Fungsi Lipschitz dan diferensiabilitas

Sebagai persiapan untuk pekerjaan utama bab ini dalam §263, saya menyediakan satu bagian bagi dua kelas penting fungsi antar-ruang Euklides. Yang sebenarnya kita perlukan ialah bahan yang pada hakikatnya elementer sampai 262I, bersama lemma teknis 262M dan akibat-akibatnya. Teorema 262Q tidak digunakan dalam jilid ini, walaupun saya yakin teorema itu membuat pola-pola yang akan berkembang menjadi lebih alami dan mudah dipahami.

Seperti dalam §261, \(r\) (dan di sini juga \(s\)) akan selalu merupakan bilangan bulat positif, dan ‘terukur’, ‘terabaikan’, ‘terintegralkan’ akan mengacu pada ukuran Lebesgue kecuali dinyatakan lain.

262A Fungsi Lipschitz

Misalkan \(\phi:D\to\BbbR^s\) suatu fungsi, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\). Kita katakan bahwa \(\phi\) \(\gamma\)-Lipschitz, dengan \(\gamma\in\coint{0,\infty}\), jika

\(\|\phi(x)-\phi(y)\|\le \gamma \|x-y\|\)

untuk semua \(x\), \(y\in D\), dengan menuliskan \(\|x\|=\sqrt{\xi_1^2+\ldots+\xi_r^2}\) jika \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\), \(\|z\|=\sqrt{\zeta_1^2+\ldots+\zeta_s^2}\) jika \(z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_s)\in\BbbR^s\). Dalam hal ini, \(\gamma\) adalah konstanta Lipschitz bagi \(\phi\).

Sebuah fungsi Lipschitz adalah fungsi \(\phi\) yang \(\gamma\)-Lipschitz untuk suatu \(\gamma\ge 0\). Perhatikan bahwa dalam hal ini \(\phi\) mempunyai konstanta Lipschitz terkecil (sebab jika \(A\) adalah himpunan konstanta Lipschitz bagi \(\phi\), dan \(\gamma_0=\inf A\), maka \(\gamma_0\) merupakan konstanta Lipschitz bagi \(\phi\)). Jelas bahwa fungsi Lipschitz kontinu (secara seragam).

262B

Kita memerlukan fakta-fakta mudah berikut.

Lemma Misalkan \(D\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan dan \(\phi:D\to\BbbR^s\) suatu fungsi.

(a) \(\phi\) Lipschitz jika dan hanya jika \(\phi_i:D\to\Bbb R\) Lipschitz untuk setiap \(i\), dengan menuliskan \(\phi(x)=(\phi_1(x),\ldots,\phi_s(x))\) untuk setiap \(x\in D=\dom\phi\subseteq\BbbR^r\).

(b) Dalam hal ini, terdapat fungsi Lipschitz \(\tilde\phi:\BbbR^r\to\BbbR^s\) yang memperluas \(\phi\).

(c) Jika \(r=s=1\) dan \(D=[a,b]\) suatu interval, maka \(\phi\) Lipschitz jika dan hanya jika kontinu mutlak dan mempunyai turunan terbatas.

Bukti

(a) Untuk sebarang \(x\), \(y\in D\) dan \(i\le s\),

\(|\phi_i(x)-\phi_i(y)|\le\|\phi(x)-\phi(y)\| \le\sqrt{s}\sup_{j\le s}|\phi_j(x)-\phi_j(y)|\),

sehingga setiap konstanta Lipschitz bagi \(\phi\) merupakan konstanta Lipschitz bagi setiap \(\phi_i\), dan jika \(\gamma_j\) adalah konstanta Lipschitz bagi \(\phi_j\) untuk setiap \(j\), maka \(\sqrt{s}\sup_{j\le s}\gamma_j\) merupakan konstanta Lipschitz bagi \(\phi\).

(b) Berdasarkan (a), cukup dipertimbangkan kasus \(s=1\), sebab jika setiap \(\phi_i\) mempunyai perluasan Lipschitz \(\tilde\phi_i\), kita dapat menetapkan \(\tilde\phi(x)=(\tilde\phi_1(x),\ldots,\tilde\phi_s(x))\) untuk setiap \(x\) guna memperoleh perluasan Lipschitz dari \(\phi\). Jadi ambil \(s=1\); perhatikan bahwa kasus \(D=\emptyset\) sepele; maka andaikan \(D\ne\emptyset\). Misalkan \(\gamma\) suatu konstanta Lipschitz bagi \(\phi\), dan tuliskan

\(\tilde\phi(z)=\sup_{y\in D}\phi(y)-\gamma\|y-z\|\)

untuk setiap \(z\in\BbbR^r\). Jika \(x\in D\), maka untuk sebarang \(z\in\BbbR^r\) dan \(y\in D\),

\(\phi(y)-\gamma\|y-z\| \le\phi(x)+\gamma\|y-x\|-\gamma\|y-z\| \le\phi(x)+\gamma\|z-x\|\),

sehingga \(\tilde\phi(z)\le\phi(x)+\gamma\|z-x\|\); khususnya, ini menunjukkan bahwa \(\tilde\phi(z)<\infty\). Selain itu, jika \(z\in D\), harus berlaku

\(\phi(z)-\gamma\|z-z\|\le\tilde\phi(z) \le\phi(z)+\gamma\|z-z\|\),

sehingga \(\tilde\phi\) memperluas \(\phi\). Akhirnya, jika \(w\), \(z\in\BbbR^r\) dan \(y\in D\),

\(\phi(y)-\gamma\|y-w\| \le\phi(y)-\gamma\|y-z\|+\gamma\|w-z\| \le\tilde\phi(z)+\gamma\|w-z\|\);

dan dengan mengambil supremum atas \(y\in D\),

\(\tilde\phi(w)\le\tilde\phi(z)+\gamma\|w-z\|\).

Karena \(w\) dan \(z\) sebarang, \(\tilde\phi\) Lipschitz.

(c)(i) Andaikan \(\phi\) \(\gamma\)-Lipschitz. Jika \(\epsilon>0\) dan \(a\le a_1\le b_1\le\ldots\le a_n\le b_n\le b\) serta \(\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)\le\epsilon/(1+\gamma)\), maka

\(\sum_{i=1}^n|\phi(b_i)-\phi(a_i)| \le\sum_{i=1}^n\gamma|b_i-a_i| \le\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\phi\) kontinu mutlak. Jika \(x\in[a,b]\) dan \(\phi'(x)\) terdefinisi, maka

\(|\phi'(x)| =\lim_{y\to x}\Bover{|\phi(y)-\phi(x)|}{|y-x|}\le\gamma\),

sehingga \(\phi'\) terbatas.

(ii) Sekarang andaikan \(\phi\) kontinu mutlak dan \(|\phi'(x)|\le\gamma\) untuk setiap \(x\in\dom\phi'\), dengan \(\gamma\ge 0\). Maka setiap kali \(a\le x\le y\le b\),

\(|\phi(y)-\phi(x)|=|\int_x^y\phi'|\le\int_x^y|\phi'| \le\gamma(y-x)\)

(menggunakan 225E untuk kesamaan pertama). Karena \(x\) dan \(y\) sebarang, \(\phi\) \(\gamma\)-Lipschitz.

262C Catatan

Argumen untuk (b) di atas menunjukkan bahwa jika \(\phi:D\to\Bbb R\) suatu fungsi Lipschitz, dengan \(D\subseteq\Bbb R^r\), maka \(\phi\) mempunyai perluasan ke \(\BbbR^r\) dengan konstanta Lipschitz yang sama. Bahkan, jika \(\phi:D\to\BbbR^s\) suatu fungsi Lipschitz, maka \(\phi\) mempunyai perluasan \(\tilde\phi:\BbbR^r\to\BbbR^s\) dengan konstanta Lipschitz yang sama; ini adalah ‘teorema Kirszbraun’ (Kirszbraun 34, atau Federer 69, 2.10.43).

262D Proposisi

Jika \(\phi:D\to\BbbR^r\) suatu fungsi \(\gamma\)-Lipschitz, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\), maka \(\mu^*\phi[A]\le\gamma^r\mu^*A\) untuk setiap \(A\subseteq D\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\BbbR^r\). Khususnya, \(\phi[D\cap A]\) terabaikan untuk setiap himpunan terabaikan \(A\subseteq\BbbR^r\).

Bukti

Misalkan \(\epsilon>0\). Berdasarkan 261F, terdapat barisan bola tertutup \(\sequencen{B_n}=\sequencen{B(x_n,\delta_n)}\) di \(\Bbb R^r\) yang menutupi \(A\), sedemikian sehingga \(\sum_{n=0}^{\infty}\mu B_n\le\mu^* A+\epsilon\) dan \(\sum_{n\in\Bbb N\setminus K}\mu B_n\le\epsilon\), dengan \(K=\{n:n\in\Bbb N,\,x_n\in A\}\). Tetapkan

\(L=\{n:n\in\Bbb N\setminus K,\,B_n\cap D\ne\emptyset\}\),

dan untuk \(n\in L\) pilih \(y_n\in D\cap B_n\). Sekarang tetapkan

\[\begin{aligned}B'_n &=B(\phi(x_n),\gamma\delta_n)\text{ jika }n\in K,\\ &=B(\phi(y_n),2\gamma\delta_n)\text{ jika }n\in L,\\ &=\emptyset\text{ jika }n\in\Bbb N\setminus(K\cup L).\\\end{aligned}\]

Maka \(\phi[B_n\cap D]\subseteq B'_n\) untuk setiap \(n\), sehingga \(\phi[D\cap A]\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}B'_n\), dan

\[\begin{aligned}\mu^*\phi[A\cap D] &\le\sum_{n=0}^{\infty}\mu B'_n =\gamma^r\sum_{n\in K}\mu B_n+2^r\gamma^r\sum_{n\in L}\mu B_n\\ &\le\gamma^r(\mu^*A+\epsilon)+2^r\gamma^r\epsilon.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\mu^*\phi[A\cap D]\le\gamma^r\mu^*A\), sebagaimana diklaim.

262E Akibat

Misalkan \(\phi:D\to\BbbR^r\) suatu fungsi Lipschitz injektif, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\), dan \(f\) suatu fungsi terukur dari suatu himpunan bagian \(\BbbR^r\) ke \(\Bbb R\).

(a) Jika \(\phi^{-1}\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam suatu himpunan \(H\) dari \(\BbbR^r\) dan \(f\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^r\), maka \(f\phi^{-1}\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(H\).

(b) Jika \(E\subseteq D\) terukur Lebesgue, maka \(\phi[E]\) terukur.

Bukti

Tetapkan

\(C=\dom(f\phi^{-1}) =\{y:y\in\phi[D],\,\phi^{-1}(y)\in\dom f\}=\phi[D\cap\dom f]\).

(a) Karena \(f\) terdefinisi hampir di mana-mana, \(\phi[D\setminus\dom f]\) terabaikan. Tetapi sekarang

\(C=\phi[D]\setminus \phi[D\setminus\dom f] =\dom\phi^{-1}\setminus\phi[D\setminus\dom f]\),

sehingga

\(H\setminus C \subseteq(H\setminus\dom\phi^{-1})\cup\phi[D\setminus\dom f]\)

terabaikan.

(b) Sekarang andaikan \(E\subseteq D\) dan \(E\) terukur. Misalkan \(\sequencen{F_n}\) suatu barisan himpunan bagian tertutup dan terbatas dari \(E\) sedemikian sehingga \(\mu(E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n)=0\) (134Fb). Karena \(\phi\) Lipschitz, fungsi ini kontinu, sehingga \(\phi[F_n]\) kompak, jadi tertutup, dan karena itu terukur untuk setiap \(n\) (2A2E, 115G); selain itu, \(\phi[E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n]\) terabaikan berdasarkan 262D, dan karena itu terukur. Jadi

\(\phi[E] =\phi[E\setminus\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n] \cup\bigcup_{n\in\Bbb N}\phi[F_n] \)

terukur.

(c) Untuk sebarang \(a\in\Bbb R\), ambil himpunan terukur \(E\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\{x:f(x)\ge a\}=E\cap\dom f\). Maka

\(\{y:y\in C,\,f\phi^{-1}(y)\ge a\} =C\cap\phi[D\cap E]\).

Tetapi \(\phi[D\cap E]\) terukur berdasarkan (b), sehingga \(\{y:f\phi^{-1}(y)\ge a\}\) terukur relatif dalam \(C\). Karena \(a\) sebarang, \(f\phi^{-1}\) terukur.

262F Keterdiferensialan

Sekarang saya beralih ke kelas fungsi yang sifat-sifatnya akan mengisi sebagian besar sisa bab ini.

Definisi Misalkan \(\phi\) suatu fungsi dari himpunan bagian \(D=\dom\phi\) dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\).

262Fa (a)

\(\phi\) terdiferensialkan di \(x\in D\) jika terdapat matriks real \(s\times r\), yaitu \(T\), sedemikian sehingga

\(\lim_{y\to x} \Bover{\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|}{\|y-x\|}=0\);

dalam hal ini kita dapat menuliskan \(T=\phi'(x)\).

262Fb (b)

Saya akan mengatakan bahwa \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\), dan bahwa \(T\) adalah suatu turunan dari \(\phi\) di \(x\), jika \(x\in D\) dan untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga \(\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|\le\epsilon\|y-x\|\) untuk setiap \(y\in B(x,\delta)\cap D\).

262G Catatan (a)

Definisi baku dalam 262Fa, yang melibatkan limit dari semua arah ‘\(\lim_{y\to x}\)’, secara tersirat mensyaratkan \(\phi\) terdefinisi pada suatu bola tak-sepele yang berpusat di \(x\), agar kita dapat menghitung \(\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\) untuk semua \(y\) yang cukup dekat dengan \(x\). Keuntungannya ialah turunan \(T=\phi'(x)\) terdefinisi secara tunggal (sebab jika \(\lim_{z\to \tbf{0}}\Bover{\|T_1z-T_2z\|}{\|z\|}=0\) maka

\(\Bover{\|(T_1-T_2)z\|}{\|z\|}=\lim_{\alpha\to 0}\Bover{\|T_1(\alpha z)-T_2(\alpha z)\|}{\|\alpha z\|}=0\)

untuk setiap \(z\) taknol, sehingga \(T_1-T_2\) harus merupakan matriks nol). Untuk keperluan kita di sini, ada manfaatnya melonggarkan hal ini sedikit menjadi bentuk dalam 262Fb, agar kita tidak perlu memberi perhatian khusus pada batas \(\dom\phi\). Khususnya, kita mendapati bahwa jika \(T\) suatu turunan dari \(\phi:D\to\BbbR^s\) relatif terhadap domainnya di \(x\), dan \(x\in D'\subseteq D\), maka \(T\) merupakan turunan dari \(\phi\restr D'\) relatif terhadap domainnya di \(x\).

262Gb (b)

Jika Anda belum pernah menjumpai konsep ‘keterdiferensialan’ ini, tetapi cukup mengenal pendiferensialan parsial, perlu ditekankan bahwa konsep fungsi ‘terdiferensialkan’ (setidaknya dalam pengertian ketat yang dituntut 262Fa) benar-benar lebih kuat daripada konsep fungsi ‘terdiferensialkan secara parsial’. Untuk keperluan perhitungan, metode paling berguna untuk menemukan turunan sejati diberikan oleh 262Id di bawah. Sebagai contoh sederhana fungsi yang mempunyai semua turunan parsial tetapi tidak terdiferensialkan di setiap titik, perhatikan \(\phi:\BbbR^2\to\Bbb R\) yang didefinisikan oleh

\[\begin{aligned}\phi(\xi_1,\xi_2) &={{\xi_1\xi_2}\over{\xi_1^2+\xi_2^2}} \text{ jika }\xi_1^2+\xi_2^2\ne 0,\\ &=0\text{ jika }\xi_1=\xi_2=0.\\\end{aligned}\]

Maka \(\phi\) bahkan tidak kontinu di \(\tbf{0}\), walaupun kedua turunan parsial \(\pd{\phi}{\xi_j}\) terdefinisi di mana-mana.

262Gc (c)

Dalam definisi di atas, saya menyebut turunan sebagai suatu matriks. Secara tepat, turunan fungsi yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian \(\BbbR^r\) dan bernilai dalam \(\BbbR^s\) seharusnya dipandang sebagai operator linear terbatas dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\); perumusan dengan matriks dapat diterima karena terdapat korespondensi satu-satu alami antara matriks real \(s\times r\) dan operator linear dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), dan semua operator linear ini terbatas. Saya menggunakan deskripsi ‘matriks’ karena deskripsi ini membuat beberapa perhitungan lebih langsung; khususnya, hubungan antara \(\phi'\) dan turunan parsial \(\phi\) (262Ic), serta gagasan determinan \(\det\phi'(x)\), yang digunakan sepanjang §§263 dan 265.

262H Norma matriks

Beberapa perhitungan di bawah akan bertumpu pada gagasan ‘norma’ matriks. Norma yang akan saya gunakan (sebenarnya, untuk keperluan kita di sini, norma apa pun memadai) ialah ‘norma operator’, yang didefinisikan dengan menetapkan

\(\|T\|=\sup\{\|Tx\|:x\in\BbbR^r,\,\|x\|\le 1\}\)

untuk sebarang matriks \(s\times r\), yaitu \(T\). Untuk fakta-fakta dasar mengenai norma-norma ini, lihat 2A4F-2A4G. Hal berikut juga akan berguna.

262Ha (a)

Jika semua koefisien \(T\) kecil, maka \(\|T\|\) juga kecil; sesungguhnya, jika \(T=\langle\tau_{ij}\rangle_{i\le s,j\le r}\), dan \(\|x\|\le 1\), maka \(|\xi_j|\le 1\) untuk setiap \(j\), sehingga

\(\|Tx\| =\bigl(\sum_{i=1}^s(\sum_{j=1}^r\tau_{ij}\xi_j)^2\bigr)^{1/2} \le \bigl(\sum_{i=1}^s(\sum_{j=1}^r|\tau_{ij}|)^2\bigr)^{1/2} \le r\sqrt{s}\max_{i\le s,j\le r}|\tau_{ij}|\),

dan \(\|T\|\le r\sqrt{s}\max_{i\le s,j\le r}|\tau_{ij}|\). (Ini ketaksamaan yang sangat kasar. Ketaksamaan yang lebih baik ada dalam 262Yb. Namun khususnya ini memberi tahu kita bahwa \(\|T\|\) selalu berhingga.)

262Hb (b)

Jika \(\|T\|\) kecil, maka semua koefisien \(T\) juga kecil; sesungguhnya, dengan menuliskan \(e_j\) untuk vektor satuan ke-\(j\) dari \(\BbbR^r\), maka koordinat ke-\(i\) dari \(Te_j\) adalah \(\tau_{ij}\), sehingga \(|\tau_{ij}|\le\|Te_j\|\le\|T\|\).

262I Lemma

Misalkan \(\phi:D\to\BbbR^s\) suatu fungsi, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\). Untuk \(i\le s\), misalkan \(\phi_i:D\to\Bbb R\) koordinat ke-\(i\)-nya, sehingga \(\phi(x)=(\phi_1(x),\ldots,\phi_s(x))\) untuk \(x\in D\).

(a) Jika \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\in D\), maka \(\phi\) kontinu di \(x\).

(b) Jika \(x\in D\), maka \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\) jika dan hanya jika setiap \(\phi_i\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\).

(c) Jika \(\phi\) terdiferensialkan di \(x\in D\), maka semua turunan parsial \(\pd{\phi_i}{\xi_j}\) dari \(\phi\) terdefinisi di \(x\), dan turunan \(\phi\) di \(x\) adalah matriks \(\langle\pd{\phi_i}{\xi_j}(x)\rangle_{i\le s,j\le r}\).

(d) Jika semua turunan parsial \(\pd{\phi_i}{\xi_j}\), untuk \(i\le s\) dan \(j\le r\), terdefinisi di suatu lingkungan dari \(x\in D\) dan kontinu di \(x\), maka \(\phi\) terdiferensialkan di \(x\).

Bukti

(a) Misalkan \(T\) suatu turunan dari \(\phi\) di \(x\). Dengan menerapkan definisi 262Fb dengan \(\epsilon=1\), kita melihat bahwa terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|\le\|y-x\|\)

setiap kali \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\). Sekarang

\(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\|T(y-x)\|+\|y-x\| \le(1+\|T\|)\|y-x\|\)

setiap kali \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\), sehingga \(\phi\) kontinu di \(x\).

(b)(i) Jika \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\in D\), misalkan \(T\) suatu turunan dari \(\phi\) di \(x\). Untuk \(i\le s\), misalkan \(T_i\) matriks \(1\times r\) yang terdiri atas baris ke-\(i\) dari \(T\). Misalkan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\[\begin{aligned}|\phi_i(y)-\phi_i(x)-T_i(y-x)| &\le\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|\\ &\le\epsilon\|y-x\|\\\end{aligned}\]

setiap kali \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\), sehingga \(T_i\) merupakan turunan dari \(\phi_i\) di \(x\).

(ii) Jika setiap \(\phi_i\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\), dengan turunan yang bersesuaian \(T_i\), misalkan \(T\) matriks \(s\times r\) dengan baris \(T_1,\ldots,T_s\). Untuk \(\epsilon>0\) yang diberikan, bagi setiap \(i\le s\) terdapat \(\delta_i>0\) sedemikian sehingga

\(|\phi_i(y)-\phi_i(x)-T_i(y-x)|\le\epsilon\|y-x\|\) setiap kali \(y\in D\), \(\|y-x\|\le\delta_i\);

tetapkan \(\delta=\min_{i\le s}\delta_i>0\); maka jika \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\), akan berlaku

\(\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|^2 =\sum_{i=1}^s|\phi_i(y)-\phi_i(x)-T_i(y-x)|^2 \le s\epsilon^2\|y-x\|^2\),

sehingga

\(\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\| \le\epsilon\sqrt{s}\|y-x\|\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(T\) merupakan turunan dari \(\phi\) di \(x\).

(c) Tetapkan \(T=\phi'(x)\). Kita mempunyai

\(\lim_{y\to x}\Bover{\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|}{\|y-x\|} =0\);

tetapkan \(j\le r\), dan perhatikan \(y=x+\eta e_j\), dengan \(e_j=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)\) vektor satuan ke-\(j\) dalam \(\BbbR^r\). Maka harus berlaku

\(\lim_{\eta\to 0}\Bover{\|\phi(x+\eta e_j)-\phi(x)-\eta T(e_j)\|}{|\eta|} =0\).

Dengan memperhatikan koordinat ke-\(i\) dari \(\phi(x+\eta e_j)-\phi(x)-\eta T(e_j)\), kita memperoleh

\(|\phi_i(x+\eta e_j)-\phi_i(x)-\tau_{ij}\eta| \le\|\phi(x+\eta e_j)-\phi(x)-\eta T(e_j)\|\),

dengan \(\tau_{ij}\) koefisien ke-\((i,j)\) dari \(T\); sehingga

\(\lim_{\eta\to 0} \Bover{|\phi_i(x+\eta e_j)-\phi_i(x)-\tau_{ij}\eta|}{|\eta|} =0\).

Tetapi ini tepat mengatakan bahwa turunan parsial \(\pd{\phi_i}{\xi_j}(x)\) ada dan sama dengan \(\tau_{ij}\), sebagaimana dinyatakan.

(d) Sekarang andaikan turunan parsial \(\pd{\phi_i}{\xi_j}\) terdefinisi di dekat \(x\) dan kontinu di \(x\). Misalkan \(\epsilon>0\). Misalkan \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(|\pd{\phi_i}{\xi_j}(y)-\tau_{ij}|\le\epsilon\)

setiap kali \(\|y-x\|\le\delta\), dengan menuliskan \(\tau_{ij}=\pd{\phi_i}{\xi_j}(x)\). Sekarang andaikan \(\|y-x\|\le\delta\). Tetapkan

\(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\), \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\),

\(y_j=(\eta_1,\ldots,\eta_j,\xi_{j+1},\ldots,\xi_r)\) untuk \(0\le j\le r\),

sehingga \(y_0=x\), \(y_r=y\), dan ruas garis antara \(y_{j-1}\) dan \(y_{j}\) seluruhnya berada dalam jarak \(\delta\) dari \(x\) setiap kali \(1\le j\le r\), sebab jika \(z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_r)\) terletak pada ruas ini, maka \(\zeta_i\) berada di antara \(\xi_i\) dan \(\eta_i\) untuk setiap \(i\). Berdasarkan teorema nilai rata-rata biasa bagi fungsi real terdiferensialkan, yang diterapkan pada fungsi

\(t\mapsto \phi_i(\eta_1,\ldots,\eta_{j-1},t,\xi_{j+1},\ldots,\xi_r)\),

untuk setiap \(i\le s\), \(j\le r\) terdapat titik \(z_{ij}\) pada ruas garis antara \(y_{j-1}\) dan \(y_j\) sedemikian sehingga

\(\phi_i(y_j)-\phi_i(y_{j-1}) =(\eta_j-\xi_j)\pd{\phi_i}{\xi_j}(z_{ij})\).

Tetapi

\(|\pd{\phi_i}{\xi_j}(z_{ij})-\tau_{ij}|\le\epsilon\),

sehingga

\(|\phi_i(y_j)-\phi_i(y_{j-1}) -\tau_{ij}(\eta_j-\xi_j)|\le\epsilon|\eta_j-\xi_j|\le\epsilon\|y-x\|\).

Dengan menjumlahkan atas \(j\),

\(|\phi_i(y)-\phi_i(x)-\sum_{j=1}^r\tau_{ij}(\eta_j-\xi_j)| \le r\epsilon\|y-x\|\)

untuk setiap \(i\). Dengan menjumlahkan kuadrat-kuadratnya dan mengambil akar kuadrat,

\(\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|\le \epsilon r\sqrt{s}\|y-x\|\),

dengan \(T=\langle\tau_{ij}\rangle_{i\le s,j\le r}\). Ini berlaku setiap kali \(\|y-x\|\le\delta\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\phi'(x)=T\) terdefinisi.

262J Catatan

Saya tidak yakin apakah saya perlu meminta maaf atas notasi \(\pd{}{\xi_j}\). Dalam rumus seperti \((\eta_j-\xi_j)\pd{\phi_i}{\xi_j}(z_{ij})\) di atas, kedua kemunculan \(\xi_j\) sangat mudah membingungkan. Namun saya rasa orang yang beriktikad baik tidak akan tersesat, asalkan label \(\xi_j\) (atau simbol apa pun yang digunakan untuk mewakili variabel terkait) dijelaskan secara memadai ketika domain \(\phi\) pertama kali diperkenalkan (dan selalu diingat bahwa dalam pendiferensialan parsial, kita tidak hanya menggerakkan satu variabel – suatu \(\xi_j\) dalam konteks sekarang – tetapi juga menahan tetap daftar variabel lain yang tidak dicantumkan dalam notasi). Saya yakin notasi tradisional \(\pd{}{\xi_j}\) bertahan karena alasan yang kuat, dan saya ingin menyambut mereka yang lebih nyaman dengannya daripada dengan berbagai alternatif yang pernah diusulkan tetapi tidak pernah berakar.

262K Meninjau kembali fungsi Cantor

Ada manfaatnya memeriksa kembali contoh-contoh 134H-134I dalam terang pertimbangan sekarang. Misalkan \(f:[0,1]\to[0,1]\) fungsi Cantor (134H) dan tetapkan \(g(x)=\bover12(x+f(x))\) untuk \(x\in [0,1]\). Maka \(g:[0,1]\to[0,1]\) suatu homeomorfisme (134I); tetapkan \(\phi=g^{-1}:[0,1]\to[0,1]\). Kita melihat bahwa jika \(0\le x\le y\le 1\) maka \(g(y)-g(x)\ge\bover12(y-x)\); secara ekuivalen, \(\phi(y)-\phi(x)\le 2(y-x)\) setiap kali \(0\le x\le y\le 1\), sehingga \(\phi\) merupakan fungsi Lipschitz, dan karena itu kontinu mutlak (262Bc). Jika \(D=\{x:\phi'(x)\) terdefinisi\(\}\), maka \([0,1]\setminus D\) terabaikan (225Cb), sehingga \([0,1]\setminus\phi[D]=\phi[\,[0,1]\setminus D]\) terabaikan (262Da). Saya mencatat dalam 134I bahwa terdapat fungsi terukur \(h:[0,1]\to\Bbb R\) sedemikian sehingga komposisi \(h\phi\) tidak terukur; sekarang \(h(\phi\restr D)=(h\phi)\restr D\) tidak mungkin terukur, meskipun \(\phi\restr D\) terdiferensialkan.

262L

Akan berguna jika kita dapat memakai hasil langsung berikut.

Lemma Andaikan \(D\subseteq\BbbR^r\) dan \(x\in\BbbR^r\) sedemikian sehingga \(\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(D\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}=1\). Maka \(\lim_{z\to\tbf{0}}\Bover{\rho(x+z,D)}{\|z\|}=0\), dengan \(\rho(x+z,D)=\inf_{y\in D}\|x+z-y\|\).

Catatan Ada istilah untuk hal ini; lihat 261Yg.

262M

Sekarang saya sampai pada hasil pertama yang menghubungkan fungsi Lipschitz dengan fungsi terdiferensialkan. Saya mendekatinya melalui suatu lemma penting yang akan menjadi landasan §263.

Lemma Misalkan \(\phi\) suatu fungsi dari himpunan bagian \(D\) dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\) yang terdiferensialkan di setiap titik domainnya. Untuk setiap \(x\in D\), misalkan \(T(x)\) suatu turunan dari \(\phi\). Misalkan \(M_{sr}\) himpunan matriks \(s\times r\) dan \(\zeta:A\to\ooint{0,\infty}\) suatu fungsi positif ketat, dengan \(A\subseteq M_{sr}\) suatu himpunan takkosong yang memuat \(T(x)\) untuk setiap \(x\in D\). Maka kita dapat menemukan barisan \(\sequencen{D_n}\), \(\sequencen{T_n}\) sedemikian sehingga

(i) \(\sequencen{D_n}\) adalah partisi \(D\) menjadi himpunan-himpunan yang terukur relatif dalam \(D\), yaitu irisan \(D\) dengan himpunan bagian terukur dari \(\BbbR^r\);

(ii) \(T_n\in A\) untuk setiap \(n\);

(iii) \(\|\phi(x)-\phi(y)-T_n(x-y)\|\le\zeta(T_n)\|x-y\|\) untuk setiap \(n\in\Bbb N\) dan \(x\), \(y\in D_n\);

(iv) \(\|T(x)-T_n\|\le\zeta(T_n)\) untuk setiap \(x\in D_n\).

Bukti

(a) Langkah pertama ialah mencatat bahwa terdapat barisan \(\sequencen{S_n}\) dalam \(A\) sedemikian sehingga

\(A \subseteq\bigcup_{n\in\Bbb N}\{T:T\in M_{sr},\,\|T-S_n\|<\zeta(S_n)\}\).

Bukti. (Tentu saja ini merupakan hasil baku mengenai ruang metrik terpisahkan.) Tuliskan \(Q\) untuk himpunan matriks dalam \(M_{sr}\) dengan koefisien rasional; maka terdapat bijeksi alami antara \(Q\) dan \(\Bbb Q^{sr}\), sehingga \(Q\) dan \(Q\times\Bbb N\) terhitung. Daftarkan \(Q\times\Bbb N\) sebagai \(\sequencen{(R_n,k_n)}\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), pilih \(S_n\in A\) menurut aturan

— jika terdapat \(S\in A\) sedemikian sehingga \(\{T:\|T-R_n\|\le 2^{-k_n}\}\subseteq\{T:\|T-S\|<\zeta(S)\}\), ambil \(S\) seperti itu sebagai \(S_n\);

— jika tidak, ambil \(S_n\) sebagai sebarang anggota \(A\).

Saya nyatakan bahwa ini berhasil. Misalkan \(S\in A\). Maka \(\zeta(S)>0\); ambil \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(2^{-k}<\zeta(S)\). Ambil \(R^*\in Q\) sedemikian sehingga \(\|R^*-S\|<\min(\zeta(S)-2^{-k},2^{-k})\); ini mungkin karena \(\|R-S\|\) akan kecil setiap kali semua koefisien \(R\) cukup dekat dengan koefisien \(S\) yang bersesuaian (262Ha), dan kita dapat memilih bilangan rasional untuk mencapainya. Misalkan \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(R^*=R_n\) dan \(k=k_n\). Maka

\(\{T:\|T-R_n\|\le 2^{-k_n}\} \subseteq\{T:\|T-S\|<\zeta(S)\}\)

(sebab \(\|T-S\|\le\|T-R_n\|+\|R_n-S\|\)), sehingga kita pasti memilih \(S_n\) menurut bagian pertama aturan di atas, dan

\(S\in\{T:\|T-R_n\|\le 2^{-k_n}\} \subseteq\{T:\|T-S_n\|<\zeta(S_n)\}\).

Karena \(S\) sebarang, ini membuktikan hasil tersebut. ∎

(b) Daftarkan \(\Bbb Q^r\times\Bbb Q^r\times\Bbb N\) sebagai \(\sequencen{(q_n,q'_n,m_n)}\). Untuk setiap \(n\in\Bbb N\), tetapkan

\[\begin{aligned}H_n&=\{x:x\in[q_n,q'_n]\cap D,\, \|\phi(y)-\phi(x)-S_{m_n}(y-x)\|\le\zeta(S_{m_n})\|y-x\|\\ &\mskip370mu \text{untuk setiap }y\in[q_n,q'_n]\cap D\}\\ &=[q_n,q'_n]\cap D\cap\bigcap_{y\in[q_n,q'_n]\cap D} \{x:x\in D,\\ &\mskip270mu \|\phi(y)-\phi(x)-S_{m_n}(y-x)\|\le\zeta(S_{m_n})\|y-x\|\}.\\\end{aligned}\]

Karena \(\phi\) kontinu, \(H_n=D\cap\overline{H}_n\), dengan \(\overline{H}_n\) menyatakan penutupan \(H_n\), sehingga \(H_n\) terukur relatif dalam \(D\). Perhatikan bahwa jika \(x\), \(y\in H_n\), maka \(y\in D\cap[q_n,q'_n]\), sehingga

\(\|\phi(y)-\phi(x)-S_{m_n}(y-x)\|\le\zeta(S_{m_n})\|y-x\|\).

Tetapkan

\(H_n'=\{x:x\in H_n,\,\|T(x)-S_{m_n}\|\le\zeta(S_{m_n})\}\).

(c) \(D=\bigcup_{n\in\Bbb N}H'_n\). Bukti. Misalkan \(x\in D\). Maka \(T(x)\in A\), sehingga terdapat \(k\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(\|T(x)-S_k\|<\zeta(S_k)\). Misalkan \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(\|\phi(y)-\phi(x)-T(x)(y-x)\| \le(\zeta(S_k)-\|T(x)-S_k\|)\|x-y\|\)

setiap kali \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta\). Maka

\[\begin{aligned}\|\phi(y)-\phi(x)-S_k(y-x)\| &\le(\zeta(S_k)-\|T(x)-S_k\|)\|x-y\|+\|T(x)-S_k\|\|x-y\|\\ &\le\zeta(S_k)\|x-y\|\\\end{aligned}\]

setiap kali \(y\in D\cap B(x,\delta)\). Misalkan \(q\), \(q'\in\Bbb Q^r\) sedemikian sehingga \(x\in[q,q']\subseteq B(x,\delta)\). Misalkan \(n\) sedemikian sehingga \(q=q_n\), \(q'=q'_n\) dan \(k=m_n\). Maka \(x\in H'_n\). ∎

(d) Tuliskan

\(C_n=\{x:x\in H_n,\,\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(H_n\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}=1\}\).

Maka \(C_n\subseteq H'_n\).

Bukti. (i) Ambil \(x\in C_n\), dan tetapkan \(\tilde T=T(x)-S_{m_n}\). Saya harus menunjukkan bahwa \(\|\tilde T\|\le\zeta(S_{m_n})\). Ambil \(\epsilon>0\). Misalkan \(\delta_0>0\) sedemikian sehingga

\(\|\phi(y)-\phi(x)-T(x)(y-x)\|\le\epsilon\|y-x\|\)

setiap kali \(y\in D\) dan \(\|y-x\|\le\delta_0\). Karena

\(\|\phi(y)-\phi(x)-S_{m_n}(y-x)\|\le\zeta(S_{m_n})\|y-x\|\)

setiap kali \(y\in H_n\), kita mempunyai

\(\|\tilde T(y-x)\|\le(\epsilon+\zeta(S_{m_n}))\|y-x\|\)

setiap kali \(y\in H_n\) dan \(\|y-x\|\le\delta_0\).

(ii) Berdasarkan 262L, terdapat \(\delta_1>0\) sedemikian sehingga \((1+2\epsilon)\delta_1\le\delta_0\) dan \(\rho(x+z,H_n)\le\epsilon\|z\|\) setiap kali \(0<\|z\|\le\delta_1\). Jadi jika \(\|z\|\le\delta_1\), terdapat \(y\in H_n\) sedemikian sehingga \(\|x+z-y\|\le 2\epsilon\|z\|\). (Jika \(z=0\), kita dapat mengambil \(y=x\).) Sekarang \(\|x-y\|\le (1+2\epsilon)\|z\|\le\delta_0\), sehingga

\[\begin{aligned}\|\tilde Tz\| &\le\|\tilde T(y-x)\|+\|\tilde T(x+z-y)\|\\ &\le(\epsilon+\zeta(S_{m_n}))\|y-x\|+\|\tilde T\|\|x+z-y\|\\ &\le(\epsilon+\zeta(S_{m_n}))\|z\| +(\epsilon+\zeta(S_{m_n})+\|\tilde T\|)\|x+z-y\|\\ &\le(\epsilon+\zeta(S_{m_n})+2\epsilon^2+2\epsilon\zeta(S_{m_n}) +2\epsilon\|\tilde T\|)\|z\|.\\\end{aligned}\]

Ini berlaku setiap kali \(0<\|z\|\le\delta_1\). Namun dengan mengalikan ketaksamaan ini dengan skalar positif yang sesuai, kita melihat bahwa

\(\|\tilde Tz\| \le\bigl(\epsilon+\zeta(S_{m_n})+2\epsilon^2+2\epsilon\zeta(S_{m_n}) +2\epsilon\|\tilde T\|\bigr)\|z\|\)

untuk semua \(z\in\BbbR^r\), dan

\(\|\tilde T\| \le\epsilon+\zeta(S_{m_n})+2\epsilon^2+2\epsilon\zeta(S_{m_n}) +2\epsilon\|\tilde T\|\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\|\tilde T\|\le\zeta(S_{m_n})\), sebagaimana diklaim. ∎

(e) Berdasarkan 261Da, \(H_n\setminus C_n\) terabaikan untuk setiap \(n\), sehingga \(H_n\setminus H'_n\) terabaikan, dan

\(H'_n=D\cap(\overline{H}_n\setminus(H_n\setminus H'_n))\)

terukur relatif dalam \(D\). Tetapkan

\(D_n=H'_n\setminus\bigcup_{k<n}H'_k\), \(T_n=S_{m_n}\)

untuk setiap \(n\); barisan-barisan ini memenuhi syarat.

262N Akibat

Misalkan \(\phi\) suatu fungsi dari himpunan bagian \(D\) dari \(\Bbb R^r\) ke \(\BbbR^s\), dan andaikan \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik \(D\). Maka \(D\) dapat dinyatakan sebagai gabungan barisan saling lepas \(\sequencen{D_n}\) dari himpunan bagian \(D\) yang terukur relatif, sedemikian sehingga \(\phi\restr D_n\) Lipschitz untuk setiap \(n\in\Bbb N\).

262O Akibat

Andaikan \(\phi\) suatu fungsi injektif dari himpunan bagian terukur \(D\) dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^r\), dan bahwa \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik \(D\).

(a) Jika \(A\subseteq D\) terabaikan, maka \(\phi[A]\) terabaikan.

(b) Jika \(E\subseteq D\) terukur, maka \(\phi[E]\) terukur.

(c) Jika \(D\) terukur dan \(f\) suatu fungsi terukur yang didefinisikan pada suatu himpunan bagian \(\BbbR^r\), maka \(f\phi^{-1}\) terukur.

(d) Jika \(H\subseteq\BbbR^r\) dan \(\phi^{-1}\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(H\), dan jika \(f\) suatu fungsi yang terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(\Bbb R^r\), maka \(f\phi^{-1}\) terdefinisi hampir di mana-mana dalam \(H\).

262P Akibat

Misalkan \(\phi\) suatu fungsi dari suatu himpunan bagian \(D\) dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), dan andaikan bahwa \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya, dengan suatu turunan \(T(x)\), pada setiap titik \(x\in D\). Maka fungsi \(x\mapsto T(x)\) terukur dalam arti bahwa \(\tau_{ij}:D\to\Bbb R\) terukur untuk semua \(i\le s\) dan \(j\le r\), dengan \(\tau_{ij}(x)\) koefisien ke-\((i,j)\) dari matriks \(T(x)\) untuk semua \(i\), \(j\), dan \(x\).

262Q

Ini mengakhiri bagian yang esensial bagi sisa bab ini. Namun menurut saya, hasil-hasil utama §263 akan lebih mudah dipahami jika Anda mengetahui fakta bahwa setiap fungsi Lipschitz terdiferensialkan (relatif terhadap domainnya) hampir di mana-mana dalam domainnya. Saya menyediakan beberapa halaman berikut untuk membuktikan fakta ini, yang selain menarik pada dirinya sendiri juga merupakan latihan yang berguna.

Teorema Rademacher Misalkan \(\phi\) suatu fungsi Lipschitz dari suatu himpunan bagian \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\). Maka \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya hampir di mana-mana dalam domainnya.

Bukti

(a) Berdasarkan 262Ba dan 262Ib, cukup menangani kasus \(s=1\). Berdasarkan 262Bb, terdapat fungsi Lipschitz \(\tilde\phi:\BbbR^r\to\Bbb R\) yang memperluas \(\phi\); kini \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik \(\dom\phi\) tempat \(\tilde\phi\) terdiferensialkan, sehingga cukup jika saya dapat menunjukkan bahwa \(\tilde\phi\) terdiferensialkan hampir di mana-mana. Agar notasinya lebih nyaman dibaca, saya akan mengandaikan bahwa \(\phi\) sendiri terdefinisi di seluruh \(\BbbR^r\). Misalkan \(\gamma\) suatu konstanta Lipschitz bagi \(\phi\).

Bukti berjalan dengan induksi pada \(r\). Jika \(r=1\), kita mempunyai fungsi Lipschitz \(\phi:\Bbb R\to\Bbb R\); kini \(\phi\) kontinu mutlak dalam setiap interval terbatas (262Bc), dan karena itu terdiferensialkan hampir di mana-mana (225Cb). Dengan demikian induksi dimulai. Sisa bukti ditujukan pada langkah induktif menuju \(r>1\).

(b) Langkah pertama ialah menunjukkan bahwa semua turunan parsial \(\pd{\phi}{\xi_j}\) terdefinisi hampir di mana-mana dan terukur Borel. Bukti. Ambil \(j\le r\). Untuk \(q\in\Bbb Q\setminus\{0\}\) tetapkan

\(\Delta_q(x)=\Bover{1}{q}(\phi(x+qe_j)-\phi(x))\),

dengan menuliskan \(e_j\) untuk vektor satuan ke-\(j\) dari \(\BbbR^r\). Karena \(\phi\) kontinu, \(\Delta_q\) juga kontinu, sehingga \(\Delta_q\) merupakan fungsi terukur Borel untuk setiap \(q\). Selanjutnya, untuk sebarang \(x\in\Bbb R^r\),

\(D^+(x)=\limsup_{\delta\to 0}\Bover1{\delta} (\phi(x+\delta e_j)-\phi(x)) =\lim_{n\to\infty}\sup_{q\in\Bbb Q,0<|q|\le 2^{-n}}\Delta_q(x)\),

sehingga himpunan tempat \(D^+(x)\) terdefinisi dalam \(\Bbb R\) adalah himpunan Borel dan \(D^+\) merupakan fungsi terukur Borel. Demikian pula,

\(D^-(x)=\liminf_{\delta\to 0}\Bover1{\delta} (\phi(x+\delta e_j)-\phi(x))\)

merupakan fungsi terukur Borel dengan domain Borel. Jadi

\(E=\{x:\pd{\phi}{\xi_j}(x)\text{ ada dalam }\Bbb R\} =\{x:D^+(x)=D^-(x)\in\Bbb R\}\)

merupakan himpunan Borel, dan \(\pd{\phi}{\xi_j}\) merupakan fungsi terukur Borel.

Di sisi lain, jika kita mengidentifikasi \(\BbbR^r\) dengan \(\BbbR^J\times\Bbb R\), dengan mengambil \(J\) sebagai \(\{1,\ldots,j-1,j+1,\ldots,r\}\), kita dapat memandang ukuran Lebesgue \(\mu\) pada \(\BbbR^r\) sebagai produk ukuran Lebesgue \(\mu_J\) pada \(\BbbR^J\) dengan ukuran Lebesgue \(\mu_1\) pada \(\Bbb R\) (251N). Kini, untuk setiap \(y\in\BbbR^J\), kita mempunyai fungsi \(\phi_y:\Bbb R\to\Bbb R\) yang didefinisikan dengan menuliskan

\(\phi_y(\sigma)=\phi(y,\sigma)\),

dan \(E\) menjadi

\(\{(y,\sigma):\phi_y'(\sigma)\) terdefinisi\(\}\),

sehingga semua penampang

\(\{\sigma:(y,\sigma)\in E\}\)

merupakan himpunan bagian koterabaikan dari \(\Bbb R\), sebab setiap \(\phi_y\) Lipschitz, dan karena itu terdiferensialkan hampir di mana-mana, sebagaimana dicatat dalam bagian (a) bukti. Karena kita tahu bahwa \(E\) terukur, himpunan tersebut harus koterabaikan berdasarkan teorema Fubini (terapkan 252D atau 252F pada komplemen \(E\)). Dengan demikian \(\pd{\phi}{\xi_j}\) terdefinisi hampir di mana-mana, sebagaimana diklaim. ∎

Tuliskan

\(H=\{x:x\in\BbbR^r,\,\pd{\phi}{\xi_j}(x) \text{ ada untuk setiap }j\le r\}\),

sehingga \(H\) merupakan himpunan Borel koterabaikan dalam \(\BbbR^r\).

(c) Untuk sisa bukti ini, saya tetapkan identifikasi alami \(\BbbR^r\) dengan \(\BbbR^{r-1}\times\Bbb R\), dengan mengidentifikasi \((\xi_1,\ldots,\xi_r)\) dengan \(((\xi_1,\ldots,\xi_{r-1}),\xi_r)\). Untuk \(x\in H\), misalkan \(T(x)\) matriks \(1\times r\) \((\pd{\phi}{\xi_1}(x),\ldots,\pd{\phi}{\xi_r}(x))\).

(d) Tetapkan

\(H_1=\{x:x\in H,\,\lim_{u\to\tbf{0}\text{ dalam }\BbbR^{r-1}} \Bover{|\phi(x+(u,0))-\phi(x)-T(x)(u,0)|}{\|u\|}=0\}\).

Saya nyatakan bahwa \(H_1\) koterabaikan dalam \(\BbbR^r\). Bukti. Ini sebenarnya gagasan yang sama seperti dalam (b). Untuk \(x\in H\), \(x\in H_1\) jika dan hanya jika

untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(\delta>0\) sedemikian sehingga

\(|\phi(x+(u,0))-\phi(x)-T(x)(u,0)|\le\epsilon\|u\|\)

setiap kali \(\|u\|\le\delta\),

yaitu, jika dan hanya jika

untuk setiap \(m\in\Bbb N\) terdapat \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(|\phi(x+(u,0))-\phi(x)-T(x)(u,0)|\le 2^{-m}\|u\|\)

setiap kali \(u\in\Bbb Q^{r-1}\) dan \(\|u\|\le 2^{-n}\).

Namun, untuk setiap \(m\in\Bbb N\) dan \(u\in\Bbb Q^{r-1}\) tertentu, himpunan

\(\{x:|\phi(x+(u,0))-\phi(x)-T(x)(u,0)|\le 2^{-m}\|u\|\}\)

terukur, bahkan Borel, sebab semua fungsi \(x\mapsto\phi(x+(u,0))\), \(x\mapsto\phi(x)\), \(x\mapsto T(x)(u,0)\) terukur Borel. Jadi \(H_1\) berbentuk

\(\bigcap_{m\in\Bbb N}\bigcup_{n\in\Bbb N} \bigcap_{u\in\Bbb Q^{r-1},\|u\|\le 2^{-n}}E_{mnu}\)

dengan setiap \(E_{mnu}\) suatu himpunan terukur, sehingga \(H_1\) terukur.

Namun sekarang perhatikan bahwa untuk sebarang \(\sigma\in\Bbb R\), fungsi

\(v\mapsto\phi_{\sigma}(v)=\phi(v,\sigma): \BbbR^{r-1}\to\Bbb R\)

Lipschitz, dan karena itu (berdasarkan hipotesis induktif) terdiferensialkan hampir di mana-mana dalam \(\BbbR^{r-1}\); dan \((v,\sigma)\in H_1\) jika dan hanya jika \((v,\sigma)\in H\) dan \(\phi_{\sigma}'(v)\) terdefinisi. Akibatnya \(\{v:(v,\sigma)\in H_1\}\) koterabaikan setiap kali \(\{v:(v,\sigma)\in H\}\) koterabaikan, yaitu untuk hampir setiap \(\sigma\in\Bbb R\); sehingga \(H_1\), karena terukur, harus koterabaikan. ∎

(e) Sekarang, untuk \(q\), \(q'\in\Bbb Q\) dan \(n\in\Bbb N\), tetapkan

\(F(q,q',n) =\{x:x\in\BbbR^r\), \(q\le\Bover{\phi(x+(\tbf{0},\eta))-\phi(x)}{\eta}\le q'\) setiap kali \(0<|\eta|\le 2^{-n}\}\),

\(F_*(q,q',n) =\{x:x\in F(q,q',n),\,\lim_{\delta\downarrow 0} \Bover{\mu^*(F(q,q',n)\cap B(x,\delta))}{\mu B(x,\delta)}=1\}\).

Berdasarkan 261Da, \(F(q,q',n)\setminus F_*(q,q',n)\) terabaikan untuk semua \(q\), \(q'\), \(n\), sehingga

\(H_2 =H_1\setminus\bigcup_{q,q'\in\Bbb Q,n\in\Bbb N} (F(q,q',n)\setminus F_*(q,q',n))\)

koterabaikan.

(f) Saya nyatakan bahwa \(\phi\) terdiferensialkan di setiap titik \(H_2\). Bukti. Ambil \(x=(u,\sigma)\in H_2\). Maka \(\alpha=\Pd{\phi}{\xi_r}(x)\) dan \(T=T(x)\) terdefinisi. Misalkan \(\gamma\) suatu konstanta Lipschitz bagi \(\phi\).

Ambil \(\epsilon>0\); ambil \(q\), \(q'\in\Bbb Q\) sedemikian sehingga \(\alpha-\epsilon\le q<\alpha<q'\le\alpha+\epsilon\). Harus ada \(n\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(x\in F(q,q',n)\); akibatnya \(x\in F_*(q,q',n)\) berdasarkan definisi \(H_2\). Berdasarkan 262L, terdapat \(\delta_0>0\) sedemikian sehingga \(\rho(x+z,F(q,q',n))\le\epsilon\|z\|\) setiap kali \(\|z\|\le\delta_0\). Selanjutnya, terdapat \(\delta_1>0\) sedemikian sehingga \(|\phi(x+(v,0))-\phi(x)-T(v,0)|\le\epsilon\|v\|\) setiap kali \(v\in\BbbR^{r-1}\) dan \(\|v\|\le\delta_1\). Tetapkan

\(\delta=\min(\delta_0,\delta_1,2^{-n})/(1+2\epsilon)>0\).

Andaikan \(z=(v,\tau)\in\BbbR^r\) dan \(\|z\|\le\delta\). Karena \(\|z\|\le\delta_0\), terdapat \(x'=(u',\sigma')\in F(q,q',n)\) sedemikian sehingga \(\|x+z-x'\|\le2\epsilon\|z\|\); tetapkan \(x^*=(u',\sigma)\). Sekarang

\(\max(\|u-u'\|,|\sigma-\sigma'|)\le \|x-x'\|\le(1+2\epsilon)\|z\|\le\min(\delta_1,2^{-n})\)

dan \(x^*=x+(u'-u,0)\), sehingga

\(|\phi(x^*)-\phi(x)-T(x^*-x)| \le\epsilon\|u'-u\|\le\epsilon(1+2\epsilon)\|z\|\).

Tetapi juga

\(|\phi(x')-\phi(x^*)-T(x'-x^*)| =|\phi(x')-\phi(x^*)-\alpha(\sigma'-\sigma)| \le\epsilon|\sigma'-\sigma|\le\epsilon(1+ 2\epsilon)\|z\|\),

sebab \(x'\in F(q,q',n)\) dan \(|\sigma-\sigma'|\le 2^{-n}\), sehingga (jika \(x'\ne x^*\))

\(\alpha-\epsilon\le q \le\Bover{\phi(x^*)-\phi(x')}{\sigma-\sigma'}\le q'\le\alpha+\epsilon\)

dan

\(\bigl|\Bover{\phi(x')-\phi(x^*)} {\sigma'-\sigma}-\alpha\bigr|\le\epsilon\).

Akhirnya,

\(|\phi(x+z)-\phi(x')| \le\gamma\|x+z-x'\|\le2\gamma\epsilon\|z\|\),

\(|Tz-T(x'-x)|\le\|T\|\|x+z-x'\|\le2\epsilon\|T\|\|z\|\).

Dengan menggabungkan semuanya,

\[\begin{aligned}|\phi(x+z)-\phi x-Tz| &\le|\phi(x+z)-\phi(x')| +|T(x'-x)-Tz|\\ &\qquad +|\phi(x')-\phi(x^*)-T(x'-x^*)| +|\phi(x^*)-\phi(x)-T(x^*-x)|\\ &\le2\gamma\epsilon\|z\| +2\epsilon\|T\|\|z\| +\epsilon(1+2\epsilon)\|z\| +\epsilon(1+2\epsilon)\|z\|\\ &=\epsilon(2\gamma+2\|T\|+2+4\epsilon)\|z\|.\\\end{aligned}\]

Ini berlaku setiap kali \(\|z\|\le\delta\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(\phi\) terdiferensialkan di \(x\). ∎

Dengan demikian, \(\{x:\phi\) terdiferensialkan di \(x\}\) memuat \(H_2\) dan koterabaikan; induksi pun berlanjut.

Latihan

262X Latihan dasar (a)

Misalkan \(\phi\) dan \(\psi\) fungsi Lipschitz dari himpunan-himpunan bagian \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\). Tunjukkan bahwa \(\phi+\psi\) merupakan fungsi Lipschitz dari \(\dom\phi\cap\dom\psi\) ke \(\Bbb R^s\).

262Xb (b)

Misalkan \(\phi\) fungsi Lipschitz dari suatu himpunan bagian \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), dan \(c\in\Bbb R\). Tunjukkan bahwa \(c\phi\) merupakan fungsi Lipschitz.

262Xc (c)

Andaikan \(\phi:D\to\BbbR^s\) dan \(\psi:E\to\BbbR^q\) fungsi-fungsi Lipschitz, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\) dan \(E\subseteq\BbbR^s\). Tunjukkan bahwa komposisi \(\psi\phi:D\cap\phi^{-1}[E]\to\BbbR^q\) bersifat Lipschitz.

262Xd (d)

Andaikan \(\phi\), \(\psi\) fungsi-fungsi dari himpunan-himpunan bagian \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), dan andaikan \(x\in\dom\phi\cap\dom\psi\) sedemikian sehingga masing-masing fungsi terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\), dengan turunan \(S\), \(T\) di sana. Tunjukkan bahwa \(\phi+\psi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\), dan bahwa \(S+T\) merupakan suatu turunan dari \(\phi+\psi\) di \(x\).

262Xe (e)

Andaikan \(\phi\) suatu fungsi dari suatu himpunan bagian \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), dan terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\in\dom\phi\). Tunjukkan bahwa \(c\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\) untuk setiap \(c\in\Bbb R\).

262Xf (f) penting

Andaikan \(\phi:D\to\BbbR^s\) dan \(\psi:E\to\Bbb R^q\) fungsi-fungsi, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\) dan \(E\subseteq\BbbR^s\); andaikan \(\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\in D\cap\phi^{-1}[E]\), dengan matriks \(s\times r\), yaitu \(T\), sebagai suatu turunan di sana, dan \(\psi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(\phi(x)\), dengan matriks \(q\times s\), yaitu \(S\), sebagai suatu turunan di sana. Tunjukkan bahwa komposisi \(\psi\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\), dan bahwa matriks \(q\times r\), yaitu \(ST\), merupakan suatu turunan dari \(\psi\phi\) di \(x\).

262Xg (g) penting

Misalkan \(\phi:\BbbR^r\to\BbbR^s\) suatu operator linear, dengan matriks terkait \(T\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) terdiferensialkan di mana-mana, dengan \(\phi'(x)=T\) untuk setiap \(x\).

262Xh (h)

Misalkan \(G\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terbuka konveks, dan \(\phi:G\to\BbbR^s\) suatu fungsi sedemikian sehingga semua turunan parsial \(\pd{\phi_i}{\xi_j}\) terdefinisi di mana-mana dalam \(G\). Tunjukkan bahwa \(\phi\) Lipschitz jika dan hanya jika semua turunan parsialnya terbatas pada \(G\).

262Xi (i)

Misalkan \(\phi:\BbbR^r\to\BbbR^s\) suatu fungsi. Tunjukkan bahwa \(\phi\) terdiferensialkan di \(x\in\BbbR^r\) jika dan hanya jika untuk setiap \(m\in\Bbb N\) terdapat \(n\in\Bbb N\) dan matriks \(s\times r\), yaitu \(T\), dengan koefisien rasional sedemikian sehingga \(\|\phi(y)-\phi(x)-T(y-x)\|\le 2^{-m}\|y-x\|\) setiap kali \(\|y-x\|\le 2^{-n}\).

262Xj (j)

Andaikan \(f\) suatu fungsi bernilai real yang terintegralkan atas \(\BbbR^r\), dan \(g:\BbbR^r\to\Bbb R\) suatu fungsi terdiferensialkan dan terbatas sedemikian sehingga turunan parsial \(\Pd{g}{\xi_j}\) terbatas, dengan \(j\le r\). Misalkan \(f*g\) konvolusi \(f\) dan \(g\) (255E, 255L). Tunjukkan bahwa \(\Pd{}{\xi_j}(f*g)\) terdefinisi di mana-mana dan sama dengan \(f*\Pd{g}{\xi_j}\). Petunjuk: 255Xd.

262Xk (k)

Misalkan \((X,\Sigma,\mu)\) suatu ruang ukuran, \(G\subseteq\BbbR^r\) suatu himpunan terbuka, dan \(f:X\times G\to\Bbb R\) suatu fungsi. Andaikan bahwa

(i) untuk setiap \(x\in X\), fungsi \(t\mapsto f(x,t):G\to\Bbb R\) terdiferensialkan;

(ii) terdapat fungsi terintegralkan \(g\) pada \(X\) sedemikian sehingga \(|\pd{f}{\tau_j}(x,t)|\le g(x)\) setiap kali \(x\in X\), \(t\in G\) dan \(j\le r\);

(iii) \(\int|f(x,t)|\mu(dx)\) ada dalam \(\Bbb R\) untuk setiap \(t\in G\).

Tunjukkan bahwa fungsi \(t\mapsto\int f(x,t)\mu(dx):G\to\Bbb R\) terdiferensialkan. Petunjuk: tunjukkan terlebih dahulu bahwa, untuk suatu \(M\) yang sesuai, \(|f(x,t)-f(x,t')|\le M|g(x)|\|t-t'\|\) untuk setiap \(t\), \(t'\in G\) dan \(x\in X\).

262Xl (l)

Misalkan \(f:[a,b]\to\Bbb R\) suatu fungsi kontinu mutlak, dengan \(a\le b\), dan \(g:f[\,[a,b]\,]\to\Bbb R\) suatu fungsi Lipschitz. Tunjukkan bahwa \(gf\) kontinu mutlak.

262Y Latihan lanjutan (a)

Misalkan \(L\) ruang semua fungsi Lipschitz dari \(\BbbR^r\) ke \(\BbbR^s\), dan untuk \(\phi\in L\) tetapkan

\(\|\phi\| =\|\phi(0)\|+\min\{\gamma:\gamma\in\coint{0,\infty}\), \(\|\phi(y)-\phi(x)\|\le\gamma\|y-x\|\) untuk setiap \(x\), \(y\in\BbbR^r\}\).

Tunjukkan bahwa \((L,\|\,\,\|)\) merupakan ruang Banach.

262Yb (b)

Tunjukkan bahwa jika \(T=\langle\tau_{ij}\rangle_{i\le s,j\le r}\) suatu matriks \(s\times r\), maka norma operator \(\|T\|\), sebagaimana didefinisikan dalam 262H, paling besar \(\sqrt{\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^r\tau_{ij}^2}\).

262Yc (c)

Misalkan \(\phi:D\to\Bbb R\) sebarang fungsi, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\). Tunjukkan bahwa \(H=\{x:x\in D,\,\phi\) terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di \(x\}\) terukur relatif dalam \(D\), dan bahwa \(\pd{\phi}{\xi_j}\restr H\) terukur untuk setiap \(j\le r\).

262Yd (d)

Misalkan \(\phi:D\to\Bbb R\) suatu fungsi, dengan \(D\subseteq\BbbR^r\). (i) Tunjukkan bahwa jika \(\phi\) terukur, maka semua turunan parsialnya terukur. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\phi\) terukur Borel, maka semua turunan parsialnya terukur Borel.

262Ye (e)

Suatu fungsi \(\phi:\BbbR^r\to\Bbb R\) disebut mulus jika semua turunan parsialnya \(\Bover{\partial\ldots\partial\phi} {\partial\xi_i\partial\xi_j\ldots\partial\xi_l}\) terdefinisi di mana-mana dalam \(\BbbR^r\) dan kontinu. Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan atas \(\BbbR^r\) dan \(\phi:\BbbR^r\to\Bbb R\) mulus serta mempunyai dukungan terbatas, maka konvolusi \(f*\phi\) mulus. Petunjuk: 262Xj, 262Xk.

262Yf (f)

Untuk \(\delta>0\), tetapkan \(\tilde\phi_{\delta}(x) =e^{-1/(\delta^2-\|x\|^2)}\) jika \(\|x\|<\delta\), \(0\) jika \(\|x\|\ge\delta\); tetapkan \(\alpha_{\delta}=\int\tilde\phi_{\delta}(x)dx\), \(\phi_{\delta}(x)=\alpha_{\delta}^{-1}\tilde\phi_{\delta}(x)\) untuk setiap \(x\). (i) Tunjukkan bahwa \(\phi_{\delta}:\BbbR^r\to\Bbb R\) mulus dan mempunyai dukungan terbatas. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan atas \(\BbbR^r\), maka \(\lim_{\delta\downarrow 0}\int|f(x)-(f*\phi_{\delta})(x)|dx=0\). Petunjuk: mulailah dengan fungsi-fungsi kontinu \(f\) yang mempunyai dukungan terbatas, dan gunakan 242O.

262Yg (g)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) terintegralkan atas \(\BbbR^r\) dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi mulus \(h\) dengan dukungan terbatas sedemikian sehingga \(\int|f-h|\le\epsilon\). Petunjuk: salah satu: reduksikan ke kasus ketika \(f\) mempunyai dukungan terbatas dan gunakan 262Yf; atau sesuaikan metode 242Xi.

262Yh (h)

Andaikan \(f\) suatu fungsi real yang terintegralkan atas setiap himpunan bagian terbatas \(\BbbR^r\). (i) Tunjukkan bahwa \(f\times\phi\) terintegralkan setiap kali \(\phi:\BbbR^r\to\Bbb R\) suatu fungsi mulus dengan dukungan terbatas. (ii) Tunjukkan bahwa jika \(\int f\times\phi=0\) untuk setiap fungsi mulus dengan dukungan terbatas, maka \(f=0\) hampir di mana-mana. (Petunjuk: tunjukkan bahwa \(\int_{B(x,\delta)}f=0\) untuk setiap \(x\in\BbbR^r\) dan \(\delta>0\), dan gunakan 261C. Sebagai alternatif, tunjukkan terlebih dahulu bahwa \(\int_Ef=0\) untuk \(E=[b,c]\), kemudian untuk himpunan terbuka \(E\), lalu untuk sebarang himpunan terukur \(E\).)

262Yi (i)

Misalkan \(f\) terintegralkan atas \(\BbbR^r\), dan untuk \(\delta>0\) misalkan \(\phi_{\delta}:\BbbR^r\to\Bbb R\) fungsi dari 262Yf. Tunjukkan bahwa \(\lim_{\delta\downarrow 0}(f*\phi_{\delta})(x)=f(x)\) untuk setiap \(x\) dalam himpunan Lebesgue \(f\). (Petunjuk: 261Ye.)

Catatan dan komentar

262 Catatan penutup untuk Bagian 262

Penekanan bagian ini ternyata terletak pada hubungan antara konsep ‘fungsi Lipschitz’ dan ‘fungsi terdiferensialkan’. Salah satu pesona analisis real klasik ialah munculnya hubungan sedemikian erat antara konsep-konsep yang termasuk dalam kategori berbeda. ‘Fungsi Lipschitz’ jelas termasuk dalam teori ruang metrik (saya akan kembali ke hal ini dalam §264), sedangkan ‘fungsi terdiferensialkan’ termasuk dalam teori manifold terdiferensialkan, yang berada di luar cakupan jilid ini. Saya telah menuliskan bagian ini dengan saksama untuk berjaga-jaga jika ada pembaca yang sejauh ini belum mempelajari teori pemetaan terdiferensialkan antar-ruang Euklides multidimensi; tetapi ini juga memberi saya kesempatan untuk menguraikan gagasan ‘fungsi yang terdiferensialkan relatif terhadap domainnya’, yang memungkinkan kita menangani dengan lancar berbagai masalah yang muncul pada batas dalam bagian berikutnya. Kesulitan yang saya perhatikan pertama-tama muncul pada fungsi seperti transformasi koordinat polar

\((\rho,\theta)\mapsto (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta): \{(0,0)\}\cup(\ooint{0,\infty}\times\ocint{-\pi,\pi})\to\BbbR^2\).

Untuk menjadikannya bijeksi, kita harus melakukan sesuatu yang agak sebarang, dan domain transformasi tersebut tidak mungkin berupa himpunan terbuka. Berdasarkan definisi yang saya gunakan, fungsi ini terdiferensialkan relatif terhadap domainnya di setiap titik domainnya, dan kita dapat menerapkan hasil seperti 262O tanpa hambatan. Perhatikan bahwa dalam kasus ini titik-titik domain yang bukan titik interior membentuk himpunan terabaikan \(\{(0,0)\}\cup(\ooint{0,\infty}\times\{\pi\})\), sehingga kita dapat berharap untuk mengabaikannya; dan bagi sebagian besar transformasi geometris langsung yang menjadi sasaran penerapan teori ini, penghilangan himpunan-himpunan terabaikan secara bijaksana akan mereduksi masalah ke kasus fungsi yang terdiferensialkan dalam arti biasa dengan domain terbuka. Namun, meskipun teori domain terbuka akan menangani sebagian besar contoh yang paling penting, ada bahaya bahwa Anda akan memiliki kesalahpahaman nyata mengenai cakupan metode-metode ini.

Hakikat keterdiferensialan ialah bahwa suatu fungsi terdiferensialkan \(\phi\) dapat dihampiri, di dekat sebarang titik tertentu dalam domainnya, oleh fungsi afin. Gagasan 262M ialah menguraikan suatu metode yang efektif untuk cakupan luas guna membagi \(D=\dom\phi\) menjadi terhitung banyak bagian, dan pada setiap bagian itu \(\phi\) terkendali dengan baik. Metode ini akan diterapkan dalam §§263 dan 265 untuk menyelidiki ukuran \(\phi[D]\); tetapi kita sudah mempunyai beberapa akibat langsung (262N-262P).

Saya telah memberikan sejumlah hasil yang menunjukkan bahwa (berdasarkan definisi-definisi yang saya pilih) suatu turunan dapat diharapkan memiliki sekurang-kurangnya beberapa sifat ‘deskriptif’ yang juga dimiliki fungsi asalnya; lihat 222Yd, 225J, 225Yg, 262Yc, 262Yd. Untuk turunan parsial, terdapat komplikasi mengenai domainnya (419Yd, 431Yd) yang tidak muncul pada turunan penuh (225J, 262Yc).