Nilai harapan bersyarat, filtrasi, dan penghentian opsional

Codex (materi asli, atas arahan pengguna)

Asal konsep, hak, dan batasan. Laboratorium ini adalah tulisan baru dalam bahasa Indonesia yang menggunakan definisi dan istilah pada halaman resmi Random karya Kyle Siegrist: nilai harapan bersyarat, filtrasi dan waktu henti, sifat martingal, dan penghentian opsional. Empat berkas saksi dibekukan di authority/random dengan SHA-256 yang dicatat pada paket edisi. Tidak ada byte HTML sumber yang disalin ke dalam Rmd ini. Sumber resmi mempertahankan dua saksi lisensi yang berbeda (CC BY 2.0 pada index.html dan CC BY 1.0 pada Credits.html); saksi itu tidak digabungkan atau diganti. Teks, kode, tabel, dan diagnostik asli pada berkas ini dilepas dengan CC BY 4.0. Atribusi sumber, lisensi per komponen, pengungkapan model, dan pernyataan non-endorsement ini harus tetap bersama setiap salinan. Materi asli ini dihasilkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra., atas arahan pengguna. Edisi independen ini tidak didukung atau disahkan oleh Kyle Siegrist, Random, ataupun penulis sumber.

Tujuan dan model hingga

Kita memakai ruang peluang hingga untuk membuat tiga operasi dapat diperiksa tanpa simulasi yang menyamarkan galat numerik. Ambil tiga inkremen koin adil

\[ \Omega_3=\{-1,+1\}^3, \qquad \mathbb P(\omega)=2^{-3}, \qquad S_t=\xi_1+\cdots+\xi_t, \]

dengan \(S_0=0\) dan filtrasi alami \(\mathcal F_t=\sigma(\xi_1,\ldots,\xi_t)\). Kita tetapkan \(X=S_3^2\) dan \(M_t=\mathbb E[X\mid\mathcal F_t]\). Karena \(M_t\) adalah nilai harapan bersyarat dari satu peubah terminal, sifat menara memberi \(\mathbb E[M_{t+1}\mid\mathcal F_t]=M_t\); jadi \((M_t)\) adalah martingal.

Kode pertama mengenumerasi semua delapan lintasan, menghitung \(M_t\) secara langsung per atom filtrasi, lalu memeriksa identitas menara dan martingal. set.seed dicatat agar jejak pelaksanaan (termasuk urutan audit) dapat direproduksi; nilai utama di bawah ini berasal dari enumerasi lengkap, bukan dari perkiraan Monte Carlo.

Audit nilai harapan bersyarat

Untuk model di atas, jalankan kode dan lakukan hal berikut.

  1. Jelaskan mengapa \(M_0=3\), \(M_1=3\) pada kedua atom waktu satu, dan \(M_2=S_2^2+1\).
  2. Periksa bahwa galat maksimum identitas menara dan galat maksimum martingal berada di bawah toleransi numerik yang dicetak.
  3. Bandingkan penghentian berbatas \(\tau_b=\inf\{t:S_t\in\{-2,2\}\}\wedge6\) dengan waktu henti \(\tau_+=\inf\{t:S_t=1\}\). Jelaskan mengapa hasil pada kolom laju_kena_batas, rerata_S_tau_plus_terpotong, dan rerata_S_hanya_yang_kena bukan pelanggaran teorema penghentian opsional.
set.seed(20260829)
seed = 20260829L
tolerance = 1e-12

# Semua atom Omega_3; pengacakan hanya untuk jejak urutan audit.
paths3 = expand.grid(x1=c(-1L, 1L), x2=c(-1L, 1L), x3=c(-1L, 1L))
paths3 = paths3[sample.int(nrow(paths3)), , drop=FALSE]
paths3$S1 = paths3$x1
paths3$S2 = paths3$x1 + paths3$x2
paths3$S3 = paths3$x1 + paths3$x2 + paths3$x3
paths3$X = paths3$S3^2

# Nilai harapan bersyarat sebagai rata-rata pada atom filtrasi yang sama.
atom_F1 = interaction(paths3$x1, drop=TRUE)
atom_F2 = interaction(paths3$x1, paths3$x2, drop=TRUE)
paths3$M0 = mean(paths3$X)
paths3$M1 = ave(paths3$X, atom_F1, FUN=mean)
paths3$M2 = ave(paths3$X, atom_F2, FUN=mean)
paths3$M3 = paths3$X
tower_0 = abs(mean(paths3$M1) - paths3$M0)
tower_1 = max(abs(ave(paths3$M2, atom_F1, FUN=mean) - paths3$M1))
tower_2 = max(abs(ave(paths3$M3, atom_F2, FUN=mean) - paths3$M2))
tower_error = max(tower_0, tower_1, tower_2)
martingale_error = tower_error
conditional_error = max(
  abs(paths3$M0 - 3),
  abs(paths3$M1 - 3),
  abs(paths3$M2 - (paths3$S2^2 + 1)),
  abs(paths3$M3 - paths3$X)
)

# Nilai M_tau untuk waktu henti berbatas; tau_b <= 6 pada setiap atom.
stop_value = function(increments, boundary, cap) {
  s = 0L
  for (n in seq_len(cap)) {
    s = s + increments[n]
    if (s %in% boundary) {
      return(c(tau=as.numeric(n), value=as.numeric(s), hit=1))
    }
  }
  c(tau=as.numeric(cap), value=as.numeric(s), hit=0)
}

paths6 = expand.grid(
  x1=c(-1L, 1L), x2=c(-1L, 1L), x3=c(-1L, 1L),
  x4=c(-1L, 1L), x5=c(-1L, 1L), x6=c(-1L, 1L)
)
bounded = t(apply(paths6[, c("x1", "x2", "x3", "x4", "x5", "x6")], 1,
                  stop_value, boundary=c(-2L, 2L), cap=6L))
bounded_mean = mean(bounded[, "value"])

# Waktu henti tak berbatas tau_+; enumerasi hingga cap=12 menunjukkan
# E[S_{tau_+ wedge 12}]=0, sedangkan nilai pada lintasan yang sudah kena
# batas selalu 1. Hit rate eksak pada cap ini adalah 3172/4096.
# Bangun Omega_12 secara eksplisit; 2^12=4096 masih kecil dan dapat
# dienumerasi secara eksak.
paths12 = expand.grid(
  x1=c(-1L, 1L), x2=c(-1L, 1L), x3=c(-1L, 1L), x4=c(-1L, 1L),
  x5=c(-1L, 1L), x6=c(-1L, 1L), x7=c(-1L, 1L), x8=c(-1L, 1L),
  x9=c(-1L, 1L), x10=c(-1L, 1L), x11=c(-1L, 1L), x12=c(-1L, 1L)
)
failure = t(apply(paths12, 1, stop_value, boundary=1L, cap=12L))
failure_hit_rate = mean(failure[, "hit"] == 1)
failure_capped_mean = mean(failure[, "value"])
failure_hit_only_mean = mean(failure[failure[, "hit"] == 1, "value"])
failure_target_hit_rate = 3172 / 4096
failure_naive_gap = failure_hit_only_mean - 0

status = ifelse(
  max(conditional_error, tower_error, martingale_error,
      abs(bounded_mean), abs(failure_capped_mean),
      abs(failure_hit_only_mean - 1),
      abs(failure_hit_rate - failure_target_hit_rate)) <= tolerance,
  "PASS", "FAIL"
)
hasil = data.frame(
  seed=seed,
  ruang_hingga="Omega_3 dan Omega_12",
  E_X=sprintf("%.12f", paths3$M0[1]),
  galat_bersyarat=sprintf("%.12f", conditional_error),
  galat_menara=sprintf("%.12f", tower_error),
  galat_martingal=sprintf("%.12f", martingale_error),
  rerata_S_tau_b=sprintf("%.12f", bounded_mean),
  target_E_S_tau_b=sprintf("%.12f", 0),
  cap_tau_plus=12L,
  laju_kena_batas=sprintf("%.12f", failure_hit_rate),
  target_laju=sprintf("%.12f", failure_target_hit_rate),
  rerata_S_tau_plus_terpotong=sprintf("%.12f", failure_capped_mean),
  target_E_S_tau_plus_terpotong=sprintf("%.12f", 0),
  rerata_S_hanya_yang_kena=sprintf("%.12f", failure_hit_only_mean),
  target_S_tau_plus=sprintf("%.12f", 1),
  celah_naif=sprintf("%.12f", failure_naive_gap),
  toleransi=sprintf("%.12e", tolerance),
  status=status,
  stringsAsFactors=FALSE
)
write.csv(hasil, file="", row.names=FALSE, quote=FALSE)
benih ruang hingga E[X] galat bersyarat galat menara galat martingal rerata S_tau_b target E[S_tau_b] cap tau_+ laju kena batas target laju rerata S_(tau_+ terpotong) target E[S_(tau_+ terpotong)] rerata S hanya yang kena target S_tau_+ celah naif toleransi status
20260829 Omega_3 dan Omega_12 3.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 0.000000000000 12 0.774414062500 0.774414062500 0.000000000000 0.000000000000 1.000000000000 1.000000000000 1.000000000000 1.000000000000e-12 PASS

Untuk enumerasi hingga \(12\), kode menghasilkan \[ \mathbb P(\tau_+\le12)=\frac{3172}{4096}=0{,}774414062500, \qquad \mathbb E[S_{\tau_+\wedge12}]=0, \qquad \mathbb E[S_{\tau_+}\mid\tau_+\le12]=1. \] Baris celah_naif=1 sengaja menampilkan kesalahan umum: merata-ratakan hanya lintasan yang sudah mengenai batas lalu menyebutnya sebagai \(\mathbb E[S_{\tau_+\wedge12}]\). Penyebut yang benar mencakup lintasan yang belum berhenti; lintasan tersensor itu memberi kontribusi negatif yang meniadakan kontribusi lintasan yang telah mencapai \(+1\).

Mengapa hipotesis penghentian opsional diperlukan

Untuk \(\tau_b\), waktu henti dibatasi oleh enam sehingga teorema penghentian opsional memberi \(\mathbb E[S_{\tau_b}]=\mathbb E[S_0]=0\), dan enumerasi mengonfirmasi hal itu. Pada kasus kedua, \(\tau_+\) berhingga hampir pasti tetapi tidak memiliki nilai harapan hingga; bahkan \(S_{\tau_+}=1\) hampir pasti. Identitas untuk setiap pemotongan, \(\mathbb E[S_{\tau_+\wedge N}]=0\), tidak boleh dilewatkan ke limit tanpa keterintegralan seragam atau hipotesis pengganti. Jadi diagnostik ini menunjukkan tepat hipotesis yang hilang; ia tidak mengklaim bahwa enumerasi hingga 12 membuktikan pernyataan asimtotik.

Petunjuk 1. Pada \(\mathcal F_2\), nilai \(S_2\) menentukan semua informasi yang diperlukan untuk merata-ratakan satu inkremen terakhir: \(\mathbb E[(S_2+\xi_3)^2\mid\mathcal F_2]=S_2^2+1\).

Petunjuk 2. Untuk membuktikan identitas menara secara komputasional, kelompokkan M2 menurut atom F1, lalu bandingkan rata-ratanya dengan M1 pada setiap atom; jangan membandingkan hanya nilai harapan tak bersyarat.

Petunjuk 3. Pada kasus gagal, hit=0 berarti nilai akhir pada cap harus tetap dimasukkan ke rata-rata. Nilai \(1\) yang muncul pada semua lintasan hit=1 adalah \(S_{\tau_+}\), bukan rata-rata peubah yang terpotong.

Jawaban ringkas. \(M_0=\mathbb E[S_3^2]=3\), \(M_1=3\), dan \(M_2=S_2^2+1\). Semua galat identitas pada enumerasi berada di bawah \(10^{-12}\), serta \(\mathbb E[S_{\tau_b}]=0\). Untuk \(\tau_+\), laju kena batas hingga cap adalah \(3172/4096\), rata-rata terpotong tetap nol, dan rata-rata bersyarat pada lintasan yang kena batas adalah satu. Perbedaan itu adalah diagnostik penyensoran; aplikasi naif pada limit tak hingga tidak sah karena tidak ada kendali keterintegralan seragam.

Penyelesaian lengkap. Karena \(S_3=S_2+\xi_3\), dengan \(\mathbb E\xi_3=0\) dan \(\mathbb E\xi_3^2=1\), diperoleh \[ M_2=\mathbb E[(S_2+\xi_3)^2\mid\mathcal F_2]=S_2^2+1. \] Mengondisikan sekali lagi pada \(\mathcal F_1\) menghasilkan \(M_1=\mathbb E[M_2\mid\mathcal F_1]=3\), dan akhirnya \(M_0=\mathbb E[M_1]=3\). Enumerasi kode menghitung rata-rata pada setiap atom, sehingga ketiga galat menara dan galat martingal hanya berasal dari pembulatan titik-mengambang dan tercetak nol pada presisi yang diminta.

Untuk \(\tau_b\), semua jalur berhenti paling lambat pada waktu enam. Simetri yang menukar semua tanda membuat distribusi \(S_{\tau_b}\) simetris, sehingga nilai harapannya nol; ini adalah penggunaan sah penghentian opsional untuk waktu henti berbatas.

Untuk \(\tau_+\), enumerasi \(2^{12}\) jalur memberi 3.172 jalur yang telah mencapai \(+1\) dan 924 jalur yang belum. Pada jalur pertama, \(S_{\tau_+\wedge12}=1\); pada jalur kedua, nilai terminal genap yang negatif atau nol menyeimbangkannya, sehingga rata-rata keseluruhan tepat nol. Ketika cap dilepas, gerak acak simetris mencapai \(+1\) hampir pasti, tetapi \(\mathbb E\tau_+=\infty\) dan keluarga \((S_{\tau_+\wedge N})_{N\ge1}\) tidak terintegralkan seragam. Karena itu, langkah \(N\to\infty\) di dalam nilai harapan tidak dibenarkan. Inilah hipotesis yang harus diaudit pada jembatan audit hipotesis, bukan kontradiksi terhadap versi berbatas pada halaman sumber.