Garis real diperluas — Fondasi Teori Ukuran

Sering kali ada gunanya mengizinkan ‘\(\infty\)’ masuk ke dalam rumus-rumus kita, dan dalam konteks teori ukuran manipulasi yang tepat cukup konsisten sehingga memungkinkan kita mengembangkan teori tentang garis real diperluas, yaitu himpunan \([-\infty,\infty]=\Bbb R\cup\{-\infty,\infty\}\), yang kadang ditulis \(\overline{\Bbb R}\). Saya memberikan uraian singkat tanpa bukti lengkap, karena saya berharap bahwa ketika materi ini mulai diperlukan dalam argumen-argumen yang saya gunakan, semuanya akan tampak sepenuhnya elementer.

135A Struktur aljabar dari \([-\infty,\infty]\) (a)

Jika kita menuliskan

\(a+\infty=\infty+a=\infty\), \(a+(-\infty)=(-\infty)+a=-\infty\)

untuk setiap \(a\in\Bbb R\), dan

\(\infty+\infty=\infty\), \((-\infty)+(-\infty)=-\infty\),

tetapi tidak mendefinisikan \(\infty+(-\infty)\) atau \((-\infty)+\infty\), kita memperoleh suatu operasi biner yang terdefinisi secara parsial pada \([-\infty,\infty]\), yang memperluas penjumlahan biasa pada \(\Bbb R\). Operasi ini bersifat asosiatif dalam arti bahwa

jika \(u\), \(v\), \(w\in[-\infty,\infty]\) dan salah satu dari \(u+(v+w)\), \((u+v)+w\) terdefinisi, maka yang lainnya juga terdefinisi, dan keduanya sama,

dan bersifat komutatif dalam arti bahwa

jika \(u\), \(v\in[-\infty,\infty]\) dan salah satu dari \(u+v\), \(v+u\) terdefinisi, maka yang lainnya juga terdefinisi, dan keduanya sama.

Operasi ini mempunyai unsur identitas \(0\) sedemikian sehingga \(u+0=0+u=u\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\); tetapi \(\infty\) dan \(-\infty\) tidak memiliki invers.

135Ab (b)

Jika kita mendefinisikan

\(a\cdot\infty=\infty\cdot a=\infty\), \(a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=-\infty\)

untuk bilangan real \(a>0\),

\(a\cdot\infty=\infty\cdot a=-\infty\), \(a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=\infty\)

untuk bilangan real \(a<0\),

\(\infty\cdot\infty=(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty\), \((-\infty)\cdot\infty=\infty\cdot(-\infty)=-\infty\),

\(0\cdot\infty=\infty\cdot 0=0\cdot(-\infty) =(-\infty)\cdot0=0\)

maka kita memperoleh suatu operasi biner pada \([-\infty,\infty]\) yang memperluas perkalian biasa pada \(\Bbb R\), yang bersifat asosiatif dan komutatif serta mempunyai identitas 1; \(0\), \(\infty\) dan \(-\infty\) tidak memiliki invers.

135Ac (c)

Kita mempunyai suatu hukum distributif , yang sedikit lebih lemah daripada hukum asosiatif dan komutatif untuk penjumlahan:

jika \(u\), \(v\), \(w\in[-\infty,\infty]\) dan baik \(u(v+w)\) maupun \(uv+uw\) terdefinisi, maka keduanya sama.

(Namun perhatikan masalah yang timbul pada kombinasi seperti \(\infty(1+(-2))\), \(0\cdot\infty+0\cdot(-\infty)\).)

135Ad (d)

Meskipun \(\infty\) dan \(-\infty\) tidak mempunyai invers dalam semigrup \(([-\infty,\infty],\cdot)\), tampaknya tidak ada masalah jika kita menuliskan \(a/\infty=a/(-\infty)=0\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\). Namun tentu saja perluasan gagasan pembagian seperti ini harus diperlakukan dengan hati-hati dalam rumus seperti \(u\cdot\bover{v}{u}\).

135B Struktur urutan dari \([-\infty,\infty]\) (a)

Jika kita menuliskan

\(-\infty\le u\le \infty\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\),

kita memperoleh suatu relasi pada \([-\infty,\infty]\), yang memperluas urutan biasa pada \(\Bbb R\), dan merupakan urutan total, yaitu,

untuk sembarang \(u\), \(v\), \(w\in[-\infty,\infty]\), jika \(u\le v\) dan \(v\le w\) maka \(u\le w\),

\(u\le u\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\),

untuk sembarang \(u\), \(v\in[-\infty,\infty]\), jika \(u\le v\) dan \(v\le u\) maka \(u=v\),

untuk sembarang \(u\), \(v\in[-\infty,\infty]\), berlaku \(u\le v\) atau \(v\le u\).

Selain itu, setiap subhimpunan dari \([-\infty,\infty]\) mempunyai supremum dan infimum, jika kita menuliskan \(\sup\emptyset=-\infty\), \(\inf\emptyset=\infty\).

135Bb (b)

Urutan ini ‘invarian terhadap translasi’ dalam arti lemah bahwa

jika \(u\), \(v\), \(w\in[-\infty,\infty]\) dan \(v\le w\), serta \(u+v\), \(u+w\) keduanya terdefinisi, maka \(u+v\le u+w\).

Urutan ini dipertahankan oleh perkalian dengan faktor nonnegatif dalam arti bahwa

jika \(u\), \(v\), \(w\in[-\infty,\infty]\) dan \(0\le u\) serta \(v\le w\), maka \(uv\le uw\),

sedangkan urutan ini dibalik oleh perkalian dengan faktor nonpositif dalam arti bahwa

jika \(u\), \(v\), \(w\in[-\infty,\infty]\) dan \(u\le 0\) serta \(v\le w\), maka \(uw\le uv\).

135C Struktur Borel dari \([-\infty,\infty]\)

Kita mengatakan bahwa suatu himpunan \(E\subseteq[-\infty,\infty]\) adalah himpunan Borel dalam \([-\infty,\infty]\) jika \(E\cap\Bbb R\) merupakan subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\). Mudah diperiksa bahwa keluarga himpunan-himpunan seperti ini merupakan suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \([-\infty,\infty]\). Lihat juga 135Xb di bawah.

135D Barisan konvergen dalam \([-\infty,\infty]\)

Kita dapat mengatakan bahwa suatu barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \([-\infty,\infty]\) konvergen ke \(u\in[-\infty,\infty]\) jika

kapan pun \(v<u\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(v\le u_n\) untuk setiap \(n\ge n_0\), dan kapan pun \(u<v\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(u_n\le v\) untuk setiap \(n\ge n_0\);

atau, secara ekuivalen,

entah \(u\in\Bbb R\) dan untuk setiap \(\delta>0\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(u_n\in[u-\delta,u+\delta]\) untuk setiap \(n\ge n_0\)

atau \(u=-\infty\) dan untuk setiap \(a\in\Bbb R\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(u_n\le a\) untuk setiap \(n\ge n_0\)

atau \(u=\infty\) dan untuk setiap \(a\in\Bbb R\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(u_n\ge a\) untuk setiap \(n\ge n_0\).

(Bandingkan dengan gagasan konvergensi dalam 112Ba.)

135E Fungsi terukur

Misalkan \(X\) sembarang himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\).

135Ea (a)

Misalkan \(D\) suatu subhimpunan dari \(X\) dan \(\Sigma_D\) adalah aljabar-\(\sigma\) subruang (121A). Untuk sembarang fungsi \(f:D\to[-\infty,\infty]\), pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(\{x:f(x)<u\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\);

(ii) \(\{x:f(x)\le u\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\);

(iii) \(\{x:f(x)>u\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\);

(iv) \(\{x:f(x)\ge u\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\);

(v) \(\{x:f(x)\le q\}\in\Sigma_D\) untuk setiap \(q\in\Bbb Q\).

Bukti. Buktinya hampir identik dengan bukti 121B. Satu-satunya perubahan adalah: – dalam (i)\(\Rightarrow\)(ii), \(\{x:f(x)\le\infty\}\) dan \(\{x:f(x)\le -\infty\}\) tidak mesti sama dengan \(\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:f(x)<\infty+2^{-n}\}\), \(\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:f(x)<-\infty+2^{-n}\}\); tetapi yang pertama adalah \(D\), sehingga tentu termasuk dalam \(\Sigma_D\), dan yang kedua adalah \(\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:f(x)<-n\}\), sehingga termasuk dalam \(\Sigma_D\). – Dalam (iii)\(\Rightarrow\)(iv), dengan cara serupa, kita harus menggunakan fakta-fakta bahwa \(\{x:f(x)\ge -\infty\}=D\in\Sigma_D\), \(\{x:f(x)\ge\infty\}=\bigcap_{n\in\Bbb N}\{x:f(x)>n\}\in\Sigma_D\). – Mengenai syarat tambahan (v), tentu saja kita mempunyai (ii)\(\Rightarrow\)(v), tetapi kita juga mempunyai (v)\(\Rightarrow\)(i), karena \(\{x:f(x)<u\}=\bigcup_{q\in\Bbb Q,q<u}\{x:f(x)\le q\}\) untuk setiap \(u\in[-\infty,\infty]\). ∎

135Eb (b)

Karena itu kita dapat mengatakan, seperti dalam 121C, bahwa suatu fungsi yang bernilai dalam \([-\infty,\infty]\) adalah terukur jika fungsi tersebut memenuhi syarat-syarat ekuivalen ini.

135Ec (c)

Perhatikan bahwa jika \(f:D\to[-\infty,\infty]\) bersifat \(\Sigma\)-terukur, maka

\(E_{\infty}(f)=f^{-1}[\{\infty\}]=\{x:f(x)\ge\infty\}\), \(E_{-\infty}(f)=f^{-1}[\{-\infty\}]=\{x:f(x)\le-\infty\}\)

harus termasuk dalam \(\Sigma_D\), sedangkan \(f_{\Bbb R}=f\restr D\setminus(E_{\infty}(f)\cup E_{-\infty}(f))\), yaitu ‘bagian bernilai real dari \(f\)’, bersifat terukur dalam arti 121C.

135Ed (d)

Sebaliknya, jika \(E_{\infty}\) dan \(E_{-\infty}\) termasuk dalam \(\Sigma_D\), dan \(f_{\Bbb R}:D\setminus(E_{\infty}\cup E_{-\infty})\to\Bbb R\) bersifat terukur, maka \(f:D\to[-\infty,\infty]\) akan bersifat terukur, dengan \(f(x)=\infty\) jika \(x\in E_{\infty}\), \(f(x)=-\infty\) jika \(x\in E_{-\infty}\) dan \(f(x)=f_{\Bbb R}(x)\) untuk \(x\in D\) lainnya.

135Ee (e)

Akibatnya, jika \(f\), \(g\) adalah fungsi-fungsi terukur dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) ke \([-\infty,\infty]\), maka \(f+g\), \(f\times g\) dan \(f/g\) bersifat terukur. Bukti. Hal ini dapat dibuktikan dengan menyesuaikan argumen-argumen 121Eb, 121Ed dan 121Ee, atau dengan menerapkan hasil-hasil tersebut pada \(f_{\Bbb R}\) dan \(g_{\Bbb R}\) serta meninjau secara terpisah himpunan-himpunan tempat salah satu atau keduanya bernilai tak berhingga. ∎

135Ef (f)

Kita dapat mengatakan bahwa suatu fungsi \(h\) dari subhimpunan \(D\) dari \([-\infty,\infty]\) ke \([-\infty,\infty]\) adalah terukur Borel jika fungsi tersebut terukur (dalam arti (b) di atas) terhadap aljabar-\(\sigma\) Borel dari \([-\infty,\infty]\) (sebagaimana didefinisikan dalam 135C). Sekarang, jika \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), \(f\) suatu fungsi terukur dari subhimpunan dari \(X\) ke \([-\infty,\infty]\) dan \(h\) suatu fungsi terukur Borel dari subhimpunan dari \([-\infty,\infty]\) ke \([-\infty,\infty]\), maka komposisi \(hf\) terukur. Bukti. Terapkan 121Eg pada \(h^*f_{\Bbb R}\), dengan \(h^*=h\restr(\Bbb R\cap h^{-1}[\Bbb R])\), lalu tinjau secara terpisah himpunan-himpunan \(\{x:f(x)=\pm\infty\}\), \(\{x:hf(x)=\pm\infty\}\). ∎

135Eg (g)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Misalkan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi terukur dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) ke \([-\infty,\infty]\). Maka \(\lim_{n\to\infty}f_n\), \(\sup_{n\in\Bbb N}f_n\) dan \(\inf_{n\in\Bbb N}f_n\) bersifat terukur, jika, mengikuti prinsip-prinsip yang diuraikan dalam 121F, kita menetapkan domain-domainnya sebagai

\(\{x:x\in\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{m\ge n}\dom f_m,\, \lim_{n\to\infty}f_n(x)\) ada dalam \([-\infty,\infty]\}\),

\(\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom f_n\).

Bukti. Ikuti metode 121Fa-121Fc. ∎

135F Fungsi terintegralkan bernilai \([-\infty,\infty]\) (a)

Tentu saja kita tidak akan menerima suatu fungsi sebagai ‘terintegralkan’ kecuali jika fungsi tersebut berhingga hampir di mana-mana, dan untuk fungsi-fungsi seperti itu catatan-catatan dalam 133B sudah memadai.

135Fb (b)

Namun, kita dapat membuat perluasan yang konsisten atas gagasan integral tak berhingga, dengan mengembangkan sedikit gagasan dalam 133A. Jika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi, yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\), bernilai dalam \([0,\infty]\), dan terukur secara virtual (yaitu, sedemikian sehingga \(f\restr E\) terukur dalam arti 135E untuk suatu himpunan koterabaikan \(E\)), maka kita dapat dengan aman menuliskan ‘\(\int f=\infty\)’ kapan pun \(f\) tidak terintegralkan. Kita akan mendapati bahwa untuk fungsi-fungsi seperti itu berlaku \(\int f+g=\int f+\int g\) dan \(\int cf=c\int f\) untuk setiap \(c\in[0,\infty]\), dengan menggunakan definisi penjumlahan dan perkalian pada \([0,\infty]\) yang diberikan di atas. Akibatnya, seperti dalam 122M-122O, kita dapat mengatakan bahwa untuk suatu fungsi umum \(f\) yang terukur secara virtual, terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\), dan bernilai dalam \([-\infty,\infty]\), berlaku \(\int f=\int f_1-\int f_2\) kapan pun \(f\) dapat dinyatakan sebagai selisih \(f_1-f_2\) dari fungsi-fungsi nonnegatif sedemikian sehingga \(\int f_1\) dan \(\int f_2\) keduanya terdefinisi dan tidak keduanya tak berhingga. Sekarang kita mempunyai, seperti biasa, rumus-rumus dasar

\(\int f+g=\int f +\int g\), \(\int cf=c\int f\), \(\int|f|\ge|\int f|\)

kapan pun ruas-ruas kanan terdefinisi, dan \(\int f\le\int g\) kapan pun \(f\leae g\) dan kedua integral terdefinisi. Penting untuk diperhatikan bahwa menurut definisi ini, \(\int f\) hanya dapat berhingga jika \(f\) berhingga hampir di mana-mana.

135G

Sekarang kita mempunyai versi-versi teorema B. Levi dan Lema Fatou (bandingkan 133K).

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\) dan mempunyai integral yang terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(a) Jika \(f_n\leae f_{n+1}\) untuk setiap \(n\) dan \(-\infty<\sup_{n\in\Bbb N}\int f_n\), maka \(\int\sup_{n\in\Bbb N}f_n=\sup_{n\in\Bbb N}\int f_n\).

(b) Jika, untuk setiap \(n\), \(f_n\ge 0\) hampir di mana-mana, maka \(\int\liminf_{n\to\infty}f_n\le\liminf_{n\to\infty}\int f_n\).

135H Integral atas dan bawah sekali lagi (a)

Untuk menangani fungsi yang bernilai dalam \([-\infty,\infty]\) kita perlu menyesuaikan definisi-definisi dalam 133I. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(f\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\). Integral atasnya adalah

\(\overlineint f =\inf\{\int g:\int g\) terdefinisi dalam arti 135F dan \(f\leae g\}\),

dengan mengizinkan \(\infty\) untuk \(\inf\{\infty\}\) dan \(-\infty\) untuk \(\inf\ocint{-\infty,\infty}\) atau \(\inf[-\infty,\infty]\). Dengan cara serupa, integral bawah dari \(f\) adalah

\(\underlineint f =\sup\{\int g:\int g\) terdefinisi, \(f\geae g\}\).

Dengan perubahan ini, semua hasil dalam 133J berlaku untuk fungsi yang bernilai dalam \([-\infty,\infty]\), bukan hanya dalam \(\Bbb R\).

135Hb (b)

Sejalan dengan 133Ka, kita mempunyai hasil berikut. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\).

(i) Jika \(f_n\leae f_{n+1}\) untuk setiap \(n\) dan \(\sup_{n\in\Bbb N}\overline{\int}f_n>-\infty\), maka \(\overline{\int}\sup_{n\in\Bbb N}f_n =\sup_{n\in\Bbb N}\overline{\int}f_n\).

(ii) Jika, untuk setiap \(n\), \(f_n\ge 0\) hampir di mana-mana, maka \(\overline{\int}\liminf_{n\to\infty}f_n \le\liminf_{n\to\infty}\overline{\int}f_n\).

135I Ukuran subruang

Kita perlu meninjau kembali gagasan-gagasan dalam §131 dalam konteks baru ini.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(H\in\Sigma\); tuliskan \(\Sigma_H\) untuk aljabar-\(\sigma\) subruang pada \(H\) dan \(\mu_H\) untuk ukuran subruang. Untuk sembarang fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang kita lambangkan dengan \(f\) dan terdefinisi pada suatu subhimpunan dari \(H\), tuliskan \(\tilde f\) untuk perluasan \(f\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\tilde f(x)=f(x)\) jika \(x\in\dom f\), dan \(0\) jika \(x\in X\setminus H\).

(a) Andaikan \(f\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terdefinisi pada suatu subhimpunan dari \(H\).

(i) \(\dom f\) bersifat \(\mu_H\)-koterabaikan jika dan hanya jika \(\dom\tilde f\) bersifat \(\mu\)-koterabaikan.

(ii) \(f\) bersifat \(\mu_H\)-terukur secara virtual jika dan hanya jika \(\tilde f\) bersifat \(\mu\)-terukur secara virtual.

(iii) \(\int_Hfd\mu_H=\int_X\tilde fd\mu\) jika salah satunya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(b) Andaikan \(h\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\). Maka \(\int_H(h\restr H)d\mu_H=\int h\times\chi H\,d\mu\) jika salah satunya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(c) Jika \(h\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) dan \(\int_Xh\,d\mu\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), maka \(\int_H(h\restr H)d\mu_H\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(d) Andaikan \(h\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\). Maka

\(\overlineint_H(h\restr H)d\mu_H =\overlineint_Xh\times\chi Hd\mu\).

Bukti

(a)(i) Ini langsung diperoleh dari 131Ca, karena \(H\setminus\dom f=X\setminus\dom\tilde f\).

(ii)(α) Jika \(f\) bersifat \(\mu_H\)-terukur secara virtual, terdapat suatu himpunan \(\mu_H\)-koterabaikan \(E\in\Sigma_H\) sedemikian sehingga \(f\restr E\) bersifat \(\Sigma_H\)-terukur. Terdapat \(F\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(E=F\cap H\); sekarang \(G=F\cup(X\setminus H)\) termasuk dalam \(\Sigma\), \(E=G\cap H\), dan \(G\) bersifat \(\mu\)-koterabaikan. Selain itu, untuk \(q\in\Bbb Q\),

\[\begin{aligned}\{x:x\in G,\,\tilde f(x)\le q\} &=\{x:x\in E,\,f(x)\le q\}\in\Sigma_H\subseteq\Sigma \text{ jika }q<0,\\ &=\{x:x\in E,\,f(x)\le q\}\cup(X\setminus H)\in\Sigma \text{ jika }q\ge 0,\\\end{aligned}\]

sehingga \(\tilde f\restr G\) bersifat \(\Sigma\)-terukur dan \(\tilde f\) bersifat \(\mu\)-terukur secara virtual.

(β) Jika \(\tilde f\) bersifat \(\mu\)-terukur secara virtual, terdapat suatu himpunan \(\mu\)-koterabaikan \(G\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\tilde f\restr G\) bersifat \(\Sigma\)-terukur. Sekarang \(E=G\cap H\) termasuk dalam \(\Sigma_H\) dan bersifat \(\mu_H\)-koterabaikan, dan untuk \(q\in\Bbb Q\)

\(\{x:x\in E,\,f(x)\le q\} =H\cap\{x:x\in G,\,f(x)\le q\}\in\Sigma_H\).

Jadi \(f\restr E\) bersifat \(\Sigma_H\)-terukur dan \(f\) bersifat \(\mu_H\)-terukur secara virtual.

(iii) Andaikan sedikitnya salah satu integral terdefinisi. Maka (ii) memberi tahu kita bahwa terdapat suatu himpunan \(\mu\)-koterabaikan \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(\tilde f\restr E\) bersifat \(\Sigma\)-terukur; dalam hal ini \(f\restr H\cap E\) bersifat \(\Sigma_H\)-terukur.

(α) Andaikan \(f\) nonnegatif di seluruh domainnya. Maka \(\int_Hfd\mu_H\) dan \(\int_X\tilde fd\mu\) keduanya terdefinisi dalam \([0,\infty]\). Jika keduanya tak berhingga, kita dapat berhenti. Jika tidak,

\(G=\{x:x\in E\cap H\), \(f(x)<\infty\} =\{x:x\in E\), \(\tilde f(x)<\infty\}\)

harus bersifat koterabaikan. Tetapkan \(g=f\restr G\cap H\); maka \(\tilde g=\tilde f\restr G\), sehingga \(g=f\,\,\text{hampir di mana-mana terhadap }\mu_H\) dan \(\tilde g=\tilde f\,\,\text{hampir di mana-mana terhadap }\mu\). Oleh karena itu \(\int_Hfd\mu_H=\int_Hg\,d\mu_H\) dan \(\int_X\tilde fd\mu=\int_X\tilde g\,d\mu\). Sekarang kita mengandaikan sedikitnya salah satu dari keduanya berhingga. Namun dalam kasus ini kita dapat menerapkan 131E untuk melihat bahwa \(\int_Hg\,d\mu=\int_X\tilde g\,d\mu\), sehingga \(\int_Hf\,d\mu=\int_X\tilde f\,d\mu\).

(β) Secara umum, nyatakan \(f\) sebagai \(f^+-f^-\), dengan

\(f^+(x)=\max(0,f(x))\), \(f^-(x)=\max(0,-f(x))\)

untuk \(x\in\dom f\). Maka \((f^+)\ssptilde=\tilde f^+\) dan \((f^-)\ssptilde=\tilde f^-\). Jadi

\(\int_Hfd\mu_H =\int_Hf^+d\mu_H-\int_Hf^{-}d\mu_H =\int_X\tilde f^+d\mu-\int_X\tilde f^{-}d\mu =\int_X\tilde fd\mu\)

jika salah satu dari keempat ungkapan terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(b) Tetapkan \(f=h\restr H\); maka \((h\times\chi H)(x)=\tilde f(x)\) untuk setiap \(x\in\dom h\), sehingga (a-iii) memberi tahu kita bahwa

\(\int_Xh\times\chi H\,d\mu=\int_X\tilde fd\mu =\int_H(h\restr H)d\mu_H\)

jika salah satu dari ketiga integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(c) Dengan menetapkan \(h^+(x)=\max(0,h(x))\) dan \(h^-(x)=\max(0,-h(x))\) untuk \(x\in\dom h\), baik \(\int_Xh^+d\mu\) maupun \(\int_Xh^-d\mu\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\), dan paling banyak salah satunya tak berhingga. Secara khusus, keduanya bersifat \(\mu\)-terukur secara virtual dan terdefinisi \(\mu\)-hampir di mana-mana, sehingga hal yang sama berlaku untuk \(h^+\times\chi H\) dan \(h^-\times\chi H\). Karena \(\int_Xh^+\times\chi Hd\mu\le\int_Xh^+d\mu\) dan \(\int_Xh^-\times\chi Hd\mu\le\int_Xh^-d\mu\), paling banyak salah satu dari \(\int_Xh^+\times\chi Hd\mu\), \(\int_Xh^-\times\chi Hd\mu\) tak berhingga, dan

\(\int_Xh\times\chi Hd\mu =\int_Xh^+\times\chi Hd\mu-\int_Xh^-\times\chi Hd\mu\)

terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\). Menurut (b) di atas, \(\int_H(h\restr H)d\mu_H\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(d)(i) Andaikan \(\int_Xg\,d\mu\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) dan \(h\times\chi H\le g\,\,\text{hampir di mana-mana terhadap }\mu\). Maka

\(\int_H(g\restr H)d\mu_H=\int_Xg\times\chi Hd\mu\)

terdefinisi, menurut (c); dan karena \(g(x)\ge 0\) untuk \(\mu\)-hampir setiap \(x\in X\setminus H\), berlaku \(g\times\chi H\leae g\). Jadi

\(\overlineint_H(h\restr H)d\mu_H \le\int_H(g\restr H)d\mu_H=\int_Xg\times\chi Hd\mu\le\int_Xg\,d\mu\).

Karena \(g\) sembarang, \(\overline{\int}_H(h\restr H)d\mu_H \le\overline{\int}_Xh\times\chi H\,d\mu\).

(ii) Andaikan \(\int_Hfd\mu_H\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) dan \(h\restr H\le f\,\,\text{hampir di mana-mana terhadap }\mu_H\). Maka \(\int_X\tilde fd\mu\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\) dan \(h\times\chi H\le\tilde f\,\,\text{hampir di mana-mana terhadap }\mu\), sehingga

\(\overlineint_Xh\times\chi H\,d\mu \le\int_X\tilde fd\mu=\int_Hf\,d\mu_H\).

Karena \(f\) sembarang, \(\overline{\int}_Xh\times\chi H\,d\mu \le\overline{\int}_H(h\restr H)d\mu_H\).

Latihan

135X Latihan dasar (a)

Kita mengatakan bahwa suatu himpunan \(G\subseteq[-\infty,\infty]\) bersifat terbuka jika (i) \(G\cap \Bbb R\) terbuka dalam arti biasa sebagai subhimpunan \(\Bbb R\) (ii) jika \(\infty\in G\), maka terdapat suatu \(a\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\ocint{a,\infty}\subseteq G\) (iii) jika \(-\infty\in G\) maka terdapat suatu \(a\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\coint{-\infty,a}\subseteq G\). Tunjukkan bahwa keluarga \(\frak T\) dari subhimpunan-subhimpunan terbuka \([-\infty,\infty]\) mempunyai sifat-sifat yang bersesuaian dengan (a)-(d) dari 1A2B.

135Xb (b)

Tunjukkan bahwa himpunan-himpunan Borel dari \([-\infty,\infty]\) sebagaimana didefinisikan dalam 135C tepat merupakan anggota-anggota aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \([-\infty,\infty]\) yang dibangkitkan oleh himpunan-himpunan terbuka sebagaimana didefinisikan dalam 135Xa.

135Xc (>c) penting

Definisikan \(\phi:[-\infty,\infty]\to[-1,1]\) dengan menetapkan

\(\phi(-\infty)=-1\), \(\phi(x)=\tanh x =\Bover{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\) jika \(-\infty<x<\infty\), \(\phi(\infty)=1\).

Tunjukkan bahwa (i) \(\phi\) merupakan isomorfisme urutan antara \([-\infty,\infty]\) dan \([-1,1]\) (ii) untuk sembarang barisan \(\sequencen{u_n}\) dalam \([-\infty,\infty]\), \(\sequencen{u_n}\to u\) jika dan hanya jika \(\sequencen{\phi(u_n)}\to\phi(u)\) (iii) untuk sembarang himpunan \(E\subseteq [-\infty,\infty]\), \(E\) bersifat Borel dalam \([-\infty,\infty]\) jika dan hanya jika \(\phi[E]\) merupakan subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\) (iv) suatu fungsi bernilai real \(h\) yang terdefinisi pada subhimpunan dari \([-\infty,\infty]\) bersifat terukur Borel jika dan hanya jika \(h\phi^{-1}\) bersifat terukur Borel.

135Xd (>d) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan \(f\) suatu fungsi dari subhimpunan dari \(X\) ke \([-\infty,\infty]\). Tunjukkan bahwa \(f\) terukur jika dan hanya jika komposisi \(\phi f\) terukur, dengan \(\phi\) fungsi dari 135Xc. Gunakan hal ini untuk mereduksi 135Ef dan 135Eg menjadi hasil-hasil yang bersesuaian dalam §121.

135Xe (e)

Misalkan \(\phi:[-\infty,\infty]\to[-1,1]\) fungsi yang dijelaskan dalam 135Xc. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi

\((t,u)\mapsto\phi(\phi^{-1}(t)+\phi^{-1}(u)): [-1,1]^2\setminus\{(-1,1),(1,-1)\}\to[-1,1]\),

\((t,u)\mapsto\phi(\phi^{-1}(t)\phi^{-1}(u)): [-1,1]^2\to[-1,1]\),

\((t,u)\mapsto\phi(\phi^{-1}(t)/\phi^{-1}(u)): \bigl([-1,1]\times([-1,1]\setminus\{0\})\bigr) \setminus\{(\pm 1,\pm 1)\}\to[-1,1]\)

bersifat terukur Borel. Gunakan hasil ini bersama 121K untuk membuktikan 135Ee.

135Xf (f)

Dengan mengikuti konvensi-konvensi 135Ab dan 135Ad, berikan uraian lengkap tentang kasus-kasus ketika \(uu'/vv'=(u/v)(u'/v')\) dan ketika \(uw/vw=u/v\).

135Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan andaikan \(E\in\Sigma\) mempunyai ukuran berhingga yang tak nol. Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\) yang terukur secara virtual dan terdefinisi pada suatu subhimpunan dari \(X\), dan andaikan \(f(x)\) terdefinisi dan lebih besar daripada \(\alpha\) untuk hampir setiap \(x\in E\). Tunjukkan bahwa \(\int_Ef>\alpha\mu E\).

135Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Tunjukkan bahwa jika \(f:X\to[0,\infty]\) bersifat \(\Sigma\)-terukur, terdapat suatu barisan \(\sequencen{E_n}\) dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(f=\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{n+1}\chi E_n\).

135Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(f\), \(g\) dua fungsi bernilai \([-\infty,\infty]\), yang masing-masing terdefinisi pada suatu subhimpunan dari \(X\), sedemikian sehingga \(\int f\) dan \(\int g\) keduanya terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\). (i) Tunjukkan bahwa \(\int f\vee g\) dan \(\int f\wedge g\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), dengan \((f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\), \((f\wedge g)(x)=\min(f(x),g(x))\) untuk \(x\in\dom f\cap\dom g\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\int f\vee g+\int f\wedge g=\int f+\int g\) dalam arti bahwa jika salah satu jumlah terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), maka yang lainnya juga terdefinisi, dan keduanya sama.

135Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, \(f:X\to[-\infty,\infty]\) suatu fungsi dan \(g:X\to[0,\infty]\), \(h:X\to[0,\infty]\) fungsi-fungsi terukur. Tunjukkan bahwa \(\overline{\int}f\times(g+h) =\overline{\int}f\times g+\overline{\int}f\times h\), dengan di sini kita menafsirkan \(\infty+(-\infty)\) sebagai \(\infty\), seperti dalam 133L.

Catatan dan komentar

135 Catatan penutup untuk Bagian 135

Saya menempatkan uraian ini dalam bagian tersendiri sebagian karena panjangnya, dan sebagian karena saya ingin menekankan bahwa teknik-teknik ini hanya bersifat sampingan terhadap gagasan-gagasan utama jilid ini. Sesungguhnya yang saya coba lakukan di sini hanyalah memberikan uraian yang koheren tentang bahasa yang lazim digunakan untuk menangani berbagai kasus pinggiran. Sebagai aturan umum, ‘\(\infty\)’ masuk ke dalam argumen-argumen ini hanya sebagai singkatan untuk jenis-jenis hal yang sepele. Ketika kita ingin memberikan nilai \(\pm\infty\) kepada suatu fungsi, entah hal itu terjadi pada suatu himpunan terabaikan – dalam hal ini sering kali tepat, meski sedikit kurang menenteramkan, untuk menganggap fungsi tersebut tidak terdefinisi pada himpunan itu – atau keadaan sudah benar- benar lepas kendali dan teori hanya dapat memberi tahu kita sedikit hal yang berguna.

Tentu saja tidak sulit memasukkan teori garis real diperluas langsung ke dalam argumen-argumen Bab 12, sehingga hasil-hasil bagian ini menjadi hasil-hasil dasar. Saya menghindari jalur ini sebagian sebagai upaya mengurangi jumlah gagasan baru yang diperlukan dalam materi Bab 12 yang secara teknis sangat menuntut – karena saya percaya bahwa, terlepas dari cara kita memperlakukan \(\pm\infty\), mutlak perlu untuk dapat menangani fungsi-fungsi yang terdefinisi secara parsial – dan sebagian karena saya tidak berpendapat bahwa garis real semestinya dianggap sebagai suatu substruktur dari garis real diperluas. Menurut saya, keduanya merupakan struktur yang berbeda dengan sifat-sifat yang berbeda, dan garis real asli jauh lebih penting. Namun, dapat dikatakan bahwa dari segi gagasan-gagasan yang dibahas dalam jilid ini keduanya begitu serupa sehingga ketika Anda benar-benar akrab dengan karya ini Anda akan dapat berpindah dengan bebas dari yang satu ke yang lain, bahkan sedemikian bebas sehingga Anda dapat dengan aman membatasi pembedaan itu pada situasi-situasi formal, misalnya ketika Anda menyajikan pernyataan suatu teorema.