Filtrasi dan Waktu Henti

Pendahuluan

Misalkan \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), yang didefinisikan pada ruang probabilitas yang mendasarinya, yaitu \( (\Omega, \ms F, \P) \). Sebagai ulasan, \( \Omega \) adalah himpunan hasil, \( \ms F \) adalah \( \sigma \)-aljabar kejadian, dan \( \P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (S, \ms S) \). Selain itu, \( S \) adalah himpunan keadaan dan \( \ms S \) adalah \( \sigma \)-aljabar himpunan bagian \( S \) yang diperbolehkan. Biasanya, \( S \) memiliki topologi, dan \( \ms S \) adalah \( \sigma \)-aljabar Borel yang dibangkitkan oleh himpunan bagian terbuka dari \( S \). Asumsi standar yang digunakan adalah bahwa topologi tersebut kompak lokal, Hausdorff, dan memiliki basis terhitung; selanjutnya kondisi ini disingkat LCCB. Untuk himpunan indeks, kita asumsikan bahwa \( T = \N \) atau \( T = [0, \infty) \). Seperti biasa, unsur-unsur \( T \) ditafsirkan sebagai titik waktu. Himpunan \( T \) juga dilengkapi dengan topologi—topologi diskrit dalam kasus pertama dan topologi Euklides standar dalam kasus kedua—beserta \( \sigma \)-aljabar Borel \( \ms T \). Jadi, dalam waktu diskrit dengan \( T = \N \), berlaku \( \ms T = \ms P(T) \), yaitu himpunan kuasa \( T \). Karena itu, setiap himpunan bagian \( T \) terukur, demikian pula setiap fungsi dari \( T \) ke ruang terukur lain. Terakhir, \( X_t \) adalah peubah acak dan, menurut definisi, terukur terhadap \( \ms F \) dan \( \ms S \) untuk setiap \( t \in T \). Kita menafsirkan \( X_t \) sebagai keadaan suatu sistem acak pada waktu \( t \in T \). Banyak konsep penting yang melibatkan \( \bs X \) didasarkan pada bagaimana perilaku masa depan proses bergantung pada perilaku masa lalu, relatif terhadap waktu sekarang tertentu.

Untuk \( t \in T \), tetapkan \( \ms F_t = \sigma\left\{X_s: s \in T, \; s \le t\right\} \), yaitu \( \sigma \)-aljabar kejadian yang dapat didefinisikan berdasarkan proses hingga waktu \( t \). Secara kasar, untuk \( A \in \ms F_t \), kita dapat menentukan apakah \( A \) telah terjadi dengan mengamati proses hingga waktu \( t \). Keluarga \( \sigma \)-aljabar \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) memiliki dua sifat penting: keluarga ini meningkat terhadap \( t \in T\) menurut urutan parsial inklusi himpunan, dan semua \( \sigma \)-aljabar tersebut merupakan sub-\( \sigma \)-aljabar dari \( \ms F \). Dengan kata lain, untuk \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), berlaku \( \ms F_s \subseteq \ms F_t \subseteq \ms F \).

Filtrasi

Definisi Dasar

Terkadang kita memerlukan \( \sigma \)-aljabar yang sedikit lebih besar daripada yang dibahas dalam paragraf sebelumnya. Misalnya, seiring waktu mungkin ada peubah acak lain yang dapat kita amati selain peubah dalam \( \bs X \). Terkadang, khususnya dalam waktu kontinu, alasan teknis mengharuskan penggunaan \( \sigma \)-aljabar yang agak berbeda. Kita juga mungkin ingin menjelaskan bagaimana informasi bertambah sebagai suatu keluarga \( \sigma \)-aljabar tanpa mengacu pada proses stokastik. Untuk bagian selanjutnya, tetapkan ruang terukur \( (\Omega, \ms F) \), yang sekali lagi kita anggap sebagai ruang sampel, serta ruang waktu \( (T, \ms T) \) seperti yang dijelaskan di atas.

Sebuah keluarga \( \sigma \)-aljabar \(\mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) jika \(s, \, t \in T\) dan \(s \le t\) menyiratkan \(\ms F_s \subseteq \ms F_t \subseteq \ms F\).

Ruang \( \left(\Omega, \ms F, \mf F\right) \) adalah ruang sampel terfiltrasi.
Jika \( \P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \), maka \( \left(\Omega, \ms F, \mf F, \P\right) \) adalah ruang probabilitas terfiltrasi.

Jadi, filtrasi hanyalah keluarga sub-\(\sigma\)-aljabar dari \( \ms F \) yang diindeks oleh \( T \). Kita menafsirkan \( \ms F_t \) sebagai \( \sigma \)-aljabar kejadian hingga waktu \( t \in T \). Semakin besar \( \sigma \)-aljabar dalam suatu filtrasi, semakin banyak kejadian yang tersedia, sehingga relasi berikut pada filtrasi bersifat alami.

Misalkan \( \mf F =\{\ms F_t: t \in T\} \) dan \( \mf G = \{\ms G_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Filtrasi \( \mf F \) disebut lebih kasar daripada \( \mf G \), dan \( \mf G \) disebut lebih halus daripada \( \mf F \), ditulis \( \mf F \preceq \mf G \), jika \( \ms F_t \subseteq \ms G_t \) untuk semua \( t \in T \). Relasi \( \preceq \) adalah urutan parsial pada koleksi filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Artinya, jika \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \), \( \mf G = \{\ms G_t: t \in T\} \), dan \( \mf H = \ms H_t: t \in T\} \) adalah filtrasi, maka

\( \mf F \preceq \mf F \), yaitu sifat refleksif.
Jika \( \mf F \preceq \mf G \) dan \( \mf G \preceq \mf F \), maka \( \mf F = \mf G \), yaitu sifat antisimetris.
Jika \( \mf F \preceq \mf G \) dan \( \mf G \preceq \mf H \), maka \( \mf F \preceq \mf H \), yaitu sifat transitif.

Detail:

Bukti ini merupakan konsekuensi langsung dari fakta bahwa relasi inklusi himpunan mendefinisikan urutan parsial.

\( \ms F_t \subseteq \ms F_t \) untuk setiap \( t \in T \), sehingga \( \mf F \preceq \mf F \).
Jika \( \mf F \preceq \mf G \) dan \( \mf G \preceq \mf F \), maka \( \ms F_t \subseteq \ms G_t \) dan \( \ms G_t \subseteq \ms F_t \) untuk setiap \( t \in T \). Karena itu, \( \ms F_t = \ms G_t \) untuk setiap \( t \in T \), sehingga \( \mf F = \mf G \).
Jika \( \mf F \preceq \mf G \) dan \( \mf G \preceq \mf H \), maka \( \ms F_t \subseteq \ms G_t \) dan \( \ms G_t \subseteq \ms H_t \) untuk setiap \( t \in T \). Karena itu, \( \ms F_t \subseteq \ms H_t \) untuk setiap \( t \in T \), sehingga \( \mf F \preceq \mf H \).

Jadi, filtrasi paling kasar pada \( (\Omega, \ms F) \) adalah filtrasi dengan \( \ms F_t = \{\Omega, \emptyset\} \) untuk setiap \( t \in T \), sedangkan filtrasi paling halus adalah filtrasi dengan \( \ms F_t = \ms F \) untuk setiap \( t \in T \). Dalam kasus pertama, kita tidak memperoleh informasi seiring waktu berjalan; dalam kasus kedua, kita memiliki informasi lengkap sejak awal. Biasanya kedua keadaan ini tidak realistis.

Wajar pula untuk mempertimbangkan \( \sigma \)-aljabar yang menyandikan informasi kita sepanjang seluruh waktu.

Untuk filtrasi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) pada \( (\Omega, \ms F) \), definisikan \(\ms F_\infty = \sigma \left( \bigcup\left\{\ms F_t: t \in T\right\} \right)\). Kemudian

\(\ms F_\infty = \sigma \left( \bigcup\left\{\ms F_t: t \in T, t \ge s\right\} \right)\) untuk \( s \in T \).
\( \ms F_t \subseteq \ms F_\infty \) untuk \( t \in T \).

Detail:

Hasil ini mengikuti karena \(\sigma\)-aljabar dalam filtrasi meningkat seiring berjalannya waktu.

Tentu saja, mungkin berlaku \( \ms F_\infty = \ms F \), tetapi tidak selalu. Ingat bahwa irisan suatu koleksi \( \sigma \)-aljabar pada \( (\Omega, \ms F) \) juga merupakan \( \sigma \)-aljabar. Fakta ini dapat digunakan untuk membentuk filtrasi baru dari suatu koleksi filtrasi.

Misalkan \( \mf F_i = \left\{\ms F^i_t: t \in T\right\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks tak kosong \( I \). Maka \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) juga merupakan filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dengan \( \ms F_t = \bigcap_{i \in I} \ms F^i_t \) untuk \( t \in T \). Filtrasi ini terkadang dilambangkan dengan \( \mf F = \bigwedge_{i \in I} \mf F_i \), dan merupakan filtrasi paling halus yang lebih kasar daripada \( \mf F_i \) untuk setiap \( i \in I \).

Detail:

Misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \). Maka \(\ms F^i_s \subseteq \ms F^i_t \subseteq \ms F\) untuk setiap \( i \in I \) sehingga \( \bigcap_{i \in I} \ms F^i_s \subseteq \bigcap_{i \in I} \ms F^i_t \subseteq \ms F \).

Gabungan \( \sigma \)-aljabar pada umumnya bukan \( \sigma \)-aljabar, tetapi kita tetap dapat membentuk filtrasi baru dari suatu koleksi filtrasi dengan menggunakan gabungan secara alami.

Misalkan lagi \( \mf F_i = \left\{\ms F^i_t: t \in T\right\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks tak kosong \( I \). Maka \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) juga merupakan filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dengan \( \ms F_t = \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \ms F^i_t\right) \) untuk \( t \in T \). Filtrasi ini terkadang dilambangkan dengan \( \mf F = \bigvee_{i \in I} \mf F_i \), dan merupakan filtrasi paling kasar yang lebih halus daripada \( \mf F_i \) untuk setiap \( i \in I \).

Detail:

Misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \). Maka \(\ms F^i_s \subseteq \ms F^i_t \subseteq \ms F\) untuk setiap \( i \in I \) sehingga \( \bigcup_{i \in I} \ms F^i_s \subseteq \bigcup_{i \in I} \ms F^i_t \subseteq \ms F \), dan karenanya \( \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \ms F^i_s\right) \subseteq \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \ms F^i_t\right) \subseteq \ms F \).

Proses Stokastik

Perhatikan lagi bahwa suatu filtrasi dapat didefinisikan tanpa proses stokastik yang mendasarinya. Namun, biasanya kita memang memiliki proses stokastik \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \). Dalam hal ini, filtrasi \( \mf F^0 = \{\ms F^0_t: t \in T\} \), dengan \( \ms F^0_t = \sigma\{X_s: s \in T, \, s \le t\} \), disebut filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs X \). Secara lebih umum, definisi berikut sesuai.

Proses stokastik \(\bs X = \{X_t: t \in T\}\) pada \( (\Omega, \ms F) \) disebut teradaptasi terhadap filtrasi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\}\) pada \( (\Omega, \ms F) \) jika \(X_t\) terukur terhadap \(\ms F_t\) untuk setiap \(t \in T\).

Secara ekuivalen, \( \bs X \) teradaptasi terhadap \( \mf F \) jika \( \mf F \) lebih halus daripada \( \mf F^0 \), yaitu filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs X \). Dengan kata lain, \( \sigma\{X_s: s \in T, \; s \le t\} \subseteq \ms F_t \) untuk setiap \( t \in T \). Jelas bahwa jika \( \bs X \) teradaptasi terhadap suatu filtrasi, proses itu juga teradaptasi terhadap setiap filtrasi yang lebih halus; dan \( \mf F^0 \) adalah filtrasi paling kasar yang mengadaptasi \( \bs X \). Gagasan dasarnya adalah bahwa jika filtrasi \( \mf F \) menyandikan informasi kita seiring waktu berjalan, maka proses \( \bs X \) dapat diamati. Dalam waktu diskrit, terdapat definisi yang berkaitan.

Misalkan \( T = \N \). Sebuah proses stokastik \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) adalah dapat diprediksi oleh filtrasi \( \mf F = \{\ms F_n: n \in \N\} \) jika \( X_{n +1}\) terukur terhadap \( \ms F_n \) untuk semua \( n \in \N \).

Jelas bahwa jika \( \bs X \) dapat diprediksi oleh \( \mf F \), maka \( \bs X \) teradaptasi terhadap \( \mf F \). Namun, dapat diprediksi merupakan sifat yang lebih kuat daripada teradaptasi: jika \( \mf F \) menyandikan informasi kita seiring waktu berjalan, kita dapat melihat satu langkah ke masa depan proses \( \bs X \); pada waktu \( n \), kita dapat menentukan \( X_{n+1} \). Konsep prediktabilitas dapat diperluas ke waktu kontinu, tetapi definisinya jauh lebih rumit.

Pada akhirnya, proses stokastik \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) dengan ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dan ruang keadaan \( (S, \ms S) \) dapat dipandang sebagai fungsi dari \( \Omega \times T \) ke \( S \). Jadi, \( X_t(\omega) \in S \) adalah keadaan pada waktu \( t \in T \) yang bersesuaian dengan hasil \( \omega \in \Omega \). Menurut definisi, \( \omega \mapsto X_t(\omega) \) terukur untuk setiap \( t \in T \), tetapi sering kali proses tersebut harus terukur secara bersama-sama terhadap \( \omega \) dan \( t \).

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik dengan ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dan ruang keadaan \( (S, \ms S) \). Maka \( \bs X \) adalah terukur jika \( \bs X: \Omega \times T \to S \) terukur terhadap \( \ms F \times \ms T \) dan \( \ms S \).

Ketika tersedia suatu filtrasi, sebagaimana biasanya, terdapat kondisi lebih kuat yang bersifat alami. Tetapkan \( T_t = \{s \in T: s \le t\} \) untuk \( t \in T \), dan tetapkan \( \ms T_t = \{A \cap T_t: A \in \ms T\} \) sebagai \( \sigma \)-aljabar terinduksi yang bersesuaian.

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik dengan ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), dan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi. Maka \( \bs X \) adalah terukur secara progresif relatif terhadap \( \mf F \) jika \( \bs X: \Omega \times T_t \to S\) terukur terhadap \( \ms F_t \times \ms T_t \) dan \( \ms S \) untuk setiap \( t \in T \).

Jelas bahwa jika \( \bs X \) terukur progresif terhadap suatu filtrasi, proses itu juga terukur progresif terhadap setiap filtrasi yang lebih halus. Jika \( T \) diskrit, setiap proses \( \bs X \) terukur, dan setiap proses \( \bs X \) yang teradaptasi terhadap \( \mf F \) juga terukur progresif. Jadi, definisi ini hanya penting untuk waktu kontinu.

Misalkan lagi \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik dengan ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), dan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi. Jika \( \bs X \) terukur progresif relatif terhadap \( \mf F \), maka

\( \bs X \) terukur.
\( \bs X \) teradaptasi dengan \( \mf F \).

Detail:

Misalkan \( \bs X \) terukur progresif relatif terhadap \( \mf F \).

Jika \( A \in \ms S \), maka \[ \{\bs X \in A\} = \{(\omega, t) \in \Omega \times T: X_t(\omega) \in A\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{(\omega, t) \in \Omega \times T_n: X_t(\omega) \in A\} \] Menurut asumsi, suku ke-\( n \) dalam gabungan termasuk dalam \( \ms F \times \ms T_n \subseteq \ms F \times \ms T \), sehingga gabungan tersebut termasuk dalam \( \ms F \times \ms T \).
Misalkan \( t \in T \). Maka \( \bs X: \Omega \times T_t \to S\) terukur terhadap \( \ms F_t \times \ms T_t \) dan \( \ms S \). Namun, \( X_t: \Omega \to S \) hanyalah penampang fungsi ini pada \( t \), sehingga terukur terhadap \( \ms F_t \) dan \( \ms S \).

Jika ruang keadaan merupakan ruang topologi, sebagaimana biasanya, terdapat hubungan alami antara kekontinuan lintasan sampel dan keterukuran progresif.

Misalkan \( S \) memiliki topologi LCCB dan \( \ms S \) adalah \( \sigma \)-aljabar himpunan Borel. Misalkan pula \( \bs X = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) kontinu kanan. Maka \( \bs X \) terukur progresif relatif terhadap filtrasi alami \( \mf F^0 \).

Jadi, jika \( \bs X \) kontinu kanan, maka \( \bs X \) terukur progresif terhadap setiap filtrasi yang mengadaptasi \( \bs X \). Kita telah mempelajari berbagai cara agar dua proses stokastik dapat ekuivalen. Contoh berikut menggambarkan beberapa seluk-beluk proses dalam waktu kontinu.

Misalkan \( \Omega = T = [0, \infty) \), \( \ms F = \ms T \) adalah \( \sigma \)-aljabar Borel himpunan bagian terukur dari \( [0, \infty) \), dan \( \P \) adalah ukuran probabilitas kontinu apa pun \( (\Omega, \ms F) \). Tetapkan \( S = \{0, 1\} \) dan \( \ms S = \ms P(S) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\} \). Untuk \( t \in T \) dan \( \omega \in \Omega \), definisikan \( X_t(\omega) = \bs{1}_t(\omega) \) dan \( Y_t(\omega) = 0 \). Kemudian

\( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah versi dari \( \bs Y = \{Y_t: t \in T\} \)
\( \bs X \) tidak teradaptasi dengan filtrasi alami \( \bs Y \).

Detail:

Hal ini ditunjukkan pada bagian proses stokastik, tapi ini dia lagi: Untuk \( t \in T \), \( \P(X_t \ne Y_t) = \P(\{t\}) = 0 \).
Sepele, \( \sigma(Y_t) = \{\emptyset, \Omega\} \) untuk setiap \( t \in T \), Jadi \( \sigma\{Y_s: 0 \le s \le t\} = \{\emptyset, \Omega\} \). Tetapi \( \sigma(X_t) = \{\emptyset, \{t\}, \Omega \setminus \{t\}, \Omega\} \).

Kelengkapan

Misalkan sekarang \( P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \). Ingat bahwa \(\ms F\) adalah lengkap terhadap \( P \) jika \(A \in \ms F\), \( B \subseteq A \), dan \(P(A) = 0\) menyiratkan \(B \in \ms F\) (dan karenanya \( P(B) = 0 \)). Artinya, jika \( A \) adalah kejadian dengan probabilitas 0 dan \( B \subseteq A \), Maka \( B \) juga merupakan suatu kejadian (dan juga memiliki probabilitas 0). Untuk filtrasi, definisi berikut ini tepat.

Filtrasi \(\{\ms F_t: t \in T\}\) adalah lengkap terhadap ukuran probabilitas \( P \) pada \( (\Omega, \ms F) \) jika

\(\ms F\) lengkap terhadap \( P \)
Jika \(A \in \ms F\) dan \(P(A) = 0\), maka \(A \in \ms F_0\).

Misalkan \( P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \) dan filtrasi \(\{\ms F_t: t \in T\}\) lengkap terhadap \( P \). Jika \(A \in \ms F\) adalah kejadian nol (\(P(A) = 0\)) atau kejadian yang hampir pasti (\(\P(A) = 1\)) Maka \(A \in \ms F_t\) untuk setiap \(t \in T\).

Detail:

Hal ini terjadi karena kejadian yang hampir pasti merupakan pelengkap dari kejadian nol dan karena \(\sigma\)-aljabar meningkat \(t \in T\).

Ingatlah bahwa jika \( P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \), Tetapi \( \ms F \) tidak lengkap terhadap \( P \), Maka \( \ms F \) selalu bisa lengkap. Berikut ulasan cara melakukannya: Mari \[ \ms{N} = \{A \subseteq \Omega: \text{ there exists } N \in \ms F \text{ with } P(N) = 0 \text{ and } A \subseteq N\}\] Jadi \( \ms{N} \) adalah koleksi himpunan nol. Lalu kita biarkan \( \ms F^P = \sigma(\ms F \cup \ms{N}) \) dan memperluas \( P \) ke \( \ms F^P \) adalah cara alami: jika \( A \in \ms F^P \) dan \( A \) berbeda dari \( B \in \ms F \) dengan himpunan nol, maka \( P(A) = P(B) \). Filtrasi juga dapat dilengkapkan.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) dan \( P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \). Seperti di atas, misalkan \( \ms{N} \) menyatakan kumpulan himpunan bagian nol dari \( \Omega \), dan untuk \( t \in T \), tetapkan \( \ms F^P_t = \sigma(\ms F_t \cup \ms{N}) \). Maka \( \mf F^P = \{\ms F^P_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( \left(\Omega, \ms F^P\right) \) yang lebih halus daripada \( \mf F \) dan relatif lengkap terhadap \( P \).

Detail:

Jika \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), maka \( \ms F_s \subseteq \ms F_t \subseteq \ms F \) dan karenanya \[ \sigma(\ms F_s \cup \ms{N}) \subseteq \sigma(\ms F_t \cup \ms{N}) \subseteq \sigma(\ms F \cup \ms{N})\] sehingga \( \ms F^P_s \subseteq \ms F^P_t \subseteq \ms F^P \). Ukuran probabilitas \( P \) dapat diperluas ke \( \ms F^P \) seperti dijelaskan di atas, dan karenanya didefinisikan pada \( \ms F^P_t \) untuk setiap \( t \in T \). Berdasarkan konstruksi, jika \( A \in \ms F^P \) dan \( P(A) = 0 \), maka \( A \in \ms F^P_0 \), sehingga \( \mf F^P \) lengkap terhadap \( P \).

Tentu saja, \( \mf F^P \) adalah kelengkapan dari \( \mf F \) terhadap \( P \). Terkadang kita perlu mempertimbangkan semua ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \).

Tetapkan \( \ms P \) menunjukkan kumpulan ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \ms F) \), dan misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Tetapkan \( \ms F^* = \bigcap \{\ms F^P: P \in \ms P\} \), dan biarkan \( \mf F^* = \bigwedge \{\mf F^P: P \in \ms P\} \). Maka \( \mf F^* \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F^*) \), dikenal sebagai kelengkapan universal dari \( \mf F \).

Detail:

Perhatikan bahwa \( \mf F^P \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F^P) \) untuk setiap \( P \in \ms P \), Jadi \( \mf F^* \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F^*) \).

Definisi terakhir mungkin tampak sangat tidak jelas, tetapi definisi tersebut memang ada tempatnya. Dalam teori Proses Markov kita biasanya mengizinkan distribusi awal yang berubah-ubah, yang pada gilirannya menghasilkan koleksi distribusi yang besar pada ruang sampel.

Kontinuitas Kanan

Dalam waktu kontinu, terkadang kita perlu menyempurnakan filtrasi tertentu.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Untuk \( t \in [0, \infty) \), definisikan \( \ms F_{t+} = \bigcap \{\ms F_s: s \in (t, \infty)\} \). Maka \( \mf F_+ = \{\ms F_{t+}: t \in T\} \) juga merupakan filtrasi \( (\Omega, \ms F) \) dan lebih halus daripada \( \mf F \).

Detail:

Untuk \( t \in [0, \infty) \) perhatikan bahwa \( \ms F_{t+} \) adalah \( \sigma \)-aljabar karena merupakan perpotongan \( \sigma \)-aljabar, dan jelas \( \ms F_{t+} \subseteq \ms F \). Selanjutnya, jika \( s, \, t \in [0, \infty) \) dengan \( s \le t \), Maka \( \{\ms F_r: r \in (t, \infty)\} \subseteq \{\ms F_r: r \in (s, \infty)\} \), sehingga \[ \ms F_{s+} = \bigcap\{\ms F_r: r \in (s, \infty)\} \subseteq \bigcap\{\ms F_r: r \in (t, \infty)\} = \ms F_{t+} \] Akhirnya, untuk \( t \in [0, \infty) \), \( \ms F_t \subseteq \ms F_s \) untuk setiap \( s \in (t, \infty) \), sehingga \( \ms F_t \subseteq \bigcap\{\ms F_s: s \in (t, \infty)\} = \ms F_{t+} \).

Karena \( \sigma \)-aljabar dalam suatu filtrasi bertambah, maka untuk \( t \in [0, \infty) \), \( \ms F_{t+} = \bigcap\{\ms F_s: s \in (t, t + \epsilon)\} \) untuk setiap \( \epsilon \in (0, \infty) \). Jadi kalau filtrasi \( \mf F \) mengkodekan informasi yang tersedia seiring berjalannya waktu, lalu filtrasi \( \mf F_+ \) memungkinkan sebuah sekilas pandang ke masa depan di setiap \( t \in [0, \infty) \). Mengingat hasil sebelumnya, definisi berikutnya adalah wajar.

Sebuah filtrasi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah kontinu kanan jika \( \mf F_+ = \mf F \), sehingga \( \ms F_{t+} = \ms F_t \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \).

Filtrasi kontinu kanan memiliki beberapa sifat yang berguna, seperti yang akan kita lihat nanti. Jika filtrasi semula tidak kontinu kanan, filtrasi yang sedikit diperhalus berikut bersifat kontinu kanan:

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah filtrasi. Maka \( \mf F_+ \) adalah filtrasi kontinu kanan.

Detail:

Untuk \( t \in T \) \[ \ms F_{t++} = \bigcap\{\ms F_{s+}: s \in (t, \infty)\} = \bigcap\left\{\bigcap\{\ms F_r: r \in (s, \infty)\}: s \in (t, \infty)\right\} = \bigcap\{\ms F_u: u \in (t, \infty)\} = \ms F_{t+} \]

Untuk proses stokastik \( \bs X = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) dalam waktu kontinu, filtrasi \( \mf F \) yang paling berguna sering kali adalah perhalusan kontinu kanan dari filtrasi alami. Artinya, \( \mf F = \mf F^0_+ \), sehingga \( \ms F_t = \sigma\{X_s: s \in [0, t]\}_+ \) untuk \( t \in [0, \infty) \).

Waktu Henti

Sifat Dasar

Misalkan ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) telah ditetapkan. Peubah acak yang bernilai dalam himpunan waktu \( T \) memang penting, tetapi sering kali, seperti yang akan kita lihat, peubah tersebut juga perlu dapat bernilai \( \infty \), selain waktu berhingga. Jadi, tetapkan \( T_\infty = T \cup \{\infty\} \). Kita memperluas urutan ke \( T_\infty \) dengan aturan alami bahwa \( t \lt \infty \) untuk setiap \( t \in T \). Topologi pada \( T \) juga diperluas ke \( T_\infty \) dengan menetapkan bahwa, untuk setiap \( s \in T \), himpunan \( \{t \in T_\infty: t \gt s\} \) merupakan lingkungan terbuka dari \( \infty\). Jadi, \( T_\infty \) adalah kompaktifikasi satu titik dari \( T \). Tujuannya adalah mempertahankan makna waktu yang konvergen menuju tak hingga. Artinya, jika \( (t_1, t_2, \ldots) \) adalah barisan dalam \( T_\infty \), maka \( t_n \to \infty \) saat \( n \to \infty \) jika dan hanya jika, untuk setiap \( t \in T \), terdapat \( m \in \N_+ \) sedemikian sehingga \( t_n \gt t \) untuk \( n \gt m \). Selanjutnya, \( T_\infty \) dilengkapi dengan \( \sigma \)-aljabar Borel \( \ms T_\infty \) seperti sebelumnya. Dalam waktu diskrit, ini kembali merupakan \( \sigma \)-aljabar diskrit, sehingga semua himpunan bagiannya terukur. Dalam kedua kasus, kita sekarang memiliki ruang waktu yang diperluas \( (T_\infty, \ms T_\infty) \). Peubah acak \( \tau \) yang bernilai dalam \( T_\infty \) disebut waktu acak.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Waktu acak \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \) jika \( \{\tau \le t\} \in \ms F_t \) untuk setiap \( t \in T \).

Dalam arti tertentu, waktu henti adalah waktu acak yang tidak mengharuskan kita melihat ke masa depan. Artinya, kita dapat menentukan apakah \( \tau \le t \) hanya dari informasi yang tersedia pada waktu \( t \). Istilah waktu henti berasal dari perjudian. Bayangkan seorang penjudi yang bertaruh pada permainan peluang. Keputusannya untuk berhenti berjudi pada suatu saat dan menerima hasilnya harus menentukan suatu waktu henti. Jadi, keputusan itu boleh didasarkan pada seluruh informasi yang tersedia saat itu, tetapi tidak pada apa yang akan terjadi di masa depan. Istilah waktu Markov dan waktu opsional terkadang digunakan sebagai pengganti waktu henti. Jika \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap suatu filtrasi, maka waktu acak tersebut juga merupakan waktu henti relatif terhadap setiap filtrasi yang lebih halus:

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) dan \( \mf G = \{\ms G_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dan \(\mf G\) lebih halus daripada \( \mf F \). Jika waktu acak \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \), maka \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf G \).

Detail:

Ini sangat sederhana. Jika \( t \in T \), maka \( \{\tau \le t\} \in \ms F_t \) dan karenanya \( \{\tau \le t\} \in \ms G_t \) karena \( \ms F_t \subseteq \ms G_t \).

Jadi, semakin halus suatu filtrasi, semakin besar pula koleksi waktu hentinya. Bahkan, setiap waktu acak merupakan waktu henti relatif terhadap filtrasi paling halus \( \mf F \), dengan \( \ms F_t = \ms F \) untuk setiap \( t \in T \). Namun, filtrasi ini berarti bahwa informasi lengkap tersedia sejak awal, sehingga biasanya tidak realistis. Sebaliknya, untuk filtrasi paling kasar \( \mf F \), dengan \( \ms F_t = \{\Omega, \emptyset\} \) untuk setiap \( t \in T \), satu-satunya waktu henti adalah konstanta. Artinya, waktu acak tersebut berbentuk \( \tau(\omega) = t \) untuk setiap \( \omega \in \Omega \), untuk suatu \(t \in T_\infty \).

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Waktu acak \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \) jika dan hanya jika \( \{\tau \gt t\} \in \ms F_t \) untuk setiap \( t \in T \).

Detail:

Hasil ini sepele karena \( \{\tau \gt t\} = \{\tau \le t\}^c \) untuk \( t \in T \).

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dan \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Maka setiap kejadian berikut termasuk dalam \(\ms F_t\) untuk setiap \(t \in T\):

\( \{\tau \lt t\}\)
\( \{\tau \ge t\}\)
\( \{\tau = t\}\)

Detail:

Misalkan terlebih dahulu \( T = \N \). Maka \( \{\tau \lt t\} = \{\tau \le t - 1\} \in \ms F_{t-1} \subseteq \ms F_t \) untuk \( t \in \N \). Selanjutnya misalkan \( T = [0, \infty) \). Tetapkan \(t \in (0, \infty)\) dan biarkan \((s_1, s_2, \ldots)\) menjadi urutan yang meningkat secara ketat \([0, \infty)\) dengan \(s_n \uparrow t\) sebagai \(n \to \infty\). Maka \( \{\tau \lt t\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{\tau \le s_n\} \). Tetapi \( \{\tau \le s_n\} \in \ms F_{s_n} \subseteq \ms F_t \) untuk setiap \( n \), Jadi \( \{\tau \lt t\} \in \ms F_t \).
Ini mengikuti dari (a) karena \( \{\tau \ge t\} = \{\tau \lt t\}^c \) untuk \( t \in T \).
Untuk \( t \in T \) perhatikan bahwa \( \{\tau = t\} = \{\tau \le t\} \setminus \{\tau \lt t\} \). Kedua kejadian dalam selisih himpunan termasuk dalam \( \ms F_t \).

Perhatikan bahwa ketika \(T = \N\), kita sebenarnya telah menunjukkan bahwa \(\{\tau \lt t\} \in \ms F_{t-1}\) dan \(\{\tau \ge t\} \in \ms F_{t-1}\). Kebalikan bagian (a), atau secara ekuivalen bagian (b), tidak berlaku. Namun, dalam waktu kontinu terdapat hubungan dengan perhalusan kontinu kanan dari suatu filtrasi.

Misalkan \( T = [0, \infty) \) dan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Waktu acak \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F_+ \) jika dan hanya jika \( \{\tau \lt t\} \in \ms F_t \) untuk setiap \(t \in [0, \infty)\).

Detail:

Jadi dinyatakan kembali, kita perlu menunjukkan bahwa \( \{\tau \le t\} \in \ms F_{t+} \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \) jika dan hanya jika \( \{\tau \lt t\} \in \ms F_t \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \). (Omong-omong, perlu diperhatikan bahwa ini tidak sama dengan pernyataan bahwa untuk setiap \( t \in T \), \( \{\tau \lt t\} \in \ms F_{t+} \) jika dan hanya jika \( \{\tau \le t\} \in \ms F_t \), itu tidak benar.) Misalkan saja dulu \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Tetapkan \(t \in [0, \infty)\) dan biarkan \((t_1, t_2, \ldots)\) menjadi urutan yang menurun secara ketat \([0, \infty)\) dengan \(t_n \downarrow t\) sebagai \(n \to \infty\). Lalu untuk setiap \(k \in \N_+\), \( \{\tau \le t\} = \bigcap_{n=k}^\infty \{\tau \lt t_n\} \). Jika \( s \gt t \) lalu ada \( k \in \N_+ \) sedemikian sehingga \( t_n \lt s \) untuk setiap \( n \ge k \). Karena itu \( \{\tau \lt t_n\} \in \ms F_{t_n} \subseteq \ms F_s \) untuk \( n \ge k \), sehingga \( \{\tau \le t\} \in \ms F_s \). Karena ini berlaku untuk setiap \( s \gt t \) berikut ini \(\{\tau \le t\} \in \ms F_{t+}\). Sebaliknya, misalkan \( \{\tau \le t\} \in \ms F_{t+} \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \). Tetapkan \( t \in (0, \infty) \) dan biarkan \( (t_1, t_2, \ldots) \) menjadi urutan yang meningkat secara ketat \( (0, \infty) \) dengan \( t_n \uparrow t \) sebagai \( n \to \infty \). Maka \( \bigcup_{i=1}^\infty \{\tau \le t_n\} = \{\tau \lt t\} \). Tapi untuk setiap \( n \in \N_+ \) \[ \{\tau \le t_n\} \in \ms F_{t_n+} = \bigcap\left\{\ms F_s: s \in (t_n, t)\right\} \subseteq \ms F_t \] Karena itu \( \{\tau \lt t \} \in \ms F_t\).

Jika \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah filtrasi dan \( \tau \) adalah waktu acak yang memenuhi \( \{\tau \lt t \} \in \ms F_t \) untuk setiap \( t \in T \), beberapa penulis menyebut \( \tau \) sebagai waktu henti lemah atau mengatakan bahwa \( \tau \) opsional lemah untuk filtrasi \( \mf F \). Namun, penambahan istilah ini tidak terlalu berguna; lebih baik dikatakan saja bahwa \( \tau \) adalah waktu henti untuk filtrasi \(\mf F_+\). Dengan demikian diperoleh akibat berikut.

Misalkan \( T = [0, \infty) \) dan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah filtrasi kontinu kanan. Waktu acak \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \) jika dan hanya jika \( \{\tau \lt t\} \in \ms F_t \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \).

Kebalikan dari bagian (c) pada berlaku dalam waktu diskrit.

Misalkan \( T = \N \) dan \( \mf F = \{\ms F_n: n \in \N\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Waktu acak \( \tau \) adalah waktu henti untuk \( \mf F \) jika dan hanya jika \( \{\tau = n\} \in \ms F_n \) untuk setiap \( n \in \N \).

Detail:

Jika \(\tau\) adalah waktu henti, maka seperti yang ditunjukkan pada , \(\{\tau = n\} \in \ms F_n\) untuk setiap \( n \in \N \). Sebaliknya, misalkan kondisi ini berlaku. Untuk \(n \in \N\), \(\{\tau \le n\} = \bigcup_{k=0}^n \{\tau = k\}\). Tetapi \(\{\tau = k\} \in \ms F_k \subseteq \ms F_n\) untuk \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\), sehingga \(\{\tau \le n\} \in \ms F_n\).

Konstruksi Dasar

Seperti disebutkan di atas, elemen konstan dari \(T_\infty\) adalah waktu henti, tapi tidak terlalu menarik.

Misalkan \(s \in T_\infty\) dan \(\tau(\omega) = s\) untuk semua \(\omega \in \Omega\). \(\tau\) adalah waktu henti relatif terhadap filtrasi apa pun \( (\Omega, \ms F) \).

Detail:

Untuk \( t \in T \) perhatikan bahwa \(\{\tau \le t\} = \Omega\) jika \(s \le t\) dan \(\{\tau \le t\} = \emptyset\) jika \(s \gt t\).

Jika filtrasi \(\{\ms F_t: t \in T\}\) lengkap, maka waktu acak yang hampir pasti konstan juga merupakan waktu henti. Teorema berikut memberikan beberapa cara dasar untuk menyusun waktu henti baru dari waktu henti yang sudah kita miliki.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), serta \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Maka setiap waktu berikut juga merupakan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \):

\(\tau_1 \vee \tau_2 = \max\{\tau_1, \tau_2\}\)
\(\tau_1 \wedge \tau_2 = \min\{\tau_1, \tau_2\}\)
\(\tau_1 + \tau_2\)

Detail:

Perhatikan bahwa \(\{\tau_1 \vee \tau_2 \le t\} = \{\tau_1 \le t\} \cap \{\tau_2 \le t\} \in \ms F_t\) untuk \(t \in T\), jadi hasilnya mengikuti definisi .
Perhatikan bahwa \(\{\tau_1 \wedge \tau_2 \gt t\} = \{\tau_1 \gt t\} \cap \{\tau_2 \gt t\} \in \ms F_t\) untuk \(t \in T\), jadi hasilnya mengikuti dari .
Hal ini mudah ketika \(T = \N\). Dalam hal ini, \(\{\tau_1 + \tau_2 \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \{\tau_1 = n\} \cap \{\tau_2 \le t - n\}\). Tapi untuk \(n \le t\), \(\{\tau_1 = n\} \in \ms F_n \subseteq \ms F_t\) dan \(\{\tau_2 \le t - n\} \in \ms F_{t - n} \subseteq \ms F_t\). Karena itu \(\{\tau_1 + \tau_2 \le t\} \in \ms F_t\). Misalkan \(T = [0, \infty)\) dan \(t \in T\). Maka \(\tau_1 + \tau_2 \gt t\) jika dan hanya jika salah satunya \(\tau_1 \le t\) dan \(\tau_2 \gt t - \tau_1\) atau \(\tau_1 \gt t\). Tentu saja \(\{\tau_1 \gt t\} \in \ms F_t\) jadi kita hanya perlu menunjukkan kalau kejadian pertama juga termasuk dalam \(\ms F_t\). Perhatikan bahwa \(\tau_1 \le t\) dan \(\tau_2 \gt t - \tau_1\) jika dan hanya jika terdapat bilangan rasional \(q \in [0, t]\) sedemikian sehingga \(q \le \tau_1 \le t\) dan \(\tau_2 \ge t - q\). Masing-masing kejadian ini termasuk dalam \(\ms F_t\) dan karenanya demikian pula gabungan kejadian-kejadian di atas himpunan bilangan rasional terhitung \(q \in [0, t]\).

Berikut adalah akibat langsung dari .

Jika \( (\tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_n) \) adalah barisan berhingga waktu henti relatif terhadap \( \mf F \), maka setiap besaran berikut juga merupakan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \):

\( \tau_1 \vee \tau_2 \vee \cdots \vee \tau_n \)
\( \tau_1 \wedge \tau_2 \wedge \cdots \wedge \tau_n \)
\( \tau_1 + \tau_2 + \cdots + \tau_n \)

Namun, kita harus berhati-hati ketika mencoba memperluas ke barisan tak berhingga.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dan \((\tau_n: n \in \N_+)\) adalah barisan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Maka \(\sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\) juga merupakan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \).

Detail:

Tetapkan \(\tau = \sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\). Perhatikan bahwa \(\tau\) termasuk dalam \(T_\infty\) dan merupakan waktu acak. Untuk \(t \in T\), \(\{\tau \le t\} = \bigcap_{n=1}^\infty \{\tau_n \le t\}\). Namun setiap kejadian dalam irisan itu termasuk dalam \(\ms F_t\) dan karenanya begitu pula irisannya.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dan \((\tau_n: n \in \N_+)\) adalah barisan meningkat dari waktu-waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Maka \(\lim_{n \to \infty} \tau_n\) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \).

Detail:

Ini adalah akibat wajar dari . Karena urutannya meningkat, \(\lim_{n \to \infty} \tau_n = \sup\{\tau_n: n \in \N_+\}\).

Misalkan \( T = [0, \infty) \) dan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Jika \((\tau_n: n \in \N_+)\) adalah barisan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \), maka setiap hal berikut ini adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F_+ \):

\(\inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\)
\(\liminf_{n \to \infty} \tau_n\)
\(\limsup_{n \to \infty} \tau_n\)

Detail:

Tetapkan \(\tau = \inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\). Maka \(\{\tau \ge t\} = \bigcap_{n=1}^\infty\{\tau_n \ge t\} \in \ms F_t\) untuk \(t \in T\). Karena itu \(\tau\) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F_+ \) oleh .
Ingat bahwa \(\liminf_{n \to \infty} \tau_n = \sup\left\{\inf\{\tau_k: k \ge n\}: n \in \N_+\right\}\) dan ini adalah waktu henti yang relatif terhadap \( \mf F_+ \) menurut bagian (a) dan .
Demikian pula perhatikan bahwa \(\limsup_{n \to \infty} \tau_n = \inf\left\{\sup\{\tau_k: k \ge n\}: n \in \N_+\right\}\) dan ini adalah waktu henti yang relatif terhadap \( \mf F_+ \) menurut bagian (a) dan .

Sebagai akibat sederhana, kita mendapatkan hasil sebagai berikut:

Misalkan \( T = [0, \infty) \) dan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi kontinu kanan pada \( (\Omega, \ms F) \). Jika \((\tau_n: n \in \N_+)\) adalah barisan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \), maka setiap hal berikut ini juga merupakan waktu henti relatif terhadap \( \mf F \):

\(\inf\left\{\tau_n: n \in \N_+\right\}\)
\(\liminf_{n \to \infty} \tau_n\)
\(\limsup_{n \to \infty} \tau_n\)

\(\sigma\)-Aljabar Waktu Henti

Pertimbangkan lagi kerangka umum filtrasi \(\mf F = \{\ms F_t: t \in T\}\) pada ruang sampel \((\Omega, \ms F)\), dan misalkan \(\tau\) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Kita ingin mendefinisikan \(\sigma\)-aljabar \(\ms F_\tau\) dari kejadian-kejadian hingga waktu acak \(\tau\), serupa dengan \(\ms F_t\), yaitu \( \sigma \)-aljabar kejadian hingga waktu tetap \(t \in T\). Definisi yang sesuai adalah sebagai berikut:

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) dan \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Definisikan \( \ms F_\tau = \left\{A \in \ms F: A \cap \{\tau \le t\} \in \ms F_t \text{ for all } t \in T\right\} \). Maka \( \ms F_\tau \) adalah \( \sigma \)-aljabar.

Detail:

Pertama \(\Omega \in \ms F_\tau\) karena \(\Omega \cap \{\tau \le t\} = \{\tau \le t\} \in \ms F_t\) untuk \(t \in T\). Jika \(A \in \ms F_\tau\), maka \(A^c \cap \{\tau \le t\} = \{\tau \le t \} \setminus \left(A \cap \{\tau \le t\}\right) \in \ms F_t\) untuk \(t \in T\). Akhirnya, misalkan \(A_i \in \ms F_\tau\) untuk \(i\) dalam himpunan indeks terhitung \(I\). Maka \(\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{i \in I} \left(A_i \cap \{\tau \le t\}\right) \in \ms F_t\) untuk \(t \in T\).

Jadi, sebuah kejadian \(A\) termasuk dalam \(\ms F_\tau\) jika kita dapat menentukan apakah \(A\) dan \(\tau \le t\) keduanya terjadi berdasarkan informasi kita pada waktu \(t\). Jika \(\tau\) adalah konstan, maka \(\ms F_\tau\) direduksi menjadi anggota yang sesuai dari filtrasi asli, yang seharusnya menjadi kasusnya, dan merupakan motivasi tambahan untuk definisi tersebut.

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \). Tetapkan \(s \in T\) dan tentukan \(\tau(\omega) = s\) untuk semua \(\omega \in \Omega\). Maka \(\ms F_\tau = \ms F_s\).

Detail:

Misalkan \(A \in \ms F_s\). Maka \(A \in \ms F\) dan untuk \(t \in T\), \(A \cap \{\tau \le t\} = A\) jika \(s \le t\) dan \(A \cap \{\tau \le t\} = \emptyset\) jika \(s \gt t\). Dalam kedua kasus tersebut, \(A \cap \{\tau \le t\} \in \ms F_t\) dan karenanya \(A \in \ms F_\tau\). Sebaliknya, misalkan \(A \in \ms F_\tau\). Maka \(A = A \cap \{\tau \le s\} \in \ms F_s\).

Jika informasi dalam \(\ms F_\tau\) tersedia, kita tentu harus mengetahui nilai \(\tau\) itu sendiri. Pernyataan ini memang benar:

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) dan \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Maka \(\tau\) terukur terhadap \(\ms F_\tau\).

Detail:

Cukup ditunjukkan bahwa \(\{\tau \le s\} \in \ms F_\tau\) untuk setiap \(s \in T\). Untuk \( s, \, t \in T \), \[\{\tau \le t\} \cap \{\tau \le s\} = \{\tau \le s \wedge t\} \in \ms F_{s \wedge t} \subseteq \ms F_t\] Karena itu \(\{\tau \le s\} \in \ms F_\tau\).

Berikut beberapa hasil lain yang menghubungkan \( \sigma \)-aljabar waktu henti dengan filtrasi semula.

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) dan \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \). Jika \(A \in \ms F_\tau\), maka untuk \(t \in T\),

\(A \cap \{\tau \lt t\} \in \ms F_t\)
\(A \cap \{\tau = t\} \in \ms F_t\)

Detail:

Menurut definisi, \(A \cap \{\tau \le t\} \in \ms F_t\). Tetapi \(\{\tau \lt t\} \subseteq \{\tau \le t\}\) dan \(\{\tau \lt t\} \in \ms F_t\). Karena itu \(A \cap \{\tau \lt t\} = A \cap \{\tau \le t\} \cap \{\tau \lt t\} \in \ms F_t\).
demikian pula \(\{\tau = t\} \subseteq \{\tau \le t\}\) dan \(\{\tau = t\} \in \ms F_t\). Karena itu \(A \cap \{\tau = t\} = A \cap \{\tau \le t\} \cap \{\tau = t\} \in \ms F_t\)

\( \sigma \)-Aljabar waktu henti relatif terhadap filtrasi berhubungan dengan \( \sigma \)-aljabar waktu henti relatif terhadap filtrasi yang lebih halus dengan cara alami.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) dan \( \mf G = \{\ms G_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \) dan \( \mf G \) lebih halus daripada \( \mf F \). Jika \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \), maka \( \ms F_\tau \subseteq \ms G_\tau \).

Detail:

Dari hasil di atas, \( \tau \) juga merupakan waktu henti relatif terhadap \( \mf G \), jadi pernyataan itu masuk akal. Jika \( A \in \ms F_\tau \) lalu untuk \( t \in T \), \( A \cap \{\tau \le t\} \in \ms F_t \subseteq \ms G_t \), Jadi \( A \in \ms G_\tau \).

Jika dua waktu henti terurut, \( \sigma \)-aljabar keduanya juga terurut.

Misalkan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), serta \(\rho\) dan \(\tau\) adalah waktu henti untuk \( \mf F \) dengan \(\rho \le\tau\). Maka \(\ms F_\rho \subseteq \ms F_\tau\).

Detail:

Misalkan \(A \in \ms F_\rho\) dan \(t \in T\). Perhatikan bahwa \(\{\tau \le t\} \subseteq \{\rho \le t\}\). Menurut definisi, \(A \cap \{\rho \le t\} \in \ms F_t\) dan \(\{\tau \le t\} \in \ms F_t \). Karena itu \(A \cap \{\tau \le t\} = A \cap \{\rho \le t\} \cap \{\tau \le t\} \in \ms F_t\), Jadi \(A \in \ms F_\tau\).

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), serta \(\rho\) dan \(\tau\) adalah waktu henti untuk \( \mf F \). Maka setiap kejadian berikut termasuk dalam \(\ms F_\tau\) dan \(\ms F_\rho\).

\(\{\rho \lt \tau\}\)
\(\{\rho = \tau\}\)
\(\{\rho \gt \tau\}\)
\(\{\rho \le \tau\}\)
\(\{\rho \ge \tau\}\)

Detail:

Buktinya mudah bila \(T = \N\).

Tetapkan \(t \in T\). Kemudian \[\{\rho \lt \tau\} \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \bigcup_{k=0}^{n-1} \{\tau = n, \rho = k\}\] Tapi setiap kejadian dalam gabungan termasuk dalam \(\ms F_t\).
Demikian pula, biarkan \(t \in T\). Kemudian \[ \{\rho = \tau\} \cap \{\tau \le t\} = \bigcup_{n=0}^t \{\rho = n, \tau = n\} \] dan sekali lagi setiap kejadian dalam gabungan termasuk dalam \(\ms F_t\).
Ini mengikuti dari simetri, membalikkan peran \(\rho\) dan \(\tau\) pada bagian (a).
Perhatikan bahwa \(\{\rho \le \tau\} = \{\rho \lt \tau\} \cup \{\rho = \tau\} \in \ms F_\tau\).
Demikian pula, perhatikan bahwa \(\{\rho \ge \tau\} = \{\rho \gt \tau\} \cup \{\rho = \tau\} \in \ms F_\tau\).

Kita dapat menghentikan suatu filtrasi pada waktu henti. Pada subbagian berikutnya, kita akan menghentikan proses stokastik dengan cara yang sama.

Misalkan lagi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada \( (\Omega, \ms F) \), dan \(\tau\) adalah waktu henti untuk \( \mf F \). Untuk \( t \in T \), definisikan \( \ms F^\tau_t = \ms F_{t \wedge \tau} \). Maka \( \mf F^\tau = \{\ms F^\tau_t: t \in T\} \) adalah filtrasi dan lebih kasar daripada \( \mf F \).

Detail:

Waktu acak \( t \wedge \tau \) adalah waktu henti untuk setiap \( t \in T \) dengan hasil di atas, jadi \( \ms F^\tau_t \) adalah sub \( \sigma \)-aljabar dari \( \ms F \). Jika \( t \in T \), maka menurut definisi, \( A \in \ms F^\tau_t \) jika dan hanya jika \( A \cap \{t \wedge \tau \le r\} \in \ms F_r \) untuk setiap \( r \in T \). Tapi untuk \( r \in T \), \( \{t \wedge \tau \le r\} = \Omega \) jika \( r \ge t \) dan \( \{t \wedge \tau \le r\} = \{\tau \le r\} \) jika \( r \lt t \). Karena itu \( A \in \ms F^\tau_t \) jika dan hanya jika \( A \cap \{\tau \le r\} \in \ms F_r \) untuk \( r \lt t \) dan \( A \in \ms F_t \). Jadi khususnya, \( \mf F^\tau \) lebih kasar daripada \( \mf F \). Selanjutnya, misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), dan \( A \in \ms F^\tau_s \). Tetapkan \( r \in T \). Jika \( r \lt s \), maka \( A \cap \{\tau \le r\} \in \ms F_r \). Jika \( s \le r \lt t \), maka \( A \in \ms F_s \subseteq \ms F_r \) dan \( \{\tau \le r\} \in \ms F_r \) jadi lagi \( A \cap \{\tau \le r\} \in \ms F_r \). Akhirnya jika \( r \ge t \), maka \( A \in \ms F_s \subseteq \ms F_t \). Karena itu \( A \in \ms F^\tau_t \).

Proses Stokastik

Seperti biasa, kerangka yang paling umum adalah proses stokastik \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) yang didefinisikan pada ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \). Jika \( \tau \) adalah waktu acak, kita sering tertarik pada keadaan \( X_\tau \) pada waktu acak tersebut. Namun, ada dua masalah. Pertama, \( \tau \) dapat bernilai tak hingga, sehingga \( X_\tau \) tidak terdefinisi. Solusi yang lazim adalah memperkenalkan keadaan kematian baru \( \delta \), lalu menetapkan \( X_\infty = \delta \). \( \sigma \)-aljabar \( \ms S \) pada \( S \) diperluas ke \( S_\delta = S \cup \{\delta\} \) secara alami, yaitu \( \ms S_\delta = \ms S \cup \{A \cup \{\delta\}: A \in \ms S\} \).

Masalah kedua adalah bahwa kita secara alami mengharapkan \( X_\tau \) menjadi peubah acak, yakni terukur, sebagaimana \( X_t \) merupakan peubah acak untuk waktu deterministik \( t \in T \). Selain itu, jika \( \bs X \) teradaptasi terhadap filtrasi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \), kita juga mengharapkan \( X_\tau \) terukur terhadap \( \ms F_\tau \), sebagaimana \( X_t \) terukur terhadap \( \ms F_t \) untuk waktu deterministik \( t \in T \). Namun, hal ini tidak langsung terlihat dan bahkan tidak benar tanpa asumsi tambahan. Perhatikan bahwa \( X_\tau \) adalah keadaan acak pada waktu acak, sehingga bergantung pada hasil \( \omega \in \Omega \) melalui dua cara: \(X_{\tau(\omega)}(\omega)\).

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik pada ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), dan \( \bs X \) terukur. Jika \( \tau \) adalah waktu acak berhingga, maka \( X_\tau \) terukur. Artinya, \( X_\tau \) adalah peubah acak yang bernilai dalam \( S \).

Detail:

Perhatikan bahwa \( X_\tau: \Omega \to S \) adalah komposisi fungsi \( \omega \mapsto (\omega, \tau(\omega)) \) dari \( \Omega \) ke \( \Omega \times T\) dengan fungsi \((\omega, t) \mapsto X_t(\omega) \) dari \( \Omega \times T \) ke \( S \). Fungsi pertama terukur karena kedua fungsi koordinatnya terukur. Fungsi kedua terukur berdasarkan asumsi.

Hasil ini merupakan salah satu alasan utama diperkenalkannya definisi proses terukur. Terkadang kita benar-benar ingin menghentikan proses stokastik pada waktu acak \( \tau \). Seperti yang mungkin Anda duga, inilah asal-usul istilah waktu henti.

Misalkan lagi \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik pada ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), dan \( \bs X \) terukur. Jika \( \tau \) adalah waktu acak, proses \( \bs X^\tau = \{X^\tau_t: t \in T\} \) yang didefinisikan oleh \( X^\tau_t = X_{t \wedge \tau} \) untuk \( t \in T \) disebut proses \( \bs X \) yang dihentikan pada \( \tau \).

Detail:

Untuk setiap \( t \in T \), perhatikan bahwa \( t \wedge \tau \) adalah waktu acak berhingga, sehingga \( X_{t \wedge \tau} \) terukur menurut hasil sebelumnya. Dengan demikian, \( \bs X^\tau \) adalah proses stokastik yang terdefinisi dengan baik pada \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \).

Ketika proses awal terukur progresif, maka proses yang terhenti pun demikian.

Misalkan lagi \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik pada ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), dan \( \bs X \) terukur progresif terhadap filtrasi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \). Jika \( \tau \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \), maka proses terhenti \( \bs X^\tau = \{X^\tau_t: t \in T\} \) terukur progresif terhadap filtrasi yang dihentikan \( \mf F^\tau \).

Karena \( \mf F \) lebih halus daripada \( \mf F^\tau \), proses \( \bs X^\tau \) juga terukur progresif terhadap \( \mf F \).

Misalkan lagi \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik pada ruang sampel \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \), dan \( \bs X \) terukur progresif terhadap filtrasi \( \mf F = \{\ms F_t: t \in T\} \) pada \( (\Omega, \ms F) \). Jika \( \tau \) adalah waktu henti berhingga relatif terhadap \( \mf F \), maka \( X_\tau \) terukur terhadap \( \ms F_\tau \).

Bagi banyak proses stokastik, waktu pertama kali proses memasuki atau mencapai suatu himpunan keadaan sangat penting. Dalam pembahasan berikut, tetapkan \( T_+ = \{t \in T: t \gt 0\} \), yaitu himpunan waktu positif.

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) adalah proses stokastik pada \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \). Untuk \( A \in \ms S \), definisikan

\( \rho_A = \inf\{t \in T: X_t \in A\} \), waktu masuk pertama ke \( A \).
\( \tau_A = \inf\{t \in T_+: X_t \in A\} \), waktu pencapaian pertama ke \( A \).

Seperti biasanya, \( \inf(\emptyset) = \infty \), sehingga \(\rho_A = \infty\) jika \(X_t \notin A\) untuk semua \(t \in T\), sehingga proses tidak pernah masuk \(A\), dan \( \tau_A = \infty \) jika \( X_t \notin A \) untuk semua \( t \in T_+ \), sehingga proses tidak pernah mencapai \( A \). Dalam waktu diskrit, mudah untuk melihat bahwa ini adalah waktu henti.

Misalkan \( \{X_n: n \in \N\} \) adalah proses stokastik pada \( (\Omega, \ms F) \) dengan ruang keadaan \( (S, \ms S) \). Jika \( A \in \ms S \), maka \(\tau_A\) dan \( \rho_A \) adalah waktu henti relatif terhadap filtrasi alami \( \mf F^0 \).

Detail:

Tetapkan \( n \in \N \). Perhatikan bahwa \(\{\rho_A \gt n\} = \{X_0 \notin A, X_1 \notin A, \ldots, X_n \notin A\} \in \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\}\). Demikian pula, \( \{\tau_A \gt n\} = \{X_1 \notin A, X_2 \notin A \ldots, X_n \notin A \} \subseteq \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\}\).

Jadi, dalam waktu diskrit, \( \tau_A \) dan \( \rho_A \) merupakan waktu henti relatif terhadap setiap filtrasi \( \mf F \) yang mengadaptasi \( \bs X \). Mungkin tampak bahwa \(\tau_A\) dan \( \rho_A \) seharusnya selalu menjadi waktu henti, sebab \(\tau_A \le t\) jika dan hanya jika \(X_s \in A\) untuk suatu \( s \in T_+ \) dengan \(s \le t\), sedangkan \( \rho_A \le t \) jika dan hanya jika \( X_s \in A \) untuk suatu \( s \in T \) dengan \( s \le t \). Kejadian-kejadian ini tampaknya dapat ditentukan dengan mengamati proses hingga waktu \(t\). Masalahnya, ketika \(T = [0, \infty)\), kejadian-kejadian tersebut merupakan gabungan tak terhitung. Karena itu, diperlukan asumsi tambahan pada proses stokastik \( \bs X \), pada filtrasi \( \mf F \), atau pada keduanya.

Misalkan \( S \) memiliki topologi LCCB, dan \( \ms S \) adalah \( \sigma \)-aljabar himpunan Borel. Misalkan juga demikian \( \bs X = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah kontinu kanan dan mempunyai batas kiri. Maka \( \tau_A \) dan \( \rho_A \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F^0_+ \) untuk setiap himpunan terbuka \( A \in \ms S \).

Hasil berikut memerlukan asumsi yang lebih lemah pada proses stokastik \( \bs X \), tetapi asumsi yang lebih kuat pada filtrasi \( \mf F \).

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah proses stokastik pada \( (\Omega, \ms F) \) yang terukur progresif terhadap filtrasi yang lengkap dan kontinu kanan \( \mf F = \{\ms F_t: t \in [0, \infty)\} \). Jika \( A \in \ms S \), maka \( \rho_A \) dan \( \tau_A \) adalah waktu henti relatif terhadap \( \mf F \).