Martingal

275A Definisi

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun. (Barisan \(\sequencen{\Sigma_n}\) demikian disebut filtrasi.) Suatu martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\) adalah barisan \(\sequencen{X_n}\) dari variabel acak bernilai real yang terintegralkan pada \(\Omega\) sedemikian sehingga (i) \(\dom X_n\in\Sigma_n\) dan \(X_n\) terukur terhadap \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\) (ii) kapan pun \(m\le n\in\Bbb N\) dan \(E\in\Sigma_m\), maka \(\int_EX_{n}=\int_EX_m\).

Perhatikan bahwa untuk (ii) cukup jika \(\int_EX_{n+1}=\int_EX_n\) kapan pun \(n\in\Bbb N\) dan \(E\in\Sigma_n\).

275B Contoh

Kita telah melihat banyak konteks tempat barisan semacam ini muncul secara alami; berikut beberapa di antaranya.

(a) Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun. Misalkan \(X\) adalah sebarang variabel acak bernilai real pada \(\Omega\) dengan ekspektasi berhingga, dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(X_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_n\), seperti dalam §233. Dengan tunduk pada syarat bahwa \(\dom X_n\in\Sigma_n\) dan \(X_n\) benar-benar terukur terhadap \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\) (suatu hal yang murni teknis – lihat 232He), \(\sequencen{X_n}\) merupakan martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\), karena \(\int_EX_{n+1}=\int_EX=\int_EX_n\) kapan pun \(E\in\Sigma_n\).

275Bb (b)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\sequencen{X_n}\) barisan variabel acak yang saling bebas dan semuanya berekspektasi nol. Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(\tilde\Sigma_n\) adalah aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{i\le n}\Sigma_{X_i}\), dengan \(\Sigma_{X_i}\) menyatakan aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(X_i\) (272C), dan tetapkan \(S_n=X_0+\ldots+X_n\). Maka \(\sequencen{S_n}\) adalah martingal yang teradaptasi terhadap \(\tilde\Sigma_n\). (Gunakan 272K untuk melihat bahwa \(\Sigma_{X_{n+1}}\) bebas dari \(\tilde\Sigma_n\), sehingga \(\int_EX_{n+1}=\int X_{n+1}\times\chi E=0\) untuk setiap \(E\in\tilde\Sigma_n\), berdasarkan 272R.)

275Bc (c)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\sequencen{X_n}\) barisan variabel acak yang saling bebas dan semuanya berekspektasi \(1\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(\tilde\Sigma_n\) adalah aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{i\le n}\Sigma_{X_i}\), dengan \(\Sigma_{X_i}\) menyatakan aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(X_i\), dan tetapkan \(W_n=X_0\times\ldots\times X_n\). Maka \(\sequencen{W_n}\) adalah martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\tilde\Sigma_n}\).

275C Catatan

(a) Tampaknya sesuai dengan konsep variabel acak \(X\) yang ‘teradaptasi’ terhadap aljabar-sigma \(\Sigma\) untuk mensyaratkan bahwa \(\dom X\in\Sigma\) dan \(X\) terukur terhadap \(\Sigma\), meskipun ini dapat berarti bahwa variabel acak lain, yang sama hampir di mana-mana dengan \(X\), mungkin tidak ‘teradaptasi’ terhadap \(\Sigma\).

275Cb (b)

Masalah teknis semacam ini tentu lenyap jika semua himpunan yang terabaikan terhadap \(\mu\) di dalam \(\Omega\) termasuk dalam \(\Sigma_0\). Namun contoh seperti 275Bb membuatnya tampak tidak wajar untuk memaksakan penyederhanaan semacam ini sebagai aturan umum.

275Cc

(c) Konsep ‘martingal’ dapat dengan mudah diperluas ke himpunan indeks selain \(\Bbb N\); bahkan, jika \(I\) adalah sebarang himpunan terurut parsial, kita dapat mengatakan bahwa \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) adalah martingal pada \((\Omega,\Sigma,\mu)\) yang teradaptasi terhadap \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) jika (i) setiap \(\Sigma_i\) adalah subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) (ii) setiap \(X_i\) adalah variabel acak bernilai real yang terintegralkan dan terukur terhadap \(\Sigma_i\), dengan \(\dom X_i\in\Sigma_i\) (iii) kapan pun \(i\le j\) dalam \(I\), maka \(\Sigma_i\subseteq\Sigma_j\) dan \(\int_EX_i=\int_EX_j\) untuk setiap \(E\in\Sigma_i\). Kasus utama setelah \(I=\Bbb N\) adalah \(I=\coint{0,\infty}\); \(I=\Bbb Z\) juga menarik, dan saya rasa wajar untuk mengatakan bahwa gagasan-gagasan terpenting sudah dapat diungkapkan dalam teorema tentang martingal yang diindeks oleh himpunan berhingga \(I\). Namun dalam jilid ini pada umumnya saya akan mengambil martingal yang diindeks oleh \(\Bbb N\).

275Cd (d)

Jika hanya diberikan barisan \(\sequencen{X_n}\) dari variabel acak bernilai real yang terintegralkan pada ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), kita cukup mengatakan bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu martingal pada \((\Omega,\Sigma,\mu)\) jika terdapat suatu barisan subaljabar-sigma \(\sequencen{\Sigma_n}\) dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun (pelengkapan \(\Sigma\)) sedemikian sehingga \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\). Jika kita menuliskan \(\tilde\Sigma_n\) untuk aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{i\le n}\Sigma_{X_i}\), dengan \(\Sigma_{X_i}\) adalah aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(X_i\), seperti dalam 275Bb, maka mudah dilihat bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal jika dan hanya jika ia adalah martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\tilde\Sigma_n}\).

275Ce (e)

Melanjutkan dari (d), mudah pula dilihat bahwa jika \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal pada \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan \(X'_n\eae X_n\) untuk setiap \(n\), maka \(\sequencen{X'_n}\) adalah martingal pada \((\Omega,\Sigma,\mu)\). (Intinya ialah bahwa jika \(\sequencen{X_n}\) teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\), maka baik \(\sequencen{X_n}\) maupun \(\sequencen{X'_n}\) teradaptasi terhadap \(\sequencen{\hat\Sigma_n}\), dengan

Akibatnya kita mempunyai konsep ‘martingal’ sebagai barisan dalam \(L^1(\mu)\), yaitu suatu barisan \(\sequencen{X_n^{\ssbullet}}\) dalam \(L^1(\mu)\) adalah martingal jika dan hanya jika \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal.

Meskipun demikian, saya berpendapat bahwa konsep ‘martingal yang teradaptasi terhadap suatu barisan aljabar-sigma’ adalah konsep utama, karena dalam semua penerapan pokok aljabar-sigma tersebut mencerminkan suatu aspek esensial dari masalah yang mungkin tidak sepenuhnya tercakup oleh variabel acak saja.

275Cf (f)

Kata ‘martingale’ mula-mula (dalam bahasa Inggris; sejarahnya dalam bahasa Prancis lebih rumit) merujuk pada tali kekang yang digunakan untuk mencegah kuda mendongakkan kepalanya. Kemudian kata ini digunakan untuk menamai sistem perjudian tempat penjudi menggandakan taruhannya setiap kali kalah, dan (dalam bahasa Prancis) sebagai istilah umum bagi sistem perjudian. Sistem-sistem ini dapat dipandang sebagai suatu kelas ‘martingal waktu henti’, seperti dijelaskan dalam 275L-275P di bawah.

275D

Sebagian besar teori martingal terdiri atas berbagai jenis ketaksamaan. Saya memberikan dua yang paling penting, keduanya berasal dari J.L.Doob. (Lihat pula 276Xa-276Xb.)

Lemma Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{X_n}\) suatu martingal pada \(\Omega\). Tetapkan \(n\in\Bbb N\) dan \(X^*=\max(X_0,\ldots,X_n)\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\),

dengan \(X_n^+=\max({0},X_n)\).

Catatan Perhatikan bahwa sebenarnya kita mempunyai \(\epsilon\hat\mu F\le\int_FX_n\), dengan \(F=\{\omega:X^*(\omega)\ge\epsilon\}\); hal ini sangat penting dalam banyak penerapan.

275E Pelintasan naik

Lemma berikut bergantung pada gagasan ‘pelintasan naik’. Misalkan \(x_0,\ldots,x_n\) adalah sebarang daftar bilangan real, dan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Banyaknya pelintasan naik dari \(a\) ke \(b\) dalam daftar \(x_0,\ldots,x_n\) adalah banyaknya pasangan \((j,k)\) sedemikian sehingga \(0\le j<k\le n\), \(x_j\le a\), \(x_k\ge b\), dan \(a<x_i<b\) untuk \(j<i<k\). Perhatikan bahwa ini juga merupakan \(m\) terbesar sedemikian sehingga \(s_m<\infty\), jika kita menulis

dan seterusnya, dengan mengambil \(\inf\emptyset=\infty\).

275F Lemma

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\sequencen{X_n}\) suatu martingal pada \(\Omega\). Anggap bahwa \(n\in\Bbb N\) dan \(a<b\) dalam \(\Bbb R\). Untuk setiap \(\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i\), misalkan \(U(\omega)\) adalah banyaknya pelintasan naik dari \(a\) ke \(b\) dalam daftar \(X_0(\omega),\ldots,X_n(\omega)\). Maka

dengan \((X_n-X_0)^+(\omega)=\max(0,X_n(\omega)-X_0(\omega))\) untuk \(\omega\in\dom X_n\cap\dom X_0\).

275G

Sekarang kita siap untuk teorema-teorema utama dalam bagian ini.

Teorema Konvergensi Martingal Doob Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu martingal pada ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan anggap bahwa \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|)<\infty\). Maka \(\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(\omega\) dalam \(\Omega\).

275H Teorema

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun. Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\). Maka pernyataan berikut ekuivalen:

(i) terdapat variabel acak \(X\), dengan ekspektasi berhingga, sedemikian sehingga \(X_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\);

(ii) \(\{X_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam;

(iii) \(X_{\infty}(\omega)=\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(\omega\), dan \(\Expn(|X_{\infty}|)=\lim_{n\to\infty}\Expn(|X_n|)<\infty\).

275I Teorema

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun; tuliskan \(\Sigma_{\infty}\) untuk aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Sigma_n\). Misalkan \(X\) adalah sebarang variabel acak bernilai real pada \(\Omega\) dengan ekspektasi berhingga, dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(X_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_n\). Maka \(X_{\infty}(\omega)=\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)\) terdefinisi hampir di mana-mana; \(\lim_{n\to\infty}\Expn(|X_{\infty}-X_n|)=0\), dan \(X_{\infty}\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_{\infty}\).

Catatan Saya telah menulis ‘\(\lim_{n\to\infty}\Expn(|X_n-X_{\infty}|)=0\)’; tetapi Anda mungkin lebih suka mengatakan ‘\(X^{\ssbullet}_{\infty}=\lim_{n\to\infty}X_n^{\ssbullet}\) dalam \(L^1(\mu)\)’, seperti dalam Bab 24.

Teorema ini begitu penting sehingga Anda mungkin tertarik pada pembuktian yang didasarkan pada 275D alih-alih 275E-275G; lihat 275Xd.

275J

Sebagai akibat teorema ini saya memberikan hasil penting, sejenis teorema kepadatan untuk ukuran produk.

Proposisi Misalkan \(\sequencen{(\Omega_n,\Sigma_n,\mu_n)}\) adalah barisan ruang probabilitas dengan produk \((\Omega,\Sigma,\mu)\). Misalkan \(X\) adalah variabel acak bernilai real pada \(\Omega\) dengan ekspektasi berhingga. Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) definisikan \(X_n\) dengan menetapkan

di mana pun ini terdefinisi, dengan saya menulis ‘\(\int\ldots d(\xi_{n+1},\ldots)\)’ untuk menyatakan integrasi terhadap ukuran produk \(\lambda'_n\) pada \(\prod_{i\ge n+1}\Omega_i\). Maka \(X(\pmb{\omega})=\lim_{n\to\infty}X_n(\pmb{\omega})\) untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}=(\omega_0,\omega_1,\ldots)\) dalam \(\Omega\), dan \(\lim_{n\to\infty}\Expn(|X-X_n|)=0\).

275K Martingal terbalik

Kita mempunyai hasil yang bersesuaian dengan 275I untuk barisan aljabar-sigma yang menurun. Meskipun lebih jarang digunakan daripada 275G-275I, hasil ini mempunyai penerapan yang sangat penting.

Teorema Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menaik, dengan irisan \(\Sigma_{\infty}\). Misalkan \(X\) adalah sebarang variabel acak bernilai real dengan ekspektasi berhingga, dan untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(X_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_n\). Maka \(X_{\infty}=\lim_{n\to\infty}X_n\) terdefinisi hampir di mana-mana dan merupakan suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_{\infty}\).

275L Waktu henti

Dalam suatu arti, pekerjaan utama bagian ini telah selesai; saya tidak mempunyai ruang bagi teorema penting lain yang sebanding dengan 275G-275I. Namun tidak tepat untuk meninggalkan bab ini tanpa mendeskripsikan secara singkat salah satu gagasan paling subur dalam bidang ini.

Definisi Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun. Suatu waktu henti yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\) (juga disebut ‘waktu opsional’, ‘waktu Markov’) adalah fungsi \(\tau\) dari \(\Omega\) ke \(\Bbb N\cup\{\infty\}\) sedemikian sehingga \(\{\omega:\tau(\omega)\le n\}\in\Sigma_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

Catatan Tentu saja syarat

dapat digantikan oleh syarat yang ekuivalen

Saya mendahulukan ungkapan pertama karena lebih sesuai untuk himpunan indeks lain (lihat 275Cc).

275M Contoh (a)

Jika \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal yang teradaptasi terhadap barisan aljabar-sigma \(\sequencen{\Sigma_n}\), dan \({H_n}\) adalah himpunan bagian Borel dari \(\BbbR^{n+1}\) untuk setiap \(n\), maka kita mempunyai waktu henti \(\tau\) yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\) dan didefinisikan oleh rumus

dengan menetapkan \(\inf\emptyset=\infty\) seperti biasa. (Sebab berdasarkan 121Ka, himpunan \(E_n=\{\omega:(X_0(\omega),\ldots,X_n(\omega))\in H_n\}\) termasuk dalam \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\), dan \(\{\omega:\tau(\omega)\le n\}=\bigcup_{i\le n}E_i\).) Khususnya, misalnya, rumus-rumus

mendefinisikan waktu henti.

275Mb (b)

Setiap fungsi konstan \(\tau:\Omega\to\Bbb N\cup\{\infty\}\) adalah waktu henti. Jika \(\tau\), \(\tau'\) adalah dua waktu henti yang teradaptasi terhadap barisan aljabar-sigma \(\sequencen{\Sigma_n}\) yang sama, maka \(\tau\wedge\tau'\) adalah waktu henti yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\), dengan menetapkan \((\tau\wedge\tau')(\omega)=\min(\tau(\omega),\tau'(\omega))\) untuk \(\omega\in\Omega\), karena \(\{\omega:(\tau\wedge\tau')(\omega)\le n\} =\{\omega:\tau(\omega)\le n\}\cup\{\omega:\tau'(\omega)\le n\} \in\Sigma_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

275N Lemma

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas lengkap, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun. Anggap bahwa \(\tau\) dan \(\tau'\) adalah waktu henti pada \(\Omega\), dan \(\sequencen{X_n}\) suatu martingal, semuanya teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\).

(a) Keluarga

adalah subaljabar-sigma dari \(\Sigma\).

(b) Jika \(\tau(\omega)\le\tau'(\omega)\) untuk setiap \(\omega\), maka \(\tilde\Sigma_{\tau}\subseteq\tilde\Sigma_{\tau'}\).

(c) Sekarang anggap bahwa \(\tau\) berhingga hampir di mana-mana. Tetapkan

kapan pun \(\tau(\omega)<\infty\) dan \(\omega\in\dom X_{\tau(\omega)}\). Maka \(\dom\tilde X_{\tau}\in\tilde\Sigma_{\tau}\) dan \(\tilde X_{\tau}\) terukur terhadap \(\tilde\Sigma_{\tau}\).

(d) Jika \(\tau\) terbatas secara esensial, yakni, terdapat suatu \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\tau\le m\) hampir di mana-mana, maka \(\Expn(\tilde X_{\tau})\) ada dan sama dengan \(\Expn(X_0)\).

(e) Jika \(\tau\le\tau'\) hampir di mana-mana, dan \(\tau'\) terbatas secara esensial, maka \(\tilde X_{\tau}\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(\tilde X_{\tau'}\) pada \(\tilde\Sigma_{\tau}\).

275O Proposisi

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal dan \(\tau\) suatu waktu henti, keduanya teradaptasi terhadap barisan aljabar-sigma \(\sequencen{\Sigma_n}\) yang sama. Untuk setiap \(n\), tetapkan \((\tau\wedge n)(\omega)=\min(\tau(\omega),n)\) untuk \(\omega\in\Omega\); maka \(\tau\wedge n\) adalah waktu henti, dan \(\sequencen{\tilde X_{\tau\wedge n}}\) adalah martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\tilde\Sigma_{\tau\wedge n}}\), dengan \(\tilde X_{\tau\wedge n}\) dan \(\tilde\Sigma_{\tau\wedge n}\) didefinisikan seperti dalam 275N.

275P Akibat

Anggap bahwa \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\sequencen{X_n}\) suatu martingal pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(W=\sup_{n\in\Bbb N}|X_{n+1}-X_n|\) berhingga hampir di mana-mana dan mempunyai ekspektasi berhingga. Maka untuk hampir setiap \(\omega\in\Omega\), entah \(\lim_{n\to\infty}X_n(\omega)\) ada dalam \(\Bbb R\), atau \(\sup_{n\in\Bbb N}X_n(\omega)=\infty\) dan \(\inf_{n\in\Bbb N}X_n(\omega)=-\infty\).

275X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak yang saling bebas dengan ekspektasi nol dan varians berhingga. Tetapkan \(s_n=(\sum_{i=0}^n\Var(X_i))^{1/2}\), \(Y_n=(X_0+\ldots+X_n)^2-s_n^2\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{Y_n}\) adalah martingal.

275Xb (b) penting

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu martingal. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\), \(\Pr(\sup_{n\in\Bbb N}|X_n|\ge\epsilon) \le\bover1\epsilon\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|)\).

275Xc (c)

Skema guci Pólya Bayangkan sebuah kotak yang memuat bola merah dan putih. Pada setiap langkah, sebuah bola diambil secara acak dari kotak lalu dikembalikan bersama sebuah bola lain dengan warna yang sama. (i) Dengan \(R_n\), \(W_n\) menyatakan banyaknya bola merah dan putih setelah langkah ke-\(n\), dan \(X_n=R_n/(R_n+W_n)\), tunjukkan bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal. (ii) Dengan memulai dari \(R_0=W_0=1\), temukan distribusi \((R_n,W_n)\) untuk setiap \(n\). (iii) Tunjukkan bahwa \(X=\lim_{n\to\infty}X_n\) terdefinisi hampir di mana-mana, dan temukan distribusinya ketika \(R_0=W_0=1\). (Lihat Feller 66 untuk pembahasan nilai awal lainnya.)

275Xd (d) penting

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun; untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(P_n:L^1\to L^1\) adalah operator ekspektasi bersyarat yang bersesuaian dengan \(\Sigma_n\), dengan \(L^1=L^1(\mu)\) (242J). (i) Tunjukkan bahwa \(V=\{u:u\in L^1,\,\lim_{n\to\infty}\|P_nu-u\|_1=0\}\) adalah subruang linear tertutup-\(\|\,\|_1\) dari \(L^1\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\{E:E\in\Sigma,\,\chi E^{\ssbullet}\in V\}\) adalah kelas Dynkin yang mencakup \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Sigma_n\), sehingga mencakup aljabar-sigma \(\Sigma_{\infty}\) yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Sigma_n\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(u\in L^1\) maka \(v=\sup_{n\in\Bbb N}P_n|u|\) terdefinisi dalam \(L^1\) dan berbentuk \(W^{\ssbullet}\) dengan \(\Pr(W\ge\epsilon)\le\bover1{\epsilon}\|u\|_1\) untuk setiap \(\epsilon>0\). Petunjuk: 275D. (iv) Tunjukkan bahwa jika \(X\) adalah variabel acak terukur terhadap \(\Sigma_{\infty}\) dengan ekspektasi berhingga, dan untuk setiap \(n\in\Bbb N,\ X_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_n\), maka \(X^{\ssbullet}\in V\) dan \(X\eae\lim_{n\to\infty}X_n\). Petunjuk: terapkan (iii) pada \(u=(X-X_m)^{\ssbullet}\) untuk \(m\) yang besar.

275Xe (e)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun, dan \(\Sigma_{\infty}\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Sigma_n\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\cup\{\infty\}\) misalkan \(P_n:L^1\to L^1\) adalah operator ekspektasi bersyarat yang bersesuaian dengan \(\Sigma_n\), dengan \(L^1=L^1(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\|P_nu-P_{\infty}u\|_p=0\) kapan pun \(p\in\coint{1,\infty}\) dan \(u\in L^p(\mu)\). Petunjuk: 275Xd, 233J/242K, 246Xg.

275Xf (f)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu martingal, dan anggap bahwa \(p\in\ooint{1,\infty}\) sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\|X_n\|_p<\infty\). Tunjukkan bahwa \(X=\lim_{n\to\infty}X_n\) terdefinisi hampir di mana-mana dan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\|X_n-X\|_p=0\).

275Xg (g) penting

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah \([0,1]\) dengan ukuran Lebesgue. Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(\Sigma_n\) adalah subaljabar berhingga dari \(\Sigma\) yang dibangkitkan oleh interval jenis \([0,2^{-n}r]\) untuk \(r\le 2^n\). Gunakan 275I untuk menunjukkan bahwa untuk setiap \(X:[0,1]\to\Bbb R\) yang terintegralkan kita harus mempunyai \(X(t)=\lim_{n\to\infty}2^n\int_{I_n(t)}X\) untuk hampir setiap \(t\in\coint{0,1}\), dengan \(I_n(t)\) adalah interval berbentuk \(\coint{2^{-n}r,2^{-n}(r+1)}\) yang memuat \(t\). Bandingkan hasil ini dengan 223A dan 261Yd.

275Xh (h)

Dalam 275K, tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\|X_n-X_{\infty}\|_p=0\) untuk setiap \(p\in\coint{1,\infty}\) sedemikian sehingga \(\|X_0\|_p\) berhingga. (Bandingkan 275Xe.)

275Xi (i)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun. Tunjukkan bahwa jika \(\sequence{i}{\tau_i}\) adalah barisan waktu henti yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\), dan kita menetapkan \(\tau(\omega)=\sup_{i\in\Bbb N}\tau_i(\omega)\) untuk \(\omega\in\Omega\), maka \(\tau\) adalah waktu henti yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\).

275Xj (j)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun. Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal terintegralkan secara seragam yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\), dan tetapkan \(X_{\infty}=\lim_{n\to\infty}X_n\). Misalkan \(\tau\) adalah waktu henti yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\), dan tetapkan \(\tilde X_{\tau}(\omega)=X_{\tau(\omega)}(\omega)\) kapan pun \(\omega\in\dom X_{\tau(\omega)}\), dengan memperbolehkan \(\infty\) sebagai nilai \(\tau(\omega)\). Tunjukkan bahwa \(\tilde X_{\tau}\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X_{\infty}\) pada \(\tilde\Sigma_{\tau}\), sebagaimana didefinisikan dalam 275N.

275Xk (k)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun. Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal dan \(\tau\) suatu waktu henti, keduanya teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\). Anggap bahwa \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|)<\infty\) dan bahwa \(\tau\) berhingga hampir di mana-mana. Tunjukkan bahwa \(\tilde X_{\tau}\), sebagaimana didefinisikan dalam 275Nc, mempunyai ekspektasi berhingga, tetapi \(\Expn(\tilde X_{\tau})\) tidak harus sama dengan \(\Expn(X_0)\).

275Xl (l)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|)\) berhingga dan \(\sequencen{X_n}\) konvergen dalam ukuran, maka \(\sequencen{X_n}\) konvergen hampir di mana-mana. (ii) Temukan martingal \(\sequencen{X_n}\) sedemikian sehingga \(\sequencen{X_{2n}}\to 0\) hampir di mana-mana tetapi \(|X_{2n+1}|\ge 1\) hampir di mana-mana untuk setiap \(n\in\Bbb N\). (iii) Temukan martingal yang konvergen dalam ukuran tetapi tidak konvergen hampir di mana-mana.

275Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan aljabar-sigma yang saling bebas dari \(\Sigma\), dan \(X\) variabel acak pada \(\Omega\) dengan varians berhingga. Misalkan \(X_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}X_n=\Expn(X)\) hampir di mana-mana. Petunjuk: tinjau \(\sum_{n=0}^{\infty}\Var(X_n)\).

275Yb (b)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas lengkap, \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun dan semuanya memuat setiap himpunan terabaikan, dan \(\sequencen{X_n}\) suatu martingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\). Misalkan \(\nu\) adalah ukuran probabilitas lain dengan domain \(\Sigma\) yang kontinu mutlak terhadap \(\mu\), dengan turunan Radon-Nikodým \(Z\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\) misalkan \(Z_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(Z\) pada \(\Sigma_n\) (terhadap ukuran \(\mu\)). (i) Tunjukkan bahwa \(Z_n\) adalah turunan Radon-Nikodým dari \(\nu\restr\Sigma_n\) terhadap \(\mu\restr\Sigma_n\), untuk setiap \(n\in\Bbb N\). (ii) Dengan mendefinisikan \(X_n/Z_n\) seperti dalam 121E, sehingga domainnya adalah \(\{\omega:\omega\in\dom X_n\cap\dom Z_n\), \(Z_n(\omega)\ne 0\}\), tunjukkan bahwa \(\sequencen{X_n/Z_n}\) adalah martingal terhadap ukuran \(\nu\).

275Yc (c)

Gabungkan gagasan 275Cc dengan gagasan 275Cd-275Ce untuk mendeskripsikan pengertian ‘martingal yang diindeks oleh \(I\)’, dengan \(I\) sebarang himpunan terurut parsial.

275Yd (d)

Misalkan \(\sequence{k}{X_k}\) adalah martingal pada ruang probabilitas lengkap \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan tetapkan \(n\in\Bbb N\). Tetapkan \(X^*=\max(|X_0|,\ldots,|X_n|)\). Misalkan \(p\in\ooint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa \(\|X^*\|_p\le\Bover{p}{p-1}\|X_n\|_p\). (Petunjuk: tetapkan \(F_t=\{\omega:X^*(\omega)\ge t\}\). Tunjukkan bahwa \(t\mu F_t\le\int_{F_t}|X_n|\). Dengan menggunakan teorema Fubini pada \(\Omega\times\coint{0,\infty}\) dan pada \(\Omega\times\coint{0,\infty}\times\coint{0,\infty}\), tunjukkan bahwa

Bandingkan 286A di bawah.)

275Ye (e)

(i) Tunjukkan bahwa jika \(a\), \(b\ge 0\) maka \(a\ln^+b\le a\ln^+a+\Bover{b}e\), dengan \(\ln^+t=0\) jika \(t\le 1\), dan \(\ln t\) jika \(t\ge 1\). (ii) Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas lengkap dan \(X\), \(Y\) variabel acak nonnegatif pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(t\mu F_t\le\int_{F_t}X\) untuk setiap \(t\ge 0\), dengan \(F_t=\{\omega:Y(\omega)\ge t\}\). Tunjukkan bahwa \(\int_{F_1}Y\le\int_{F_1}X\times\ln^+Y\), dan karenanya \(\Expn(Y)\le\Bover{e}{e-1}(1+\Expn(X\times\ln^+X))\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu martingal pada \(\Omega\), \(n\in\Bbb N\) dan \(X^*=\sup_{i\le n}|X_i|\), maka \(\Expn(X^*)\le\Bover{e}{e-1}(1+\Expn(|X_n|\times\ln^+|X_n|))\).

275Yf (f)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\langle\Sigma_i\rangle_{i\in I}\) keluarga terhitung subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) sedemikian sehingga untuk setiap \(i\), \(j\in I\), entah \(\Sigma_i\subseteq\Sigma_j\) atau \(\Sigma_j\subseteq\Sigma_i\). Misalkan \(X\) adalah variabel acak bernilai real pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(\|X\|_p<\infty\), dengan \(1<p<\infty\), dan anggap bahwa \(X_i\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\). Tunjukkan bahwa \(\|\sup_{i\in I}|X_i|\|_p\le\Bover{p}{p-1}\|X\|_p\).

275Yg (g)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan misalkan \(\sequencen{\Sigma_n}\) adalah barisan subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) yang tak menurun. Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan fungsi bernilai real yang terintegralkan terhadap \(\mu\) sedemikian sehingga \(\dom X_n\in\Sigma_n\) dan \(X_n\) terukur terhadap \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Kita mengatakan bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu submartingal yang teradaptasi terhadap \(\sequencen{\Sigma_n}\) jika \(\int_EX_{n+1}\ge\int_EX_n\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\) dan setiap \(E\in\Sigma_n\). Buktikan versi 275D, 275F, 275G, 275Xf untuk submartingal.

275Yh (h)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah suatu martingal, dan \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\) fungsi konveks. Tunjukkan bahwa \(\sequencen{\phi(X_n)}\) adalah suatu submartingal. Petunjuk: 233J. Periksa kembali bagian (b-ii) dari bukti 275F berdasarkan fakta ini.

275Yi (i)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak nonnegatif yang saling bebas dan semuanya berekspektasi \(1\). Tetapkan \(W_n=X_0\times\ldots\times X_n\) untuk setiap \(n\). (i) Tunjukkan bahwa \(W=\lim_{n\to\infty}W_n\) terdefinisi hampir di mana-mana. (ii) Tunjukkan bahwa \(\Expn(W)\) bernilai \(0\) atau \(1\). Petunjuk: andaikan \(\Expn(W)>0\). Tetapkan \(Z_n=\lim_{m\to\infty}X_n\times\ldots\times X_m\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}Z_n=1\) ketika \(0<W<\infty\), dan karenanya hampir di mana-mana berdasarkan hukum nol-satu, sedangkan \(\Expn(Z_n)\le 1\) berdasarkan lemma Fatou, sehingga \(\lim_{n\to\infty}\Expn(Z_n)=1\), sedangkan \(\Expn(W)=\Expn(W_n)\Expn(Z_{n+1})\) untuk setiap \(n\). (iii) Tetapkan \(\gamma=\prod_{n=0}^{\infty}\Expn(\sqrt{X_n})\). Tunjukkan bahwa \(\gamma>0\) jika dan hanya jika \(\Expn(W)=1\). Petunjuk: \(\Pr(W_n\ge\bover14\gamma^2)\ge\bover14\gamma^2\) untuk setiap \(n\), sehingga jika \(\gamma>0\) maka \(W\) tidak mungkin nol hampir di mana-mana; sedangkan \(\Expn(\sqrt{W})\le\gamma\).

275Yj (j)

Misalkan \(\sequencen{(\Omega_n,\Sigma_n,\mu_n)}\) adalah barisan ruang probabilitas dengan produk \((\Omega,\Sigma,\mu)\). Anggap bahwa untuk setiap \(n\in\Bbb N\) kita mempunyai ukuran probabilitas \(\nu_n\), dengan domain \(\Sigma_n\), yang kontinu mutlak terhadap \(\mu_n\), dengan turunan Radon-Nikodým \(f_n\), dan anggap bahwa \(\prod_{n=0}^{\infty}\int\sqrt{f_n}d\mu_n>0\). Misalkan \(\nu\) adalah produk dari \(\sequencen{\nu_n}\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\), dengan turunan Radon-Nikodým \(f\), dengan \(f(\pmb{\omega})=\prod_{n=0}^{\infty}f_n(\omega_n)\) untuk \(\mu\)-hampir setiap \(\pmb{\omega}=\sequencen{\omega_n}\) dalam \(\Omega\). Petunjuk: gunakan 275Yi untuk menunjukkan bahwa \(\int fd\mu=1\).

275Yk (k)

Misalkan \(\sequencen{p_n}\) adalah barisan dalam \([0,1]\). Misalkan \(\mu\) adalah ukuran biasa pada \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) (254J) dan \(\nu\) produk \(\sequencen{\nu_n}\), dengan \(\nu_n\) adalah ukuran probabilitas pada \(\{0,1\}\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\nu_n\{1\}=p_n\). Tunjukkan bahwa \(\nu\) adalah ukuran integral tak tentu terhadap \(\mu\) jika dan hanya jika \(\sum_{n=0}^{\infty}|p_n-\bover12|^2<\infty\).

275Yl (l)

Temukan martingal \(\sequencen{X_n}\) sedemikian sehingga barisan distribusi \(\nu_{X_n}\) (271C) konvergen untuk topologi samar (274Ld), tetapi \(\sequencen{X_n}\) tidak konvergen dalam ukuran.

275Ym (m)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak bernilai real yang saling bebas sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}X_n\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) hampir di mana-mana. Anggap bahwa terdapat \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(|X_n|\le M\) hampir di mana-mana untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(X_n)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\). Petunjuk: 274Yg, 275G.

275Yn (n)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas dan \(\sequencen{X_n}\) barisan variabel acak bernilai real yang saling bebas pada \(\Omega\); tetapkan \(E_n=\{\omega:\omega\in\dom X_n\), \(|X_n(\omega)|>1\}\), \(Y_n=X_n\times\chi(\Omega\setminus E_n)\) untuk setiap \(n\), dan \(Z_n(\omega)=\med(-1,X_n(\omega),1)\) untuk \(n\in\Bbb N\) dan \(\omega\in\dom X_n\). Tunjukkan bahwa pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(\sum_{n=0}^{\infty}X_n(\omega)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(\omega\); (ii) \(\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu E_n<\infty\), \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(Y_n)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\), dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\Var(Y_n)<\infty\), dengan \(\hat\mu\) adalah pelengkapan \(\mu\); (iii) \(\sum_{n=0}^{\infty}\hat\mu E_n<\infty\), \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(Z_n)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\), dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\Var(Z_n)<\infty\). Petunjuk: 273K, 275Ym. (Ini adalah suatu versi dari Teorema Tiga Deret.)

275Yo (o)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, \(\sequencen{\Sigma_n}\) barisan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\) yang tak menurun dan \(\sequencen{X_n}\) barisan variabel acak pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(\Expn(\sup_{n\in\Bbb N}|X_n|)\) berhingga dan \(X=\lim_{n\to\infty}X_n\) terdefinisi hampir di mana-mana. Untuk setiap \(n\), misalkan \(Y_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X_n\) pada \(\Sigma_n\). Tunjukkan bahwa \(\sequencen{Y_n}\) konvergen hampir di mana-mana menuju suatu ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{n\in\Bbb N}\Sigma_n\).

275Yp (p)

Tunjukkan bahwa 275Yo dapat gagal jika \(\sequencen{X_n}\) hanya terintegralkan secara seragam, alih-alih didominasi oleh suatu fungsi terintegralkan.

275Yq (q)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas lengkap, dan \(\sequencen{X_n}\) barisan variabel acak yang saling bebas pada \(\Omega\), semuanya dengan distribusi yang sama, dan berekspektasi berhingga. Untuk setiap \(n\), tetapkan \(S_n=\bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\); misalkan \(\Sigma_n\) adalah aljabar-sigma yang didefinisikan oleh \(S_n\) dan \(\Sigma_n^*\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{m\ge n}\Sigma_m\). Tunjukkan bahwa \(S_n\) adalah suatu ekspektasi bersyarat dari \(X_0\) pada \(\Sigma_n^*\). Petunjuk: anggap setiap \(X_i\) terdefinisi di seluruh \(\Omega\). Tetapkan \(\phi(\omega)=\sequence{i}{X_i(\omega)}\). Tunjukkan bahwa \(\phi:\Omega\to\BbbR^{\Bbb N}\) adalah pelestari ukuran melalui prapeta untuk suatu ukuran produk yang sesuai pada \(\BbbR^{\Bbb N}\), dan bahwa setiap himpunan dalam \(\Sigma_n^*\) berbentuk \(\phi^{-1}[H]\) dengan \(H\subseteq\BbbR^{\Bbb N}\) suatu himpunan Borel yang invarian terhadap permutasi koordinat dalam himpunan \(\{0,\ldots,n\}\), sehingga \(\int_EX_i=\int_EX_j\) kapan pun \(i\le j\le n\) dan \(E\in\Sigma_n^*\). Dari sini tunjukkan bahwa \(\sequencen{S_n}\) konvergen hampir di mana-mana. (Bandingkan 273I.)

275Yr (r)

Rumuskan dan buktikan versi hasil-hasil dalam bagian ini untuk martingal yang terdiri atas fungsi bernilai \(\Bbb C\) atau \(\BbbR^r\), bukan \(\Bbb R\).

275 Catatan penutup untuk Bagian 275

Saya berharap uraian di atas, meskipun sangat disingkat, telah memberi gambaran tentang kekayaan konsep-konsep yang terlibat, dan akan menyediakan landasan untuk pembelajaran lebih lanjut. Semua teorema dalam bagian ini mempunyai implikasi yang luas, tetapi yang benar-benar sangat diperlukan dalam teori ukuran lanjut ialah 275I, ‘teorema konvergensi martingal Lévy’, yang akan saya gunakan dalam pembuktian Teorema Lifting pada Bab 34 dalam jilid berikutnya.

Mengenai waktu henti, saya menyebutkannya sebagian sebagai upaya untuk menjelaskan lebih jauh kegunaan martingal (lihat 276Ed di bawah), dan sebagian karena gagasan 275N-275O begitu penting dalam teori probabilitas modern sehingga, sekadar sebagai pengetahuan umum, Anda perlu menyadari bahwa ada sesuatu di sana. Saya menambahkan 275P sebagai salah satu hasil baku yang paling mudah diakses dan dapat diperoleh dengan metode ini.