Fungsi karakteristik — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang kita sampai pada salah satu penerapan transformasi Fourier yang paling efektif, yakni penggunaan ‘fungsi karakteristik’ untuk menganalisis distribusi probabilitas. Ternyata transformasi Fourier suatu distribusi probabilitas bukan hanya menentukan distribusi itu (285M), tetapi juga memudahkan perhitungan banyak hal yang ingin kita ketahui tentang distribusi tersebut dari transformasinya (285G, 285Xi). Bahkan yang lebih mencolok, konvergensi titik demi titik transformasi Fourier bersesuaian (untuk barisan) dengan konvergensi dalam topologi samar pada ruang distribusi. Karena itu, fungsi karakteristik menyediakan metode baru yang sangat ampuh untuk membuktikan hasil seperti Teorema Limit Pusat dan teorema Poisson (285Q).

Karena penerapan gagasan-gagasan di sini terutama termasuk dalam teori probabilitas, saya kembali menggunakan istilah para ahli probabilitas, seperti dalam Bab 27. Meskipun demikian, pada banyak bagian kita perlu berbicara tentang integral, dan sering kali ada lebih dari satu ukuran yang terlibat. Karena itu, saya tegaskan bahwa integral \(\int f(x)dx\) selalu diambil terhadap ukuran Lebesgue (biasanya, tetapi tidak selalu, satu dimensi), seperti pada bagian lain bab ini, sedangkan integral terhadap ukuran lain ditulis dalam bentuk \(\int fd\nu\) atau \(\int f(x)\nu(dx)\).

285A Definisi (a)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) (256A). Maka fungsi karakteristik dari \(\nu\) ialah fungsi \(\phi_{\nu}:\BbbR^r\to\Bbb C\) yang diberikan oleh rumus

\(\phi_{\nu}(y)=\int e^{iy\dotproduct x}\nu(dx)\)

untuk setiap \(y\in\BbbR^r\), dengan menulis \(y\dotproduct x=\eta_1\xi_1+\ldots+\eta_r\xi_r\) jika \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\) dan \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\).

285Ab (b)

Misalkan \(X_1,\ldots,X_r\) variabel-variabel acak bernilai real pada ruang probabilitas yang sama. Fungsi karakteristik dari \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_r)\) ialah fungsi karakteristik \(\phi_{\pmb{X}}=\phi_{\nu_{\pmb{X}}}\) dari distribusi probabilitas bersamanya \(\nu_{\pmb{X}}\), sebagaimana didefinisikan dalam 271C.

285B Catatan (a)

Karena salah satu kebetulan sejarah yang lazim, definisi ‘fungsi karakteristik’ dan ‘transformasi Fourier’ berkembang secara terpisah. Dalam 283Ba saya mencatat bahwa definisi transformasi Fourier belum baku, dan bahwa rumus

\(\varhatf(y)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iyx}f(x)dx\),

\(\varcheckf(y) =\Bover1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)dx\)

akan lebih mudah dipadankan dengan definisi fungsi karakteristik. Saya tidak mengambil pilihan ini karena ingin menonjolkan simetri antara transformasi Fourier dan transformasi Fourier invers, serta korespondensi antara transformasi Fourier dan deret Fourier. Keuntungan utama menyamakan kedua definisi, yaitu menyamakan konstanta dalam hasil seperti 283F dan 285Xk, akan diimbangi oleh keharusan mengingat konstanta yang berbeda untuk \(\varhatf\) dan \(\varcheckf\) dalam hasil seperti 283M.

285Bb (b)

Alasan lain untuk tidak memaksakan agar rumus-rumus dalam bagian ini langsung bersesuaian dengan rumus-rumus dalam §§283-284 ialah bahwa kasus berdimensi \(r\) sangat penting dalam beberapa penerapan fungsi karakteristik yang utama, sehingga layak diperkenalkan sejak awal. Akibatnya, rumus-rumus dalam bagian ini tetap akan mempunyai unsur baru dibandingkan dengan rumus-rumus yang telah muncul sebelumnya.

285C

Tentu ada cara langsung untuk menggambarkan fungsi karakteristik suatu keluarga \((X_1,\ldots,X_r)\) variabel acak, sebagai berikut.

Proposisi Misalkan \(X_1,\ldots,X_r\) variabel-variabel acak bernilai real pada ruang probabilitas yang sama, dan \(\nu_{\pmb{X}}\) distribusi bersamanya. Maka fungsi karakteristiknya \(\phi_{\nu_{\pmb{X}}}\) diberikan oleh

\(\phi_{\nu_{\pmb{X}}}(y)=\Expn(e^{iy\dotproduct \pmb{X}}) =\Expn(e^{i\eta_1X_1}e^{i\eta_2X_2}\ldots e^{i\eta_rX_r})\)

untuk setiap \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\in\BbbR^r\).

285D

Saya perlu menjelaskan korespondensi antara transformasi Fourier, sebagaimana didefinisikan dalam 283A, dan fungsi karakteristik.

Proposisi Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\). Tuliskan

\(\varhat{\nu}(y) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}\nu(dx)\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\), dan tuliskan \(\phi_{\nu}\) untuk fungsi karakteristik dari \(\nu\).

(a) \(\varhat{\nu}(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\phi_{\nu}(-y)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(b) Untuk setiap fungsi Lebesgue terintegralkan bernilai kompleks \(h\) pada \(\Bbb R\),

\(\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{\nu}(y)h(y)dy =\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{h}(x)\nu(dx)\).

\(\int_{-\infty}^{\infty}h(x)\nu(dx) =\int_{-\infty}^{\infty}\varcheck{h}(y)\varhat{\nu}(y)dy\).

(d) Jika \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue, dengan turunan Radon–Nikodým \(f\), maka \(\varhat{\nu}\) merupakan transformasi Fourier dari \(f\).

Bukti

(a) Ini langsung mengikuti dari definisi \(\phi_{\nu}\) dan \(\varhat{\nu}\).

(b) Karena

\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} |h(y)|\nu(dx)dy=\int_{-\infty}^{\infty}|h(y)|dy<\infty\),

kita dapat menukar urutan integrasi dan memperoleh

\[\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{\nu}(y)h(y)dy &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}h(y)\nu(dx)dy\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}h(y)dy\,\nu(dx) =\int_{-\infty}^{\infty}\varhat{h}(x)\nu(dx).\\\end{aligned}\]

(c) Ini langsung mengikuti dari (b), karena \(\varcheck{h}\) terintegralkan dan \(\varcheck{h}\varhat{\phantom{h}}=h\) (284C).

(d) Intinya adalah bahwa

\(\int h\,d\nu=\int h(x)f(x)dx\)

untuk setiap fungsi Borel terukur terbatas \(h:\Bbb R\to\Bbb R\) (235K), dan karenanya juga untuk fungsi \(x\mapsto e^{-iyx}:\Bbb R\to\Bbb C\). Dengan demikian

\(\varhat{\nu}(y) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}\nu(dx) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)dx =\varhatf(y)\)

untuk setiap \(y\).

285E Lema

Misalkan \(X\) suatu variabel acak normal dengan ekspektasi \(a\) dan varians \(\sigma^2\), dengan \(\sigma>0\). Maka fungsi karakteristik \(X\) diberikan oleh rumus

\(\phi(y)=e^{iya}e^{-\sigma^2y^2/2}\).

285F

Sekarang saya berikan hasil yang bersesuaian dengan sebagian 283C, dengan penyempurnaan tambahan mengenai variabel acak bebas (285I).

Proposisi Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\), dan \(\phi\) fungsi karakteristiknya.

(a) \(\phi(0)=1\).

(b) \(\phi:\BbbR^r\to\Bbb C\) kontinu seragam.

(d) Jika \(r=1\) dan \(\int|x|\nu(dx)<\infty\), maka \(\phi'(y)\) ada dan sama dengan \(i\int xe^{ixy}\nu(dx)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(e) Jika \(r=1\) dan \(\int x^2\nu(dx)<\infty\), maka \(\phi''(y)\) ada dan sama dengan \(-\int x^2e^{ixy}\nu(dx)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

Bukti

(a) \(\phi(0)=\int\chi\BbbR^r\,d\nu=\nu(\BbbR^r)=1\).

(b) Misalkan \(\epsilon>0\). Pilih \(M>0\) sedemikian sehingga

\(\nu\{x:\|x\|\ge M\}\le\epsilon\),

dengan menulis \(\|x\|=\sqrt{x\dotproduct x}\) seperti biasa. Pilih \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|e^{ia}-1|\le\epsilon\) bila \(|a|\le\delta\). Sekarang andaikan \(y\), \(y'\in\BbbR^r\) memenuhi \(\|y-y'\|\le\delta/M\). Maka, bila \(\|x\|\le M\),

\(|e^{iy\dotproduct x}-e^{iy'\dotproduct x}| =|e^{iy'\dotproduct x}||e^{i(y-y')\dotproduct x}-1| =|e^{i(y-y')\dotproduct x}-1| \le\epsilon\)

karena

\(|(y-y')\dotproduct x|\le\|y-y'\|\|x\|\le\delta\).

Oleh karena itu, menulis \(B\) untuk \(\{x:\|x\|\le M\}\),

\[\begin{aligned}|\phi(y)-\phi(y')| &\le\int_B|e^{iy\dotproduct x}-e^{iy'\dotproduct x}|\nu(dx) \\&\qquad\qquad +\int_{\BbbR^r\setminus B}|e^{iy\dotproduct x}|\nu(dx) +\int_{\BbbR^r\setminus B}|e^{iy'\dotproduct x}|\nu(dx)\\ &\le\epsilon+\epsilon+\epsilon =3\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\phi\) kontinu seragam.

(c) Ini langsung;

\(\phi(-y)=\int e^{-iy\dotproduct x}\nu(dx) =\overline{\intop e^{iy\dotproduct x}\nu(dx)}=\overline{\phi(y)}\),

\(|\phi(y)|=|\int e^{iy\dotproduct x}\nu(dx)| \le\int|e^{iy\dotproduct x}|\nu(dx) =1\).

(d) Intinya adalah bahwa \(|\pd{}{y}e^{iyx}|=|x|\) untuk setiap \(x\), \(y\in\Bbb R\). Jadi, menurut 123D (diterapkan, tepatnya, pada bagian real dan imajiner fungsi),

\(\phi'(y) =\Bover{d}{dy}\int e^{iyx}\nu(dx) =\int\Pd{}{y}e^{iyx}\nu(dx) =\int ixe^{iyx}\nu(dx)\).

(e) Karena kini \(|\pd{}{y}xe^{iyx}|=x^2\) untuk setiap \(x\), \(y\), kita dapat mengulangi argumen untuk memperoleh

\(\phi''(y) =i\Bover{d}{dy} \int xe^{iyx}\nu(dx) =i\int \Pd{}{y}xe^{iyx}\nu(dx) =-\int x^2e^{iyx}\nu(dx)\).

285G Akibat

(a) Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real dengan ekspektasi berhingga, dan \(\phi\) fungsi karakteristiknya. \(\phi'(0)=i\Expn(X)\).

(b) Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real dengan varians berhingga, dan \(\phi\) fungsi karakteristiknya. \(\phi''(0)=-\Expn(X^2)\).

285H Catatan

Perhatikan bahwa tidak ada hasil yang bersesuaian dengan 283Cg (‘\(\lim_{|y|\to\infty}\varhatf(y) =0\)’). Jika \(\nu\) adalah ukuran Dirac pada \(\Bbb R\) yang terpusat di \(0\), yakni distribusi suatu variabel acak yang hampir di mana-mana bernilai nol, maka \(\phi(y)=1\) untuk setiap \(y\).

285I Proposisi

Misalkan \(X_1,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bernilai real yang bebas, dengan fungsi karakteristik \(\phi_{1},\ldots,\phi_{n}\). Misalkan \(\phi\) fungsi karakteristik dari jumlahnya \(X=X_1+\ldots+X_n\). Maka

\(\phi(y)=\prod_{j=1}^n\phi_j(y)\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

Komentar Lihat juga 285R di bawah.

285J

Ada teorema inversi untuk fungsi karakteristik yang bersesuaian dengan 283F. Saya menyajikannya dalam 285Xk, dengan versi berdimensi \(r\) dalam 285Yb. Namun, hasil ini tampaknya tidak seberguna rangkaian hasil berikut.

Lema Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R^r\), dan \(\phi\) fungsi karakteristiknya. Maka untuk \(1\le j\le r\) dan \(a>0\),

\(\nu\{x:|\xi_j|\ge a\} \le 7a\int_0^{1/a}(1-\Real\phi(te_j))dt\),

dengan \(e_j\in\BbbR^r\) vektor satuan ke-\(j\).

Bukti

Kita mempunyai

\[\begin{aligned}7a\int_0^{1/a}(1-\Real\phi(te_j))dt &=7a\int_0^{1/a} \bigl(1-\Real\int_{\Bbb R^r}e^{it\xi_j}\nu(dx)\bigr)dt\\ &=7a\int_0^{1/a}\int_{\Bbb R^r}1-\cos(t\xi_j)\nu(dx)dt\\ &=7a\int_{\Bbb R^r}\int_0^{1/a}1-\cos(t\xi_j)dt\,\nu(dx)\\ &\text{(karena }(x,t)\mapsto 1-\cos(t\xi_j)\text{ terbatas dan }\nu\BbbR^r\cdot\Bover1a\text{ berhingga)}\\ &=7a\int_{\Bbb R^r} \bigl(\bover1a-\bover1{\xi_j}\sin\bover{\xi_j}a\bigr)\nu(dx)\\ &\ge7a\int_{|\xi_j|\ge a} \bigl(\bover1a-\bover1{\xi_j}\sin\bover{\xi_j}a\bigr)\nu(dx)\\ &\text{(karena }\Bover1{\xi}\sin\Bover{\xi}{a}\le\Bover1a\text{ untuk setiap }\xi\ne 0\text{)}\\ &\ge\nu\{x:|\xi_j|\ge a\},\\\end{aligned}\]

karena

\(\Bover{\sin\eta}{\eta}\le\Bover{\sin 1}{1}\le\Bover67\) jika \(\eta\ge 1\),

sehingga

\(a(\Bover1a-\Bover1{\xi_j}\sin\Bover{\xi_j}a)\ge\Bover17\)

jika \(|\xi_j|\ge a\).

285K Fungsi karakteristik dan topologi samar

Kini saatnya kembali pada gagasan yang disebut secara singkat dalam 274L. Tetapkan \(r\ge 1\) dan misalkan \(P\) himpunan semua ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Untuk setiap fungsi kontinu terbatas \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\), definisikan \(\rho_h:P\times P\to\Bbb R\) dengan

\(\rho_h(\nu,\nuprime)=|\int h\,d\nu-\int h\,d\nuprime|\)

untuk \(\nu\), \(\nuprime\in P\). Maka topologi samar pada \(P\) ialah topologi yang dibangkitkan oleh pseudometrik-pseudometrik \(\rho_h\) (274Ld).

285L Teorema

Misalkan \(\nu\), \(\sequencen{\nu_n}\) ukuran-ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\), dengan fungsi karakteristik \(\phi\), \(\sequencen{\phi_n}\). Maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(i) \(\nu=\lim_{n\to\infty}\nu_n\) dalam topologi samar;

(ii) \(\int h\,d\nu=\lim_{n\to\infty}\int h\,d\nu_n\) untuk setiap fungsi kontinu terbatas \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\);

(iii) \(\lim_{n\to\infty}\phi_n(y)=\phi(y)\) untuk setiap \(y\in\BbbR^r\).

Bukti

(a) Ekuivalensi (i) dan (ii) pada dasarnya merupakan definisi topologi samar; kita mempunyai

\[\begin{aligned}\lim_{n\to\infty} &\nu_n=\nu\text{ dalam topologi samar}\\ &\iff\,\lim_{n\to\infty}\rho_h(\nu_n,\nu)=0 \text{ untuk setiap fungsi kontinu terbatas }h\\ &\text{(2A3Mc)}\\ &\iff\,\lim_{n\to\infty}|\int h\,d\nu_n-\int h\,d\nu|=0 \text{ untuk setiap fungsi kontinu terbatas }h.\\\end{aligned}\]

(b) Selanjutnya, (ii) jelas mengakibatkan (iii), karena

\(\Real\phi(y) =\int h_y\,d\nu =\lim_{n\to\infty}\int h_y\,d\nu_n =\lim_{n\to\infty}\Real\phi_n(y)\),

dengan menetapkan \(h_y(x)=\cos(x\dotproduct y)\) untuk setiap \(x\), dan demikian pula

\(\Imag\phi(y)=\lim_{n\to\infty}\Imag\phi_n(y)\)

untuk setiap \(y\in\BbbR^r\).

(c) Jadi tinggal dibuktikan bahwa (iii)\(\Rightarrow\)(ii). Saya mulai dengan menunjukkan bahwa, untuk setiap \(\epsilon>0\), ada himpunan tertutup terbatas \(K\) sedemikian sehingga

\(\nu_n(\BbbR^r\setminus K)\le\epsilon\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

Bukti. Kita tahu bahwa \(\phi(0)=1\) dan \(\phi\) kontinu di \(0\) (285Fb). Pilih \(a>0\) cukup besar sehingga bila \(j\le r\) dan \(|t|\le 1/a\), berlaku

\(1-\Real\phi(te_j)\le\Bover{\epsilon}{14r}\),

dengan menulis \(e_j\) untuk vektor satuan ke-\(j\), seperti dalam 285J. Maka

\(7a\int_0^{1/a} (1-\Real\phi(te_j))dt\le\Bover{\epsilon}{2r}\)

untuk setiap \(j\le r\). Menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue (karena fungsi-fungsi \(t\mapsto 1-\Real\phi_n(te_j)\) tentu terbatas secara seragam pada \([0,\bover1a]\)), ada \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(7a\int_0^{1/a} (1-\Real\phi_n(te_j))dt\le\Bover{\epsilon}{r}\)

untuk setiap \(j\le r\) dan \(n\ge n_0\). Namun, 285J sekarang memberi

\(\nu_n\{x:|\xi_j|\ge a\}\le\Bover{\epsilon}{r}\)

untuk setiap \(j\le r\), \(n\ge n_0\). Di sisi lain, tentu ada \(b\ge a\) sedemikian sehingga

\(\nu_n\{x:|\xi_j|\ge b\}\le\Bover{\epsilon}{r}\)

untuk setiap \(j\le r\), \(n<n_0\). Jadi, dengan menetapkan \(K=\{x:|\xi_j|\le b\text{ untuk setiap }j\le r\}\),

\(\nu_n(\BbbR^r\setminus K)\le\epsilon\)

untuk setiap \(n\in\Bbb N\), sesuai kebutuhan. ∎

(d) Sekarang ambil sembarang fungsi kontinu terbatas \(h:\BbbR^r\to\Bbb R\) dan \(\epsilon>0\). Tetapkan \(M=1+\sup_{x\in\BbbR^r}|h(x)|\), dan pilih himpunan tertutup terbatas \(K\) sedemikian sehingga

\(\nu_n(\BbbR^r\setminus K)\le\Bover{\epsilon}M\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(\nu(\BbbR^r\setminus K)\le\Bover{\epsilon}M\),

dengan menggunakan (b) di atas. Menurut teorema Stone–Weierstrass (281K), ada \(y_0,\ldots,y_m\in\Bbb Q^r\) dan \(c_0,\ldots,c_m\in\Bbb C\) sedemikian sehingga

\(|h(x)-g(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

\(|g(x)|\le M\) untuk setiap \(x\in\BbbR^r\),

dengan menulis \(g(x)=\sum_{k=0}^mc_ke^{iy_k\dotproduct x}\) untuk \(x\in\BbbR^r\). Sekarang

\(\lim_{n\to\infty}\int g\,d\nu_n =\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^mc_k\phi_n(y_k) =\sum_{k=0}^mc_k\phi(y_k) =\int g\,d\nu\).

Di sisi lain, untuk setiap \(n\in\Bbb N\),

\(|\int g\,d\nu_n-\int h\,d\nu_n| \le\int_K|g-h|d\nu_n+2M\nu_n(\BbbR^r\setminus K) \le 3\epsilon\),

dan dengan cara yang sama \(|\int g\,d\nu-\int h\,d\nu|\le 3\epsilon\). Oleh karena itu,

\(\limsup_{n\to\infty}|\int h\,d\nu_n-\int h\,d\nu|\le 6\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang,

\(\lim_{n\to\infty}\int h\,d\nu_n=\int h\,d\nu\),

dan (ii) benar.

285M Akibat

(a) Misalkan \(\nu\), \(\nuprime\) dua ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) dengan fungsi karakteristik yang sama. Maka keduanya sama.

(b) Misalkan \((X_1,\ldots,X_r)\) dan \((Y_1,\ldots,Y_r)\) dua keluarga variabel acak bernilai real. Jika

\(\Expn(e^{i\eta_1X_1+\ldots+i\eta_rX_r}) =\Expn(e^{i\eta_1Y_1+\ldots+i\eta_rY_r})\)

untuk semua \(\eta_1,\ldots,\eta_r\in\Bbb R\), maka \((X_1,\ldots,X_r)\) memiliki distribusi bersama yang sama dengan \((Y_1,\ldots,Y_r)\).

285N Catatan

Penerapan terpenting teorema ini barangkali adalah pembuktian baku Teorema Limit Pusat. Saya menguraikan gagasannya dalam 285Xq dan 285Yl-285Yo; rinciannya dapat ditemukan dalam kebanyakan buku teori probabilitas yang serius. Dua buku di rak saya ialah Shiryayev 84, § III.4, dan Feller 66, § XV.6. Namun, untuk memperoleh kekuatan penuh versi Lindeberg dari Teorema Limit Pusat, kita harus bekerja cukup keras. Karena itu, sebagai gantinya saya akan menggambarkan metode tersebut melalui suatu versi teorema Poisson (285Q). Saya mulai dengan dua lema yang sangat sering digunakan dalam hasil semacam ini.

285O Lema

Misalkan \(c_0,\ldots,c_n,d_0,\ldots,d_n\) bilangan-bilangan kompleks dengan modulus paling besar \(1\). Maka

\(|\prod_{k=0}^nc_k-\prod_{k=0}^nd_k| \le\sum_{k=0}^n|c_k-d_k|\).

285P Lema

Misalkan \(M\ge 0\) dan \(\epsilon>0\). Maka ada \(\eta>0\) dan \(y_0,\ldots,y_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga, bila \(X\), \(Z\) dua variabel acak bernilai real dengan \(\Expn(|X|)\le M\), \(\Expn(|Z|)\le M\) dan \(|\phi_X(y_j)-\phi_Z(y_j)|\le\eta\) untuk setiap \(j\le n\), maka \(F_X(a)\le F_Z(a+\epsilon)+\epsilon\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\), dengan \(\phi_X\) menyatakan fungsi karakteristik \(X\) dan \(F_X\) menyatakan fungsi distribusi \(X\).

Bukti

Kasus \(M=0\) langsung, sebab ketika itu \(X\) dan \(Z\) keduanya nol hampir di mana-mana. Jadi selanjutnya saya andaikan \(M>0\). Tetapkan \(\delta=\Bover{\epsilon}7>0\), \(b=\Bover{M}{\delta}\).

(a) Definisikan \(h_0:\Bbb R\to[0,1]\) dengan \(h_0(x)=\med(0,1-\Bover{x}{\delta},1)\) untuk \(x\in\Bbb R\). Maka \(h_0\) kontinu. Misalkan \(m=\lfloor\bover{b}{\delta}\rfloor\) merupakan bagian bulat dari \(\bover{b}{\delta}\), dan untuk \(-m\le k\le m+1\) tetapkan \(h_k(x)=h_0(x-k\delta)\).

Menurut teorema Stone–Weierstrass (sekali lagi 281K), ada \(y_0,\ldots,y_n\in\Bbb R\) dan \(c_0,\ldots,c_n\in\Bbb C\) sedemikian sehingga, dengan menulis \(g_0(x)=\sum_{j=0}^nc_je^{iy_jx}\),

\(|h_0(x)-g_0(x)|\le\delta\) untuk setiap \(x\in[-b-(m+1)\delta,b+m\delta]\),

\(|g_0(x)|\le 1\) untuk setiap \(x\in\Bbb R\).

Untuk \(-m\le k\le m+1\), tetapkan

\(g_k(x)=g_0(x-k\delta) =\sum_{j=0}^nc_je^{-iy_jk\delta}e^{iy_jx}\).

Tetapkan \(\eta=\delta/(1+\sum_{j=0}^n|c_j|)>0\).

\(\Expn(g_k(X)) =\Expn(\sum_{j=0}^nc_je^{-iy_jk\delta}e^{iy_jX}) =\sum_{j=0}^nc_je^{-iy_jk\delta}\phi_X(y_j)\),

dan dengan cara yang sama

\(\Expn(g_k(Z)) =\sum_{j=0}^nc_je^{-iy_jk\delta}\phi_Z(y_j)\),

sehingga

\(|\Expn(g_k(X))-\Expn(g_k(Z))| \le\sum_{j=0}^n|c_j||\phi_X(y_j)-\phi_Z(y_j)| \le\sum_{j=0}^n|c_j|\eta\le\delta\).

Selanjutnya,

\(|h_k(x)-g_k(x)|\le\delta\) untuk setiap \(x\in[-b-(m+1)\delta+k\delta,b+m\delta+k\delta]\supseteq[-b,b]\),

\(|h_k(x)-g_k(x)|\le 2\) untuk setiap \(x\),

\(\Pr(|X|\ge b)\le\Bover{M}{b}=\delta\),

sehingga \(\Expn(|h_k(X)-g_k(X)|)\le 3\delta\); dan demikian pula \(\Expn(|h_k(Z)-g_k(Z)|)\le 3\delta\). Dengan menggabungkan keduanya,

\(|\Expn(h_k(X))-\Expn(h_k(Z))|\le 7\delta=\epsilon\)

bila \(-m\le k\le m+1\).

(c) Sekarang andaikan \(-b\le a\le b\). Maka ada \(k\) sedemikian sehingga \(-m\le k\le m+1\) dan \(a\le k\delta\le a+\delta\). Karena

\(\chi\ocint{-\infty,a} \le\chi\ocint{-\infty,k\delta} \le h_k \le\chi\ocint{-\infty,(k+1)\delta} \le\chi\ocint{-\infty,a+2\delta}\),

kita harus mempunyai

\(\Pr(X\le a)\le\Expn(h_k(X))\),

\(\Expn(h_{k}(Z))\le\Pr(Z\le a+2\delta)\le\Pr(Z\le a+\epsilon)\).

Tetapi ini berarti bahwa

\(\Pr(X\le a)\le\Expn(h_k(X))\le\Expn(h_k(Z))+\epsilon \le\Pr(Z\le a+\epsilon)+\epsilon\)

bila \(a\in[-b,b]\).

(d) Untuk kasus \(a\ge b\), \(a\le -b\), kita tentu mempunyai

\(b(1-F_Z(b))=b\Pr(Z>b)\le\Expn(|Z|)\le M\),

jadi jika \(a\ge b\) maka

\(F_X(a)\le 1\le F_Z(a)+1-F_Z(b)\le F_Z(a)+\Bover{M}{b} =F_Z(a)+\delta\le F_Z(a+\epsilon)+\epsilon\).

Demikian juga,

\(bF_X(-b)\le \Expn(|X|)\le M\),

Jadi

\(F_X(a)\le\delta\le F_Z(a+\epsilon)+\epsilon\)

untuk setiap \(a\le -b\). Ini menyelesaikan pembuktian.

285Q Hukum kejadian langka: Teorema

Untuk setiap \(M\ge 0\) dan \(\epsilon>0\), ada \(\delta>0\) sedemikian sehingga bila \(X_0,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bebas bernilai \(\{0,1\}\) dengan \(\Pr(X_k=1)=p_k\le\delta\) untuk setiap \(k\le n\) dan \(\sum_{k=0}^np_k=\lambda\le M\), serta \(X=X_0+\ldots+X_n\), maka

\(|\Pr(X=m)-\Bover{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}|\le\epsilon\)

untuk setiap \(m\in\Bbb N\).

Bukti

(a) Kita mulai dengan menghitung beberapa fungsi karakteristik. Pertama, fungsi karakteristik \(\phi_k\) dari \(X_k\) diberikan oleh

\(\phi_k(y)=(1-p_k)e^{iy0}+p_ke^{iy1}=1+p_k(e^{iy}-1)\).

Selanjutnya, jika \(Z\) suatu variabel acak Poisson dengan parameter \(\lambda\) (yakni jika \(\Pr(Z=m)=\lambda^me^{-\lambda}/m!\) untuk setiap \(m\in\Bbb N\); satu-satunya hal yang perlu diketahui saat ini mengenai distribusi Poisson ialah bahwa \(\sum_{m=0}^{\infty}\lambda^me^{-\lambda}/m!=1\)), maka fungsi karakteristiknya \(\phi_Z\) diberikan oleh

\(\phi_Z(y) =\sum_{m=0}^{\infty}\Bover{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}e^{iym} =e^{-\lambda}\sum_{m=0}^{\infty}\Bover{(\lambda e^{iy})^m}{m!} =e^{-\lambda}e^{\lambda e^{iy}} =e^{\lambda(e^{iy}-1)}\).

(b) Sebelum mengurus nilai \(\delta\) dan \(\eta\), saya tunjukkan cara menaksir \(\phi_X(y)-\phi_Z(y)\). Kita tahu bahwa

\(\phi_X(y)=\prod_{k=0}^n\phi_k(y)\)

(menggunakan 285I), sementara

\(\phi_Z(y)=\prod_{k=0}^ne^{p_k(e^{iy}-1)}\).

Karena \(\phi_k(y)\) dan \(e^{p_k(e^{iy}-1)}\) semuanya bermodulus paling besar \(1\) (memang,

\(|e^{p_k(e^{iy}-1)}|=e^{-p_k(1-\cos y)}\le 1\),)

285O mengatakan kepada kita bahwa

\(|\phi_X(y)-\phi_Z(y)| \le\sum_{k=0}^n|\phi_k(y)-e^{p_k(e^{iy}-1)}| =\sum_{k=0}^n|e^{p_k(e^{iy}-1)}-1-p_k(e^{iy}-1)|\).

(c) Jadi kita perlu melakukan sedikit analisis. Untuk menaksir \(|e^z-1-z|\) ketika \(\Real z\le 0\), tinjau fungsi

\(g(t)=\Real(c(e^{tz}-1-tz))\)

dengan \(|c|=1\). Kita mempunyai \(g(0)=g'(0)=0\) dan

\(|g''(t)|=|\Real(c(z^2e^{tz}))|\le|c||z^2||e^{tz}|\le|z|^2\)

untuk setiap \(t\ge 0\), sehingga

\(|g(1)|\le\Bover12|z|^2\)

menurut teorema Taylor bernilai real dengan suku sisa, atau dengan cara lain. Karena \(c\) sembarang,

\(|e^{z}-1-z|\le\Bover12|z|^2\)

bila \(\Real z\le 0\). Khususnya,

\(|e^{p_k(e^{iy}-1)}-1-p_k(e^{iy}-1)| \le\Bover12p_k^2|e^{iy}-1|^2\le 2p_k^2\)

untuk setiap \(k\), dan

\(|\phi_X(y)-\phi_Z(y)| \le\sum_{k=0}^n|e^{p_k(e^{iy}-1)}-1-p_k(e^{iy}-1)| \le 2\sum_{k=0}^np_k^2\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(d) Sekarang untuk taksiran terperinci. Untuk \(M\ge 0\) dan \(\epsilon>0\), pilih \(\eta>0\) dan \(y_0,\ldots,y_l\in\Bbb R\) sedemikian sehingga

\(\Pr(X\le a)\le\Pr(Z\le a+\Bover12)+\Bover{\epsilon}2\)

bila \(X\), \(Z\) variabel-variabel acak bernilai real, \(\Expn(|X|)\le M\), \(\Expn(|Z|)\le M\) dan \(|\phi_X(y_j)-\phi_Z(y_j)|\le\eta\) untuk setiap \(j\le l\) (285P). Ambil \(\delta=\bover{\eta}{2M+1}\) dan andaikan \(X_0,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bebas bernilai \(\{0,1\}\) dengan \(\Pr(X_k=1)=p_k\le\delta\) untuk setiap \(k\le n\), dengan \(\lambda=\sum_{k=0}^np_k\) tidak lebih dari \(M\). Tetapkan \(X=X_0+\ldots+X_n\) dan misalkan \(Z\) variabel acak Poisson dengan parameter \(\lambda\). Maka, menurut argumen (a)–(c),

\(|\phi_X(y)-\phi_Z(y)|\le 2\sum_{k=0}^np_k^2 \le 2\delta\sum_{k=0}^np_k=2\delta\lambda\le\eta\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\). Selain itu,

\(\Expn(|X|)=\Expn(X)=\sum_{k=0}^np_k=\lambda\le M\),

\(\Expn(|Z|)=\Expn(Z) =\sum_{m=0}^{\infty}m\Bover{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} =e^{-\lambda}\sum_{m=1}^{\infty}\Bover{\lambda^m}{(m-1)!} =e^{-\lambda}\sum_{m=0}^{\infty}\Bover{\lambda^{m+1}}{m!} =\lambda\le M\).

Jadi

\(\Pr(X\le a)\le\Pr(Z\le a+\Bover12)+\Bover{\epsilon}2\),

\(\Pr(Z\le a)\le\Pr(X\le a+\Bover12)+\Bover{\epsilon}2\)

untuk setiap \(a\). Tetapi karena \(X\) dan \(Z\) hanya mengambil nilai dalam \(\Bbb N\),

\(|\Pr(X\le m)-\Pr(Z\le m)|\le\Bover{\epsilon}2\)

untuk setiap \(m\in\Bbb N\), dan

\(|\Pr(X=m)-\Bover{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}| =|\Pr(X=m)-\Pr(Z=m)| \le\epsilon\)

untuk setiap \(m\in\Bbb N\), sesuai kebutuhan.

285R Konvolusi

Ingat dari 257A bahwa jika \(\nu\), \(\tilde\nu\) ukuran-ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\), maka

keduanya mempunyai konvolusi \(\nu*\tilde\nu\) yang didefinisikan dengan

\((\nu*\tilde\nu)(E)=(\nu\times\tilde\nu)\{(x,y):x+y\in E\}\)

untuk setiap himpunan Borel \(E\subseteq\BbbR^r\); konvolusi ini juga merupakan ukuran probabilitas Radon. Menurut 257B, fungsi karakteristik \(\phi_{\nu*\tilde\nu}\) dapat dihitung langsung: kita mempunyai

\[\begin{aligned}\phi_{\nu*\tilde\nu}(y) &=\int e^{iy\dotproduct x}(\nu*\tilde\nu)(dx) =\int e^{iy\dotproduct (x+x')}\nu(dx)\tilde\nu(dx')\\ &=\int e^{iy\dotproduct x}e^{iy\dotproduct x'}\nu(dx)\tilde\nu(dx') =\int e^{iy\dotproduct x}\nu(dx) \int e^{iy\dotproduct x'}\tilde\nu(dx') =\phi_{\nu}(y)\phi_{\tilde\nu}(y)\end{aligned}\]

untuk setiap \(y\in\BbbR^r\). (Jadi konvolusi ukuran bersesuaian dengan perkalian titik demi titik fungsi karakteristik, sebagaimana konvolusi fungsi bersesuaian dengan perkalian titik demi titik transformasi Fourier.) Karena jumlah variabel acak bebas bersesuaian dengan konvolusi distribusinya (272T), ini memberi cara lain untuk memandang 285I. Ingat pula bahwa jika \(\nu\), \(\tilde\nu\) mempunyai turunan Radon–Nikodým \(f\), \(\tilde f\) terhadap ukuran Lebesgue, maka \(f*\tilde f\) merupakan turunan Radon–Nikodým dari \(\nu*\tilde\nu\) (257F).

285S Topologi samar dan konvergensi titik demi titik fungsi karakteristik

Dalam 285L kita melihat bahwa barisan \(\sequencen{\nu_n}\) ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) konvergen dalam topologi samar ke suatu ukuran probabilitas Radon \(\nu\) jika dan hanya jika

\(\lim_{n\to\infty}\int e^{iy\dotproduct x}\nu_n(dx)=\int e^{iy\dotproduct x}\nu(dx)\)

untuk setiap \(y\in\BbbR^r\); yakni, jika dan hanya jika

\(\lim_{n\to\infty}\rho'_y(\nu_n,\nu)=0\) untuk setiap \(y\in\Bbb R^r\),

dengan menulis

\(\rho'_y(\nu,\nuprime)=|\int e^{iy\dotproduct x}\nu(dx) -\int e^{iy\dotproduct x}\nuprime(dx)|\)

untuk ukuran-ukuran probabilitas Radon \(\nu\), \(\nuprime\) pada \(\BbbR^r\) dan \(y\in\BbbR^r\). Wajar untuk menanyakan apakah pseudometrik-pseudometrik \(\rho'_y\) benar-benar mendefinisikan topologi samar. Tuliskan \(\frak T\) untuk topologi samar dan \(\frak S\) untuk topologi yang didefinisikan oleh \(\{\rho'_y:y\in\BbbR^r\}\). Kita tentu mempunyai \(\frak S\subseteq\frak T\), karena setiap \(\rho'_y\) merupakan salah satu pseudometrik yang digunakan dalam definisi \(\frak T\). Kita juga tahu bahwa \(\frak S\) dan \(\frak T\) mempunyai barisan konvergen yang sama, serta bahwa \(\frak T\) termetrikkan (lihat 285Xt). Namun, semua ini belum berarti bahwa kedua topologi tersebut sama; hasil berikut menunjukkan bahwa keduanya memang berbeda.

285T Proposisi

Misalkan \(y_0,\ldots,y_n\in\Bbb R\) dan \(\eta>0\). Maka ada tak berhingga banyak \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(|1-e^{iy_km}|\le\eta\) untuk setiap \(k\le n\).

Bukti

Pilih \(\eta_1,\ldots,\eta_r\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(1=\eta_0,\eta_1,\ldots,\eta_r\) bebas linear atas \(\Bbb Q\) dan setiap \(y_k/2\pi\) merupakan kombinasi linear dari \(\eta_j\) atas \(\Bbb Q\); tuliskan \(y_k=2\pi\sum_{j=0}^rq_{kj}\eta_j\) dengan setiap \(q_{kj}\in\Bbb Q\). Nyatakan \(q_{kj}\) sebagai \(p_{kj}/p\), dengan setiap \(p_{kj}\in\Bbb Z\) dan \(p\in\Bbb N\setminus\{0\}\). Tetapkan \(M=\max_{k\le n}\sum_{j=0}^r|p_{kj}|\).

Ambil sembarang \(m_0\in\Bbb N\) dan pilih \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|1-e^{2\pi ix}|\le\eta\) bila \(|x|\le2\pi M\delta\). Menurut Teorema Ekuidistribusi Weyl (281N), ada tak berhingga banyak \(m\) sedemikian sehingga \(\fraction{m\eta_j}\le\delta\) bila \(1\le j\le r\); khususnya, ada yang memenuhi \(m\ge m_0\). Tetapkan \(m_j=\lfloor m\eta_j\rfloor\), sehingga \(|m\eta_j-m_j|\le\delta\) untuk \(0\le j\le r\). Maka

\(|mpy_k-2\pi\sum_{j=0}^rp_{kj}m_j| \le2\pi\sum_{j=0}^r|p_{kj}||m\eta_j-m_j| \le 2\pi M\delta\),

jadi bahwa

\(|1-e^{iy_kmp}| =|1-\exp(i(mpy_k-2\pi\sum_{j=0}^rp_{kj}m_j))| \le\eta\)

untuk setiap \(k\le n\). Karena \(mp\ge m_0\) dan \(m_0\) sembarang, hasilnya terbukti.

285U Akibat

Topologi \(\frak S\) dan \(\frak T\) pada ruang ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\), sebagaimana dijelaskan dalam 285S, berbeda.

Latihan

285X Latihan dasar (a)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), dan andaikan \(\int\|x\|\nu(dx)<\infty\). Tunjukkan bahwa fungsi karakteristik \(\phi\) dari \(\nu\) terdiferensialkan (dalam arti penuh 262Fa) dan bahwa \(\pd{\phi}{\eta_j}(y)=i\int\xi_je^{iy\dotproduct x}\nu(dx)\) untuk setiap \(j\le r\) dan \(y\in\BbbR^r\), dengan \(\xi_j\), \(\eta_j\) menyatakan koordinat \(x\) dan \(y\) seperti biasa.

285Xb (b) penting

Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_r)\) suatu keluarga variabel acak bernilai real, dengan fungsi karakteristik \(\phi_{\pmb{X}}\). Tunjukkan bahwa fungsi karakteristik \(\phi_{X_j}\) dari \(X_j\) diberikan oleh

\(\phi_{X_j}(y)=\phi_{\pmb{X}}(ye_j)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\),

dengan \(e_j\) vektor satuan ke-\(j\) dari \(\BbbR^r\).

285Xc (c) penting

Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real dan \(\phi_X\) fungsi karakteristiknya. Tunjukkan bahwa

\(\phi_{aX+b}(y)=e^{iyb}\phi_X(ay)\)

untuk setiap \(a\), \(b\), \(y\in\Bbb R\).

285Xd (d)

Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real yang tidak konstan secara esensial, dan \(\phi\) fungsi karakteristiknya. Tunjukkan bahwa \(|\phi(y)|<1\) untuk semua \(y\in\Bbb R\), kecuali mungkin sejumlah terhitung banyaknya. Petunjuk: Dukungan (256Xf) distribusi \(X\) memuat dua titik berbeda \(x\), \(x'\); jika \(e^{iyx}\ne e^{iyx'}\), maka \(|\phi(y)|<1\).

285Xe (e)

Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real dan \(\phi\) fungsi karakteristiknya.

(i) Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi terintegralkan bernilai kompleks \(h\) pada \(\Bbb R\),

\(\Expn(\varhat{h}(X))=\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\phi(-y)h(y)dy\),

dengan \(\varhat{h}\) menyatakan transformasi Fourier dari \(h\).

(ii) Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\),

\(\Expn(h(X)) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(y)\varhat{h}(y)dy\).

285Xf (f)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\), dan andaikan fungsi karakteristiknya \(\phi\) terintegralkan-kuadrat. Tunjukkan bahwa \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue dan turunan Radon–Nikodým-nya juga terintegralkan-kuadrat. Petunjuk: Gunakan 284O untuk mencari fungsi terintegralkan-kuadrat \(f\) sedemikian sehingga \(\int f\times h=\bover1{\sqrt{2\pi}}\int\phi\times\varhat{h}\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\), serta gagasan dari pembuktian 284G untuk menunjukkan bahwa \(\int_a^bf=\nu\ooint{a,b}\) bila \(a<b\) dalam \(\Bbb R\).

285Xg (g)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) dengan dukungan terbatas (definisi: 256Xf). Tunjukkan bahwa fungsi karakteristiknya mulus.

285Xh (h)

Misalkan \(X\) suatu variabel acak normal dengan ekspektasi \(a\) dan varians \(\sigma^2\). Tunjukkan bahwa \(\Expn(e^X)=\exp(a+\bover12\sigma^2)\).

285Xi (i) penting

Misalkan \(\pmb{X}=(X_1,\ldots,X_r)\) suatu keluarga variabel acak bernilai real dengan fungsi karakteristik \(\phi_{\pmb{X}}\). Andaikan \(\phi_{\pmb{X}}\) dapat dinyatakan dalam bentuk

\(\phi_{\pmb{X}}(y)=\prod_{j=1}^r\phi_j(\eta_j)\)

untuk fungsi-fungsi \(\phi_1,\ldots,\phi_r\), dengan menulis \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\) seperti biasa. Tunjukkan bahwa \(X_1,\ldots,X_r\) saling bebas. Petunjuk: Tunjukkan bahwa \(\phi_j\) harus merupakan kelipatan fungsi karakteristik \(X_j\); kemudian tunjukkan bahwa distribusi \(\pmb{X}\) mempunyai fungsi karakteristik yang sama dengan produk distribusi \(X_j\).

285Xj (j)

Misalkan \(X_1\), \(X_2\) variabel acak bernilai real yang bebas dengan distribusi yang sama, dan \(\phi\) fungsi karakteristik \(X_1-X_2\). Tunjukkan bahwa \(\phi(t)=\phi(-t)\ge 0\) untuk setiap \(t\in\Bbb R\).

285Xk (k)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\), dengan fungsi karakteristik \(\phi\). Tunjukkan bahwa

\(\Bover12(\nu[c,d]+\nu\ooint{c,d}) =\Bover{i}{2\pi}\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a\Bover{e^{-idy}-e^{-icy}}{y}\phi(y)dy\)

bila \(c<d\) dalam \(\Bbb R\). Petunjuk: Gunakan bagian (a) dari pembuktian 283F.

285Xl (l)

Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real dan \(\phi_X\) fungsi karakteristiknya. Tunjukkan bahwa

\(\Pr(|X|\ge a) \le 7a\int_0^{1/a}(1-\Real(\phi_X(y))dy\)

untuk setiap \(a>0\).

285Xm (m)

Kita mengatakan bahwa suatu himpunan \(Q\) ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\) ketat secara seragam jika untuk setiap \(\epsilon>0\) ada \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(\nu(\Bbb R\setminus[-M,M])\le\epsilon\) untuk setiap \(\nu\in Q\). Tunjukkan bahwa jika \(Q\) sembarang keluarga ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\) yang ketat secara seragam, dan \(\epsilon>0\), maka ada \(\eta>0\) dan \(y_0,\ldots,y_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga

\(\nu\ocint{-\infty,a} \le\nuprime\ocint{-\infty,a+\epsilon}+\epsilon\)

bila \(\nu\), \(\nuprime\in Q\) dan \(|\phi_{\nu}(y_j)-\phi_{\nuprime}(y_j)|\le\eta\) untuk setiap \(j\le n\), dengan \(\phi_{\nu}\) menyatakan fungsi karakteristik \(\nu\).

285Xn (n)

Misalkan \(\sequencen{\nu_n}\) suatu barisan ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\), dan andaikan barisan ini konvergen dalam topologi samar ke ukuran probabilitas Radon \(\nu\). Tunjukkan bahwa \(\{\nu\}\cup\{\nu_n:n\in\Bbb N\}\) ketat secara seragam dalam arti 285Xm.

285Xo (o) penting

Misalkan \(\nu\), \(\nuprime\) dua ukuran Radon berhingga total pada \(\BbbR^r\) yang sama pada semua setengah-ruang tertutup, yakni himpunan berbentuk \(\{x:x\dotproduct y\ge c\}\) untuk \(c\in\Bbb R\), \(y\in\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(\nu=\nuprime\). Petunjuk: Reduksikan pada kasus \(\nu\BbbR^r=\nuprime\Bbb R^r=1\) dan gunakan 285M.

285Xp (p) penting

Untuk \(\gamma>0\), distribusi Cauchy dengan pusat \(0\) dan parameter skala \(\gamma\) ialah ukuran probabilitas Radon \(\nu_{\gamma}\) yang didefinisikan oleh rumus

\(\nu_{\gamma}(E) =\Bover{\gamma}{\pi}\int_E\Bover1{\gamma^2+t^2}dt\).

(i) Tunjukkan bahwa jika \(X\) variabel acak dengan distribusi \(\nu_{\gamma}\), maka \(\Pr(X\ge 0)=\Pr(|X|\ge\gamma)=\bover12\). (ii) Tunjukkan bahwa fungsi karakteristik \(\nu_{\gamma}\) ialah \(y\mapsto e^{-\gamma|y|}\). Petunjuk: 283Xq. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(X\) dan \(Y\) variabel-variabel acak bebas dengan distribusi Cauchy, keduanya berpusat di \(0\) dan masing-masing mempunyai parameter skala \(\gamma\), \(\delta\), serta \(\alpha\), \(\beta\) tidak keduanya \(0\), maka \(\alpha X+\beta Y\) mempunyai distribusi Cauchy berpusat di \(0\) dengan parameter skala \(|\alpha|\gamma+|\beta|\delta\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(X\) dan \(Y\) variabel acak bebas berdistribusi normal dengan ekspektasi \(0\), maka \(X/Y\) mempunyai distribusi Cauchy.

285Xq (q) penting

Misalkan \(X_1,X_2,\ldots\) suatu barisan variabel acak bebas dan berdistribusi identik, semuanya dengan ekspektasi nol dan varians \(1\); misalkan \(\phi\) fungsi karakteristik bersamanya. Untuk setiap \(n\ge 1\), tetapkan \(S_n=\bover1{\sqrt{n}}(X_1+\ldots+X_n)\).

(i) Tunjukkan bahwa fungsi karakteristik \(\phi_n\) dari \(S_n\) diberikan dengan rumus \(\phi_n(y)=(\phi(\Bover{y}{\sqrt{n}}))^{n}\) untuk setiap \(n\).

(ii) Tunjukkan bahwa \(|\phi_n(y)-e^{-y^2/2}|\le n|\phi(\Bover{y}{\sqrt{n}})-e^{-y^2/2n}|\) untuk \(n\ge 1\) dan \(y\in\Bbb R\).

(iii) Dengan menetapkan \(h(y)=\phi(y)-e^{-y^2/2}\), tunjukkan bahwa \(h(0)=h'(0)=h''(0)=0\), dan karena itu \(\lim_{n\to\infty} nh(y/\sqrt{n})=0\), sehingga \(\lim_{n\to\infty}\phi_n(y)=e^{-y^2/2}\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(iv) Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\Pr(S_n\le a) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^ae^{-x^2/2}dx\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\).

285Xr (r) penting

Variabel acak \(X\) mempunyai distribusi Poisson dengan parameter \(\lambda>0\) jika \(\Pr(X=n)=e^{-\lambda}\lambda^n/n!\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). (i) Tunjukkan bahwa dalam hal ini \(\Expn(X)=\Var(X)=\lambda\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(X\) dan \(Y\) variabel acak bebas dengan distribusi Poisson, maka \(X+Y\) mempunyai distribusi Poisson. (iii) Carilah pembuktian (ii) berdasarkan 285Q.

285Xs (s) penting

Untuk \(x\in\BbbR^r\), misalkan \(\delta_x\) ukuran Dirac pada \(\BbbR^r\) yang terpusat di \(x\). Tunjukkan bahwa \(\delta_x*\delta_y=\delta_{x+y}\) untuk semua \(x\), \(y\in\BbbR^r\).

285Xt (t)

Misalkan \(P\) himpunan ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Untuk \(y\in\BbbR^r\), tetapkan \(\rho'_y(\nu,\nuprime)=|\phi_{\nu}(y)-\phi_{\nuprime}(y)|\) untuk semua \(\nu\), \(\nuprime\in P\), menulis \(\phi_{\nu}\) untuk fungsi karakteristik dari \(\nu\). Tetapkan \(\psi(x)=\bover1{(\sqrt{2\pi})^r}e^{-x\dotproduct x/2}\) untuk \(x\in\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa topologi samar pada \(P\) didefinisikan oleh keluarga \(\{\rho_{\psi}\}\cup\{\rho'_y:y\in\Bbb Q^r\}\), dengan \(\rho_{\psi}\) didefinisikan seperti dalam 285K, dan karenanya termetrikkan. Petunjuk: 281K; bandingkan 285Xm.

285Xu (u) penting

Misalkan \(\phi:\BbbR^r\to\Bbb C\) fungsi karakteristik suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(\phi(0)=1\) dan \(\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^nc_j\bar c_k\phi(a_j-a_k)\ge 0\) bila \(a_0,\ldots,a_n\in\BbbR^r\) dan \(c_0,\ldots,c_n\in\Bbb C\). (‘Teorema Bochner’ menyatakan bahwa syarat-syarat ini tidak hanya perlu, tetapi juga cukup, agar \(\phi\) menjadi fungsi karakteristik; lihat 445N dalam Jilid 4.)

285Y Latihan lebih lanjut (a)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Tuliskan

\(\varhat{\nu}(y)=\Bover1{(\sqrt{2\pi})^r} \int e^{-iy\dotproduct x}\nu(dx)\)

untuk setiap \(y\in\BbbR^r\).

(i) Dengan \(\phi_{\nu}\) menyatakan fungsi karakteristik dari \(\nu\), tunjukkan bahwa \(\varhat{\nu}(y) =\Bover1{(\sqrt{2\pi})^r}\phi_{\nu}(-y)\) untuk setiap \(y\in\BbbR^r\).

(ii) Tunjukkan bahwa \(\int h(y)\varhat{\nu}(y)dy=\int\varhat h(x)\nu(dx)\) untuk setiap fungsi Lebesgue terintegralkan bernilai kompleks \(h\) pada \(\BbbR^r\), dengan transformasi Fourier \(\varhat{h}\) didefinisikan seperti dalam 283Wa.

(iii) Tunjukkan bahwa \(\int h(x)\nu(dx) =\int\varcheck{h}(y)\varhat{\nu}(y)dy\) untuk setiap fungsi uji yang menurun cepat \(h\) pada \(\BbbR^r\).

(iv) Tunjukkan bahwa jika \(\nu\) merupakan ukuran integral tak tentu terhadap ukuran Lebesgue, dengan turunan Radon–Nikodým \(f\), maka \(\varhat{\nu}\) merupakan transformasi Fourier dari \(f\).

285Yb (b)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\), dengan fungsi karakteristik \(\phi\). Tunjukkan bahwa bila \(c\le d\) dalam \(\BbbR^r\), maka

\[\bigl(\bover{i}{2\pi}\bigr)^r\lim_{\alpha_1,\ldots,\alpha_r\to\infty} \int_{[-a,a]}\bigl(\prod_{j=1}^r \Bover{e^{-i\delta_j\eta_j}-e^{-i\gamma_j\eta_j}}{\eta_j}\bigr) \phi(y)dy\]

ada dan nilainya terletak di antara \(\nu\ooint{c,d}\) dan \(\nu[c,d]\), dengan menulis \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\) dan \(\ooint{c,d}=\prod_{j\le r}\ooint{\gamma_j,\delta_j}\) jika \(c=(\gamma_1,\ldots,\gamma_r)\) dan \(d=(\delta_1,\ldots,\delta_r)\).

285Yc (c)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak bebas dan berdistribusi identik (yang tidak konstan secara esensial). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\Pr(|\sum_{k=0}^nX_k|\le\alpha)=0\) untuk setiap \(\alpha\in\Bbb R\).

285Yd (d)

Untuk ukuran-ukuran probabilitas Radon \(\nu\), \(\nuprime\) pada \(\BbbR^r\), tetapkan

\[\begin{aligned}\rho(\nu,\nuprime)=\inf\{\epsilon:\epsilon\ge 0,\, \nu\ocint{-\infty,a}\le\nuprime\ocint{-\infty,a+\epsilon\tbf{1}}+\epsilon &\le\nu\ocint{-\infty,a+2\epsilon\tbf{1}}+2\epsilon\\ &\text{untuk setiap }a\in\BbbR^r\},\\\end{aligned}\]

dengan menulis \(\ocint{-\infty,a} =\{(\xi_1,\ldots,\xi_r):\xi_j\le\alpha_j\) untuk setiap \(j\le r\}\) bila \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\), dan \(\tbf{1}=(1,\ldots,1)\in\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(\rho\) merupakan metrik pada himpunan ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\), dan topologi yang didefinisikannya ialah topologi samar. (Bandingkan 274Yc.)

285Ye (e)

Misalkan \(r\ge 1\) dan \(P\) himpunan ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Untuk \(m\in\Bbb N\), misalkan \(\rho^*_m\) pseudometrik pada \(P\) yang didefinisikan dengan \(\rho^*_m(\nu,\nuprime)=\sup_{\|y\|\le m}|\phi_{\nu}(y)-\phi_{\nuprime}(y)|\) untuk \(\nu\), \(\nuprime\in P\), dengan \(\phi_{\nu}\) menyatakan fungsi karakteristik \(\nu\). Tunjukkan bahwa \(\{\rho^*_m:m\in\Bbb N\}\) mendefinisikan topologi samar pada \(P\).

285Yf (f)

Misalkan \(r\ge 1\). Kita mengatakan bahwa suatu himpunan \(Q\) ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) ketat secara seragam jika untuk setiap \(\epsilon>0\) ada himpunan kompak \(K\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\nu(\BbbR^r\setminus K)\le\epsilon\) untuk setiap \(\nu\in Q\). Tunjukkan bahwa jika \(Q\) sembarang keluarga ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\) yang ketat secara seragam, dan \(\epsilon>0\), maka ada \(\eta>0\), \(y_0,\ldots,y_n\in\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\nu\ocint{-\infty,a}\le\nuprime\ocint{-\infty,a+\epsilon\tbf{1}}+\epsilon\) bila \(\nu\), \(\nuprime\in Q\) dan \(a\in\BbbR^r\), serta \(|\phi_{\nu}(y_j)-\phi_{\nuprime}(y_j)|\le\eta\) untuk setiap \(j\le n\), dengan \(\phi_{\nu}\) menyatakan fungsi karakteristik \(\nu\).

285Yg (g)

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(M\ge 0\), himpunan ukuran probabilitas Radon \(\nu\) pada \(\BbbR^r\) yang memenuhi \(\int\|x\|\nu(dx)\le M\) ketat secara seragam dalam arti 285Yf.

285Yh (h)

Misalkan \(C_b(\BbbR^r)\) ruang Banach fungsi-fungsi kontinu terbatas bernilai real pada \(\BbbR^r\).

(i) Tunjukkan bahwa setiap ukuran probabilitas Radon \(\nu\) pada \(\Bbb R^r\) bersesuaian dengan fungsional linear kontinu \(h_{\nu}:C_b(\Bbb R^r)\to\Bbb R\), dengan \(h_{\nu}(f)=\int fd\nu\) untuk \(f\in C_b(\Bbb R^r)\).

(ii) Tunjukkan bahwa jika \(h_{\nu}=h_{\nuprime}\), maka \(\nu=\nuprime\).

(iii) Tunjukkan bahwa topologi samar pada himpunan ukuran probabilitas Radon bersesuaian dengan topologi lemah* pada ruang dual \((C_b(\BbbR^r))^*\) dari \(C_b(\BbbR^r)\).

285Yi (i)

Misalkan \(r\ge 1\) dan \(P\) himpunan ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Untuk \(m\in\Bbb N\), misalkan \(\tilde\rho^*_m\) pseudometrik pada \(P\) yang didefinisikan dengan

\(\tilde\rho^*_m(\nu,\nuprime) =\int_{\{y:\|y\|\le m\}}|\phi_{\nu}(y)-\phi_{\nuprime}(y)|dy\)

untuk \(\nu\), \(\nuprime\in P\), dengan \(\phi_{\nu}\) menyatakan fungsi karakteristik \(\nu\). Tunjukkan bahwa \(\{\tilde\rho^*_m:m\in\Bbb N\}\) mendefinisikan topologi samar pada \(P\).

285Yj (j)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas. Andaikan \(\sequencen{X_n}\) barisan variabel acak bernilai real pada \(\Omega\), dan \(X\) variabel acak bernilai real lainnya pada \(\Omega\); misalkan \(\phi_{X_n}\), \(\phi_X\) fungsi karakteristik yang bersesuaian. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(\lim_{n\to\infty}\Expn(h(X_n))=\Expn(h(X))\) untuk setiap fungsi kontinu terbatas \(h:\Bbb R\to\Bbb R\); (ii) \(\lim_{n\to\infty}\phi_{X_n}(y)=\phi_X(y)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

285Yk (k)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(P\) himpunan ukuran probabilitas Radon pada \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa ada fungsi \(\psi:L^0(\mu)\to P\) yang didefinisikan dengan menyatakan bahwa \(\psi(X^{\ssbullet})\) ialah distribusi \(X\) bila \(X\) variabel acak bernilai real pada \(\Omega\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\psi\) kontinu untuk topologi konvergensi dalam ukuran pada \(L^0(\mu)\) dan topologi samar pada \(P\). (Bandingkan 271Yd.)

285Yl (l)

Misalkan \(X\) variabel acak bernilai real dengan varians berhingga. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\eta\ge 0\),

\(|\phi(y)-1-iy\Expn(X)+\Bover12y^2\Expn(X^2)| \le\Bover16\eta|y|^3\Expn(X^2) +y^2\Expn(\psi_{\eta}(X))\),

dengan \(\phi\) menyatakan fungsi karakteristik \(X\) dan \(\psi_{\eta}(x)=0\) untuk \(|x|\le\eta\), \(x^2\) untuk \(|x|>\eta\).

285Ym (m)

Misalkan \(\epsilon\ge\delta>0\) dan \(X_0,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bernilai real yang bebas sedemikian sehingga

\(\Expn(X_k)=0\) untuk setiap \(k\le n\), \(\sum_{k=0}^n\Var(X_k)=1\), \(\sum_{k=0}^n\Expn(\psi_{\delta}(X_k))\le\delta\)

(dengan menulis \(\psi_{\delta}(x)=0\) jika \(|x|\le\delta\), dan \(x^2\) jika \(|x|>\delta\)). Tetapkan \(\gamma=\epsilon/\sqrt{\delta^2+\delta}\), dan misalkan \(Z\) suatu variabel acak normal standar. Tunjukkan bahwa

\(|\phi(y)-e^{-y^2/2}| \le\Bover13\epsilon|y|^3+y^2(\delta+\Expn(\psi_{\gamma}(Z)))\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\), dengan \(\phi\) menyatakan fungsi karakteristik dari \(X=\sum_{k=0}^nX_k\).

285Yn (n)

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) ada \(\delta>0\) sedemikian sehingga bila \(X_0,\ldots,X_n\) variabel-variabel acak bernilai real yang bebas dan memenuhi

\(\Expn(X_k)=0\) untuk setiap \(k\le n\), \(\sum_{k=0}^n\Var(X_k)=1\), \(\sum_{k=0}^n\Expn(\psi_{\delta}(X_k))\le\delta\)

(dengan menulis \(\psi_{\delta}(x)=0\) jika \(|x|\le\delta\), dan \(x^2\) jika \(|x|>\delta\)), maka \(|\phi(y)-e^{-y^2/2}|\le\epsilon(y^2+|y^3|)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\), dengan \(\phi\) menyatakan fungsi karakteristik dari \(X=X_0+\ldots+X_n\).

285Yo (o)

Gunakan 285Yn untuk membuktikan teorema Lindeberg (274F).

285Yp (p)

Misalkan \(r\ge 1\) dan \(P\) himpunan ukuran probabilitas Radon pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa konvolusi, dipandang sebagai pemetaan dari \(P\times P\) ke \(P\), kontinu bila \(P\) diberi topologi samar.

285Yq (q)

Misalkan \(\frak S\) topologi pada \(\Bbb R\) yang didefinisikan oleh \(\{\rho'_y:y\in\Bbb R\}\), dengan \(\rho'_y(x,x')=|e^{iyx}-e^{iyx'}|\) (bandingkan 285S). Tunjukkan bahwa penjumlahan dan pengurangan kontinu untuk \(\frak S\) dalam arti 2A5A.

285Yr (r)

Misalkan \(\nu\) suatu ukuran probabilitas pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(|\phi_{\nu}(y)-\phi_{\nu}(y')|^2\le 2(1-\Real\phi_{\nu}(y-y'))\) untuk setiap \(y\), \(y'\in\Bbb R\).

285Ys (s)

Misalkan \(\sequencen{\nu_n}\) suatu barisan ukuran probabilitas pada \(\Bbb R\). Tetapkan \(E=\{y:y\in\Bbb R\), \(\lim_{n\to\infty}\phi_{\nu_n}(y)=1\}\). (i) Tunjukkan bahwa \(E-E\) dan \(E+E\) termuat dalam \(E\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(E\) tidak terabaikan terhadap ukuran Lebesgue, maka himpunan itu adalah seluruh \(\Bbb R\).

285Yt (t)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak bernilai real yang saling bebas, dan tetapkan \(S_n=\sum_{j=0}^nX_j\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Andaikan barisan distribusi \(\sequencen{\nu_{S_n}}\) konvergen dalam topologi samar ke suatu distribusi. Tunjukkan bahwa \(\sequencen{S_n}\) konvergen dalam ukuran, dan karena itu konvergen hampir di mana-mana.

Catatan dan komentar

285 Catatan penutup untuk Bagian 285

Seperti halnya transformasi Fourier, kekuatan metode yang menggunakan fungsi karakteristik distribusi bertumpu pada tiga hal: (i) fungsi karakteristik suatu distribusi menentukan distribusi itu (285M); (ii) sifat distribusi yang kita minati tercermin pada sifat fungsi karakteristiknya yang mudah dianalisis (285G, 285I, 285J); (iii) sifat-sifat fungsi karakteristik tersebut benar-benar berbeda dari sifat-sifat yang bersesuaian pada distribusi, sehingga dapat ditelaah dengan cara lain. Yang terpenting, fakta bahwa (untuk barisan!) konvergensi distribusi dalam topologi samar bersesuaian dengan konvergensi titik demi titik fungsi karakteristik (285L) memberi kita jalan menuju teorema limit klasik, seperti dalam 285Q dan 285Xq. Dalam 285S-285U saya menunjukkan bahwa hasil untuk barisan ini tidak langsung bersesuaian dengan karakterisasi alternatif topologi samar, meskipun hasil itu dapat diadaptasi dengan lebih dari satu cara untuk memberikan karakterisasi semacam itu (lihat 285Ye-285Yi).

Mengenai Teorema Limit Pusat, ada satu perbedaan mencolok antara metode yang disarankan di sini dan metode dalam §274. Pendekatan sebelumnya setidaknya menawarkan kemungkinan teoretis untuk memberikan rumus eksplisit bagi \(\delta\) dalam 274F sebagai fungsi dari \(\epsilon\), dan dengan demikian taksiran laju konvergensi yang dapat diharapkan dalam Teorema Limit Pusat. Argumen dalam bab ini melibatkan argumen kekompakan yang sepenuhnya nonkonstruktif dalam 281A, sehingga tidak memberi kita cara untuk memperoleh taksiran semacam itu. Namun, sebenarnya metode fungsi karakteristik, setelah disempurnakan secara tepat, merupakan dasar taksiran terbaik yang diketahui, seperti dalam teorema Berry–Esséen (274Hc).

Dalam 285D saya mencoba menunjukkan bagaimana fungsi karakteristik \(\phi_{\nu}\) dari suatu ukuran probabilitas Radon dapat dihubungkan dengan ‘transformasi Fourier’ \(\varhat{\nu}\) dari \(\nu\) yang langsung bersesuaian dengan transformasi Fourier fungsi yang dibahas dalam §§283-284. Jika \(f\) fungsi Lebesgue terintegralkan tak negatif dan kita mengambil \(\nu\) sebagai ukuran integral tak tentu yang bersesuaian, maka \(\varhat{\nu}=\varhatf\). Jadi konsep ‘transformasi Fourier suatu ukuran’ merupakan perluasan alami transformasi Fourier fungsi terintegralkan. Dilihat dari arah sebaliknya, rumus dalam 285Dc menunjukkan bahwa \(\nu\) dapat dipandang sebagai representasi transformasi Fourier invers dari \(\varhat{\nu}\) dalam arti 284H-284I. Dengan mengambil \(\nu\) sebagai ukuran yang memberi massa \(1\) pada titik \(0\), kita memperoleh fungsi delta Dirac, dengan transformasi Fourier berupa fungsi konstan \(\chi\Bbb R\). Gagasan-gagasan ini dapat diperluas tanpa kesulitan untuk menangani konvolusi ukuran (285R).

Menarik bahwa, meskipun tidak ada karakterisasi memuaskan bagi fungsi-fungsi yang merupakan transformasi Fourier dari fungsi terintegralkan, ada karakterisasi bagi fungsi karakteristik distribusi probabilitas. Inilah ‘teorema Bochner’. Saya memberikan syaratnya dalam 285Xu dan meminta Anda membuktikan keperluannya sebagai latihan; kita sudah mempunyai tiga perempat perangkat untuk membuktikan kecukupannya, tetapi langkah terakhir harus menunggu Jilid 4.