Gerak Brown: Donsker, variasi kuadratik, dan waktu kena

Asal konsep, hak, dan batasan. Laboratorium ini adalah tulisan baru dalam bahasa Indonesia. Satu-satunya ketergantungan teorinya ialah halaman resmi Random karya Kyle Siegrist tentang gerak Brown standar, yang mencakup penskalaan gerak acak, ketakteraturan lintasan, prinsip pencerminan, dan waktu kena. Berkas saksi halaman itu dibekukan di authority/random dengan SHA-256 yang dicatat pada metadata di atas. Tidak ada byte HTML sumber yang disalin ke dalam Rmd ini. Sumber resmi mempertahankan dua saksi lisensi yang berbeda (CC BY 2.0 pada index.html dan CC BY 1.0 pada Credits.html); saksi itu tidak digabungkan atau diganti. Seluruh teks, kode R basis, tabel, latihan, petunjuk, jawaban, dan penyelesaian asli pada berkas ini dilepas dengan CC BY 4.0. Materi asli ini dihasilkan oleh OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra., atas arahan pengguna. Edisi independen ini tidak didukung atau disahkan oleh Kyle Siegrist, Random, ataupun penulis sumber.

Prasyarat bersama. Langkah limit-normal di bawah memakai teorema limit pusat dari jalur O006/C140 sebagai prasyarat bersama. Laboratorium ini hanya menautkan dependensi itu; tidak ada byte O006 yang disalin atau diterbitkan ulang di sini.

Tujuan dan objek diskret

Misalkan \(\xi_1,\xi_2,\ldots\) saling bebas dengan \(\mathbb P(\xi_j=1)=\mathbb P(\xi_j=-1)=1/2\), dan tetapkan \(S_k=\sum_{j=1}^k\xi_j\). Untuk setiap \(n\), interpolan linear terskala \(W_n\in C[0,1]\) didefinisikan oleh

\[ W_n(t)=\frac{1}{\sqrt n}\left[ S_{\lfloor nt\rfloor}+(nt-\lfloor nt\rfloor) \xi_{\lfloor nt\rfloor+1} \right], \]

dengan suku interpolasi diambil nol pada \(t=1\). Teorema Donsker menyatakan \(W_n\Rightarrow B\) dalam \(C[0,1]\) dengan topologi seragam, dengan \(B\) gerak Brown standar. Tanda \(\Rightarrow\) berarti konvergensi dalam distribusi, bukan konvergensi lintasan demi lintasan dari satu keluaran acak.

Kita mengaudit dua konsekuensi yang dapat dihitung tanpa galat Monte Carlo. Untuk \(x=1\),

\[ \mathbb P\{W_n(1)\le x\} =\mathbb P\left\{\operatorname{Bin}(n,1/2) \le\left\lfloor\frac{n+x\sqrt n}{2}\right\rfloor\right\} \longrightarrow \Phi(x). \]

Untuk \(M_n=\max_{0\le k\le n}S_k\) dan bilangan bulat \(m>0\), prinsip pencerminan diskret memberi

\[ \mathbb P(M_n\ge m) =\mathbb P(S_n\ge m)+\mathbb P(S_n\ge m+1). \]

Dengan \(m=\sqrt n\) pada empat nilai \(n\) yang dipilih, ruas kiri mengaudit peluang lintasan terskala menyentuh aras \(1\) sebelum waktu \(1\). Limit Brown dari prinsip pencerminan ialah

\[ \mathbb P\left(\sup_{0\le t\le1}B_t\ge1\right) =2\{1-\Phi(1)\}. \]

Audit ini mendukung dua fungsional kontinu Donsker pada titik kontinuitas distribusinya; satu tabel hingga tidak dengan sendirinya membuktikan teorema fungsional.

Dua urutan partisi yang tidak boleh dicampur

Pada partisi alami \(\Pi_n=\{k/n:0\le k\le n\}\), setiap inkremen \(W_n\) bernilai \(\pm n^{-1/2}\). Karena itu, untuk setiap lintasan,

\[ Q(W_n;\Pi_n)=\sum_{k=1}^n(\Delta W_{n,k})^2=1, \qquad V(W_n;\Pi_n)=\sum_{k=1}^n|\Delta W_{n,k}|=\sqrt n. \]

Hasil pertama menyerupai variasi kuadratik \([B]_1=1\), sedangkan hasil kedua menuju tak hingga, konsisten dengan variasi total lintasan Brown yang tak hingga hampir pasti. Namun, ada peringatan penting. Jika \(n\) ditahan tetap dan setiap ruas linear pada \(\Pi_n\) dibagi menjadi \(r\) ruas yang sama, maka

\[ Q(W_n;\Pi_{n,r})=\frac1r\longrightarrow0 \quad\text{ketika }r\to\infty. \]

Tidak ada kontradiksi. Pada partisi alami, lintasan aproksimasi dan partisinya berubah bersama ketika \(n\to\infty\). Pada refinemen pralimit tetap, kita hanya memperhalus satu fungsi linear sepotong, yang memang mempunyai variasi kuadratik nol sepanjang refinemen semacam itu. Urutan kedua operasi limit tersebut berbeda.

Audit eksak dengan R basis

Kode berikut tidak memakai generator bilangan acak atau paket tambahan. pbinom menjumlahkan peluang binomial hingga secara numerik, sedangkan pnorm menghitung target Gaussian dan Brown. Nilai emas dibekukan agar pelaksanaan ulang mendeteksi perubahan rumus, ambang kisi, atau pembulatan.

ns = c(64L, 256L, 1024L, 4096L)
x = 1
a = 1
r = 8L
tolerance = 1e-12

# Distribusi titik akhir: W_n(1)=(2 K_n-n)/sqrt(n), K_n~Bin(n,1/2).
k_endpoint = floor((ns + x * sqrt(ns)) / 2)
endpoint_cdf = pbinom(k_endpoint, size=ns, prob=0.5)
normal_target = pnorm(x)

# Prinsip pencerminan diskret:
# P(M_n >= m)=P(S_n >= m)+P(S_n >= m+1).
m = as.integer(ceiling(a * sqrt(ns)))
k_ge_m = as.integer(ceiling((ns + m) / 2))
k_ge_m_plus_1 = as.integer(ceiling((ns + m + 1) / 2))
hit_probability =
  pbinom(k_ge_m - 1L, size=ns, prob=0.5, lower.tail=FALSE) +
  pbinom(k_ge_m_plus_1 - 1L, size=ns, prob=0.5, lower.tail=FALSE)
brown_hit_target = 2 * pnorm(-a)

# Besaran ini eksak lintasan demi lintasan pada mesh alami.
qv_natural = ns * (1 / sqrt(ns))^2
total_variation = ns * (1 / sqrt(ns))
qv_fixed_refinement = qv_natural / r

# Nilai emas independen dari RNG dan platform pada toleransi yang dicatat.
gold_endpoint = c(
  0.869782261712, 0.856005356734,
  0.848789424921, 0.845096155857
)
gold_hit = c(
  0.321084135685, 0.318255270999,
  0.317546780410, 0.317369581063
)
gold_normal_target = 0.841344746069
gold_brown_hit_target = 0.317310507863

row_error = pmax(
  abs(endpoint_cdf - gold_endpoint),
  abs(hit_probability - gold_hit),
  abs(qv_natural - 1),
  abs(qv_fixed_refinement - 1 / r),
  abs(total_variation - sqrt(ns))
)
global_error = max(
  row_error,
  abs(normal_target - gold_normal_target),
  abs(brown_hit_target - gold_brown_hit_target)
)
status = ifelse(row_error <= tolerance & global_error <= tolerance,
                "PASS", "FAIL")

hasil = data.frame(
  n=ns,
  k_endpoint=k_endpoint,
  ambang_kena=m,
  cdf_endpoint_eksak=sprintf("%.12f", endpoint_cdf),
  target_normal=sprintf("%.12f", normal_target),
  galat_cdf=sprintf("%.12f", abs(endpoint_cdf - normal_target)),
  prob_kena_eksak=sprintf("%.12f", hit_probability),
  target_brown=sprintf("%.12f", brown_hit_target),
  galat_kena=sprintf("%.12f", abs(hit_probability - brown_hit_target)),
  qv_mesh_alami=sprintf("%.12f", qv_natural),
  qv_refinemen_pralimit=sprintf("%.12f", qv_fixed_refinement),
  variasi_total=sprintf("%.12f", total_variation),
  refinemen_r=r,
  toleransi=sprintf("%.12e", tolerance),
  status=status,
  stringsAsFactors=FALSE
)
write.csv(hasil, file="", row.names=FALSE, quote=FALSE)

Target numeriknya adalah \(\Phi(1)=0{,}841344746069\) dan \(2\{1-\Phi(1)\}=0{,}317310507863\). Peluang titik akhir mendekati target lebih lambat karena massa pada satu titik kisi ikut masuk ke CDF; ini bukan galat simulasi. Diagnostik waktu kena jauh lebih dekat pada empat ukuran ini, tetapi tetap merupakan peluang gerak acak diskret, bukan peluang Brown yang disisipkan ke kolom data.