Teori Dasar
Asumsi Dasar
Sebagai unsur dasar, kita mulai dengan suatu proses stokastik \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) pada ruang probabilitas yang mendasarinya \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \), dengan ruang keadaan \( \R \), dan dengan himpunan indeks \( T \) (yang menyatakan waktu) berupa \( \N \) (waktu diskret) atau \( [0, \infty) \) (waktu kontinu). Sebagai tinjauan, \( \Omega \) adalah ruang sampel, \( \mathscr{F} \) adalah aljabar-\( \sigma \) kejadian, \( \P \) adalah ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \mathscr{F}) \), dan \( X_t \) adalah peubah acak yang bernilai di \( \R \) untuk setiap \( t \in T \). Selanjutnya, kita memiliki suatu filtrasi \(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \), dan kita mengandaikan bahwa \( \bs{X} \) teradaptasi terhadap \( \mathfrak{F} \). Untuk meninjau kembali, \( \mathfrak{F} \) adalah keluarga menaik subaljabar-\( \sigma \) dari \( \mathscr{F} \), sehingga \( \mathscr{F}_s \subseteq \mathscr{F}_t \subseteq \mathscr{F} \) untuk \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), dan \( X_t \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_t \) untuk \( t \in T \). Kita memandang \( \mathscr{F}_t \) sebagai koleksi kejadian hingga waktu \( t \in T \), sehingga mengodekan informasi yang tersedia pada waktu \( t \). Terakhir, kita mengandaikan bahwa \( \E\left(\left|X_t\right|\right) \lt \infty \), sehingga rata-rata \( X_t \) ada sebagai bilangan riil untuk setiap \( t \in T \).
Ada dua kasus khusus penting dari kerangka dasar ini. Kasus yang paling sederhana adalah ketika \( \mathscr{F}_t = \sigma\{X_s: s \in T, \, s \le t\} \) untuk \( t \in T \), sehingga \( \mathfrak{F} \) merupakan filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs{X} \). Kasus lain yang sering muncul adalah ketika kita memiliki proses stokastik kedua \(\bs{Y} = \{Y_t: t \in T\} \) pada \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \) yang bernilai dalam ruang ukuran umum \( (S, \mathscr{S}) \), dan \( \mathfrak{F} \) merupakan filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs{Y} \). Jadi, dalam kasus ini, asumsi utama kita adalah bahwa \( X_t \) terukur terhadap \( \sigma\{Y_s: s \in T, \, s \le t\} \) untuk \( t \in T \).
Teori martingal itu indah, elegan, dan sebagian besar mudah dipahami dalam waktu diskret, ketika \( T = \N \). Namun, seperti halnya teori proses Markov, teori martingal secara teknis jauh lebih rumit dalam waktu kontinu, ketika \( T = [0, \infty) \). Dalam kasus ini, asumsi tambahan mengenai kekontinuan lintasan sampel \( t \mapsto X_t \) dan filtrasi \( t \mapsto \mathscr{F}_t \) sering diperlukan agar teorinya tertata dengan baik. Secara khusus, kita akan mengandaikan bahwa proses \( \bs X \) kontinu kanan dan memiliki limit kiri, serta bahwa filtrasi \( \mathfrak F \) kontinu kanan dan lengkap. Inilah asumsi standar dalam waktu kontinu.
Definisi
Untuk memahami definisi-definisi dasar berikut, Anda mungkin perlu meninjau kembali nilai harapan bersyarat terhadap suatu aljabar-\( \sigma \).
Proses \(\bs{X}\) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak{F} \) jika \( \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = X_s \) untuk semua \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \).
Dalam kasus khusus ketika \( \mathfrak{F} \) merupakan filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs{X} \), kita cukup mengatakan bahwa \( \bs{X} \) adalah martingal, tanpa menyebut filtrasinya. Dalam kasus khusus ketika kita memiliki proses stokastik kedua \( \bs{Y} = \{Y_t: t \in T\} \) dan \( \mathfrak{F} \) merupakan filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs{Y} \), kita mengatakan bahwa \( \bs{X} \) adalah martingal terhadap \( \bs{Y} \).
Istilah martingal mula-mula merujuk pada bagian dari perlengkapan kekang kuda, kemudian digunakan untuk menggambarkan strategi perjudian, seperti strategi dalam paradoks Petersburg, yang menggandakan taruhan setiap kali kalah. Untuk menafsirkan definisi di atas dalam konteks perjudian, misalkan seorang penjudi berada di kasino, \( X_t \) menyatakan kekayaannya pada waktu \( t \in T\), dan \( \mathscr{F}_t \) menyatakan informasi yang tersedia baginya pada waktu \( t \). Sekarang misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \lt t \), dan pandang \( s \) sebagai waktu sekarang sehingga \( t \) adalah waktu mendatang. Jika \( \bs{X} \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak{F} \), maka permainannya adil dalam arti bahwa nilai harapan kekayaan penjudi pada waktu mendatang \( t \) sama dengan kekayaannya saat ini pada waktu \( s \). Beralih sejenak dari kasino, misalkan \( X_t \) adalah harga saham atau nilai indeks saham pada waktu \( t \in T \). Jika \( \bs X \) merupakan martingal, maka nilai harapan pada waktu mendatang, berdasarkan semua informasi yang kita miliki, sama dengan nilai sekarang.
Namun, seperti yang akan kita lihat, martingal berguna dalam probabilitas jauh melampaui penerapannya pada perjudian, bahkan jauh melampaui penerapan keuangan pada umumnya. Martingal memang sangat penting dalam teori probabilitas modern. Berikut dua definisi terkait, dengan kesamaan dalam syarat martingal diganti oleh pertidaksamaan.
Misalkan kembali bahwa proses \( \bs X \) dan filtrasi \( \mathfrak F \) memenuhi asumsi dasar pada bagian Asumsi Dasar di atas.
- \( \bs{X} \) merupakan submartingal terhadap \( \mathfrak{F} \) jika \( \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) \ge X_s \) untuk semua \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \).
- \( \bs{X} \) merupakan supermartingal terhadap \( \mathfrak{F} \) jika \( \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) \le X_s \) untuk semua \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \).
Dalam konteks perjudian, submartingal memodelkan permainan yang secara rata-rata menguntungkan penjudi, sedangkan supermartingal memodelkan permainan yang secara rata-rata merugikan penjudi. Beralih lagi dari kasino, misalkan \( X_t \) adalah harga saham atau nilai indeks saham pada waktu \( t \in T \). Jika \( \bs X \) merupakan submartingal, maka nilai harapan pada waktu mendatang, berdasarkan semua informasi yang kita miliki, lebih besar daripada nilai sekarang; jika \( \bs X \) merupakan supermartingal, maka nilai harapan pada waktu mendatang lebih kecil daripada nilai sekarang. Tentu kita berharap suatu indeks saham merupakan submartingal.
Jelas bahwa \( \bs{X} \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak{F} \) jika dan hanya jika proses tersebut sekaligus merupakan submartingal dan supermartingal. Terakhir, ingat bahwa nilai harapan bersyarat suatu peubah acak terhadap aljabar-\( \sigma \) juga merupakan peubah acak. Karena itu, kesamaan dan pertidaksamaan dalam definisi harus ditafsirkan berlaku dengan probabilitas 1. Secara umum dalam bagian ini, pernyataan yang melibatkan peubah acak dianggap berlaku dengan probabilitas 1.
Syarat-syarat yang mendefinisikan martingal, submartingal, dan supermartingal tetap bermakna jika himpunan indeks \( T \) merupakan sembarang himpunan terurut total. Dalam beberapa penerapan yang akan kita bahas kemudian, \( T = \{0, 1, \ldots, n\} \) untuk suatu \( n \in \N_+ \) yang tetap. Dalam bagian tentang martingal mundur, \( T = \{-n: n \in \N\} \) atau \( T = (-\infty, 0] \). Untuk waktu diskret ketika \( T = \N \), kita dapat sedikit menyederhanakan definisinya.
Misalkan \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) memenuhi asumsi dasar di atas.
- \(\bs{X}\) merupakan martingal terhadap \( \frak{F} \) jika dan hanya jika \( \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = X_n \) untuk semua \( n \in \N \).
- \(\bs{X}\) merupakan submartingal terhadap \( \frak{F} \) jika dan hanya jika \( \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) \ge X_n \) untuk semua \( n \in \N \).
- \(\bs{X}\) merupakan supermartingal terhadap \( \frak{F} \) jika dan hanya jika \( \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) \le X_n \) untuk semua \( n \in \N \).
Rincian:
Syarat-syarat dalam definisi jelas mengimplikasikan syarat-syarat di sini, sehingga kita hanya perlu menunjukkan implikasi sebaliknya. Jadi, andaikan syarat pada (a) berlaku dan misalkan \( k, \, n \in \N \) dengan \( k \lt n \). Maka \( k \le n - 1 \), sehingga \( \mathscr{F}_k \subseteq \mathscr{F}_{n-1} \), dan karena itu \[ \E\left(X_n \mid \mathscr{F}_k\right) = \E\left[\E\left(X_n \mid \mathscr{F}_{n-1}\right) \mid \mathscr{F}_k \right] = \E\left(X_{n-1} \mid \mathscr{F}_k\right) \] Dengan mengulangi argumen tersebut, kita memperoleh \[ \E\left(X_n \mid \mathscr{F}_k\right) = \E\left(X_{k+1} \mid \mathscr{F}_k\right) = X_k \] Bukti untuk submartingal dan supermartingal serupa, dengan pertidaksamaan menggantikan kesamaan terakhir.
Relasi yang mendefinisikan martingal, submartingal, dan supermartingal juga berlaku untuk nilai harapan biasa (tak bersyarat).
Misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \).
- Jika \( \bs{X} \) merupakan martingal terhadap \( \frak{F} \), maka \( \E(X_s) = \E(X_t) \).
- Jika \( \bs{X} \) merupakan submartingal terhadap \( \frak{F} \), maka \( \E(X_s) \le \E(X_t) \).
- Jika \( \bs{X} \) merupakan supermartingal terhadap \( \frak{F} \), maka \( \E(X_s) \ge \E(X_t) \).
Rincian:
Hasil-hasil ini langsung mengikuti definisi dan fakta penting bahwa \( \E\left[\E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right)\right] = \E(X_t) \) untuk \( s, \, t \in T \).
Jadi, jika \( \bs X \) merupakan martingal, maka \( \bs X \) memiliki nilai harapan konstan, dan nilai ini disebut rata-rata \( \bs X \).
Contoh
Tujuan bagian selanjutnya adalah memberikan beberapa contoh klasik martingal dan, melalui contoh-contoh itu, menunjukkan beragam penerapan tempat martingal muncul. Kita akan kembali membahas banyak contoh ini dalam bagian-bagian berikutnya. Tanpa pengantar lebih lanjut, kita mengandaikan bahwa semua peubah acak bernilai riil, kecuali dinyatakan lain, dan bahwa semua nilai harapan yang disebutkan di bawah ada di \( \R \). Pastikan Anda mencoba sendiri pembuktiannya sebelum membuka rincian.
Barisan Konstan
Contoh pertama kita cukup sederhana, tetapi tetap layak diperhatikan.
Misalkan \( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada ruang probabilitas \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \), dan \( X \) adalah peubah acak yang terukur terhadap \( \mathscr{F}_0 \) serta memenuhi \( \E(\left|X\right|) \lt \infty \). Tetapkan \( X_t = X \) untuk \( t \in T \). Maka \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak{F} \).
Rincian:
Karena \( X \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_0 \), peubah tersebut terukur terhadap \( \mathscr{F}_t \) untuk semua \( t \in T \). Karena itu, \( \bs{X} \) teradaptasi terhadap \( \mathfrak{F} \). Jika \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), maka \( \E(X_t \mid \mathscr{F}_s) = \E(X \mid \mathscr{F}_s) = X = X_s \).
Jumlah Parsial
Untuk pembahasan berikutnya, kita mulai dengan salah satu martingal paling dasar dalam waktu diskret, yang juga memiliki interpretasi perjudian paling sederhana. Misalkan \( \bs{V} = \{V_n: n \in \N\} \) adalah barisan peubah acak independen dengan \( \E(|V_k|) \lt \infty \) untuk \( k \in \N \). Tetapkan \[ X_n = \sum_{k=0}^n V_k, \quad n \in \N \]
sehingga \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) merupakan proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs V \).Untuk proses jumlah parsial \( \bs X \),
- Jika \( \E(V_n) \ge 0 \) untuk \( n \in \N_+ \), maka \( \bs X \) merupakan submartingal.
- Jika \( \E(V_n) \le 0 \) untuk \( n \in \N_+ \), maka \( \bs X \) merupakan supermartingal.
- Jika \( \E(V_n) = 0 \) untuk \( n \in \N_+ \), maka \( \bs X \) merupakan martingal.
Rincian:
Tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\} = \sigma\{V_0, V_1, \ldots, V_n\}\) untuk \( n \in \N \) . Pertama, perhatikan bahwa \[ \E(|X_n|) \le \sum_{k=0}^n \E(|V_k|) \lt \infty, \quad n \in \N \] Selanjutnya, \[ \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left(X_n + V_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left(X_n \mid \mathscr{F}_n\right) + \E\left(V_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = X_n + \E(V_{n+1}), \quad n \in \N \] Kesamaan terakhir berlaku karena \( X_n \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \) dan \( V_{n+1} \) independen dari \( \mathscr{F}_n \). Hasil-hasil tersebut sekarang mengikuti definisi.
Dalam konteks perjudian, jika \( X_0 = V_0 \) adalah kekayaan awal penjudi dan \( V_i \) adalah kemenangan bersih penjudi pada permainan ke-\( i \), maka \( X_n \) adalah kekayaan bersih penjudi setelah \( n \) permainan untuk \( n \in \N_+ \). Namun, proses jumlah parsial yang terkait dengan barisan independen penting jauh melampaui perjudian. Bahkan, sebagian besar probabilitas klasik membahas jumlah parsial peubah-peubah independen dan berdistribusi identik. Seluruh bab tentang Sampel Acak mengkaji kerangka ini.
Perhatikan bahwa \( \E(X_n) = \sum_{k=0}^n \E(V_k) \). Karena itu, syarat (a) ekuivalen dengan \( n \mapsto \E(X_n) \) menaik, syarat (b) ekuivalen dengan \( n \mapsto \E(X_n) \) menurun, dan syarat (c) ekuivalen dengan \( n \mapsto \E(X_n) \) konstan. Berikut martingal lain yang terkait dengan proses jumlah parsial, yang dikenal sebagai martingal momen kedua.
Misalkan \( \E(V_k) = 0 \) untuk \( k \in \N_+ \) dan \( \var(V_k) \lt \infty \) untuk \( k \in \N \). Tetapkan \[Y_n = X_n^2 - \var(X_n), \quad n \in \N \] Maka \( \bs Y = \{Y_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs X \).
Rincian:
Sekali lagi, tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\} \) untuk \( n \in \N \). Karena barisan \( \bs V \) independen, perhatikan bahwa \[ \var(X_n) = \var\left(\sum_{k=0}^n V_k\right) = \sum_{k=0}^n \var(V_k)\] Selain itu, \( \var(V_k) = \E(V_k^2) \) karena \( \E(V_k) = 0 \) untuk \( k \in \N_+ \). Secara khusus, \( \E(|Y_n|) \lt \infty \) untuk \( n \in \N \). Selanjutnya, untuk \( n \in \N \), \begin{align*} \E(Y_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) &= \E\left[X_{n+1}^2 - \var(X_{n+1}) \mid \mathscr{F}_n\right] = \E\left[(X_n + V_{n+1})^2 - \var(X_{n+1}) \mid \mathscr{F}_n\right] \\ &= \E\left[X_n^2 + 2 X_n V_{n+1} + V_{n+1}^2 - \var(X_{n+1}) \mid \mathscr{F}_n\right] = X_n^2 + 2 X_n \E(V_{n+1}) + \E(V_{n+1}^2) - \var(X_{n+1}) \end{align*} karena \( X_n \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \) dan \( V_{n+1} \) independen dari \( \mathscr{F}_n \). Namun, \( \E(V_{n+1}) = 0 \) dan \( \E(V_{n+1}^2) - \var(X_{n+1}) = - \var(X_n) \). Dengan demikian, kita memperoleh \( \E(Y_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = X_n^2 - \var(X_n) = Y_n \) untuk \( n \in \N \).
Jadi, berdasarkan asumsi dalam teorema ini, \( \bs X \) dan \( \bs Y \) keduanya merupakan martingal. Kita akan menggeneralisasi hasil untuk proses jumlah parsial dalam pembahasan mengenai proses dengan inkremen independen pada bagian Proses dengan Inkremen Independen.
Barisan Selisih Martingal
Dalam pembahasan sebelumnya, kita melihat bahwa proses jumlah parsial yang terkait dengan barisan peubah independen dengan rata-rata 0 merupakan martingal. Sebaliknya, setiap martingal dalam waktu diskret dapat ditulis sebagai proses jumlah parsial dari peubah-peubah tak berkorelasi dengan rata-rata 0. Representasi ini memberikan pemahaman penting tentang teori martingal secara umum. Misalkan \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap filtrasi \( \mathfrak F = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \).
Tetapkan \( V_0 = X_0 \) dan \( V_n = X_n - X_{n-1} \) untuk \( n \in \N_+ \). Proses \( \bs V = \{V_n: n \in \N\} \) merupakan barisan selisih martingal yang terkait dengan \( \bs X \), dan \[ X_n = \sum_{k=0}^n V_k, \quad n \in \N \]
Seperti yang dijanjikan, peubah selisih martingal memiliki rata-rata 0, bahkan memenuhi sifat yang lebih kuat.
Misalkan \( \bs V = \{V_n: n \in \N\} \) adalah barisan selisih martingal yang terkait dengan \( \bs X \). Maka
- \( \bs V \) teradaptasi terhadap \( \mathfrak F \).
- \( \E(V_n \mid \mathscr{F}_k) = 0 \) untuk \( k, \, n \in \N \) dengan \( k \lt n \).
- \( \E(V_n) = 0 \) untuk \( n \in \N_+ \)
Rincian:
- Tentu saja \( V_0 = X_0 \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_0 \). Untuk \( n \in \N_+ \), \( X_n \) dan \( X_{n-1} \), dan karena itu \( V_n \), terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \)
- Misalkan \( k \in \N \). Berdasarkan sifat martingal dan keteradaptasian, \[ \E(V_{k+1} \mid \mathscr{F}_k) = \E(X_{k+1} \mid \mathscr{F}_k) - \E(X_k \mid \mathscr{F}_k) = X_k - X_k = 0\] Selanjutnya, berdasarkan sifat menara, \[ \E(V_{k+2} \mid \mathscr{F}_k) = \E[\E(V_{k+2} \mid \mathscr{F}_{k+1}) \mid \mathscr{F}_k] = 0 \] Dengan melanjutkan proses tersebut (atau menggunakan induksi), diperoleh hasil umum.
- Karena \( \bs X \) merupakan martingal, proses tersebut memiliki rata-rata konstan, seperti telah disebutkan di atas. Karena itu, \( \E(V_n) = \E(X_n) - \E(X_{n-1}) = 0 \) untuk \( n \in \N_+ \). Kita juga dapat menggunakan bagian (b).
Seperti yang juga dijanjikan, jika peubah martingal memiliki varians hingga, maka peubah selisih martingal tak berkorelasi.
Misalkan kembali bahwa \( \bs V = \{V_n: n \in \N\} \) adalah barisan selisih martingal yang terkait dengan martingal \( \bs X \). Andaikan \( \var(X_n) \lt \infty \) untuk \( n \in \N \). Maka \( \bs V \) merupakan barisan tak berkorelasi. Lebih lanjut, \[ \var(X_n) = \sum_{k=0}^n \var(V_k) = \var(X_0) + \sum_{k=1}^n \E(V_k^2), \quad n \in \N \]
Rincian:
Misalkan \( k, \, n \in \N \) dengan \( k \lt n \). Untuk menunjukkan bahwa \( V_k \) dan \( V_n \) tak berkorelasi, kita hanya perlu menunjukkan bahwa \( \E(V_k V_n) = 0 \) (karena \( \E(V_n) = 0 \)). Namun, berdasarkan hasil sebelumnya, \[ \E(V_k V_n) = \E[\E(V_k V_n \mid \mathscr{F}_k)] = \E[V_k \E(V_n \mid \mathscr{F}_k)] = 0 \] Terakhir, varians jumlah peubah-peubah tak berkorelasi sama dengan jumlah variansnya. Karena \( V_k \) memiliki rata-rata 0, \( \var(V_k) = \E(V_k^2) \) untuk \( k \in \N_+ \). Karena itu, rumus untuk \( \var(X_n) \) berlaku.
Sekarang kita mengetahui bahwa martingal waktu diskret merupakan proses jumlah parsial yang terkait dengan barisan peubah tak berkorelasi. Karena itu, kita dapat berharap bahwa teorema-teorema dasar untuk proses jumlah parsial yang terkait dengan barisan independen memiliki versi martingal. Ternyata memang demikian, dan inilah salah satu alasan mendasar pentingnya martingal.
Gerak Acak Waktu Diskret
Misalkan \( \bs V = \{V_n: n \in \N\} \) adalah barisan peubah acak independen dengan \( \{V_n: n \in \N_+\} \) berdistribusi identik. Kita mengandaikan bahwa \( \E(|V_n|) \lt \infty \) untuk \( n \in \N \), dan \( a \) menyatakan rata-rata yang sama dari \( \{V_n: n \in \N_+\} \). Misalkan \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) adalah proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs V \), sehingga \[ X_n = \sum_{i=0}^n V_i, \quad n \in \N \] Kerangka ini merupakan kasus khusus dari proses jumlah parsial yang lebih umum pada bagian Jumlah Parsial. Proses \( \bs X \) kadang-kadang disebut gerak acak (waktu diskret). Posisi awal \( X_0 = V_0 \) dari pejalan dapat memiliki distribusi sembarang, sedangkan langkah-langkah berikutnya saling independen dan berdistribusi identik. Dalam konteks perjudian, \( X_0 = V_0 \) adalah kekayaan awal penjudi yang memainkan serangkaian permainan independen dan identik. Jika \( V_i \) adalah jumlah yang dimenangkan (atau hilang) pada permainan \( i \in \N_+ \), maka \( X_n \) adalah kekayaan bersih penjudi setelah \( n \) permainan.
Untuk gerak acak \( \bs X \),
- \( \bs X \) merupakan martingal jika \( a = 0 \).
- \( \bs X \) merupakan submartingal jika \( a \ge 0 \).
- \( \bs X \) merupakan supermartingal jika \( a \le 0 \)
Untuk martingal momen kedua, misalkan \( V_n \) memiliki rata-rata yang sama \( a = 0 \) dan varians yang sama \( b^2 \lt \infty \) untuk \( n \in \N_+ \), serta \( \var(V_0) \lt \infty \).
Tetapkan \( Y_n = X_n^2 - \var(V_0) - b^2 n \) untuk \( n \in \N \). Maka \( \bs Y = \{Y_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs X \).
Rincian:
Hal ini mengikuti hasil yang bersesuaian untuk proses jumlah parsial umum di atas, karena \[ \var(X_n) = \sum_{k=0}^n \var(V_k) = \var(V_0) + b^2 n, \quad n \in \N \]
Kita akan menggeneralisasi hasil-hasil untuk gerak acak waktu diskret dalam pembahasan mengenai proses dengan inkremen stasioner dan independen.
Hasil Kali Parsial
Pembahasan berikut serupa dengan pembahasan proses jumlah parsial pada bagian Jumlah Parsial, tetapi menggunakan hasil kali sebagai pengganti jumlah. Jadi, misalkan \( \bs V = \{V_n: n \in \N\} \) adalah barisan independen peubah acak taknegatif dengan \( \E(V_n) \lt \infty \) untuk \( n \in \N \). Tetapkan \[ X_n = \prod_{i=0}^n V_i, \quad n \in \N \] sehingga \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) merupakan proses hasil kali parsial yang terkait dengan \( \bs V \).
Untuk proses hasil kali parsial \( \bs X \),
- Jika \( \E(V_n) = 1 \) untuk \( n \in \N_+ \), maka \( \bs X \) merupakan martingal terhadap \( \bs V \)
- Jika \( \E(V_n) \ge 1 \) untuk \( n \in \N_+ \), maka \( \bs X \) merupakan submartingal terhadap \( \bs V \)
- Jika \( \E(V_n) \le 1 \) untuk \( n \in \N_+ \), maka \( \bs X \) merupakan supermartingal terhadap \( \bs V \)
Rincian:
Tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{V_0, V_1, \ldots, V_n\}\) untuk \( n \in \N \). Karena peubah-peubah tersebut independen, \[ \E(X_n) = \prod_{i=0}^n \E(V_i) \lt \infty \] Selanjutnya, \[ \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left(X_n V_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = X_n \E(V_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = X_n \E(V_{n+1}) \quad n \in \N \] karena \( X_n \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \) dan \( V_{n+1} \) independen dari \( \mathscr{F}_n \). Hasil-hasil tersebut sekarang mengikuti definisi.
Seperti pada gerak acak, kasus khusus yang menarik terjadi ketika \( \{V_n: n \in \N_+\} \) merupakan barisan yang berdistribusi identik.
Gerak Acak Sederhana
Sekarang misalkan \( \bs{V} = \{V_n: n \in \N\} \) adalah barisan peubah acak independen dengan \( \P(V_i = 1) = p \) dan \( \P(V_i = -1) = 1 - p \) untuk \( i \in \N_+ \), dengan \( p \in (0, 1) \). Misalkan \( \bs{X} = \{X_n: n \in \N\} \) adalah proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs{V} \), sehingga \[ X_n = \sum_{i=0}^n V_i, \quad n \in \N \] Maka \( \bs{X} \) merupakan gerak acak sederhana dengan parameter \( p \), dan tentu saja merupakan kasus khusus dari gerak acak yang lebih umum pada bagian Gerak Acak Waktu Diskret. Dalam konteks perjudian, penjudi kita memainkan serangkaian permainan independen dan identik. Pada setiap permainan, ia memenangkan €1 dengan probabilitas \( p \) dan kehilangan €1 dengan probabilitas \( 1 - p \). Jadi, jika \( V_0 \) adalah kekayaan awal penjudi, maka \( X_n \) adalah kekayaan bersihnya setelah \( n \) permainan.
Untuk gerak acak sederhana,
- Jika \( p \gt \frac{1}{2} \), maka \( \bs{X} \) merupakan submartingal.
- Jika \( p \lt \frac{1}{2} \), maka \( \bs{X} \) merupakan supermartingal.
- Jika \( p = \frac{1}{2} \), maka \( \bs{X} \) merupakan martingal.
Jadi, kasus (a) bersesuaian dengan permainan yang menguntungkan, kasus (b) dengan permainan yang merugikan, dan kasus (c) dengan permainan yang adil.
Buka simulasi gerak acak simetris sederhana. Untuk berbagai nilai banyaknya percobaan \( n \), jalankan simulasi 1000 kali dan perhatikan perilaku umum lintasan sampelnya.
Berikut martingal momen kedua untuk gerak acak simetris sederhana.
Tinjau gerak acak sederhana dengan parameter \( p = \frac{1}{2} \), dan tetapkan \( Y_n = X_n^2 - \var(V_0) - n \) untuk \( n \in \N \). Maka \( \bs{Y} = \{Y_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs{X} \)
Rincian:
Perhatikan bahwa \( \E(V_i) = 0 \) dan \( \var(V_i) = 1 \) untuk setiap \( i \in \N_+ \), sehingga hasil tersebut mengikuti hasil umum di atas.
Namun, ada martingal lain yang dapat dikaitkan dengan gerak acak sederhana, yang dikenal sebagai martingal De Moivre dan dinamai menurut salah satu perintis awal teori probabilitas, Abraham De Moivre.
Untuk \( n \in \N \), definisikan \[ Z_n = \left(\frac{1 - p}{p}\right)^{X_n} \] Maka \( \bs{Z} = \{Z_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs{X} \).
Proses Beta-Bernoulli
Ingat bahwa proses beta-Bernoulli dikonstruksi dengan mengacak parameter keberhasilan dalam suatu proses percobaan Bernoulli menggunakan distribusi beta. Secara khusus, kita memiliki peubah acak \( P \) yang berdistribusi beta dengan parameter \( a, \, b \in (0, \infty) \), serta barisan peubah indikator \( \bs X = (X_1, X_2, \ldots) \) sedemikian sehingga, dengan syarat \( P = p \in (0, 1) \), \( \bs X \) merupakan barisan peubah independen dengan \( \P(X_i = 1) = p \) untuk \( i \in \N_+ \). Seperti biasa, kita menyatakannya dalam istilah keandalan, sehingga \( X_i = 1 \) berarti berhasil pada percobaan \( i \), sedangkan \( X_i = 0 \) berarti gagal. Dalam kajian kita atas proses ini, kita menunjukkan bahwa distribusi berdimensi hingga diberikan oleh \[ \P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n) = \frac{a^{[k]} b^{[n-k]}}{(a + b)^{[n]}}, \quad n \in \N_+, \; (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \{0, 1\}^n \] di mana kita menggunakan notasi pangkat naik \( r^{[j]} = r ( r + 1) \cdots (r + j - 1) \) untuk \( r \in \R \) dan \( j \in \N \). Selanjutnya, misalkan \( \bs{Y} = \{Y_n: n \in \N\} \) menyatakan proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs{X} \), sehingga sekali lagi, \[ Y_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad n \in \N \] Tentu saja \( Y_n \) adalah banyaknya keberhasilan dalam \( n \) percobaan pertama dan memiliki distribusi beta-binomial yang didefinisikan oleh \[ \P(Y_n = k) = \binom{n}{k} \frac{a^{[k]} b^{[n-k]}}{(a + b)^{[n]}}, \quad k \in \{0, 1, \ldots, n\} \] Sekarang tetapkan \[ Z_n = \frac{a + Y_n}{a + b + n}, \quad n \in \N\] Peubah ini juga muncul secara alami. Tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}\) untuk \( n \in \N \). Seperti ditunjukkan dalam bagian tentang proses beta-Bernoulli, \( Z_n = \E(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = \E(P \mid \mathscr{F}_n) \). Dalam istilah statistika, persamaan kedua berarti bahwa \( Z_n \) merupakan penduga Bayes bagi probabilitas keberhasilan \( p \) yang tidak diketahui dalam barisan percobaan Bernoulli, ketika \( p \) dimodelkan oleh peubah acak \( P \).
\( \bs Z = \{Z_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs X \).
Rincian:
Perhatikan bahwa \( 0 \le Z_n \le 1 \), sehingga \( \E(Z_n) \lt \infty \) untuk \( n \in \N \). Selanjutnya, \[\E\left(Z_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left[\frac{a + Y_{n+1}}{a + b + n + 1} \biggm| \mathscr{F}_n\right] = \frac{\E\left[a + \left(Y_n + X_{n+1}\right) \mid \mathscr{F}_n\right]}{a + b + n + 1} = \frac{a + Y_n + \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right)}{a + b + n + 1} \] Seperti disebutkan di atas, \( \E(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = (a + Y_n) / (a + b + n) \). Dengan menyubstitusikannya ke persamaan di atas dan melakukan sedikit aljabar, kita memperoleh \[ \E(Z_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = \frac{(a + Y_n) + (a + Y_n) / (a + b + n)}{a + b + n + 1} = \frac{a + Y_n}{a + b + n} = Z_n \]
Buka eksperimen beta-binomial. Jalankan simulasi 1000 kali untuk berbagai nilai parameter, lalu bandingkan fungsi kepadatan probabilitas empiris dengan fungsi kepadatan probabilitas sebenarnya.
Proses Urna Pólya
Ingat bahwa dalam versi paling sederhana dari proses urna Pólya, kita mulai dengan sebuah urna yang berisi \( a \) bola merah dan \( b \) bola hijau. Pada setiap langkah waktu diskret, kita memilih sebuah bola secara acak dari urna, lalu mengembalikan bola tersebut dan menambahkan \( c \) bola baru dengan warna yang sama ke dalam urna. Parameternya harus memenuhi \( a, \, b \in \N_+ \) dan \( c \in \N \). Untuk \( i \in \N_+ \), misalkan \( X_i \) menyatakan warna bola yang terpilih pada pengambilan ke-\( i \), dengan 1 berarti merah dan 0 berarti hijau. Proses \( \bs{X} = \{X_n: n \in \N_+\} \) merupakan contoh klasik barisan peubah yang dapat dipertukarkan tetapi saling bergantung. Misalkan \( \bs{Y} = \{Y_n: n \in \N\} \) menyatakan proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs{X} \), sehingga sekali lagi, \[ Y_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad n \in \N \] Tentu saja \( Y_n \) adalah jumlah bola merah yang terpilih dalam \( n \) pengambilan pertama. Karena itu, pada waktu \( n \in \N \), jumlah bola merah dalam urna adalah \( a + c Y_n \), sedangkan jumlah seluruh bola dalam urna adalah \( a + b + c n \). Jadi, proporsi bola merah dalam urna adalah \[ Z_n = \frac{a + c Y_n}{a + b + c n} \]
\( \bs{Z} = \{Z_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs{X} \).
Rincian:
Bukti tidak langsung: Jika \( c = 0 \), maka \( Z_n = a / (a + b) \) untuk \( n \in \N \), sehingga \( \bs Z \) merupakan martingal konstan. Jika \( c \in \N_+ \), maka \( \bs Z \) ekuivalen dengan proses beta-Bernoulli berparameter \( a / c \) dan \( b / c \). Lebih lanjut, \[ Z_n = \frac{a + c Y_n}{a + b + c n} = \frac{a / c + Y_n}{a / c + b / c + n}, \quad n \in \N \] Jadi, \( \bs Z \) merupakan martingal berdasarkan .
Bukti langsung: Jelas bahwa \( 0 \le Z_n \le 1 \), sehingga \( \E(Z_n) \lt \infty \) untuk \( n \in \N \). Tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} \). Untuk \( n \in \N \), \[\E\left(Z_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left[\frac{a + c Y_{n+1}}{a + b + c(n + 1)} \biggm| \mathscr{F}_n\right] = \frac{\E\left[a + c \left(Y_n + X_{n+1}\right) \mid \mathscr{F}_n\right]}{a + b + c(n + 1)} = \frac{a + c Y_n + c \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right)}{a + b + c n + c} \] karena \( Y_n \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \). Namun, probabilitas terpilihnya bola merah pada pengambilan \( n + 1 \), jika diketahui riwayat proses hingga waktu \( n \), sama dengan proporsi bola merah dalam urna pada waktu \( n \). Artinya, \[ \E\left(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \P\left(X_{n+1} = 1 \mid \mathscr{F}_n\right) = Z_n = \frac{a + c Y_n}{a + b + c n} \] Dengan menyubstitusikan dan menyederhanakan, diperoleh \( \E\left(Z_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = Z_n \).
Buka simulasi eksperimen urna Pólya. Jalankan simulasi 1000 kali untuk berbagai nilai parameter, lalu bandingkan fungsi kepadatan probabilitas empiris dari banyaknya bola merah yang terpilih dengan fungsi kepadatan probabilitas sebenarnya.
Proses dengan Inkremen Independen.
Contoh pertama di atas membahas proses jumlah parsial \( \bs{X} \) pada bagian Jumlah Parsial yang terkait dengan barisan peubah acak independen \( \bs{V} \). Proses semacam itu adalah satu-satunya proses dalam waktu diskret yang memiliki inkremen independen. Artinya, untuk \( m, \, n \in \N \) dengan \( m \le n \), \( X_n - X_m \) independen dari \( (X_0, X_1, \ldots, X_m) \). Gerak acak pada bagian Gerak Acak Waktu Diskret memiliki sifat tambahan berupa inkremen stasioner. Artinya, distribusi \( X_n - X_m \) sama dengan distribusi \( X_{n-m} - X_0 \) untuk \( m, \, n \in \N \) dengan \( m \le n \). Mari kita tinjau proses dalam waktu diskret atau kontinu yang memiliki sifat-sifat ini. Jadi, misalkan \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) memenuhi asumsi dasar pada bagian Asumsi Dasar di atas relatif terhadap filtrasi \( \mathfrak{F} = \left\{\mathscr{F}_s: s \in T\right\} \). Berikut kedua definisinya.
Proses \( \bs X \) memiliki
- Inkremen independen jika \( X_t - X_s \) independen dari \( \mathscr{F}_s \) untuk semua \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \).
- Inkremen stasioner jika \( X_t - X_s \) memiliki distribusi yang sama dengan \( X_{t-s} - X_0 \) untuk semua \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \).
Proses dengan inkremen stasioner dan independen telah dipelajari dalam bab tentang proses Markov. Dalam waktu kontinu (dengan asumsi kekontinuan yang telah kita tetapkan), proses semacam itu dikenal sebagai proses Lévy, yang dinamai menurut Paul Lévy, dan juga sebagai gerak acak waktu kontinu. Untuk proses dengan inkremen independen (yang tidak harus stasioner), hubungannya dengan martingal bergantung pada fungsi rata-rata \( m \) yang diberikan oleh \( m(t) = \E(X_t) \) untuk \( t \in T \).
Misalkan \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) memiliki inkremen independen.
- Jika \( m \) menaik, maka \( \bs{X} \) merupakan submartingal.
- Jika \( m \) menurun, maka \( \bs X \) merupakan supermartingal.
- Jika \( m \) konstan, maka \( \bs X \) merupakan martingal
Rincian:
Buktinya sama seperti bukti untuk proses jumlah parsial di atas. Misalkan \( s, \, t \in [0, \infty) \) dengan \( s \lt t \). Maka \[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = \E\left[X_s + (X_t - X_s) \mid \mathscr{F}_s\right] = \E\left(X_s \mid \mathscr{F}_s\right) + \E\left(X_t - X_s \mid \mathscr{F}_s\right)\] Namun, \( X_s \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_s \) dan \( X_t - X_s \) independen dari \( \mathscr{F}_s \). Jadi, \[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = X_s + \E(X_t - X_s) = X_s + m(t) - m(s) \]
Bandingkan hasil ini dengan hasil yang bersesuaian untuk proses jumlah parsial pada . Sekarang misalkan \( \bs{X} = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah proses stokastik seperti di atas dengan fungsi rata-rata \( m \), dan tetapkan \( Y_t = X_t - m(t) \) untuk \( t \in [0, \infty) \). Proses \( \bs{Y} = \{Y_t: t \in [0, \infty)\} \) kadang-kadang disebut proses terkompensasi yang terkait dengan \( \bs{X} \), dan memiliki fungsi rata-rata 0. Jika \( \bs{X} \) memiliki inkremen independen, jelas bahwa \( \bs{Y} \) juga demikian. Karena itu, hasil berikut merupakan akibat langsung dari teorema sebelumnya.
Misalkan \( \bs{X} \) memiliki inkremen independen. Proses terkompensasi \( \bs{Y} \) merupakan martingal.
Selanjutnya, kita memberikan martingal momen kedua untuk proses dengan inkremen independen, yang menggeneralisasi martingal momen kedua bagi proses jumlah parsial pada .
Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) memiliki inkremen independen dengan fungsi rata-rata konstan dan dengan \( \var(X_t) \lt \infty \) untuk \( t \in T \). Maka \( \bs Y = \{Y_t: t \in T\} \) merupakan martingal dengan \[ Y_t = X_t^2 - \var(X_t), \quad t \in T \]
Rincian:
Buktinya pada dasarnya sama dengan bukti untuk proses jumlah parsial dalam waktu diskret. Misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \lt t \). Perhatikan bahwa \( \E(Y_t \mid \mathscr{F}_s) = \E(X_t^2 \mid \mathscr{F}_s) - \var(X_t) \). Selanjutnya, \[ X_t^2 = [(X_t - X_s) + X_s]^2 = (X_t - X_s)^2 + 2 (X_t - X_s) X_s + X_s^2 \] Namun, \( X_t - X_s \) independen dari \( \mathscr{F}_s \), \( X_s \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_s \), dan \( \E(X_t - X_s) = 0 \), sehingga \[ \E(X_t^2 \mid \mathscr{F}_s) = \E[(X_t - X_s)^2] + 2 X_s \E(X_t - X_s) + X_s^2 = \E[(X_t - X_s)^2] + X_s^2 \] Selain itu, berdasarkan independensi dan karena \( X_t - X_s \) memiliki rata-rata 0, \[ \var(X_t) = \var[(X_t - X_s) + X_s] = \var(X_s) + \var(X_t - X_s) = \var(X_s) + \E[(X_t - X_s)^2] \] Dengan menggabungkan hasil-hasil tersebut, diperoleh \[ \E(Y_t \mid \mathscr{F}_s) = X_s^2 - \var(X_s) = Y_s \]
Tentu saja, karena fungsi rata-ratanya konstan, \( \bs X \) juga merupakan martingal. Untuk proses dengan inkremen independen dan stasioner (yaitu gerak acak), dua teorema terakhir menjadi lebih sederhana karena fungsi rata-rata dan variansnya menjadi lebih sederhana.
Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) memiliki inkremen stasioner dan independen, serta tetapkan \( a = \E(X_1 - X_0) \). Maka
- \( \bs X \) merupakan martingal jika \( a = 0 \)
- \( \bs X \) merupakan submartingal jika \( a \ge 0 \)
- \( \bs X \) merupakan supermartingal jika \( a \le 0 \)
Bandingkan hasil ini dengan hasil yang bersesuaian pada untuk gerak acak waktu diskret. Hasil berikutnya adalah martingal momen kedua. Bandingkan hasil tersebut dengan martingal momen kedua pada untuk gerak acak waktu diskret.
Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) memiliki inkremen stasioner dan independen dengan \( \E(X_0) = \E(X_1) \) dan \( b^2 = \E[(X_1 - X_0)^2] \lt \infty \). Maka \( \bs Y = \{Y_t: t \in T\} \) merupakan martingal dengan \[ Y_t = X_t^2 - \var(X_0) - b^2 t, \quad t \in T \]
Rincian:
Ingat bahwa jika \( \E(X_0) = \E(X_1) \), maka \( \bs X \) memiliki fungsi rata-rata konstan. Selain itu, \(\var(X_t) = \var(X_0) + b^2 t \), sehingga hasil tersebut mengikuti hasil yang bersesuaian untuk proses dengan inkremen independen.
Dalam waktu diskret, seperti telah kita sebutkan beberapa kali, semua hasil ini mereduksi menjadi hasil-hasil sebelumnya untuk proses jumlah parsial dan gerak acak. Dalam waktu kontinu, proses Poisson, yang tentu saja dinamai menurut Simeon Poisson, memberikan contoh. Proses penghitungan Poisson standar (homogen) \( \bs N = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \) dengan laju konstan \( r \in (0, \infty) \) memiliki inkremen stasioner dan independen serta fungsi rata-rata yang diberikan oleh \( m(t) = r t \) untuk \( t \in [0, \infty) \). Secara lebih umum, misalkan \( r: [0, \infty) \to (0, \infty) \) kontinu sepotong-sepotong (dan tidak konstan). Proses penghitungan Poisson takhomogen \( \bs N = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \) dengan fungsi laju \( r \) memiliki inkremen independen dan fungsi rata-rata yang diberikan oleh \[ m(t) = \int_0^t r(s) \, ds, \quad t \in [0, \infty) \] Inkremen \( N_t - N_s \) memiliki distribusi Poisson dengan parameter \( m(t) - m(s) \) untuk \( s, \, t \in [0, \infty) \) dengan \( s \lt t \), sehingga proses tersebut tidak memiliki inkremen stasioner. Dalam semua kasus, \( m \) menaik, sehingga hasil-hasil berikut merupakan akibat dari hasil umum kita:
Misalkan \( \bs N = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \) adalah proses penghitungan Poisson dengan fungsi laju \( r: [0, \infty) \to (0, \infty) \). Maka
- \( \bs N \) merupakan submartingal
- Proses terkompensasi \( \bs X = \{N_t - m(t): t \in [0, \infty)\} \) merupakan martingal.
Buka simulasi eksperimen pencacahan Poisson. Untuk berbagai nilai \( r \) dan \( t \), jalankan eksperimen 1000 kali, lalu bandingkan fungsi kepadatan probabilitas empiris dari banyaknya kedatangan dengan fungsi kepadatan probabilitas sebenarnya.
Kita akan melihat contoh-contoh lain proses dengan inkremen stasioner dan independen dalam waktu kontinu (dan dengan demikian juga contoh martingal waktu kontinu) dalam kajian tentang gerak Brown.
Uji Rasio Kemungkinan
Misalkan \( (S, \mathscr{S}, \mu) \) adalah ruang ukuran umum, dan \( \bs{X} = \{X_n: n \in \N\} \) adalah barisan peubah acak independen dan berdistribusi identik yang bernilai di \( S \). Dalam istilah statistika, \( \bs{X} \) bersesuaian dengan pengambilan sampel dari distribusi yang sama, yang biasanya tidak diketahui sepenuhnya. Memang, masalah utama dalam statistika adalah menarik inferensi mengenai distribusi dari pengamatan terhadap \( \bs{X} \). Sekarang misalkan distribusi yang mendasarinya memiliki fungsi kepadatan probabilitas \( g_0 \) atau fungsi kepadatan probabilitas \( g_1 \), terhadap \( \mu \). Kita mengandaikan bahwa \( g_0 \) dan \( g_1 \) positif pada \( S \). Kasus khusus yang umum dari kerangka ini adalah
- \( S \) adalah himpunan bagian terukur dari \( \R^n \) untuk suatu \( n \in \N_+ \), dan \( \mu = \lambda^n \) adalah ukuran Lebesgue berdimensi \( n \) pada \( S \).
- \( S \) adalah himpunan terhitung dan \( \mu = \# \) adalah ukuran pencacahan pada \( S \).
Uji rasio kemungkinan adalah suatu uji hipotesis, dengan hipotesis nol dan hipotesis alternatif sebagai berikut:
- \( H_0 \): fungsi kepadatan probabilitasnya adalah \( g_0 \).
- \( H_1 \): fungsi kepadatan probabilitasnya adalah \( g_1 \).
Uji tersebut didasarkan pada statistik uji \[ L_n = \prod_{i=1}^n \frac{g_0(X_i)}{g_1(X_i)}, \quad n \in \N \] yang dikenal sebagai statistik uji rasio kemungkinan. Nilai statistik uji yang kecil merupakan bukti yang mendukung hipotesis alternatif \( H_1 \). Berikut hasilnya.
Di bawah hipotesis alternatif \( H_1 \), proses \( \bs{L} = \{L_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \bs{X} \), yang dikenal sebagai martingal rasio kemungkinan.
Rincian:
Tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} \). Untuk \( n \in \N \), \[ \E\left(L_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left[L_n \frac{g_0(X_{n+1})}{g_1(X_{n+1})} \biggm| \mathscr{F}_n\right] = L_n \E\left[\frac{g_0(X_{n+1})}{g_1(X_{n+1})}\right] \] Hal ini berlaku karena \( L_n \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \) dan \( g_0(X_{n+1}) \big/ g_1(X_{n+1}) \) independen dari \( \mathscr{F}_n \). Namun, di bawah \( H_1 \), dengan menggunakan rumus perubahan peubah untuk nilai harapan, kita memperoleh \[ \E\left[\frac{g_0(X_{n+1})}{g_1(X_{n+1})}\right] = \int_S \frac{g_0(x)}{g_1(x)} g_1(x) \, d\mu(x) = \int_S g_0(x) \, d\mu(x) = 1 \] Hasil ini pada dasarnya juga mengikuti pembahasan Hasil Kali Parsial tentang hasil kali parsial. Barisan \( \bs Z = (Z_1, Z_2, \ldots) \) yang diberikan oleh \( Z_i = g_0(X_i) / g_1(X_i) \) untuk \( i \in \N_+ \) bersifat independen dan berdistribusi identik, serta, seperti baru saja ditunjukkan, memiliki rata-rata 1 di bawah \( H_1 \).
Proses Percabangan
Dalam model paling sederhana dari suatu proses percabangan, kita memiliki sistem partikel yang masing-masing dapat punah atau membelah menjadi partikel-partikel baru dengan jenis yang sama. Asumsi dasarnya adalah bahwa partikel-partikel tersebut bertindak secara independen, masing-masing dengan distribusi keturunan yang sama pada \( \N \). Kita akan menggunakan \( f \) untuk menyatakan fungsi kepadatan probabilitas (diskret) dari banyaknya keturunan sebuah partikel, \( m \) untuk rata-rata distribusi tersebut, dan \( \phi \) untuk fungsi pembangkit probabilitas distribusi tersebut. Jadi, jika \( U \) adalah banyaknya anak sebuah partikel, maka \( f(n) = \P(U = n) \) untuk \( n \in \N \), \( m = \E(U) \), dan \( \phi(t) = \E\left(t^U\right) \) didefinisikan setidaknya untuk \( t \in (-1, 1] \).
Perhatian kita tertuju pada waktu generasi, bukan waktu mutlak: partikel awal berada pada generasi 0, dan secara rekursif, anak dari sebuah partikel pada generasi \( n \) termasuk dalam generasi \( n + 1 \). Jadi, proses stokastik yang kita kaji adalah \( \bs{X} = \{X_n: n \in \N\} \), dengan \( X_n \) merupakan banyaknya partikel pada generasi ke-\( n \) untuk \( n \in \N \). Proses \( \bs{X} \) merupakan rantai Markov dan telah dipelajari dalam bagian tentang rantai percabangan waktu diskret. Secara khusus, salah satu masalah dasarnya adalah menghitung probabilitas kepunahan \( q \) jika dimulai dengan satu partikel: \[ q = \P(X_n = 0 \text{ for some } n \in \N \mid X_0 = 1) \] Karena partikel-partikel tersebut bertindak secara independen, probabilitas kepunahan jika dimulai dengan \( x \in \N \) partikel adalah \( q^x \). Kita akan mengandaikan bahwa \( f(0) \gt 0 \) dan \( f(0) + f(1) \lt 1 \). Inilah kasus yang menarik, sebab sebuah partikel memiliki probabilitas positif untuk mati tanpa anak dan probabilitas positif untuk menghasilkan lebih dari 1 anak. Ingat bahwa hasil dasarnya menyatakan bahwa \( q \) adalah titik tetap terkecil dari \( \phi \) (sehingga \( \phi(q) = q \)) dalam interval \( [0, 1] \). Berikut dua martingal yang terkait dengan proses percabangan:
Masing-masing proses berikut merupakan martingal terhadap \( \bs X \).
- \( \bs{Y} = \{Y_n: n \in \N\} \), dengan \( Y_n = X_n / m^n \) untuk \( n \in \N \).
- \( \bs{Z} = \{Z_n: n \in \N\} \), dengan \( Z_n = q^{X_n} \) untuk \( n \in \N \).
Rincian:
Tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_n\} \). Untuk \( n \in \N \), perhatikan bahwa \( X_{n+1} \) dapat ditulis dalam bentuk \[ X_{n+1} = \sum_{i=1}^{X_n} U_i \] dengan \( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \) merupakan barisan peubah independen yang masing-masing memiliki fungsi kepadatan probabilitas \( f \) (dan dengan demikian rata-rata \( m \) serta fungsi pembangkit probabilitas \( \phi \)), dan \( \bs{U} \) independen dari \( \mathscr{F}_n \). Pandang \( U_i \) sebagai banyaknya anak dari partikel ke-\( i \) pada generasi \( n \).
- Untuk \( n \in \N \), \[ \E(Y_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = \E\left(\frac{X_{n+1}}{m^{n+1}} \biggm| \mathscr{F}_n\right) = \frac{1}{m^{n+1}} \E\left(\sum_{i=1}^{X_n} U_i \biggm| \mathscr{F}_n\right) = \frac{1}{m^{n+1}} m X_n = \frac{X_n}{m^n} = Y_n \]
- Untuk \( n \in \N \) \[ \E\left(Z_{n+1} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left(q^{X_{n+1}} \mid \mathscr{F}_n\right) = \E\left(q^{\sum_{i=1}^{X_n} U_i} \biggm| \mathscr{F}_n\right) = \left[\phi(q)\right]^{X_n} = q^{X_n} = Z_n\]
Martingal Doob
Contoh berikutnya termasuk salah satu yang paling sederhana, tetapi juga paling penting. Seperti yang akan kita lihat kemudian dalam bagian tentang kekonvergenan, jenis martingal ini hampir universal dalam arti bahwa setiap martingal yang terintegralkan seragam termasuk jenis ini. Proses tersebut dikonstruksi dengan mengondisikan suatu peubah acak tetap pada aljabar-\( \sigma \) dalam filtrasi tertentu, sehingga mengakumulasi informasi mengenai peubah acak tersebut.
Misalkan \( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \) adalah filtrasi pada ruang probabilitas \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \), dan \( X \) adalah peubah acak bernilai riil dengan \( \E\left(\left|X\right|\right) \lt \infty \). Definisikan \( X_t = \E\left(X \mid \mathscr{F}_t\right) \) untuk \( t \in T \). Maka \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak{F} \).
Rincian:
Untuk \( t \in T \), ingat bahwa \( |X_t| = |\E(X \mid \mathscr{F}_t)| \le \E(|X| \mid \mathscr{F}_t) \). Dengan mengambil nilai harapan, diperoleh \( \E(|X_t|) \le \E(|X|) \lt \infty \). Misalkan \( s, \, t \in T \) dengan \( s \lt t \). Dengan menggunakan sifat menara nilai harapan bersyarat, \[ \E\left(X_t \mid \mathscr{F}_s\right) = \E\left[\E\left(X \mid \mathscr{F}_t\right) \mid \mathscr{F}_s\right] = \E\left(X \mid \mathscr{F}_s\right) = X_s \]
Martingal dalam teorema terakhir dikenal sebagai martingal Doob dan dinamai menurut Joseph Doob, yang banyak melakukan pekerjaan perintis tentang martingal. Martingal ini juga dikenal sebagai martingal Lévy, yang dinamai menurut Paul Lévy.
Martingal Doob muncul secara alami dalam konteks statistika berupa pendugaan Bayes. Misalkan \( \bs X = (X_1, X_2, \ldots) \) adalah barisan peubah acak independen dengan distribusi yang sama, yang bergantung pada parameter bernilai riil \( \theta \) yang tidak diketahui dan bernilai dalam ruang parameter \( A \subseteq \R \). Untuk setiap \( n \in \N_+ \), tetapkan \( \mathscr{F}_n = \sigma\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} \), sehingga \( \mathfrak F = \{\mathscr{F}_n: n \in \N_+\} \) merupakan filtrasi alami yang terkait dengan \( \bs X \). Dalam pendugaan Bayes, kita memodelkan parameter \( \theta \) yang tidak diketahui dengan peubah acak \( \Theta \) yang bernilai di \( A \) dan memiliki distribusi prior tertentu. Penduga Bayes bagi \( \theta \) berdasarkan sampel \( \bs{X}_n = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) adalah \[ U_n = \E(\Theta \mid \mathscr{F}_n), \quad n \in \N_+ \] Karena itu, barisan penduga Bayes \( \bs U = (U_n: n \in \N_+) \) merupakan martingal Doob. Pendugaan yang disebutkan dalam pembahasan proses beta-Bernoulli di atas merupakan kasus khusus.
Fungsi Kepadatan
Untuk contoh ini, Anda mungkin perlu meninjau kembali bagian tentang ukuran umum dan fungsi kepadatan. Kita mulai dengan ruang probabilitas \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \) dan filtrasi \( \mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \) dalam waktu diskret. Sekarang misalkan \( \mu \) adalah ukuran hingga pada ruang sampel \( (\Omega, \mathscr{F}) \). Untuk setiap \( n \in \N \), pembatasan \( \mu \) pada \( \mathscr{F}_n \) merupakan ukuran pada ruang terukur \( (\Omega, \mathscr{F}_n) \); demikian pula, pembatasan \( \P \) pada \(\mathscr{F}_n\) merupakan ukuran probabilitas pada \( (\Omega, \mathscr{F}_n) \). Untuk menyederhanakan notasi dan istilah, kita akan menyebut keduanya masing-masing sebagai \( \mu \) dan \( \P \) pada \(\mathscr{F}_n\). Sekarang misalkan \( \mu \) kontinu mutlak terhadap \( \P \) pada \( \mathscr{F}_n \) untuk setiap \( n \in \N \). Ingat bahwa ini berarti bahwa jika \( A \in \mathscr{F}_n \) dan \( \P(A) = 0 \), maka \( \mu(B) = 0 \) untuk setiap \( B \in \mathscr{F}_n \) dengan \( B \subseteq A \). Berdasarkan teorema Radon-Nikodym, \( \mu \) memiliki fungsi kepadatan \( X_n: \Omega \to \R \) terhadap \( \P \) pada \(\mathscr{F}_n\) untuk setiap \( n \in \N \). Fungsi kepadatan suatu ukuran terhadap ukuran positif dikenal sebagai turunan Radon-Nikodym. Teorema dan turunan tersebut dinamai menurut Johann Radon dan Otto Nikodym. Berikut hasil utamanya.
\( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak F \).
Rincian:
Misalkan \( n \in \N \). Berdasarkan definisi, \( X_n \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_n \). Selain itu, \( \E(|X_n|) = \|\mu\|\) (variasi total \( \mu \)) untuk setiap \( n \in \N \). Karena \( \mu \) adalah ukuran hingga, \( \|\mu\| \lt \infty \). Berdasarkan definisi, \[ \mu(A) = \int_A X_n d \P = \E(X_n; A), \quad A \in \mathscr{F}_n \] Di sisi lain, jika \( A \in \mathscr{F}_n \), maka \( A \in \mathscr{F}_{n+1} \), sehingga \( \mu(A) = \E(X_{n+1}; A) \). Ringkasnya, \( X_n \) bersifat \( \mathscr{F}_n \)-terukur dan \( \E(X_{n+1}; A) = \E(X_n ; A) \) untuk semua \( A \in \mathscr{F}_n \). Berdasarkan definisi, ini berarti bahwa \( \E(X_{n+1} \mid \mathscr{F}_n) = X_n \), sehingga \( \bs X \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak F \).
Perhatikan bahwa \( \mu \) mungkin tidak kontinu mutlak terhadap \( \P \) pada \( \mathscr{F} \), bahkan mungkin tidak pada \( \mathscr{F}_\infty = \sigma \left(\bigcup_{n=0}^\infty \mathscr{F}_n\right) \). Di sisi lain, jika \( \mu \) memang kontinu mutlak terhadap \( \P \) pada \( \mathscr{F}_\infty \), maka \( \mu \) memiliki fungsi kepadatan \( X \) terhadap \( \P \) pada \( \mathscr{F}_\infty \). Jadi, pertanyaan alami dalam kasus ini adalah hubungan antara martingal \( \bs X \) dan peubah acak \( X \). Anda mungkin sudah dapat menebak jawabannya, tetapi bagaimanapun juga jawabannya akan diberikan dalam bagian tentang kekonvergenan.