Produk tak hingga — Fondasi Teori Ukuran

Sekarang saya sampai pada gagasan dasar kedua dari bab ini: uraian tentang ukuran produk pada produk suatu keluarga ruang probabilitas (yang mungkin besar). Bagian ini dimulai dengan suatu konstruksi yang sejalan dengan konstruksi dalam §251 (254A-254F) dan sifat penentunya dalam hal fungsi-fungsi pelestari ukuran melalui prapeta (254G). Saya membahas ukuran biasa pada \(\{0,1\}^I\) (254J-254K), ukuran subruang (254L), dan berbagai sifat subproduk (254M-254T), termasuk kajian tentang operator ekspektasi bersyarat yang terkait (254R-254T).

254A Definisi (a)

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) suatu keluarga ruang probabilitas. Tetapkan \(X=\prod_{i\in I}X_i\), yaitu keluarga fungsi \(x\) dengan domain \(I\) sedemikian sehingga \(x(i)\in X_i\) untuk setiap \(i\in I\). Dalam konteks ini, saya akan mengatakan bahwa suatu silinder terukur adalah subhimpunan \(X\) yang dapat dinyatakan dalam bentuk

\(C=\prod_{i\in I}C_i,\)

dengan \(C_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\) dan \(\{i:C_i\ne X_i\}\) berhingga. Perhatikan bahwa untuk \(C\subseteq X\) yang tidak kosong, representasi ini unik. Bukti. Andaikan \(C=\prod_{i\in I}C_i=\prod_{i\in I}C'_i\). Untuk setiap \(i\in I\), tetapkan \(D_i=\{x(i):x\in C\}.\) Tentu saja \(D_i\subseteq C_i\). Karena \(C\ne\emptyset\), kita dapat memilih suatu \(z\in C\). Jika \(i\in I\) dan \(t\in C_i\), tinjau \(x\in X\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(x(i)=t\), \(x(j)=z(j)\text{ untuk }j\ne i;\) maka \(x\in C\), sehingga \(t=x(i)\in D_i\). Jadi \(D_i=C_i\) untuk \(i\in I\). Dengan cara yang sama, \(D_i=C'_i\). ∎

254Ab (b)

Karena itu kita dapat mendefinisikan suatu fungsional \(\theta_0:\Cal C\to[0,1]\), dengan \(\Cal C\) himpunan silinder terukur, dengan menetapkan

\(\theta_0C=\prod_{i\in I}\mu_iC_i\)

kapan pun \(C_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\) dan \(\{i:C_i\ne X_i\}\) berhingga, dengan memperhatikan bahwa hanya berhingga banyak suku dalam produk yang berbeda dari \(1\), sehingga produk itu dapat diperlakukan dengan aman sebagai produk berhingga. Jika \(C=\emptyset\), salah satu \(C_i\) harus kosong, sehingga \(\theta_0C\) pastilah \(0\), meskipun representasi \(C\) sebagai \(\prod_{i\in I}C_i\) tidak lagi unik.

254Ac (c)

Sekarang definisikan \(\theta:\Cal PX\to[0,1]\) dengan

\(\theta A =\inf\{\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n:C_n\in\Cal C \text{ untuk setiap }n\in\Bbb N\), \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\}\).

254B Lema

Fungsional \(\theta\) yang didefinisikan dalam 254Ac selalu merupakan ukuran luar pada \(X\).

254C Definisi

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) sebarang keluarga terindeks ruang probabilitas, dan \(X\) produk Kartesius \(\prod_{i\in I}X_i\). Ukuran produk pada \(X\) adalah ukuran yang didefinisikan melalui metode Carathéodory (113C) dari ukuran luar \(\theta\) yang didefinisikan dalam 254A.

254D Catatan (a)

Dalam 254Ab, saya menegaskan bahwa jika \(C\in\Cal C\) dan tidak ada \(C_i\) yang kosong, maka \(C=\prod_{i\in I}C_i\) juga tidak kosong. Inilah ‘Aksioma Pilihan’: produk dari sebarang keluarga \(\langle C_i\rangle_{i\in I}\) yang terdiri atas himpunan-himpunan tidak kosong adalah tidak kosong, yaitu, terdapat suatu ‘fungsi pilihan’ \(x\) dengan domain \(I\) yang memilih satu anggota istimewa \(x(i)\) dari setiap \(C_i\). Dalam jilid ini saya tidak berusaha untuk selalu teliti dalam menunjukkan penggunaan aksioma pilihan. Bahkan, penggunaan di sini bukan penggunaan yang mutlak penting; maksud saya, teori produk tak hingga, bahkan produk tak terhitung, dari ruang probabilitas tidak berubah sifat sepenuhnya tanpa aksioma pilihan penuh (asalkan, tentu saja, kita mengizinkan diri menggunakan aksioma pilihan terhitung). Intinya ialah bahwa yang sungguh-sungguh kita perlukan, dalam konteks sekarang, adalah bahwa \(X=\prod_{i\in I}X_i\) tidak kosong; dan dalam banyak konteks kita dapat membuktikan hal ini, untuk kasus tertentu yang diperhatikan, tanpa menggunakan aksioma pilihan, dengan benar-benar menunjukkan seorang anggota \(X\). Kasus paling sederhana yang menyulitkan adalah ketika \(X_i\) merupakan subhimpunan Borel tak terkendali dari \([0,1]\); dan bahkan ketika itu, jika disajikan dengan uraian yang koheren, kita mungkin, dengan kerja yang memadai, dapat membangun seorang anggota \(X\). Namun, jelas bahwa proses semacam itu dapat memperlambat kita secara berarti, dan untuk sementara saya kira tidak banyak manfaatnya menempuh kesulitan sebesar itu.

254Db (b)

Saya memberi bagian ini judul ‘produk tak hingga’, tetapi gagasan-gagasannya berguna pula untuk \(I\) berhingga; khususnya, saya perlu menyebutkan kasus \(\#(I)\le 2\).

(i) Jika \(I=\emptyset\), \(X\) terdiri atas satu-satunya fungsi dengan domain \(I\), yaitu fungsi kosong. Jika kita mengidentifikasi fungsi dengan grafnya, maka \(X\) sesungguhnya adalah \(\{\emptyset\}\); bagaimanapun, \(X\) merupakan himpunan singleton, dengan \(\lambda X=1\).

(ii) Jika \(I\) merupakan singleton \(\{i\}\), maka kita dapat mengidentifikasi \(X\) dengan \(X_i\); \(\Cal C\) menjadi teridentifikasi dengan \(\Sigma_i\) dan \(\theta_0\) dengan \(\mu_i\), sehingga \(\theta\) dapat diidentifikasi dengan \(\mu_i^*\) dan ‘ukuran produk’ menjadi ukuran pada \(X_i\) yang didefinisikan dari \(\mu_i^*\), yaitu pelengkapan \(\mu_i\) (lihat 213Xa(iv)).

(iii) Jika \(I\) merupakan himpunan beranggota dua \(\{i,j\}\), maka kita dapat mengidentifikasi \(X\) dengan \(X_i\times X_j\); dalam kasus ini definisi 254A dan 254C persis sama dengan definisi 251A dan 251C, sehingga \(\lambda\) di sini dapat diidentifikasi dengan ukuran produk primitif sebagaimana didefinisikan dalam 251C. Karena \(\mu_i\) dan \(\mu_j\) keduanya berhingga total, ukuran ini sama dengan ukuran produk c.l.d. yang tercantum dalam 251F.

254E Definisi

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) sebarang keluarga himpunan, dan \(X=\prod_{i\in I}X_i\). Jika \(\Sigma_i\) merupakan subaljabar-\(\sigma\) dari himpunan bagian \(X_i\) untuk setiap \(i\in I\), saya menuliskan \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) untuk aljabar-\(\sigma\) himpunan bagian \(X\) yang dibangkitkan oleh

\(\{\{x:x\in X\), \(x(i)\in E\}: i\in I\), \(E\in\Sigma_i\}\).

(Bandingkan 251D.)

254F Teorema

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan misalkan \(\lambda\) ukuran produk pada \(X=\prod_{i\in I}X_i\) yang didefinisikan seperti dalam 254C; misalkan \(\Lambda\) domainnya.

(a) \(\lambda X=1\).

(b) Jika \(E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\), dan \(\{i:E_i\ne X_i\}\) adalah terhitung, maka \(\prod_{i\in I}E_i\in\Lambda\), dan \(\lambda(\prod_{i\in I}E_i)=\prod_{i\in I}\mu_iE_i\). Khususnya, \(\lambda C=\theta_0C\) untuk setiap silinder terukur \(C\), sebagaimana didefinisikan dalam 254A, dan jika \(j\in I\), maka \(x\mapsto x(j):X\to X_j\) merupakan fungsi pelestari ukuran melalui prapeta.

(d) \(\lambda\) lengkap.

(e) Untuk setiap \(W\in\Lambda\) dan \(\epsilon>0\), terdapat suatu keluarga berhingga \(C_0,\ldots,C_n\) dari silinder terukur sedemikian sehingga \(\lambda(W\symmdiff\bigcup_{k\le n}C_k)\le\epsilon\).

(f) Untuk setiap \(W\in\Lambda\), terdapat \(W_1\), \(W_2\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(W_1\subseteq W\subseteq W_2\) dan \(\lambda(W_2\setminus W_1)=0\).

Catatan Barangkali saya perlu berhenti sejenak untuk menafsirkan produk \(\prod_{i\in I}\mu_iE_i\). Karena semua \(\mu_iE_i\) termasuk dalam \([0,1]\), produk ini hanyalah \(\inf_{J\subseteq I,J\text{ berhingga}}\prod_{i\in J}\mu_iE_i\), dengan produk kosong dianggap sama dengan \(1\).

Bukti

Sepanjang bukti ini, definisikan \(\Cal C\), \(\theta_0\) dan \(\theta\) seperti dalam 254A. Saya akan menuliskan argumen yang berlaku untuk \(I\) berhingga maupun \(I\) tak hingga, tetapi pada pembacaan pertama anda boleh saja lebih suka mengandaikan bahwa \(I\) tak hingga.

(a) Tentu saja \(\lambda X=\theta X\), sehingga saya harus menunjukkan bahwa \(\theta X=1\). Karena \(X\), \(\emptyset\in\Cal C\) dan \(\theta_0X=\prod_{i\in I}\mu_iX_i=1\) serta \(\theta_0\emptyset=0\),

\(\theta X\le\theta_0X+\theta_0\emptyset+\ldots=1\).

Jadi saya harus menunjukkan bahwa \(\theta X\ge 1\). ? Andaikan, jika mungkin, bahwa hal ini salah.

(i) Terdapat suatu barisan \(\sequencen{C_n}\) dalam \(\Cal C\), yang menutupi \(X\), sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n<1\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), nyatakan \(C_n\) sebagai \(\{x:x(i)\in E_{ni}\Forall i\in I\}\), dengan setiap \(E_{ni}\in\Sigma_i\) dan \(J_n=\{i:E_{ni}\ne X_i\}\) berhingga. Tidak satu pun \(J_n\) dapat kosong, karena \(\theta_0C_n<1=\theta_0X\); tetapkan \(J=\bigcup_{n\in\Bbb N}J_n\). Maka \(J\) merupakan subhimpunan terhitung yang tidak kosong dari \(I\). Tetapkan \(K=\Bbb N\) jika \(J\) tak hingga, dan \(\{k:0\le k<\#(J)\}\) jika \(J\) berhingga; misalkan \(k\mapsto i_k:K\to J\) suatu bijeksi.

Untuk setiap \(k\in K\), tetapkan \(L_k=\{i_j:j<k\}\subseteq J\), dan tetapkan \(\alpha_{nk}=\prod_{i\in I\setminus L_k}\mu_iE_{ni}\) untuk \(n\in\Bbb N\), \(k\in K\). Jika \(J\) berhingga, kita dapat mengidentifikasi \(L_{\#(J)}\) dengan \(J\), dan menetapkan \(\alpha_{n,\#(J)}=1\) untuk setiap \(n\). Kita mempunyai \(\alpha_{n0}=\theta_0C_n\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_{n0}<1\). Untuk \(n\in\Bbb N\), \(k\in K\), dan \(t\in X_{i_k}\), tetapkan

\[\begin{aligned}f_{nk}(t)&=\alpha_{n,k+1}\text{ jika }t\in E_{n,i_k},\\ &=0\text{ jika tidak}.\\\end{aligned}\]

Maka

\(\int f_{nk}d\mu_{i_k} =\alpha_{n,k+1}\mu_{i_k}E_{n,i_k}=\alpha_{nk}\).

(ii) Pilih \(t_k\in X_{i_k}\) secara induktif, untuk \(k\in K\), sebagai berikut. Hipotesis induksinya adalah \(\sum_{n\in M_k}\alpha_{nk}<1\), dengan \(M_k=\{n:n\in \Bbb N\), \(t_j\in E_{n,i_j}\Forall j<k\}\); tentu saja \(M_0=\Bbb N\), sehingga induksi dapat dimulai. Karena

\(1>\sum_{n\in M_k}\alpha_{nk} =\sum_{n\in M_k}\int f_{nk}d\mu_{i_k} =\int(\sum_{n\in M_k}f_{nk})d\mu_{i_k}\)

(menurut teorema B. Levi), harus terdapat \(t_k\in X_{i_k}\) sedemikian sehingga \(\sum_{n\in M_k}f_{nk}(t_{k})<1\). Untuk pilihan \(t_k\) semacam itu, \(\alpha_{n,k+1}=f_{nk}(t_k)\) untuk setiap \(n\in M_{k+1}\), sehingga \(\sum_{n\in M_{k+1}}\alpha_{n,k+1}<1\), dan induksi berlanjut, kecuali jika \(J\) berhingga dan \(k+1=\#(J)\). Dalam kasus terakhir ini kita harus mempunyai \(M_{\#(J)}=\emptyset\), karena \(\alpha_{n,\#(J)}=1\) untuk setiap \(n\).

(iii) Jika \(J\) tak hingga, kita memperoleh suatu barisan lengkap \(\sequence{k}{t_k}\); jika \(J\) berhingga, kita hanya memperoleh barisan berhingga \(\langle t_k\rangle_{k<\#(J)}\). Dalam kedua kasus, terdapat \(x\in X\) sedemikian sehingga \(x(i_k)=t_k\) untuk setiap \(k\in K\). Sekarang harus terdapat \(m\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(x\in C_m\). Karena \(J_m=\{i:E_{mi}\ne X_i\}\) berhingga, terdapat \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(J_m\subseteq L_k\) (dengan mengizinkan \(k=\#(J)\) jika \(J\) berhingga). Sekarang \(m\in M_k\), sehingga sesungguhnya tidak mungkin \(k=\#(J)\), dan \(\alpha_{mk}=1\), sehingga \(\sum_{n\in M_k}\alpha_{nk}\ge 1\), bertentangan dengan hipotesis induksi. !

Kontradiksi ini menunjukkan bahwa \(\theta X=1\).

(b)(i) Saya membahas kasus khusus terlebih dahulu. Andaikan \(j\in I\) dan \(E\in\Sigma_j\), serta misalkan \(C\in\Cal C\); tetapkan \(W=\{x:x\in X\), \(x(j)\in E\}\); maka \(C\cap W\) dan \(C\setminus W\) keduanya termasuk dalam \(\Cal C\), dan \(\theta_0 C=\theta_0(C\cap W)+\theta_0(C\setminus W)\). Bukti. Jika \(C=\prod_{i\in I}C_i\), dengan \(C_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\), maka \(C\cap W=\prod_{i\in I}C_i'\), dengan \(C_i'=C_i\) jika \(i\ne j\), dan \(C_j'=C_j\cap E\); demikian pula, \(C\setminus W=\prod_{i\in I}C_i''\), dengan \(C_i''=C_i\) jika \(i\ne j\), dan \(C_j''=C_j\setminus E\). Jadi keduanya termasuk dalam \(\Cal C\), dan

\(\theta_0(C\cap W)+\theta_0(C\setminus W) =(\mu_j(C_j\cap E)+\mu_j(C_j\setminus E))\prod_{i\ne j}\mu_iC_i =\prod_{i\in I}\mu_iC_i =\theta_0C\). ∎

(ii) Sekarang andaikan \(A\subseteq X\) sebarang himpunan, dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat suatu barisan \(\sequencen{C_n}\) dalam \(\Cal C\) sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n\le\theta A+\epsilon\). Dalam hal ini

\(A\cap W\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\cap W\), \(A\setminus W\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\setminus W,\)

sehingga

\(\theta(A\cap W)\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0(C_n\cap W),\quad \theta(A\setminus W)\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0(C_n\setminus W),\)

dan

\(\theta(A\cap W)+\theta(A\setminus W) \le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0(C_n\cap W)+\theta_0(C_n\setminus W) =\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n \le\theta A+\epsilon.\)

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\theta(A\cap W)+\theta(A\setminus W)\le\theta A\); karena \(A\) sembarang, \(W\in\Lambda\).

(iii) Berikutnya saya menunjukkan bahwa jika \(J\subseteq I\) berhingga dan \(C_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in J\), serta \(C=\{x:x\in X\), \(x(i)\in C_i\Forall i\in J\}\), maka \(C\in\Lambda\) dan \(\lambda C=\prod_{i\in J}\mu_iC_i\). Bukti. Lakukan induksi terhadap \(\#(J)\). Jika \(\#(J)=0\), yaitu \(J=\emptyset\), maka \(C=X\) dan ini adalah bagian (a). Untuk langkah induksi menuju \(\#(J)=n+1\), ambil sebarang \(j\in J\) dan tetapkan \(J'=J\setminus\{j\}\),

\(C'=\{x:x\in X\), \(x(i)\in C_i\Forall i\in J'\},\)

\(C''=C'\setminus C=\{x:x\in C'\), \(x(j)\in X_j\setminus C_j\}.\)

Maka \(C\), \(C'\), dan \(C''\) semuanya termasuk dalam \(\Cal C\), dan \(\theta_0 C'=\prod_{i\in J'}\mu_iC_i=\alpha\), katakanlah, \(\theta_0C=\alpha\mu_jC_j\), \(\theta_0C''=\alpha(1-\mu_jC_j)\). Selain itu, menurut hipotesis induksi, \(C'\in\Lambda\) dan \(\alpha=\lambda C'=\theta C'\). Jadi \(C=C'\cap\{x:x(j)\in C_j\}\in\Lambda\) menurut (ii), dan \(C''=C'\setminus C\in\Lambda\).

Kita tentu mempunyai \(\lambda C=\theta C\le\theta_0C\), \(\lambda C''\le\theta_0C''\); tetapi juga

\(\alpha=\lambda C'=\lambda C+\lambda C''\le\theta_0 C+\theta_0C''=\alpha,\)

sehingga sesungguhnya

\(\lambda C=\theta_0 C=\alpha\mu_jC_j =\prod_{i\in J}\mu_iC_i\),

dan induksi berlanjut. ∎

(iv) Sekarang mari kembali ke kasus umum suatu himpunan \(W\) yang berbentuk \(\prod_{i\in I}E_i\), dengan \(E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\), dan \(K=\{i:E_i\ne X_i\}\) terhitung. Jika \(K\) berhingga, maka \(W=\{x:x(i)\in E_i\Forall i\in K\}\), sehingga \(W\in\Lambda\) dan

\(\lambda W =\prod_{i\in K}\mu_iE_i=\prod_{i\in I}\mu_iE_i\).

Jika tidak, misalkan \(\sequencen{i_n}\) suatu enumerasi dari \(K\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), tetapkan \(W_n=\{x:x\in X\), \(x(i_k)\in E_{i_k}\Forall k\le n\}\); kita telah mengetahui bahwa \(W_n\in\Lambda\) dan bahwa \(\lambda W_n=\prod_{k=0}^n\mu_{i_k}E_{i_k}\). Namun \(\sequencen{W_n}\) merupakan barisan tak menaik dengan irisan \(W\), sehingga \(W\in\Lambda\) dan

\(\lambda W=\lim_{n\to\infty}\lambda W_n =\prod_{i\in K}\mu_iE_i =\prod_{i\in I}\mu_iE_i.\)

(c) merupakan akibat langsung dari (b) dan definisi \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\).

(d) Karena \(\lambda\) dibangun dengan metode Carathéodory, ukuran ini harus lengkap.

(e) Misalkan \(\sequencen{C_n}\) suatu barisan dalam \(\Cal C\) sedemikian sehingga \(W\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n\le\theta W+\bover12\epsilon\). Tetapkan \(V=\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\); menurut (b), \(V\in\Lambda\). Misalkan \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\sum_{i=n+1}^{\infty}\theta_0C_i\le\bover12\epsilon\), dan tinjau \(W'=\bigcup_{k\le n}C_k\). Karena \(V\setminus W'\subseteq\bigcup_{i>n}C_i\),

\[\begin{aligned}\lambda(W\symmdiff W') &\le\lambda(V\setminus W)+\lambda(V\setminus W') =\lambda V-\lambda W+\lambda(V\setminus W') =\theta V-\theta W+\theta(V\setminus W')\\ &\le\sum_{i=0}^{\infty}\theta_0C_i-\theta W+\sum_{i=n+1}\theta_0C_i \le\Bover12\epsilon+\Bover12\epsilon =\epsilon.\\\end{aligned}\]

(f)(i) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\epsilon>0\), terdapat suatu \(V\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(W\subseteq V\) dan \(\lambda V\le\lambda W+\epsilon\). Bukti. Misalkan \(\sequencen{C_n}\) suatu barisan dalam \(\Cal C\) sedemikian sehingga \(W\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n\le\theta W+\epsilon\). Maka \(C_n\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) untuk setiap \(n\), sehingga \(V=\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\). Sekarang \(W\subseteq V\), dan

\(\lambda V=\theta V\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n \le\theta W+\epsilon=\lambda W+\epsilon\). ∎

(ii) Sekarang, untuk \(W\in\Lambda\), misalkan \(\sequencen{V_n}\) suatu barisan himpunan dalam \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(W\subseteq V_n\) dan \(\lambda V_n\le\lambda W+2^{-n}\) untuk setiap \(n\); maka \(W_2=\bigcap_{n\in\Bbb N}V_n\) termasuk dalam \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) dan \(W\subseteq W_2\) dan \(\lambda W_2=\lambda W\). Dengan cara yang sama, terdapat \(W'_2\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(X\setminus W\subseteq W'_2\) dan \(\lambda W'_2=\lambda(X\setminus W)\), sehingga kita dapat mengambil \(W_1=X\setminus W'_2\) untuk menyelesaikan bukti.

254G

Berikut ini adalah sifat mendasar, bahkan sifat penentu, dari ukuran produk. (Bandingkan 251L.)

Teorema Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) suatu keluarga ruang probabilitas dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). Misalkan \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang probabilitas lengkap dan \(\phi:Y\to X\) suatu fungsi. Andaikan bahwa \(\nu^*\phi^{-1}[C]\le\lambda C\) untuk setiap silinder terukur \(C\subseteq X\). Maka \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. Khususnya, \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta jika dan hanya jika \(\phi^{-1}[C]\in\Tau\) dan \(\nu\phi^{-1}[C]=\lambda C\) untuk setiap silinder terukur \(C\subseteq X\).

Catatan Dengan \(\nu^*\) saya maksudkan ukuran luar yang lazim, yang didefinisikan dari \(\nu\) seperti dalam §132.

Bukti

(a) Pertama-tama perhatikan bahwa, dengan menuliskan \(\theta\) untuk ukuran luar dalam 254A, \(\nu^*\phi^{-1}[A]\le\theta A\) untuk setiap \(A\subseteq X\). Bukti. Untuk \(\epsilon>0\), terdapat suatu barisan \(\sequencen{C_n}\) dari silinder terukur sedemikian sehingga \(A\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\theta_0C_n\le\theta A+\epsilon\), dengan \(\theta_0\) fungsional dalam 254A. Namun kita mengetahui bahwa \(\theta_0C=\lambda C\) untuk setiap silinder terukur \(C\) (254Fb), sehingga

\(\nu^*\phi^{-1}[A] \le\nu^*(\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi^{-1}[C_n]) \le\sum_{n=0}^{\infty}\nu^*\phi^{-1}[C_n] \le\sum_{n=0}^{\infty}\lambda C_n \le\theta A+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\nu^*\phi^{-1}[A]\le\theta A\). ∎

(b) Sekarang ambil sebarang \(W\in\Lambda\). Maka terdapat \(F\), \(F'\in\Tau\) sedemikian sehingga

\(\phi^{-1}[W]\subseteq F\), \(\phi^{-1}[X\setminus W]\subseteq F'\),

\(\nu F=\nu^*\phi^{-1}[W]\le\theta W=\lambda W\), \(\nu F'\le\lambda[X\setminus W]\).

Kita mempunyai

\(F\cup F'\supseteq\phi^{-1}[W]\cup\phi^{-1}[X\setminus W]=Y\),

sehingga

\(\nu(F\cap F')=\nu F+\nu F'-\nu(F\cup F') \le\lambda W+\lambda(X\setminus W)-1=0\).

Sekarang

\(F\setminus\phi^{-1}[W]\subseteq F\cap\phi^{-1}[X\setminus W]\subseteq F\cap F'\)

terabaikan terhadap \(\nu\). Karena \(\nu\) lengkap, \(F\setminus\phi^{-1}[W]\in\Tau\) dan \(\phi^{-1}[W]=F\setminus(F\setminus\phi^{-1}[W])\) termasuk dalam \(\Tau\). Selain itu,

\(1=\nu F+\nu F'\le\lambda W+\lambda(X\setminus W)=1\),

sehingga harus berlaku \(\nu F=\lambda W\); tetapi ini berarti bahwa \(\nu\phi^{-1}[W]=\lambda W\). Karena \(W\) sembarang, \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta.

254H Korolari

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) dan \(\langle(Y_i,\Tau_i,\nu_i)\rangle_{i\in I}\) dua keluarga ruang probabilitas, dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\) dan \((Y,\Lambda',\lambda')\). Andaikan bahwa untuk setiap \(i\in I\) diberikan suatu fungsi pelestari ukuran melalui prapeta \(\phi_i:X_i\to Y_i\). Tetapkan \(\phi(x)=\familyiI{\phi_i(x(i))}\) untuk \(x\in X\). Maka \(\phi:X\to Y\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta.

254I

Sebagai padanan 251T, kita mempunyai hasil berikut.

Proposisi Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, \(\lambda\) ukuran produk pada \(X=\prod_{i\in I}X_i\), dan \(\Lambda\) domainnya. Maka \(\lambda\) juga merupakan produk dari pelengkapan \(\hat\mu_i\) masing-masing \(\mu_i\) (212C).

Bukti

Tuliskan \(\hat\lambda\) untuk produk dari \(\hat\mu_i\), dan \(\hat\Lambda\) untuk domainnya. (i) Peta identitas dari \(X_i\) ke dirinya sendiri bersifat pelestari ukuran melalui prapeta jika dipandang sebagai peta dari \((X_i,\hat\mu_i)\) ke \((X_i,\mu_i)\), sehingga peta identitas pada \(X\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta jika dipandang sebagai peta dari \((X,\hat\lambda)\) ke \((X,\lambda)\), menurut 254H; yaitu, \(\Lambda\subseteq\hat\Lambda\) dan \(\lambda=\hat\lambda\restr\Lambda\). (ii) Jika \(C\) merupakan silinder terukur untuk \(\langle\hat\mu_i\rangle_{i\in I}\), yaitu, \(C=\prod_{i\in I}C_i\) dengan \(C_i\in\hat\Sigma_i\) untuk setiap \(i\) dan \(\{i:C_i\ne X_i\}\) adalah berhingga, maka untuk setiap \(i\in I\) kita dapat menemukan suatu \(C'_i\in\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(C_i\subseteq C'_i\) dan \(\mu_iC'_i=\hat\mu_iC_i\); dengan menetapkan \(C'=\prod_{i\in I}C'_i\), kita memperoleh

\(\lambda^*C\le\lambda C'=\prod_{i\in I}\mu_iC'_i =\prod_{i\in I}\hat\mu_iC_i=\hat\lambda C\).

Menurut 254G, \(\lambda W\) harus terdefinisi dan sama dengan \(\hat\lambda W\) kapan pun \(W\in\hat\Lambda\). Dengan menggabungkan hal ini dengan (i), kita melihat bahwa \(\lambda=\hat\lambda\).

254J

Ukuran produk pada \(\{0,1\}^I\) (a) Barangkali contoh terpenting di antara semua ukuran produk tak hingga adalah kasus ketika setiap faktor \(X_i\) hanyalah \(\{0,1\}\) dan setiap \(\mu_i\) merupakan ukuran probabilitas ‘koin adil’, yang ditetapkan oleh

\(\mu_i\{0\}=\mu_i\{1\}=\Bover12\).

Dalam kasus ini, produk \(X=\{0,1\}^I\) mempunyai suatu keluarga \(\langle E_i\rangle_{i\in I}\) dari himpunan terukur sedemikian sehingga, dengan menuliskan \(\lambda\) untuk ukuran produk pada \(X\),

\(\lambda(\bigcap_{i\in J}E_i)=2^{-\#(J)}\) jika \(J\subseteq I\) berhingga.

(Cukup ambil \(E_i=\{x:x(i)=1\}\) untuk setiap \(i\).) Saya akan menyebut \(\lambda\) ini ukuran biasa pada \(\{0,1\}^I\). Perhatikan bahwa jika \(I\) berhingga, maka \(\lambda\{x\}=2^{-\#(I)}\) untuk setiap \(x\in X\) (dengan menggunakan 254Fb). Di sisi lain, jika \(I\) tak hingga, maka \(\lambda\{x\}=0\) untuk setiap \(x\in X\) (karena, sekali lagi dengan menggunakan 254Fb, \(\lambda^*\{x\}\le 2^{-n}\) untuk setiap \(n\)).

254Jb (b)

Terdapat bijeksi alami antara \(\{0,1\}^I\) dan \(\Cal PI\), yang memasangkan \(x\in\{0,1\}^I\) dengan \(\{i:i\in I\), \(x(i)=1\}\). Jadi kita memperoleh suatu ukuran baku \(\tilde\lambda\) pada \(\Cal PI\), yang akan saya sebut ukuran biasa pada \(\Cal PI\). Perhatikan bahwa untuk sebarang \(b\subseteq I\) berhingga dan sebarang \(c\subseteq b\), kita mempunyai

\(\tilde\lambda\{a:a\cap b=c\}=\lambda\{x:x(i)=1\) untuk \(i\in c\), \(x(i)=0\) untuk \(i\in b\setminus c\}=2^{-\#(b)}\).

254Jc (c)

Tentu saja kita dapat menerapkan 254G pada ukuran-ukuran ini; jika \((Y,\Tau,\nu)\) merupakan ruang probabilitas lengkap, suatu fungsi \(\phi:Y\to\{0,1\}^I\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta jika dan hanya jika

\(\nu\{y:y\in Y\), \(\phi(y)\restr J=z\}=2^{-\#(J)}\)

kapan pun \(J\subseteq I\) berhingga dan \(z\in\{0,1\}^J\); ini karena silinder terukur dalam \(\{0,1\}^I\) tepat merupakan himpunan berbentuk \(\{x:x\restr J=z\}\) dengan \(J\subseteq I\) berhingga.

254Jd (d)

Definisikan penjumlahan pada \(X\) dengan menetapkan \((x+y)(i)=x(i)+_2y(i)\) untuk setiap \(i\in I\), \(x\), \(y\in X\), dengan \(0+_20=1+_21=0\), \(0+_21=1+_20=1\). Jika \(y\in X\), peta \(x\mapsto x+y:X\to X\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. Bukti. Jika \(J\subseteq I\) berhingga dan \(z\in\{0,1\}^J\), tetapkan \(z'=\family{j}{J}{z(j)+_2y(j)}\); maka \(\lambda\{x:(x+y)\restr J=z\} =\lambda\{x:x\restr J=z'\}=2^{-\#(J)}\). Karena \(J\) sembarang, (c) memberi tahu kita bahwa \(x\mapsto x+y\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. ∎ Sekarang, karena

\((x+y)+y=x+(y+y)=x+0=x\)

untuk setiap \(x\), peta \(x\mapsto x+y:X\to X\) bersifat bijektif dan sama dengan inversnya, sehingga peta itu sebenarnya suatu automorfisme ruang ukur dari \((X,\lambda)\).

254Je *(e)

Karena semua faktor \((X_i,\mu_i)\) sama, kita mempunyai kelas lain automorfisme dari \((X,\lambda)\), yang berkaitan dengan permutasi \(I\). Jika \(\pi:I\to I\) sebarang permutasi, maka kita mempunyai fungsi yang berkaitan \(x\mapsto x\pi:X\to X\). Jika \(J\subseteq I\) berhingga dan \(z\in\{0,1\}^J\), tetapkan \(J'=\pi[J]\) dan \(z'=z\pi^{-1}\in\{0,1\}^{J'}\); maka

\(\lambda\{x:(x\pi)\restr J=z\}=\lambda\{x:x\restr J'=z'\} =2^{-\#(J')}=2^{-\#(J)}\).

Jadi \(x\mapsto x\pi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. Kali ini, inversnya adalah \(x\mapsto x\pi^{-1}\), yang juga bersifat pelestari ukuran melalui prapeta; sehingga \(x\mapsto x\pi\) merupakan automorfisme ruang ukur.

254K

Dalam kasus \(I\) tak hingga terhitung, kita mempunyai hubungan yang sangat penting antara ukuran produk biasa pada \(\{0,1\}^I\) dan ukuran Lebesgue pada \([0,1]\).

Proposisi Misalkan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(X=\{0,1\}^{\Bbb N}\), dan misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \([0,1]\); tuliskan \(\Lambda\) untuk domain \(\lambda\) dan \(\Sigma\) untuk domain \(\mu\).

(i) Untuk \(x\in X\), tetapkan \(\phi(x)=\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i-1}x(i)\). Maka

\(\phi^{-1}[E]\in\Lambda\) dan \(\lambda\phi^{-1}[E]=\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\);

\(\phi[F]\in\Sigma\) dan \(\mu\phi[F]=\lambda F\) untuk setiap \(F\in\Lambda\).

(ii) Terdapat suatu bijeksi \(\tilde\phi:X\to[0,1]\) yang sama dengan \(\phi\) kecuali pada terhitung banyak titik, dan sebarang bijeksi semacam itu merupakan isomorfisme antara \((X,\Lambda,\lambda)\) dan \(([0,1],\Sigma,\mu)\).

Bukti

(a) Hal pertama yang perlu diperhatikan ialah bahwa \(\phi\) sendiri hampir merupakan bijeksi. Dengan menetapkan

\(H=\{x:x\in X\), \(\exists\,m\in\Bbb N\), \(x(i)=x(m)\Forall i\ge m\}\),

\(H'=\{2^{-n}k:n\in\Bbb N\), \(k\le 2^n\}\),

maka \(H\) dan \(H'\) terhitung dan \(\phi\restr X\setminus H\) merupakan bijeksi antara \(X\setminus H\) dan \([0,1]\setminus H'\). (Untuk \(t\in[0,1]\setminus H'\), \(\phi^{-1}(t)\) adalah ekspansi biner dari \(t\).) Karena \(H\) dan \(H'\) tak hingga terhitung, terdapat bijeksi di antara keduanya; dengan menggabungkan bijeksi ini dengan \(\phi\restr X\setminus H\), kita mempunyai bijeksi antara \(X\) dan \([0,1]\) yang sama dengan \(\phi\) kecuali pada terhitung banyak titik. Untuk sisa bukti ini, misalkan \(\tilde\phi\) sebarang bijeksi semacam itu. Misalkan \(M\) himpunan terhitung \(\{x:x\in X\), \(\phi(x)\ne\tilde\phi(x)\}\), dan \(N\) himpunan terhitung \(\phi[M]\cup\tilde\phi[M]\); maka \(\phi[A]\symmdiff\tilde\phi[A]\subseteq N\) untuk setiap \(A\subseteq X\).

(b) Untuk melihat bahwa \(\lambda\tilde\phi^{-1}[E]\) ada dan sama dengan \(\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\), saya meninjau berturut-turut himpunan \(E\) yang makin rumit.

Jika \(E=\{t\}\), maka \(\lambda\tilde\phi^{-1}[E]=\lambda\{\tilde\phi^{-1}(t)\}\) ada dan bernilai nol.

Jika \(E\) berbentuk \(\coint{2^{-n}k,2^{-n}(k+1)}\), dengan \(n\in\Bbb N\) dan \(0\le k<2^n\), maka \(\phi^{-1}[E]\) berbeda paling banyak dua titik dari suatu himpunan berbentuk \(\{x:x(i)=z(i)\Forall i<n\}\), sehingga \(\tilde\phi^{-1}[E]\) berselisih dengan himpunan ini hanya pada suatu himpunan terhitung, dan

\(\lambda\tilde\phi^{-1}[E]=2^{-n}=\mu E\).

Jika \(E\) berbentuk \(\coint{2^{-n}k,2^{-n}l}\), dengan \(n\in\Bbb N\) dan \(0\le k<l\le 2^n\), maka

\(E=\bigcup_{k\le i<l}\coint{2^{-n}i,2^{-n}(i+1)}\),

sehingga

\(\lambda\tilde\phi^{-1}[E]=2^{-n}(l-k)=\mu E\).

Jika \(E\) berbentuk \(\coint{t,u}\), dengan \(0\le t<u\le 1\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\), tetapkan \(k_n=\lfloor 2^nt\rfloor\), yaitu bagian bulat dari \(2^nt\), \(l_n=\lfloor 2^nu\rfloor\), dan \(E_n=\coint{2^{-n}(k_n+1),2^{-n}l_n}\); maka \(\sequencen{E_n}\) merupakan barisan tak menurun dan \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) adalah \(\ooint{t,u}\). Jadi (dengan menggunakan (\(\alpha\)))

\[\begin{aligned}\lambda\tilde\phi^{-1}[E] &=\lambda\tilde\phi^{-1}[\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n] =\lim_{n\to\infty}\lambda\tilde\phi^{-1}[E_n]\\ &=\lim_{n\to\infty}\mu E_n =\mu E.\\\end{aligned}\]

Jika \(E\in\Sigma\), maka untuk sebarang \(\epsilon>0\), terdapat suatu barisan \(\sequencen{I_n}\) dari subinterval setengah terbuka dari \(\coint{0,1}\) sedemikian sehingga \(E\setminus\{1\}\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}I_n\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n\le\mu E+\epsilon\); sekarang \(\tilde\phi^{-1}[E] \subseteq \{\tilde\phi^{-1}(1)\}\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}\tilde\phi^{-1}[I_n]\), sehingga

\(\lambda^*\tilde\phi^{-1}[E] \le\lambda(\bigcup_{n\in\Bbb N}\tilde\phi^{-1}[I_n]) \le \sum_{n=0}^{\infty}\lambda\tilde\phi^{-1}[I_n] =\sum_{n=0}^{\infty}\mu I_n \le\mu E+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(\lambda^*\tilde\phi^{-1}[E]\le\mu E\), dan terdapat \(V\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(\tilde\phi^{-1}[E]\subseteq V\) dan \(\lambda V\le\mu E\).

Dengan cara yang sama, terdapat \(V'\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(V'\supseteq\tilde\phi^{-1}[[0,1]\setminus E]\) dan \(\lambda V'\le\mu([0,1]\setminus E)\). Sekarang \(V\cup V'=X\), sehingga

\(\lambda(V\cap V')=\lambda V+\lambda V'-\lambda(V\cup V') \le\mu E+(1-\mu E)-1=0\)

dan

\(\tilde\phi^{-1}[E]=(X\setminus V') \cup(V\cap V'\cap\tilde\phi^{-1}[E])\)

termasuk dalam \(\Lambda\), dengan

\(\lambda\tilde\phi^{-1}[E]\le\lambda V\le\mu E\);

pada saat yang sama,

\(1-\lambda\tilde\phi^{-1}[E]\le\lambda V'\le 1-\mu E\)

sehingga \(\lambda\tilde\phi^{-1}[E]=\mu E\).

(c) Sekarang andaikan \(C\subseteq X\) suatu silinder terukur dengan bentuk khusus \(\{x:x(0)=\epsilon_0,\ldots,x(n)=\epsilon_n\}\) untuk suatu \(\epsilon_0,\ldots,\epsilon_n\in\{0,1\}\). Maka \(\phi[C]=[t,t+2^{-n-1}]\) dengan \(t=\sum_{i=0}^n2^{-i-1}\epsilon_i\), sehingga \(\mu\phi[C]=\lambda C\). Karena \(\tilde\phi[C]\symmdiff\phi[C]\subseteq N\) terhitung, \(\mu\tilde\phi[C]=\lambda C\).

Jika \(C\subseteq X\) sebarang silinder terukur, maka silinder ini berbentuk \(\{x:x\restr J=z\}\) untuk suatu \(J\subseteq\Bbb N\) berhingga; dengan mengambil \(n\) yang cukup besar sehingga \(J\subseteq\{0,\ldots,n\}\), \(C\) dapat dinyatakan sebagai gabungan saling lepas dari \(2^{n+1-\#(J)}\) himpunan berbentuk seperti yang baru saja dibahas, yaitu himpunan-himpunan dengan \(\epsilon_i=z(i)\) untuk \(i\in J\). Dengan menjumlahkan ukurannya, kita kembali memperoleh \(\mu\tilde\phi[C]=\lambda C\). Sekarang 254G memberi tahu kita bahwa \(\tilde\phi^{-1}:[0,1]\to X\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta, yaitu, \(\tilde\phi[W]\) terukur Lebesgue, dengan ukuran \(\lambda W\), untuk setiap \(W\in\Lambda\).

Dengan menggabungkan hal ini dengan (b), \(\tilde\phi\) harus merupakan isomorfisme antara \((X,\Lambda,\lambda)\) dan \(([0,1],\Sigma,\mu)\), sebagaimana ditegaskan dalam (ii) dari proposisi.

(d) Mengenai (i), jika \(E\in\Sigma\), maka \(\phi^{-1}[E]\symmdiff\tilde\phi^{-1}[E]\subseteq M\) terhitung, sehingga \(\lambda\phi^{-1}[E]=\lambda\tilde\phi^{-1}[E]=\mu E\). Sedangkan jika \(W\in\Lambda\), \(\phi[W]\symmdiff\tilde\phi[W]\subseteq N\) terhitung, sehingga \(\mu\phi[W]=\mu\tilde\phi[W]=\lambda W\).

254L Subruang

Sebagaimana dalam 251Q, kita dapat meninjau produk dari ukuran-ukuran subruang. Bentuk hasilnya lebih sederhana karena dalam konteks sekarang kita terbatas pada ukuran-ukuran probabilitas.

Teorema Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan \((X,\Lambda,\lambda)\) produk mereka.

(a) Untuk setiap \(i\in I\), misalkan \(A_i\subseteq X_i\) suatu himpunan dengan ukuran luar penuh, dan tuliskan \(\tilde\mu_i\) untuk ukuran subruang pada \(A_i\) (214B). Misalkan \(\tilde\lambda\) ukuran produk pada \(A=\prod_{i\in I}A_i\). Maka \(\tilde\lambda\) adalah ukuran subruang pada \(A\) yang diinduksi oleh \(\lambda\).

(b) \(\lambda^*(\prod_{i\in I}A_i)=\prod_{i\in I}\mu_i^*A_i\) kapan pun \(A_i\subseteq X_i\) untuk setiap \(i\).

Bukti

(a) Tuliskan \(\lambda_A\) untuk ukuran subruang pada \(A\) yang didefinisikan dari \(\lambda\), dan \(\Lambda_A\) untuk domainnya; tuliskan \(\tilde\Lambda\) untuk domain \(\tilde\lambda\).

(i) Misalkan \(\phi:A\to X\) peta identitas. Jika \(C\subseteq X\) suatu silinder terukur, katakanlah \(C=\prod_{i\in I}C_i\) dengan \(C_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\), maka \(\phi^{-1}[C]=\prod_{i\in I}(C_i\cap A_i)\) merupakan silinder terukur dalam \(A\), dan

\(\tilde\lambda\phi^{-1}[C]=\prod_{i\in I}\tilde\mu_i(C_i\cap A_i)\le\prod_{i\in I}\mu_iC_i=\lambda C\).

Menurut 254G, \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta, yaitu \(\tilde\lambda(A\cap W)=\lambda W\) untuk setiap \(W\in\Lambda\). Tetapi ini berarti bahwa \(\tilde\lambda V\) terdefinisi dan sama dengan \(\lambda_AV=\lambda^*V\) untuk setiap \(V\in\Lambda_A\), karena untuk setiap \(V\) demikian terdapat \(W\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(V=A\cap W\) dan \(\lambda W=\lambda_AV\). Khususnya, \(\lambda_AA=1\).

(ii) Sekarang pandang \(\phi\) sebagai fungsi dari ruang ukur \((A,\Lambda_A,\lambda_A)\) ke \((A,\tilde\Lambda,\tilde\lambda)\). Jika \(D\) merupakan silinder terukur dalam \(A\), kita dapat menyatakannya sebagai \(\prod_{i\in I}D_i\) dengan setiap \(D_i\) termasuk dalam domain \(\tilde\mu_i\) dan \(D_i=A_i\) untuk semua kecuali sejumlah berhingga \(i\). Sekarang, untuk setiap \(i\) kita dapat menemukan \(C_i\in\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(D_i=C_i\cap A_i\) dan \(\mu_iC_i=\tilde\mu_iD_i\), dan kita dapat mengandaikan bahwa \(C_i=X_i\) kapan pun \(D_i=A_i\). Dalam hal ini \(C=\prod_{i\in I}C_i\in\Lambda\) dan

\(\lambda C=\prod_{i\in I}\mu_iC_i=\prod_{i\in I}\tilde\mu_iD_i=\tilde\lambda D\).

Oleh karena itu

\(\lambda_A\phi^{-1}[D]=\lambda_A(A\cap C)\le\lambda C =\tilde\lambda D\).

Sekali lagi menurut 254G, \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta dalam perwujudan ini, yaitu \(\lambda_AV\) terdefinisi dan sama dengan \(\tilde\lambda V\) untuk setiap \(V\in\tilde\Lambda\). Dengan menggabungkan ini dengan (i), kita memperoleh \(\lambda_A=\tilde\lambda\), sebagaimana dinyatakan.

(b) Untuk setiap \(i\in I\), pilih himpunan \(E_i\in\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(A_i\subseteq E_i\) dan \(\mu_iE_i=\mu^*_iA_i\); lakukan ini sedemikian rupa sehingga \(E_i=X_i\) kapan pun \(\mu^*_iA_i=1\). Tetapkan \(B_i=A_i\cup(X_i\setminus E_i)\), sehingga \(\mu^*_iB_i=1\) untuk setiap \(i\) (jika \(F\in\Sigma_i\) dan \(F\supseteq B_i\) maka \(F\cap E_i\supseteq A_i\), sehingga

\(\mu_iF=\mu_i(F\cap E_i)+\mu_i(F\setminus E_i) =\mu_i E_i+\mu_i(X_i\setminus E_i)=1\).)

Menurut (a), kita dapat mengidentifikasikan ukuran subruang \(\lambda_B\) pada \(B=\prod_{i\in I}B_i\) dengan produk dari ukuran-ukuran subruang \(\tilde\mu_i\) pada \(B_i\). Khususnya, \(\lambda^*B=\lambda_BB=1\). Sekarang \(A_i=B_i\cap E_i\) sehingga (dengan menuliskan \(A=\prod_{i\in I}A_i\)), \(A=B\cap\prod_{i\in I}E_i\).

Jika \(\prod_{i\in I}\mu_i^*A_i=0\), maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat himpunan berhingga \(J\subseteq I\) sedemikian sehingga \(\prod_{i\in J}\mu_i^*A_i\le\epsilon\); akibatnya (dengan menggunakan 254Fb)

\(\lambda^*A\le\lambda\{x:x(i)\in E_i\) untuk setiap \(i\in J\}=\prod_{i\in J}\mu_iE_i\le\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\lambda^*A=0\). Jika \(\prod_{i\in I}\mu_i^*A_i>0\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) himpunan \(\{i:\mu_i^*A_i\le 1-2^{-n}\}\) harus berhingga, sehingga

\(J=\{i:\mu_i^*A_i<1\}=\{i:E_i\ne X_i\}\)

terhitung. Sekali lagi menurut 254Fb, yang diterapkan pada \(\langle E_i\cap B_i\rangle_{i\in I}\) dalam produk \(\prod_{i\in I}B_i\),

\[\begin{aligned}\lambda^*(\prod_{i\in I}A_i) &=\lambda_B(\prod_{i\in I}A_i) =\lambda_B\{x:x\in B,\,x(i)\in E_i\cap B_i\text{ untuk setiap }i\in J\}\\ &=\prod_{i\in J}\tilde\mu_{i}(E_i\cap B_i) =\prod_{i\in I}\mu_i^*A_i,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

254M

Sekarang saya beralih ke hasil-hasil dasar yang memungkinkan kita menggunakan ukuran-ukuran produk ini secara efektif. Mula-mula, saya memperkenalkan kosakata untuk menangani subproduk. Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga himpunan, dengan produk \(X\).

254Ma (a)

Untuk \(J\subseteq I\), tuliskan \(X_J\) untuk \(\prod_{i\in J}X_i\). Kita mempunyai bijeksi kanonik \(x\mapsto(x\restr J,x\restr I\setminus J): X\to X_J\times X_{I\setminus J}\). Terkait dengan bijeksi ini, kita mempunyai peta \(x\mapsto\pi_J(x)=x\restr J:X\to X_J\). Sekarang saya akan mengatakan bahwa himpunan \(W\subseteq X\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\) jika terdapat \(V\subseteq X_J\) sedemikian sehingga \(W=\pi_J^{-1}[V]\); yaitu, \(W\) bersesuaian dengan \(V\times X_{I\setminus J}\subseteq X_J\times X_{I\setminus J}\).

Mudah dilihat bahwa

\[\begin{aligned}W&\text{ ditentukan oleh koordinat dalam }J\\ &\quad\iff x'\in W\text{ kapan pun }x\in W,\,x'\in X\text{ dan }x'\restr J=x\restr J\\ &\quad\iff W=\pi_J^{-1}[\pi_J[W]].\\\end{aligned}\]

Akibatnya, jika \(W\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\), dan \(J\subseteq K\subseteq I\), maka \(W\) juga ditentukan oleh koordinat dalam \(K\). Keluarga \(\Cal W_J\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang ditentukan oleh koordinat dalam \(J\) tertutup terhadap pengambilan komplemen serta gabungan dan irisan sebarang. Bukti. Jika \(W\in\Cal W_J\), maka \(X\setminus W=X\setminus\pi_J^{-1}[\pi_J[W]] =\pi_J^{-1}[X_J\setminus\pi_J[W]]\in\Cal W_J\). Jika \(\Cal V\subseteq\Cal W_J\), maka \(\bigcup\Cal V =\bigcup_{V\in\Cal V}\pi_J^{-1}[\pi_J[V]] =\pi_J^{-1}[\bigcup_{V\in\Cal V}\pi_J[V]] \in\Cal W_J\). ∎

254Mb (b)

Akibatnya,

\(\Cal W=\bigcup\{\Cal W_J:J\subseteq I\) dengan J terhitung\(\}\),

keluarga subhimpunan \(X\) yang ditentukan oleh koordinat dalam suatu himpunan terhitung, merupakan aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\). Bukti. (i) \(X\) dan \(\emptyset\) ditentukan oleh koordinat dalam \(\emptyset\) (ingat bahwa \(X_{\emptyset}\) merupakan himpunan tunggal, dan bahwa \(X=\pi_{\emptyset}^{-1}[X_{\emptyset}]\), \(\emptyset=\pi^{-1}_{\emptyset}[\emptyset]\)). (ii) Jika \(W\in\Cal W\), terdapat himpunan terhitung \(J\subseteq I\) sedemikian sehingga \(W\in\Cal W_J\); sekarang \(X\setminus W=\pi_J^{-1}[X_J\setminus\pi_J[W]]\in\Cal W_J\subseteq\Cal W\). (iii) Jika \(\sequencen{W_n}\) merupakan barisan dalam \(\Cal W\), maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\) terdapat himpunan terhitung \(J_n\subseteq I\) sedemikian sehingga \(W_n\in\Cal W_{J_n}\). Sekarang \(J=\bigcup_{n\in\Bbb N}J_n\) merupakan subhimpunan terhitung dari \(I\), dan setiap \(W_n\) termasuk dalam \(\Cal W_J\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\in\Cal W_J\subseteq\Cal W\). ∎

254Mc (c)

Jika \(i\in I\) dan \(E\subseteq X_i\), maka \(\{x:x\in X\), \(x(i)\in E\}\) ditentukan oleh koordinat tunggal \(i\), sehingga tentu saja termasuk dalam \(\Cal W\); dengan demikian \(\Cal W\) harus memuat \(\Tensorhat_{i\in I}\Cal PX_i\). A fortiori, jika \(\Sigma_i\) merupakan aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X_i\) untuk setiap \(i\), \(\Cal W\supseteq\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\); yaitu, setiap anggota \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) ditentukan oleh koordinat dalam suatu himpunan terhitung.

254N Teorema

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas dan \(\langle K_j\rangle_{j\in J}\) suatu partisi dari \(I\). Untuk setiap \(j\in J\), misalkan \(\lambda_j\) ukuran produk pada \(Z_j=\prod_{i\in K_j}X_i\), dan tuliskan \(\lambda\) untuk ukuran produk pada \(X=\prod_{i\in I}X_i\). Maka bijeksi alami

\(x\mapsto\phi(x) =\langle x\restr K_j\rangle_{j\in J}:X\to\prod_{j\in J}Z_j\)

mengidentifikasikan \(\lambda\) dengan produk dari keluarga \(\langle\lambda_j\rangle_{j\in J}\).

Khususnya, jika \(K\subseteq I\) adalah sebarang himpunan, maka \(\lambda\) dapat diidentifikasikan dengan produk c.l.d. dari ukuran-ukuran produk pada \(\prod_{i\in K}X_i\) dan \(\prod_{i\in I\setminus K}X_i\).

Bukti

(Bandingkan 251N.) Tuliskan \(Z=\prod_{j\in J}Z_j\) dan \(\tilde\lambda\) untuk ukuran produk pada \(Z\); misalkan \(\Lambda\), \(\tilde\Lambda\) masing-masing domain dari \(\lambda\) dan \(\tilde\lambda\).

(a) Misalkan \(C\subseteq Z\) suatu silinder terukur. Maka \(\lambda^*\phi^{-1}[C]\le\tilde\lambda C\). Bukti. Nyatakan \(C\) sebagai \(\prod_{j\in J}C_j\) dengan \(C_j\subseteq Z_j\) termasuk dalam domain \(\Lambda_j\) dari \(\lambda_j\) untuk setiap \(j\). Tetapkan \(L=\{j:C_j\ne Z_j\}\), sehingga \(L\) berhingga. Misalkan \(\epsilon>0\). Untuk setiap \(j\in L\), misalkan \(\sequencen{C_{jn}}\) suatu barisan silinder terukur dalam \(Z_j=\prod_{i\in K_j}X_i\) sedemikian sehingga \(C_j\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}C_{jn}\) dan \(\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_jC_{jn}\le\lambda_jC_j+\epsilon\). Nyatakan setiap \(C_{jn}\) sebagai \(\prod_{i\in K_j}C_{jni}\) dengan \(C_{jni}\in\Sigma_i\) untuk \(i\in K_j\) (dan \(\{i:C_{jni}\ne X_i\}\) berhingga).

Untuk \(f\in\BbbN^L\), tetapkan

\(D_f =\{x:x\in X\), \(x(i)\in C_{j,f(j),i}\) kapan pun \(j\in L\), \(i\in K_j\}\).

Karena \(\bigcup_{j\in L}\{i:C_{j,f(j),i}\ne X_i\}\) berhingga, \(D_f\) merupakan silinder terukur dalam \(X\), dan

\(\lambda D_f=\prod_{j\in L}\prod_{i\in K_j}\mu_iC_{j,f(j),i} =\prod_{j\in L}\lambda_jC_{j,f(j)}\).

Selain itu,

\(\bigcup\{D_f:f\in\BbbN^L\}\supseteq\phi^{-1}[C]\)

karena jika \(\phi(x)\in C\), maka \(\phi(x)(j)\in C_j\) untuk setiap \(j\in L\), sehingga pasti terdapat \(f\in\BbbN^L\) sedemikian sehingga \(\phi(x)(j)\in C_{j,f(j)}\) untuk setiap \(j\in L\). Tetapi (karena \(\BbbN^L\) terhitung) ini berarti bahwa

\[\begin{aligned}\lambda^*\phi^{-1}[C] &\le\sum_{f\in\BbbN^L}\lambda D_f =\sum_{f\in \BbbN^L}\prod_{j\in L}\lambda_jC_{j,f(j)}\\ &=\prod_{j\in L}\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_jC_{jn} \le\prod_{j\in L}(\lambda_jC_j+\epsilon).\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang,

\(\lambda^*\phi^{-1}[C]\le\prod_{j\in L}\lambda_jC_j =\tilde\lambda C\). ∎

Menurut 254G, kita memperoleh bahwa \(\lambda\phi^{-1}[W]\) terdefinisi dan sama dengan \(\tilde\lambda W\) kapan pun \(W\in\tilde\Lambda\).

(b) Selanjutnya, \(\tilde\lambda\phi[D]=\lambda D\) untuk setiap silinder terukur \(D\subseteq X\). Bukti. Ini mudah. Nyatakan \(D\) sebagai \(\prod_{i\in I}D_i\) dengan \(D_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\) dan \(\{i:D_i\ne X_i\}\) berhingga. Maka \(\phi[D]=\prod_{j\in J}\tilde D_j\), dengan \(\tilde D_j=\prod_{i\in K_j}D_i\) suatu silinder terukur untuk setiap \(j\in J\). Karena \(\{j:\tilde D_j\ne Z_j\}\) juga harus berhingga (bahkan, himpunan ini tidak dapat mempunyai lebih banyak anggota daripada himpunan berhingga \(\{i:D_i\ne X_i\}\)), \(\prod_{j\in J}\tilde D_j\) sendiri merupakan silinder terukur dalam \(Z\), dan

\(\tilde\lambda\phi[D] =\prod_{j\in J}\lambda_j\tilde D_j =\prod_{j\in J}\prod_{i\in K_j}\mu_iD_i =\lambda D\). ∎

Dengan menerapkan 254G pada \(\phi^{-1}:Z\to X\), diperoleh bahwa \(\tilde\lambda\phi[W]\) terdefinisi dan sama dengan \(\lambda W\) untuk setiap \(W\in\Lambda\). Namun, bersama dengan (a), ini berarti bahwa untuk sebarang \(W\subseteq X\),

jika \(W\in\Lambda\), maka \(\phi[W]\in\tilde\Lambda\) dan \(\tilde\lambda\phi[W]=\lambda W\),

jika \(\phi[W]\in\tilde\Lambda\), maka \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W=\tilde\lambda\phi[W]\).

Dan tentu saja, inilah tepatnya arti pernyataan bahwa \(\phi\) merupakan isomorfisme antara \((X,\Lambda,\lambda)\) dan \((Z,\tilde\Lambda,\tilde\lambda)\).

254O Proposisi

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas. Untuk setiap \(J\subseteq I\), misalkan \(\lambda_J\) ukuran probabilitas produk pada \(X_J=\prod_{i\in J}X_i\), dan \(\Lambda_J\) domainnya; tuliskan \(X=X_I\), \(\lambda=\lambda_I\) dan \(\Lambda=\Lambda_I\). Untuk \(x\in X\) dan \(J\subseteq I\), tetapkan \(\pi_J(x)=x\restr J\in X_J\).

(a) Untuk setiap \(J\subseteq I\), \(\lambda_J\) adalah ukuran citra \(\lambda\pi_J^{-1}\) (234D); khususnya, \(\pi_J:X\to X_J\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\lambda\) dan \(\lambda_J\).

(b) Jika \(J\subseteq I\) dan \(W\in\Lambda\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\) (254M), maka \(\lambda_J\pi_J[W]\) terdefinisi dan sama dengan \(\lambda W\). Akibatnya, terdapat \(W_1\), \(W_2\) yang termasuk dalam aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh

\(\{\{x:x(i)\in E\}:i\in J\), \(E\in\Sigma_i\}\)

sedemikian sehingga \(W_1\subseteq W\subseteq W_2\) dan \(\lambda(W_2\setminus W_1)=0\).

(c) Untuk setiap \(W\in\Lambda\), kita dapat menemukan suatu himpunan terhitung \(J\) dan \(W_1\), \(W_2\in\Lambda\), keduanya ditentukan oleh koordinat dalam \(J\), sedemikian sehingga \(W_1\subseteq W\subseteq W_2\) dan \(\lambda(W_2\setminus W_1)=0\).

(d) Untuk setiap \(W\in\Lambda\), terdapat himpunan terhitung \(J\subseteq I\) sedemikian sehingga \(\pi_J[W]\in\Lambda_J\) dan \(\lambda_J\pi_J[W]=\lambda W\); sehingga \(W'=\pi_J^{-1}[\pi_J[W]]\) termasuk dalam \(\Lambda\), dan \(\lambda(W'\setminus W)=0\).

Bukti

(a)(i) Menurut 254N, kita dapat mengidentifikasikan \(\lambda\) dengan produk dari \(\lambda_J\) dan \(\lambda_{I\setminus J}\) pada \(X_J\times X_{I\setminus J}\). Sekarang \(\pi_J^{-1}[E]\subseteq X\) bersesuaian dengan \(E\times X_{I\setminus J}\subseteq X_J\times X_{I\setminus J}\), sehingga

\(\lambda(\pi_J^{-1}[E]) =\lambda_JE\cdot\lambda_{I\setminus J}X_{I\setminus J}=\lambda_JE\),

menurut 251E atau 251Ia, kapan pun \(E\in\Lambda_J\). Ini menunjukkan bahwa \(\pi_J\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta.

(ii) Untuk melihat bahwa \(\lambda_J\) benar-benar merupakan ukuran citra, andaikan bahwa \(E\subseteq X_J\) sedemikian sehingga \(\pi_J^{-1}[E]\in\Lambda\). Dengan mengidentifikasikan \(\pi^{-1}_J[E]\) dengan \(E\times X_{I\setminus J}\), seperti sebelumnya, kita mengandaikan bahwa \(E\times X_{I\setminus J}\) diukur oleh ukuran produk pada \(X_J\times X_{I\setminus J}\). Namun, ini berarti bahwa untuk \(\lambda_{I\setminus J}\)-hampir setiap \(z\in X_{I\setminus J}\), \(E_z=\{y:(y,z)\in E\times X_{I\setminus J}\}\) termasuk dalam \(\Lambda_J\) (252D(ii), karena \(\lambda_J\) lengkap). Karena \(E_z=E\) untuk setiap \(z\), \(E\) sendiri termasuk dalam \(\Lambda_J\), sebagaimana dinyatakan.

(b) Jika \(W\in\Lambda\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\), tetapkan \(H=\pi_J[W]\); maka \(\pi_J^{-1}[H]=W\), sehingga \(H\in\Lambda_J\) menurut (a) tepat di atas. Menurut 254Ff, terdapat \(H_1\), \(H_2\in\Tensorhat_{i\in J}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(H_1\subseteq H\subseteq H_2\) dan \(\lambda_J(H_2\setminus H_1)=0\).

Misalkan \(\Tau_J\) aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh himpunan-himpunan berbentuk \(\{x:x(i)\in E\}\) dengan \(i\in J\) dan \(E\in\Sigma_i\). Tinjau \(\Tau'_J=\{G:G\subseteq X_J\), \(\pi_J^{-1}[G]\in\Tau_J\}\). Keluarga ini merupakan aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X_J\), dan memuat \(\{y:y\in X_J\), \(y(i)\in E\}\) kapan pun \(i\in J\), \(E\in\Sigma_i\) (karena

\(\pi_J^{-1}[\{y:y\in X_J\), \(y(i)\in E\}]=\{x:x\in X\), \(x(i)\in E\}\)

kapan pun \(i\in J\), \(E\subseteq X_i\)). Jadi \(\Tau'_J\) harus memuat \(\Tensorhat_{i\in J}\Sigma_i\). Khususnya, \(H_1\) dan \(H_2\) keduanya termasuk dalam \(\Tau'_J\), yaitu \(W_k=\pi_J^{-1}[H_k]\) termasuk dalam \(\Tau_J\) untuk kedua nilai \(k\). Tentu saja \(W_1\subseteq W\subseteq W_2\), karena \(H_1\subseteq H\subseteq H_2\), dan

\(\lambda(W_2\setminus W_1)=\lambda_J(H_2\setminus H_1)=0\),

sebagaimana diperlukan.

(c) Sekarang ambil sebarang \(W\in\Lambda\). Menurut 254Ff, terdapat \(W_1\) dan \(W_2\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) sedemikian sehingga \(W_1\subseteq W\subseteq W_2\) dan \(\lambda(W_2\setminus W_1)=0\). Menurut 254Mc, terdapat himpunan-himpunan terhitung \(J_1\), \(J_2\subseteq I\) sedemikian sehingga, untuk setiap \(k\), \(W_k\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J_k\). Dengan menetapkan \(J=J_1\cup J_2\), \(J\) merupakan subhimpunan terhitung dari \(I\) dan \(W_1\) maupun \(W_2\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\).

(d) Dengan melanjutkan argumen dari (c), \(\pi_J[W_1]\), \(\pi_J[W_2]\in\Lambda_J\), menurut (b), dan \(\lambda_J(\pi_J[W_2]\setminus\pi_J[W_1])=0\). Karena \(\pi_J[W_1]\subseteq\pi_J[W]\subseteq\pi_J[W_2]\), diperoleh bahwa \(\pi_J[W]\in\Lambda_J\), dengan \(\lambda_J\pi_J[W]=\lambda_J\pi_J[W_2]\); sehingga, dengan menetapkan \(W'=\pi_J^{-1}[\pi_J[W]]\), \(W'\in\Lambda\), dan

\(\lambda W'=\lambda_J\pi_J[W]=\lambda_J\pi_J[W_2] =\lambda\pi_J^{-1}[\pi_J[W_2]]=\lambda W_2=\lambda W\).

254P Proposisi

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan untuk setiap \(J\subseteq I\) misalkan \(\lambda_J\) ukuran probabilitas produk pada \(X_J=\prod_{i\in J}X_i\), dan \(\Lambda_J\) domainnya; tuliskan \(X=X_I\), \(\Lambda=\Lambda_I\) dan \(\lambda=\lambda_I\). Untuk \(x\in X\) dan \(J\subseteq I\), tetapkan \(\pi_J(x)=x\restr J\in X_J\).

(a) Jika \(J\subseteq I\) dan \(g\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X_J\), maka \(g\) terukur terhadap \(\Lambda_J\) jika dan hanya jika \(g\pi_J\) terukur terhadap \(\Lambda\).

(b) Kapan pun \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terukur terhadap \(\Lambda\) dan didefinisikan pada suatu subhimpunan yang koterabaikan terhadap \(\lambda\) di dalam \(X\), kita dapat menemukan suatu himpunan terhitung \(J\subseteq I\) dan suatu fungsi yang terukur terhadap \(\Lambda_J\), yakni \(g\), yang didefinisikan pada suatu subhimpunan yang koterabaikan terhadap \(\lambda_J\) di dalam \(X_J\) sedemikian sehingga \(f\) memperluas \(g\pi_J\).

Bukti

(a)(i) Jika \(g\) terukur terhadap \(\Lambda_J\) dan \(a\in\Bbb R\), terdapat \(H\in\Lambda_J\) sedemikian sehingga \(\{y:y\in\dom g\), \(g(y)\ge a\}=H\cap\dom g\). Sekarang \(\pi_J^{-1}[H]\in\Lambda\), menurut 254Oa, dan \(\{x:x\in\dom g\pi_J\), \(g\pi_J(x)\ge a\}=\pi_J^{-1}[H]\cap\dom g\pi_J\). Jadi \(g\pi_J\) terukur terhadap \(\Lambda\).

(ii) Jika \(g\pi_J\) terukur terhadap \(\Lambda\) dan \(a\in\Bbb R\), maka terdapat \(W\in\Lambda\) sedemikian sehingga \(\{x:g\pi_J(x)\ge a\}=W\cap\dom g\pi_J\). Seperti dalam bukti 254Oa, kita dapat mengidentifikasikan \(\lambda\) dengan produk dari \(\lambda_J\) dan \(\lambda_{I\setminus J}\), dan 252D(ii) memberi tahu kita bahwa, jika kita mengidentifikasikan \(W\) dengan subhimpunan yang bersesuaian dari \(X_J\times X_{I\setminus J}\), terdapat setidaknya satu \(z\in X_{I\setminus J}\) sedemikian sehingga \(W_z=\{y:y\in X_J\), \((y,z)\in W\}\) termasuk dalam \(\Lambda_J\). Namun, karena (dengan konvensi ini) \(g\pi_J(y,z)=g(y)\) untuk setiap \(y\in X_J\), kita melihat bahwa \(\{y:y\in\dom g\), \(g(y)\ge a\}=W_z\cap\dom g\). Karena \(a\) sebarang, \(g\) terukur terhadap \(\Lambda_J\).

(b) Untuk bilangan-bilangan rasional \(q\), tetapkan \(W_q=\{x:x\in\dom f\), \(f(x)\ge q\}\). Menurut 254Oc, untuk setiap \(q\) kita dapat menemukan himpunan terhitung \(J_q\subseteq I\) dan himpunan-himpunan \(W'_q\), \(W_q''\), yang keduanya ditentukan oleh koordinat dalam \(J_q\), sedemikian sehingga \(W'_q\subseteq W_q\subseteq W_q''\) dan \(\lambda(W_q''\setminus W_q')=0\). Tetapkan \(J=\bigcup_{q\in\Bbb Q}J_q\), \(V=X\setminus\bigcup_{q\in\Bbb Q}(W_q''\setminus W_q')\); maka \(J\) merupakan subhimpunan terhitung dari \(I\) dan \(V\) merupakan subhimpunan koterabaikan dari \(X\); selain itu, \(V\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\) karena semua \(W_q'\), \(W_q''\) demikian.

Untuk setiap \(q\in\Bbb Q\), \(W_q\cap V=W_q'\cap V\), karena \(V\cap(W_q\setminus W_q')\subseteq V\cap(W_q''\setminus W_q')=\emptyset\); jadi \(W_q\cap V\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\). Akibatnya, \(V\cap\dom f=\bigcup_{q\in\Bbb Q}V\cap W_q\) juga ditentukan oleh koordinat dalam \(J\). Selain itu,

\(\{x:x\in V\cap\dom f\), \(f(x)\ge a\} =\bigcap_{q\le a}V\cap W_q\)

ditentukan oleh koordinat dalam \(J\). Artinya, jika \(x\), \(x'\in V\) dan \(\pi_Jx=\pi_Jx'\), maka \(x\in\dom f\) jika dan hanya jika \(x'\in\dom f\), dan dalam hal ini \(f(x)=f(x')\). Dengan menetapkan \(H=\pi_J[V\cap\dom f]\), kita mempunyai \(\pi_J^{-1}[H]=V\cap\dom f\), suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X\), sehingga (karena \(\lambda_J=\lambda\pi_J^{-1}\)) \(H\) koterabaikan dalam \(X_J\). Selain itu, untuk \(y\in H\), \(f(x)=f(x')\) kapan pun \(\pi_Jx=\pi_Jx'=y\), sehingga terdapat suatu fungsi \(g:H\to\Bbb R\) yang didefinisikan dengan menetapkan bahwa \(g\pi_J(x)=f(x)\) kapan pun \(x\in V\cap\dom f\). Dengan demikian, \(g\) didefinisikan hampir di mana-mana dalam \(X_J\) dan \(f\) memperluas \(g\pi_J\). Akhirnya, untuk sebarang \(a\in\Bbb R\),

\(\pi_J^{-1}[\{y:g(y)\ge a\}] =\{x:x\in V\cap\dom f\), \(f(x)\ge a\}\in\Lambda\);

menurut 254Oa, \(\{y:g(y)\ge a\}\in\Lambda_J\); karena \(a\) sebarang, \(g\) terukur.

254Q Proposisi

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan untuk setiap \(J\subseteq I\) misalkan \(\lambda_J\) ukuran probabilitas produk pada \(X_J=\prod_{i\in J}X_i\); tuliskan \(X=X_I\), \(\lambda=\lambda_I\). Untuk \(x\in X\), \(J\subseteq I\), tetapkan \(\pi_J(x)=x\restr J\in X_J\).

(a) Misalkan \(\eusm S\) subruang linear dari \(\Bbb R^X\) yang direntang oleh \(\{\chi C:C\subseteq X\) adalah silinder terukur\(\}\). Maka untuk setiap fungsi bernilai real yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\), yakni \(f\), dan setiap \(\epsilon>0\), terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f-g|d\lambda\le\epsilon\).

(b) Kapan pun \(J\subseteq I\) dan \(g\) suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu subhimpunan \(X_J\), maka \(\int g\,d\lambda_J=\int g\pi_Jd\lambda\) jika salah satu dari kedua integral tersebut terdefinisi dalam \([-\infty,\infty]\).

(c) Kapan pun \(f\) suatu fungsi bernilai real yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\), kita dapat menemukan himpunan terhitung \(J\subseteq I\) dan suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda_J\), yakni \(g\), sedemikian sehingga \(f\) memperluas \(g\pi_J\).

Bukti

(a)(i) Tuliskan \(\overline{\eusm S}\) untuk himpunan fungsi-fungsi \(f\) yang memenuhi pernyataan tersebut, yaitu sedemikian sehingga untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f-g|\le\epsilon\). Maka \(f_1+f_2\) dan \(cf_1\in\overline{\eusm S}\) kapan pun \(f_1\), \(f_2\in\overline{\eusm S}\). Bukti. Diberikan \(\epsilon>0\), terdapat \(g_1\), \(g_2\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f_1-g_1|\le\bover{\epsilon}{2+|c|}\), \(\int|f_2-g_2|\le\bover{\epsilon}2\); sekarang \(g_1+g_2\), \(cg_1\in\eusm S\) dan \(\int|(f_1+f_2)-(g_1+g_2)|\le\epsilon\), \(\int|cf_1-cg_1|\le\epsilon\). ∎ Selain itu, tentu saja, \(f\in\overline{\eusm S}\) kapan pun \(f_0\in\overline{\eusm S}\) dan \(f\eae f_0\).

(ii) Tuliskan \(\Cal W\) untuk \(\{W:W\subseteq X\), \(\chi W\in\overline{\eusm S}\}\), dan \(\Cal C\) untuk keluarga silinder terukur dalam \(X\). Maka jelas dari definisi dalam 254A bahwa \(C\cap C'\in\Cal C\) untuk semua \(C\), \(C'\in\Cal C\), dan tentu saja \(C\in\Cal W\) untuk setiap \(C\in\Cal C\), karena \(\chi C\in\eusm S\). Selanjutnya, \(W\setminus V\in\Cal W\) kapan pun \(W\), \(V\in\Cal W\) dan \(V\subseteq W\), karena dalam hal ini \(\chi(W\setminus V)=\chi W-\chi V\). Ketiga, \(\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\in\Cal W\) untuk setiap barisan tak-menurun \(\sequencen{W_n}\) dalam \(\Cal W\). Bukti. Tetapkan \(W=\bigcup_{n\in\Bbb N}W_n\). Diberikan \(\epsilon>0\), terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\lambda(W\setminus W_n)\le\bover{\epsilon}2\). Sekarang terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|\chi W_n-g|\le\bover{\epsilon}2\), sehingga \(\int|\chi W-g|\le\epsilon\). ∎ Jadi \(\Cal W\) merupakan kelas Dynkin dari subhimpunan-subhimpunan \(X\).

Menurut Teorema Kelas Monoton (136B), \(\Cal W\) harus memuat aljabar-sigma dari subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal C\), yaitu \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\). Namun, ini berarti bahwa \(\Cal W\) memuat setiap subhimpunan terukur dari \(X\), karena menurut 254Ff setiap himpunan terukur berbeda dengan suatu anggota \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\) hanya pada suatu himpunan terabaikan.

(iii) Dengan demikian, \(\overline{\eusm S}\) memuat fungsi indikator dari sebarang subhimpunan terukur dari \(X\). Karena tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, himpunan ini memuat semua fungsi sederhana. Namun, ini berarti bahwa himpunan tersebut harus memuat semua fungsi terintegralkan. Bukti. Jika \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan pada \(X\), dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi sederhana \(h:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(\int|f-h|\le\bover{\epsilon}2\) (242M), dan sekarang terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|h-g|\le\bover{\epsilon}2\), sehingga \(\int|f-g|\le\epsilon\). ∎

Ini membuktikan bagian (a) dari proposisi.

(b) Gabungkan 254Oa dan 235J.

(c) Menurut 254Pb, terdapat himpunan terhitung \(J\subseteq I\) dan suatu fungsi bernilai real \(g\) yang didefinisikan pada suatu subhimpunan koterabaikan dari \(X_J\) sedemikian sehingga \(f\) memperluas \(g\pi_J\). Sekarang \(\dom(g\pi_J)=\pi_J^{-1}[\dom g]\) merupakan subhimpunan koterabaikan, sehingga \(f\eae g\pi_J\) dan \(g\pi_J\) dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\). Menurut (b), \(g\) dapat diintegralkan terhadap \(\lambda_J\).

254R Ekspektasi bersyarat lagi

Dengan menggabungkan gagasan-gagasan 253H dengan uraian di atas, kita memperoleh beberapa hasil yang penting bukan hanya karena penerapan langsungnya, melainkan juga karena memperjelas struktur-struktur di sini.

Teorema Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). Untuk \(J\subseteq I\), misalkan \(\Lambda_J\subseteq\Lambda\) subaljabar-sigma dari himpunan-himpunan yang ditentukan oleh koordinat dalam \(J\) (254Ma). Maka kita dapat memandang \(L^0(\lambda\restr\Lambda_J)\) sebagai subruang dari \(L^0(\lambda)\) (242Jh). Misalkan \(P_J:L^1(\lambda)\to L^1(\lambda\restr\Lambda_J)\subseteq L^1(\lambda)\) merupakan operator ekspektasi bersyarat yang bersesuaian (242Jd). Maka

(a) untuk sembarang \(J\), \(K\subseteq I\), \(P_{K\cap J}=P_KP_J\);

(b) untuk sembarang \(u\in L^1(\lambda)\), terdapat himpunan terhitung \(J^*\subseteq I\) sedemikian sehingga \(P_Ju=u\) jika dan hanya jika \(J\supseteq J^*\);

(c) untuk sembarang \(u\in L^0(\lambda)\), terdapat himpunan terkecil yang tunggal \(J^*\subseteq I\) sedemikian sehingga \(u\in L^0(\lambda\restr\Lambda_{J^*})\), dan \(J^*\) ini terhitung;

(d) untuk sembarang \(W\in\Lambda\), terdapat himpunan terkecil yang tunggal \(J^*\subseteq I\) sedemikian sehingga \(W\symmdiff W'\) terabaikan untuk suatu \(W'\in\Lambda_{J^*}\), dan \(J^*\) ini terhitung;

(e) untuk sembarang fungsi bernilai real yang \(\Lambda\)-terukur \(f:X\to\Bbb R\), terdapat himpunan terkecil yang tunggal \(J^*\subseteq I\) sedemikian sehingga \(f\) sama hampir di mana-mana dengan suatu fungsi \(\Lambda_{J^*}\)-terukur, dan \(J^*\) ini terhitung.

Bukti

Untuk \(J\subseteq I\), tuliskan \(X_J=\prod_{i\in J}X_i\), misalkan \(\lambda_J\) ukuran produk pada \(X_J\), dan tetapkan \(\pi_J(x)=x\restr J\) untuk \(x\in X\). Tuliskan \(L^0_J\) untuk \(L^0(\lambda\restr\Lambda_J)\), yang dipandang sebagai subhimpunan dari \(L^0=L^0_I\), dan \(L^1_J\) untuk \(L^1(\lambda\restr\Lambda_J)=L^1(\lambda)\cap L^0_J\), seperti dalam 242Jb; dengan demikian \(L^1_J\) adalah himpunan nilai proyeksi \(P_J\).

(a)(i) Misalkan \(C\subseteq X\) suatu silinder terukur, yang dinyatakan sebagai \(\prod_{i\in I}C_i\) dengan \(C_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\) dan \(L=\{i:C_i\ne X_i\}\) berhingga. Tetapkan

\(C'_i=C_i\) untuk \(i\in J\), \(X_i\) untuk \(i\in I\setminus J\), \(C'=\prod_{i\in I}C'_i\), \(\alpha=\prod_{i\in I\setminus J}\mu_iC_i\).

Maka \(\alpha\chi C'\) merupakan suatu ekspektasi bersyarat dari \(\chi C\) pada \(\Lambda_J\). Bukti. Menurut 254N, kita dapat mengidentifikasi \(\lambda\) dengan produk dari \(\lambda_J\) dan \(\lambda_{I\setminus J}\). Ini mengidentifikasi \(\Lambda_J\) dengan \(\{E\times X_{I\setminus J}:E\in\dom\lambda_J\}\). Menurut 253H, kita mempunyai ekspektasi bersyarat \(g\) dari \(\chi C\) yang didefinisikan dengan menetapkan

\(g(y,z)=\int\chi C(y,t)\lambda_{I\setminus J}(dt)\)

untuk \(y\in X_J\), \(z\in X_{I\setminus J}\). Tetapi \(C\) diidentifikasi dengan \(C_J\times C_{I\setminus J}\), dengan \(C_J=\prod_{i\in J}C_i\), sehingga \(g(y,z)=0\) jika \(y\notin C_J\) dan jika tidak, nilainya adalah \(\lambda_{I\setminus J}C_{I\setminus J}=\alpha\). Jadi \(g=\alpha\chi(C_J\times X_{I\setminus J})\). Tetapi identifikasi antara \(X_J\times X_{I\setminus J}\) dan \(X\) memadankan \(C_J\times X_{I\setminus J}\) dengan \(C'\), sebagaimana diuraikan di atas. Jadi \(g\) menjadi teridentifikasi dengan \(\alpha\chi C'\), dan \(\alpha\chi C'\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(\chi C\). ∎

(ii) Selanjutnya, dengan menetapkan

\(C''_i=C'_i\) untuk \(i\in K\), \(X_i\) untuk \(i\in I\setminus K\), \(C''=\prod_{i\in I}C''_i\),

\(\beta=\prod_{i\in I\setminus K}\mu_iC'_i =\prod_{i\in I\setminus(J\cup K)}\mu_iC_i\),

argumen yang sama menunjukkan bahwa \(\beta\chi C''\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(\chi C'\) pada \(\Lambda_K\). Jadi kita mempunyai

\(P_KP_J(\chi C)^{\ssbullet} =\beta\alpha(\chi C'')^{\ssbullet}\).

Tetapi jika kita memperhatikan \(\beta\alpha\), ini hanyalah \(\prod_{i\in I\setminus(K\cap J)}\mu_iC_i\), sedangkan \(C''_i=C_i\) jika \(i\in K\cap J\), \(X_i\) untuk \(i\) lainnya. Jadi \(\beta\alpha\chi C''\) merupakan ekspektasi bersyarat dari \(\chi C\) pada \(\Lambda_{K\cap J}\), dan

\(P_KP_J(\chi C)^{\ssbullet} =P_{K\cap J}(\chi C)^{\ssbullet}\).

(iii) Dengan demikian kita melihat bahwa operator-operator \(P_KP_J\), \(P_{K\cap J}\) berimpit pada unsur-unsur berbentuk \(\chi C^{\ssbullet}\), dengan \(C\) suatu silinder terukur. Karena keduanya linear, keduanya berimpit pada kombinasi linear unsur-unsur tersebut, yaitu \(P_KP_Jv=P_{K\cap J}v\) kapan pun \(v=g^{\ssbullet}\) untuk suatu \(g\) dalam ruang \(\eusm S\) dari 254Q. Tetapi jika \(u\in L^1(\lambda)\) dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\), yaitu \(f\), sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\), dan terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\int|f-g|\le\epsilon\) (254Qa), sehingga \(\|u-v\|_1\le\epsilon\), dengan \(v=g^{\ssbullet}\). Karena \(P_J\), \(P_K\) dan \(P_{K\cap J}\) semuanya merupakan operator linear bernorma \(1\),

\(\|P_KP_Ju-P_{K\cap J}u\|_1 \le2\|u-v\|_1+\|P_KP_Jv-P_{K\cap J}v\|_1\le 2\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(P_KP_Ju=P_{K\cap J}u\); karena \(u\) sembarang, \(P_KP_J=P_{K\cap J}\).

(b) Ambil \(u\in L^1(\lambda)\). Misalkan \(\Cal J\) keluarga semua subhimpunan \(J\) dari \(I\) sedemikian sehingga \(P_Ju=u\). Menurut (a), \(J\cap K\in\Cal J\) untuk semua \(J\), \(K\in\Cal J\). Selanjutnya, \(\Cal J\) memuat suatu himpunan terhitung \(J_0\). Bukti. Misalkan \(f\) suatu fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\) sedemikian sehingga \(f^{\ssbullet}=u\). Menurut 254Qc, kita dapat menemukan himpunan terhitung \(J_0\subseteq I\) dan fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda_{J_0}\), yaitu \(g\), sedemikian sehingga \(f\eae g\pi_{J_0}\). Sekarang \(g\pi_{J_0}\) bersifat \(\Lambda_{J_0}\)-terukur dan \(u=(g\pi_{J_0})^{\ssbullet}\) termasuk dalam \(L^1_{J_0}\), sehingga \(J_0\in\Cal J\). ∎

Tuliskan \(J^*=\bigcap\Cal J\), sehingga \(J^*\subseteq J_0\) terhitung. Maka \(J^*\in\Cal J\). Bukti. Misalkan \(\epsilon>0\). Seperti dalam bukti (a) di atas, terdapat \(g\in\eusm S\) sedemikian sehingga \(\|u-v\|_1\le\epsilon\), dengan \(v=g^{\ssbullet}\). Tetapi karena \(g\) merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi-fungsi indikator silinder terukur, yang masing-masing ditentukan oleh koordinat-koordinat dalam suatu himpunan berhingga, terdapat \(K\subseteq I\) berhingga sedemikian sehingga \(g\) bersifat \(\Lambda_K\)-terukur, sehingga \(P_Kv=v\). Karena \(K\) berhingga, harus ada \(J_1,\ldots,J_n\in\Cal J\) sedemikian sehingga \(J^*\cap K=\bigcap_{1\le i\le n}J_i\cap K\); tetapi karena \(\Cal J\) tertutup terhadap irisan berhingga, \(J=J_1\cap\ldots\cap J_n\in\Cal J\), dan \(J^*\cap K=J\cap K\).

Sekarang kita mempunyai

\(P_{J^*}v=P_{J^*}P_Kv=P_{J^*\cap K}v=P_{J\cap K}v=P_JP_Kv =P_Jv\),

dengan menggunakan (a) dua kali. Karena \(P_J\) maupun \(P_{J^*}\) bernorma \(1\),

\[\begin{aligned}\|P_{J^*}u-u\|_1 &\le\|P_{J^*}u-P_{J^*}v\|_1 +\|P_{J^*}v-P_Jv\|_1 +\|P_Jv-P_Ju\|_1 +\|P_Ju-u\|_1\\ &\le\|u-v\|_1+0+\|u-v\|_1+0 \le 2\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sembarang, \(P_{J^*}u=u\) dan \(J^*\in\Cal J\). ∎

Sekarang, untuk sembarang \(J\subseteq I\),

\[\begin{aligned}P_Ju=u &\Longrightarrow J\in\Cal J \Longrightarrow J\supseteq J^*\\ &\Longrightarrow P_Ju=P_JP_{J^*}u=P_{J\cap J^*}u=P_{J^*}u=u.\\\end{aligned}\]

Jadi \(J^*\) mempunyai sifat-sifat yang diminta.

(c) Tetapkan \(e=(\chi X)^{\ssbullet}\), \(u_n=(-ne)\vee(u\wedge ne)\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Maka, untuk sembarang \(J\subseteq I\), \(u\in L^0_J\) jika dan hanya jika \(u_n\in L^0_J\) untuk setiap \(n\). Bukti. (\(\alpha\)) Jika \(u\in L^0_J\), maka \(u\) dapat dinyatakan sebagai \(f^{\ssbullet}\) untuk suatu fungsi yang \(\Lambda_J\)-terukur \(f\); sekarang \(f_n=(-n\chi X)\vee(f\wedge n\chi X)\) bersifat \(\Lambda_J\)-terukur, sehingga \(u_n=f_n^{\ssbullet}\in L^0_J\) untuk setiap \(n\). (\(\beta\)) Jika \(u_n\in L^0_J\) untuk setiap \(n\), maka untuk setiap \(n\) kita dapat menemukan fungsi \(\Lambda_J\)-terukur \(f_n\) sedemikian sehingga \(f_n^{\ssbullet}=u_n\). Tetapi juga terdapat fungsi \(\Lambda\)-terukur \(f\) sedemikian sehingga \(u=f^{\ssbullet}\), dan kita harus mempunyai \(f_n\eae(-n\chi X)\vee(f\wedge n\chi X)\) untuk setiap \(n\), sehingga \(f\eae\lim_{n\to\infty}f_n\) dan \(u=(\lim_{n\to\infty}f_n)^{\ssbullet}\). Karena \(\lim_{n\to\infty}f_n\) bersifat \(\Lambda_J\)-terukur dan didefinisikan pada suatu himpunan koterabaikan terhadap \(\lambda\restr\Lambda_J\), maka \(u\in L^0_J\). ∎

Karena setiap \(u_n\) termasuk dalam \(L^1\), kita tahu bahwa

\(u_n\in L^0_J\iff u_n\in L^1_J\iff P_Ju_n=u_n\).

Menurut (b), untuk setiap \(n\) terdapat \(J_n^*\) terhitung sedemikian sehingga \(P_{J}u_n=u_n\) jika dan hanya jika \(J\supseteq J_n^*\). Jadi kita melihat bahwa \(u\in L^0_J\) jika dan hanya jika \(J\supseteq J_n^*\) untuk setiap \(n\), yaitu, \(J\supseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}J_n^*\). Dengan demikian \(J^*=\bigcup_{n\in\Bbb N}J_n^*\) mempunyai sifat yang dinyatakan.

(d) Dengan menerapkan (c) pada \(u=(\chi W)^{\ssbullet}\), kita memperoleh \(J^*\) (terhitung) terkecil yang tunggal sedemikian sehingga \(u\in L^0_{J^*}\). Tetapi jika \(J\subseteq I\), maka terdapat \(W'\in\Lambda_J\) sedemikian sehingga \(W'\symmdiff W\) terabaikan jika dan hanya jika \(u\in L^0_J\). Jadi inilah \(J^*\) yang kita cari.

(e) Terapkan kembali (c), kali ini pada \(f^{\ssbullet}\).

254S Proposisi

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\).

(a) Jika \(A\subseteq X\) ditentukan oleh koordinat dalam \(I\setminus\{j\}\) untuk setiap \(j\in I\), maka ukuran luarnya \(\lambda^*A\) harus bernilai \(0\) atau \(1\).

(b) Jika \(W\in\Lambda\) dan \(\lambda W>0\), maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(W'\in\Lambda\) dan himpunan berhingga \(J\subseteq I\) sedemikian sehingga \(\lambda W'\ge 1-\epsilon\), dan untuk setiap \(x\in W'\) terdapat \(y\in W\) sedemikian sehingga \(x\restr I\setminus J=y\restr I\setminus J\).

Bukti

Untuk \(J\subseteq I\), tuliskan \(X_J\) untuk \(\prod_{i\in J}X_i\) dan \(\lambda_J\) untuk ukuran produk pada \(X_J\).

(a) Misalkan \(W\) suatu selubung terukur dari \(A\). Menurut 254Rd, terdapat \(J\subseteq I\) terkecil yang untuknya terdapat \(W'\in\Lambda\), yang ditentukan oleh koordinat dalam \(J\), dengan \(\lambda(W\symmdiff W')=0\). Sekarang \(J=\emptyset\). Bukti. Ambil sembarang \(j\in I\). Maka \(A\) ditentukan oleh koordinat dalam \(I\setminus\{j\}\), yaitu, dapat dipandang sebagai \(X_j\times A'\) untuk suatu \(A'\subseteq X_{I\setminus\{j\}}\). Kita juga dapat memandang \(\lambda\) sebagai produk dari \(\lambda_{\{j\}}\) dan \(\lambda_{I\setminus\{j\}}\) (254N). Misalkan \(\Lambda_{I\setminus\{j\}}\) domain dari \(\lambda_{I\setminus\{j\}}\). Menurut 251S,

\(\lambda^*A =\lambda_{\{j\}}^*X_j\cdot\lambda_{I\setminus\{j\}}^*A' =\lambda_{I\setminus\{j\}}^*A'\).

Misalkan \(V\in\Lambda_{I\setminus\{j\}}\) suatu selubung terukur dari \(A'\). Maka \(W'=X_j\times V\) termasuk dalam \(\Lambda\), memuat \(A\), dan berukuran \(\lambda^*A\), sehingga \(\lambda(W\cap W')=\lambda W=\lambda W'\) dan \(W\symmdiff W'\) bersifat terabaikan. Pada saat yang sama, \(W'\) ditentukan oleh koordinat dalam \(I\setminus\{j\}\). Ini berarti bahwa \(J\) harus termuat dalam \(I\setminus\{j\}\). Karena \(j\) sembarang, \(J=\emptyset\). ∎

Tetapi satu-satunya subhimpunan \(X\) yang ditentukan oleh koordinat dalam \(\emptyset\) adalah \(X\) dan \(\emptyset\). Karena \(W\) berbeda dari salah satu himpunan ini hanya pada suatu himpunan terabaikan, \(\lambda^*A=\lambda W\in\{0,1\}\), sebagaimana dinyatakan.

(b) Tetapkan \(\eta=\bover12\min(\epsilon,1)\lambda W\). Menurut 254Fe, terdapat himpunan terukur \(V\), yang ditentukan oleh koordinat dalam suatu subhimpunan berhingga \(J\) dari \(I\), sedemikian sehingga \(\lambda(W\symmdiff V)\le\eta\). Perhatikan bahwa

\(\lambda V\ge\lambda W-\eta\ge\Bover12\lambda W>0\),

sehingga

\(\lambda(W\symmdiff V)\le\Bover12\epsilon\lambda W \le\epsilon\lambda V\).

Kita dapat mengidentifikasi \(\lambda\) dengan produk c.l.d. dari \(\lambda_J\) dan \(\lambda_{I\setminus J}\) (254N). Misalkan \(\tilde W\), \(\tilde V\subseteq X_J\times X_{I\setminus J}\) himpunan-himpunan yang bersesuaian dengan \(W\), \(V\subseteq X\). Maka \(\tilde V\) dapat dinyatakan sebagai \(U\times X_{I\setminus J}\) dengan \(\lambda_JU=\lambda V>0\). Tetapkan \(U'=\{z:z\in X_{I\setminus J}\), \(\lambda_J\tilde W^{-1}[\{z\}]=0\}\). Maka \(U'\) terukur terhadap \(\lambda_{I\setminus J}\) (252D(ii) lagi, karena \(\lambda_J\) maupun \(\lambda_{I\setminus J}\) lengkap), dan

\[\begin{aligned}\lambda_JU\cdot\lambda_{I\setminus J}U' &\le\int\lambda_J(\tilde W^{-1}[\{z\}]\symmdiff U) \lambda_{I\setminus J}(dz)\\ &\text{(karena jika }z\in U'\text{, maka }\lambda_J(\tilde W^{-1}[\{z\}]\symmdiff U)=\lambda_JU\text{)}\\ &=\int\lambda_J(\tilde W\symmdiff\tilde V)^{-1}[\{z\}] \lambda_{I\setminus J}(dz)\\ &=(\lambda_J\times\lambda_{I\setminus J})(\tilde W\symmdiff\tilde V)\\ &\text{(252D sekali lagi)}\\ &=\lambda(W\symmdiff V) \le\epsilon\lambda V =\epsilon\lambda_JU.\\\end{aligned}\]

Ini berarti bahwa \(\lambda_{I\setminus J}U'\le\epsilon\). Tetapkan \(W'=\{x:x\in X\), \(x\restr I\setminus J\notin U'\}\); maka \(\lambda W'\ge 1-\epsilon\). Jika \(x\in W'\), maka \(z=x\restr I\setminus J\notin U'\), sehingga \(\tilde W^{-1}[\{z\}]\) tidak kosong, yaitu, terdapat \(y\in W\) sedemikian sehingga \(y\restr I\setminus J=z\). Jadi \(W'\) ini mempunyai sifat-sifat yang diminta.

254T Catatan

Penting untuk memahami bahwa hasil-hasil di atas berlaku untuk \(L^0\) dan \(L^1\) serta himpunan-himpunan-terukur-hingga-suatu-himpunan-terabaikan, bukan untuk himpunan dan fungsi itu sendiri. Satu gagasan memang berlaku untuk himpunan dan fungsi, baik terukur maupun tidak.

254Ta (a)

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga himpunan dengan produk Kartesius \(X\). Untuk setiap \(J\subseteq I\), misalkan \(\Cal W_J\) merupakan himpunan semua subhimpunan \(X\) yang ditentukan oleh koordinat dalam \(J\). Maka \(\Cal W_J\cap\Cal W_K=\Cal W_{J\cap K}\) untuk semua \(J\), \(K\subseteq I\). Bukti. Tentu saja \(\Cal W_J\cap\Cal W_K\supseteq\Cal W_{J\cap K}\), karena \(\Cal W_J\supseteq\Cal W_{J'}\) kapan pun \(J'\subseteq J\). Di pihak lain, andaikan \(W\in\Cal W_J\cap\Cal W_K\), \(x\in W\), \(y\in X\) dan \(x\restr J\cap K=y\restr J\cap K\). Tetapkan \(z(i)=x(i)\) untuk \(i\in J\), \(y(i)\) untuk \(i\in I\setminus J\). Maka \(z\restr J=x\restr J\), sehingga \(z\in W\). Juga \(y\restr K=z\restr K\), sehingga \(y\in W\). Karena \(x\), \(y\) sembarang, \(W\in\Cal W_{J\cap K}\); karena \(W\) sembarang, \(\Cal W_J\cap\Cal W_K\subseteq\Cal W_{J\cap K}\). ∎ Dengan demikian, untuk sembarang \(W\subseteq X\), \(\Cal F=\{J:W\in\Cal W_J\}\) merupakan suatu filter pada \(I\) (kecuali jika \(W=X\) atau \(W=\emptyset\), dalam hal ini \(\Cal F=\Cal PI\)). Tetapi \(\Cal F\) belum tentu mempunyai unsur terkecil, sebagaimana diperlihatkan oleh contoh berikut.

254Tb (b)

Tetapkan \(X=\{0,1\}^{\Bbb N}\),

\(W=\{x:x\in X\), \(\lim_{i\to\infty}x(i)=0\}\).

Maka untuk setiap \(n\in\Bbb N\), \(W\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J_n=\{i:i\ge n\}\). Tetapi \(W\) tidak ditentukan oleh koordinat dalam \(\bigcap_{n\in\Bbb N}J_n=\emptyset\). Perhatikan bahwa

\(W=\bigcup_{n\in\Bbb N}\bigcap_{i\ge n}\{x:x(i)=0\}\)

terukur oleh ukuran biasa pada \(X\). Tetapi himpunan ini juga terabaikan (karena terhitung); dalam 254Rd kita mempunyai \(J^*=\emptyset\), \(W'=\emptyset\).

254U

Sekarang saya dapat menguraikan suatu contoh tandingan yang menjawab pertanyaan alami yang timbul dari §251.

Contoh Terdapat ruang ukur yang dapat dilokalkan \((X,\Sigma,\mu)\) dan suatu ruang probabilitas \((Y,\Tau,\nu)\) sedemikian sehingga ukuran produk c.l.d. \(\lambda\) pada \(X\times Y\) tidak dapat dilokalkan.

Bukti

(a) Ambil \((X,\Sigma,\mu)\) sebagai ruang dalam 216E, sehingga \(X=\{0,1\}^I\), dengan \(I=\Cal PC\) untuk suatu himpunan \(C\) yang berkardinalitas lebih besar daripada \(\frak c\). Untuk setiap \(\gamma\in C\), tuliskan \(E_{\gamma}\) untuk \(\{x:x\in X\), \(x(\{\gamma\})=1\}\) (yaitu, \(G_{\{\gamma\}}\) dalam notasi 216Ec); maka \(E_{\gamma}\in\Sigma\) dan \(\mu E_{\gamma}=1\); juga setiap himpunan terukur berukuran tak nol beririsan dengan suatu \(E_{\gamma}\) dalam suatu himpunan berukuran tak nol, sedangkan \(E_{\gamma}\cap E_{\delta}\) terabaikan untuk semua \(\gamma\), \(\delta\) yang berbeda (lihat 216Ee).

Misalkan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah \(\{0,1\}^C\) dengan ukuran biasa (254J). Untuk \(\gamma\in C\), misalkan \(F_{\gamma}\) adalah \(\{y:y\in Y\), \(y(\gamma)=1\}\), sehingga \(\nu F_{\gamma}=\bover12\). Misalkan \(\lambda\) ukuran produk c.l.d. pada \(X\times Y\), dan \(\Lambda\) domainnya.

(b) Tinjau keluarga \(\Cal W=\{E_{\gamma}\times F_{\gamma}:\gamma\in C\}\subseteq\Lambda\). ? Andaikan, jika mungkin, bahwa \(V\) merupakan supremum esensial dari \(\Cal W\) dalam \(\Lambda\) dalam arti 211G. Untuk \(\gamma\in C\), tuliskan \(H_{\gamma}=\{x:V[\{x\}]\symmdiff F_{\gamma}\) terabaikan\(\}\). Karena \(F_{\gamma}\symmdiff F_{\delta}\) tidak terabaikan, \(H_{\gamma}\cap H_{\delta}=\emptyset\) untuk semua \(\gamma\ne\delta\).

Sekarang \(E_{\gamma}\setminus H_{\gamma}\) terabaikan terhadap \(\mu\) untuk setiap \(\gamma\in C\). Bukti. \(\lambda((E_{\gamma}\times F_{\gamma})\setminus V)=0\), sehingga \(F_{\gamma}\setminus V[\{x\}]\) terabaikan untuk hampir setiap \(x\in E_{\gamma}\), menurut 252D. Di pihak lain, jika kita menetapkan \(F'_{\gamma}=Y\setminus F_{\gamma}\), \(W_{\gamma}=(X\times Y)\setminus(E_{\gamma}\times F'_{\gamma})\), maka kita melihat bahwa

\((E_{\gamma}\times F'_{\gamma})\cap(E_{\gamma}\times F_{\gamma})=\emptyset\), \(E_{\gamma}\times F_{\gamma}\subseteq W_{\gamma}\),

\(\lambda((E_{\delta}\times F_{\delta})\setminus W_{\gamma}) =\lambda((E_{\gamma}\times F'_{\gamma}) \cap(E_{\delta}\times F_{\delta})) \le\mu(E_{\gamma}\cap E_{\delta}) =0\)

untuk setiap \(\delta\ne\gamma\), sehingga \(W_{\gamma}\) merupakan batas atas esensial untuk \(\Cal W\), dan \(V\cap(E_{\gamma}\times F'_{\gamma})=V\setminus W_{\gamma}\) harus terabaikan terhadap \(\lambda\). Dengan demikian \(V[\{x\}]\setminus F_{\gamma}=V[\{x\}]\cap F'_{\gamma}\) terabaikan terhadap \(\nu\) untuk \(\mu\)-hampir setiap \(x\in E_{\gamma}\). Tetapi ini berarti bahwa \(V[\{x\}]\symmdiff F_{\gamma}\) terabaikan terhadap \(\nu\) untuk \(\mu\)-hampir setiap \(x\in E_{\gamma}\), yaitu, \(\mu(E_{\gamma}\setminus H_{\gamma})=0\). ∎

Sekarang tinjau keluarga \(\langle E_{\gamma}\cap H_{\gamma}\rangle_{\gamma\in C}\). Ini merupakan keluarga saling lepas dari himpunan-himpunan berukuran hingga dalam \(X\). Jika \(E\in\Sigma\) berukuran tak nol, terdapat \(\gamma\in C\) sedemikian sehingga \(\mu(E_{\gamma}\cap H_{\gamma}\cap E)=\mu(E_{\gamma}\cap E)>0\). Tetapi ini berarti bahwa \(\Cal E=\{E_{\gamma}\cap H_{\gamma}:\gamma\in C\}\) memenuhi syarat-syarat dalam 213Oa, dan \(\mu\) pasti dapat dilokalkan secara ketat; padahal tidak. !

(c) Dengan demikian kita telah menemukan keluarga \(\Cal W\subseteq\Lambda\) yang tidak mempunyai supremum esensial dalam \(\Lambda\), dan \(\lambda\) tidak dapat dilokalkan.

Catatan Jika \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) adalah sebarang ruang ukur yang dapat dilokalkan dengan ukuran produk c.l.d. yang tidak dapat dilokalkan, maka versi-versi c.l.d. keduanya tetap dapat dilokalkan (213Hb) dan tetap mempunyai suatu produk yang tidak dapat dilokalkan (251T), yang tidak mungkin dapat dilokalkan secara ketat; sehingga setidaknya salah satu faktornya tidak dapat dilokalkan secara ketat (251O). Jadi setiap contoh dengan tipe ini harus melibatkan ruang lengkap yang ditentukan secara lokal dan dapat dilokalkan, tetapi tidak dapat dilokalkan secara ketat, seperti dalam 216E.

254V

Bersesuaian dengan 251U dan 251Wo, kita mempunyai hasil berikut tentang pangkat terhitung dari ruang probabilitas tanpa atom.

Proposisi Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) ruang probabilitas tanpa atom dan \(I\) suatu himpunan terhitung. Misalkan \(\lambda\) ukuran probabilitas produk pada \(X^I\). Maka \(\{x:x\in X^I\), \(x\) injektif\(\}\) koterabaikan terhadap \(\lambda\).

Latihan

254X Latihan dasar (a)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) sebarang keluarga ruang probabilitas, dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). Tuliskan \(\Cal E\) untuk keluarga subhimpunan \(X\) yang dapat dinyatakan sebagai gabungan suatu keluarga berhingga dari silinder-silinder terukur yang saling lepas. (i) Tunjukkan bahwa jika \(C\subseteq X\) merupakan silinder terukur, maka \(X\setminus C\in\Cal E\). (ii) Tunjukkan bahwa \(W\cap V\in\Cal E\) untuk semua \(W\), \(V\in\Cal E\). (iii) Tunjukkan bahwa \(X\setminus W\in\Cal E\) untuk setiap \(W\in\Cal E\). (iv) Tunjukkan bahwa \(\Cal E\) merupakan suatu aljabar subhimpunan \(X\). (v) Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(W\in\Lambda\), \(\epsilon>0\), terdapat \(V\in\Cal E\) sedemikian sehingga \(\lambda(W\symmdiff V)\le\epsilon^2\). (vi) Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(W\in\Lambda\) dan \(\epsilon>0\), terdapat silinder-silinder terukur yang saling lepas \(C_0,\ldots,C_n\) sedemikian sehingga \(\lambda(W\cap C_j)\ge(1-\epsilon)\lambda C_j\) untuk setiap \(j\) dan \(\lambda(W\setminus\bigcup_{j\le n}C_j)\le\epsilon\). Petunjuk: pilih \(C_j\) dari silinder-silinder terukur yang menyusun suatu himpunan \(V\) seperti dalam (v). (vii) Tunjukkan bahwa jika \(f\), \(g\) merupakan fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda\) dan \(\int_Cf\le\int_Cg\) untuk setiap silinder terukur \(C\subseteq X\), maka \(f\leae g\). Petunjuk: tunjukkan bahwa \(\int_Wf\le\int_Wg\) untuk setiap \(W\in\Lambda\).

254Xb (b) penting

Misalkan \(\langle (X_i,\Sigma_i,\mu_i)\) suatu keluarga ruang probabilitas, dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). Tunjukkan bahwa ukuran luar \(\lambda^*\) yang didefinisikan oleh \(\lambda\) tepat sama dengan ukuran luar \(\theta\) yang diuraikan dalam 254A, yaitu, bahwa \(\theta\) merupakan ukuran luar reguler.

254Xc (c)

Misalkan \(\langle (X_i,\Sigma_i,\mu_i)\) suatu keluarga ruang probabilitas, dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). Tuliskan \(\lambda_0\) untuk restriksi \(\lambda\) pada \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\), dan \(\Cal C\) untuk keluarga silinder terukur dalam \(X\). Andaikan bahwa \((Y,\Tau,\nu)\) suatu ruang probabilitas dan \(\phi:Y\to X\) suatu fungsi. (i) Tunjukkan bahwa \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta ketika dipandang sebagai fungsi dari \((Y,\Tau,\nu)\) ke \((X,\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i,\lambda_0)\) jika dan hanya jika \(\phi^{-1}[C]\) termasuk dalam \(\Tau\) dan \(\nu\phi^{-1}[C]=\lambda_0C\) untuk setiap \(C\in\Cal C\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\lambda_0\) adalah satu-satunya ukuran pada \(X\) dengan sifat ini. Petunjuk: 136C.

254Xd (d) penting

Misalkan \(I\) suatu himpunan dan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang probabilitas lengkap. Tunjukkan bahwa suatu fungsi \(\phi:Y\to\{0,1\}^I\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\nu\) dan ukuran biasa pada \(\{0,1\}^I\) jika dan hanya jika \(\nu\{y:\phi(y)(i)=1\) untuk setiap \(i\in J\}=2^{-\#(J)}\) untuk setiap \(J\subseteq I\) berhingga.

254Xe (e) penting

Misalkan \(I\) sebarang himpunan dan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(X=\{0,1\}^I\). Definisikan penjumlahan pada \(X\) seperti dalam 254Jd. Tunjukkan bahwa pemetaan \((x,y)\mapsto x+y:X\times X\to X\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta, jika \(X\times X\) diberi ukuran produknya.

254Xf (f) penting

Misalkan \(I\) sebarang himpunan dan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\Cal PI\). (i) Tunjukkan bahwa pemetaan \(a\mapsto a\symmdiff b:\Cal PI\to\Cal PI\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk sembarang \(b\subseteq I\); khususnya, \(a\mapsto I\setminus a\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. (ii) Tunjukkan bahwa pemetaan \((a,b)\mapsto a\symmdiff b:\Cal PI\times\Cal PI\to\Cal PI\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta.

254Xg (g) penting

Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(q\in[0,1]\) dan sebarang himpunan \(I\), terdapat ukuran \(\lambda\) pada \(\Cal PI\) sedemikian sehingga \(\lambda\{a:J\subseteq a\}=q^{\#(J)}\) untuk setiap \(J\subseteq I\) berhingga.

254Xh (h) penting

Misalkan \((Y,\Tau,\nu)\) ruang probabilitas lengkap, dan tuliskan \(\mu\) untuk ukuran Lebesgue pada \([0,1]\). Andaikan bahwa \(\phi:Y\to[0,1]\) suatu fungsi sedemikian sehingga \(\nu\phi^{-1}[I]\) ada dan sama dengan \(\mu I\) untuk setiap interval \(I\) berbentuk \([2^{-n}k,2^{-n}(k+1)]\), dengan \(n\in\Bbb N\) dan \(0\le k<2^n\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\nu\) dan \(\mu\).

254Xi (i)

Tunjukkan bahwa jika \(\tilde\phi:\{0,1\}^{\Bbb N}\to[0,1]\) adalah sebarang bijeksi yang dikonstruksi dengan metode 254K, maka \(\{\tilde\phi^{-1}[E]:E\subseteq[0,1]\) suatu himpunan Borel\(\}\) tepat merupakan aljabar-sigma subhimpunan \(\{0,1\}^{\Bbb N}\) yang dibangkitkan oleh himpunan-himpunan \(\{x:x(i)=1\}\) untuk \(i\in\Bbb N\).

254Xj (j)

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga himpunan, dan untuk setiap \(i\in I\), misalkan \(\Sigma_i\) suatu aljabar-sigma subhimpunan \(X_i\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(E\in\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\), terdapat himpunan terhitung \(J\subseteq I\) sedemikian sehingga \(E\) dapat dinyatakan sebagai \(\pi_J^{-1}[F]\) untuk suatu \(F\in\Tensorhat_{i\in J}\Sigma_i\), dengan menuliskan \(\pi_J(x)=x\restr J\in\prod_{i\in J}X_i\) untuk \(x\in\prod_{i\in I}X_i\).

254Xk (k)

(i) Tuliskan \(\nu\) untuk ukuran biasa pada \(X=\{0,1\}^{\Bbb N}\). Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(k\ge 1\), \((X,\nu)\) isomorfik dengan \((X^k,\nu_k)\), dengan \(\nu_k\) ukuran pada \(X^k\) yang merupakan ukuran produk yang diperoleh dengan memberi setiap faktor \(X\) ukuran \(\nu\). (ii) Dengan menuliskan \(\mu_{[0,1]}\) untuk ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), dan seterusnya, tunjukkan bahwa untuk sembarang \(k\ge 1\), \(([0,1]^k,\mu_{[0,1]^k})\) isomorfik dengan \(([0,1],\mu_{[0,1]})\).

254Xl (l)

(i) Dengan menuliskan \(\mu_{[0,1]}\) untuk ukuran Lebesgue pada \([0,1]\), dan seterusnya, tunjukkan bahwa \(([0,1],\mu_{[0,1]})\) isomorfik dengan \((\coint{0,1},\mu_{\coint{0,1}})\). (ii) Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(k\ge 1\), \((\coint{0,1}^k,\mu_{\coint{0,1}^k})\) isomorfik dengan \((\coint{0,1},\mu_{\coint{0,1}})\). (iii) Tunjukkan bahwa untuk sembarang \(k\ge 1\), \((\Bbb R,\mu_{\Bbb R})\) isomorfik dengan \((\BbbR^k,\mu_{\Bbb R^k})\).

254Xm (m)

Misalkan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \([0,1]\) dan \(\lambda\) ukuran produk pada \([0,1]^{\Bbb N}\). Tunjukkan bahwa \(([0,1],\mu)\) dan \(([0,1]^{\Bbb N},\lambda)\) isomorfik.

254Xn (n)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas lengkap dan \(\lambda\) ukuran produk pada \(\prod_{i\in I}X_i\), dengan domain \(\Lambda\). Andaikan bahwa \(A_i\subseteq X_i\) untuk setiap \(i\in I\). Tunjukkan bahwa \(\prod_{i\in I}A_i\in\Lambda\) jika dan hanya jika (i) \(\prod_{i\in I}\mu_i^*A_i=0\) atau (ii) \(A_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\) dan \(\{i:A_i\ne X_i\}\) terhitung. Petunjuk: gabungkan gagasan-gagasan dari 252Xc, 254F, 254L dan 254N.

254Xo (o)

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) suatu keluarga ruang probabilitas dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). (i) Tunjukkan bahwa, untuk sembarang \(A\subseteq X\),

\(\lambda^*A=\min\{\lambda_J^*\pi_J[A]:J\subseteq I\) terhitung\(\}\),

dengan, untuk \(J\subseteq I\), saya menuliskan \(\lambda_J\) untuk ukuran probabilitas produk pada \(X_J=\prod_{i\in J}X_i\) dan \(\pi_J:X\to X_J\) untuk pemetaan kanonik. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(J\), \(K\subseteq I\) saling lepas dan \(A\), \(B\subseteq X\) masing-masing ditentukan oleh koordinat dalam \(J\), \(K\), maka \(\lambda^*(A\cap B)=\lambda^*A\cdot\lambda^*B\).

254Xp (p)

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) suatu keluarga ruang probabilitas dengan produk \((X,\Lambda,\lambda)\). Misalkan \(\eusm S\) rentang linear dari himpunan fungsi indikator silinder terukur dalam \(X\), seperti dalam 254Q. Tunjukkan bahwa \(\{f^{\ssbullet}:f\in\eusm S\}\) rapat dalam \(L^p(\lambda)\) untuk setiap \(p\in\coint{1,\infty}\).

254Xq (q)

Misalkan \(\langle(X_i,\Sigma_i,\mu_i)\rangle_{i\in I}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan \((X,\Lambda,\lambda)\) produknya; untuk \(J\subseteq I\), misalkan \(\Lambda_J\) aljabar-sigma dari anggota-anggota \(\Lambda\) yang ditentukan oleh koordinat dalam \(J\), dan \(P_J:L^1=L^1(\lambda)\to L^1_J=L^1(\lambda\restr\Lambda_J)\) ekspektasi bersyarat yang bersesuaian. (i) Tunjukkan bahwa jika \(u\in L^1_J\) dan \(v\in L^1_{I\setminus J}\), maka \(u\times v\in L^1\) dan \(\int u\times v=\int u\cdot\int v\). Petunjuk: 253D. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\Cal J\subseteq\Cal PI\) tidak kosong, dengan \(J^*=\bigcap\Cal J\), maka \(L^1_{J^*}=\bigcap_{J\in\Cal J}L^1_J\).

254Xr (r)

(i) Misalkan \(I\) sebarang himpunan dan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\Cal PI\). Misalkan \(A\subseteq\Cal PI\) sedemikian sehingga \(a\symmdiff b\in A\) kapan pun \(a\in A\) dan \(b\subseteq I\) berhingga. Tunjukkan bahwa \(\lambda^*A\) harus bernilai \(0\) atau \(1\). (ii) Misalkan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\{0,1\}^{\Bbb N}\), dan \(\Lambda\) domainnya. Misalkan \(f:\{0,1\}^{\Bbb N}\to\Bbb R\) suatu fungsi sedemikian sehingga, untuk \(x\), \(y\in\{0,1\}^{\Bbb N}\), \(f(x)=f(y)\iff\{n:n\in\Bbb N\), \(x(n)\ne y(n)\}\) berhingga. Tunjukkan bahwa \(f\) tidak \(\Lambda\)-terukur. Petunjuk: untuk sembarang \(q\in\Bbb Q\), \(\lambda^*\{x:f(x)\le q\}\) bernilai \(0\) atau \(1\).

254Xs (s)

Misalkan \(\familyiI{X_i}\) sebarang keluarga himpunan dan \(A\subseteq B\subseteq\prod_{i\in I}X_i\). Andaikan bahwa \(A\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\subseteq I\) dan bahwa \(B\) ditentukan oleh koordinat dalam \(K\). Tunjukkan bahwa terdapat himpunan \(C\) sedemikian sehingga \(A\subseteq C\subseteq B\) dan \(C\) ditentukan oleh koordinat dalam \(J\cap K\).

254Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan untuk \(J\subseteq I\), misalkan \(\lambda_J\) ukuran produk pada \(X_J=\prod_{i\in J}X_i\); tuliskan \(X=X_I\), \(\lambda=\lambda_I\) dan \(\pi_J(x)=x\restr J\) untuk \(x\in X\) dan \(J\subseteq I\).

(i) Tunjukkan bahwa untuk \(K\subseteq J\subseteq I\), kita mempunyai pemetaan alami yang linear, melestarikan urutan, dan melestarikan norma, \(T_{JK}:L^1(\lambda_K)\to L^1(\lambda_J)\), yang didefinisikan dengan menuliskan \(T_{JK}(f^{\ssbullet})=(f\pi_{KJ})^{\ssbullet}\) untuk setiap fungsi yang dapat diintegralkan terhadap \(\lambda_K\), yaitu \(f\), dengan \(\pi_{KJ}(y)=y\restr K\) untuk \(y\in X_J\).

(ii) Tuliskan \(\Cal K\) untuk himpunan semua subhimpunan berhingga dari \(I\). Tunjukkan bahwa jika \(W\) sebarang ruang Banach dan \(\langle T_K\rangle_{K\in\Cal K}\) suatu keluarga sedemikian sehingga (\(\alpha\)) \(T_K\) merupakan operator linear terbatas dari \(L^1(\lambda_K)\) ke \(W\) untuk setiap \(K\in\Cal K\) (\(\beta\)) \(T_K=T_JT_{JK}\) kapan pun \(K\subseteq J\in \Cal K\) (\(\gamma\)) \(\sup_{K\in\Cal K}\|T_K\|<\infty\), maka terdapat operator linear terbatas yang tunggal \(T:L^1(\lambda)\to W\) sedemikian sehingga \(T_K=TT_{IK}\) untuk setiap \(K\in\Cal K\).

(iii) Tuliskan \(\Cal J\) untuk himpunan semua subhimpunan terhitung dari \(I\). Tunjukkan bahwa \(L^1(\lambda)=\bigcup_{J\in\Cal J}T_{IJ}[L^1(\lambda_J)]\).

254Yb (b)

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) sebarang keluarga ruang ukur. Tetapkan \(X=\prod_{i\in I}X_i\) dan misalkan \(\Cal F\) suatu filter pada himpunan \([I]^{<\omega}\) dari subhimpunan berhingga \(I\) sedemikian sehingga \(\{J:i\in J\in[I]^{<\omega}\}\in\Cal F\) untuk setiap \(i\in I\). Tunjukkan bahwa terdapat ukuran lengkap yang ditentukan secara lokal \(\lambda\) pada \(X\) sedemikian sehingga \(\lambda(\prod_{i\in I}E_i)\) terdefinisi dan sama dengan \(\lim_{J\to\Cal F}\prod_{i\in J}\mu_iE_i\) kapan pun \(E_i\in\Sigma_i\) untuk setiap \(i\in I\) dan \(\lim_{J\to\Cal F}\prod_{i\in J}\mu_iE_i\) terdefinisi dalam \(\coint{0,\infty}\). Petunjuk: Baker 04.

254Yc (c)

Misalkan \(\familyiI{(X_i,\Sigma_i,\mu_i)}\) suatu keluarga ruang probabilitas, dan \(\lambda\) suatu ukuran lengkap pada \(X=\prod_{i\in I}X_i\). Andaikan bahwa untuk setiap ruang probabilitas lengkap \((Y,\Tau,\nu)\) dan fungsi \(\phi:Y\to X\), \(\phi\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk \(\nu\) dan \(\lambda\) jika dan hanya jika \(\nu\phi^{-1}[C]\) terdefinisi dan sama dengan \(\theta_0 C\) untuk setiap silinder terukur \(C\subseteq X\), dengan menuliskan \(\theta_0\) untuk fungsional dalam 254A. Tunjukkan bahwa \(\lambda\) merupakan ukuran produk pada \(X\).

254Yd (d)

Misalkan \(I\) suatu himpunan, dan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\{0,1\}^I\). Tunjukkan bahwa \(L^1(\lambda)\) separabel, dalam topologi normanya, jika dan hanya jika \(I\) terhitung.

254Ye (e)

Misalkan \(f:[0,1]\to[0,1]^2\) suatu fungsi yang bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk ukuran Lebesgue bidang pada \([0,1]^2\) dan ukuran Lebesgue linear pada \([0,1]\), seperti dalam 134Yl; misalkan \(f_1\), \(f_2\) adalah koordinat-koordinat \(f\). Definisikan \(g:[0,1]\to[0,1]^{\Bbb N}\) dengan menetapkan \(g(t)=\sequencen{f_1f_2^n(t)}\) untuk \(0\le t\le 1\). Tunjukkan bahwa \(g\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta. Petunjuk: tunjukkan bahwa \(g_n:[0,1]\to[0,1]^{n+1}\) bersifat pelestari ukuran melalui prapeta untuk setiap \(n\ge 1\), dengan \(g_n(t)=(f_1(t),f_1f_2(t),\ldots,f_1f_2^{n-1}(t),f_2^n(t))\) untuk \(t\in[0,1]\).

254Yf (f)

Misalkan \(I\) suatu himpunan, dan \(\lambda\) ukuran biasa pada \(\Cal PI\). Tunjukkan bahwa jika \(\Cal F\) suatu ultrafilter non-prinsipal pada \(I\), maka \(\lambda^*\Cal F=1\). Petunjuk: 254Xr, 254Xf.

254Yg (g)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\), \((Y,\Tau,\nu)\) dan \(\lambda\) seperti dalam 254U. Tetapkan \(A=\{x_{\gamma}:\gamma\in C\}\) sebagaimana didefinisikan dalam 216E. Misalkan \(\mu_A\) ukuran subruang pada \(A\), dan \(\tilde\lambda\) ukuran produk c.l.d. dari \(\mu_A\) dan \(\nu\) pada \(A\times Y\). Tunjukkan bahwa \(\tilde\lambda\) merupakan perluasan sejati dari ukuran subruang \(\lambda_{A\times Y}\). Petunjuk: tinjau \(\tilde W=\{(x_{\gamma},y):\gamma\in C\), \(y\in F_{\gamma}\}\), dalam notasi 254U.

254Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang probabilitas tanpa atom, \(I\) suatu himpunan dengan kardinalitas paling besar \(\#(X)\), dan \(A\) himpunan fungsi injektif dari \(I\) ke \(X\). Tunjukkan bahwa \(A\) mempunyai ukuran luar penuh untuk ukuran produk pada \(X^I\).

Catatan dan komentar

254 Catatan penutup untuk Bagian 254

Walaupun ada banyak alasan untuk mempelajari produk tak hingga dari ruang probabilitas, dari sudut pandang teori ukuran abstrak, ada satu alasan yang jauh paling utama: produk-produk itu menyediakan konstruksi jenis ruang ukur yang pada hakikatnya baru. Saya tidak dapat menguraikan sifat ‘kebaruan’ ini secara efektif tanpa memasuki wilayah Jilid 3. Tetapi ruang-ruang fungsi dalam Bab 24 setidaknya menyediakan suatu ungkapan yang dapat kita gunakan: inilah ruang-ruang probabilitas pertama \((X,\Lambda,\lambda)\) yang telah kita lihat yang untuknya \(L^1(\lambda)\) belum tentu separabel dalam topologi normanya (254Yd).

Rumus-rumus dalam 254A, seperti rumus-rumus dalam 251A, mengarah secara sangat alami pada ukuran; titik ketika rumus-rumus itu menjadi lebih daripada sekadar keingintahuan adalah ketika kita menemukan bahwa ukuran produk \(\lambda\) merupakan suatu ukuran probabilitas (254Fa), yang harus dipandang sebagai argumen penting dalam bagian ini, sebagaimana 251E merupakan dasar utama §251. Menurut saya, sungguh luar biasa bahwa tidak ada perbedaan pada hasil di sini, baik \(I\) berhingga, tak hingga terhitung, maupun tak terhitung. Jika Anda menuliskan bukti untuk kasus \(I=\Bbb N\), akan tampak alami untuk memperluas himpunan-himpunan \(J_n\) hingga menjadi segmen awal dari \(I\) itu sendiri, dan dengan demikian menghindari sama sekali himpunan bantu \(K\); tetapi ini merupakan penyederhanaan yang menyesatkan, karena menyembunyikan ciri penting dari argumen tersebut, yaitu bahwa setiap barisan dalam \(\Cal C\) hanya melibatkan terhitung banyaknya koordinat, sehingga selama kita hanya menangani satu barisan seperti itu, ketakterhitungan seluruh himpunan \(I\) tidak relevan. Prinsip umum ini secara alami meresapi seluruh bagian; dalam 254O saya telah mencoba menjabarkan bagaimana banyak pertanyaan yang menarik bagi kita dapat dinyatakan dalam subproduk terhitung dari ruang-ruang faktor \(X_i\). Lihat juga latihan 254Xj, 254Xn, dan 254Ya(iii).

Ada sisi yang agak paradoksal pada prinsip ini: bahkan subhimpunan-subhimpunan \(E_i\) dari \(X_i\) yang berperilaku paling baik dapat gagal mempunyai produk terukur \(\prod_{i\in I}E_i\) jika \(E_i\ne X_i\) untuk tak terhitung banyaknya \(i\). Sebagai contoh, \(\ooint{0,1}^I\) bukan subhimpunan terukur dari \([0,1]^I\) jika \(I\) tak terhitung (254Xn). Himpunan ini mempunyai ukuran luar penuh dan ukuran produknya sendiri tepat merupakan ukuran subruang (254L), tetapi setiap subhimpunan terukur harus berukuran nol. Intinya adalah bahwa himpunan kosong merupakan satu-satunya anggota \(\Tensorhat_{i\in I}\Sigma_i\), dengan \(\Sigma_i\) aljabar himpunan bagian \([0,1]\) yang terukur Lebesgue untuk setiap \(i\), yang termuat dalam \(\ooint{0,1}^I\) (lihat 254Xj).

Seperti dalam §251, saya menggunakan konstruksi yang secara otomatis menghasilkan ukuran lengkap pada ruang produk. Saya yakin bahwa inilah pilihan terbaik untuk ‘ukuran’ produk. Tetapi ada kalanya restriksinya pada aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh silinder-silinder terukur layak diperhatikan; lihat 254Xc.

Teorema 254G merupakan hasil dengan tipe yang akan lebih sering muncul dalam Jilid 3 daripada dalam jilid ini. Teorema tersebut menguraikan ukuran produk dalam kerangka bukan mengenai apa ukuran itu adanya, melainkan apa yang dilakukannya; secara khusus, dalam kerangka suatu sifat dari keluarga fungsi pelestari ukuran melalui prapeta yang terkait. Oleh karena itu, teorema ini merupakan suatu ‘teorema pemetaan universal’. (Bandingkan 253F.) Karena uraian ini cukup untuk menentukan ukuran produk sepenuhnya (254Yc), tidaklah mengherankan bahwa saya menggunakannya berulang kali.

‘Ukuran biasa’ pada \(\{0,1\}^I\) (254J) kadang-kadang disebut ‘ukuran pelemparan koin’ karena dapat digunakan untuk memodelkan konsep melempar koin berkali-kali secara sembarang dengan indeks himpunan \(I\), dengan memandang suatu \(x\in\{0,1\}^I\) sebagai hasil ketika koin menunjukkan ‘kepala’ tepat untuk semua \(i\in I\) yang memenuhi \(x(i)=1\). Himpunan-himpunan, atau ‘kejadian’, dalam kelas \(\Cal C\) adalah himpunan yang dapat ditentukan dengan menyatakan hasil dari sejumlah berhingga pelemparan, dan probabilitas sebarang barisan tertentu yang terdiri atas \(n\) hasil adalah \(1/2^n\), terlepas dari pelemparan mana yang kita perhatikan atau urutannya. Dalam Bab 27 saya akan kembali menggunakan ukuran produk untuk merepresentasikan probabilitas yang melibatkan kejadian-kejadian independen.

Dalam 254K saya sampai pada kasus pertama dalam risalah ini mengenai isomorfisme tak trivial antara dua ruang ukur. Jika Anda dibesarkan dengan sajian konvensional matematika murni abstrak modern yang berlandaskan aljabar dan topologi, mungkin Anda sudah memperhatikan ketiadaan penekanan pada konsep ‘homomorfisme’ atau ‘isomorfisme’. Di sini memang saya mulai berbicara tentang ‘isomorfisme’ antara ruang-ruang ukur bahkan tanpa bersusah payah mendefinisikannya; saya berharap sungguh jelas bahwa isomorfisme antara ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\) merupakan bijeksi \(\phi:X\to Y\) sedemikian sehingga \(\Tau=\{F:F\subseteq Y\), \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\) dan \(\nu F=\mu\phi^{-1}[F]\) untuk setiap \(F\in\Tau\), sehingga \(\Sigma\) tentu sama dengan \(\{E:E\subseteq X\), \(\phi[E]\in\Tau\}\) dan \(\mu E=\nu\phi[E]\) untuk setiap \(E\in\Sigma\). Jika diutarakan seperti ini, Anda mungkin, jika telah mengerjakan latihan-latihan Jilid 1, teringat pada beberapa konstruksi aljabar-sigma dalam 111Xc–111Xd dan ‘ukuran citra’ dalam 234C–234D. Hasil dalam 254K (lihat juga 134Yo) secara alami mengarah pada dua pengertian yang berbeda mengenai ‘homomorfisme’ antara dua ruang ukur \((X,\Sigma,\mu)\) dan \((Y,\Tau,\nu)\):

(i) suatu fungsi \(\phi:X\to Y\) sedemikian sehingga \(\phi^{-1}[F]\in\Sigma\) dan \(\mu\phi^{-1}[F]=\nu F\) untuk setiap \(F\in\Tau\),

(ii) suatu fungsi \(\phi:X\to Y\) sedemikian sehingga \(\phi[E]\in \Tau\) dan \(\nu\phi[E]=\mu E\) untuk setiap \(E\in\Sigma\).

Pada kedua definisi, kita menemukan bahwa bijeksi \(\phi:X\to Y\) merupakan isomorfisme jika dan hanya jika \(\phi\) dan \(\phi^{-1}\) keduanya merupakan homomorfisme. (Juga, tentu saja, komposisi homomorfisme merupakan suatu homomorfisme.) Pandangan saya sendiri ialah bahwa (i) lebih penting, dan dalam risalah ini saya mempelajari fungsi-fungsi tersebut secara panjang lebar, dengan menyebut fungsi-fungsi itu ‘pelestari ukuran melalui prapeta’. Tetapi keduanya memiliki kegunaan. Fungsi \(\phi\) dalam 254K bukan hanya memenuhi kedua definisi, melainkan juga ‘hampir’ merupakan isomorfisme dalam beberapa cara yang berbeda, dan mungkin yang terpenting ialah bahwa terdapat himpunan-himpunan koterabaikan \(X'\subseteq\{0,1\}^{\Bbb N}\), \(Y'\subseteq [0,1]\) sedemikian sehingga \(\phi\restr X'\) merupakan suatu isomorfisme antara \(X'\) dan \(Y'\) ketika keduanya diberi ukuran subruangnya.

Setelah menetapkan isomorfisme antara \([0,1]\) dan \(\{0,1\}^{\Bbb N}\), kita segera memperoleh lebih banyak isomorfisme; lihat 254Xk–254Xm. Bahkan, ukuran Lebesgue pada \([0,1]\) isomorfik dengan sebagian besar ruang probabilitas yang muncul dalam penerapan. Dalam Jilid 3 dan 4 saya akan membahas isomorfisme-isomorfisme ini secara panjang lebar.

Gagasan umum ‘subproduk’ berhubungan dengan beberapa hasil yang paling mendalam dan paling khas dalam teori ukuran produk. Karena kita memperhatikan produk dari sebarang keluarga ruang probabilitas, definisinya harus mengabaikan setiap struktur yang mungkin ada dalam himpunan indeks \(I\) dari 254A–254C. Tetapi banyak penerapan, secara cukup alami, menangani himpunan indeks yang mempunyai subhimpunan atau partisi yang diistimewakan, dan langkah penting pertama adalah ‘hukum asosiatif’ (254N; bandingkan 251Xe–251Xf dan 251Wh). Misalnya, inilah alat yang memungkinkan kita menerapkan teorema Fubini di dalam produk tak hingga. Pemetaan-pemetaan proyeksi alami dari \(\prod_{i\in I}X_i\) ke \(\prod_{i\in J}X_i\), dengan \(J\subseteq I\), saling berhubungan dengan cara yang telah digunakan sebagai dasar teorema-teorema dalam §235; ukuran produk pada \(\prod_{i\in J}X_i\) tepat merupakan bayangan dari ukuran produk pada \(\prod_{i\in I}X_i\) (254Oa). Dalam 254O–254Q saya menyelidiki konsekuensi dari fakta ini dan fakta yang telah dicatat bahwa semua himpunan terukur dalam produk ‘pada hakikatnya’ ditentukan oleh koordinat dalam suatu himpunan terhitung.

Dalam 254R saya menyelidiki lebih jauh gagasan tentang suatu himpunan \(W\subseteq\prod_{i\in I}X_i\) yang ‘ditentukan oleh koordinat dalam’ suatu himpunan \(J\subseteq I\). Dalam bentuk primitifnya, ini merupakan gagasan teori-himpunan murni (254M, 254Ta). Saya rasa bahkan himpunan \(I\) yang berunsur tiga dapat memberi kita kejutan; saya mengajak Anda mencoba memvisualisasikan subhimpunan \([0,1]^3\) yang ditentukan oleh pasangan-pasangan koordinat. Tetapi interaksi gagasan ini dengan gagasan teori-ukur, dan khususnya dengan kesediaan menambah atau membuang himpunan terabaikan, menghasilkan jauh lebih banyak, dan khususnya himpunan koordinat minimal yang tunggal yang terkait dengan himpunan dan fungsi terukur (254R). Tentu saja hasil-hasil ini dapat diuraikan secara anggun dan efektif dalam kerangka ruang \(L^1\) dan \(L^0\), tempat himpunan-himpunan terabaikan disingkirkan dari pandangan ketika ruang-ruang itu dikonstruksi. Dasar semua ini ialah fakta bahwa operator-operator ekspektasi bersyarat yang terkait dengan subproduk saling dikalikan dengan cara yang sesederhana mungkin (254Ra); tetapi diperlukan gagasan lebih lanjut untuk menunjukkan bahwa jika \(\Cal J\) suatu keluarga tak kosong dari subhimpunan \(I\), maka \(L^0_{\bigcap\Cal J}=\bigcap_{J\in\Cal J}L^0_J\) (lihat bagian (b) dari bukti 254R; sumber juga mengacu ke 254Xq(iii), tetapi bagian tersebut tidak ada dalam seksi yang dirujuk).

254Sa merupakan suatu versi dari ‘hukum nol-satu’ (272O di bawah). 254Sb merupakan versi kuat dari prinsip bahwa himpunan terukur dalam suatu produk harus dapat dihampiri oleh himpunan yang ditentukan oleh suatu himpunan koordinat berhingga (254Fe, 254Qa, 254Xa). Jelas bukan suatu kebetulan bahwa himpunan \(W\) dalam 254Tb terabaikan. Dalam §272 saya akan meninjau kembali banyak gagasan dalam 254R–254S dan 254Xq, khususnya, dalam konteks yang lebih umum berupa ‘aljabar-sigma independen’.

Terakhir, 254U dan 254Yg hampir sama sekali tidak termasuk dalam bagian ini; keduanya merupakan persoalan yang belum selesai dari §251. Keduanya ditempatkan di sini karena konstruksi dalam 254A–254C merupakan cara paling sederhana untuk menghasilkan ruang probabilitas \((Y,\Tau,\nu)\) yang cukup kompleks.