Konvolusi ukuran

257A Definisi

Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat dan \(\nu_1\), \(\nu_2\) dua ukuran Radon berhingga total pada \(\Bbb R^r\). Misalkan \(\lambda\) adalah ukuran produk pada \(\BbbR^r\times\BbbR^r\); maka \(\lambda\) juga merupakan ukuran Radon (berhingga total), berdasarkan 256K. Definisikan \(\phi:\BbbR^r\times\BbbR^r\to\BbbR^r\) dengan menetapkan \(\phi(x,y)=x+y\); maka \(\phi\) kontinu, sehingga terukur dalam pengertian 256G. Konvolusi dari \(\nu_1\) dan \(\nu_2\), yaitu \(\nu_1*\nu_2\), adalah ukuran citra \(\lambda\phi^{-1}\); berdasarkan 256G, ini merupakan ukuran Radon.

Perhatikan bahwa jika \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) adalah ukuran probabilitas Radon, maka \(\lambda\) dan \(\nu_1*\nu_2\) juga merupakan ukuran probabilitas.

257B Teorema

Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(\nu_1\) serta \(\nu_2\) dua ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\); misalkan \(\nu=\nu_1*\nu_2\) adalah konvolusi keduanya, dan \(\lambda\) produk keduanya pada \(\BbbR^r\times\BbbR^r\). Maka untuk setiap fungsi bernilai real \(h\) yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian dari \(\BbbR^r\),

jika salah satu integral terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

257C Akibat

Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat, dan \(\nu_1\), \(\nu_2\) dua ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\); misalkan \(\nu=\nu_1*\nu_2\) adalah konvolusi keduanya, dan \(\lambda\) produk keduanya pada \(\BbbR^r\times\BbbR^r\); tuliskan \(\Sigma\) untuk domain \(\nu\). Misalkan \(h\) adalah fungsi yang terukur terhadap \(\Sigma\) dan terdefinisi \(\nu\)-hampir di mana-mana pada \(\BbbR^r\). Andaikan salah satu dari integral-integral

ada dan berhingga. Maka \(h\) terintegralkan terhadap \(\nu\) dan

257D Akibat

Jika \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), maka \(\nu_1*\nu_2=\nu_2*\nu_1\).

257E Akibat

Jika \(\nu_1\), \(\nu_2\) dan \(\nu_3\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), maka \((\nu_1*\nu_2)*\nu_3=\nu_1*(\nu_2*\nu_3)\).

257F Teorema

Misalkan \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\) yang merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue \(\mu\). Maka \(\nu_1*\nu_2\) juga merupakan ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\); jika \(f_1\) dan \(f_2\) masing-masing merupakan turunan Radon–Nikodým dari \(\nu_1\), \(\nu_2\), maka \(f_1*f_2\) merupakan turunan Radon–Nikodým dari \(\nu_1*\nu_2\).

257X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(r\ge 1\) suatu bilangan bulat. Misalkan \(\delta_0\) adalah ukuran Dirac pada \(\BbbR^r\) yang terkonsentrasi di \(0\). Tunjukkan bahwa \(\delta_0\) adalah ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) dan bahwa \(\delta_0*\nu=\nu\) untuk setiap \(\nu\) yang merupakan ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\).

257Xb (b)

Misalkan \(\mu\) dan \(\nu\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), dan \(E\) sebarang himpunan yang terukur terhadap konvolusi keduanya \(\mu*\nu\). Tunjukkan bahwa \(\int\mu(E-y)\nu(dy)\) terdefinisi dalam \([0,\infty]\) dan sama dengan \((\mu*\nu)(E)\).

257Xc (c)

Misalkan \(\nu_1,\ldots,\nu_n\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), dan misalkan \(\nu\) adalah konvolusi \(\nu_1*\ldots*\nu_n\) (gunakan 257E untuk melihat bahwa ungkapan tanpa tanda kurung seperti itu sah). Tunjukkan bahwa

untuk setiap fungsi yang terintegralkan terhadap \(\nu\), katakanlah \(h\).

257Xd (d)

Misalkan \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), dengan dukungan \(F_1\), \(F_2\) (256Xf). Tunjukkan bahwa dukungan \(\nu_1*\nu_2\) adalah \(\overline{\{x+y:x\in F_1,\,y\in F_2\}}\).

257Xe (e) penting

Misalkan \(\nu_1\) dan \(\nu_2\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), dan andaikan \(\nu_1\) mempunyai turunan Radon–Nikodým \(f\) terhadap ukuran Lebesgue \(\mu\). Tunjukkan bahwa \(\nu_1*\nu_2\) mempunyai turunan Radon–Nikodým \(g\), di mana \(g(x)=\int f(x-y)\nu_2(dy)\) untuk \(\mu\)-hampir setiap \(x\in\BbbR^r\).

257Xf (f)

Misalkan \(\nu_1\), \(\nu_2\), \(\nu_1'\) dan \(\nu_2'\) adalah ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\), dan andaikan bahwa \(\nu_1'\), \(\nu_2'\) masing-masing kontinu mutlak terhadap \(\nu_1\), \(\nu_2\). Tunjukkan bahwa \(\nu_1'*\nu_2'\) kontinu mutlak terhadap \(\nu_1*\nu_2\).

257Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(M\) adalah ruang fungsional aditif terhitung yang didefinisikan pada aljabar \(\Cal B\) dari himpunan-himpunan bagian Borel \(\Bbb R\), dengan norma \(\|\nu\|=|\nu|(\Bbb R)\) (lihat 231Yh). (i) Tunjukkan bahwa terdapat operator bilinear tunggal \(*:M\times M\to M\) sedemikian sehingga \((\mu_1\restr\Cal B)*(\mu_2\restr\Cal B)=(\mu_1*\mu_2)\restr\Cal B\) untuk semua ukuran Radon berhingga total \(\mu_1\), \(\mu_2\) pada \(\Bbb R\). (ii) Tunjukkan bahwa \(*\) komutatif dan asosiatif. (iii) Tunjukkan bahwa \(\|\nu_1*\nu_2\|\le\|\nu_1\|\|\nu_2\|\) untuk semua \(\nu_1\), \(\nu_2\in M\), sehingga \(M\) merupakan aljabar Banach di bawah perkalian ini. (iv) Tunjukkan bahwa \(M\) mempunyai identitas perkalian. (v) Tunjukkan bahwa \(L^1(\mu)\) dapat dipandang sebagai subaljabar tertutup dari \(M\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\) (bdk. 255Xi).

257Yb (b)

Kita katakan bahwa suatu ukuran Radon pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) adalah ukuran lengkap \(\nu\) pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian sehingga (i) setiap himpunan bagian Borel dari \(\ocint{-\pi,\pi}\) termasuk dalam domain \(\Sigma\) dari \(\nu\); (ii) untuk setiap \(E\in\Sigma\) terdapat himpunan Borel \(E_1\), \(E_2\) sedemikian sehingga \(E_1\subseteq E\subseteq E_2\) dan \(\nu(E_2\setminus E_1)=0\); dan (iii) setiap himpunan bagian kompak dari \(\ocint{-\pi,\pi}\) mempunyai ukuran berhingga. Tunjukkan bahwa untuk sebarang dua ukuran Radon berhingga total \(\nu_1\), \(\nu_2\) pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) terdapat tepat satu ukuran Radon berhingga total \(\nu\) pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian sehingga

untuk setiap fungsi yang terintegralkan terhadap \(\nu\), katakanlah \(h\), dengan \(+_{2\pi}\) didefinisikan seperti dalam 255Ma.

257 Catatan penutup untuk Bagian 257

Tentu saja konvolusi fungsi dan konvolusi ukuran berkaitan sangat erat; kaitan yang jelas ialah 257F, tetapi kesepadanan antara 255G dan 257B juga sangat nyata. Pada dasarnya, keduanya memberi kita pengertian konvolusi \(u*v\) yang sama ketika \(u\), \(v\) adalah anggota positif dari \(L^1\) dan \(u*v\) ditafsirkan dalam \(L^1\), bukan sebagai suatu fungsi (257Ya). Namun kita harus menelaah jauh lebih dalam daripada argumen-argumen di sini untuk menemukan gagasan dalam teori konvolusi ukuran yang bersesuaian dengan hasil seperti 255K. Saya akan kembali ke pertanyaan-pertanyaan jenis ini dalam §444 dalam Jilid 4.

Semua teorema dalam bagian ini dapat diperluas ke sebarang grup topologis abelian Hausdorff yang kompak lokal; tetapi untuk tingkat keumuman demikian kita memerlukan gagasan yang jauh lebih maju (lihat §444), dan untuk saat ini saya hanya memberikan saran dalam 257Yb agar Anda mencoba mengadaptasi gagasan-gagasan di sini ke \(\ocint{-\pi,\pi}\) atau \(S^1\).