Barisan selisih martingal — Fondasi Teori Ukuran

Berdampingan dengan konsep ‘martingal’ terdapat konsep ‘barisan selisih martingal’ (276A), suatu perumuman langsung dari gagasan ‘barisan bebas’. Dalam bagian ini saya mengumpulkan hasil-hasil yang dapat dinyatakan secara alami dengan barisan selisih, termasuk satu lagi hukum kuat bilangan besar (276C). Saya mengakhiri bagian ini dengan bukti teorema Komlós (276H).

276A Barisan selisih martingal (a)

Jika \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal yang disesuaikan dengan suatu barisan \(\sequencen{\Sigma_n}\) aljabar-sigma, maka

\(\int_EX_{n+1}-X_n=0\)

kapan pun \(E\in\Sigma_n\). Kita katakan bahwa jika \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dengan pelengkapan \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\), dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) adalah barisan tak menurun subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\), maka suatu barisan selisih martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\) adalah barisan \(\sequencen{X_n}\) variabel acak bernilai real pada \(\Omega\), semuanya berekspektasi hingga, sedemikian sehingga (i) \(\dom X_n\in\Sigma_n\) dan \(X_n\) terukur terhadap \(\Sigma_n\), untuk setiap \(n\in\Bbb N\) (ii) \(\int_EX_{n+1}=0\) kapan pun \(n\in\Bbb N\) dan \(E\in\Sigma_n\).

276Ab (b)

Jelas bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\) jika dan hanya jika \(\sequencen{\sum_{i=0}^nX_i}\) adalah martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\).

276Ac (c)

Seperti pada 275Cd, kita dapat mengatakan bahwa suatu barisan \(\sequencen{X_n}\) dengan sendirinya merupakan barisan selisih martingal jika \(\sequencen{\sum_{i=0}^nX_i}\) adalah martingal, yaitu jika \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\tilde\Sigma_n}\), dengan \(\tilde\Sigma_n\) aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh \(\bigcup_{i\le n}\Sigma_{X_i}\).

276Ad (d)

Jika \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal, maka \(\sequencen{a_nX_n}\) adalah barisan selisih martingal untuk sebarang bilangan real \(a_n\).

276Ae (e)

Jika \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal dan \(X'_n\eae X_n\) untuk setiap \(n\), maka \(\sequencen{X'_n}\) adalah barisan selisih martingal. (Bandingkan 275Ce.)

276Af (f)

Tentu saja contoh terpenting dari ‘barisan selisih martingal’ adalah contoh dalam 275Bb: setiap barisan bebas variabel acak dengan ekspektasi nol merupakan barisan selisih martingal. Ternyata beberapa teorema dalam §273 mengenai barisan bebas semacam itu dapat diperumum ke barisan selisih martingal.

276B Proposisi

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(X_n^2)<\infty\). Maka \(\sum_{n=0}^{\infty}X_n\) terdefinisi dan berhingga hampir di mana-mana.

Bukti

(a) Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas yang mendasari, \((\Omega,\hat\Sigma,\hat\mu)\) pelengkapannya, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) suatu barisan tak menurun subaljabar-sigma dari \(\hat\Sigma\) sedemikian sehingga \(\sequencen{X_n}\) disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\). Tetapkan \(Y_n=\sum_{i=0}^nX_i\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka \(\sequencen{Y_n}\) adalah martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\).

(b) \(\Expn(Y_{n}\times X_{n+1})=0\) untuk setiap \(n\). Bukti. \(Y_n\) adalah jumlah variabel acak dengan varians hingga, sehingga \(\Expn(Y_n^2)<\infty\), menurut 244Ba; akibatnya \(Y_n\times X_{n+1}\) berekspektasi hingga, menurut 244Eb. Karena fungsi konstan \(\pmb{0}\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(X_{n+1}\) pada \(\Sigma_n\),

\(\Expn(Y_n\times X_{n+1})=\Expn(Y_n\times\pmb{0})=0\),

menurut 242L. ∎

(c) Akibatnya \(\Expn(Y_n^2)=\sum_{i=0}^n\Expn(X_i^2)\) untuk setiap \(n\). Bukti. Lakukan induksi pada \(n\). Untuk langkah induksi, kita mempunyai

\(\Expn(Y_{n+1}^2)=\Expn(Y_n^2+2Y_n\times X_{n+1}+X_{n+1}^2) =\Expn(Y_n^2)+\Expn(X_{n+1}^2)\)

karena, menurut (b), \(\Expn(Y_n\times X_{n+1})=0\). ∎

(d) Tentu saja

\(\Expn(|Y_n|) =\int|Y_n|\times\chi\Omega\le\|Y_n\|_2\|\chi\Omega\|_2 =\sqrt{\Expn(Y_n^2)}\),

sehingga

\(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|Y_n|) \le\sup_{n\in\Bbb N}\sqrt{\Expn(Y_n^2)} =\sqrt{\sumop_{i=0}^{\infty}\Expn(X_i^2)}<\infty\).

Menurut 275G, \(\lim_{n\to\infty}Y_n\) terdefinisi dan berhingga hampir di mana-mana, yaitu \(\sum_{i=0}^{\infty}X_i\) terdefinisi dan berhingga hampir di mana-mana.

276C Hukum kuat bilangan besar: bentuk keempat

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal, dan andaikan bahwa \(\sequencen{b_n}\) adalah barisan tak menurun dalam \(\ooint{0,\infty}\) yang divergen ke \(\infty\), sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{b_n^2}\Var(X_n)<\infty\). Maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{b_n} \sum_{i=0}^n X_i=0\)

hampir di mana-mana.

276D Akibat

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal sedemikian sehingga \(b_n=\Expn(X_n^2)\) berhingga untuk setiap \(n\).

(a) Jika \(\sup_{n\in\Bbb N}b_n\) tak berhingga, maka \(\lim_{n\to\infty}\bover1{b_n}X_n=0\) hampir di mana-mana.

(b) Jika \(\sup_{n\ge 1}\bover1nb_n<\infty\), maka \(\lim_{n\to\infty}\bover1nX_n=0\) hampir di mana-mana.

Bukti

Pertimbangkan barisan selisih martingal \(\sequencen{Y_n}=\sequencen{X_{n+1}-X_n}\). Maka \(\Expn(Y_n\times X_n)=0\), sehingga \(\Expn(Y_n^2)+\Expn(X_{n}^2)=\Expn(X_{n+1}^2)\) untuk setiap \(n\). Khususnya, \(\sequencen{b_n}\) harus tak menurun.

(a) Jika \(\lim_{n\to\infty}b_n=\infty\), ambil \(m\) sedemikian sehingga \(b_m>0\); maka

\(\sum_{n=m}^{\infty}\Bover1{b_{n+1}^2}\Var(Y_n) =\sum_{n=m}^{\infty}\Bover1{b_{n+1}^2}(b_{n+1}-b_n) \le\int_{b_m}^{\infty}\Bover1{t^2}dt<\infty\).

Menurut 276C (dengan mengubah \(b_i\) untuk \(i<m\) jika perlu),

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{b_n}X_n =\lim_{n\to\infty}\Bover1{b_{n+1}}(X_0+\sum_{i=0}^nY_i) =\lim_{n\to\infty}\Bover1{b_{n+1}}\sum_{i=0}^nY_i=0\)

hampir di mana-mana.

(b) Jika \(\gamma=\sup_{n\ge 1}\bover1nb_n<\infty\), maka \(\bover1{(n+1)^2}\le\min(1,\gamma^2/t^2)\) untuk \(b_n<t\le b_{n+1}\), sehingga

\(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}(b_{n+1}-b_n) \le \gamma+\gamma^2\int_{\gamma}^{\infty}\Bover1{t^2}dt<\infty\),

dan, dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, \(\lim_{n\to\infty}\bover1nX_n=0\) hampir di mana-mana.

276E ‘Ketidakmungkinan sistem’

(a) Saya kembali ke kata ‘martingal’ dan gagasan sistem perjudian. Pertimbangkan seorang penjudi yang mengambil serangkaian taruhan ‘adil’, yaitu taruhan dengan ekspektasi hasil nol, tetapi memilih taruhan mana yang akan diambil berdasarkan pengalaman sebelumnya. Model yang sesuai untuk barisan kejadian acak semacam itu adalah martingal dalam pengertian 275A, dengan \(\Sigma_n\) sebagai aljabar semua kejadian yang dapat diamati sampai dengan hasil taruhan ke-\(n\), dan \(X_n\) sebagai keuntungan bersih penjudi pada saat itu. (Dalam model ini wajar untuk mengambil \(\Sigma_0=\{\emptyset,\Omega\}\) dan \(X_0=\tbf{0}\).) Paradoks tertentu dapat muncul jika kita mencoba membayangkan model ini dengan \(\Sigma_n\) tanpa atom; sebagai permulaan mungkin lebih mudah bekerja dengan kasus diskret, di mana setiap \(\Sigma_n\) berhingga, atau merupakan himpunan gabungan dari suatu keluarga kejadian atomik terhitung. Sekarang andaikan taruhan yang bersangkutan hanyalah taruhan dua-arah, dengan dua hasil yang sama mungkin, tetapi penjudi memilih besar taruhannya setiap kali. Dalam kasus ini kita dapat memandang hasil-hasil tersebut sebagai bersesuaian dengan barisan bebas \(\sequencen{W_n}\) variabel acak, yang masing-masing mengambil nilai \(\pm 1\) dengan probabilitas sama. Sistem penjudi itu harus berbentuk

\(X_{n+1}=X_n + Z_{n+1}\times W_{n+1}\),

dengan \(Z_{n+1}\) besar taruhannya pada taruhan ke-\((n+1)\), dan harus konstan pada setiap atom aljabar-sigma \(\Sigma_n\) yang dibangkitkan oleh \(W_1,\ldots,W_n\). Intinya, karena \(\int_EW_{n+1}=0\) untuk setiap \(E\in\Sigma_n\), \(\Expn(Z_{n+1}\times W_{n+1})=0\), sehingga \(\Expn(X_{n+1})=\Expn(X_n)\).

276Eb

(b) Hasil umum yang memuat ini sebagai kasus khusus adalah sebagai berikut. Jika \(\sequencen{W_n}\) adalah barisan selisih martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\), dan \(\langle{Z_n}\rangle_{n\ge 1}\) adalah barisan variabel acak sedemikian sehingga (i) \(Z_n\) terukur terhadap \(\Sigma_{n-1}\) (ii) \(Z_n\times W_{n}\) berekspektasi hingga untuk setiap \(n\ge 1\), maka \(W_0,Z_1\times W_1,Z_2\times W_2,\ldots\) adalah barisan selisih martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\); bukti bahwa \(\int_EZ_{n+1}\times W_{n+1}=0\) untuk setiap \(E\in\Sigma_n\) persis merupakan argumen dalam bagian (b) bukti 276B.

276Ec (c)

Saya tadi mengajak Anda membatasi gagasan Anda sejenak pada kasus diskret; tetapi jika Anda merasa memahami apa artinya mengatakan bahwa suatu ‘sistem’ atau barisan terprediksi \(\langle{Z_n}\rangle_{n\ge 1}\) harus disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\), dalam arti bahwa setiap \(Z_n\) terukur terhadap \(\Sigma_{n-1}\), maka kesulitan selanjutnya terletak pada teori ukuran yang diperlukan untuk menunjukkan bahwa integral \(\int_EZ_{n+1}\times W_{n+1}\) bernilai nol, dan itulah pokok buku ini.

276Ed (d)

Pertimbangkan sistem perjudian yang disebutkan dalam 275Cf. Di sini gagasannya adalah \(W_n=\pm 1\), seperti pada (a), dan \(Z_{n+1}=2^na\) jika \(X_n\le 0\), serta \(0\) jika \(X_n>0\); yaitu, penjudi menggandakan besar taruhannya setiap kali sampai ia menang, lalu berhenti. Tentu saja ia hampir pasti akhirnya menang, sehingga \(\lim_{n\to\infty}X_n=a\) hampir di mana-mana, meskipun \(\Expn(X_n)=0\) untuk setiap \(n\). Kita dapat menghitung distribusi \(X_n\): untuk \(n\ge 1\) kita mempunyai \(\Pr(X_n=a)=1-2^{-n}\), \(\Pr(X_n=-(2^n-1)a)=2^{-n}\). Jadi \(\Expn(|X_n|)=(2-2^{-n+1})a\) dan konvergensi hampir di mana-mana dari \(X_n\) merupakan contoh Teorema Konvergensi Martingal Doob.

Dalam bahasa waktu henti (275N), \(X_n=\tilde Y_{\tau\wedge n}\), dengan \(Y_n=\sum_{k=0}^n2^kaW_k\) dan \(\tau=\min\{n:Y_n>0\}\).

276F

Sekarang saya beralih ke teorema Komlós. Langkah pertama adalah penyempurnaan kecil dari 276C.

Lemma Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{\Sigma_n}\) suatu barisan tak menurun subaljabar-sigma dari \(\Sigma\). Andaikan bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak pada \(\Omega\) sedemikian sehingga (i) \(X_n\) terukur terhadap \(\Sigma_n\) untuk setiap \(n\) (ii) \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\Expn(X_n^2)\) berhingga (iii) \(\lim_{n\to\infty}X'_n=0\) hampir di mana-mana, dengan \(X_n'\) suatu ekspektasi bersyarat dari \(X_n\) pada \(\Sigma_{n-1}\) untuk setiap \(n\ge 1\). Maka \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{k=0}^nX_k=0\) hampir di mana-mana.

Bukti

Dengan melakukan penyesuaian yang sesuai pada suatu himpunan terabaikan jika perlu, kita dapat mengandaikan bahwa \(X'_n\) terukur terhadap \(\Sigma_{n-1}\) untuk \(n\ge 1\) dan bahwa setiap \(X_n\) dan \(X'_n\) terdefinisi pada seluruh \(\Omega\). Tetapkan \(X'_0=X_0\) dan \(Y_n=X_n-X'_n\) untuk \(n\in\Bbb N\). Maka \(\sequencen{Y_n}\) adalah barisan selisih martingal yang disesuaikan dengan \(\sequencen{\Sigma_n}\). Selain itu, \(\Expn(Y_n^2)\le\Expn(X_n^2)\) untuk setiap \(n\). Bukti. Jika \(n\ge 1\), \(X'_n\) terintegralkan-kuadrat (244M), dan \(\Expn(Y_n\times X'_n)=0\), seperti dalam bagian (b) bukti 276B. Sekarang

\(\Expn(X_n^2) =\Expn((Y_n+X'_n)^2) =\Expn(Y_n^2)+2\Expn(Y_n\times X'_n)+\Expn(X'_n)^2 \ge\Expn(Y_n^2)\). ∎

Ini berarti bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\Expn(Y_n^2)\) harus berhingga. Menurut 276C, \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nY_i=0\) hampir di mana-mana. Tetapi menurut 273Ca kita juga mempunyai \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX'_i=0\) kapan pun \(\lim_{n\to\infty}X'_n=0\), yang berlaku hampir di mana-mana. Jadi \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i=0\) hampir di mana-mana.

276G Lemma

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah ruang probabilitas, dan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|)\) berhingga. Untuk \(k\in\Bbb N\) dan \(x\in\Bbb R\), tetapkan \(F_k(x)=x\) jika \(|x|\le k\), dan \(0\) jika tidak. Misalkan \(\Cal F\) suatu ultrafilter pada \(\Bbb N\).

(a) Untuk setiap \(k\in\Bbb N\) terdapat fungsi terukur \(Y_k:\Omega\to[-k,k]\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\Cal F}\int_EF_k(X_n)=\int_EY_k\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

(b) \(\lim_{n\to\Cal F}\Expn((F_k(X_n)-Y_k)^2) \le\lim_{n\to\Cal F}\Expn(F_k(X_n)^2)\) untuk setiap \(k\).

Bukti

(a) Untuk setiap \(k\), \(|F_k(X_n)|\leae k\chi\Omega\) bagi setiap \(n\), sehingga \(\{F_k(X_n):n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam, dan \(\{F_k(X_n)^{\ssbullet}:n\in\Bbb N\}\) relatif kompak lemah dalam \(L^1=L^1(\mu)\) (247C). Karena itu \(v_k=\lim_{n\to\Cal F}F_k(X_n)^{\ssbullet}\) terdefinisi dalam \(L^1\) untuk topologi lemah (2A3Se); ambil \(Y_k:\Omega\to\Bbb R\) sebagai fungsi terukur sedemikian sehingga \(Y_k^{\ssbullet}=v_k\). Untuk sebarang \(E\in\Sigma\),

\(\int_EY_k =\int v_k\times(\chi E)^{\ssbullet} =\lim_{n\to\Cal F}\int_EF_k(X_n)\).

Khususnya,

\(|\int_EY_k|\le\sup_{n\in\Bbb N}|\int_EF_k(X_n)|\le k\mu E\)

untuk setiap \(E\), sehingga \(\{\omega:Y_k(\omega)>k\}\) dan \(\{\omega:Y_k(\omega)<-k\}\) keduanya terabaikan; dengan mengubah \(Y_k\) pada suatu himpunan terabaikan jika perlu, kita dapat mengandaikan bahwa \(|Y_k(\omega)|\le k\) untuk setiap \(\omega\in\Omega\).

(b) Karena \(Y_k\) terbatas, \(Y_k^{\ssbullet}\in L^{\infty}(\mu)\), dan

\(\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)\times Y_k =\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^{\ssbullet}\times Y_k^{\ssbullet} =\int Y_k^{\ssbullet}\times Y_k^{\ssbullet} =\int Y_k^2\).

Karena itu

\[\begin{aligned}\lim_{n\to\Cal F}\int(F_k(X_n)-Y_k)^2 &=\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^2 -2\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)\times Y_k +\int Y_k^2\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^2-\int Y_k^2 \le\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^2.\\\end{aligned}\]

(c) Tetapkan \(W_0=Y_0=\tbf{0}\), dan \(W_k=Y_k-Y_{k-1}\) untuk \(k\ge 1\). Maka \(\Expn(|W_k|)\le\lim_{n\to\Cal F}\Expn(|F_k(X_n)-F_{k-1}(X_n)|)\) untuk setiap \(k\ge 1\). Bukti. Tetapkan \(E=\{\omega:W_k(\omega)\ge 0\}\). Maka

\[\begin{aligned}\int_EW_k &=\int_EY_k-\int_EY_{k-1}\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\int_EF_k(X_n)-\lim_{n\to\Cal F}\int_EF_{k-1}(X_n)\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\int_EF_k(X_n)-F_{k-1}(X_n) \le\lim_{n\to\Cal F}\int_E|F_k(X_n)-F_{k-1}(X_n)|.\\\end{aligned}\]

Demikian pula,

\(|\int_{\Omega\setminus E}W_k| \le\lim_{n\to\Cal F}\int_{\Omega\setminus E}|F_k(X_n)-F_{k-1}(X_n)|\).

Jadi

\(\Expn(|W_k|) =\int_EW_k-\int_{\Omega\setminus E}W_k \le\lim_{n\to\Cal F}\int|F_k(X_n)-F_{k-1}(X_n)|\). ∎

Akibatnya \(\sum_{k=0}^{\infty}\Expn(|W_k|)\) berhingga. Bukti. Untuk sebarang \(m\ge 1\),

\[\begin{aligned}\sum_{k=0}^m\Expn(|W_k|) &\le\sum_{k=1}^m\lim_{n\to\Cal F}\Expn(|F_k(X_n)-F_{k-1}(X_n)|)\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\Expn(\sum_{k=1}^m|F_k(X_n)-F_{k-1}(X_n)|)\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\Expn(|F_m(X_n)|) \le\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|).\\\end{aligned}\]

Jadi \(\sum_{k=0}^{\infty}\Expn(|W_k|)\le\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|)\) berhingga. ∎

Menurut teorema B. Levi (123A), \(\lim_{m\to\infty}\sum_{k=0}^m|W_k|\) berhingga hampir di mana-mana, sehingga

\(Y=\lim_{m\to\infty}Y_m=\sum_{k=0}^{\infty}W_k\)

terdefinisi hampir di mana-mana; dan selain itu

\(\Expn(|Y-Y_k|) \le\lim_{m\to\infty}\Expn(\sum_{j=k+1}^m|W_j|) \to 0\)

ketika \(k\to\infty\).

276H Teorema Komlós

(Komlós 67) Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) adalah sebarang ruang ukur, dan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan fungsi terintegralkan bernilai real pada \(\Omega\) sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\int|X_n|\) berhingga. Maka terdapat subbarisan \(\sequencen{X'_n}\) dari \(\sequencen{X_n}\) dan fungsi terintegralkan \(Y\) sedemikian sehingga \(Y\eae\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX''_i\) kapan pun \(\sequencen{X''_n}\) merupakan subbarisan dari \(\sequencen{X'_n}\).

Bukti

Karena baik hipotesis maupun kesimpulan tidak terpengaruh oleh perubahan \(X_n\) pada suatu himpunan terabaikan, kita dapat mengandaikan di seluruh pembahasan bahwa setiap \(X_n\) terukur dan terdefinisi pada seluruh \(\Omega\). Selain itu, sebagai permulaan (sampai akhir bagian (e) di bawah), andaikan bahwa \(\mu\Omega=1\). Seperti dalam 276G, tetapkan \(F_k(x)=x\) untuk \(|x|\le k\), dan \(0\) untuk \(|x|>k\).

(a) Misalkan \(\Cal F\) sebarang ultrafilter nonprinsipal pada \(\Bbb N\) (2A1O). Untuk \(j\in\Bbb N\), tetapkan \(p_j=\lim_{n\to\Cal F}\Pr(|X_n|>j)\). Maka \(\sum_{j=0}^{\infty}p_j\) berhingga. Bukti. Untuk sebarang \(k\in\Bbb N\),

\[\begin{aligned}\sum_{j=0}^kp_j &=\sum_{j=0}^k\lim_{n\to\Cal F}\Pr(|X_n|>j) =\lim_{n\to\Cal F}\sum_{j=0}^k\Pr(|X_n|>j)\\ &\le\lim_{n\to\Cal F}(1+\int|X_n|) \le 1+\sup_{n\in\Bbb N}\int|X_n|.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\sum_{j=0}^{\infty}p_j\le 1+\sup_{n\in\Bbb N}\int|X_n|\) berhingga. ∎

Dengan menetapkan

\(p'_j=p_j-p_{j+1}=\lim_{n\to\Cal F}\Pr(j<|X_n|\le j+1)\)

untuk setiap \(j\), kita mempunyai

\[\begin{aligned}\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)p'_j &=\lim_{m\to\infty} \bigl(\sum_{j=0}^m(j+1)p_j-\sum_{j=0}^m(j+1)p_{j+1}\bigr)\\ &=\lim_{m\to\infty}\sum_{j=0}^mp_j-(m+1)p_{m+1} \le\sum_{j=0}^{\infty}p_j <\infty.\\\end{aligned}\]

Selanjutnya,

\(\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^2 \le\sum_{j=0}^k(j+1)^2p'_j\)

untuk setiap \(k\). Bukti. Dengan menetapkan \(E_{jn}=\{\omega:j<|X_n(\omega)|\le j+1\}\) untuk \(j\), \(n\in\Bbb N\), kita mempunyai \(F_k(X_n)^2\le\sum_{j=0}^k(j+1)^2\chi E_{jn}\), sehingga

\(\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^2 \le\lim_{n\to\Cal F}\sum_{j=0}^k(j+1)^2\mu E_{jn} =\sum_{j=0}^k(j+1)^2p'_j\). ∎

(b) Definisikan \(\sequence{k}{Y_k}\) dan \(Y\eae\lim_{k\to\infty}Y_k\) dari \(\sequencen{X_n}\) dan \(\Cal F\) seperti dalam Lemma 276G. Maka

\(J_k =\{n:n\in\Bbb N,\,\int(F_k(X_n)-Y_k)^2\le 1+\sum_{j=0}^k(j+1)^2p'_j\}\)

termasuk dalam \(\Cal F\) untuk setiap \(k\in\Bbb N\). Bukti. Menurut (a) di atas dan 276Gb,

\(\lim_{n\to\Cal F}\int(F_k(X_n)-Y_k)^2 \le\lim_{n\to\Cal F}\int F_k(X_n)^2 \le\sum_{j=0}^k(j+1)^2p'_j\). ∎

Selain itu, tentu saja,

\(K_k=\{n:n\in\Bbb N,\,\Pr(F_j(X_n)\ne X_n)\le p_j+2^{-j}\) untuk setiap \(j\le k\}\)

termasuk dalam \(\Cal F\) untuk setiap \(k\).

(c) Untuk \(n\), \(k\in\Bbb N\), misalkan \(Z_{kn}\) suatu fungsi sederhana sedemikian sehingga \(|Z_{kn}|\le|F_k(X_n)-Y_k|\) dan \(\int|F_k(X_n)-Y_k-Z_{kn}|\le 2^{-k}\). Untuk \(m\in\Bbb N\), misalkan \(\Sigma_m\) aljabar himpunan bagian dari \(\Omega\) yang dibangkitkan oleh himpunan berbentuk \(\{\omega:Z_{kn}(\omega)=\alpha\}\) untuk \(k\), \(n\le m\) dan \(\alpha\in\Bbb R\). Karena setiap \(Z_{kn}\) hanya mengambil berhingga banyak nilai, \(\Sigma_m\) berhingga (dan oleh karena itu merupakan subaljabar-sigma dari \(\Sigma\)); dan tentu saja \(\Sigma_m\subseteq\Sigma_{m+1}\) untuk setiap \(m\).

Kita perlu menelaah ekspektasi bersyarat pada \(\Sigma_m\), dan karena \(\Sigma_m\) selalu berhingga, ekspektasi ini memiliki bentuk yang sangat langsung. Misalkan \(\Cal A_m\) himpunan ‘atom’, atau himpunan tak kosong minimal, dalam \(\Sigma_m\); yaitu, himpunan kelas ekuivalensi dalam \(\Omega\) di bawah relasi \(\omega\sim\omega'\) jika \(Z_{kn}(\omega)=Z_{kn}(\omega')\) untuk semua \(k\), \(n\le m\). Untuk sebarang variabel acak terintegralkan \(X\) pada \(\Omega\), definisikan \(\Expn_m(X)\) dengan menetapkan

\[\begin{aligned}\Expn_m(X)(\omega) &=\Bover1{\mu A}\int_AX\text{ jika }\omega\in A\in\Cal A_m \text{ dan }\mu A>0,\\ &=0\text{ jika }\omega\in A\in\Cal A_m\text{ dan }\mu A=0.\\\end{aligned}\]

Maka \(\Expn_m(X)\) adalah ekspektasi bersyarat dari \(X\) pada \(\Sigma_m\).

Sekarang

\[\begin{aligned}\lim_{n\to\Cal F}\int|\Expn_m(F_k(X_n)-Y_k)| &=\lim_{n\to\Cal F}\sum_{A\in\Cal A_m}\int_A|\Expn_m(F_k(X_n)-Y_k)|\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\sum_{A\in\Cal A_m}|\int_A\Expn_m(F_k(X_n)-Y_k)|\\ &\text{(karena }\Expn_m(F_k(X_n)-Y_k)\text{ konstan pada setiap }A\in\Cal A_m\text{)}\\ &=\lim_{n\to\Cal F}\sum_{A\in\Cal A_m}|\int_AF_k(X_n)-Y_k|\\ &=\sum_{A\in\Cal A_m}\lim_{n\to\Cal F}|\int_AF_k(X_n)-Y_k| =0\\\end{aligned}\]

menurut pemilihan \(Y_k\). Jadi jika kita menetapkan

\(I_m =\{n:n\in\Bbb N,\,\int|\Expn_m(F_k(X_n)-Y_k)|\le 2^{-k}\) untuk setiap \(k\le m\}\),

maka \(I_m\in\Cal F\) untuk setiap \(m\).

(d) Andaikan \(\sequencen{r(n)}\) adalah sebarang barisan naik ketat dalam \(\Bbb N\) sedemikian sehingga \(r(0)>0\), dan \(r(n)\in J_n\cap K_n\) untuk setiap \(n\), serta \(r(n)\in I_{r(n-1)}\) untuk \(n\ge 1\). Maka \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_{r(i)}\to Y\) hampir di mana-mana ketika \(n\to\infty\). Bukti. Nyatakan \(X_{r(n)}\) sebagai

\((X_{r(n)}-F_n(X_{r(n)})) +(F_n(X_{r(n)})-Y_n-Z_{n,r(n)})+Y_n+Z_{n,r(n)}\)

untuk setiap \(n\). Kita bahas komponen-komponen ini satu per satu:

(i)

\[\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}\Pr(X_{r(n)}\ne F_n(X_{r(n)})) &\le\sum_{n=0}^{\infty}p_n+2^{-n}\\ &\text{(karena }r(n)\in K_n\text{ untuk setiap }n\text{)}\\ &<\infty\\\end{aligned}\]

menurut (a). Tetapi ini berarti bahwa \(X_{r(n)}-F_n(X_{r(n)})\to 0\) hampir di mana-mana, sebab barisan tersebut akhirnya bernilai nol di hampir setiap titik, dan \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n(X_{r(i)}-F_i(X_{r(i)}))\to 0\) hampir di mana-mana, sekali lagi menurut 273Ca.

(ii) Menurut pemilihan \(Z_{n,r(n)}\),

\(\sum_{n=0}^{\infty}\int|F_n(X_{r(n)})-Y_n-Z_{n,r(n)}| \le\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}\)

berhingga, sehingga \(F_n(X_{r(n)})-Y_n-Z_{n,r(n)}\to 0\) hampir di mana-mana dan \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n(F_i(X_{r(i)})-Y_i-Z_{i,r(i)})\to 0\) hampir di mana-mana.

(iii) Menurut 276G, \(Y_n\to Y\) hampir di mana-mana dan \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nY_i\to Y\) hampir di mana-mana.

(iv) Kita mengetahui bahwa, untuk setiap \(n\ge 1\), \(r(n)\in I_{r(n-1)}\). Jadi (karena \(r(n-1)\ge n\)), \(\int|\Expn_{r(n-1)}(F_n(X_{r(n)})-Y_n)|\le 2^{-n}\). Tetapi juga

\(\int\bigl|\Expn_{r(n-1)} \bigl(F_n(X_{r(n)})-Y_n-Z_{n,r(n)}\bigr)\bigr| \le\int|F_n(X_{r(n)})-Y_n-Z_{n,r(n)}|\le 2^{-n}\)

menurut 244M dan pemilihan \(Z_{n,r(n)}\),

\[\begin{aligned}\int|\Expn_{r(n-1)}Z_{n,r(n)}| &=\int\bigl|\Expn_{r(n-1)}(F_n(X_{r(n)})-Y_n) -\Expn_{r(n-1)}(F_n(X_{r(n)})-Y_n-Z_{n,r(n)})\bigr|\\ &\le 2^{-n+1}\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(n\). Karena itu \(\Expn_{r(n-1)}Z_{n,r(n)}\to 0\) hampir di mana-mana.

Di sisi lain,

\[\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\int Z_{n,r(n)}^2 &\le\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2} \int(F_n(X_{r(n)})-Y_n)^2\\ &\le\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2} (1+\sum_{j=0}^n(j+1)^2p'_j)\\ &\text{(karena }r(n)\in J_n\text{)}\\ &\le\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2} +\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)^2p'_j \sum_{n=j}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\\ &\le\Bover{\pi^2}6 +2\sum_{j=0}^{\infty}(j+1)p'_j\\\end{aligned}\]

berhingga. (Di sini saya menggunakan taksiran

\(\sum_{n=j}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2} \le\sum_{n=j}^{\infty}\Bover2{n+1}-\Bover2{n+2}=\Bover2{j+1}\).)

Menurut 276F, yang diterapkan pada \(\sequencen{\Sigma_{r(n)}}\) dan \(\sequencen{Z_{n,r(n)}}\), \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nZ_{i,r(i)}\to 0\) hampir di mana-mana.

(v) Dengan menjumlahkan keempat komponen ini, kita melihat bahwa \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_{r(i)}\to Y\), sebagaimana diklaim. ∎

(e) Sekarang pilih sebarang barisan naik ketat \(\sequencen{s(n)}\) dalam \(\Bbb N\) sedemikian sehingga \(s(0)>0\), \(s(n)\in\bigcap_{m\le n}J_m\cap K_n\) untuk setiap \(n\), dan \(s(n)\in I_{s(n-1)}\) untuk \(n\ge 1\); barisan semacam itu ada karena \(J_m\cap K_m\cap I_{s(n-1)}\) termasuk dalam \(\Cal F\), sehingga tak berhingga, untuk setiap \(n\ge 1\) dan \(m\in\Bbb N\). Tetapkan \(X'_n=X_{s(n)}\) untuk setiap \(n\). Jika \(\sequencen{X''_n}\) adalah subbarisan dari \(\sequencen{X'_n}\), maka barisan itu berbentuk \(\sequencen{X_{s(r(n))}}\) untuk suatu barisan naik ketat \(\sequencen{r(n)}\). Dalam hal ini

\(s(r(0))\ge s(0)>0\),

\(s(r(n))\in J_{r(n)}\cap K_{r(n)}\subseteq J_n\cap K_n\) untuk setiap \(n\),

\(s(r(n))\in I_{s(r(n)-1)}\subseteq I_{s(r(n-1))}\) untuk setiap \(n\ge 1\).

Jadi (d) memberi tahu kita bahwa \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX''_i\to Y\) hampir di mana-mana.

(f) Dengan demikian teorema telah terbukti untuk kasus \((\Omega,\Sigma,\mu)\) ruang probabilitas. Sekarang andaikan \(\mu\) \(\sigma\)-hingga dan \(\mu\Omega>0\). Dalam hal ini terdapat fungsi terukur positif ketat \(f:\Omega\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int fd\mu=1\) (215B(ix)). Misalkan \(\nu\) ukuran integral tak tentu yang bersesuaian (234J), sehingga \(\nu\) adalah ukuran probabilitas pada \(\Omega\), dan \(\sequencen{\Bover1f\times X_n}\) suatu barisan fungsi terintegralkan terhadap \(\nu\) sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\int|\Bover1f\times X_n|d\nu\) berhingga (235K). Dari (a)–(e) kita melihat bahwa harus terdapat suatu fungsi yang terintegralkan terhadap \(\nu\), yaitu \(Y\), dan suatu subbarisan \(\sequencen{X'_n}\) dari \(\sequencen{X_n}\) sedemikian sehingga \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n\Bover1f\times X''_i\to Y\,\,\nu\)-hampir di mana-mana untuk setiap subbarisan \(\sequencen{X''_n}\) dari \(\sequencen{X'_n}\). Tetapi \(\mu\) dan \(\nu\) mempunyai himpunan terabaikan yang sama (234Lc), sehingga \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX''_i\to f\times Y\,\,\mu\)-hampir di mana-mana untuk setiap subbarisan \(\sequencen{X''_n}\) dari \(\sequencen{X'_n}\).

(g) Karena hasilnya trivial jika \(\mu\Omega=0\), teorema berlaku kapan pun \(\mu\) adalah \(\sigma\)-hingga. Untuk kasus umum, tetapkan

\(\tilde\Omega =\bigcup_{n\in\Bbb N}\{\omega:X_n(\omega)\ne 0\} =\bigcup_{m,n\in\Bbb N}\{\omega:|X_n(\omega)|\ge 2^{-m}\}\),

sehingga ukuran subruang \(\mu_{\tilde\Omega}\) adalah \(\sigma\)-hingga. Maka terdapat suatu fungsi yang terintegralkan terhadap \(\mu_{\tilde\Omega}\), yaitu \(\tilde Y\), dan suatu subbarisan \(\sequencen{X'_n}\) dari \(\sequencen{X_n}\) sedemikian sehingga \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX''_i\restrp\tilde\Omega\to\tilde Y\,\, \mu_{\tilde\Omega}\)-hampir di mana-mana untuk setiap subbarisan \(\sequencen{X''_n}\) dari \(\sequencen{X'_n}\). Dengan menetapkan \(Y(\omega)=\tilde Y(\omega)\) jika \(\omega\in\tilde\Omega\), dan \(0\) untuk \(\omega\in\Omega\setminus\tilde\Omega\), kita melihat bahwa \(Y\) terintegralkan terhadap \(\mu\) dan bahwa \(\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX''_i\to Y\,\,\mu\)-hampir di mana-mana kapan pun \(\sequencen{X''_n}\) adalah subbarisan dari \(\sequencen{X'_n}\). Ini menyelesaikan bukti.

Latihan

276X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal yang disesuaikan dengan suatu barisan \(\sequencen{\Sigma_n}\) aljabar-sigma. Tunjukkan bahwa \(\int_EX_n^2\le\int_EX_{n+1}^2\) kapan pun \(n\in\Bbb N\) dan \(E\in\Sigma_n\) (dengan memperbolehkan \(\infty\) sebagai nilai integral). Petunjuk: lihat bukti 276B.

276Xb (b) penting

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah martingal. Tunjukkan bahwa untuk sebarang \(\epsilon>0\),

\(\Pr(\sup_{n\in\Bbb N}|X_n|\ge\epsilon) \le\Bover1{\epsilon^2}\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(X_n^2)\).

Petunjuk: gabungkan 276Xa dengan argumen untuk 275D.

276Xc (c)

Kapan 276Xb memberikan hasil yang lebih tajam daripada 275Xb?

276Xd (d)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak bebas dan berdistribusi identik, dengan ekspektasi nol dan varians hingga tak nol, dan \(\sequencen{t_n}\) suatu barisan dalam \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa (i) jika \(\sum_{n=0}^{\infty}t_n^2<\infty\), maka \(\sum_{n=0}^{\infty}t_nX_n\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) hampir di mana-mana (ii) jika \(\sum_{n=0}^{\infty}t_n^2=\infty\), maka \(\sum_{n=0}^{\infty}t_nX_n\) tidak terdefinisi hampir di mana-mana. Petunjuk: 276B, 274Xj.

276Xe (e)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal dan tetapkan \(Y_n=\bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{X_n}\) terintegralkan secara seragam, maka \(\lim_{n\to\infty}\|Y_n\|_1=0\). Petunjuk: gunakan argumen 273Na, dengan 276C menggantikan 273D, dan tetapkan \(\tilde X_n=X'_n-Z_n\), dengan \(Z_n\) ekspektasi bersyarat yang sesuai dari \(X'_n\).

276Xf (f)

Andaikan bahwa \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal yang terbatas seragam dan \(\sequencen{a_n}\in\ell^2\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=0}^n(1+a_iX_i)\) terdefinisi dan berhingga hampir di mana-mana. Petunjuk: \(\sequencen{a_nX_n}\) dapat dijumlahkan dan dapat dikuadrat-jumlahkan hampir di mana-mana.

276Xg (g) penting

Hukum kuat bilangan besar: bentuk kelima Suatu barisan \(\sequencen{X_n}\) variabel acak disebut dapat dipertukarkan jika \((X_{n_0},\ldots,X_{n_k})\) mempunyai distribusi bersama yang sama dengan \((X_0,\ldots,X_k)\) kapan pun \(n_0,\ldots,n_k\) berbeda-beda. Tunjukkan bahwa jika \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak yang dapat dipertukarkan dan berekspektasi hingga, maka \(\sequencen{\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^{n}X_i}\) konvergen hampir di mana-mana. Petunjuk: 276H.

276Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal sedemikian sehingga \(\sup_{n\in\Bbb N}\|X_n\|_p\) berhingga, dengan \(p\in\ooint{1,\infty}\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\|\bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i\|_p=0\). Petunjuk: 273Nb.

276Yb (b)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal yang terintegralkan secara seragam dan \(Y\) suatu variabel acak terbatas. Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}\Expn(X_n\times Y)=0\). (Bandingkan 272Ye.)

276Yc (c)

Gunakan 275Yh untuk membuktikan 276Xa.

276Yd (d)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan variabel acak sedemikian sehingga, untuk suatu \(\delta>0\), \(\sup_{n\in\Bbb N}n^{\delta}\Expn(|X_n|)\) berhingga. Tetapkan \(S_n=\bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}S_n=0\) hampir di mana-mana. Petunjuk: tetapkan \(Z_k=2^{-k}(|X_0|+\ldots+|X_{2^k-1}|)\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{k=0}^{\infty}\Expn(Z_k)<\infty\). Tunjukkan bahwa \(|S_n|\le 2Z_{k+1}\) jika \(2^k<n\le 2^{k+1}\).

276Ye (e)

Hukum kuat bilangan besar: bentuk keenam Misalkan \(\sequencen{X_n}\) adalah barisan selisih martingal sedemikian sehingga, untuk suatu \(\delta>0\), \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|^{1+\delta})\) berhingga. Tetapkan \(S_n=\bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\) untuk setiap \(n\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty}S_n=0\) hampir di mana-mana. Petunjuk: ambil suatu barisan tak menurun \(\sequencen{\Sigma_n}\) yang menjadi tempat penyesuaian \(\sequencen{X_n}\). Tetapkan \(Y_n=X_n\) ketika \(|X_n|\le n\), dan \(0\) jika tidak. Misalkan \(U_n\) suatu ekspektasi bersyarat dari \(Y_n\) pada \(\Sigma_{n-1}\) dan tetapkan \(Z_n=Y_n-U_n\). Gunakan gagasan dari 273H, 276C, dan 276Yd di atas untuk menunjukkan bahwa \(\bover{1}{n+1}\sum_{i=0}^nV_i\to 0\) hampir di mana-mana untuk \(V_i=Z_i\), \(V_i=U_i\), dan \(V_i=X_i-Y_i\).

276Yf (f)

Tunjukkan bahwa terdapat martingal \(\sequencen{X_n}\) yang konvergen dalam ukuran tetapi tidak konvergen hampir di mana-mana. (Bandingkan 273Ba.) Petunjuk: atur agar \(\{\omega:X_{n+1}(\omega)\ne 0\}=E_n \subseteq\{\omega:|X_{n+1}(\omega)-X_n(\omega)|\ge 1\}\), dengan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan bebas himpunan dan \(\mu E_n=\Bover1{n+1}\) untuk setiap \(n\).

276Yg (g)

Berikan contoh barisan selisih martingal \(\sequencen{X_n}\) yang berdistribusi identik sedemikian sehingga \(\sequencen{\bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)}\) tidak konvergen ke \(0\) hampir di mana-mana. Petunjuk: mulailah dengan menyusun suatu barisan terbatas seragam \(\sequencen{U_n}\) sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\Expn(|U_n|)=0\), tetapi \(\sequencen{\bover1{n+1}(U_0+\ldots+U_n)}\) tidak konvergen ke \(0\) hampir di mana-mana. Sekarang ulangi konstruksi Anda dalam konteks sedemikian rupa sehingga \(U_n\) dapat diturunkan dari suatu barisan selisih martingal yang berdistribusi identik melalui rumus-rumus dalam 276Ye.

276Yh (h)

Susunlah bukti teorema Komlós yang tidak melibatkan ultrafilter, atau penggunaan lain apa pun dari aksioma pilihan penuh, tetapi seluruhnya berjalan dengan memilih sub-subbarisan yang sesuai. Ingatlah untuk memeriksa bahwa Anda dapat membuktikan setiap fakta yang Anda gunakan mengenai barisan yang konvergen lemah dalam \(L^1\) dengan aturan yang sama.

Catatan dan komentar

276 Catatan penutup untuk Bagian 276

Saya menyertakan dua bentuk lagi dari hukum kuat bilangan besar (276C, 276Ye), bukan karena saya memikirkan suatu penerapan, melainkan karena menurut saya, jika Anda mengetahui hukum kuat untuk barisan bebas yang terbatas dalam \(\|\,\|_{1+\delta}\) dan mengetahui apa itu barisan selisih martingal, maka ada sesuatu yang kurang jika Anda tidak mengetahui hukum kuat untuk barisan selisih martingal yang terbatas dalam \(\|\,\|_{1+\delta}\). Lalu, tentu saja, saya harus menambahkan 276Yf dan 276Yg (yang tampaknya sulit), agar Anda tidak tergoda untuk menganggap bahwa hukum kuat itu ‘sebenarnya’ mengenai barisan selisih martingal, bukan mengenai barisan bebas. (Bandingkan 272Yd dan 275Xl.)

Teorema Komlós agak berada di luar cakupan jilid ini; pembuktiannya cukup berat dan tentunya jauh kurang penting, bagi kebanyakan ahli probabilitas, daripada banyak hasil yang saya hilangkan. Teorema ini memang memberikan bukti singkat untuk 276Xg. Namun teorema tersebut relevan bagi pertanyaan yang muncul dalam beberapa topik yang dibahas dalam Jilid 3 dan 4, dan buktinya secara alami cocok ditempatkan dalam bagian ini.