Teori Dasar
Definisi
Kita mulai dengan asumsi-asumsi yang berlaku bagi gerak Brown standar, kecuali bahwa kita melonggarkan batasan pada parameter-parameter distribusi normal.
Misalkan \( \mu \in \R \) dan \( \sigma \in (0, \infty) \). Gerak Brown dengan parameter hanyutan \( \mu \) dan parameter skala \( \sigma \) adalah proses acak \(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) dengan ruang keadaan \(\R\) yang memenuhi sifat-sifat berikut:
- \( X_0 = 0 \) (dengan probabilitas 1).
- \( \bs{X} \) mempunyai inkremen stasioner. Artinya, untuk \( s, \, t \in [0, \infty) \) dengan \( s \lt t \), distribusi \( X_t - X_s \) sama dengan distribusi \( X_{t - s} \).
- \( \bs{X} \) mempunyai inkremen independen. Artinya, untuk \( t_1, t_2, \ldots, t_n \in [0, \infty) \) dengan \( t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n \), peubah-peubah acak \( X_{t_1}, X_{t_2} - X_{t_1}, \ldots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}} \) saling bebas.
- \( X_t \) berdistribusi normal dengan rataan \( \mu t \) dan varians \( \sigma^2 t \) untuk \( t \in [0, \infty) \).
- Dengan probabilitas 1, \( t \mapsto X_t \) kontinu pada \( [0, \infty) \).
Laboratorium luring: pengaruh hanyutan dan skala
Status dan lisensi. Laboratorium deterministik ini merupakan karya asli edisi, berfungsi tanpa jaringan, dan dilisensikan CC BY 4.0. Ia melengkapi—bukan menggantikan—aplikasi resmi daring Random.
Ubah parameter, jalankan simulasi, lalu bandingkan histogram nilai akhir dengan kepadatan normal teoretis serta rataan dan varians empiris dengan \( \E(X_T)=\mu T \) dan \( \var(X_T)=\sigma^2T \). Benih yang sama selalu menghasilkan keluaran yang sama.
Simulator sedang disiapkan.
| Momen | Teoretis | Empiris |
|---|---|---|
| Rataan | — | — |
| Varians | — | — |
Perhatikan bahwa kita tidak dapat menentukan parameter-parameter distribusi normal \(X_t\) secara sembarang. Kita tahu bahwa karena \(\bs{X}\) mempunyai inkremen stasioner dan independen, \(\E(X_t)\) dan \(\var(X_t)\) harus merupakan fungsi linear dari \( t \in [0, \infty) \).
Buka simulasi aplikasi resmi daring gerak Brown dengan hanyutan dan penskalaan. Jalankan simulasi beberapa kali dalam modus satu langkah untuk berbagai nilai parameter. Amati perilaku lintasan sampelnya. Untuk nilai parameter tertentu, jalankan simulasi 1.000 kali dan bandingkan fungsi kepadatan dan momen empiris dengan fungsi kepadatan probabilitas dan momen yang sebenarnya.
Gerak Brown dengan hanyutan dan penskalaan mudah dikonstruksi dari gerak Brown standar, sehingga kita tidak perlu mencemaskan persoalan eksistensinya.
Hubungan dengan gerak Brown standar.
- Misalkan \(\bs{Z} = \{Z_t: t \in [0, \infty)\}\) adalah gerak Brown standar, serta \(\mu \in \R\) dan \(\sigma \in (0, \infty)\). Misalkan \(X_t = \mu t + \sigma Z_t\) untuk \(t \in [0, \infty)\). Maka \(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) adalah gerak Brown dengan parameter hanyutan \(\mu\) dan parameter skala \(\sigma\).
- Sebaliknya, misalkan \(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) adalah gerak Brown dengan parameter hanyutan \(\mu \in \R\) dan parameter skala \(\sigma \in (0, \infty)\). Misalkan \(Z_t = (X_t - \mu t) \big/ \sigma\) untuk \(t \in [0, \infty)\). Maka \(\bs{Z} = \{Z_t: t \in [0, \infty)\}\) adalah gerak Brown standar.
Rincian:
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa proses \(\bs{X}\) dan \(\bs{Z}\) memenuhi perangkat asumsi yang sesuai.
Dalam bentuk diferensial, bagian (a) dapat ditulis sebagai \[ d X_t = \mu \, dt + \sigma \, d Z_t, \; X_0 = 0 \]
Distribusi Berdimensi Hingga
Misalkan \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah gerak Brown dengan parameter hanyutan \(\mu \in \R\) dan parameter skala \(\sigma \in (0, \infty)\). Dari bagian (d) definisi , untuk \(t \in (0,\infty)\), \( X_t \) mempunyai fungsi kepadatan probabilitas \( f_t \) yang diberikan oleh \[ f_t(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi t}} \exp\left[-\frac{1}{2 \sigma^2 t} (x - \mu t)^2\right], \quad x \in \R \] Pada \(t=0\), distribusinya adalah massa titik di 0. Keluarga kepadatan satu-waktu tersebut, bersama sifat inkremen stasioner dan independen, menentukan distribusi berdimensi hingga dari \( \bs{X} \).
Jika \( t_1, t_2, \ldots, t_n \in (0, \infty) \) dengan \( 0 \lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_n \), maka \( (X_{t_1}, X_{t_2}, \ldots, X_{t_n}) \) mempunyai fungsi kepadatan probabilitas \( f_{t_1, t_2, \ldots, t_n} \) yang diberikan oleh \[ f_{t_1, t_2, \ldots, t_n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f_{t_1}(x_1) f_{t_2 - t_1}(x_2 - x_1) \cdots f_{t_n - t_{n-1}}(x_n - x_{n-1}), \quad (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \R^n \]
Rincian:
Hal ini berlaku karena \(\bs{X}\) mempunyai inkremen stasioner dan independen.
\( \bs{X} \) adalah proses Gauss dengan fungsi rataan \( m \) dan fungsi kovarians \( c \) yang diberikan oleh
- \( m(t) = \mu t \) untuk \( t \in [0, \infty) \)
- \( c(s, t) = \sigma^2 \min\{s, t\} \) untuk \( s, \, t \in [0, \infty) \).
Rincian:
Fakta bahwa \(\bs{X}\) adalah proses Gauss mengikuti konstruksi \(X_t = \mu t + \sigma Z_t\) untuk \(t \in [0, \infty)\), dengan \(\bs{Z}\) merupakan gerak Brown standar. Kita tahu bahwa \(\bs{Z}\) adalah proses Gauss. Bentuk fungsi rataan dan kovarians mengikuti fakta bahwa \(\bs{X}\) mempunyai inkremen stasioner dan independen. Perhatikan bahwa \(\mu\) dan \(\sigma^2\) adalah rataan dan varians \(X_1\).
Fungsi korelasi tidak bergantung pada parameter-parameter tersebut sehingga sama dengan fungsi korelasi gerak Brown standar. Hal ini tidak mengherankan karena korelasi merupakan ukuran keterkaitan yang dibakukan. \[ \cor(X_s, X_t) = \frac{\sigma^2 \min\{s, t\}}{\sigma\sqrt{s}\,\sigma\sqrt{t}} = \frac{\min\{s, t\}}{\sqrt{s t}} = \sqrt{\frac{\min\{s, t\}}{\max\{s, t\}}}, \quad (s, t) \in (0, \infty)^2 \]
Transformasi
Ada dua transformasi sederhana yang mempertahankan gerak Brown, tetapi mungkin mengubah parameter hanyutan dan skalanya. Titik awal kita adalah gerak Brown \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) dengan parameter hanyutan \( \mu \in \R \) dan parameter skala \( \sigma \in (0, \infty) \). Hasil pertama kita melibatkan penskalaan \( \bs{X} \) dalam waktu dan ruang (serta kemungkinan pencerminan terhadap titik asal ruang).
Misalkan \( a \in \R \setminus \{0\} \) dan \( b \in (0, \infty) \). Definisikan \( Y_t = a X_ {b t} \) untuk \( t \ge 0 \). Maka \( \bs{Y} = \{Y_t: t \ge 0\} \) juga merupakan gerak Brown dengan parameter hanyutan \( a b \mu \) dan parameter skala \(\left|a\right| \sqrt{b} \sigma \).
Rincian:
Jelas bahwa proses baru tersebut tetap merupakan proses Gauss. Fungsi rataannya adalah \( \E(Y_t) = a \E(X_{b t}) = a b \mu t \) untuk \( t \in [0, \infty) \). Fungsi kovariansnya adalah \( \cov(Y_s, Y_t) = a^2 \cov(X_{bs}, X_{bt}) = a^2 \sigma^2 \min\{b s, b t\} = a^2 b \sigma^2 \min\{s, t\} \) untuk \( (s, t) \in [0, \infty)^2 \). Terakhir, karena \( \bs{X} \) kontinu, \( \bs{Y} \) juga kontinu.
Misalkan \( a \gt 0 \) dalam teorema sebelumnya, sehingga kita melakukan penskalaan dalam waktu dan ruang. Untuk mempertahankan parameter hanyutan semula \(\mu\), kita harus mempunyai \(a b = 1\) (jika \(\mu \ne 0\)). Untuk mempertahankan parameter skala semula \(\sigma\), kita harus mempunyai \( a \sqrt{b} = 1 \). Jika \(\mu \ne 0\), kedua syarat tersebut memaksa \(a=b=1\), sehingga tidak ada penskalaan nontrivial yang mempertahankan kedua parameter. Jika \(\mu = 0\), kita memperoleh keluarga penskalaan nontrivial berikut, yang sedikit memperumum salah satu hasil untuk gerak Brown standar:
Misalkan \(\bs{X}\) adalah gerak Brown dengan parameter hanyutan \(\mu = 0\) dan parameter skala \(\sigma > 0\). Misalkan pula \(c \gt 0 \) dan \(Y_t = \frac{1}{c} X_{c^2 t}\) untuk \(t \ge 0\). Maka \(\bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\}\) juga merupakan gerak Brown dengan parameter hanyutan 0 dan parameter skala \(\sigma\).
Hasil kita berikutnya berkaitan dengan sifat Markov, yang akan kita telaah secara lebih terperinci di bawah. Kita kembali ke kasus umum ketika \(\bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\}\) adalah gerak Brown dengan parameter hanyutan \(\mu \in \R\) dan parameter skala \(\sigma \in (0, \infty)\). Jika kita memulai ulang
gerak Brown pada waktu tetap \( s \), lalu menggeser titik asal ke \( X_s \), kita memperoleh gerak Brown lain dengan parameter-parameter yang sama.
Tetapkan \( s \in [0, \infty) \) dan definisikan \( Y_t = X_{s + t} - X_s \) untuk \( t \ge 0 \). Maka \( \bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\} \) juga merupakan gerak Brown dengan parameter hanyutan dan skala yang sama.
Rincian:
Jelas bahwa \( \bs{Y} \) juga merupakan proses Gauss. Selanjutnya, \( \E(Y_t) = \E(X_{s + t}) - \E(X_s) = \mu(s + t) - \mu s = \mu t \) untuk \( t \in [0, \infty) \). Selain itu, jika \( r, \, t \in [0, \infty) \) dengan \( r \le t \), maka \begin{align} \cov(Y_r, Y_t) & = \cov(X_{s + r} - X_s, X_{s + t} - X_s) \\ & = \cov(X_{s + r}, X_{s + t}) - \cov(X_{s + r}, X_s) - \cov(X_s, X_{s + t}) + \cov(X_s, X_s) \\ & = \sigma^2 (s + r) - \sigma^2 s - \sigma^2 s + \sigma^2 s = \sigma^2 r \end{align} Terakhir, \( \bs{Y} \) kontinu karena kekontinuan \( \bs{X} \).
Sifat Markov dan Waktu Henti
Seperti biasa, kita mulai dengan gerak Brown \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) dengan parameter hanyutan \( \mu \) dan parameter skala \( \sigma \). Ingat kembali bahwa proses Markov mempunyai sifat bahwa masa depan saling bebas dengan masa lalu apabila keadaan sekarang diketahui. Berkat sifat inkremen stasioner dan independen, gerak Brown mempunyai sifat ini. Proses dengan \(X_0=0\) sudah bersifat Markov. Untuk membentuk keluarga hukum Markov yang diindeks oleh keadaan awal, kita juga mempertimbangkan versi dengan \(X_0=x\in\R\); bila keadaan awal diacak, hukum awalnya ditetapkan dan diambil independen dari inkremen berikutnya. Misalkan \( \mathscr{F}_t = \sigma\{X_s: 0 \le s \le t\} \), yaitu aljabar-sigma yang dibangkitkan oleh proses sampai waktu \( t \in [0, \infty) \). Keluarga aljabar-\(\sigma\) \(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\}\) dikenal sebagai suatu filtrasi.
Gerak Brown merupakan proses Markov yang homogen terhadap waktu dengan kepadatan probabilitas transisi \( p \) yang diberikan oleh \[ p_t(x, y) = f_t(y - x) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi t}} \exp\left[-\frac{1}{2 \sigma^2 t} (y - x - \mu t)^2\right], \quad t \in (0, \infty); \; x, \, y \in \R \]
Kepadatan transisi \( p \) memenuhi persamaan difusi berikut. Yang pertama dikenal sebagai persamaan maju dan yang kedua sebagai persamaan mundur.
\begin{align} \frac{\partial}{\partial t} p_t(x, y) & = -\mu \frac{\partial}{\partial y} p_t(x, y) + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2}{ \partial y^2} p_t(x, y) \\ \frac{\partial}{\partial t} p_t(x, y) & = \mu \frac{\partial}{\partial x} p_t(x, y) + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2}{ \partial x^2} p_t(x, y) \end{align}Rincian:
Hasil-hasil ini mengikuti kalkulus standar.
Persamaan-persamaan tersebut disebut persamaan difusi karena turunan ruang dalam persamaan pertama diambil terhadap \( y \), yakni keadaan maju pada waktu \( t \), sedangkan turunan ruang dalam persamaan kedua diambil terhadap \( x \), yakni keadaan mundur pada waktu 0.
Ingat kembali bahwa waktu acak \( \tau \) yang bernilai dalam \( [0, \infty] \) merupakan waktu henti terhadap proses \( \bs{X} \) apabila \( \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \) untuk setiap \( t \in [0, \infty) \). Dengan aljabar-\(\sigma\) ambien \(\mathscr F_\infty=\sigma(\bigcup_{t\ge0}\mathscr F_t)\), aljabar-\( \sigma \) yang berkaitan dengan \( \tau \) adalah \[ \mathscr{F}_\tau = \left\{B \in \mathscr{F}_\infty: B \cap \{\tau \le t\} \in \mathscr{F}_t \text{ untuk setiap } t \ge 0\right\}. \] Lihat bagian tentang Filtrasi dan Waktu Henti untuk informasi lebih lanjut. Pernyataan yang melibatkan \(X_\tau\) di bawah mensyaratkan \(\P(\tau\lt\infty)=1\). Dengan filtrasi natural yang telah dilengkapi dan dibuat kontinu kanan, gerak Brown \( \bs{X} \) juga merupakan proses Markov kuat.
Pada ruang probabilitas terfilter dengan filtrasi natural yang telah dilengkapi dan dibuat kontinu kanan, misalkan \( \tau \) adalah waktu henti dengan \(\P(\tau\lt\infty)=1\), dan definisikan \( Y_t = X_{\tau + t} - X_\tau \) untuk \( t \in [0, \infty) \). Maka \( \bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\} \) merupakan gerak Brown dengan parameter hanyutan dan skala yang sama, serta saling bebas dengan \( \mathscr{F}_\tau \).
Sketsa bukti yang dilengkapi:
Untuk waktu henti yang mengambil berhingga banyak nilai pada kisi, kondisikan pada setiap kejadian \(\{\tau=t_k\}\) dan gunakan inkremen stasioner serta independen. Untuk waktu henti umum yang hingga hampir pasti, gunakan pendekatan kisi dari atas \(\tau_n=2^{-n}\lceil2^n\tau\rceil\downarrow\tau\). Kekontinuan lintasan memberi konvergensi proses yang dimulai ulang, sedangkan kekontinuan kanan dan kelengkapan filtrasi memindahkan sifat kebebasan dari \(\mathscr F_{\tau_n}\) ke \(\mathscr F_\tau\). Distribusi berdimensi hingga hasil limit dan kekontinuan lintasannya kemudian memberi gerak Brown dengan parameter yang sama.