© 1995
Kekuatan luar biasa teori integrasi Lebesgue barangkali paling jelas ditunjukkan oleh kemampuannya menyediakan struktur yang relevan bagi pertanyaan-pertanyaan yang sangat berbeda dari persoalan yang mula-mula hendak ditanganinya. Dalam bab ini saya menyajikan konstruksi dan sifat-sifat elementer beberapa ruang dasar dalam analisis fungsional.
Saya tidak merasa perlu membenarkan kajian tentang ruang bernorma di sini; jika Anda belum pernah menjumpainya, saya berharap pendahuluan ini setidaknya akan menunjukkan bahwa ruang-ruang tersebut menyediakan landasan bagi suatu perpaduan yang mengagumkan antara aljabar dan analisis. Bagian-bagian teori ruang metrik, ruang bernorma, dan topologi umum yang akan kita perlukan diuraikan secara ringkas dalam §§2A2-2A5. ‘Ruang-ruang fungsi’ utama yang dibahas dalam bab ini sebenarnya memadukan tiga unsur struktural: ruang-ruang tersebut merupakan ruang linear (berdimensi tak hingga), ruang metrik, dengan konsep-konsep kontinuitas dan konvergensi yang menyertainya, serta ruang terurut, dengan pengertian supremum dan infimum yang bersesuaian. Interaksi di antara ketiga jenis struktur ini menyediakan khazanah gagasan yang tiada habisnya. Lebih jauh, banyak dari gagasan tersebut dapat diterapkan secara langsung pada beragam masalah dalam matematika yang kurang lebih bersifat terapan, khususnya pada persamaan diferensial dan integral, tetapi secara lebih umum pada setiap sistem dengan tak hingga banyaknya derajat kebebasan.
Saya menyusun bab ini dengan bagian-bagian mengenai \(L^0\) (ruang kelas ekuivalensi semua fungsi terukur bernilai riil, tempat semua ruang lain dalam bab ini dibenamkan), \(L^1\) (kelas ekuivalensi fungsi-fungsi terintegralkan), \(L^{\infty}\) (kelas ekuivalensi fungsi-fungsi terukur terbatas), dan \(L^p\) (kelas ekuivalensi fungsi-fungsi yang pangkat ke-\(p\)-nya terintegralkan). Meskipun analisis fungsional biasa jauh lebih banyak memberi perhatian pada ruang Banach \(L^p\) untuk \(1\le p\le\infty\) daripada pada \(L^0\), dari sudut pandang khusus buku ini ruang \(L^0\) sekurang-kurangnya sama penting dan sama menariknya dengan ruang-ruang yang lain. Setelah keempat bagian tersebut, saya kembali mengkaji topologi baku pada \(L^0\), yaitu topologi ‘konvergensi dalam ukuran’ (§245), kemudian dua bagian yang saling terkait mengenai keterintegralan seragam dan kekompakan lemah dalam \(L^1\) (§§246-247).
Ada satu hal teknis di sini yang tidak boleh sekali-kali luput dari perhatian. Walaupun sudah lazim dan wajar untuk menyebut \(L^1\), \(L^2\), dan yang lainnya sebagai ‘ruang fungsi’, unsur-unsurnya sebenarnya bukan fungsi, melainkan kelas-kelas ekuivalensi fungsi. Seperti terlihat dari bahasa dalam paragraf sebelumnya, kebiasaan saya adalah mempertahankan pembedaan itu dengan saksama; alasan saya diberikan dalam catatan untuk §241.