Ukuran luar dan konstruksi Carathéodory

Saya memperkenalkan metode terpenting untuk mengonstruksi ukuran.

113A Ukuran luar

Sekarang saya sampai pada definisi dasar ketiga dalam bab ini.

Definisi Misalkan \(X\) suatu himpunan. Sebuah ukuran luar pada \(X\) adalah fungsi \(\theta:\Cal PX\to[0,\infty]\) sedemikian sehingga

(i) \(\theta \emptyset=0\),

(ii) jika \(A\subseteq B\subseteq X\) maka \(\theta A\le\theta B\),

(iii) untuk setiap barisan \(\langle A_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) dari subhimpunan-subhimpunan \(X\), \(\theta(\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n)\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta A_n\).

113B Catatan (a)

Untuk komentar tentang penggunaan ‘\(\infty\)’, lihat 112B.

113Bb (b)

Sekali lagi, ukuran-ukuran luar terpenting harus menunggu hingga §§114-115. Gagasan ukuran ‘luar’ dari suatu himpunan \(A\) ialah bahwa ukuran itu seharusnya menjadi semacam batas atas bagi kemungkinan nilai ukuran \(A\). Jika kita beruntung, nilai ini mungkin benar-benar merupakan ukuran \(A\); tetapi hal itu agaknya hanya berlaku bagi himpunan dengan batas yang cukup mulus.

113Bc (c)

Dengan menggabungkan (i) dan (iii) dari definisi tersebut, kita melihat bahwa jika \(\theta\) adalah ukuran luar pada \(X\), dan \(A\), \(B\) adalah dua subhimpunan \(X\), maka \(\theta(A\cup B)\le\theta A+\theta B\); bandingkan 112Ca dan 112Cc.

113C Metode Carathéodory: Teorema

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\). Tetapkan

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\, \theta A=\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\) untuk setiap \(A\subseteq X\}\).

Maka \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\). Definisikan \(\mu:\Sigma\to[0,\infty]\) dengan menetapkan \(\mu E=\theta E\) untuk \(E\in\Sigma\); maka \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur.

Bukti

(a) Langkah pertama ialah mengamati bahwa untuk setiap \(E\), \(A\subseteq X\) berlaku \(\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\ge\theta A\), berdasarkan 113Bc; sehingga

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\, \theta A\ge\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\) untuk setiap \(A\subseteq X\}\).

(b) Jelas bahwa \(\emptyset\in\Sigma\), karena

\(\theta(A\cap\emptyset)+\theta(A\setminus\emptyset) =\theta\emptyset+\theta A=\theta A\)

untuk setiap \(A\subseteq X\). Jika \(E\in\Sigma\), maka \(X\setminus E\in\Sigma\), karena

\(\theta(A\cap(X\setminus E))+\theta(A\setminus(X\setminus E)) =\theta(A\setminus E)+\theta(A\cap E)=\theta A\)

untuk setiap \(A\subseteq X\).

(c) Sekarang misalkan \(E\), \(F\in\Sigma\) dan \(A\subseteq X\). Maka

Diagram (i)

Diagram (ii)

Diagram (iii)

Diagram (iv)

\[\begin{aligned}\theta(A\cap(&E\cup F))+\theta(A\setminus(E\cup F)) &\text{diagram (i)}\\ &=\theta(A\cap(E\cup F)\cap E)+\theta(A\cap(E\cup F)\setminus E) +\theta(A\setminus(E\cup F)) &\text{diag.\ (ii)}\\ &\text{(karena }E\in\Sigma\text{ dan }A\cap(E\cup F)\subseteq X\text{)}\\ &=\theta(A\cap E)+\theta((A\setminus E)\cap F) +\theta((A\setminus E)\setminus F)\\ &=\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E) &\text{diag.\ (iii)}\\ &\text{(karena }F\in\Sigma\text{)}\\ &=\theta A &\text{diag.\ (iv)}\\\end{aligned}\]

(sekali lagi karena \(E\in\Sigma\)). Karena \(A\) sebarang, \(E\cup F\in\Sigma\).

(d) Dengan demikian \(\Sigma\) tertutup terhadap gabungan dua himpunan dan komplemen, serta memuat \(\emptyset\).

Sekarang misalkan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) adalah barisan di dalam \(\Sigma\), dengan \(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n\). Tetapkan

\(G_n=\bigcup_{m\le n}E_m\);

maka \(G_n\in\Sigma\) untuk setiap \(n\), melalui induksi terhadap \(n\). Tetapkan

\(F_0=G_0=E_0\), \(F_n=G_n\setminus G_{n-1}=E_n\setminus G_{n-1}\) untuk \(n\ge 1\);

maka

\(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n\).

Ambil sembarang \(n\ge 1\) dan sembarang \(A\subseteq X\). Maka

\[\begin{aligned}\theta(A\cap G_n) &=\theta(A\cap G_n\cap G_{n-1})+\theta(A\cap G_n\setminus G_{n-1})\\ &=\theta(A\cap G_{n-1})+\theta(A\cap F_n).\\\end{aligned}\]

Induksi terhadap \(n\) menunjukkan bahwa \(\theta(A\cap G_n)=\sum_{m=0}^n\theta(A\cap F_m)\) untuk setiap \(n\ge 0\).

Misalkan \(A\subseteq X\). Maka \(A\cap E=\bigcup_{n\in\Bbb N}A\cap F_n\), sehingga

\[\begin{aligned}\theta(A\cap E) &\le\sum_{n=0}^{\infty}\theta(A\cap F_n)\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^n\theta(A\cap F_m) =\lim_{n\to\infty}\theta(A\cap G_n).\end{aligned}\]

Di pihak lain,

\[\begin{aligned}\theta(A\setminus E) &=\theta(A\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n)\\ &\le\inf_{n\in\Bbb N}\theta(A\setminus G_n) =\lim_{n\to\infty}\theta(A\setminus G_n),\end{aligned}\]

dengan menggunakan 113A(ii) untuk melihat bahwa \(\langle\theta(A\setminus G_n)\rangle_{n\in\Bbb N}\) bersifat tak-menaik dan bahwa \(\theta(A\setminus E)\le \theta(A\setminus G_n)\) untuk setiap \(n\). Oleh karena itu

\[\begin{aligned}\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E) &\le\lim_{n\to\infty}\theta(A\cap G_n) +\lim_{n\to\infty}\theta(A\setminus G_n)\\ &=\lim_{n\to\infty}(\theta(A\cap G_n)+\theta(A\setminus G_n)) =\theta A\\\end{aligned}\]

karena setiap \(G_n\) termasuk dalam \(\Sigma\), sehingga \(\theta(A\cap G_n)+\theta(A\setminus G_n)=\theta A\) untuk setiap \(n\). Namun, karena \(A\) sebarang, \(E\in\Sigma\), menurut catatan dalam (a) di atas.

Karena \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) sebarang, syarat (iii) dari 111A terpenuhi, dan \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\).

(e) Sekarang mari kita beralih ke \(\mu\), yakni pembatasan \(\theta\) pada \(\Sigma\), dan Definisi 112A. Tentu saja \(\mu\emptyset=\theta\emptyset=0\). Jadi, misalkan \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) sebarang barisan saling lepas di dalam \(\Sigma\). Tetapkan \(G_n=\bigcup_{m\le n}E_m\) untuk setiap \(n\), seperti dalam (d), dan

\(E=\bigcup_{n\in\Bbb N}E_n=\bigcup_{n\in\Bbb N}G_n\).

Seperti dalam (d),

\[\begin{aligned}\mu G_{n+1} =\theta G_{n+1} &=\theta(G_{n+1}\cap E_{n+1})+\theta(G_{n+1}\setminus E_{n+1})\\ &=\theta E_{n+1}+\theta G_n =\mu E_{n+1}+\mu G_n\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(n\), sehingga \(\mu G_n=\sum_{m=0}^n\mu E_m\) untuk setiap \(n\).

Sekarang

\(\mu E =\theta E \le\sum_{n=0}^{\infty}\theta E_n =\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\).

Tetapi juga

\(\mu E=\theta E\ge\theta G_n=\mu G_n=\sum_{m=0}^n\mu E_m\)

untuk setiap \(n\), sehingga \(\mu E\ge\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\).

Oleh karena itu \(\mu E=\sum_{n=0}^{\infty}\mu E_n\). Karena \(\langle E_n\rangle_{n\in\Bbb N}\) sebarang, 112A(iii-\(\beta\)) terpenuhi dan \((X,\Sigma,\mu)\) adalah ruang ukur.

113D Catatan

Perhatikan dari (a) dalam bukti di atas bahwa dalam konstruksi ini

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\,\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\le\theta A\) untuk setiap \(A\subseteq X\}\).

Karena \(\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\) pasti kurang dari atau sama dengan \(\theta A\) ketika \(\theta A=\infty\),

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\,\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\le\theta A\) apabila \(A\subseteq X\) dan \(\theta A<\infty\}\).

Latihan

113X Latihan dasar \(\pmb{>}\)(a) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\), dan misalkan \(\mu\) ukuran pada \(X\) yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory. Tunjukkan bahwa jika \(\theta A=0\), maka \(\mu\) mengukur \(A\), sehingga suatu himpunan \(A\subseteq X\) terabaikan-\(\mu\) jika dan hanya jika \(\theta A=0\), dan \(\mu\) bersifat ‘lengkap’ dalam arti 112Df.

113Xb (b)

Misalkan \(X\) suatu himpunan. (i) Tunjukkan bahwa jika \(\theta_1\), \(\theta_2\) adalah ukuran luar pada \(X\), maka \(\theta_1+\theta_2\) juga merupakan ukuran luar, dengan menetapkan \((\theta_1+\theta_2)(A)=\theta_1A+\theta_2A\) untuk setiap \(A\subseteq X\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\langle\theta_i\rangle_{i\in I}\) adalah sembarang keluarga tak kosong yang terdiri atas ukuran-ukuran luar pada \(X\), maka \(\theta=\sup_{i\in I}\theta_i\) juga merupakan ukuran luar, dengan menetapkan \(\theta A=\sup_{i\in I}\theta_iA\) untuk setiap \(A\subseteq X\). (iii) Tunjukkan bahwa jika \(\theta_1\), \(\theta_2\) adalah ukuran luar pada \(X\), maka \(\theta_1\wedge\theta_2\) juga merupakan ukuran luar, dengan menetapkan

\((\theta_1\wedge\theta_2)(A) =\inf\{\theta_1B+\theta_2(A\setminus B):B\subseteq A\}\)

untuk setiap \(A\subseteq X\).

113Xc (>c) penting

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan, \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\), dan \(f:X\to Y\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa fungsional \(B\mapsto\theta(f^{-1}[B]):\Cal PY\to[0,\infty]\) adalah ukuran luar pada \(Y\).

113Xd (>d) penting

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\); misalkan \(Y\) sembarang subhimpunan dari \(X\). (i) Tunjukkan bahwa \(\theta\restrp\Cal PY\), pembatasan \(\theta\) pada subhimpunan-subhimpunan \(Y\), adalah ukuran luar pada \(Y\). (ii) Tunjukkan bahwa jika \(E\subseteq X\) diukur oleh ukuran pada \(X\) yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory, maka \(E\cap Y\) diukur oleh ukuran pada \(Y\) yang didefinisikan dari \(\theta\restrp\Cal PY\).

113Xe (>e) penting

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan, \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(Y\), dan \(f:X\to Y\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa fungsional \(A\mapsto\theta(f[A]):\Cal PX\to[0,\infty]\) adalah ukuran luar.

113Xf (f)

Misalkan \(X\) dan \(Y\) himpunan, \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\), dan \(R\subseteq X\times Y\) suatu relasi. Tunjukkan bahwa pemetaan \(B\mapsto\theta(R^{-1}[B]):\Cal PY\to[0,\infty]\) adalah ukuran luar pada \(Y\), dengan \(R^{-1}[B]=\{x:\exists\,y\in B,\,(x,y)\in R\}\) (1A1Bc). Jelaskan bagaimana hasil ini merupakan perumuman bersama dari (c), (d-i), dan (e) di atas, serta bagaimana hasil itu dapat dibuktikan dengan menggabungkannya.

113Xg (g)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\). Andaikan \(E\subseteq X\) diukur oleh ukuran pada \(X\) yang didefinisikan dari \(\theta\) dengan metode Carathéodory. Tunjukkan bahwa \(\theta(E\cap A)+\theta(E\cup A)=\theta E+\theta A\) untuk setiap \(A\subseteq X\).

113Xh (h)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta:\Cal PX\to[0,\infty]\) suatu fungsional sedemikian sehingga \(\theta\emptyset=0\), \(\theta A\le\theta B\) setiap kali \(A\subseteq B\subseteq X\), dan \(\theta(A\cup B)\le\theta A+\theta B\) setiap kali \(A\), \(B\subseteq X\). Tetapkan

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\, \theta A=\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\) untuk setiap \(A\subseteq X\}\).

Tunjukkan bahwa \(\emptyset\), \(X\setminus E\), dan \(E\cup F\) termasuk dalam \(\Sigma\) untuk semua \(E\), \(F\in\Sigma\), sehingga \(E\setminus F\), \(E\cap F\in\Sigma\) untuk semua \(E\), \(F\in\Sigma\). Tunjukkan bahwa \(\theta(E\cup F)=\theta E+\theta F\) setiap kali \(E\), \(F\in\Sigma\) dan \(E\cap F=\emptyset\).

113Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur. Untuk \(A\subseteq X\) tetapkan \(\mu^*A=\inf\{\mu E:E\in\Sigma,\,A\subseteq E\}\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(A\subseteq X\) infimum itu dicapai, yakni, terdapat \(E\in\Sigma\) sedemikian sehingga \(A\subseteq E\) dan \(\mu E=\mu^*A\). Tunjukkan bahwa \(\mu^*\) adalah ukuran luar pada \(X\).

113Yb (b)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan \(D\) sembarang subhimpunan dari \(X\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma_D=\{E\cap D:E\in\Sigma\}\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(D\). Tetapkan \(\mu_D=\mu^*\restr \Sigma_D\), yakni fungsi dengan domain \(\Sigma_D\) sedemikian sehingga \(\mu_DB=\mu^*B\) untuk setiap \(B\in\Sigma_D\), dengan \(\mu^*\) didefinisikan seperti dalam (a) di atas; tunjukkan bahwa \((D,\Sigma_D,\mu_D)\) adalah suatu ruang ukur. (\(\mu_D\) adalah ukuran subruang pada \(D\).)

113Yc (c)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan misalkan \(\mu^*\) adalah ukuran luar terkait pada \(X\), seperti dalam 113Ya. Misalkan \(\check\mu\) adalah ukuran pada \(X\) yang dikonstruksi dengan metode Carathéodory dari \(\mu^*\), dengan \(\check\Sigma\) sebagai domainnya. Tunjukkan bahwa \(\Sigma\subseteq\check\Sigma\) dan bahwa \(\check\mu\) memperluas \(\mu\).

113Yd (d)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\tau:\Cal PX\to[0,\infty]\) sembarang fungsi sedemikian sehingga \(\tau\emptyset=0\). Untuk \(A\subseteq X\) tetapkan

\[\begin{aligned}\theta A =\inf\{\sum_{j=0}\sp{\infty}\tau C_j:\langle C_j\rangle_{j\in\Bbb N} \text{ adalah barisan }&\text{subhimpunan-subhimpunan }X\\ &\text{sedemikian sehingga } A\subseteq\bigcup_{j\in\Bbb N}C_j\}.\\\end{aligned}\]

Tunjukkan bahwa \(\theta\) adalah ukuran luar pada \(X\). Petunjuk: anda akan memerlukan 111F(b-ii) atau sesuatu yang setara.

113Ye (e)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\theta_1\), \(\theta_2\) dua ukuran luar pada \(X\). Tunjukkan bahwa \(\theta_1\wedge\theta_2\), sebagaimana diuraikan dalam 113Xb(iii), adalah ukuran luar yang diperoleh melalui proses 113Yd dari fungsional \(\tau C=\min(\theta_1C,\theta_2C)\).

113Yf (f)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\langle\theta_i\rangle_{i\in I}\) sembarang keluarga tak kosong yang terdiri atas ukuran-ukuran luar pada \(X\). Tetapkan \(\tau C=\inf_{i\in I}\theta_iC\) untuk setiap \(C\subseteq X\). Tunjukkan bahwa ukuran luar yang diperoleh dari \(\tau\) melalui proses 113Yd adalah ukuran luar terbesar \(\theta\) sedemikian sehingga \(\theta A\le\theta_iA\) setiap kali \(A\subseteq X\) dan \(i\in I\).

113Yg (g)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\phi:\Cal PX\to[0,\infty]\) suatu fungsional sedemikian sehingga

\(\phi\emptyset=0\);

\(\phi(A\cup B)\ge\phi A+\phi B\) untuk semua \(A\), \(B\subseteq X\) yang saling lepas;

jika \(\sequencen{A_n}\) adalah barisan tak-menaik yang terdiri atas subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan \(\phi A_0<\infty\), maka \(\phi(\bigcap_{n\in\Bbb N}A_n)=\lim_{n\to\infty}\phi A_n\);

jika \(\phi A=\infty\) dan \(a\in\Bbb R\), maka terdapat \(B\subseteq A\) sedemikian sehingga \(a\le\phi B<\infty\).

Tetapkan

\(\Sigma=\{E:E\subseteq X,\,\phi(A\cap E)+\phi(A\setminus E)=\phi A\) untuk setiap \(A\subseteq X\}\).

Tunjukkan bahwa \((X,\Sigma,\phi\restr\Sigma)\) adalah suatu ruang ukur.

113Yh (h)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukur dan untuk \(A\subseteq X\) tetapkan \(\mu_*A=\sup\{\mu E:E\in\Sigma\), \(E\subseteq A\), \(\mu E<\infty\}\). Tunjukkan bahwa \(\mu_*:\Cal PX\to[0,\infty]\) memenuhi syarat-syarat 113Yg, dan bahwa jika \(\mu X<\infty\), maka ukuran yang didefinisikan dari \(\mu_*\) dengan metode 113Yg memperluas \(\mu\).

113Yi (i)

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\Cal A\) suatu aljabar atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), yakni, suatu keluarga subhimpunan dari \(X\) sedemikian sehingga

\(\emptyset\in\Cal A\),

\(X\setminus E\in\Cal A\) untuk setiap \(E\in\Cal A\),

\(E\cup F\in\Cal A\) setiap kali \(E\), \(F\in\Cal A\).

Misalkan \(\phi:\Cal A\to[0,\infty]\) suatu fungsi sedemikian sehingga

\(\phi\emptyset=0\),

\(\phi(E\cup F)=\phi E+\phi F\) setiap kali \(E\), \(F\in\Cal A\) dan \(E\cap F=\emptyset\),

\(\phi E=\lim_{n\to\infty}\phi E_n\) setiap kali \(\sequencen{E_n}\) adalah barisan tak-menurun di dalam \(\Cal A\) yang gabungannya \(E\).

Tunjukkan bahwa terdapat suatu ukuran \(\mu\) pada \(X\) yang memperluas \(\phi\). Petunjuk: tetapkan \(\phi A=\infty\) untuk \(A\in\Cal PX\setminus\Cal A\); definisikan \(\theta\) dari \(\phi\) seperti dalam 113Yd, dan \(\mu\) dari \(\theta\).

113Yj (j)

(T.de Pauw) Misalkan \(X\) suatu himpunan, \(\Tau\) suatu aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\), dan \(\theta\) suatu ukuran luar pada \(X\). Tetapkan \(\Sigma=\{E:E\in\Tau,\,\theta A=\theta(A\cap E)+\theta(A\setminus E)\) untuk setiap \(A\in\Tau\}\). Tunjukkan bahwa \(\Sigma\) adalah aljabar-\(\sigma\) atas subhimpunan-subhimpunan \(X\) dan bahwa \(\theta\restr\Sigma\) adalah suatu ukuran.

113Yk (k)

Misalkan \(X\), \(\tau:\Cal PX\to[0,\infty]\), dan \(\theta\) seperti dalam 113Yd; misalkan \(\mu\) ukuran yang didefinisikan dengan metode Carathéodory dari \(\theta\), dengan \(\Sigma\) sebagai domain \(\mu\). Andaikan \(E\subseteq X\) sedemikian sehingga \(\theta(C\cap E)+\theta(C\setminus E)\le\tau C\) setiap kali \(C\subseteq X\) memenuhi \(0<\tau C<\infty\). Tunjukkan bahwa \(E\in\Sigma\).

Catatan dan komentar

113-notes Catatan penutup untuk Bagian 113

Kita sedang menempuh tahap-tahap termudah yang dapat saya susun menuju konstruksi suatu ruang ukur taktrivial, yakni ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\). Ada banyak konstruksi ukuran Lebesgue, tetapi menurut saya metode Carathéodory (113C) adalah metode yang tepat untuk memulai, karena merupakan teknik tunggal yang paling ampuh dan serbaguna untuk mengonstruksi ukuran. Tentu saja, metode ini abstrak – metode ini menangani sebarang ukuran luar pada sebarang himpunan; tetapi saya sungguh berpendapat bahwa teori Lebesgue, yang terjalin dengan struktur ruang Euklides yang kaya, lebih sulit daripada teori ukuran abstrak. Setidaknya, di sini tersedia teorema berbobot yang dapat Anda tekuni; menguasainya semestinya memuaskan sekaligus berguna. Saya harus mengatakan bahwa menurut saya sungguh mengagumkan bahwa konstruksi langsung semacam itu ternyata efektif. Dengan menelaah buktinya, mungkin ada gunanya membedakan antara bagian ‘aljabar’ atau ‘berhingga’ ((a)-(c)) dan bagian yang melibatkan barisan himpunan ((d)-(e)); bagian-bagian yang pertama merupakan bukti 113Xh. Berbagai jenis ukuran luar muncul di seluruh teori ukuran, dan saya menguraikan secara garis besar beberapa konstruksi yang relevan dalam 113X-113Y.