Transformasi Fourier II — Fondasi Teori Ukuran

Paradoks dasar transformasi Fourier adalah bahwa meskipun untuk fungsi-fungsi tertentu (lihat 283J-283K) kita mempunyai \((\varhatf)\varspcheck=f\), fungsi terintegralkan ‘biasa’ \(f\) (misalnya fungsi indikator interval nontrivial) menghasilkan transformasi Fourier \(\varhatf\) yang tidak dapat diintegralkan. Karena tidak tersedia definisi langsung untuk \(\varhatf\varcheck{\phantom{f}}\), kita harus menentukan dalam arti apa rumus \(f=\varhatf\varcheck{\phantom{f}}\) mungkin benar. Penyelesaian yang kini tampak paling alami ialah menyatakan transformasi Fourier sebagai operasi pada distribusi, bukan pada fungsi. Saya tidak akan mencoba menguraikan teori ini secara lengkap (hampir setiap buku tentang ‘Distribusi’ akan membahas pokok ini lebih baik daripada yang dapat saya lakukan di sini), tetapi akan menyampaikan gagasan-gagasan dasarnya sejauh relevan dengan pertanyaan di sini, dengan bahasa yang memudahkan peralihan ke pembahasan yang lebih lengkap. Pada saat yang sama, metode ini memudahkan pembuktian versi-versi kuat teorema ‘klasik’ mengenai transformasi Fourier.

284A Fungsi uji: Definisi

Sepanjang bagian ini, fungsi uji yang menurun cepat atau fungsi Schwartz berarti fungsi \(h:\Bbb R\to\Bbb C\) sedemikian rupa sehingga \(h\) mulus, yaitu semua turunannya hingga orde berapa pun ada di setiap titik, dan selain itu

\(\sup_{x\in\Bbb R}|x|^k|h^{(m)}(x)|<\infty\)

untuk semua \(k\), \(m\in\Bbb N\), dengan \(h^{(m)}\) menyatakan turunan ke-\(m\) dari \(h\).

284B

Fakta dasar berikut akan berguna.

Lema (a) Jika \(g\) dan \(h\) adalah fungsi-fungsi uji yang menurun cepat, maka juga \(g+h\) dan \(ch\), untuk setiap \(c\in\Bbb C\).

(b) Jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat dan \(y\in\Bbb R\), maka \(x\mapsto h(y-x)\) adalah fungsi uji yang menurun cepat.

(d) Jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, maka turunannya \(h'\) juga demikian.

(e) Jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, maka fungsi \(x\mapsto xh(x)\) juga demikian.

(f) Untuk setiap \(\epsilon>0\), fungsi \(x\mapsto e^{-\epsilon x^2}\) adalah fungsi uji yang menurun cepat.

Bukti

(a) Jelas.

(b) Tulis \(g(x)=h(y-x)\) untuk \(x\in\Bbb R\). Kemudian \(g^{(m)}(x)=(-1)^mh^{(m)}(y-x)\) untuk setiap \(m\), jadi \(g\) halus. Untuk setiap \(k\in\Bbb N\),

\(|x|^k\le 2^k(|y|^k+|y-x|^k)\)

untuk setiap \(x\), jadi

\[\begin{aligned}\sup_{x\in\Bbb R}|x|^k|g^{(m)}(x)| &=\sup_{x\in\Bbb R}|x|^k|h^{(m)}(y-x)|\\ &\le 2^k|y|^k\sup_{x\in\Bbb R}|h^{(m)}(y-x)| +2^k\sup_{x\in\Bbb R}|y-x|^k|h^{(m)}(y-x)|\\ &=2^k|y|^k\sup_{x\in\Bbb R}|h^{(m)}(x)| +2^k\sup_{x\in\Bbb R}|x|^k|h^{(m)}(x)| <\infty.\\\end{aligned}\]

(c) Karena

\(M=\sup_{x\in\Bbb R}(|h(x)|+x^2|h(x)|)\)

adalah hingga, kita memiliki

\(\int|h|\le\int\Bover{M}{1+x^2}dx<\infty\).

Tentu saja sekarang kita mempunyai \(|h^2|\le M|h|\), sehingga \(h^2\) juga terintegralkan.

(d) Ini langsung dari definisi, karena setiap turunan dari \(h'\) adalah turunan dari \(h\).

(e) Dengan menetapkan \(g(x)=xh(x)\), kita memperoleh \(g^{(m)}(x)=xh^{(m)}(x)+mh^{(m-1)}(x)\) untuk \(m\ge 1\), sehingga

\(\sup_{x\in\Bbb R}|x^kg^{(m)}(x)| \le\sup_{x\in\Bbb R}|x^{k+1}h^{(m)}(x)| +m\sup_{x\in\Bbb R}|x^kh^{(m-1)}(x)|\)

adalah hingga, untuk semua \(k\in\Bbb N\), \(m\ge 1\).

(f) Jika \(h(x)=e^{-\epsilon x^2}\), maka untuk setiap \(m\in\Bbb N\) kita mempunyai \(h^{(m)}(x)=p_m(x)h(x)\), dengan \(p_0(x)=1\) dan \(p_{m+1}(x)=p'_m(x)-2\epsilon xp_m(x)\), sehingga \(p_m\) adalah polinom. Karena \(e^{\epsilon x^2}\ge\epsilon^{k+1}x^{2k+2}/(k+1)!\) untuk semua \(x\) dan \(k\ge 0\),

\(\lim_{|x|\to\infty}|x|^kh(x) =\lim_{x\to\infty}x^k/e^{\epsilon x^2}=0\)

untuk setiap \(k\), dan \(\lim_{|x|\to\infty}p(x)h(x)=0\) untuk setiap polinomial \(p\); karenanya

\(\lim_{|x|\to\infty}x^kh^{(m)}(x) =\lim_{|x|\to\infty}x^kp_m(x)h(x)=0\)

untuk semua \(k\), \(m\). Jadi, \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat.

284C Proposisi

Misalkan \(h:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi uji yang menurun cepat. Maka \(\varhat{h}:\Bbb R\to\Bbb C\) dan \(\varcheck{h}:\Bbb R\to\Bbb C\) juga merupakan fungsi uji yang menurun cepat, dan \(\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}} = \varcheck{h}\varhat{\phantom{h}} = h\).

Bukti

(a) Ambil \(k\), \(m\in\Bbb N\). Maka \(\sup_{x\in\Bbb R}(|x|^m+|x|^{m+2})|h^{(k)}(x)|<\infty\) dan \(\int_{-\infty}^{\infty}|x^mh^{(k)}(x)|dx <\infty\). Oleh karena itu, menurut 283Ch-283Ci, \(y\mapsto i^{k+m}y^k\varhat{h} ^{(m)}(y)\) adalah transformasi Fourier dari \(x\mapsto x^mh^{(k)}(x)\). Menurut 283Cg, karena itu \(\lim_{|y|\to\infty}y^k\varhat{h} ^{(m)}(y)=0\), sehingga (karena \(\varhat{h} ^{(m)}\) adalah kontinu) \(\sup_{y\in\Bbb R}|y^k\varhat{h} ^{(m)}(y)|\) adalah hingga. Karena \(k\) dan \(m\) sebarang, \(\varhat{h}\) adalah fungsi uji yang menurun cepat.

(b) Karena \(\varcheck{h}(y)=\varhat{h}(-y)\) untuk setiap \(y\), langsung terlihat bahwa \(\varcheck{h}\) adalah fungsi uji yang menurun cepat.

(c) Menurut 283J, (a) dan (b) memberikan \(\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}}=\varcheck{h}\varhat{\phantom{h}}=h\).

284D Definisi

Saya akan menggunakan frasa fungsi tempered pada \(\Bbb R\) untuk menyatakan fungsi terukur bernilai kompleks \(f\), yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\) dan memenuhi

\(\int_{-\infty}^{\infty} \Bover1{1+|x|^k}|f(x)|dx<\infty\)

untuk beberapa \(k\in\Bbb N\).

284E

Seperti dalam 284B, berikut beberapa fakta dasar.

Lema (a) Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered, maka juga \(|f|\), \(f+g\) dan \(cf\), untuk setiap \(c\in\Bbb C\).

(b) Jika \(f\) adalah fungsi tempered, maka fungsi tersebut terintegralkan pada setiap interval terbatas.

(c) Jika \(f\) adalah fungsi tempered dan \(x\in\Bbb R\), maka \(t\mapsto f(x+t)\) dan \(t\mapsto f(x-t)\) keduanya merupakan fungsi tempered.

Bukti

(a) Ini bersifat elementer; jika

\(\int_{-\infty}^{\infty} \Bover1{1+|x|^j}|f(x)|dx<\infty\), \(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover1{1+|x|^k}|g(x)|dx<\infty\),

maka

\(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover1{1+|x|^{j+k}} |(f+g)(x)|dx<\infty\)

karena

\(1+|x|^{j+k}\ge\max(1,|x|^{j+k})\ge\max(1,|x|^j,|x|^k) \ge\Bover12\max(1+|x|^j,1+|x|^k)\)

untuk semua \(x\).

(b) Jika

\(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover1{1+|x|^k}|f(x)|dx =M<\infty\),

maka untuk \(a\le b\)

\(\int_a^b|f|\le M(1+|a|^k+|b|^k)(b-a)<\infty\).

(c) Gagasannya sama seperti dalam 284Bb. Misalkan \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover1{1+|t|^k}|f(t)|dt =M<\infty\),

maka kita memiliki

\(1+|x+t|^k \le 2^k(1+|x|^k)(1+|t|^k)\)

sehingga

\(\Bover1{1+|t|^k} \le 2^k(1+|x|^k)\Bover1{1+|x+t|^k}\)

untuk setiap \(t\), dan

\(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{|f(x+t)|}{1+|t|^k}dt \le 2^k(1+|x|^k)\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{|f(x+t)|}{1+|x+t|^k}dt \le 2^k(1+|x|^k)M<\infty\).

Sama halnya,

\(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{|f(x-t)|}{1+|t|^k}dt \le 2^k(1+|x|^k)M<\infty\).

284F

Dengan menghubungkan kedua konsep tersebut, kita memperoleh hasil berikut.

Lema Misalkan \(f\) adalah fungsi tempered pada \(\Bbb R\) dan \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat. Maka \(f\times h\) terintegralkan.

284G Lema

Misalkan \(f_1\) dan \(f_2\) adalah fungsi-fungsi tempered dan \(\int f_1\times h=\int f_2\times h\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). Maka \(f_1\eae f_2\).

Bukti

(a) Tetapkan \(g=f_1-f_2\); maka \(\int g\times h=0\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). Tentu saja \(g\) adalah fungsi tempered, jadi terintegralkan pada setiap interval terbatas. Menurut 222D, cukup ditunjukkan bahwa \(\int_a^bg=0\) setiap kali \(a<b\); dengan demikian \(g=0\) a.e. pada setiap interval terbatas dan \(f_1\eae f_2\).

(b) Perhatikan fungsi \(\tilde\phi(x)=e^{-1/x}\) untuk \(x>0\). Fungsi \(\tilde\phi\) dapat diturunkan hingga orde berapa pun di setiap titik dalam \(\ooint{0,\infty}\), \(0<\tilde\phi(x)<1\) untuk setiap \(x>0\), dan \(\lim_{x\to\infty}\tilde\phi(x)=1\). Selain itu, menulis \(\tilde\phi^{(m)}\) untuk turunan ke-\(m\) dari \(\tilde\phi\),

\(\lim_{x\downarrow 0}\tilde\phi^{(m)}(x) =\lim_{x\downarrow 0}\Bover1x\tilde\phi^{(m)}(x)=0\)

untuk setiap \(m\in\Bbb N\). Bukti. (Bandingkan 284Bf.) Kita mempunyai \(\tilde\phi^{(m)}(x)=p_m(\bover1x)\tilde\phi(x)\), di mana \(p_0(t)=1\) dan \(p_{m+1}(t)=t^2(p_m(t)-p_m'(t))\), sehingga \(p_m\) adalah polinom untuk setiap \(m\in\Bbb N\). Sekarang, untuk setiap \(k\in\Bbb N\),

\(0\le\limsup_{t\to\infty}t^ke^{-t} \le\lim_{t\to\infty}\Bover{(k+1)!t^k}{t^{k+1}}=0\),

jadi

\(\lim_{x\downarrow 0}\tilde\phi^{(m)}(x) =\lim_{t\to\infty}p_m(t)e^{-t}=0\),

\(\lim_{x\downarrow 0}\Bover1x\tilde\phi^{(m)}(x) =\lim_{t\to\infty}tp_m(t)e^{-t}=0\). ∎

(c) Akibatnya, jika kita menetapkan \(\phi(x)=0\) untuk \(x\le 0\) dan \(e^{-1/x}\) untuk \(x>0\), maka \(\phi\) mulus, dengan turunan ke-\(m\)

\(\phi^{(m)}(x)=0\) untuk \(x\le 0\), \(\phi^{(m)}(x)=\tilde\phi^{(m)}(x)\) untuk \(x>0\).

(Buktinya merupakan induksi sederhana pada \(m\).) Juga \(0\le\phi(x)\le 1\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\), dan \(\lim_{x\to\infty}\phi(x)=1\).

(d) Sekarang ambil \(a<b\), dan untuk \(n\in\Bbb N\) tetapkan

\(\phi_n(x)=\phi(n(x-a))\phi(n(b-x))\).

Maka \(\phi_n\) akan halus dan \(\phi_n(x)=0\) jika \(x\notin\ooint{a,b}\), jadi pasti \(\phi_n\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, dan

\(\int_{-\infty}^{\infty}g\times\phi_n=0\).

Selanjutnya, \(0\le\phi_n(x)\le 1\) untuk setiap \(x\), \(n\), dan jika \(a<x<b\), maka \(\lim_{n\to\infty}\phi_n(x)=1\). Jadi

\(\int_a^bg=\int g\times\chi(\ooint{a,b}) =\int g\times(\lim_{n\to\infty}\phi_n) =\lim_{n\to\infty}\int g\times\phi_n=0\),

menurut teorema konvergensi terdominasi Lebesgue. Karena \(a\) dan \(b\) sebarang, \(g=0\) a.e., sebagaimana diperlukan.

284H Definisi

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered dalam arti 284D. Kita mengatakan bahwa \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\) jika

\(\int_{-\infty}^{\infty}g\times h =\int_{-\infty}^{\infty}f\times\varhat{h}\)

untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\).

284I Catatan (a)

Seperti biasa, perubahan sudut pandang dalam definisi ini memerlukan beberapa pemeriksaan. Jika \(f\) adalah fungsi terintegralkan bernilai kompleks pada \(\Bbb R\) dan \(\varhatf\) adalah transformasi Fouriernya, maka \(\varhatf\) tentu merupakan fungsi tempered, sebab kontinu dan terbatas; dan jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, maka \(\int\varhatf\times h=\int f\times\varhat{h}\) menurut 283O. Jadi \(\varhatf\) ‘mewakili transformasi Fourier dari \(f\)’ dalam arti 284H di atas.

284Ib (b)

Perhatikan juga bahwa menurut 284G, jika \(g_1\), \(g_2\) adalah dua fungsi tempered yang sama-sama mewakili transformasi Fourier dari \(f\), maka \(g_1\eae g_2\), sebab kita mempunyai

\(\int g_1\times h=\int f\times\varhat{h}=\int g_2\times h\)

untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\).

284Ic (c)

Jelas bahwa jika \(f_1\), \(f_2\), \(g_1\) dan \(g_2\) adalah fungsi-fungsi tempered dan \(g_i\) mewakili transformasi Fourier dari \(f_i\) untuk kedua nilai \(i\), maka \(cg_1+g_2\) mewakili transformasi Fourier dari \(cf_1+f_2\) untuk setiap \(c\in\Bbb C\).

284Id (d)

Nilai pendekatan tak langsung ini tentu saja terletak pada kemampuannya memberikan transformasi Fourier, dalam suatu arti, kepada lebih banyak fungsi. Namun harus segera dicatat bahwa jika \(g\) ‘mewakili transformasi Fourier dari \(f\)’, maka setiap fungsi yang setara dengan \(g\) hampir di mana-mana juga demikian; kita tidak lagi dapat berharap berbicara tentang ‘transformasi Fourier’ dari \(f\) sebagai suatu fungsi tertentu. Kita dapat mengatakan bahwa transformasi Fourier dari \(f\) adalah fungsional \(\phi\) pada ruang fungsi uji yang menurun cepat, yang didefinisikan dengan \(\phi(h)=\int f\times\varhat{h}\); atau kita dapat mengatakan bahwa transformasi Fourier dari \(f\) adalah anggota \(L_{\Bbb C}^0\), yaitu ruang kelas ekuivalensi fungsi terukur modulo kesamaan hampir di mana-mana (241J).

284Ie (e)

Sekarang wajar untuk mengatakan bahwa \(g\) mewakili transformasi Fourier invers dari \(f\) hanya ketika \(f\) mewakili transformasi Fourier dari \(g\); yaitu, ketika \(\int f\times h=\int g\times\varhat{h}\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). Karena \(\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}}=\varcheck{h}\varhat{\phantom{h}}=h\) untuk setiap \(h\) (284C), ini adalah hal yang sama dengan mengatakan bahwa \(\int g\times h=\int f\times\varcheck{h}\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\), yang merupakan ekspresi alami lain dari apa yang mungkin berarti bahwa ‘\(g\) mewakili transformasi Fourier invers dari \(f\) .

284If (f)

Jika \(f\), \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered dan kita menulis \(\Reverse{g}(x)=g(-x)\) setiap kali ini didefinisikan, maka \(\Reverse{g}\) juga merupakan fungsi tempered, dan kita selalu mempunyai

\(\int\Reverse{g}\times\varhat{h} =\int g(-x)\varhat{h}(x)dx =\int g(x)\varhat{h}(-x)dx =\int g\times\varcheck{h}\),

sehingga

\(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\)

\(\iff\,\int g\times h=\int f\times\varhat{h}\) untuk setiap fungsi uji \(h\)

\(\iff\,\int g\times\varcheck{h}=\int f\times\varcheck{h}\varhat{\phantom{h}}\) untuk setiap \(h\)

\(\iff\,\int\Reverse{g}\times\varhat{h}=\int f\times h\) untuk setiap \(h\)

\(\iff\,\Reverse{g}\) mewakili transformasi Fourier invers dari \(f\).

Dengan menggabungkan ini dengan (d), kita memperoleh

\(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\)

\(\iff\,\Reverse{\Reverse{f}}=f\) mewakili transformasi Fourier invers dari \(g\)

\(\iff\,\Reverse{f}\) mewakili transformasi Fourier dari \(g\).

284Ig (g)

Sekali lagi diperlukan pemeriksaan: jika \(f\) terintegralkan dan \(\varcheckf\) adalah transformasi Fourier inversnya seperti yang didefinisikan dalam 283Ab, maka

\(\int\varcheckf\times\varhat{h} =\int f\times\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}} =\int f\times h\)

untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\), jadi \(\varcheckf\) ‘ mewakili transformasi Fourier invers dari \(f\)’ dalam arti yang diberikan di sini.

284J Lema

Misalkan \(f\) adalah fungsi tempered dan \(h\) fungsi uji yang menurun cepat. Maka \(f*h\), yang didefinisikan dengan rumus

\((f*h)(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)h(y-t)dt\),

terdefinisi di setiap titik.

284K Proposisi

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered, \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\), dan \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat.

(a) Transformasi Fourier dari fungsi terintegralkan \(f\times h\) adalah \(\bover1{\sqrt{2\pi}}g*\varhat{h}\).

(b) Transformasi Fourier dari fungsi kontinu \(f*h\) diwakili oleh produk \(\sqrt{2\pi}g\times\varhat{h}\).

Bukti

(a) Tentu saja \(f\times h\) terintegralkan menurut 284F, sementara \(g*\varhat{h}\) terdefinisi di setiap titik menurut 284C dan 284J.

Tetapkan \(y\in\Bbb R\). Definisikan \(h_1(x)=\varhat{h}(y-x)\) untuk \(x\in\Bbb R\); maka \(h_1\) adalah fungsi uji yang menurun cepat karena \(\varhat{h}\) adalah (284Bb). Sekarang

\[\begin{aligned}\varhat{h}_1(t) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\varhat{h}(y-x)dx =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-it(y-x)}\varhat{h}(x)dx\\ &=\Bover{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ity} \int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\varhat{h}(x)dx =e^{-ity}\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}}(t) =e^{-ity}h(t),\\\end{aligned}\]

menurut 284C. Dengan demikian,

\[\begin{aligned}(f\times h)\varsphat(y) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ity}f(t)h(t)dt\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\varhat{h}_1(t)dt =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)h_1(t)dt\\ &\text{(karena }g\text{ mewakili transformasi Fourier dari }f\text{)}\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\varhat{h}(y-t)dt =\Bover1{\sqrt{2\pi}}(g*\varhat{h})(y).\\\end{aligned}\]

Karena \(y\) sebarang, \(\Bover1{\sqrt{2\pi}}g*\varhat{h}\) adalah transformasi Fourier dari \(f\times h\).

(b) Tulis \(f_1\) untuk transformasi Fourier dari \(g\times\varhat{h}\), \(\Reverse{f}(x)=f(-x)\) kapan pun ruas ini terdefinisi, dan \(\Reverse{h}(x)=h(-x)\) untuk setiap \(x\), sehingga \(\Reverse{f}\) mewakili transformasi Fourier dari \(g\), menurut 284If, dan \(\Reverse{h}\) adalah transformasi Fourier dari \(\varhat{h}\). Dengan (a), kita memiliki \(f_1=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\Reverse{f}*\Reverse{h}\). Ini berarti bahwa transformasi Fourier invers dari \(\sqrt{2\pi}g\times\varhat{h}\) harus \(\sqrt{2\pi}\Reverse{f}_1=(\Reverse{f}*\Reverse{h})\ssplrarrow\); dan sebagai

\[\begin{aligned}(\Reverse{f}*\Reverse{h})\ssplrarrow(y) &=(\Reverse{f}*\Reverse{h})(-y) =\int_{-\infty}^{\infty}\Reverse{f}(t)\Reverse{h}(-y-t)dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(-t)h(y+t)dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)h(y-t)dt =(f*h)(y),\\\end{aligned}\]

transformasi Fourier invers dari \(\sqrt{2\pi}g\times\varhat{h}\) adalah \(f*h\) (yang karena itu kontinu), dan \(\sqrt{2\pi}g\times\varhat{h}\) harus mewakili transformasi Fourier dari \(f*h\).

Catatan Bandingkan 283M. Ciri khas teori transformasi Fourier adalah adanya rumus-rumus yang berlaku dalam berbagai konteks, yang masing-masing memerlukan interpretasi dan bukti berbeda.

284L

Kita sekarang siap untuk hasil yang sepadan dengan 282H. Saya menggunakan metode berbeda, atau setidaknya susunan gagasan yang berbeda, melalui fakta berikut, yang juga penting untuk keperluan lain.

Proposisi Misalkan \(f\) adalah fungsi tempered. Dengan menulis \(\psi_{\sigma}(x) =\bover1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}\) untuk \(x\in\Bbb R\) dan \(\sigma>0\), maka

\(\lim_{\sigma\downarrow 0}(f*\psi_{\sigma})(x)=c\)

setiap kali \(x\in\Bbb R\) dan \(c\in\Bbb C\) sedemikian sehingga

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover1{\delta}\int_{0}^{\delta}|f(x+t)+f(x-t)-2c|dt=0\).

Bukti

(a) Menurut 284Bf, setiap \(\psi_{\sigma}\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, sehingga menurut 284J \(f*\psi_{\sigma}\) terdefinisi di setiap titik. Kita memerlukan fakta bahwa \(\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{\sigma}=1\); dengan substitusi \(u=x/\sigma\),

\(\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{\sigma} =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=1\),

menurut 263G. Argumen selanjutnya mengikuti pola 282H. Tetapkan

\(\phi(t)=|f(x+t)+f(x-t)-2c|\)

kapan pun ruas ini terdefinisi, yaitu hampir di mana-mana, dan \(\Phi(t)=\int_0^t\phi\), yang terdefinisi untuk semua \(t\ge 0\) karena \(f\) terintegralkan pada setiap interval terbatas (284Eb). Kita mempunyai

\[\begin{aligned}|(f*\psi_{\sigma})(x)-c| &=|\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)\psi_{\sigma}(t)dt -c\int_{-\infty}^{\infty}\psi_{\sigma}(t)dt|\\ &=|\int_{-\infty}^0(f(x-t)-c)\psi_{\sigma}(t)dt +\int_{0}^{\infty}(f(x-t)-c)\psi_{\sigma}(t)dt|\\ &=|\int_{0}^{\infty}(f(x+t)-c)\psi_{\sigma}(t)dt +\int_{0}^{\infty}(f(x-t)-c)\psi_{\sigma}(t)dt|\\ &\text{(karena }\psi_{\sigma}\text{ adalah fungsi genap)}\\ &=|\int_{0}^{\infty}(f(x+t)+f(x-t)-2c)\psi_{\sigma}(t)dt|\\ &\le\int_{0}^{\infty}|f(x+t)+f(x-t)-2c|\psi_{\sigma}(t)dt =\int_0^{\infty}\phi\times\psi_{\sigma}.\\\end{aligned}\]

(b) Kita harus menjelaskan mengapa integral terakhir berhingga. Karena \(f\) adalah fungsi tempered, demikian pula fungsi \(t\mapsto f(x+t)\) dan \(t\mapsto f(x-t)\) (284Ec). Fungsi konstan tentu saja tempered, sehingga \(t\mapsto\phi(t)=|f(x+t)+f(x-t)-2c|\) juga tempered. Karena \(\psi_{\sigma}\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, 284F menunjukkan bahwa hasil kalinya terintegralkan.

(c) Ambil \(\epsilon>0\). Menurut hipotesis, \(\lim_{t\downarrow 0}\Phi(t)/t=0\); pilih \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\Phi(t)\le\epsilon t\) untuk setiap \(t\in[0,\delta]\). Ambil sebarang \(\sigma\in\ocint{0,\delta}\). Kita pecah integral \(\int_0^{\infty}\phi\times\psi_{\sigma}\) menjadi tiga bagian.

(i) Untuk integral dari \(0\) sampai \(\sigma\), kita mempunyai

\[\int_0^{\sigma}\phi\times\psi_{\sigma} \le\int_0^{\sigma}\Bover{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\phi =\Bover1{\sigma\sqrt{2\pi}}\Phi(\sigma) \le\Bover{\epsilon\sigma}{\sigma\sqrt{2\pi}}\le\epsilon,\]

karena \(\psi_{\sigma}(t)\le\bover1{\sigma\sqrt{2\pi}}\) untuk setiap \(t\).

(ii) Untuk integral dari \(\sigma\) sampai \(\delta\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int_{\sigma}^{\delta}\phi\times\psi_{\sigma} &\le\Bover1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{\sigma}^{\delta} \phi(t)\Bover{2\sigma^2}{t^2}dt\\ &\text{(karena }e^{-t^2/2\sigma^2} =1/e^{t^2/2\sigma^2}\le 1/(t^2/2\sigma^2)=2\sigma^2/t^2\text{ untuk setiap }t\ne 0\text{)}\\ &=\sigma\sqrt{\Bover2{\pi}}\int_{\sigma}^{\delta} \Bover{\phi(t)}{t^2}dt =\sigma\sqrt{\Bover2{\pi}}\bigl(\Bover{\Phi(\delta)}{\delta^2} -\Bover{\Phi(\sigma)}{\sigma^2} +\int_{\sigma}^{\delta}\Bover{2\Phi(t)}{t^3}dt\bigr)\\ &\text{(integrasi parsial -- lihat 225F)}\\ &\le\sigma\bigl(\Bover{\epsilon}{\delta} +\int_{\sigma}^{\delta}\Bover{2\epsilon}{t^2}dt\bigr)\\ &\text{(karena }\Phi(t)\le\epsilon t\text{ untuk }0\le t\le\delta\text{ dan }\sqrt{2/\pi}\le 1\text{)}\\ &\le\sigma\bigl(\Bover{\epsilon}{\delta} +\Bover{2\epsilon}{\sigma}\bigr) \le 3\epsilon.\\\end{aligned}\]

(iii) Untuk integral dari \(\delta\) sampai \(\infty\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int_{\delta}^{\infty}\phi\times\psi_{\sigma} &=\bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{\delta}^{\infty} \phi(t)\bover{e^{-t^2/2\sigma^2}}{\sigma}dt.\\\end{aligned}\]

Sekarang, untuk setiap \(t\ge\delta\),

\(\sigma\mapsto\Bover1{\sigma} e^{-t^2/2\sigma^2}:\ocint{0,\delta}\to\Bbb R\)

meningkat secara monoton, karena turunan

\(\Bover{d}{d\sigma}\Bover1{\sigma}e^{-t^2/2\sigma^2} =\Bover1{\sigma^2}\bigl(\Bover{t^2}{\sigma^2}-1\bigr) e^{-t^2/2\sigma^2}\)

adalah positif, dan

\(\lim_{\sigma\downarrow 0}\Bover1{\sigma} e^{-t^2/2\sigma^2}= \lim_{a\to\infty}ae^{-a^2t^2/2}=0\).

Jadi kita dapat menerapkan teorema konvergensi terdominasi Lebesgue untuk memperoleh

\[\lim_{n\to\infty}\int_{\delta}^{\infty} \phi(t)\bover{e^{-t^2/2\sigma_n^2}}{\sigma_n}dt=0\]

untuk setiap barisan \(\sequencen{\sigma_n}\) dalam \(\ocint{0,\delta}\) yang konvergen ke \(0\), sehingga

\[\lim_{\sigma\downarrow 0}\int_{\delta}^{\infty} \phi(t)\bover{e^{-t^2/2\sigma^2}}{\sigma}dt=0.\]

Oleh karena itu, ada \(\sigma_0\in\ocint{0,\delta}\) sedemikian sehingga

\(\int_{\delta}^{\infty}\phi\times\psi_{\sigma} \le\epsilon\)

untuk setiap \(\sigma\le \sigma_0\).

(iv) Dengan menggabungkan ketiga taksiran tersebut, kita memperoleh

\(|(f*\psi_{\sigma})(x)-c| \le\int_0^{\infty}\phi\times\psi_{\sigma} \le\epsilon+3\epsilon+\epsilon=5\epsilon\)

setiap kali \(0<\sigma\le\sigma_0\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\lim_{\sigma\downarrow 0}(f*\psi_{\sigma})(x)=c\), sebagaimana diklaim.

284M Teorema

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered sedemikian sehingga \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Maka

(a)(i) \(g(y) =\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}f(x)dx\) untuk hampir setiap \(y\in\Bbb R\).

(ii) Jika \(y\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(a=\lim_{t\in\dom g,t\uparrow y}g(t)\) dan \(b=\lim_{t\in\dom g,t\downarrow y}g(t)\) keduanya terdefinisi dalam \(\Bbb C\), maka

\(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}f(x)dx=\Bover12(a+b)\).

(b)(i) \(f(x) =\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ixy}e^{-\epsilon y^2}g(y)dy\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\).

(ii) Jika \(x\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(a=\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)\) dan \(b=\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t)\) keduanya terdefinisi dalam \(\Bbb C\), maka

\(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ixy}e^{-\epsilon y^2}g(y)dy=\Bover12(a+b)\).

Bukti

(a)(i) Dengan 223D,

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{2\delta} \int_{-\delta}^{\delta}|g(y+t)-g(y)|dt=0\)

untuk hampir setiap \(y\in\Bbb R\), karena \(g\) terintegralkan pada setiap interval terbatas. Tetapkan suatu \(y\) dengan sifat tersebut. Definisikan \(\phi(t)=|g(y+t)+g(y-t)-2g(y)|\) kapan pun ruas ini terdefinisi. Seperti dalam bukti 282Ia,

\(\int_0^{\delta}\phi \le\int_{-\delta}^{\delta}|g(y+t)-g(y)|dt\),

jadi \(\lim_{\delta\downarrow 0}\bover1{\delta}\int_0^{\delta}\phi=0\). Akibatnya, menurut 284L,

\(g(y)=\lim_{\sigma\to\infty}(g*\psi_{1/\sigma})(y)\).

Kita tahu dari 283N bahwa transformasi Fourier dari \(\psi_{\sigma}\) adalah \(\bover1{\sigma}\psi_{1/\sigma}\) untuk setiap \(\sigma>0\). Oleh karena itu, menurut 284K, \(g*\psi_{1/\sigma}\) adalah transformasi Fourier dari \(\sigma\sqrt{2\pi} f\times\psi_{\sigma}\), yaitu,

\((g*\psi_{1/\sigma})(y) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}\sigma\psi_{\sigma}(x)f(x)dx\).

Jadi,

\[\begin{aligned}g(y) &=\lim_{\sigma\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}\sigma\psi_{\sigma}(x)f(x)dx\\ &=\lim_{\sigma\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}e^{-x^2/2\sigma^2}f(x)dx\\ &=\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}f(x)dx.\\\end{aligned}\]

dan kesamaan ini berlaku untuk hampir setiap \(y\).

(ii) Sekali lagi, tetapkan \(c=\bover12(a+b)\), \(\phi(t)=|g(y+t)+g(y-t)-2c|\) kapan pun ruas ini terdefinisi; kita mempunyai \(\lim_{t\in\dom\phi,t\downarrow 0}\phi(t)=0\), jadi tentu saja \(\lim_{\delta\downarrow 0}\bover{1}{\delta}\int_0^{\delta}\phi=0\), dan

\[c =\lim_{\sigma\to\infty}(g*\psi_{1/\sigma})(y) =\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}f(x)dx\]

seperti sebelumnya.

(b) Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan argumen serupa; atau dapat diturunkan langsung dari (a), dengan mengamati bahwa \(x\mapsto\Reverse{f}(x)=f(-x)\) mewakili transformasi Fourier dari \(g\) (lihat 284Ie), lalu menerapkan (a) kepada \(g\) dan \(\Reverse{f}\).

284N \(L^2\) ruang

Kita sekarang siap untuk hasil-hasil yang sepadan dengan 282J-282K.

Lema Misalkan \(\eusm L_{\Bbb C}^2\) adalah ruang fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan \(\eusm S\) ruang fungsi uji yang menurun cepat. Maka untuk setiap \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) dan \(\epsilon>0\) terdapat \(h\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\|f-h\|_2\le\epsilon\).

Bukti

Tetapkan \(\phi(x)=e^{-1/x}\) untuk \(x>0\) dan nol untuk \(x\le 0\); ingat dari bukti 284G bahwa \(\phi\) mulus. Untuk setiap \(a<b\), fungsi-fungsi

\(x\mapsto\phi_n(x)=\phi(n(x-a))\phi(n(b-x))\)

membentuk barisan fungsi uji yang konvergen naik ke \(\chi\ooint{a,b}\), sehingga (seperti dalam 284G)

\(\inf_{h\in\eusm S}\,\|\chi\ooint{a,b}-h\|^2_2 \le\lim_{n\to\infty}\int_a^b|1-\phi_n|^2 =0\).

Karena \(\eusm S\) adalah ruang linear (284Ba), untuk setiap fungsi tangga \(g\) dengan dukungan terbatas dan setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(h\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\|g-h\|_2\le\bover12\epsilon\). Namun, menurut 244H/244Pb, untuk setiap \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) dan \(\epsilon>0\) terdapat fungsi tangga \(g\) dengan dukungan terbatas sedemikian sehingga \(\|f-g\|_2\le\bover12\epsilon\); jadi terdapat \(h\in\eusm S\) sedemikian sehingga

\(\|f-h\|_2\le\|f-g\|_2+\|g-h\|_2\le \epsilon\).

Karena \(f\) dan \(\epsilon\) sebarang, hasilnya terbukti.

284O Teorema

(a) Misalkan \(f\) adalah sebarang fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\). Maka \(f\) adalah fungsi tempered dan transformasi Fouriernya diwakili oleh fungsi terintegralkan-kuadrat lain \(g\), dengan \(\|g\|_2=\|f\|_2\).

(b) Jika \(f_1\) dan \(f_2\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan transformasi Fourier mereka diwakili oleh fungsi \(g_1\), \(g_2\), maka

\(\int_{-\infty}^{\infty}f_1\times\bar f_2 =\int_{-\infty}^{\infty}g_1\times\bar g_2\).

(c) Jika \(f_1\) dan \(f_2\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan transformasi Fourier mereka diwakili oleh fungsi \(g_1\), \(g_2\), maka fungsi terintegralkan \(f_1\times f_2\) mempunyai transformasi Fourier \(\bover1{\sqrt{2\pi}}g_1*g_2\).

(d) Jika \(f_1\) dan \(f_2\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan transformasi Fourier mereka diwakili oleh fungsi \(g_1\), \(g_2\), maka \(\sqrt{2\pi}g_1\times g_2\) mewakili transformasi Fourier dari fungsi kontinu \(f_1*f_2\).

Bukti

(a)(i) Pertama, perhatikan kasus ketika \(f\) adalah fungsi uji yang menurun cepat dan \(g\) adalah transformasi Fouriernya. Kita tahu bahwa \(g\) juga merupakan fungsi uji yang menurun cepat, dan \(f\) adalah transformasi Fourier invers dari \(g\) (284C). Konjugat kompleks \(\overline{g}\) dari \(g\) diberikan oleh rumus

\(\overline{g}(y) =\overline{\Bover1{\sqrt{2\pi}} \intop\nolimits_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)dx} =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iyx}\overline{f}(x)dx\),

sehingga \(\overline{g}\) adalah transformasi Fourier invers dari \(\overline{f}\).

\(\int f\times\overline{f} =\int\varcheck{g}\times\overline{f} =\int g\times\varcheck{\overline{f}} =\int g\times\overline{g}\),

dengan menggunakan 283O untuk persamaan tengah.

(ii) Sekarang misalkan \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2\). Tadi telah dinyatakan bahwa \(f\) adalah fungsi tempered; hal ini semata-mata karena

\(\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(\Bover{1}{1+|x|}\bigr)^2dx<\infty\),

jadi

\(\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{|f(x)|}{1+|x|}dx<\infty\)

(244Eb). Dengan 284N, ada barisan \(\sequencen{f_n}\) dari fungsi-fungsi uji yang menurun cepat sedemikian rupa sehingga \(\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_2=0\). Dengan (i),

\(\lim_{m,n\to\infty}\|\varhatf_m-\varhatf_n\|_2 =\lim_{m,n\to\infty}\|f_m-f_n\|_2=0\),

dan barisan \(\sequencen{{\varhatf} _n^{\ssbullet}}\) dari kelas-kelas ekuivalensi merupakan barisan Cauchy dalam \(L_{\Bbb C}^2\). Karena \(L_{\Bbb C}^2\) lengkap (244G/244Pb), \(\sequencen{{\varhatf} _n^{\ssbullet}}\) memiliki batas dalam \(L_{\Bbb C}^2\), yang dapat diwakili sebagai \(g^{\ssbullet}\) untuk suatu \(g\in\eusm L_{\Bbb C}^2\). Seperti halnya \(f\), \(g\) harus merupakan fungsi tempered. Tentu saja

\(\|g\|_2=\lim_{n\to\infty}\|\varhatf_n\|_2 =\lim_{n\to\infty}\|f_n\|_2=\|f\|_2\).

Sekarang, jika \(h\) adalah sebarang fungsi uji yang menurun cepat, \(h\) dan \(\varhat{h}\) terintegralkan-kuadrat (284Bc, 284C), sehingga

\(\int g\times h =\lim_{n\to\infty}\int\varhatf_n\times h =\lim_{n\to\infty}\int f_n\times\varhat{h} =\int f\times\varhat{h}\).

Jadi \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\).

(b) Menurut 284Ib, setiap fungsi yang mewakili transformasi Fourier dari \(f_1\) atau \(f_2\) harus sama hampir di mana-mana dengan fungsi terintegralkan-kuadrat, sehingga fungsi itu sendiri terintegralkan-kuadrat dengan norma yang tepat. Seperti dalam 282K (bagian (d) dari buktinya), jika \(g_1\), \(g_2\) mewakili transformasi Fourier dari \(f_1\), \(f_2\), maka \(ag_1+bg_2\) mewakili transformasi Fourier dari \(af_1+bf_2\) dan \(\|ag_1+bg_2\|_2=\|af_1+bf_2\|_2\) untuk semua \(a\), \(b\in\Bbb C\); oleh karena itu,

\(\int f_1\times\overline{f}_2=(f_1|f_2) =(g_1|g_2)=\int g_1\times\overline{g}_2\).

(c) Tentu saja \(f_1\times f_2\) terintegralkan karena merupakan hasil kali dua fungsi terintegralkan-kuadrat (244E/244Pb).

(i) Ambil \(y\in\Bbb R\) dan tetapkan \(f(x)=\overline{f_2(x)}e^{iyx}\) untuk \(x\in\Bbb R\). Kemudian \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2\). Kita perlu tahu bahwa transformasi Fourier dari \(f\) diwakili oleh \(g\), dengan \(g(u)=\overline{g_2(y-u)}\). Bukti. Misalkan \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat. Maka

\[\begin{aligned}\int g\times h &=\int\overline{g_2(y-u)}h(u)du =\int \overline{g_2(u)}h(y-u)du\\ &=\overline{\int g_2\times h_1} =\overline{\int f_2\times \varhat{h}_1},\\\end{aligned}\]

dengan \(h_1(u)=\overline{h(y-u)}\). Untuk menghitung \(\varhat{h}_1\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\varhat{h}_1(v) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ivu}h_1(u)du =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ivu}\overline{h(y-u)}du\\ &=\overline{\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ivu}h(y-u)du} =\overline{\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{iv(y-u)}h(u)du} =\overline{e^{ivy}\varhat{h}(v)}.\\\end{aligned}\]

Jadi,

\(\int g\times h =\overline{\intop f_2\times\varhat{h}_1} =\int\overline{f_2(v)\varhat{h}_1(v)}dv =\int\overline{f_2(v)}e^{ivy}\varhat{h}(v)dv =\int f\times\varhat{h}\);

karena \(h\) sebarang, \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). ∎

(ii) Sekarang kita punya

\[\begin{aligned}(f_1\times f_2)\varsphat(y) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f_1(x)f_2(x)dx\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f_1\times\bar f =\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}g_1\times\bar g\\ &\text{(menggunakan bagian (b))}\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g_1(u)g_2(y-u)du =\Bover1{\sqrt{2\pi}}(g_1*g_2)(y).\\\end{aligned}\]

Karena \(y\) sebarang, \((f_1\times f_2)\varsphat=\bover1{\sqrt{2\pi}}g_1*g_2\), seperti yang diklaim.

(d) Menurut (c), transformasi Fourier dari \(\sqrt{2\pi}g_1\times g_2\) adalah \(\Reverse{f}_1*\Reverse{f}_2\), dengan \(\Reverse{f}_1(x)=f_1(-x)\), sebab \(\Reverse{f}_1\) mewakili transformasi Fourier dari \(g_1\). Jadi transformasi Fourier invers dari \(\sqrt{2\pi}g_1\times g_2\) adalah \((\Reverse{f}_1*\Reverse{f}_2)\ssplrarrow\). Namun, seperti dalam bukti 284Kb, \((\Reverse{f}_1*\Reverse{f}_2)\ssplrarrow=f_1*f_2\), sehingga \(f_1*f_2\) adalah transformasi Fourier invers dari \(\sqrt{2\pi}g_1\times g_2\), dan \(\sqrt{2\pi}g_1\times g_2\) mewakili transformasi Fourier dari \(f_1*f_2\), sebagaimana diklaim. Selain itu, karena merupakan transformasi Fourier dari fungsi terintegralkan, \(f_1*f_2\) kontinu (283Cf; lihat juga 255K).

284P Akibat

Dengan \(L_{\Bbb C}^2\) menyatakan ruang Hilbert kelas-kelas ekuivalensi fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), terdapat isometri linear \(T:L_{\Bbb C}^2\to L_{\Bbb C}^2\) yang diberikan oleh \(T(f^{\ssbullet})=g^{\ssbullet}\) setiap kali \(f\), \(g\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) dan \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\).

284Q Catatan (a)

Hasil 284P tentu sepadan dengan 282K, yang menguraikan isometri serupa antara \(\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\) dan \(L_{\Bbb C}^2(\ocint{-\pi,\pi})\). Dalam kasus itu terdapat asimetri nyata yang tidak muncul di sini. Ukuran yang relevan pada \(\Bbb Z\), yaitu ukuran cacah, memberi setiap titik massa tak nol, sehingga anggota \(\ell_{\Bbb C}^2\) merupakan fungsi sejati; tidak mengherankan bahwa tersedia rumus langsung untuk \(S(f^{\ssbullet})\in\ell_{\Bbb C}^2\) bagi setiap \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2(\ocint{-\pi,\pi})\). Kesulitan menguraikan \(S^{-1}:\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\to L_{\Bbb C}^2(\ocint{-\pi,\pi})\) sangat mirip dengan kesulitan menguraikan \(T:L_{\Bbb C}^2(\Bbb R)\to L_{\Bbb C}^2(\Bbb R)\) beserta inversnya. Hasil 284Yg dan 286U-286V menunjukkan betapa dekat kemiripan ini.

284Qb (b)

Saya menguraikan bagian (c) dan (d) dari 284O secara rinci, mungkin lebih rinci daripada perlu, karena keduanya memberi kesempatan untuk menekankan perbedaan antara ‘\(\sqrt{2\pi}g_1\times g_2\) mewakili transformasi Fourier dari \(f_1*f_2\)’ dan ‘\(\bover1{\sqrt{2\pi}}g_1*g_2\) adalah transformasi Fourier dari \(f_1\times f_2\)’. Fungsi \(g_1\) dan \(g_2\) sendiri tidak ditentukan secara unik oleh hipotesis bahwa keduanya mewakili transformasi Fourier dari \(f_1\) dan \(f_2\), meskipun kelas ekuivalensinya \(g_1^{\ssbullet}\), \(g_2^{\ssbullet}\in L_{\Bbb C}^2\) ditentukan. Jadi hasil kali \(g_1\times g_2\) juga tidak ditentukan secara unik sebagai fungsi, meskipun kelas ekuivalensinya \((g_1\times g_2)^{\ssbullet}=g_1^{\ssbullet}\times g_2^{\ssbullet}\) terdefinisi dengan baik sebagai anggota \(L_{\Bbb C}^1\). Sebaliknya, fungsi kontinu \(g_1*g_2\) tidak berubah jika \(g_1\) dan \(g_2\) diubah pada himpunan terabaikan, sehingga terdefinisi dengan baik sebagai fungsi. Karena \(f_1\times f_2\) terintegralkan dan mempunyai transformasi Fourier sejati, wajar mengharapkan \((f_1\times f_2)\varsphat\) sama persis dengan \(\bover1{\sqrt{2\pi}}g_1*g_2\).

Perbedaan antara ‘merupakan’ dan ‘mewakili’ transformasi Fourier ini menggemakan persoalan dalam 233D mengenai ekspektasi bersyarat. Di sana saya menyebut suatu ekspektasi bersyarat pada \(\Tau\) dari fungsi \(f\) sebagai fungsi \(\mu\restr\Tau\)-terintegralkan \(g\) sedemikian sehingga \(\int_Fg\,d\mu=\int_Ffd\mu\) untuk setiap \(F\in\Tau\); intinya, setiap fungsi \(\mu\restr\Tau\)-terintegralkan yang sama dengan \(g\) hampir di mana-mana juga merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\). Demikian pula di sini, jika \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\), setiap fungsi yang sama dengan \(g\) hampir di mana-mana juga mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Dalam 242J saya menyarankan penyelesaian komplikasi tersebut dengan memandang ekspektasi bersyarat sebagai pemetaan antara ruang-ruang \(L^1\), bukan antara ruang-ruang \(\eusm L^1\). Secara serupa, transformasi Fourier dalam 284H dapat dipandang sebagai operator linear yang terdefinisi pada subruang tertentu dari \(L^0(\mu)\).

Untuk ekspektasi bersyarat, saya kira ada alasan kuat untuk mengambil operator pada ruang \(L^1\) sebagai perwujudan sejati gagasan tersebut; hal ini akan saya kembangkan dalam Bab 36 pada jilid berikutnya. Untuk transformasi Fourier, argumen itu menurut saya tidak sama kuatnya. Dalam 284R di bawah dan §285, kita akan melihat kasus-kasus penting ketika kita ingin berbicara tentang transformasi Fourier yang tidak dapat diwakili oleh anggota \(L^0\); jadi sudut pandang ini masih baru merupakan tahap perantara.

284Qc (c)

Tentu saja 284Oc-284Od juga memperlihatkan teknik khas dalam argumen transformasi Fourier: memperluas dengan kontinuitas suatu hubungan yang berlaku untuk fungsi-fungsi uji.

284Qd (d)

Hasil 284Oa adalah suatu versi teorema Plancherel. Rumus \(\|f\|_2=\|\varhatf\|_2\) adalah identitas Parseval.

284R Fungsi delta Dirac

Perhatikan fungsi tempered \(\chi\Bbb R\) yang bernilai konstan \(1\). Dalam arti apa, jika memang ada, kita dapat memberikan transformasi Fourier kepada \(\chi\Bbb R\)?

Jika kita memeriksa \(\int\chi\Bbb R\times\varhat{h}\), seperti yang disarankan dalam 284H, kita mendapatkan

\(\int_{-\infty}^{\infty}\chi\Bbb R\times\varhat{h} =\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{h} =\sqrt{2\pi}\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}}(0) =\sqrt{2\pi}h(0)\)

untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). Tentu saja tidak ada fungsi \(g\) sedemikian sehingga \(\int g\times h=\sqrt{2\pi}h(0)\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\), sebab (dengan argumen 284G) kita akan mempunyai \(\int_{a}^bg=\sqrt{2\pi}\) setiap kali \(a<0<b\), sehingga integral tak tentu \(g\) tidak mungkin kontinu pada \(0\). Namun terdapat ukuran pada \(\Bbb R\) dengan sifat yang tepat, yaitu ukuran Dirac \(\delta_0\) yang terkonsentrasi di \(0\); ini adalah ukuran probabilitas Radon (257Xa), dan \(\int h\,d\delta_0=h(0)\) untuk setiap fungsi \(h\) yang terdefinisi pada \(0\). Dengan demikian, kita mempunyai

\(\int_{-\infty}^{\infty}\chi\Bbb R\times\varhat{h} =\sqrt{2\pi}\int h\,d\delta_0\)

untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\), sehingga wajar mengatakan bahwa ukuran \(\nu=\sqrt{2\pi}\delta_0\) ‘mewakili transformasi Fourier dari \(\chi\Bbb R\)’.

Pada titik ini kita dengan senang hati mencatat bahwa

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int e^{ixy}\nu(dy)=1\)

untuk setiap \(x\in\Bbb R\), sehingga \(\chi\Bbb R\) dapat disebut transformasi Fourier invers dari \(\nu\).

Jika kita menelaah rumus-rumus Teorema 284M, kita memperoleh gagasan yang selaras dengan pemasangan \(\chi\Bbb R\) dan \(\nu\) ini.

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}\chi\Bbb R(x)dx =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}dx =\Bover1{\sqrt{2\epsilon}}e^{-y^2/4\epsilon}\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\), menurut 283N dengan \(\sigma=1/\sqrt{2\epsilon}\). Jadi

\(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}e^{-\epsilon x^2}\chi\Bbb R(x)dx=0\)

untuk setiap \(y\ne 0\), dan transformasi Fourier dari \(\chi\Bbb R\) seharusnya nol di setiap titik kecuali \(0\). Di sisi lain, fungsi \(y\mapsto \Bover1{\sqrt{2\epsilon}}e^{-y^2/4\epsilon}\) semua memiliki integral \(\sqrt{2\pi}\), yang makin terkonsentrasi di sekitar \(0\) ketika \(\epsilon\) menurun menuju \(0\); ini juga mengarahkan kita langsung kepada \(\nu\), ukuran yang memberi massa \(\sqrt{2\pi}\) pada \(0\).

Jadi, dengan mengizinkan ukuran selain fungsi, kita dapat memperluas gagasan transformasi Fourier. Tentu saja kita dapat melangkah jauh lebih jauh. Jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, maka (karena \(\varcheck{h}\varhat{\phantom{h}}=h\))

\(\int_{-\infty}^{\infty}x\varhat{h}(x)dx =-i\sqrt{2\pi}h'(0)\),

sehingga fungsi identitas \(x\mapsto x\) dapat diberi operator \(h\mapsto -i\sqrt{2\pi}h'(0)\) sebagai transformasi Fouriernya.

Pada titik ini kita memasuki teori sesungguhnya tentang distribusi (Schwartz), atau ‘fungsi tergeneralisasi’, dan sebaiknya saya berhenti. ‘Fungsi delta Dirac’ paling alami dipandang sebagai ukuran \(\delta_0\) di atas; sebagai alternatif, sebagai \(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\varhat{\chi\Bbb R}\).

Latihan

284W Kasus multidimensi

Seperti dalam §283, saya memberikan latihan-latihan yang dirancang untuk menunjukkan jalan menuju generalisasi berdimensi \(r\).

284Wa (a)

Suatu fungsi uji yang menurun cepat pada \(\BbbR^r\) adalah fungsi \(h:\BbbR^r\to\Bbb C\) sedemikian sehingga (i) \(h\) halus, yaitu, semua turunan parsial berulang

\(\Bover{\partial^m h}{\partial \xi_{j_1}\ldots\partial\xi_{j_m}}\)

terdefinisi dan kontinu di setiap titik dalam \(\BbbR^r\); (ii)

\(\sup_{x\in\BbbR^r}\|x\|^k|h(x)|<\infty\), \(\sup_{x\in\Bbb R^r}\|x\|^k|\Bover{\partial^m h}{\partial \xi_{j_1}\ldots\partial\xi_{j_m}}(x)|<\infty\)

untuk setiap \(k\in\Bbb N\), \(j_1,\ldots,j_m\le r\). Suatu fungsi tempered pada \(\BbbR^r\) adalah fungsi terukur bernilai kompleks \(f\), yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^r\) dan, untuk suatu \(k\in\Bbb N\),

\(\int_{\Bbb R^r}\Bover1{1+\|x\|^k}|f(x)|dx<\infty\).

Tunjukkan bahwa jika \(f\) adalah fungsi tempered pada \(\BbbR^r\) dan \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat pada \(\BbbR^r\), maka \(f\times h\) terintegralkan.

284Wb (b)

Tunjukkan bahwa jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat pada \(\BbbR^r\) maka juga \(\varhat{h}\), dan bahwa dalam hal ini \(\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}}=h\).

284Wc (c)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) adalah fungsi tempered pada \(\Bbb R^r\) dan \(\int f\times h=0\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\) pada \(\BbbR^r\), maka \(f=0\) a.e.

284Wd (d)

Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered pada \(\Bbb R^r\), kita mengatakan bahwa \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\) jika \(\int g\times h=\int f\times\varhat{h}\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\) pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan, maka \(\varhatf\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\) dalam arti ini.

284We (e)

Misalkan \(f\) adalah fungsi tempered pada \(\BbbR^r\). Dengan menulis \(\psi_{\sigma}(x)=\bover1{(\sigma\sqrt{2\pi})^r}e^{-x\dotproduct x/2\sigma^2}\) untuk \(x\in\BbbR^r\), tunjukkan bahwa \(\lim_{\sigma\downarrow 0}(f*\psi_{\sigma})(x)=c\) setiap kali \(x\in\BbbR^r\), \(c\in\Bbb C\) memenuhi \(\lim_{\delta\downarrow 0}\bover1{\delta^r} \int_{B(x,\delta)}|f(t)-c|dt=0\), dengan \(B(x,\delta)=\{t:\|t-x\|\le\delta\}\).

284Wf (f)

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered pada \(\BbbR^r\), \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\), dan \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat. Tunjukkan bahwa (i) transformasi Fourier dari \(f\times h\) adalah \(\bover1{(\sqrt{2\pi})^r}g*\varhat{h}\) (ii) \((\sqrt{2\pi})^rg\times\varhat{h}\) mewakili transformasi Fourier dari \(f*h\).

284Wg (g)

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered pada \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Tunjukkan bahwa

\(g(y) =\lim_{\epsilon\downarrow 0}\Bover1{(\sqrt{2\pi})^r} \int_{\Bbb R^r} e^{-iy\dotproduct x}e^{-\epsilon x\dotproduct x}f(x)dx\)

untuk hampir setiap \(y\in\BbbR^r\).

284Wh (h)

Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi bernilai kompleks \(f\) yang terintegralkan-kuadrat pada \(\BbbR^r\) dan setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi uji yang menurun cepat \(h\) sedemikian sehingga \(\|f-h\|_2\le\epsilon\).

284Wi (i)

Misalkan \(\eusm L_{\Bbb C}^2\) adalah ruang fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa

(i) untuk setiap \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) ada \(g\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) yang mewakili transformasi Fourier dari \(f\), dan dalam hal ini \(\|g\|_2=\|f\|_2\);

(ii) jika \(g_1\), \(g_2\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) mewakili transformasi Fourier dari \(f_1\), \(f_2\in\eusm L_{\Bbb C}^2\), maka \(\bover1{(\sqrt{2\pi})^r}g_1*g_2\) adalah transformasi Fourier dari \(f_1\times f_2\), dan \((\sqrt{2\pi})^rg_1\times g_2\) mewakili transformasi Fourier dari \(f_1*f_2\).

284Wj (j)

Misalkan \(T\) adalah matriks real taksingular berukuran \(r\times r\), yang dipandang sebagai operator linear dari \(\BbbR^r\) ke dirinya sendiri. (i) Tunjukkan bahwa \(\varhatf=|\det T|(fT)\varsphat T\trs\) untuk setiap fungsi bernilai kompleks \(f\) yang terintegralkan pada \(\BbbR^r\). (ii) Tunjukkan bahwa \(hT\) adalah fungsi uji yang menurun cepat untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered dan \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\), maka \(\Bover1{|\det T|}g(T\trs)^{-1}\) mewakili transformasi Fourier dari \(fT\); sehingga jika \(T\) ortogonal, maka \(gT\) mewakili transformasi Fourier dari \(fT\).

Latihan

284X Latihan dasar (a)

Tunjukkan bahwa jika \(g\) dan \(h\) adalah fungsi-fungsi uji yang menurun cepat, maka \(g\times h\) juga demikian.

284Xb (b)

Tunjukkan bahwa ada fungsi kontinu terintegralkan tak nol \(f\), \(g:\Bbb R\to\Bbb C\) sedemikian sehingga \(f*g=0\) di setiap titik. Petunjuk: Ambil keduanya sebagai transformasi Fourier dari fungsi-fungsi uji yang sesuai.

284Xc (c)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi terdiferensialkan sedemikian sehingga turunannya \(f'\) adalah fungsi tempered dan, untuk suatu \(k\in\Bbb N\),

\(\lim_{x\to\infty}x^{-k}f(x) =\lim_{x\to-\infty}x^{-k}f(x)=0\).

(i) Tunjukkan bahwa \(\int f\times h'=-\int f'\times h\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(g\) adalah fungsi tempered yang mewakili transformasi Fourier dari \(f\), maka \(y\mapsto iyg(y)\) mewakili transformasi Fourier dari \(f'\).

284Xd (d)

Untuk fungsi tempered \(f\) dan \(\alpha\in\Bbb R\), tetapkan

\((S_{\alpha}f)(x)=f(x+\alpha)\), \((M_{\alpha}f)(x)=e^{i\alpha x}f(x)\), \((D_{\alpha}f)(x)=f(\alpha x)\)

kapan pun ruas-ruas tersebut terdefinisi. (i) Tunjukkan bahwa \(S_{\alpha}f\), \(M_{\alpha}f\) dan (jika \(\alpha\ne 0\)) \(D_{\alpha}f\) adalah fungsi-fungsi tempered. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(g\) adalah fungsi tempered yang mewakili transformasi Fourier dari \(f\), maka \(M_{-\alpha}g\) mewakili transformasi Fourier dari \(S_{\alpha}f\), \(S_{-\alpha}g\) mewakili transformasi Fourier dari \(M_{\alpha}f\), \(\bar{\Reverse{g}}=\Reverse{\bar g}\) mewakili transformasi Fourier dari \(\bar f\), dan jika \(\alpha\ne 0\), maka \(\Bover1{|\alpha|}D_{1/\alpha}g\) mewakili transformasi Fourier dari \(D_{\alpha}f\).

284Xe (e)

Tunjukkan bahwa jika \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat dan \(f\) adalah fungsi terukur bernilai kompleks, terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), sedemikian sehingga \(\int_{-\infty}^{\infty}|x|^k|f(x)|dx<\infty\) untuk setiap \(k\in\Bbb N\), maka konvolusi \(f*h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat. Petunjuk: Tunjukkan bahwa transformasi Fourier dari \(f*h\) adalah fungsi uji.

284Xf (f) penting

Misalkan \(f\) adalah fungsi tempered sedemikian sehingga \(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^af\) ada dalam \(\Bbb C\). Tunjukkan bahwa batas ini juga sama dengan \(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\epsilon x^2}f(x)dx\). Petunjuk: Tetapkan \(g(x)=f(x)+f(-x)\). Gunakan 224J untuk menunjukkan bahwa jika \(0\le a\le b\), maka \(|\int_a^bg(x)e^{-\epsilon x^2}dx|\le\sup_{c\in[a,b]}|\int_a^cg|\), sehingga \(\lim_{a\to\infty}\int_0^ag(x)e^{-\epsilon x^2}dx\) ada secara seragam terhadap \(\epsilon\), sementara \(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_0^ag(x)e^{-\epsilon x^2}dx =\int_0^ag\) untuk setiap \(a\ge 0\).

284Xg (g) penting

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered pada \(\Bbb R\) sedemikian sehingga \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Tunjukkan bahwa

\(g(y) =\lim_{a\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^ae^{-iyx}f(x)dx\)

pada hampir semua titik \(y\) untuk mana batasnya ada. Petunjuk: 284Xf, 284M.

284Xh (h) penting

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\Bbb R\), dan \(\varhatf\) juga terintegralkan. Tunjukkan bahwa \(\varhatf\varcheck{\phantom{f}}=f\) pada setiap titik tempat \(f\) kontinu.

284Xi (i)

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(p\in\coint{1,\infty}\), \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^p\) dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi uji yang menurun cepat \(h\) sedemikian sehingga \(\|f-h\|_p\le\epsilon\).

284Xj (j) penting

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Tunjukkan bahwa

\(\int_c^df=\Bover{i}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\Bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}g(y)dy\)

setiap kali \(c<d\) dalam \(\Bbb R\).

284Xk (k)

Misalkan \(f\) adalah fungsi terukur bernilai kompleks, terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), sedemikian sehingga \(\int|f|^p<\infty\), dengan \(1<p\le 2\). Tunjukkan bahwa \(f\) adalah fungsi tempered dan ada fungsi tempered \(g\) yang mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Petunjuk: Nyatakan \(f\) sebagai \(f_1+f_2\), dengan \(f_1\) terintegralkan dan \(f_2\) terintegralkan-kuadrat. (Catatan Dengan mendefinisikan \(\|f\|_p\), \(\|g\|_q\) seperti dalam 244D, dengan \(q=p/(p-1)\), kita mempunyai \(\|g\|_q\le(2\pi)^{(p-2)/2p}\|f\|_p\); lihat Zygmund 59, XVI.3.2.)

284Xl (l)

Misalkan \(f\), \(g\) adalah fungsi-fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\).

(i) Tunjukkan bahwa

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^ae^{ixy}g(y)dy =\Bover1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin at}{t}f(x-t)dt\)

setiap kali \(x\in\Bbb R\) dan \(a>0\). Petunjuk: Temukan transformasi Fourier invers dari \(y\mapsto e^{-ixy}\chi[-a,a](y)\), lalu gunakan 284Ob.

(ii) Tunjukkan bahwa jika \(f(x)=0\) untuk \(x\in\ooint{c,d}\), maka

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{ixy}g(y)dy=0\)

untuk \(x\in\ooint{c,d}\).

(iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) dapat dibedakan pada \(x\in\Bbb R\), maka

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{ixy}g(y)dy=f(x)\).

(iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\) mempunyai variasi terbatas pada suatu interval yang memuat \(x\) dalam interiornya, maka

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{ixy}g(y)dy=\Bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)+\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t))\).

284Xm (m)

Misalkan \(f\) adalah fungsi kompleks yang terintegralkan pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa jika \(\varhatf\) terintegralkan-kuadrat, maka \(f\) juga terintegralkan-kuadrat.

284Xn (n)

Misalkan \(f_1\), \(f_2\) adalah fungsi-fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dengan transformasi Fourier masing-masing diwakili oleh \(g_1\), \(g_2\). Tunjukkan bahwa \(\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2(-t)dt =\int_{-\infty}^{\infty}g_1(t)g_2(t)dt\).

284Xo (o)

Misalkan \(x\in\Bbb R\). Tulis \(\delta_x\) untuk ukuran Dirac pada \(\Bbb R\) yang terkonsentrasi di \(x\). Jelaskan suatu arti yang memungkinkan \(\sqrt{2\pi}\delta_x\) dipandang sebagai transformasi Fourier dari fungsi \(t\mapsto e^{ixt}\).

284Xp (p)

Untuk sebarang fungsi tempered \(f\) dan \(x\in\Bbb R\), misalkan \(\delta_x\) adalah ukuran Dirac pada \(\Bbb R\) yang terkonsentrasi di \(x\), dan tetapkan

\((\delta_x*f)(u)=\int f(u-t)\delta_x(dt)=f(u-x)\)

untuk setiap \(u\) sedemikian sehingga \(u-x\in\dom f\) (bdk. 257Xe). Jika \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\), carilah representasi yang sesuai bagi transformasi Fourier dari \(\delta_x*f\), dan hubungkan representasi itu dengan hasil kali \(g\) dan transformasi Fourier dari \(\delta_x\).

284Xq (q)

(i) Tunjukkan bahwa

\(\lim_{\delta\downarrow 0,a\to\infty} \bigl(\int_{-a}^{-\delta}\Bover1x e^{-iyx}dx +\int_{\delta}^a\Bover1x e^{-iyx}dx\bigr) =-\pi i\sgn y\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\), dengan \(\sgn y=y/|y|\) jika \(y\ne 0\) dan \(\sgn 0=0\). Petunjuk: 283Da.

(ii) Tunjukkan bahwa

\(\lim_{c\to\infty}\Bover1c\int_0^c \int_{-a}^ae^{ixy}\sgn y\,dy\,da =\Bover{2i}x\)

untuk setiap \(x\ne 0\).

(iii) Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\),

\[\begin{aligned}\int_0^{\infty}\Bover1x(\varhat{h}(x)-\varhat{h}(-x))dx &=\lim_{\delta\downarrow 0,a\to\infty}\bigl(\int_{-a}^{-\delta} \Bover1x\varhat{h}(x)dx +\int_{\delta}^{a}\Bover1x\varhat{h}(x)dx\bigr)\\ &=-\Bover{i\pi}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}h(y)\sgn y\,dy.\\\end{aligned}\]

(iv) Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\),

\(\Bover{i\pi}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \varhat{h}(x)\sgn x\,dx =\int_0^{\infty}\Bover1y(h(y)-h(-y))dy\).

284Xr (r)

Misalkan \(\sequencen{h_n}\) adalah barisan fungsi uji yang menurun cepat sedemikian sehingga \(\phi(f)=\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h_n\times f\) terdefinisi untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(f\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h'_n\times f\), \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{h}_n\times f\) dan \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(h_n*g)\times f\) terdefinisi untuk semua fungsi uji yang menurun cepat \(f\) dan \(g\), dan bernilai nol jika \(\phi\) identik nol. Petunjuk: Hasil 255G akan membantu untuk batas terakhir.

284Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\tilde f\) perluasan periodiknya, seperti dalam 282Ae. Tunjukkan bahwa \(\tilde f\) adalah fungsi tempered. Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\), \(\int\tilde f\times\varhat{h} =\sqrt{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_kh(k)\), dengan \(\sequence{k}{c_k}\) adalah barisan koefisien Fourier dari \(f\). (Petunjuk: mulai dengan kasus \(f(x)=e^{inx}\). Selanjutnya, tunjukkan bahwa

\(M=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|h(k)| +\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sup_{x\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi]}|\varhat{h}(x)|<\infty\),

dan bahwa

\(|\int\tilde f\times\varhat{h} -\sqrt{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_kh(k)| \le M\|f\|_1\).

Terakhir, terapkan 282Ib.)

284Yb (b)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), sedemikian sehingga \(f\times h\) terintegralkan untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\). Tunjukkan bahwa \(f\) tempered.

284Yc (c)

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi-fungsi tempered pada \(\Bbb R\), dan \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Tunjukkan bahwa

\[\int_c^df =\Bover{i}{\sqrt{2\pi}}\lim_{\sigma\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}e^{-y^2/2\sigma^2}g(y)dy\]

setiap kali \(c\le d\) dalam \(\Bbb R\). Petunjuk: Tetapkan \(\theta=\chi[c,d]\). Tunjukkan bahwa kedua ruas sama dengan \(\lim_{\sigma\to\infty}\int f\times(\theta*\psi_{1/\sigma})\), dengan \(\psi_{\sigma}\) didefinisikan seperti dalam 283N dan 284L.

284Yd (d)

Tunjukkan bahwa jika \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) adalah fungsi ganjil yang mempunyai variasi terbatas dan \(\int_1^{\infty}\bover1x g(x)dx=\infty\), maka \(g\) tidak mewakili transformasi Fourier dari fungsi tempered mana pun. Petunjuk: 283Ye, 284Yc.

284Ye (e)

Misalkan \(\eusm S\) adalah ruang fungsi uji yang menurun cepat. Untuk \(k\), \(m\in\Bbb N\), tetapkan \(\tau_{km}(h)=\sup_{x\in\Bbb R}|x|^k|h^{(m)}(x)|\) untuk setiap \(h\in\eusm S\), dengan \(h^{(m)}\) seperti biasa menyatakan turunan ke-\(m\) dari \(h\). (i) Tunjukkan bahwa setiap \(\tau_{km}\) adalah seminorma dan bahwa \(\eusm S\) lengkap serta separabel untuk topologi ruang linear termetrik \(\frak T\) yang didefinisikan oleh seminorma-seminorma tersebut. (ii) Tunjukkan bahwa \(h\mapsto\varhat{h}:\eusm S\to\eusm S\) kontinu terhadap \(\frak T\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) adalah sebarang fungsi tempered, maka \(h\mapsto\int f\times h\) kontinu terhadap \(\frak T\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\) adalah fungsi terintegralkan sedemikian sehingga \(\int|x^kf(x)|dx<\infty\) untuk setiap \(k\in\Bbb N\), maka \(h\mapsto f*h:\eusm S\to\eusm S\) kontinu terhadap \(\frak T\).

284Yf (f)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) adalah fungsi tempered pada \(\Bbb R\) dan

\(\gamma =\lim_{c\to\infty}\Bover1c\int_{0}^c\int_{-a}^af(x)dxda\)

terdefinisi dalam \(\Bbb C\), maka \(\gamma\) juga sama dengan

\(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-\epsilon|x|}dx\).

284Yg (g)

Misalkan \(f\), \(g\) adalah fungsi-fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\Bbb R\), dan \(g\) mewakili transformasi Fourier dari \(f\). Misalkan \(m\in\Bbb Z\) dan \((2m-1)\pi<x<(2m+1)\pi\). Tetapkan \(\tilde f(t)=f(t+2m\pi)\) untuk semua \(t\in\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian sehingga \(t+2m\pi\in\dom f\). Misalkan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) adalah barisan koefisien Fourier dari \(\tilde f\). Tunjukkan bahwa

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{ixy}g(y)dy =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\)

dalam arti bahwa jika salah satu batas ada dalam \(\Bbb C\), maka batas yang lain juga ada dan keduanya sama. Petunjuk: 284Xl(i), 282Da.

284Yh (h)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan pada \(\Bbb R\) dan ada \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(f(x)=\varhatf(x)=0\) untuk \(|x|\ge M\), maka \(f=0\) a.e. Petunjuk: Reduksikan ke kasus \(M=\pi\). Dengan menelaah deret Fourier dari \(f\restr\ocint{-\pi,\pi}\), tunjukkan bahwa \(f\) dapat dinyatakan sebagai \(f(x)=\sum_{k=-m}^mc_ke^{ikx}\) untuk hampir setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Kemudian hitung \(\varhatf(2n+\bover12)\) untuk \(n\) besar.

284Yi (i)

Misalkan \(\nu\) adalah ukuran Radon pada \(\Bbb R\) yang ‘tempered’, dalam arti bahwa \(\int_{-\infty}^{\infty}\Bover1{1+|x|^k}\nu(dx)\) berhingga untuk suatu \(k\in\Bbb N\). (i) Tunjukkan bahwa setiap fungsi uji yang menurun cepat \(\nu\)-terintegralkan. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\nu\) mempunyai dukungan terbatas (definisi: 256Xf), dan \(h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, maka \(\nu*h\) adalah fungsi uji yang menurun cepat, dengan \((\nu*h)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}h(x-y)\nu(dy)\) untuk \(x\in\Bbb R\). (iii) Tunjukkan bahwa terdapat barisan \(\sequencen{h_n}\) fungsi uji yang menurun cepat sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}h_n\times f =\int_{-\infty}^{\infty}fd\nu\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(f\).

284Yj (j)

Misalkan \(\phi:\eusm S\to\Bbb C\) adalah fungsional yang didefinisikan oleh rumus 284Xr. Tunjukkan bahwa \(\phi\) kontinu untuk topologi dalam 284Ye. (Catatan: akan membantu jika pembaca mengetahui sedikit lebih banyak tentang ruang topologis linear termetrik daripada yang dibahas dalam §2A5.)

284 Catatan penutup untuk Bagian 284

Sekali lagi saya harus memperingatkan bahwa materi di atas hanya memberikan pandangan yang sangat terbatas tentang pokok ini. Saya telah mencoba menunjukkan bagaimana teori transformasi Fourier untuk fungsi ‘baik’ – yang di sini berarti fungsi uji yang menurun cepat – dapat diperluas, melalui suatu dualitas, ke kelas fungsi yang jauh lebih luas, yaitu ‘fungsi-fungsi tempered’. Dengan \(\eusm S\) menyatakan ruang linear fungsi uji yang menurun cepat, kita dapat mencoba menyelidiki transformasi Fourier setiap fungsional linear \(\phi:\eusm S\to\Bbb C\), dengan menulis \(\varhat\phi(h)=\phi(\varhat{h})\) untuk setiap \(h\in\eusm S\). (Sebenarnya, lebih lazim pada tahap ini untuk membatasi perhatian pada fungsional \(\phi\) yang kontinu terhadap topologi standar pada \(\eusm S\) yang diuraikan dalam 284Ye; fungsional tersebut disebut distribusi tempered (Schwartz).) Menurut 284F-284G, sebagian fungsional ini dapat diidentifikasi dengan kelas ekuivalensi fungsi tempered; kemudian kita dapat menyelidiki fungsi-fungsi tempered yang transformasi Fouriernya kembali dapat diwakili oleh fungsi tempered.

Struktur teori transformasi Fourier mungkin paling jelas diuraikan melalui rumus-rumusnya. Tujuan kita ialah membentuk pasangan \((f,g)=(f,\varhatf)=(\varcheck{g},g)\) sedemikian sehingga berlaku

Inversi: \(\varhat{h}\varcheck{\phantom{h}} =\varcheck{h}\varhat{\phantom{h}}=h\);

Pembalikan: \(\varcheck{h}(y)=\varhat{h}(-y)\);

Linearitas: \((h_1+h_2)\varsphat=\varhat{h}_1+\varhat{h}_2\), \((ch)\varsphat=c\varhat{h}\);

Diferensiasi: \((h')\varsphat(y)=iy\varhat{h}(y)\);

Pergeseran: jika \(h_1(x)=h(x+c)\) maka \(\varhat{h}_1(y)=e^{iyc}\varhat{h}(y)\);

Modulasi: jika \(h_1(x)=e^{icx}h(x)\) maka \(\varhat{h}_1(y)=\varhat{h}(y-c)\);

Simetri: jika \(h_1(x)=h(-x)\) maka \(\varhat{h}_1(y) =\varhat{h}(-y)\);

Konjugasi kompleks: \((\overline{h})\varsphat(y)=\overline{\varhat{h}(-y)}\);

Dilasi: jika \(h_1(x)=h(cx)\), di mana \(c>0\), maka \(\varhat{h}_1(y)=\Bover1c\varhat{h}(\Bover{y}{c})\);

Konvolusi: \((h_1*h_2)\varsphat=\sqrt{2\pi}\varhat{h}_1\times\varhat{h}_2\), \((h_1\times h_2)\varsphat =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\varhat{h}_1*\varhat{h}_2\);

Dualitas: \(\int_{-\infty}^{\infty}h_1\times\varhat{h}_2 =\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{h}_1\times h_2\);

Parseval: \(\int_{-\infty}^{\infty}h_1\times\overline{h_2} =\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{h}_1\times\overline{\varhat{h}_2}\);

Dan, tentu saja,

\(\varhat{h}(y) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}h(x)dx\),

\(\int_c^d\varhat{h}(y)dy =\Bover{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{e^{-idy}-e^{-icy}}{y}h(y)dy\).

(Saya menggunakan huruf \(h\) dalam daftar di atas untuk menandai fakta bahwa semua rumus tersebut memang berlaku bagi fungsi uji yang menurun cepat.) Selain itu, sering kali penting bahwa operasi \(h\mapsto\varhat{h}\) kontinu dalam suatu arti.

Tantangan teori transformasi Fourier ‘murni’ ialah menemukan ragam objek \(h\) seluas mungkin yang membuat rumus-rumus di atas berlaku, dengan interpretasi yang tepat bagi \(\varsphat\), \(*\) dan \(\int_{-\infty}^{\infty}\). Perlu dicatat bahwa sejak awal bidang ini telah diperkaya oleh penerapannya dalam cabang lain matematika, ilmu fisika dan ilmu sosial. Berulang kali penerapan tersebut menyarankan pasangan baru \((f,\varhatf)\) dan menuntut kemampuan lebih besar untuk menafsirkan aturan yang hendak kita ikuti. Bahkan teori distribusi tampaknya tidak memberi uraian kanonik lengkap tentang semua yang dapat dilakukan. Pertama, terdapat kesulitan besar dalam menafsirkan ‘hasil kali’ dua distribusi sebarang, sehingga beberapa rumus di atas bermasalah; kedua, tidak jelas bahwa cukup mempertimbangkan satu jenis distribusi saja. Dalam bagian ini saya hanya menelaah satu ruang ‘fungsi uji’, yaitu ruang \(\eusm S\) dari fungsi uji yang menurun cepat; tetapi sedikitnya dua ruang lain juga penting: ruang \(\eusm D\) dari fungsi mulus dengan dukungan terbatas, dan ruang \(\eusm Z\) dari transformasi Fourier fungsi-fungsi dalam \(\eusm D\). Keuntungan memulai dengan \(\eusm S\) adalah diperolehnya teori yang simetris, sebab \(\varhat{h}\in\eusm S\) untuk setiap \(h\in\eusm S\). Namun mudah ditemukan objek (misalnya fungsi \(x\mapsto e^{x^2}\) atau \(x\mapsto 1/|x|\)) yang tidak dapat ditafsirkan sebagai fungsional pada \(\eusm S\), sehingga transformasi Fouriernya, jika dapat dikaji, harus diselidiki dengan metode lain. Dalam 284Xq saya menguraikan beberapa argumen yang membenarkan pernyataan bahwa transformasi Fourier fungsi \(x\mapsto 1/x\) adalah, atau dapat diwakili oleh, fungsi \(y\mapsto -i\sqrt{\bover{\pi}2}\sgn y\); asas umumnya di sini adalah mendekati \(0\) maupun \(\infty\) secara simetris. Untuk berbagai pasangan serupa yang ditetapkan melalui argumen berdasarkan gagasan 284Xr, lihat Lighthill 59, bab. 3.

Karena itu tampaknya, setelah dua abad,

kita masih harus melanjutkan dengan memeriksa secara cermat kelas-kelas fungsi tertentu dan menguji interpretasi rumus yang sesuai. Dalam pembahasan di atas saya berulang kali menggunakan konsep

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^af\), \(\lim_{\epsilon\downarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\epsilon x^2}f(x)dx\)

sebagai interpretasi alternatif bagi \(\int_{-\infty}^{\infty}f\). (Tentu saja keduanya berkaitan erat; lihat 284Xf.) Kernel khusus \(e^{-\epsilon x^2}\) digunakan karena termasuk \(\eusm S\), merupakan fungsi genap, transformasi Fouriernya dapat dihitung dan mudah dimanipulasi, serta berkaitan dengan fungsi densitas probabilitas normal \(\bover1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}\). Dengan demikian, fakta-fakta yang kita peroleh mungkin berguna di tempat lain. Namun ada penerapan yang lebih mudah ditangani dengan kernel lain – misalnya, \(e^{-\epsilon|x|}\) (283Xq, 283Yc, 284Yf).)

Salah satu asas penuntun di sini ialah bahwa manipulasi yang murni formal, seperti dalam daftar di atas, dan terutama perubahan urutan integrasi beserta pertukaran limit lainnya, berulang kali menghasilkan rumus yang sah jika ditafsirkan dengan tepat. Kuliah analisis pertama sering menanamkan hambatan: mahasiswa diajari mencurigai setiap manipulasi yang belum dapat mereka benarkan. Bagi saya, daya tarik pokok ini terutama terletak pada keragaman argumen yang dituntut oleh pendekatan ketat, dengan landasan yang terus berubah menurut konteks; tetapi optimisme yang ceria sering merupakan panduan terbaik untuk memilih manipulasi yang patut dicoba untuk dibenarkan.

Karena buku ini membahas teori ukur, saya tentu sangat tertarik pada kemungkinan suatu ukuran muncul sebagai transformasi Fourier. Inilah yang terjadi jika kita mencari transformasi Fourier fungsi konstan \(\chi\Bbb R\) (284R). Secara lebih umum, setiap fungsi tempered periodik \(f\) dengan periode \(2\pi\) dapat diberi transformasi Fourier berupa ‘ukuran bertanda’ (untuk tujuan kita saat ini, kombinasi linear kompleks dari ukuran-ukuran) yang terkonsentrasi pada \(\Bbb Z\). Massa pada setiap \(k\in\Bbb Z\) ditentukan oleh koefisien Fourier yang bersesuaian dari \(f\restr\ocint{-\pi,\pi}\) (284Xo, 284Ya). Dalam bagian berikutnya saya akan melangkah lebih jauh ke arah ini, terutama mengenai distribusi probabilitas pada \(\BbbR^r\). Alasan ukuran positif belum mendesak untuk diperhatikan sejauh ini ialah bahwa kita tidak mengharapkan fungsi positif sebagai transformasi Fourier kecuali jika beberapa syarat yang sangat khusus dipenuhi, seperti dalam 283Yc.

Seperti dalam §282, saya menggunakan struktur ruang Hilbert \(L_{\Bbb C}^2\) sebagai dasar pembahasan transformasi Fourier fungsi-fungsi dalam \(\eusm L_{\Bbb C}^2\) (284O-284P). Namun, seperti untuk deret Fourier, teorema Carleson (286U) memberikan uraian yang lebih langsung.

Dalam 284Wj, saya memberikan perhitungan berdasarkan rumus perubahan variabel dalam 263A untuk menyajikan versi multidimensi dari pembalikan dan dilasi. Namun tujuan sebenarnya ialah menunjukkan bahwa transformasi Fourier pada \(\BbbR^r\) didasarkan pada geometri hasil kali dalam Euklides, bukan pada sistem koordinat Kartesius.