Aljabar sigma

111A Definisi

Misalkan \(X\) suatu himpunan. Sebuah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\) (kadang disebut medan-\(\sigma\)) adalah keluarga \(\Sigma\) yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan \(X\) sedemikian sehingga

(i) \(\emptyset\in\Sigma\);

(ii) untuk setiap \(E\in\Sigma\), komplemennya \(X\setminus E\) dalam \(X\) termasuk dalam \(\Sigma\);

(iii) untuk setiap barisan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) di dalam \(\Sigma\), gabungannya \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\) termasuk dalam \(\Sigma\).

111B Catatan (a)

Hampir setiap bidang baru dalam matematika murni kemungkinan besar diawali dengan definisi. Pada tahap ini, tidak ada pengganti untuk menghafalkannya. Definisi-definisi ini merangkum pemikiran banyak orang selama bertahun-tahun, kadang berabad-abad; Anda tidak dapat mengharapkan semuanya selalu sesuai dengan gagasan yang sudah akrab.

111Bb (b)

Meskipun demikian, Anda hendaknya selalu segera mencari cara untuk membuat definisi baru menjadi lebih konkret dengan menemukan contoh-contoh dari pengalaman matematika Anda sebelumnya. Dalam hal ‘aljabar-\(\sigma\)’, contoh-contoh yang benar-benar penting, yang akan dijelaskan di bawah, pada dasarnya akan merupakan hal baru — andaikan, tentu saja, Anda memang perlu membaca bab ini. Namun, dua contoh semestinya langsung dapat Anda pahami, dan mulai sekarang hendaknya Anda selalu mengingatnya:

(i) untuk setiap \(X\), \(\Sigma=\{\emptyset,X\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\);

(ii) untuk setiap \(X\), \(\Cal PX\), yaitu himpunan semua subhimpunan \(X\), adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\).

Tentu saja, keduanya masing-masing merupakan aljabar-\(\sigma\) terkecil dan terbesar atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Meskipun kita hanya akan mencurahkan sedikit waktu untuk keduanya, sebenarnya keduanya sama-sama penting.

111Bc *(c)

Istilah ruang terukur sering digunakan untuk menyatakan pasangan \((X,\Sigma)\), dengan \(X\) suatu himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) pada \(X\); tetapi saya sendiri lebih suka menghindari istilah ini, kecuali ketika sangat terdesak oleh waktu, sebab banyak di antara contoh paling menarik dari objek semacam itu sebenarnya tidak mempunyai ukuran berguna yang terkait dengannya.

111C Gabungan dan irisan tak hingga

Jika Anda belum pernah menjumpai gabungan tak hingga, ada baiknya berhenti sejenak untuk mencermati rumus \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Ini adalah himpunan titik yang termasuk dalam satu atau lebih di antara himpunan-himpunan \(E_n\); kita dapat menuliskannya sebagai

\[\begin{aligned}\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n &=\{x:\exists\enskip n\in\Bbb N,\,x\in E_n\}\\ &=E_0\cup E_1\cup E_2\cup\ldots.\\\end{aligned}\]

(Saya menggunakan \(\Bbb N\) untuk himpunan bilangan asli \(\{0,1,2,3,\ldots\}\).) Dengan cara yang sama,

\[\begin{aligned}\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n &=\{x:x\in E_n\Forall n\in\Bbb N\}\\ &=E_0\cap E_1\cap E_2\cap\ldots.\\\end{aligned}\]

Salah satu ciri teori dasar ruang ukur ialah bahwa teori ini menuntut kemahiran lebih besar dalam operasi himpunan \(\cup\), \(\cap\), \(\setminus\) (‘selisih himpunan’: \(E\setminus F=\{x:x\in E,\,x\notin F\}\)), \(\symmdiff\) (‘selisih simetris’: \(E\symmdiff F=(E\setminus F)\cup(F\setminus E)=(E\cup F)\setminus(E\cap F)\)) daripada yang mungkin pernah Anda perlukan sebelumnya, ditambah lagi dengan kerumitan gabungan dan irisan tak hingga. Saya sangat menyarankan agar pada suatu saat Anda meluangkan setidaknya sedikit waktu untuk Latihan 111Xa.

111D Sifat-sifat dasar aljabar-\(\sigma\)

Jika \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\), maka aljabar tersebut mempunyai sifat-sifat berikut.

111Da (a)

\(E\cup F\in\Sigma\) untuk semua \(E\), \(F\in\Sigma\). Bukti. Sebab, jika \(E\), \(F\in\Sigma\), tetapkan \(E_0=E\), \(E_n=F\) untuk \(n\ge 1\); maka \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan di dalam \(\Sigma\) dan \(E\cup F=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma\). ∎

111Db (b)

\(E\cap F\in\Sigma\) untuk semua \(E\), \(F\in\Sigma\). Bukti. Menurut (ii) dalam definisi 111A, \(X\setminus E\) dan \(X\setminus F\in\Sigma\); menurut (a) pada paragraf ini, \((X\setminus E)\cup(X\setminus F)\in\Sigma\); kembali menurut 111A(ii), \(X\setminus((X\setminus E)\cup(X\setminus F))\in\Sigma\); tetapi himpunan terakhir ini tidak lain adalah \(E\cap F\). ∎

111Dc (c)

\(E\setminus F\in\Sigma\) untuk semua \(E\), \(F\in\Sigma\). Bukti. \(E\setminus F=E\cap(X\setminus F)\). ∎

111Dd (d)

Sekarang, misalkan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan di dalam \(\Sigma\), dan perhatikan bahwa

\[\begin{aligned}\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n &=\{x:x\in E_n\Forall n\in\Bbb N\}\\ &=E_0\cap E_1\cap E_2\cap\ldots\\ &=X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}(X\setminus E_n);\\\end{aligned}\]

himpunan ini juga termasuk dalam \(\Sigma\).

111E Lebih lanjut tentang gabungan dan irisan tak hingga (a)

Sejauh ini, saya baru membahas gabungan dan irisan tak hingga dalam konteks barisan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) yang diindeks oleh himpunan bilangan asli \(\Bbb N\) itu sendiri. Banyak bentuk lain akan muncul secara kurang lebih alami pada halaman-halaman berikutnya. Sebagai contoh, perhatikan himpunan-himpunan berbentuk

di sini saya menggunakan \(\Bbb Z\) untuk himpunan semua bilangan bulat dan \(\Bbb Q\) untuk himpunan bilangan rasional. Jika setiap \(E_n\), \(E_q\) termasuk dalam suatu aljabar-\(\sigma\) \(\Sigma\), gabungan-gabungan ini pun termasuk di dalamnya. Sebaliknya,

mungkin tidak termasuk dalam suatu aljabar-\(\sigma\) yang memuat setiap \(E_t\). Karena itu, sangatlah penting untuk membangun intuisi mengenai himpunan indeks yang ‘aman’ dalam konteks ini, seperti \(\Bbb N\), \(\Bbb Z\), dan \(\Bbb Q\), serta himpunan indeks yang tidak aman.

111Eb (b)

Saya sangat berharap bahwa Anda telah mempelajari teori Cantor tentang himpunan tak hingga secukupnya sehingga catatan berikut hanya mengungkapkan kembali hal-hal yang sudah akrab; tetapi jika belum, saya berharap catatan ini dapat menjadi pengantar pertama, meskipun sangat terbatas, untuk gagasan-gagasan tersebut. Inti dari tiga contoh pertama ialah bahwa kita dapat mengindeks ulang keluarga-keluarga himpunan yang terlibat sebagai barisan himpunan biasa. Untuk contoh pertama, caranya sederhana; tuliskan \(E'_n=E_{n+4}\) untuk \(n\in\Bbb N\), lalu perhatikan bahwa \(\bigcup_{n\ge 4}E_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}E'_n\in\Sigma\). Untuk dua contoh lainnya, kita perlu mengetahui sesuatu tentang himpunan \(\Bbb Z\) dan \(\Bbb Q\). Kita dapat menemukan barisan bilangan bulat \(\langle k_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) dan barisan bilangan rasional \(\langle q_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) sedemikian sehingga setiap bilangan bulat muncul (sekurang-kurangnya sekali) sebagai suatu \(k_n\), dan setiap bilangan rasional muncul (sekurang-kurangnya sekali) sebagai suatu \(q_n\); artinya, fungsi \(n\mapsto k_n:\Bbb N\to\Bbb Z\) dan \(n\mapsto q_n:\Bbb N\to\Bbb Q\) bersifat surjektif. Bukti. Ada banyak cara untuk melakukannya; salah satunya ialah menetapkan \[\begin{aligned}k_n&=\Bover{n}2\text{ untuk }n\text{ genap},\\ &=-\Bover{n+1}2\text{ untuk }n\text{ ganjil},\\ q_n&=\Bover{n-m^3-m^2}{m+1} \text{ jika }m\in\Bbb N\text{ dan }m^3\le n<(m+1)^3.\\\end{aligned}\] (Anda sebaiknya memeriksa dengan saksama bahwa rumus-rumus ini benar-benar bekerja seperti yang saya nyatakan.) ∎ Sekarang, untuk menangani \(\bigcup_{n\in\Bbb Z}E_n\), kita dapat menetapkan

untuk \(n\in\Bbb N\), sehingga

sedangkan untuk kasus yang lain kita mempunyai

Perhatikan bahwa kasus pertama \(\bigcup_{n\ge 4}E_n\) dapat dipandang sebagai penerapan asas yang sama; pemetaan \(n\mapsto n+4\) adalah surjeksi dari \(\Bbb N\) ke \(\{4,5,6,7,\ldots\}\).

111F Himpunan terhitung (a)

Ciri yang sama pada himpunan-himpunan \(\{n:n\ge 4\}\), \(\Bbb Z\), dan \(\Bbb Q\) yang memungkinkan prosedur ini ialah bahwa semuanya ‘terhitung’. Untuk keperluan kita di sini, definisi keterhitungan yang paling alami adalah sebagai berikut: suatu himpunan \(K\) disebut terhitung jika himpunan tersebut kosong atau terdapat suatu surjeksi dari \(\Bbb N\) ke \(K\). Dalam hal ini, jika \(\Sigma\) adalah suatu aljabar-\(\sigma\) dan \(\langle E_k\rangle_{k\in K}\) adalah keluarga di dalam \(\Sigma\) yang diindeks oleh \(K\), maka \(\bigcup_{k\in K}E_k\in\Sigma\). Bukti. Sebab, jika \(n\mapsto k_n:\Bbb N\to K\) adalah suatu surjeksi, maka \(E'_n=E_{k_n}\in\Sigma\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\), dan \(\bigcup_{k\in K}E_k=\bigcup_{n\in\Bbb N}E'_n\in\Sigma\). Ini belum mencakup kasus \(K=\emptyset\); tetapi dalam kasus ini, penafsiran alami untuk \(\bigcup_{k\in K}E_k\) ialah \(\{x:\exists\enskip k\in \emptyset,\,x\in E_k\}\) yang juga merupakan \(\emptyset\), dan karenanya termasuk dalam \(\Sigma\) menurut syarat (i) dari 111A. ∎ (Dalam arti tertentu, perlakuan terhadap \(\emptyset\) ini merupakan masalah kesepakatan; tetapi ada berbagai konteks tempat kita ingin membahas \(\bigcup_{k\in K}E_k\) tanpa memeriksa apakah \(K\) benar-benar mempunyai anggota, sehingga kita perlu memperjelas apa yang akan kita lakukan dalam kasus seperti itu.)

111Fb (b)

Terdapat teori yang luas dan sangat penting mengenai himpunan terhitung. Bagian-bagian yang menurut saya harus dinyatakan secara eksplisit pada tahap ini hanyalah yang berikut. (Dalam §1A1 saya menambahkan beberapa kata untuk menghubungkan penyajian ini dengan pendekatan-pendekatan yang lazim.)

(i) Jika \(K\) terhitung dan \(L\subseteq K\), maka \(L\) terhitung. Bukti. Jika \(L=\emptyset\), hal ini langsung jelas. Jika tidak, ambil sembarang \(l^*\in L\) dan suatu surjeksi \(n\mapsto k_n:\Bbb N\to K\) (tentu saja \(K\) juga tidak kosong, sebab \(l^*\in K\)); tetapkan \(l_n=k_n\) jika \(k_n\in L\), dan \(l^*\) jika tidak; maka \(n\mapsto l_n:\Bbb N\to L\) adalah suatu surjeksi. ∎

(ii) Produk Kartesius \(\Bbb N\times\Bbb N=\{(m,n):m\), \(n\in\Bbb N\}\) terhitung. Bukti. Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), misalkan \(k_n\), \(l_n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(n+1=2^{k_n}(2l_n+1)\); artinya, \(k_n\) adalah pangkat \(2\) dalam faktorisasi prima \(n+1\), dan \(2l_n+1\) adalah bilangan (yang pasti ganjil) \((n+1)/2^{k_n}\). Sekarang, \(n\mapsto(k_n,l_n)\) adalah suatu surjeksi dari \(\Bbb N\) ke \(\Bbb N\times\Bbb N\). ∎\ Kelak penting bagi kita untuk mengetahui bahwa \(n\mapsto(k_n,l_n)\) sebenarnya merupakan bijeksi, sebagaimana mudah diperiksa.

(iii) Akibatnya, jika \(K\) dan \(L\) adalah himpunan terhitung, maka \(K\times L\) juga terhitung. Bukti. Jika \(K\) atau \(L\) kosong, maka \(K\times L\) kosong, sehingga dalam kasus ini \(K\times L\) tentu terhitung. Jika tidak, misalkan \(\phi:\Bbb N\to K\) dan \(\psi:\Bbb N\to L\) adalah surjeksi; maka kita mempunyai surjeksi \(\theta:\Bbb N\times\Bbb N\to K\times L\) yang didefinisikan dengan menetapkan \(\theta(m,n)=(\phi(m),\psi(n))\) untuk semua \(m\), \(n\in\Bbb N\). Dari (ii) tepat di atas, kita tahu bahwa ada pula surjeksi \(\chi:\Bbb N\to\Bbb N\times\Bbb N\), sehingga \(\theta\chi:\Bbb N\to K\times L\) adalah suatu surjeksi, dan \(K\times L\) pasti terhitung. ∎

(iv) Sekarang, induksi pada \(r\) menunjukkan bahwa jika \(K_1\), \(K_2,\ldots,K_r\) adalah himpunan-himpunan terhitung, maka \(K_1\times\ldots\times K_r\) juga terhitung. Secara khusus, himpunan-himpunan seperti \(\Bbb Q^r\times\Bbb Q^r\) akan terhitung, untuk setiap bilangan bulat \(r\ge 1\).

111Fc (c)

Dengan menggabungkan 111Dd di atas dengan gagasan-gagasan ini, kita melihat bahwa jika \(\Sigma\) adalah suatu aljabar-\(\sigma\), \(K\) adalah himpunan terhitung yang tidak kosong, dan \(\langle E_k\rangle_{k\in K}\) adalah keluarga di dalam \(\Sigma\), maka

termasuk dalam \(\Sigma\). Bukti. Misalkan \(n\mapsto k_n:\Bbb N\to K\) adalah suatu surjeksi; maka \(\bigcap_{k\in K}E_k=\bigcap_{n\in\Bbb N}E_{k_n}\in\Sigma\), seperti pada 111Dd. ∎

Perhatikan bahwa terdapat kesulitan pada pengertian \(\bigcap_{k\in K}E_k\) jika \(K=\emptyset\); penafsiran alami rumus ini ialah membacanya sebagai kelas semesta. Jadi, biasanya, jika ada kemungkinan bahwa \(K\) kosong, kita memerlukan perumusan seperti \(X\cap\bigcap_{k\in K}E_k\).

111Fd (d)

Sebagai contoh cara menggunakan gagasan-gagasan ini, perhatikan hal berikut. Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) pada \(X\), dan \(\langle E_{qn}\rangle_{q\in\Bbb Q,n\in\Bbb N}\) suatu keluarga di dalam \(\Sigma\). Maka

Bukti. Tetapkan \(F_{qm}=\bigcap_{n\ge m}E_{qn}=\bigcap_{n\in\Bbb N}E_{q,m+n}\) untuk \(q\in\Bbb Q\) dan \(m\in\Bbb N\); maka setiap \(F_{qm}\) termasuk dalam \(\Sigma\), menurut 111Dd atau (c) di atas. Tetapkan \(G_q=\bigcup_{m\in\Bbb N}F_{qm}\) untuk \(q\in\Bbb Q\); maka setiap \(G_q\) termasuk dalam \(\Sigma\), menurut 111A(iii). Tetapkan \(K=\{q:q\in\Bbb Q,\,q<\sqrt{2}\}\); maka \(K\) terhitung, menurut 111E dan (b-i) pada paragraf ini. Jadi, \(\bigcap_{q\in K}G_q\) termasuk dalam \(\Sigma\), menurut (c). Tetapi \(E=\bigcap_{q\in K}G_q\). ∎

111Fe (e)

Dan satu catatan terakhir, yang saya berikan di sini tanpa bukti — walaupun banyak bukti akan tersirat dalam pembahasan di bawah, dan satu di antaranya saya uraikan dalam 1A1Ha —

Jadi, Anda harus menahan godaan untuk mencari suatu daftar \(a_0\), \(a_1,\ldots\) yang mencakup seluruh himpunan bilangan real.

111G Himpunan Borel

Di sini saya dapat menjelaskan salah satu jenis aljabar-\(\sigma\) taktrivial; perumusannya cukup abstrak, tetapi tekniknya penting dan istilahnya merupakan bagian dari kosakata dasar teori ukuran.

(a) Misalkan \(X\) suatu himpunan, dan misalkan \(\frak S\) sembarang keluarga tak kosong yang terdiri atas aljabar-\(\sigma\) pada \(X\). (Jadi, suatu anggota \(\frak S\) sendiri merupakan suatu keluarga himpunan; \(\frak S\subseteq\Cal P(\Cal PX)\).) Maka

yaitu irisan semua aljabar-\(\sigma\) yang termasuk dalam \(\frak S\), merupakan aljabar-\(\sigma\) pada \(X\). Bukti.\ (i) Menurut hipotesis, \(\frak S\) tidak kosong; ambil \(\Sigma_0\in\frak S\); maka \(\bigcap\frak S\subseteq\Sigma_0\subseteq\Cal PX\), sehingga setiap anggota \(\bigcap\frak S\) merupakan subhimpunan \(X\). (ii) \(\emptyset\in\Sigma\) untuk setiap \(\Sigma\in\frak S\), sehingga \(\emptyset\in\bigcap\frak S\). (iii) Jika \(E\in\bigcap\frak S\), maka \(E\in\Sigma\) untuk setiap \(\Sigma\in\frak S\), sehingga \(X\setminus E\in\Sigma\) untuk setiap \(\Sigma\in\frak S\) dan \(X\setminus E\in\bigcap\frak S\). (iv) Misalkan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) sembarang barisan di dalam \(\bigcap\frak S\). Maka, untuk setiap \(\Sigma\in\frak S\), \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan di dalam \(\Sigma\), sehingga \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\Sigma\); karena \(\Sigma\) dipilih sembarang, \(\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\in\bigcap\frak S\). ∎

111Gb (b)

Sekarang, misalkan \(\Cal A\) sembarang keluarga subhimpunan \(X\). Perhatikan

Menurut definisi, \(\frak S\) adalah suatu keluarga yang terdiri atas aljabar-\(\sigma\) pada \(X\); selain itu, keluarga tersebut tidak kosong, karena \(\Cal PX\in\frak S\). Jadi \(\Sigma_{\Cal A}=\bigcap\frak S\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\). Karena \(\Cal A\subseteq\Sigma\) untuk setiap \(\Sigma\in\frak S\), maka \(\Cal A\subseteq\Sigma_{\Cal A}\); dengan demikian, \(\Sigma_{\Cal A}\) sendiri termasuk dalam \(\frak S\); ini adalah aljabar-\(\sigma\) terkecil atas subhimpunan-subhimpunan \(X\) yang memuat \(\Cal A\).

Kita mengatakan bahwa \(\Sigma_{\Cal A}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal A\).

Contoh (i) Untuk setiap \(X\), aljabar-\(\sigma\) pada \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\emptyset\) adalah \(\{\emptyset,X\}\).

(ii) Aljabar-\(\sigma\) pada \(\Bbb N\) yang dibangkitkan oleh \(\{\{n\}:n\in\Bbb N\}\) adalah \(\Cal P\Bbb N\).

111Gc (c)(i)

Kita mengatakan bahwa suatu himpunan \(G\subseteq\Bbb R\) terbuka jika untuk setiap \(x\in G\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga interval terbuka \(\ooint{x-\delta,x+\delta}\) termuat dalam \(G\).

(ii) Demikian pula, untuk setiap \(r\ge 1\), kita mengatakan bahwa suatu himpunan \(G\subseteq\BbbR^r\) terbuka dalam \(\BbbR^r\) jika untuk setiap \(x\in G\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\{y:\|y-x\|<\delta\}\subseteq G\), dengan, untuk \(z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_r)\in\BbbR^r\), saya menuliskan \(\|z\|=\sqrt{\sum_{i=1}^r|\zeta_i|^2}\); jadi \(\|y-x\|\) tidak lain adalah jarak Euklides biasa dari \(y\) ke \(x\).

111Gd (d)

Sekarang, himpunan-himpunan Borel dalam \(\Bbb R\), atau dalam \(\BbbR^r\), tidak lain adalah anggota aljabar-\(\sigma\) pada \(\Bbb R\) atau \(\BbbR^r\) yang dibangkitkan oleh keluarga himpunan terbuka dalam \(\Bbb R\) atau \(\BbbR^r\); aljabar-\(\sigma\) itu sendiri dalam masing-masing kasus disebut aljabar-\(\sigma\) Borel.

111Ge (e)

Sebagian pembaca akan merasa, dengan tepat, bahwa pengembangan di sini hanya memberi sedikit gambaran tentang seperti apa ‘sebenarnya’ suatu himpunan Borel. (Himpunan terbuka jauh lebih mudah; lihat 111Ye.) Sebenarnya, pentingnya konsep ini sebagian besar berasal dari adanya cara-cara alternatif yang lebih eksplisit dan, dalam suatu arti, lebih konkret untuk menjelaskan himpunan Borel. Saya akan kembali ke topik ini dalam Bab 42 di Jilid 4.

111X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Berlatihlah menggunakan aljabar gabungan dan irisan tak hingga sampai Anda dapat dengan yakin menafsirkan rumus-rumus seperti

dan, khususnya, dapat mengenali sembilan pasangan alami yang dibentuk oleh rumus-rumus tersebut.

111Xb (>b) penting

Dalam \(\Bbb R\), tunjukkan bahwa semua ‘interval terbuka’ \(\ooint{a,b}\), \(\ooint{-\infty,b}\), \(\ooint{a,\infty}\) adalah himpunan terbuka, dan bahwa semua interval (terbatas ataupun tak terbatas, terbuka, tertutup, ataupun setengah terbuka) merupakan himpunan Borel.

111Xc (>c) penting

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah himpunan dan \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) pada \(X\). Misalkan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(\{F:F\subseteq Y,\,\phi^{-1}[F]\in\Sigma\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(Y\). (Lihat 1A1B untuk notasi yang digunakan di sini.)

111Xd (>d) penting

Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah himpunan dan \(\Tau\) suatu aljabar-\(\sigma\) pada \(Y\). Misalkan \(\phi:X\to Y\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(\{\phi^{-1}[F]:F\in\Tau\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\).

111Xe (e)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\), dan \(\Sigma\) aljabar-\(\sigma\) pada \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal A\). Misalkan \(Y\) suatu himpunan lain dan \(\phi:Y\to X\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(\{\phi^{-1}[E]:E\in\Sigma\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(Y\) yang dibangkitkan oleh \(\{\phi^{-1}[A]:A\in\Cal A\}\).

111Xf (f)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Cal A\) suatu keluarga subhimpunan \(X\), dan \(\Sigma\) aljabar-\(\sigma\) pada \(X\) yang dibangkitkan oleh \(\Cal A\). Misalkan \(Y\subseteq X\). Tunjukkan bahwa \(\{E\cap Y:E\in\Sigma\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(Y\) yang dibangkitkan oleh \(\{A\cap Y:A\in\Cal A\}\).

111Y Latihan lanjutan (a)

Dalam \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), tunjukkan bahwa \(G+a=\{x+a:x\in G\}\) terbuka setiap kali \(G\subseteq\BbbR^r\) terbuka dan \(a\in\BbbR^r\). Selanjutnya, tunjukkan bahwa \(E+a\) adalah himpunan Borel setiap kali \(E\subseteq\BbbR^r\) adalah himpunan Borel dan \(a\in\BbbR^r\). Petunjuk: tunjukkan bahwa \(\{E:E+a\text{ adalah himpunan Borel}\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) yang memuat semua himpunan terbuka.

111Yb (b)

Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Sigma\) suatu aljabar-\(\sigma\) pada \(X\), dan \(A\) sembarang subhimpunan \(X\). Tunjukkan bahwa \(\{(E\cap A)\cup(F\setminus A):E,\,F\in\Sigma\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(X\), yaitu aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\Sigma\cup\{A\}\).

111Yc (c)

Misalkan \(G\subseteq\BbbR^2\) suatu himpunan terbuka. Tunjukkan bahwa semua penampang horizontal dan vertikal

dari \(G\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(\Bbb R\).

111Yd (d)

Misalkan \(E\subseteq\BbbR^2\) suatu himpunan Borel. Tunjukkan bahwa semua penampang horizontal dan vertikal

dari \(E\) merupakan subhimpunan Borel dari \(\Bbb R\). Petunjuk: tunjukkan bahwa keluarga subhimpunan-subhimpunan \(\BbbR^2\) yang semua penampangnya merupakan himpunan Borel adalah aljabar-\(\sigma\) pada \(\BbbR^2\) yang memuat semua himpunan terbuka.

111Ye (e)

Misalkan \(G\subseteq\Bbb R\) suatu himpunan terbuka. Tunjukkan bahwa \(G\) dapat dinyatakan secara unik sebagai gabungan suatu keluarga terhitung \(\Cal I\) (yang mungkin kosong) yang terdiri atas interval-interval terbuka (‘komponen-komponen’ \(G\)), dengan tidak ada dua interval yang mempunyai titik bersama. Petunjuk: untuk \(x\), \(y\in G\), nyatakan \(x\sim y\) jika setiap titik di antara \(x\) dan \(y\) termasuk dalam \(G\). Tunjukkan bahwa \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi. Misalkan \(\Cal I\) adalah himpunan kelas-kelas ekuivalensinya.

111-notes Catatan penutup untuk Bagian 111

Menurut saya, konsep terpenting dalam bagian ini adalah konsep yang diperkenalkan sambil lalu dalam 111E–111F, yaitu gagasan tentang himpunan ‘terhitung’. Walaupun untuk sementara sebagian besar teori formal himpunan tak hingga dapat dihindari, menurut saya mustahil memahami bab ini tanpa pemahaman yang kokoh mengenai perbedaan antara ‘hingga’ dan ‘tak hingga’, serta intuisi tertentu mengenai ‘keterhitungan’. Secara khusus, Anda harus mengingat bahwa himpunan tak hingga pada umumnya tidak terhitung, dan bahwa aljabar-\(\sigma\) pada umumnya tidak tertutup terhadap gabungan sembarang.

Hal berikutnya yang perlu Anda pastikan ialah bahwa Anda dapat menangani manipulasi teori himpunan di sini, sehingga rumus seperti \(\bigcap_{n\in\Bbb N}E_n=X\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}(X\setminus E_n)\) (111Dd), meskipun belum transparan, setidaknya tidak lagi terasa menggentarkan. Sebagian besar isi volume ini akan dinyatakan dalam bahasa tersebut, sehingga kefasihan yang memadai sangatlah penting.

Terakhir, bagi mereka yang mencari sebuah gagasan nyata untuk segera digarap, saya menawarkan konsep aljabar-\(\sigma\) yang ‘dibangkitkan’ oleh suatu koleksi \(\Cal A\) (111G). Inti definisi di sini ialah bahwa definisi tersebut melibatkan pembahasan suatu keluarga \(\frak S\in\Cal P(\Cal P(\Cal PX))\), meskipun \(\Cal A\) dan \(\Sigma_{\Cal A}\) keduanya merupakan subhimpunan \(\Cal PX\); kita perlu bekerja satu atau dua lapis lebih tinggi dalam hierarki himpunan kuasa. Sebagai contoh, Anda mungkin pernah menjumpai konsep ‘subruang linear \(U\) yang dibangkitkan oleh vektor-vektor \(u_1,\ldots,u_n\)’. Konsep ini dapat didefinisikan sebagai irisan semua subruang linear yang memuat vektor-vektor \(u_1,\ldots,u_n\), yaitu metode yang bersesuaian dengan metode 111Ga–b; tetapi konsep tersebut juga mempunyai definisi ‘internal’, yakni sebagai himpunan vektor yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\alpha_1u_1+\ldots+\alpha_nu_n\) untuk skalar-skalar \(\alpha_i\). Namun, untuk aljabar-\(\sigma\), tidak tersedia definisi ‘internal’ sesederhana itu (walaupun ada banyak hal yang dapat dikatakan mengenai arah ini yang menurut saya belum siap kita bahas; beberapa gagasan dapat ditemukan dalam §136). Penyebab utamanya ialah (iii) dalam definisi 111A; suatu aljabar-\(\sigma\) harus tertutup terhadap suatu operasi infinitari, yakni operasi gabungan yang diterapkan pada barisan himpunan tak hingga. Sebaliknya, subruang linear dari suatu ruang vektor hanya perlu tertutup terhadap operasi finitari perkalian skalar dan penjumlahan, yang masing-masing melibatkan paling banyak dua vektor pada suatu waktu.