Teori Dasar
Gerak Brown geometrik, serta proses stokastik lain yang dikonstruksi darinya, sering digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi dan proses keuangan (seperti harga saham dari waktu ke waktu) yang dipengaruhi derau
acak.
Definisi
Misalkan \( \bs{Z} = \{Z_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah gerak Brown standar dan \( \mu \in \R \) serta \( \sigma \in (0, \infty) \). Definisikan \[ X_t = \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma Z_t\right], \quad t \in [0, \infty) \] Proses stokastik \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) disebut gerak Brown geometrik dengan parameter hanyutan \( \mu \) dan parameter volatilitas \( \sigma \).
Laboratorium luring: lintasan dan distribusi gerak Brown geometrik
Status dan lisensi. Laboratorium deterministik ini merupakan karya asli edisi, berfungsi tanpa jaringan, dan dilisensikan CC BY 4.0. Ia melengkapi—bukan menggantikan—aplikasi resmi daring Random.
Ubah nilai awal \(x_0\), hanyutan \(\mu\), volatilitas \(\sigma\), dan horizon \(T\). Simulator menggunakan solusi eksak pada kisi waktu, lalu membandingkan histogram \(X_T\) dengan kepadatan lognormal teoretis. Benih yang sama selalu menghasilkan keluaran yang sama.
Simulator sedang disiapkan.
| Ringkasan | Teoretis | Empiris |
|---|---|---|
| Rataan | — | — |
| Median | — | — |
| Varians | — | — |
| Peluang \(X_T\gt x_0\) | — | — |
Perhatikan bahwa proses stokastik \[ \left\{\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma Z_t: t \in [0, \infty) \right\} \] adalah gerak Brown dengan parameter hanyutan \( \mu - \sigma^2 / 2 \) dan parameter skala \( \sigma \), sehingga gerak Brown geometrik tidak lain adalah eksponensial dari proses tersebut. Secara khusus, proses ini selalu positif; inilah salah satu alasan gerak Brown geometrik digunakan untuk memodelkan proses keuangan dan proses lain yang tidak dapat bernilai negatif. Perhatikan pula bahwa \( X_0 = 1 \), sehingga proses dimulai dari 1, tetapi kita dapat mengubahnya dengan mudah. Untuk \( x_0 \in (0, \infty) \), proses \(\{x_0 X_t: t \in [0, \infty)\}\) adalah gerak Brown geometrik yang dimulai dari \( x_0 \). Anda mungkin bertanya-tanya tentang kombinasi parameter khusus \( \mu - \sigma^2 / 2 \) dalam definisi tersebut. Jawaban singkatnya diberikan oleh teorema berikut:
Gerak Brown geometrik \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) memenuhi persamaan diferensial stokastik \[ d X_t = \mu X_t \, dt + \sigma X_t \, dZ_t \]
Perhatikan bahwa bagian deterministik dari persamaan ini merupakan persamaan diferensial standar untuk pertumbuhan atau peluruhan eksponensial dengan parameter laju \( \mu \).
Jalankan simulasi aplikasi resmi daring gerak Brown geometrik beberapa kali dalam modus satu langkah untuk berbagai nilai parameter. Amati perilaku prosesnya.
Distribusi
Untuk \( t \in (0, \infty) \), \( X_t \) mempunyai distribusi lognormal dengan parameter \( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t \) dan \( \sigma \sqrt{t} \). Fungsi kepadatan probabilitas \( f_t \) diberikan oleh \[ f_t(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t} \sigma x} \exp \left(-\frac{\left[\ln(x) - \left(\mu - \sigma^2 / 2\right)t \right]^2}{2 \sigma^2 t} \right), \quad x \in (0, \infty) \]
- \( f_t \) meningkat lalu menurun, dengan modus pada \( x = \exp\left[\left(\mu - \frac{3}{2} \sigma^2\right)t\right]\)
- \( f_t \) mula-mula cekung ke atas, lalu ke bawah, kemudian ke atas lagi, dengan titik-titik belok pada \( x = \exp\left[(\mu - 2\sigma^2) t \pm \frac{1}{2} \sigma \sqrt{\sigma^2 t^2 + 4 t}\right] \)
Rincian:
Karena peubah \(U_t = \left(\mu - \sigma^2 / 2\right) t + \sigma Z_t\) mempunyai distribusi normal dengan rataan \( (\mu - \sigma^2/2)t \) dan simpangan baku \( \sigma \sqrt{t} \), maka \( X_t = \exp(U_t) \) mempunyai distribusi lognormal dengan parameter-parameter tersebut. Hasil-hasil mengenai fungsi kepadatan probabilitas ini kemudian langsung mengikuti hasil-hasil yang bersesuaian untuk fungsi kepadatan lognormal.
Secara khusus, gerak Brown geometrik bukanlah proses Gauss.
Buka simulasi aplikasi resmi daring gerak Brown geometrik. Ubah-ubah parameternya dan amati bentuk fungsi kepadatan probabilitas dari \( X_t \). Untuk berbagai nilai parameter, jalankan simulasi 1.000 kali dan bandingkan fungsi kepadatan empiris dengan fungsi kepadatan probabilitas yang sebenarnya.
Untuk \( t \in (0, \infty) \), fungsi distribusi \( F_t \) dari \( X_t \) diberikan oleh \[ F_t(x) = \Phi\left[\frac{\ln(x) - (\mu - \sigma^2/2)t}{\sigma \sqrt{t}}\right], \quad x \in (0, \infty) \] dengan \( \Phi \) adalah fungsi distribusi normal standar; untuk \(x \le 0\), \(F_t(x)=0\).
Rincian:
Sekali lagi, hasil ini langsung mengikuti fungsi distribusi lognormal.
Untuk \( t \in (0, \infty) \), fungsi kuantil \( F_t^{-1} \) dari \( X_t \) diberikan oleh \[ F_t^{-1}(p) = \exp\left[(\mu - \sigma^2 / 2)t + \sigma \sqrt{t} \Phi^{-1}(p)\right], \quad p \in (0, 1) \] dengan \( \Phi^{-1} \) adalah fungsi kuantil normal standar.
Rincian:
Hasil ini langsung mengikuti fungsi kuantil lognormal.
Momen
Untuk \( n \in \N \) dan \( t \in [0, \infty) \), \[ \E\left(X_t^n\right) = \exp\left\{\left[n \mu + \frac{\sigma^2}{2}(n^2 - n)\right] t\right\} \]
Rincian:
Hasil ini mengikuti rumus momen-momen distribusi lognormal.
Untuk orde momen positif \(n\in\N_+\), suku dominan di dalam tanda kurung siku pada eksponen adalah \( \sigma^2 n^2 / 2 \). Jika \( n \gt 1 - 2 \mu / \sigma^2 \), maka \( n \mu + \frac{\sigma^2}{2}(n^2 - n) \gt 0 \), sehingga \( \E(X_t^n) \to \infty \) ketika \( t \to \infty \). Pembatasan \(n\gt0\) diperlukan karena momen orde nol selalu bernilai 1. Rataan dan varians mudah diperoleh dari hasil momen umum tersebut.
Untuk \( t \in [0, \infty) \),
- \( \E(X_t) = e^{\mu t} \)
- \( \var(X_t) = e^{2 \mu t} \left(e^{\sigma^2 t} - 1\right) \)
Secara khusus, perhatikan bahwa fungsi rataan \( m(t) = \E(X_t) = e^{\mu t} \) untuk \( t \in [0, \infty) \) memenuhi bagian deterministik dari persamaan diferensial dalam .
Perilaku asimtotik:
- Jika \( \mu \gt 0 \), maka \( m(t) \to \infty \) ketika \( t \to \infty \).
- Jika \( \mu = 0 \), maka \( m(t) = 1 \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \).
- Jika \( \mu \lt 0 \), maka \( m(t) \to 0 \) ketika \( t \to \infty \).
Buka simulasi aplikasi resmi daring gerak Brown geometrik. Grafik fungsi rataan \( m \) ditampilkan sebagai kurva biru pada kotak grafik utama. Untuk berbagai nilai parameter, jalankan simulasi 1.000 kali dan amati perilaku proses acak tersebut terhadap fungsi rataan.
Buka simulasi aplikasi resmi daring gerak Brown geometrik. Ubah-ubah parameternya dan amati ukuran serta letak batang rataan \( \pm \) simpangan baku untuk \( X_t \). Untuk berbagai nilai parameter, jalankan simulasi 1.000 kali dan bandingkan rataan serta simpangan baku empiris dengan rataan serta simpangan baku yang sebenarnya.
Sifat
Parameter \( \mu - \sigma^2 / 2 \) menentukan perilaku asimtotik gerak Brown geometrik.
Perilaku asimtotik:
- Jika \( \mu \gt \sigma^2 / 2 \), maka \( X_t \to \infty \) ketika \( t \to \infty \) dengan probabilitas 1.
- Jika \( \mu \lt \sigma^2 / 2 \), maka \( X_t \to 0 \) ketika \( t \to \infty \) dengan probabilitas 1.
- Jika \( \mu = \sigma^2 / 2 \), maka \( X_t \) tidak mempunyai limit ketika \( t \to \infty \) dengan probabilitas 1.
Rincian:
Jika \(\mu\ne\sigma^2/2\), hasilnya mengikuti fakta bahwa \(\log(X_t)/t=\mu-\sigma^2/2+\sigma Z_t/t\to\mu-\sigma^2/2\) hampir pasti. Pada kasus batas \(\mu=\sigma^2/2\), hukum logaritma berulang memberi \(\limsup_{t\to\infty}Z_t=\infty\) dan \(\liminf_{t\to\infty}Z_t=-\infty\) hampir pasti; jadi \(\limsup_{t\to\infty}X_t=\infty\), \(\liminf_{t\to\infty}X_t=0\), dan \(X_t\) tidak mempunyai limit.
Menarik untuk membandingkan dengan , yang hanya bergantung pada parameter \( \mu \). Ketika parameter hanyutan bernilai 0, gerak Brown geometrik merupakan martingal.
Jika \( \mu = 0 \), gerak Brown geometrik \( \bs{X} \) merupakan martingal terhadap gerak Brown yang mendasarinya, \( \bs{Z} \).
Rincian:
Bukti melalui integral stokastik: Ini merupakan bukti paling sederhana. Ketika \( \mu = 0 \), \( \bs{X} \) memenuhi persamaan diferensial stokastik \( d X_t = \sigma X_t \, dZ_t \), sehingga \[ X_t = 1 + \sigma \int_0^t X_s \, dZ_s, \quad t \ge 0 \] Selain itu, \(\E(X_s^2)=e^{\sigma^2s}\), sehingga untuk setiap \(t\lt\infty\), \[\E\!\left(\int_0^t \sigma^2X_s^2\,ds\right)=\sigma^2\int_0^t e^{\sigma^2s}\,ds\lt\infty.\] Karena integrannya teradaptasi dan terintegralkan kuadrat pada setiap horizon hingga, integral stokastik tersebut merupakan martingal kuadrat-terintegralkan.
Bukti langsung: Misalkan \( \mathscr{F}_t = \sigma\{Z_s: 0 \le s \le t\} \) untuk \( t \in [0, \infty) \), sehingga \( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \) merupakan filtrasi alami yang berkaitan dengan \( \bs{Z} \). Misalkan \( s, \, t \in [0, \infty) \) dengan \( s \le t \). Kita menggunakan trik lazim dengan menuliskan \( Z_t = Z_s + (Z_t - Z_s) \) untuk memanfaatkan sifat inkremen stasioner dan independen dari gerak Brown. Dengan demikian, \[ X_t = \exp\left[-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma Z_s + \sigma (Z_t - Z_s)\right] \] Karena \( Z_s \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_s \) dan \( Z_t - Z_s \) saling bebas dengan \( \mathscr{F}_s \), kita memperoleh \[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = \exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} t + \sigma Z_s\right) \E\left\{\exp\left[\sigma(Z_t - Z_s)\right]\right\} \] Namun, \( Z_t - Z_s \) mempunyai distribusi normal dengan rataan 0 dan varians \( t - s \), sehingga dari rumus fungsi pembangkit momen distribusi normal diperoleh \[ \E\left\{\exp\left[\sigma(Z_t - Z_s)\right]\right\} = \exp\left[\frac{\sigma^2}{2}(t - s)\right] \] Dengan menyubstitusikannya, diperoleh \[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = \exp\left(-\frac{\sigma^2}{2} s + \sigma Z_s\right) = X_s \]