Teorema Vitali di R^r — Fondasi Teori Ukuran

Tujuan utama bagian ini ialah memberikan versi berdimensi \(r\) dari teorema Vitali dan Teorema Kerapatan Lebesgue, dengan mengikuti gagasan-gagasan yang telah disajikan dalam §§221 dan 223. Saya mengakhirinya dengan pembuktian bahwa ukuran luar Lebesgue dapat didefinisikan melalui peliputan oleh bola, bukan oleh interval (261F).

261A Notasi

Dalam sebagian besar bab ini, kita akan berurusan dengan geometri dan ukuran ruang Euklides; penetapan sejumlah notasi akan menghemat ruang.

Di seluruh bagian ini dan dua bagian berikutnya, \(r\ge 1\) adalah suatu bilangan bulat. Saya akan menggunakan huruf Latin untuk anggota \(\BbbR^r\) dan huruf Yunani untuk koordinatnya, sehingga \(a=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)\), dan seterusnya; jika Anda melihat huruf Yunani berindeks bawah, pertama-tama carilah vektor di dekatnya yang mungkin memiliki huruf itu sebagai koordinat. Ukuran yang dibahas hampir selalu merupakan ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R^r\); jadi, kecuali dinyatakan lain, \(\mu\) harus ditafsirkan sebagai ukuran Lebesgue dan \(\mu^*\) sebagai ukuran luar Lebesgue. Demikian pula, \(\int\ldots dx\) selalu berarti integrasi terhadap ukuran Lebesgue (dalam dimensi yang ditentukan oleh konteks).

Untuk \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\), tuliskan \(\|x\|=\sqrt{\xi_1^2+\ldots+\xi_r^2}\). Ingat bahwa \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\) (1A2C) dan bahwa \(\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|\) untuk sebarang vektor \(x\), \(y\) dan skalar \(\alpha\).

Saya akan menggunakan notasi yang sama seperti dalam §115 untuk ‘interval’, sehingga, khususnya,

\(\coint{a,b} =\{x:\alpha_i\le\xi_i<\beta_i\Forall i\le r\}\),

\(\ooint{a,b} =\{x:\alpha_i<\xi_i<\beta_i\Forall i\le r\}\),

\([a,b] =\{x:\alpha_i\le \xi_i\le \beta_i\Forall i\le r\}\)

setiap kali \(a\), \(b\in\BbbR^r\).

\(\tbf{0}=(0,\ldots,0)\) adalah vektor nol dalam \(\BbbR^r\), dan \(\tbf{1}\) adalah \((1,\ldots,1)\). Jika \(x\in\BbbR^r\) dan \(\delta>0\), maka \(B(x,\delta)\) adalah bola tertutup berpusat di \(x\) dan berjari-jari \(\delta\), yakni \(\{y:y\in\BbbR^r,\,\|y-x\|\le\delta\}\). Perhatikan bahwa \(B(x,\delta)=x+B(\tbf{0},\delta)\); maka, berdasarkan invariansi ukuran Lebesgue terhadap translasi, kita mempunyai

\(\mu B(x,\delta)=\mu B(\tbf{0},\delta) =\beta_r\delta^r\),

dengan

\[\begin{aligned}\beta_r &=\Bover{1}{k!}\pi^k\text{ jika }r=2k\text{ genap},\\ &=\Bover{2^{2k+1}k!}{(2k+1)!}\pi^k\text{ jika }r=2k+1\text{ ganjil}\\\end{aligned}\]

(252Q).

261B Teorema Vitali dalam \(\BbbR^r\)

Misalkan \(A\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan, dan \(\Cal I\) suatu keluarga bola tertutup nontrivial (yakni, bukan singleton, atau secara ekuivalen, tidak terabaikan) dalam \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga setiap titik dalam \(A\) termuat dalam anggota \(\Cal I\) yang berdiameter sekecil apa pun. Maka terdapat suatu himpunan terhitung yang saling lepas \(\Cal I_0\subseteq \Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu(A\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\).

Bukti

(a) Sebagai permulaan (sampai akhir (f) di bawah), andaikan bahwa \(\|x\|<M\) untuk setiap \(x\in A\), dan tetapkan

\(\Cal I'=\{I:I\in\Cal I,\,I\subseteq B(\tbf{0},M)\}\).

Jika terdapat suatu himpunan berhingga yang saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I'\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup\Cal I_0\) (termasuk kemungkinan bahwa \(A=\Cal I_0=\emptyset\)), kita dapat berhenti. Jadi, selanjutnya andaikan tidak ada \(\Cal I_0\) demikian.

(b) Dalam hal ini, jika \(\Cal I_0\) adalah sebarang subhimpunan berhingga yang saling lepas dari \(\Cal I'\), terdapat \(J\in\Cal I'\) yang saling lepas dari setiap anggota \(\Cal I_0\). Bukti. Ambil \(x\in A\setminus\bigcup\Cal I_0\). Karena setiap anggota \(\Cal I_0\) tertutup, terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(B(x,\delta)\) tidak bertemu dengan anggota mana pun dari \(\Cal I_0\), dan karena \(\|x\|<M\) kita dapat mengandaikan bahwa \(B(x,\delta)\subseteq B(\tbf{0},M)\). Ambil \(J\) sebagai anggota \(\Cal I\) yang memuat \(x\) dan berdiameter paling besar \(\delta\); maka \(J\in\Cal I'\) dan \(J\cap\bigcup\Cal I_0=\emptyset\). ∎

(c) Karena itu, kita dapat memilih suatu barisan bilangan real \(\sequencen{\gamma_n}\) dan suatu barisan yang saling lepas \(\sequencen{I_n}\) dalam \(\Cal I'\) secara induktif sebagai berikut. Setelah \(\langle I_j\rangle_{j<n}\) diberikan (jika \(n=0\), ini adalah barisan kosong, tanpa anggota), dengan \(I_j\in\Cal I'\) untuk setiap \(j<n\), dan \(I_j\cap I_k=\emptyset\) untuk \(j<k<n\), tetapkan \(\Cal J_n=\{I:I\in\Cal I',\,I\cap I_j=\emptyset\) untuk setiap \(j<n\}\). Dari (b) kita mengetahui bahwa \(\Cal J_n\ne\emptyset\). Tetapkan

\(\gamma_n=\sup\{\diam I:I\in\Cal J_n\}\);

maka \(\gamma_n\le 2M\), karena setiap anggota \(\Cal J_n\) termuat dalam \(B(\tbf{0},M)\). Karena itu, kita dapat menemukan suatu himpunan \(I_n\in\Cal J_n\) sedemikian sehingga \(\diam I_n\ge{1\over 2}\gamma_n\), dan ini melanjutkan proses induksi.

(d) Karena \(I_n\) merupakan subhimpunan terukur yang saling lepas dari himpunan terbatas \(B(\tbf{0},M)\), kita mempunyai

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n \le\mu B(\tbf{0},M)<\infty\),

dan \(\lim_{n\to\infty}\mu I_n=0\). Juga, \(\mu I_n\ge\beta_r(\bover14\gamma_n)^r\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\lim_{n\to\infty}\gamma_n=0\).

(e)

Sekarang definisikan \(I'_n\) sebagai bola tertutup dengan pusat yang sama seperti \(I_n\) tetapi dengan diameter lima kali lipat, sehingga bola ini memuat setiap titik yang berjarak paling besar \(\gamma_n\) dari \(I_n\). Saya menyatakan bahwa, untuk setiap \(n\), \(A\subseteq\bigcup_{j<n}{I}_j\cup\bigcup_{j\ge n}I_j'\). Bukti.? Andaikan, jika mungkin, sebaliknya. Ambil sebarang \(x\in A\setminus(\bigcup_{j<n}{I}_j\cup\bigcup_{j\ge n}I'_j)\). Ambil \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(B(x,\delta) \subseteq B(\tbf{0},M)\setminus\bigcup_{j<n}I_j\),

dan ambil \(J\in\Cal I\) sedemikian sehingga \(x\in J\subseteq B(x,\delta)\). Maka

\(\lim_{m\to\infty}\gamma_m=0<\diam J\)

(di sinilah kita menggunakan hipotesis bahwa semua bola dalam \(\Cal I\) nontrivial); misalkan \(m\) bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan \(n\) sedemikian sehingga \(\gamma_m<\diam J\). Dalam hal ini \(J\) tidak mungkin termasuk dalam \(\Cal J_m\), sehingga harus ada suatu \(k<m\) sedemikian sehingga \(J\cap I_k\ne\emptyset\), karena tentu saja \(J\in\Cal I'\). Berdasarkan pemilihan \(\delta\), \(k\) tidak mungkin kurang dari \(n\), sehingga \(n\le k<m\), dan \(\gamma_k\ge\diam J\). Jadi jarak dari \(x\) ke titik terdekat \(I_k\) paling besar \(\diam J\le \gamma_k\). Namun, ini berarti bahwa \(x\in I'_k\); bertentangan dengan pemilihan \(x\). !∎

(f) Akibatnya,

\(\mu\sp*(A\setminus\bigcup_{j<n}I_j)\le\mu(\bigcup_{j\ge n}I'_j)\le\sum_{j=n}^{\infty}\mu I'_j\le 5^r\sum_{j=n}^{\infty}\mu I_j\).

Karena

\(\sum_{j=0}^{\infty}\mu I_j\le \mu B(\tbf{0},M)<\infty\),

\(\lim_{n\to\infty}\mu\sp*(A\setminus\bigcup_{j<n}I_j)=0\) dan

\(\mu(A\setminus\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j)= \mu\sp*(A\setminus\bigcup_{j\in\Bbb N}I_j)=0\).

Jadi, dalam hal ini kita dapat menetapkan \(\Cal I_0=\{I_n:n\in\Bbb N\}\) untuk memperoleh suatu keluarga terhitung yang saling lepas dalam \(\Cal I\) dengan \(\mu(A\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\).

(g) Ini menyelesaikan pembuktian jika \(A\) terbatas. Secara umum, tetapkan

\(U_n=\{x:x\in \BbbR^r,\,n<\|x\|<n+1\}\), \(A_n=A\cap U_n\), \(\Cal J_n=\{I:I\in\Cal I,\,I\subseteq U_n\}\),

untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka, untuk setiap \(n\), kita melihat bahwa setiap titik dalam \(A_n\) termasuk dalam anggota \(\Cal J_n\) yang berdiameter sekecil apa pun, sehingga terdapat suatu \(\Cal J'_n\subseteq\Cal J_n\) yang terhitung dan saling lepas sedemikian sehingga \(A_n\setminus\bigcup\Cal J'_n\) terabaikan. Sekarang (karena \(U_n\) saling lepas) \(\Cal I_0=\bigcup_{n\in\Bbb N}\Cal J'_n\) saling lepas, dan tentu saja \(\Cal I_0\) merupakan subhimpunan terhitung dari \(\Cal I\); selain itu,

\(A\setminus\bigcup\Cal I_0 \subseteq(\BbbR^r\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}U_n) \cup\bigcup_{n\in\Bbb N}(A_n\setminus\bigcup\Cal J'_n)\)

terabaikan. (Untuk melihat bahwa \(\Bbb R^r\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}U_n=\{x:\|x\|\in\Bbb N\}\) terabaikan, perhatikan bahwa untuk setiap \(n\in\Bbb N\) himpunan

\(\{x:\|x\|=n\}\subseteq B(\tbf{0},n)\setminus B(\tbf{0},\delta n)\)

mempunyai ukuran paling besar \(\beta_rn^r-\beta_r(\delta n)^r\) untuk setiap \(\delta\in\coint{0,1}\), sehingga harus terabaikan.)

261C

Seperti dalam §223, kita dapat menggunakan teorema Vitali berdimensi \(r\) untuk membuktikan teorema-teorema tentang pendekatan fungsi melalui nilai rata-rata lokalnya.

Teorema Kerapatan dalam \(\BbbR^r\): bentuk integral Misalkan \(D\) suatu subhimpunan \(\BbbR^r\), dan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(D\). Maka

\(f(x)=\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{D\cap B(x,\delta)}fd\mu\)

untuk hampir setiap \(x\in D\).

Bukti

(a) Sebagai permulaan (sampai akhir (b)), andaikan bahwa \(D=\dom f=\BbbR^r\).

Ambil \(n\in\Bbb N\) dan \(q\), \(q'\in\Bbb Q\) dengan \(q<q'\), dan tetapkan

\(A=A_{nqq'} =\{x:\|x\|\le n,\,f(x)\le q,\, \limsup_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}fd\mu>q'\}\).

? Andaikan, jika mungkin, bahwa \(\mu^*A>0\). Ambil \(\epsilon>0\) sedemikian sehingga \(\epsilon(1+|q|)<(q'-q)\mu^* A\), dan ambil \(\eta\in\ocint{0,\epsilon}\) sedemikian sehingga \(\int_{E}|f|\le\epsilon\) setiap kali \(\mu E\le\eta\) (225A). Ambil suatu himpunan terbuka \(G\supseteq A\) yang berukuran paling besar \(\mu^*A+\eta\) (134Fa). Misalkan \(\Cal I\) adalah himpunan bola tertutup nontrivial \(B\subseteq G\) sedemikian sehingga \(\bover{1}{\mu B}\int_Bfd\mu\ge q'\). Maka setiap titik dalam \(A\) termuat dalam (bahkan merupakan pusat dari) anggota \(\Cal I\) yang berdiameter sekecil apa pun. Jadi, berdasarkan 261B, terdapat suatu himpunan terhitung yang saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu(A\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\); tetapkan \(H=\bigcup\Cal I_0\).

Karena \(\int_{I}fd\mu\ge q'\mu I\) untuk setiap \(I\in\Cal I_0\), kita mempunyai

\(\int_{H}fd\mu=\sum_{I\in\Cal I_0}\int_Ifd\mu \ge q'\sum_{I\in\Cal I_0}\mu I=q'\mu H\ge q'\mu^* A\).

Tetapkan

\(E=\{x:x\in G,\,f(x)\le q\}\).

Maka \(E\) terukur, dan \(A\subseteq E\subseteq G\); jadi

\(\mu^* A\le\mu E\le\mu G\le\mu^* A+\eta \le\mu^* A+\epsilon\).

Selain itu,

\(\mu(H\setminus E)\le\mu G-\mu E\le\eta\),

sehingga, berdasarkan pemilihan \(\eta\), \(\int_{H\setminus E}f\le\epsilon\) dan

\[\begin{aligned}\int_{H}f &\le\epsilon+\int_{H\cap E}f \le\epsilon+q\mu(H\cap E)\\ &\le\epsilon+q\mu^*A+|q|(\mu(H\cap E)-\mu^* A) \le q\mu^* A+\epsilon(1+|q|)\\ &\text{(karena }\mu^*A=\mu^*(A\cap H)\le\mu(H\cap E)\le\mu E\text{)}\\ &<q'\mu^* A \le\int_{H}f,\\\end{aligned}\]

yang mustahil. !

Jadi \(A_{nqq'}\) terabaikan. Ini berlaku untuk semua \(q<q'\) dan semua \(n\), sehingga

\(A^*=\bigcup_{q,q'\in\Bbb Q,q<q'} \bigcup_{n\in\Bbb N}A_{nqq'}\)

terabaikan. Namun,

\(f(x) \ge\limsup_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}f\)

untuk setiap \(x\in\BbbR^r\setminus A^*\), yakni, untuk hampir setiap \(x\in \BbbR^r\).

(b) Dengan cara serupa, atau dengan menerapkan hasil ini pada \(-f\),

\(f(x) \le\liminf_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}f\)

untuk hampir setiap \(x\), sehingga

\(f(x) =\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}f\)

untuk hampir setiap \(x\).

(c) Untuk kasus yang (secara sepintas) lebih umum sebagaimana dinyatakan dalam teorema, misalkan \(\tilde f\) suatu fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu\) dan memperluas \(f\restr D\), terdefinisi di seluruh \(\BbbR^r\), serta sedemikian sehingga \(\int_F\tilde f=\int_{D\cap F}f\) untuk setiap himpunan terukur \(F\subseteq\BbbR^r\) (dengan menerapkan 214Eb pada \(f\restr D\)). Maka

\(f(x)=\tilde f(x) =\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}\tilde f =\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\mu B(x,\delta)} \int_{D\cap B(x,\delta)}f\)

untuk hampir setiap \(x\in D\).

261D Akibat

(a) Jika \(D\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan, maka

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{\mu^*(D\cap B(x,\delta))} {\mu B(x,\delta)}=1\)

untuk hampir setiap \(x\in D\).

(b) Jika \(E\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terukur, maka

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{\mu(E\cap B(x,\delta))} {\mu B(x,\delta)}=\chi E(x)\)

untuk hampir setiap \(x\in \BbbR^r\).

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(\{y:y\in D,\,|f(y)-f(x)|\le\epsilon\}\cap B(x,\delta))} {\mu B(x,\delta)}=1\)

untuk setiap \(\epsilon>0\).

(d) Jika \(D\subseteq\BbbR^r\) dan \(f:D\to\Bbb R\) terukur, maka untuk hampir setiap \(x\in D\),

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(\{y:y\in D,\,|f(y)-f(x)|\ge\epsilon\}\cap B(x,\delta))} {\mu B(x,\delta)}=0\)

untuk setiap \(\epsilon>0\).

Bukti

(a) Terapkan 261C dengan \(f=\chi B(\tbf{0},n)\) untuk melihat bahwa, untuk setiap \(n\in\Bbb N\),

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{\mu^*(D\cap B(x,\delta))} {\mu B(x,\delta)}=1\)

untuk hampir setiap \(x\in D\) dengan \(\|x\|<n\).

(b) Terapkan (a) pada \(E\) untuk melihat bahwa

\(\liminf_{\delta\downarrow 0}\Bover{\mu(E\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}\ge\chi E(x)\)

untuk hampir setiap \(x\in\BbbR^r\), dan pada \(E'=\BbbR^r\setminus E\) untuk melihat bahwa

\(\limsup_{\delta\downarrow 0}\Bover{\mu(E\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)} =1-\liminf_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu(E'\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)} \le 1-\chi E'(x)=\chi E(x)\)

untuk hampir setiap \(x\).

(c) Untuk \(q\), \(q'\in\Bbb Q\), tetapkan

\(D_{qq'}=\{x:x\in D,\,q\le f(x)\le q'\}\),

\(C_{qq'}=\{x:x\in D_{qq'},\,\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(D_{qq'}\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}=1\}\);

sekarang tetapkan

\(C =D\setminus\bigcup_{q,q'\in\Bbb Q}(D_{qq'}\setminus C_{qq'})\),

sehingga \(D\setminus C\) terabaikan. Jika \(x\in C\) dan \(\epsilon>0\), maka terdapat \(q\), \(q'\in\Bbb Q\) sedemikian sehingga \(f(x)-\epsilon\le q\le f(x)\le q'\le f(x)+\epsilon\), dan sekarang \(x\in C_{qq'}\); oleh karena itu

\(\liminf_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\le\epsilon\}} {\mu B(x,\delta)} \ge\liminf_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(D_{qq'}\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}=1\),

sehingga

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\le\epsilon\}} {\mu B(x,\delta)} =1\).

(d) Definisikan \(C\) seperti dalam (c). Berdasarkan (a), kita mengetahui bahwa \(\mu(D\setminus C')=0\), dengan

\(C'=\{x:x\in D,\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{\mu^*(D\cap B(x,\delta))} {\mu B(x,\delta)}=1\}\).

Jika \(x\in C\cap C'\) dan \(\epsilon>0\), berdasarkan (c) kita mengetahui bahwa

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\le\epsilon/2\}} {\mu B(x,\delta)} =1\).

Namun, karena \(f\) terukur, kita mempunyai

\[\begin{aligned}\mu^*\{y:y\in &D\cap B(x,\delta),\, |f(y)-f(x)|\ge\epsilon\}\\ &+\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\le\Bover12\epsilon\} \le\mu^*(D\cap B(x,\delta))\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(\delta>0\). Oleh karena itu,

\[\begin{aligned}\limsup_{\delta\downarrow 0} &\Bover{\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\ge\epsilon\}} {\mu B(x,\delta)}\\ &\le\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(D\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)} -\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\le\epsilon/2\}} {\mu B(x,\delta)} =0,\\\end{aligned}\]

dan

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*\{y:y\in D\cap B(x,\delta),\,|f(y)-f(x)|\ge\epsilon\}} {\mu B(x,\delta)}=0\)

untuk setiap \(x\in C\cap C'\), yakni, untuk hampir setiap \(x\in D\).

261E Teorema

Misalkan \(f\) suatu fungsi yang terintegralkan secara lokal dan terdefinisi pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(\BbbR^r\). Maka

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy=0\)

untuk hampir setiap \(x\in\BbbR^r\).

Bukti

(Bandingkan 223D.)

(a) Untuk sementara, tetapkan \(n\in\Bbb N\), dan tetapkan \(G=\{x:\|x\|<n\}\). Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), tetapkan \(g_q(x)=|f(x)-q|\) untuk \(x\in G\cap\dom f\); maka \(g_q\) terintegralkan pada \(G\), dan

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{G\cap B(x,\delta)}g_q=g_q(x)\)

untuk hampir setiap \(x\in G\), berdasarkan 261C. Dengan menetapkan

\(E_q=\{x:x\in G\cap\dom f,\,\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover1{\mu B(x,\delta)}\int_{G\cap B(x,\delta)}g_q=g_q(x)\}\),

kita mempunyai \(G\setminus E_q\) terabaikan untuk setiap \(q\), sehingga \(G\setminus E\) terabaikan, dengan \(E=\bigcap_{q\in\Bbb Q}E_q\). Sekarang

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{G\cap B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy=0\)

untuk setiap \(x\in E\). Bukti. Ambil \(x\in E\) dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(q\in\Bbb Q\) sedemikian sehingga \(|f(x)-q|\le\epsilon\), sehingga

\(|f(y)-f(x)|\le|f(y)-q|+\epsilon=g_q(y)+\epsilon\)

untuk setiap \(y\in G\cap\dom f\), dan

\[\begin{aligned}\limsup_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{G\cap B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy &\le\limsup_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{G\cap B(x,\delta)}g_q(y)+\epsilon\,dy\\ &=\epsilon+g_q(x) \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang,

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{G\cap B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy=0\),

sebagaimana diperlukan. ∎

(b) Karena \(G\) terbuka,

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy =\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{G\cap B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy =0\)

untuk hampir setiap \(x\in G\). Karena \(n\) sebarang,

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy=0\)

untuk hampir setiap \(x\in\BbbR^r\).

Catatan Himpunan

\(\{x:x\in\dom f,\, \lim_{\delta\downarrow 0}\Bover1{\mu B(x,\delta)} \int_{B(x,\delta)}|f(y)-f(x)|dy=0\}\)

kadang-kadang disebut himpunan Lebesgue dari \(f\).

261F

Akibat lain yang sangat berguna dari 261B adalah sebagai berikut.

Proposisi Misalkan \(A\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan, dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat suatu barisan \(\sequencen{B_n}\) bola tertutup dalam \(\BbbR^r\), semuanya berjari-jari paling besar \(\epsilon\), sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}B_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu B_n\le\mu^*A+\epsilon\). Selain itu, kita dapat mengandaikan bahwa bola-bola dalam barisan yang pusatnya tidak terletak dalam \(A\) memiliki jumlah ukuran paling besar \(\epsilon\).

Bukti

(a) Langkah pertama adalah pengamatan yang jelas bahwa jika \(x\in\BbbR^r\), \(\delta>0\), maka kubus setengah terbuka \(I=\coint{x,x+\delta\tbf{1}}\) merupakan subhimpunan bola \(B(x,\delta\sqrt{r})\), yang berukuran \(\gamma_r\delta^r=\gamma_r\mu I\), dengan \(\gamma_r=\beta_rr^{r/2}\). Akibatnya, jika \(G\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan terbuka, maka \(G\) dapat diliput oleh suatu barisan bola dengan jumlah ukuran paling besar \(\gamma_r\mu G\). Bukti. Jika \(G\) kosong, kita dapat mengambil semua bola sebagai himpunan satu titik. Jika tidak, untuk setiap \(k\in\Bbb N\), tetapkan

\(Q_k =\{z:z\in \Bbb Z^r,\,\coint{2^{-k}z,2^{-k}(z+\tbf{1})}\subseteq G\}\),

\(E_k =\bigcup_{z\in Q_k}\coint{2^{-k}z,2^{-k}(z+\tbf{1})}\).

Maka \(\sequence{k}{E_k}\) merupakan barisan himpunan yang tak menurun dengan gabungan \(G\), dan \(E_0\) serta setiap selisih \(E_{k+1}\setminus E_k\) dapat dinyatakan sebagai gabungan yang saling lepas dari kubus-kubus setengah terbuka. Dengan demikian, \(G\) juga dapat dinyatakan sebagai gabungan yang saling lepas dari suatu barisan \(\sequencen{I_n}\) kubus setengah terbuka. Setiap \(I_n\) diliput oleh suatu bola \(B_n\) yang berukuran \(\gamma_r\mu I_n\); sehingga \(G\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}B_n\) dan

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu B_n \le\gamma_r\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n=\gamma_r\mu G\). ∎

(b) Langsung diperoleh bahwa jika \(\mu A=0\), maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat suatu barisan \(\sequencen{B_n}\) bola yang meliput \(A\) dengan jumlah ukuran paling besar \(\epsilon\), karena tentu saja terdapat suatu himpunan terbuka yang memuat \(A\) dan berukuran paling besar \(\epsilon/\gamma_r\).

(c) Sekarang ambil sebarang himpunan \(A\), dan \(\epsilon>0\). Ambil suatu himpunan terbuka \(G\supseteq A\) dengan \(\mu G\le\mu^*A+\bover12\epsilon\). Misalkan \(\Cal I\) adalah keluarga bola tertutup nontrivial yang termuat dalam \(G\), berjari-jari paling besar \(\epsilon\) dan berpusat dalam \(A\). Maka setiap titik dalam \(A\) termasuk dalam anggota \(\Cal I\) yang berdiameter sekecil apa pun, sehingga terdapat suatu \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) yang terhitung dan saling lepas sedemikian sehingga \(\mu(A\setminus\bigcup\Cal I_0)=0\). Misalkan \(\sequencen{B'_n}\) suatu barisan bola yang meliput \(A\setminus\bigcup\Cal I_0\) dengan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu B'_n\le\min(\bover12\epsilon,\beta_r\epsilon^r)\); semuanya tentu berjari-jari paling besar \(\epsilon\). Misalkan \(\sequencen{B_n}\) suatu barisan yang menggabungkan \(\Cal I_0\) dengan \(\sequencen{B'_n}\); maka \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}B_n\), setiap \(B_n\) berjari-jari paling besar \(\epsilon\) dan

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu B_n =\sum_{B\in\Cal I_0}\mu B+\sum_{n=0}^{\infty}\mu B'_n \le\mu G+\Bover12\epsilon \le\mu^*A+\epsilon\),

sedangkan \(B_n\) yang pusatnya tidak terletak dalam \(A\) harus berasal dari barisan \(\sequencen{B'_n}\), sehingga jumlah ukurannya paling besar \(\bover12\epsilon\le\epsilon\).

Catatan Sebenarnya kita dapat (jika \(A\) tidak kosong) mengatur agar pusat setiap \(B_n\) termasuk dalam \(A\). Ini merupakan akibat mudah dari Lema Peliputan Besicovitch (lihat §472 dalam Jilid 4).

Latihan

261X Latihan dasar (a)

Tunjukkan bahwa 261C berlaku untuk sebarang fungsi bernilai real \(f\) yang terintegralkan secara lokal; khususnya, untuk sebarang \(f\in\eusm L^p(\mu_D)\) dan sebarang \(p\ge 1\), dengan \(\mu_D\) menyatakan ukuran subruang pada \(D\).

261Xb (b)

Tunjukkan bahwa 261C, 261Dc, 261Dd dan 261E berlaku untuk fungsi bernilai kompleks \(f\).

261Xc (c) penting

Ambil tiga cakram pada bidang, masing-masing bersinggungan dengan dua cakram lainnya, sehingga ketiganya mengurung suatu daerah terbuka \(R\) dengan tiga titik lancip. Dalam \(R\), misalkan \(D\) suatu cakram yang menyinggung masing-masing dari ketiga cakram semula, dan misalkan \(R_0\), \(R_1\), \(R_2\) ketiga komponen \(R\setminus D\). Dalam setiap \(R_j\), misalkan \(D_j\) suatu cakram yang menyinggung setiap cakram yang membatasi \(R_j\), dan misalkan \(R_{j0}\), \(R_{j1}\), \(R_{j2}\) ketiga komponen \(R_j\setminus D_j\). Lanjutkan proses ini sehingga diperoleh 27 daerah pada langkah berikutnya, 81 daerah pada langkah sesudahnya, dan seterusnya.

Tunjukkan bahwa luas total daerah-daerah sisa konvergen ke nol ketika proses ini diteruskan tanpa batas. Petunjuk: bandingkan dengan proses dalam pembuktian 261B.

261Y Latihan lanjutan (a)

Rumuskan suatu definisi abstrak untuk ‘peliput Vitali’, yang berarti suatu keluarga himpunan yang memenuhi kesimpulan 261B dalam suatu pengertian, serta generalisasi 261C-261E yang bersesuaian dan mencakup (setidaknya) (b)-(d) di bawah ini.

261Yb (b)

Untuk \(x\in\BbbR^r\), \(k\in\Bbb N\), misalkan \(C(x,k)\) adalah kubus setengah terbuka berbentuk \(\coint{2^{-k}z,2^{-k}(z+\tbf{1})}\), dengan \(z\in \Bbb Z^r\), yang memuat \(x\). Tunjukkan bahwa jika \(f\) suatu fungsi yang terintegralkan pada \(\BbbR^r\), maka

\(\lim_{k\to\infty}2^{kr}\int_{C(x,k)}f=f(x)\)

untuk hampir setiap \(x\in\BbbR^r\).

261Yc (c)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa

\(\lim_{\delta\downarrow 0}\Bover{1}{\delta^r}\int_{\coint{x,x+\delta\tbf{1}}}f=f(x)\)

untuk hampir setiap \(x\in\BbbR^r\).

261Yd (d)

Bekali \(X=\{0,1\}^{\Bbb N}\) dengan ukuran lazim \(\nu\) (254J). Untuk \(x\in X\), \(k\in\Bbb N\), tetapkan \(C(x,k)=\{y:y\in X,\,y(i)=x(i)\) untuk \(i<k\}\). Tunjukkan bahwa jika \(f\) sebarang fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\), maka \(\lim_{k\to\infty}2^k\int_{C(x,k)}fd\nu=f(x)\) dan \(\lim_{k\to\infty}2^k\int_{C(x,k)}|f(y)-f(x)|\nu(dy)=0\) untuk hampir setiap \(x\in X\).

261Ye (e)

Misalkan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(\BbbR^r\), dan \(x\) suatu titik dalam himpunan Lebesgue dari \(f\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(|f(x)-\int f(x-y)g(\|y\|)dy|\le\epsilon\)

setiap kali \(g:\coint{0,\infty}\to\coint{0,\infty}\) suatu fungsi tak menaik sedemikian sehingga \(\int_{\Bbb R^r}g(\|y\|)dy=1\) dan \(\int_{B(\tbf{0},\delta)}g(\|y\|)dy\ge 1-\delta\). Petunjuk: 223Yg.

261Yf (f)

Misalkan \(\frak T\) keluarga himpunan terukur \(G\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga

\(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu(G\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}=1\)

untuk setiap \(x\in G\). Tunjukkan bahwa \(\frak T\) merupakan suatu topologi pada \(\BbbR^r\), yaitu topologi kerapatan dari \(\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa suatu fungsi \(f:\BbbR^r\to\Bbb R\) terukur jika dan hanya jika fungsi itu kontinu dalam topologi \(\frak T\) pada hampir setiap titik dalam \(\Bbb R^r\).

261Yg (g)

Suatu himpunan \(A\subseteq\BbbR^r\) dikatakan berpori di \(x\in\BbbR^r\) jika \(\limsup_{y\to x}\Bover{\rho(y,A)}{\|y-x\|}>0\), dengan \(\rho(y,A)=\inf_{z\in A}\|y-z\|\) (atau \(\infty\) jika \(A\) kosong). (i) Tunjukkan bahwa jika \(A\) berpori pada semua titiknya, maka himpunan itu terabaikan. (ii) Tunjukkan bahwa dalam konstruksi 261B, himpunan sisa \(A\setminus\bigcup\Cal I_0\) berpori pada semua titiknya.

261Yh (h)

Misalkan \(A\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terbatas dan \(\Cal I\) suatu keluarga tak kosong dari bola tertutup nontrivial yang meliput \(A\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat bola-bola yang saling lepas \(B_0,\ldots,B_n\in\Cal I\) sedemikian sehingga \(\mu^*A\le(3+\epsilon)^r\sum_{k=0}^n\mu B_k\).

261Yi (i)

Misalkan \((X,\rho)\) suatu ruang metrik, \(A\subseteq X\) sebarang himpunan, dan \(x\mapsto\delta_x:A\to\coint{0,\infty}\) sebarang fungsi terbatas. Tunjukkan bahwa jika \(\gamma>3\), maka terdapat \(A'\subseteq A\) sedemikian sehingga (i) \(\rho(x,y)>\delta_x+\delta_y\) untuk semua \(x\), \(y\in A'\) yang berbeda; (ii) \(\bigcup_{x\in A}B(x,\delta_x) \subseteq\bigcup_{x\in A'}B(x,\gamma\delta_x)\), dengan \(B(x,\alpha)\) menyatakan bola tertutup \(\{y:\rho(y,x)\le\alpha\}\).

261Yj (j)

(i) Misalkan \(\Cal C\) keluarga himpunan terukur \(C\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga

\(\limsup_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu(C\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}>0\)

untuk setiap \(x\in C\). Tunjukkan bahwa \(\bigcup\Cal C_0\in\Cal C\) untuk setiap \(\Cal C_0\subseteq\Cal C\). Petunjuk: 215B(iv). (ii) Tunjukkan bahwa setiap gabungan bola tertutup nontrivial dalam \(\BbbR^r\) terukur Lebesgue. (Bandingkan 415Ye dalam Jilid 4.)

261Yk (k)

Andaikan bahwa \(A\subseteq\BbbR^r\) dan bahwa \(\Cal I\) merupakan suatu keluarga subhimpunan tertutup dari \(\BbbR^r\) sedemikian sehingga

untuk setiap \(x\in A\) terdapat \(\eta>0\) sedemikian sehingga untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(I\in\Cal I\) sedemikian sehingga \(x\in I\) dan \(0<\eta(\diam I)^r\le\mu I\le\epsilon\).

Tunjukkan bahwa terdapat suatu himpunan terhitung yang saling lepas \(\Cal I_0\subseteq\Cal I\) sedemikian sehingga \(A\setminus\bigcup\Cal I_0\) terabaikan.

261Yl (l)

Misalkan \(\frak T'\) keluarga himpunan terukur \(G\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga setiap kali \(x\in G\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\mu(G\cap I)\ge(1-\epsilon)\mu I\) setiap kali \(I\) suatu interval yang memuat \(x\) dan termuat dalam \(B(x,\delta)\). Tunjukkan bahwa \(\frak T'\) merupakan suatu topologi pada \(\BbbR^r\) yang berada di antara topologi kerapatan (261Yf) dan topologi Euklides.

Catatan dan komentar

261 Catatan penutup untuk Bagian 261

Dalam pembuktian 261B-261E di atas, saya telah berusaha sebaik mungkin untuk mengikuti alur kasus satu dimensi; bagian ini merupakan serangkaian generalisasi dari pekerjaan dalam §§221 dan 223.

Jelas bahwa gagasan 261A/261B dapat digunakan pada bentuk selain bola. Agar gagasan itu bekerja dalam bentuk di atas, kita memerlukan suatu keluarga \(\Cal I\) sedemikian sehingga terdapat konstanta \(K\) yang memenuhi

\(\mu I'\le K\mu I\)

untuk setiap \(I\in \Cal I\), dengan kita menuliskan

\(I'=\{x:\inf_{y\in I}\|x-y\|\le\diam(I)\}\).

Jelas bahwa hal ini berlaku bagi banyak kelas \(\Cal I\) yang ditentukan oleh bentuk himpunan-himpunan yang terlibat; misalnya, jika \(E\subseteq\BbbR^r\) sebarang himpunan terbatas dengan ukuran positif, keluarga \(\Cal I=\{x+\delta E:x\in\BbbR^r,\,\delta>0\}\) memenuhi syarat itu.

Dalam 261Ya saya menantang Anda untuk menemukan generalisasi yang sesuai bagi argumen-argumen yang bergantung pada kesimpulan 261B.

Cara lain menggunakan 261B adalah mengatakan bahwa karena himpunan secara esensial dapat diliput oleh barisan bola yang saling lepas, seharusnya bola, bukan interval setengah terbuka, dapat digunakan dalam definisi ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Hal ini memang benar (261F). Kesulitan menggunakan bola dalam definisi dasar muncul tepat pada permulaan, ketika membuktikan bahwa jika suatu bola diliput oleh berhingga banyak bola, maka jumlah volume bola-bola peliput itu setidaknya sebesar volume bola yang diliput. (Ada suatu siasat, dengan menggunakan kekompakan bola tertutup dan keterbukaan bola terbuka, untuk memperluas pembuktian demikian ke peliput tak hingga.) Tentu saja Anda dapat menganggap fakta ini ‘elementer’, atas dasar bahwa Archimedes tentu akan menyadari seandainya fakta itu tidak benar, tetapi bagaimanapun fakta itu akan cukup menantang untuk dibuktikan, kecuali Anda bersedia menunggu suatu versi teorema Fubini, sebagaimana dilakukan beberapa penulis.

Saya memberikan hasil-hasil dalam 261C-261D untuk subhimpunan sebarang \(D\) dari \(\Bbb R^r\), bukan karena saya membayangkan penerapan yang menjadikan subhimpunan tak terukur penting, melainkan karena saya ingin memungkinkan kita memperhatikan kapan keterukuran berperan. Tentu saja integral \(\int_Dfd\mu\) perlu ditafsirkan dengan cara yang ditetapkan dalam §214. Rahasia argumennya terungkap dalam bagian (c) pembuktian 261C, tempat saya mengandalkan fakta bahwa jika \(f\) terintegralkan pada \(D\), maka terdapat suatu fungsi terintegralkan \(\tilde f:\BbbR^r\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int_F\tilde f=\int_{D\cap F}f\) untuk setiap himpunan terukur \(F\subseteq\BbbR^r\). Pada hakikatnya, untuk semua persoalan yang dibahas di sini, kita dapat mengganti \(f\), \(D\) dengan \(\tilde f\), \(\BbbR^r\).

Gagasan 261C ialah bahwa, untuk hampir setiap \(x\), \(f(x)\) didekati oleh nilai rata-ratanya pada bola kecil \(B(x,\delta)\), dengan mengabaikan nilai-nilai yang hilang pada \(B(x,\delta)\setminus(D\cap\dom f)\); 261E merupakan versi lebih tajam dari gagasan yang sama. Rumus-rumus 261C-261E terutama memuat ungkapan \(\mu B(x,\delta)\). Tentu saja ini hanyalah \(\beta_r\delta^r\). Namun, menurut saya membiarkannya tanpa dikembangkan justru lebih memperjelas, sekaligus menghindari indeks bawah dan atas, karena dengan demikian lebih jelas apa pokok sesungguhnya dari teorema-teorema kerapatan ini. Dalam §472 dari Jilid 4 saya akan kembali ke materi ini dan menunjukkan bahwa sebagian besar gagasannya, dalam kadar yang mengejutkan, dapat diterapkan pada sebarang ukuran Radon pada \(\BbbR^r\), walaupun teorema Vitali (dalam bentuk yang dinyatakan di sini) tidak lagi berlaku.