Transformasi Fourier I — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang saya beralih ke teori transformasi Fourier pada \(\Bbb R\). Dalam bagian pertama dari dua bagian mengenai topik ini, saya menyajikan bagian teori dasar yang dapat ditangani dengan metode dari bagian sebelumnya mengenai deret Fourier. Namun, saya tidak menemukan cara untuk memahami teori ini tanpa memperkenalkan sebagian teori distribusi L.Schwartz, yang saya sajikan dalam §284. Seperti dalam §282, pembahasan ini tentu saja baru merupakan suatu permulaan.

Seluruh teori ini juga dapat dikembangkan pada \(\BbbR^r\). Namun saya menyerahkan perluasan tersebut kepada latihan, karena hanya ada sedikit gagasan baru, rumus-rumusnya jauh lebih rumit, dan setidaknya dalam jilid ini saya tidak memerlukan versi multidimensi dari teorema-teorema tersebut, meskipun sebagian gagasan yang sama akan muncul dalam bentuk multidimensi dalam §285.

283A Definisi

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\).

283Aa (a)

Transformasi Fourier dari \(f\) adalah fungsi \(\varhatf:\Bbb R\to\Bbb C\) yang didefinisikan oleh

\(\varhatf(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-iyx}f(x)dx\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\). (Tentu saja integral selalu ditentukan karena \(x\mapsto e^{-iyx}\) terbatas dan kontinu, oleh karena itu terukur.)

283Ab (b)

transformasi Fourier invers dari \(f\) adalah fungsi \(\varcheckf:\Bbb R\to\Bbb C\) yang ditentukan oleh

\(\varcheckf(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{iyx}f(x)dx\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

283B Keterangan (a)

Ini adalah fitur yang agak menjengkelkan dari teori dari transformasi Fourier – menjengkelkan, yaitu, untuk orang luar seperti saya – bahwa sebenarnya tidak ada definisi standar dari ‘transformasi Fourier’. Definisi yang paling umum, menurut saya, adalah,

\(\varhatf(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\mp iyx}f(x)dx\),

\(\varhatf(y)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\mp iyx}f(x)dx\),

\(\varhatf(y)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\mp 2\pi iyx}f(x)dx\),

sesuai dengan transformasi Fourier invers

\(\varcheckf(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm iyx}f(x)dx\),

\(\varcheckf(y)=\Bover1{{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm iyx}f(x)dx\),

\(\varcheckf(y)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm 2\pi iyx}f(x)dx\).

Saya serahkan kepada pembaca untuk memeriksa bahwa seluruh teori dapat dijalankan dengan sembarang di antara keenam pasangan ini, serta menyelidiki kemungkinan-kemungkinan lain (lihat 283Xa-283Xb di bawah).

283Bb (b)

Ungkapan ‘transformasi Fourier’ dan ‘transformasi Fourier invers’ menunjukkan bahwa \((\varhatf)\varspcheck\) semestinya sama dengan \(f\), setidaknya dalam beberapa keadaan. Hal ini memang benar, tetapi kelas fungsi \(f\) yang memenuhinya secara harfiah agak terbatas; kita masih harus menunggu sebelum menyelidikinya.

283Bc (c)

Betapa pun konstanta-konstanta diatur seperti pada (a), kita tidak dapat membuat \(\varhatf\) dan \(\varcheckf\) benar-benar sama. Namun, dengan definisi yang saya pilih, kita mempunyai \(\varcheckf(y)=\varhatf(-y)\) untuk setiap \(y\), sehingga \(\varcheckf\) dan \(\varhatf\) pada dasarnya memiliki semua sifat yang sama yang kita perlukan di sini; khususnya, segala sesuatu dalam proposisi berikutnya akan valid dengan \(\varspcheck\) di tempat \(\varsphat\), jika Anda mengubah tanda di titik-titik yang sesuai pada bagian (c), (h), dan (i).

283C Proposisi

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\).

(a) \((f+g)\varsphat=\varhatf+\varhat{g}\).

(b) \((cf)\varsphat=c\varhatf\) untuk setiap \(c\in\Bbb C\).

(c) Jika \(c\in\Bbb R\) dan \(h(x)=f(x+c)\) kapan pun ruas ini terdefinisi, maka \(\varhat{h}(y)=e^{icy}\varhatf(y)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(d) Jika \(c\in\Bbb R\) dan \(h(x)=e^{icx}f(x)\) untuk setiap \(x\in\dom f\), lalu \(\varhat{h}(y)=\varhatf(y-c)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(e) Jika \(c>0\) dan \(h(x)=f(cx)\) kapan pun ruas ini terdefinisi, lalu \(\varhat{h}(y)=\Bover1c\varhatf(\Bover{y}{c})\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(f) \(\varhatf:\Bbb R\to\Bbb C\) kontinu.

(g) \(\lim_{y\to\infty}\varhatf(y)=\lim_{y\to-\infty}\varhatf(y)=0\).

(h) Jika \(\int_{-\infty}^{\infty}|xf(x)|dx<\infty\), maka \(\varhatf\) adalah terdiferensiasi, dan turunannya adalah

\(\varhatf '(y)=-\Bover{i}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}xf(x)dx\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

(i) Jika \(f\) kontinu mutlak pada setiap interval terbatas dan \(f'\) dapat diintegralkan, maka \((f')\varsphat(y)=iy\varhatf(y)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

Bukti

(a) dan (b) adalah sepele, dan (c), (d) dan (e) adalah substitusi dasar.

(f) Jika \(\sequencen{y_n}\) adalah sembarang barisan konvergen di \(\Bbb R\) dengan limit \(y\), maka

\[\begin{aligned}\varhatf(y) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\to\infty}e^{-iy_nx}f(x)dx\\ &=\lim_{n\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iy_nx}f(x)dx =\lim_{n\to\infty}\varhatf(y_n)\\\end{aligned}\]

oleh Teorema Konvergensi Dominasi Lebesgue, karena \(|e^{-iy_nx}f(x)|\le|f(x)|\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\) dan \(x\in\dom f\). Karena \(\sequencen{y_n}\) bersifat arbitrer, \(\varhatf\) bersifat kontinu.

(g) Ini hanya lema Riemann–Lebesgue (282E).

(h) Intinya \(|\pd{}{y}e^{-iyx}f(x)|=|xf(x)|\) kapan saja \(x\in\dom f\) dan \(y\in\Bbb R\). Jadi oleh 123D

\[\begin{aligned}\varhatf '(y) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\Bover{d}{dy} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)dx =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\Bover{d}{dy}\int_{\dom f} e^{-iyx}f(x)dx\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{\dom f} \Bover{\partial}{\partial y}e^{-iyx}f(x)dx =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} -ixe^{-iyx}f(x)dx\\ &=-\Bover{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-iyx}f(x)dx.\\\end{aligned}\]

(i) Karena \(f\) kontinu mutlak di setiap interval terbatas,

\(f(x)=f(0)+\int_0^xf'\) untuk \(x\ge 0\), \(f(x)=f(0)-\int_x^0f'\) untuk \(x\le 0\).

Karena \(f'\) dapat diintegralkan,

\(\lim_{x\to\infty}f(x)=f(0)+\int_0^{\infty}f'\), \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=f(0)-\int_{-\infty}^0f'\)

keduanya ada. Karena \(f\) juga dapat diintegralkan, kedua batas harus nol. Sekarang kita dapat melakukan integrasi parsial (225F) untuk melihat bahwa

\[\begin{aligned}(f')\varsphat(y) &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f'(x)dx =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}e^{-iyx}f'(x)dx\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\bigl(\lim_{a\to\infty}e^{-iya}f(a) -\lim_{a\to-\infty}e^{-iya}f(a)\bigr) +\Bover{iy}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)dx\\ &=iy\varhatf(y).\\\end{aligned}\]

283D Lema

(a) \(\lim_{a\to\infty}\int_{0}^a\bover{\sin x}{x}dx=\bover{\pi}2\), \(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\bover{\sin x}{x}dx=\pi\).

(b) Terdapat \(K<\infty\) sehingga \(|\int_a^b\bover{\sin cx}{x}dx|\le K\) kapan pun \(a\le b\) dan \(c\in\Bbb R\).

Bukti

(a)(i) Atur

\(F(a)=\int_0^a\Bover{\sin x}{x}dx\) jika \(a\ge 0\), \(F(a)=-\int_{-a}^0\Bover{\sin x}{x}dx\) jika \(a\le 0\),

sehingga \(F(a)=-F(-a)\) dan \(\int_a^b\bover{\sin x}{x}dx=F(b)-F(a)\) untuk semua \(a\le b\).

Jika \(0<a\le b\), maka menurut 224J

\(|\int_a^b\Bover{\sin x}{x}dx| \le(\Bover1b+\Bover1a-\Bover1b)\sup_{c\in[a,b]} |\int_a^c\sin x\,dx| \le\Bover1a\sup_{c\in[a,b]}|\cos a-\cos c| \le\Bover2a\).

Khususnya, \(|F(n)-F(m)|\le\bover2{m}\) jika \(0<m\le n\) dalam \(\Bbb N\), dan \(\sequencen{F(n)}\) adalah urutan Cauchy dengan batas \(\gamma\) katakan; sekarang

\(|\gamma - F(a)| =\lim_{n\to\infty}|F(n)-F(a)|\le\Bover2a\)

untuk setiap \(a>0\), Jadi \(\lim_{a\to\infty}F(a)=\gamma\). Tentu saja kita juga memiliki

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\Bover{\sin x}{x}dx =\lim_{a\to\infty}(F(a)-F(-a)) =\lim_{a\to\infty}2F(a)=2\gamma\).

(ii) Jadi sekarang saya harus menghitung \(\gamma\). Untuk ini, amati dulu

\(2\gamma =\lim_{a\to\infty}\int_{-\pi a}^{\pi a}\Bover{\sin x}{x}dx =\lim_{a\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\Bover{\sin at}{t}dt\)

(dengan mengganti \(x=at\)). Berikutnya,

\(\lim_{t\to 0}\Bover1t-\Bover1{2\sin{1\over 2}t}=\lim_{u\to 0}\Bover{\sin u-u}{2u\sin u}=0\),

jadi

\(\int_{-\pi}^{\pi} \bigl|\Bover1t-\Bover1{2\sin{1\over 2}t}\bigr|dt<\infty\),

dan oleh lema Riemann-Lebesgue (282Fb)

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi} \bigl(\Bover1t-\Bover1{2\sin{1\over 2}t}\bigr)\sin at\,dt=0\).

Tapi kami tahu itu

\(\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\sin(n+{1\over 2})t\pushbottom{3.5pt}}{2\sin{1\over 2}t}dt =\pi\)

untuk setiap \(n\) (menggunakan 282Dc), jadi kita harus punya

\[\begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\Bover{\sin t}{t}dt &=\lim_{a\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi}\Bover{\sin at}{t}dt =\lim_{a\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\sin at}{2\sin{1\over 2}t}dt\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi}^{\pi} \Bover{\sin(n+{1\over 2})t\pushbottom{3.5pt}}{2\sin{1\over 2}t}dt =\pi,\\\end{aligned}\]

dan \(\gamma=\pi/2\), seperti yang diklaim.

(b) Karena \(F\) kontinu dan

\(\lim_{a\to\infty}F(a)=\gamma=\Bover{\pi}2\), \(\lim_{a\to-\infty}F(a)=-\gamma=-\Bover{\pi}2\),

\(F\) terbatas; katakanlah \(|F(a)|\le K_1\) untuk semua \(a\in\Bbb R\). Ambil \(K=2K_1\). Sekarang misalkan \(a<b\) dan \(c\in\Bbb R\). Jika \(c>0\), maka

\(|\int_a^b\Bover{\sin cx}{x}dx| =|\int_{ac}^{bc}\Bover{\sin t}{t}dt| =|F(bc)-F(ac)|\le 2K_1=K\),

menggantikan \(x=t/c\). Jika \(c<0\), maka

\(|\int_a^b\Bover{\sin cx}{x}dx| =|-\int_a^b\Bover{\sin(-c)x}{x}dx| \le K\);

sementara jika \(c=0\) maka

\(|\int_a^b\Bover{\sin cx}{x}dx| =0\le K\).

283E

Pekerjaan tersulit dari bagian ini terletak pada ‘teorema inversi titik’ 283I dan 283K di bawah ini. Namun saya memulai dengan hasil yang relatif mudah, dan setidaknya sama pentingnya, menunjukkan (antara lain) bahwa fungsi \(f\) yang dapat diintegralkan dapat (pada dasarnya) dipulihkan dari transformasi Fourier-nya.

Lema Kapan pun \(c<d\) di \(\Bbb R\),

\[\begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a} e^{-iyx}\,\Bover{e^{idy}-e^{icy}}{y}dy &=2\pi i\text{ jika }c<x<d,\\ &=\pi i\text{ jika }x=c\text{ atau }x=d,\\ &=0\text{ jika }x<c\text{ atau } x>d.\\\end{aligned}\]

Bukti

Kita tahu bahwa untuk setiap \(b>0\)

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}\Bover{\sin bx}{x}dx =\lim_{a\to\infty}\int_{-ab}^{ab}\Bover{\sin t}{t}dt =\pi\)

(dengan mengganti \(x=t/b\)), dan oleh karena itu untuk setiap \(b<0\)

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}\Bover{\sin bx}{x}dx =-\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}\Bover{\sin(-b)x}{x}dx =-\pi\).

Sekarang pertimbangkan, untuk \(x\in\Bbb R\),

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}e^{-iyx} \,\Bover{e^{idy}-e^{icy}}{y}dy\).

Pertama, perhatikan bahwa semua integral \(\int_{-a}^a\) ada, karena

\(\lim_{y\to 0}\Bover{e^{idy}-e^{icy}}{y}=i(d-c)\)

terbatas, dan integran tersebut kontinu kecuali di \(0\). Sekarang kita punya

\[\begin{aligned}\int_{-a}^ae^{-iyx}&\Bover{e^{idy}-e^{icy}}{y}dy\\ &=\int_{-a}^a\Bover{e^{i(d-x)y}-e^{i(c-x)y}}{y}dy\\ &=\int_{-a}^a\Bover{\cos(d-x)y-\cos(c-x)y}{y}dy +i\int_{-a}^a\Bover{\sin(d-x)y-\sin(c-x)y}{y}dy\\ &=i\int_{-a}^a\Bover{\sin(d-x)y-\sin(c-x)y}{y}dy\\\end{aligned}\]

karena \(\cos\) adalah fungsi genap, jadi

\(\int_{-a}^{a}\Bover{\cos(d-x)y-\cos(c-x)y}{y}dy=0\)

untuk setiap \(a\ge 0\). (Sekali lagi, integral ini ada karena

\(\lim_{y\to 0}\Bover{\cos(d-x)y-\cos(c-x)y}{y}=0\).)

Oleh karena itu

\[\begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{-iyx}\Bover{e^{idy}-e^{icy}}{y}dy &=i\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\Bover{\sin(d-x)y}{y}dy -i\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\Bover{\sin(c-x)y}{y}dy\\ &=i\pi-i\pi=0\text{ jika }x<c,\\ &=i\pi-0=\pi i\text{ jika }x=c,\\ &=i\pi+i\pi=2\pi i\text{ jika }c<x<d,\\ &=0+i\pi=\pi i\text{ jika }x=d,\\ &=-i\pi+i\pi=0\text{ jika }x>d.\\\end{aligned}\]

283F Teorema

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan \(\varhatf\) transformasi Fourier-nya. Maka kapan pun \(c\le d\) dalam \(\Bbb R\),

\[\int_c^df=\Bover{i}{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^{a}\Bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}\varhatf(y)dy.\]

Bukti

Jika \(c=d\), hasilnya sepele; kita dapat mengandaikan bahwa \(c<d\).

(a) Dengan menulis

\[\theta_a(x)=\biggerint_{-a}^{a}e^{-iyx} \,\Bover{e^{idy}-e^{icy}}{y}dy\]

untuk \(x\in\Bbb R\) dan \(a\ge 0\), 283E memberitahu kita bahwa

\(\lim_{a\to\infty}\theta_a(x)=2\pi i\theta(x)\)

dengan \(\theta=\bover12(\chi[c,d]+\chi\ooint{c,d})\) mengambil nilai \(1\) di dalam interval \([c,d]\), \(0\) luar dan nilai \(\bover12\) pada titik akhir.

\[\begin{aligned}|\theta_a(x)| &=|\int_{-a}^a\Bover{\sin(d-x)y-\sin(c-x)y}{y}dy|\\ &\text{(lihat pembuktian 283E)}\\ &\le|\int_{-a}^a\Bover{\sin(d-x)y}{y}dy| +|\int_{-a}^a\Bover{\sin(c-x)y}{y}dy| \le 2K\\\end{aligned}\]

untuk semua \(a\ge 0\) dan \(x\in\Bbb R\), dengan \(K\) konstanta dari 283Db. Akibatnya \(|f\times\theta_a|\le 2K|f|\) di seluruh \(\dom f\), untuk setiap \(a\ge 0\), dan (dengan menerapkan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue pada barisan \(\sequencen{f\times\theta_{a_n}}\), dengan \(a_n\to\infty\))

\(\lim_{a\to\infty} \int f\times\theta_a=2\pi i\int f\times\theta=2\pi i\int_c^df\).

(b) Sekarang pertimbangkan batas dalam pernyataan teorema. Kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int_{-a}^a \bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}\varhatf(y)dy &=\bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^a \int_{-\infty}^{\infty} \bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}e^{-iyx}f(x)dxdy\\ &=\bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-a}^a \bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}e^{-iyx}f(x)dydx\\ &=-\bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\times\theta_a\\\end{aligned}\]

oleh teorema Fubini dan Tonelli (252H), dengan menggunakan fakta bahwa \((e^{icy}-e^{idy})/y\) terbatas untuk melihat bahwa

\(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-a}^{a} \bigl|\bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}e^{-iyx}f(x)\bigr|dydx\)

berhingga; oleh karena itu, kita dapat menukar urutan integrasi.

\[\begin{aligned}\bover{i}{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a \bover{e^{icy}-e^{idy}}{y}\varhatf(y)dy &=-\bover{i}{2\pi}\lim_{a\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f\times\theta_a\\ &=-\bover{i}{2\pi}2\pi i\int_c^df =\int_c^df,\\\end{aligned}\]

sesuai kebutuhan.

283G Akibat

Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), maka \(\varhatf=\varhat{g}\) jika \(f\eae g\).

283H Lema

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan \(\varhatf\) transformasi Fourier-nya. Maka

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^{a}e^{ixy}\varhatf(y)dy =\Bover1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin a(x-t)}{x-t}f(t)dt =\Bover1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin at}{t}f(x-t)dt\)

setiap kali \(a>0\) dan \(x\in\Bbb R\).

283I Teorema

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan anggaplah \(f\) terdiferensiasi di \(x\in\Bbb R\). Maka

\(f(x) =\Bover{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{ixy}\varhatf(y)dy =\Bover{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{-ixy}\varcheckf(y)dy\).

Bukti

Tetapkan \(g(u)=f(x)\) jika \(|u|\le 1\), dan \(0\) jika tidak; perhatikan bahwa \(\lim_{u\to 0}\bover1u(f(x-u)-g(u))=-f'(x)\) terbatas, sehingga ada suatu \(\delta\in\ocint{0,1}\) sedemikian sehingga

\(K =\sup_{0<|u|\le\delta}\bigl|\Bover{f(x-u)-g(u)}{u}\bigr|<\infty\).

Akibatnya

\[\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\bigl|\Bover{f(x-u)-g(u)}{u}\bigr|du &\le\Bover1{\delta}\int_{-\infty}^{-\delta}|f(x-u)|du +\Bover1{\delta}\int_{-1}^1|g|\\ &{\hskip 8em plus 0pt minus 0pt} +\int_{-\delta}^{\delta}K +\Bover1{\delta}\int_{\delta}^{\infty}|f(x-u)|du\\ &\le\Bover{1}{\delta}\int_{-\infty}^{\infty}|f| + \Bover2{\delta}|f(x)|+ 2\delta K <\infty.\\\end{aligned}\]

Oleh lema Riemann-Lebesgue (282Fb lagi),

\(\lim_{a\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{\sin au}{u}(f(x-u)-g(u))du=0\).

Jika kita sekarang memeriksa \(\int\bover{\sin au}{u}g(u)du\), kita mendapatkan

\[\begin{aligned}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin au}{u}g(u)du &=\int_{-1}^1\Bover{\sin au}{u}f(x)du =f(x)\int_{-a}^a\Bover{\sin v}{v}dv,\\\end{aligned}\]

dengan mengganti \(u=v/a\). Jadi kita peroleh

\[\begin{aligned}\lim_{a\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin au}{u}f(x-u)du &=\lim_{a\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin au}{u}g(u)du\\ &=\lim_{a\to\infty}f(x)\int_{-a}^a\Bover{\sin v}{v}dv =\pi f(x),\\\end{aligned}\]

oleh 283Da. Oleh karena itu

\[\Bover{1}{\sqrt{2\pi}} \lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{ixy}\varhatf(y)dy =\Bover{1}{\pi}\lim_{a\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\Bover{\sin au}{u}f(x-u)du = f(x),\]

menggunakan 283H. Adapun kesetaraan kedua,

\[\begin{aligned}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{-ixy}\varcheckf(y)dy &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{-ixy}\varhatf(-y)dy\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a e^{ixu}\varhatf(u)du =f(x)\\\end{aligned}\]

(memasukkan \(y=-u\)).

Keterangan Bandingkan 282L.

283J Akibat

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi yang dapat diintegralkan sedemikian sehingga \(f\) terdiferensiasi dan \(\varhatf\) dapat diintegralkan. Maka \(f=(\varhatf)\varspcheck=(\varcheckf)\varsphat\).

Catatan Lihat juga 283Wk di bawah.

283K

Proposisi berikutnya memberikan kelas fungsi yang padanya akibat terakhir dapat diterapkan.

Proposisi Misalkan \(f\) adalah fungsi dari \(\Bbb R\) ke \(\Bbb C\) yang terdiferensiasi dua kali dan \(f\), \(f'\), serta \(f''\) semuanya dapat diintegralkan. Maka \(\varhatf\) dapat diintegralkan.

Keterangan Bandingkan 282Rb.

283L

Sekarang saya beralih ke hasil yang bersesuaian dengan 282O, menggunakan pendekatan yang sedikit berbeda.

Teorema Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dengan transformasi Fourier \(\varhatf\) dan transformasi Fourier invers \(\varcheckf\), dan anggaplah \(f\) memiliki variasi terbatas pada suatu lingkungan dari \(x\in\Bbb R\). Tetapkan \(a=\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)\), \(b=\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t)\). Maka

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{\gamma\to\infty} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhatf(y)dy =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{\gamma\to\infty} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{-ixy}\varcheckf(y)dy =\Bover12(a+b)\).

Bukti

(a) Limit \(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t)\) dan \(\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t)\) ada karena \(f\) memiliki variasi terbatas di dekat \(x\) (224F). Ingat dari 283Db bahwa terdapat konstanta \(K<\infty\) sedemikian sehingga

\(|\int_{\gamma}^{\delta}\Bover{\sin cx}{x}dx|\le K\)

setiap kali \(\gamma\le \delta\) dan \(c\in\Bbb R\).

(b) Misalkan \(\epsilon>0\). Hipotesisnya adalah ada beberapa \(\delta>0\) sehingga \(\Var_{[x-\delta,x+\delta]}(f)<\infty\). Akibatnya

\(\lim_{\eta\downarrow 0}\Var_{\ocint{x,x+\eta}}(f) =\lim_{\eta\downarrow 0}\Var_{\coint{x-\eta,x}}(f)=0\)

(224E). Oleh karena itu ada \(\eta>0\) sedemikian sehingga

\(\max(\Var_{\coint{x-\eta,x}}(f), \Var_{\ocint{x,x+\eta}}(f))\le\epsilon\).

Tentu saja

\(|f(t)-f(u)|\le\Var_{\coint{x-\eta,x}}(f)\le\epsilon\)

kapan pun \(t\), \(u\in\dom f\) dan \(x-\eta\le t\le u<x\), sehingga kita akan memiliki

\(|f(t)-a|\le\epsilon\) untuk setiap \(t\in\dom f\cap\coint{x-\eta,x}\),

dan demikian pula

\(|f(t)-b|\le\epsilon\) setiap kali \(t\in\dom f \cap\ocint{x,x+\eta}\).

(c) Sekarang tetapkan

\(g_1(t)=f(t)\) ketika \(t\in\dom f\) dan \(|x-t|>\eta\), \(0\) sebaliknya,

\(g_2(t)=a\) ketika \(x-\eta\le t<x\), \(b\) ketika \(x<t\le x+\eta\), \(0\) sebaliknya,

\(g_3=f-g_1-g_2\).

Maka \(f=g_1+g_2+g_3\); setiap \(g_j\) dapat diintegralkan; \(g_1\) adalah nol di lingkungan \(x\);

\(\sup_{t\in\dom g_3,t\ne x}|g_3(t)|\le\epsilon\),

\(\Var_{\coint{x-\eta,x}}(g_3)\le\epsilon\), \(\Var_{\ocint{x,x+\eta}}(g_3)\le\epsilon\).

(d) Pertimbangkan tiga bagian \(g_1\), \(g_2\), \(g_3\) secara terpisah.

(i) Untuk yang pertama, kita punya

\(\lim_{\gamma\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhat{g}_1(y)dy=0\)

oleh 283I.

(ii) Selanjutnya,

\[\begin{aligned}\Bover{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhat{g}_2(y)dy &=\Bover1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{\sin(x-t)\gamma}{x-t}g_2(t)dt\\ &\text{(menurut 283H)}\\ &=\Bover{a}{\pi}\int_{x-\eta}^{x}\Bover{\sin(x-t)\gamma}{x-t}dt +\Bover{b}{\pi}\int_{x}^{x+\eta}\Bover{\sin(x-t)\gamma}{x-t}dt\\ &=\Bover{a}{\pi}\int_0^{\gamma\eta}\Bover{\sin u}{u}du +\Bover{b}{\pi}\int_{0}^{\gamma\eta}\Bover{\sin u}{u}du\\ &\text{(dengan substitusi }t=x-\bover{1}{\gamma}u\text{ pada integral pertama, }t=x+\bover1{\gamma}u\text{ pada integral kedua)}\\ &\to \Bover{a+b}{2}\text{ ketika }\gamma\to\infty\\\end{aligned}\]

oleh 283Da.

(iii) Untuk yang ketiga, kita mempunyai, untuk setiap \(\gamma>0\),

\[\begin{aligned}\bigl|\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy} \varhat{g}_3(y)dy\bigr| &=\Bover1{\pi}\bigl|\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{\sin(x-t)\gamma}{x-t}g_3(t)dt\bigr| =\Bover1{\pi}\bigl|\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{\sin t\gamma}{t}g_3(x-t)dt\bigr|\\ &\le\Bover1{\pi}\bigl|\int_{-\eta}^0 \Bover{\sin t\gamma}{t}g_3(x-t)dt\bigr| +\Bover1{\pi}\bigl|\int_0^{\eta} \Bover{\sin t\gamma}{t}g_3(x-t)dt\bigr|\\ &\le \Bover{K}{\pi}\Bigl(\sup_{t\in\dom g_3\cap\ooint{x-\eta,x}}|g_3(t)| +\Var_{\ooint{x-\eta,x}}(g_3)\\ &{\hskip 8em plus 0pt minus 0pt} +\sup_{t\in\dom g_3\cap\ooint{x,x+\eta}}|g_3(t)| +\Var_{\ooint{x,x+\eta}}(g_3)\Bigr)\\ &\le 4\epsilon\Bover{K}{\pi},\\\end{aligned}\]

dengan menggunakan 224J lagi untuk memperkirakan integral berdasarkan variasi dan supremum \(g_3\) serta integral \(\bover{\sin\gamma t}{t}\) pada subinterval.

(e) Oleh karena itu, kita mempunyai

\[\begin{aligned}\limsup_{\gamma\to\infty}\bigl|\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\gamma}^{\gamma} &e^{ixy}\varhatf(y)dy-\Bover{a+b}{2}\bigr|\\ &\le\limsup_{\gamma\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \bigl|\int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhat{g}_1(y)dy\bigr|\\ &{\hskip 6em plus 0pt minus 0pt} +\limsup_{\gamma\to\infty}\bigl|\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhat{g}_2(y)dy -\Bover{a+b}{2}\bigr|\\ &{\hskip 6em plus 0pt minus 0pt} +\limsup_{\gamma\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \bigl|\int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhat{g}_3(y)\,dy\bigr|\\ &\le 0+0+\Bover{4K}{\pi}\epsilon\\\end{aligned}\]

dengan perhitungan pada (d). Karena \(\epsilon\) bersifat arbitrer,

\(\lim_{\gamma\to\infty}\Bover1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhatf(y)dy-\Bover{a+b}{2}=0\).

(f) Ini adalah paruh pertama teorema. Namun tentu saja bagian kedua segera menyusul, karena

\[\begin{aligned}\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{\gamma\to\infty} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{-ixy}\varcheckf(y)dy &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{\gamma\to\infty} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{-ixy}\varhatf(-y)dy\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{\gamma\to\infty} \int_{-\gamma}^{\gamma}e^{ixy}\varhatf(y)dy =\Bover{a+b}2.\\\end{aligned}\]

Catatan Anda akan melihat bahwa argumen ini menggunakan beberapa ide yang sama seperti yang ada di 282O–282P. Argumen ini lebih langsung karena (i) saya tidak menggunakan konsep apa pun yang bersesuaian dengan jumlah Fejér (meskipun ada konsep yang sangat sesuai untuk tujuan ini; lihat 283Xf); (ii) saya tidak repot-repot memberikan hasil tentang konvergensi seragam integral Fejér ketika \(f\) kontinu dan mempunyai variasi terbatas (283Xj); dan (iii) saya tidak menyinggung pentingnya fakta bahwa jika \(f\) mempunyai variasi terbatas, maka \(\sup_{y\in\Bbb R}|y\varhatf(y)|<\infty\) (283Xk).

283M

Sesuai dengan 282Q, kami memiliki yang berikut ini.

Teorema Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan \(f*g\) produk konvolusinya, ditentukan dengan menetapkan

\((f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)dt\)

setiap kali ini didefinisikan (255E). Maka

\((f*g)\varsphat(y) =\sqrt{2\pi}\varhatf(y)\varhat{g}(y)\), \((f*g)\varspcheck(y) =\sqrt{2\pi}\varcheckf(y)\varcheck{g}(y)\)

untuk setiap \(y\in\Bbb R\).

283N

Saya menunjukkan cara menghitung transformasi Fourier khusus, yang mana akan digunakan berulang kali di bagian berikutnya.

Lema Untuk \(\sigma>0\), atur \(\psi_{\sigma}(x)=\bover1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2\sigma^2}\) untuk \(x\in\Bbb R\). Maka transformasi Fourier dan transformasi Fourier invers adalah

\(\varhat{\psi}_{\sigma}=\varcheck{\psi}_{\sigma} =\Bover1{\sigma}\psi_{1/\sigma}\).

Khususnya, \(\varhat{\psi}_1=\psi_1\).

Bukti

(a) Saya memulai dengan kasus khusus \(\sigma=1\), menggunakan deret Maclaurin

\(e^{-iyx}=\sum_{k=0}^{\infty}\Bover{(-iyx)^k}{k!}\)

dan ekspresi untuk \(\int_{-\infty}^{\infty}x^ke^{-x^2/2}dx\) dari §263.

Tetapkan \(y\in\Bbb R\). Menulis

\(g_k(x)=\Bover{(-iyx)^k}{k!}e^{-x^2/2}\), \(h_n(x)=\sum_{k=0}^ng_k(x)\), \(h(x)=e^{|yx|-x^2/2}\),

kita melihat bahwa

\(|g_k(x)|\le \Bover{|yx|^k}{k!}e^{-x^2/2}\),

sehingga

\(|h_n(x)|\le\sum_{k=0}^{\infty}|g_k(x)| \le e^{|yx|}e^{-x^2/2}=h(x)\)

untuk setiap \(n\); terlebih lagi, \(h\) dapat diintegralkan, karena \(|h(x)|\le e^{-|x|}\) setiap kali \(|x|\ge 2(1+|y|)\). Akibatnya, menggunakan Teorema Konvergensi Dominasi Lebesgue,

\[\begin{aligned}\varhat{\psi}_1(y) &=\Bover1{{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \lim_{n\to\infty}h_n\ =\Bover1{{2\pi}}\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} h_n\\ &=\Bover1{{2\pi}}\sum_{k=0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g_k =\Bover1{{2\pi}}\sum_{k=0}^{\infty}\Bover{(-iy)^k}{k!} \int_{-\infty}^{\infty}x^ke^{-x^2/2}dx\\ &=\Bover1{{2\pi}}\sum_{j=0}^{\infty}\Bover{(-iy)^{2j}}{(2j)!} \Bover{(2j)!}{2^jj!}\sqrt{2\pi}\\ &\text{(menurut 263H)}\\ &=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\sum_{j=0}^{\infty}\Bover{(-y^2)^j}{2^jj!} =\Bover1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2} =\psi_1(y),\\\end{aligned}\]

seperti yang diklaim.

(b) Untuk kasus umum \(\psi_{\sigma}(x)=\Bover1{\sigma}\psi_1(\Bover{x}{\sigma})\), sehingga

\(\varhat{\psi}_{\sigma}(y) =\Bover1{\sigma}\cdot\sigma\varhat{\psi}_1(\sigma y) =\Bover1\sigma\psi_{1/\sigma}(y)\)

oleh 283Ce. Tentu saja sekarang kita punya

\(\varcheck{\psi}_{\sigma}(y)=\varhat{\psi}_{\sigma}(-y) =\Bover1{\sigma}\psi_{1/\sigma}(y)\)

karena \(\psi_{1/\sigma}\) merupakan fungsi genap.

283O

Untuk mengarahkan ide pada bagian selanjutnya, saya memberikan fakta yang sangat sederhana berikut.

Proposisi Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah dua fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\). Maka \(\int_{-\infty}^{\infty}f\times\varhat{g} =\int_{-\infty}^{\infty}\varhatf\times g\) dan \(\int_{-\infty}^{\infty}f\times\varcheck{g} =\int_{-\infty}^{\infty}\varcheckf\times g\).

Latihan

283W Dimensi yang lebih tinggi

Saya menawarkan sebarisan latihan yang dirancang untuk memberikan petunjuk tentang bagaimana pekerjaan bagian ini dapat dilakukan dalam kasus dimensi \(r\), di mana \(r\ge 1\).

283Wa (a)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan dan terdefinisi hampir di mana-mana pada \(\BbbR^r\). Transformasi Fourier-nya adalah fungsi \(\varhatf:\BbbR^r\to\Bbb C\) yang ditentukan oleh rumus

\(\varhatf(y) =\Bover1{(\sqrt{2\pi})^r}\int e^{-iy\dotproduct x}f(x)dx\),

dengan menulis \(y\dotproduct x=\eta_1\xi_1+\ldots+\eta_r\xi_r\) untuk \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\) dan \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\in\BbbR^r\), dan \(\int\ldots dx\) untuk integrasi sehubungan dengan ukuran Lebesgue di \(\BbbR^r\). Demikian pula, transformasi Fourier invers dari \(f\) adalah fungsi \(\varcheckf\) yang diberikan oleh

\(\varcheckf(y) =\Bover1{(\sqrt{2\pi})^r}\int e^{iy\dotproduct x}f(x)dx=\varhatf(-y)\).

Tunjukkan bahwa, untuk fungsi bernilai kompleks apa pun yang dapat diintegralkan \(f\) pada \(\BbbR^r\),

(i) \(\varhatf:\BbbR^r\to\Bbb C\) kontinu;

(ii) \(\lim_{\|y\|\to\infty}\varhatf(y)=0\), menulis \(\|y\|=\sqrt{y\dotproduct y}\) seperti biasa;

(iii) jika \(\int\|x\||f(x)|dx<\infty\), maka \(\varhatf\) adalah terdiferensiasi, dan

\(\Pd{}{\eta_j}\varhatf(y) =-\Bover{i}{(\sqrt{2\pi})^r}\int e^{-iy\dotproduct x}\xi_jf(x)dx\)

untuk \(j\le r\), \(y\in\BbbR^r\), dengan selalu menganggap \(\xi_j\) sebagai koordinat ke-\(j\) dari \(x\in\BbbR^r\);

(iv) jika \(j\le r\) dan \(\pd{f}{\xi_j}\) didefinisikan di mana-mana dan dapat diintegralkan, maka \((\pd{f}{\xi_j})\varsphat(y)=i\eta_j\varhatf(y)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R^r\). (Gunakan 225L untuk menunjukkan bahwa jika \(e\in\BbbR^r\) adalah vektor satuan, maka \(\gamma\mapsto f(x+\gamma e)\) kontinu mutlak pada setiap interval yang dibatasi untuk hampir setiap \(x\).)

283Wb (b)

Tunjukkan bahwa jika \(f_1,\ldots,f_r\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\) dengan transformasi Fourier \(g_1,\ldots,g_r\), dan kita menulis \(f(x)=f_1(\xi_1)\ldots f_r(\xi_r)\) untuk \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\), maka transformasi Fourier dari \(f\) adalah \(y\mapsto g_1(\eta_1)\ldots g_r(\eta_r)\).

283Wc (c)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\BbbR^r\), dan \(\varhatf\) merupakan transformasi Fourier-nya. Jika \(c\le d\) di \(\BbbR^r\), tunjukkan bahwa

\[\int_{[c,d]}f =(\bover{i}{\sqrt{2\pi}})^r \lim_{\alpha_1,\ldots,\alpha_r\to\infty} \int_{[-a,a]}\prod_{j=1}^r \bover{e^{i\gamma_j\eta_j}-e^{i\delta_j\eta_j}}{\eta_j}\varhatf(y)dy,\]

dengan notasi \(a=(\alpha_1,\ldots)\), \(c=(\gamma_1,\ldots)\), \(d=(\delta_1,\ldots)\).

283Wd (d)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\BbbR^r\), dan \(\varhatf\) transformasi Fourier-nya. Tunjukkan bahwa jika kita menulis

\(B_{\infty}(\tbf{0},a)=\{y:|\eta_j|\le a \text{ untuk setiap }j\le r\}\),

lalu

\(\Bover1{(\sqrt{2\pi})^r}\int_{B_{\infty}(\tbf{0},a)} e^{ix\dotproduct y}\varhatf(y)dy =\int \phi_a(t)f(x-t)dt\)

untuk setiap \(a\ge 0\), di mana

\(\phi_a(t) =\Bover1{\pi^r}\prod_{j=1}^r\Bover{\sin a\tau_j}{\tau_j}\)

untuk \(t=(\tau_1,\ldots,\tau_r)\in\BbbR^r\).

283We (e)

Tunjukkan bahwa \(\biggerint_{\BbbR^r}\Bover{1}{1+\|x\|^{r+1}}dx<\infty\).

283Wf (f)

Misalkan \(f:\BbbR^r\to\Bbb C\) adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Tunjukkan bahwa jika semua turunan parsial \(\Bover{\partial^kf}{\partial\xi_j^k}\), untuk \(k\le r+1\) dan \(j\le r\), didefinisikan hampir di mana-mana dan dapat diintegralkan, maka \(\varhat{f}\) dapat diintegralkan.

283Wg (g)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\BbbR^r\), maka (mendefinisikan konvolusi seperti pada 255L) \((f*g)\varsphat=(\sqrt{2\pi})^r\varhatf\times\varhat{g}\).

283Wh (h)

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(f*\varcheck{g}=(\sqrt{2\pi})^r(\varhatf\times g)\varspcheck\).

283Wi (i)

Untuk \(\sigma>0\), tentukan \(\psi_{\sigma}:\Bbb R^r\to\Bbb C\) dengan mengatur

\(\psi_{\sigma}(x)=\Bover1{(\sigma\sqrt{2\pi})^r} e^{-x\dotproduct x/2\sigma^2}\), \((\varhat{\psi}_{\sigma})\varspcheck=\psi_{\sigma}\).

untuk setiap \(x\in\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa

\(\varhat{\psi}_{\sigma} =\varcheck{\psi}_{\sigma}=\Bover1{\sigma^r}\psi_{1/\sigma}\).

283Wj (j)

Dengan mendefinisikan \(\psi_{\sigma}\) seperti pada bagian (i) di atas, tunjukkan bahwa \(\lim_{\sigma\to 0}(f*\psi_{\sigma})(x)=f(x)\) setiap kali \(x\in\BbbR^r\) dan \(f:\BbbR^r\to\Bbb C\) kontinu dan dapat diintegralkan atau terbatas. (Lih. 261Ye, 262Yi.)

283Wk (k)

Tunjukkan jika \(f:\BbbR^r\to\Bbb C\) kontinu dan dapat diintegralkan, dan \(\varhatf\) juga dapat diintegralkan \(f=\varhatf\varcheck{\phantom{f}}\). (Petunjuk: Tunjukkan bahwa keduanya sama di setiap titik \(\lim_{\sigma\to 0}(\sqrt{2\pi})^r (\varhatf\times\varhat{\psi}_{\sigma})\varspcheck\).)

283Wl (l)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\BbbR^r\), maka \(\int f\times\varhat{g}=\int\varhatf\times g\).

283Wm (m)

(i) Tunjukkan bahwa \(\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi}\bover{\sin t}{t\sqrt{t}}dt>0\) untuk setiap \(k\in\Bbb N\), dan karenanya \(\int_0^{\infty}\bover{\sin t}{t\sqrt{t}}dt>0\).

(ii) Tetapkan \(f_1(\xi)=1/\sqrt{|\xi|}\) untuk \(0<|\xi|\le 1\), dan \(0\) untuk \(\xi\) lainnya. Tunjukkan bahwa \(\lim_{a\to\infty}\bover1{\sqrt{a}}\int_{-a}^a\varhatf_1(\eta)d\eta\) ada di \(\Bbb R\) dan lebih besar dari \(0\).

(iii) Buatlah fungsi \(f_2\) yang dapat diintegralkan, nol pada suatu lingkungan di \(0\), sehingga terdapat tak hingga banyak \(m\in\Bbb N\) yang \(|\int_{-m}^m\varhatf_2(\eta)d\eta|\ge\bover1{\sqrt{m}}\). Petunjuk: ambil \(f_2(\xi)=2^{-k}\sin m_k\xi\) untuk \(k+1\le\xi<k+2\), untuk barisan \(\sequence{k}{m_k}\) yang meningkat cukup cepat.

(iv) Tetapkan \(f(x)=f_1(\xi_1)f_2(\xi_2)\) untuk \(x\in\BbbR^2\). Tunjukkan bahwa \(f\) dapat diintegralkan, bahwa \(f\) bernilai nol pada suatu lingkungan dari \(\tbf{0}\), tetapi bahwa

\(\limsup_{a\to\infty}\Bover1{2\pi}|\int_{B_{\infty}(\tbf{0}, a)}\varhatf(y)dy|>0\),

mendefinisikan \(B_{\infty}\) seperti di 283Wd.

Latihan

283X Latihan dasar (a)

Konfirmasikan bahwa enam alternatif definisi dari transformasi \(\varhatf\), \(\varcheckf\) yang ditawarkan di 283B semuanya mengarah pada teori yang sama; temukan konstanta yang terlibat dalam versi baru dari 283Ch, 283Ci, 283L, 283M dan 283N.

283Xb (b)

Jika kita mendefinisikan ulang \(\varhatf(y)\) menjadi \(\alpha\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\beta xy}f(x)dx\), \(\varcheckf(y)\) jadi apa?

283Xc (c)

Tunjukkan bahwa hampir semua faktor \(2\pi\) akan hilang dari teorema-teorema bagian ini jika kita mendefinisikan ukuran \(\nu\) pada \(\Bbb R\) dengan menetapkan \(\nu E=\bover1{\sqrt{2\pi}}\mu E\) untuk setiap himpunan Lebesgue terukur \(E\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue, dan menulis

\(\varhatf(y)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-iyx}f(x)\nu(dx)\), \(\varcheckf(y)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iyx}f(x)\nu(dx)\),

\((f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)\nu(dt)\).

Apa itu \(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\bover{\sin t}{t}\nu(dt)\)?

283Xd (d) penting

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dengan transformasi Fourier \(\varhatf\). Tunjukkan bahwa (i) jika \(g(x)=f(-x)\) kapan pun ini didefinisikan, lalu \(\varhat{g}(y)=\varhatf(-y)\) untuk setiap \(y\in\Bbb R\); (ii) jika \(g(x)=\overline{f(x)}\) kapan pun ini didefinisikan, maka \(\varhat{g}(y)=\overline{\varhatf(-y)}\) untuk setiap \(y\).

283Xe (e)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dengan transformasi Fourier \(\varhatf\). Tunjukkan bahwa

\(\int_c^d\varhatf(y)dy=\Bover{i}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\Bover{e^{-idx}-e^{-icx}}{x}f(x)dx\)

setiap kali \(c\le d\) di \(\Bbb R\).

283Xf (f) penting

Untuk fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan \(f\) pada \(\Bbb R\), misalkan integral Fejér didefinisikan sebagai

\(\sigma_c(x) =\Bover1{c\sqrt{2\pi}}\int_0^c \bigl(\int_{-a}^{a}e^{ixy}\varhatf(y)dy\bigr)da\)

untuk \(c>0\). Tunjukkan bahwa

\(\sigma_c(x)= \Bover1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{1-\cos ct}{ct^2}f(x-t)dt\).

283Xg (g)

Tunjukkan bahwa \(\biggerint_{-\infty}^{\infty}\Bover{1-\cos at}{at^2}dt=\pi\) untuk setiap \(a>0\). Petunjuk: Integrasikan secara parsial dan gunakan 283Da. Tunjukkan bahwa

\(\lim_{a\to\infty}\int_{\delta}^{\infty} \Bover{1-\cos at}{at^2}dt =\lim_{a\to\infty}\sup_{t\ge\delta}\Bover{1-\cos at}{at^2} =0\)

untuk setiap \(\delta>0\).

283Xh (h)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan tentukan integral Fejér \(\sigma_a\) seperti pada 283Xf di atas. Tunjukkan bahwa jika \(x\in\Bbb R\), \(c\in\Bbb C\) sedemikian sehingga

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\delta}\int_0^{\delta} |f(x+t)+f(x-t)-2c|dt=0\),

lalu \(\lim_{a\to\infty}\sigma_a(x)=c\). Petunjuk: mengadaptasi argumen 282H.

283Xi (i) penting

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan tentukan integral Fejér \(\sigma_a\) seperti pada 283Xf di atas. Tunjukkan bahwa \(f(x)=\lim_{a\to\infty}\sigma_a(x)\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\).

283Xj (j)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi bernilai kompleks yang kontinu, dapat diintegralkan, dan memiliki variasi terbatas; definisikan integral Fejér-nya \(\sigma_a\) seperti pada 283Xf di atas. Tunjukkan bahwa \(f(x)=\lim_{a\to\infty}\sigma_a(x)\) seragam untuk \(x\in\Bbb R\).

283Xk (k) penting

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan dan mempunyai variasi terbatas pada \(\Bbb R\), dan \(\varhatf\) transformasi Fourier-nya. Tunjukkan bahwa \(\sup_{y\in\Bbb R}|y\varhatf(y)|<\infty\).

283Xl (l)

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(f*\varcheck{g}=\sqrt{2\pi}(\varhatf\times g)\varspcheck\).

283Xm (m)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dan tetapkan \(x\in\Bbb R\). Tetapkan

\(\hat f_x(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos y(x-t)dt\)

untuk \(y\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa

(i) jika \(f\) terdiferensiasi di \(x\),

\(f(x) =\Bover1{\pi}\lim_{a\to\infty}\int_{0}^a\hat f_x(y)dy\);

(ii) jika terdapat lingkungan \(x\) di mana \(f\) mempunyai variasi terbatas, maka

\(\Bover1{\pi}\lim_{a\to\infty}\int_{0}^a\hat f_x(y)dy =\Bover12(\lim_{t\in\dom f,t\uparrow x}f(t) +\lim_{t\in\dom f,t\downarrow x}f(t))\);

(iii) jika \(f\) terdiferensiasi dua kali dan \(f'\), \(f''\) dapat diintegralkan maka \(\hat f_x\) dapat diintegralkan dan \(f(x)=\bover1{\pi}\int_0^{\infty}\hat f_x\). (Rumusnya

\(f(x)=\Bover1{\pi}\int_{0}^{\infty}\bigl( \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos y(x-t)dt\bigr)dy\),

berlaku untuk fungsi \(f\) tersebut; rumus ini disebut rumus integral Fourier.)

283Xn (n)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks dengan variasi terbatas, terdefinisi hampir di mana-mana pada \(\Bbb R\), dan konvergen ke \(0\) (sepanjang domainnya) pada \(\pm\infty\), maka

\(g(y) =\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{-iyx}f(x)dx\)

terdefinisi dalam \(\Bbb C\) untuk setiap \(y\ne 0\), dan limitnya seragam pada setiap daerah yang berjarak positif dari \(0\).

283Xo (o)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\). Tetapkan

\(\varhatf_c(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \cos yx\,f(x)dx\), \(\varhatf_s(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \sin yx\,f(x)dx\)

untuk \(y\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa

\(\Bover1{\sqrt{2\pi}}\int_{-a}^ae^{ixy}\varhatf(y)dy =\sqrt{\Bover2{\pi}}\int_0^a\cos xy\,\varhatf_c(y)dy +\sqrt{\Bover2{\pi}}\int_0^a\sin xy\,\varhatf_s(y)dy\)

untuk setiap \(x\in\Bbb R\) dan \(a\ge 0\).

283Xp (p)

Gunakan fakta bahwa \(\int_{0}^a\int_{0}^{\infty}e^{-xy}\sin y\,dxdy=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^ae^{-xy}\sin y\,dydx\) setiap kali \(a\ge 0\) untuk menunjukkan bahwa \(\int_0^{\infty}\bover1{1+x^2}dx=\lim_{a\to\infty}\int_0^a\bover{\sin y}{y}dy\).

283Xq (q) penting

Tunjukkan bahwa jika \(f(x)=e^{-\sigma|x|}\), di mana \(\sigma>0\), maka \(\varhatf(y)=\bover{2\sigma}{\sqrt{2\pi}(\sigma^2+y^2)}\). Oleh karena itu, atau sebaliknya, temukan transformasi Fourier dari \(y\mapsto\Bover{1}{1+y^2}\).

283Xr (r)

Temukan transformasi Fourier invers dari fungsi karakteristik dari interval terbatas di \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa dalam arti formal 283F dapat dianggap sebagai kasus khusus 283O.

283Xs (s)

Misalkan \(f\) adalah fungsi yang dapat diintegralkan nonnegatif pada \(\Bbb R\), dengan transformasi Fourier \(\varhatf\). Tunjukkan bahwa

\(\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n a_j\bar a_k\varhatf(y_j-y_k)\ge 0\)

setiap kali \(y_0,\ldots,y_n\) di \(\Bbb R\) dan \(a_0,\ldots,a_n\in\Bbb C\).

283Xt (t)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\tilde f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x+2\pi n)\) didefinisikan dalam \(\Bbb C\) untuk hampir setiap \(x\). Petunjuk: \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x+2\pi n)|dx <\infty\). Tunjukkan bahwa \(\tilde f\) bersifat periodik. Tunjukkan bahwa koefisien Fourier dari \(\tilde f\restr\ocint{-\pi,\pi}\) adalah \(\langle\bover{1}{\sqrt{2\pi}}\varhatf(k)\rangle_{k\in\Bbb Z}\).

283Y Latihan lebih lanjut (a)

Tunjukkan bahwa jika \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah kontinu mutlak dalam setiap interval berbatas, \(f'\) mempunyai variasi terbatas pada \(\Bbb R\), dan \(\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\), maka

\(g(y)=\Bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^ae^{-iyx}f(x)dx =-\Bover{i}{y\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^ae^{-iyx}f'(x)dx\)

terdefinisi, dengan

\(y^2|g(y)|\le\Bover4{\sqrt{2\pi}}\Var_{\Bbb R}(f')\),

untuk setiap \(y\ne 0\).

283Yb (b)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi yang dapat diintegralkan dan kontinu mutlak pada setiap interval berbatas, dan anggap bahwa turunannya \(f'\) mempunyai variasi terbatas pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(\varhatf\) dapat diintegralkan dan \(f=\varhatf\varcheck{\phantom{f}}\). Petunjuk: 225Yd, 283Ci, 283Xk.

283Yc (c)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\coint{0,\infty}\) adalah fungsi genap sehingga \(f\) cembung pada \(\coint{0,\infty}\) dan \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\).

(i) Tunjukkan bahwa, untuk \(y>0\) dan \(k\in\Bbb N\), \(\int_{-2k\pi/y}^{2k\pi/y}e^{-iyx}f(x)dx\ge 0\).

(ii) Tunjukkan bahwa \(g(y)=\bover1{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{-iyx}f(x)dx\) ada di \(\coint{0,\infty}\) untuk setiap \(y\ne 0\).

(iii) Untuk \(n\in\Bbb N\), atur \(f_n(x) =e^{-|x|/(n+1)}f(x)\) untuk setiap \(x\). Tunjukkan bahwa \(f_n\) dapat diintegralkan dan cembung di \(\coint{0,\infty}\).

(iv) Tunjukkan \(g(y)=\lim_{n\to\infty}\varhatf_{n}(y)\) untuk setiap \(y\ne 0\).

(v) Tunjukkan bahwa jika \(f\) dapat diintegralkan maka

\(\int_{-a}^a\varhatf =\Bover4{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}\Bover{\sin at}{t}f(t)dt \le\Bover{4a}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\pi/a}f \le 2\sqrt{2\pi}f(0) \)

untuk setiap \(a\ge 0\). Oleh karena itu, tunjukkan bahwa, baik \(f\) dapat diintegralkan maupun tidak, \(g\) dapat diintegralkan dan \(f_n=(\varhatf_n)\varspcheck\) untuk setiap \(n\).

(vi) Tunjukkan bahwa \(\lim_{a\downarrow 0}\sup_{n\in\Bbb N}\int_{-a}^a\varhatf_n=0\).

(vii) Tunjukkan bahwa jika \(f'\) dibatasi (pada domainnya) maka \(\{\varhatf_n:n\in\Bbb N\}\) dapat diintegralkan secara seragam (petunjuk: gunakan (vi) dan 283Ya), sehingga \(\lim_{n\to\infty}\|\varhat f_n-g\|_1=0\) dan \(f=\varcheck{g}\).

(viii) Tunjukkan bahwa jika \(f'\) tidak terikat maka untuk setiap \(\epsilon>0\) kita dapat menemukan \(h_1\), \(h_2:\Bbb R\to\coint{0,\infty}\), keduanya genap, cembung dan konvergen ke \(0\) di \(\infty\), sehingga \(f=h_1+h_2\), \(h'_1\) terikat, \(\int h_2\le\epsilon\) dan \(h_2(0)\le\epsilon\). Oleh karena itu tunjukkan bahwa dalam kasus ini juga \(f=\varcheck{g}\).

283Yd (d)

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb R\) genap, terdiferensiasi dua kali, dan konvergen ke \(0\) pada \(\infty\); misalkan \(f''\) kontinu dan \(\{x:f''(x)=0\}\) terbatas dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(f\) merupakan transformasi Fourier dari suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Petunjuk: Gunakan 283Yc dan 283Yb.

283Ye (e)

Misalkan \(g:\Bbb R\to\Bbb R\) adalah fungsi ganjil dari variasi terbatas sedemikian rupa sehingga \(\int_1^{\infty}\bover1xg(x)dx=\infty\). Tunjukkan bahwa \(g\) tidak bisa menjadi transformasi Fourier dari fungsi apa pun yang dapat diintegralkan \(f\). (Petunjuk: tunjukkan jika \(g=\varhatf\) maka

\(-i\int_0^1f =\Bover{2}{\sqrt{2\pi}}\lim_{a\to\infty} \int_0^a\Bover{1-\cos x}{x}g(x)dx=\infty\).)

Catatan dan komentar

283 Catatan penutup untuk Bagian 283

Dalam bagian ini saya telah mencoba menyajikan teori dasar transformasi Fourier untuk fungsi yang dapat diintegralkan pada \(\Bbb R\), dengan mempertimbangkan perluasan konsep yang akan dicoba dalam bagian berikutnya. Seperti dalam §282, saya menonjolkan dua teorema (283I dan 283L) yang memberikan syarat agar inversi transformasi Fourier mengembalikan fungsi semula; kita berhadapan dengan integral tak wajar \(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^a\), sebagaimana sebelumnya kita berhadapan dengan jumlah simetris \(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n\). Saya tidak melangkah sejauh di §282; khususnya, untuk sementara saya menunda pembahasan fungsi terintegralkan-kuadrat, karena transformasi Fourier-nya mungkin tidak dapat dinyatakan dengan rumus sederhana yang digunakan di sini.

Salah satu hambatan paling mendasar dalam bidang ini adalah tidak adanya kriteria efektif untuk menentukan fungsi mana yang merupakan transformasi Fourier dari fungsi yang dapat diintegralkan. (Untungnya, keadaan lebih baik untuk fungsi terintegralkan-kuadrat; lihat 284O-284P.) Dalam 283Yc-283Yd saya meringkas argumen yang menunjukkan bahwa fungsi genap ‘biasa’ yang tidak berosilasi dan konvergen ke \(0\) pada \(\pm\infty\) merupakan transformasi Fourier dari fungsi yang dapat diintegralkan. Yang mencolok, hal ini tidak berlaku bagi fungsi ganjil; jadi \(y\mapsto\Bover{1}{\ln(e+y^2)}\) merupakan transformasi Fourier dari suatu fungsi yang dapat diintegralkan, tetapi \(y\mapsto\Bover{\arctan y}{\ln(e+y^2)}\) bukan merupakan contoh (283Ye).

Di 283W saya membuat sketsa teori transformasi Fourier yang sesuai \(\Bbb R^r\). Ada sedikit kejutan. Satu hal yang perlu diperhatikan adalah di mana dalam kasus satu dimensi kita meminta turunan kedua yang berkelakuan baik, dalam kasus dimensi \(r\) kita mungkin perlu mendiferensiasikan \(r+1\) kali (283Wf). Alasan lainnya adalah kita kehilangan ‘prinsip lokalisasi’. Di dalam kasus satu dimensi, jika \(f\) dapat diintegralkan dan nol pada suatu interval \(\ooint{c,d}\), lalu \(\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^ae^{ixy}\varhatf(y)dy=0\) untuk setiap \(x\in\ooint{c,d}\); ini langsung dari 283I atau 283L. Namun dalam dimensi yang lebih tinggi formulasi paling alami dari hasil yang sesuai tidak berlaku (283Wm).