Produk tensor — Fondasi Teori Ukuran

Teorema-teorema pada bagian terakhir menunjukkan bahwa fungsi terintegralkan pada produk dua ruang ukur dapat dikaji secara efektif melalui integrasi pada setiap ruang faktor secara terpisah. Dalam bagian ini saya menyajikan hubungan yang sangat mencolok antara ruang \(L^1\) dari suatu ukuran produk dan ruang-ruang \(L^1\) dari faktor-faktornya, yang bahkan menentukan \(L^1\) produk hingga isomorfisme sebagai kisi Banach. Saya memulai dengan catatan singkat tentang operator bilinear (253A) dan uraian tentang operator bilinear kanonik dari \(L^1(\mu)\times L^1(\nu)\) ke \(L^1(\mu\times\nu)\) (253B-253E). Teorema utama bagian ini adalah 253F, yang menunjukkan bahwa peta kanonik ini bersifat universal bagi operator bilinear kontinu dari \(L^1(\mu)\times L^1(\nu)\) ke ruang Banach; peta itu juga menentukan urutan pada \(L^1(\mu\times\nu)\) (253G). Saya mengakhiri bagian ini dengan uraian tentang suatu jenis mendasar operator ekspektasi bersyarat (253H) dan catatan tentang produk ukuran integral tak tentu (253I) serta integral atas untuk jenis-jenis fungsi khusus (253J, 253K).

253A Operator bilinear

Sebelum menelaah bagian mana pun dari teori ukuran dalam bagian ini, saya memperkenalkan suatu konsep dari teori ruang linear.

(a) Misalkan \(U\), \(V\), dan \(W\) adalah ruang linear atas \(\Bbb R\) (atau, sesungguhnya, atas sebarang lapangan). Suatu peta \(\phi:U\times V\to W\) disebut bilinear jika linear dalam setiap variabel secara terpisah, yaitu,

\(\phi(u_1+u_2,v)=\phi(u_1,v)+\phi(u_2,v)\),

\(\phi(u,v_1+v_2)=\phi(u,v_1)+\phi(u,v_2)\),

\(\phi(\alpha u,v)=\alpha\phi(u,v)=\phi(u,\alpha v)\)

untuk setiap \(u\), \(u_1\), \(u_2\in U\), \(v\), \(v_1\), \(v_2\in V\), dan skalar \(\alpha\). Perhatikan bahwa \(\phi\) semacam itu menghasilkan, dan pada gilirannya dapat didefinisikan oleh, suatu operator linear \(T:U\to\eurm L(V;W)\), dengan menuliskan \(\eurm L(V;W)\) untuk ruang operator linear dari \(V\) ke \(W\), dengan

\((Tu)(v)=\phi(u,v)\)

untuk setiap \(u\in U\), \(v\in V\). Oleh karena itu, atau dengan cara lain, kita dapat melihat, misalnya, bahwa \(\phi(0,v)=\phi(u,0)=0\) kapan pun \(u\in U\) dan \(v\in V\).

Jika \(W'\) adalah ruang linear lain atas lapangan yang sama, dan \(S:W\to W'\) suatu operator linear, maka \(S\phi:U\times V\to W'\) bersifat bilinear.

253Ab (b)

Sekarang andaikan \(U\), \(V\), dan \(W\) adalah ruang bernorma, dan \(\phi:U\times V\to W\) suatu operator bilinear. Maka kita mengatakan bahwa \(\phi\) terbatas jika \(\sup\{\|\phi(u,v)\|:\|u\|\le 1,\,\|v\|\le 1\}\) berhingga, dan dalam hal ini kita menyebut supremum tersebut sebagai norma \(\|\phi\|\) dari \(\phi\). Perhatikan bahwa \(\|\phi(u,v)\|\le\|\phi\|\|u\|\|v\|\) untuk setiap \(u\in U\), \(v\in V\) (karena \(\|\phi(u,v)\|=\alpha\beta\|\phi(\alpha^{-1}u,\beta^{-1}v)\| \le\alpha\beta\|\phi\|\) kapan pun \(\alpha>\|u\|\), \(\beta>\|v\|\)).

Jika \(W'\) adalah ruang bernorma lain dan \(S:W\to W'\) suatu operator linear terbatas, maka \(S\phi:U\times V\to W'\) adalah operator bilinear terbatas, dan \(\|S\phi\|\le\|S\|\|\phi\|\).

253B Definisi

Operator bilinear terpenting dalam bagian ini didasarkan pada gagasan berikut. Misalkan \(f\) dan \(g\) adalah fungsi bernilai real. Saya akan menuliskan \(f\otimes g\) untuk fungsi \((x,y)\mapsto f(x)g(y):\dom f\times\dom g\to\Bbb R\).

253C Proposisi

(a) Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah himpunan, dan \(\Sigma\), \(\Tau\) masing-masing aljabar-sigma dari subhimpunan \(X\), \(Y\). Jika \(f\) adalah fungsi bernilai real yang terukur terhadap \(\Sigma\) dan didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X\), serta \(g\) adalah fungsi bernilai real yang terukur terhadap \(\Tau\) dan didefinisikan pada suatu subhimpunan \(Y\), maka \(f\otimes g\), sebagaimana didefinisikan dalam 253B, terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\).

(b) Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Jika \(f\in\eusm L^0(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^0(\nu)\), maka \(f\otimes g\in\eusm L^0(\lambda)\).

Catatan Ingat dari 241A bahwa \(\eusm L^0(\mu)\) adalah ruang fungsi bernilai real yang terukur secara virtual terhadap \(\mu\) dan didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan terhadap \(\mu\) dari \(X\).

Bukti

(a) Intinya ialah bahwa \(f\otimes\chi Y\) terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\), sebab untuk setiap \(\alpha\in\Bbb R\) terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga

\(\{x:f(x)\ge\alpha\}=E\cap\dom f\),

sehingga

\(\{(x,y):(f\otimes\chi Y)(x,y)\ge\alpha\} =(E\cap\dom f)\times Y=(E\times Y)\cap\dom(f\otimes\chi Y)\),

dan tentu saja \(E\times Y\in\Sigma\tensorhat\Tau\). Dengan cara yang sama, \(\chi X\otimes g\) terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\) dan \(f\otimes g=(f\otimes\chi Y)\times(\chi X\otimes g)\) terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\).

(b) Ambil subhimpunan koterabaikan \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) dari \(X\), \(Y\) berturut-turut, sedemikian sehingga \(E\subseteq\dom f\), \(F\subseteq\dom g\), \(f\restr E\) terukur terhadap \(\Sigma\) dan \(g\restr F\) terukur terhadap \(\Tau\). Tuliskan \(\Lambda\) untuk domain \(\lambda\). Maka \(\Sigma\tensorhat\Tau\subseteq\Lambda\) (251Ia). Selain itu, \(E\times F\) koterabaikan terhadap \(\lambda\), karena

\[\begin{aligned}\lambda((X\times Y)\setminus(E\times F)) &\le\lambda((X\setminus E)\times Y)+\lambda(X\times(Y\setminus F))\\ &=\mu(X\setminus E)\cdot\nu Y+\mu X\cdot\nu(Y\setminus F) =0\\\end{aligned}\]

(juga dari 251Ia). Jadi \(\dom(f\otimes g)\supseteq E\times F\) koterabaikan. Selain itu, menurut (a), \((f\otimes g)\restr(E\times F) =(f\restr E)\otimes(g\restr F)\) terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\), dan karenanya terukur terhadap \(\Lambda\), serta \(f\otimes g\) terukur secara virtual. Jadi \(f\otimes g\in\eusm L^0(\lambda)\), sebagaimana dinyatakan.

253D

Sekarang kita dapat menerapkan gagasan 253B-253C pada fungsi terintegralkan.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah ruang ukur, dan tuliskan \(\lambda\) untuk ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Jika \(f\in\eusm L^1(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^1(\nu)\), maka \(f\otimes g\in\eusm L^1(\lambda)\) dan \(\int f\otimes g\,d\lambda=\int f\,d\mu\int g\,d\nu\).

Catatan Saya mengikuti §242 dengan menuliskan \(\eusm L^1(\mu)\) untuk ruang fungsi bernilai real yang terintegralkan terhadap \(\mu\).

Bukti

(a) Tinjau terlebih dahulu kasus \(f=\chi E\), \(g=\chi F\) dengan \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) berukuran berhingga; maka \(f\otimes g=\chi(E\times F)\) terintegralkan terhadap \(\lambda\) dengan integral

\(\lambda(E\times F)=\mu E\cdot\nu F =\int f\,d\mu\cdot\int g\,d\nu\),

menurut 251Ia.

(b) Segera diperoleh bahwa \(f\otimes g\) adalah fungsi sederhana-\(\lambda\), dengan \(\int f\otimes g\,d\lambda=\int f\,d\mu\int g\,d\nu\), kapan pun \(f\) merupakan fungsi sederhana-\(\mu\) dan \(g\) merupakan fungsi sederhana-\(\nu\).

(c) Jika \(f\) dan \(g\) adalah fungsi terintegralkan nonnegatif, terdapat barisan tak-menurun \(\sequencen{f_n}\), \(\sequencen{g_n}\) yang terdiri atas fungsi sederhana nonnegatif dan masing-masing konvergen hampir di mana-mana ke \(f\), \(g\); sekarang perhatikan bahwa jika \(E\subseteq X\), \(F\subseteq Y\) koterabaikan, \(E\times F\) koterabaikan dalam \(X\times Y\), sebagaimana dicatat dalam pembuktian 253C, sehingga barisan tak-menurun \(\sequencen{f_n\otimes g_n}\) yang terdiri atas fungsi sederhana-\(\lambda\) konvergen hampir di mana-mana ke \(f\otimes g\), dan

\(\int f\otimes g\,d\lambda =\lim_{n\to\infty}\int f_n\otimes g_nd\lambda =\lim_{n\to\infty}\int f_nd\mu\int g_nd\nu =\int f\,d\mu\int g\,d\nu\)

menurut teorema B.Levi.

(d) Akhirnya, untuk \(f\) dan \(g\) umum, kita dapat menyatakannya sebagai selisih \(f^+-f^-\), \(g^+-g^-\) dari fungsi-fungsi terintegralkan nonnegatif, dan melihat bahwa

\(\int f\otimes g\,d\lambda =\int f^+\otimes g^+-f^+\otimes g^--f^-\otimes g^+ +f^-\otimes g^-d\lambda =\int f\,d\mu\int g\,d\nu.\)

253E Peta kanonik \(L^1\times L^1\to L^1\)

Saya melanjutkan argumen dari 253D. Karena \(E\times F\) koterabaikan dalam \(X\times Y\) kapan pun \(E\) dan \(F\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan \(Y\), \(f_1\otimes g_1=f\otimes g\,\,\lambda\)-hampir di mana-mana kapan pun \(f=f_1\,\,\mu\)-hampir di mana-mana dan \(g=g_1\,\,\nu\)-hampir di mana-mana. Kita dapat karena itu mendefinisikan \(u\otimes v\in L^1(\lambda)\), untuk \(u\in L^1(\mu)\) dan \(v\in L^1(\nu)\), dengan menetapkan bahwa \(u\otimes v=(f\otimes g)^{\ssbullet}\) kapan pun \(u=f^{\ssbullet}\) dan \(v=g^{\ssbullet}\).

Sekarang jika \(f\), \(f_1\), \(f_2\in\eusm L^1(\mu)\), \(g\), \(g_1\), \(g_2\in\eusm L^1(\nu)\), dan \(a\in\Bbb R\),

\((f_1+f_2)\otimes g=(f_1\otimes g)+(f_2\otimes g)\),

\(f\otimes(g_1+g_2)=(f\otimes g_1)+(f\otimes g_2)\),

\((af)\otimes g=a(f\otimes g)=f\otimes(ag)\).

Segera diperoleh bahwa peta \((u,v)\mapsto u\otimes v\) bersifat bilinear.

\(\|u\otimes v\|_1=\|u\|_1\|v\|_1\)

untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\), \(v\in L^1(\nu)\). Secara khusus, operator bilinear \(\otimes\) terbatas, dengan norma \(1\) (kecuali dalam kasus sepele ketika salah satu dari \(L^1(\mu)\), \(L^1(\nu)\) berdimensi \(0\)).

253F

Sekarang kita siap untuk teorema utama bagian ini.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah ruang ukur, dan misalkan \(\lambda\) adalah ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Misalkan \(W\) suatu ruang Banach dan \(\phi:L^1(\mu)\times L^1(\nu)\to W\) suatu operator bilinear terbatas. Maka terdapat tepat satu operator linear terbatas \(T:L^1(\lambda)\to W\) sedemikian sehingga \(T(u\otimes v)=\phi(u,v)\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\) dan \(v\in L^1(\nu)\), serta \(\|T\|=\|\phi\|\).

Bukti

(a) Inti argumen ini adalah fakta berikut: jika \(E_0,\ldots,E_n\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(X\), \(F_0,\ldots,F_n\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(Y\), \(a_0,\ldots,a_n\in\Bbb R\), dan \(\sum_{i=0}^na_i\chi(E_i\times F_i)=0\,\,\lambda\)-hampir di mana-mana, maka \(\sum_{i=0}^na_i\phi(\chi E_i^{\ssbullet},\chi F_i^{\ssbullet})=0\) dalam \(W\). Bukti. Kita dapat menemukan keluarga saling lepas \(\langle G_j\rangle_{j\le m}\) yang terdiri atas himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(X\) sedemikian sehingga setiap \(E_i\) dapat dinyatakan sebagai gabungan suatu subkeluarga dari \(G_j\); sehingga \(\chi E_i\) dapat dinyatakan dalam bentuk \(\sum_{j=0}^mb_{ij}\chi G_j\) (lihat 122Ca). Dengan cara yang sama, kita dapat menemukan keluarga saling lepas \(\langle H_k\rangle_{k\le l}\) yang terdiri atas himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(Y\) sedemikian sehingga setiap \(\chi F_i\) dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{k=0}^lc_{ik}\chi H_k\). Sekarang

\(\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^l \bigl(\sum_{i=0}^na_ib_{ij}c_{ik}\bigr) \chi(G_j\times H_k) =\sum_{i=0}^na_i\chi(E_i\times F_i)=0\,\,\lambda\text{-a.e.}\)

Karena \(G_j\times H_k\) saling lepas, dan \(\lambda(G_j\times H_k)=\mu G_j\cdot\nu H_k\) untuk setiap \(j\), \(k\), diperoleh bahwa untuk setiap \(j\le m\), \(k\le l\), berlaku salah satu dari \(\mu G_j=0\), \(\nu H_k=0\), atau \(\sum_{i=0}^na_ib_{ij}c_{ik}=0\). Dalam ketiga kasus ini, \(\sum_{i=0}^na_ib_{ij}c_{ik}\phi(\chi G_j^{\ssbullet},\chi H_k^{\ssbullet})=0\) dalam \(W\). Tetapi ini berarti bahwa

\(0=\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^l \bigl(\sum_{i=0}^na_ib_{ij}c_{ik}\bigr) \phi(\chi G_j^{\ssbullet},\chi H_k^{\ssbullet}) =\sum_{i=0}^na_i\phi(\chi E_i^{\ssbullet},\chi F_i^{\ssbullet}),\)

sebagaimana dinyatakan. ∎

(b) Dengan demikian, jika \(E_0,\ldots,E_n\), \(E'_0,\ldots,E'_m\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(X\), \(F_0,\ldots,F_n\), \(F'_0,\ldots,F'_m\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(Y\), \(a_0,\ldots,a_n,a'_0,\ldots,a'_m\in\Bbb R\), dan \(\sum_{i=0}^na_i\chi(E_i\times F_i)=\sum_{i=0}^ma'_i\chi(E'_i\times F'_i)\,\,\lambda\)-hampir di mana-mana, maka

\(\sum_{i=0}^na_i\phi(\chi E_i^{\ssbullet},\chi F_i^{\ssbullet})=\sum_{i=0}^ma'_i\phi(\chi {E'_i}^{\ssbullet},\chi {F'_i}^{\ssbullet})\)

dalam \(W\). Misalkan \(M\) adalah subruang linear dari \(L^1(\lambda)\) yang direntang oleh

\(\{\chi(E\times F)^{\ssbullet}:E\in\Sigma,\,\mu E<\infty,\, F\in\Tau,\,\nu F<\infty\};\)

maka terdapat tepat satu peta \(T_0:M\to W\) sedemikian sehingga

\(T_0(\sum_{i=0}^na_i\chi(E_i\times F_i)^{\ssbullet}) =\sum_{i=0}^na_i\phi(\chi E_i^{\ssbullet},\chi F_i^{\ssbullet})\)

kapan pun \(E_0,\ldots,E_n\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(X\), \(F_0,\ldots,F_n\) adalah himpunan terukur berukuran berhingga dalam \(Y\), dan \(a_0,\ldots,a_n\in\Bbb R\). Tentu saja \(T_0\) linear.

(c) Sebagian perhitungan yang sama menunjukkan bahwa \(\|T_0u\|\le\|\phi\|\|u\|_1\) untuk setiap \(u\in M\). Bukti. Jika \(u\in M\), maka, menurut argumen dalam (a), kita dapat menyatakan \(u\) sebagai \(\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^la_{jk}\chi(G_j\times H_k)^{\ssbullet}\), dengan \(\langle G_j\rangle_{j\le m}\) dan \(\langle H_k\rangle_{k\le l}\) merupakan keluarga saling lepas dari himpunan berukuran berhingga. Sekarang

\[\begin{aligned}\|T_0u\| &=\|\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^la_{jk}\phi(\chi G_j^{\ssbullet},\chi H_k^{\ssbullet})\| \le\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^l|a_{jk}|\|\phi(\chi G_j^{\ssbullet},\chi H_k^{\ssbullet})\|\\ &\le\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^l|a_{jk}|\|\phi\|\|\chi G_j^{\ssbullet}\|_1\|\chi H_k^{\ssbullet}\|_1 =\|\phi\|\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^l|a_{jk}|\mu G_j\cdot\nu H_k\\ &=\|\phi\|\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^l|a_{jk}|\lambda(G_j\times H_k) =\|\phi\|\|u\|_1,\\\end{aligned}\]

sebagaimana dinyatakan. ∎

(d) Poin berikutnya ialah mengamati bahwa \(M\) padat dalam \(L^1(\lambda)\) untuk \(\|\,\|_1\). Bukti. Dengan mengulangi gagasan di atas sekali lagi, kita mengamati bahwa jika \(E_0,\ldots,E_n\) adalah himpunan berukuran berhingga dalam \(X\) dan \(F_0,\ldots,F_n\) adalah himpunan berukuran berhingga dalam \(Y\), maka \(\chi(\bigcup_{i\le n}E_i\times F_i)^{\ssbullet}\in M\); ini karena, dengan menyatakan setiap \(E_i\) sebagai gabungan \(G_j\), dengan \(G_j\) saling lepas, kita mempunyai

\(\bigcup_{i\le n}E_i\times F_i=\bigcup_{j\le m}G_j\times F'_j,\)

dengan \(F'_j=\bigcup\{F_i:G_j\subseteq E_i\}\) untuk setiap \(j\); sekarang \(\langle G_j\times F'_j\rangle_{j\le m}\) saling lepas, sehingga

\(\chi(\bigcup_{j\le m}G_j\times F'_j)^{\ssbullet} =\sum_{j=0}^m\chi(G_j\times F'_j)^{\ssbullet}\in M.\)

Jadi 251Ie memberi tahu kita bahwa kapan pun \(\lambda H<\infty\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(G\) sedemikian sehingga \(\lambda(H\symmdiff G)\le\epsilon\) dan \(\chi G^{\ssbullet}\in M\); sekarang

\(\|\chi H^{\ssbullet}-\chi G^{\ssbullet}\|_1=\lambda(G\symmdiff H)\le\epsilon\),

sehingga \(\chi H^{\ssbullet}\) dapat dihampiri secara sebarang dekat oleh anggota \(M\), dan termasuk dalam penutup \(\overline{M}\) dari \(M\) dalam \(L^1(\lambda)\). Karena \(M\) adalah subruang linear dari \(L^1(\lambda)\), demikian pula \(\overline{M}\) (2A4Cb); oleh karena itu \(\overline{M}\) memuat kelas ekuivalensi dari semua fungsi sederhana-\(\lambda\); tetapi semua ini padat dalam \(L^1(\lambda)\) (242Mb), sehingga \(\overline{M}=L^1(\lambda)\), sebagaimana dinyatakan. ∎

(e) Karena \(W\) adalah ruang Banach, diperoleh suatu operator linear terbatas \(T:L^1(\lambda)\to W\) yang memperluas \(T_0\), dengan \(\|T\|=\|T_0\|\le\|\phi\|\) (2A4I). Sekarang \(T(u\otimes v)=\phi(u,v)\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\), \(v\in L^1(\nu)\). Bukti. Jika \(u=\chi E^{\ssbullet}\) dan \(v=\chi F^{\ssbullet}\), dengan \(E\), \(F\) himpunan terukur berukuran berhingga, maka

\(T(u\otimes v)=T(\chi(E\times F)^{\ssbullet}) =T_0(\chi(E\times F)^{\ssbullet}) =\phi(\chi E^{\ssbullet},\chi F^{\ssbullet})=\phi(u,v).\)

Karena \(\phi\) dan \(\otimes\) bilinear dan \(T\) linear,

\(T(f^{\ssbullet}\otimes g^{\ssbullet}) =\phi(f^{\ssbullet},g^{\ssbullet})\)

kapan pun \(f\) dan \(g\) merupakan fungsi sederhana. Sekarang, kapan pun \(u\in L^1(\mu)\), \(v\in L^1(\nu)\), dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi sederhana \(f\), \(g\) sedemikian sehingga \(\|u-f^{\ssbullet}\|_1\le\epsilon\), \(\|v-g^{\ssbullet}\|_1\le\epsilon\) (242Mb lagi); sehingga

\[\begin{aligned}\|\phi(u,v)-\phi(f^{\ssbullet},g^{\ssbullet})\| &\le\|\phi(u-f^{\ssbullet},v-g^{\ssbullet})\| +\|\phi(u,g^{\ssbullet}-v)\| +\|\phi(f^{\ssbullet}-u,v)\|\\ &\le\|\phi\|(\epsilon^2+\epsilon\|u\|_1+\epsilon\|v\|_1).\end{aligned}\]

Demikian pula,

\(\|u\otimes v-f^{\ssbullet}\otimes g^{\ssbullet}\|_1 \le\epsilon(\epsilon+\|u\|_1+\|v\|_1),\)

sehingga

\(\|T(u\otimes v)-T(f^{\ssbullet}\otimes g^{\ssbullet})\| \le\epsilon\|T\|(\epsilon+\|u\|_1+\|v\|_1);\)

karena \(T(f^{\ssbullet}\otimes g^{\ssbullet}) =\phi(f^{\ssbullet},g^{\ssbullet})\),

\(\|T(u\otimes v)-\phi(u,v)\| \le\epsilon(\|T\|+\|\phi\|)(\epsilon+\|u\|_1 +\|v\|_1).\)

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(T(u\otimes v)=\phi(u,v)\), sebagaimana diperlukan. ∎

(f) Argumen dalam (e) memastikan bahwa \(\|T\|\le\|\phi\|\). Karena \(\|u\otimes v\|_1\le\|u\|_1\|v\|_1\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\) dan \(v\in L^1(\nu)\), \(\|\phi(u,v)\|\le\|T\|\|u\|_1\|v\|_1\) untuk setiap \(u\), \(v\), dan \(\|\phi\|\le\|T\|\); jadi \(\|T\|=\|\phi\|\).

(g) Jadi \(T\) mempunyai sifat-sifat yang diperlukan. Untuk melihat bahwa operator ini tunggal, kita hanya perlu mengamati bahwa setiap operator linear terbatas \(S:L^1(\lambda)\to W\) sedemikian sehingga \(S(u\otimes v)=\phi(u,v)\) untuk setiap \(u\in L^1(\mu)\), \(v\in L^1(\nu)\) harus sama dengan \(T\) pada objek berbentuk \(\chi(E\times F)^{\ssbullet}\) dengan \(E\) dan \(F\) berukuran berhingga, dan karena itu pada setiap anggota \(M\); karena \(M\) padat dan \(S\) maupun \(T\) kontinu, keduanya sama di seluruh \(L^1(\lambda)\).

253G Struktur urutan pada \(L^1\)

Dalam 253F saya memperlakukan ruang-ruang \(L^1\) semata-mata sebagai ruang linear bernorma. Namun, secara umum, struktur urutan suatu ruang \(L^1\) (lihat 242C) sama pentingnya dengan normanya. Pemetaan \(\otimes:L^1(\mu)\times L^1(\nu)\to L^1(\lambda)\) menghormati struktur urutan ketiga ruang tersebut dalam pengertian kuat berikut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Maka

(a) \(u\otimes v\ge 0\) dalam \(L^1(\lambda)\) bilamana \(u\ge 0\) dalam \(L^1(\mu)\) dan \(v\ge 0\) dalam \(L^1(\nu)\).

(b) Kerucut positif \(\{w:w\ge 0\}\) dari \(L^1(\lambda)\) tepat merupakan selubung konveks tertutup \(C\) dari \(\{u\otimes v:u\ge 0,\,v\ge 0\}\) dalam \(L^1(\lambda)\).

*(c) Misalkan \(W\) sebarang kisi Banach, dan \(T:L^1(\lambda)\to W\) suatu operator linear terbatas. Maka pernyataan-pernyataan berikut berekuivalen:

(i) \(Tw\ge 0\) dalam \(W\) bilamana \(w\ge 0\) dalam \(L^1(\lambda)\);

(ii) \(T(u\otimes v)\ge 0\) dalam \(W\) bilamana \(u\ge 0\) dalam \(L^1(\mu)\) dan \(v\ge 0\) dalam \(L^1(\nu)\).

Bukti

(a) Jika \(u\), \(v\ge 0\), maka keduanya dapat dinyatakan sebagai \(f^{\ssbullet}\), \(g^{\ssbullet}\), dengan \(f\in\eusm L^1(\mu)\), \(g\in\eusm L^1(\nu)\), \(f\ge 0\) dan \(g\ge 0\). Karena \(f\otimes g\ge 0\), maka \(u\otimes v=(f\otimes g)^{\ssbullet}\ge 0\).

(b)(i) Tuliskan \(L^1(\lambda)^+\) untuk \(\{w:w\in L^1(\lambda),\,w\ge 0\}\). Maka \(L^1(\lambda)^+\) merupakan himpunan konveks tertutup dalam \(L^1(\lambda)\) (242De); menurut (a), himpunan itu memuat \(u\otimes v\) bilamana \(u\in L^1(\mu)^+\) dan \(v\in L^1(\nu)^+\), sehingga harus memuat \(C\).

(ii)(\(\alpha\)) Tentu saja \(0=0\otimes 0\in C\). (\(\beta\)) Jika \(u\in M\), sebagaimana didefinisikan dalam pembuktian 253F, dan \(u>0\), maka \(u\) dapat dinyatakan sebagai \(\sum_{j\le m,k\le l}a_{jk}\chi(G_j\times H_k)^{\ssbullet}\), dengan \(G_0,\ldots,G_m\) dan \(H_0,\ldots,H_l\) merupakan barisan saling lepas dari himpunan-himpunan berukuran berhingga, seperti dalam bagian (a) dari pembuktian 253F. Sekarang \(a_{jk}\) hanya dapat negatif jika \(\chi(G_j\times H_k)^{\ssbullet}=0\), sehingga, dengan mengganti setiap \(a_{jk}\) dengan \(\max(0,a_{jk})\) jika perlu, kita dapat mengandaikan bahwa \(a_{jk}\ge 0\) untuk semua \(j\), \(k\). Tidak semua \(a_{jk}\) dapat bernilai nol, sehingga \(a=\sum_{j\le m,k\le l}a_{jk}>0\), dan

\(u =\sum_{j\le m,k\le l} \Bover{a_{jk}}a\cdot a\chi(G_j\times H_k)^{\ssbullet} =\sum_{j\le m,k\le l}\Bover{a_{jk}}a \cdot(a\chi G_j^{\ssbullet})\otimes\chi H_k^{\ssbullet} \in C\).

(\(\gamma\)) Jika \(w\in L^1(\lambda)^+\) dan \(\epsilon>0\), nyatakan \(w\) sebagai \(h^{\ssbullet}\), dengan \(h\ge 0\) dalam \(\eusm L^1(\lambda)\). Ada suatu fungsi sederhana \(h_1\ge 0\) sedemikian sehingga \(h_1\leae h\) dan \(\int h\le\int h_1+\epsilon\). Nyatakan \(h_1\) sebagai \(\sum_{i=0}^na_i\chi H_i\), dengan \(\lambda H_i<\infty\) dan \(a_i\ge 0\) untuk setiap \(i\), dan untuk setiap \(i\le n\) pilih himpunan-himpunan \(G_{i0},\ldots,G_{im_i}\in\Sigma\), \(F_{i0},\ldots,F_{im_i}\in\Tau\), semuanya berukuran berhingga, sedemikian sehingga \(G_{i0},\ldots,G_{im_i}\) saling lepas dan \(\lambda(H_i\symmdiff\bigcup_{j\le m_i}G_{ij}\times F_{ij})\le\epsilon/(n+1)(a_i+1)\), seperti dalam bagian (d) dari pembuktian 253F. Tetapkan

\(w_0 =\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^{m_i}\chi(G_{ij}\times F_{ij})^{\ssbullet}\).

Maka \(w_0\in C\) karena \(w_0\in M\) dan \(w_0\ge 0\). Selain itu,

\[\begin{aligned}\|w-w_0\|_1 &\le\|w-h_1^{\ssbullet}\|_1+\|h_1^{\ssbullet}-w_0\|_1\\ &\le\int(h-h_1)d\lambda +\sum_{i=0}^na_i\int|\chi H_i-\sum_{j=0}^{m_i}\chi(G_{ij}\times F_{ij})|d\lambda\\ &\le\epsilon+\sum_{i=0}^na_i\lambda(H_i\symmdiff\bigcup_{j\le m_i}G_{ij}\times F_{ij}) \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang dan \(C\) tertutup, \(w\in C\). Karena \(w\) sebarang, \(L^1(\lambda)^+\subseteq C\) dan \(C=L^1(\lambda)^+\).

(c) Bagian (a) menyatakan bahwa (i)\(\Rightarrow\)(ii). Untuk implikasi sebaliknya, kita memerlukan suatu bagian dari teori kisi Banach: \(W^+=\{w:w\in W,\,w\ge 0\}\) merupakan himpunan tertutup dalam \(W\). Bukti. Jika \(w\), \(w'\in W\), maka

\(w=(w-w')+w'\le|w-w'|+w'\le|w-w'|+|w'|\),

\(-w=(w'-w)-w'\le|w-w'|-w'\le|w-w'|+|w'|\),

\(|w|\le|w-w'|+|w'|\), \(|w|-|w'|\le|w-w'|\),

karena \(|w|=w\vee(-w)\) dan urutan pada \(W\) bersifat invarian terhadap translasi (241Ec). Demikian pula, \(|w'|-|w|\le|w-w'|\) dan \(||w|-|w'||\le|w-w'|\), sehingga \(\||w|-|w'|\|\le\|w-w'\|\), menurut definisi kisi Banach (242G). Dengan menetapkan \(\phi(w)=|w|-w\), kita melihat bahwa \(\|\phi(w)-\phi(w')\|\le 2\|w-w'\|\) untuk semua \(w\), \(w'\in W\), sehingga \(\phi\) kontinu.

Sekarang, karena urutan invarian terhadap perkalian dengan skalar positif,

\(w\ge 0\iff 2w\ge 0\iff w\ge-w\iff w=|w|\iff\phi(w)=0\),

sehingga \(W^+=\{w:\phi(w)=0\}\) tertutup. ∎

Sekarang andaikan bahwa (ii) benar, dan tetapkan \(C_1=\{w:w\in L^1(\lambda),\,Tw\ge 0\}\). Maka \(C_1\) memuat \(u\otimes v\) bilamana \(u\), \(v\ge 0\); tetapi himpunan itu juga konveks, karena \(T\) linear, dan tertutup, karena \(T\) kontinu dan \(C_1=T^{-1}[W^+]\). Menurut (b), \(C_1\) memuat \(\{w:w\in L^1(\lambda),\,w\ge 0\}\), sebagaimana dituntut oleh (i).

253H Ekspektasi bersyarat

Gagasan-gagasan dalam bagian ini dan bagian sebelumnya memberi kita beberapa contoh ekspektasi bersyarat yang terpenting.

Teorema Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang probabilitas lengkap, dengan produk c.l.d. \((X\times Y,\Lambda,\lambda)\). Tetapkan \(\Lambda_1=\{E\times Y:E\in\Sigma\}\). Maka \(\Lambda_1\) merupakan subaljabar-\(\sigma\) dari \(\Lambda\). Diberikan suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\) dan bernilai real, yakni \(f\), tetapkan

\(g(x,y)=\int f(x,z)\nu(dz)\)

bilamana \(x\in X\), \(y\in Y\) dan integral itu terdefinisi dalam \(\Bbb R\). Maka \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\) pada \(\Lambda_1\).

Bukti

Kita tahu bahwa \(\Lambda_1\subseteq\Lambda\), menurut 251Ia, dan \(\Lambda_1\) merupakan aljabar-\(\sigma\) himpunan karena \(\Sigma\) demikian. Teorema Fubini (252B, 252C) menyatakan bahwa \(f_1(x)=\int f(x,z)\nu(dz)\) terdefinisi untuk hampir setiap \(x\), dan oleh karena itu \(g=f_1\otimes\chi Y\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(X\times Y\). \(f_1\) terukur secara virtual terhadap \(\mu\); karena \(\mu\) lengkap, \(f_1\) terukur terhadap \(\Sigma\), sehingga \(g\) terukur terhadap \(\Lambda_1\) (karena \(\{(x,y):g(x,y)\le\alpha\}=\{x:f_1(x)\le\alpha\}\times Y\) untuk setiap \(\alpha\in\Bbb R\)). Akhirnya, jika \(W\in\Lambda_1\), maka \(W=E\times Y\) untuk suatu \(E\in\Sigma\), sehingga

\[\begin{aligned}\int_Wg\,d\lambda &=\int (f_1\otimes\chi Y)\times(\chi E\otimes\chi Y)d\lambda =\int f_1\times\chi E\,d\mu\int\chi Y\,d\nu\\ &\text{(menurut 253D)}\\ &=\iint\chi E(x)f(x,y)\nu(dy)\mu(dx) =\int f\times\chi(E\times Y)d\lambda\\ &\text{(menurut teorema Fubini)}\\ &=\int_Wf\,d\lambda.\\\end{aligned}\]

Jadi \(g\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(f\).

253I

Inilah saat yang tepat untuk mengemukakan suatu hasil berguna tentang produk ukuran integral tak tentu.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah ruang-ruang ukur, serta \(f\in\eusm L^0(\mu)\), \(g\in\eusm L^0(\nu)\) fungsi-fungsi nonnegatif. Misalkan \(\mu'\), \(\nuprime\) merupakan ukuran integral tak tentu yang bersesuaian (lihat §234). Misalkan \(\lambda\) merupakan produk c.l.d. dari \(\mu\) dan \(\nu\), serta \(\lambda'\) merupakan ukuran integral tak tentu yang didefinisikan dari \(\lambda\) dan \(f\otimes g\in\eusm L^0(\lambda)\) (253Cb). Maka \(\lambda'\) merupakan produk c.l.d. dari \(\mu'\) dan \(\nuprime\).

Bukti

Tuliskan \(\theta\) untuk produk c.l.d. dari \(\mu'\) dan \(\nuprime\).

(a) Jika kita mengganti \(\mu\) dengan pelengkapannya, kita tidak mengubah \(\mu'\) (234Ke); pada saat yang sama, kita tidak mengubah \(\lambda\), menurut 251T. Hal yang sama berlaku untuk \(\nu\). Jadi cukup membuktikan hasil tersebut dengan asumsi bahwa \(\mu\) dan \(\nu\) lengkap; dalam hal ini \(f\) dan \(g\) terukur serta mempunyai domain-domain yang terukur.

Tetapkan \(F=\{x:x\in\dom f,\,f(x)>0\}\) dan \(G=\{y:y\in\dom g,\,g(y)>0\}\), sehingga \(F\times G=\{w:w\in\dom(f\otimes g),\,(f\otimes g)(w)>0\}\). Maka \(F\) koterabaikan terhadap \(\mu'\) dan \(G\) koterabaikan terhadap \(\nuprime\), sehingga \(F\times G\) koterabaikan terhadap \(\theta\) maupun \(\lambda'\). Karena \(\theta\) dan \(\lambda'\) keduanya lengkap (251Ic, 234I), cukup ditunjukkan bahwa ukuran-ukuran subruang \(\theta_{F\times G}\), \(\lambda'_{F\times G}\) pada \(F\times G\) adalah sama. Namun, perhatikan bahwa \(\theta_{F\times G}\) dapat diidentifikasi dengan produk dari \(\mu_F'\) dan \(\nu_G'\), dengan \(\mu_F'\) dan \(\nu_G'\) merupakan ukuran-ukuran subruang masing-masing pada \(F\), \(G\) (251Q(ii-\(\alpha\))). Pada saat yang sama, \(\mu_F'\) merupakan ukuran integral tak tentu yang didefinisikan dari ukuran subruang \(\mu_F\) pada \(F\) dan fungsi \(f\restr F\), \(\nu_G'\) merupakan ukuran integral tak tentu yang didefinisikan dari ukuran subruang \(\nu_G\) pada \(G\) dan \(g\restr G\), serta \(\lambda'_{F\times G}\) didefinisikan dari ukuran subruang \(\lambda_{F\times G}\) dan \((f\restr F)\otimes(g\restr G)\). Akhirnya, sekali lagi menurut 251Q, \(\lambda_{F\times G}\) merupakan produk dari \(\mu_F\) dan \(\nu_G\).

Arti semua ini ialah bahwa cukup menangani kasus di mana \(F=X\) dan \(G=Y\), yaitu, \(f\) dan \(g\) terdefinisi di setiap titik dan positif ketat; inilah yang saya andaikan mulai sekarang.

(b) Dalam hal ini \(\dom\mu'=\Sigma\) dan \(\dom\nuprime=\Tau\) (234La). Demikian pula, \(\dom\lambda'=\Lambda\) tidak lain adalah domain dari \(\lambda\). Tetapkan

\(F_n=\{x:x\in X,\,2^{-n}\le f(x)\le 2^n\}\), \(G_n=\{y:y\in Y,\,2^{-n}\le g(y)\le 2^n\}\)

untuk \(n\in\Bbb N\).

(c) Tetapkan

\(\Cal A=\{W:W\in\dom\theta\cap\dom\lambda'\), \(\theta(W)=\lambda'(W)\}\).

Jika \(\mu'E\) dan \(\nuprime H\) terdefinisi dan berhingga, maka \(f\times\chi E\) dan \(g\times\chi H\) dapat diintegralkan, sehingga

\[\begin{aligned}\lambda'(E\times H) &=\int(f\otimes g)\times\chi(E\times H)d\lambda =\int(f\times\chi E)\otimes(g\times\chi H)d\lambda\\ &=\int f\times\chi E\,d\mu\cdot\int g\times\chi H\,d\nu =\theta(E\times H)\\\end{aligned}\]

menurut 253D dan 251Ia, yaitu, \(E\times H\in\Cal A\). Jika sekarang kita meninjau \(\Cal A_{EH}=\{W:W\subseteq X\times Y\), \(W\cap(E\times H)\in\Cal A\}\), maka kita melihat bahwa

\(\Cal A_{EH}\) memuat \(E'\times H'\) untuk setiap \(E'\in\Sigma\), \(H'\in\Tau\),

jika \(\sequencen{W_n}\) suatu barisan tak menurun dalam \(\Cal A_{EH}\), maka \(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\in\Cal A_{EH}\),

jika \(W\), \(W'\in\Cal A_{EH}\) dan \(W\subseteq W'\), maka \(W'\setminus W\in\Cal A_{EH}\).

Dengan demikian, \(\Cal A_{EH}\) merupakan kelas Dynkin dari subhimpunan-subhimpunan \(X\times Y\), dan menurut Teorema Kelas Monoton (136B), memuat aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\{E'\times H':E'\in\Sigma,\,H'\in\Tau\}\), yaitu \(\Sigma\tensorhat\Tau\).

(d) Sekarang andaikan bahwa \(W\in\Lambda\). Dalam hal ini \(W\in\dom\theta\) dan \(\theta W\le\lambda'W\). Bukti. Ambil \(n\in\Bbb N\), serta \(E\in\Sigma\), \(H\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu'E\) dan \(\nuprime H\) keduanya berhingga. Tetapkan \(E'=E\cap F_n\), \(H'=H\cap G_n\) dan \(W'=W\cap(E'\times H')\). Maka \(W'\in\Lambda\), sedangkan \(\mu E'\le 2^n\mu'E\) dan \(\nu H'\le 2^n\nuprime H\) berhingga. Menurut 251Ib, terdapat \(V\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V\subseteq W'\) dan \(\lambda V=\lambda W'\). Demikian pula, terdapat \(V'\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V'\subseteq(E'\times H')\setminus W'\) dan \(\lambda V'=\lambda((E'\times H')\setminus W')\). Ini berarti bahwa \(\lambda((E'\times H')\setminus(V\cup V'))=0\), sehingga \(\lambda'((E'\times H')\setminus(V\cup V'))=0\). Namun, \((E'\times H')\setminus(V\cup V')\in\Cal A\), menurut (c), sehingga \(\theta((E'\times H')\setminus(V\cup V'))=0\) dan \(W'\in\dom\theta\), sedangkan

\(\theta W'=\theta V=\lambda'V \le\lambda'W\).

Karena \(E\) dan \(H\) sebarang, \(W\cap(F_n\times G_n)\in\dom\theta\) (251H) dan \(\theta(W\cap(F_n\times G_n))\le\lambda'W\). Karena \(\sequencen{F_n}\), \(\sequencen{G_n}\) merupakan barisan-barisan tak menurun dengan gabungan masing-masing \(X\), \(Y\),

\(\theta W=\sup_{n\in\Bbb N}\theta(W\cap(F_n\times G_n)) \le\lambda'W\). ∎

(e) Dengan cara yang sama, \(\lambda'W\) terdefinisi dan tidak lebih besar daripada \(\theta W\) untuk setiap \(W\in\dom\theta\). Bukti. Argumen-argumennya sangat mirip, tetapi tampaknya diperlukan suatu penyempurnaan pada tahap terakhir. Ambil \(n\in\Bbb N\), serta \(E\in\Sigma\), \(H\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu E\) dan \(\nu H\) keduanya berhingga. Tetapkan \(E'=E\cap F_n\), \(H'=H\cap G_n\) dan \(W'=W\cap(E'\times H')\). Maka \(W'\in\dom\theta\), sedangkan \(\mu'E'\le 2^n\mu E\) dan \(\nuprime H'\le 2^n\nu H\) berhingga. Kali ini, terdapat \(V\), \(V'\in\Sigma\tensorhat\Tau\) sedemikian sehingga \(V\subseteq W'\), \(V'\subseteq(E'\times H')\setminus W'\), \(\theta V=\theta W'\) dan \(\theta V'=\theta((E'\times H')\setminus W')\). Dengan demikian,

\(\lambda'V+\lambda'V'=\theta V+\theta V' =\theta(E'\times H')=\lambda'(E'\times H')\),

sehingga \(\lambda'W'\) terdefinisi dan sama dengan \(\theta W'\).

Ini berarti bahwa \(W\cap(F_n\times G_n)\cap(E\times H)\in\Cal A\) bilamana \(\mu E\) dan \(\nu H\) berhingga. Jadi \(W\cap(F_n\times G_n)\in\Lambda\), menurut 251H; karena \(n\) sebarang, \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda'W\) terdefinisi.

? Andaikan, jika mungkin, bahwa \(\lambda'W>\theta W\). Maka terdapat suatu \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\lambda'(W\cap(F_n\times G_n))>\theta W\). Karena \(\lambda\) semihingga, 213B menyatakan bahwa terdapat suatu fungsi sederhana-\(\lambda\) \(h\) sedemikian sehingga \(h\le(f\otimes g)\times\chi(W\cap(F_n\times G_n))\) dan \(\int h\,d\lambda>\theta W\); dengan menetapkan \(V=\{(x,y):h(x,y)>0\}\), kita melihat bahwa \(V\subseteq W\cap(F_n\times G_n)\), \(\lambda V\) terdefinisi dan berhingga, serta \(\lambda'V>\theta W\). Sekarang pasti terdapat himpunan-himpunan \(E\in\Sigma\), \(H\in\Tau\) sedemikian sehingga \(\mu E\) dan \(\nu H\) keduanya berhingga dan \(\lambda(V\setminus(E\times H))<4^{-n}(\lambda'V-\theta W)\). Namun, dalam hal ini \(V\in\Lambda\subseteq\dom\theta\) (menurut (d)), sehingga kita dapat menerapkan argumen tepat di atas pada \(V\) dan menyimpulkan bahwa \(V\cap(E\times H)=V\cap(F_n\times G_n)\cap(E\times H)\) termasuk dalam \(\Cal A\). Sekarang,

\[\begin{aligned}\lambda'V &=\lambda'(V\cap(E\times H))+\lambda'(V\setminus(E\times H))\\ &\le\theta(V\cap(E\times H))+4^n\lambda(V\setminus(E\times H)) <\theta V+\lambda'V-\theta W \le\lambda'V,\\\end{aligned}\]

suatu kemustahilan. !

Jadi \(\lambda'W\) terdefinisi dan tidak lebih besar daripada \(\theta W\). ∎

(f) Dengan menggabungkan ini dengan (d), kita melihat bahwa \(\lambda'=\theta\), sebagaimana diklaim.

Catatan Jika \(\mu'\) dan \(\nuprime\) berhingga total, sehingga keduanya ‘benar-benar kontinu’ terhadap \(\mu\) dan \(\nu\) dalam pengertian 232Ab, maka \(f\) dan \(g\) dapat diintegralkan, sehingga \(f\otimes g\) dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\), dan \(\theta=\lambda'\) benar-benar kontinu terhadap \(\lambda\).

Pembuktian di atas dapat disederhanakan dengan menggunakan bagian-bagian dari teori umum ruang lengkap yang ditentukan secara lokal, yang akan diberikan dalam §412 pada Jilid 4.

253J Integral atas

Gagasan 253D dapat diulangi dalam istilah integral atas, sebagai berikut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur \(\sigma\)-hingga, dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\). Maka untuk sebarang fungsi \(f\) dan \(g\), yang masing-masing didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\) dan \(Y\), dan bernilai dalam \([0,\infty]\),

\(\overlineint f\otimes g\,d\lambda =\overlineint fd\mu\cdot\overlineint g\,d\nu\).

Catatan Di sini \((f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)\) untuk semua \(x\in\dom f\) dan \(y\in\dom g\), dengan menetapkan \(0\cdot\infty=0\), seperti dalam §135.

Bukti

(a) Mula-mula saya tunjukkan bahwa \(\overline{\int}f\otimes g\le\overline{\int}f\overline{\int}g\). Bukti. Jika \(\overline{\int}f=0\), maka \(f=0\) hampir di mana-mana, sehingga \(f\otimes g=0\) hampir di mana-mana. Dengan demikian, hasilnya langsung diperoleh. Argumen yang sama berlaku jika \(\overline{\int}g=0\). Jika \(\overline{\int}f\) dan \(\overline{\int}g\) keduanya tidak nol, dan salah satunya tak hingga, hasilnya trivial. Jadi, andaikan keduanya berhingga. Dalam hal ini terdapat \(f_0\), \(g_0\) terintegralkan sedemikian sehingga \(f\leae f_0\), \(g\leae g_0\), \(\overline{\int}f=\int f_0\) dan \(\overline{\int}g=\int g_0\) (133Ja/135Ha). Jadi \(f\otimes g\leae f_0\otimes g_0\), dan

\( \overlineint f\otimes g\le\int f_0\otimes g_0 =\int f_0\int g_0=\overlineint f\overlineint g\),

menurut 253D. ∎

(b) Untuk ketaksamaan sebaliknya, kita hanya perlu meninjau kasus ketika \(\overline{\int}f\otimes g\) berhingga, sehingga terdapat suatu fungsi yang terintegralkan terhadap \(\lambda\), yaitu \(h\), sedemikian sehingga \(f\otimes g\leae h\) dan \(\overline{\int}f\otimes g=\int h\). Tetapkan

\(f_0(x)=\int h(x,y)\nu(dy)\)

kapan pun nilai ini terdefinisi dalam \(\Bbb R\), yaitu hampir di mana-mana, menurut teorema Fubini (252B-252C). Maka \(f_0(x)\ge f(x)\overline{\int}g\,d\nu\) untuk setiap \(x\in\dom f_0\cap\dom f\), yang merupakan himpunan koterabaikan dalam \(X\); jadi

\( \overlineint f\otimes g=\int h\,d\lambda =\int f_0d\mu\ge\overlineint f\overlineint g\),

sebagaimana diperlukan.

253K

Argumen serupa berlaku untuk integral atas dari jumlah, sebagai berikut.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang probabilitas, dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\). Maka untuk sebarang fungsi bernilai real \(f\), \(g\) yang masing-masing didefinisikan pada subhimpunan koterabaikan dari \(X\), \(Y\),

\( \overlineint f(x)+g(y)\,\lambda(d(x,y)) =\overlineint f(x)\mu(dx)+\overlineint g(y)\nu(dy)\),

setidaknya ketika ruas kanan terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

Bukti

Tetapkan \(h(x,y)=f(x)+g(y)\) untuk \(x\in\dom f\) dan \(y\in\dom g\), sehingga \(\dom h\) koterabaikan terhadap \(\lambda\).

(a) Seperti dalam 253J, saya mulai dengan menunjukkan bahwa \(\overline{\int}h\le\overline{\int}f+\overline{\int}g\). Bukti. Jika salah satu dari \(\overline{\int}f\) atau \(\overline{\int}g\) adalah \(\infty\), pernyataan ini trivial. Jika tidak, ambillah fungsi-fungsi terintegralkan \(f_0\), \(g_0\) sedemikian sehingga \(f\leae f_0\) dan \(g\leae g_0\). Tetapkan \(h_0=(f_0\otimes\chi Y)+(\chi X\otimes g_0)\); maka \(h\le h_0\,\,\lambda\)-hampir di mana-mana, sehingga

\( \overlineint h\,d\lambda\le\int h_0d\lambda =\int f_0d\mu+\int g_0d\nu\).

Karena \(f_0\), \(g_0\) sebarang, \(\overline{\int}h\le\overline{\int}f+\overline{\int}g\). ∎

(b) Untuk ketaksamaan sebaliknya, andaikan bahwa \(h\le h_0\) untuk \(\lambda\)-hampir setiap \((x,y)\), dengan \(h_0\) terintegralkan terhadap \(\lambda\). Tetapkan \(f_0(x)=\int h_0(x,y)\nu(dy)\) kapan pun nilai ini terdefinisi dalam \(\Bbb R\). Maka \(f_0(x)\ge f(x)+\overline{\int}g\,d\nu\) kapan pun \(x\in\dom f\cap\dom f_0\), sehingga

\(\int h_0\,d\lambda =\int f_0d\mu\ge\overlineint fd\mu+\overlineint g\,d\nu\).

Karena \(h_0\) sebarang, \(\overline{\int}h\ge\overline{\int}f+\overline{\int}g\), sebagaimana diperlukan.

253L Ruang kompleks

Seperti biasa, gagasan-gagasan dari 253F dan 253H berlaku pada dasarnya tanpa perubahan untuk ruang \(L^1\) kompleks. Dengan menuliskan \(L^1_{\Bbb C}(\mu)\), dan seterusnya, untuk ruang-ruang \(L^1\) kompleks yang bersangkutan, kita memperoleh hasil-hasil berikut. Di seluruh bagian ini, misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\).

253La (a)

Jika \(f\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^0_{\Bbb C}(\nu)\) maka \(f\otimes g\), yang didefinisikan oleh rumus \((f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)\) untuk \(x\in\dom f\) dan \(y\in\dom g\), termasuk dalam \(\eusm L^0_{\Bbb C}(\lambda)\).

253Lb (b)

Jika \(f\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\nu)\) maka \(f\otimes g\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\lambda)\) dan \(\int f\otimes g\,d\lambda=\int fd\mu\int g\,d\nu\).

253Lc (c)

Kita mempunyai operator bilinear \((u,v)\mapsto u\otimes v: L^1_{\Bbb C}(\mu)\times L^1_{\Bbb C}(\nu)\to L^1_{\Bbb C}(\lambda)\) yang didefinisikan dengan menuliskan \(f^{\ssbullet}\otimes g^{\ssbullet}=(f\otimes g)^{\ssbullet}\) untuk semua \(f\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\mu)\), \(g\in \eusm L^1_{\Bbb C}(\nu)\).

253Ld (d)

Jika \(W\) sebarang ruang Banach kompleks dan \(\phi:L^1_{\Bbb C}(\mu)\times L^1_{\Bbb C}(\nu)\to W\) sebarang operator bilinear terbatas, maka terdapat suatu operator linear terbatas yang unik \(T:L^1_{\Bbb C}(\lambda)\to W\) sedemikian sehingga \(T(u\otimes v)=\phi(u,v)\) untuk setiap \(u\in L^1_{\Bbb C}(\mu)\) dan \(v\in L^1_{\Bbb C}(\nu)\), dan \(\|T\|=\|\phi\|\).

253Le (e)

Jika \(\mu\) dan \(\nu\) merupakan ukuran-ukuran probabilitas lengkap, dan \(\Lambda_1=\{E\times Y:E\in\Sigma\}\), maka untuk sebarang \(f\in\eusm L^1_{\Bbb C}(\lambda)\) kita mempunyai ekspektasi bersyarat \(g\) dari \(f\) pada \(\Lambda_1\) yang diberikan dengan menetapkan \(g(x,y)=\int f(x,z)\nu(dz)\) kapan pun nilai ini terdefinisi.

Latihan

253X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(U\), \(V\) dan \(W\) ruang-ruang linear. Tunjukkan bahwa himpunan operator bilinear dari \(U\times V\) ke \(W\) mempunyai struktur linear alami yang bersesuaian dengan struktur pada \(\eurm L(U;\eurm L(V;W))\) dan \(\eurm L(V;\eurm L(U;W))\), dengan menuliskan \(\eurm L(U;W)\) untuk ruang linear semua operator linear dari \(U\) ke \(W\).

253Xb (b) penting

Misalkan \(U\), \(V\) dan \(W\) ruang-ruang bernorma. (i) Tunjukkan bahwa untuk suatu operator bilinear \(\phi:U\times V\to W\) pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (\(\alpha\)) \(\phi\) terbatas dalam arti 253Ab; (\(\beta\)) \(\phi\) kontinu; (\(\gamma\)) \(\phi\) kontinu di suatu titik pada \(U\times V\). (ii) Tunjukkan bahwa ruang operator bilinear terbatas dari \(U\times V\) ke \(W\) merupakan subruang linear dari ruang semua operator bilinear dari \(U\times V\) ke \(W\), dan bahwa fungsional \(\|\,\|\) yang didefinisikan dalam 253Ab merupakan suatu norma, yang bersesuaian dengan norma-norma \(\eurm B(U;\eurm B(V;W))\) dan \(\eurm B(V;\eurm B(U;W))\), dengan menuliskan \(\eurm B(U;W)\) untuk ruang bernorma semua operator linear terbatas dari \(U\) ke \(W\).

253Xc (c)

Misalkan \((X_1,\Sigma_1,\mu_1),\ldots,(X_n,\Sigma_n,\mu_n)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X_1\times\ldots\times X_n\), sebagaimana dideskripsikan dalam 251W. Misalkan \(W\) ruang Banach, dan andaikan bahwa \(\phi:L^1(\mu_1)\times\ldots\times L^1(\mu_n)\to W\) bersifat multilinear (yaitu linear dalam setiap variabel secara terpisah) dan terbatas (yaitu, \(\|\phi\|=\sup\{\|\phi(u_1,\ldots,u_n)\|: \|u_i\|_1\le 1\Forall i\le n\}<\infty\)). Tunjukkan bahwa terdapat suatu operator linear terbatas yang unik \(T:L^1(\lambda)\to W\) sedemikian sehingga \(T\otimes=\phi\), dengan \(\otimes:L^1(\mu_1)\times\ldots\times L^1(\mu_n)\to L^1(\lambda)\) merupakan suatu operator multilinear kanonik (yang harus didefinisikan).

253Xd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa jika \(A\subseteq L^1(\mu)\) dan \(B\subseteq L^1(\nu)\) keduanya terintegralkan secara seragam, maka \(\{u\otimes v:u\in A,\,v\in B\}\) terintegralkan secara seragam dalam \(L^1(\lambda)\).

253Xe (e) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa

(i) kita mempunyai operator bilinear \((u,v)\mapsto u\otimes v:L^0(\mu)\times L^0(\nu)\to L^0(\lambda)\) yang diberikan dengan menetapkan \(f^{\ssbullet}\otimes g^{\ssbullet}=(f\otimes g)^{\ssbullet}\) untuk semua \(f\in\eusm L^0(\mu)\) dan \(g\in \eusm L^0(\nu)\);

(ii) jika \(1\le p\le\infty\) maka \(u\otimes v\in L^p(\lambda)\) dan \(\|u\otimes v\|_p=\|u\|_p\|v\|_p\) untuk semua \(u\in L^p(\mu)\) dan \(v\in L^p(\nu)\);

(iii) jika \(u\), \(u'\in L^2(\mu)\) dan \(v\), \(v'\in L^2(\nu)\) maka hasil kali dalam \(\innerprod{u\otimes v}{u'\otimes v'}\), yang diambil dalam \(L^2(\lambda)\), sama dengan \(\innerprod{u}{u'}\innerprod{v}{v'}\);

(iv) pemetaan \((u,v)\mapsto u\otimes v:L^0(\mu)\times L^0(\nu)\to L^0(\lambda)\) kontinu jika \(L^0(\mu)\), \(L^0(\nu)\) dan \(L^0(\lambda)\) semuanya dilengkapi dengan topologi konvergensi dalam ukuran masing-masing.

253Xf (f)

Dalam 253Xe, andaikan bahwa \(\mu\) dan \(\nu\) semihingga. Tunjukkan bahwa jika \(u_0,\ldots,u_n\) merupakan anggota-anggota yang bebas linear dari \(L^0(\mu)\) dan \(v_0,\ldots,v_n\in L^0(\nu)\) tidak semuanya \(0\), maka \(\sum_{i=0}^nu_i\otimes v_i\ne 0\) dalam \(L^0(\lambda)\). (Petunjuk: mulailah dengan mencari himpunan-himpunan \(E\in\Sigma\), \(F\in\Tau\) berukuran berhingga sedemikian sehingga \(u_0\times\chi E^{\ssbullet},\ldots,u_n\times\chi E^{\ssbullet}\) bebas linear dan \(v_0\times\chi F^{\ssbullet},\ldots,v_n\times\chi F^{\ssbullet}\) tidak semuanya \(0\).)

253Xg (g)

Dalam 253Xe, andaikan bahwa \(\mu\) dan \(\nu\) semihingga. Jika \(U\), \(V\) masing-masing merupakan subruang linear dari \(L^0(\mu)\) dan \(L^0(\nu)\), tuliskan \(U\otimes V\) untuk subruang linear dari \(L^0(\lambda)\) yang dibangkitkan oleh \(\{u\otimes v:u\in U,\,v\in V\}\). Tunjukkan bahwa jika \(W\) sebarang ruang linear dan \(\phi:U\times V\to W\) suatu operator bilinear, terdapat suatu operator linear unik \(T:U\otimes V\to W\) sedemikian sehingga \(T(u\otimes v)=\phi(u,v)\) untuk semua \(u\in U\), \(v\in V\). (Petunjuk: mulailah dengan menunjukkan bahwa jika \(u_0,\ldots,u_n\in U\) dan \(v_0,\ldots,v_n\in V\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^nu_i\otimes v_i=0\), maka \(\sum_{i=0}^n\phi(u_i,v_i)=0\) – lakukan ini dengan menyatakan \(u_i\) sebagai kombinasi linear dari suatu keluarga bebas linear, lalu terapkan 253Xf.)

253Xh (h) penting

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang probabilitas lengkap, dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\). Andaikan bahwa \(p\in[1,\infty]\) dan bahwa \(f\in\eusm L^p(\lambda)\). Tetapkan \(g(x)=\int f(x,y)\nu(dy)\) kapan pun nilai ini terdefinisi. Tunjukkan bahwa \(g\in\eusm L^p(\mu)\) dan bahwa \(\|g\|_p\le\|f\|_p\). (Petunjuk: 253H, 244M.)

253Xi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\), dan \(p\in\coint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa \(\{w:w\in L^p(\lambda),\,w\ge 0\}\) merupakan selubung konveks tertutup dalam \(L^p(\lambda)\) dari \(\{u\otimes v:u\in L^p(\mu),\,v\in L^p(\nu),\,u\ge 0,\,v\ge 0\}\) (lihat 253Xe(ii) di atas).

253Y Latihan lebih lanjut (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa jika \(f\in\eusm L^0(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^0(\nu)\), maka \(f\otimes g\in\eusm L^0(\lambda_0)\).

253Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa jika \(f\in\eusm L^1(\mu)\) dan \(g\in\eusm L^1(\nu)\), maka \(f\otimes g\in\eusm L^1(\lambda_0)\) dan \(\int f\otimes g\,d\lambda_0=\int f\,d\mu\int g\,d\nu\).

253Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda_0\), \(\lambda\) masing-masing ukuran produk primitif dan c.l.d. pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa pembenaman \(\eusm L^1(\lambda_0)\embedsinto\eusm L^1(\lambda)\) menginduksi isomorfisme kisi Banach antara \(L^1(\lambda_0)\) dan \(L^1(\lambda)\).

253Yd (d)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\), \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur yang dapat dilokalkan secara ketat, dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\). Tunjukkan bahwa \(L^{\infty}(\lambda)\) dapat diidentifikasi dengan \(L^1(\lambda)^*\). Tunjukkan bahwa di bawah identifikasi ini \(\{w:w\in L^{\infty}(\lambda),\,w\ge 0\}\) merupakan selubung konveks yang tertutup dalam topologi lemah* dari \(\{u\otimes v:u\in L^{\infty}(\mu),\,v\in L^{\infty}(\nu), \,u\ge 0,\,v\ge 0\}\).

253Ye (e)

Carilah suatu versi 253J yang berlaku ketika salah satu dari \(\mu\), \(\nu\) tidak \(\sigma\)-hingga.

253Yf (f)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) sebarang ruang ukur dan \(V\) sebarang ruang Banach. Tuliskan \(\eusm L^1_V=\eusm L^1_V(\mu)\) untuk himpunan fungsi-fungsi \(f\) sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(\dom f\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\) (\(\beta\)) \(f\) bernilai dalam \(V\) (\(\gamma\)) terdapat suatu himpunan koterabaikan \(D\subseteq\dom f\) sedemikian sehingga \(f[D]\) separabel dan \(D\cap f^{-1}[G]\in\Sigma\) untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq V\) (\(\delta\)) integral \(\int\|f(x)\|\mu(dx)\) berhingga. (Ini adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan menurut Bochner dari \(X\) ke \(V\).) Untuk \(f\), \(g\in\eusm L^1_V\) tuliskan \(f\sim g\) jika \(f=g\,\,\mu\)-hampir di mana-mana; misalkan \(L^1_V\) himpunan kelas-kelas ekuivalensi dalam \(\eusm L^1_V\) terhadap \(\sim\). Tunjukkan bahwa

(i) \(f+g\), \(cf\in\eusm L^1_V\) untuk semua \(f\), \(g\in\eusm L^1_V\), \(c\in\Bbb R\);

(ii) \(L^1_V\) mempunyai struktur ruang linear alami, yang didefinisikan dengan menuliskan \(f^{\ssbullet}+g^{\ssbullet}=(f+g)^{\ssbullet}\), \(cf^{\ssbullet}=(cf)^{\ssbullet}\) untuk \(f\), \(g\in\eusm L^1_V\) dan \(c\in\Bbb R\);

(iii) \(L^1_V\) mempunyai norma \(\|\,\|\), yang didefinisikan dengan menuliskan \(\|f^{\ssbullet}\|=\int\|f(x)\|\mu(dx)\) untuk \(f\in\eusm L^1_V\);

(iv) \(L^1_V\) merupakan ruang Banach dengan norma ini;

(v) terdapat suatu pemetaan alami \(\otimes:\eusm L^1\times V\to\eusm L^1_V\) yang didefinisikan dengan menuliskan \((f\otimes v)(x)=f(x)v\) ketika \(f\in\eusm L^1=\eusm L^1_{\Bbb R}(\mu)\), \(v\in V\) dan \(x\in\dom f\);

(vi) terdapat suatu operator bilinear kanonik \(\otimes:L^1\times V\to L^1_V\) yang didefinisikan dengan menuliskan \(f^{\ssbullet}\otimes v=(f\otimes v)^{\ssbullet}\) untuk \(f\in\eusm L^1\) dan \(v\in V\);

(vii) kapan pun \(W\) suatu ruang Banach dan \(\phi:L^1\times V\to W\) suatu operator bilinear terbatas, terdapat suatu operator linear terbatas yang unik \(T:L^1_V\to W\) sedemikian sehingga \(T(u\otimes v)=\phi(u,v)\) untuk semua \(u\in L^1\) dan \(v\in V\), dan \(\|T\|=\|\phi\|\).

(Ketika \(W=V\) dan \(\phi(u,v)=(\int u)v\) untuk \(u\in L^1\) dan \(v\in V\), \(Tf^{\ssbullet}\) disebut integral Bochner dari \(f\).)

253Yg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda_0\) ukuran produk primitif pada \(X\times Y\). Jika \(f\) suatu fungsi yang terintegralkan terhadap \(\lambda_0\), tuliskan \(f_x(y)=f(x,y)\) kapan pun nilai ini terdefinisi. Tunjukkan bahwa kita mempunyai suatu pemetaan \(x\mapsto f_x^{\ssbullet}\) dari suatu subhimpunan koterabaikan \(D_0\) dari \(X\) ke \(L^1(\nu)\). Tunjukkan bahwa pemetaan ini merupakan fungsi yang terintegralkan menurut Bochner, sebagaimana didefinisikan dalam 253Yf,

dan bahwa integral Bochner-nya adalah \(g^{\ssbullet}\), dengan \(g(y)=\int f(x,y)\mu(dx)\) kapan pun nilai ini terdefinisi; khususnya, \(\int g\,d\nu=\int f\,d\lambda_0\).

253Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan andaikan bahwa \(\phi\) suatu fungsi dari \(X\) ke suatu subhimpunan separabel dari \(L^1(\nu)\) yang terukur dalam arti bahwa \(\phi^{-1}[G]\in\Sigma\) untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq L^1(\nu)\). Tunjukkan bahwa terdapat suatu fungsi terukur terhadap \(\Lambda\), \(f\), dari \(X\times Y\) ke \(\Bbb R\), dengan \(\Lambda\) domain ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\), sedemikian sehingga \(\phi(x)=f_x^{\ssbullet}\) untuk setiap \(x\in X\), dengan menuliskan \(f_x(y)=f(x,y)\) untuk \(x\in X\), \(y\in Y\).

253Yi (i)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur, dan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\). Tunjukkan bahwa 253Yg memberikan identifikasi kanonik antara \(L^1(\lambda)\) dan \(L^1_{L^1(\nu)}(\mu)\).

253Yj (j)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal, dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\). (i) Andaikan bahwa \(K\in\eusm L^2(\lambda)\), \(f\in\eusm L^2(\mu)\). Tunjukkan bahwa \(h(y)=\int K(x,y)f(x)dx\) terdefinisi untuk hampir setiap \(y\in Y\) dan bahwa \(h\in\eusm L^2(\nu)\). (Petunjuk: untuk melihat bahwa \(h\) terdefinisi hampir di mana-mana, pertimbangkan \(\int_{E\times F}K(x,y)f(x)d(x,y)\) untuk \(\mu E\), \(\nu F<\infty\); untuk melihat bahwa \(h\in\eusm L^2\), pertimbangkan \(\int h\times g\) dengan \(g\in\eusm L^2(\nu)\).) (ii) Tunjukkan bahwa pemetaan \(f\mapsto h\) bersesuaian dengan suatu operator linear terbatas \(T_K:L^2(\mu)\to L^2(\nu)\). (iii) Tunjukkan bahwa pemetaan \(K\mapsto T_K\) bersesuaian dengan suatu operator linear terbatas, bernorma paling besar \(1\), dari \(L^2(\lambda)\) ke \(\eurm B(L^2(\mu);L^2(\nu))\).

253Yk (k)

Andaikan bahwa \(p\), \(q\in[1,\infty]\) dan bahwa \(\bover1p+\bover1q=1\), dengan menafsirkan \(\bover1{\infty}\) sebagai \(0\) seperti biasa. Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\), \((Y,\Tau,\nu)\) ruang-ruang ukur lengkap yang ditentukan secara lokal dengan ukuran produk c.l.d. \(\lambda\). Tunjukkan bahwa gagasan-gagasan 253Yj dapat digunakan untuk mendefinisikan suatu operator linear terbatas, bernorma paling besar \(1\), dari \(L^p(\lambda)\) ke \(\eurm B(L^q(\mu);L^p(\nu))\).

253Yl (l)

Dalam 253Xc, andaikan bahwa \(W\) suatu kisi Banach. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i) \(Tu\ge 0\) kapan pun \(u\in L^1(\lambda)\) dan \(u\ge0\); (ii) \(\phi(u_1,\ldots,u_n)\ge 0\) kapan pun \(u_i\ge 0\) dalam \(L^1(\mu_i)\) untuk setiap \(i\le n\).

Catatan dan komentar

253 Catatan penutup untuk Bagian 253

Di seluruh argumen utama bagian ini, saya telah menuliskan hasil-hasilnya dalam istilah ukuran produk c.l.d. tersebut; tentu saja isomorfisme yang dicatat dalam 253Yc berarti bahwa hasil-hasil itu dapat pula dinyatakan dalam istilah ukuran produk primitif. Gagasan keterintegralan yang lebih terbatas terhadap ukuran produk primitif memang merupakan gagasan yang tepat bagi gagasan-gagasan 253Yg.

Teorema 253F adalah suatu ’teorema pemetaan universal’; teorema itu menyatakan bahwa setiap operator bilinear terbatas pada \(L^1(\mu)\times L^1(\nu)\) terfaktorkan melalui \(\otimes:L^1(\mu)\times L^1(\nu)\to L^1(\lambda)\), setidaknya jika ruang hasilnya suatu ruang Banach. Mudah dilihat bahwa sifat ini menentukan pasangan \((L^1(\lambda),\otimes)\) hingga isomorfisme ruang Banach, dalam arti berikut: jika \(V\) suatu ruang Banach, dan \(\psi:L^1(\mu)\times L^1(\nu)\to V\) suatu operator bilinear terbatas sedemikian sehingga untuk setiap operator bilinear terbatas \(\phi\) dari \(L^1(\mu)\times L^1(\nu)\) ke sebarang ruang Banach \(W\) terdapat suatu operator linear terbatas yang unik \(T:V\to W\) sedemikian sehingga \(T\psi = \phi\) dan \(\|T\|=\|\phi\|\), maka terdapat suatu isomorfisme isometrik ruang Banach \(S:L^1(\lambda)\to V\) sedemikian sehingga \(S\otimes=\psi\). Tentu saja terdapat suatu teori umum operator bilinear antara ruang-ruang Banach; dalam bahasa teori ini, \(L^1(\lambda)\) adalah, atau isomorfik dengan, ’produk tensor projektif’ dari \(L^1(\mu)\) dan \(L^1(\nu)\). Untuk pengantar mengenai subjek ini, lihat Defant & Floret 93, § I.3, atau Semadeni 71, §20. Barangkali perlu saya tekankan, demi mereka yang belum pernah menjumpai produk tensor, bahwa teorema ini khusus bagi ruang-ruang \(L^1\). Meskipun beberapa gagasan yang sama dapat diterapkan pada ruang-ruang fungsi lain (lihat 253Xe-253Xg), tidak ada kelas lain tempat 253F berlaku.

Terdapat pula teori produk tensor kisi Banach, tetapi saya rasa kita belum benar-benar siap untuk itu (teori ini memerlukan gagasan-gagasan umum tentang ruang linear terurut yang hendak saya tunda sampai Bab 35 dalam jilid berikutnya). Namun demikian, 253G menunjukkan bahwa pengurutan, dan karena itu struktur kisi Banach, dari \(L^1(\lambda)\) ditentukan oleh pengurutan \(L^1(\mu)\) dan \(L^1(\nu)\) serta pemetaan \(\otimes:L^1(\mu)\times L^1(\nu)\to L^1(\lambda)\).

Operator-operator ekspektasi bersyarat yang dideskripsikan dalam 253H sangat penting, terutama karena dalam konteks khusus ini kita mempunyai realisasi operator ekspektasi bersyarat sebagai suatu fungsi \(P_0\) dari \(\eusm L^1(\lambda)\) ke \(\eusm L^1(\lambda\restr\Lambda_1)\), bukan sekadar sebagai suatu fungsi dari \(L^1(\lambda)\) ke \(L^1(\lambda\restr\Lambda_1)\), seperti dalam 242J. Sebagaimana dideskripsikan di sini, \(P_0(f+f')\) tidak harus sama, dalam arti ketat, dengan \(P_0f+P_0f'\); domainnya dapat lebih besar. Namun, dalam penerapan, kita mungkin bersedia membatasi perhatian pada ruang linear \(\eusm U\) dari fungsi-fungsi terbatas yang terukur terhadap \(\Sigma\tensorhat\Tau\) dan didefinisikan di mana-mana pada \(X\times Y\), sehingga \(P_0\) menjadi operator dari \(\eusm U\) ke dirinya sendiri (lihat 252P).