Di bagian ini kita membahas ruang probabilitas dari sudut pandang teori ukuran yang lebih lanjut. Pembahasan dibagi menjadi dua bagian: pertama, konsep-konsep yang digunakan kurang lebih secara setara dalam teori probabilitas dan teori ukuran umum; kedua, konsep-konsep yang sebagian besar khas bagi teori probabilitas. Secara khusus, keliru jika kita menganggap teori probabilitas sekadar cabang teori ukuran. Probabilitas memiliki notasi, istilah, sudut pandang, dan penerapannya sendiri yang menjadikannya bidang yang sangat kaya.
Konsep Dasar
Pembahasan pertama kita menyangkut topik-topik yang telah dibahas pada bagian tentang ukuran positif. Karena itu tidak diperlukan pembuktian, tetapi Anda akan melihat bahwa notasinya, dan dalam beberapa hal istilahnya, sangat berbeda.
Definisi
Pertama-tama kita meninjau kembali definisi ruang probabilitas, yaitu model matematis bagi suatu eksperimen acak.
Sebuah ruang probabilitas \((S, \ms S, \P)\) terdiri atas tiga bagian pokok:
- Himpunan hasil \(S\).
- Aljabar-\(\sigma\) kejadian \(\ms S\).
- Ukuran probabilitas \(\P\) pada ruang sampel \( (S, \ms S) \).
Dalam literatur, notasi khusus \( (\Omega, \ms{F}, \P) \) sering digunakan untuk ruang probabilitas—simbol \( \Omega \) bagi himpunan hasil dimaksudkan untuk mengingatkan kita bahwa himpunan ini memuat semua hasil yang mungkin. Namun, dalam teks ini kita tidak mewajibkan notasi khusus tersebut dan menggunakan notasi apa pun yang paling sesuai dalam konteks tertentu.
Dalam probabilitas, aljabar-\(\sigma\) tidak hanya penting untuk tujuan teoretis dan dasar, tetapi juga untuk tujuan praktis. Aljabar-\(\sigma\) dapat digunakan untuk menyatakan informasi parsial tentang suatu eksperimen—sebuah konsep yang sangat mendasar. Secara khusus, misalkan \(\ms A\) adalah suatu koleksi kejadian dalam eksperimen, dan kita mengetahui apakah \(A\) terjadi atau tidak untuk setiap \(A \in \ms A\). Maka sebenarnya kita dapat menentukan apakah \(A\) terjadi atau tidak untuk setiap \(A \in \sigma(\ms A)\), yaitu aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(\ms A\).
Selanjutnya, ingat bahwa peubah acak bagi eksperimen kita adalah fungsi terukur dari ruang sampel ke ruang terukur lain.
Misalkan \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas dan \( (T, \ms T) \) adalah ruang terukur lain. Peubah acak \( X \) yang bernilai di \( T \) adalah fungsi terukur dari \( S \) ke \( T \).
- Distribusi probabilitas dari \( X \) adalah pemetaan pada \( \ms T \) yang diberikan oleh \( A \mapsto \P(X \in A) \).
- Koleksi kejadian \(\{\{X \in A\}: A \in \ms T\}\) adalah subaljabar-\(\sigma\) dari \(\ms S\), dan merupakan aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh \(X\), yang dinotasikan dengan \(\sigma(X)\).
Rincian:
Keterukuran memastikan bahwa \(\{X \in A\} = \{s \in S: X(s) \in A\}\) (prapeta \( A \) di bawah \( X \)) merupakan kejadian yang sah (yakni anggota aljabar-\(\sigma\) \(\ms S\)) untuk setiap \(A \in \ms T\). Menurut teorema perubahan peubah, pemetaan \(A \mapsto \P(X \in A)\) merupakan ukuran positif pada \((T, \ms T)\), dan bahkan merupakan ukuran probabilitas karena \( \P(X \in T) = \P(S) = 1 \).
Jika kita mengamati nilai \(X\), kita mengetahui apakah setiap kejadian dalam \(\sigma(X)\) telah terjadi atau tidak. Secara lebih umum, kita dapat membentuk aljabar-\( \sigma \) yang berkaitan dengan sembarang koleksi peubah acak.
Misalkan \( (T_i, \ms T_i) \) adalah ruang terukur untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks tak kosong \( I \), dan \(X_i\) adalah peubah acak yang bernilai di \( T_i \) untuk setiap \( i \in I \). Aljabar-\( \sigma \) yang dibangkitkan oleh \( \{X_i: i \in I\} \) adalah \[ \sigma\{X_i: i \in I\} = \sigma\left\{\{X \in A_i\}: A_i \in \ms T_i, \; i \in I\right\} \]
Jika kita mengamati nilai \(X_i\) untuk setiap \(i \in I\), kita mengetahui apakah setiap kejadian dalam \(\sigma\{X_i: i \in I\}\) telah terjadi atau tidak. Gagasan ini sangat penting dalam kajian proses stokastik.
Kejadian Nol, Kejadian Hampir Pasti, dan Ekuivalensi
Misalkan \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas.
Definisikan koleksi-koleksi kejadian berikut:
- \(\ms N = \{A \in \ms S: \P(A) = 0\} \), koleksi kejadian nol
- \(\ms M = \{A \in \ms S: \P(A) = 1\}\), koleksi kejadian hampir pasti
- \( \ms D = \ms N \cup \ms M = \{A \in \ms S: \P(A) = 0 \text{ or } \P(A) = 1 \} \), koleksi kejadian yang secara esensial deterministik
Koleksi \( \ms D \) adalah subaljabar-\( \sigma \) dari \( \ms S \).
Dalam pembahasan tentang kebebasan, kita telah menunjukkan bahwa \( \ms D \) juga merupakan koleksi kejadian bebas.
Secara intuitif, kejadian atau peubah acak yang ekuivalen adalah yang tidak dapat dibedakan dari sudut pandang probabilistik. Ingat terlebih dahulu bahwa beda simetris antara kejadian \( A \) dan \( B \) adalah \( A \bigtriangleup B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \); ini adalah kejadian yang terjadi jika dan hanya jika salah satu kejadian terjadi, tetapi bukan keduanya, dan bersesuaian dengan atau eksklusif. Kita mulai dengan definisi untuk kejadian:
Kejadian \(A\) dan \(B\) disebut ekuivalen jika \( A \bigtriangleup B \in \ms N \), dan kita menotasikannya dengan \( A \equiv B \). Relasi \( \equiv \) adalah relasi ekuivalensi pada \( \ms S \). Artinya, untuk \( A, \, B, \, C \in \ms S \),
- \(A \equiv A\) (sifat refleksif).
- Jika \(A \equiv B\), maka \(B \equiv A\) (sifat simetris).
- Jika \(A \equiv B\) dan \(B \equiv C\), maka \(A \equiv C\) (sifat transitif).
Jadi, \(A \equiv B\) jika dan hanya jika \(\P(A \bigtriangleup B) = \P(A \setminus B) + \P(B \setminus A) = 0\), jika dan hanya jika \(\P(A \setminus B) = \P(B \setminus A) = 0\). Relasi ekuivalensi \( \equiv \) mempartisi \( \ms S \) menjadi kelas-kelas saling lepas yang masing-masing berisi kejadian-kejadian yang saling ekuivalen. Ekuivalensi dipertahankan oleh operasi himpunan.
Misalkan \( A, \, B \in \ms S \). Jika \( A \equiv B \), maka \( A^c \equiv B^c \).
Misalkan \( A_i, \, B_i \in \ms S \) untuk \( i \) dalam himpunan indeks terhitung \( I \). Jika \( A_i \equiv B_i \) untuk \( i \in I \), maka
- \( \bigcup_{i \in I} A_i \equiv \bigcup_{i \in I} B_i \)
- \( \bigcap_{i \in I} A_i \equiv \bigcap_{i \in I} B_i \)
Kejadian-kejadian ekuivalen memiliki probabilitas yang sama.
Jika \( A, \, B \in \ms S \) dan \(A \equiv B\), maka \(\P(A) = \P(B)\).
Konversnya jelas tidak berlaku, dan sebuah contoh penyangkal diberikan dalam . Namun, kejadian nol dan kejadian hampir pasti memang membentuk kelas-kelas ekuivalensi.
Misalkan \( A \in \ms S \).
- Jika \(A \in \ms N\), maka \(A \equiv B\) jika dan hanya jika \(B \in \ms N\).
- Jika \(A \in \ms M\), maka \(A \equiv B\) jika dan hanya jika \(B \in \ms M\).
Kita dapat memperluas gagasan ekuivalensi kepada peubah acak yang bernilai dalam ruang yang sama. Jadi, misalkan \( (T, \ms T) \) adalah ruang terukur lain. Jika \( X \) dan \( Y \) adalah peubah acak yang bernilai dalam \( T \), maka \( (X, Y) \) adalah peubah acak yang bernilai dalam \( T \times T \), yang dilengkapi dengan aljabar-\( \sigma \) produk biasa \( \ms T \times \ms T \). Kita mengasumsikan bahwa \((T, \ms T)\) memiliki diagonal terukur sehingga \( D = \{(x, x): x \in T\} \in \ms T \times \ms T \), suatu asumsi yang hampir selalu benar dalam penerapan.
Peubah acak \(X\) dan \(Y\) yang bernilai dalam \(T\) disebut ekuivalen jika \( \P(X = Y) = 1 \). Sekali lagi kita menulis \( X \equiv Y \). Relasi \( \equiv \) adalah relasi ekuivalensi pada koleksi peubah acak yang bernilai dalam \(T\). Artinya, untuk peubah acak \( X \), \( Y \), dan \( Z \) yang bernilai dalam \( T \),
- \(X \equiv X\) (sifat refleksif).
- Jika \(X \equiv Y\), maka \(Y \equiv X\) (sifat simetris).
- Jika \( X \equiv Y\) dan \(Y \equiv Z\), maka \(X \equiv Z\) (sifat transitif).
Dengan demikian, koleksi peubah acak yang bernilai dalam \( T \) dipartisi menjadi kelas-kelas saling lepas dari peubah-peubah yang saling ekuivalen.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) adalah peubah acak yang bernilai dalam \(T\) dan \( X \equiv Y \). Maka
- \( \{X \in A\} \equiv \{Y \in A\} \) untuk setiap \(A \in \ms T\).
- \( X \) dan \( Y \) memiliki distribusi probabilitas yang sama pada \( (T, \ms T) \).
Sekali lagi, konvers bagian (b) sama sekali tidak berlaku, dan memberikan contoh penyangkal. Sering kali definisi bagi peubah acak mencakup definisi yang bersesuaian bagi kejadian dengan mempertimbangkan peubah indikator kejadian tersebut. Demikian pula halnya dengan ekuivalensi.
Misalkan \(A, \, B \in \ms S\). Maka \(A \equiv B\) jika dan hanya jika \(\bs 1_A \equiv \bs 1_B\).
Ekuivalensi dipertahankan di bawah transformasi deterministik terhadap peubah. Untuk hasil berikutnya, misalkan \( (U, \ms U) \) adalah ruang terukur lainnya, bersama dengan \( (T, \ms T) \).
Misalkan \( X, \, Y \) adalah peubah acak yang bernilai dalam \( T \) dan \( g: T \to U \) terukur. Jika \(X \equiv Y\), maka \( g(X) \equiv g(Y) \).
Misalkan lagi \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas yang bersesuaian dengan suatu eksperimen acak. Misalkan \( \ms V \) menyatakan koleksi semua peubah acak bernilai riil bagi eksperimen tersebut, yakni semua fungsi terukur dari \( S \) ke \( \R \). Dengan definisi biasa untuk penjumlahan dan perkalian skalar, \( (\ms V, +, \cdot) \) adalah ruang vektor. Namun, dalam teori probabilitas kita sering tidak ingin membedakan peubah acak yang ekuivalen, sehingga penting diketahui bahwa struktur ruang vektor dipertahankan ketika kita mengidentifikasi peubah-peubah acak yang ekuivalen. Secara formal, misalkan \( [X] \) menyatakan kelas ekuivalensi yang dibangkitkan oleh peubah acak bernilai riil \( X \in \ms V \), dan misalkan \( \ms W \) menyatakan koleksi semua kelas ekuivalensi tersebut. Dalam notasi modulo, \( \ms W\) adalah himpunan \(\ms V \big/ \equiv \). Kita mendefinisikan penjumlahan dan perkalian skalar pada \( \ms{V} \) dengan \[ [X] + [Y] = [X + Y], \; c [X] = [c X]; \quad [X], \; [Y] \in \ms{V}, \; c \in \R \]
\( (\ms W, +, \cdot) \) adalah ruang vektor.
Sering kali kita tidak perlu menggunakan notasi khusus bagi kelas ekuivalensi yang berkaitan dengan suatu peubah acak. Sebaliknya, dipahami bahwa peubah acak ekuivalen mewakili objek yang sama. Ruang fungsi dalam ruang ukuran umum telah dipelajari sebelumnya, dan ruang peubah acak akan dipelajari lebih lanjut kemudian.
Kelengkapan
Misalkan lagi \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas, dan \( \ms N \) menyatakan koleksi kejadian nol seperti di atas. Misalkan \( A \in \ms N \) sehingga \( \P(A) = 0 \). Jika \( B \subseteq A \) dan \( B \in \ms S \), kita mengetahui bahwa \( \P(B) = 0 \), sehingga \( B \in \ms N \) pula. Namun, secara umum mungkin ada subhimpunan \( A \) yang tidak termasuk dalam \( \ms S \). Hal ini secara alami membawa kita kepada definisi berikut.
Ruang probabilitas \( (S, \ms S, \P) \) disebut lengkap jika \( A \in \ms N \) dan \( B \subseteq A \) mengakibatkan \( B \in \ms S \) (dan karenanya \( B \in \ms N \)).
Jadi, ruang probabilitas lengkap jika setiap subhimpunan kejadian berprobabilitas 0 juga merupakan kejadian (dan karenanya juga berprobabilitas 0). Dari teori umum ukuran positif, setiap ruang ukuran \( \sigma \)-hingga yang tidak lengkap dapat dilengkapi. Jadi, khususnya, ruang probabilitas yang tidak lengkap dapat dilengkapi. Untuk meninjau konstruksinya, ingat bahwa relasi ekuivalensi \( \equiv \) pada \( \ms S \) dalam definisi diperluas ke \( \ms P(S) \) (himpunan kuasa dari \( S \)).
Untuk \( A, \, B \subseteq S \), definisikan \( A \equiv B \) jika dan hanya jika terdapat \( N \in \ms N \) sehingga \( A \bigtriangleup B \subseteq N \). Relasi \( \equiv \) adalah relasi ekuivalensi pada \( \ms P(S) \).
Berikut cara ruang probabilitas tersebut dilengkapi:
Misalkan \( \ms S_0 = \{A \subseteq S: A \equiv B \text{ for some } B \in \ms S \} \). Untuk \( A \in \ms S_0 \), definisikan \( \P_0(A) = \P(B) \), dengan \( B \in \ms S \) dan \( A \equiv B \). Maka
- \( \ms S_0 \) adalah aljabar-\( \sigma \) subhimpunan \( S \) dan \( \ms S \subseteq \ms S_0 \).
- \( \P_0 \) adalah ukuran probabilitas pada \( (S, \ms S_0) \).
- \( (S, \ms S_0, \P_0) \) lengkap dan merupakan kelengkapan dari \( (S, \ms S, \P) \).
Ruang Produk
Pembahasan berikutnya menyangkut konstruksi ruang probabilitas yang bersesuaian dengan distribusi tertentu. Sebagai pengantar, misalkan \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas. Jika \( X \) menyatakan fungsi identitas pada \( S \), sehingga \( X(x) = x \) untuk \( x \in S \), maka \( \{X \in A\} = A \) untuk \( A \in \ms S \), sehingga \( \P(X \in A) = \P(A) \). Jadi, \( \P \) adalah distribusi probabilitas dari \( X \). Kita telah melihat hal ini sebelumnya—setiap ukuran probabilitas dapat dipandang sebagai distribusi suatu peubah acak. Hasil berikut menunjukkan cara membangun ruang probabilitas yang bersesuaian dengan barisan peubah acak bebas yang memiliki distribusi tertentu.
Misalkan \( n \in \N_+ \) dan \( (S_i, \ms S_i, \P_i) \) adalah ruang probabilitas untuk \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Ruang ukuran produk yang bersesuaian \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas. Jika \( X_i: S \to S_i \) adalah fungsi koordinat ke-\( i \) pada \( S\), sehingga \( X_i(\bs x) = x_i \) untuk \( \bs x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in S \), maka \( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) adalah barisan peubah acak bebas pada \( (S, \ms S, \P) \), dan \( X_i \) memiliki distribusi \( \P_i \) pada \( (S_i, \ms S_i) \) untuk setiap \( i \in \{1, 2, \ldots, n \} \).
Rincian:
Tentu saja, keberadaan ruang produk \( (S, \ms S, \P) \) langsung mengikuti hasil yang lebih umum mengenai produk ruang ukuran positif. Ingat bahwa \( S = \prod_{i=1}^n S_i \) dan \( \ms S \) adalah aljabar-\( \sigma \) yang dibangkitkan oleh himpunan berbentuk \( \prod_{i=1}^n A_i \), dengan \( A_i \in \ms S_i \) untuk setiap \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Akhirnya, \( \P \) adalah satu-satunya ukuran positif pada \( (S, \ms S) \) yang memenuhi \[ \P\left(\prod_{i=1}^n A_i\right) = \prod_{i=1}^n \P_i(A_i) \] dengan, sekali lagi, \( A_i \in \ms S_i \) untuk setiap \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Jelas bahwa \( \P \) merupakan ukuran probabilitas karena \( \P(S) = \prod_{i=1}^n \P_i(S_i) = 1 \). Misalkan \( A_i \in \ms S_i \) untuk \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Maka \( \{X_1 \in A_1, X_2 \in A_2 \ldots, X_n \in A_n\} = \prod_{i=1}^n A_i \in \ms S\). Karena itu \[ \P(X_1 \in A_1, X_2 \in A_2, \ldots, X_n \in A_n) = \prod_{i=1}^n \P_i(A_i) \] Jika kita menetapkan \( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \) dan mengambil \( A_j = S_j \) untuk \( j \ne i \), persamaan di atas memberikan \( \P(X_i \in A_i) = \P_i(A_i) \), sehingga \( X_i \) memiliki distribusi \( \P_i \) pada \( (S_i, \ms S_i) \). Dengan kembali ke persamaan di atas, kita memperoleh \[ \P(X_1 \in A_1, X_2 \in A_2, \ldots, X_n \in A_n) = \prod_{i=1}^n \P(X_i \in A_i) \] sehingga \( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) saling bebas.
Secara intuitif, ruang-ruang probabilitas yang diberikan bersesuaian dengan \( n \) eksperimen acak. Ruang produk kemudian merupakan ruang probabilitas yang bersesuaian dengan eksperimen-eksperimen yang dilakukan secara bebas. Ketika memodelkan eksperimen acak, jika kita menyatakan bahwa terdapat barisan hingga peubah acak bebas dengan distribusi tertentu, kita dapat yakin bahwa memang ada ruang probabilitas yang mendukung pernyataan ini.
Kita dapat memperluas hasil terakhir ke barisan tak hingga ruang probabilitas. Misalkan \( (S_i, \ms S_i) \) adalah ruang terukur untuk setiap \( i \in \N_+ \). Ingat bahwa ruang produk \( \prod_{i=1}^\infty S_i \) terdiri atas semua barisan \( \bs x = (x_1, x_2, \ldots) \) dengan \( x_i \in S_i \) untuk setiap \( i \in \N_+ \). Aljabar-\( \sigma \) produk \( \ms S \) yang bersesuaian dibangkitkan oleh koleksi himpunan silinder. Artinya, \( \ms S = \sigma(\ms B) \), dengan \[ \ms B = \left\{\prod_{i=1}^\infty A_i: A_i \in \ms S_i \text{ for each } i \in \N_+ \text{ and } A_i = S_i \text{ for all but finitely many } i \in \N_+\right\} \]
Misalkan \( (S_i, \ms S_i, \P_i) \) adalah ruang probabilitas untuk \(i \in \N_+ \). Misalkan \( (S, \ms S) \) menyatakan ruang terukur produk sehingga \( \ms S = \sigma(\ms B) \), dengan \( \ms B \) koleksi himpunan silinder. Maka terdapat satu-satunya ukuran probabilitas \( \P \) pada \( (S, \ms S) \) yang memenuhi \[ \P\left(\prod_{i=1}^\infty A_i\right) = \prod_{i=1}^\infty \P_i(A_i), \quad \prod_{i=1}^\infty A_i \in \ms B\] Jika \( X_i: S \to S_i \) adalah fungsi koordinat ke-\( i \) pada \( S\) untuk \( i \in \N_+ \), sehingga \( X_i(\bs x) = x_i \) untuk \( \bs x = (x_1, x_2, \ldots) \in S \), maka \( (X_1, X_2, \ldots) \) adalah barisan peubah acak bebas pada \( (S, \ms S, \P) \), dan \( X_i \) memiliki distribusi \( \P_i \) pada \( (S_i, \ms S_i) \) untuk setiap \( i \in \N_+ \).
Rincian:
Pembuktiannya serupa dengan pembuktian untuk ruang ukuran positif pada bagian tentang eksistensi dan ketunggalan dalam bab dasar-dasar. Pertama, ingat bahwa koleksi himpunan silinder \( \ms B \) adalah semialjabar. Kita mendefinisikan \( \P: \ms B \to [0, 1] \) seperti dalam pernyataan teorema. Perhatikan bahwa semua kecuali berhingga banyak faktor bernilai 1. Syarat konsistensi dipenuhi, sehingga \( \P \) dapat diperluas menjadi ukuran probabilitas pada aljabar \( \ms A \) yang dibangkitkan oleh \( \ms B \). Artinya, \( \ms A \) adalah koleksi semua gabungan saling lepas berhingga dari himpunan silinder. Teorema perluasan standar dan teorema ketunggalan kini berlaku, sehingga \( \P\) dapat diperluas secara tunggal menjadi ukuran pada \( \ms S = \sigma(\ms A)\). Pembuktian bahwa \( (X_1, X_2, \ldots) \) saling bebas dan bahwa \( X_i \) memiliki distribusi \( \P_i \) untuk setiap \( i \in \N_+ \) sama seperti pada teorema sebelumnya.
Sekali lagi, jika kita memodelkan proses acak dengan memulai dari barisan tak hingga peubah acak bebas, kita dapat yakin bahwa terdapat ruang probabilitas yang mendukung barisan tersebut. Ruang probabilitas khusus yang dibangun dalam teorema terakhir disebut ruang probabilitas kanonik yang berkaitan dengan barisan peubah acak itu. Perhatikan pula bahwa penting bagi kita untuk memiliki ukuran probabilitas, bukan sekadar ukuran positif umum, dalam konstruksi tersebut, karena produk tak hingga \( \prod_{i=1}^\infty \P_i(A_i) \) selalu terdefinisi dengan baik. Bagian selanjutnya tentang proses stokastik melanjutkan pembahasan mengenai cara membangun ruang probabilitas yang bersesuaian dengan koleksi peubah acak yang memiliki sifat distribusi tertentu.
Konsep Probabilitas
Pembahasan berikutnya menyangkut topik-topik yang sebagian besar khas bagi teori probabilitas dan tidak memiliki analogi sederhana dalam teori ukuran umum.
Kebebasan
Seperti biasa, misalkan \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas. Kita telah mempelajari kebebasan koleksi kejadian dan kebebasan koleksi peubah acak. Pembahasan yang lebih lengkap dan umum diperoleh jika kita mendefinisikan kebebasan koleksi dari koleksi kejadian, dan terutama kebebasan koleksi aljabar-\( \sigma \). Perluasan ini sebenarnya telah terjadi ketika kita beralih dari kebebasan suatu koleksi kejadian ke kebebasan suatu koleksi peubah acak, tetapi saat itu tidak kita sebutkan. Di balik berbagai lapisan teori himpunan, gagasan dasarnya tetap sama.
Misalkan \( \ms A_i \) adalah koleksi kejadian untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks \( I \). Maka \( \ms A = \{\ms A_i: i \in I\} \) disebut bebas jika dan hanya jika, untuk setiap pilihan \( A_i \in \ms A_i \) bagi \( i \in I \), koleksi kejadian \(\{ A_i: i \in I\} \) bebas. Artinya, untuk setiap \(J \subseteq I \) yang berhingga, \[ \P\left(\bigcap_{j \in J} A_j\right) = \prod_{j \in J} \P(A_j) \]
Seperti disebutkan di atas, kebebasan peubah acak sebagaimana kita definisikan sebelumnya merupakan kasus khusus dari definisi baru ini.
Misalkan \( (T_i, \ms T_i) \) adalah ruang terukur untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks tak kosong \( I \), dan \( X_i \) adalah peubah acak yang bernilai dalam himpunan \( T_i \) untuk setiap \( i \in I \). Kebebasan \( \{X_i: i \in I\} \) ekuivalen dengan kebebasan \( \{\sigma(X_i): i \in I\} \).
Kebebasan kejadian juga merupakan kasus khusus definisi baru ini; dengan demikian, definisi baru kita benar-benar mencakup definisi lama.
Misalkan \( A_i \) adalah kejadian untuk setiap \( i \in I \). Kebebasan \( \{A_i: i \in I\} \) ekuivalen dengan kebebasan \( \{\ms A_i: i \in I\} \), dengan \( \ms A_i = \sigma\{A_i\} = \{S, \emptyset, A_i, A_i^c\} \) untuk setiap \( i \in I \).
Untuk setiap jenis objek yang telah kita pertimbangkan (koleksi kejadian, koleksi peubah acak, dan koleksi dari koleksi kejadian), gagasan kebebasan memiliki sifat pewarisan dasar.
Misalkan \( \ms A \) adalah koleksi dari koleksi kejadian.
- Jika \( \ms A \) bebas, maka \( \ms B \) bebas untuk setiap \( \ms B \subseteq \ms A \).
- Jika \( \ms B \) bebas untuk setiap \( \ms B \subseteq \ms A \) yang berhingga, maka \( \ms A \) bebas.
Koleksi terpenting bagi kita adalah aljabar-\( \sigma \), sehingga kita terutama tertarik pada kebebasan koleksi aljabar-\( \sigma \). Hasil berikut memungkinkan kita beralih dari kebebasan jenis koleksi tertentu ke kebebasan aljabar-\( \sigma \) yang dibangkitkan oleh koleksi-koleksi tersebut. Untuk memahami hasil ini, Anda perlu meninjau definisi dan teorema mengenai sistem-\( \pi \) dan sistem-\( \lambda \). Pembuktiannya menggunakan teorema \( \pi \)-\( \lambda \) Dynkin, yang dinamai menurut Eugene Dynkin.
Misalkan \( \ms A_i \) adalah koleksi kejadian untuk setiap \( i \) dalam himpunan indeks tak kosong \( I \), dan \( \ms{A_i} \) adalah sistem-\( \pi \) untuk setiap \( i \in I \). Jika \( \left\{\ms A_i: i \in I\right\} \) bebas, maka \( \left\{\sigma(\ms A_i): i \in I\right\} \) bebas.
Rincian:
Berdasarkan hasil sebelumnya, cukup dipertimbangkan himpunan koleksi yang berhingga. Jadi, misalkan \( \{\ms A_1, \ms A_2, \ldots, \ms A_n\} \) bebas. Sekarang, tetapkan \( A_i \in \ms A_i \) untuk \( i \in \{2, 3, \ldots, n\} \) dan misalkan \( E = \bigcap_{i=2}^n A_i \). Misalkan \( \ms{L} = \{B \in \ms S: \P(B \cap E) = \P(B) \P(E)\} \). Jelas bahwa \( S \in \ms{L} \) karena \( \P(S \cap E) = \P(E) = \P(S) \P(E) \). Selanjutnya, misalkan \( A \in \ms{L} \). Maka \[ \P(A^c \cap E) = \P(E) - \P(A \cap E) = \P(E) - \P(A) \P(E) = [1 - \P(A)] \P(E) = \P(A^c) \P(E) \] Jadi \( A^c \in \ms{L} \). Akhirnya, misalkan \( \{A_j: j \in J\} \) adalah koleksi terhitung himpunan saling lepas dalam \( \ms{L} \). Maka \[ \P\left[\left(\bigcup_{j \in J} A_j \right) \cap E \right] = \P\left[ \bigcup_{j \in J} (A_j \cap E) \right] = \sum_{j \in J} \P(A_j \cap E) = \sum_{j \in J} \P(A_j) \P(E) = \P(E) \sum_{j \in J} \P(A_j) = \P(E) \P\left(\bigcup_{j \in J} A_j \right) \] Karena itu \( \bigcup_{j \in J} A_j \in \ms{L} \), sehingga \( \ms{L} \) adalah sistem-\( \lambda \). Jelas bahwa \( \ms{A_1} \subseteq \ms{L} \) berdasarkan asumsi kebebasan semula. Maka menurut teorema \( \pi \)-\( \lambda \), \( \sigma(\ms A_1) \subseteq \ms{L} \). Jadi, untuk setiap \( A_1 \in \sigma(\ms A_1) \) dan \( A_i \in \ms A_i \) bagi \( i \in \{2, 3, \ldots, n\} \), berlaku \[ \P\left(\bigcap_{i=1}^n A_i \right) = \prod_{i=1}^n \P(A_i) \] Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa \( \left\{\sigma(\ms A_1), \ms A_2, \ldots, \ms A_n\right\} \) bebas. Dengan mengulangi argumen ini sebanyak \( n - 1 \) kali lagi, diperoleh bahwa \( \{\sigma(\ms A_1), \sigma(\ms A_2), \ldots, \sigma(\ms A_n)\} \) bebas.
Hasil berikut merupakan pernyataan ketat tentang kebebasan kuat yang diakibatkan oleh kebebasan suatu koleksi kejadian.
Misalkan \( \ms A \) adalah koleksi kejadian bebas, dan \( \left\{\ms B_j: j \in J\right\} \) merupakan partisi dari \( \ms A \). Artinya, \( \ms B_j \cap \ms B_k = \emptyset \) untuk \( j \ne k \) dan \( \bigcup_{j \in J} \ms B_j = \ms A \). Maka \( \left\{\sigma(\ms B_j): j \in J\right\} \) bebas.
Rincian:
Misalkan \( \ms B_j^* \) menyatakan himpunan semua irisan berhingga dari himpunan-himpunan dalam \( \ms B_j \), untuk setiap \( j \in J \). Maka jelas bahwa \( \ms B_j^* \) adalah sistem-\( \pi \) untuk setiap \( j \), dan \( \left\{\ms B_j^*: j \in J\right\} \) bebas. Menurut , \( \left\{\sigma(\ms B_j^*): j \in J\right\} \) bebas. Namun, jelas bahwa \( \sigma(\ms B_j^*) = \sigma(\ms B_j) \) untuk \( j \in J \).
Mari kita nyatakan hasil ini secara lebih konkret. Pada bagian tentang kebebasan, Anda diminta menunjukkan bahwa jika \( A, B, C, D \) adalah kejadian bebas, maka, misalnya, \( A \cup B^c \) dan \( C^c \cup D^c \) bebas. Ini merupakan konsekuensi dari pernyataan yang jauh lebih kuat bahwa aljabar-\( \sigma \) \( \sigma\{A, B\} \) dan \( \sigma\{C, D\} \) bebas.
Selanjutnya, misalkan \((T, \ms T)\) adalah ruang terukur dan \(X\) adalah peubah acak bagi eksperimen kita yang bernilai dalam \(T\). Ingat bahwa \(X\) bebas terhadap dirinya sendiri jika dan hanya jika \(\P(X \in A) = 0\) atau \(\P(X \in A) = 1\) untuk setiap \(A \in \ms T\). Ingat pula bahwa jika \(X\) konstan dengan probabilitas 1, maka \(X\) bebas terhadap dirinya sendiri. Anda mungkin mengira konversnya benar. Artinya, jika \(X\) tidak konstan dengan probabilitas 1, mestilah ada himpunan saling lepas \(A, \, B \in \ms T\) dengan \(\P(X \in A) \gt 0\) dan \(\P(X \in B) \gt 0\), sehingga \(X\) tidak bebas terhadap dirinya sendiri. Namun sayangnya, anggapan itu keliru. Masalahnya, kebebasan sangat bergantung pada aljabar-\(\sigma\) yang mendasarinya. Secara khusus, pernyataan bahwa \(X\) konstan dengan probabilitas 1 tidak bermakna kecuali \(\ms T\) cukup kaya sehingga \(\{x\} \in \ms T\) untuk setiap \(x \in T\). Namun syarat itu saja belum cukup, seperti ditunjukkan oleh contoh penyangkal berikut.
Misalkan \(T\) adalah himpunan tak terhitung (misalnya \(\R\)), dan misalkan \(\ms T\) adalah aljabar-\(\sigma\) yang dibangkitkan oleh koleksi singleton \(\{\{x\}: x \in T\}\). Jadi \(\ms T\) adalah aljabar-\(\sigma\) dari himpunan terhitung dan koterhitung: \[\ms T = \{A \subseteq T: A \text{ is countable or } A^c \text{ is countable}\}\] Misalkan \(X\) memiliki distribusi probabilitas yang diberikan oleh \(\P(X \in A) = 0\) jika \(A\) terhitung dan \(\P(X \in A) = 1\) jika \(A\) tak terhitung. Maka \(X\) bebas terhadap dirinya sendiri, tetapi tidak konstan dengan probabilitas 1.
Rincian:
Misalkan \(P\) menyatakan distribusi \(X\) di atas. Kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(P\) merupakan ukuran probabilitas yang sah pada \((T, \ms T)\), dan untuk itu cukup ditunjukkan aditivitas terhitung. Misalkan \(\{A_i: i \in I\}\) adalah koleksi terhitung himpunan-himpunan saling lepas dalam \(\ms T\). Maka, \(A_i\) terhitung untuk setiap \(i \in I\), atau tepat satu \(A_j\) tak terhitung untuk suatu \(j \in I\). Dalam kasus pertama, \(\bigcup_{i \in I} A_i\) terhitung, sehingga \[P\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} P(A_i) = 0\] dan dalam kasus kedua \(\bigcup_{i \in I} A_i\) tak terhitung, sehingga \[P\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \sum_{i \in I} P(A_i) = 1\] Perhatikan bahwa setiap himpunan tak terhitung merupakan atom dari distribusi probabilitas.
Namun, konversnya benar dalam dua kasus khusus kita yang terpenting.
Misalkan \((T, \ms T)\) adalah ruang terukur diskret sehingga \(T\) terhitung dan \(\ms T\) merupakan koleksi semua subhimpunan \(T\). Jika \(X\) adalah peubah acak bernilai dalam \(T\) yang bebas terhadap dirinya sendiri, maka \(X\) konstan dengan probabilitas 1.
Rincian:
Jika \(X\) bebas terhadap dirinya sendiri, maka \(\P(X = x) = 0\) atau \(\P(X = x) = 1\) untuk setiap \(x \in T\). Namun \(\sum_{x \in T} \P(X = x) = 1\), sehingga harus berlaku \(\P(X = x_0) = 1\) untuk tepat satu \(x_0 \in T\).
Untuk \(n \in \N_+\), ingat bahwa ruang Euklides berdimensi \(n\) adalah \((\R^n, \ms R^n)\), dengan \(\ms R^n\) aljabar-\(\sigma\) Borel. Jika \(X\) adalah peubah acak bernilai dalam \(\R^n\) yang bebas terhadap dirinya sendiri, maka \(X\) konstan dengan probabilitas 1.
Rincian:
Pertimbangkan \(n = 1\). Fungsi distribusi \(F\) dari \(X\) diberikan oleh \(F(x) = \P(X \le x)\) untuk \(x \in \R\). Jelas bahwa \(F\) naik, dan menurut teorema kekontinuan, \(F\) kontinu dari kanan serta \(F(x) \to 1\) ketika \(x \to \infty\). Jika \(X\) bebas terhadap dirinya sendiri, maka \(F(x) = 0\) atau \(F(x) = 1\) untuk setiap \(x \in \R\). Akibatnya, terdapat satu-satunya \(x_0 \in \R\) sehingga \(F(x) = 0\) untuk \(x \lt x_0\) dan \(F(x) = 1\) untuk \(x \ge x_0\). Artinya, \(\P(X \lt x_0) = 0\) dan \(\P(X \le x_0) = 1\). Karena itu \(\P(X = x_0) = 1\).
Untuk \(n \in \{2, 3, \ldots\}\), peubah acak kita adalah \(\bs X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)\), dengan \(X_i\) bernilai dalam \(\R\) untuk setiap \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\). Jika \(\bs X\) bebas terhadap dirinya sendiri, demikian pula \(X_i\) untuk setiap \(i\). Akibatnya, \(X_i\) konstan dengan probabilitas 1 untuk setiap \(i\), sehingga \(\bs X\) konstan dengan probabilitas 1.
Sifat Dapat Dipertukarkan
Seperti biasa, misalkan \( (S, \ms S, \P) \) adalah ruang probabilitas yang bersesuaian dengan suatu eksperimen acak. Secara kasar, barisan kejadian atau barisan peubah acak disebut dapat dipertukarkan jika hukum probabilitas yang mengatur barisan tersebut tidak berubah ketika urutan kejadian atau peubah diubah. Peubah yang dapat dipertukarkan muncul secara alami dalam eksperimen pengambilan sampel dan banyak konteks lain, serta merupakan perumuman alami dari barisan peubah bebas dan berdistribusi identik (IID). Sebaliknya, ternyata setiap barisan peubah yang dapat dipertukarkan dapat dibangun dari suatu barisan IID. Pertama-tama kita berikan definisi untuk kejadian:
Misalkan \(\ms A = \{A_i: i \in I\}\) adalah koleksi kejadian, dengan \(I\) himpunan indeks tak kosong. Maka \( \ms A \) disebut dapat dipertukarkan jika probabilitas irisan sejumlah berhingga kejadian hanya bergantung pada banyaknya kejadian. Artinya, jika \(J\) dan \(K\) adalah subhimpunan berhingga dari \(I\) dan \(\#(J) = \#(K)\), maka \[\P\left( \bigcap_{j \in J} A_j\right) = \P \left( \bigcap_{k \in K} A_k\right)\]
Sifat dapat dipertukarkan memiliki sifat pewarisan dasar yang sama seperti yang telah kita lihat sebelumnya.
Misalkan \(\ms A\) adalah koleksi kejadian.
- Jika \(\ms A \) dapat dipertukarkan, maka \(\ms B\) dapat dipertukarkan untuk setiap \(\ms B \subseteq \ms A\).
- Sebaliknya, jika \(\ms B\) dapat dipertukarkan untuk setiap \(\ms B \subseteq \ms A\) yang berhingga, maka \(\ms A\) dapat dipertukarkan.
Untuk koleksi kejadian yang dapat dipertukarkan, hukum inklusi-eksklusi bagi probabilitas suatu gabungan jauh lebih sederhana daripada bentuk umumnya.
Misalkan \(n \in \N_+\) dan \(\{A_1, A_2, \ldots, A_n\}\) adalah koleksi kejadian yang dapat dipertukarkan. Untuk \(J \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}\) dengan \(\#(J) = k\), misalkan \(p_k = \P\left( \bigcap_{j \in J} A_j\right)\). Maka \[\P\left(\bigcup_{i = 1}^n A_i\right) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \binom{n}{k} p_k\]
Rincian:
Aturan inklusi-eksklusi memberikan \[\P \left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \sum_{J \subseteq I, \; \#(J) = k} \P \left( \bigcap_{j \in J} A_j \right)\] Namun \(p_k = \P\left( \bigcap_{j \in J} A_j\right)\) untuk setiap \( J \subseteq \{1, 2, \ldots, n\} \) dengan \( \#(J) = k \), dan terdapat \( \binom{n}{k} \) subhimpunan demikian.
Konsep dapat dipertukarkan dapat diperluas secara alami kepada peubah acak. Misalkan \( (T, \ms T) \) adalah ruang terukur.
Misalkan \(\ms A \) adalah koleksi peubah acak yang semuanya bernilai dalam \(T\). Koleksi \(\ms A\) disebut dapat dipertukarkan jika, untuk setiap \(n \in \N_+\), sembarang barisan \(n\) peubah acak dalam \(\ms A\) memiliki distribusi yang sama dengan sembarang barisan lain dari \(n\) peubah acak dalam \(\ms A\).
Sekali lagi, sifat dapat dipertukarkan memiliki sifat pewarisan dasar yang sama seperti koleksi peubah bebas.
Misalkan \(\ms A\) adalah koleksi peubah acak yang semuanya bernilai dalam \( T \).
- Jika \(\ms A\) dapat dipertukarkan, maka \(\ms B\) dapat dipertukarkan untuk setiap \(\ms B \subseteq \ms A\).
- Sebaliknya, jika \(\ms B\) dapat dipertukarkan untuk setiap \(\ms B \subseteq \ms A\) yang berhingga, maka \(\ms A\) dapat dipertukarkan.
Misalkan \( \ms A \) adalah koleksi peubah acak yang semuanya bernilai dalam \( T \), dan \( \ms A \) dapat dipertukarkan. Maka jelas bahwa peubah-peubah tersebut berdistribusi identik: jika \( X, \, Y \in \ms A \) dan \( A \in \ms T \), maka \( \P(X \in A) = \P(Y \in A) \). Selain itu, definisi peubah yang dapat dipertukarkan mencakup definisi untuk kejadian:
Misalkan \(\ms A\) adalah koleksi kejadian, dan misalkan \(\ms B = \{\bs 1_A: A \in \ms A \}\) menyatakan koleksi peubah acak indikator yang bersesuaian. Maka \(\ms A\) dapat dipertukarkan jika dan hanya jika \(\ms B\) dapat dipertukarkan.
Kejadian dan Peubah Ekor
Misalkan lagi kita memiliki eksperimen acak yang dimodelkan oleh ruang probabilitas \( (S, \ms S, \P) \). Ingat bahwa irisan suatu koleksi aljabar-\(\sigma\) juga merupakan aljabar-\(\sigma\).
Misalkan \(\bs X = (X_1, X_2, \ldots)\) adalah barisan peubah acak. Aljabar-\(\sigma\) ekor dari \(\bs X\) adalah \[ \ms S_\infty = \bigcap_{n=1}^\infty \sigma\{X_n, X_{n+1}, \ldots\} \]
- Kejadian \(A \in \ms S_\infty\) disebut kejadian ekor bagi barisan tersebut.
- Peubah acak \( Y \) yang terukur terhadap \( \ms S_\infty \) disebut peubah acak ekor bagi barisan tersebut.
Jadi \(\ms S_\infty\) adalah subaljabar-\(\sigma\) dari \(\ms S\). Secara informal, kejadian ekor (peubah acak ekor) adalah kejadian (peubah acak) yang dapat didefinisikan berdasarkan \(\{X_n, X_{n+1}, \ldots\}\) untuk setiap \(n \in \N_+\). Aljabar-\(\sigma\) ekor bagi barisan kejadian \( (A_1, A_2, \ldots) \) didefinisikan secara analog (atau cukup ambil \(X_k = \bs 1(A_k)\), peubah indikator dari \(A\), untuk setiap \(k \in \N_+\)). Untuk hasil-hasil berikut, Anda mungkin perlu meninjau beberapa definisi tentang kekonvergenan kejadian dan peubah acak.
Misalkan \((A_1, A_2, \ldots)\) adalah barisan kejadian.
- Jika barisan tersebut naik, maka \(\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\) merupakan kejadian ekor bagi barisan tersebut.
- Jika barisan tersebut turun, maka \(\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\) merupakan kejadian ekor bagi barisan tersebut.
Rincian:
- Jika barisan tersebut naik, maka \( \bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=k}^\infty A_n \in \sigma\{A_k, A_{k+1}, \ldots\}\) untuk setiap \( k \in \N_+ \).
- Jika barisan tersebut turun, maka \( \bigcap_{n=1}^\infty A_n = \bigcap_{n=k}^\infty A_k \in \sigma\{A_k, A_{k+1}, \ldots\} \) untuk setiap \( k \in \N_+ \)
Misalkan lagi \( (A_1, A_2, \ldots) \) adalah barisan kejadian. Masing-masing berikut merupakan kejadian ekor bagi barisan tersebut:
- \(\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{i=n}^\infty A_i\)
- \(\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{i=n}^\infty A_i\)
Rincian:
- Kejadian \( \bigcup_{i=n}^\infty A_i \) turun terhadap \( n \), sehingga \( \limsup_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} \bigcup_{i=n}^\infty A_i \in \ms S_\infty \) menurut bagian (b) dari .
- Kejadian \( \bigcap_{i=n}^\infty A_i \) naik terhadap \( n \), sehingga \( \liminf_{n \to \infty} A_n = \lim_{n \to \infty} \bigcap_{i=n}^\infty A_i \in \ms S_\infty \) menurut bagian (a) dari .
Misalkan \( \bs X = (X_1, X_2, \ldots) \) adalah barisan peubah acak bernilai riil.
- \(\{X_n \text{ converges as } n \to \infty\}\) merupakan kejadian ekor bagi \( \bs X \).
- \( \liminf_{n \to \infty} X_n \) merupakan peubah acak ekor bagi \( \bs X \).
- \( \limsup_{n \to \infty} X_n \) merupakan peubah acak ekor bagi \( \bs X \).
Rincian:
- Kriteria Cauchy untuk kekonvergenan (tentu saja dinamai menurut Augustin Cauchy) menyatakan bahwa \( X_n \) konvergen ketika \( n \to \infty \) jika dan hanya jika, untuk setiap \( \epsilon > 0 \), terdapat \( N \in \N_+ \) (yang bergantung pada \( \epsilon \)) sehingga jika \(m, \, n \ge N \), maka \( \left|X_n - X_m\right| \lt \epsilon \). Dalam kriteria ini, tanpa mengurangi keumuman kita dapat mengambil \( \epsilon \) rasional, dan untuk suatu \( k \in \N_+ \) kita dapat mensyaratkan \( m, \, n \ge k \). Dengan pembatasan ini, kriteria Cauchy merupakan irisan terhitung dari kejadian-kejadian yang masing-masing berada dalam \( \sigma\{X_k, X_{k+1}, \ldots\} \).
- Ingat bahwa \( \liminf_{n \to \infty} X_n = \lim_{n \to \infty} \inf\{X_k: k \ge n\} \).
- Demikian pula, ingat bahwa \( \limsup_{n \to \infty} X_n = \lim_{n \to \infty} \sup\{X_k: k \ge n\} \).
Peubah acak pada bagian (b) dapat bernilai \( -\infty \), dan peubah acak pada bagian (c) dapat bernilai \( \infty \). Dari bagian (b) dan (c) bersama-sama, perhatikan bahwa jika \( X_n \to X_\infty \) ketika \( n \to \infty \) pada ruang sampel \( \ms S \), maka \( X_\infty \) merupakan peubah acak ekor bagi \( \bs X \).
Ada sejumlah hukum nol-satu dalam probabilitas. Hukum-hukum ini adalah teorema yang memberikan syarat agar suatu kejadian secara esensial deterministik, yakni memiliki probabilitas 0 atau 1. Menariknya, terkadang sulit menentukan ekstrem mana yang sebenarnya berlaku. Hasil berikut adalah hukum nol-satu Kolmogorov, yang dinamai menurut Andrey Kolmogorov. Hukum ini menyatakan bahwa suatu kejadian dalam aljabar-\(\sigma\) ekor dari barisan bebas memiliki probabilitas 0 atau 1.
Misalkan \( \bs X = (X_1, X_2, \ldots) \) adalah barisan peubah acak bebas. Misalkan \((T, \ms T)\) adalah ruang terukur dan \(Y\) adalah peubah acak ekor bagi \(\bs X\) yang bernilai dalam \(T\). Maka \(Y\) bebas terhadap dirinya sendiri, sehingga \[\P(Y \in A) = 0 \text{ or } \P(Y \in A) = 1, \quad A \in \ms T\]
Rincian:
Menurut definisi, \(Y\) terukur terhadap \( \sigma\{X_{n+1}, X_{n+2}, \ldots\} \) dan \(\ms T\) untuk setiap \( n \in \N_+ \); karena itu \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\) dan \(Y\) bebas untuk setiap \(n \in \N_+\). Jadi \(\bs X\) dan \(Y\) bebas. Namun \(Y\) terukur terhadap \( \sigma(\bs X) \) dan \(\ms T\), sehingga \(Y\) bebas terhadap dirinya sendiri. Karena itu \(\P(Y \in A) = 0\) atau \(\P(Y \in A) = 1\) untuk setiap \(A \in \ms T\).
Sebagai akibat, teorema ini dapat diterapkan pada \(\bs 1_A\), yaitu peubah indikator kejadian \(A \in \ms S\): jika \(A\) merupakan kejadian ekor dari barisan bebas \(\bs X\), maka \(\P(A) = 0\) atau \(\P(A) = 1\). Sebagai akibat lebih lanjut, jika \(Y\) merupakan peubah acak ekor bagi barisan bebas \(\bs X\) dan \(Y\) bernilai dalam ruang diskret atau ruang Euklides, maka \(Y\) konstan dengan probabilitas 1. Akhirnya, dari hukum nol-satu Kolmogorov dan , perhatikan bahwa jika \((A_1, A_2, \ldots)\) adalah barisan kejadian bebas, maka \(\limsup_{n \to \infty} A_n\) harus berprobabilitas 0 atau 1. Lemma Borel-Cantelli memberikan syarat yang menentukan mana di antara keduanya yang benar:
Misalkan \( (A_1, A_2, \ldots) \) adalah barisan kejadian bebas.
- Jika \( \sum_{i=1}^\infty \P(A_i) \lt \infty \), maka \( \P\left(\limsup_{n \to \infty} A_n\right) = 0 \).
- Jika \( \sum_{i=1}^\infty \P(A_i) = \infty \), maka \( \P\left(\limsup_{n \to \infty} A_n\right) = 1 \).
Pembuktian lain bagi hukum nol-satu Kolmogorov dapat diberikan dengan menggunakan teorema kekonvergenan martingal.
Contoh dan Latihan
Seperti biasa, pastikan Anda mencoba sendiri latihan komputasi dan pembuktiannya sebelum membuka rincian.
Contoh Penyangkal
Probabilitas yang sama jelas tidak mengakibatkan kejadian ekuivalen.
Pertimbangkan eksperimen sederhana berupa pelemparan koin seimbang. Kejadian bahwa koin menghasilkan sisi kepala dan kejadian bahwa koin menghasilkan sisi ekor memiliki probabilitas yang sama, tetapi keduanya tidak ekuivalen.
Rincian:
Misalkan \( S \) menyatakan ruang sampel dan \( H \) kejadian sisi kepala, sehingga \( H^c \) adalah kejadian sisi ekor. Karena koin seimbang, \( \P(H) = \P(H^c) = \frac{1}{2} \). Namun \( H \bigtriangleup H^c = S\), sehingga \( \P(H \bigtriangleup H^c) = 1 \); jadi \( H \) dan \( H^c \) sama sekali tidak ekuivalen.
Demikian pula, distribusi yang sama tidak mengakibatkan peubah acak ekuivalen.
Pertimbangkan eksperimen pelemparan sebuah dadu standar yang seimbang. Misalkan \( X \) menyatakan angka yang muncul dan \( Y = 7 - X \). Maka \( X \) dan \( Y \) memiliki distribusi yang sama, tetapi tidak ekuivalen.
Rincian:
Karena dadu seimbang, \( X \) berdistribusi seragam pada \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Selain itu, \( \P(Y = k) = \P(X = 7 - k) = \frac{1}{6} \) untuk \( k \in S \), sehingga \( Y \) juga berdistribusi seragam pada \( S \). Namun \( \P(X = Y) = \P\left(X = \frac{7}{2}\right) = 0 \), sehingga \( X \) dan \( Y \) sama sekali tidak ekuivalen.
Pertimbangkan eksperimen melempar dua dadu standar yang seimbang dan mencatat barisan angka yang muncul \( (X, Y) \). Maka \( X \) dan \( Y \) bebas dan memiliki distribusi yang sama, tetapi tidak ekuivalen.
Rincian:
Karena kedua dadu seimbang, \( (X, Y) \) berdistribusi seragam pada \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^2 \). Secara ekuivalen, \( X \) dan \( Y \) bebas, dan masing-masing berdistribusi seragam pada \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Namun \( \P(X = Y) = \frac{1}{6} \), sehingga \( X \) dan \( Y \) tidak ekuivalen.