Hukum kuat bilangan besar — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang saya sampai pada teorema pertama dari tiga teorema utama bab ini. Barangkali saya seharusnya menyebutnya suatu ’prinsip’, bukan ’teorema’, karena saya tidak akan mencoba menyatakan suatu bentuk yang sepenuhnya umum, melainkan akan memberikan tiga teorema (273D, 273H, 273I), dengan beragam akibat, yang masing-masing menguraikan syarat-syarat yang menjamin bahwa rata-rata suatu barisan variabel acak bebas akan konvergen hampir pasti. Pada akhir seksi ini (273N) saya menambahkan suatu hasil mengenai konvergensi norma rata-rata.

273A

Akan berguna jika kita memulai dengan pernyataan eksplisit dari suatu lemma yang sangat sederhana tetapi sangat berguna.

Lemma Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan himpunan terukur dalam ruang ukur \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan andaikan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n<\infty\). Maka \(\{n:\omega\in E_n\}\) berhingga untuk hampir setiap \(\omega\in\Omega\).

273B Lemma

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real, dan tetapkan \(S_n=\sum_{i=0}^nX_i\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

(a) Jika \(\sequencen{S_n}\) konvergen dalam ukuran, maka barisan tersebut konvergen hampir di mana-mana.

(b) Khususnya, jika \(\Expn(X_n)=0\) untuk setiap \(n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(X_n^2)<\infty\), maka \(\sum_{n=0}^{\infty}X_n\) terdefinisi, dan berhingga, hampir di mana-mana.

Bukti

(a) Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) ruang probabilitas yang mendasarinya. Jika kita mengubah setiap \(X_n\) pada suatu himpunan terabaikan, kita tidak mengubah kebebasan \(\sequencen{X_n}\) (272H), dan \(S_n\) juga berubah hanya pada suatu himpunan terabaikan; jadi sejak awal kita boleh mengandaikan bahwa setiap \(X_n\) merupakan fungsi terukur yang didefinisikan pada seluruh \(\Omega\).

Karena fungsional \(X\mapsto\Expn(\min(1,|X|))\) merupakan salah satu pseudometrik yang mendefinisikan topologi konvergensi dalam ukuran (245A), \(\lim_{m,n\to\infty}\Expn(\min(1,|S_m-S_n|))=0\), dan untuk setiap \(k\in\Bbb N\) kita dapat menemukan \(n_k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\Expn(\min(1,|S_m-S_{n_k}|))\le 4^{-k}\) untuk setiap \(m\ge n_k\). Jadi \(\Pr(|S_m-S_{n_k}|\ge 2^{-k})\le 2^{-k}\) untuk setiap \(m\ge n_k\). Berdasarkan lemma Etemadi (272V) yang diterapkan pada \(\langle X_i\rangle_{i>n_k}\),

\(\Pr(\sup_{n_k\le m\le n}|S_m-S_{n_k}|\ge 3\cdot 2^{-k}) \le 3\cdot 2^{-k}\)

untuk setiap \(n\ge n_k\). Dengan menetapkan

\(H_{kn} =\{\omega:\sup_{n_k\le m\le n}|S_m(\omega)-S_{n_k}(\omega)| \ge 3\cdot 2^{-k}\}\) untuk \(n\ge n_k\),

\(H_k=\bigcup_{n\ge n_k}H_{kn}\),

kita mempunyai

\(\mu H_k=\lim_{n\to\infty}\mu H_{kn}\le 3\cdot 2^{-k}\)

untuk setiap \(k\), sehingga \(\sum_{k=0}^{\infty}\mu H_k\) berhingga dan hampir setiap \(\omega\in\Omega\) termasuk hanya dalam berhingga banyak \(H_k\) (273A).

Sekarang ambil sebarang \(\omega\) demikian. Maka terdapat suatu \(r\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\omega\notin H_k\) untuk setiap \(k\ge r\). Dalam hal ini, untuk setiap \(k\ge r\), \(\omega\notin\bigcup_{n\ge n_k}H_{kn}\), yaitu \(|S_n(\omega)-S_{n_k}(\omega)|<3\cdot 2^{-k}\) untuk setiap \(n\ge n_k\). Namun ini berarti bahwa \(\sequencen{S_n(\omega)}\) merupakan barisan Cauchy, dan karena itu konvergen. Karena hal ini benar untuk hampir setiap \(\omega\), \(\sequencen{S_n}\) konvergen hampir di mana-mana, sebagaimana dinyatakan.

(b) Sekarang andaikan \(\Expn(X_n)=0\) untuk setiap \(n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\Expn(X_n^2)<\infty\). Dalam hal ini, untuk sebarang \(m<n\),

\[\begin{aligned}\|S_n-S_m\|_1^2 &\le\|\chi\Omega\|_2^2\|S_n-S_m\|_2^2\\ &\text{(berdasarkan ketaksamaan Cauchy, 244Eb)}\\ &=\Expn(S_n-S_m)^2 =\Var(S_n-S_m)\\ &\text{(karena }\Expn(S_n-S_m)=\sum_{i=m+1}^n\Expn(X_i)=0\text{)}\\ &=\sum_{i=m+1}^n\Var(X_i)\\ &\text{(berdasarkan kesamaan Bienaym\'e, 272S)}\\ &\to 0\\\end{aligned}\]

ketika \(m\to\infty\). Jadi \(\sequencen{S_n^{\ssbullet}}\) merupakan barisan Cauchy dalam \(L^1(\mu)\) dan konvergen dalam \(L^1(\mu)\), berdasarkan 242F; berdasarkan 245G, barisan tersebut konvergen dalam ukuran dalam \(L^0(\mu)\), yaitu \(\sequencen{S_n}\) konvergen dalam ukuran dalam \(\eusm L^0(\mu)\). Berdasarkan (a), \(\sequencen{S_n}\) konvergen hampir di mana-mana, yaitu \(\sum_{i=0}^{\infty}X_i\) terdefinisi dan berhingga hampir di mana-mana.

Catatan Bukti di atas mengandaikan keakraban dengan gagasan-gagasan Bab 24. Namun sekurang-kurangnya bagian (b) dapat dibangun tanpa satu pun gagasan tersebut; lihat 273Xa. Dalam 276B terdapat generalisasi (b) yang didasarkan pada pendekatan berbeda.

273C

Sekarang kita memerlukan suatu lemma (bagian (b) di bawah) dari teori keterjumlahan. Saya menggunakan kesempatan ini untuk menyertakan suatu fakta elementer yang akan berguna nanti dalam seksi ini dan di tempat lain.

Lemma (a) Jika \(\lim_{n\to\infty}x_n=x\), maka \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nx_i=x\).

(b) Misalkan \(\sequencen{x_n}\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=0}^{\infty}x_i\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\), dan \(\sequencen{b_n}\) suatu barisan tak menurun dalam \(\coint{0,\infty}\) yang divergen ke \(\infty\). Maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{b_n}\sum_{k=0}^nb_kx_k=0\).

Bukti

(a) Misalkan \(\epsilon>0\). Misalkan \(m\) sedemikian sehingga \(|x_n-x|\le\epsilon\) setiap kali \(n\ge m\). Misalkan \(m'\ge m\) sedemikian sehingga \(|\sum_{i=0}^{m-1}(x-x_i)|\le\epsilon m'\). Maka untuk \(n\ge m'\) kita mempunyai

\[\begin{aligned}|x-\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nx_i| &=\Bover1{n+1}|\sum_{i=0}^n(x-x_i)|\\ &\le\Bover1{n+1}|\sum_{i=0}^{m-1}(x-x_i)| +\Bover1{n+1}\sum_{i=m}^n|x-x_i|\\ &\le\Bover{\epsilon m'}{n+1}+\Bover{\epsilon (n-m+1)}{n+1} \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nx_i=x\).

(b) Misalkan \(\epsilon>0\). Tuliskan \(s_n=\sum_{i=0}^nx_i\) untuk setiap \(n\), dan

\(s=\lim_{n\to\infty}s_n=\sum_{i=0}^{\infty}x_i\);

tetapkan \(s^*=\sup_{n\in\Bbb N}|s_n|<\infty\). Misalkan \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(|s_n-s|\le\epsilon\) setiap kali \(n\ge m\); maka \(|s_n-s_j|\le 2\epsilon\) setiap kali \(j\), \(n\ge m\). Misalkan \(m'\ge m\) sedemikian sehingga \(b_ms^*\le\epsilon b_{m'}\).

Ambil sebarang \(n\ge m'\). Maka

\[\begin{aligned}|\sum_{k=0}^nb_kx_k| &=|b_0s_0+b_1(s_1-s_0)+\ldots+b_n(s_n-s_{n-1})|\\ &=|(b_0-b_1)s_0+(b_1-b_2)s_1+\ldots+(b_{n-1}-b_n)s_{n-1}+b_ns_n|\\ &=|b_0s_n+\sum_{i=0}^{n-1}(b_{i+1}-b_i)(s_n-s_i)|\\ &\le b_0|s_n|+\sum_{i=0}^{m-1}(b_{i+1}-b_{i})|s_n-s_i| +\sum_{i=m}^{n-1}(b_{i+1}-b_{i})|s_n-s_i|\\ &\le b_0s^* +2s^*\sum_{i=0}^{m-1}(b_{i+1}-b_i) +2\epsilon\sum_{i=m}^{n-1}(b_{i+1}-b_i)\\ &=b_0s^*+2s^*(b_m-b_0)+2\epsilon(b_n-b_m) \le 2s^*b_m+2\epsilon b_n.\\\end{aligned}\]

Akibatnya, karena \(b_n\ge b_{m'}\),

\(|\Bover1{b_n}\sum_{k=0}^nb_kx_k|\le 2\Bover{s^*b_m}{b_n}+2\epsilon \le 4\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang,

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{b_n}\sum_{k=0}^nb_kx_k =0\),

sebagaimana diperlukan.

Catatan Bagian (b) di atas kadang-kadang disebut ’lemma Kronecker’.

273D Hukum kuat bilangan besar: bentuk pertama

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real, dan andaikan \(\sequencen{b_n}\) suatu barisan tak menurun dalam \(\ooint{0,\infty}\), yang divergen ke \(\infty\), sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{b_n^2}\Var(X_n)<\infty\). Maka

\(\lim_{n\to\infty} \Bover{1}{b_n}\sum_{i=0}^n(X_i-\Expn(X_i))=0\)

hampir di mana-mana.

273E Akibat

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak sedemikian sehingga \(\Expn(X_n)=0\) untuk setiap \(n\) dan \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(X_n^2)<\infty\). Maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{b_n}(X_0+\ldots+X_n) =0\)

hampir di mana-mana setiap kali \(\sequencen{b_n}\) merupakan barisan tak menurun dari bilangan yang benar-benar positif dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover{1}{b_n^2}\) berhingga. Khususnya,

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1}(X_0+\ldots+X_n)=0\)

hampir di mana-mana.

Catatan Untuk sebagian besar sisa seksi ini, kita akan mengambil \(b_n=n+1\). Keistimewaan khusus 273D ialah bahwa hasil tersebut mengizinkan \(b_n\) lain, misalnya, setelah suku-suku awalnya dipilih positif agar barisan tetap tak menurun, \(b_n=\sqrt{n}\ln n\quad(n\ge 2)\). Suatu penguatan langsung teorema ini terdapat dalam 276C di bawah.

273F Akibat

Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan bebas himpunan terukur dalam ruang probabilitas \((\Omega,\Sigma,\mu)\), dan andaikan bahwa

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1}\sum_{i=0}^n\mu E_i=c\).

Maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1}\#(\{i:i\le n,\,\omega\in E_i\})=c\)

untuk hampir setiap \(\omega\in\Omega\).

273G Akibat

Misalkan \(\mu\) ukuran biasa pada \(\Cal P\Bbb N\), sebagaimana diuraikan dalam 254Jb. Maka untuk \(\mu\)-hampir setiap himpunan \(a\subseteq\Bbb N\),

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \#(a\cap\{0,\ldots,n\}) = {1\over 2}\).

Catatan Limit \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \#(a\cap\{0,\ldots,n\})\) disebut kepadatan asimtotik dari \(a\).

273H Hukum kuat bilangan besar: bentuk kedua

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real, dan andaikan bahwa \(\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|^{1+\delta})<\infty\) untuk suatu \(\delta>0\). Maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1}\sum_{i=0}^n(X_i-\Expn(X_i)) =0\)

hampir di mana-mana.

Bukti

Seperti biasa, sebut ruang probabilitas yang mendasarinya \((\Omega,\Sigma,\mu)\); seperti dalam 273B kita dapat menyesuaikan \(X_n\) pada himpunan-himpunan terabaikan agar semuanya terukur dan didefinisikan di setiap titik pada \(\Omega\), tanpa mengubah \(\Expn(X_n)\), \(\Expn(|X_n|)\) atau konvergensi rata-rata kecuali pada suatu himpunan terabaikan.

(a) Untuk setiap \(n\), definisikan suatu variabel acak \(Y_n\) pada \(\Omega\) dengan menetapkan

\[\begin{aligned}Y_n(\omega)&=X_n(\omega)\text{ jika }|X_n(\omega)|\le n,\\ &=0\text{ jika }|X_n(\omega)|>n.\\\end{aligned}\]

Maka \(\sequencen{Y_n}\) bebas (272E). Suku pertama tidak memberi kontribusi, dan untuk setiap \(n\ge 1\),

\(\Var(Y_n)\le \Expn(Y_n^2)\le\Expn(n^{1-\delta}|X_n|^{1+\delta})\le n^{1-\delta}K\),

dengan \(K=\sup_{n\in\Bbb N}\Expn(|X_n|^{1+\delta})\), sehingga

\(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\Var(Y_n) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\Var(Y_n) \le\sum_{n=1}^{\infty}\Bover{n^{1-\delta}}{(n+1)^2}K <\infty\).

Berdasarkan 273D,

\(G =\{\omega:\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(Y_i(\omega)-\Expn(Y_i))=0\}\)

koterabaikan.

(b) Di sisi lain, dengan menetapkan

\(E_n=\{\omega:Y_n(\omega)\ne X_n(\omega)\} =\{\omega:|X_n(\omega)|>n\}\),

kita mempunyai \(K\ge n^{1+\delta}\mu E_n\) untuk setiap \(n\), sehingga

\(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n \le 1+K\sum_{n=1}^{\infty}\Bover1{n^{1+\delta}}<\infty\),

dan himpunan \(H=\{\omega:\{n:\omega\in E_n\}\) berhingga\(\}\) koterabaikan (273A). Namun tentu saja

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i(\omega)-Y_i(\omega))=0\)

untuk setiap \(\omega\in H\).

(c) Akhirnya,

\(|\Expn(Y_n)-\Expn(X_n)|\le\int_{E_n}|X_n| \le\int_{E_n}n^{-\delta}|X_n|^{1+\delta}\le n^{-\delta}K\)

setiap kali \(n\ge 1\), sehingga \(\lim_{n\to\infty}(\Expn(Y_n)-\Expn(X_n))=0\) dan

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^n(\Expn(Y_i)-\Expn(X_i))=0\)

(273Ca). Dengan menggabungkan ketiga hal ini, kita memperoleh

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i(\omega)-\Expn(X_i))=0\)

setiap kali \(\omega\) termasuk dalam himpunan koterabaikan \(G\cap H\). Jadi

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i-\Expn(X_i))=0\)

hampir di mana-mana, sebagaimana diperlukan.

273I Hukum kuat bilangan besar: bentuk ketiga

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real dengan ekspektasi berhingga, dan andaikan semuanya berdistribusi identik, yaitu semuanya mempunyai distribusi yang sama. Maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i-\Expn(X_i))=0\)

hampir di mana-mana.

Bukti

Bukti ini mengikuti alur yang sama dengan bukti 273H, tetapi beberapa ketaksamaannya memerlukan argumen yang lebih halus. Seperti biasa, sebut ruang probabilitas yang mendasarinya \((\Omega,\Sigma,\mu)\) dan andaikan semua \(X_n\) terukur serta didefinisikan di setiap titik pada \(\Omega\). (Kita perlu mengingat bahwa mengubah suatu variabel acak pada suatu himpunan terabaikan tidak mengubah distribusinya.) Misalkan \(\nu\) distribusi yang sama bagi semua \(X_n\).

(a) Untuk setiap \(n\), definisikan suatu variabel acak \(Y_n\) pada \(\Omega\) dengan menetapkan

\[\begin{aligned}Y_n(\omega)&=X_n(\omega)\text{ jika }|X_n(\omega)|\le n,\\ &=0\text{ jika }|X_n(\omega)|>n.\\\end{aligned}\]

Maka \(\sequencen{Y_n}\) bebas (272E). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\),

\(\Var(Y_n)\le\Expn(Y_n^2)=\int_{[-n,n]}x^2\nu(dx)\)

(271E). Untuk menaksir \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\Expn(Y_n^2)\), tetapkan

\(f_n(x)=\Bover{x^2}{(n+1)^2}\) jika \(|x|\le n\), \(0\) jika \(|x|>n\),

sehingga \(\Bover1{(n+1)^2}\Var(Y_n)\le\int f_nd\nu\). Jika \(r\ge 1\) dan \(r<|x|\le r+1\), maka

\[\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x) &\le\sum_{n=r+1}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}(r+1)|x|\\ &\le(r+1)|x|\sum_{n=r+1}^{\infty}(\Bover1n-\Bover1{n+1}) \le |x|,\\\end{aligned}\]

sedangkan jika \(|x|\le 1\), maka

\(\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x) \le\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}=\Bover{\pi^2}6\le 2<\infty\).

(Anda tidak perlu mengetahui bahwa jumlah tersebut adalah \(\bover{\pi^2}6\), hanya bahwa jumlah itu berhingga; tetapi lihat 282Xo.) Akibatnya

\(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)\le 2+|x|\)

untuk setiap \(x\), dan \(\int fd\nu<\infty\), karena \(\int |x|\nu(dx)\) merupakan nilai bersama dari \(\Expn(|X_n|)\), dan berhingga. Berdasarkan salah satu dari teorema-teorema konvergensi besar,

\(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+1)^2}\Var(Y_n) \le\sum_{n=0}^{\infty}\int f_nd\nu =\int fd\nu<\infty\).

Berdasarkan 273D,

\(G =\{\omega:\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(Y_i(\omega)-\Expn(Y_i))=0\}\)

koterabaikan.

(b) Selanjutnya, dengan menetapkan

\(E_n =\{\omega:X_n(\omega)\ne Y_n(\omega)\} =\{\omega:|X_n(\omega)|>n\}\),

kita mempunyai

\(E_n=\bigcup_{i\ge n}F_{ni}\),

dengan

\(F_{ni}=\{\omega:i<|X_n(\omega)|\le i+1\}\).

Sekarang

\(\mu F_{ni}=\nu\{x:i<|x|\le i+1\}\)

untuk setiap \(n\) dan \(i\). Jadi

\[\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n &=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=n}^{\infty}\mu F_{ni} =\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{n=0}^i\mu F_{ni}\\ &=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)\nu\{x:i<|x|\le i+1\} \le\int(1+|x|)\nu(dx) <\infty.\\\end{aligned}\]

Akibatnya himpunan \(H=\{\omega:\{n:X_n(\omega)\ne Y_n(\omega)\}\) berhingga\(\}\) koterabaikan (273A). Namun tentu saja

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i(\omega)-Y_i(\omega)) =0\)

untuk setiap \(\omega\in H\).

(c) Akhirnya,

\(|\Expn(Y_n)-\Expn(X_n)|\le\int_{E_n}|X_n| =\int_{\Bbb R\setminus[-n,n]}|x|\nu(dx)\)

setiap kali \(n\in\Bbb N\), sehingga \(\lim_{n\to\infty}(\Expn(Y_n)-\Expn(X_n))=0\) dan

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^n(\Expn(Y_i)-\Expn(X_i))=0\)

(273Ca). Dengan menggabungkan ketiga hal ini, kita memperoleh

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i(\omega)-\Expn(X_i))=0\)

setiap kali \(\omega\) termasuk dalam himpunan koterabaikan \(G\cap H\). Jadi

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i-\Expn(X_i))=0\)

hampir di mana-mana, sebagaimana diperlukan.

Catatan Dalam pengalaman saya sendiri, inilah bentuk hukum kuat yang paling penting dari sudut pandang teori ukuran ’murni’. Saya mencatat bahwa 273G di atas juga dapat dipandang sebagai akibat dari bentuk ini.

Untuk suatu bukti alternatif yang sangat mencolok, lihat 275Yq. Bukti lain memperlakukan hasil ini sebagai suatu kasus khusus Teorema Ergodik (lihat 372Xg dalam Jilid 3).

273J Akibat

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas. Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real sedemikian sehingga \(\int fd\mu\) terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\), maka

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) =\int fd\mu\)

untuk \(\lambda\)-hampir setiap \(\pmb{\omega}=\sequencen{\omega_n}\in\Omega^{\Bbb N}\), dengan \(\lambda\) ukuran produk pada \(\Omega^{\Bbb N}\) (254A-254C).

Bukti

(a) Mula-mula andaikan \(f\) terintegralkan. Definisikan fungsi-fungsi \(X_n\) pada \(\Omega^{\Bbb N}\) dengan menetapkan

\(X_n(\pmb{\omega})=f(\omega_n)\) setiap kali \(\omega_n\in\dom f\).

Maka \(\sequencen{X_n}\) merupakan barisan bebas variabel acak, semuanya dengan distribusi yang sama dengan \(f\) (272M). Jadi

\( \lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i)-\int fd\mu =\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n(X_i(\pmb{\omega})-\Expn(X_i)) =0\)

untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}\), berdasarkan 273I, dan

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) =\int fd\mu\)

untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}\).

(b) Selanjutnya, andaikan \(f\ge 0\) dan \(\int f=\infty\). Dalam hal ini, untuk setiap \(m\in\Bbb N\),

\[\begin{aligned}\liminf_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) &\ge\liminf_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n\min(m,f(\omega_i))\\ &=\int\min(m,f(\omega))\mu(d\omega)\\\end{aligned}\]

untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}\), sehingga

\(\liminf_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) \ge\sup_{m\in\Bbb N}\int\min(m,f(\omega))\mu(d\omega) =\infty\)

dan

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) =\infty=\int f\)

untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}\).

(c) Secara umum, jika \(\int f=\infty\), hal ini karena \(\int f^+=\infty\) dan \(f^-\) terintegralkan, sehingga

\[\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) &=\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf^+(\omega_i) -\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf^-(\omega_i)\\ &=\infty-\int f^- =\int f\\\end{aligned}\]

untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}\). Demikian pula,

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i) =-\infty\)

untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}\) jika \(\int fd\mu=-\infty\).

Catatan Saya mendapati diri saya beralih di sini ke dalam terminologi para ahli teori ukuran; akibat ini merupakan salah satu penerapan dasar hukum kuat pada teori ukuran. Jelas, dengan mengingat 272J dan 272M, akibat ini mencakup 273I. Akibat ini juga dapat (secara teoretis) digunakan sebagai suatu definisi integrasi pada ruang probabilitas (lihat 273Ya); hal ini kadang-kadang disebut metode integrasi ’Monte Carlo’.

273K

Menggiurkan untuk mencari perluasan 273I yang tidak mengharuskan \(X_n\) berdistribusi identik, tetapi yang dalam segi-segi lain tetap berperilaku baik. Setiap gagasan demikian harus diuji terhadap contoh berikut. Saya mendapati bahwa saya memerlukan satu lagi hasil baku, yang melengkapi hasil dalam 273A.

Lemma Borel–Cantelli Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan subhimpunan terukur dari \(\Omega\) sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n=\infty\) dan \(\mu(E_m\cap E_n)\le\mu E_m\cdot\mu E_n\) setiap kali \(m\ne n\). Maka hampir setiap titik dalam \(\Omega\) termasuk dalam tak berhingga banyak \(E_n\).

Bukti

Untuk \(n\), \(k\in\Bbb N\) tetapkan \(X_n=\sum_{i=0}^n\chi E_i\), \(\beta_n=\sum_{i=0}^n\mu E_i=\Expn(X_n)\) dan \(F_{nk}=\{x:x\in\Omega\), \(\#(\{i:i\le n\), \(x\in E_i\})\le k\}\). Maka

\[\begin{aligned}\Expn(X_n^2) &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\mu(E_i\cap E_j) \le\sum_{i=0}^n\mu E_i+\sum_{i=0}^n\sum_{j\ne i}\mu E_i\cdot\mu E_j\\ &=\beta_n+\beta_n^2-\sum_{i=0}^n(\mu E_i)^2,\\\end{aligned}\]

sehingga

\(\Var(X_n)=\beta_n-\sum_{i=0}^n(\mu E_i)^2\le\beta_n\).

Sekarang jika \(k<\beta_n\),

\((\beta_n-k)^2\mu F_{nk} =(\beta_n-k)^2\Pr(X_n\le k) \le\Expn(X_n-\beta_n)^2=\Var(X_n)\le\beta_n\)

dan \(\mu F_{nk}\le\Bover{\beta_n}{(\beta_n-k)^2}\).

Sekarang ingat bahwa kita mengandaikan \(\lim_{n\to\infty}\beta_n=\infty\). Jadi untuk sebarang \(k\in\Bbb N\),

\(\mu(\bigcap_{n\in\Bbb N}F_{nk}) =\lim_{n\to\infty}\mu F_{nk} \le\lim_{n\to\infty}\Bover{\beta_n}{(\beta_n-k)^2} =0\).

Dengan demikian

\(\mu\{x:x\) termasuk hanya dalam berhingga banyak \(E_n\} =\mu(\bigcup_{k\in\Bbb N}\bigcap_{n\in\Bbb N}F_{nk}) =0\),

dan hampir setiap titik dalam \(\Omega\) termasuk dalam tak berhingga banyak \(E_n\).

Catatan Tentu saja hasil ini biasanya diterapkan pada suatu barisan bebas \(\sequencen{E_n}\). Namun sesekali berguna untuk mengetahui bahwa hipotesis yang lebih lemah itu sudah memadai. Lihat pula 273Yb.

273L

Sekarang untuk contoh yang dijanjikan.

Contoh Terdapat suatu barisan bebas \(\sequencen{X_n}\) dari variabel acak nonnegatif sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}\Expn(X_n)=0\), tetapi

\(\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^{n}(X_i-\Expn(X_i))=\infty\),

\(\liminf_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^{n}(X_i-\Expn(X_i))=0\)

hampir di mana-mana.

Bukti

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dengan suatu barisan bebas \(\sequencen{E_n}\) dari himpunan-himpunan terukur sedemikian sehingga \(\mu E_n=\Bover{1}{(n+3)\ln(n+3)}\) untuk setiap \(n\). (Di mana pun saya belum menjelaskan secara tepat cara membangun barisan demikian. Tersedia bagi kita dua metode yang jelas, serta satu lagi yang sedikit kurang jelas. (i) Ambil \(\Omega=\{0,1\}^{\Bbb N}\) dan misalkan \(\mu\) produk dari probabilitas-probabilitas \(\mu_n\) pada \(\{0,1\}\), yang didefinisikan dengan menyatakan bahwa \(\mu_n\{1\}=\Bover1{(n+3)\ln(n+3)}\) untuk setiap \(n\); tetapkan \(E_n=\{\omega:\omega(n)=1\}\), dan gunakan 272M untuk memeriksa bahwa \(E_n\) bebas. (ii) Bangun \(E_n\) secara induktif sebagai subhimpunan dari \([0,1]\), dengan mengatur agar setiap \(E_n\) menjadi gabungan berhingga interval, sehingga ketika Anda hendak memilih \(E_{n+1}\), himpunan- himpunan \(E_0,\ldots,E_n\) mendefinisikan suatu partisi \(\Cal I_n\) dari \([0,1]\) menjadi interval-interval, dan Anda dapat mengambil \(E_{n+1}\) sebagai gabungan dari (misalnya) subinterval-subinterval sebelah kiri dengan panjang sebesar proporsi \(\Bover1{(n+3)\ln(n+3)}\) dari interval-interval dalam \(\Cal I_n\). (iii) Gunakan 215D untuk melihat bahwa metode (ii) dapat digunakan pada sebarang ruang probabilitas tanpa atom, seperti dalam 272Xa.)

Tetapkan \(X_n=(n+3)\ln\ln(n+3)\chi E_n\) untuk setiap \(n\); maka \(\sequencen{X_n}\) merupakan barisan bebas variabel acak bernilai real (272F) dan \(\Expn(X_n)=\Bover{\ln\ln(n+3)}{\ln(n+3)}\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\Expn(X_n)\to 0\) ketika \(n\to\infty\). Jadi, misalnya, \(\{X_n:n\in\Bbb N\}\) terintegralkan secara seragam dan \(\sequencen{X_n}\to 0\) dalam ukuran (246Jc); sedangkan tentu saja \(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n\Expn(X_i)=0\).

Di sisi lain,

\[\begin{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n &=\sum_{n=0}^{\infty}\Bover1{(n+3)\ln(n+3)} \ge\int_0^{\infty}\Bover1{(x+3)\ln(x+3)}dx\\ &=\lim_{a\to\infty}(\ln\ln(a+3)-\ln\ln 3) =\infty,\\\end{aligned}\]

sehingga hampir setiap \(\omega\) termasuk dalam tak berhingga banyak \(E_n\), berdasarkan lemma Borel–Cantelli (273K). Sekarang jika kita menuliskan \(Y_n=\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i\), maka jika \(\omega\in E_n\) kita mempunyai \(X_n(\omega)=(n+3)\ln\ln(n+3)\), sehingga

\(Y_n(\omega)\ge\Bover{n+3}{n+1}\ln\ln(n+3).\)

Ini berarti bahwa

\[\begin{aligned}\{\omega:\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1} &\sum_{i=0}^n(X_i(\omega)-\Expn(X_i))=\infty\} =\{\omega:\limsup_{n\to\infty} \Bover{1}{n+1}\sum_{i=0}^nX_i(\omega)=\infty\}\\ &=\{\omega:\sup_{n\in\Bbb N}Y_n(\omega)=\infty\} \supseteq\{\omega:\{n:\omega\in E_n\}\text{ tak berhingga}\}\\\end{aligned}\]

koterabaikan, dan hukum kuat bilangan besar tidak berlaku bagi \(\sequencen{X_n}\).

Karena

\(\lim_{n\to\infty}\|Y_n\|_1 =\lim_{n\to\infty}\Expn(Y_n)=\lim_{n\to\infty}\Expn(X_n)=0\)

(273Ca), \(\sequencen{Y_n}\to 0\) untuk topologi konvergensi dalam ukuran, dan \(\sequencen{Y_n}\) mempunyai suatu subbarisan yang konvergen ke \(0\) hampir di mana-mana (245K). Jadi

\(\liminf_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{i=0}^n(X_i(\omega)-\Expn(X_i))=\liminf_{n\to\infty}Y_n(\omega)=0\)

untuk hampir setiap \(\omega\). Fakta bahwa baik \(\limsup_{n\to\infty}Y_n\) maupun \(\liminf_{n\to\infty}Y_n\) konstan hampir di mana-mana tentu merupakan akibat hukum nol-satu (272P).

273M

Semua pembahasan di atas berkaitan dengan konvergensi titik demi titik dari rata-rata variabel acak bebas, dan itulah bagian penting dari pekerjaan dalam seksi ini. Namun barangkali pembahasan tersebut patut dilengkapi dengan penyelidikan singkat mengenai konvergensi norma. Untuk menangani konvergensi dalam \(\eusm L^p\) secara efisien, kita memerlukan hal berikut. (Barangkali perlu saya catat bahwa, dibandingkan dengan kasus umum yang ditangani di sini, kasus \(p=2\) langsung; lihat 273Xl.)

Lemma Untuk sebarang \(p\in\ooint{1,\infty}\) dan \(\epsilon>0\), terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|S+X\|_p\le 1+\epsilon\|X\|_p\) setiap kali \(S\) dan \(X\) merupakan variabel acak yang bebas, \(\|S\|_p=1\), \(\|X\|_p\le\delta\), dan \(\Expn(X)=0\).

Bukti

(a) Ambil \(\zeta\in\ocint{0,1}\) sedemikian sehingga \(p\zeta\le 2\) dan

\((1+\xi)^p\le 1+p\xi+\Bover{p^2}2\xi^2\)

setiap kali \(|\xi|\le\zeta\); nilai demikian ada karena

\(\lim_{\xi\to 0}\Bover{(1+\xi)^p-1-p\xi}{\xi^2} =\Bover{p(p-1)}2<\Bover{p^2}2\).

Perhatikan bahwa

\((1+\xi)^p \le(1+\Bover1{\zeta})^p+\xi^p+2p\xi^{p-1}\)

untuk setiap \(\xi\ge 0\). Bukti. Jika \(\xi\le\Bover1{\zeta}\), hal ini langsung. Jika \(\xi\ge\Bover1{\zeta}\), maka

\[\begin{aligned}(1+\xi)^p &=\xi^p(1+\Bover1{\xi})^p \le\xi^p(1+\Bover{p}{\xi}+\Bover{p^2}{2\xi^2})\\ &\le\xi^p(1+\Bover{p}{\xi}+\Bover{p^2\zeta}{2\xi}) =\xi^p+p\xi^{p-1}(1+\Bover{p\zeta}{2}) \le\xi^p+2p\xi^{p-1}. \text{ \Qed}\\\end{aligned}\]

Definisikan \(\eta>0\) dengan menetapkan \(3\eta^{p-1}=\Bover{\epsilon}2\) (inilah salah satu tempat kita perlu mengetahui bahwa \(p>1\)). Misalkan \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(\delta\le\eta\zeta\), \(\Bover{p^2}{2\eta^2}\delta+(1+\Bover1{\zeta})^p\delta^{p-1} \le\Bover{p\epsilon}2\).

(b) Sekarang andaikan \(S\) dan \(X\) merupakan variabel acak bebas dengan \(\|S\|_p=1\), \(\|X\|_p\le\delta\), dan \(\Expn(X)=0\). Jika \(\|X\|_p=0\), maka tentu \(\|S+X\|_p\le 1+\epsilon\|X\|_p\), jadi andaikan \(X\) tak trivial. Tuliskan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) untuk ruang probabilitas yang mendasarinya dan sesuaikan \(S\) serta \(X\) pada himpunan-himpunan terabaikan agar keduanya terukur dan didefinisikan di setiap titik pada \(\Omega\). Tetapkan \(\alpha=\|X\|_p\), \(\gamma=\alpha/\eta\),

\(E=\{\omega:S(\omega)\ne 0\}\), \(F=\{\omega:|X(\omega)|>\gamma|S(\omega)|\}\), \(\beta=\|S\times\chi F\|_p\).

Maka

\[\begin{aligned}\int|S+X|^p &=\int_F|S+X|^p+\int_{E\setminus F}|S+X|^p\\ &\text{(karena }S\text{ dan }X\text{ keduanya nol pada }\Omega\setminus(E\cup F)\text{)}\\ &=\|(S\times\chi F)+(X\times\chi F)\|_p^p +\int_{E\setminus F}|S|^p|1+\Bover{X}{S}|^p\\ &\le(\|S\times\chi F\|_p+\|X\times\chi F\|_p)^p +\int_{E\setminus F}|S|^p(1+p\Bover{X}{S}+\Bover{p^2}2\gamma^2)\\ &\text{(karena }|\Bover{X}{S}|\le\gamma\le\Bover{\delta}{\eta}\le\zeta\le 1\text{ di setiap titik pada }E\setminus F\text{)}\\ &\le(\beta+\alpha)^p+(1+\Bover{p^2}2\gamma^2)\int_{E\setminus F}|S|^p +p\int_{E\setminus F}|S|^{p-1}\times\sgn S\times X\\ &\text{(dengan menuliskan }\sgn(\xi)=\xi/|\xi|\text{ jika }\xi\ne 0\text{, dan }0\text{ jika }\xi=0\text{)}\\ &=(\beta+\alpha)^p+(1+\Bover{p^2}2\gamma^2)\int_{\Omega\setminus F}|S|^p +p\int_{\Omega\setminus F}|S|^{p-1}\times\sgn S\times X\\ &\text{(karena }S=0\text{ pada }\Omega\setminus E\text{)}\\ &=\alpha^p(1+\Bover{\beta}{\alpha})^p+(1+\Bover{p^2}2\gamma^2)(1-\beta^p) -p\int_F|S|^{p-1}\times\sgn S\times X\\ &\text{(karena }X\text{ dan }|S|^{p-1}\times\sgn S\text{ bebas, berdasarkan 272L, sehingga }\int|S|^{p-1}\times\sgn S\times X =\Expn(|S|^{p-1}\times\sgn S)\Expn(X)=0\text{)}\\ &\le\alpha^p\bigl((1+\Bover1{\zeta})^p+2p(\Bover{\beta}{\alpha})^{p-1} +(\Bover{\beta}{\alpha})^p\bigr)+(1+\Bover{p^2}2\gamma^2)(1-\beta^p)\\ &\qquad\qquad\qquad +p\int_F|S|^{p-1}\times|X|\\ &\text{(lihat (a) di atas)}\\ &\le\alpha^p(1+\Bover1{\zeta})^p+\beta^p+2p\beta^{p-1}\alpha +(1+\Bover{p^2}2\gamma^2)(1-\beta^p)\\ &\qquad\qquad\qquad +p\int_F\Bover{1}{\gamma^{p-1}}|X|^p\\ &\le\alpha^p(1+\Bover1{\zeta})^p +2p\Bover{\alpha^p}{\gamma^{p-1}} +1+\Bover{p^2}2\gamma^2 +p\Bover{\alpha^p}{\gamma^{p-1}}\\ &\text{(karena }\beta=\|S\times\chi F\|_p \le\Bover1{\gamma}\|X\times\chi F\|_p\le\Bover{\alpha}{\gamma}\text{)}\\ &=\alpha^p(1+\Bover1{\zeta})^p +3p\eta^{p-1}\alpha +1+\Bover{p^2\alpha^2}{2\eta^2} \\ &=1+\bigl(\alpha^{p-1}(1+\Bover1{\zeta})^p +3p\eta^{p-1} +\Bover{p^2\alpha}{2\eta^2}\bigr)\alpha\\ &\le 1+\bigl(\delta^{p-1}(1+\Bover1{\zeta})^p +3p\eta^{p-1} +\Bover{p^2\delta}{2\eta^2}\bigr)\alpha\\ &\le 1+p\alpha\epsilon\le(1+\epsilon\|X\|_p)^p.\\\end{aligned}\]

Jadi \(\|S+X\|_p\le 1+\epsilon\|X\|_p\), sebagaimana diperlukan.

*Catatan Yang sebenarnya terjadi di sini ialah bahwa \(\phi=\|\,\|^p_p:L^p\to\Bbb R\) terdiferensialkan (sebagai fungsi bernilai real pada ruang bernorma \(L^p\)) dan

\(\phi'(S^{\ssbullet})(X^{\ssbullet}) =p\int|S|^{p-1}\times\sgn S\times X\),

sehingga dalam konteks di sini

\(\phi((S+X)^{\ssbullet}) =\phi(S^{\ssbullet})+\phi'(S^{\ssbullet})(X^{\ssbullet}) +o(\|X\|_p) =1+o(\|X\|_p)\)

dan \(\|S+X\|_p=1+o(\|X\|_p)\). Perhitungan-perhitungan di atas rumit sebagian karena tidak menggunakan gagasan tak trivial apa pun tentang ruang bernorma, dan sebagian karena kita memerlukan taksiran yang seragam dalam \(S\).

273N Teorema

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas variabel acak bernilai real dengan ekspektasi nol, dan tetapkan \(Y_n=\bover1{n+1}(X_0+\ldots+X_n)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

(a) Jika \(\sequencen{X_n}\) terintegralkan secara seragam, maka \(\lim_{n\to\infty}\|Y_n\|_1=0\).

*(b) Jika \(p\in\ooint{1,\infty}\) dan \(\sup_{n\in\Bbb N}\|X_n\|_p<\infty\), maka \(\lim_{n\to\infty}\|Y_n\|_p=0\).

Bukti

(a) Misalkan \(\epsilon>0\). Maka terdapat suatu \(M\ge 0\) sedemikian sehingga \(\Expn(|X_n|-M)^+\le\epsilon\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Tetapkan

\(X_n'=(-M\chi\Omega)\vee(X_n\wedge M\chi\Omega)\), \(\alpha_n=\Expn(X_n')\), \(\tilde X_n=X'_n-\alpha_n\), \(X''_n=X_n-X'_n\)

untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka \(\sequencen{X'_n}\) dan \(\sequencen{\tilde X_n}\) bebas dan terbatas secara seragam, dan \(\|X''_n\|_1\le\epsilon\) untuk setiap \(n\). Jadi jika kita menuliskan

\(\tilde Y_n=\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n\tilde X_i\), \(Y''_n=\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX''_i\),

maka \(\sequencen{\tilde Y_n}\to 0\) hampir di mana-mana, berdasarkan 273E (misalnya), sedangkan \(\|Y''_n\|_1\le\epsilon\) untuk setiap \(n\). Selain itu,

\(|\alpha_n|=|\Expn(X'_n-X_n)|\le\Expn(|X''_n|)\le\epsilon\)

untuk setiap \(n\). Karena \(|\tilde Y_n|\le 2M\) hampir di mana-mana untuk setiap \(n\), maka \(\lim_{n\to\infty}\|\tilde Y_n\|_1=0\), berdasarkan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue. Jadi

\[\begin{aligned}\limsup_{n\to\infty}\|Y_n\|_1 &=\limsup_{n\to\infty}\|\tilde Y_n+Y''_n +\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n\alpha_i\|_1\\ &\le\lim_{n\to\infty}\|\tilde Y_n\|_1 +\sup_{n\in\Bbb N}\|Y''_n\|_1 +\sup_{n\in\Bbb N}|\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^n\alpha_i|\\ &\le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\lim_{n\to\infty}\|Y_n\|_1=0\), sebagaimana dinyatakan.

*(b) Tetapkan \(M=\sup_{n\in\Bbb N}\|X_n\|_p\). Untuk \(n\in\Bbb N\), tetapkan \(S_n=\sum_{i=0}^nX_i\). Misalkan \(\epsilon>0\). Maka terdapat suatu \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|S+X\|_p\le 1+\epsilon\|X\|_p\) setiap kali \(S\) dan \(X\) merupakan variabel acak bebas, \(\|S\|_p=1\), \(\|X\|_p\le\delta\), dan \(\Expn(X)=0\) (273M). Akibatnya \(\|S+X\|_p\le\|S\|_p+\epsilon\|X\|_p\) setiap kali \(S\) dan \(X\) merupakan variabel acak bebas, \(\|S\|_p\) berhingga, \(\|X\|_p\le\delta\|S\|_p\), dan \(\Expn(X)=0\). Khususnya, \(\|S_{n+1}\|_p\le\|S_n\|_p+\epsilon M\) setiap kali \(\|S_n\|_p\ge M/\delta\). Suatu induksi mudah menunjukkan bahwa

\(\|S_n\|_p\le\Bover{M}{\delta}+M+n\epsilon M\)

untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Namun ini berarti bahwa

\(\limsup_{n\to\infty}\|Y_n\|_p =\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\|S_n\|_p\le\epsilon M\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\lim_{n\to\infty}\|Y_n\|_p=0\).

Catatan Terdapat penguatan (a) dalam 276Xe, dan penguatan (b) dalam 276Ya.

Latihan

273X Latihan dasar (a)

Dalam bagian (b) dari bukti 273B, gunakan kesamaan Bienaymé untuk menunjukkan bahwa \(\lim_{m\to\infty}\sup_{n\ge m}\Pr(|S_n-S_m|\ge\epsilon)=0\) untuk setiap \(\epsilon>0\), sehingga kita dapat menerapkan argumen bagian (a) dari bukti tersebut secara langsung, tanpa menggunakan 242F atau 245G atau bahkan 244E.

273Xb (b)

Tunjukkan bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}\Bover{(-1)^{\omega(n)}}{n+1}\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) untuk hampir setiap \(\pmb{\omega}=\sequencen{\omega(n)}\) dalam \(\{0,1\}^{\Bbb N}\), dengan \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) dilengkapi ukuran biasanya (254J).

273Xc (c)

Misalkan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan bebas himpunan terukur dalam ruang probabilitas, semuanya dengan ukuran tak nol yang sama. Misalkan \(\sequencen{a_n}\) suatu barisan bilangan real nonnegatif sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\infty\). Tunjukkan bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\chi E_n=\infty\) hampir di mana-mana. Petunjuk: Ambil suatu barisan naik ketat \(\sequencen{k_n}\) sedemikian sehingga \(d_n=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}}a_i\ge 1\) untuk setiap \(n\). Tetapkan \(c_i=\Bover{a_i}{(n+1)d_n}\) untuk \(k_n<i\le k_{n+1}\); tunjukkan bahwa \(\sum_{n=0}^{\infty}c_n^2<\infty=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\). Terapkan 273D dengan \(X_n=c_n\chi E_n\) dan \(b_n=\sqrt{\sum_{i=0}^nc_i}\).

273Xd (d) penting

Ambil sebarang \(q\in[0,1]\), dan lengkapi \(\Cal P\Bbb N\) dengan suatu ukuran \(\mu\) sedemikian sehingga

\(\mu\{a:I\subseteq a\}=q^{\#(I)}\)

untuk setiap \(I\subseteq\Bbb N\), seperti dalam 254Xg. Tunjukkan bahwa untuk \(\mu\)-hampir setiap \(a\subseteq\Bbb N\),

\(\lim_{n\to\infty}\Bover{1}{n+1} \#(a\cap\{0,\ldots,n\})=q\).

273Xe (e) penting

Misalkan \(\mu\) ukuran probabilitas biasa pada \(\Cal P\Bbb N\) (254Jb), dan untuk \(r\ge 1\) misalkan \(\mu^r\) ukuran probabilitas produk pada \((\Cal P\Bbb N)^r\). Tunjukkan bahwa

\(\lim_{n\to\infty} \Bover1{n+1}\#(a_1\cap\ldots\cap a_r\cap\{0,\ldots,n\})=2^{-r}\),

\(\lim_{n\to\infty} \Bover1{n+1}\#((a_1\cup\ldots\cup a_r)\cap\{0,\ldots,n\})=1-2^{-r}\)

untuk \(\mu^r\)-hampir setiap \((a_1,\ldots,a_r)\in(\Cal P\Bbb N)^r\).

273Xf (f)

Misalkan \(\mu\) ukuran probabilitas biasa pada \(\Cal P\Bbb N\), dan \(b\) sebarang subhimpunan tak berhingga dari \(\Bbb N\). Tunjukkan bahwa \(\lim_{n\to\infty} \Bover{\#(a\cap b\cap\{0,\ldots,n\})}{\#(b\cap\{0,\ldots,n\})} =\Bover12\) untuk hampir setiap \(a\subseteq\Bbb N\).

273Xg (g) penting

Untuk setiap \(x\in[0,1]\), misalkan \(\epsilon_k(x)\) digit ke-\(k\) dalam pengembangan desimal \(x\) (putuskan sendiri apa yang hendak dilakukan terhadap \(0{\cdot}100\ldots=0{\cdot}099\ldots\)). Tunjukkan bahwa \(\lim_{k\to\infty}\bover1k\#(\{j:j\le k,\,\epsilon_j(x)=7\}) =\bover1{10}\) untuk hampir setiap \(x\in[0,1]\).

273Xh (h)

Misalkan \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan fungsi distribusi bagi variabel acak bernilai real, dalam arti 271Ga, dan \(F\) suatu fungsi distribusi lain; andaikan \(\lim_{n\to\infty}F_n(q)=F(q)\) untuk setiap \(q\in\Bbb Q\) dan \(\lim_{n\to\infty}F_n(a^-)=F(a^-)\) setiap kali \(F(a^-)<F(a)\), dengan \(F(a^-)\) menyatakan \(\lim_{x\uparrow a}F(x)\). Tunjukkan bahwa \(F_n\to F\) secara seragam.

273Xi (i) penting

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan bebas dan berdistribusi identik dari variabel acak bernilai real pada \(\Omega\), dengan fungsi distribusi yang sama \(F\). Untuk \(a\in\Bbb R\), \(n\in\Bbb N\), dan \(\omega\in\bigcap_{i\le n}\dom X_i\) tetapkan

\(F_n(\omega,a) =\Bover1{n+1}\#(\{i:i\le n,\,X_i(\omega)\le a\})\).

Tunjukkan bahwa

\(\lim_{n\to\infty}\sup_{a\in\Bbb R}|F_n(\omega,a)-F(a)| =0\)

untuk hampir setiap \(\omega\in\Omega\).

273Xj (j)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\lambda\) ukuran produk pada \(\Omega^{\Bbb N}\). Misalkan \(f:\Omega\to\Bbb R\) suatu fungsi, dan tetapkan \(f^*(\pmb{\omega}) =\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i)\) untuk \(\pmb{\omega}=\sequencen{\omega_n}\in\Omega^{\Bbb N}\). Tunjukkan bahwa \(\overline{\int}f^*d\lambda=\overline{\int}fd\mu\) setiap kali ruas kanan berhingga. Petunjuk: 133J(a-i).

273Xk (k)

Temukan suatu barisan bebas \(\sequencen{X_n}\) dari variabel acak dengan ekspektasi nol sedemikian sehingga \(\|X_n\|_1=1\) dan \(\|\bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i\|_1\ge\bover12\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Petunjuk: ambil \(\Pr(X_n\ne 0)\) sangat kecil.

273Xl (l)

Gunakan 272S untuk membuktikan 273Nb dalam kasus \(p=2\).

273Xm (m)

Temukan suatu barisan bebas \(\sequencen{X_n}\) dari variabel acak dengan ekspektasi nol sedemikian sehingga \(\|X_n\|_{\infty}=\|\bover1{n+1}\sum_{i=0}^nX_i\|_{\infty}=1\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

273Xn (n)

Ulangi pekerjaan seksi ini untuk variabel acak bernilai kompleks.

273Xo (o)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\sequencen{E_n}\) suatu barisan bebas dalam \(\Sigma\) sedemikian sehingga \(\alpha=\lim_{n\to\infty}\mu E_n\) terdefinisi. Untuk \(x\in X\) tetapkan \(I_x=\{n:x\in E_n\}\). Tunjukkan bahwa \(I_x\) mempunyai kepadatan asimtotik \(\alpha\) untuk hampir setiap \(x\).

273Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((\Omega,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas, dan \(\lambda\) ukuran produk pada \(\Omega^{\Bbb N}\). Andaikan \(f\) suatu fungsi bernilai real, yang didefinisikan pada suatu subhimpunan dari \(\Omega\), sedemikian sehingga

\(h(\pmb{\omega}) =\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{i=0}^nf(\omega_i)\)

ada dalam \(\Bbb R\) untuk \(\lambda\)-hampir setiap \(\pmb{\omega}=\sequencen{\omega_n}\) dalam \(\Omega^{\Bbb N}\). Tunjukkan (i) bahwa \(f\) mempunyai domain koterabaikan (ii) \(f\) terukur terhadap \(\hat\Sigma\), dengan \(\hat\Sigma\) domain pelengkapan \(\mu\) (iii) terdapat suatu \(a\in\Bbb R\) sedemikian sehingga \(h=a\) hampir di mana-mana dalam \(\Omega^{\Bbb N}\) (iv) \(f\) terintegralkan, dengan \(\int fd\mu=a\).

273Yb (b)

Misalkan \(\sequencen{X_n}\) suatu barisan variabel acak dengan varians berhingga. Andaikan \(\lim_{n\to\infty}\Expn(X_n)=\infty\) dan \(\liminf_{n\to\infty} \Bover{\Expn(X_n^2)}{(\Expn(X_n))^2}\le 1\). Tunjukkan bahwa \(\limsup_{n\to\infty}X_n=\infty\) hampir di mana-mana.

Catatan dan komentar

273 Catatan penutup untuk Bagian 273

Dalam seksi ini saya telah mencoba menawarkan kriteria-kriteria baku yang paling berguna bagi konvergensi titik demi titik dari rata-rata variabel acak bebas. Menurut pandangan saya, hukum kuat bilangan besar, seperti teorema Fubini, merupakan salah satu langkah penting dalam teori ukuran, tempat pokok bahasan tersebut berubah sifat. Teorema-teorema yang bergantung pada hukum kuat mempunyai semacam kedalaman dan kehalusan yang tidak terdapat di bagian-bagian lain pokok bahasan ini. Saya hanya menguraikan segelintir penerapan di sini, tetapi saya berharap 273G, 273J, 273Xd, 273Xg, dan 273Xi memberi gambaran tentang apa yang dapat diharapkan. Penerapan-penerapan ini mempunyai bobot yang agak berbeda. Di antara kelimanya, hanya 273J yang memerlukan seluruh sumber daya bab ini; yang lain dapat diturunkan dari versi yang pada dasarnya lebih sederhana dalam 273F.

273Xi adalah ’teorema dasar statistika’ atau ’teorema Glivenko–Cantelli’. Fungsi-fungsi \(F_n(.,a)\) merupakan ’statistik’, yang dihitung dari \(X_i\); fungsi-fungsi tersebut merupakan ’distribusi empiris’, dan teorema itu menyatakan bahwa, hampir pasti, \(F_n\to F\) secara seragam. (Saya mengatakan ’secara seragam’ untuk membuat hasilnya tampak lebih mencolok, tetapi tentu saja isi sebenarnya ialah bahwa \(F_n(.,a)\to F(a)\) hampir pasti untuk setiap \(a\); langkah tambahannya hanyalah 273Xh.)

Saya menyertakan 273N untuk menunjukkan bahwa kebebasan sama pentingnya dalam persoalan konvergensi norma seperti dalam persoalan konvergensi titik demi titik. Hasil tersebut sebenarnya tidak mengandalkan bentuk hukum kuat apa pun; dalam buktinya saya mengutip 273E sebagai cara cepat untuk menangani ’bagian-bagian terbatas secara seragam’ \(X'_n\), tetapi tentu saja kesamaan Bienaymé (272S) sudah cukup untuk menunjukkan bahwa jika \(\sequencen{X'_n}\) merupakan barisan bebas terbatas secara seragam dari variabel acak dengan ekspektasi nol, maka \(\|\bover1{n+1}(X'_0+\ldots+X'_n)\|_p\to 0\) untuk \(p=2\), dan karena itu untuk setiap \(p<\infty\).

Bukti-bukti 273H, 273I, dan 273Na semuanya melibatkan ’pemenggalan’, yaitu pengungkapan suatu variabel acak \(X\) sebagai jumlah suatu variabel acak terbatas dan suatu ekor. Ini merupakan salah satu teknik terkuat dalam pokok bahasan ini, dan akan muncul lagi dalam §276 serta (dengan cara yang agak berbeda) dalam §274. Dalam 273Na saya menggunakan perumusan metode yang sedikit berbeda, semata-mata karena perumusan itu lebih dekat dengan definisi ’terintegralkan secara seragam’.