Teorema Stone-Weierstrass — Fondasi Teori Ukuran

Sebelum mulai mengerjakan pokok bahasan sesungguhnya dari bab ini, akan bermanfaat untuk memiliki pernyataan yang cukup umum tentang suatu teorema mendasar mengenai hampiran fungsi kontinu. Sebenarnya saya memberikan berbagai bentuk (281A, 281E, 281F, dan 281G, bersama dengan 281Ya, 281Yd, dan 281Yg), yang semuanya kadang-kadang berguna. Saya mengakhiri seksi ini dengan suatu versi teorema ekuidistribusi Weyl (281M–281N).

281A Teorema Stone-Weierstrass: bentuk pertama

Misalkan \(X\) adalah ruang topologis dan \(K\) adalah subhimpunan kompak dari \(X\). Tuliskan \(C_b(X)\) untuk ruang semua fungsi kontinu bernilai real yang terbatas pada \(X\), sehingga \(C_b(X)\) adalah ruang linear atas \(\Bbb R\). Misalkan \(A\subseteq C_b(X)\) sedemikian sehingga

\(A\) adalah subruang linear dari \(C_b(X)\);

\(|f|\in A\) untuk setiap \(f\in A\);

\(\chi X\in A\);

untuk setiap titik berbeda \(x\), \(y\) dari \(K\) terdapat suatu \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)\ne f(y)\).

Maka untuk setiap \(h:K\to\Bbb R\) kontinu dan \(\epsilon>0\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga

\(|f(x)-h(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

jika \(K\ne\emptyset\), \(\inf_{x\in X}f(x)\ge\inf_{x\in K}h(x)\) dan \(\sup_{x\in X}f(x)\le\sup_{x\in K}h(x)\).

Catatan Saya menyatakan teorema ini dalam konteks alaminya, yaitu ruang topologis umum. Namun jika ruang-ruang ini masih asing bagi Anda, sebenarnya Anda tidak perlu mengetahui apa itu. Jika Anda membaca ‘misalkan \(X\) ruang topologis’ sebagai ‘misalkan \(X\) suatu subhimpunan dari \(\Bbb R^r\)’ dan ‘\(K\) adalah subhimpunan kompak dari \(X\)’ sebagai ‘\(K\) adalah subhimpunan \(X\) yang tertutup dan terbatas dalam \(\BbbR^r\)’, hal itu sudah cukup untuk semua penerapan dalam bab ini. Tentu saja, untuk mengikuti buktinya Anda perlu mengetahui sedikit tentang kekompakan dalam \(\BbbR^r\); saya telah menuliskan fakta-fakta yang diperlukan dalam §2A2.

Bukti

(a) Jika \(K\) kosong, kita dapat mengambil \(f=\tbf{0}\) sebagai fungsi konstan bernilai \(0\). Jadi selanjutnya anggaplah \(K\ne\emptyset\).

(b) Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa jika \(f\), \(g\in A\) maka \(f\wedge g\) dan \(f\vee g\) termasuk dalam \(A\), dengan

\((f\wedge g)(x)=\min(f(x),g(x))\), \((f\vee g)(x)=\max(f(x),g(x))\)

untuk setiap \(x\in X\); ini karena

\(f\wedge g=\Bover12(f+g-|f-g|)\), \(f\vee g=\Bover12(f+g+|f-g|)\).

Dengan induksi pada \(n\), diperoleh bahwa \(f_0\wedge\ldots\wedge f_n\) dan \(f_0\vee\ldots\vee f_n\) termasuk dalam \(A\) untuk semua \(f_0,\ldots,f_n\in A\).

(c) Jika \(x\), \(y\) adalah titik berbeda dari \(K\), dan \(a\), \(b\in\Bbb R\), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)=a\) dan \(f(y)=b\). Bukti. Mulailah dengan \(g\in A\) sedemikian sehingga \(g(x)\ne g(y)\); di sinilah kita menggunakan hipotesis terakhir dari empat hipotesis pada \(A\). Tetapkan

\(\alpha=\Bover{a-b}{g(x)-g(y)}\), \(\beta=\Bover{bg(x)-ag(y)}{g(x)-g(y)}\), \(f=\alpha g+\beta\chi X\in A\). ∎

(d) (Inti bukti terletak pada dua paragraf berikutnya.) Misalkan \(h:K\to\coint{0,\infty}\) adalah fungsi kontinu dan \(x\) sebarang titik dari \(K\). Untuk setiap \(\epsilon>0\), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)=h(x)\) dan \(f(y)\le h(y)+\epsilon\) untuk setiap \(y\in K\). Bukti. Misalkan \(\Cal G_x\) keluarga semua himpunan terbuka \(G\subseteq X\) yang untuknya terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)=h(x)\) dan \(f(w)\le h(w)+\epsilon\) untuk setiap \(w\in K\cap G\). Saya mengklaim bahwa \(K\subseteq\bigcup\Cal G_x\). Untuk melihatnya, ambil sebarang \(y\in K\). Menurut (c), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)=h(x)\) dan \(f(y)=h(y)\). Kini \(h-f\restr K:K\to\Bbb R\) adalah fungsi kontinu yang bernilai \(0\) di \(y\), sehingga terdapat subhimpunan terbuka \(G\) dari \(X\) yang memuat \(y\) dan memenuhi \((h-f\restr K)(w)\ge-\epsilon\) untuk setiap \(w\in G\cap K\), yaitu \(f(w)\le h(w)+\epsilon\) untuk setiap \(w\in G\cap K\). Maka \(G\in\Cal G_x\) dan \(y\in\bigcup\Cal G_x\), sebagaimana diperlukan.

Karena \(K\) kompak, \(\Cal G_x\) memiliki subselimut berhingga, misalnya \(G_0,\ldots,G_n\). Untuk setiap \(i\le n\), ambil \(f_i\in A\) sedemikian sehingga \(f_i(x)=h(x)\) dan \(f_i(w)\le h(w)+\epsilon\) untuk setiap \(w\in G_i\cap K\). Maka

\(f=f_0\wedge f_1\wedge\ldots\wedge f_n\in A\),

menurut (b), dan jelas \(f(x)=h(x)\), sedangkan jika \(y\in K\) ada \(i\le n\) sedemikian sehingga \(y\in G_i\), sehingga

\(f(y)\le f_i(y)\le h(y)+\epsilon\). ∎

(e) Jika \(h:K\to\Bbb R\) adalah fungsi kontinu sebarang dan \(\epsilon>0\), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(|f(y)-h(y)|\le\epsilon\) untuk setiap \(y\in K\). Bukti. Kali ini, misalkan \(\Cal G\) adalah himpunan semua subhimpunan terbuka \(G\) dari \(X\) yang untuknya terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(y)\le h(y)+\epsilon\) untuk setiap \(y\in K\) dan \(f(x)\ge h(x)-\epsilon\) untuk setiap \(x\in G\cap K\). Sekali lagi, \(\Cal G\) adalah selimut terbuka bagi \(K\). Untuk melihatnya, ambil sebarang \(x\in K\). Menurut (d), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)=h(x)\) dan \(f(y)\le h(y)+\epsilon\) untuk setiap \(y\in K\). Kini \(h-f\restr K:K\to\Bbb R\) adalah fungsi kontinu yang bernilai nol di \(x\), sehingga terdapat subhimpunan terbuka \(G\) dari \(X\), memuat \(x\), sedemikian sehingga \((h-f\restr K)(w)\le\epsilon\) untuk setiap \(w\in G\cap K\), yaitu \(f(w)\ge h(w)-\epsilon\) untuk setiap \(w\in G\cap K\). Maka \(G\in\Cal G\) dan \(x\in\bigcup\Cal G\), sebagaimana diperlukan.

Karena \(K\) kompak, \(\Cal G\) memiliki subselimut berhingga, misalnya \(G_0,\ldots,G_m\). Untuk setiap \(j\le m\), ambil \(f_j\in A\) sedemikian sehingga \(f_j(y)\le h(y)+\epsilon\) untuk setiap \(y\in K\) dan \(f_j(w)\ge h(w)-\epsilon\) untuk setiap \(w\in G_j\cap K\). Maka

\(f=f_0\vee f_1\vee\ldots\vee f_m\in A\),

menurut (b), dan jelas \(f(y)\le h(y)+\epsilon\) untuk setiap \(y\in K\), sedangkan jika \(x\in K\) ada \(j\le m\) sedemikian sehingga \(x\in G_j\), sehingga

\(f(x)\ge f_j(x)\ge h(x)-\epsilon\).

Jadi \(|f(x)-h(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\), sebagaimana diperlukan. ∎

(f) Jadi kita memiliki \(f\) yang memenuhi persyaratan pertama dari dua persyaratan teorema. Untuk persyaratan kedua, tetapkan \(M_0=\inf_{x\in K}h(x)\) dan \(M_1=\sup_{x\in K}h(x)\), serta

\(f_1=\med(M_0\chi X,f,M_1\chi X) =(M_0\chi X)\vee(f\wedge M_1\chi X)\);

\(f_1\) juga memenuhi kondisi kedua selain kondisi pertama. (Di sini saya diam-diam mengasumsikan sesuatu yang memang benar, bahwa \(M_0\) dan \(M_1\) berhingga; ini karena \(K\) kompak – lihat 2A2G atau 2A3N.)

281B

Kita memerlukan beberapa alat sederhana yang termasuk dalam teori dasar ruang bernorma; tetapi saya berharap alat-alat ini tetap dapat diikuti bahkan jika Anda belum pernah menjumpai ‘ruang bernorma’, asalkan Anda menyimpan jari pada awal §2A4 ketika membaca lemma berikutnya.

Lemma Misalkan \(X\) sebarang himpunan. Tuliskan \(\ell^{\infty}(X)\) untuk himpunan fungsi terbatas dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Untuk \(f\in\ell^{\infty}(X)\), tetapkan

\(\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in X}|f(x)|\),

dengan supremum dihitung sebagai \(0\) jika \(X\) kosong. Maka

(a) \(\ell^{\infty}(X)\) adalah ruang bernorma.

(b) Misalkan \(A\subseteq\ell^{\infty}(X)\) suatu himpunan dan \(\overline{A}\) penutupannya (2A3D).

(i) Jika \(A\) adalah subruang linear dari \(\ell^{\infty}(X)\), demikian juga \(\overline{A}\).

(ii) Jika \(f\times g\in A\) setiap kali \(f\), \(g\in A\), maka \(f\times g\in\overline{A}\) setiap kali \(f\), \(g\in\overline{A}\).

(iii) Jika \(|f|\in A\) setiap kali \(f\in A\), maka \(|f|\in\overline{A}\) setiap kali \(f\in\overline{A}\).

Bukti

(a) Ini adalah verifikasi rutin. Untuk memastikan bahwa \(\ell^{\infty}(X)\) merupakan ruang linear atas \(\Bbb R\), kita harus memeriksa bahwa \(f+g\), \(cf\) termasuk dalam \(\ell^{\infty}(X)\) setiap kali \(f\), \(g\in\ell^{\infty}(X)\) dan \(c\in\Bbb R\); sekaligus kita dapat memastikan bahwa \(\|\,\|_{\infty}\) merupakan norma pada \(\ell^{\infty}(X)\) dengan mengamati bahwa

\(|(f+g)(x)|\le|f(x)|+|g(x)| \le\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}\),

\(|cf(x)|=|c||f(x)|\le|c|\|f\|_{\infty}\)

setiap kali \(f\), \(g\in\ell^{\infty}(X)\) dan \(c\in\Bbb R\). Pada saat yang sama patut dicatat bahwa jika \(f\), \(g\in\ell^{\infty}(X)\), maka

\(|(f\times g)(x)| =|f(x)||g(x)|\le\|f\|_{\infty}\|g\|_{\infty}\)

untuk setiap \(x\in X\), sehingga \(\|f\times g\|_{\infty}\le\|f\|_{\infty}\|g\|_{\infty}\).

(Tentu saja semua pengamatan ini merupakan kasus khusus yang sangat elementer dari beberapa bagian §243; lihat 243Xl.)

(b) Ingat bahwa

\(\overline{A}=\{f:f\in\ell^{\infty}(X),\Forall \epsilon>0\Exists f_1\in A, \,\|f-f_1\|_{\infty}\le\epsilon\}\)

(2A3Kb). Ambil \(f\), \(g\in\overline{A}\) dan \(c\in\Bbb R\), serta misalkan \(\epsilon>0\). Tetapkan

\(\eta =\min(1,\Bover{\epsilon}{2+|c|+\|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}})>0\).

Maka terdapat \(f_1\), \(g_1\in A\) sedemikian sehingga \(\|f-f_1\|_{\infty}\le\eta\) dan \(\|g-g_1\|_{\infty}\le\eta\).

Sekarang

\[\begin{aligned}\|(f+g)-(f_1+g_1)\|_{\infty} &\le\|f-f_1\|_{\infty}+\|g-g_1\|_{\infty} \le 2\eta \le\epsilon,\\ \\ \|cf-cf_1\|_{\infty} &=|c|\|f-f_1\|_{\infty} \le|c|\eta \le\epsilon,\\ \\ \|(f\times g)-(f_1\times g_1)\|_{\infty} &=\|(f-f_1)\times g+f\times(g-g_1)-(f-f_1)\times(g-g_1)\|_{\infty}\\ &\le\|(f-f_1)\times g\|_{\infty}+\|f\times(g-g_1)\|_{\infty} +\|(f-f_1)\times(g-g_1)\|_{\infty}\\ &\le\|f-f_1\|_{\infty}\|g\|_{\infty}+\|f\|_{\infty}\|g-g_1)\|_{\infty} +\|f-f_1\|_{\infty}\|g-g_1\|_{\infty}\\ &\le\eta(\|g\|_{\infty}+\|f\|_{\infty}+\eta) \le\eta(\|g\|_{\infty}+\|f\|_{\infty}+1) \le\epsilon,\\ \\ \||f|-|f_1|\|_{\infty} &\le\|f-f_1\|_{\infty} \le\eta \le\epsilon.\\\end{aligned}\]

(i) Jika \(A\) adalah subruang linear, maka \(f_1+g_1\) dan \(cf_1\) termasuk dalam \(A\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(f+g\) dan \(cf\) termasuk dalam \(\overline{A}\). Karena \(f\), \(g\), dan \(c\) sebarang, \(\overline{A}\) adalah subruang linear dari \(\ell^{\infty}(X)\).

(ii) Jika \(A\) tertutup terhadap perkalian, maka \(f_1\times g_1\in A\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(f\times g\in\overline{A}\).

(iii) Jika nilai mutlak fungsi-fungsi dalam \(A\) termasuk dalam \(A\), maka \(|f_1|\in A\). Karena \(\epsilon\) sebarang, \(|f|\in\overline{A}\).

281C Lemma

Terdapat suatu barisan \(\sequencen{p_n}\) polinom real sedemikian sehingga \(\lim_{n\to\infty}p_n(x) =|x|\) secara seragam untuk \(x\in[-1,1]\).

Bukti

(a) Menurut Teorema Binomial, kita memiliki

\((1-x)^{1/2} =1-\Bover12x-\Bover1{4{\cdot}2!}x^2 -\Bover{1{\cdot}3}{2^3{\cdot}3!}x^3-\ldots =-\sum_{n=0}^{\infty}\Bover{(2n)!}{(2n-1)(2^nn!)^2}x^n\)

setiap kali \(|x|<1\), dengan konvergensi seragam pada setiap interval \([-a,a]\) dengan \(0\le a<1\). (Untuk bukti, lihat hampir semua buku analisis real atau kompleks. Jika Anda tidak memiliki teks favorit, Anda dapat mencoba menyusun bukti dari fakta-fakta berikut: (i) radius konvergensi deret adalah \(1\), sehingga pada setiap interval \([-a,a]\), dengan \(0\le a<1\), deret tersebut dapat dijumlahkan secara mutlak dan seragam (ii) dengan menuliskan \(f(x)\) untuk jumlah deret ketika \(|x|<1\), gunakan Teorema Konvergensi Terdominasi Lebesgue untuk mencari bentuk integral tak tentu \(\int_0^xf\), \(-\int_{-x}^0f\) dan tunjukkan bahwa keduanya adalah \(\bover23(1-(1-x)f(x))\), \(\bover23(1-(1+x)f(-x))\) untuk \(0\le x<1\) (iii) gunakan Teorema Dasar Kalkulus untuk menunjukkan bahwa \(f(x)+2(1-x)f'(x)=0\) (iv) tunjukkan bahwa \(\bover{d}{dx}\bigl(\bover{f(x)^2}{1-x}\bigr)=0\) dan karena itu (v) \(f(x)^2=1-x\) setiap kali \(|x|<1\). Terakhir, tunjukkan bahwa karena \(f\) kontinu dan tidak nol di \(\ooint{-1,1}\), \(f(x)\) harus merupakan akar kuadrat positif dari \(1-x\) di seluruh interval.)

Kita memiliki potongan informasi tambahan. Jika kita menetapkan

\(q_0(x)=1\), \(q_1(x)=1-\Bover12x\), \(q_n(x)=-\sum_{k=0}^n\Bover{(2k)!}{(2k-1)(2^kk!)^2}x^k\)

untuk \(n\ge 2\) dan \(x\in[0,1]\), sehingga \(q_n\) adalah jumlah parsial ke-\(n\) dari deret binomial untuk \((1-x)^{1/2}\), maka \(\lim_{n\to\infty}q_n(x)=(1-x)^{1/2}\) untuk setiap \(x\in\coint{0,1}\). Namun setiap \(q_n\) juga tak menaik pada \([0,1]\), dan \(\sequencen{q_n(x)}\) adalah barisan tak menaik untuk setiap \(x\in[0,1]\). Jadi kita harus memiliki

\(\sqrt{1-x}\le q_n(x) \Forall n\in\Bbb N,\,x\in\coint{0,1}\),

dan karena itu, sebab semua \(q_n\) kontinu,

\(\sqrt{1-x}\le q_n(x) \Forall n\in\Bbb N,\,x\in[0,1]\).

Lebih lanjut, diberikan \(\epsilon>0\), tetapkan \(a=1-{1\over 4}\epsilon^2\), sehingga \(\sqrt{1-a}=\bover{\epsilon}2\). Maka terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga \(q_n(x)-\sqrt{1-x}\le\bover{\epsilon}2\) untuk setiap \(x\in[0,a]\) dan \(n\ge n_0\). Khususnya, \(q_n(a)\le\epsilon\), sehingga \(q_n(x)\le\epsilon\) dan \(q_n(x)-\sqrt{1-x}\le\epsilon\) jika \(x\in[a,1]\) dan \(n\ge n_0\). Ini berarti bahwa

\(0\le q_n(x)-\sqrt{1-x}\le\epsilon \Forall n\ge n_0,\,x\in[0,1]\);

karena \(\epsilon\) sebarang, \(\sequencen{q_n(x)}\to\sqrt{1-x}\) secara seragam pada \([0,1]\).

(b) Sekarang tetapkan \(p_n(x)=q_n(1-x^2)\) untuk \(x\in\Bbb R\). Karena setiap \(q_n\) adalah polinom real berderajat \(n\), setiap \(p_n\) adalah polinom real berderajat \(2n\). Selanjutnya,

\[\begin{aligned}\sup_{|x|\le 1}|p_n(x)-|x|| &=\sup_{|x|\le 1}|q_n(1-x^2)-\sqrt{1-(1-x^2)}|\\ &=\sup_{y\in[0,1]}|q_n(y)-\sqrt{1-y}| \to 0\\\end{aligned}\]

ketika \(n\to\infty\), sehingga \(\lim_{n\to\infty}p_n(x)=|x|\) secara seragam untuk \(|x|\le 1\), sebagaimana diperlukan.

281D Akibat

Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(A\) subruang linear tertutup dalam norma dari \(\ell^{\infty}(X)\) yang memuat \(\chi X\) dan memenuhi \(f\times g\in A\) setiap kali \(f\), \(g\in A\). Maka \(|f|\in A\) untuk setiap \(f\in A\).

281E Teorema Stone-Weierstrass: bentuk kedua

Misalkan \(X\) adalah ruang topologis dan \(K\) subhimpunan kompak dari \(X\). Tuliskan \(C_b(X)\) untuk ruang semua fungsi kontinu bernilai real yang terbatas pada \(X\). Misalkan \(A\subseteq C_b(X)\) sedemikian sehingga

\(A\) adalah subruang linear dari \(C_b(X)\);

\(f\times g\in A\) untuk setiap \(f\), \(g\in A\);

\(\chi X\in A\);

untuk setiap titik berbeda \(x\), \(y\) dari \(K\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)\ne f(y)\).

Maka untuk setiap \(h:K\to\Bbb R\) kontinu dan \(\epsilon>0\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga

\(|f(x)-h(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

jika \(K\ne\emptyset\), \(\inf_{x\in X}f(x)\ge\inf_{x\in K}h(x)\) dan \(\sup_{x\in X}f(x)\le\sup_{x\in K}h(x)\).

Bukti

Misalkan \(\overline{A}\) adalah penutupan dalam norma \(\|\,\|_{\infty}\) dari \(A\) di \(\ell^{\infty}(X)\). Bermanfaat untuk mengetahui bahwa \(\overline{A}\subseteq C_b(X)\); ini karena limit seragam fungsi-fungsi kontinu adalah kontinu. (Namun jika hal ini baru bagi Anda, atau ingatan Anda telah memudar, jangan berhenti untuk mencarinya sekarang; cukup baca ‘\(\overline{A}\cap C_b(X)\)’ menggantikan ‘\(\overline{A}\)’ dalam sisa argumen ini.) Menurut 281B–281D, \(\overline{A}\) adalah subruang linear dari \(C_b(X)\) dan \(|f|\in\overline{A}\) untuk setiap \(f\in\overline{A}\), sehingga kondisi 281A berlaku untuk \(\overline{A}\).

Ambil fungsi kontinu \(h:K\to\Bbb R\) dan \(\epsilon>0\). Kasus \(K=\emptyset\) atau \(h\) konstan bersifat trivial, karena semua fungsi konstan termasuk dalam \(A\); jadi anggaplah \(M_0=\inf_{x\in K}h(x)\) dan \(M_1=\sup_{x\in K}h(x)\) terdefinisi dan berbeda. Seperti diamati di akhir bukti 281A, \(M_0\) dan \(M_1\) berhingga. Tetapkan

\(\eta=\min(\bover13\epsilon,\bover12(M_1-M_2))>0\), \(\tilde h(x)=\med(M_0+\eta,h(x),M_1-\eta)\) untuk \(x\in K\)

(definisi: 2A1Ac), sehingga \(\tilde h:K\to\Bbb R\) kontinu dan \(M_0+\eta\le\tilde h(x)\le M_1-\eta\) untuk setiap \(x\in K\). Menurut 281A, terdapat \(f_0\in\overline{A}\) sedemikian sehingga \(|f_0(x)-\tilde h(x)|\le\eta\) untuk setiap \(x\in K\) dan \(M_0+\eta\le f_0(x)\le M_1-\eta\) untuk setiap \(x\in X\). Kini terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(\|f-f_0\|_{\infty}\le\eta\), sehingga

\(|f(x)-h(x)|\le|f(x)-f_0(x)|+|f_0(x)-\tilde h(x)| +|\tilde h(x)-h(x)|\le 3\eta\le\epsilon\)

untuk setiap \(x\in K\), sedangkan

\(M_0\le f_0(x)-\eta\le f(x)\le f_0(x)+\eta\le M_1\)

untuk setiap \(x\in X\).

281F Akibat: teorema Weierstrass

Misalkan \(K\) sebarang subhimpunan tertutup dan terbatas dari \(\Bbb R\). Maka setiap \(h:K\to\Bbb R\) kontinu dapat dihampiri secara seragam pada \(K\) oleh polinom.

281G Teorema Stone-Weierstrass: bentuk ketiga

Misalkan \(X\) adalah ruang topologis dan \(K\) subhimpunan kompak dari \(X\). Tuliskan \(C_b(X;\Bbb C)\) untuk ruang semua fungsi kontinu bernilai kompleks yang terbatas pada \(X\), sehingga \(C_b(X;\Bbb C)\) adalah ruang linear atas \(\Bbb C\). Misalkan \(A\subseteq C_b(X;\Bbb C)\) sedemikian sehingga

\(A\) adalah subruang linear dari \(C_b(X;\Bbb C)\);

\(f\times g\in A\) untuk setiap \(f\), \(g\in A\);

\(\chi X\in A\);

konjugat kompleks \(\bar f\) dari \(f\) termasuk dalam \(A\) untuk setiap \(f\in A\);

untuk setiap titik berbeda \(x\), \(y\) dari \(K\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)\ne f(y)\).

Maka untuk setiap \(h:K\to\Bbb C\) kontinu dan \(\epsilon>0\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga

\(|f(x)-h(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

jika \(K\ne\emptyset\), \(\sup_{x\in X}|f(x)|\le\sup_{x\in K}|h(x)|\).

Bukti

Jika \(K=\emptyset\), atau \(h\) identik nol, kita dapat mengambil \(f=\tbf{0}\). Jadi anggaplah \(M=\sup_{x\in K}|h(x)|>0\).

(a) Tetapkan

\(A_{\Bbb R}=\{f:f\in A,\,f(x)\) real untuk setiap \(x\in X\}\).

Maka \(A_{\Bbb R}\) memenuhi kondisi 281E. Bukti. (i) Jelas \(A_{\Bbb R}\) adalah subhimpunan dari \(C_b(X)=C_b(X;\Bbb R)\), tertutup terhadap penjumlahan, perkalian dengan skalar real, dan perkalian titik demi titik fungsi, serta memuat \(\chi X\). Jika \(x\), \(y\) adalah titik berbeda dari \(K\), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(f(x)\ne f(y)\). Kini

\(\Real f=\Bover12(f+\bar f)\), \(\Imag f=\Bover1{2i}(f-\bar f)\)

keduanya termasuk dalam \(A\) dan bernilai real, sehingga termasuk dalam \(A_{\Bbb R}\); dan setidaknya salah satunya mengambil nilai berbeda di \(x\) dan \(y\). ∎

(b) Akibatnya, untuk fungsi kontinu \(h:K\to\Bbb C\) dan \(\epsilon>0\), kita dapat menerapkan 281E dua kali untuk memperoleh \(f_1\), \(f_2\in A_{\Bbb R}\) sedemikian sehingga

\(|f_1(x)-\Real(h(x))|\le\eta\), \(|f_2(x)-\Imag(h(x))|\le\eta\)

untuk setiap \(x\in K\), dengan \(\eta=\min(\bover12,M,\bover16\epsilon)>0\). Dengan menetapkan \(g=f_1+if_2\), kita memiliki \(g\in A\) dan \(|g(x)-h(x)|\le2\eta\) untuk setiap \(x\in K\).

(c) Tetapkan \(M_1=\|g\|_{\infty}\). Jika \(M_1\le M\), kita dapat mengambil \(f=g\) dan berhenti. Jika tidak, pertimbangkan fungsi

\(\phi(t)=\Bover{M-\eta}{\max(M,\sqrt{t})}\)

untuk \(t\in [0,M_1^2]\). Menurut teorema Weierstrass (281F), terdapat polinom real \(p\) sedemikian sehingga \(|\phi(t)-p(t)|\le\Bover{\eta}{M_1}\) setiap kali \(0\le t\le M_1^2\). Perhatikan bahwa \(|g|^2=g\times\bar g\in A\), sehingga

\(f=g\times p(|g|^2)\in A\).

Sekarang

\(|p(t)|\le\phi(t)+\Bover{\eta}{M_1} \le\phi(t)+\Bover{\eta}{\max(M,\sqrt{t})} =\Bover{M}{\max(M,\sqrt{t})}\)

setiap kali \(0\le t\le M_1^2\), sehingga

\(|f(x)|\le|g(x)|\Bover{M}{\max(M,|g(x)|)}\le M\)

untuk setiap \(x\in X\). Selanjutnya, jika \(0\le t\le\min(M_1,M+2\eta)^2\),

\(|1-p(t)|\le\Bover{\eta}{M_1}+1-\phi(t) \le\Bover{\eta}M+1-\Bover{M-\eta}{M+2\eta} \le\Bover{4\eta}M\).

Akibatnya, jika \(x\in K\), maka

\(|g(x)|\le\min(M_1,|h(x)|+2\eta)\le \min(M_1,M+2\eta)\),

sehingga

\(|1-p(|g(x)|^2)|\le\Bover{4\eta}M\),

dan

\[\begin{aligned}|f(x)-h(x)| &\le|g(x)-h(x)|+|g(x)||1-p(|g(x)|^2)|\\ &\le 2\eta+\Bover{4\eta}M(M+2\eta) \le 2\eta+\Bover{4\eta}M(M+1) \le\epsilon,\\\end{aligned}\]

sebagaimana diperlukan.

Catatan Tentu saja kita dapat menghemat usaha dengan menerima

\(\sup_{x\in X}|f(x)|\le 2\sup_{x\in K}|h(x)|\),

yang sudah cukup baik untuk penerapan-penerapan di bawah.

281H Akibat

Misalkan \([a,b]\subseteq\Bbb R\) adalah interval tertutup tak kosong yang terbatas dan \(h:[a,b]\to\Bbb C\) fungsi kontinu. Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(y_0,\ldots,y_n\in\Bbb R\) dan \(c_0,\ldots,c_n\in\Bbb C\) sedemikian sehingga

\(|h(x)-\sum_{k=0}^nc_ke^{iy_kx}|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in[a,b]\),

\(\sup_{x\in\Bbb R}|\sum_{k=0}^nc_ke^{iy_kx}|\le\sup_{x\in[a,b]}|h(x)|\).

281I Akibat

Misalkan \(S^1\) adalah lingkaran satuan \(\{z:|z|=1\}\subseteq\Bbb C\). Maka untuk setiap fungsi kontinu \(h:S^1\to\Bbb C\) dan \(\epsilon>0\), terdapat \(n\in\Bbb N\) dan \(c_{-n},c_{-n+1},\ldots,c_0,\ldots,c_n\in\Bbb C\) sedemikian sehingga \(|h(z)-\sum_{k=-n}^nc_kz^k|\le\epsilon\) untuk setiap \(z\in S^1\).

281J Akibat

Misalkan \(h:[-\pi,\pi]\to\Bbb C\) adalah fungsi kontinu sedemikian sehingga \(h(\pi)=h(-\pi)\). Maka untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(n\in\Bbb N\), \(c_{-n},\ldots,c_n\in\Bbb C\) sedemikian sehingga \(|h(x)-\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in[-\pi,\pi]\).

281K Akibat

Misalkan \(r\ge 1\) dan \(K\subseteq\BbbR^r\) adalah himpunan tertutup terbatas tak kosong. Misalkan \(h:K\to\Bbb C\) adalah fungsi kontinu dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(y_0,\ldots,y_n\in\Bbb Q^r\) dan \(c_0,\ldots,c_n\in\Bbb C\) sedemikian sehingga

\(|h(x)-\sum_{k=0}^nc_ke^{iy_k\dotproduct x}|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

\(\sup_{x\in\Bbb R^r}|\sum_{k=0}^nc_ke^{iy_k\dotproduct x}| \le\sup_{x\in K}|h(x)|\),

dengan menuliskan \(y\dotproduct x=\sum_{j=1}^r\eta_j\xi_j\) ketika \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\) dan \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\) termasuk dalam \(\BbbR^r\).

281L Akibat

Misalkan \(r\ge 1\) dan \(K\subseteq\BbbR^r\) adalah himpunan tertutup terbatas tak kosong. Misalkan \(h:K\to\Bbb R\) fungsi kontinu dan \(\epsilon>0\). Maka terdapat \(y_0,\ldots,y_n\in\BbbR^r\) dan \(c_0,\ldots,c_n\in\Bbb C\) sedemikian sehingga, jika \(g(x)=\sum_{k=0}^nc_ke^{iy_k\dotproduct x}\), maka \(g\) bernilai real dan

\(|h(x)-g(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

\(\inf_{y\in K}h(y)\le g(x)\le\sup_{y\in K}h(y)\) untuk setiap \(x\in\BbbR^r\).

281M Teorema ekuidistribusi Weyl

Kita kini siap untuk salah satu hasil dasar teori bilangan. Sebenarnya saya akan menerapkannya untuk memberikan contoh dalam §285 di bawah, tetapi (setidaknya pada kasus satu variabel) teorema ini pasti termasuk dalam daftar (yang agak panjang) hal-hal yang patut diketahui setiap matematikawan murni. Demi penerapan yang saya maksud, saya memberikan versi lengkap berdimensi \(r\), tetapi Anda mungkin ingin memahaminya terlebih dahulu dengan \(r=1\).

Akan bermanfaat memiliki notasi untuk ‘bagian pecahan’. Untuk setiap bilangan real \(x\), tuliskan \(\fraction{x}\) untuk bilangan dalam \(\coint{0,1}\) sedemikian sehingga \(x-\fraction{x}\) adalah bilangan bulat. Sekarang untuk teoremanya.

281N Teorema

Misalkan \(\eta_1,\ldots,\eta_r\) bilangan real sedemikian sehingga \(1,\eta_1,\ldots,\eta_r\) bebas linear atas \(\Bbb Q\). Maka setiap kali \(0\le \alpha_j\le\beta_j\le 1\) untuk setiap \(j\le r\),

\(\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\#(\{m:m\le n,\,\fraction{m\eta_j}\in[\alpha_j,\beta_j]\) untuk setiap \(j\le r\}) =\prod_{j=1}^r(\beta_j-\alpha_j)\).

Catatan Jadi teorema ini menyatakan bahwa proporsi jangka panjang \(r\)-tuple \((\fraction{m\eta_1}, \ldots,\fraction{m\eta_r})\) yang termasuk dalam interval \([a,b]\subseteq[\tbf{0},\tbf{1}]\) tepat sama dengan ukuran Lebesgue \(\mu[a,b]\) dari interval tersebut. Tentu saja kondisi ‘\(1,\eta_1,\ldots,\eta_r\) bebas linear atas \(\Bbb Q\)’ diperlukan sekaligus cukup (281Xg).

Bukti

(a) Tuliskan \(y=(\eta_1,\ldots,\eta_r)\in\BbbR^r\),

\(\fraction{my} =(\fraction{m\eta_1},\ldots,\fraction{m\eta_r}) \in\coint{\tbf{0},\tbf{1}}=\coint{0,1}^r\)

untuk setiap \(m\in\Bbb N\). Tetapkan \(I=[\tbf{0},\tbf{1}]=[0,1]^r\), dan untuk setiap fungsi \(f:I\to\Bbb R\) tuliskan

\(\overline{L}(f) =\limsup_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^{n}f(\fraction{my})\),

\(\underline{L}(f) =\liminf_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^{n}f(\fraction{my})\);

dan untuk \(f:I\to\Bbb C\) tuliskan

\(L(f) =\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^nf(\fraction{my})\)

jika limit tersebut ada. Patut dicatat bahwa untuk fungsi-fungsi nonnegatif \(f\), \(g\), \(h:I\to\Bbb R\) dengan \(h\le f+g\),

\(\overline{L}(h)\le\overline{L}(f)+\overline{L}(g)\),

dan bahwa \(L(cf+g)=cL(f)+L(g)\) untuk dua fungsi \(f\), \(g:I\to\Bbb C\) dengan \(L(f)\) dan \(L(g)\) keduanya ada, serta setiap \(c\in\Bbb C\).

(b) Saya bermaksud menunjukkan bahwa \(L(f)\) ada dan sama dengan \(\int_{I}f\) untuk (banyak) fungsi kontinu \(f\). Langkah kuncinya adalah mempertimbangkan fungsi-fungsi berbentuk

\(f(x)=e^{2\pi ik\dotproduct x}\),

dengan \(k=(\kappa_1,\ldots,\kappa_r)\in\Bbb Z^r\). Dalam kasus ini, jika \(k\ne\tbf{0}\),

\(k\dotproduct y=\sum_{j=1}^r\kappa_j\eta_j\notin\Bbb Z\)

karena \(1,\eta_1,\ldots,\eta_r\) bebas linear atas \(\Bbb Q\). Jadi

\[\begin{aligned}L(f) &=\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1} \sum_{m=0}^ne^{2\pi ik\dotproduct \fraction{my}} =\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^ne^{2\pi imk\dotproduct y}\\ &\text{(karena }mk\dotproduct y-k\dotproduct \fraction{my} =\sum_{j=1}^r\kappa_j(m\eta_j-\fraction{m\eta_j})\text{ adalah bilangan bulat)}\\ &=\lim_{n\to\infty} \bover{1-e^{2\pi i(n+1)k\dotproduct y}}{(n+1)(1-e^{2\pi ik\dotproduct y})}\\ &\text{(karena }e^{2\pi ik\dotproduct y}\ne 1\text{)}\\ &=0,\\\end{aligned}\]

karena \(|1-e^{2\pi i(n+1)k\dotproduct y}|\le 2\) untuk setiap \(n\). Tentu saja kita juga dapat menghitung integral \(f\) pada \(I\), yaitu

\[\begin{aligned}\int_If(x)dx &=\int_Ie^{2\pi ik\dotproduct x}dx =\int_I\prod_{j=1}^re^{2\pi i\kappa_j\xi_j}dx\\ &\text{(dengan menuliskan }x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\text{)}\\ &=\int_{0}^1\ldots\int_0^1\prod_{j=1}^r e^{2\pi i\kappa_j\xi_j}d\xi_r\ldots d\xi_1\\ &=\int_{0}^1e^{2\pi i\kappa_r\xi_r}d\xi_r \ldots\int_0^1e^{2\pi i\kappa_1\xi_1}d\xi_1 =0\\\end{aligned}\]

karena setidaknya satu \(\kappa_j\) tidak nol, dan untuk \(j\) tersebut kita harus memiliki

\(\int_0^1e^{2\pi i\kappa_j\xi_j}d\xi_j =\Bover{1}{2\pi i\kappa_j}(e^{2\pi i\kappa_j}-1)=0\).

Jadi \(L(f)=\int_If=0\) ketika \(k\ne\tbf{0}\). Sebaliknya, jika \(k=\tbf{0}\), maka \(f\) konstan dengan nilai \(1\), sehingga

\(L(f) =\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^nf(\fraction{my}) =\lim_{n\to\infty}1=1=\int_If(x)dx\).

(c) Sekarang tuliskan \(\partial I=[\tbf{0},\tbf{1}]\setminus\ooint{\tbf{0},\tbf{1}}\), yaitu batas dari \(I\). Jika \(f:I\to\Bbb C\) kontinu dan \(f(x)=0\) untuk \(x\in\partial I\), maka \(L(f)=\int_If\). Bukti. Seperti dalam 281I, misalkan \(S^1\) adalah lingkaran satuan \(\{z:z\in\Bbb C,\,|z|=1\}\), dan tetapkan \(K=(S^1)^r\subseteq\Bbb C^r\). Jika kita memandang \(K\) sebagai subhimpunan dari \(\BbbR^{2r}\), maka himpunan itu tertutup dan terbatas. Misalkan \(\phi:K\to I\) diberikan oleh

\(\phi(\zeta_1,\ldots,\zeta_r) =(\Bover12+\Bover{\arg\zeta_1}{2\pi},\ldots, \Bover12+\Bover{\arg\zeta_r}{2\pi})\)

untuk \(\zeta_1,\ldots,\zeta_r\in S^1\). Maka \(h=f\phi:K\to\Bbb C\) kontinu, karena \(\phi\) kontinu pada \((S^1\setminus\{-1\})^r\) dan

\(\lim_{w\to z}f\phi(w)=f\phi(z)=0\)

untuk setiap \(z\in K\setminus(S^1\setminus\{-1\})^r\). (Bandingkan 281J.) Sekarang terapkan 281G dengan \(X=K\) dan \(A\) himpunan polinom dalam \(\zeta_1,\ldots,\zeta_r,\zeta_1^{-1},\ldots,\zeta_r^{-1}\) untuk melihat bahwa, diberikan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi berbentuk

\(g(z)=\sum_{k\in J}c_k\zeta_1^{\kappa_1}\ldots\zeta_r^{\kappa_r}\),

untuk suatu himpunan berhingga \(J\subseteq\Bbb Z^r\) dan konstanta \(c_k\in\Bbb C\) untuk \(k\in J\), sedemikian sehingga

\(|g(z)-h(z)|\le\epsilon\) untuk setiap \(z\in K\).

Tetapkan

\(\tilde g(x) =g(e^{\pi i(2\xi_1-1)},\ldots,e^{\pi i(2\xi_r-1)}) =\sum_{k\in J}c_ke^{\pi ik\dotproduct (2x-\tbf{1})} =\sum_{k\in J}(-1)^{k\tbf{.1}}c_ke^{2\pi ik\dotproduct x}\),

sehingga \(\tilde g\phi=g\), dan perhatikan bahwa

\(\sup_{x\in I}|\tilde g(x)-f(x)| =\sup_{z\in K}|g(z)-h(z)|\le\epsilon\).

Kini \(\tilde g\) berbentuk seperti yang ditangani pada (a), sehingga \(L(\tilde g)=\int_I\tilde g\). Ambil \(n_0\) sedemikian sehingga

\(\bigl|\int_I\tilde g -\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^n\tilde g(\fraction{my})\bigr| \le\epsilon\)

untuk setiap \(n\ge n_0\). Maka

\(|\int_If-\int_I\tilde g|\le\int_I|f-\tilde g|\le\epsilon\)

dan

\[\begin{aligned}|\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^{n}\tilde g(\fraction{my}) -\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^{n}f(\fraction{my})| &\le\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^{n} |\tilde g(\fraction{my})-f(\fraction{my})|\\ &\le\Bover1{n+1}(n+1)\epsilon =\epsilon\\\end{aligned}\]

untuk setiap \(n\in\Bbb N\). Jadi untuk \(n\ge n_0\) kita harus memiliki

\(|\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^{n}f(\fraction{my}) -\int_If|\le3\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang, \(L(f)=\int_If\), sebagaimana diperlukan. ∎

(d) Perhatikan selanjutnya bahwa jika \(a\), \(b\in\ooint{\tbf{0},\tbf{1}}=\ooint{0,1}^r\), dan \(\epsilon>0\), terdapat fungsi kontinu \(f_1\), \(f_2\) sedemikian sehingga

\(f_1\le\chi[a,b]\le f_2\le\chi\ooint{\tbf{0},\tbf{1}}\), \(\int_If_2-\int_If_1\le\epsilon\).

Bukti. Ini elementer. Untuk \(n\in\Bbb N\), definisikan \(h_n:\Bbb R\to[0,1]\) dengan menetapkan \(h_n(\xi)=0\) jika \(\xi\le 0\), \(2^n\xi\) jika \(0\le\xi\le 2^{-n}\), dan \(1\) jika \(\xi\ge 2^{-n}\). Tetapkan

\(f_{1n}(x) =\prod_{j=1}^rh_n(\xi_j-\alpha_j)h_n(\beta_j-\xi_j)\),

\(f_{2n}(x) =\prod_{j=1}^r(1-h_n(\alpha_j-\xi_j))(1-h_n(\xi_j-\beta_j))\)

untuk \(x=(\xi_1,\ldots,\xi_r)\in\BbbR^r\). (Bandingkan bukti 242Oa.) Maka \(f_{1n}\le\chi[a,b]\le f_{2n}\) untuk setiap \(n\), \(f_{2n}\le\chi\ooint{\tbf{0},\tbf{1}}\) untuk semua \(n\) yang cukup besar sehingga

\(2^{-n} \le\min(\min_{j\le r}\alpha_j,\min_{j\le r}(1-\beta_j))\),

dan \(\lim_{n\to\infty}f_{2n}(x)-f_{1n}(x)=0\) untuk setiap \(x\), sehingga

\(\lim_{n\to\infty}\int_If_{2n}-\int_If_{1n}=0\).

Jadi kita dapat mengambil \(f_1=f_{1n}\), \(f_2=f_{2n}\) untuk setiap \(n\) yang cukup besar. ∎

(e) Dari sini, jika \(a\), \(b\in\ooint{\tbf{0},\tbf{1}}\) dan \(a\le b\), \(L(\chi[a,b])=\mu[a,b]\). Bukti. Ambil \(\epsilon>0\). Ambil \(f_1\), \(f_2\) seperti pada (d). Kemudian, menggunakan (c),

\(\overline{L}(\chi[a,b])\le\overline{L}(f_2) =L(f_2)=\int_If_2\le\int_If_1+\epsilon\le\mu[a,b]+\epsilon\),

\(\underline{L}(\chi[a,b])\ge\underline{L}(f_1) =L(f_1)=\int_If_1\ge\int_If_2-\epsilon\ge\mu[a,b]-\epsilon\),

sehingga

\(\mu[a,b]-\epsilon\le\underline{L}(\chi[a,b]) \le\overline{L}(\chi[a,b])\le\mu[a,b]+\epsilon\).

Karena \(\epsilon\) sebarang,

\(\mu[a,b]=\overline{L}(\chi[a,b])=\underline{L}(\chi[a,b]) =L(\chi[a,b])\),

sebagaimana diperlukan. ∎

(f) Untuk menyelesaikan bukti, ambil sebarang \(a\), \(b\in I\) dengan \(a\le b\). Untuk \(0<\epsilon\le\bover12\), tetapkan \(I_{\epsilon}=[\epsilon\tbf{1},(1-\epsilon)\tbf{1}]\), sehingga \(I_{\epsilon}\) adalah interval tertutup yang termasuk dalam \(\ooint{\tbf{0},\tbf{1}}\) dan \(\mu I_{\epsilon}=(1-2\epsilon)^r\). Tentu saja \(L(\chi I)=\mu I=1\), sehingga

\(L(\chi(I\setminus I_{\epsilon})) =L(\chi I)-L(\chi I_{\epsilon}) =1-\mu I_{\epsilon}\),

dan

\[\begin{aligned}\mu[a,b]-1+\mu I_{\epsilon} &\le\mu[a,b]+\mu I_{\epsilon}-\mu([a,b]\cup I_{\epsilon}) =\mu([a,b]\cap I_{\epsilon})\\ &=L(\chi([a,b]\cap I_{\epsilon})) \le\underline{L}(\chi([a,b]))\\ &\le\overline{L}(\chi([a,b])) \le\overline{L}(\chi([a,b]\cap I_{\epsilon})) +\overline{L}(\chi(I\setminus I_{\epsilon}))\\ &=L(\chi([a,b]\cap I_{\epsilon}))+1-\mu I_{\epsilon}\\ &=\mu([a,b]\cap I_{\epsilon})+1-\mu I_{\epsilon} \le\mu[a,b]+1-\mu I_{\epsilon}.\\\end{aligned}\]

Karena \(\epsilon\) sebarang,

\(\mu[a,b]=\overline{L}(\chi[a,b])=\underline{L}(\chi[a,b]) =L(\chi[a,b])\),

sebagaimana dinyatakan.

Latihan

281X Latihan dasar (a)

Misalkan \(A\) adalah himpunan fungsi kontinu terbatas \(f:\BbbR^r\times\BbbR^r\to\Bbb R\) yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(f(x,y)=\sum_{k=0}^ng_k(x)g'_k(y)\), dengan semua \(g_k\), \(g'_k\) fungsi kontinu dari \(\BbbR^r\) ke \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi kontinu terbatas \(h:\BbbR^r\times\BbbR^r\to\Bbb R\), setiap himpunan terbatas \(K\subseteq\BbbR^r\times\BbbR^r\), dan setiap \(\epsilon>0\), terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(|f(x,y)-h(x,y)|\le\epsilon\) untuk setiap \((x,y)\in K\) dan \(\sup_{x,y\in\BbbR^r}|f(x,y)|\le\sup_{x,y\in\BbbR^r}|h(x,y)|\).

281Xb (b)

Misalkan \(K\) himpunan tertutup terbatas dalam \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), dan \(h:K\to\Bbb R\) fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat polinom \(p\) dalam \(r\) variabel sedemikian sehingga \(|h(x)-p(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\).

281Xc (c) penting

Misalkan \([a,b]\) interval tertutup tak kosong dari \(\Bbb R\) dan \(h:[a,b]\to\Bbb R\) fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(y_0,\ldots,y_n,a_0,\ldots,a_n,b_0,\ldots,b_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga

\(|h(x)-\sum_{k=0}^n(a_k\cos y_kx+b_k\sin y_kx)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in [a,b]\),

\(\sup_{x\in\Bbb R}|\sum_{k=0}^n(a_k\cos y_kx+b_k\sin y_kx)|\le\sup_{x\in [a,b]}|h(x)|\).

281Xd (d)

Misalkan \(h\) fungsi bernilai kompleks pada \(\ocint{-\pi,\pi}\) sedemikian sehingga \(|h|^p\) terintegralkan, dengan \(1\le p<\infty\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat fungsi berbentuk \(x\mapsto f(x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx}\), dengan \(c_{-k},\ldots,c_k\in\Bbb C\), sedemikian sehingga \(\int_{-\pi}^{\pi}|h-f|^p\le\epsilon\). (Bandingkan 244H.)

281Xe (e) penting

Misalkan \(h:[-\pi,\pi]\to\Bbb R\) fungsi kontinu sedemikian sehingga \(h(\pi)=h(-\pi)\), dan \(\epsilon>0\). Tunjukkan bahwa terdapat \(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga

\(|h(x)-\Bover12a_0-\sum_{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx)| \le\epsilon\)

untuk setiap \(x\in[-\pi,\pi]\).

281Xf (f)

Misalkan \(K\) himpunan tertutup terbatas tak kosong dalam \(\BbbR^r\), dengan \(r\ge 1\), dan \(h:K\to\Bbb R\) fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(y_0,\ldots,y_n\in\BbbR^r\), \(a_0,\ldots,a_n,b_0,\ldots,b_n\in\Bbb R\) sedemikian sehingga

\(|h(x) -\sum_{k=0}^n(a_k\cos(y_k\dotproduct x)+b_k\sin(y_k\dotproduct x))| \le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\),

\(\sup_{x\in\Bbb R} |\sum_{k=0}^n(a_k\cos(y_k\dotproduct x)+b_k\sin(y_k\dotproduct x))| \le\sup_{x\in K}|h(x)|\),

dengan menafsirkan \(y\dotproduct x\) seperti dalam 281K.

281Xg (g)

Misalkan \(y_1,\ldots,y_r\) bilangan real sedemikian sehingga \(1,y_1,\ldots,y_r\) tidak bebas linear atas \(\Bbb Q\). Tunjukkan bahwa terdapat interval nontrivial \([a,b]\subseteq[\tbf{0},\tbf{1}]\subseteq\BbbR^r\) sedemikian sehingga \((\fraction{my_1},\ldots,\fraction{my_r})\notin[a,b]\) untuk setiap \(m\in\Bbb Z\).

281Xh (h)

Misalkan \(\eta_1,\ldots,\eta_r\) bilangan real sedemikian sehingga \(1,\eta_1,\ldots,\eta_r\) bebas linear atas \(\Bbb Q\). Misalkan pula \(0\le\alpha_j\le\beta_j\le 1\) untuk setiap \(j\le r\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(n_0\in\Bbb N\) sedemikian sehingga

\(|\prod_{j=1}^r(\beta_j-\alpha_j) -\Bover1{n+1}\#(\{m:k\le m\le k+n,\,\fraction{m\eta_j} \in[\alpha_j,\beta_j]\) untuk setiap \(j\le r\})|\le\epsilon\)

setiap kali \(n\ge n_0\) dan \(k\in\Bbb N\). (Petunjuk: dalam bukti 281N, tetapkan

\(\overline{L}(f) =\limsup_{n\to\infty}\sup_{k\in\Bbb N}\Bover1{n+1} \sum_{m=k}^{k+n}f(\fraction{my})\).)

281Y Latihan lanjutan (a)

Tunjukkan bahwa di bawah hipotesis 281A, terdapat \(f\in\overline{A}\), yang merupakan penutupan dalam norma \(\|\,\|_{\infty}\) dari \(A\) di \(C_b(X)\), sedemikian sehingga \(f\restr K=h\). (Petunjuk: ambil \(f=\lim_{n\to\infty}f_n\) dengan

\(\|f_{n+1}-f_n\|_{\infty}\le\sup_{x\in K}|f_n(x)-h(x)| \le 2^{-n}\)

untuk setiap \(n\in\Bbb N\).)

281Yb (b)

Misalkan \(X\) ruang topologis dan \(K\subseteq X\) subhimpunan kompak. Misalkan untuk setiap titik berbeda \(x\), \(y\) dari \(K\) terdapat fungsi kontinu \(f:X\to\Bbb R\) sedemikian sehingga \(f(x)\ne f(y)\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(r\in\Bbb N\) dan setiap \(h:K\to\BbbR^r\) kontinu terdapat \(f:X\to\BbbR^r\) kontinu yang memperluas \(h\). Petunjuk: pertimbangkan \(r=1\) terlebih dahulu.

281Yc (c)

Misalkan \(\langle X_i\rangle_{i\in I}\) keluarga sebarang ruang Hausdorff kompak, dan \(X\) produk mereka sebagai ruang topologis. Untuk setiap \(i\), tuliskan \(C(X_i)\) untuk himpunan fungsi kontinu dari \(X_i\) ke \(\Bbb R\), dan \(\pi_i:X\to X_i\) untuk pemetaan koordinat. Tunjukkan bahwa subaljabar \(C(X)\) yang dibangkitkan oleh \(\{f\pi_i:i\in I,\,f\in C(X_i)\}\) rapat menurut norma \(\|\,\|_{\infty}\) dalam \(C(X)\). (Catatan: Anda perlu mengetahui bahwa \(X\) kompak, dan bahwa jika \(Z\) ruang Hausdorff kompak, maka untuk setiap \(z\), \(w\in Z\) yang berbeda terdapat \(f\in C(Z)\) dengan \(f(z)\ne f(w)\). Untuk rujukan lihat 3A3J dan 3A3Bf dalam jilid berikutnya.)

281Yd (d)

Misalkan \(X\) ruang topologis dan \(K\) subhimpunan kompak dari \(X\). Misalkan \(A\) subruang linear dari ruang \(C_b(X)\) fungsi kontinu bernilai real yang terbatas pada \(X\), sedemikian sehingga \(|f|\in A\) untuk setiap \(f\in A\). Misalkan \(h:K\to\Bbb R\) fungsi kontinu sedemikian sehingga untuk setiap \(x\), \(y\in K\) terdapat \(f\in A\) dengan \(f(x)=h(x)\) dan \(f(y)=h(y)\). Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(|f(x)-h(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in K\).

281Ye (e)

Misalkan \(X\) ruang topologis kompak dan tuliskan \(C(X)\) untuk himpunan fungsi kontinu dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Misalkan \(h\in C(X)\), dan \(A\subseteq C(X)\) sedemikian sehingga

\(A\) adalah subruang linear dari \(C(X)\);

atau \(|f|\in A\) untuk setiap \(f\in A\) atau \(f\times g\in A\) untuk setiap \(f\), \(g\in A\) atau \(f\times f\in A\) untuk setiap \(f\in A\);

untuk setiap \(x\), \(y\in X\) dan \(\delta>0\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(|f(x)-h(x)|\le\delta\) dan \(|f(y)-h(y)|\le\delta\).

Tunjukkan bahwa untuk setiap \(\epsilon>0\) terdapat \(f\in A\) sedemikian sehingga \(|h(x)-f(x)|\le\epsilon\) untuk setiap \(x\in X\).

281Yf (f)

Misalkan \(X\) ruang topologis kompak dan \(A\) subruang linear tertutup dalam norma \(\|\,\|_{\infty}\) dari ruang \(C(X)\) fungsi kontinu dari \(X\) ke \(\Bbb R\). Tunjukkan bahwa berikut ini ekuivalen:

(i) \(|f|\in A\) untuk setiap \(f\in A\);

(ii) \(f\times f\in A\) untuk setiap \(f\in A\);

(iii) \(f\times g\in A\) untuk semua \(f\), \(g\in A\),

dan bahwa dalam kasus ini \(A\) tertutup dalam \(C(X)\) untuk topologi yang ditentukan oleh pseudometrik

\((f,g)\mapsto|f(x)-g(x)|: C(X)\times C(X)\to\coint{0,\infty}\)

ketika \(x\) menjelajahi \(X\) (yaitu ‘topologi konvergensi titik demi titik’ pada \(C(X)\)).

281Yg (g)

Tunjukkan bahwa di bawah hipotesis 281G terdapat \(f\in\overline{A}\), yang merupakan penutupan dalam norma \(\|\,\|_{\infty}\) dari \(A\) di \(C_b(X;\Bbb C)\), sedemikian sehingga \(f\restr K=h\) dan (jika \(K\ne\emptyset\)) \(\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in K}|h(x)|\).

281Yh (h)

Misalkan \(y\in\Bbb R\) irasional. Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi Riemann-terintegralkan \(f:[0,1]\to\Bbb R\),

\(\int_0^1f(x)dx =\lim_{n\to\infty}\Bover1{n+1}\sum_{m=0}^nf(\fraction{my})\),

dengan menuliskan \(\fraction{my}\) untuk bagian pecahan dari \(my\). (Petunjuk: ingat kriteria Riemann: untuk setiap \(\epsilon>0\), terdapat \(a_0,\ldots,a_n\) dengan \(0=a_0\le a_1\le\ldots\le a_n=1\) dan

\(\sum\{a_{j}-a_{j-1}:j\le n,\,\sup_{x\in[a_{j-1},a_j]}f(x) -\inf_{x\in[a_{j-1},a_j]}f(x)\ge\epsilon\}\le\epsilon\).)

281Yi (i)

Misalkan \(\sequencen{t_n}\) suatu barisan dalam \([0,1]\). Tunjukkan bahwa berikut ini ekuivalen: (i) \(\lim_{n\to\infty}\bover1{n+1}\sum_{k=0}^nf(t_k) =\int_0^1f\) untuk setiap fungsi kontinu \(f:[0,1]\to\Bbb R\); (ii) \(\lim_{n\to\infty}\bover1{n+1}\sum_{k=0}^nf(t_k)=\int_0^1f\) untuk setiap fungsi Riemann-terintegralkan \(f:[0,1]\to\Bbb R\); (iii) \(\liminf_{n\to\infty}\bover1{n+1}\#(\{k:k\le n,\,t_k\in G\}) \ge\mu G\) untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq[0,1]\), dengan \(\mu\) ukuran Lebesgue pada \(\Bbb R\); (iv) \(\lim_{n\to\infty}\bover1{n+1}\#(\{k:k\le n,\,t_k\le\alpha\}) =\alpha\) untuk setiap \(\alpha\in[0,1]\); (v) \(\lim_{n\to\infty}\bover1{n+1}\#(\{k:k\le n,\,t_k\in E\})=\mu E\) untuk setiap \(E\subseteq[0,1]\) sedemikian sehingga \(\mu(\interior E)=\mu\overline{E}\); (vi) \(\lim_{n\to\infty}\bover1{n+1}\sum_{k=0}^ne^{2\pi imt_k}=0\) untuk setiap \(m\ge 1\). (Bandingkan 273J. Barisan \(\sequencen{t_n}\) semacam ini disebut terdistribusi seragam atau tersebar merata.)

281Yj (j)

Tunjukkan bahwa barisan \(\sequencen{\fraction{\ln(n+1)}}\) tidak terdistribusi seragam.

281Yk (k)

Berikan \([0,1]^{\Bbb N}\) ukuran produk \(\lambda\). Tunjukkan bahwa, menurut \(\lambda\), hampir setiap barisan \(\sequencen{t_n}\in[0,1]^{\Bbb N}\) terdistribusi seragam dalam arti 281Yi. Petunjuk: 273J.

281Yl (l)

Misalkan \(f:[0,1]^2\to\Bbb C\) fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa jika \(\gamma\in\Bbb R\) irasional maka \(\lim_{a\to\infty}\bover1a\int_0^af(\fraction{t},\fraction{\gamma t})dt =\int_{[0,1]^2}f\). Petunjuk: mula-mula pertimbangkan fungsi berbentuk \(x\mapsto e^{2\pi ik\dotproduct x}\).

281Ym (m)

Suatu barisan \(\sequencen{t_n}\) dalam \([0,1]\) disebut terdistribusi dengan baik (terhadap ukuran Lebesgue \(\mu\)) jika

\(\liminf_{n\to\infty}\inf_{l\in\Bbb N} \Bover1{n+1}\#(\{k:l\le k\le l+n\), \(t_k\in G\})\ge\mu G\)

untuk setiap himpunan terbuka \(G\subseteq[0,1]\). (i) Tunjukkan bahwa \(\sequencen{t_n}\) terdistribusi dengan baik jika dan hanya jika \(\lim_{n\to\infty}\sup_{l\in\Bbb N} |\int_0^1f-\bover1{n+1}\sum_{k=l}^{l+n}f(t_k)|=0\) untuk setiap fungsi kontinu \(f:[0,1]\to\Bbb R\). (ii) Tunjukkan bahwa \(\sequencen{\fraction{n\alpha}}\) terdistribusi dengan baik untuk setiap \(\alpha\) irasional.

Catatan dan komentar

281 Catatan penutup untuk Bagian 281

Saya telah memberikan tiga pernyataan (281A, 281E, dan 281G) dari teorema Stone-Weierstrass, dengan pengakuan (281F) terhadap versi Weierstrass sendiri, dan tiga bentuk lain (281Ya, 281Yd, 281Yg) dalam latihan. Bentuk lain lagi akan muncul dalam §4A6 di Jilid 4. Menghadapi keragaman ini, Anda mungkin ingin mencoba sendiri menuliskan teorema yang mencakup sebagian atau semua versi tersebut. Saya sendiri tidak melihat cara melakukannya tanpa menyusun daftar hipotesis dan kesimpulan alternatif yang membingungkan. Pada titik itu saya bertanya, ‘sebenarnya apa itu teorema?’, dan menjawab: teorema adalah tempat berhenti dalam perjalanan kita; tempat untuk beristirahat dan mengucapkan selamat kepada diri sendiri atas pencapaian kita; tempat yang dapat kita pelajari untuk kenali dan gunakan sebagai titik berangkat bagi petualangan baru; tempat yang dapat kita uraikan dan bagikan dengan orang lain. Untuk beberapa teorema, seperti teorema terakhir Fermat, ada pernyataan kanonik, suatu titik yang dapat ditemukan tepat. Untuk yang lain, seperti teorema Stone-Weierstrass di sini, kita sampai pada kumpulan hasil yang sangat berkaitan, semuanya bergantung pada susunan tertentu dari argumen yang diuraikan dalam 281A–281G dan 281Ya (yang memperkenalkan gagasan baru), dan semuanya berguna dengan cara yang berbeda. Memang saya berpendapat bahwa kebanyakan penulis akan lebih menyukai versi 281Ya dan 281Yg, yang menghilangkan variabel \(\epsilon\) yang muncul dalam 281A, 281E, dan 281G, dengan mengorbankan pengambilan subruang tertutup \(A\). Namun saya menemukan bahwa akibat-akibat yang akan berguna kemudian (281H–281L) lebih alami dinyatakan dalam istilah subruang linear yang tidak tertutup.

Penerapan teorema, atau teorema-teorema, atau metode ini – pilih sendiri ungkapan Anda – sangat banyak; hanya beberapa yang dicantumkan di sini. Salah satu yang tampaknya tidak berbahaya terdapat dalam 281Xa dan, dalam varian berbeda, dalam 281Yc; keduanya sangat penting dalam ranah masing-masing. Dalam jilid ini penerapan utama akan berupa 285L di bawah, yang bergantung pada 281K, dan mungkin patut dicatat bahwa ada pendekatan alternatif untuk hasil khusus ini, berdasarkan gagasan dalam 282G. Namun saya menawarkan teorema ekuidistribusi Weyl (281M–281N) sebagai bukti bahwa kita dapat berharap menemukan kegunaan gagasan-gagasan ini di hampir setiap cabang matematika.