Dua modus konvergensi terpenting dalam teori probabilitas ialah konvergensi dengan probabilitas 1 dan konvergensi dalam rataan. Seperti telah kita catat beberapa kali, tidak satu pun dari kedua modus konvergensi ini mengakibatkan yang lain. Namun, jika kita memberlakukan suatu syarat tambahan pada barisan peubah tersebut, konvergensi dalam probabilitas mengakibatkan konvergensi dalam rataan. Bagian singkat ini bertujuan menyelidiki syarat tambahan yang diperlukan itu. Bagian ini sangat penting bagi teori martingal.
Teori Dasar
Seperti biasa, titik awal kita adalah sebuah percobaan acak yang dimodelkan oleh suatu ruang probabilitas \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \), sehingga \( \Omega \) adalah himpunan hasil, \( \mathscr{F} \) adalah \( \sigma \)-aljabar kejadian, dan \( \P \) adalah ukuran probabilitas pada ruang sampel \( (\Omega, \mathscr F) \). Dalam bagian ini, semua peubah acak yang disebutkan dianggap bernilai real, kecuali dinyatakan lain. Selanjutnya, ingatlah bahwa untuk \( k \in [1, \infty) \), \( \mathscr{L}_k \) adalah ruang vektor peubah acak \( X \) dengan \( \E(|X|^k) \lt \infty \), yang dilengkapi norma \( \|X\|_k = \left[\E(X^k)\right]^{1/k} \). Khususnya, \( X \in \mathscr{L}_1 \) hanya berarti bahwa \( \E(|X|) \lt \infty \), sehingga \( \E(X) \) ada sebagai bilangan real. Terakhir, ingatlah notasi berikut bagi nilai harapan peubah acak \(X\) pada suatu kejadian \(A\), tentu saja dengan anggapan bahwa nilai harapan tersebut bermakna: \[ \E(X; A) = \E(X \bs{1}_A) = \int_A X \, d\P \]
Definisi
Hasil berikut memotivasi definisi utama dalam bagian ini.
Jika \( X \) adalah peubah acak, maka \( \E(|X|) \lt \infty \) jika dan hanya jika \( \E(|X|; |X| \ge x) \to 0 \) ketika \( x \to \infty \).
Rincian:
Perhatikan bahwa \( |X| \bs{1}(|X| \le x) \) taknegatif, naik terhadap \( x \in [0, \infty) \), dan \( |X| \bs{1}(|X| \le x) \to |X| \) ketika \( x \to \infty \). Dari teorema konvergensi monoton, \( \E(|X|; |X| \le x) \to \E(|X|) \) ketika \( x \to \infty \). Di sisi lain, \[ \E(|X|) = \E(|X|; |X| \le x) + \E(|X|; |X| \gt x) \] Jika \( \E(|X|) \lt \infty \), pengambilan limit pada persamaan yang ditampilkan menunjukkan bahwa \( \E(|X|: |X| \gt x) \to 0 \) ketika \( x \to \infty \). Di sisi lain, \( \E(|X|; |X| \le x) \le x \). Jadi, jika \( \E(|X|) = \infty \), maka \( \E(|X|; |X| \gt x) = \infty \) untuk setiap \( x \in [0, \infty) \).
Sekarang, andaikan \( X_i \) adalah peubah acak untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks takkosong \( I \) (yang tidak harus terhitung). Definisi penting dalam bagian ini mensyaratkan agar konvergensi pada teorema sebelumnya berlaku secara seragam untuk koleksi peubah acak \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \).
Koleksi \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) disebut terintegralkan seragam jika untuk setiap \( \epsilon \gt 0 \) terdapat \( x \gt 0 \) sedemikian sehingga untuk semua \( i \in I \), \[ \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \lt \epsilon \] Secara ekuivalen, \( \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \to 0 \) ketika \( x \to \infty \), secara seragam terhadap \( i \in I \).
Sifat
Pembahasan berikut berpusat pada syarat-syarat yang menjamin bahwa koleksi peubah acak \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam. Berikut adalah karakterisasi yang ekuivalen:
Koleksi \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi:
- \( \{\E(|X_i|): i \in I\} \) terbatas.
- Untuk setiap \( \epsilon \gt 0 \), terdapat \( \delta \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta \), maka \( \E(|X_i|; A) \lt \epsilon \) untuk semua \( i \in I \).
Rincian:
Andaikan \( \bs X \) terintegralkan seragam. Dengan \( \epsilon = 1 \), terdapat \( x \gt 0 \) sedemikian sehingga \( \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \lt 1 \) untuk semua \( i \in I \). Oleh karena itu, \[ \E(|X_i|) = \E(|X_i|; |X_i| \le x) + \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \lt x + 1, \quad i \in I \] sehingga (a) berlaku. Untuk (b), ambil \( \epsilon \gt 0 \). Terdapat \( x \gt 0 \) sedemikian sehingga \( \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \lt \epsilon / 2 \) untuk semua \( i \in I \). Ambil \( \delta = \epsilon / 2 x \). Jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta \), maka \[ \E(|X_i|; A) = \E(|X_i|; A \cap \{|X| \le x\}) + \E(|X_i|; A \cap \{|X| \gt x\}) \le x \P(A) + \E(|X_i|; |X| \gt x) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\] Sebaliknya, andaikan (a) dan (b) berlaku. Berdasarkan (a), terdapat \( c \gt 0 \) sedemikian sehingga \( \E(|X_i|) \le c \) untuk semua \( i \in I \). Ambil \( \epsilon \gt 0 \). Berdasarkan (b), terdapat \( \delta \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dengan \( \P(A) \lt \delta \), maka \( \E(|X_i|; A) \lt \epsilon \) untuk semua \( i \in I \). Selanjutnya, berdasarkan ketaksamaan Markov, \[ \P(|X_i| \gt x) \le \frac{\E(|X_i|)}{x} \le \frac{c}{x}, \quad i \in I \] Pilih \( x \gt 0 \) sedemikian sehingga \( c / x \lt \delta \), sehingga \(\P(|X_i| \gt x) \lt \delta\) untuk setiap \( i \in I \). Maka, untuk setiap \( j \in I \), \( \E(|X_i|; |X_j| \gt x) \lt \epsilon \) untuk semua \( i \in I \), dan khususnya, \( \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \lt \epsilon \) untuk semua \( i \in I \). Jadi, \( \bs X \) terintegralkan seragam.
Syarat (a) berarti bahwa \( \bs X \) terbatas (dalam norma) sebagai subhimpunan ruang vektor \( \mathscr{L}_1 \). Secara langsung, koleksi hingga dari peubah acak yang terintegralkan mutlak adalah terintegralkan seragam.
Andaikan \( I \) hingga dan \( \E(|X_i|) \lt \infty \) untuk setiap \( i \in I \). Maka \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam.
Subhimpunan dari suatu himpunan peubah yang terintegralkan seragam juga terintegralkan seragam.
Jika \( \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam dan \( J \) adalah subhimpunan takkosong dari \( I \), maka \( \{X_j: j \in J\} \) terintegralkan seragam.
Jika nilai mutlak peubah-peubah dalam koleksi didominasi oleh suatu peubah acak dengan rataan hingga, maka koleksi tersebut terintegralkan seragam.
Andaikan \( Y \) adalah peubah acak taknegatif dengan \( \E(Y) \lt \infty \) dan \( |X_i| \le Y \) untuk setiap \( i \in I \). Maka \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam.
Hasil berikut lebih umum, tetapi pada dasarnya pembuktian yang sama berlaku.
Andaikan \( \bs Y = \{Y_j: j \in J\} \) terintegralkan seragam, dan \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) adalah himpunan peubah dengan sifat bahwa untuk setiap \( i \in I \), terdapat \( j \in J \) sedemikian sehingga \( |X_i| \le |Y_j| \). Maka \( \bs X \) terintegralkan seragam.
Sebagai akibat sederhana, jika nilai mutlak peubah-peubah tersebut terbatas, maka koleksinya terintegralkan seragam.
Jika terdapat \( c \gt 0 \) sedemikian sehingga \( |X_i| \le c \) untuk semua \( i \in I \), maka \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam.
Terbatasnya \( \E(|X_i|) \) terhadap \( i \in I \) saja (syarat (a) dalam ) tidak cukup agar \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam; contoh di bawah merupakan contoh tandingan. Namun, jika \( \E\left(|X_i|^k\right) \) terbatas terhadap \( i \in I \) untuk suatu \( k \gt 1 \), maka \( \bs X \) terintegralkan seragam. Syarat ini berarti bahwa \( \bs X \) terbatas (dalam norma) sebagai subhimpunan ruang vektor \( \mathscr{L}_k \).
Jika \( \left\{\E\left(|X_i|^k\right): i \in I\right\} \) terbatas untuk suatu \( k \gt 1 \), maka \( \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam.
Rincian:
Andaikan bahwa untuk suatu \( k \gt 1 \) dan \( c \gt 0 \), berlaku \( \E\left(|X_i|^k\right) \le c \) untuk semua \( i \in I \). Maka \( k - 1 \gt 0 \), sehingga \( t \mapsto t^{k-1} \) naik pada \( (0, \infty) \). Jadi, jika \( |X_i| \gt x \) untuk \( x \gt 0 \), maka \[ |X_i|^k = |X_i| |X_i|^{k-1} \ge |X_i| x^{k-1} \] Oleh karena itu, \( |X_i| \le |X_i|^k / x^{k-1} \) pada kejadian \( |X_i| \gt x \). Dengan demikian, \[ \E(|X_i|; |X_i| \gt x) \le \E\left(\frac{|X_i|^k}{x^{k-1}}; |X_i| \gt x\right) \le \frac{\E(|X_i|^k)}{x^{k-1}} \le \frac{c}{x^{k-1}} \] Ungkapan terakhir tidak bergantung pada \( i \in I \) dan konvergen ke 0 ketika \( x \to \infty \). Jadi, \( \bs X \) terintegralkan seragam.
Keterintegralan seragam tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
Andaikan \( \bs X = \{X_i: i \in I\} \) dan \( \bs Y = \{Y_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam, dan \( c \in \R \). Maka setiap koleksi berikut juga terintegralkan seragam.
- \( \bs X + \bs Y = \{X_i + Y_i: i \in I\} \)
- \( c \bs X = \{c X_i: i \in I\} \)
Rincian:
Kita menggunakan karakterisasi dalam .
- Terdapat \( a, \, b \in (0, \infty) \) sedemikian sehingga \( \E(|X_i|) \le a \) dan \( \E(|Y_i|) \le b \) untuk semua \( i \in I \). Oleh karena itu, \[ \E(|X_i + Y_i|) \le \E(|X_i| + |Y_i|) \le \E(|X_i|) + \E(|Y_i|) \le a + b, \quad i \in I \] Selanjutnya, ambil \( \epsilon \gt 0 \). Terdapat \( \delta_1 \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dengan \( \P(A) \lt \delta_1 \), maka \( \E(|X_i|; A) \lt \epsilon / 2 \) untuk semua \( i \in I \), dan demikian pula, terdapat \( \delta_2 \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dengan \( \P(A) \lt \delta_2 \), maka \( \E(|Y_i|; A) \lt \epsilon / 2 \) untuk semua \( i \in I \). Jadi, jika \( A \in \mathscr{F} \) dengan \( \P(A) \lt \delta_1 \wedge \delta_2 \), maka \[ \E(|X_i + Y_i|; A) \le \E(|X_i| + |Y_i|; A) = \E(|X_i|; A) + \E(|Y_i|; A) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon, \quad i \in I \]
- Terdapat \( a \in (0, \infty) \) sedemikian sehingga \( \E(|X_i|) \le a \) untuk semua \( i \in I \). Oleh karena itu, \[ \E(|c X_i|) = |c| \E(|X_i|) \le c a, \quad i \in I \] Syarat kedua berlaku secara langsung jika \( c = 0 \), jadi andaikan \( c \ne 0 \). Untuk \( \epsilon \gt 0 \), terdapat \( \delta \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta \), maka \( \E(|X_i|; A) \lt \epsilon / |c| \) untuk semua \( i \in I \). Oleh karena itu, \( \E(|c X_i|; A) = |c| \E(|X_i|; A) \lt \epsilon \).
Akibat berikut sederhana, tetapi akan kita perlukan dalam pembahasan konvergensi di bawah.
Andaikan \( \{X_i: i \in I\} \) terintegralkan seragam dan \( X \) adalah peubah acak dengan \( \E(|X|) \lt \infty \). Maka \( \{X_i - X: i \in I\} \) terintegralkan seragam.
Konvergensi
Sekarang kita sampai pada hasil-hasil utama dan alasan mula-mula mendefinisikan keterintegralan seragam. Untuk menyiapkan notasi, andaikan \( X_n \) adalah peubah acak untuk \( n \in \N_+ \), dan \( X \) adalah peubah acak. Kita tahu bahwa jika \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam rataan, maka \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam probabilitas. Kebalikannya juga benar jika dan hanya jika barisan tersebut terintegralkan seragam. Berikut adalah separuh yang pertama:
Jika \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam rataan, maka \( \{X_n: n \in \N\} \) terintegralkan seragam.
Rincian:
Hipotesis tersebut berarti bahwa \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam ruang vektor \( \mathscr{L}_1 \). Dengan kata lain, \( \E(|X_n|) \lt \infty \) untuk \( n \in \N_+ \), \( \E(|X|) \lt \infty \), dan \( E(|X_n - X|) \to 0 \) ketika \( n \to \infty \). Dari bagian mengenai ruang vektor peubah acak, kita tahu bahwa hal ini mengakibatkan \( \E(|X_n|) \to \E(|X|) \) ketika \( n \to \infty \), sehingga \( \E(|X_n|) \) terbatas terhadap \( n \in \N \). Ambil \( \epsilon \gt 0 \). Maka terdapat \( N \in \N_+ \) sedemikian sehingga jika \( n \gt N \), maka \( \E(|X_n - X|) \lt \epsilon/2 \). Karena semua peubah kita berada dalam \( \mathscr{L}_1 \), untuk setiap \( n \in \N_+ \), terdapat \( \delta_n \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta_n \), maka \( \E(|X_n - X|; A) \lt \epsilon / 2 \). Demikian pula, terdapat \( \delta_0 \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta_0 \), maka \( \E(|X|; A) \lt \epsilon / 2 \). Ambil \( \delta = \min\{\delta_n: n \in \{0, 1, \ldots, N\}\} \), sehingga \( \delta \gt 0 \). Jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta \), maka \[\E(|X_n|; A) = \E(|X_n - X + X|; A) \le \E(|X_n - X|; A) + \E(|X|; A), \quad n \in \N_+\] Jika \( n \le N \), maka \( \E(|X_n - X|; A) \le \epsilon / 2 \), sebab \( \delta \le \delta_n \). Jika \( n \gt N \), maka \( \E(|X_n - X|; A) \le \E(|X_n - X|) \lt \epsilon / 2 \). Untuk semua \( n \), \( E(|X|; A) \lt \epsilon / 2 \), sebab \( \delta \le \delta_0 \). Jadi, untuk semua \( n \in \N_+ \), \( \E(|X_n|: A) \lt \epsilon \), sehingga \( \{X_n: n \in \N_+\} \) terintegralkan seragam.
Berikut adalah separuh yang lebih penting, yang dikenal sebagai teorema keterintegralan seragam:
Jika \( \{X_n: n \in \N_+\} \) terintegralkan seragam dan \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam probabilitas, maka \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam rataan.
Rincian:
Karena \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam probabilitas, kita tahu bahwa terdapat subbarisan \( \left(X_{n_k}: k \in \N_+\right) \) dari \( (X_n: n \in \N_+) \) sedemikian sehingga \( X_{n_k} \to X \) ketika \( k \to \infty \) dengan probabilitas 1. Berdasarkan keterintegralan seragam, \( \E(|X_n|) \) terbatas terhadap \( n \in \N_+ \). Oleh karena itu, berdasarkan lema Fatou, \[ \E(|X|) = \E\left(\liminf_{k \to \infty} \left|X_{n_k}\right|\right) \le \liminf_{n \to \infty} \E\left(\left|X_{n_k}\right|\right) \le \limsup_{n \to \infty} \E\left(\left|X_{n_k}\right|\right) \lt \infty \] Ambil \( Y_n = X_n - X \) untuk \( n \in \N_+ \). Dari akibat , kita tahu bahwa \( \{Y_n: n \in \N_+\} \) terintegralkan seragam, dan kita juga tahu bahwa \( Y_n \) konvergen ke 0 ketika \( n \to \infty \) dalam probabilitas. Jadi, kita perlu menunjukkan bahwa \( Y_n \to 0 \) ketika \( n \to \infty \) dalam rataan. Ambil \( \epsilon \gt 0 \). Berdasarkan keterintegralan seragam, terdapat \( \delta \gt 0 \) sedemikian sehingga jika \( A \in \mathscr{F} \) dan \( \P(A) \lt \delta \), maka \( \E(|Y_n|: A) \lt \epsilon / 2 \) untuk semua \( n \in \N \). Karena \( Y_n \to 0 \) ketika \( n \to \infty \) dalam probabilitas, terdapat \( N \in \N_+ \) sedemikian sehingga jika \( n \gt N \), maka \( \P(|Y_n| \gt \epsilon / 2) \lt \delta \). Oleh karena itu, jika \( n \gt N \), maka \[ \E(|Y_n|) = \E(|Y_n|; |Y_n| \le \epsilon / 2) + \E(|Y_n|; |Y_n| \gt \epsilon / 2) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon \] Jadi, \( Y_n \to 0 \) ketika \( n \to \infty \) dalam rataan.
Sebagai akibat, ingatlah bahwa jika \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dengan probabilitas 1, maka \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam probabilitas. Oleh karena itu, jika \( \bs X = \{X_n: n \in \N_+\} \) terintegralkan seragam, maka \( X_n \to X \) ketika \( n \to \infty \) dalam rataan.
Contoh
Contoh pertama kita menunjukkan bahwa norma \( \mathscr{L}_1 \) yang terbatas tidak cukup untuk keterintegralan seragam.
Andaikan \( U \) berdistribusi seragam pada interval \( (0, 1) \) (jadi, \( U \) memiliki distribusi seragam standar). Untuk \( n \in \N_+ \), ambil \( X_n = n \bs{1}(U \le 1 / n) \). Maka
- \( \E(|X_n|) = 1 \) untuk semua \( n \in \N_+ \)
- \( \E(|X_n|; |X_n| \gt x) = 1 \) untuk \( x \gt 0 \), \( n \in \N_+ \) dengan \( n \gt x \)
Rincian:
Pertama, perhatikan bahwa \( |X_n| = X_n \), sebab \( X_n \ge 0 \).
- Berdasarkan definisi, \( \E(X_n) = n \P(U \le 1 / n) = n / n = 1 \) untuk \( n \in \N_+ \).
- Jika \( n \gt x \gt 0 \), maka \( X_n \gt x \) jika dan hanya jika \( X_n = n \), jika dan hanya jika \( U \le 1/n \). Jadi, \( \E(X_n; X_n \gt x) = n \P(U \le 1/n) = 1 \), seperti sebelumnya.
Berdasarkan bagian (b), \( \E(|X_n|; |X_n| \gt x) \) tidak konvergen ke 0 ketika \( x \to \infty \) secara seragam terhadap \( n \in \N_+ \), sehingga \( \bs X = \{X_n: n \in \N_+\} \) tidak terintegralkan seragam.
Contoh berikut memberikan penerapan penting bagi nilai harapan bersyarat. Ingatlah bahwa jika \( X \) adalah peubah acak dengan \( \E(|X|) \lt \infty \) dan \( \ms{G} \) adalah sub-\( \sigma \)-aljabar dari \( \ms{F} \), maka \( \E(X \mid \mathscr{G}) \) adalah nilai harapan \( X \) dengan informasi dalam \( \mathscr{G} \) diketahui, dan dalam arti tertentu merupakan peubah acak terukur-\( \mathscr{G} \) yang paling dekat dengan \( X \). Bahkan, jika \( X \in \ms{L}_2(\ms{F}) \), maka \( \E(X \mid \ms{G}) \) adalah proyeksi \( X \) pada \( \ms{L}_2(\ms{G}) \).
Andaikan \(\{X_i: i \in I\}\) adalah koleksi peubah acak terintegralkan seragam yang didefinisikan pada ruang probabilitas \((\Omega, \ms F, \P)\). Maka koleksi berikut juga terintegralkan seragam:
\[ \{\E(X_i \mid \ms G): i \in I, \ms G \text{ is a sub } \sigma \text{-algebra of } \ms F\} \]
Pembuktiannya menggunakan proposisi sekaligus definisi . Pertama, terdapat \(C \in (0, \infty)\) dengan \(\E(|X_i|) \le C\) untuk semua \(i \in I\). Ambil \(\epsilon > 0\). Maka terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga jika \(A \in \ms F\) dengan \(\P(A) \lt \delta\), maka \(\E(|X_i|; A) \lt \epsilon\) untuk semua \(i \in I\). Sekarang, ambil \(x = C / \delta\). Jika \(i \in I\) dan \(\ms G\) adalah sub-\(\sigma\)-aljabar dari \(\ms F\), maka berdasarkan ketaksamaan Markov dan sifat dasar nilai harapan bersyarat,
\[ \P[|\E(X_i \mid \ms G)| \gt x] \le \E[|\E(X_i \mid \ms G)|] / x \le \E[\E(|X_i| \mid \ms G)] / x \le E(|X_i|) / x \le C / x = \delta\]
Oleh karena itu, karena \(\{|\E(X_i \mid \ms G)| \gt x\} \in \ms G\), kita memperoleh
\[ \E[|\E(X_i \mid \ms G)|; |\E(X_i \mid \ms G)| \gt x] \le \E[\E(|X_i| \mid \ms G); |\E(X_i \mid \ms G)| \gt x] = \E[|X_i|; |\E(X_i \mid \ms G)| \gt x] \lt \epsilon \]
Rincian:
Sebagai akibat yang sederhana tetapi penting, jika \(X\) adalah peubah acak dengan \(\E(|X|) \lt \infty \), maka koleksi nilai harapan bersyarat dari \(X\) \[ \{\E(X \mid \ms G): \ms G \text{ is a sub } \sigma \text{-algebra of }\ms F \} \] terintegralkan seragam. Nilai-nilai harapan bersyarat tersebut berkisar dari \( \E(X) \), ketika \( \mathscr{G} = \{\Omega, \emptyset\} \), hingga \( X \) sendiri, ketika \( \mathscr{G} = \mathscr{F} \).