Deret Fourier — Fondasi Teori Ukuran

Dari sekian banyak teori deret Fourier, saya mengekstrak beberapa hasil yang setidaknya dapat memberikan dasar untuk studi lebih lanjut. Saya memberikan definisi dari jumlah Fourier dan Fejér (282A), dengan lima hasil yang paling penting mengenai konvergensinya (282G, 282H, 282J, 282L, 282O). Dalam perjalanan saya menyertakan lema Riemann-Lebesgue (282E). Saya mengakhiri dengan menyebutkan konvolusi (282Q).

282A Definisi

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan dan terdefinisi hampir di mana-mana pada \(\ocint{-\pi,\pi}\).

282Aa (a)

Koefisien Fourier dari \(f\) adalah bilangan kompleks

\[c_k=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx\]

untuk \(k\in\Bbb Z\).

282Ab (b)

Jumlah Fourier dari \(f\) adalah fungsi-fungsi

\[s_n(x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\]

untuk \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\), \(n\in\Bbb N\).

282Ac (c)

Deret Fourier dari \(f\) adalah deret \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}\), atau (karena biasanya kita meninjau jumlah parsial simetris \(s_n\)) deret \(c_0+\sum_{k=1}^{\infty}(c_ke^{ikx}+c_{-k}e^{-ikx})\).

282Ad (d)

Jumlah Fejér dari \(f\) adalah fungsi-fungsi

\[\sigma_m=\Bover1{m+1}\sum_{n=0}^ms_n\]

untuk \(m\in\Bbb N\).

282Ae (e)

Akan berguna jika kita memiliki satu istilah lagi. Jika \(f\) adalah sembarang fungsi dengan \(\dom f\subseteq\ocint{-\pi,\pi}\), perluasan periodik-nya adalah fungsi \(\tilde f\), dengan domain \(\bigcup_{k\in\Bbb Z}(\dom f+2k\pi)\), sehingga \(\tilde f(x)=f(x-2k\pi)\) kapan pun \(k\in\Bbb Z\) dan \(x\in\dom f+2k\pi\).

282B Keterangan

Di sini saya telah membuat dua pilihan yang kurang lebih sewenang-wenang.

282Ba (a)

Saya telah memilih untuk mengekspresikan deret Fourier dalam bentuk ‘kompleks’ daripada dalam bentuk ‘real’. Dari sudut pandang teori ukuran murni (dan memang dari sudut pandang asal-usul bidang ini pada abad kesembilan belas), ada keuntungan dalam keanggunan bila perhatian diarahkan pada fungsi bernilai real \(f\) dan koefisien real

\[a_k=\Bover1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx\text{ untuk }k\in\Bbb N,\]

\[b_k=\Bover1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx\text{ untuk }k\ge 1.\]

Jika kita memilih bentuk ini, kita mempunyai

\(c_0=\Bover12a_0\),

dan untuk \(k\ge 1\) kita mempunyai

\(c_k=\Bover12(a_k-ib_k)\), \(c_{-k}=\Bover12(a_k+ib_k)\), \(a_k=c_k+c_{-k}\), \(b_k=i(c_k-c_{-k})\),

sehingga jumlah Fourier menjadi

\[s_n(x)=\Bover12a_0+\sum_{k=1}^na_k\cos kx+b_k\sin kx.\]

Keuntungannya adalah bahwa fungsi bernilai real \(f\) bersesuaian dengan koefisien real \(a_k\), \(b_k\), sehingga jelas bahwa jika \(f\) bernilai real maka jumlah Fourier dan Fejér juga bernilai real. Kerugiannya adalah bahwa kita harus menggunakan berbagai persamaan trigonometri yang lebih rumit daripada sifat-sifat fungsi eksponensial kompleks yang dicerminkannya, dan kita semakin jauh dari generalisasi alami ke grup abelian kompak lokal. Jadi baik insinyur kelistrikan maupun analis harmonik cenderung lebih menyukai koefisien \(c_k\).

282Bb (b)

Saya memilih fungsi \(f\) yang terdefinisi pada interval \(\ocint{-\pi,\pi}\) daripada pada lingkaran \(S^1=\{z:z\in\Bbb C,\,|z|=1\}\). Akan ada keuntungan dalam keanggunan bahasa dalam menggunakan \(S^1\), meskipun saya tidak ingat sering melihat rumus

\(c_k=\int z^kf(z)dz\)

yang merupakan terjemahan alami dari \(c_k=\bover1{2\pi}\int e^{ikx}f(x)dx\) di bawah substitusi \(x=\arg z\), \(dx=2\pi\nu(dz)\). Namun, penerapan teori ini cenderung berurusan dengan fungsi periodik pada garis real, jadi saya bekerja dengan \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan menerima kenyataan bahwa operasi grupnya \(+_{2\pi}\), menulis \(x+_{2\pi}y\) untuk mana pun di antara \(x+y\), \(x+y+2\pi\), \(x+y-2\pi\) yang termasuk dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\), kurang familiar dibandingkan perkalian pada \(S^1\).

282Bc (c)

Pernyataan di (b) seharusnya mengingatkan Anda pada §255.

282Bd (d)

Perhatikan bahwa jika \(f\eae g\) maka \(f\) dan \(g\) memiliki koefisien Fourier, jumlah Fourier, dan jumlah Fejér yang sama. Ini berarti bahwa kita dapat, jika mau, menganggap \(c_k\), \(s_n\) dan \(\sigma_m\) dikaitkan dengan anggota \(L_{\Bbb C}^1\), ruang kelas kesetaraan dari fungsi yang dapat diintegralkan (§242), bukan sebagai yang dikaitkan dengan fungsi tertentu \(f\). Karena \(s_n\) dan \(\sigma_m\) muncul sebagai fungsi sebenarnya, dan karena banyak pertanyaan yang kami minati mengacu pada nilainya pada titik tertentu, maka lebih wajar untuk menyatakan teori dalam istilah fungsi yang dapat diintegralkan \(f\) daripada dalam istilah anggota \(L_{\Bbb C}^1\).

282C Masalah (a)

Dalam kondisi apa, dan dalam pengertian apa, jumlah Fourier dan Fejér \(s_n\) dan \(\sigma_m\) dari fungsi \(f\) konvergen ke \(f\)?

282Cb (b)

Bagaimana properti barisan berujung ganda \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) mencerminkan properti \(f\), dan sebaliknya?

Catatan Teori deret Fourier telah menjadi salah satu topik utama analisis selama hampir dua ratus tahun, dan tak terhitung banyaknya masalah lebih lanjut telah memberikan kontribusi besar terhadap pemahaman kita. (Untuk contoh: dapatkah kita mencirikan barisan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) yang merupakan koefisien Fourier dari suatu fungsi yang dapat diintegralkan?) Namun dalam garis besar ini saya akan berkonsentrasi pada pertanyaan (a) di atas, dengan hasil satu setengah (282K, 282Rb) mengatasi (b), yang akan memberi kita lebih dari cukup bahan untuk dikerjakan.

Meskipun kebanyakan orang akan merasa bahwa jumlah Fourier lebih dekat dengan apa yang sebenarnya ingin kita ketahui, ternyata jumlah Fejér lebih mudah dianalisis, dan ada keuntungan jika menanganinya terlebih dahulu. Jadi, meskipun Anda mungkin ingin melihat pernyataan 282J, 282L dan 282O untuk mendapatkan gambaran tentang tujuan kita, paruh pertama bagian ini sebagian besar akan membahas jumlah Fejér. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ketika kita tahu bahwa jumlah Fourier konvergen (hal ini cukup umum; lihat, misalnya, contoh di 282Xh dan 282Xo), jika kita tahu bahwa jumlah Fejér konvergen ke \(f\), kita dapat menyimpulkan dari 273Ca bahwa jumlah Fourier juga demikian.

Langkah pertama adalah lema dasar yang menunjukkan bahwa jumlah Fourier dan Fejér dari suatu fungsi \(f\) dapat dianggap sebagai konvolusi \(f\) dengan kernel yang dapat dinyatakan dengan fungsi-fungsi yang dikenal.

282D Lema

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan

\(c_k=\bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx\), \(s_n(x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\), \(\sigma_m(x)=\bover1{m+1}\sum_{n=0}^ms_n(x)\)

masing-masing adalah koefisien Fourier, jumlah Fourier, dan jumlah Fejér-nya. Tulis \(\tilde f\) untuk perpanjangan periodik \(f\) (282Ae). Untuk \(m\in\Bbb N\), tulis

\[\psi_m(t)=\Bover{1-\cos(m+1)t}{2\pi(m+1)(1-\cos t)}\]

untuk \(0<|t|\le\pi\). (Jika mau, Anda dapat mengatur \(\psi_m(0)=\bover{m+1}{2\pi}\) agar \(\psi_m\) kontinu di \([-\pi,\pi]\).)

(a) Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\),

\[\begin{aligned}s_n(x) &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})(x-t)} {\sin{1\over 2}(x-t)}dt\\ &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x+t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt\\ &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-_{2\pi}t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt,\\\end{aligned}\]

menulis \(x-_{2\pi}t\) untuk \(x-t\), \(x-t-2\pi\), \(x-t+2\pi\) mana pun yang termasuk dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\).

(b) Untuk setiap \(m\in\Bbb N\), \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\),

\[\begin{aligned}\sigma_m(x) &=\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x+t)\psi_m(t)dt\\ &=\int_{0}^{\pi}(\tilde f(x+t)+\tilde f(x-t))\psi_m(t)dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-_{2\pi}t)\psi_m(t)dt.\\\end{aligned}\]

\[\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{0} \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt =\Bover1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt =\Bover12, \quad\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt =1.\]

(d) Untuk setiap \(m\in\Bbb N\),

(i) \(0\le\psi_m(t)\le\Bover{m+1}{2\pi}\) untuk setiap \(t\);

(ii) untuk \(\delta>0\), \(\lim_{m\to\infty}\psi_m(t)=0\) secara seragam di \(\{t:\delta\le|t|\le\pi\}\);

(iii) \(\int_{-\pi}^0\psi_m=\int_0^{\pi}\psi_m=\Bover12\), \(\int_{-\pi}^{\pi}\psi_m=1\).

Bukti

Sebenarnya semua ini hanyalah menjumlahkan deret geometri.

(a) Untuk (a), kita punya

\[\begin{aligned}\sum_{k=-n}^ne^{-ikt} &=\bover{e^{int}-e^{-i(n+1)t}}{1-e^{-it}}\\ &=\bover{e^{i(n+{1\over 2})t}-e^{-i(n+{1\over 2})t}} {e^{{1\over 2}it}-e^{-{1\over 2}it}} =\bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}.\\\end{aligned}\]

Jadi

\[\begin{aligned}s_n(x) &=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx} =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \bigl(\sum_{k=-n}^ne^{ik(x-t)}\bigr)dt\\ &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})(x-t)} {\sin{1\over 2}(x-t)}dt =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})(x-t)} {\sin{1\over 2}(x-t)}dt\\ &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x}\tilde f(x+t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x+t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt\\\end{aligned}\]

karena \(\tilde f\) dan \(t\mapsto \bover{\sin(n+{1\over 2})t}{\sin{1\over 2}t}\) periodik dengan periode \(2\pi\), sehingga integral dari \(-\pi-x\) ke \(-\pi\) harus sama dengan integral dari \(\pi-x\) ke \(\pi\).

Untuk ekspresi dalam \(f(x-_{2\pi}t)\), kita punya

\[\begin{aligned}s_n(x) &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x+t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x-t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})(-t)} {\sin{1\over 2}(-t)}dt\\ &\text{(dengan mengganti }-t\text{ untuk }t\text{)}\\ &=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-_{2\pi}t) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt\\\end{aligned}\]

karena (untuk \(x\), \(t\in\ocint{-\pi,\pi}\)) \(f(x-_{2\pi}t)=\tilde f(x-t)\) setiap kali didefinisikan, dan \(\sin\) merupakan fungsi ganjil.

(b) Dengan cara yang sama, kita punya

\[\begin{aligned}\sum_{n=0}^m\sin(n+\Bover12)t &=\Imag\bigl(\sum_{n=0}^me^{i(n+{1\over 2})t}\bigr) =\Imag\bigl(e^{{1\over 2}it}\sum_{n=0}^me^{int}\bigr)\\ &=\Imag\bigl(e^{{1\over 2}it}\bover{1-e^{i(m+1)t}}{1-e^{it}}\bigr) =\Imag\bigl(\bover{1-e^{i(m+1)t}}{e^{-{1\over 2}it} -e^{{1\over2}it}}\bigr)\\ &=\Imag\bigl(\bover{1-e^{i(m+1)t}}{-2i\sin{1\over 2}t}\bigr) =\Imag\bigl(\bover{i(1-e^{i(m+1)t})}{2\sin{1\over 2}t}\bigr)\\ &=\bover{1-\cos(m+1)t}{2\sin{1\over 2}t}.\\\end{aligned}\]

Jadi

\(\sum_{n=0}^m \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t} =\Bover{1-\cos(m+1)t}{2\sin^2{1\over 2}t} =\Bover{1-\cos(m+1)t}{1-\cos t} =2\pi(m+1)\psi_m(t)\).

Oleh karena itu,

\[\begin{aligned}\sigma_m(x) &={\Bover1{m+1}}\sum_{n=0}^ms_n(x)\\ &={\Bover1{m+1}}\sum_{n=0}^m{\Bover1{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} \tilde f(x+t){\Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}}dt\\ &={\Bover1{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} \tilde f(x+t)\bigl({\Bover1{m+1}}\sum_{n=0}^m {\Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}} \bigr)dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x+t)\psi_m(t)dt =\int_{-\pi}^{\pi}f(x-_{2\pi}t)\psi_m(t)dt\\\end{aligned}\]

seperti pada (a), karena \(\cos\) dan \(\psi_m\) merupakan fungsi genap. Untuk alasan yang sama,

\[\int_{0}^{\pi}\tilde f(x-t)\psi_m(t)dt =\int_{-\pi}^{0}\tilde f(x+t)\psi_m(t)dt,\]

Jadi

\[\sigma_m(x)=\int_0^{\pi}(\tilde f(x+t)+\tilde f(x-t))\psi_m(t)dt.\]

(c) Kita hanya perlu melihat dari mana rumus \(\bover{\sin(n+{1\over 2})t}{\sin{1\over 2}t}\) berasal untuk melihat bahwa

\[\begin{aligned}\Bover1{2\pi}\int_I \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt &=\Bover1{2\pi}\int_I\sum_{k=-n}^ne^{ikt}dt\\ &=\Bover1{2\pi}\int_I(1+2\sum_{k=1}^n\cos kt)dt =\Bover12\\\end{aligned}\]

untuk \(I=[-\pi,0]\) dan \(I=[0,\pi]\), karena \(\int_I\cos kt\,dt=0\) untuk setiap \(k\ne 0\).

(d)(i) \(\psi_m(t)\ge 0\) untuk setiap \(t\) karena \(1-\cos(m+1)t\), \(1-\cos t\) selalu lebih besar atau sama dengan \(0\). Untuk batas atas, kita punya, dengan menggunakan konstruksi pada (a) dan (b),

\[\bigl|\Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t} {\sin{1\over 2}t}\bigr| =\bigl|\sum_{k=-n}^ne^{ikt}\bigr| \le 2n+1\]

untuk setiap \(n\), jadi

\[\begin{aligned}\psi_m(t) &=\Bover1{2\pi(m+1)}\sum_{n=0}^m\Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}\\ &\le\Bover1{2\pi(m+1)}\sum_{n=0}^m\,2n+1 =\Bover{m+1}{2\pi}.\\\end{aligned}\]

(ii) Jika \(\delta\le|t|\le\pi\),

\(\psi_m(t)\le\Bover1{\pi(m+1)(1-\cos t)} \le\Bover1{\pi(m+1)(1-\cos\delta)}\to 0\)

sebagai \(m\to\infty\).

(iii) juga mengikuti konstruksi pada (b), karena

\[\int_I\psi_m ={\Bover1{2\pi(m+1)}}\sum_{n=0}^m \int_I\Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt ={\Bover1{m+1}}\sum_{n=0}^m\Bover12 =\Bover12\]

untuk \(I=[-\pi,0]\) dan \(I=[0,\pi]\), menggunakan (c).

Keterangan Untuk pembahasan substitusi integral, jika Anda merasa perlu membenarkan manipulasi pada bagian (a) pembuktian, lihat 263J.

Fungsi-fungsi

\(t\mapsto\Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}\), \(t\mapsto \Bover{1-\cos(m+1)t}{(m+1)(1-\cos t)}\)

disebut masing-masing kernel Dirichlet dan kernel Fejér.

Rumus \(f(x-_{2\pi}t)\) saya berikan pada (a) dan (b) agar memberikan rujukan alami ke pembahasan dalam 255O.

282E

Langkah selanjutnya adalah lema penting, dengan nama khusus yang sesuai (Anda akan senang mengetahuinya) mencerminkan pentingnya, bukan kesulitannya.

Lema Riemann-Lebesgue Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\). Maka

\(\lim_{y\to\infty}\int f(x)e^{-iyx}dx =\lim_{y\to-\infty}\int f(x)e^{-iyx}dx =0\).

Bukti

(a) Pertimbangkan dulu kasus di mana \(f=\chi\ooint{a,b}\), di mana \(a<b\). Maka

\(|\int f(x)e^{-iyx}dx| =|\int_a^{b}e^{-iyx}dx| =|\Bover1{-iy}(e^{-iyb}-e^{-iya})| \le\Bover2{|y|}\)

jika \(y\ne 0\). Jadi dalam hal ini hasilnya sudah jelas.

(b) Segera dapat disimpulkan bahwa hasilnya benar jika \(f\) adalah fungsi tangga dengan dukungan terbatas, yaitu, jika ada \(a_0\le a_1\ldots\le a_n\) sehingga \(f\) konstan pada setiap interval \(\ooint{a_{j-1},a_j}\) dan nol di luar \([a_0,a_n]\).

(c) Sekarang, untuk \(f\) yang dapat diintegralkan dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi tangga \(g\) sehingga \(\int|f-g|\le\epsilon\) (242Oa). Jadi

\(|\int f(x)e^{-iyx}dx-\int g(x)e^{-iyx}dx| \le\int|f(x)-g(x)|dx\le\epsilon\)

untuk setiap \(y\), dan

\(\limsup_{y\to\infty}|\int f(x)e^{-iyx}dx|\le\epsilon\),

\(\limsup_{y\to-\infty}|\int f(x)e^{-iyx}dx|\le\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, kami mendapatkan hasilnya.

282F Akibat

(a) Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) merupakan barisan koefisien Fourier-nya. Maka \(\lim_{k\to\infty}c_k=\lim_{k\to-\infty}c_k=0\).

(b) Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\). Maka \(\lim_{y\to\infty}\int f(x)\sin yx\,dx=0\).

282G

Sekarang kita siap untuk teorema tentang konvergensi jumlah Fejér. Saya mulai dengan latihan yang mudah, hampir seperti latihan pemanasan.

Teorema Misalkan \(f:\ocint{-\pi,\pi}\to\Bbb C\) adalah fungsi kontinu sehingga \(\lim_{t\downarrow-\pi}f(t)=f(\pi)\). Maka urutannya \(\sequence{m}{\sigma_m}\) dari jumlah Fejér konvergen secara seragam ke \(f\) di \(\ocint{-\pi,\pi}\).

Bukti

Ketentuan pada \(f\) hanya menyatakan bahwa ekstensi periodiknya \(\tilde f\) ditentukan dan kontinu di mana saja di \(\Bbb R\). Akibatnya ia terbatas dan kontinu seragam secara seragam pada setiap interval terbatas, khususnya pada interval \([-2\pi,2\pi]\). Tetapkan \(K=\sup_{|t|\le 2\pi}|\tilde f(t)|=\sup_{t\in\ocint{-\pi,\pi}}|f(t)|\). Menulis

\(\psi_m(t)=\Bover{1-\cos(m+1)t}{2\pi(m+1)(1-\cos t)}\)

untuk \(m\in\Bbb N\), \(0<|t|\le\pi\), seperti pada 282D.

Untuk setiap \(\epsilon>0\) kita dapat menemukan \(\delta\in\ocint{0,\pi}\) sehingga \(|\tilde f(x+t)-\tilde f(x)|\le\epsilon\) kapan pun \(x\in[-\pi,\pi]\) dan \(|t|\le\delta\). Selanjutnya, kita dapat menemukan \(m_0\in\Bbb N\) sehingga \(M_m\le\bover{\epsilon}{4\pi K}\) untuk setiap \(m\ge m_0\), di mana \(M_m=\sup_{\delta\le|t|\le\pi}\psi_m(t)\) (282D(d-ii)). Sekarang anggaplah \(m\ge m_0\) dan \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Tetapkan \(g(t)=\tilde f(x+t)-f(x)\) untuk \(|t|\le\pi\). Maka \(|g(t)|\le 2K\) untuk semua \(t\in[-\pi,\pi]\) dan \(|g(t)|\le\epsilon\) jika \(|t|\le\delta\), jadi

\[\begin{aligned}\bigl|\int_{-\pi}^{\pi}g\times\psi_m\bigr| &\le\int_{-\pi}^{-\delta}|g|\times\psi_m +\int_{-\delta}^{\delta}|g|\times\psi_m +\int_{\delta}^{\pi}|g|\times\psi_m\\ &\le 2M_mK(\pi-\delta) +\epsilon\int_{-\delta}^{\delta}\psi_m +2M_mK(\pi-\delta)\\ &\le 4\pi M_mK+\epsilon \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Akibatnya, menggunakan 282Db dan 282D(d-iii),

\[|\sigma_m(x)-f(x)| =|\int_{-\pi}^{\pi}(\tilde f(x+t)-f(x))\psi_m(t)dt| \le 2\epsilon\]

untuk setiap \(m\ge m_0\); dan ini berlaku untuk setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, \(\sequence{m}{\sigma_m}\) konvergen ke \(f\) secara seragam di \(\ocint{-\pi,\pi}\).

282H

Sekarang saya sampai pada teorema yang menjelaskan perilaku dari jumlah fungsi umum Fejér \(f\). Hipotesis teorema mungkin perlu sedikit dicerna; Anda bisa mendapatkan gambaran tentang cakupan yang dimaksudkan dengan melihat Akibat 282I.

Teorema Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequence{m}{\sigma_m}\) barisan jumlah Fejér-nya. Misalkan \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\) dan \(c\in\Bbb C\) sedemikian sehingga

\[\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\delta}\int_0^{\delta}|\tilde f(x+t)+\tilde f(x-t)-2c|dt=0,\]

menulis \(\tilde f\) untuk perpanjangan berkala \(f\), seperti biasa; lalu \(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=c\).

Bukti

Tetapkan \(\phi(t)=|\tilde f(x+t)+\tilde f(x-t)-2c|\) ketika ini didefinisikan, yang hampir ada di mana-mana, dan \(\Phi(t)=\int_0^t\phi\), yang didefinisikan untuk setiap \(t\ge 0\), karena \(\tilde f\) dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) dan oleh karena itu pada setiap interval yang dibatasi.

Seperti di 282D, tetapkan

\(\psi_m(t)=\Bover{1-\cos(m+1)t}{2\pi(m+1)(1-\cos t)}\)

untuk \(m\in\Bbb N\), \(0<|t|\le\pi\). Kita punya

\[|\sigma_m(x)-c| =|\int_0^{\pi}(\tilde f(x+t)+\tilde f(x-t)-2c)\psi_m(t)dt| \le\int_0^{\pi}\phi(t)\psi_m\]

oleh (b) dan (d) dari 282D.

Misalkan \(\epsilon>0\). Berdasarkan hipotesis, \(\lim_{t\downarrow 0}\Phi(t)/t=0\); misalkan \(\delta\in\ocint{0,\pi}\) menjadi seperti \(\Phi(t)\le\epsilon t\) setiap \(t\in[0,\delta]\). Ambil sembarang \(m\ge \pi/\delta\). Saya membagi integral \(\int_0^{\pi}\phi\times\psi_m\) menjadi tiga bagian.

(i) Untuk integral dari \(0\) ke \(1/m\), kita punya

\[\int_0^{1/m}\phi\times\psi_m \le\int_0^{1/m}\Bover{m+1}{2\pi}\phi =\Bover{m+1}{2\pi}\Phi(\Bover1m) \le\Bover{\epsilon(m+1)}{2\pi m} \le\epsilon,\]

karena \(\psi_m(t)\le\bover{m+1}{2\pi}\) untuk setiap \(t\) (282D(d-i)).

(ii) Untuk integral dari \(1/m\) ke \(\delta\), kita punya

\[\begin{aligned}\int_{1/m}^{\delta}\phi\times\psi_m &\le\bover1{2\pi(m+1)}\int_{1/m}^{\delta}\phi(t)\bover{1}{1-\cos t}dt \le\bover{\pi}{4(m+1)}\int_{1/m}^{\delta}\bover{\phi(t)}{t^2}dt\\ &\text{(karena }1-\cos t\ge\Bover{2t^2}{\pi^2}\text{ untuk }|t|\le\pi\text{)}\\ &=\bover{\pi}{4(m+1)}\bigl(\bover{\Phi(\delta)}{\delta^2} -\bover{\Phi({1\over m})}{({1\over m})^2} +\int_{1/m}^{\delta}\bover{2\Phi(t)}{t^3}dt\bigr)\\ &\text{(dengan integrasi parsial; lihat 225F)}\\ &\le\bover{\pi}{4(m+1)}\bigl(\bover{\epsilon}{\delta} +\int_{1/m}^{\delta}\bover{2\epsilon}{t^2}dt\bigr)\\ &\text{(karena }\Phi(t)\le\epsilon t\text{ untuk }0\le t\le\delta\text{)}\\ &\le\bover{\pi}{4(m+1)}\bigl(\bover{\epsilon}{\delta} +2\epsilon m\bigr) \le\bover{\pi\epsilon}{4(m+1)\delta}+\bover{\pi\epsilon}2 \le\bover{\epsilon}4+\bover{\pi\epsilon}2 \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

(iii) Untuk integral dari \(\delta\) ke \(\pi\), kita punya

\[\int_{\delta}^{\pi}\phi\times\psi_m \le\int_{\delta}^{\pi}\Bover1{\pi(m+1)(1-\cos\delta)}\phi \to 0\text{ ketika }m\to\infty\]

karena \(\phi\) dapat diintegralkan pada \([-\pi,\pi]\). Oleh karena itu ada \(m_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\[\int_{\delta}^{\pi}\phi\times\psi_m\le\epsilon\]

untuk setiap \(m\ge m_0\).

Jika digabungkan, kita melihat bahwa

\[\int_0^{\pi}\phi\times\psi_m \le\epsilon+2\epsilon +\epsilon= 4\epsilon\]

untuk setiap \(m\ge \max(m_0,\bover{\pi}{\delta})\). Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, \(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=c\), seperti yang diklaim.

282I Akibat

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequence{m}{\sigma_m}\) barisan jumlah Fejér-nya.

(a) \(f(x)=\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)\) untuk hampir setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\).

(b) \(\lim_{m\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|f-\sigma_m|=0\).

(d) Jika \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\) sedemikian rupa sehingga \(a=\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)\) dan \(b=\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t)\) keduanya didefinisikan dalam \(\Bbb C\), maka

\(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=\Bover12(a+b)\).

(e) Jika \(a=\lim_{t\in\dom f,t\uparrow \pi}f(t)\) dan \(b=\lim_{t\in\dom f,t\downarrow -\pi}f(t)\) keduanya didefinisikan dalam \(\Bbb C\), maka

\(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(\pi)=\Bover12(a+b)\).

(f) Jika \(f\) terdefinisi dan kontinu di \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\), maka

\(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=f(x)\).

(g) Jika \(\tilde f\), perpanjangan periodik \(f\), terdefinisi dan kontinu di \(\pi\), maka

\(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(\pi)=f(\pi)\).

Bukti

(a) Kita hanya perlu menggunakan 223D untuk melihat bahwa

\[\begin{aligned}\limsup_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\delta}\int_0^{\delta} &|f(x+t)+f(x-t)-2f(x)|dt\\ &\le\limsup_{\delta\downarrow 0} \Bover1{\delta}\bigl(\int_0^{\delta}|f(x+t)-f(x)|dt +\int_0^{\delta}|f(x-t)-f(x)|dt\bigr)\\ &=\limsup_{\delta\downarrow 0} \Bover1{\delta}\int_{-\delta}^{\delta}|f(x+t)-f(x)|dt =0\\\end{aligned}\]

untuk hampir setiap \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\).

(b) Selanjutnya perhatikan bahwa, dalam bahasa 255O,

\(\sigma_m=f*\psi_m\),

dengan rumus terakhir di 282Db. Akibatnya, oleh 255Od,

\(\|\sigma_m\|_1\le\|f\|_1\|\psi_m\|_1\),

menulis \(\|\sigma_m\|_1=\int_{-\pi}^{\pi}|\sigma_m|\). Tapi ini berarti kita punya

\(f(x) =\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)\) untuk hampir setiap \(x\), \(\limsup_{m\to\infty}\|\sigma_m\|_1\le\|f\|_1\);

dan 245H mengikuti \(\lim_{m\to\infty}\|f-\sigma_m\|_1=0\).

(c) Jika \(g\) mempunyai koefisien Fourier yang sama dengan \(f\), maka mempunyai jumlah Fourier dan Fejér yang sama, jadi kita punya

\(g(x)=\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=f(x)\)

hampir di mana-mana.

(d)-(e) Keduanya sama dengan mempertimbangkan \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian rupa sehingga

\(\lim_{t\in\dom\tilde f,t\uparrow x}\tilde f(t)=a\), \(\lim_{t\in\dom\tilde f,t\downarrow x}\tilde f(t)=b\).

Dengan menetapkan \(c={1\over 2}(a+b)\), \(\phi(t)=|\tilde f(x+t)+\tilde f(x-t)-2c|\) setiap kali ini didefinisikan, kami memiliki \(\lim_{t\in\dom\phi,t\downarrow 0}\phi(t)=0\), jadi pasti \(\lim_{\delta\downarrow 0}\bover1{\delta}\int_0^{\delta}\phi=0\), dan teorema berlaku.

(f)-(g) adalah kasus khusus dari (d) dan (e).

282J

Sekarang saya beralih ke kondisi konvergensi jumlah Fourier. Mungkin hasil termudah – yang mencolok dan memuaskan – adalah sebagai berikut.

Teorema Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\ocint{-\pi,\pi}\). Misalkan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) adalah koefisien Fourier-nya dan \(\sequencen{s_n}\) jumlah Fourier-nya (282A). Maka

(i) \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\),

(ii) \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|f-s_n|^2=0\).

Bukti

(a) Saya ingat beberapa notasi dari 244N/244P. Misalkan \(\eusm L_{\Bbb C}^2\) adalah ruang fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat di \(\ocint{-\pi,\pi}\). Untuk \(g\), \(h\in\eusm L_{\Bbb C}^2\), tulis

\[(g|h)=\int_{-\pi}^{\pi}g\times\bar h,\quad \|g\|_2=\sqrt{(g|g)}.\]

Ingatlah bahwa \(\|g+h\|_2\le\|g\|_2+\|h\|_2\) untuk semua \(g\), \(h\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) (244Fb/244Pb). Untuk \(k\in\Bbb Z\), \(x\in \ocint{-\pi,\pi}\) tetapkan \(e_k(x)=e^{ikx}\), sehingga

\[(f|e_k)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx=2\pi c_k.\]

Selain itu, jika \(|k|\le n\),

\[(s_n|e_k)=\sum_{j=-n}^nc_j\int_{-\pi}^{\pi}e^{ijx}e^{-ikx}dx =2\pi c_k,\]

karena

\[\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ijx}e^{-ikx}dx&=2\pi\text{ jika }j=k,\\ &=0\text{ jika }j\ne k.\\\end{aligned}\]

Jadi

\((f-s_n|e_k)=0\) setiap kali \(|k|\le n\);

khususnya,

\[(f-s_n|s_n)=\sum_{k=-n}^n\bar c_k(f-s_n|e_k)=0\]

untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

(b) Tetapkan \(\epsilon>0\). Unsur pembuktian selanjutnya adalah fakta bahwa ada \(m\in\Bbb N\), \(a_{-m},\ldots,a_m\in\Bbb C\) sedemikian sehingga \(\|f-h\|_2\le\epsilon\), di mana \(h=\sum_{k=-m}^ma_ke_k\). Bukti. Oleh 244Hb/244Pb kita tahu bahwa ada fungsi kontinu \(g:[-\pi,\pi]\to\Bbb C\) sehingga \(\|f-g\|_2\le{{\epsilon}\over 3}\). Selanjutnya, memodifikasi \(g\) dalam interval pendek yang sesuai \(\ocint{\pi-\delta,\pi}\), kita dapat menemukan fungsi kontinu \(g_1:[-\pi,\pi]\to\Bbb C\) sehingga \(\|g-g_1\|_2\le{{\epsilon}\over 3}\) dan \(g_1(-\pi)=g_1(\pi)\). (Atur \(M=\sup_{x\in[-\pi,\pi]}|g(x)|\), ambil \(\delta\in\ocint{0,2\pi}\) sedemikian rupa sehingga \((2M)^2\delta\le(\epsilon/3)^2\), dan atur \(g_1(\pi-t\delta)=tg(\pi-\delta)+(1-t)g(-\pi)\) untuk \(t\in[0,1]\).) Entah oleh teorema Stone-Weierstrass (281J), atau menurut 282G di atas, ada \(a_{-m},\ldots,a_m\) seperti \(|g_1(x)-\sum_{k=-m}^ma_ke^{ikx}|\le\Bover{\epsilon}{3\sqrt{2\pi}}\) untuk setiap \(x\in[-\pi,\pi]\); dengan menetapkan \(h=\sum_{k=-m}^ma_ke_k\), kita punya \(\|g_1-h\|_2\le\bover13\epsilon\), sehingga

\(\|f-h\|_2\le\|f-g\|_2+\|g-g_1\|_2+\|g_1-h\|_2 \le\epsilon\). ∎

(c) Sekarang ambil sembarang \(n\ge m\). Maka \(s_n-h\) merupakan kombinasi linear dari \(e_{-n},\ldots,e_n\), jadi \((f-s_n|s_n-h)=0\). Akibatnya

\[\begin{aligned}\epsilon^2 &\ge(f-h|f-h)\\ &=(f-s_n|f-s_n)+(f-s_n|s_n-h)+(s_n-h|f-s_n)+(s_n-h|s_n-h)\\ &=\|f-s_n\|_2^2+\|s_n-h\|_2^2 \ge\|f-s_n\|_2^2.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\|f-s_n\|_2\le\epsilon\) untuk setiap \(n\ge m\). Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, sehingga \(\lim_{n\to\infty}\|f-s_n\|_2^2=0\), sebagaimana dinyatakan dalam (ii).

(d) Adapun (i), kita punya

\[\sum_{k=-n}^n|c_k|^2=\Bover1{2\pi}\sum_{k=-n}^n\bar c_k(s_n|e_k) =\Bover1{2\pi}(s_n|s_n)=\Bover1{2\pi}\|s_n\|_2^2.\]

Tapi tentu saja

\(\bigl|\|s_n\|_2-\|f\|_2\bigr|\le\|s_n-f\|_2\to 0\)

sebagai \(n\to\infty\), jadi

\[\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 =\Bover1{2\pi}\lim_{n\to\infty}\|s_n\|_2^2=\Bover1{2\pi}\|f\|_2^2 =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2,\]

sesuai kebutuhan.

282K Akibat

Misalkan \(L_{\Bbb C}^2\) adalah ruang Hilbert kelas-kelas ekuivalensi fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan-kuadrat pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dengan hasil kali dalam

\[(f^{\ssbullet}|g^{\ssbullet}) =\int_{-\pi}^{\pi}f\times\bar g\]

dan norma

\[\|f^{\ssbullet}\|_2 =\bigl(\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\bigr)^{1/2},\]

menulis \(f^{\ssbullet}\in L_{\Bbb C}^2\) untuk kelas kesetaraan dari fungsi terintegralkan-kuadrat \(f\). Misalkan \(\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\) menjadi Ruang Hilbert dari barisan kompleks berujung ganda yang dapat dijumlahkan persegi, dengan hasil kali dalam

\[(\pmb{c}|\pmb{d})=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\bar d_k\]

dan norma

\[\|\pmb{c}\|_2 =\bigl(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2\bigr)^{1/2}\]

untuk \(\pmb{c}=\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\), \(\pmb{d}=\langle d_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) di \(\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\). Maka kita mempunyai isomorfisme ruang hasil kali dalam \(S:L_{\Bbb C}^2\to\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\) didefinisikan oleh

\(S(f^{\ssbullet})(k) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx\)

untuk setiap fungsi terintegralkan-kuadrat \(f\) dan setiap \(k\in\Bbb Z\).

Bukti

(a) Seperti pada 282J, tulis \(\eusm L_{\Bbb C}^2\) untuk ruang fungsi terintegralkan-kuadrat. Jika \(f\), \(g\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) dan \(f^{\ssbullet}=g^{\ssbullet}\), maka \(f\eae g\), jadi

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)e^{-ikx}dx\)

untuk setiap \(k\in\Bbb Z\). Jadi \(S\) terdefinisi dengan baik.

(b) \(S\) linier. Bukti. Ini dasar. Jika \(f\), \(g\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) dan \(c\in\Bbb C\),

\[\begin{aligned}S(f^{\ssbullet}+g^{\ssbullet})(k) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)+g(x))e^{-ikx}dx\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx +\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)e^{-ikx}dx\\ &=S(f^{\ssbullet})(k)+S(g^{\ssbullet})(k)\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(k\in\Bbb Z\), sehingga \(S(f^{\ssbullet}+g^{\ssbullet})=S(f^{\ssbullet})+S(g^{\ssbullet})\). Demikian pula,

\(S(cf^{\ssbullet})(k) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}cf(x)e^{-ikx}dx =\Bover{c}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx =cS(f^{\ssbullet})(k)\)

untuk setiap \(k\in\Bbb Z\), sehingga \(S(cf^{\ssbullet})=cS(f^{\ssbullet})\). ∎

(c) Jika \(f\in\eusm L_{\Bbb C}^2\) mempunyai koefisien Fourier \(c_k\), maka \(S(f^{\ssbullet})=\langle c_k\sqrt{ 2\pi}\rangle_{k\in\Bbb Z}\), maka oleh 282J(i)

\[\|S(f^{\ssbullet})\|^2_2 =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 =\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2 =\|f^{\ssbullet}\|_2^2.\]

Jadi \(Su\in\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\) dan \(\|Su\|_2=\|u\|_2\) untuk setiap \(u\in L_{\Bbb C}^2\). Karena \(S\) bersifat linier dan menjaga norma, pastinya bersifat injektif.

(d) Sekarang \((Sv|Su)=(v|u)\) untuk setiap \(u\), \(v\in L_{\Bbb C}^2\). Bukti. (Ini tentu saja merupakan fakta standar tentang ruang Hilbert.) Kita tahu bahwa untuk setiap \(t\in\Bbb R\)

\[\begin{aligned}\|u\|_2^2+2\Real(e^{it}(v|u))+\|v\|_2^2 &=(u|u)+e^{it}(v|u)+e^{-it}(u|v)+(v|v)\\ &=(u+e^{it}v|u+e^{it}v)\\ &=\|u+e^{it}v\|_2^2 =\|S(u+e^{it}v)\|_2^2\\ &=\|Su\|_2^2+2\Real(e^{it}(Sv|Su))+\|Sv\|_2^2\\ &=\|u\|_2^2+2\Real(e^{it}(Sv|Su))+\|v\|_2^2,\\\end{aligned}\]

sehingga \(\Real(e^{it}(Sv|Su))=\Real(e^{it}(v|u))\). Karena \(t\) adalah sewenang-wenang, \((Sv|Su)=(v|u)\). ∎

(e) Terakhir, \(S\) bersifat surjektif. Bukti. Misalkan \(\pmb{c}=\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) menjadi anggota \(\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\). Tetapkan \(c^{(n)}_k=c_k\) jika \(|k|\le n\), \(0\) sebaliknya, dan \(\pmb{c}^{(n)}=\langle c^{(n)}_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\). Mempertimbangkan

\[s_n=\sum_{k=-n}^nc_ke_k,\quad u_n=s_n^{\ssbullet}\]

tempat saya menulis \(e_k(x)=\bover1{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\) untuk \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Maka \(Su_n=\pmb{c}^{(n)}\), dengan perhitungan yang sama seperti pada bagian (a) pembuktian 282J. Sekarang

\(\|\pmb{c}^{(n)}-\pmb{c}\|_2=\sqrt{\sumop_{|k|>n}|c_k|^2} \to 0\)

sebagai \(n\to\infty\), jadi

\(\|u_m-u_n\|_2=\|\pmb{c}^{(m)}-\pmb{c}^{(n)}\|_2 \to 0\)

sebagai \(m\), \(n\to\infty\), dan \(\sequencen{u_n}\) adalah barisan Cauchy di \(L_{\Bbb C}^2\). Karena \(L_{\Bbb C}^2\) sudah lengkap (244G/244Pb), \(\sequencen{u_n}\) mempunyai batas \(u\in L_{\Bbb C}^2\), dan sekarang

\(Su=\lim_{n\to\infty}Su_n=\lim_{n\to\infty}\pmb{c}^{(n)} =\pmb{c}\). ∎

Jadi \(S:L_{\Bbb C}^2\to\ell_{\Bbb C}^2(\Bbb Z)\) adalah isomorfisme ruang hasil kali dalam.

Catatan Dalam bahasa ruang Hilbert, semua yang yang terjadi di sini adalah bahwa \(\langle e_k^{\ssbullet}\rangle_{k\in\Bbb Z}\) adalah sebuah ‘basis ruang Hilbert’ atau ‘barisan ortonormal lengkap’ di \(L_{\Bbb C}^2\), yang dicocokkan oleh \(S\) dengan basis standar \(\ell^2_{\Bbb C}(\Bbb Z)\). Satu-satunya langkah yang memerlukan analisis real non-sepele, karena bertentangan dengan teori umum ruang Hilbert, adalah pemeriksaan bahwa subruang linier yang dihasilkan oleh \(\{e_k^{\ssbullet}:k\in\Bbb Z\}\) padat; ini adalah bagian (b) dari bukti 282J.

Perhatikan bahwa meskipun \(S:L^2\to\ell^2\) mudah dijelaskan, kebalikannya adalah yang lebih merupakan masalah. Jika \(\pmb{c}\in\ell^2\), kami ingin mengatakan bahwa \(S^{-1}\pmb{c}\) adalah kelas kesetaraan \(f\), di mana \(f(x)=\bover1{\sqrt{2\pi}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}\) untuk setiap \(x\). Ini berfungsi dengan baik jika \(\{k:c_k\ne 0\}\) terbatas, tetapi untuk kasus umum kurang jelas bagaimana menafsirkan jumlahnya. Faktanya adalah jika \(\pmb{c}\in\ell^2\) maka

\(g(x) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\)

didefinisikan untuk hampir setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(S^{-1}\pmb{c}=g^{\ssbullet}\) di \(L^2\); ini sebenarnya adalah teorema Carleson (286V). Bukti teorema Carleson berada di luar jangkauan kami untuk saat ini. Hasil yang tercakup dalam bagian ini adalah bahwa

\(h(x) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{m\to\infty}\Bover1{m+1}\sum_{n=0}^m \sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\)

didefinisikan untuk hampir setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(h^{\ssbullet}=S^{-1}\pmb{c}\). (Pada dasarnya, hasil yang baru saja dibuktikan menunjukkan bahwa ada suatu fungsi \(f\) yang terintegralkan-kuadrat sedemikian sehingga \(\pmb{c}\) adalah barisan koefisien Fourier dari \(f\); sekarang 282Ia menyatakan bahwa jumlah Fejér dari \(f\) konvergen hampir di mana-mana ke \(f\), yaitu \(h\eae\bover1{\sqrt{2\pi}}f\).)

282L

Hasil berikutnya adalah yang paling mudah, dan salah satu teorema yang paling berguna, mengenai konvergensi titik demi titik dari jumlah Fourier.

Teorema Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequencen{s_n}\) barisan jumlah Fourier-nya.

(i) Jika \(f\) terdiferensiasi di \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\), maka \(f(x)=\lim_{n\to\infty}s_n(x)\).

(ii) Jika perpanjangan periodik \(\tilde f\) dari \(f\) dapat terdiferensiasi di \(\pi\), lalu \(f(\pi)=\lim_{n\to\infty}s_n(\pi)\).

Bukti

(a) Ambil \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian rupa sehingga \(\tilde f\) terdiferensiasi di \(x\); tentu saja ini mencakup kedua bagian. Kami punya

\[s_n(x)=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\tilde f(x+t)}{\sin{1\over 2}t}\sin(n+\Bover12)t\,dt\]

untuk setiap \(n\), oleh 282Da.

(b) Selanjutnya,

\[\int_{-\pi}^{\pi}\Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f(x)}{t}dt\]

ada di \(\Bbb C\), karena pasti ada beberapa \(\delta\in\ocint{0,\pi}\) sehingga \((\tilde f(x+t)-\tilde f(x))/t\) dibatasi pada \(\{t:0<|t|\le\delta\}\), sedangkan

\[\int_{-\pi}^{-\delta} \Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f(x)}{t}dt, \quad\int_{\delta}^{\pi}\Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f(x)}{t}dt\]

ada karena \(1/t\) dibatasi pada interval tersebut. akibatnya

\[\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f(x)}{\sin{1\over 2}t}dt\]

ada, karena \(|t|\le\pi|\sin{1\over 2}t|\) jika \(|t|\le\pi\). Jadi dengan lema Riemann-Lebesgue (282Fb),

\[\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f(x)}{\sin{1\over 2}t}\sin(n+\Bover12)t\,dt =0.\]

(c) Karena

\[\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x) \Bover{\sin(n+{1\over 2}\pushbottom{3.5pt})t}{\sin{1\over 2}t}dt =\tilde f(x)\]

untuk setiap \(n\) (282Dc),

\[s_n(x) =\tilde f(x)+\Bover{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f(x)}{\sin{1\over 2}t} \sin(n+\Bover12)t\,dt \to\tilde f(x)\]

sebagai \(n\to\infty\), sesuai kebutuhan.

282M Lema

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks, didefinisikan hampir di mana-mana dan variasi terbatas pada \(\ocint{-\pi,\pi}\). Maka \(\sup_{k\in\Bbb Z}|kc_k|<\infty\), di mana \(c_k\) adalah \(k\)koefisien Fourier th dari \(f\), seperti pada 282A.

282N

Saya memberikan lema lain, mengekstraksi bagian teknis dari bukti teorema berikutnya. (Aplikasi paling alami ada di 282Xn.)

Lema Misalkan \(\sequence{k}{d_k}\) adalah barisan bilangan kompleks, dan tetapkan \(t_n=\sum_{k=0}^nd_k\), \(\tau_m=\bover1{m+1}\sum_{n=0}^mt_n\) untuk \(n\), \(m\in\Bbb N\). Misalkan \(\sup_{k\in\Bbb N}|kd_k|=M<\infty\). Maka untuk \(j\ge 1\) dan setiap \(c\in\Bbb C\),

\(|t_n-c|\le\Bover{M}{j}+(2j+3)\sup_{m\ge n-n/j}|\tau_m-c|\)

untuk setiap \(n\ge j^2\).

Bukti

(a) Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah untuk \(n\), \(n'\in\Bbb N\),

\(|t_n-t_{n'}|\le\Bover{M|n-n'|}{1+\min(n,n')}\).

Bukti. Jika \(n=n'\) ini sepele. Misalkan \(n'<n\). Maka

\[|t_n-t_{n'}| =|\sum_{k=n'+1}^{n}d_k| \le\sum_{k=n'+1}^n\Bover{M}{k} \le\Bover{M(n-n')}{n'+1} =\Bover{M|n-n'|}{1+\min(n',n)}.\]

Tentu saja kasus \(n<n'\) identik. ∎

(b) Sekarang ambil sembarang \(n\ge j^2\). Tetapkan \(\eta=\sup_{m\ge n-n/j}|\tau_m-c|\). Misalkan \(m\ge j\) menjadi \(jm\le n<j(m+1)\); lalu \(n<jm+m\); Juga

\(n(1-\bover1{j})\le m(j+1)(1-{1\over j})\le mj\).

Tetapkan

\[\tau^*=\Bover1m\sum_{n'=jm+1}^{jm+m}t_{n'} =\Bover{jm+m+1}{m}\tau_{jm+m}-\Bover{jm+1}{m}\tau_{jm}.\]

Lalu

\[\begin{aligned}|\tau^*-c| &=|\Bover{jm+m+1}{m}\tau_{jm+m}-\Bover{jm+1}{m}\tau_{jm}-c|\\ &=|\Bover{jm+m+1}{m}(\tau_{jm+m}-c) -\Bover{jm+1}{m}(\tau_{jm}-c)|\\ &\le\Bover{jm+m+1}{m}\eta+\Bover{jm+1}{m}\eta \le(2j+3)\eta.\\\end{aligned}\]

Di sisi lain,

\[\begin{aligned}|\tau^*-t_n| &=\bigl|\Bover1m\sum_{n'=jm+1}^{jm+m}(t_{n'}-t_n)\bigr| \le\Bover1m\sum_{n'=jm+1}^{jm+m}\Bover{M|n-n'|}{1+\min(n,n')}\\ &\le\Bover1m\sum_{n'=jm+1}^{jm+m}\Bover{Mm}{1+jm} =\Bover{Mm}{1+jm} \le\Bover{M}{j}.\\\end{aligned}\]

Dengan menggabungkan ini, kita punya

\(|t_n-c|\le|t_n-\tau^*|+|\tau^*-c| \le\Bover{M}{j}+(2j+3)\eta =\Bover{M}{j}+(2j+3)\sup_{m\ge n-n/j}|\tau_m-c|\),

sesuai kebutuhan.

282O Teorema

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks dengan variasi terbatas, terdefinisi hampir di mana-mana pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan misalkan \(\sequencen{s_n}\) adalah barisan jumlah Fourier-nya.

(i) Jika \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\), maka

\(\lim_{n\to\infty}s_n(x) =\Bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t) +\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t))\).

(ii) \(\lim_{n\to\infty}s_n(\pi) =\Bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow\pi}f(t) +\lim_{t\in\dom f,t\downarrow-\pi}f(t))\).

(iii) Jika \(f\) didefinisikan di seluruh \(\ocint{-\pi,\pi}\), kontinu, dan \(\lim_{t\downarrow -\pi}f(t)=f(\pi)\), maka \(s_n(x)\to f(x)\) seragam di \(\ocint{-\pi,\pi}\).

Bukti

(a) Perhatikan terlebih dahulu bahwa 224F menunjukkan bahwa limit \(\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t)\), \(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)\) yang diperlukan dalam rumus di atas selalu ada. Kita juga mengetahui dari 282M bahwa \(M= \sup_{k\in\Bbb Z}|kc_k|<\infty\), di mana \(c_k\) adalah koefisien Fourier ke-\(k\) dari \(f\).

Ambil sembarang \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\), dan tetapkan

\(c=\bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}\tilde f(t)+\lim_{t\in\dom\tilde f,t\downarrow x}\tilde f(t))\),

menulis \(\tilde f\) untuk perpanjangan berkala \(f\), sebagai biasa. Menurut 282Id-282Ie, \(c=\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)\), menulis \(\sigma_m\) untuk Fejér jumlah \(f\). Misalkan \(\epsilon>0\). Ambil sembarang \(j\ge\max(2,2M/\epsilon)\), dan \(m_0\ge 1\) sedemikian sehingga \(|\sigma_m(x)-c|\le\epsilon/(2j+3)\) untuk setiap \(m\ge m_0\).

Sekarang jika \(n\ge\max(j^2,2m_0)\), terapkan Lema 282N dengan

\(d_0=c_0\), \(d_k=c_ke^{ikx}+c_{-k}e^{-ikx}\) untuk \(k\ge 1\),

sehingga \(t_n=s_n(x)\), \(\tau_m=\sigma_m(x)\) dan \(|kd_k|\le 2M\) untuk setiap \(k\), \(n\), \(m\in\Bbb N\). Kita mempunyai \(n-n/j\ge{1\over 2}n\ge m_0\), jadi

\(\eta=\sup_{m\ge n-n/j}|\tau_m-c| \le\sup_{m\ge m_0}|\tau_m-c|\le\Bover{\epsilon}{2j+3}\).

Jadi, menurut 282N,

\(|s_n(x)-c|=|t_n-c|\le \Bover{2M}{j}+(2j+3)\sup_{m\ge n-n/j}|\tau_m-c|\le\epsilon+(2j+3)\eta \le 2\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, \(\lim_{n\to\infty}s_n(x)=c\), sesuai kebutuhan.

(b) Ini membuktikan (i) dan (ii) teorema ini. Akhirnya, untuk (iii), amati bahwa dalam kondisi ini \(\sigma_m(x)\to f(x)\) seragam sebagai \(m\to\infty\), oleh 282G. Jadi dengan \(\epsilon>0\) kita memilih \(j\ge \max(2,2M/\epsilon)\) dan \(m_0\in\Bbb N\) seperti sehingga \(|\sigma_m(x)-f(x)|\le\epsilon/(2j+3)\) setiap kali \(m\ge m_0\) dan \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Dengan perhitungan yang sama seperti sebelumnya,

\(|s_n(x)-f(x)|\le 2\epsilon\)

untuk setiap \(n\ge\max(j^2,2m_0)\) dan setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer, \(\lim_{n\to\infty}s_n(x)=f(x)\) seragam untuk \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\).

282P Akibat

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequencen{s_n}\) barisan jumlah Fourier-nya.

(i) Misalkan \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\) sedemikian rupa sehingga \(f\) merupakan variasi yang dibatasi pada beberapa lingkungan \(x\). Maka

\(\lim_{n\to\infty}s_n(x)=\Bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)+\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t))\).

(ii) Jika terdapat \(\delta>0\) sehingga \(f\) memiliki variasi terbatas pada baik \(\ocint{-\pi,-\pi+\delta}\) maupun \([\pi-\delta,\pi]\), maka

\(\lim_{n\to\infty}s_n(\pi) =\Bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow \pi}f(t) +\lim_{t\in\dom f,t\downarrow-\pi}f(t))\).

Bukti

Dalam kasus (i), ambil \(\delta>0\) sehingga \(f\) merupakan variasi terbatas pada \([x-\delta,x+delta]\) dan tetapkan \(f_1(t)=f(t)\) jika \(t\in\dom f\cap[x-\delta,x+\delta]\), \(0\) untuk \(t\in\ocint{-\pi,\pi}\) lainnya; dalam kasus (ii), tetapkan \(f_1(t)=f(t)\) jika \(t\in\dom f\) dan \(|t|\ge\pi-\delta\), serta \(0\) untuk \(t\in\ocint{-\pi,\pi}\) lainnya, lalu tetapkan bahwa \(x=\pi\). Dalam kedua kasus tersebut, \(f_1\) memiliki variasi terbatas, sehingga dengan Menurut 282O, jumlah Fourier \(\sequencen{s'_n}\) dari \(f_1\) konvergen di \(x\) ke nilai yang diberikan oleh rumus di atas. Namun sekarang amati bahwa, menulis \(\tilde f\) dan \(\tilde f_1\) untuk ekstensi periodik \(f\) dan \(f_1\), \(\tilde f-\tilde f_1=0\) di lingkungan \(x\), jadi

\[\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\tilde f(x+t)-\tilde f_1(x+t)}{\sin{1\over 2}t}dt\]

ada di \(\Bbb C\), dan oleh 282Fb

\[\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi} \bover{\tilde f(x+t)-\tilde f_1(x+t)}{\sin{1\over 2}t} \sin(n+\Bover12)t\,dt=0,\]

yaitu \(\lim_{n\to\infty}s_n(x)-s'_n(x)=0\). Jadi \(\sequencen{s_n}\) juga konvergen ke batas kanan.

282Q

Saya tidak dapat meninggalkan bagian ini tanpa menyebutkan salah satu fakta terpenting tentang deret Fourier, meskipun tidak punya ruang di sini untuk membahas konsekuensinya.

Teorema Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\), \(\langle d_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) koefisien Fourier-nya. Misalkan \(f*g\) menjadi konvolusinya, yang ditentukan oleh rumus

\[(f*g)(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-_{2\pi}t)g(t)dt =\int_{-\pi}^{\pi}\tilde f(x-t)g(t)dt,\]

seperti pada 255O, menulis \(\tilde f\) untuk perpanjangan periodik dari \(f\). Maka koefisien Fourier dari \(f*g\) adalah \(\langle 2\pi c_kd_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\).

282R

Karena terburu-buru untuk membahas teorema konvergensi dari jumlah Fejér dan Fourier, saya agak mengabaikan manipulasi dasar yang penting saat menerapkan teori. Salah satu hasil dasarnya adalah sebagai berikut.

Proposisi (a) Misalkan \(f:[-\pi,\pi]\to\Bbb C\) adalah fungsi yang kontinu mutlak sehingga \(f(-\pi)=f(\pi)\), dan \(\family{k}{\Bbb Z}{c_k}\) merupakan barisan koefisien Fourier-nya. Maka koefisien Fourier dari \(f'\) adalah \(\family{k}{\Bbb Z}{ikc_k}\).

(b) Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi terdiferensiasi sehingga \(f'\) kontinu mutlak pada \([-\pi,\pi]\), dan \(f(\pi)=f(-\pi)\). Jika \(\family{k}{\Bbb Z}{c_k}\) adalah koefisien Fourier dari \(f\restr\ocint{-\pi,\pi}\), maka \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|\) berhingga.

Bukti

(a) Oleh 225Cb, \(f'\) dapat diintegralkan pada \([-\pi,\pi]\); oleh 225E, \(f\) merupakan integral tak tentu dari \(f'\). Jadi, menurut 225F,

\(\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)e^{-ikx}dx =\Bover{f(\pi)e^{-ik\pi}-f(-\pi)e^{ik\pi}}{2\pi}+ikc_k =ikc_k\)

untuk setiap \(k\in\Bbb Z\).

(b)(i) Misalkan dulu \(f'(\pi)=f'(-\pi)\). Dengan (a), diterapkan dua kali, koefisien Fourier \(f''\) adalah \(\family{k}{\Bbb Z}{-k^2c_k}\), jadi \(\sup_{k\in\Bbb Z}k^2|c_k|\) terbatas; karena \(\sum_{k=1}^{\infty}\Bover1{k^2}<\infty\), \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|<\infty\).

(ii) Selanjutnya, anggaplah \(f(x)=x^2\) untuk setiap \(x\). Lalu, untuk \(k\ne 0\),

\[\begin{aligned}c_k &=\Bover1{2\pi}\int x^2e^{-ikx}dx =\Bover1{2\pi}\bigl(-\Bover1{ik}(\pi^2e^{-ik\pi}-\pi^2e^{ik\pi}) +\int_{-\pi}^{\pi}\Bover{2x}{ik}e^{-ikx}dx\bigr)\\ &=\Bover1{ik\pi}\bigl(-\Bover1{ik}(\pi e^{-ik\pi}+\pi e^{ik\pi}) +\Bover1{ik}\int_{-\pi}^{\pi}e^{ikx}dx\bigr) =\Bover{2}{k^2}(-1)^k,\\\end{aligned}\]

jadi \(\sum_{k\in\Bbb Z}|c_k|\le|c_0|+4\sum_{k=1}^{\infty}\Bover1{k^2}\) terbatas.

(iii) Secara umum, kita dapat menyatakan \(f\) sebagai \(f_1+cf_2\) di mana \(f_2(x)=x^2\) untuk setiap \(x\), \(c=\Bover1{4\pi}(f'(\pi)-f'(-\pi))\), dan \(f_1\) memenuhi kondisi (i); sehingga \(\family{k}{\Bbb Z}{c_k}\) adalah jumlah dari dua barisan yang dapat dijumlahkan dan itu sendiri dapat dijumlahkan.

Latihan

282X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) adalah barisan bilangan kompleks berujung ganda yang terjumlah mutlak. Tunjukkan bahwa \(f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}\) ada untuk setiap \(x\in\Bbb R\), bahwa \(f\) kontinu dan periodik, dan koefisien Fourier -nya adalah \(c_k\).

282Xc (c)

Tetapkan \(\phi_n(t)=\bover2t\sin(n+\bover12t)\) untuk \(t\ne 0\). (Kadang-kadang ini disebut kernel Dirichlet yang dimodifikasi.) Tunjukkan bahwa untuk fungsi apa pun yang dapat diintegralkan \(f\) pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dengan jumlah Fourier \(\sequencen{s_n}\) dan ekstensi periodik \(\tilde f\),

\(\lim_{n\to\infty}|s_n(x)-\bover1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\phi_n(t)\tilde f(x+t)dt| =0\)

untuk setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Petunjuk: menunjukkan bahwa \(\bover2t-\bover{1}{\sin{1\over 2}t}\) dibatasi, dan menggunakan 282E.

282Xd (d)

Berikan bukti 282Ib dari 242O, 255O dan 282G.

282Xe (e)

Berikan bukti lain dari 282Ic, berdasarkan 222D, 281J dan ide dalam bukti 242O dan bukan pada 282H.

282Xf (f)

Gunakan gagasan 255Ya untuk mempersingkat salah satu langkah dalam bukti dari 282H, dengan mengambil

\(g_m(t) =\min(\bover{m+1}{2\pi},\bover{\pi}{4(m+1)t^2})\)

untuk \(|t|\le\delta\), sehingga menjadi \(g_m\ge\psi_m\) di \([-\delta,\delta]\).

282Xg (g) penting

(i) Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai real yang terintegralkan-kuadrat pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequence{k}{a_k}\), \(\langle b_k\rangle_{k\ge 1}\) merupakan koefisien Fourier real (282Ba). Tunjukkan bahwa \(\bover12a_0^2+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k^2+b_k^2) =\bover1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\). (ii) Tunjukkan bahwa \(f\mapsto(\sqrt{\bover{\pi}2}a_0,\sqrt{\pi}a_1, \sqrt{\pi}b_1,\ldots)\) mendefinisikan isomorfisme ruang hasil kali dalam antara ruang Hilbert real \(L^2_{\Bbb R}\) dari kelas ekivalensi fungsi yang terintegralkan-kuadrat real di \(\ocint{-\pi,\pi}\) dan ruang Hilbert real \(\ell^2_{\Bbb R}\) dari barisan yang dapat dijumlahkan kuadratnya.

282Xh (h)

Tunjukkan bahwa \(\bover{\pi}4=1-\bover13+\bover15-\bover17+\ldots\). Petunjuk: temukan deret Fourier dari \(f\) di mana \(f(x)=x/|x|\), dan hitung jumlah deret di \(\bover{\pi}2\). Tentu saja ada metode lain, misalnya memeriksa deret Taylor untuk \(\arctan 1=\bover{\pi}4\).

282Xi (i)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequencen{s_n}\) merupakan barisan jumlah Fourier. Misalkan \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\), \(a\in\Bbb C\) sedemikian rupa sehingga \(\biggerint_{-\pi}^{\pi}\Bover{f(t)-a}{t-x}dt\) ada dan terbatas. Tunjukkan \(\lim_{n\to\infty}s_n(x)=a\)itu. Jelaskan bagaimana hal ini menggeneralisasi 282L. Modifikasi apa yang sesuai agar mendapatkan batas \(\lim_{n\to\infty}s_n(\pi)\)?

282Xj (j)

Misalkan \(\alpha>0\), \(K\ge 0\) dan \(f:\ooint{-\pi,\pi}\to\Bbb C\) sedemikian rupa sehingga \(|f(x)-f(y)|\le K|x-y|^{\alpha}\) untuk semua \(x\), \(y\in\ooint{-\pi,\pi}\). (Fungsi tersebut disebut Hölderkontinu.) Tunjukkan bahwa jumlah Fourier dari \(f\) konvergen ke \(f\) di mana saja di \(\ooint{-\pi,\pi}\). Petunjuk: gunakan 282Xi. (Bandingkan 282Yb.)

282Xk (k)

Dalam 282L, tunjukkan bahwa cukup jika \(\tilde f\) terdiferensiasi sehubungan dengan domainnya di \(x\) atau \(\pi\) (lihat 262Fb), daripada terdiferensiasi dalam arti sempit.

282Xl (l)

Tunjukkan bahwa \(\lim_{a\to\infty}\int_0^a\bover{\sin t}tdt\) ada dan terbatas. Petunjuk: menggunakan 224J untuk memperkirakan \(\int_a^b\bover{\sin t}tdt\) untuk \(0<a\le b\).

282Xm (m)

Tunjukkan bahwa \(\int_0^{\infty}\bover{|\sin t|}tdt=\infty\). Petunjuk: menunjukkan bahwa \(\sup_{a\ge 0}|\int_1^a\bover{\cos 2t}tdt|<\infty\), dan oleh karena itu \(\sup_{a\ge 0}\int_1^a\bover{\sin^2t}{t}dt=\infty\).

282Xn (n) penting

Misalkan \(\sequence{k}{d_k}\) menjadi urutan dalam \(\Bbb C\) seperti sehingga \(\sup_{k\in\Bbb N}|kd_k|<\infty\) dan

\(\lim_{m\to\infty}\Bover1{m+1}\sum_{n=0}^m\sum_{k=0}^nd_k =c\in\Bbb C\).

Tunjukkan bahwa \(c=\sum_{k=0}^{\infty}d_k\). Petunjuk: 282N.

282Xo (o) penting

Tunjukkan bahwa \(\sum_{n=1}^{\infty}\bover1{n^2}=\bover{\pi^2}6\). Petunjuk: (b-ii) dari bukti dari 282R.

282Xp (p)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sequencen{s_n}\) merupakan barisan dari jumlah Fourier. Misalkan \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\) adalah sedemikian sehingga

(i) ada \(a\in\Bbb C\) sedemikian rupa

atau \(\int_{-\pi}^x\Bover{a-f(t)}{x-t}dt\) ada di \(\Bbb C\)

atau ada beberapa \(\delta>0\) sehingga \(f\) merupakan variasi yang dibatasi pada \([x-\delta,x]\), dan \(a=\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)\)

(ii) ada \(b\in\Bbb C\) sedemikian rupa

atau \(\int_x^{\pi}\Bover{f(t)-b}{t-x}dt\) ada di \(\Bbb C\)

atau ada beberapa \(\delta>0\) sehingga \(f\) merupakan variasi yang dibatasi pada \([x,x+\delta]\), dan \(b=\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t)\).

Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}s_n(x)={1\over 2}(a+b)\). Modifikasi apa yang sesuai untuk mendapatkan batas \(\lim_{n\to\infty}s_n(\pi)\)?

282Xq (q) penting

Misalkan \(f\), \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\pmb{c}=\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\), \(\pmb{d}=\langle d_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) merupakan barisan koefisien Fourier-nya. Misalkan salah satu dari \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|<\infty\) atau \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}(|c_k|^2+|d_k|^2)<\infty\). Tunjukkan bahwa barisan koefisien Fourier dari \(f\times g\) hanyalah konvolusi \(\pmb{c}*\pmb{d}\) dari \(\pmb{c}\) dan \(\pmb{d}\) (255Xk).

282Xr (r)

Di 282Ra, apa yang terjadi jika \(f(\pi)\ne f(-\pi)\)?

282Xs (s)

Misalkan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) adalah barisan bilangan kompleks berujung ganda sehingga \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|kc_k|<\infty\). Tunjukkan bahwa \(f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}\) ada untuk setiap \(x\in\Bbb R\) dan \(f\) terdiferensiasi di mana saja.

282Xt (t)

Misalkan \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\) menjadi barisan bilangan kompleks berujung ganda sedemikian rupa sehingga \(\sup_{k\in\Bbb Z}|kc_k|<\infty\). Tunjukkan bahwa terdapat fungsi yang terintegralkan-kuadrat \(f\) pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) sehingga \(c_k\) adalah koefisien Fourier dari \(f\), bahwa \(f\) adalah limit hampir di mana-mana dari jumlah Fourier, dan bahwa \(f*f*f\) dapat terdiferensiasi. Petunjuk: menggunakan 282K untuk menunjukkan bahwa terdapat \(f\), dan 282Xn untuk menunjukkan bahwa jumlah Fourier nya konvergen di setiap titik tempat jumlah Fejér-nya konvergen; gunakan 282Q dan 282Xs untuk menunjukkan bahwa \(f*f*f\) terdiferensiasi.

282Y Latihan lebih lanjut (a)

Misalkan \(f\) adalah fungsi yang dapat diintegralkan nonnegatif pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dengan koefisien Fourier \(\langle c_k\rangle_{k\in\Bbb Z}\). Tunjukkan bahwa

\(\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^na_j\bar a_kc_{j-k}\ge 0\)

untuk semua bilangan kompleks \(a_0,\ldots,a_n\). (Lihat juga 285Xu di bawah.)

282Yb (b)

Misalkan \(f:\ocint{-\pi,\pi}\to\Bbb C\), \(K\ge 0\), \(\alpha>0\) menjadi \(|f(x)-f(y)|\le K|x-y|^{\alpha}\) untuk semua \(x\), \(y\in\ocint{-\pi,\pi}\). Misalkan \(c_k\), \(s_n\) menjadi koefisien Fourier dan jumlah dari \(f\). (i) Tunjukkan bahwa \(\sup_{k\in\Bbb Z}|k|^{\alpha}|c_k|<\infty\). Petunjuk: menunjukkan bahwa \(c_k=\bover1{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-\tilde f(x+\bover{\pi}k)) e^{-ikx}dx\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f(\pi)=\lim_{x\downarrow-\pi}f(x)\) maka \(s_n\to f\) seragam. (Bandingkan 282Xj.)

282Yc (c)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terukur pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan anggaplah \(p\in\coint{1,\infty}\) sedemikian rupa sehingga \(\int_{-\pi}^{\pi}|f|^p<\infty\). Misalkan \(\sequence{m}{\sigma_m}\) menjadi barisan jumlah Fejér dari \(f\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{m\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|f-\sigma_m|^p=0\). Petunjuk: menggunakan 245Xl, 255Yk dan ide-ide di 282Ib.

282Yd (d)

Buatlah fungsi kontinu \(h:[-\pi,\pi]\to\Bbb R\) sedemikian rupa sehingga \(h(\pi)=h(-\pi)\) tetapi jumlah Fourier dari \(h\) tidak dibatasi di \(0\), sebagai berikut. Tetapkan \(\alpha(m,n)=\int_0^{\pi} \bover{\sin(m+{1\over2})t\sin(n+{1\over 2})t}{\sin{1\over 2}t}dt\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\alpha(m,n)=0\) untuk setiap \(m\), tetapi \(\lim_{n\to\infty}\alpha(n,n)=\infty\). Tetapkan \(h_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\delta_k\sin(m_k+{1\over 2})x\) untuk \(0\le x\le\pi\), \(0\) untuk \(-\pi\le x\le 0\), di mana \(\delta_k>0\), \(m_k\in\Bbb N\) sedemikian rupa sehingga (\(\alpha\)) \(\delta_k\le 2^{-k}\), \(\delta_k|\alpha(m_k,m_n)|\le 2^{-k}\) untuk setiap \(n<k\) (memilih \(\delta_k\)) (\(\beta\)) \(\delta_k\alpha(m_k,m_k)\ge k\), \(\delta_n|\alpha(m_k,m_n)|\le 2^{-n}\) untuk setiap \(n<k\) (memilih \(m_k\)). Sekarang modifikasi \(h_0\) di \(\coint{-\pi,0}\) dengan menambahkan fungsi variasi terbatas.

282Ye (e)

(i) Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi} |\bover{\sin(n+{1\over2})t}{\sin{1\over 2}t}|dt=\infty\). Petunjuk: 282Xm. (ii) Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\delta>0\) terdapat \(n\in\Bbb N\), \(f\ge 0\) seperti sehingga \(\int_{-\pi}^{\pi}f\le\delta\), \(\int_{-\pi}^{\pi}|s_n|\ge 1\), di mana \(s_n\) adalah jumlah Fourier ke-\(n\) dari \(f\). Petunjuk: ambil \(n\) sedemikian rupa sehingga \(\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |\bover{\sin(n+{1\over2})t}{\sin{1\over 2}t}|dt>\Bover1{\delta}\) dan tetapkan \(f(x)=\Bover{\delta}{\eta}\) untuk \(0\le x\le\eta\), \(0\) sebaliknya, jika \(\eta\) kecil. (iii) Tunjukkan bahwa terdapat fungsi \(f:\ocint{-\pi,\pi}\to\Bbb R\) yang dapat diintegralkan sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\|s_n\|_1\) adalah tak terbatas, dengan \(\sequencen{s_n}\) adalah barisan jumlah Fourier dari \(f\). Petunjuk: pengetahuan tentang ‘Teorema Keterbatasan Seragam’ dari analisis fungsional akan membantu, tetapi \(f\) juga dapat dibuat dengan tangan kosong dengan metode dari 282Yd.

282Yf (f)

Misalkan \(u:[-\pi,\pi]\to\Bbb R\) adalah fungsi yang kontinu mutlak sehingga \(u(\pi)=u(-\pi)\) dan \(\int_{-\pi}^{\pi}u=0\). Tunjukkan bahwa \(\|u\|_2\le\|u'\|_2\). (Ini adalah ketidaksetaraan Wirtinger.)

282Yg (g)

Untuk \(0\le r<1\), \(t\in\Bbb R\) mengatur \(A_r(t)=\Bover{1-r^2}{1-2r\cos t+r^2}\). (\(A_r\) adalah kernel Poisson; lihat 478Xl di Volume 4.) (i) Tunjukkan \(\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A_r=1\). (ii) Untuk fungsi bernilai real \(f\) yang dapat diintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dengan koefisien Fourier real \(a_k\), \(b_k\) (282Ba), tetapkan \(S_r(x)=\Bover12a_0+\sum_{k=1}^{\infty}r^k(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\) untuk \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\), \(r\in\coint{0,1}\). Tunjukkan bahwa \(S_r(x)=\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}A_r(x-t)f(t)dt\) untuk setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\). Petunjuk: \(A_r(t)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}r^n\cos nt\). (iii) Tunjukkan bahwa \(\lim_{r\uparrow 1}S_r(x)=f(x)\) untuk setiap \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\) yang ada di himpunan Lebesgue \(f\). Petunjuk: 223Yg. (iv) Tunjukkan bahwa \(\lim_{r\uparrow 1}\int_{-\pi}^{\pi}|S_r-f|=0\). (v) Tunjukkan bahwa jika \(f\) didefinisikan di seluruh \(\ocint{-\pi,\pi}\) dan kontinu, dan \(f(\pi)=\lim_{x\downarrow-\pi}f(x)\), maka \(\lim_{r\uparrow 1}\sup_{x\in\ocint{-\pi,\pi}}|S_r(x)-f(x)|=0\).

Catatan dan komentar

282 Catatan penutup untuk Bagian 282

Ini adalah bagian yang panjang dengan kumpulan hasil yang berpotensi membingungkan, jadi mungkin saya harus merekapitulasi. Terkait dengan fungsi dapat diintegralkan apa pun di \(\ocint{-\pi,\pi}\), kami memiliki jumlah Fourier yang sesuai, yaitu jumlah parsial yang simetris \(\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\) dari deret kompleks \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}\), atau, sama halnya, jumlah parsial \({1\over 2}a_0+\sum_{k=1}^na_k\cos kx+b_k\sin kx\) dari deret real \({1\over 2}a_0+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos kx+b_k\sin kx\). Koefisien Fourier \(c_k\), \(a_k\), \(b_k\) adalah satu-satunya yang alami, karena jika deret tersebut ingin konvergen dengan keteraturan apa pun maka

\(\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \bigl(\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{ikx}\bigr)e^{-ilx}dx\)

seharusnya secara bersamaan

\(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} c_ke^{ikx}e^{-ilx}dx=c_l\)

dan

\(\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ilx}dx\).

(Bandingkan perhitungan di 282J.) Efek dari mengambil jumlah Fejér \(\sigma_m(x)\) daripada jumlah Fourier \(s_n(x)\) adalah untuk memuluskan urutannya; ingat jika \(\lim_{n\to\infty}s_n(x)=c\) maka \(\lim_{m\to\infty}\sigma_m(x)=c\), oleh 273Ca di bab terakhir.

Sebagian besar pekerjaan di atas berkaitan dengan pertanyaan kapan jumlah Fourier atau Fejér konvergen, dalam arti tertentu, ke fungsi asli \(f\). Seperti yang telah terjadi pada sebelumnya, di §245 dan di tempat lain, kami memiliki lebih dari satu jenis konvergensi yang perlu dipertimbangkan. Konvergensi norma, untuk \(\|\,\|_1\) atau \(\|\,\|_2\) atau \(\|\,\|_{\infty}\), adalah yang paling sederhana; tiga teorema 282G, 282Ib dan 282J setidaknya relatif mudah. (Saya telah memberikan 282Ib sebagai akibat wajar dari 282Ia; tetapi ada bukti yang lebih mudah dari 282G. Lihat 282Xd.) Secara berurutan, kita mempunyai

jika \(f\) kontinu (dan cocok pada \(\pm\pi\), yaitu \(f(\pi)=\lim_{t\downarrow-\pi}f(t)\)) maka \(\sigma_m\to f\) seragam, yaitu untuk \(\|\,\|_{\infty}\) (282G);

jika \(f\) adalah fungsi apa pun yang dapat diintegralkan, maka \(\sigma_m\to f\) untuk \(\|\,\|_1\) (282Ib);

jika \(f\) adalah fungsi yang terintegralkan-kuadrat, maka \(s_n\to f\) untuk \(\|\,\|_2\) (282J);

jika \(f\) kontinu dan variasi terbatas (dan cocok di \(\pm\pi\)), maka \(s_n\to f\) seragam (282O).

Ada beberapa hasil serupa untuk \(\|\,\|_p\) lainnya (282Yc); tetapi perhatikan bahwa jumlah Fourier tidak perlu konvergen untuk \(\|\,\|_1\) (282Ye).

Konvergensi titik demi titik lebih sulit. Hasil-hasil yang saya berikan adalah

jika \(f\) adalah fungsi apa pun yang dapat diintegralkan, maka \(\sigma_m\to f\) hampir di mana-mana (282Ia);

ini bergantung pada beberapa perhitungan yang cermat di 282H, dan juga pada hasil mendalam 223D. Selanjutnya kita memperoleh hasil yang meninjau rata-rata limit \(f\) dari kedua sisi. Misalkan saya menulis

\(f^{\pm}(x)=\Bover12(\lim_{t\uparrow x}f(t)+\lim_{t\downarrow x}f(t))\)

kapan pun nilai ini terdefinisi, dengan mengambil \(f^{\pm}(\pi) =\bover12(\lim_{t\uparrow\pi}f(t)+\lim_{t\downarrow-\pi}f(t))\). Maka kita mempunyai

jika \(f\) adalah fungsi apa pun yang dapat diintegralkan, \(\sigma_m\to f^{\pm}\) di mana pun \(f^{\pm}\) didefinisikan (282I);

jika \(f\) memiliki variasi terbatas, \(s_n\to f^{\pm}\) di mana-mana (282O).

Tentu saja ini berlaku pada titik mana pun di mana \(f\) kontinu, dalam hal ini \(f(x)=f^{\pm}(x)\). Hasil lain dari jenis ini adalah

jika \(f\) adalah fungsi apa pun yang dapat diintegralkan, \(s_n\to f\) pada setiap titik tempat \(f\) terdiferensiasi (282L);

sebenarnya, hasil ini dapat diperluas secara berguna dengan sedikit sekali pekerjaan tambahan (282Xi, 282Xp).

Saya tidak dapat mengakhiri daftar ini tanpa menyebutkan teorema yang tidak saya berikan. Inilah teorema Carleson:

jika \(f\) terintegralkan-kuadrat, \(s_n\to f\) hampir di mana-mana

(Carleson 66). Saya akan membahasnya di §286. Terdapat kasus khusus elementer di 282Xt. Hasil ini sebenarnya valid untuk banyak \(f\) lainnya (lihat catatan untuk §286).

Kekosongan mencolok berikutnya dalam uraian ini adalah tidak adanya contoh yang menunjukkan sejauh mana hasil-hasil ini merupakan hasil terbaik yang mungkin. Memang, tidak ada alasan untuk menduga bahwa terdapat syarat perlu dan cukup yang alami bagi

\(s_n\to f\) di setiap titik.

Namun demikian, kita perlu berupaya menemukan fungsi kontinu yang tidak memiliki sifat ini, dan konstruksi contoh oleh du Bois-Reymond (Bois-Reymond 1876) merupakan momen penting dalam sejarah analisis, antara lain karena memaksa para matematikawan menyadari bahwa beberapa anggapan yang nyaman tentang klasifikasi fungsi – pada dasarnya, bahwa fungsi itu ‘baik’ atau sedemikian buruk sehingga tidak perlu dipedulikan – ternyata keliru. Contoh tersebut bersifat mendidik, tetapi terpaksa saya hilangkan karena keterbatasan ruang; saya memberikan garis besar salah satu metode yang mungkin di 282Yd. (Konstruksi terperinci dapat ditemukan dalam Körner 88, bab 18, dan bukti keberadaan fungsi semacam itu dalam Dudley 89, 7.4.3.) Jika kita mengizinkan fungsi umum yang dapat diintegralkan, kita dapat memperoleh hasil yang jauh lebih baik, atau barangkali seharusnya saya mengatakan jauh lebih buruk; terdapat \(f\) yang dapat diintegralkan sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}|s_n(x)|=\infty\) untuk setiap \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\) (Kolmogorov 1926; lihat Zygmund 59, \(\S\S\)VIII.3-4).

Di 282C saya menyebutkan dua jenis masalah. Yang pertama – kapan deret Fourier dapat dijumlahkan? – setidaknya telah dibahas panjang lebar, meskipun saya tidak dapat mengaku telah memberikan lebih dari sekadar contoh dari apa yang diketahui. Yang kedua – bagaimana sifat-sifat \(c_k\) mencerminkan sifat-sifat \(f\)? – nyaris belum saya sentuh. Saya memberikan apa yang menurut saya merupakan tiga hasil yang paling penting di bidang ini. Yang pertama adalah

jika \(f\) dan \(g\) mempunyai koefisien Fourier yang sama, maka keduanya sama hampir di mana-mana (282Ic).

Ini setidaknya memberi tahu kita bahwa pada prinsipnya kita harus dapat mempelajari hampir semua hal tentang \(f\) dengan melihat deret Fourier-nya. (Misalnya, 282Ya menjelaskan kondisi perlu dan cukup agar \(f\) menjadi nonnegatif hampir di mana-mana.) Yang kedua adalah

\(f\) terintegralkan-kuadrat jika dan hanya jika \(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2<\infty\);

sebenarnya,

\(\sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 =\Bover1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\) (282J).

Tentu saja ini bersifat mendasar, karena menunjukkan bahwa koefisien Fourier memberikan isomorfisme ruang Hilbert alami antara \(L^2\) dan \(\ell^2\) (282K). Perlu saya tambahkan bahwa meskipun ruang Hilbert real \(L^2_{\Bbb R}\) dan \(\ell^2_{\Bbb R}\) isomorfik sebagai ruang hasil kali dalam (282Xg), keduanya jelas tidak isomorfik sebagai kisi Banach; misalnya, \(\ell^2_{\Bbb R}\) memiliki elemen ‘atomik’ \(\pmb{c}\) sedemikian rupa sehingga jika \(0\le\pmb{d}\le\pmb{c}\) maka \(\pmb{d}\) adalah kelipatan \(\pmb{c}\), sedangkan \(L^2_{\Bbb R}\) tidak memilikinya. Barangkali yang lebih penting lagi adalah

koefisien Fourier dari konvolusi \(f*g\) hanyalah suatu kelipatan skalar dari hasil kali koefisien Fourier \(f\) dan \(g\) (282Q);

tetapi untuk menggunakannya secara efektif kita perlu mempelajari struktur aljabar Banach \(L^1\), dan saya tidak punya pilihan selain segera meninggalkan jalur ini. (Pembahasannya akan menjadi bagian penting Bab 44 dalam Volume 4.) 282Xt memberikan suatu konsekuensi elementer, sedangkan 282Xq memberikan uraian yang sangat parsial mengenai hubungan antara hasil kali \(f\times g\) dari dua fungsi dan hasil kali konvolusi barisan koefisien Fourier keduanya.

Jumlah Fejér yang dibahas dalam bagian ini merupakan salah satu cara untuk mengatasi kesulitan konvergensi yang berkaitan dengan jumlah Fourier. Ketika kita membahas transformasi Fourier dalam dua bagian berikutnya, kita akan memerlukan beberapa siasat tambahan. Jenis penghalusan yang berbeda diperoleh dengan menggunakan kernel Poisson sebagai pengganti kernel Dirichlet atau Fejér (282Yg).

Saya mengakhiri catatan ini dengan komentar mengenai bilangan \(2\pi\). Bilangan ini muncul dalam hampir setiap rumus yang melibatkan deret Fourier, tetapi menurut saya dapat dihilangkan sepenuhnya dari bagian ini, setidaknya, dengan menormalisasi ulang ukuran pada \(\ocint{-\pi,\pi}\). Jika alih-alih ukuran Lebesgue \(\mu\) kita menggunakan ukuran \(\nu=\bover1{2\pi}\mu\) di seluruh pembahasan, setiap faktor \(2\pi\) akan hilang. (Bandingkan keterangan di 282Bb mengenai kemungkinan menghitung integral pada \(S^1\).) Namun menurut saya kebanyakan dari kita lebih suka mengingat letak faktor \(2\pi\) dalam setiap rumus daripada berurusan dengan ukuran yang tidak lazim.