)\). Jika \(E\in\Sigma^f\) dan \(F\in\Tau^f\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita mempunyai

\[\begin{aligned}u &\ge\theta(C\cap((E\cup E_n)\times(F\cup F_n)))\\ &=\theta(C\cap((E\cup E_n)\times(F\cup F_n))\cap(E_n\times F_n))\\ &{\hskip 10em}+\theta(C\cap((E\cup E_n)\times(F\cup F_n)) \setminus(E_n\times F_n))\\ &\text{(karena }E_n\times F_n\in\Lambda\text{, menurut 251E)}\\ &\ge\theta(C\cap(E_n\times F_n)) +\theta(C'\cap(E\times F)).\\\end{aligned}\]

Dengan mengambil supremum dari ungkapan di ruas kanan ketika \(n\) bervariasi, kita memperoleh \(u\ge u+\theta(C'\cap(E\times F))\), sehingga

\(\lambda(C'\cap(E\times F))=\theta(C'\cap(E\times F))=0\).

Karena \(E\) dan \(F\) sembarang, \(\lambda C'=0\).

Tetapi ini berarti bahwa

\[\begin{aligned}\lambda^*C &\le\lambda^* (C\cap(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n)) +\lambda^*C'\\ &=\lim_{n\to\infty} \lambda^*(C\cap(\bigcup_{i\le n}E_i\times\bigcup_{i\le n}F_i))\\ &\text{(menggunakan 132Ae)}\\ &\le u,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

251Q Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, serta \(A\subseteq X\), \(B\subseteq Y\) himpunan bagian; tuliskan \(\mu_A\), \(\nu_B\) untuk ukuran subruang masing-masing pada \(A\), \(B\). Misalkan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\), dan \(\lambda^{\#}\) ukuran subruang yang diinduksinya pada \(A\times B\). Misalkan \(\tilde\lambda\) ukuran produk c.l.d. dari \(\mu_A\) dan \(\nu_B\) pada \(A\times B\). Maka

(i) \(\tilde\lambda\) memperluas \(\lambda^{\#}\).

(ii) Jika

salah satu (\(\alpha\)) \(A\in\Sigma\) dan \(B\in\Tau\)

atau (\(\beta\)) \(A\) dan \(B\) keduanya dapat ditutupi oleh barisan himpunan berukuran hingga

atau (\(\gamma\)) \(\mu\) dan \(\nu\) keduanya dapat dilokalkan secara ketat,

maka \(\tilde\lambda=\lambda^{\#}\).

Bukti

Misalkan \(\theta\) ukuran luar pada \(X\times Y\) yang didefinisikan dari \(\mu\) dan \(\nu\) melalui rumus dalam 251A, dan \(\tilde\theta\) ukuran luar pada \(A\times B\) yang didefinisikan secara serupa dari \(\mu_A\) dan \(\nu_B\). Tuliskan \(\Lambda\) untuk domain dari \(\lambda\), \(\tilde\Lambda\) untuk domain dari \(\tilde\lambda\), dan \(\Lambda^{\#}=\{W\cap(A\times B):W\in\Lambda\}\) untuk domain dari \(\lambda^{\#}\). Tetapkan \(\Sigma^f=\{E:\mu E<\infty\}\), \(\Tau^f=\{F:\nu F<\infty\}\).

(a) Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa \(\tilde\theta C=\theta C\) untuk setiap \(C\subseteq A\times B\). Bukti. (i) Jika \(\sequencen{E_n}\) dan \(\sequencen{F_n}\) merupakan barisan masing-masing dalam \(\Sigma\), \(\Tau\) sedemikian sehingga \(C\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\), maka

\(C=C\cap(A\times B)\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(E_n\cap A)\times(F_n\cap B)\),

sehingga

\[\begin{aligned}\tilde\theta C &\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu_A(E_n\cap A)\cdot\nu_B(F_n\cap B)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\mu^*(E_n\cap A)\cdot\nu^*(F_n\cap B) \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n.\\\end{aligned}\]

Karena \(\sequencen{E_n}\) dan \(\sequencen{F_n}\) sembarang, \(\tilde\theta C\le\theta C\). (ii) Jika \(\sequencen{\tilde E_n}\), \(\sequencen{\tilde F_n}\) merupakan barisan masing-masing dalam \(\Sigma_A=\dom\mu_A\), \(\Tau_B=\dom\nu_B\) sedemikian sehingga \(C\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\tilde E_n\times\tilde F_n\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita dapat memilih \(E_n\in\Sigma\), \(F_n\in\Tau\) sedemikian sehingga

\(\tilde E_n\subseteq E_n\), \(\mu E_n =\mu^*\tilde E_n=\mu_A\tilde E_n\),

\(\tilde F_n\subseteq F_n\), \(\nu F_n=\nu^*\tilde F_n=\nu_B\tilde F_n\),

dan sekarang

\(\theta C\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n =\sum_{n=0}^{\infty}\mu_A\tilde E_n\cdot\nu_B\tilde F_n\).

Karena \(\sequencen{\tilde E_n}\), \(\sequencen{\tilde F_n}\) sembarang, \(\theta C\le\tilde\theta C\). ∎

(b) Karena itu, \(\Lambda^{\#}\subseteq\tilde\Lambda\). Bukti. Misalkan \(V\in\Lambda^{\#}\) dan \(C\subseteq A\times B\). Dalam hal ini terdapat \(W\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(V=W\cap(A\times B)\). Jadi

\(\tilde\theta(C\cap V)+\tilde\theta(C\setminus V) =\theta(C\cap W)+\theta(C\setminus W) =\theta C =\tilde\theta C\).

Karena \(C\) sembarang, \(V\in\tilde\Lambda\). ∎

Dengan demikian, untuk \(V\in\Lambda^{\#}\),

\[\begin{aligned}\lambda^{\#}V &=\lambda^*V =\sup\{\theta(V\cap(E\times F)):E\in\Sigma^f,\,F\in\Tau^f\}\\ &=\sup\{\theta(V\cap(\tilde E\times\tilde F)):\tilde E\in\Sigma_A,\,\tilde F\in\Tau_B,\,\mu_A\tilde E<\infty,\,\nu_B\tilde F<\infty\}\\ &=\sup\{\tilde\theta(V\cap(\tilde E\times\tilde F)):\tilde E\in\Sigma_A,\,\tilde F\in\Tau_B,\,\mu_A\tilde E<\infty,\,\nu_B\tilde F<\infty\} =\tilde\lambda V,\\\end{aligned}\]

dengan menggunakan 251P dua kali.

Ini membuktikan bagian (i) dari proposisi.

(c) Hal berikutnya yang perlu diperiksa adalah bahwa jika \(V\in\tilde\Lambda\) dan \(V\subseteq E\times F\) dengan \(E\in\Sigma^f\) dan \(F\in\Tau^f\), maka \(V\in\Lambda^{\#}\). Bukti. Misalkan \(W\subseteq E\times F\) merupakan selubung terukur dari \(V\) terhadap \(\lambda\) (132Ee). Maka

\[\begin{aligned}\theta(W\cap(A\times B)\setminus V) &=\tilde\theta(W\cap(A\times B)\setminus V) =\tilde\lambda(W\cap(A\times B)\setminus V)\\ &\text{(karena }W\cap(A\times B)\in\Lambda^{\#}\subseteq\tilde\Lambda\text{, }V\in\tilde\Lambda\text{)}\\ &=\tilde\lambda(W\cap(A\times B))-\tilde\lambda V =\tilde\theta(W\cap(A\times B))-\tilde\theta V\\ &=\theta(W\cap(A\times B))-\theta V =\lambda^*(W\cap(A\times B))-\lambda^* V\\ &\le\lambda W-\lambda^* V =0.\\\end{aligned}\]

Tetapi ini berarti bahwa \(W'=W\cap(A\times B)\setminus V\in\Lambda\) dan \(V=(A\times B)\cap(W\setminus W')\) termasuk dalam \(\Lambda^{\#}\). ∎

(d) Sekarang tetapkan sebarang \(V\in\tilde\Lambda\), dan periksa syarat (\(\alpha\))-(\(\gamma\)) dari bagian (ii) proposisi.

Jika \(A\in\Sigma\) dan \(B\in\Tau\), serta \(C\subseteq X\times Y\), maka \(A\times B\in\Lambda\) (251E), sehingga

\[\begin{aligned}\theta(C\cap V)+\theta(C\setminus V) &=\theta(C\cap V)+\theta((C\setminus V)\cap(A\times B)) +\theta((C\setminus V)\setminus(A\times B))\\ &=\tilde\theta(C\cap V)+\tilde\theta(C\cap(A\times B)\setminus V) +\theta(C\setminus(A\times B))\\ &=\tilde\theta(C\cap(A\times B)) +\theta(C\setminus(A\times B))\\ &=\theta(C\cap(A\times B)) +\theta(C\setminus(A\times B)) =\theta C.\\\end{aligned}\]

Karena \(C\) sembarang, \(V\in\Lambda\), sehingga \(V=V\cap(A\times B)\) termasuk dalam \(\Lambda^{\#}\).

Jika \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) dan \(B\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n\) dengan semua \(E_n\), \(F_n\) berukuran hingga, maka \(V=\bigcup_{m,n\in\Bbb N}V\cap(E_m\times F_n)\in\Lambda^{\#}\), menurut (c).

Jika \(\familyiI{X_i}\), \(\family{j}{J}{Y_j}\) merupakan dekomposisi dari \(X\), \(Y\) masing-masing, maka untuk setiap \(i\in I\), \(j\in J\) kita mempunyai \(V\cap(X_i\times Y_j)\in\Lambda^{\#}\), yakni, terdapat \(W_{ij}\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(V\cap(X_i\times Y_j)=W_{ij}\cap(A\times B)\). Sekarang \(\family{(i,j)}{I\times J}{X_i\times Y_j}\) merupakan dekomposisi dari \(X\times Y\) untuk \(\lambda\) (251O), sehingga

\(W=\bigcup_{i\in I,j\in J}W_{ij}\cap(X_i\times Y_j) \in\Lambda\),

dan \(V=W\cap(A\times B)\in\Lambda^{\#}\).

(e) Jadi masing-masing dari ketiga syarat itu cukup untuk memastikan bahwa \(\tilde\Lambda=\Lambda^{\#}\), dan dalam hal ini (a) memberi tahu kita bahwa \(\tilde\lambda=\lambda^{\#}\).

251R Akibat

Misalkan \(r\), \(s\ge 1\) bilangan bulat, dan \(\phi:\Bbb R^r\times\BbbR^s\to\BbbR^{r+s}\) bijeksi alamiah. Jika \(A\subseteq\BbbR^r\) dan \(B\subseteq\BbbR^s\), maka pembatasan \(\phi\) pada \(A\times B\) mengidentifikasikan produk ukuran Lebesgue pada \(A\) dan ukuran Lebesgue pada \(B\) dengan ukuran Lebesgue pada \(\phi[A\times B]\subseteq\BbbR^{r+s}\).

Catatan Perhatikan bahwa dengan ‘ukuran Lebesgue pada \(A\)’ yang saya maksud adalah ukuran subruang \(\mu_{rA}\) pada \(A\) yang diinduksi oleh ukuran Lebesgue berdimensi \(r\), \(\mu_r\), pada \(\BbbR^r\), terlepas dari apakah \(A\) sendiri merupakan himpunan terukur atau bukan.

251S Akibat

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Jika \(A\subseteq X\) dan \(B\subseteq Y\) dapat ditutupi oleh barisan-barisan himpunan berukuran hingga, maka \(\lambda^*(A\times B)=\mu^*A\cdot\nu^*B\).

251T

Proposisi berikut memberikan gambaran tentang bagaimana definisi-definisi teknis di sini saling berpadu.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur. Tuliskan \((X,\hat\Sigma,\hat\mu)\) dan \((X,\tilde\Sigma,\tilde\mu)\) untuk pelengkapan dan versi c.l.d. dari \((X,\Sigma,\mu)\) (212C, 213E). Misalkan \(\lambda\), \(\hat\lambda\) dan \(\tilde\lambda\) merupakan tiga ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\) yang diperoleh dari ketiga pasangan ukuran faktor \((\mu,\nu)\), \((\hat\mu,\nu)\) dan \((\tilde\mu,\nu)\). Maka \(\lambda=\hat\lambda=\tilde\lambda\).

Bukti

Tuliskan \(\Lambda\), \(\hat\Lambda\) dan \(\tilde\Lambda\) untuk domain \(\lambda\), \(\hat\lambda\), \(\tilde\lambda\) secara berturut-turut; dan \(\theta\), \(\hat\theta\), \(\tilde\theta\) untuk ukuran-ukuran luar pada \(X\times Y\) yang diperoleh dengan rumus 251A dari ketiga pasangan ukuran faktor tersebut.

(a) Jika \(E\in\Sigma\) dan \(\mu E<\infty\), maka \(\theta\), \(\hat\theta\) dan \(\tilde\theta\) bertepatan pada subhimpunan-subhimpunan \(E\times Y\). Bukti. Ambil \(A\subseteq E\times Y\) dan \(\epsilon>0\).

(i) Terdapat barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma\), \(\sequencen{F_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n\le\theta A+\epsilon\). Sekarang \(\tilde\mu E_n\le\mu E_n\) untuk setiap \(n\) (213Fb), sehingga

\(\tilde\theta A \le\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu E_n\cdot\nu F_n \le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\cdot\nu F_n\le\theta A+\epsilon\).

(ii) Terdapat barisan \(\sequencen{\hat E_n}\) dalam \(\hat\Sigma\), \(\sequencen{\hat F_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\hat E_n\times\hat F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu\hat E_n\cdot\nu\hat F_n \le\hat\theta A+\epsilon\). Sekarang, untuk setiap \(n\) terdapat \(E'_n\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\hat E_n\subseteq E'_n\) dan \(\mu E'_n=\hat\mu\hat E_n\), sehingga

\(\theta A\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu E'_n\cdot\nu\hat F_n =\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu\hat E_n\cdot\nu\hat F_n \le\hat\theta A+\epsilon\).

(iii) Terdapat barisan \(\sequencen{\tilde E_n}\) dalam \(\tilde\Sigma\), \(\sequencen{\tilde F_n}\) dalam \(\Tau\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\tilde E_n\times\tilde F_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu\tilde E_n\cdot\nu\tilde F_n \le\tilde\theta A+\epsilon\). Sekarang, untuk setiap \(n\), \(\tilde E_n\cap E\in\hat\Sigma\), sehingga

\(\hat\theta A \le\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu(\tilde E_n\cap E)\cdot\nu\tilde F_n \le\sum_{n=0}^{\infty}\tilde\mu\tilde E_n\cdot\nu\tilde F_n \le\tilde\theta A+\epsilon\).

(iv) Karena \(A\) dan \(\epsilon\) sebarang, \(\theta=\hat\theta=\tilde\theta\) pada \(\Cal P(E\times Y)\). ∎

(b) Akibatnya, ukuran-ukuran luar \(\lambda^*\), \(\hat\lambda^*\) dan \(\tilde\lambda^*\) identik. Bukti. Gunakan 251P. Ambil \(A\subseteq X\times Y\), \(E\in\Sigma\), \(\hat E\in\hat\Sigma\), \(\tilde E\in\tilde\Sigma\), \(F\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu E\), \(\hat\mu\hat E\), \(\tilde\mu\tilde E\) dan \(\nu F\) semuanya hingga. Maka

(i)

\(\theta(A\cap(E\times F))=\hat\theta(A\cap(E\times F)) \le\hat\lambda^*A\), \(\theta(A\cap(E\times F))=\tilde\theta(A\cap(E\times F)) \le\tilde\lambda^*A\)

karena \(\hat\mu E\) dan \(\tilde\mu E\) keduanya hingga.

(ii) Terdapat \(E'\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\hat E\subseteq E'\) dan \(\mu E'<\infty\), sehingga

\(\hat\theta(A\cap(\hat E\times F)) \le\hat\theta(A\cap(E'\times F)) =\theta(A\cap(E'\times F)) \le\lambda^*A\).

(iii) Terdapat \(E''\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E''\subseteq\tilde E\) dan \(\tilde\mu(\tilde E\setminus E'')=0\) (213Fc), sehingga \(\tilde\theta((\tilde E\setminus E'')\times Y)=0\) dan \(\mu E''<\infty\); dengan demikian

\(\tilde\theta(A\cap(\tilde E\times F)) =\tilde\theta(A\cap(E''\times F)) =\theta(A\cap(E''\times F)) \le\lambda^*A\).

(iv) Dengan mengambil supremum atas \(E\), \(\hat E\), \(\tilde E\) dan \(F\), kita memperoleh

\(\lambda^*A\le\hat\lambda^*A\), \(\lambda^*A\le\tilde\lambda^*A\), \(\hat\lambda^*A\le\lambda^*A\), \(\tilde\lambda^*A\le\lambda^*A\).

Karena \(A\) sebarang, \(\lambda^*=\hat\lambda^*=\tilde\lambda^*\). ∎

(c) Sekarang \(\lambda\), \(\hat\lambda\) dan \(\tilde\lambda\) semuanya lengkap dan ditentukan secara lokal, sehingga menurut 213C ketiganya merupakan ukuran yang didefinisikan dengan metode Carathéodory dari ukuran luar masing-masing, dan karena itu identik.

251U

‘Jelas’, dan merupakan akibat mudah dari teorema-teorema yang telah dibuktikan sejauh ini, bahwa himpunan \(\{(x,x):x\in\Bbb R\}\) terabaikan terhadap ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\). Hasil yang bersesuaian berlaku pada kuadrat sebarang ruang ukur tanpa atom.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur tanpa atom, dan misalkan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times X\). Maka \(\Delta=\{(x,x):x\in X\}\) terabaikan terhadap \(\lambda\).

251W Produk lebih dari dua ruang

Seluruh bagian ini dapat diulangi untuk produk berhingga sebarang. Pekerjaannya cukup banyak, tetapi tidak diperlukan gagasan baru. Pada saat kita memerlukan konstruksi umum ini secara formal, konstruksi itu semestinya sudah terasa sangat wajar, dan saya kira halaman berikut tidak perlu dikerjakan sebelum melanjutkan, terutama karena produk ruang-ruang probabilitas dibahas dalam §254. Namun, demi kelengkapan, dan untuk membantu menemukan hasil ketika penerapannya muncul, saya mencantumkannya di sini. Hasil-hasil ini tentu saja membentuk seperangkat latihan yang sangat mendidik. Bagian-bagian terpenting diulangi dalam 251Xe-251Xf.

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) keluarga berhingga ruang ukur, dan tetapkan \(X=\prod_{i\in I}X_i\). Tuliskan \(\Sigma_i^f=\{E:E\in\Sigma_i,\,\mu_iE<\infty\}\) untuk setiap \(i\in I\).

251Wa (a)

Untuk \(A\subseteq X\) tetapkan

\[\theta A=\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}\prod_{i\in I}\mu_iE_{ni}: E_{ni}\in\Sigma_i\Forall i\in I,\,n\in\Bbb N,\, A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\prod_{i\in I}E_{ni}\}.\]

Maka \(\theta\) merupakan ukuran luar pada \(X\). Misalkan \(\lambda_0\) ukuran pada \(X\) yang diturunkan dengan metode Carathéodory dari \(\theta\), dan \(\Lambda\) domainnya.

251Wb (b)

Jika \(\familyiI{X_i}\) keluarga berhingga himpunan dan \(\Sigma_i\) merupakan \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(X_i\) untuk setiap \(i\in I\), maka \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) adalah \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(X=\prod_{i\in I}X_i\) yang dibangkitkan oleh \(\{\prod_{i\in I}E_i:E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\}\). (Untuk konstruksi yang bersesuaian ketika \(I\) tak hingga, lihat 254E.)

251Wc (c)

\(\lambda_0(\prod_{i\in I}E_i)\) terdefinisi dan sama dengan \(\prod_{i\in I}\mu_iE_i\) kapan pun \(E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\).

251Wd (d)

ukuran produk c.l.d. pada \(X\) adalah ukuran \(\lambda\) yang didefinisikan dengan menetapkan

\(\lambda W =\sup\{\lambda_0(W\cap\prod_{i\in I}E_i): E_i\in\Sigma_i^f\) untuk setiap \(i\in I\}\)

untuk \(W\in\Lambda\). Jika \(I\) kosong, sehingga \(X=\{\emptyset\}\), maka konvensi yang sesuai ialah menetapkan \(\lambda X=1\).

251We (e)

Jika \(H\subseteq X\), maka \(H\in\Lambda\) jika dan hanya jika \(H\cap\prod_{i\in I}E_i\in\Lambda\) kapan pun \(E_i\in\Sigma_i^f\) untuk setiap \(i\in I\).

251Wf (f)

(i) \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\subseteq\Lambda\) dan \(\lambda(\prod_{i\in I}E_i)=\prod_{i\in I}\mu_iE_i\) kapan pun \(E_i\in\Sigma_i^f\) untuk setiap \(i\).

(ii) Untuk setiap \(W\in\Lambda\) terdapat \(V\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(V\subseteq W\) dan \(\lambda V=\lambda W\).

(iii) \(\lambda\) lengkap dan ditentukan secara lokal, serta merupakan versi c.l.d. dari \(\lambda_0\).

(iv) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W>0\), maka terdapat \(E_i\in\Sigma_i^f\), untuk \(i\in I\), sedemikian sehingga \(\lambda(W\cap\prod_{i\in I}E_i)>0\).

(v) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W<\infty\), maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(n\in\Bbb N\) dan \(E_{0i},\ldots,E_{ni}\in\Sigma_i^f\), untuk setiap \(i\in I\), sedemikian sehingga \(\lambda(W\symmdiff\bigcup_{k\le n}\prod_{i\in I}E_{ki})\le\epsilon\).

251Wg (g)

Jika setiap \(\mu_i\) \(\sigma\)-hingga, maka \(\lambda\) juga demikian, dan \(\lambda=\lambda_0\) merupakan pelengkapan dari pembatasannya pada \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\).

251Wh (h)

Jika \(\family{j}{J}{I_j}\) sebarang partisi \(I\), maka \(\lambda\) dapat diidentifikasikan dengan produk c.l.d. dari \(\family{j}{J}{\lambda_j}\), dengan \(\lambda_j\) produk c.l.d. dari \(\family{i}{I_j}{\mu_i}\). (Lihat argumen dalam 251N dan juga dalam 254N di bawah.)

251Wi (i)

Jika \(I=\{1,\ldots,n\}\) dan setiap \(\mu_i\) merupakan ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\), maka \(\lambda\) dapat diidentifikasikan dengan ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^n\).

251Wj (j)

Jika, untuk setiap \(i\in I\), kita mempunyai dekomposisi \(\family{j}{J_i}{X_{ij}}\) dari \(X_i\), maka \(\langle\prod_{i\in I}X_{i,f(i)}\rangle_{f\in\prod_{i\in I}J_i}\) merupakan dekomposisi \(X\).

251Wk (k)

Untuk sebarang \(C\subseteq X\),

\(\lambda^*C =\sup\{\theta(C\cap\prod_{i\in I}E_i): E_i\in\Sigma_i^f\) untuk setiap \(i\in I\}\).

251Wl (l)

Misalkan \(A_i\subseteq X_i\) untuk setiap \(i\in I\). Tuliskan \(\lambda^{\#}\) untuk ukuran subruang pada \(A=\prod_{i\in I}A_i\), dan \(\tilde\lambda\) untuk produk c.l.d. dari ukuran-ukuran subruang pada \(A_i\). Maka \(\tilde\lambda\) memperluas \(\lambda^{\#}\), dan jika

salah satu \(A_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\)

atau setiap \(A_i\) dapat ditutupi oleh suatu barisan himpunan berukuran hingga

atau setiap \(\mu_i\) dapat dilokalkan secara ketat,

maka \(\tilde\lambda=\lambda^{\#}\).

251Wm (m)

Jika \(A_i\subseteq X_i\) dapat ditutupi oleh suatu barisan himpunan berukuran hingga untuk setiap \(i\in I\), maka \(\lambda^*(\prod_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}\mu_i^*A_i\).

251Wn (n)

Dengan menuliskan \(\hat\mu_i\), \(\tilde\mu_i\) untuk pelengkapan dan versi c.l.d. dari setiap \(\mu_i\), \(\lambda\) merupakan produk c.l.d. dari \(\familyiI{\hat\mu_i}\) dan juga dari \(\familyiI{\tilde\mu_i}\).

251Wo (o)

Jika semua \((X_i,\Sigma_i,\mu_i)\) merupakan ruang ukur tanpa atom yang sama \((X,\Sigma,\mu)\), maka \(\{x:x\in X\), \(i\mapsto x(i)\) injektif\(\}\) adalah koterabaikan terhadap \(\lambda\).

251Wp (p)

Sekarang misalkan kita mempunyai keluarga lain \(\familyiI{(Y_i,\Tau_i,\nu_i)}\) ruang ukur, dengan produk \((Y,\Lambda',\lambda')\), dan fungsi-fungsi pelestari ukuran melalui prapeta \(f_i:X_i\to Y_i\) untuk setiap \(i\); definisikan \(f:X\to Y\) dengan menyatakan bahwa \(f(x)(i)=f_i(x(i))\) untuk \(x\in X\) dan \(i\in I\). Jika semua \(\nu_i\) \(\sigma\)-hingga, maka \(f\) merupakan pelestari ukuran melalui prapeta bagi \(\lambda\) dan \(\lambda'\).

Latihan

251X Latihan dasar (a)

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan, \(\Cal A\subseteq\Cal PX\) dan \(\Cal B\subseteq\Cal PY\). Misalkan \(\Sigma\) \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal A\) dan \(\Tau\) \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(Y\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal B\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma\tensorhat\Tau\) adalah \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(X\times Y\) yang dibangkitkan oleh \(\{A\times B:A\in\Cal A\), \(B\in\Cal B\}\).

251Xb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur; misalkan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\), dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. Tunjukkan bahwa \(\lambda_0W<\infty\) jika dan hanya jika \(\lambda W<\infty\) dan \(W\) termuat dalam suatu himpunan berbentuk

\((E\times Y)\cup (X\times F)\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\times F_n\)

dengan \(\mu E=\nu F=0\) dan \(\mu E_n<\infty\), \(\nu F_n<\infty\) untuk setiap \(n\).

251Xc (>c) penting

Tunjukkan bahwa jika \(X\) dan \(Y\) sebarang himpunan, masing-masing dengan ukuran cacahnya, maka ukuran produk primitif dan c.l.d. pada \(X\times Y\) keduanya merupakan ukuran cacah pada \(X\times Y\).

251Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur; misalkan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\), dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. Tunjukkan bahwa

\[\begin{aligned}\lambda_0&\text{ ditentukan secara lokal}\\ &\iff\,\lambda_0\text{ semihingga}\\ &\iff\,\lambda_0=\lambda\\ &\iff\,\lambda_0\text{ dan }\lambda \text{ mempunyai himpunan terabaikan yang sama}.\\\end{aligned}\]

251Xe (>e) penting

(Lihat 251W.) Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) keluarga ruang ukur, dengan \(I\) himpunan berhingga tak kosong. Tetapkan \(X=\prod_{i\in I}X_i\). Untuk \(A\subseteq X\), tetapkan

\(\theta A =\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}\prod_{i\in I}\mu_iE_{ni}: E_{ni}\in\Sigma_i\Forall n\in\Bbb N,\,i\in I,\,A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\prod_{i\in I}E_{ni}\}\).

Tunjukkan bahwa \(\theta\) merupakan ukuran luar pada \(X\). Misalkan \(\lambda_0\) ukuran yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, dan untuk \(W\in\dom\lambda_0\) tetapkan

\(\lambda W=\sup\{\lambda_0(W\cap\prod_{i\in I}E_i): E_i\in\Sigma_i,\,\mu_iE_i<\infty\) untuk setiap \(i\in I\}\).

Tunjukkan bahwa \(\lambda\) merupakan ukuran pada \(X\), dan merupakan versi c.l.d. dari \(\lambda_0\).

251Xf (>f) penting

(Lihat 251W.) Misalkan \(I\) himpunan berhingga tak kosong dan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) keluarga ruang ukur. Untuk \(K\subseteq I\) tak kosong, tetapkan \(X^{(K)}=\prod_{i\in K}X_i\) dan misalkan \(\lambda_0^{(K)}\), \(\lambda^{(K)}\) ukuran-ukuran pada \(X^{(K)}\) yang dikonstruksi seperti dalam 251Xe. Tunjukkan bahwa jika \(K\) subhimpunan sejati tak kosong dari \(I\), maka bijeksi alamiah antara \(X^{(I)}\) dan \(X^{(K)}\times X^{(I\setminus K)}\) mengidentifikasikan \(\lambda_0^{(I)}\) dengan ukuran produk primitif dari \(\lambda_0^{(K)}\) dan \(\lambda_0^{(I\setminus K)}\), serta \(\lambda^{(I)}\) dengan ukuran produk c.l.d. dari \(\lambda^{(K)}\) dan \(\lambda^{(I\setminus K)}\).

251Xg (>g) penting

Dengan menggunakan 251Xe-251Xf di atas, atau cara lain, tunjukkan bahwa jika \((X_1,\Sigma_1,\mu_1)\), \((X_2,\Sigma_2,\mu_2)\), \((X_3,\Sigma_3,\mu_3)\) ruang-ruang ukur, maka ukuran produk primitif dan c.l.d. \(\lambda_0\), \(\lambda\) pada \((X_1\times X_2)\times X_3\), yang dikonstruksi dengan terlebih dahulu mengambil ukuran produk yang sesuai pada \(X_1\times X_2\) lalu mengambil produknya dengan ukuran pada \(X_3\), diidentifikasikan dengan ukuran-ukuran produk yang bersesuaian pada \(X_1\times(X_2\times X_3)\) oleh bijeksi kanonik antara himpunan \((X_1\times X_2)\times X_3\) dan \(X_1\times(X_2\times X_3)\).

251Xh (h)

(i) Apa yang terjadi dalam 251Xe ketika \(I\) merupakan himpunan satu anggota? (ii) Rancang konvensi yang sesuai agar 251Xe-251Xf tetap berlaku ketika satu atau lebih dari himpunan \(I\), \(K\), \(I\setminus K\) di sana kosong.

251Xi (>i) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal, dan \(I\) sebarang himpunan tak kosong; misalkan \(\nu\) ukuran cacah pada \(I\). Tunjukkan bahwa ukuran produk c.l.d. pada \(X\times I\) sama dengan (atau setidaknya dapat diidentifikasikan dengan) ukuran jumlah langsung dari keluarga \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\), jika kita menetapkan \((X_i,\Sigma_i,\mu_i)=(X,\Sigma,\mu)\) untuk setiap \(i\).

251Xj (>j) penting

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) keluarga ruang ukur, dengan jumlah langsung \((X,\Sigma,\mu)\) (214L). Misalkan \((Y,\Tau,\nu)\) sebarang ruang ukur, dan berikan \(X\times Y\), \(X_i\times Y\) ukuran produk c.l.d. masing-masing. Tunjukkan bahwa bijeksi alamiah antara \(X\times Y\) dan \(Z=\bigcup_{i\in I}(X_i\times Y)\times\{i\}\) merupakan isomorfisme antara ukuran pada \(X\times Y\) dan ukuran jumlah langsung pada \(Z\).

251Xk (>k) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(Y\) himpunan satu anggota \(\{y\}\); misalkan \(\nu\) ukuran pada \(Y\) sedemikian sehingga \(\nu Y=1\). Tunjukkan bahwa bijeksi alamiah antara \(X\times\{y\}\) dan \(X\) mengidentifikasikan ukuran produk primitif pada \(X\times\{y\}\) dengan \(\check\mu\) sebagaimana didefinisikan dalam 213Xa, dan ukuran produk c.l.d. dengan versi c.l.d. dari \(\mu\). Jelaskan bagaimana menggabungkan hal ini dengan 251Xg dan 251Ic untuk membuktikan 251T.

251Xl (>l) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa \(\lambda\) merupakan versi c.l.d. dari pembatasannya pada \(\Sigma\tensorhat\Tau\).

251Xm (m)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dengan ukuran produk primitif dan c.l.d. \(\lambda_0\), \(\lambda\). Misalkan \(\lambda_1\) sebarang ukuran dengan domain \(\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(\lambda_1(E\times F)=\mu E\cdot\nu F\) kapan pun \(E\in\Sigma\) dan \(F\in\Tau\). Tunjukkan bahwa \(\lambda W\le\lambda_1W\le\lambda_0W\) untuk setiap \(W\in\Sigma\tensorhat\Tau\).

251Xn (n)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) dua ruang ukur, dan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa ukuran luar \(\lambda_0^*\) yang bersesuaian tidak lain adalah ukuran luar \(\theta\) dari 251A.

251Xo (o)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(A\subseteq X\), \(B\subseteq Y\) subhimpunan; tuliskan \(\mu_A\), \(\nu_B\) untuk ukuran-ukuran subruang. Misalkan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\), dan \(\lambda_0^{\#}\) ukuran subruang yang diinduksinya pada \(A\times B\). Misalkan \(\tilde\lambda_0\) ukuran produk primitif dari \(\mu_A\) dan \(\nu_B\) pada \(A\times B\). Tunjukkan bahwa \(\tilde\lambda_0\) memperluas \(\lambda_0^{\#}\). Tunjukkan bahwa jika salah satu (\(\alpha\)) \(A\in\Sigma\) dan \(B\in\Tau\) atau (\(\beta\)) \(A\) dan \(B\) keduanya dapat ditutupi oleh barisan himpunan berukuran hingga atau (\(\gamma\)) \(\mu\) dan \(\nu\) keduanya dapat dilokalkan secara ketat, maka \(\tilde\lambda_0=\lambda_0^{\#}\).

251Xp (p)

Dalam 251Q, tunjukkan bahwa \(\tilde\lambda\) dan \(\lambda^{\#}\) akan mempunyai ideal nol yang sama, sekalipun tidak satu pun syarat 251Q(ii) dipenuhi.

251Xq (q)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) sebarang ruang ukur, dan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa \(\lambda_0^*(A\times B)=\mu^*A\cdot\nu^*B\) untuk sebarang \(A\subseteq X\) dan \(B\subseteq Y\).

251Xr (r)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\hat\mu\) pelengkapan dari \(\mu\). Tunjukkan bahwa pasangan \(\mu\), \(\nu\) dan \(\hat\mu\), \(\nu\) mempunyai ukuran produk primitif yang sama.

251Xs (s)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur semihingga. Tunjukkan bahwa \(\mu\) tanpa atom jika dan hanya jika diagonal \(\{(x,x):x\in X\}\) terabaikan terhadap ukuran produk c.l.d. pada \(X\times X\).

251Xt (t)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur tanpa atom, dan \((Y,\Tau,\nu)\) sebarang ruang ukur. Tunjukkan bahwa ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\) tanpa atom.

251Xu (>u) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) dan \(\nu\) atomik murni, maka \(\lambda\) juga demikian. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\mu\) dan \(\nu\) bertumpu pada titik, maka \(\lambda\) juga demikian.

251Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X\), \(Y\) himpunan dengan \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(\Sigma\), \(\Tau\). Andaikan \(h:X\times Y\to\Bbb R\) terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\) dan \(\phi:X\to Y\) terukur terhadap \((\Sigma,\Tau)\) (121Yc). Tunjukkan bahwa \(x\mapsto h(x,\phi(x)):X\to\Bbb R\) terukur terhadap \(\Sigma\).

251Yb (b)

Tunjukkan bahwa terdapat ruang-ruang ukur \((X_1,\Sigma_1,\mu_1)\) dan \((X_2,\Sigma_2,\mu_2)\), ruang probabilitas \((Y,\Tau,\nu)\) dan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta \(f:X_1\to X_2\) sedemikian sehingga \(h:X_1\times Y\to X_2\times Y\) bukan pelestari ukuran melalui prapeta bagi ukuran produk c.l.d. pada \(X_1\times Y\) dan \(X_2\times Y\), dengan \(h(x,y)=(f(x),y)\) untuk \(x\in X_1\) dan \(y\in Y\).

251Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal dengan subruang \(A\) yang ukurannya tidak ditentukan secara lokal (lihat 216Xb). Tetapkan \(Y=\{0\}\), \(\nu Y=1\) dan pertimbangkan ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\) dan \(A\times Y\); tuliskan \(\Lambda\), \(\tilde\Lambda\) untuk domain masing-masing. Tunjukkan bahwa \(\tilde\Lambda\) memuat secara sejati \(\{W\cap(A\times Y):W\in\Lambda\}\).

251Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, \((Y,\Tau,\nu)\) ruang ukur tanpa atom, dan \(f:X\to Y\) fungsi terukur terhadap \((\Sigma,\Tau)\). Tunjukkan bahwa \(\{(x,f(x)):x\in X\}\) terabaikan terhadap ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\).

Catatan dan komentar

251-notes Catatan penutup untuk Bagian 251

Terdapat kesulitan nyata dalam memutuskan konstruksi mana yang harus dinyatakan sebagai produk ‘yang’ baku dari dua ukuran sebarang. Frasa saya ‘ukuran produk primitif’, dan notasi \(\lambda_0\), mengungkapkan suatu kecenderungan; pilihan saya sendiri adalah produk c.l.d. \(\lambda\), karena dua alasan utama. Pertama, \(\lambda_0\) kemungkinan besar bersifat ‘buruk’, khususnya, tidak semihingga, bahkan jika \(\mu\) dan \(\nu\) bersifat ‘baik’ (251Xd, 252Yk), sedangkan \(\lambda\) mewarisi beberapa sifat terpenting dari \(\mu\) dan \(\nu\) (misalnya, 251O); kedua, dalam hal ruang ukur topologis \(X\) dan \(Y\), sering kali terdapat ukuran topologis kanonik pada \(X\times Y\), yang kemungkinan lebih erat berkaitan dengan \(\lambda\) daripada dengan \(\lambda_0\). Namun, untuk menjelaskan hal ini saya harus meminta Anda menunggu hingga §417 dalam Jilid 4.

Ukuran produk ‘primitif’ dapat saja dihapus sama sekali dari uraian, atau setidaknya ditempatkan dalam latihan. Memang inilah yang saya harapkan akan saya lakukan dalam bagian selanjutnya dari risalah ini, sebab (menurut pandangan saya) semua ciri penting ukuran produk pada sejumlah berhingga faktor dapat dinyatakan dalam istilah ukuran produk c.l.d. Namun, untuk pengantar pertama mengenai ukuran produk, pendekatan langsung ke ukuran produk c.l.d. (melalui deskripsi \(\lambda^*\) dalam 251P, misalnya) terasa terlalu berat, dan saya memiliki semacam kewajiban untuk menyajikan pesaing paling alamiah dari ukuran produk c.l.d. dengan cukup menonjol agar Anda dapat menilai sendiri apakah saya benar ketika mengesampingkannya. Tentu ada hasil-hasil yang berkaitan dengan ukuran produk primitif (251Xn, 251Xq, 252Yc) yang memiliki kesederhanaan yang menarik.

Pertentangan itu tentu saja dapat dihindari sepenuhnya jika kita langsung mengkhususkan diri pada ruang \(\sigma\)-hingga, yang pada ruang-ruang tersebut kedua konstruksi bertepatan (251K). Namun, bahkan hal ini tidak menyelesaikan semua masalah. Ada ukuran alternatif yang lazim, sering disebut ukuran produk ‘yang’ baku: pembatasan \(\lambda_{0\Cal B}\) dari \(\lambda_0\) pada \(\sigma\)-aljabar \(\Sigma\tensorhat\Tau\). (Lihat, misalnya, Halmos 50.) Keuntungannya ialah bahwa jika suatu fungsi \(f\) pada \(X\times Y\) terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\), maka \(x\mapsto f(x,y)\) terukur terhadap \(\Sigma\) untuk setiap \(y\in Y\). (Hal ini karena

\[\{W:W\subseteq X\times Y,\,\{x:(x,y)\in W\}\in\Sigma\,\Forall \,y\in Y\}\]

merupakan \(\sigma\)-aljabar subhimpunan \(X\times Y\) yang memuat \(E\times F\) kapan pun \(E\in\Sigma\) dan \(F\in\Tau\), sehingga memuat \(\Sigma\tensorhat\Tau\).) Keberatan utama, menurut saya, ialah bahwa ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\) tidak lagi merupakan produk ‘yang’ baku dari ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\) dengan dirinya sendiri. Secara umum, sudah selayaknya kita mencari ukuran yang mengukur sebanyak mungkin himpunan, dan saya lebih suka menghadapi masalah-masalah teknis (yang saya akui dapat menggentarkan) dengan mencari definisi-definisi yang sesuai ketika mendekati teorema-teorema utama, daripada mengandalkan perbaikan ad hoc ketika tiba saatnya menerapkannya.

Untuk sementara saya tidak memberikan contoh ukuran produk lebih lanjut, karena penyelidikan contoh-contoh tertentu akan jauh lebih mudah dengan bantuan hasil-hasil dari bagian berikutnya. Tentu saja contoh utama, dan yang seharusnya selalu terlintas dalam pikiran ketika mendengar kata-kata ‘ukuran produk’, adalah ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\), yaitu kasus \(r=s=1\) dari 251N dan 251R. Untuk memperoleh gambaran tentang apa yang dapat terjadi ketika salah satu faktornya tidak \(\sigma\)-hingga, Anda dapat melihat lebih dahulu 252K.

Saya berharap Anda akan melihat bahwa definisi ukuran luar \(\theta\) dalam 251A bersesuaian dengan definisi baku ukuran luar Lebesgue, dengan ‘persegi panjang terukur’ \(E\times F\) menggantikan interval, dan fungsional \(E\times F\mapsto\mu E\cdot\nu F\) menggantikan ‘panjang’ atau ‘volume’ suatu interval; lebih jauh, jika \(E\) dan \(F\) dipandang sebagai interval, terdapat hubungan yang jelas antara ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\) dan ukuran produk pada \(\Bbb R\times\Bbb R\). Tentu saja suatu ‘hubungan yang jelas’ bukanlah hal yang sama dengan teorema yang benar-benar dirumuskan dengan hipotesis dan kesimpulan yang tepat, tetapi Teorema 251N jelas bersifat sentral. Namun, jauh sebelum itu, terdapat kesejajaran lain antara konstruksi 251A dan konstruksi ukuran Lebesgue. Dalam kedua kasus, bukti bahwa kita memperoleh ukuran luar langsung mengikuti rumus definisinya (dalam 113Yd saya memberikan sebagai latihan suatu hasil umum yang mencakup 251B), dan oleh karena itu suatu konstruksi yang sangat umum dapat menuntun kita kepada suatu ukuran. Namun ukuran itu akan jauh kurang menarik dan kurang bernilai kecuali jika ia membuat himpunan-himpunan dasar, yang dalam hal ini adalah persegi panjang terukur, menjadi terukur dan memberikan nilai ukuran yang benar kepada himpunan-himpunan tersebut. Jadi 251E bersesuaian dengan teorema bahwa interval terukur terhadap Lebesgue, dengan ukuran yang benar (114Db, 114G). Inilah kunci sesungguhnya bagi konstruksi tersebut, dan merupakan salah satu gagasan mendasar dalam teori ukur.

Kesejajaran lain lagi terdapat dalam 251Xn; ukuran luar yang mendefinisikan ukuran produk primitif \(\lambda_0\) tepat sama dengan ukuran luar yang didefinisikan dari \(\lambda_0\). Saya menguraikan fenomena yang bersesuaian untuk ukuran Lebesgue dalam 132C.

Setiap konstruksi yang mengklaim sebutan ‘kanonik’ harus memenuhi berbagai persyaratan alamiah; misalnya, kita mengharapkan bijeksi kanonik antara \(X\times Y\) dan \(Y\times X\) merupakan suatu isomorfisme antara ruang-ruang ukuran produk yang bersesuaian. ‘Komutativitas’ produk dalam pengertian ini, menurut saya, jelas dari definisi-definisi dalam 251A-251C. Jelas pula bahwa kita menginginkan – meskipun, menurut saya, tidak jelas bahwa hal itu benar – agar produk tersebut ‘asosiatif’ dalam arti bahwa bijeksi kanonik antara \((X\times Y)\times Z\) dan \(X\times(Y\times Z)\) juga merupakan suatu isomorfisme antara produk-produk ukuran produk yang bersesuaian. Hal ini memang berlaku bagi ukuran produk primitif maupun c.l.d. (251Wh, 251Xe-251Xg).

Dengan menelusuri klasifikasi ruang ukur yang disajikan dalam §211, kita mendapati bahwa ukuran produk primitif \(\lambda_0\) lengkap untuk sebarang ukuran faktor \(\mu\), \(\nu\), sedangkan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\) selalu lengkap dan ditentukan secara lokal. \(\lambda_0\) mungkin tidak semihingga, bahkan jika \(\mu\) dan \(\nu\) dapat dilokalkan secara ketat (252Yk); tetapi \(\lambda\) akan dapat dilokalkan secara ketat jika \(\mu\) dan \(\nu\) demikian (251O). Tentu saja hal ini berkaitan dengan kenyataan bahwa ukuran produk c.l.d. bersifat distributif terhadap jumlah langsung (251Xj). Jika \(\mu\) atau \(\nu\) tanpa atom, maka \(\lambda\) juga demikian (251Xt). Baik \(\lambda\) maupun \(\lambda_0\) bersifat \(\sigma\)-hingga jika \(\mu\) dan \(\nu\) demikian (251K). Mungkin saja \(\mu\) dan \(\nu\) keduanya dapat dilokalkan tetapi \(\lambda\) tidak (254U).

Setidaknya jika Anda telah mengerjakan Bab 21, kini Anda telah mempelajari cukup banyak teori ukur ‘murni’ sehingga penyelidikan semacam ini, betapapun langsungnya, menimbulkan cukup banyak pertanyaan. Selain jumlah langsung, kita juga mempunyai konstruksi ‘pelengkapan’, ‘subruang’, ‘ukuran luar’, dan (khususnya) ‘versi c.l.d.’ untuk dipadukan dengan gagasan-gagasan baru ini; saya memberikan beberapa hasil dalam 251T dan 251Xk. Mengenai subruang, muncul beberapa kesulitan yang mungkin mengejutkan. Masalahnya ialah bahwa ukuran produk pada produk dua subruang dapat mempunyai domain yang lebih luas daripada yang mungkin diduga. Saya memberikan contoh sederhana dalam 251Yc dan contoh yang lebih rumit dalam 254Yg. Untuk ruang yang dapat dilokalkan secara ketat, tidak ada masalah (251Q); tetapi tampaknya tidak ada kriteria lain yang diambil dari daftar sifat yang dipertimbangkan dalam §251 yang memadai untuk meniadakan kemungkinan munculnya fenomena yang meresahkan.