Pertidaksamaan

Teori Dasar

Dalam bagian ini, kita akan mempelajari sejumlah pertidaksamaan menarik yang berkaitan dengan martingal beserta kerabatnya, yaitu submartingal dan supermartingal. Pertidaksamaan ini ternyata sangat penting, baik untuk alasan teoretis maupun untuk penerapan. Anda mungkin perlu meninjau kembali infimum dan supremum.

Asumsi Dasar

Seperti dalam pendahuluan, kita mulai dengan suatu proses stokastik \( \bs{X} = \{X_t: t \in T\} \) pada ruang probabilitas yang mendasarinya \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \), dengan ruang keadaan \( \R \), dan dengan himpunan indeks \( T \) (yang menyatakan waktu) berupa \( \N \) (waktu diskret) atau \( [0, \infty) \) (waktu kontinu). Selanjutnya, kita memiliki suatu filtrasi \(\mathfrak{F} = \{\mathscr{F}_t: t \in T\} \), dan kita mengandaikan bahwa \( \bs{X} \) teradaptasi terhadap \( \mathfrak{F} \). Jadi, \( \mathfrak{F} \) merupakan keluarga menaik subaljabar-\( \sigma \) dari \( \mathscr{F} \), dan \( X_t \) terukur terhadap \( \mathscr{F}_t \) untuk \( t \in T \). Kita memandang \( \mathscr{F}_t \) sebagai koleksi kejadian hingga waktu \( t \in T \). Kita mengandaikan bahwa \( \E\left(\left|X_t\right|\right) \lt \infty \), sehingga rata-rata \( X_t \) ada sebagai bilangan riil untuk setiap \( t \in T \). Terakhir, dalam waktu kontinu ketika \( T = [0, \infty) \), kita menggunakan asumsi standar bahwa \( t \mapsto X_t \) kontinu kanan dan memiliki limit kiri, serta bahwa filtrasi \( \mathfrak F \) kontinu kanan dan lengkap.

Pertidaksamaan Maksimal

Sebagai motivasi, mari kita tinjau suatu versi modifikasi dari pertidaksamaan Markov, yang dinamai menurut Andrei Markov.

Jika \( X \) merupakan peubah acak bernilai riil, maka \[ \P(X \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X ; X \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Rincian:

Versi modifikasi ini pada dasarnya memiliki bukti yang sama elegannya dengan versi semula. Jelas bahwa \[ x \bs{1}(X \ge x) \le X \bs{1}(X \ge x), \quad x \in (0, \infty) \] Mengambil nilai harapan pada pertidaksamaan tersebut memberikan \( x \P(X \ge x) \le \E(X; X \ge x) \). Membagi kedua ruas dengan \( x \) memberikan hasilnya (dan pada titik inilah kita memerlukan \( x \gt 0. \)).

Jadi, pertidaksamaan Markov memberikan batas atas bagi probabilitas bahwa \( X \) melampaui nilai positif tertentu \( x \), berdasarkan suatu momen dari \( X \). Sekarang mari kembali ke proses stokastik kita \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \). Untuk menyederhanakan notasi, tetapkan \( T_t = \{s \in T: s \le t\} \) untuk \( t \in T \). Berikut definisi utamanya:

Untuk proses \( \bs X \), definisikan proses maksimal yang bersesuaian \( \bs U = \{U_t: t \in T\} \) dengan \[ U_t = \sup\{X_s: s \in T_t\}, \quad t \in T \]

Jelas bahwa proses maksimal tersebut menaik, sehingga jika \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), maka \( U_s \le U_t \). Penerapan langsung pertidaksamaan Markov di atas akan memberikan \[ \P(U_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(U_t; U_t \ge x), \quad x \gt 0 \] Namun, ketika \( \bs X \) merupakan submartingal, teorema berikut memberikan hasil yang jauh lebih kuat dengan mengganti kemunculan pertama \( U_t \) di ruas kanan dengan \( X_t \). Teorema ini dikenal sebagai pertidaksamaan maksimal submartingal Doob (atau lebih sederhana sebagai pertidaksamaan Doob), yang sekali lagi dinamai menurut Joseph Doob, yang melakukan banyak pekerjaan perintis mengenai martingal. Submartingal memiliki semacam sifat menaik, dalam arti bahwa jika \( s, \, t \in T \) dengan \( s \le t \), maka \( \E(X_t \mid \mathscr{F}_s) \ge X_s \), sehingga keberadaan batas semacam itu mungkin tidak sepenuhnya mengejutkan.

Misalkan \( \bs X \) merupakan submartingal. Untuk \( t \in T \), tetapkan \( U_t = \sup\{X_s: s \in T_t\} \). Maka \[ \P(U_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t; U_t \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Rincian:

Bukti dalam waktu diskret: Jadi, \( T = \N \) dan proses maksimal diberikan oleh \( U_n = \max\left\{X_k: k \in \N_n\right\} \) untuk \( n \in \N \). Ambil \( x \in (0, \infty) \), dan definisikan \( \tau_x = \min\{k \in \N: X_k \ge x\} \), dengan seperti biasa \( \min(\emptyset) = \infty \). Waktu acak \( \tau_x \) merupakan waktu henti terhadap \( \mathfrak F \). Selain itu, proses \( \{U_n: n \in \N\} \) dan \( \{\tau_x: x \in (0, \infty)\} \) saling invers dalam arti bahwa untuk \( n \in \N \) dan \( x \in (0, \infty) \), \[ U_n \ge x \text{ jika dan hanya jika } \tau_x \le n \] Kita telah melihat jenis dualitas ini sebelumnya—dalam proses Poisson dan secara lebih umum dalam proses pembaruan. Ambil \( n \in \N \). Pertama, perhatikan bahwa \[ \E\left(X_{\tau_x \wedge n}\right) = \E\left(X_{\tau_x \wedge n}; \tau_x \le n\right) + \E\left(X_{\tau_x \wedge n}; \tau_x \gt n\right) \] Jika \( \tau_x \le n \), maka \( X_{\tau_x \wedge n} = X_{\tau_x} \ge x \). Di sisi lain, jika \( \tau_x \gt n \), maka \( X_{\tau_x \wedge n} = X_n \). Jadi, kita memperoleh \[ \E\left(X_{\tau_x \wedge n}\right) \ge x \P(\tau_x \le n) + \E(X_n; \tau_x \gt n) = x \P(U_n \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n) \] Demikian pula, \[ \E(X_n) = \E(X_n; \tau_x \le n) + \E(X_n; \tau_x \gt n) = \E(X_n; U_n \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n) \] Namun, berdasarkan teorema penghentian opsional, \( \E\left(X_{\tau_x \wedge n}\right) \le \E(X_n) \). Oleh karena itu, \[ x \P(U_n \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n) \le \E(X_n; U_n \ge x) + \E(X_n; \tau_x \gt n)\] Mengurangkan suku yang sama lalu membagi kedua ruas dengan \( x \) memberikan hasilnya.

Bukti dalam waktu kontinu: Untuk \( k \in \N \), misalkan \( \D^+_k = \{j / 2^k: j \in \N\} \) menyatakan himpunan bilangan rasional diadik nonnegatif (atau bilangan rasional biner) dengan peringkat \( k \) atau kurang. Untuk \( t \in [0, \infty) \), tetapkan \( T^k_t = (\D^+_k \cap [0, t]) \cup \{t\} \), sehingga \( T^k_t \) merupakan himpunan berhingga bilangan rasional diadik tersebut yang kurang dari \( t \), dengan \( t \) ditambahkan ke himpunan itu. Perhatikan bahwa \( T^k_t \) memiliki enumerasi terurut, sehingga \( \bs{X}^k = \{X_s: s \in T^k_t\} \) merupakan submartingal waktu diskret untuk setiap \( k \in \N \). Tetapkan \( U^k_t = \sup\{X_s: s \in T^k_t\} \) untuk \( k \in \N \). Perhatikan bahwa \( T^j_t \subset T^k_t \subset [0, t] \) untuk \( t \in [0, \infty) \) dan untuk \( j, \, k \in \N \) dengan \( j \lt k \), sehingga \( U^j_t \le U^k_t \le U_t \). Akibatnya, untuk \( x \in (0, \infty) \), \[ \left\{U^j_t \ge x\right\} \subseteq \left\{U^k_t \ge x\right\} \subset \{U_t \ge x\} \] Kerapatan \( \D^+ \), kekontinuan kanan, dan penyertaan \(t\) memberikan \(U_t^k \uparrow U_t\), tetapi kejadian ambang tertutupnya tidak harus sama pada suatu kisi berhingga. Ambil \(y \in (0,x)\), dan tetapkan \[ A_y = \bigcup_{k=0}^{\infty}\{U_t^k \ge y\}. \] Untuk setiap \(k\in\N\), pertidaksamaan waktu diskret memberikan \[ \P(U_t^k \ge y) \le \frac{1}{y}\E(X_t;U_t^k\ge y). \] Kejadian-kejadian tersebut menaik menuju \(A_y\). Karena \(X_t\) terintegralkan, kekontinuan probabilitas dari bawah dan teorema konvergensi terdominasi memberikan \[ \P(A_y) \le \frac{1}{y}\E(X_t;A_y). \] Jika \(y_m\uparrow x\), maka \(A_{y_m}\downarrow\{U_t\ge x\}\). Kekontinuan probabilitas dari atas dan konvergensi terdominasi kemudian memberikan \[ \P(U_t\ge x) \le \frac{1}{x}\E(X_t;U_t\ge x). \]

Ada sejumlah akibat sederhana dari pertidaksamaan maksimal. Untuk yang pertama, ingat bahwa bagian positif dari \( x \in \R \) adalah \( x^+ = x \vee 0 \), sehingga \( x^+ = x \) jika \( x \gt 0 \) dan \( x^+ = 0 \) jika \( x \le 0 \).

Misalkan \( \bs X \) merupakan submartingal. Untuk \( t \in T \), tetapkan \( V_t = \sup\{X_s^+: s \in T_t\} \). Maka \[ \P(V_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t^+; V_t \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Rincian:

Ingat bahwa karena \( \bs X \) merupakan submartingal dan \( x \mapsto x^+ \) menaik serta cembung, \( \bs X^+ = \{X_t^+: t \in T\} \) juga merupakan submartingal. Oleh karena itu, hasilnya mengikuti pertidaksamaan maksimal umum untuk submartingal.

Sebagai akibat sederhana selanjutnya, perhatikan bahwa \[ \P(V_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_t^+), \quad x \in (0, \infty) \] Dalam literatur, pertidaksamaan maksimal terkadang dinyatakan dalam bentuk ini.

Misalkan \( \bs X \) merupakan martingal. Untuk \( t \in T \), tetapkan \( W_t = \sup\{|X_s|: s \in T_t\} \). Maka \[ \P(W_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|; W_t \ge x), \quad x \in (0, \infty) \]

Rincian:

Ingat dari sifat-sifat dasar bahwa karena \( \bs X \) merupakan martingal dan \( x \mapsto |x| \) cembung, \( |\bs X| = \{|X_t|: t \in T\} \) merupakan submartingal. Oleh karena itu, hasilnya mengikuti pertidaksamaan maksimal umum untuk submartingal.

Sekali lagi, akibat sederhana selanjutnya adalah \[ \P(W_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|), \quad x \in (0, \infty) \] Selanjutnya, ingat bahwa untuk \( k \in (1, \infty) \), norma-\( k \) dari suatu peubah acak bernilai riil \( X \) adalah \( \|X\|_k = \left[\E(|X|^k)\right]^{1/k} \), dan ruang vektor \( \mathscr{L}_k \) terdiri atas semua peubah acak bernilai riil yang normanya berhingga. Teorema berikut merupakan versi norma dari pertidaksamaan maksimal Doob.

Misalkan kembali bahwa \( \bs X \) merupakan martingal. Untuk \( t \in T \), tetapkan \( W_t = \sup\{|X_s|: s \in T_t\} \). Maka untuk \( k \gt 1 \), \[ \|W_t\|_k \le \frac{k}{k - 1} \|X_t\|_k\]

Rincian:

Tetapkan \( t \in T \). Jika \( \E(|X_t|^k) = \infty \), pertidaksamaan tersebut berlaku dengan sendirinya, jadi andaikan bahwa \( \E(|X_t|^k) \lt \infty \), dan dengan demikian \( X_t \in \mathscr{L}_k \). Bukti ini bergantung secara mendasar pada pertidaksamaan Hölder, dan agar pertidaksamaan itu dapat digunakan, kita perlu memotong peubah \( W_t \) dan sebagai gantinya meninjau peubah acak terbatas \( W_t \wedge c \), dengan \( c \in (0, \infty) \). Pertama, kita perlu menunjukkan bahwa \[ \P(W_t \wedge c \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|; W_t \wedge c \ge x), \quad x \in (0, \infty) \] Jika \( c \lt x \), kedua ruas bernilai 0. Jika \( c \ge x \), \( \{W_t \wedge c \ge x\} = \{W_t \ge x\} \) dan berdasarkan pertidaksamaan maksimal , \[ \P(W_t \wedge c \ge x) = \P(W_t \ge x) \le \frac{1}{x} \E(|X_t|; W_t \ge x) = \frac{1}{x}\E(|X_t|; W_t \wedge c \ge x) \] Selanjutnya, ingat dari sifat-sifat bahwa \[ \|W_t \wedge c\|_k^k = \E[(W_t \wedge c)^k] = \int_0^\infty k x^{k-1} \P(W_t \wedge c \ge x) dx \] Menerapkan pertidaksamaan tersebut memberikan \[ \E[(W_t \wedge c)^k] \le \int_0^\infty k x^{k-2} \E[|X_t|; W_t \wedge c \ge x] dx \] Berdasarkan teorema Fubini, kita dapat mempertukarkan nilai harapan dan integral, sehingga diperoleh \[ \E[(W_t \wedge c)^k] \le \E\left[\int_0^{W_t \wedge c} k x^{k-2} |X_t| dx\right] = \frac{k}{k - 1} \E[|X_t| (W_t \wedge c)^{k-1}] \] Namun, \( X_t \in \mathscr{L}_k \) dan \( (W_t \wedge c)^{k-1} \in \mathscr{L}_j \), dengan \( j = k / (k - 1) \) sebagai eksponen konjugat dari \( k \). Jadi, penerapan pertidaksamaan Hölder memberikan \[ \|W_t \wedge c\|_k^k \le \frac{k}{k - 1}\|X_t\|_k \, \|(W_t \wedge c)^{k-1}\|_j = \frac{k}{k - 1}\|X_t\|_k \|W_t \wedge c\|_k^{k-1} \] di mana kita menggunakan fakta sederhana bahwa \( \|(W_t \wedge c)^{k-1}\|_j = \|W_t \wedge c\|_k^{k-1} \). Membagi dengan faktor ini memberikan \[ \|W_t \wedge c\|_k \le \frac{k}{k - 1} \|X_t\|_k \] Terakhir, \( \|W_t \wedge c\|_k \uparrow \|W_t\|_k\) ketika \( c \to \infty \) berdasarkan teorema konvergensi monoton. Jadi, mengambil \( c \to \infty \) dalam persamaan terakhir yang ditampilkan memberikan \[ \|W_t\|_k \le \frac{k}{k - 1} \|X_t\|_k \]

Sekali lagi, \( \bs W = \{W_t: t \in T\} \) merupakan proses maksimal yang terkait dengan \( |\bs X| = \{\left|X_t\right|: t \in T\} \). Seperti dicatat dalam bukti, \( j = k / (k - 1) \) merupakan eksponen konjugat dari \( k \), yang memenuhi \( 1 / j + 1 / k = 1 \). Jadi, versi pertidaksamaan maksimal ini menyatakan bahwa norma-\( k \) dari nilai maksimum martingal \( \bs X \) pada \( T_t \) dibatasi di atas oleh \( j \) kali norma-\( k \) dari \( X_t \), dengan \( j \) dan \( k \) sebagai eksponen konjugat. Jika dinyatakan hanya dalam nilai harapan, bukan norma, pertidaksamaan maksimal \( \mathscr{L}_k \) adalah \[ \E\left(\left|W_t\right|^k\right) \le \left(\frac{k}{k - 1}\right)^k \E\left(\left|X_t\right|^k\right) \] Hasil terakhir kita dalam pembahasan ini merupakan variasi pertidaksamaan maksimal untuk supermartingal.

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in T\} \) merupakan supermartingal nonnegatif, dan tetapkan \( U_\infty = \sup\{X_t: t \in T\} \). Maka \[ \P(U_\infty \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_0), \quad x \in (0, \infty) \]

Rincian:

Untuk \(t\in T\), tetapkan \(U_t=\sup\{X_s:s\in T_t\}\), lalu ambil \(x\in(0,\infty)\). Dalam waktu diskret, tetapkan \(\tau_x=\inf\{s\in T_t:X_s\ge x\}\), dengan \(\inf(\emptyset)=\infty\). Kenonnegatifan dan teorema penghentian opsional memberikan \[ x\P(U_t\ge x) \le \E(X_{\tau_x\wedge t}) \le \E(X_0). \] Dalam waktu kontinu, gunakan kisi diadik berhingga \(T_t^k\) di atas. Untuk \(0\lt y\lt x\), \[ \{U_t\ge x\}\subseteq\bigcup_{k=0}^{\infty}\left\{\sup_{s\in T_t^k}X_s\ge y\right\}. \] Argumen waktu diskret pada setiap kisi membatasi probabilitas di ruas kanan dengan \(\E(X_0)/y\). Kekontinuan probabilitas dari bawah, diikuti limit \(y\uparrow x\), menghasilkan \[ \P(U_t\ge x)\le\frac{1}{x}\E(X_0). \] Selanjutnya, perhatikan bahwa \( U_t \uparrow U_\infty \) ketika \( t \to \infty \). Ambil \( x \in (0, \infty) \) dan \( \epsilon \in (0, x) \). Jika \( U_\infty \ge x \), maka \( U_t \ge x - \epsilon \) untuk \( t \in T \) yang cukup besar. Oleh karena itu, \[ \{U_\infty \ge x\} \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty \{U_k \ge x - \epsilon\} \] Dengan menggunakan teorema kekontinuan untuk kejadian menaik dan hasil di atas, kita memperoleh \[ \P(U_\infty \ge x) \le \lim_{k \to \infty} \P(U_k \ge x - \epsilon) \le \frac{1}{x - \epsilon} \E(X_0) \] Karena ini berlaku untuk semua \( \epsilon \in (0, x) \), diperoleh \( \P(U_\infty \ge x) \le \frac{1}{x} \E(X_0) \).

Pertidaksamaan Lintas-Naik

Pertidaksamaan lintas-naik memberikan batas atas bagi tingkat osilasi submartingal (atau supermartingal), dan merupakan alat utama dalam teorema konvergensi martingal yang akan dipelajari dalam bagian berikutnya. Kini tidak mengherankan lagi bahwa pertidaksamaan ini berasal dari Joseph Doob. Kita mulai dengan kasus waktu diskret.

Misalkan \( \bs x = (x_n: n \in \N) \) merupakan barisan bilangan riil, dan \( a, \, b \in \R \) dengan \( a \lt b \). Definisikan \( t_0(\bs x) = 0 \), lalu secara rekursif definisikan \begin{align*} s_{k+1}(\bs x) & = \inf\{n \in \N: n \ge t_k(\bs x), x_n \le a\}, \quad k \in \N \\ t_{k+1}(\bs x) & = \inf\{n \in \N: n \ge s_{k+1}(\bs x), x_n \ge b\}, \quad k \in \N \end{align*}

Jumlah lintas-naik interval \( [a, b] \) oleh barisan \( \bs x \) hingga waktu \( n \in \N \) adalah \[ u_n(a, b, \bs x) = \sup\{k \in \N: t_k(\bs x) \le n\} \]
Jumlah total lintas-naik interval \( [a, b] \) oleh barisan \( \bs x \) adalah \[ u_\infty(a, b, \bs x) = \sup\{k \in \N: t_k(\bs x) \lt \infty\} \]

Rincian:

Seperti biasa, kita definisikan \( \inf(\emptyset) = \infty \). Perhatikan bahwa jika \( t_k(\bs x) \lt \infty \) untuk \( k \in \N_+ \), maka \( (x_n: n = s_k(\bs x), \ldots t_k(\bs x)) \) merupakan lintas-naik ke-\( k \) dari interval \( [a, b] \) oleh barisan \( \bs x \).

Jadi, secara informal, sebagaimana disiratkan oleh namanya, \( u_n(a, b, \bs x) \) menyatakan berapa kali barisan \( (x_0, x_1, \ldots, x_n) \) bergerak dari suatu nilai di bawah \( a \) ke suatu nilai di atas \( b \), dan \( u_\infty(a, b, \bs x) \) menyatakan berapa kali seluruh barisan \( \bs x \) bergerak dari suatu nilai di bawah \( a \) ke suatu nilai di atas \( b \). Berikut beberapa sifat sederhana:

Misalkan kembali bahwa \( \bs x = (x_n: n \in \N) \) merupakan barisan bilangan riil dan \( a, \, b \in \R \) dengan \( a \lt b \).

\( u_n(a, b, \bs x) \) menaik dalam \( n \in \N \).
\( u_n(a, b, \bs x) \to u_\infty(a, b, \bs x) \) ketika \( n \to \infty \).
Jika \( c, \, d \in \R \) dengan \( a \lt c \lt d \lt b \), maka \( u_n(c, d, \bs x) \ge u_n(a, b, \bs x) \) untuk \( n \in \N \), dan \( u_\infty(c, d, \bs x) \ge u_\infty(a, b, \bs x) \).

Rincian:

Perhatikan bahwa \(\{k \in \N: t_k(\bs x) \le n\} \subseteq \{k \in \N: t_k(\bs x) \le n + 1\}\).
Perhatikan bahwa \( \bigcup_{n=0}^\infty \{k \in \N: t_k(\bs x) \le n\} = \{k \in \N: t_k(\bs x) \lt \infty\} \).
Setiap lintas-naik \( [a, b] \) juga merupakan lintas-naik \( [c, d] \).

Pentingnya definisi-definisi tersebut tampak dalam teorema berikut. Ingat bahwa \( \R^* = \R \cup \{-\infty, \infty\} \) merupakan himpunan bilangan riil diperluas, dan \( \Q \) merupakan himpunan bilangan rasional.

Misalkan kembali bahwa \( \bs x = (x_n: n \in \N) \) merupakan barisan bilangan riil. Maka \( \lim_{n \to \infty} x_n \) ada dalam \( \R^* \) jika dan hanya jika \( u_\infty(a,b, \bs x) \lt \infty\) untuk setiap \( a, \, b \in \Q \) dengan \( a \lt b \).

Rincian:

Kita membuktikan kontraposisinya. Perhatikan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

\( \lim_{n \to \infty} x_n \) tidak ada dalam \( \R^* \).
\( \liminf_{n \to \infty} x_n \lt \limsup_{n \to \infty} x_n \).
Terdapat \( a, \, b \in \Q \) dengan \( a \lt b \), serta \( x_n \le a \) untuk tak berhingga banyaknya \( n \in \N \) dan \( x_n \ge b \) untuk tak berhingga banyaknya \( n \in \N \).
Terdapat \( a, \, b \in \Q \) dengan \( a \lt b \) dan \( u_\infty(a, b, \bs x) = \infty \).

Jelas bahwa berlaku jika \( \Q \) diganti dengan \( \R \), tetapi ketercacahan \( \Q \) akan penting dalam teorema konvergensi martingal. Sebagai akibat sederhana, jika \( \bs x \) terbatas dan \( u_\infty(a, b, \bs x) \lt \infty \) untuk setiap \( a, \, b \in \Q \) dengan \( a \lt b \), maka \( \bs x \) konvergen dalam \( \R \). Pertidaksamaan lintas-naik bagi martingal waktu diskret \( \bs X \) memberikan batas atas bagi nilai harapan jumlah lintas-naik \( \bs X \) hingga waktu \( n \in \N \), yang dinyatakan melalui suatu momen dari \( X_n \).

Misalkan \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) memenuhi asumsi dasar terhadap filtrasi \( \mathfrak F = \{\mathscr{F}_n: n \in \N\} \), dan \( a, \, b \in \R \) dengan \( a \lt b \). Tetapkan \( U_n = u_n(a, b, \bs X) \), yaitu peubah acak yang menyatakan jumlah lintas-naik \( [a, b] \) oleh \( \bs X \) hingga waktu \( n \in \N\).

Jika \( \bs X \) merupakan supermartingal terhadap \( \mathfrak F \), maka \[ \begin{aligned} \E(U_n)&\le \frac{1}{b-a}\E[(X_n-a)^-]\\ &\le \frac{\E(X_n^-)+|a|}{b-a}\\ &\le \frac{\E(|X_n|)+|a|}{b-a},\qquad n\in\N. \end{aligned} \]
Jika \( \bs X \) merupakan submartingal terhadap \( \mathfrak F \), maka \[ \begin{aligned} \E(U_n)&\le \frac{1}{b-a}\E[(X_n-a)^+]\\ &\le \frac{\E(X_n^+)+|a|}{b-a}\\ &\le \frac{\E(|X_n|)+|a|}{b-a},\qquad n\in\N. \end{aligned} \]

Rincian:

Dalam konteks definisi , tetapkan \( \sigma_k = s_k(\bs X) \) dan \( \tau_k = t_k(\bs X) \). Waktu-waktu acak ini mendefinisikan lintas-naik \( \bs X \). Tetapkan \( Y_k = X_{\tau_k \wedge n} - X_{\sigma_k \wedge n} \), lalu definisikan \( Z_n = \sum_{k=1}^n Y_k \). Untuk memahami jumlah tersebut, mari kita tinjau kasus-kasus untuk suku ke-\( k \), yaitu \( Y_k \):

Jika \( \tau_k \le n \), maka \( Y_k = X_{\tau_k} - X_{\sigma_k} \ge b - a \). Berdasarkan definisi, sebanyak \( U_n \) suku pertama berbentuk demikian.
Jika \( \sigma_k \le n \lt \tau_k \), maka \( Y_k = X_n - X_{\sigma_k} \ge X_n - a \). Paling banyak terdapat satu suku semacam itu, dengan indeks \( k = U_n + 1 \).
Jika \( \sigma_k \gt n \), maka \( Y_k = X_n - X_n = 0 \).

Oleh karena itu, \( Z_n \ge (b - a)U_n + (X_n - a) \bs{1} \left(\sigma_{U_n + 1} \le n\right) \), sehingga \( (b - a)U_n \le Z_n - (X_n - a) \bs{1} \left(\sigma_{U_n + 1} \le n\right) \). Selanjutnya, perhatikan bahwa \( \sigma_k \wedge n \) dan \( \tau_k \wedge n \) merupakan waktu henti terbatas dan tentu saja \( \sigma_k \wedge n \le \tau_k \wedge n \).

Jika \( \bs X \) merupakan supermartingal, berdasarkan teorema penghentian opsional diperoleh \[ \E(Y_k) = \E\left(X_{\tau_k \wedge n}\right) - \E\left(X_{\sigma_k \wedge n}\right) \le 0 \] dan dengan demikian \( \E(Z_n) \le 0 \). Terakhir, \(-(X_n - a) \bs{1} \left(\sigma_{U_n + 1} \le n\right) \le (X_n - a)^-\). Mengambil nilai harapan memberikan \[(b - a) \E(U_n) \le \E(Z_n) + \E[(X_n - a)^-] \le \E[(X_n - a)^-]\] Rantai pertidaksamaan selebihnya mengikuti karena \( (x - a)^- \le x^- + |a| \le |x| + |a| \) untuk \( x \in \R \).
Jika \(\bs X\) merupakan submartingal, tetapkan \(V_j=a+(X_j-a)^+\). Karena fungsi \(x\mapsto a+(x-a)^+\) menaik dan cembung, \(\bs V\) juga merupakan submartingal. Definisikan proses terprediksi \[ H_j=\bs{1}\{\sigma_k\lt j\le\tau_k\text{ untuk suatu }k\in\N_+\},\qquad J_j=1-H_j,\quad j\in\N_+, \] dan keuntungan masing-masing strategi \[ G_n^H=\sum_{j=1}^nH_j(V_j-V_{j-1}),\qquad G_n^J=\sum_{j=1}^nJ_j(V_j-V_{j-1}). \] Setiap lintas-naik lengkap menyumbang sekurang-kurangnya \(b-a\) pada \(G_n^H\), sedangkan sumbangan lintas-naik yang belum lengkap tidak negatif. Jadi \(G_n^H\ge(b-a)U_n\). Karena \(\bs J\) nonnegatif dan terprediksi, transformasi \(V_0+G_n^J\) merupakan submartingal, sehingga \(\E(G_n^J)\ge0\). Selain itu, \(V_n-V_0=G_n^H+G_n^J\). Oleh karena itu, \[ \begin{aligned} (b-a)\E(U_n)&\le\E(G_n^H)\\ &=\E(V_n-V_0)-\E(G_n^J)\\ &\le\E[(X_n-a)^+]-\E[(X_0-a)^+]\\ &\le\E[(X_n-a)^+]. \end{aligned} \] Ini membuktikan pernyataan kedua.

Proses keuntungan \( \bs Z = \{Z_n: n \in \N\} \) dalam bukti dapat dipandang sebagai keuntungan dari transformasi \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \) oleh suatu proses terprediksi. Secara khusus, untuk \( n \in \N_+ \), tetapkan \( I_n = 1 \) jika \( \sigma_k \lt n \le \tau_k \) untuk suatu \( k \in \N_+ \), dan tetapkan \( I_n = 0 \) jika tidak. Karena \( \sigma_k \) dan \( \tau_k \) merupakan waktu henti, \( \{I_n = 1\} \in \mathscr{F}_{n-1} \), sehingga \( \bs I = \{I_n: n \in \N_+\} \) terprediksi terhadap \( \mathfrak F \). Dengan konvensi transformasi edisi ini, \[ (\bs I \cdot \bs X)_n-X_0 = \sum_{j=1}^n I_j (X_j - X_{j-1}) = \sum_{k=1}^n \left(X_{\tau_k \wedge n} - X_{\sigma_k \wedge n}\right) = Z_n, \quad n \in \N. \] Karena \( \bs I \) nonnegatif, jika \( \bs X \) merupakan martingal (submartingal, supermartingal), maka \( \bs I \cdot \bs X \) juga merupakan martingal (submartingal, supermartingal); secara ekuivalen, keuntungan \(\bs Z\) bermula dari 0 dan memiliki arah nilai harapan yang sama.

Tentu saja, jika \( \bs X \) merupakan martingal terhadap \( \mathfrak F \), maka kedua pertidaksamaan tersebut berlaku. Dalam waktu kontinu, seperti biasa, konsep-konsepnya lebih rumit dan teknis.

Misalkan \( \bs x: [0, \infty) \to \R \) dan \( a, \, b \in \R \) dengan \( a \lt b \).

Jika \( I \subset [0, \infty) \) berhingga, definisikan \( t^I_0(\bs x) = 0 \), lalu secara rekursif definisikan \begin{align*} s^I_{k+1}(\bs x) & = \inf\left\{t \in I: t \ge t^I_k(\bs x), x_t \le a\right\}, \quad k \in \N \\ t^I_{k+1}(\bs x) & = \inf\left\{t \in I: t \ge s^I_{k+1}(\bs x), x_t \ge b\right\}, \quad k \in \N \end{align*} Jumlah lintas-naik interval \( [a, b] \) oleh restriksi fungsi \( \bs x \) pada \( I \) adalah \[ u_I(a, b, \bs x) = \sup \left\{k \in \N: t^I_k(\bs x) \lt \infty\right\} \]
Jika \( I \subseteq [0, \infty) \) tak berhingga, jumlah lintas-naik interval \( [a, b] \) oleh restriksi \( \bs x \) pada \( I \) adalah \[ u_I(a, b, \bs x) = \sup\{u_J(a, b, \bs x): J \text{ berhingga dan } J \subset I\} \]

Untuk menyederhanakan notasi, kita akan menuliskan \( u_t(a, b, \bs x) = u_{[0, t]}(a, b, \bs x) \), yaitu jumlah lintas-naik \( [a, b] \) oleh \( \bs x \) pada \( [0, t] \), dan \( u_\infty(a, b, \bs x) = u_{[0, \infty)}(a, b, \bs x) \), yaitu jumlah total lintas-naik \( [a, b] \) oleh \( \bs x \). Dalam waktu kontinu, definisi lintas-naik dibangun dari himpunan-himpunan bagian berhingga dari \( [0, \infty) \) karena pertimbangan keterukuran, yang timbul ketika kita mengganti fungsi deterministik \( \bs x \) dengan proses stokastik \( \bs X \). Berikut sifat-sifat sederhana yang analog dengan sifat-sifat sebelumnya.

Misalkan kembali bahwa \( \bs x: [0, \infty) \to \R \) dan \( a, \, b \in \R \) dengan \( a \lt b \).

Jika \( I, \, J \subseteq [0, \infty) \) dengan \( I \subseteq J \), maka \( u_I(a, b, \bs x) \le u_J(a, b, \bs x) \).
Jika \( (I_n: n \in \N) \) merupakan barisan himpunan yang menaik dalam \( [0, \infty) \) dan \( J = \bigcup_{n=0}^\infty I_n \), maka \( u_{I_n}(a, b, \bs x) \to u_J(a, b, \bs x) \) ketika \( n \to \infty \).
Jika \( c, \, d \in \R \) dengan \( a \lt c \lt d \lt b \) dan \( I \subset [0, \infty) \), maka \( u_I(c, d, \bs x) \ge u_I(a, b, \bs x) \).

Rincian:

Hasilnya mudah diperoleh dari definisi jika \( I \) berhingga (dan \( J \) berhingga ataupun tak berhingga). Jika \( I \) tak berhingga (dan dengan demikian \( J \) juga tak berhingga), perhatikan bahwa \[ \{u_K(a, b, \bs x): K \text{ berhingga dan } K \subseteq I\} \subseteq \{u_K(a, b, \bs x): K \text{ berhingga dan } K \subseteq J\} \]
Karena \( I_n \) menaik dalam \( n \in \N \) (dalam urutan parsial himpunan bagian), perhatikan bahwa jika \( K \subset [0, \infty)\) berhingga, maka \( K \subseteq J \) jika dan hanya jika \( K \subseteq I_n \) untuk suatu \( n \in \N \).
Setiap lintas-naik \( [a, b] \) merupakan lintas-naik \( [c, d] \).

Hasil berikut merupakan alasan utama untuk mempelajari lintas-naik. Perhatikan bahwa definisi yang dibangun dari himpunan berhingga sudah memadai.

Misalkan \( \bs x: [0, \infty) \to \R \). Maka \( \lim_{t \to \infty} x_t \) ada dalam \( \R^* \) jika dan hanya jika \( u_\infty(a, b, \bs x) \lt \infty \) untuk setiap \( a, \, b \in \Q \) dengan \( a \lt b \).

Rincian:

Seperti dalam kasus waktu diskret, kita membuktikan kontraposisinya. Buktinya hampir sama: pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

\( \lim_{t \to \infty} x_t \) tidak ada dalam \( \R^* \).
\( \liminf_{t \to \infty} x_t \lt \limsup_{t \to \infty} x_t \).
Terdapat \(a,\,b\in\Q\) dengan \(a\lt b\), serta barisan \((s_n:n\in\N)\) dan \((t_n:n\in\N)\) dalam \([0,\infty)\) sedemikian sehingga \[ s_n\lt t_n\lt s_{n+1},\qquad x_{s_n}\le a,\qquad x_{t_n}\ge b,\quad n\in\N. \]
Terdapat \( a, \, b \in \Q \) dengan \( a \lt b \) dan \( u_\infty(a, b, \bs x) = \infty \).

Terakhir, berikut pertidaksamaan lintas-naik untuk martingal dalam waktu kontinu. Sekali lagi, pertidaksamaan tersebut memberikan batas bagi nilai harapan jumlah lintas-naik.

Misalkan \( \bs X = \{X_t: t \in [0, \infty)\} \) memenuhi asumsi dasar terhadap filtrasi \( \mathfrak F = \{\mathscr{F}_t: t \in [0, \infty)\} \), dan \( a, \, b \in \R \) dengan \( a \lt b \). Tetapkan \( U_t = u_t(a, b, \bs X) \), yaitu peubah acak yang menyatakan jumlah lintas-naik \( [a, b] \) oleh \( \bs X \) hingga waktu \( t \in [0, \infty) \).

Jika \( \bs X \) merupakan supermartingal terhadap \( \mathfrak F \), maka \[ \begin{aligned} \E(U_t)&\le \frac{1}{b-a}\E[(X_t-a)^-]\\ &\le \frac{\E(X_t^-)+|a|}{b-a}\\ &\le \frac{\E(|X_t|)+|a|}{b-a},\qquad t\in[0,\infty). \end{aligned} \]
Jika \( \bs X \) merupakan submartingal terhadap \( \mathfrak F \), maka \[ \begin{aligned} \E(U_t)&\le \frac{1}{b-a}\E[(X_t-a)^+]\\ &\le \frac{\E(X_t^+)+|a|}{b-a}\\ &\le \frac{\E(|X_t|)+|a|}{b-a},\qquad t\in[0,\infty). \end{aligned} \]

Rincian:

Definisikan secara rekursif waktu masuk \(\sigma_k\) ke \(( -\infty,a]\) dan \(\tau_k\) ke \([b,\infty)\), seperti dalam kasus diskret. Untuk proses teradaptasi càdlàg di bawah asumsi biasa, waktu-waktu tersebut merupakan waktu henti. Karena itu, \[ U_t=\sup\{k\in\N:\tau_k\le t\} \] terukur. Ambil \(0\lt\epsilon\lt(b-a)/2\), dan tetapkan \[ D_m=(\D_m^+\cap[0,t])\cup\{t\}. \] Kekontinuan kanan memberikan batas lintasan \[ U_t\le\lim_{m\to\infty}u_{D_m}(a+\epsilon,b-\epsilon,\bs X). \] Jika \(\bs X\) merupakan submartingal, pertidaksamaan waktu diskret pada \(D_m\), diikuti teorema konvergensi monoton, memberikan \[ \E(U_t)\le\frac{\E[(X_t-a-\epsilon)^+]}{b-a-2\epsilon}. \] Dengan membiarkan \(\epsilon\downarrow0\), diperoleh \[ \E(U_t)\le\frac{1}{b-a}\E[(X_t-a)^+]. \] Untuk supermartingal, argumen yang sama menggunakan bagian negatif dan menghasilkan \[ \E(U_t)\le\frac{1}{b-a}\E[(X_t-a)^-]. \]

Contoh dan Penerapan

Pertidaksamaan Kolmogorov

Misalkan \( \bs X = \{X_n: n \in \N_+\} \) merupakan barisan peubah independen dengan \( \E(X_n) = 0 \) dan \( \var(X_n) = \E(X_n^2) \lt \infty \) untuk \( n \in \N_+ \). Misalkan \( \bs Y = \{Y_n: n \in \N\} \) merupakan proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs X \), sehingga \[ Y_n = \sum_{i=1}^n X_i, \quad n \in \N \] Dari pendahuluan, kita mengetahui bahwa \( \bs Y \) merupakan martingal. Penerapan sederhana pertidaksamaan maksimal memberikan hasil berikut. Hasil ini dikenal sebagai pertidaksamaan Kolmogorov dan dinamai menurut Andrei Kolmogorov.

Untuk \( n \in \N \), tetapkan \( U_n = \max\left\{\left|Y_i\right|: i \in \N_n\right\} \). Maka \[ \P(U_n \ge x) \le \frac{1}{x^2} \var(Y_n) = \frac{1}{x^2} \sum_{i=1}^n \E(X_i^2), \quad x \in (0, \infty)\]

Rincian:

Seperti dicatat di atas, \( \bs Y \) merupakan martingal. Karena fungsi \( x \mapsto x^2 \) pada \( \R \) cembung, \( \bs{Y}^2 = \{Y_n^2: n \in \N\} \) merupakan submartingal. Tetapkan \( V_n = \max\{Y_i^2: i \in \N_n\} \) untuk \( n \in \N \), dan ambil \( x \in (0, \infty) \). Dengan menerapkan pertidaksamaan maksimal untuk submartingal, kita memperoleh \[ \P(U_n \ge x) = \P(V_n \ge x^2) \le \frac{1}{x^2} \E(Y_n^2) = \frac{1}{x^2} \var(Y_n)\] Terakhir, karena \( \bs X \) merupakan barisan independen, \[ \var(Y_n) = \sum_{i=1}^n \var(X_i) = \sum_{i=1}^n \E(X_i^2) \]

Merah dan Hitam

Dalam permainan merah dan hitam, seorang penjudi memainkan serangkaian permainan Bernoulli dengan parameter keberhasilan \( p \in (0, 1) \) dan taruhan seimbang. Penjudi memulai dengan kekayaan awal \( x \) dan bermain hingga ia bangkrut atau mencapai target kekayaan tertentu \( a \), dengan \( x, \, a \in (0, \infty) \) dan \( x \lt a \). Ketika \( p \le \frac{1}{2} \), sehingga permainannya adil atau merugikan, strategi optimalnya adalah permainan berani: pada setiap permainan, penjudi mempertaruhkan seluruh kekayaannya atau hanya jumlah yang diperlukan untuk mencapai target, mana pun yang lebih kecil. Dalam bagian tentang permainan berani, kita menunjukkan bahwa ketika \( p = \frac{1}{2} \), sehingga permainannya adil, probabilitas menang (yaitu mencapai target \( a \) jika dimulai dengan \( x \)) adalah \( x / a \). Dalam kasus adil ini, pertidaksamaan maksimal untuk supermartingal menunjukkan bahwa tidak ada strategi yang dapat memberikan hasil lebih baik.

Untuk menetapkan notasi dan meninjau berbagai konsep, misalkan \( X_0 \) menyatakan kekayaan awal penjudi dan \( X_n \) menyatakan hasil permainan \( n \in \N_+ \), dengan 1 berarti menang dan \( -1 \) berarti kalah. Jadi, \( \{X_n: n \in \N\} \) merupakan barisan peubah independen dengan \( \P(X_n = 1) = p \) dan \( \P(X_n = -1) = 1 - p \) untuk \( n \in \N_+ \). (Kekayaan awal \( X_0 \) memiliki distribusi yang tidak ditentukan pada \( (0, \infty) \).) Lagi pula, penjudi berada di kasino, sehingga tentu saja \( p \le \frac{1}{2} \). Tetapkan \[ Y_n = \sum_{i=0}^n X_i, \quad n \in \N \] sehingga \( \bs Y = \{Y_n: n \in \N\} \) merupakan proses jumlah parsial yang terkait dengan \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \). Ingat bahwa \( \bs Y \) juga dikenal sebagai gerak acak sederhana dengan parameter \( p \), dan karena \( p \le \frac{1}{2} \), proses tersebut merupakan supermartingal. Proses \( \{X_n: n \in \N_+\} \) merupakan barisan selisih yang terkait dengan \( \bs Y \). Selanjutnya, misalkan \( Z_n \) menyatakan jumlah yang dipertaruhkan penjudi pada permainan \( n \in \N_+ \). Proses \( \bs Z = \{Z_n: n \in \N_+\} \) terprediksi terhadap \( \bs X = \{X_n: n \in \N\} \), sehingga \( Z_n \) terukur terhadap \( \sigma\{X_0, X_1, \ldots, X_{n-1}\} \) untuk \( n \in \N_+ \). Jadi, kekayaan penjudi setelah \( n \) permainan adalah \[ W_n = X_0 + \sum_{i=1}^n Z_i X_i = X_0 + \sum_{i=1}^n Z_i (Y_i - Y_{i-1}) \] Ingat bahwa \( \bs W = \{W_n: n \in \N\} \) merupakan transformasi yang menggunakan \( \bs Z \) sebagai proses terprediksi dan \( \bs Y \) sebagai proses dasar, yang dinyatakan dengan \( \bs W = \bs Z \cdot \bs Y \). Penjudi tidak boleh berutang, sehingga kita harus memiliki \( 0 \le Z_n \le W_{n-1} \) untuk \( n \in \N_+ \): taruhan penjudi pada permainan \( n \) tidak boleh melebihi kekayaannya setelah permainan \( n - 1 \). Berapakah probabilitas bahwa penjudi pada akhirnya dapat mencapai atau melampaui target \( a \) jika dimulai dengan kekayaan \( x \lt a \)?

Tetapkan \( U_\infty = \sup\{W_n: n \in \N\} \). Misalkan \( x, \, a \in (0, \infty) \) dengan \( x \lt a \) dan \( X_0 = x \). Maka \[ \P(U_\infty \ge a) \le \frac{x}{a} \]

Rincian:

Kendala \(0\le Z_n\le W_{n-1}\) memastikan \(W_n\ge0\). Karena \(Z_n\) terukur terhadap informasi sebelum permainan ke-\(n\), \[ \E(W_n\mid\mathscr F_{n-1})=W_{n-1}+Z_n(2p-1)\le W_{n-1}. \] Jadi \(\bs W\) merupakan supermartingal nonnegatif. Berdasarkan , \[ \P(U_\infty \ge a) \le \frac{1}{a} \E(W_0) = \frac{x}{a}. \]

Perhatikan bahwa satu-satunya asumsi yang dibuat terhadap barisan taruhan penjudi \( \bs Z \) adalah bahwa barisan tersebut terprediksi, sehingga penjudi tidak dapat melihat ke masa depan, dan bahwa penjudi tidak dapat berutang. Ketika \(p=\frac12\), tidak ada strategi yang dapat memberikan hasil lebih baik daripada permainan berani karena strategi itu mencapai batas \(x/a\). Untuk \(p\lt\frac12\), batas \(x/a\) di atas saja tidak membuktikan optimalitas; hasil terpisah tentang variasi permainan berani menangani kasus tersebut.

Buka simulasi permainan berani dan tetapkan \( p = \frac{1}{2} \). Jalankan permainan dengan berbagai nilai kekayaan awal dan target.