Ruang topologis linear — Fondasi Teori Ukuran

Tujuan utama §2A3 sesungguhnya adalah mengkaji topologi-topologi tertentu pada ruang-ruang linear dalam Bab 24. Di sini saya memberikan beberapa bagian dari teori umumnya.

2A5A Topologi ruang linear

Salah satu hal yang tidak dibahas secara terperinci dalam setiap pengantar analisis fungsional adalah konsep umum ruang topologis linear. Gagasan-gagasan yang diperlukan untuk pembahasan §245 dapat dinyatakan dengan cukup ringkas.

Definisi Sebuah ruang topologis linear atau ruang vektor topologis atas \(\RoverC\) adalah ruang linear \(U\) atas \(\RoverC\) yang dilengkapi dengan topologi \(\frak T\) sedemikian sehingga kedua peta

\((u,v)\mapsto u+v:U\times U\to U\),

\((\alpha,u)\mapsto \alpha u:\RoverC\times U\to U\)

kontinu, dengan ruang produk \(U\times U\) dan \(\RoverC\times U\) diberi topologi produknya (2A3T). Diberikan ruang linear \(U\), sebuah topologi pada \(U\) yang memenuhi syarat-syarat di atas disebut topologi ruang linear. Perhatikan bahwa

\((u,v)\mapsto u-v=u+(-1)v:U\times U\to U\)

juga akan kontinu.

2A5B

Semua ruang topologis linear yang kita perlukan ternyata dapat disajikan dengan mudah melalui rumusan berikut.

Proposisi Misalkan \(U\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\), dan \(\Tau\) adalah keluarga fungsional \(\tau:U\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga

(i) \(\tau(u+v)\le\tau(u)+\tau(v)\) untuk semua \(u\), \(v\in U\), \(\tau\in\Tau\);

(ii) \(\tau(\alpha u)\le\tau(u)\) jika \(u\in U\), \(|\alpha|\le 1\), \(\tau\in\Tau\);

(iii) \(\lim_{\alpha\to 0}\tau(\alpha u)=0\) untuk setiap \(u\in U\), \(\tau\in \Tau\).

Untuk \(\tau\in\Tau\), definisikan \(\rho_{\tau}:U\times U\to\coint{0,\infty}\) dengan menetapkan \(\rho_{\tau}(u,v)=\tau(u-v)\) untuk semua \(u\), \(v\in U\). Maka setiap \(\rho_{\tau}\) adalah pseudometrik pada \(U\), dan topologi yang didefinisikan oleh \(\Rho=\{\rho_{\tau}:\tau\in\Tau\}\) menjadikan \(U\) ruang topologis linear.

Bukti

(a) Patut segera dicatat bahwa

\(\tau(0)=\lim_{\alpha\to 0}\tau(\alpha 0)=0\)

untuk setiap \(\tau\in\Tau\).

(b) Untuk melihat bahwa setiap \(\rho_{\tau}\) adalah pseudometrik, gunakan argumen berikut.

(i) \(\rho_{\tau}\) mengambil nilai dalam \(\coint{0,\infty}\) karena \(\tau\) juga demikian.

(ii) Jika \(u\), \(v\), \(w\in U\), maka

\[\begin{aligned}\rho_{\tau}(u,w) &=\tau(u-w) =\tau((u-v)+(v-w))\\ &\le\tau(u-v)+\tau(v-w) =\rho_{\tau}(u,v)+\rho_{\tau}(v,w).\\\end{aligned}\]

(iii) Jika \(u\), \(v\in U\), maka

\(\rho_{\tau}(v,u)=\tau(v-u) =\tau(-1(u-v))\le\tau(u-v)=\rho_{\tau}(u,v)\),

dan secara serupa \(\rho_{\tau}(u,v)\le\rho_{\tau}(v,u)\), sehingga keduanya sama.

(iv) Jika \(u\in U\), maka \(\rho_{\tau}(u,u)=\tau(0)=0\).

(c) Misalkan \(\frak T\) adalah topologi pada \(U\) yang didefinisikan oleh \(\{\rho_{\tau}:\tau\in\Tau\}\) (2A3F).

(i) Penjumlahan kontinu karena, diberikan \(\tau\in\Tau\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\rho_{\tau}(u'+v',u+v) &=\tau((u'+v')-(u+v))\\ &\le\tau(u'-u)+\tau(v'-v) \le\rho_{\tau}(u',u)+\rho_{\tau}(v',v)\\\end{aligned}\]

untuk semua \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\in U\). Ini berarti bahwa, diberikan \(\epsilon>0\) dan \((u,v)\in U\times U\), kita akan mempunyai

\(\rho_{\tau}(u'+v',u+v)\le\epsilon\) apabila \((u',v')\in U((u,v);\tilde\rho_{\tau},\bar\rho_{\tau};\Bover{\epsilon}2)\),

dengan menggunakan bahasa 2A3Tb. Karena \(\tilde\rho_{\tau}\), \(\bar\rho_{\tau}\) adalah dua dari pseudometrik yang mendefinisikan topologi produk \(U\times U\) (2A3Tb), maka \((u,v)\mapsto u+v\) kontinu menurut kriteria 2A3H.

(ii) Perkalian skalar kontinu karena jika \(u\in U\) dan \(n\in\Bbb N\), maka \(\tau(nu)\le n\tau(u)\) untuk setiap \(\tau\in\Tau\) (gunakan induksi pada \(n\)). Akibatnya, jika \(\tau\in\Tau\),

\(\tau(\alpha u)\le n\tau(\Bover{\alpha}{n}u)\le n\tau(u)\)

apabila \(|\alpha|<n\in\Bbb N\) dan \(\tau\in\Tau\). Sekarang, diberikan \((\alpha,u)\in \RoverC\times U\) dan \(\epsilon>0\), ambil \(n>|\alpha|\) dan \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\delta\le\min(n-|\alpha|,\bover{\epsilon}{2n})\) dan \(\tau(\gamma u)\le\bover{\epsilon}2\) apabila \(|\gamma|\le\delta\); maka

\[\begin{aligned}\rho_{\tau}(\alpha'u',\alpha u) &=\tau(\alpha'u'-\alpha u) \le\tau(\alpha'(u'-u))+\tau((\alpha'-\alpha)u)\\ &\le n\tau(u'-u)+\tau((\alpha'-\alpha)u)\\\end{aligned}\]

apabila \(u'\in U\), \(\alpha'\in\RoverC\), dan \(|\alpha'|<n\in\Bbb N\). Karena itu, dengan menetapkan \(\theta(\alpha',\alpha)=|\alpha'-\alpha|\) untuk \(\alpha'\), \(\alpha\in\RoverC\),

\(\rho_{\tau}(\alpha'u',\alpha u) \le n\delta+\Bover{\epsilon}2\le\epsilon\)

apabila

\((\alpha',u')\in U((\alpha,u);\tilde\theta,\bar\rho_{\tau};\delta)\).

Karena \(\tilde\theta\) dan \(\bar\rho_{\tau}\) termasuk di antara pseudometrik yang mendefinisikan topologi \(\RoverC\times U\), peta \((\alpha,u)\mapsto\alpha u\) memenuhi kriteria 2A3H dan kontinu.

Jadi \(\frak T\) adalah topologi ruang linear pada \(U\).

Catatan Fungsional yang memenuhi syarat (i)–(iii) di atas disebut F-seminorma; sebuah F-seminorma \(\tau\) sedemikian sehingga \(\tau(u)\ne 0\) untuk setiap \(u\) tak nol disebut F-norma.

2A5C

Kita tidak memerlukannya untuk Bab 24, tetapi hasil berikut patut diketahui.

Teorema Misalkan \(U\) adalah ruang linear dan \(\frak T\) topologi ruang linear pada \(U\).

(a) Terdapat keluarga F-seminorma \(\Tau\) yang mendefinisikan \(\frak T\) seperti dalam 2A5B.

(b) Jika \(\frak T\) dapat dimetrikkan, kita dapat mengambil \(\Tau\) yang hanya terdiri atas satu fungsional.

2A5D Definisi

Misalkan \(U\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\). Sebuah seminorma pada \(U\) adalah fungsional \(\tau:U\to\coint{0,\infty}\) sedemikian sehingga

(i) \(\tau(u+v)\le\tau(u)+\tau(v)\) untuk semua \(u\), \(v\in U\);

(ii) \(\tau(\alpha u)=|\alpha|\tau(u)\) jika \(u\in U\), \(\alpha\in\RoverC\).

Perhatikan bahwa norma selalu merupakan seminorma, dan seminorma selalu merupakan F-seminorma. Khususnya, pengaitan suatu metrik dengan norma (2A4Bb) merupakan kasus khusus dari 2A5B.

2A5E Himpunan konveks (a)

Misalkan \(U\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\). Suatu himpunan bagian \(C\) dari \(U\) disebut konveks jika \(\alpha u+(1-\alpha)v\in C\) apabila \(u\), \(v\in C\) dan \(\alpha\in[0,1]\). Irisan sebarang keluarga himpunan konveks adalah konveks, sehingga untuk setiap himpunan \(A\subseteq U\) terdapat himpunan konveks terkecil yang memuat \(A\); himpunan ini tepat merupakan himpunan vektor yang dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{i=0}^n\alpha_iu_i\), dengan \(u_0,\ldots,u_n\in A\), \(\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in[0,1]\), dan \(\sum_{i=0}^n\alpha_i=1\) (Bourbaki 87, II.2.3); himpunan ini disebut selubung konveks dari \(A\). Jika \(C\), \(C'\subseteq U\) konveks, dan \(\alpha\in\RoverC\), maka \(\alpha C\) dan \(C+C'\) konveks.

2A5Eb (b)

Jika \(U\) adalah ruang topologis linear, penutupan sebarang himpunan konveks adalah konveks (Bourbaki 87, II.2.6). Akibatnya, untuk setiap \(A\subseteq U\), penutupan selubung konveks dari \(A\) merupakan himpunan konveks tertutup terkecil yang memuat \(A\); himpunan ini disebut selubung konveks tertutup dari \(A\).

2A5Ec (c)

Untuk rujukan mendatang, saya mencatat bahwa dalam ruang topologis linear, penutupan sebarang subruang linear adalah subruang linear. (Bourbaki 87, I.1.3; Köthe 69, §15.2. Bandingkan 2A4Cb.)

2A5F Kelengkapan dalam ruang topologis linear

Dalam ruang bernorma, kelengkapan dapat diuraikan melalui barisan Cauchy (2A4D). Dalam ruang topologis linear umum, hal ini tidak memadai. Teori kelengkapan yang sebenarnya memerlukan konsep ruang seragam (lihat §3A4 dalam jilid berikutnya, atau Kelley 55, bab 6; Engelking 89, §8.1; Bourbaki 66, bab II); saya tidak akan menguraikannya di sini, tetapi akan memberikan versi yang disesuaikan dengan ruang linear. Saya menyebutkan hal ini hanya karena saya berharap suatu hari Anda akan sampai pada teori umum (dalam Jilid 3 risalah ini, jika tidak lebih awal), dan Anda perlu menyadari bahwa kasus khusus yang diuraikan di sini memberikan penekanan yang menyesatkan pada beberapa bagian.

Definisi Misalkan \(U\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\), dan \(\frak T\) topologi ruang linear pada \(U\). Sebuah filter \(\Cal F\) pada \(U\) disebut Cauchy jika untuk setiap himpunan terbuka \(G\) di \(U\) yang memuat \(0\), terdapat \(F\in\Cal F\) sedemikian sehingga \(F-F=\{u-v:u,\,v\in F\}\) termuat dalam \(G\). \(U\) disebut lengkap jika setiap filter Cauchy pada \(U\) konvergen.

2A5G

Filter Cauchy mempunyai uraian sederhana apabila topologi ruang linear didefinisikan dengan metode 2A5B.

Lema Misalkan \(U\) adalah ruang linear atas \(\RoverC\), dan \(\Tau\) keluarga F-seminorma yang mendefinisikan topologi ruang linear pada \(U\), seperti dalam 2A5B. Maka sebuah filter \(\Cal F\) pada \(U\) adalah Cauchy jika dan hanya jika untuk setiap \(\tau\in\Tau\) dan \(\epsilon>0\) terdapat \(F\in\Cal F\) sedemikian sehingga \(\tau(u-v)\le\epsilon\) untuk semua \(u\), \(v\in F\).

Bukti

(a) Misalkan \(\Cal F\) Cauchy, \(\tau\in\Tau\), dan \(\epsilon>0\). Maka \(G=U(0;\rho_{\tau};\epsilon)\) terbuka (dengan menggunakan bahasa 2A3F–2A3G), sehingga terdapat \(F\in\Cal F\) sedemikian sehingga \(F-F\subseteq G\); tetapi ini tepat berarti bahwa \(\tau(u-v)<\epsilon\) untuk semua \(u\), \(v\in F\).

(b) Misalkan \(\Cal F\) memenuhi kriteria tersebut, dan \(G\) merupakan himpunan terbuka yang memuat \(0\). Maka terdapat \(\tau_0,\ldots,\tau_n\in\Tau\) dan \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga \(U(0;\rho_{\tau_0},\ldots,\rho_{\tau_n};\epsilon)\subseteq G\). Untuk setiap \(i\le n\), terdapat \(F_i\in\Cal F\) sedemikian sehingga \(\tau_i(u-v)<\bover{\epsilon}2\) untuk semua \(u\), \(v\in F_i\); sekarang \(F=\bigcap_{i\le n}F_i\in\Cal F\) dan \(u-v\in G\) untuk semua \(u\), \(v\in F\).

2A5H Ruang bernorma dan kelengkapan sekuensial

Perlu saya tunjukkan bahwa untuk ruang bernorma, definisi 2A5F sesuai dengan definisi 2A4D.

Proposisi Misalkan \((U,\|\,\|)\) adalah ruang bernorma atas \(\RoverC\), dan \(\frak T\) topologi ruang linear pada \(U\) yang didefinisikan dengan metode 2A5B dari himpunan \(\Tau=\{\|\,\|\}\). Maka \(U\) lengkap dalam pengertian 2A5F jika dan hanya jika lengkap dalam pengertian 2A4D.

Bukti

(a) Pertama-tama, misalkan \(U\) lengkap dalam pengertian 2A5F. Misalkan \(\sequencen{u_n}\) adalah barisan di \(U\) yang Cauchy dalam pengertian 2A4Da. Tetapkan

\(\Cal F =\{F:F\subseteq U,\,\{n:u_n\notin F\}\text{ berhingga}\}\).

Maka mudah diperiksa bahwa \(\Cal F\) adalah filter pada \(U\), yaitu citra filter Fréchet di bawah peta \(n\mapsto u_n:\Bbb N\to U\). Jika \(\epsilon>0\), ambil \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\|u_j-u_k\|\le\epsilon\) apabila \(j\), \(k\ge m\); maka \(F=\{u_j:j\ge m\}\) termasuk dalam \(\Cal F\), dan \(\|u-v\|\le\epsilon\) untuk semua \(u\), \(v\in F\). Jadi \(\Cal F\) Cauchy dalam pengertian 2A5F, dan mempunyai suatu limit, katakanlah \(u\). Sekarang, untuk setiap \(\epsilon>0\), himpunan \(\{v:\|v-u\|<\epsilon\}=U(u;\rho_{\|\,\|};\epsilon)\) merupakan himpunan terbuka yang memuat \(u\), sehingga termasuk dalam \(\Cal F\), dan \(\{n:\|u_n-u\|\ge\epsilon\}\) berhingga, yaitu, terdapat \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\|u_n-u\|<\epsilon\) apabila \(n\ge m\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(u=\lim_{n\to\infty}u_n\) dalam pengertian 2A3M. Karena \(\sequencen{u_n}\) sebarang, \(U\) lengkap dalam pengertian 2A4D.

(b) Sekarang misalkan \(U\) lengkap dalam pengertian 2A4D. Misalkan \(\Cal F\) adalah filter Cauchy pada \(U\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih himpunan \(F_n\in\Cal F\) sedemikian sehingga \(\|u-v\|\le 2^{-n}\) untuk semua \(u\), \(v\in F_n\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(F'_n=\bigcap_{i\le n}F_i\) termasuk dalam \(\Cal F\), sehingga tidak kosong; pilih \(u_n\in F'_n\). Jika \(m\in\Bbb N\) dan \(j\), \(k\ge m\), maka \(u_j\) dan \(u_k\) keduanya termasuk dalam \(F_m\), sehingga \(\|u_j-u_k\|\le 2^{-m}\); jadi \(\sequencen{u_n}\) merupakan barisan Cauchy dalam pengertian 2A4Da, dan mempunyai suatu limit, katakanlah \(u\). Sekarang ambil sebarang \(\epsilon>0\) dan \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(2^{-m+1}\le\epsilon\). Tentu terdapat \(k\ge m\) sedemikian sehingga \(\|u_k-u\|\le 2^{-m}\); sekarang \(u_k\in F_m\), sehingga

\(F_m\subseteq\{v:\|v-u_k\|\le 2^{-m}\} \subseteq\{v:\|v-u\|\le 2^{-m+1}\} \subseteq\{v:\rho_{\|\,\|}(v,u)\le\epsilon\}\),

dan \(\{v:\rho_{\|\,\|}(v,u)\le\epsilon\}\in\Cal F\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\Cal F\) konvergen ke \(u\), menurut 2A3Sd. Karena \(\Cal F\) sebarang, \(U\) lengkap.

(c) Jadi kedua definisi itu bertepatan, setidaknya dengan syarat kita memperbolehkan banyaknya pilihan serentak yang terhitung untuk \(u_n\) dalam bagian (b) pembuktian.

2A5I Topologi lemah

Sekarang saya beralih ke catatan ringkas tentang topologi lemah pada ruang bernorma; dari sudut pandang jilid ini, topologi-topologi tersebut sesungguhnya merupakan contoh utama topologi ruang linear. Misalkan \(U\) adalah ruang linear bernorma atas \(\RoverC\).

2A5Ia (a)

Tuliskan \(U^*\) untuk dualnya \(\eurm B(U;\RoverC)\) (2A4H). Jika \(h\in U^*\), maka \(|h|:U\to\coint{0,\infty}\) adalah seminorma, sehingga \(\Tau=\{|h|:h\in U^*\}\) mendefinisikan topologi ruang linear pada \(U\), menurut 2A5B; topologi ini disebut topologi lemah dari \(U\).

2A5Ib (b)

Sebuah filter \(\Cal F\) pada \(U\) konvergen ke \(u\in U\) untuk topologi lemah dari \(U\) jika dan hanya jika \(\lim_{v\to\Cal F}\rho_{|h|}(v,u)=0\) untuk setiap \(h\in U^*\) (2A3Sd), yaitu, jika dan hanya jika \(\lim_{v\to\Cal F}|h(v-u)|=0\) untuk setiap \(h\in U^*\), yaitu, jika dan hanya jika \(\lim_{v\to\Cal F}h(v)=h(u)\) untuk setiap \(h\in U^*\).

2A5Ic (c)

Sebuah himpunan \(C\subseteq U\) disebut kompak lemah jika kompak untuk topologi lemah dari \(U\). Jadi (dengan tunduk pada aksioma pilihan) suatu himpunan \(C\subseteq U\) kompak lemah jika dan hanya jika untuk setiap ultrafilter \(\Cal F\) pada \(U\) yang memuat \(C\), terdapat \(u\in C\) sedemikian sehingga \(\lim_{v\to\Cal F}h(v)=h(u)\) untuk setiap \(h\in U^*\) (gabungkan 2A3R dengan (b) di atas).

2A5Id (d)

Suatu himpunan bagian \(A\) dari \(U\) disebut relatif kompak lemah jika merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan bagian \(U\) yang kompak lemah.

2A5Ie (e)

Jika \(h\in U^*\), maka \(h:U\to\RoverC\) kontinu untuk topologi lemah pada \(U\) dan topologi biasa pada \(\RoverC\); hal ini langsung terlihat jika kita menerapkan kriteria 2A3H. Jadi, jika \(A\subseteq U\) relatif kompak lemah, \(h[A]\) harus terbatas dalam \(\RoverC\). Bukti. Misalkan \(C\supseteq A\) adalah himpunan kompak lemah. Maka \(h[C]\) kompak dalam \(\RoverC\), menurut 2A3Nb, sehingga terbatas, menurut 2A2F (dengan mencatat bahwa jika lapangan dasarnya adalah \(\Bbb C\), maka lapangan itu dapat diidentifikasi, sebagai ruang metrik, dengan \(\BbbR^2\)). Karena itu \(h[A]\) juga terbatas. ∎

2A5If (f)

Jika \(V\) adalah ruang bernorma lain dan \(T:U\to V\) operator linear terbatas, maka \(T\) kontinu untuk masing-masing topologi lemah. Bukti. Jika \(h\in V^*\), maka komposisi \(hT\) termasuk dalam \(U^*\). Sekarang, untuk sebarang \(u\), \(v\in U\), \(\rho_{|h|}(Tu,Tv)=|h(Tu-Tv)|=|hT(u-v)|=\rho_{|hT|}(u,v)\), dengan \(\rho_{|h|}\), \(\rho_{|hT|}\) masing-masing merupakan pseudometrik pada \(V\), \(U\) yang didefinisikan oleh rumus 2A5B. Menurut 2A3H, \(T\) kontinu. ∎

2A5Ig (g)

Bersesuaian dengan topologi lemah pada ruang bernorma \(U\), kita mempunyai topologi lemah* atau w*- pada dualnya \(U^*\), yang didefinisikan oleh himpunan \(\Tau=\{|\hat u|:u\in U\}\), dengan saya menuliskan \(\hat u(f)=f(u)\) untuk setiap \(f\in U^*\), \(u\in U\). Seperti dalam (a), ini adalah topologi ruang linear pada \(U^*\). (Penting untuk membedakan topologi lemah* dari topologi lemah pada \(U^*\). Yang pertama hanya bergantung pada aksi \(U\) pada \(U^*\), sedangkan yang kedua bergantung pada aksi \(U^{**}=(U^*)^*\). Anda tidak akan mengalami kesulitan untuk memeriksa bahwa \(\hat u\in U^{**}\) untuk setiap \(u\in U\), tetapi pokoknya adalah bahwa mungkin terdapat anggota \(U^{**}\) yang tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini, sehingga muncul himpunan terbuka untuk topologi lemah yang tidak terbuka untuk topologi lemah*.)

2A5J Ruang angelik

Saya tidak bergantung pada gagasan-gagasan berikut, tetapi gagasan ini dapat memperjelas beberapa hasil dalam §§246-247. Pertama, sebuah ruang topologis \(X\) disebut reguler jika apabila \(G\subseteq X\) terbuka dan \(x\in G\), maka terdapat himpunan terbuka \(H\) sedemikian sehingga \(x\in H\subseteq\overline{H}\subseteq G\). Berikutnya, sebuah ruang Hausdorff reguler \(X\) disebut angelik jika apabila \(A\subseteq X\) sedemikian sehingga setiap barisan dalam \(A\) mempunyai titik gugus di \(X\), maka \(\overline{A}\) kompak dan setiap titik \(\overline{A}\) adalah limit dari suatu barisan dalam \(A\). Artinya, kekompakan dalam \(X\), serta topologi himpunan bagian kompak dari \(X\), dapat diuraikan secara efektif melalui barisan. Sekarang teorema (oleh Eberlein dan Šmulian) menyatakan bahwa setiap ruang bernorma bersifat angelik dalam topologi lemahnya. (462D dalam Jilid 4; Köthe 69, §24; Dunford & Schwartz 57, V.6.1.) Khususnya, hal ini berlaku bagi ruang-ruang \(L^1\), sehingga tidak terlalu mengejutkan bahwa terdapat kriteria untuk kekompakan lemah dalam ruang \(L^1\) yang hanya membahas barisan.