L¹ — Fondasi Teori Ukuran

Meskipun ruang \(L^0\) yang dibahas dalam bagian sebelumnya mempunyai daya tarik intrinsik yang sangat besar, kegunaan utamanya dalam teori elementer adalah sebagai ruang tempat beberapa ruang terpenting dalam analisis fungsional dibenamkan. Dalam beberapa bagian berikutnya saya memperkenalkan ruang-ruang tersebut satu demi satu.

Yang pertama adalah ruang \(L^1\) dari kelas-kelas ekuivalensi fungsi terintegralkan. Pentingnya ruang ini tidak hanya karena ruang ini menawarkan bahasa untuk mengungkapkan banyak teorema mengenai fungsi terintegralkan yang tidak bergantung pada perbedaan antara dua fungsi yang sama hampir di mana-mana. Ruang ini juga dapat muncul sebagai ruang alami untuk mencari penyelesaian beragam persamaan integral, dan sebagai kelengkapan suatu ruang fungsi kontinu.

242A Ruang \(L^1\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur.

242Aa (a)

Misalkan \(\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\) himpunan fungsi-fungsi bernilai riil, yang didefinisikan pada subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan terintegralkan pada \(X\). Maka \(\eusm L^1\subseteq\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\), sebagaimana didefinisikan dalam §241, dan, untuk \(f\in\eusm L^0\), kita mempunyai \(f\in\eusm L^1\) jika dan hanya jika terdapat \(g\in\eusm L^1\) sedemikian sehingga \(|f|\leae g\); jika \(f\in\eusm L^1\), \(g\in\eusm L^0\), dan \(f\eae g\), maka \(g\in\eusm L^1\). (Lihat 122P-122R.)

242Ab (b)

Misalkan \(L^1=L^1(\mu)\subseteq L^0=L^0(\mu)\) himpunan kelas ekuivalensi anggota-anggota \(\eusm L^1\). Jika \(f\), \(g\in\eusm L^1\) dan \(f\eae g\), maka \(\int f=\int g\) (122Rb). Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan fungsional \(\int\) pada \(L^1\) dengan menuliskan \(\int f^{\ssbullet}=\int f\) untuk setiap \(f\in\eusm L^1\).

242Ac (c)

Akan memudahkan jika kita dapat menuliskan \(\int_Au\) untuk \(u\in L^1\), \(A\subseteq X\). didefinisikan dengan mengatakan bahwa \(\int_Af^{\ssbullet}=\int_Af\) untuk setiap \(f\in\eusm L^1\), dengan integral tersebut didefinisikan dalam 214D. Bukti. Saya hanya perlu memeriksa bahwa jika \(f\eae g\), maka \(\int_Af=\int_Ag\); ini karena \(f\restr A=g\restr A\) hampir di mana-mana dalam \(A\). ∎

Jika \(E\in\Sigma\) dan \(u\in L^1\), maka \(\int_Eu=\int u\times(\chi E)^{\ssbullet}\); ini karena \(\int_Ef=\int f\times\chi E\) untuk setiap fungsi terintegralkan \(f\) (131Fa).

242Ad (d)

Jika \(u\in L^1\), terdapat fungsi terukur terhadap \(\Sigma\) dan terintegralkan terhadap \(\mu\), yaitu \(f:X\to\Bbb R\), sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\). Bukti. Sebagaimana dicatat dalam 241Bk, terdapat fungsi terukur \(f:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\); tetapi tentu saja \(f\) terintegralkan karena sama hampir di mana-mana dengan suatu fungsi terintegralkan. ∎

242B Teorema

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Maka \(L^1(\mu)\) merupakan subruang linear dari \(L^0(\mu)\) dan \(\int:L^1\to\Bbb R\) merupakan fungsional linear.

242C Struktur urutan \(L^1\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur.

242Ca (a)

\(L^1=L^1(\mu)\) mempunyai struktur urutan yang diturunkan dari struktur urutan \(L^0=L^0(\mu)\) (241E); yakni, \(f^{\ssbullet}\le g^{\ssbullet}\) jika dan hanya jika \(f\le g\) hampir di mana-mana. Sebagai subruang linear dari \(L^0\), \(L^1\) merupakan ruang linear terurut parsial; kedua syarat dalam 241Ec jelas diwarisi oleh subruang linear.

Jika \(u\), \(v\in L^1\) dan \(u\le v\), maka \(\int u\le\int v\), karena jika \(f\), \(g\) fungsi-fungsi terintegralkan dan \(f\leae g\), maka \(\int f\le\int g\) (122Od).

242Cb (b)

Jika \(u\in L^0\), \(v\in L^1\), dan \(|u|\le |v|\), maka \(u\in L^1\). Bukti. Misalkan \(f\in\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\), \(g\in\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\) sedemikian sehingga \(u=f^{\ssbullet}\) dan \(v=g^{\ssbullet}\); maka \(g\) terintegralkan dan \(|f|\leae |g|\), sehingga \(f\) terintegralkan dan \(u\in L^1\). ∎

242Cc (c)

Khususnya, \(|u|\in L^1\) kapan pun \(u\in L^1\), dan

\(|\int u|=\max(\int u,\int(-u))\le\int|u|\).

karena \(u\), \(-u\le|u|\).

242Cd (d)

Karena \(|u|\in L^1\) untuk setiap \(u\in L^1\),

\(u\vee v=\Bover12(u+v+|u-v|)\), \(u\wedge v=\Bover12(u+v-|u-v|)\)

termasuk dalam \(L^1\) untuk semua \(u\), \(v\in L^1\). Namun, jika \(w\in L^1\), kita tentu mempunyai

\(w\le u\ \&\ w\le v\iff w\le u\wedge v\),

\(w\ge u\ \&\ w\ge v\iff w\ge u\vee v\)

sebab pernyataan-pernyataan ini berlaku untuk semua \(w\in L^0\), sehingga \(u\vee v=\sup\{u,v\}\) dan \(u\wedge v=\inf\{u,v\}\) dalam \(L^1\). Jadi, \(L^1\) merupakan, dalam dirinya sendiri, ruang Riesz.

242Ce (e)

Perhatikan bahwa jika \(u\in L^1\), maka \(u\ge 0\) jika dan hanya jika \(\int_Eu\ge 0\) untuk setiap \(E\in\Sigma\); ini karena jika \(f\) suatu fungsi terintegralkan pada \(X\) dan \(\int_Ef\ge 0\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), maka \(f\ge 0\) hampir di mana-mana (131Fb). Jika \(u\), \(v\in L^1\) dan \(\int_Eu\le\int_Ev\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), maka \(u\le v\). Jika \(u\), \(v\in L^1\) dan \(\int_Eu=\int_Ev\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), maka \(u=v\) (bandingkan 131Fc).

242Cf (f)

Jika \(u\ge 0\) dalam \(L^1\), terdapat fungsi nonnegatif \(f\in\eusm L^1\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) (bandingkan 241Eg).

242D Norma \(L^1\)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur.

242Da (a)

Untuk \(f\in\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\) saya menulis \(\|f\|_1=\int|f|\in\coint{0,\infty}\). Untuk \(u\in L^1=L^1(\mu)\), tetapkan \(\|u\|_1=\int|u|\), sehingga \(\|f^{\ssbullet}\|_1=\|f\|_1\) untuk setiap \(f\in\eusm L^1\). Maka \(\|\,\|_1\) merupakan norma pada \(L^1\). Bukti. (i) Jika \(u\), \(v\in L^1\), maka \(|u+v|\le|u|+|v|\), menurut 241Ee, sehingga \(\|u+v\|_1=\int|u+v| \le\int|u|+|v|=\int|u|+\int|v|=\|u\|_1+\|v\|_1\). (ii) Jika \(u\in L^1\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(\|cu\|_1=\int|cu|=\int|c||u|=|c|\int|u|=|c|\|u\|_1\). (iii) Jika \(u\in L^1\) dan \(\|u\|_1=0\), nyatakan \(u\) sebagai \(f^{\ssbullet}\), dengan \(f\in\eusm L^1\); maka \(\int|f|=\int|u|=0\). Karena \(|f|\) nonnegatif, fungsi itu harus bernilai nol hampir di mana-mana (122Rc), sehingga \(f=0\) hampir di mana-mana dan \(u=0\) dalam \(L^1\). ∎

242Db (b)

Jadi \(L^1\), dengan \(\|\,\|_1\), merupakan ruang bernorma dan \(\int:L^1\to\Bbb R\) merupakan operator linear; perhatikan bahwa \(\|\int\|\le 1\), karena \(|\int u|\le\int|u|=\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1\).

242Dc (c)

Jika \(u\), \(v\in L^1\) dan \(|u|\le|v|\), maka

\(\|u\|_1=\int|u|\le\int|v|=\|v\|_1\).

Khususnya, \(\|u\|_1=\||u|\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1\).

242Dd (d)

Jika \(u\), \(v\in L^1\) dan \(u\), \(v\ge 0\), maka

\(\|u+v\|_1\prooflet{\mskip5mu=\intop u+v =\intop u+\intop v}=\|u\|_1+\|v\|_1\).

242De (e)

Himpunan \((L^1)^+=\{u:u\ge 0\}\) tertutup dalam \(L^1\). Bukti. Jika \(v\in L^1\), \(u\in(L^1)^+\), maka \(\|u-v\|_1\ge\|v\wedge 0\|_1\); ini karena jika \(f\), \(g\in\eusm L^1\) dan \(f\ge 0\) hampir di mana-mana, \(|f(x)-g(x)|\ge|\min(g(x),0)|\) kapan pun \(f(x)\) dan \(g(x)\) keduanya terdefinisi dan \(f(x)\ge 0\), yang berlaku hampir di mana-mana, sehingga \(\|u-v\|_1=\int|f-g|\ge\int|g\wedge\tbf{0}| =\|v\wedge 0\|_1\). Kini ini berarti bahwa jika \(v\in L^1\) dan \(v\not\ge 0\), bola \(\{w:\|w-v\|_1<\delta\}\) tidak beririsan dengan \((L^1)^+\), dengan \(\delta=\|v\wedge 0\|_1>0\) karena \(v\wedge 0\ne 0\). Jadi \(L^1\setminus(L^1)^+\) terbuka dan \((L^1)^+\) tertutup. ∎

242E

Untuk hasil berikutnya kita memerlukan suatu varian teorema B.Levi.

Lema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan fungsi riil yang terintegralkan terhadap \(\mu\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|<\infty\). Maka \(f=\sum_{n=0}^{\infty}f_n\) terintegralkan dan

\(\int f=\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n\), \(\int|f|\le\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|\).

Bukti

(a) Andaikan terlebih dahulu bahwa setiap \(f_n\) tak negatif. Tetapkan \(g_n=\sum_{k=0}^nf_k\) untuk setiap \(n\); maka \(\sequencen{g_n}\) naik hampir di mana-mana dan

\(\lim_{n\to\infty}\int g_n =\sum_{k=0}^{\infty}\int f_k\)

berhingga, sehingga menurut teorema B.Levi (123A), \(f=\lim_{n\to\infty}g_n\) terintegralkan dan

\(\int f=\lim_{n\to\infty}\int g_n =\sum_{k=0}^{\infty}\int f_k\).

Dalam kasus ini, tentu saja,

\(\int|f|=\int f =\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n =\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|\).

(b) Untuk kasus umum, tetapkan \(f_n^+={1\over 2}(|f_n|+f_n)\), \(f_n^-={1\over2}(|f_n|-f_n)\), seperti dalam 241Ef; maka \(f_n^+\) dan \(f_n^-\) fungsi-fungsi terintegralkan tak negatif, dan

\(\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n^+ +\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n^- =\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|<\infty\).

Jadi \(h_1=\sum_{n=0}^{\infty}f_n^+\) dan \(h_2=\sum_{n=0}^{\infty}f_n^-\) keduanya terintegralkan. Kini \(f\eae h_1-h_2\), sehingga

\(\int f=\int h_1-\int h_2 =\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n^+ -\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n^- =\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n\).

Akhirnya,

\(\int|f|\le\int|h_1|+\int|h_2| =\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n^+ +\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n^- =\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|\).

242F Teorema

Untuk sebarang ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\), \(L^1(\mu)\) lengkap terhadap normanya \(\|\,\|_1\).

Bukti

Misalkan \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan dalam \(L^1\) sedemikian sehingga \(\|u_{n+1}-u_n\|_1\le 4^{-n}\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Pilih fungsi-fungsi terintegralkan \(f_n\) sedemikian sehingga \(f_0^{\ssbullet}=u_0\), \(f_{n+1}^{\ssbullet}=u_{n+1}-u_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka

\(\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n| =\|u_0\|_1+\sum_{n=0}^{\infty}\|u_{n+1}-u_n\|_1<\infty\).

Jadi \(f=\sum_{n=0}^{\infty}f_n\) terintegralkan menurut 242E, dan \(u=f^{\ssbullet}\in L^1\). Tetapkan \(g_n=\sum_{j=0}^nf_j\) untuk setiap \(n\); maka \(g_n^{\ssbullet}=u_n\), sehingga

\(\|u-u_n\|_1 =\int|f-g_n| \le\int\sum_{j=n+1}^{\infty}|f_j| \le\sum_{j=n+1}^{\infty}4^{-j} =4^{-n}/3\)

untuk setiap \(n\). Jadi \(u=\lim_{n\to\infty}u_n\) dalam \(L^1\). Karena \(\sequencen{u_n}\) sebarang, \(L^1\) lengkap (2A4E).

242G Definisi

Untuk rujukan kelak, akan memudahkan jika kita memperkenalkan istilah berikut. Suatu kisi Banach adalah ruang Riesz \(U\) bersama suatu norma \(\|\,\|\) pada \(U\) sedemikian sehingga (i) \(\|u\|\le\|v\|\) kapan pun \(u\), \(v\in U\) dan \(|u|\le|v|\), dengan \(|u|\) menyatakan \(u\vee(-u)\), seperti dalam 241Ee (ii) \(U\) lengkap terhadap \(\|\,\|\). Jadi 242Dc dan 242F secara bersama-sama menyatakan bahwa ruang Riesz bernorma \((L^1,\|\,\|_1)\) merupakan kisi Banach.

242H \(L^1\) sebagai ruang Riesz

Kita dapat membahas ruang linear terurut \(L^1\) dengan bahasa yang telah digunakan dalam 241E-241G untuk \(L^0\).

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Maka \(L^1=L^1(\mu)\) lengkap Dedekind.

Bukti

(a) Misalkan \(A\subseteq L^1\) sebarang himpunan tak kosong yang terbatas di atas dalam \(L^1\). Tetapkan

\(A'=\{u_0\vee\ldots\vee u_n:u_0,\ldots, u_n\in A\}\).

Maka \(A\subseteq A'\), \(A'\) mempunyai batas-batas atas yang sama dengan \(A\), dan \(u\vee v\in A'\) untuk semua \(u\), \(v\in A'\). Dengan mengambil \(w_0\) sebagai sebarang batas atas \(A\) dan \(A'\), kita mempunyai \(\int u\le\int w_0\) untuk setiap \(u\in A'\), sehingga \(\gamma=\sup_{u\in A'}\int u\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih \(u_n\in A'\) sedemikian sehingga \(\int u_n\ge\gamma-2^{-n}\). Karena \(L^0=L^0(\mu)\) lengkap-\(\sigma\) Dedekind (241Ga), \(u^*=\sup_{n\in\Bbb N}u_n\) terdefinisi dalam \(L^0\), dan \(u_0\le u^*\le w_0\) dalam \(L^0\). Akibatnya,

\(0\le u^*-u_0\le w_0-u_0\)

dalam \(L^0\). Namun \(w_0-u_0\in L^1\), sehingga \(u^*-u_0\in L^1\) (242Cb) dan \(u^*\in L^1\).

(b) Pokoknya adalah bahwa \(u^*\) merupakan batas atas bagi \(A\). Bukti. Jika \(u\in A\), maka \(u\vee u_n\in A'\) untuk setiap \(n\), sehingga

\[\begin{aligned}\|u-u\wedge u^*\|_1 &=\int u-u\wedge u^* \le \int u-u\wedge u_n\\ &\text{(karena }u\wedge u_n\le u_n\le u^*\text{, sehingga }u\wedge u_n\le u\wedge u^*\text{)}\\ &=\int u\vee u_n-u_n\\ &\text{(karena }u\vee u_n+u\wedge u_n=u+u_n\text{ -- lihat rumus-rumus dalam 242Cd)}\\ &=\int u\vee u_n-\int u_n \le\gamma-(\gamma-2^{-n}) =2^{-n}\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(n\); jadi \(\|u-u\wedge u^*\|_1=0\). Namun ini berarti bahwa \(u=u\wedge u^*\), yakni \(u\le u^*\). Karena \(u\) sebarang, \(u^*\) merupakan batas atas bagi \(A\). ∎

(c) Di sisi lain, setiap batas atas bagi \(A\) tentu merupakan batas atas bagi \(\{u_n:n\in\Bbb N\}\), sehingga lebih besar daripada atau sama dengan \(u^*\). Jadi \(u^*=\sup A\) dalam \(L^1\). Karena \(A\) sebarang, \(L^1\) lengkap Dedekind.

Catatan Perhatikan bahwa kelengkapan menurut urutan dari \(L^1\), tidak seperti kelengkapan menurut urutan dari \(L^0\), tidak bergantung pada sifat khusus apa pun dari ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\).

242I Teorema Radon-Nikodým

Menurut saya, teorema Radon-Nikodým (232E) layak dituliskan kembali dalam bahasa bab ini.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Maka terdapat bijeksi kanonik antara \(L^1=L^1(\mu)\) dan himpunan fungsional aditif kontinu sejati \(\nu:\Sigma\to\Bbb R\), yang diberikan oleh rumus

\(\nu F=\int_Fu\) untuk \(F\in\Sigma\), \(u\in L^1\).

Catatan Ingat bahwa jika \(\mu\) \(\sigma\)-hingga, maka fungsional aditif kontinu sejati tepat merupakan fungsional aditif terhitung yang kontinu mutlak; dan jika \(\mu\) hingga total, maka semua fungsional aditif (hingga) yang kontinu mutlak bersifat kontinu sejati (232Bd).

242J Meninjau kembali ekspektasi bersyarat

Kini kita mempunyai perangkat yang diperlukan untuk memberikan penafsiran baru atas beberapa gagasan dalam §233.

(a) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), seperti dalam 233A. Maka \((X,\Tau,\mu\restrp\Tau)\) suatu ruang ukur, dan \(\eusm L^0(\mu\restrp\Tau)\subseteq\eusm L^0(\mu)\); selain itu, jika \(f\), \(g\in\eusm L^0(\mu\restrp\Tau)\), maka \(f=g\,\,(\mu\restrp\Tau)\)-hampir di mana-mana jika dan hanya jika \(f=g\,\,\mu\)-hampir di mana-mana. Bukti. Terdapat himpunan-himpunan yang koterabaikan terhadap \(\mu\restrp\Tau\), yaitu \(F\), \(G\in\Tau\), sedemikian sehingga \(f\restr F\) dan \(g\restr G\) terukur terhadap \(\Tau\); tetapkan \(E=\{x:x\in F\cap G,\,f(x)\ne g(x)\}\in\Tau\); maka \(f=g\,\,(\mu\restrp\Tau)\)-hampir di mana-mana \(\iff (\mu\restrp\Tau)(E)=0 \iff \mu E=0 \iff f=g\,\,\mu\)-hampir di mana-mana. ∎

Oleh karena itu, kita mempunyai peta kanonik \(S:L^0(\mu\restrp\Tau)\to L^0(\mu)\) yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa jika \(u\in L^0(\mu\restrp\Tau)\) merupakan kelas ekuivalensi dari \(f\in\eusm L^0(\mu\restrp\Tau)\), maka \(Su\) merupakan kelas ekuivalensi dari \(f\) dalam \(L^0(\mu)\). Dengan menelusuri operasi-operasi yang dideskripsikan dalam 241D, 241E, dan 241H, mudah diperiksa bahwa \(S\) linear, injektif, dan mempertahankan urutan, serta bahwa \(|Su|=S|u|\), \(S(u\vee v)=Su\vee Sv\), dan \(S(u\times v)=Su\times Sv\) untuk \(u\), \(v\in L^0(\mu\restrp\Tau)\).

242Jb (b)

Selanjutnya, jika \(f\in\eusm L^1(\mu\restrp\Tau)\), maka \(f\in\eusm L^1(\mu)\) dan \(\int fd\mu=\int fd(\mu\restrp\Tau)\) (233B); jadi \(Su\in L^1(\mu)\) dan \(\|Su\|_1=\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu\restrp\Tau)\).

Perhatikan juga bahwa setiap anggota dari \(L^1(\mu)\cap S[L^0(\mu\restrp\Tau)]\) sesungguhnya termasuk dalam \(S[L^1(\mu\restrp\Tau)]\). Bukti. Ambil \(u\in L^1(\mu)\cap S[L^0(\mu\restrp\Tau)]\). Maka \(u\) dapat dinyatakan baik sebagai \(f^{\ssbullet}\) dengan \(f\in\eusm L^1(\mu)\), maupun sebagai \(g^{\ssbullet}\) dengan \(g\in\eusm L^0(\mu\restrp\Tau)\). Jadi \(g\eae f\), dan \(g\) terintegralkan terhadap \(\mu\), sehingga terintegralkan terhadap \((\mu\restrp\Tau)\) (sekali lagi menurut 233B). ∎

Ini berarti bahwa \(S:L^1(\mu\restrp\Tau)\to L^1(\mu)\cap S[L^0(\mu\restrp\Tau)]\) merupakan bijeksi.

242Jc (c)

Kini andaikan \(\mu X=1\), sehingga \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas. Ingat bahwa \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\) jika \(g\) terintegralkan terhadap \(\mu\restrp\Tau\), \(f\) terintegralkan terhadap \(\mu\), dan \(\int_Fg=\int_Ff\) untuk setiap \(F\in\Tau\); serta bahwa setiap fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu\) mempunyai ekspektasi bersyarat semacam itu (233D). Jika \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) dan \(f_1=f\,\,\mu\)-hampir di mana-mana, maka \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f_1\), karena \(\int_Ff_1=\int_Ff\) untuk setiap \(F\); dan saya telah mencatat dalam 233Dc bahwa jika \(g\), \(g_1\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\), maka \(g=g_1\,\,\mu\restrp\Tau\)-hampir di mana-mana.

242Jd (d)

Ini berarti bahwa kita mempunyai operator \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) yang didefinisikan dengan mengatakan bahwa \(P(f^{\ssbullet})=g^{\ssbullet}\) kapan pun \(g\in\eusm L^1(\mu\restrp\Tau)\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\in\eusm L^1(\mu)\) pada \(\Tau\); yakni, \(\int_FPu=\int_Fu\) kapan pun \(u\in L^1(\mu)\) dan \(F\in\Tau\). Jika kita mengidentifikasi \(L^1(\mu)\), \(L^1(\mu\restrp\Tau)\) dengan himpunan fungsional aditif kontinu mutlak yang didefinisikan pada \(\Sigma\) dan \(\Tau\), seperti dalam 242I, maka \(P\) bersesuaian dengan operasi \(\nu\mapsto\nu\restrp\Tau\).

242Je (e)

\(P\) linear dan mempertahankan urutan. Bukti. Jika \(u\), \(v\in L^1(\mu)\) dan \(c\in\Bbb R\), maka \(\int_FPu+Pv=\int_FPu+\int_FPv=\int_Fu+\int_Fv =\int_Fu+v=\int_FP(u+v)\), \(\int_FP(cu)=\int_Fcu=c\int_Fu=c\int_FPu=\int_FcPu\) untuk setiap \(F\in\Tau\). ∎ Selain itu, jika \(u\ge 0\), maka \(\int_FPu=\int_Fu\ge 0\) untuk setiap \(F\in\Tau\), sehingga \(Pu\ge 0\) (sekali lagi menurut 242Ce). Dengan segera diperoleh bahwa \(P\) mempertahankan urutan, yakni \(Pu\le Pv\) kapan pun \(u\le v\). Akibatnya,

\(|Pu|=Pu\vee(-Pu)=Pu\vee P(-u)\le P|u|\)

untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\), karena \(u\le|u|\) dan \(-u\le|u|\). Akhirnya, \(P\) merupakan operator linear terbatas, dengan norma \(1\). Bukti. Rumus terakhir menyatakan bahwa \(\|Pu\|_1\le\|P|u|\|_1=\int P|u|=\int |u|=\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\), sehingga \(\|P\|\le 1\). Di sisi lain, \(P(\chi X^{\ssbullet})=\chi X^{\ssbullet}\ne 0\), sehingga \(\|P\|=1\). ∎

242Jf (f)

Kita dapat secara sah memandang \(Pu\in L^1(\mu\restrp\Tau)\) sebagai ekspektasi bersyarat ‘dari’ \(u\in L^1(\mu)\) pada \(\Tau\); \(P\) merupakan operator ekspektasi bersyarat.

242Jg (g)

Jika \(u\in L^1(\mu\restrp\Tau)\), maka kita mempunyai \(Su\in L^1(\mu)\) yang bersesuaian, seperti dalam (b); kini \(PSu=u\). Bukti. \(\int_FPSu=\int_FSu=\int_Fu\) untuk setiap \(F\in\Tau\). ∎ Akibatnya, \(SPSP=SP:L^1(\mu)\to L^1(\mu)\).

242Jh (h)

Pembedaan yang dibuat di atas antara \(u=f^{\ssbullet}\in L^0(\mu\restrp\Tau)\) dan \(Su=f^{\ssbullet}\in L^0(\mu)\) tentu saja sangat teliti. Saya percaya kita perlu menyadari pembedaan semacam itu, meskipun untuk hampir semua keperluan aman sekaligus mudah untuk memandang \(L^0(\mu\restrp\Tau)\) sebagai subhimpunan aktual dari \(L^0(\mu)\). Jika kita melakukannya, maka (b) menyatakan bahwa kita dapat mengidentifikasi \(L^1(\mu\restrp\Tau)\) dengan \(L^1(\mu)\cap L^0(\mu\restrp\Tau)\), sedangkan (g) menjadi ‘\(P^2=P\)’.

242K

Bahasa yang baru diperkenalkan memungkinkan perumusan ulang 233J-233K berikut.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi cembung dan \(\bar\phi:L^0(\mu)\to L^0(\mu)\) operator yang bersesuaian, yang didefinisikan dengan menetapkan \(\bar\phi(f^{\ssbullet})=(\phi f)^{\ssbullet}\) (241I). Jika \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) merupakan operator ekspektasi bersyarat, maka \(\bar\phi(Pu)\le P(\bar\phi u)\) kapan pun \(u\in L^1(\mu)\) sedemikian sehingga \(\bar\phi(u)\in L^1(\mu)\).

242L Proposisi

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) operator ekspektasi bersyarat yang bersesuaian. Jika \(u\in L^1=L^1(\mu)\) dan \(v\in L^0(\mu\restrp\Tau)\), maka \(u\times v\in L^1\) jika dan hanya jika \(P|u|\times v\in L^1\), dan dalam hal ini \(P(u\times v)=Pu\times v\); khususnya, \(\int u\times v=\int Pu\times v\).

242M \(L^1\) sebagai kelengkapan:

Dalam pendahuluan bagian ini saya menyebutkan bahwa \(L^1\) muncul dalam analisis fungsional sebagai kelengkapan beberapa ruang penting; dengan kata lain, beberapa subruang padat dari \(L^1\) memiliki arti penting. Yang pertama bersifat elementer.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan tuliskan \(\eusm S\) untuk ruang fungsi-fungsi sederhana terhadap \(\mu\) pada \(X\). Maka

(a) kapan pun \(f\) suatu fungsi bernilai riil yang terintegralkan terhadap \(\mu\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(h\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f-h|\le\epsilon\);

(b) \(S=\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm S\}\) merupakan subruang linear padat dari \(L^1=L^1(\mu)\).

Bukti

(a)(i) Jika \(f\) nonnegatif, terdapat fungsi sederhana \(h\) sedemikian sehingga \(h\leae f\) dan \(\int h\ge\int f-\bover12\epsilon\) (122K), dan dalam hal ini

\(\int|f-h|=\int f-h =\int f-\int h\le\Bover12\epsilon\).

(ii) Dalam kasus umum, \(f\) dapat dinyatakan sebagai selisih \(f_1-f_2\) dari fungsi-fungsi terintegralkan nonnegatif. Kini terdapat \(h_1\), \(h_2\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f_j-h_j|\le\bover12\epsilon\) untuk kedua nilai \(j\), dan

\(\int|f-h|\le\int|f_1-h_1|+\int|f_2-h_2|\le\epsilon\).

(b) Karena \(\eusm S\) merupakan subruang linear dari \(\Bbb R^X\) yang termuat dalam \(\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\), \(S\) merupakan subruang linear dari \(L^1\). Jika \(u\in L^1\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(f\in\eusm L^1\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(h\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f-h|\le\epsilon\); kini \(v=h^{\ssbullet}\in S\) dan

\(\|u-v\|_1=\int|f-h|\le\epsilon\).

Karena \(u\) dan \(\epsilon\) sebarang, \(S\) padat dalam \(L^1\).

242N

Seperti biasa, ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) dan subhimpunan-subhimpunannya sejauh ini merupakan contoh terpenting; dalam kasus ini kita mempunyai kelas-kelas lain dari subruang padat \(L^1\). Jika Anda telah sampai di titik ini tanpa berusaha menguasai ukuran Lebesgue multidimensi, ambil saja \(r=1\). Jika Anda kurang nyaman dengan ukuran subruang umum, ambil \(X\) sebagai \(\BbbR^r\) atau \([0,1]\subseteq\Bbb R\) atau subhimpunan tertentu lain yang Anda anggap menarik. Istilah berikut akan berguna.

Definisi Jika \(f\) suatu fungsi bernilai riil atau kompleks yang didefinisikan pada subhimpunan \(\BbbR^r\), katakan bahwa dukungan \(f\) adalah \(\overline{\{x:x\in\dom f,\,f(x)\ne 0\}}\).

242O Teorema

Misalkan \(X\) sebarang subhimpunan \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), dan misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(X\), yakni ukuran subruang pada \(X\) yang diimbaskan oleh ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Tuliskan \(C_k\) untuk ruang fungsi kontinu terbatas \(f:\BbbR^r\to\Bbb R\) yang mempunyai dukungan terbatas, dan \(S_0\) untuk ruang kombinasi linear fungsi-fungsi berbentuk \(\chi I\), dengan \(I\subseteq\BbbR^r\) suatu interval setengah terbuka terbatas. Maka

(a) kapan pun \(f\in\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(g\in C_k\), \(h\in S_0\) sedemikian sehingga \(\int_X|f-g|\le\epsilon\) dan \(\int_X|f-h|\le\epsilon\);

(b) \(\{(g\restr X)^{\ssbullet}:g\in C_k\}\) dan \(\{(h\restr X)^{\ssbullet}:h\in S_0\}\) merupakan subruang-subruang linear padat dari \(L^1=L^1(\mu)\).

Catatan Tentu saja kata ‘terbatas’ dalam deskripsi \(C_k\) bersifat berlebih; lihat 242Xh.

Bukti

(a) Saya menunjukkan secara berturut-turut bahwa hasil ini berlaku bagi makin banyak anggota \(f\) dari \(\eusm L^1=\eusm L^1(\mu)\). Tuliskan \(\mu_r\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\), sehingga \(\mu\) merupakan ukuran subruang \((\mu_r)_X\).

(i) Andaikan terlebih dahulu bahwa \(f=\chi I\restr X\) dengan \(I\subseteq\BbbR^r\) suatu interval setengah terbuka terbatas. Tentu saja \(\chi I\) sudah termasuk dalam \(S_0\), sehingga saya hanya perlu menunjukkan bahwa fungsi itu dapat dihampiri oleh anggota-anggota \(C_k\). Jika \(I=\emptyset\), hasilnya sepele; kita dapat mengambil \(g=0\). Jika tidak, nyatakan \(I\) sebagai \(\coint{a-b,a+b}\), dengan \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\), \(b=(\beta_1,\ldots,\beta_r)\), dan \(\beta_j>0\) untuk setiap \(j\). Ambil \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(2^r\prod_{j=1}^r(\beta_j+\delta) \le\epsilon+2^r\prod_{j=1}^r\beta_j\).

Untuk \(\xi\in\Bbb R\), tetapkan

\[\begin{aligned}g_j(\xi) &=1\text{ jika }|\xi-\alpha_j|\le\beta_j,\\ &=(\beta_j+\delta-|\xi-\alpha_j|)/\delta \text{ jika }\beta_j\le|\xi-\alpha_j|\le\beta_j+\delta,\\ &=0\text{ jika }|\xi-\alpha_j|\ge\beta_j+\delta.\\\end{aligned}\]

Fungsi \(g_j\)

Untuk \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\), tetapkan

\(g(x)=\prod_{j=1}^rg_j(\xi_j)\).

Maka \(g\in C_k\) dan \(\chi I\le g\le\chi J\), dengan \(J=[a-b-\delta \tbf{1},a+b+\delta\tbf{1}]\) (dengan menuliskan \(\tbf{1}=(1,\ldots,1)\)), sehingga (berdasarkan pilihan \(\delta\)) \(\mu_rJ\le\mu_rI+\epsilon\), dan

\[\begin{aligned}\int_X|g-f| &\le\int(\chi(J\cap X)-\chi(I\cap X))d\mu =\mu((J\setminus I)\cap X)\\ &\le\mu_r(J\setminus I) =\mu_rJ-\mu_rI \le\epsilon,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

(ii) Kini andaikan \(f=\chi(X\cap E)\) dengan \(E\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan berukuran hingga. Maka terdapat keluarga terpisah \(I_0,\ldots,I_n\) dari interval-interval setengah terbuka sedemikian sehingga \(\mu_r(E\symmdiff\bigcup_{j\le n}I_j)\le\bover12\epsilon\). Bukti. Terdapat himpunan terbuka \(G\supseteq E\) sedemikian sehingga \(\mu_r(G\setminus E)\le\bover14\epsilon\) (134Fa). Untuk setiap \(m\in\Bbb N\), misalkan \(\Cal I_m\) keluarga interval setengah terbuka dalam \(\BbbR^r\) berbentuk \(\coint{a,b}\), dengan \(a=(2^{-m}k_1,\ldots,2^{-m}k_r)\), \(k_1,\ldots,k_r\) bilangan bulat, dan \(b=a+2^{-m}\tbf{1}\); maka \(\Cal I_m\) merupakan keluarga terpisah. Tetapkan \(H_m=\bigcup\{I:I\in\Cal I_m,\,I\subseteq G\}\); maka \(\sequence{m}{H_m}\) merupakan keluarga tak menurun dengan gabungan \(G\), sehingga terdapat \(m\) sedemikian sehingga \(\mu_r(G\setminus H_m)\le\bover14\epsilon\) dan \(\mu_r(E\symmdiff H_m)\le\bover12\epsilon\). Namun kini \(H_m\) dapat dinyatakan sebagai gabungan terpisah \(\bigcup_{j\le n}I_j\), dengan \(I_0,\ldots,I_n\) mencacah anggota-anggota \(\Cal I_m\) yang termuat dalam \(H_m\). (Kalimat terakhir gagal jika \(H_m\) kosong. Namun jika \(H_m=\emptyset\), kita dapat mengambil \(n=0\), \(I_0=\emptyset\).) ∎

Oleh karena itu, \(h=\sum_{j=0}^n\chi I_j\in S_0\) dan

\(\int_X|f-h| =\mu(X\cap(E\symmdiff\bigcup_{j\le n}I_j))\le\Bover12\epsilon\).

Untuk \(C_k\), butir (i) menyatakan bahwa untuk setiap \(j\le n\) terdapat \(g_j\in C_k\) sedemikian sehingga \(\int_X|g_j-\chi I_j|\le\epsilon/2(n+1)\), sehingga \(g=\sum_{j=0}^ng_j\in C_k\) dan

\(\int_X|f-g|\le\int_X|f-h|+\int_X|h-g| \le\Bover{\epsilon}2+\sum_{j=0}^n\int_X|g_j-\chi I_j|\le\epsilon\).

(iii) Jika \(f\) suatu fungsi sederhana, nyatakan \(f\) sebagai \(\sum_{k=0}^na_k\chi E_k\), dengan setiap \(E_k\) berukuran hingga terhadap \(\mu\). Setiap \(E_k\) dapat dinyatakan sebagai \(X\cap F_k\), dengan \(\mu_rF_k=\mu E_k\) (214Ca). Menurut (ii), kita dapat menemukan \(g_k\in C_k\), \(h_k\in S_0\) sedemikian sehingga

\(|a_k|\int_X|g_k-\chi F_k|\le\Bover{\epsilon}{n+1}\), \(|a_k|\int_X|h_k-\chi F_k|\le\Bover{\epsilon}{n+1}\)

untuk setiap \(k\). Tetapkan \(g=\sum_{k=0}^na_kg_k\) dan \(h=\sum_{k=0}^na_kh_k\); maka \(g\in C_k\), \(h\in S_0\), dan

\(\int_X|f-g|\le\int_X\sum_{k=0}^n|a_k||\chi F_k-g_k| =\sum_{k=0}^n|a_k|\int_X|\chi F_k-g_k|\le\epsilon\),

\(\int_X|f-h| \le\sum_{k=0}^n|a_k|\int_X|\chi F_k-h_k|\le\epsilon\),

sebagaimana diperlukan.

(iv) Jika \(f\) sebarang fungsi terintegralkan pada \(X\), maka menurut 242Ma kita dapat menemukan fungsi sederhana \(f_0\) sedemikian sehingga \(\int|f-f_0|\le\bover12\epsilon\), dan menurut (iii) terdapat \(g\in C_k\), \(h\in S_0\) sedemikian sehingga \(\int_X|f_0-g|\le\bover12\epsilon\), \(\int_X|f_0-h|\le\bover12\epsilon\); sehingga

\(\int_X|f-g| \le\int_X|f-f_0|+\int_X|f_0-g|\le\epsilon\),

\(\int_X|f-h| \le\int_X|f-f_0|+\int_X|f_0-h|\le\epsilon\).

(b)(i) Pertama-tama kita harus memeriksa bahwa jika \(g\in C_k\), maka \(g\restr X\) memang terintegralkan terhadap \(\mu\). Pokoknya di sini adalah bahwa jika \(g\in C_k\) dan \(a\in\Bbb R\), maka

\(\{x:x\in X,\,g(x)>a\}\)

merupakan irisan \(X\) dengan suatu subhimpunan terbuka dari \(\BbbR^r\), dan karenanya terukur oleh \(\mu\), sebab semua himpunan terbuka terukur oleh \(\mu_r\) (115G). Selanjutnya, \(g\) terbatas dan himpunan \(E=\{x:x\in X,\,g(x)\ne 0\}\) terbatas dalam \(\BbbR^r\), sehingga berukuran luar hingga terhadap \(\mu_r\) dan berukuran hingga terhadap \(\mu\). Jadi, terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|g|\le M\chi E\), yang terintegralkan terhadap \(\mu\). Oleh karena itu, \(g\) terintegralkan terhadap \(\mu\).

Tentu saja \(h\restr X\) terintegralkan terhadap \(\mu\) untuk setiap \(h\in S_0\), karena (berdasarkan definisi ukuran subruang) \(\mu(I\cap X)\) terdefinisi dan berhingga untuk setiap interval setengah terbuka terbatas \(I\).

(ii) Kini sisanya mengikuti dengan argumen yang persis sama seperti dalam 242Mb. Karena \(\{g\restr X:g\in C_k\}\) dan \(\{h\restr X:h\in S_0\}\) merupakan subruang-subruang linear dari \(\Bbb R^X\) yang termuat dalam \(\eusm L^1(\mu)\), citra-citranya \(C_k^{\#}\) dan \(S_0^{\#}\) merupakan subruang-subruang linear dari \(L^1\). Jika \(u\in L^1\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(f\in\eusm L^1\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\), serta \(g\in C_k\), \(h\in S_0\) sedemikian sehingga \(\int_X|f-g|\), \(\int_X|f-h|\le\epsilon\); kini \(v=(g\restr X)^{\ssbullet}\in C_k^{\#}\) dan \(w=(h\restr X)^{\ssbullet}\in S_0^{\#}\), dan

\(\|u-v\|_1=\int_X|f-g|\le\epsilon\), \(\|u-w\|_1=\int_X|f-h|\le\epsilon\).

Karena \(u\) dan \(\epsilon\) sebarang, \(C_k^{\#}\) dan \(S_0^{\#}\) padat dalam \(L^1\).

242P \(L^1\) kompleks

Sebagaimana, saya harap, Anda duga, kita dapat mengulangi pekerjaan di atas dengan \(\eusm L^1_{\Bbb C}\), ruang fungsi-fungsi terintegralkan bernilai kompleks, sebagai pengganti \(\eusm L^1\), untuk membangun ruang Banach kompleks \(L^1_{\Bbb C}\). Perubahan yang diperlukan, yang didasarkan pada gagasan-gagasan 241J, hanya kecil.

(a) Untuk \(f\in\eusm L^0_{\Bbb C}\),

\(f\in\eusm L^1_{\Bbb C}\iff |f|\in\eusm L^1\iff \Real(f),\,\Imag(f)\in\eusm L^1\).

Akibatnya, untuk \(u\in L^0_{\Bbb C}\),

\(u\in L^1_{\Bbb C}\iff |u|\in L^1\iff \Real(u),\,\Imag(u)\in L^1\).

242Pb (b)

Untuk membuktikan versi kompleks dari 242E, perhatikan bahwa jika \(\sequencen{f_n}\) suatu barisan dalam \(\eusm L^1_{\Bbb C}\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|f_n|<\infty\), maka \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|\Real(f_n)|\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\int|\Imag(f_n)|\) keduanya berhingga, sehingga kita dapat menerapkan 242E dua kali dan melihat bahwa

\(\int(\sum_{n=0}^{\infty}f_n) =\int(\sum_{n=0}^{\infty}\Real(f_n)) +i\int(\sum_{n=0}^{\infty}\Imag(f_n)) =\sum_{n=0}^{\infty}\int f_n\).

Oleh karena itu, dengan argumen 242F kita dapat membuktikan bahwa \(L^1_{\Bbb C}\) lengkap terhadap \(\|\,\|_1\) .

242Pc (c)

Demikian pula, hanya sedikit perubahan diperlukan untuk menyesuaikan 242J agar memberikan deskripsi operator ekspektasi bersyarat \(P:L^1_{\Bbb C}(\mu)\to L^1_{\Bbb C}(\mu\restrp\Tau)\) ketika \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Dalam rumus

\(|Pu|\le P|u|\)

dari 242Je, kita perlu mengetahui bahwa

\(|Pu|=\sup_{|\zeta|=1}\Real(\zeta Pu)\)

dalam \(L^0(\mu\restrp\Tau)\) (241Jc), sedangkan

\(\Real(\zeta Pu)=\Real(P(\zeta u)) =P(\Real(\zeta u))\le P|u|\)

kapan pun \(|\zeta|=1\).

242Pd (d)

Dalam 242M, kita perlu mengganti \(\eusm S\) dengan \(\eusm S_{\Bbb C}\), yaitu ruang ‘fungsi sederhana bernilai kompleks’ berbentuk \(\sum_{k=0}^na_k\chi E_k\), dengan setiap \(a_k\) bilangan kompleks dan setiap \(E_k\) himpunan terukur berukuran hingga; kemudian kita memperoleh subruang linear padat \(S_{\Bbb C}=\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm S_{\Bbb C}\}\) dari \(L^1_{\Bbb C}\). Dalam 242O, kita harus mengganti \(C_k\) dengan \(C_k(\BbbR^r;\Bbb C)\), yaitu ruang fungsi kontinu terbatas bernilai kompleks yang mempunyai dukungan terbatas, dan \(S_0\) dengan rentang linear atas \(\Bbb C\) dari \(\{\chi I:I\) suatu interval setengah terbuka terbatas\(\}\).

Latihan

242X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan misalkan \(\mu\) ukuran cacah pada \(X\). Tunjukkan bahwa \(L^1(\mu)\) dapat diidentifikasi dengan ruang \(\ell^1(X)\) dari fungsi-fungsi bernilai riil pada \(X\) yang dapat dijumlahkan secara mutlak (lihat 226A). Khususnya, ruang \(\ell^1=\ell^1(\Bbb N)\) dari barisan bernilai riil yang dapat dijumlahkan secara mutlak merupakan suatu ruang \(L^1\). Tuliskan bukti 242F yang disesuaikan dengan kasus-kasus khusus ini.

242Xb (>b) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur, dan \(\hat\mu\) kelengkapan dari \(\mu\). Tunjukkan bahwa \(\eusm L^1(\hat\mu)=\eusm L^1(\mu)\) dan \(L^1(\hat\mu)=L^1(\mu)\) (bandingkan 241Xb).

242Xc (c)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang ukur, dan \((X,\Sigma,\mu)\) jumlah langsungnya. Tunjukkan bahwa isomorfisme antara \(L^0(\mu)\) dan \(\prod_{i\in I}L^0(\mu_i)\) (241Xd) mengimbaskan suatu identifikasi antara \(L^1(\mu)\) dan

\(\{u:u\in\prod_{i\in I}L^1(\mu_i),\, \|u\|=\sum_{i\in I}\|u(i)\|_1<\infty\} \subseteq\prod_{i\in I}L^1(\mu_i)\).

242Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\phi:X\to Y\) suatu pelestari ukuran melalui prapeta fungsi. Tunjukkan bahwa \(g\mapsto g\phi:\eusm L^1(\nu)\to\eusm L^1(\mu)\) (235G) mengimbaskan operator linear \(T:L^1(\nu)\to L^1(\mu)\) sedemikian sehingga \(\|Tv\|_1=\|v\|_1\) untuk setiap \(v\in L^1(\nu)\).

242Xe (e)

Misalkan \(U\) suatu ruang Riesz (definisi: 241Ed). Suatu norma Riesz pada \(U\) adalah norma \(\|\,\|\) sedemikian sehingga \(\|u\|\le\|v\|\) kapan pun \(|u|\le|v|\). Tunjukkan bahwa jika \(U\) diberi topologi normanya (2A4Bb) untuk norma semacam itu, maka (i) \(u\mapsto|u|:U\to U\), \((u,v)\mapsto u\vee v:U\times U\to U\) kontinu (ii) \(\{u:u\ge 0\}\) tertutup.

242Xf (f)

Tunjukkan bahwa setiap kisi Banach harus merupakan ruang Riesz Archimedes (241Fa).

242Xg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), dan \(\Upsilon\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Tau\). Misalkan \(P_1:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\), \(P_2:L^1(\mu\restrp\Tau)\to L^1(\mu\restrp\Upsilon)\), dan \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Upsilon)\) operator-operator ekspektasi bersyarat yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa \(P=P_2P_1\).

242Xh (h)

Tunjukkan bahwa jika \(g:\BbbR^r\to\Bbb R\) kontinu dan mempunyai dukungan terbatas, maka fungsi itu terbatas dan mencapai batas-batasnya. Petunjuk: 2A2F-2A2G.

242Xi (i)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). (i) Ambil \(\delta>0\). Tunjukkan bahwa jika \(\phi_{\delta}(x)=\exp(-\Bover{1}{\delta^2-x^2})\) untuk \(|x|<\delta\), dan \(0\) untuk \(|x|\ge\delta\), maka \(\phi_{\delta}\) mulus, yakni dapat didiferensialkan sebanyak kali yang diinginkan. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(F_{\delta}(x)=\int_{-\infty}^x\phi_{\delta}d\mu\) untuk \(x\in\Bbb R\), maka \(F_{\delta}\) mulus. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(a<b<c<d\) dalam \(\Bbb R\), terdapat fungsi mulus \(h\) sedemikian sehingga \(\chi[b,c]\le h\le\chi[a,d]\). (iv) Tuliskan \(\eusm D\) untuk ruang fungsi-fungsi mulus \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\{x:h(x)\ne 0\}\) terbatas. Tunjukkan bahwa \(\{h^{\ssbullet}:h\in\eusm D\}\) padat dalam \(L^1(\mu)\). (v) Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai riil yang terintegralkan pada setiap subhimpunan terbatas dari \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(f\times h\) terintegralkan untuk setiap \(h\in\eusm D\), dan bahwa jika \(\int f\times h=0\) untuk setiap \(h\in\eusm D\), maka \(f=0\) hampir di mana-mana. Petunjuk: 222D.

242Xj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\), dan \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\subseteq L^1(\mu)\) operator ekspektasi bersyarat yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa jika \(u\), \(v\in L^1(\mu)\) sedemikian sehingga \(P|u|\times P|v|\in L^1(\mu)\), maka \(\int Pu\times v=\int Pu\times Pv=\int u\times Pv\).

242Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Misalkan \(A\subseteq L^1=L^1(\mu)\) suatu himpunan tak kosong yang terarah ke bawah, dan andaikan bahwa \(\inf A=0\) dalam \(L^1\). (i) Tunjukkan bahwa \(\inf_{u\in A}\|u\|_1=0\). Petunjuk: tetapkan \(\gamma=\inf_{u\in A}\|u\|_1\); temukan suatu barisan tak menaik \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\|u_n\|_1=\gamma\); tetapkan \(v=\inf_{n\in\Bbb N}u_n\) dan tunjukkan bahwa \(u\wedge v=v\) untuk setiap \(u\in A\), sehingga \(v=0\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(U\) sebarang himpunan terbuka yang memuat \(0\), terdapat \(u\in A\) sedemikian sehingga \(v\in U\) kapan pun \(0\le v\le u\).

242Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(Y\) sebarang subhimpunan dari \(X\); misalkan \(\mu_Y\) ukuran subruang pada \(Y\) dan \(T:L^0(\mu)\to L^0(\mu_Y)\) peta kanonik yang dideskripsikan dalam 241Yg. (i) Tunjukkan bahwa \(Tu\in L^1(\mu_Y)\) dan \(\|Tu\|_1\le\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(u\in L^1(\mu)\), maka \(\|Tu\|_1=\|u\|_1\) jika dan hanya jika \(\int_Eu=\int_{Y\cap E}Tu\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). (iii) Tunjukkan bahwa \(T\) surjektif dan bahwa \(\|v\|_1=\min\{\|u\|_1:u\in L^1(\mu),\,Tu=v\}\) untuk setiap \(v\in L^1(\mu_Y)\). Petunjuk: 214Eb. (Lihat juga 244Yd di bawah.)

242Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Tuliskan \(\eusm L^1_{\Sigma}\) untuk ruang semua fungsi \(\Sigma\)-terukur yang terintegralkan dari \(X\) ke \(\Bbb R\), dan \(\eusm N\) untuk subruang dari \(\eusm L^1_{\Sigma}\) yang terdiri atas fungsi-fungsi terukur yang bernilai nol hampir di mana-mana. (i) Tunjukkan bahwa \(\eusm L^1_{\Sigma}\) merupakan ruang Riesz lengkap-\(\sigma\) Dedekind. (ii) Tunjukkan bahwa \(L^1(\mu)\) dapat diidentifikasi, sebagai ruang linear terurut, dengan hasil bagi \(\eusm L^1_{\Sigma}/\eusm N\) sebagaimana didefinisikan dalam 241Yb. (iii) Tunjukkan bahwa \(\|\,\|_1\) merupakan seminorma pada \(\eusm L^1_{\Sigma}\). (iv) Tunjukkan bahwa \(f\mapsto|f|:\eusm L^1_{\Sigma}\to\eusm L^1_{\Sigma}\) kontinu jika \(\eusm L^1_{\Sigma}\) diberi topologi yang didefinisikan dari \(\|\,\|_1\). (v) Tunjukkan bahwa \(\{f:f=0\) hampir di mana-mana\(\}\) tertutup dalam \(\eusm L^1_{\Sigma}\), tetapi \(\{f:f\ge 0\}\) belum tentu tertutup.

242Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(\tilde\mu\) versi c.l.d. dari \(\mu\) (213E). Tunjukkan bahwa inklusi \(\eusm L^1(\mu)\subseteq\eusm L^1(\tilde\mu)\) mengimbaskan suatu isomorfisme, sebagai ruang linear bernorma terurut, antara \(L^1(\tilde\mu)\) dan \(L^1(\mu)\).

242Ye (e)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(u_0,\ldots,u_n\in L^1(\mu)\). (i) Andaikan \(k_0,\ldots,k_n\in\Bbb Z\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^nk_i=1\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nk_ik_j\|u_i-u_j\|_1\le 0\). Petunjuk: \(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n k_ik_j|\alpha_i-\alpha_j|\le 0\) untuk semua \(\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in\Bbb R\). (ii) Andaikan \(\gamma_0,\ldots,\gamma_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^n\gamma_i=0\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\gamma_i\gamma_j\|u_i-u_j\|_1\le 0\).

242Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur, dan \(A\subseteq L^1=L^1(\mu)\) suatu himpunan tak kosong yang terarah ke atas. Andaikan bahwa \(A\) terbatas terhadap norma \(\|\,\|_1\). (i) Tunjukkan bahwa terdapat barisan tak menurun \(\sequencen{u_n}\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\int u_n=\sup_{u\in A}\int u\), dan bahwa \(\sequencen{u_n}\) merupakan barisan Cauchy. (ii) Tunjukkan bahwa \(w=\sup A\) terdefinisi dalam \(L^1\) dan termasuk dalam penutupan menurut norma dari \(A\) dalam \(L^1\), sehingga, khususnya, \(\|w\|_1\le\sup_{u\in A}\|u\|_1\).

242Yg (g)

Suatu norma Riesz (definisi: 242Xe) pada ruang Riesz \(U\) disebut kontinu menurut urutan jika \(\inf_{u\in A}\|u\|=0\) kapan pun \(A\subseteq U\) suatu himpunan tak kosong yang terarah ke bawah dengan infimum \(0\). (Jadi 242Ya menyatakan bahwa semua norma \(\|\,\|_1\) kontinu menurut urutan.) Tunjukkan bahwa dalam hal ini (i) setiap barisan tak menurun dalam \(U\) yang mempunyai batas atas dalam \(U\) harus merupakan barisan Cauchy (ii) jika \(U\) suatu kisi Banach, maka \(U\) lengkap Dedekind. (Petunjuk untuk (i)\/: jika \(\sequencen{u_n}\) suatu barisan tak menurun dengan batas atas dalam \(U\), misalkan \(B\) himpunan batas atas dari \(\{u_n:n\in\Bbb N\}\) dan tunjukkan bahwa \(A=\{v-u_n:v\in B,\,n\in\Bbb N\}\) mempunyai infimum \(0\) karena \(U\) bersifat Archimedes.)

242Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur. Tunjukkan bahwa \(L^1(\mu)\) mempunyai sifat supremum terhitung (241Ye).

242Yi (i)

Secara lebih umum, tunjukkan bahwa setiap ruang Riesz dengan norma Riesz yang kontinu menurut urutan mempunyai sifat supremum terhitung.

242Yj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur dan \(U\subseteq L^0(\mu)\) suatu subruang linear. Misalkan \(T:U\to L^0(\nu)\) suatu operator linear sedemikian sehingga \(Tu\ge 0\) dalam \(L^0(\nu)\) kapan pun \(u\in U\) dan \(u\ge 0\) dalam \(L^0(\mu)\). Andaikan \(w\in U\) sedemikian sehingga \(w\ge 0\) dan \(Tw=(\chi Y)^{\ssbullet}\). Tunjukkan bahwa kapan pun \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) suatu fungsi cembung dan \(u\in L^0(\mu)\) sedemikian sehingga \(w\times u\) dan \(w\times\bar\phi(u)\in U\), dengan mendefinisikan \(\bar\phi:L^0(\mu)\to L^0(\mu)\) seperti dalam 241I, maka \(\bar\phi T(w\times u)\le T(w\times\bar\phi u)\). Jelaskan bagaimana hasil ini dapat dipandang sebagai perumuman bersama ketaksamaan Jensen, sebagaimana dinyatakan dalam 233I, dan 242K di atas. Lihat juga 244M di bawah.

242Yk (k)

(i) Suatu fungsi \(\phi:\Bbb C\to\Bbb R\) disebut cembung jika \(\phi(ab+(1-a)c)\le a\phi(b)+(1-a)\phi(c)\) untuk semua \(b\), \(c\in\Bbb C\) dan \(a\in [0,1]\). (ii) Tunjukkan bahwa fungsi semacam itu harus terbatas pada setiap subhimpunan terbatas dari \(\Bbb C\). (iii) Jika \(\phi:\Bbb C\to\Bbb R\) cembung dan \(c\in\Bbb C\), tunjukkan bahwa terdapat \(b\in\Bbb C\) sedemikian sehingga \(\phi(x)\ge\phi(c)+\Real(b(x-c))\) untuk setiap \(x\in\Bbb C\). (iv) Jika \(\langle b_c\rangle_{c\in\Bbb C}\) sedemikian sehingga \(\phi(x)\ge\phi_c(x)=\phi(c)+\Real(b_c(x-c))\) untuk semua \(x\), \(c\in\Bbb C\), tunjukkan bahwa \(\{b_c:c\in I\}\) terbatas untuk setiap \(I\subseteq\Bbb C\) terbatas. (v) Tunjukkan bahwa jika \(D\subseteq\Bbb C\) sebarang himpunan padat, maka \(\phi(x)=\sup_{c\in D}\phi_c(x)\) untuk setiap \(x\in\Bbb C\).

242Yl (l)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\Tau\) suatu subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Sigma\). Misalkan \(P:L^1_{\Bbb C}(\mu)\to L^1_{\Bbb C}(\mu\restrp\Tau)\) operator ekspektasi bersyarat. Tunjukkan bahwa jika \(\phi:\Bbb C\to\Bbb R\) sebarang fungsi cembung, dan kita mendefinisikan \(\bar\phi(f^{\ssbullet})=(\phi f)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu)\), maka \(\bar\phi(Pu)\le P(\bar\phi(u))\) kapan pun \(u\in L^1_{\Bbb C}(\mu)\) sedemikian sehingga \(\bar\phi(u)\in L^1(\mu)\).

Catatan dan komentar

242-notes Catatan penutup untuk Bagian 242

Tentu saja ruang-ruang \(L^1\) membentuk salah satu kelas ruang Riesz terpenting, dan oleh karena itu sifat-sifatnya menempati kedudukan utama dalam teori umum; 242Xe, 242Xf, 242Ya, dan 242Yf-242Yi menguraikan beberapa keterkaitan di antara sifat-sifat ini. Saya akan kembali ke pertanyaan-pertanyaan tersebut dalam Bab 35 di jilid berikutnya. Secara sepintas saya telah menyebutkan (242Dd) aditivitas norma \(L^1\) pada unsur-unsur positif. Fakta elementer ini sesungguhnya mencirikan ruang-ruang \(L^1\) di antara kisi-kisi Banach; lihat 369E di jilid berikutnya.

Sebagaimana \(L^0(\mu)\) dapat dipandang sebagai hasil bagi suatu ruang linear \(\eusm L^0_{\Sigma}\), demikian pula \(L^1(\mu)\) dapat dipandang sebagai hasil bagi suatu ruang linear \(\eusm L^1_{\Sigma}\) (242Yc). Saya telah membahas pertanyaan ini dalam catatan untuk §241; yang saya upayakan di sini hanyalah bersikap konsisten.

Kini kita mempunyai bahasa yang memungkinkan kita membicarakan ekspektasi bersyarat ‘dari’ suatu fungsi \(f\), yaitu kelas ekuivalensi dalam \(L^1(\mu\restrp\Tau)\) yang terdiri tepat atas semua ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Tau\). Jika kita memandang \(L^1(\mu\restrp\Tau)\) sebagai ruang yang diidentifikasi dengan citranya dalam \(L^1(\mu)\), maka operator ekspektasi bersyarat \(P:L^1(\mu)\to L^1(\mu\restrp\Tau)\) menjadi suatu proyeksi (242Jh). Dengan demikian, kita mempunyai pernyataan ulang 233J-233K, seperti dalam 242K, 242L, dan 242Yj.

Saya memberikan 242O dalam bentuk yang cukup umum; tetapi arti pentingnya sudah tampak jika kita mengambil \(X\) sebagai \([0,1]\) dengan ukuran Lebesgue satu dimensi. Dalam kasus ini, kita mempunyai norma alami pada \(C([0,1])\), yaitu ruang semua fungsi kontinu bernilai riil pada \([0,1]\), yang diberikan dengan menetapkan

\(\|f\|_1=\int_0^1|f(x)|dx\)

untuk setiap \(f\in C([0,1])\). Integral di sini tentu saja dapat diambil sebagai integral Riemann; kita tidak memerlukan teori Lebesgue untuk menunjukkan bahwa \(\|\,\|_1\) merupakan norma pada \(C([0,1])\). Mudah diperiksa bahwa \(C([0,1])\) tidak lengkap terhadap norma ini (jika kita menetapkan \(f_n(x)=\min(1,2^nx^n)\) untuk \(x\in[0,1]\), maka \(\sequencen{f_n}\) merupakan barisan Cauchy terhadap \(\|\,\|_1\) yang tidak mempunyai limit terhadap \(\|\,\|_1\) dalam \(C([0,1])\)). Kita dapat menggunakan teori abstrak ruang bernorma untuk membangun kelengkapan \(C([0,1])\); tetapi jauh lebih memuaskan jika kelengkapan ini dapat diberi bentuk yang relatif konkret, dan inilah yang dapat dilakukan oleh identifikasi \(L^1\) dengan kelengkapan \(C([0,1])\). (Perhatikan bahwa pernyataan bahwa \(\|\,\|_1\) merupakan norma pada \(C([0,1])\), yakni bahwa \(\|f\|_1\ne 0\) untuk setiap \(f\in C([0,1])\) yang tak nol, berarti tepat bahwa peta \(f\mapsto f^{\ssbullet}:C([0,1])\to L^1\) bersifat injektif, sehingga \(C([0,1])\) dapat diidentifikasi, sebagai ruang bernorma terurut, dengan citranya dalam \(L^1\).) Akan lebih baik lagi jika kita dapat menemukan suatu realisasi kelengkapan \(C([0,1])\) sebagai ruang fungsi pada suatu himpunan \(Z\), alih-alih sebagai ruang kelas ekuivalensi fungsi pada \([0,1]\). Sayangnya hal ini tidak praktis; realisasi semacam itu memang ada, tetapi harus melibatkan entah suatu himpunan dasar \(Z\) yang sama sekali tidak familier, atau suatu peta pembenaman dari \(C([0,1])\) ke \(\BbbR^Z\) yang terlampau sewenang-wenang.

Anda dapat memperoleh gambaran tentang rintangan dalam merealisasikan kelengkapan \(C([0,1])\) sebagai ruang fungsi pada \([0,1]\) itu sendiri dengan meninjau \(f_n(x)=\bover1nx^n\) untuk \(n\ge 1\). Perhitungan mudah menunjukkan bahwa \(\sum_{n=1}^{\infty}\|f_n\|_1<\infty\), sehingga \(\sum_{n=1}^{\infty}f_n\) harus ada dalam kelengkapan \(C([0,1])\); tetapi tidak ada nilai alami yang dapat diberikan kepadanya pada titik \(1\). Penyesuaian gagasan ini dapat menimbulkan gejala yang rumit tanpa batas – bahkan, 242O menunjukkan bahwa setiap fungsi terintegralkan berhubungan dengan suatu barisan yang sesuai dari \(C([0,1])\). Dalam §245 saya akan membahas lebih lanjut seperti apa barisan yang konvergen terhadap \(\|\,\|_1\).

Dari sudut pandang teori ukuran yang dipahami secara sempit, sebagian besar gagasan menarik tampak paling jelas dengan fungsi riil dan ruang linear riil. Namun, beberapa penerapan terpenting teori ukuran – penting bukan hanya bagi matematika secara umum, tetapi juga bagi pertanyaan teori-ukur yang diilhaminya – berkenaan dengan fungsi kompleks dan ruang linear kompleks. Oleh karena itu, saya terus menawarkan ikhtisar teori kompleks, seperti dalam 242P. Saya mencatat bahwa pada selang yang tidak teratur kita memerlukan gagasan-gagasan yang belum dijabarkan dalam teori riil, seperti dalam 242Pb dan 242Yl.