Mode konvergensi dan pembanding LLN/CLT

Asal dan lisensi. Laboratorium ini adalah materi asli edisi ini (CC BY 4.0). Ia memakai teori konvergensi dari unit Random yang sudah diterjemahkan, sedangkan backend menautkan LLN/CLT O006/C140 sebagai prasyarat bersama; tidak ada byte donor O006 yang disalin. Kode memakai R dasar, luring, dan tidak mengklaim dukungan dari penulis sumber mana pun. Provenans produksi: OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra.

Tujuan

Laboratorium ini membandingkan empat mode konvergensi—hampir pasti, dalam peluang, dalam distribusi, dan dalam \(L^1\)—dengan eksperimen yang ukurannya dapat diaudit. Untuk \(U\) yang seragam pada \((0,1)\), contoh lonjakan langka \(Y_n=n\mathbf 1_{\{U\le1/n\}}\) konvergen hampir pasti, dalam peluang, dan dalam distribusi ke nol, tetapi tidak dalam \(L^1\): peluang kejadian tak nol menuju nol, sedangkan \(\mathbb E|Y_n|=1\) untuk setiap \(n\). Contoh indikator \(X_n=\mathbf 1_{\{U\le1/n\}}\) juga konvergen hampir pasti dan dalam \(L^1\). Baris terakhir membandingkan intuisi itu dengan LLN dan CLT O006: rata-rata Bernoulli berparameter \(p=0{,}3\) mendekati \(p\), sedangkan statistik terstandar memakai simpangan baku \(\sqrt{p(1-p)}\) pada skala satu pengamatan, atau \(\sqrt{p(1-p)/n}\) pada skala rata-rata sampel.

Eksperimen dan pembanding O006

Benih dan urutan keluaran dibekukan. Baris pertama memakai \(U_0=0{,}37\) untuk satu lintasan; baris kedua dan ketiga memakai 10^6 realisasi independen.

set.seed(20260829)
n = 1000L
u0 = 0.37
x_indicator = as.numeric(u0 <= 1 / n)
indicator_probability_target = 1 / n

u = runif(1000000L)
rare = n * (u <= 1 / n)
rare_probability = mean(rare != 0)
rare_l1 = mean(abs(rare))

set.seed(20260830)
sample_n = 10000L
p = 0.3
bernoulli = rbinom(sample_n, size=1L, prob=p)
lln_mean = mean(bernoulli)
lln_target = p
clt_z = sqrt(sample_n) * (lln_mean - p) / sqrt(p * (1 - p))

hasil = data.frame(
  kasus = c(1, 2, 3, 4, 5),
  n = c(n, n, n, sample_n, sample_n),
  benih = c(20260829, 20260829, 20260829, 20260830, 20260830),
  nilai = c(x_indicator, rare_probability, rare_l1, lln_mean, clt_z),
  target = c(0, indicator_probability_target, 0, lln_target, 0),
  galat_mutlak = c(abs(x_indicator), abs(rare_probability - indicator_probability_target),
                   abs(rare_l1), abs(lln_mean - lln_target), abs(clt_z)),
  skala_teori = c(indicator_probability_target, indicator_probability_target, 1,
                  sqrt(p * (1 - p) / sample_n), 1),
  stringsAsFactors = FALSE,
  check.names = FALSE
)
hasil$nilai = sprintf("%.12f", hasil$nilai)
hasil$target = sprintf("%.12f", hasil$target)
hasil$galat_mutlak = sprintf("%.12f", hasil$galat_mutlak)
hasil$skala_teori = sprintf("%.12f", hasil$skala_teori)
write.csv(hasil, file="", row.names=FALSE, quote=FALSE)

Baris 1 hanya memperlihatkan satu lintasan indikator. Baris 2 memperkirakan \(\mathbb P(Y_n\ne0)=1/n\), sedangkan baris 3 memperkirakan \(\mathbb E|Y_n|=1\). Jadi peluang dapat menghilang sementara norma L1 tetap, tanpa kontradiksi. Baris 4 adalah pembanding LLN O006; baris 5 memakai normalisasi CLT. Satu nilai statistik CLT bukan bukti kenormalan, melainkan pemeriksaan skala terhadap pusat asimtotik nol dari \(N(0,1)\); nilai target pada baris 5 adalah pusat itu, bukan target konvergensi statistiknya ke nol. Gerbang numeriknya menetapkan toleransi absolut \(2\times10^{-4}\) untuk peluang lonjakan, \(0{,}08\) untuk momen \(L^1\), \(0{,}01\) untuk rata-rata LLN, dan \(|z|\le3\) untuk pemeriksaan skala CLT.

Tambahan asli: dua besaran yang berbeda