Konvolusi fungsi — Fondasi Teori Ukuran

Saya mengkhususkan satu bagian untuk suatu konstruksi yang sangat penting – dan khususnya akan sangat berguna dalam Bab 27 dan 28 – dan juga dapat dipandang sebagai serangkaian latihan atas pembahasan sejauh ini.

Saya merasa sulit menentukan seberapa banyak pengulangan yang patut diberikan dalam bagian ini, karena ungkapan terpadu yang alami bagi gagasan-gagasan ini terdapat dalam teori grup topologis, dan saya rasa kita belum siap untuk teori umum itu (saya akan membahasnya dalam Bab 44 pada Jilid 4). Grup-grup yang kita perlukan untuk jilid ini adalah

\(\Bbb R\);

\(\BbbR^r\), untuk \(r\ge 2\);

\(S^1=\{z:z\in\Bbb C,\,|z|=1\}\), ‘grup lingkaran’;

\(\Bbb Z\), grup bilangan bulat.

Semua gagasan tersebut sudah muncul dalam teori konvolusi pada \(\Bbb R\), dan karena itu saya akan menyajikan bahan ini dalam bentuk yang relatif terperinci, sebelum menguraikan secara ringkas bentuk-bentuk yang sesuai untuk grup \(\BbbR^r\) dan \(S^1\) (atau \(\ocint{-\pi,\pi}\)); menurut saya, \(\Bbb Z\) dapat dengan aman diserahkan kepada latihan.

255A

Karena ini buku tentang teori ukuran, kiranya tepat jika saya menekankan, sebagai dasar teori konvolusi, beberapa isomorfisme ruang ukur.

Teorema Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\) dan \(\mu_2\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\); tuliskan \(\Sigma\), \(\Sigma_2\) untuk domain masing-masing.

(a) Untuk sebarang \(a\in\Bbb R\), pemetaan \(x\mapsto a+x:\Bbb R\to\Bbb R\) merupakan automorfisme ruang ukur dari \((\Bbb R,\Sigma,\mu)\).

(b) Pemetaan \(x\mapsto -x:\Bbb R\to\Bbb R\) merupakan automorfisme ruang ukur dari \((\Bbb R,\Sigma,\mu)\).

(c) Untuk sebarang \(a\in\Bbb R\), pemetaan \(x\mapsto a-x:\Bbb R\to\Bbb R\) merupakan automorfisme ruang ukur dari \((\Bbb R,\Sigma,\mu)\).

(d) Pemetaan \((x,y)\mapsto(x+y,y):\BbbR^2\to\BbbR^2\) merupakan automorfisme ruang ukur dari \((\BbbR^2,\Sigma_2,\mu_2)\).

(e) Pemetaan \((x,y)\mapsto(x-y,y):\BbbR^2\to\BbbR^2\) merupakan automorfisme ruang ukur dari \((\BbbR^2,\Sigma_2,\mu_2)\).

Catatan Perlu saya catat bahwa (b), (d), dan (e) dapat dipandang sebagai kasus-kasus khusus sederhana dari Teorema 263A dalam bab berikutnya. Namun demikian, menurut saya tetap layak menuliskan bukti-bukti terpisah di sini, sebagian karena kasus umum operator linear yang dibahas dalam 263A memerlukan beberapa perangkat tambahan yang tidak diperlukan di sini, tetapi terlebih karena hasil di sini tidak ada kaitannya dengan struktur linear dari \(\Bbb R\) dan \(\BbbR^2\); hasil ini semata-mata bergantung pada struktur grup dari \(\Bbb R\), beserta kaitan antara topologi dan ukurannya, dan argumen-argumen yang saya berikan sekarang dapat disesuaikan dengan perumuman yang tepat ke grup topologis abelian.

Bukti

(a) Ini hanyalah keinvarian ukuran Lebesgue terhadap translasi, yang dibahas dalam §134. Di sana saya menunjukkan bahwa jika \(E\in\Sigma\) maka \(E+a\in\Sigma\) dan \(\mu(E+a)=\mu E\) (134Ab); yakni, dengan menuliskan \(\phi(x)=x+a\), \(\mu(\phi[E])\) ada dan sama dengan \(\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Tetapi tentu saja kita juga mempunyai

\(\mu(\phi^{-1}[E])=\mu(E+(-a))=\mu E\)

untuk setiap \(E\in\Sigma\), sehingga \(\phi\) merupakan automorfisme.

(b) Pokoknya ialah bahwa \(\mu^*(A)=\mu^*(-A)\) untuk setiap \(A\subseteq\Bbb R\). Bukti. (Saya mengikuti definisi-definisi dalam Jilid 1.) Jika \(\epsilon>0\), terdapat suatu barisan \(\sequencen{I_n}\) interval setengah terbuka yang menutupi \(A\) dengan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n\le\mu^*A+\epsilon\). Sekarang \(-A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}(-I_n)\). Tetapi jika \(I_n=\coint{a_n,b_n}\) maka \(-I_n=\ocint{-b_n,a_n}\), sehingga

\(\mu^*(-A)\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu(-I_n) =\sum_{n=0}^{\infty}\max(0,-a_n-(-b_n))=\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n \le\mu^*A+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\mu^*(-A)\le\mu^*A\). Tentu saja juga \(\mu^*A=\mu^*(-(-A))\le\mu^*(-A)\), sehingga \(\mu^*(-A)=\mu^*A\). ∎

Ini berarti bahwa, dengan kali ini menetapkan \(\phi(x)=-x\), \(\phi\) merupakan automorfisme dari struktur \((\Bbb R,\mu^*)\). Tetapi karena \(\mu\) didefinisikan dari \(\mu^*\) melalui prosedur abstrak metode Carathéodory, \(\phi\) juga harus merupakan automorfisme dari struktur \((\Bbb R,\Sigma,\mu)\).

(c) Gabungkan (a) dan (b); \(x\mapsto a-x\) merupakan komposisi automorfisme \(x\mapsto -x\) dan \(x\mapsto a+x\), dan komposisi automorfisme sudah tentu merupakan automorfisme.

(d)(i) Tuliskan \(\Tau\) untuk himpunan \(\{E:E\in\Sigma_2,\,\phi[E]\in\Sigma_2\}\), dengan kali ini \(\phi(x,y)=(x+y,y)\) untuk \(x\), \(y\in\Bbb R\), sehingga \(\phi:\BbbR^2\to\Bbb R^2\) merupakan suatu permutasi. Maka \(\Tau\) merupakan aljabar-\(\sigma\), sebab merupakan irisan aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma_2\) dan \(\{E:\phi[E]\in\Sigma_2\}=\{\phi^{-1}[F]:F\in\Sigma_2\}\). Selain itu, \(\mu_2E=\mu_2(\phi[E])\) untuk setiap \(E\in\Tau\). Bukti. Menurut 252D, kita mempunyai

\(\mu_2E=\int\mu\{x:(x,y)\in E\}\mu(dy)\).

Tetapi dengan menerapkan hasil yang sama pada \(\phi[E]\) kita memperoleh

\[\begin{aligned}\mu_2\phi[E] &=\int\mu\{x:(x,y)\in\phi[E]\}\mu(dy) =\int\mu\{x:(x-y,y)\in E\}\mu(dy)\\ &=\int\mu(E^{-1}[\{y\}]+y)\mu(dy) =\int\mu E^{-1}[\{y\}]\mu(dy)\\ &\text{(karena ukuran Lebesgue invarian terhadap translasi)}\\ &=\mu_2E. \text{ \Qed}\\\end{aligned}\]

(ii) Sekarang \(\phi\) dan \(\phi^{-1}\) jelas kontinu, sehingga \(\phi[G]\) terbuka, dan karena itu terukur, untuk setiap \(G\) terbuka; akibatnya semua himpunan terbuka harus termasuk dalam \(\Tau\). Karena \(\Tau\) merupakan aljabar-\(\sigma\), ia memuat semua himpunan Borel. Sekarang misalkan \(E\) sebarang himpunan terukur. Maka terdapat himpunan Borel \(H_1\), \(H_2\) sedemikian sehingga \(H_1\subseteq E\subseteq H_2\) dan \(\mu_2(H_2\setminus H_1)=0\) (134Fb). Kita mempunyai \(\phi[H_1]\subseteq\phi[E]\subseteq\phi[H_2]\) dan

\(\mu_2(\phi[H_2]\setminus\phi[H_1]) =\mu_2\phi[H_2\setminus H_1]=\mu_2(H_2\setminus H_1)=0\).

Jadi \(\phi[E]\setminus\phi[H_1]\) harus terabaikan, sehingga terukur, dan \(\phi[E]=\phi[H_1]\cup(\phi[E]\setminus\phi[H_1])\) terukur. Ini menunjukkan bahwa \(\phi[E]\) terukur kapan pun \(E\) terukur.

(iii) Dengan mengulangi argumen yang sama menggunakan \(-y\) sebagai pengganti \(y\), kita melihat bahwa \(\phi^{-1}[E]\) terukur, dan \(\mu_2\phi^{-1}[E]=\mu_2E\), untuk setiap \(E\in\Sigma_2\). Jadi \(\phi\) merupakan automorfisme dari struktur \((\BbbR^2,\Sigma_2,\mu_2)\).

(e) Tentu saja ini merupakan akibat langsung, baik dari bukti (d) maupun dari pernyataan (d) itu sendiri, karena \((x,y)\mapsto(x-y,y)\) hanyalah invers dari \((x,y)\mapsto(x+y,y)\).

255B Akibat

(a) Jika \(a\in\Bbb R\), maka untuk sebarang fungsi bernilai kompleks \(f\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(\Bbb R\)

\(\int f(x)dx =\int f(a+x)dx=\int f(-x)dx=\int f(a-x)dx\)

dalam arti bahwa jika salah satu integral ada, maka integral-integral lainnya juga ada, dan semuanya sama.

(b) Jika \(f\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(\BbbR^2\), maka

\(\int f(x+y,y)d(x,y)=\int f(x-y,y)d(x,y) =\int f(x,y)d(x,y)\)

dalam arti bahwa jika salah satu integral ada dan berhingga, maka yang lain juga demikian, dan semuanya sama.

255C Catatan (a)

Saya tidak yakin apakah seharusnya dianggap ‘jelas’ bahwa jika \((X,\Sigma,\mu)\), \((Y,\Tau,\nu)\) merupakan ruang ukur dan \(\phi:X\to Y\) suatu isomorfisme, maka untuk sebarang fungsi \(f\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\)

\(\int f(\phi(x))\mu(dx)=\int f(y)\nu(dy)\)

dalam arti bahwa jika yang satu terdefinisi maka yang lain pun terdefinisi, dan keduanya sama. Jika hal ini jelas, kejelasannya tentu bergantung pada sifat definisi integrasi: keterintegralan terhadap ukuran \(\mu\) merupakan sesuatu yang bergantung pada struktur \((X,\Sigma,\mu)\) dan tidak pada sifat lain apa pun dari \(X\). Jika hal ini tidak jelas, maka ia merupakan deduksi mudah dari Teorema 235A di atas, yang diterapkan berturut-turut pada \(\phi\) dan \(\phi^{-1}\) serta pada bagian real dan imajiner dari \(f\). Bagaimanapun juga, isomorfisme-isomorfisme dalam 255A tepat merupakan isomorfisme yang diperlukan untuk membuktikan 255B.

255Cb (b)

Perhatikan bahwa dalam 255Bb saya menuliskan \(\int f(x,y)d(x,y)\) untuk menekankan bahwa saya sedang meninjau integral \(f\) terhadap ukuran Lebesgue dua dimensi. Fakta bahwa

\(\int\bigl(\int f(x,y)dx\bigr)dy =\int\bigl(\int f(x+y,y)dx\bigr)dy=\int\bigl(\int f(x-y,y)dx\bigr)dy\)

sebenarnya lebih mudah, karena merupakan akibat langsung dari kesamaan \(\int f(a+x)dx=\int f(x)dx\). Tetapi penerapan hasil ini sering kali pada dasarnya bergantung pada fakta bahwa fungsi-fungsi \((x,y)\mapsto f(x+y,y)\), \((x,y)\mapsto f(x-y,y)\) terukur sebagai fungsi dua variabel.

255Cc (c)

Saya langsung beralih ke fungsi bernilai kompleks karena fungsi-fungsi ini diperlukan untuk penerapan dalam Bab 28. Namun, jika hal itu menimbulkan ketidaknyamanan bagi Anda, baik secara teknis maupun estetis, semua gagasan teori ukuran dalam bagian ini sudah dapat ditemukan dalam kasus real, dan mula-mula Anda mungkin ingin membacanya seolah-olah hanya bilangan real yang terlibat.

255D

Akibat lebih lanjut dari 255A akan berguna.

Akibat Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai kompleks yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(\Bbb R\).

(a) Jika \(f\) terukur, maka fungsi-fungsi \((x,y)\mapsto f(x+y)\), \((x,y)\mapsto f(x-y)\) terukur.

(b) Jika \(f\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), maka fungsi-fungsi \((x,y)\mapsto f(x+y)\), \((x,y)\mapsto f(x-y)\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^2\).

255E Rumus dasar

Misalkan \(f\) dan \(g\) fungsi bernilai kompleks yang terukur dan didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). Tuliskan \(f*g\) untuk fungsi yang didefinisikan oleh rumus

\((f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy\)

kapan pun integral itu ada (terhadap ukuran Lebesgue, tentu saja) sebagai suatu bilangan kompleks. Maka \(f*g\) adalah konvolusi fungsi \(f\) dan \(g\).

Perhatikan bahwa \(\dom(|f|*|g|)=\dom(f*g)\), dan bahwa \(|f*g|\le |f|*|g|\) di setiap titik domain bersama keduanya, untuk semua \(f\) dan \(g\).

Catatan Perhatikan bahwa di sini saya bersedia meninjau konvolusi \(f\) dan \(g\) untuk sebarang anggota \(\eusm L^0_{\Bbb C}\), yakni ruang fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana, sekalipun domain \(f*g\) mungkin kosong.

255F Sifat elementer (a)

Karena integrasi bersifat linear, tentu kita mempunyai

\(((f_1+f_2)*g)(x)=(f_1*g)(x)+(f_2*g)(x)\),

\((f*(g_1+g_2))(x)=(f*g_1)(x)+(f*g_2)(x)\),

\((cf*g)(x)=(f*cg)(x)=c(f*g)(x)\)

kapan pun ruas kanan rumus-rumus tersebut terdefinisi.

255Fb (b)

Jika \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), maka \(f*g=g*f\), dalam arti ketat bahwa keduanya mempunyai domain yang sama dan nilai yang sama di setiap titik domain bersama tersebut.

Bukti. Ambil \(x\in\Bbb R\) dan terapkan 255Ba untuk melihat bahwa \[\begin{aligned}(f*g)(x) &=\int f(x-y)g(y)dy =\int f(x-(x-y))g(x-y)dy\\ &=\int f(y)g(x-y)dy =(g*f)(x)\\\end{aligned}\] jika salah satunya terdefinisi. ∎

255Fc (c)

Jika \(f_1\), \(f_2\), \(g_1\), \(g_2\) merupakan fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), \(f_1\eae f_2\) dan \(g_1\eae g_2\), maka \(f_1*g_1=f_2*g_2\). Bukti. Untuk setiap \(x\in\Bbb R\) kita akan mempunyai \(f_1(x-y)=f_2(x-y)\) untuk hampir setiap \(y\in\Bbb R\), menurut 255Ac. Akibatnya \(f_1(x-y)g_1(y)=f_2(x-y)g_2(y)\) untuk hampir setiap \(y\), dan \((f_1*g_1)(x)=(f_2*g_2)(x)\) dalam arti bahwa jika salah satunya terdefinisi, maka yang lain juga terdefinisi, dan keduanya sama. ∎

Akibatnya, jika \(u\), \(v\in L^0_{\Bbb C}\), maka kita mempunyai suatu fungsi \(\theta(u,v)\) yang sama dengan \(f*g\) kapan pun \(f\), \(g\in\eusm L^0_{\Bbb C}\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(g^{\ssbullet}=v\). Perhatikan bahwa \(\theta(u,v)=\theta(v,u)\), dan bahwa \(\theta(u_1+u_2,v)\) memperluas \(\theta(u_1,v)+\theta(u_2,v)\), \(\theta(cu,v)\) memperluas \(c\theta(u,v)\) untuk semua \(u\), \(u_1\), \(u_2\), \(v\in L^0_{\Bbb C}\) dan \(c\in\Bbb C\).

255G

Saya telah mengelompokkan 255Fa-255Fc karena ketiganya hanya bergantung pada gagasan sampai dengan 255Ac dan 255Ba. Dengan menggunakan paruh kedua 255A dan 255B kita memperoleh hasil yang jauh lebih mendalam. Saya mulai dengan apa yang tampaknya merupakan hasil mendasar.

Teorema Misalkan \(f\), \(g\), dan \(h\) merupakan fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\).

(a) Andaikan \(\int h(x+y)f(x)g(y)d(x,y)\) ada dalam \(\Bbb C\). Maka

\[\begin{aligned}\int h(x)(f*g)(x)dx &=\int h(x+y)f(x)g(y)d(x,y)\\ &=\iint h(x+y)f(x)g(y)dxdy =\iint h(x+y)f(x)g(y)dydx\\\end{aligned}\]

asalkan dalam ungkapan \(h(x)(f*g)(x)\) kita menafsirkan produk itu sebagai \(0\) jika \(h(x)=0\) dan \((f*g)(x)\) tidak terdefinisi.

(b) Jika, dengan penafsiran serupa terhadap \(|h(x)|(|f|*|g|)(x)\), integral \(\int |h(x)|(|f|*|g|)(x)dx\) berhingga, maka \(\int h(x+y)f(x)g(y)d(x,y)\) ada dalam \(\Bbb C\).

Bukti

Tinjau fungsi-fungsi

\(k_1(x,y)=h(x)f(x-y)g(y)\), \(k_2(x,y)=h(x+y)f(x)g(y)\)

di mana pun fungsi-fungsi ini terdefinisi. 255D memberi tahu kita bahwa \(k_1\) dan \(k_2\) terukur dan didefinisikan hampir di mana-mana. Sekarang, dengan menetapkan \(\phi(x,y)=(x+y,y)\), kita mempunyai \(k_2=k_1\phi\), sehingga

\(\int k_1(x,y)d(x,y)=\int k_2(x,y)d(x,y)\)

jika salah satunya ada, menurut 255Bb.

Jika

\(\int h(x+y)f(x)g(y)d(x,y)=\int k_2\)

ada, maka menurut teorema Fubini kita mempunyai

\(\int k_2=\int k_1(x,y)d(x,y) =\int(\int h(x)f(x-y)g(y)dy)dx\)

sehingga \(\int h(x)f(x-y)g(y)dy\) ada hampir di mana-mana, yaitu, \((f*g)(x)\) ada untuk hampir setiap \(x\) sedemikian sehingga \(h(x)\ne 0\); dengan penafsiran yang saya gunakan di sini, \(h(x)(f*g)(x)\) ada hampir di mana-mana, dan

\[\begin{aligned}\int h(x)(f*g)(x)dx &=\int\bigl(\int h(x)f(x-y)g(y)dy\bigr)dx =\int k_1\\ &=\int k_2 =\int h(x+y)f(x)g(y)d(x,y)\\ &=\iint h(x+y)f(x)g(y)dxdy =\iint h(x+y)f(x)g(y)dydx\\\end{aligned}\]

sekali lagi menurut teorema Fubini.

Jika (dengan penafsiran yang sama) \(|h|\times(|f|*|g|)\) terintegralkan,

\(|k_1(x,y)|=|h(x)||f(x-y)||g(y)|\)

terukur, dan

\(\iint|h(x)||f(x-y)||g(y)|dydx =\int|h(x)|(|f|*|g|)(x)dx\)

berhingga, sehingga menurut teorema Tonelli (252G, 252H), \(k_1\) dan \(k_2\) terintegralkan.

255H

Beberapa hasil standar kini mudah diperoleh.

Akibat Jika \(f\), \(g\) merupakan fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\Bbb R\), maka \(f*g\) terintegralkan, dengan

\(\int f*g =\int f\int g\), \(\int|f*g|\le\int|f|\int|g|\).

255I Akibat

Untuk sebarang fungsi terukur bernilai kompleks \(f\), \(g\) yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), \(f*g\) terukur dan mempunyai domain terukur.

Bukti

Tetapkan \(f_n(x)=f(x)\) jika \(x\in\dom f\), \(|x|\le n\) dan \(|f(x)|\le n\), dan \(0\) di tempat lain dalam \(\Bbb R\); definisikan \(g_n\) secara serupa dari \(g\). Maka \(f_n\) dan \(g_n\) terintegralkan, \(|f_n|\le|f|\) dan \(|g_n|\le|g|\) hampir di mana-mana, \(f\eae\lim_{n\to\infty}f_n\) dan \(g\eae\lim_{n\to\infty}g_n\). Akibatnya, menurut Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue,

\[\begin{aligned}(f*g)(x) &=\int f(x-y)g(y)dy =\int \lim_{n\to\infty}f_n(x-y)g_n(y)dy\\ &=\lim_{n\to\infty}\int f_n(x-y)g_n(y)dy =\lim_{n\to\infty}(f_n*g_n)(x)\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(x\in\dom f*g\). Namun \(f_n*g_n\) terintegralkan, sehingga terukur, untuk setiap \(n\), jadi \(f*g\) pasti terukur.

Adapun domain \(f*g\),

\[\begin{aligned}x\in\dom(f*g) &\iff\int f(x-y)g(y)dy\text{ terdefinisi dalam }\Bbb C\\ &\iff\int|f(x-y)||g(y)|dy\text{ terdefinisi dalam }\Bbb R\\ &\iff\int|f_n(x-y)||g_n(y)|dy\text{ terdefinisi dalam }\Bbb R \text{ untuk setiap }n\\ &\qquad\qquad\text{dan } \sup_{n\in\Bbb N}\int|f_n(x-y)||g_n(y)|dy<\infty.\\ \end{aligned}\]

Karena setiap \(|f_n|*|g_n|\) terintegralkan, dan karenanya terukur serta mempunyai domain terukur,

\(\dom(f*g)=\{x:x\in\bigcap_{n\in\Bbb N}\dom(|f_n|*|g_n|),\, \sup_{n\in\Bbb N}(|f_n|*|g_n|)(x)<\infty\}\)

terukur.

255J Teorema

Misalkan \(f\), \(g\) dan \(h\) fungsi terukur bernilai kompleks, yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), sedemikian sehingga \(f*g\) dan \(g*h\) terdefinisi hampir di mana-mana. Misalkan \(x\in\Bbb R\) sedemikian sehingga salah satu dari \((|f|*(|g|*|h|))(x)\), \(((|f|*|g|)*|h|)(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\). Maka \(f*(g*h)\) dan \((f*g)*h\) terdefinisi dan sama di \(x\).

Bukti

Tetapkan \(k(y)=f(x-y)\) ketika ruas ini terdefinisi, sehingga \(k\) terukur dan didefinisikan hampir di mana-mana (255D).

(a) Jika \((|f|*(|g|*|h|))(x)\) terdefinisi, nilainya adalah \(\int|k(y)|(|g|*|h|)(y)dy\), sehingga menurut 255G kita mempunyai

\(\int k(y)(g*h)(y)dy=\int k(y+z)g(y)h(z)d(y,z)\),

yaitu,

\[\begin{aligned}(f*(g*h))(x) &=\int f(x-y)(g*h)(y)dy =\int k(y)(g*h)(y)dy\\ &=\int k(y+z)g(y)h(z)d(y,z) =\iint k(y+z)g(y)h(z)dydz\\ &=\iint f(x-y-z)g(y)h(z)dydz =\int (f*g)(x-z)h(z)dz\\ &=((f*g)*h)(x).\\\end{aligned}\]

(b) Jika \(((|f|*|g|)*|h|)(x)\) terdefinisi, nilainya adalah

\[\begin{aligned}\int(|f|*|g|)(x-z)|h(z)|dz &=\iint|f(x-z-y)||g(y)||h(z)|dydz\\ &=\iint|k(y+z)||g(y)||h(z)|dydz.\\\end{aligned}\]

Menurut 255D sekali lagi, \((y,z)\mapsto k(y+z)\) terukur, sehingga kita dapat menerapkan teorema Tonelli untuk melihat bahwa \(\int k(y+z)g(y)h(z)d(y,z)\) terdefinisi, dan sama dengan \(\int k(y)(g*h)(y)dy=(f*(g*h))(x)\) menurut 255Ga. Di sisi lain, menurut dua baris terakhir bukti (a), \(\int k(y+z)g(y)h(z)d(y,z)\) juga sama dengan \(((f*g)*h)(x)\).

255K

Saya rasa kita tidak akan memerlukan pembahasan menyeluruh mengenai persoalan kapan tepatnya \((f*g)(x)\) terdefinisi; persoalan ini tampaknya rumit. Namun ada suatu kasus mendasar yang memungkinkan kita memastikan bahwa \((f*g)(x)\) terdefinisi di mana-mana.

Proposisi Misalkan \(f\), \(g\) fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\), dan \(f\in\eusm L^p_{\Bbb C}\), \(g\in\eusm L^q_{\Bbb C}\) dengan \(p\), \(q\in[1,\infty]\) dan \(\bover1p+\bover1q=1\) (dengan menuliskan \(\bover{1}{\infty}=0\) seperti biasa). Maka \(f*g\) terdefinisi di mana-mana dalam \(\Bbb R\), kontinu seragam, dan

\[\begin{aligned}\sup_{x\in\Bbb R}|(f*g)(x)| &\le\|f\|_p\|g\|_q\text{ jika }1<p<\infty,\,1<q<\infty,\\ &\le\|f\|_1\esssup|g|\text{ jika }p=1,\,q=\infty,\\ &\le\esssup|f|\cdot\|g\|_1\text{ jika }p=\infty,\,q=1.\\\end{aligned}\]

Bukti

(a) (Untuk pengantar ruang \(\eusm L^p\), lihat §244.) Untuk sebarang \(x\in\Bbb R\), fungsi \(f_x\), yang didefinisikan dengan menetapkan \(f_x(y)=f(x-y)\) kapan pun \(x-y\in\dom f\), juga harus termasuk dalam \(\eusm L^p\), karena \(f_x=f\phi\) untuk suatu automorfisme \(\phi\) dari ruang ukur. Akibatnya \((f*g)(x)=\int f_x\times g\) terdefinisi, dan modulusnya paling besar \(\|f\|_p\|g\|_q\) atau \(\|f\|_1\esssup|g|\) atau \(\esssup|f|\cdot\|g\|_1\), menurut 244Eb/244Pb dan 243Fa/243K.

(b) Untuk melihat bahwa \(f*g\) kontinu seragam, gunakan argumen berikut. Misalkan mula-mula \(p<\infty\). Ambil \(\epsilon>0\). Ambil \(\eta>0\) sedemikian sehingga \((2+2^{1/p})\|g\|_q\eta\le\epsilon\). Maka ada fungsi kontinu terbatas \(h:\Bbb R\to\Bbb C\) sedemikian sehingga \(\{x:h(x)\ne 0\}\) terbatas dan \(\|f-h\|_p\le\eta\) (244Hb/244Pb); ambil \(M\ge 1\) sedemikian sehingga \(h(x)=0\) kapan pun \(|x|\ge M-1\). Selanjutnya, \(h\) kontinu seragam, sehingga ada \(\delta\in\ocint{0,1}\) sedemikian sehingga \(|h(x)-h(x')|\le M^{-1/p}\eta\) kapan pun \(|x-x'|\le\delta\).

Misalkan \(|x-x'|\le\delta\). Dengan mendefinisikan \(h_x(y)=h(x-y)\), seperti sebelumnya, kita mempunyai

\[\begin{aligned}\int|h_x-h_{x'}|^p &=\int|h(x-y)-h(x'-y)|^pdy =\int|h(t)-h(x'-x+t)|^pdt\\ &\text{(dengan menyubstitusikan }t=x-y\text{)}\\ &=\int_{-M}^M|h(t)-h(x'-x+t)|^pdt\\ &\text{(karena }h(t)=h(x'-x+t)=0\text{ jika }|t|\ge M\text{)}\\ &\le 2M(M^{-1/p}\eta)^p\\ &\text{(karena }|h(t)-h(x'-x+t)|\le M^{-1/p}\eta\text{ untuk setiap }t\text{)}\\ &=2\eta^p.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\|h_x-h_{x'}\|_p\le 2^{1/p}\eta\). Di sisi lain,

\(\int|h_{x}-f_{x}|^p =\int|h(x-y)-f(x-y)|^pdy =\int|h(y)-f(y)|^pdy\),

sehingga \(\|h_x-f_x\|_p=\|h-f\|_p\le\eta\), dan demikian pula \(\|h_{x'}-f_{x'}\|_p\le\eta\). Jadi

\(\|f_x-f_{x'}\|_p \le\|f_x-h_x\|_p+\|h_x-h_{x'}\|_p+\|h_{x'}-f_{x'}\|_p \le(2+2^{1/p})\eta\).

Ini berarti bahwa

\[\begin{aligned}|(f*g)(x)-(f*g)(x')| &=|\int f_x\times g-\int f_{x'}\times g| =|\int(f_x-f_{x'})\times g|\\ &\le\|f_x-f_{x'}\|_p\|g\|_q \le(2+2^{1/p})\|g\|_q\eta \le\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(f*g\) kontinu seragam.

Argumen di sini mengandaikan bahwa \(p\) berhingga. Namun jika \(p=\infty\) maka \(q=1\) berhingga, sehingga kita dapat menerapkan metode tersebut dengan \(g\) menggantikan \(f\) untuk menunjukkan bahwa \(g*f\) kontinu seragam, dan \(f*g=g*f\) menurut 255Fb.

255L Kasus berdimensi \(r\)

Saya telah menuliskan 255A-255K sebagai teorema-teorema tentang ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Namun semuanya berlaku sama baiknya untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\) bagi sebarang \(r\ge 1\), dan perubahan yang diperlukan begitu kecil sehingga saya rasa saya cukup meminta Anda membaca kembali argumen-argumen tersebut, dengan mengubah setiap \(\Bbb R\) menjadi \(\BbbR^r\), dan setiap \(\BbbR^2\) menjadi \((\BbbR^r)^2\). Dalam 255A dan di tempat lain, ukuran \(\mu_2\) harus dibaca sebagai ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^{2r}\) atau sebagai ukuran produk pada \((\BbbR^r)^2\); menurut 251N keduanya dapat diidentifikasi. Ada perubahan sepele yang diperlukan dalam bagian (b) bukti tersebut; jika \(I_n=\coint{a_n,b_n}\) maka

\(\mu I_n=\mu(-I_n) =\prod_{i=1}^r\max(0,\beta_{ni}-\alpha_{ni})\),

dengan menuliskan \(a_n=(\alpha_{n1},\ldots,\alpha_{nr}),\ b_n=(\beta_{n1},\ldots,\beta_{nr})\). Dalam bukti 255I, fungsi-fungsi \(f_n\) harus didefinisikan dengan menetapkan bahwa \(f_n(x)=f(x)\) jika \(|f(x)|\le n\) dan \(\|x\|\le n\), serta \(0\) selainnya.

Karena itu, ketika mengutip hasil-hasil ini, saya tidak akan ragu untuk merujuk paragraf-paragraf 255A-255K seolah-olah semuanya benar-benar telah dituliskan untuk \(r\ge 1\) secara umum.

255M Kasus \(\ocint{-\pi,\pi}\)

Gagasan yang sama juga berlaku untuk grup lingkaran \(S^1\) dan interval \(\ocint{-\pi,\pi}\), tetapi di sini mungkin diperlukan penjelasan yang agak lebih panjang.

255Ma (a)

Hal pertama yang harus ditetapkan ialah operasi grup yang sesuai. Jika kita memandang \(S^1\) sebagai himpunan \(\{z:z\in\Bbb C,\,|z|=1\}\), maka operasi grupnya adalah perkalian kompleks, dan dalam rumus-rumus di atas \(x+y\) harus diganti dengan \(xy\), sedangkan \(x-y\) harus diganti dengan \(xy^{-1}\). Pada interval \(\ocint{-\pi,\pi}\), operasi grupnya adalah \(+_{2\pi}\), dengan, untuk \(x\), \(y\in\ocint{-\pi,\pi}\), saya menuliskan \(x+_{2\pi}y\) untuk salah satu dari \(x+y\), \(x+y+2\pi\), \(x+y-2\pi\) yang termasuk dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\). Untuk melihat bahwa ini memang suatu operasi grup, salah satu caranya ialah memperhatikan bahwa operasi ini berpadanan dengan perkalian pada \(S^1\) jika kita menggunakan bijeksi kanonik \(x\mapsto e^{ix}:\ocint{-\pi,\pi}\to S^1\); cara lain ialah memperhatikan bahwa operasi ini berpadanan dengan operasi pada grup hasil bagi \(\Bbb R/2\pi\Bbb Z\). Jadi, dalam penafsiran gagasan-gagasan 255A-255K ini, kita akan mengganti \(x+y\) dengan \(x+_{2\pi}y\), \(-x\) dengan \(-_{2\pi}x\), dan \(x-y\) dengan \(x-_{2\pi}y\), dengan

\(-_{2\pi}x=-x\) jika \(x\in\ooint{-\pi,\pi}\), \(-_{2\pi}\pi=\pi\),

dan \(x-_{2\pi}y\) adalah salah satu dari \(x-y\), \(x-y+2\pi\), \(x-y-2\pi\) yang termasuk dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\).

255Mb (b)

Mengenai ukurannya, ukuran yang digunakan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) hanyalah ukuran Lebesgue. Perhatikan bahwa karena \(\ocint{-\pi,\pi}\) terukur Lebesgue, tidak akan ada kerancuan mengenai arti ‘subhimpunan terukur’, karena subhimpunan yang terukur secara relatif dari \(\ocint{-\pi,\pi}\) sebenarnya diukur dengan ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Kita juga dapat mengidentifikasi ukuran produk pada \(\ocint{-\pi,\pi}\times\ocint{-\pi,\pi}\) dengan ukuran subruang yang diinduksi oleh ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\) (251R).

Pada \(S^1\), kita memerlukan ukuran padanan yang diinduksi oleh bijeksi kanonik antara \(S^1\) dan \(\ocint{-\pi,\pi}\), yang memang sering disebut ‘ukuran Lebesgue pada \(S^1\)’. (Kita akan melihat dalam 265E bahwa ukuran ini juga sama dengan ukuran Hausdorff berdimensi satu pada \(S^1\).) Kita sudah sangat dekat dengan taraf yang memungkinkan kita secara wajar beralih ke \(S^1\) dan ukuran ini (atau versi ternormalisasinya, yang diperkecil dengan faktor \(2\pi\), agar \(S^1\) menjadi ruang probabilitas). Namun, teori elementer deret Fourier, yang akan menjadi penerapan utama pembahasan ini dalam jilid ini, umumnya dikerjakan pada interval dalam \(\Bbb R\), sehingga rumus-rumus yang didasarkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) lebih dekat dengan bentuk standar. Oleh karena itu, mulai sekarang saya akan menyajikan pembahasan dalam istilah \(\ocint{-\pi,\pi}\).

255Mc (c)

Hasil yang berpadanan dengan 255A kini mempunyai bentuk yang sedikit berbeda, jadi saya uraikan secara lengkap.

255N Teorema

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) dan \(\mu_2\) ukuran Lebesgue pada \(\ocint{-\pi,\pi}\times\ocint{-\pi,\pi}\); tuliskan \(\Sigma\), \(\Sigma_2\) untuk domain-domainnya.

(a) Untuk sebarang \(a\in\ocint{-\pi,\pi}\), peta \(x\mapsto a+_{2\pi}x:\ocint{-\pi,\pi}\to\ocint{-\pi,\pi}\) adalah suatu automorfisme ruang ukur dari \((\ocint{-\pi,\pi},\Sigma,\mu)\).

(b) Peta \(x\mapsto -_{2\pi}x:\ocint{-\pi,\pi}\to\ocint{-\pi,\pi}\) adalah suatu automorfisme ruang ukur dari \((\ocint{-\pi,\pi},\Sigma,\mu)\).

(c) Untuk sebarang \(a\in\ocint{-\pi,\pi}\), peta \(x\mapsto a-_{2\pi}x:\ocint{-\pi,\pi}\to\ocint{-\pi,\pi}\) adalah suatu automorfisme ruang ukur dari \((\ocint{-\pi,\pi},\Sigma,\mu)\).

(d) Peta \((x,y)\mapsto(x+_{2\pi}y,y):\ocint{-\pi,\pi}^2\to \ocint{-\pi,\pi}^2\) adalah suatu automorfisme ruang ukur dari \((\ocint{-\pi,\pi}^2, \Sigma_2, \mu_2)\).

(e) Peta \((x,y)\mapsto(x-_{2\pi}y,y):\ocint{-\pi,\pi}^2\to \ocint{-\pi,\pi}^2\) adalah suatu automorfisme ruang ukur dari \((\ocint{-\pi,\pi}^2, \Sigma_2, \mu_2)\).

Bukti

(a) Tetapkan \(\phi(x)=a+_{2\pi}x\). Maka untuk sebarang \(E\subseteq\ocint{-\pi,\pi}\),

\(\phi[E] =((E+a)\cap\ocint{-\pi,\pi}) \cup(((E+a)\cap\ocint{\pi,3\pi})-2\pi) \cup(((E+a)\cap\ocint{-3\pi,-\pi})+2\pi)\),

dan ketiga himpunan ini saling lepas, sehingga

\[\begin{aligned}\mu\phi[E] &=\mu((E+a)\cap\ocint{-\pi,\pi}) +\mu(((E+a)\cap\ocint{\pi,3\pi})-2\pi)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\mu(((E+a)\cap\ocint{-3\pi,-\pi})+2\pi)\\ &=\mu_L((E+a)\cap\ocint{-\pi,\pi}) +\mu_L(((E+a)\cap\ocint{\pi,3\pi})-2\pi)\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\mu_L(((E+a)\cap\ocint{-3\pi,-\pi})+2\pi)\\ &\text{(dengan menuliskan }\mu_L\text{ untuk ukuran Lebesgue pada }\Bbb R\text{)}\\ &=\mu_L((E+a)\cap\ocint{-\pi,\pi}) +\mu_L((E+a)\cap\ocint{\pi,3\pi}) +\mu_L((E+a)\cap\ocint{-3\pi,-\pi})\\ &=\mu_L(E+a) =\mu_LE =\mu E.\\\end{aligned}\]

Demikian pula, \(\mu\phi^{-1}[E]\) terdefinisi dan sama dengan \(\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), sehingga \(\phi\) merupakan automorfisme dari \((\ocint{-\pi,\pi}, \Sigma, \mu)\).

(b) Tentu saja bagian ini lebih singkat. Dengan menetapkan \(\phi(x)=-_{2\pi}x\) untuk \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\mu(\phi[E]) &=\mu(\phi[E]\cap\ooint{-\pi,\pi}) =\mu(-(E\cap\ooint{-\pi,\pi}))\\ &=\mu_L(-(E\cap\ooint{-\pi,\pi})) =\mu_L(E\cap\ooint{-\pi,\pi})\\ &=\mu(E\cap\ooint{-\pi,\pi}) =\mu E\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(E\in\Sigma\).

(c) Bagian ini cukup dengan menggabungkan (a) dan (b), seperti dalam 255A.

(d) Kita dapat berargumen seperti dalam (a), tetapi dengan sedikit rincian tambahan. Jika \(E\in\Sigma_2\), dan \(\phi(x,y)=(x+_{2\pi}y,y)\) untuk \(x\), \(y\in\ocint{-\pi,\pi}\), tetapkan \(\psi(x,y)=(x+y,y)\) untuk \(x\), \(y\in\Bbb R\), dan tuliskan \(c=(2\pi,0)\in\BbbR^2\), \(H=\ocint{-\pi,\pi}^2\), \(H'=H+c\), \(H''=H-c\). Maka untuk sebarang \(E\in\Sigma_2\),

\(\phi[E]=(\psi[E]\cap H)\cup((\psi[E]\cap H')-c) \cup((\psi[E]\cap H'')+c)\),

sehingga

\[\begin{aligned}\mu_2\phi[E] &=\mu_2(\psi[E]\cap H) +\mu_2((\psi[E]\cap H')-c) +\mu_2((\psi[E]\cap H'')+c)\\ &=\mu_L(\psi[E]\cap H) +\mu_L((\psi[E]\cap H')-c) +\mu_L((\psi[E]\cap H'')+c)\\ &\text{(kali ini dengan menuliskan }\mu_L\text{ untuk ukuran Lebesgue pada }\BbbR^2\text{)}\\ &=\mu_L(\psi[E]\cap H) +\mu_L(\psi[E]\cap H') +\mu_L(\psi[E]\cap H'')\\ &=\mu_L\psi[E] =\mu_LE =\mu_2 E.\\\end{aligned}\]

Dengan cara yang sama, \(\mu_2(\phi^{-1}[E])=\mu_2E\) untuk setiap \(E\in\Sigma_2\), sehingga \(\phi\) merupakan automorfisme dari \((\ocint{-\pi,\pi}^2,\Sigma_2,\mu_2)\), sebagaimana diperlukan.

(e) Akhirnya, (e) hanyalah pernyataan ulang (d), seperti sebelumnya.

255O Konvolusi pada \(\ocint{-\pi,\pi}\)

Dengan telah ditetapkannya hasil mendasar tersebut, argumen yang sama seperti dalam 255B-255K kini menghasilkan hal berikut. Tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\ocint{-\pi,\pi}\).

255Oa (a)

Misalkan \(f\) dan \(g\) fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\). Tuliskan \(f*g\) untuk fungsi yang didefinisikan oleh rumus

\((f*g)(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-_{2\pi}y)g(y)dy\)

kapan pun \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\) dan integral tersebut ada sebagai suatu bilangan kompleks. Maka \(f*g\) adalah konvolusi dari fungsi-fungsi \(f\) dan \(g\).

255Ob (b)

Jika \(f\) dan \(g\) fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\), maka \(f*g=g*f\).

255Oc (c)

Misalkan \(f\), \(g\) dan \(h\) fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\). Maka

(i)

\(\int_{-\pi}^{\pi}h(x)(f*g)(x)dx =\int_{\ocint{-\pi,\pi}^2}h(x+_{2\pi}y)f(x)g(y)d(x,y)\)

kapan pun ruas kanan ada dan berhingga, asalkan dalam ungkapan \(h(x)(f*g)(x)\) kita menafsirkan hasil kalinya sebagai \(0\) jika \(h(x)=0\) dan \((f*g)(x)\) tidak terdefinisi.

(ii) Jika, dengan penafsiran yang sama terhadap \(|h(x)|(|f|*|g|)(x)\), integral \(\int_{-\pi}^{\pi}|h(x)|(|f|*|g|)(x)dx\) berhingga, maka \(\int_{\ocint{-\pi,\pi}^2}h(x+_{2\pi}y)f(x)g(y)d(x,y)\) ada dalam \(\Bbb C\), sehingga sekali lagi kita mempunyai

\(\int_{-\pi}^{\pi}h(x)(f*g)(x)dx =\int_{\ocint{-\pi,\pi}^2}h(x+_{2\pi}y)f(x)g(y)d(x,y)\).

255Od (d)

Jika \(f\), \(g\) fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), maka \(f*g\) terintegralkan, dengan

\(\int_{-\pi}^{\pi}f*g =\int_{-\pi}^{\pi}f\int_{-\pi}^{\pi}g\), \(\int_{-\pi}^{\pi}|f*g| \le\int_{-\pi}^{\pi}|f|\int_{-\pi}^{\pi}|g|\).

255Oe (e)

Misalkan \(f\), \(g\), \(h\) fungsi terukur bernilai kompleks yang didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\), sedemikian sehingga \(f*g\) dan \(g*h\) juga terdefinisi hampir di mana-mana. Misalkan \(x\in\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian sehingga salah satu dari \((|f|*(|g|*|h|))(x)\), \(((|f|*|g|)*|h|)(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\). Maka \(f*(g*h)\) dan \((f*g)*h\) terdefinisi dan sama di \(x\).

255Of (f)

Misalkan \(f\in\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu)\), \(g\in\eusm L^{q}_{\Bbb C}(\mu)\) dengan \(p\), \(q\in[1,\infty]\) dan \(\bover1p+\bover1{q}=1\). Maka \(f*g\) terdefinisi di mana-mana dalam \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan \(\sup_{x\in\ocint{-\pi,\pi}}|(f*g)(x)|\le\|f\|_p\|g\|_q\), dengan menafsirkan \(\|\,\,\|_{\infty}\) sebagai \(\esssup |\,\,|\), seperti dalam 255K.

Latihan

255X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(f\), \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(x\in\Bbb R\), \((f*g)(x)=\int f(x+y)g(-y)dy\) jika salah satunya terdefinisi.

255Xb (b) penting

Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi genap, maka \(f*g\) juga genap. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) genap dan \(g\) ganjil maka \(f*g\) ganjil. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) dan \(g\) ganjil maka \(f*g\) genap.

255Xc (c)

Misalkan \(f\), \(g\) adalah fungsi terukur bernilai real yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^r\) dan sedemikian sehingga \(f>0\) hampir di mana-mana, \(g\ge 0\) hampir di mana-mana dan \(\{x:g(x)>0\}\) tidak terabaikan. Tunjukkan bahwa \(f*g>0\) di setiap titik dalam \(\dom(f*g)\).

255Xd (d) penting

Misalkan \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi terbatas yang dapat didiferensialkan dan bahwa \(f'\) terbatas. Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan \(g\) pada \(\Bbb R\), \(f*g\) dapat didiferensialkan dan \((f*g)'=f'*g\) di setiap titik. Petunjuk: 123D.

255Xe (e)

Fungsi bernilai kompleks \(g\) yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R\) disebut terintegralkan secara lokal jika \(\int_a^bg\) terdefinisi dalam \(\Bbb C\) kapan pun \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Misalkan \(g\) adalah fungsi semacam itu dan bahwa \(f:\Bbb R\to\Bbb C\) adalah fungsi yang dapat didiferensialkan, dengan turunan kontinu, sedemikian sehingga \(\{x:f(x)\ne 0\}\) terbatas. Tunjukkan bahwa \((f*g)'=f'*g\) di setiap titik.

255Xf (f) penting

Tetapkan \(\phi_{\delta}(x)=\exp(-\bover1{\delta^2-x^2})\) jika \(|x|<\delta\), \(0\) jika \(|x|\ge\delta\), seperti dalam 242Xi. Tetapkan \(\alpha_{\delta}=\int\phi_{\delta}\), \(\psi_{\delta}=\alpha_{\delta}^{-1}\phi_{\delta}\). Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan secara lokal pada \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa \(f*\psi_{\delta}\) adalah fungsi mulus yang terdefinisi di setiap titik dalam \(\Bbb R\) untuk setiap \(\delta>0\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\lim_{\delta\downarrow 0}(f*\psi_{\delta})(x)=f(x)\) untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\). Petunjuk: 223Yg. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan maka \(\lim_{\delta\downarrow 0}\int|f-f*\psi_{\delta}|=0\). Petunjuk: gunakan (ii) dan 245H(a-ii) atau perhatikan dahulu kasus \(f=\chi[a,b]\) dan gunakan 242O, dengan mencatat bahwa \(\int|f*\psi_{\delta}|\le\int|f|\). (iv) Tunjukkan bahwa jika \(f\) kontinu seragam dan terdefinisi di setiap titik dalam \(\Bbb R\) maka \(\lim_{\delta\downarrow 0}\sup_{x\in\Bbb R}|f(x)-(f*\psi_{\delta})(x)|=0\).

255Xg (g) penting

Untuk \(\alpha>0\), tetapkan \(g_{\alpha}(t)=\Bover1{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}\) untuk \(t>0\), \(0\) untuk \(t\le 0\). Tunjukkan bahwa \(g_{\alpha}*g_{\beta}=g_{\alpha+\beta}\) untuk semua \(\alpha\), \(\beta>0\). Petunjuk: 252Yf.

255Xh (h) penting

Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Untuk \(u\), \(v\), \(w\in L^0_{\Bbb C}=L^0_{\Bbb C}(\mu)\), katakan bahwa \(u*v=w\) jika \(f*g\) terdefinisi hampir di mana-mana dan \((f*g)^{\ssbullet}=w\) kapan pun \(f\), \(g\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu)\), \(f^{\ssbullet}=u\) dan \(g^{\ssbullet}=v\). (i) Tunjukkan bahwa \((u_1+u_2)*v=u_1*v+u_2*v\) kapan pun \(u_1\), \(u_2\), \(v\in L^0_{\Bbb C}\) dan \(u_1*v\) serta \(u_2*v\) terdefinisi dalam pengertian ini. (ii) Tunjukkan bahwa \(u*v=v*u\) kapan pun \(u\), \(v\in L^0_{\Bbb C}\) dan salah satu dari \(u*v\) atau \(v*u\) terdefinisi. (iii) Tunjukkan bahwa jika \(u\), \(v\), \(w\in L^0_{\Bbb C}\), \(u*v\) dan \(v*w\) terdefinisi, dan salah satu dari \(|u|*(|v|*|w|)\) atau \((|u|*|v|)*|w|\) terdefinisi, maka \(u*(v*w)=(u*v)*w\) terdefinisi dan sama.

255Xi (i) penting

Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa \(u*v\), sebagaimana didefinisikan dalam 255Xh, termasuk dalam \(L^1_{\Bbb C}(\mu)\) kapan pun \(u\), \(v\in L^1_{\Bbb C}(\mu)\). (ii) Tunjukkan bahwa \(L^1_{\Bbb C}\) adalah aljabar Banach komutatif terhadap \(*\) (definisi: 2A4J).

255Xj (j)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(h\) adalah fungsi terintegralkan pada \(\BbbR^2\), maka \((Th)(x)=\int h(x-y,y)dy\) ada untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\), dan bahwa \(\int (Th)(x)dx=\int h(x,y)d(x,y)\). (ii) Tuliskan \(\mu_2\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\), \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa ada operator linear \(\tilde T:L^1(\mu_2)\to L^1(\mu)\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\tilde T(h^{\ssbullet})=(Th)^{\ssbullet}\) untuk setiap fungsi terintegralkan \(h\) pada \(\BbbR^2\). (iii) Tunjukkan bahwa dalam bahasa 253E dan 255Xh, \(\tilde T(u\otimes v)=u*v\) untuk semua \(u\), \(v\in L^1(\mu)\).

255Xk (k) penting

Untuk \(\pmb{a}\), \(\pmb{b}\in\Bbb C^{\Bbb Z}\) tetapkan \((\pmb{a}*\pmb{b})(n)=\sum_{i\in\Bbb Z}\pmb{a}(n-i)\pmb{b}(i)\) kapan pun \(\sum_{i\in\Bbb Z}|\pmb{a}(n-i)\pmb{b}(i)|<\infty\). Tunjukkan bahwa

(i) \(\pmb{a}*\pmb{b}=\pmb{b}*\pmb{a}\);

(ii) \(\sum_{i\in\Bbb Z}\pmb{c}(i)(\pmb{a}*\pmb{b})(i) =\sum_{i,j\in\Bbb Z}\pmb{c}(i+j)\pmb{a}(i)\pmb{b}(j)\) jika \(\sum_{i,j\in\Bbb Z}|\pmb{c}(i+j)\pmb{a}(i)\pmb{b}(j)|<\infty\);

(iii) jika \(\pmb{a}\), \(\pmb{b}\in\ell^1(\Bbb Z)\) maka \(\pmb{a}*\pmb{b}\in\ell^1(\Bbb Z)\) dan \(\|\pmb{a}*\pmb{b}\|_1\le\|\pmb{a}\|_1\|\pmb{b}\|_1\);

(iv) Jika \(\pmb{a}\), \(\pmb{b}\in\ell^2(\Bbb Z)\) maka \(\pmb{a}*\pmb{b}\in\ell^{\infty}(\Bbb Z)\) dan \(\|\pmb{a}*\pmb{b}\|_{\infty}\le\|\pmb{a}\|_2\|\pmb{b}\|_2\);

(v) jika \(\pmb{a}\), \(\pmb{b}\), \(\pmb{c}\in\Bbb C^{\Bbb Z}\) dan \((|\pmb{a}|*(|\pmb{b}|*|\pmb{c}|))(n)\) terdefinisi dengan baik, maka \((\pmb{a}*(\pmb{b}*\pmb{c}))(n)=((\pmb{a}*\pmb{b})*\pmb{c})(n)\).

255Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\Bbb R\). (i) Misalkan \(x\) adalah sebarang titik dalam himpunan Lebesgue dari \(f\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(|f(x)-(f*g)(x)|\le\epsilon\) kapan pun \(g:\Bbb R\to\coint{0,\infty}\) adalah fungsi yang tak menurun pada \(\ocint{-\infty,0}\), tak menaik pada \(\coint{0,\infty}\), dan memenuhi \(\int g=1\) serta \(\int_{-\delta}^{\delta}g\ge 1-\delta\). (ii) Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|f-f*g\|_1\le\epsilon\) kapan pun \(g:\Bbb R\to\coint{0,\infty}\) adalah fungsi yang tak menurun pada \(\ocint{-\infty,0}\), tak menaik pada \(\coint{0,\infty}\), dan memenuhi \(\int g=1\) serta \(\int_{-\delta}^{\delta}g\ge 1-\delta\).

255Yb (b)

Misalkan \(f\) adalah fungsi bernilai kompleks yang terintegralkan pada \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa, untuk hampir setiap \(x\in\Bbb R\),

\(\lim_{a\to\infty} \Bover{a}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \Bover{f(y)}{1+a^2(x-y)^2}dy\), \(\lim_{a\to\infty}a\int_x^{\infty}f(y)e^{-a(y-x)}dy\),

\(\lim_{\sigma\downarrow 0}\Bover1{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-(y-x)^2/2\sigma^2}dy\)

semuanya ada dan sama dengan \(f(x)\). Petunjuk: 263G.

255Yc (c)

Tetapkan \(f(x)=1\) untuk semua \(x\in\Bbb R\), \(g(x)=\Bover{x}{|x|}\) untuk \(0<|x|\le 1\) dan \(0\) selainnya, \(h(x)=\tanh x\) untuk semua \(x\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(f*(g*h)\) dan \((f*g)*h\) keduanya terdefinisi (dan konstan) di setiap titik, dan keduanya berbeda.

255Yd (d)

Bahas apa yang dapat terjadi jika, dalam konteks 255J, kita mengetahui bahwa \((|f|*(|g|*|h|))(x)\) terdefinisi, tetapi tidak memiliki informasi tentang domain \(f*g\).

255Ye (e)

Misalkan \(p\in\coint{1,\infty}\) dan bahwa \(f\in\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu)\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Untuk \(a\in\BbbR^r\) tetapkan \((S_af)(x)=f(a+x)\) kapan pun \(a+x\in\dom f\). Tunjukkan bahwa \(S_af\in\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu)\), dan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|S_af-f\|_p\le\epsilon\) kapan pun \(|a|\le\delta\).

255Yf (f)

Misalkan \(p\), \(q\in\ooint{1,\infty}\) dan \(\bover1p+\bover1q=1\). Ambil \(f\in\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^q_{\Bbb C}(\mu)\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{\|x\|\to\infty}(f*g)(x)=0\). Petunjuk: gunakan 244Hb.

255Yg (g)

Ulangi 255Ye dan 255K, kali ini dengan mengambil \(\mu\) sebagai ukuran Lebesgue pada \(\ocint{-\pi,\pi}\), dan menetapkan \((S_af)(x)=f(a+_{2\pi}x)\) untuk \(a\in\ocint{-\pi,\pi}\); tunjukkan bahwa dalam versi baru 255K, \((f*g)(\pi)=\lim_{x\downarrow -\pi}(f*g)(x)\).

255Yh (h)

Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Untuk \(a\in\Bbb R\), \(f\in\eusm L^0=\eusm L^0(\mu)\) tetapkan \((S_af)(x)=f(a+x)\) kapan pun \(a+x\in\dom f\).

(i) Tunjukkan bahwa \(S_af\in\eusm L^0\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\).

(ii) Tunjukkan bahwa kita mempunyai pemetaan \(\tilde S_a:L^0\to L^0\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\tilde S_a(f^{\ssbullet})=(S_af)^{\ssbullet}\) untuk setiap \(f\in\eusm L^0\).

(iii) Tunjukkan bahwa \(\tilde S_a\) adalah isomorfisme ruang Riesz dan homeomorfisme untuk topologi konvergensi dalam ukuran; selain itu, bahwa \(\tilde S_a(u\times v)=\tilde S_au\times\tilde S_av\) untuk semua \(u\), \(v\in L^0\).

(iv) Tunjukkan bahwa \(\tilde S_{a+b}=\tilde S_a\tilde S_b\) untuk semua \(a\), \(b\in\Bbb R\).

(v) Tunjukkan bahwa \(\lim_{a\to 0}\tilde S_au=u\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran, bagi setiap \(u\in L^0\).

(vi) Tunjukkan bahwa jika \(1\le p\le\infty\) maka \(\tilde S_a\restr L^p\) adalah isomorfisme isometrik dari kisi Banach \(L^p\).

(vii) Tunjukkan bahwa jika \(p\in\coint{1,\infty}\) maka \(\lim_{a\to 0}\|\tilde S_au-u\|_p=0\) untuk setiap \(u\in L^p\).

(viii) Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq L^1\) terintegralkan secara seragam dan \(M\ge 0\), maka \(\{\tilde S_au:u\in A,\,|a|\le M\}\) terintegralkan secara seragam.

(ix) Misalkan \(u\), \(v\in L^0\) sedemikian sehingga \(u*v\) terdefinisi dalam \(L^0\) dalam pengertian 255Xh. Tunjukkan bahwa \(\tilde S_a(u*v)=(\tilde S_au)*v=u*(\tilde S_av)\) untuk setiap \(a\in\Bbb R\).

255Yi (i)

Buktikan 255Nd dari 255Na dengan metode yang digunakan untuk membuktikan 255Ad dari 255Aa, alih-alih mengutip 255Ad.

255Yj (j)

Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\), dan \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) fungsi konveks; misalkan \(\bar\phi:L^0\to L^0=L^0(\mu)\) adalah operator terkait (lihat 241I). Tunjukkan bahwa jika \(u\in L^1=L^1(\mu)\), \(v\in L^0\) sedemikian sehingga \(u\ge 0\), \(\int u=1\) dan \(u*v\), \(u*\bar\phi(v)\) keduanya terdefinisi dalam pengertian 255Xh, maka \(\bar\phi(u*v)\le u*\bar\phi(v)\). Petunjuk: 233I.

255Yk (k)

Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\), dan \(p\in[1,\infty]\). Misalkan \(f\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\mu)\), \(g\in\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(f*g\in\eusm L^p_{\Bbb C}(\mu)\) dan bahwa \(\|f*g\|_p\le\|f\|_1\|g\|_p\). Petunjuk: turunkan dari 255Yj, seperti dalam 244M.

255Yl (l)

Misalkan \(p\), \(q\), \(r\in\ooint{1,\infty}\) dan bahwa \(\bover1p+\bover1q=1+\bover1r\). Misalkan \(\mu\) adalah ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). (i) Tunjukkan bahwa

\(\int f\times g \le\|f\|_p^{1-p/r}\|g\|_q^{1-q/r}(\int f^p\times g^q)^{1/r}\)

kapan pun \(f\), \(g\ge 0\) dan \(f\in\eusm L^p(\mu)\), \(g\in\eusm L^q(\mu)\). Petunjuk: tetapkan \(p'=p/(p-1)\), dan seterusnya; \(f_1=f^{p/q'}\), \(g_1=g^{q/p'}\), \(h=(f^p\times g^q)^{1/r}\). Gunakan 244Xc untuk melihat bahwa \(\|f_1\times g_1\|_{r'}\le\|f_1\|_{q'}\|g_1\|_{p'}\), sehingga \(\int f_1\times g_1\times h\le\|f_1\|_{q'}\|g_1\|_{p'}\|h\|_r\). (ii) Tunjukkan bahwa \(f*g\) terdefinisi hampir di mana-mana dan bahwa \(\|f*g\|_r\le\|f\|_p\|g\|_q\) untuk semua \(f\in\eusm L^p(\mu)\), \(g\in\eusm L^q(\mu)\). Petunjuk: ambil \(f\), \(g\ge 0\). Gunakan (i) untuk melihat bahwa \((f*g)(x)^r\le\|f\|_p^{r-p}\|g\|_q^{r-q}\int f(y)^pg(x-y)^qdy\), sehingga \(\|f*g\|_r^r\le\|f\|_p^{r-p}\|g\|_q^{r-q}\int f(y)^p\|g\|_q^qdy\). (Ini adalah ketaksamaan Young.)

255Ym (m)

Ulangi hasil-hasil bagian ini untuk grup \((S^1)^r\), dengan \(r\ge 2\), yang diberi ukuran produknya.

255Yn (n)

Misalkan \(G\) adalah grup dan \(\mu\) suatu ukuran \(\sigma\)-hingga pada \(G\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) untuk setiap \(a\in G\), pemetaan \(x\mapsto ax\) adalah automorfisme dari \((G,\mu)\) (\(\beta\)) pemetaan \((x,y)\mapsto (x,xy)\) adalah automorfisme dari \((G^2,\mu_2)\), dengan \(\mu_2\) ukuran produk c.l.d. pada \(G\times G\). Untuk \(f\), \(g\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu)\) tuliskan \((f*g)(x)=\int f(y)g(y^{-1}x)dy\) kapan pun ini terdefinisi. Tunjukkan bahwa

(i) jika \(f\), \(g\), \(h\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu)\) dan \(\int h(xy)f(x)g(y)d(x,y)\) terdefinisi dalam \(\Bbb C\), maka \(\int h(x)(f*g)(x)dx\) ada dan sama dengan \(\int h(xy)f(x)g(y)d(x,y)\), asalkan dalam ungkapan \(h(x)(f*g)(x)\) kita menafsirkan hasil kali sebagai \(0\) jika \(h(x)=0\) dan \((f*g)(x)\) tidak terdefinisi;

(ii) jika \(f\), \(g\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\mu)\) maka \(f*g\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\mu)\) dan \(\int f*g=\int f\int g\), \(\|f*g\|_1\le\|f\|_1\|g\|_1\);

(iii) jika \(f\), \(g\), \(h\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\mu)\) maka \(f*(g*h)=(f*g)*h\).

(Lihat Halmos 50, §59.)

255Yo (o)

Ulangi 255Yn untuk ukuran cacah pada sebarang grup \(G\).

Catatan dan komentar

255 Catatan penutup untuk Bagian 255

Saya telah mencoba menyusun bagian ini sedemikian rupa agar jelas bahwa dasar seluruh pembahasan di sini adalah 255A, dan penerapan yang krusial adalah 255G. Saya berharap bahwa jika dan ketika Anda mulai mempelajari grup topologis umum (misalnya, dalam Bab 44), Anda akan merasa mudah menelusuri gagasan-gagasan tersebut dalam sebarang grup topologis abelian yang memungkinkan Anda membuktikan suatu versi 255A. Untuk grup nonabelian, tentu saja, diperlukan kehati-hatian yang lebih besar, terutama karena dalam beberapa contoh penting kita tidak lagi mempunyai \(\mu\{x^{-1}:x\in E\}=\mu E\) untuk setiap \(E\); lihat 255Yn-255Yo untuk sedikit gambaran tentang apa yang dapat dilakukan tanpa menggunakan gagasan topologis.

Pokok kritis dalam 255A adalah peralihan dari hasil berdimensi satu dalam 255Aa-255Ac, yang tidak lain adalah invariansi terhadap translasi dan refleksi dari ukuran Lebesgue, ke hasil berdimensi dua dalam 255Ad-255Ae. Dan pusat argumen yang sesungguhnya, sebagaimana saya menyajikannya, adalah fakta bahwa transformasi geser \(\phi\) merupakan automorfisme dari struktur \((\BbbR^2,\Sigma_2)\). Perhitungan sebenarnya atas \(\mu_2\phi[E]\), dengan mengasumsikan bahwa himpunan itu terukur, adalah penerapan mudah dari teorema Fubini dan Tonelli serta invariansi \(\mu\) terhadap translasi. Untuk langkah inilah kita mutlak memerlukan sifat-sifat topologis ukuran Lebesgue. Barangkali saya perlu mengingatkan Anda bahwa fakta bahwa \(\phi\) merupakan homeomorfisme tidaklah cukup; dalam 134I saya mendeskripsikan suatu homeomorfisme selang satuan yang tidak melestarikan keterukuran, dan hal ini mudah diadaptasi untuk menghasilkan homeomorfisme \(\psi:\BbbR^2\to\BbbR^2\) sedemikian sehingga \(\psi[E]\) tidak selalu terukur untuk \(E\) yang terukur. Argumen 255A bergantung pada hubungan khusus di antara ketiga unsur berikut: ukuran, topologi, dan struktur grup dari \(\Bbb R\).

Saya telah mengemukakan beberapa komentar mengenai apa yang semestinya, atau tidak semestinya, dianggap ‘jelas’ (255C). Namun barangkali dapat saya tambahkan bahwa hasil seperti 255B dan pernyataan kemudian, dalam pembuktian 255K, bahwa versi tercermin dari suatu fungsi dalam \(\eusm L^p\) juga termasuk dalam \(\eusm L^p\), hanya dapat menjadi konsekuensi sepele dari hasil seperti 255A jika setiap langkah dalam konstruksi integral dilakukan dalam konteks abstrak ruang ukur umum. Meskipun di sini kita bekerja secara eksklusif dengan integral Lebesgue, argumen akan menjadi tidak dapat dipercaya jika pada tahap mana pun dalam definisi integral kita bahkan menyebutkan bahwa yang sedang kita pikirkan adalah ukuran Lebesgue. Saya mengajukan hal ini sebagai alasan kuat untuk mendefinisikan ‘integrasi’ pada ruang ukur abstrak sejak awal, sebagaimana saya lakukan dalam Jilid 1. Bahkan, saya menyarankan bahwa secara umum dalam matematika murni ada alasan baik untuk menuangkan argumen ke dalam bentuk-bentuk yang sesuai dengan argumen itu sendiri.

Saya menulis buku ini bagi pembaca yang berminat pada pembuktian, dan seperti di bagian lain saya telah menuliskan pembuktian-pembuktian bagian ini secara terperinci. Namun kebanyakan dari kita merasa berguna untuk menelaah sejumlah materi dalam modus ‘kalkulus lanjut’, yang saya maksudkan sebagai memulai dengan rumus seperti

\((f*g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy\),

lalu menurunkan konsekuensi melalui manipulasi formal, misalnya

\(\int h(x)(f*g)(x)dx=\iint h(x)f(x-y)g(y)dydx =\iint h(x+y)f(x)g(y)dydx\),

tanpa terlebih dahulu mempersoalkan keberlakuan tepat dari rumus-rumus tersebut. Dalam beberapa hal, pendekatan berbasis rumus ini dapat lebih setia pada struktur pokok bahasan daripada analisis cermat yang biasa saya sajikan. Hipotesis persis yang diperlukan agar teorema-teorema benar secara ketat tentunya bersifat sekunder, dalam konteks seperti bagian ini, terhadap pola yang dibentuk oleh keseluruhan teorema, yang dapat diungkapkan secara memadai dan elegan dalam rumus-rumus lugas. Tentu saja saya tetap berkeras bahwa kita tidak dapat benar-benar menghargai strukturnya, ataupun menggunakannya dengan aman, tanpa menguasai gagasan dalam pembuktian – dan sebagaimana telah saya katakan di tempat lain, saya percaya bahwa penguasaan gagasan selalu mencakup penguasaan perincian formal, sekurang-kurangnya dalam arti mampu merekonstruksinya dengan cukup lancar saat diminta.

Sepanjang uraian utama bagian ini, saya telah bekerja dengan fungsi alih-alih kelas ekuivalensi fungsi. Namun semua hasil di sini mempunyai penafsiran yang sangat penting bagi teori ‘ruang fungsi’ dalam Bab 24. Dalam 255Xh dan latihan-latihan sesudahnya, saya telah menunjukkan definisi konvolusi sebagai operator dari suatu subhimpunan \(L^0\times L^0\) ke \(L^0\). Satu hal yang menarik adalah bahwa jika \(u\), \(v\in L^0\) maka \(u*v\) dapat ditafsirkan sebagai suatu fungsi, bukan sebagai anggota \(L^0\) (255Fc). Dengan demikian 255H dapat dipandang sebagai menyatakan bahwa \(u*v\in\eusm L^1\) untuk \(u\), \(v\in L^1\). Kita tidak dapat persis mengatakan bahwa konvolusi adalah operator bilinear dari \(L^1\times L^1\) ke \(\eusm L^1\), karena \(\eusm L^1\), sebagaimana saya definisikan, secara ketat bukanlah ruang linear. Jika kita menginginkan operator bilinear, maka kita harus memandang konvolusi sebagai fungsi dari \(L^1\times L^1\) ke \(L^1\). Namun ketika kita memandang konvolusi sebagai fungsi pada \(L^2\times L^2\), misalnya, maka fungsi-fungsi \(u*v\) kita terdefinisi di setiap titik (255K), dan bahkan merupakan fungsi kontinu yang lenyap di \(\infty\) (255Ye-255Yf). Jadi dalam kasus ini tampaknya lebih tepat memandang konvolusi sebagai operator bilinear dari \(L^2\times L^2\) ke suatu ruang fungsi kontinu, dan bukan sebagai operator dari \(L^2\times L^2\) ke \(L^{\infty}\). Untuk contoh konvolusi menarik yang tidak secara alami dapat direpresentasikan dalam bentuk operator pada ruang \(L^p\), lihat 255Xg.

Karena konvolusi bertindak sebagai operator bilinear kontinu dari \(L^1(\mu)\times L^1(\mu)\) ke \(L^1(\mu)\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\), Teorema 253F memberi tahu kita bahwa konvolusi harus berkorespondensi dengan operator linear dari \(L^1(\mu_2)\) ke \(L^1(\mu)\), dengan \(\mu_2\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^2\). Inilah operator \(\tilde T\) dari 255Xj.

Sejauh ini dalam catatan ini saya telah menulis seolah-olah kita hanya membahas ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Namun banyak penerapan gagasan-gagasan tersebut melibatkan \(\BbbR^r\) atau \(\ocint{-\pi,\pi}\) atau \(S^1\). Peralihan ke \(\BbbR^r\) semestinya elementer. Peralihan ke \(S^1\) memang memerlukan perumusan ulang hasil dasar 255A/255N. Juga semestinya jelas bahwa tidak akan ada kesulitan baru dalam beralih ke \(\ocint{-\pi,\pi}^r\) atau \((S^1)^r\). Selain itu, kita juga dapat menjalani seluruh teori untuk grup \(\Bbb Z\) dan \(\Bbb Z^r\), dengan ukuran yang sesuai kini adalah ukuran cacah, sehingga \(L^0_{\Bbb C}\) menjadi teridentifikasi dengan \(\Bbb C^{\Bbb Z}\) atau \(\Bbb C^{\Bbb Z^r}\) (255Xk, 255Yo).